Тополого-алгебраичные структуры в категорийной топологии компактных пространств тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

rio \J¡\

i\ ! Кшвський ушверситет ¡мет Тараса Шевченка

Телейко Андр1й Богданович

УДК 512.58+512.53

ТОПОЛОГО-АЛГЕБРАГЧШ СТРУКТУРИ В КАТЕГОРШЙ ТОПОЛОГИ КОМПАКТНИХ ПРОСТОР1В

01.01.06 - алгебра i Teopin чисел

АВТОРЕФЕРАТ дисертацп на здобуття наукового ступеня кандидата с|мзико-математичних наук

Khïb- 1998

Дисертащею е рукопис.

Робота виконана у Лынвському державному ушверситсп ¡мет 1вана Франка на кафедр1 алгебри 1 топологи.

Науковий кершник

доктор 4нзико-математичних наук професор Зар1чний Михайло Михайлович завщувач кафедри алгебри I топологи Льв1вського державного ушверситету iмeнi 1вана Франка

Офщшш опоненти:

доктор ф1зико-математичних наук Протасов 1гор Володимирович професор кафедри дослщження операцш Кшвського ушверситету шеш Тараса Шевченка

• кандидат ф1зико-математичних наук Зеленюк Свген Григорович старший викладач

Луцького бютехнолопчного шституту

Провщна установа

1нститут математики HAH Укра1ни

Захист вщбудеться 21 вересня 1998 року о год. на засщашп спещал13овано1 вчено! ради Д26.001:18 Кшвського ушверситету ¿меш Тараса Шевченка за адресою: 252127, м.Кшв -127, проспект академжа Глушкова, 6, Кшвський ушверситет iMeni Тараса Шевченка, мехашко-математичний факультет.

3 дисертащею можна ознайомитись у 6i6nioTeui Кшвського ушверситету iMem Тараса Шевченка (вул. Володимирська, 58).

Автореферат розшлапо "i" üM/лМ. 1998 р.

Вчений секретар

спещал1зованоГ вчено'1 ради_А.П. Петравчук

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуалыпсть теми. Задовго до видйтсння Tcopii категорш в са-мостшну математичну дисциплшу була вщкрита функтор1альн1сть ба-гатьох конструкцш алгебри i топологи. Зокрема, в загальнш топологи функтор!алышми с (тихоновсью) добутки, функцюнальш простори з pi3HiiMii тополопзашями, простори Mip, компактш розширення i т.п.

Систематичне застосування категориях метод1в у тополога компакта розпочалося у 80-х роках математиками з московсько1 тополоНчнси школи. Особливо шцдними виявилися застосування до тополога нсмет-ризовних компакт1в. Пояснения цього лежить в спектральнш TeopeMi G.B. ЕЦепша, яка стверджус, що при виконанш певних природних умов кожш два розклади неметризовпого компакта в обернет спектри Mic-тять ¡зоморфш тдспектри, складен! з компакта менгшл ваги. Тому при досл1дженнях властивостей р1зномаштних тополог1чних констру-кцш в клаа неметризовних компакпв виникае необх!дшсть розгляда-ти ni KOHCTpyKnii не лише для простор1в, але i для в1дображень. Потреби спектрального анал1зу привели до видшення класу так званих нормальних функтор1в. До нормальних функтор1в належать, зокрема. степенев1 функтори, функтори G-симетрпчного степеня, експоненти, iiMOBipmcinix Mip та ш. Досл1дження багатьох математиюв, зокрема, В.М. Басманова, О.М. Драшшшкова, М.М. Зар1чного, О.В. 1ванова, В.В. Федорчука, G.B. ЕЦепша, показали змштовшсть поняття нормального функтора i дозволили закласти основи загально1 Teopii функтор1в у тополопчних категор1ях.

Одшсю з центральних задач nici Teopii стала задача характеризацп конкретних функтор1в, або клаав функтор1в. Ця задача була розв'яза-на для функтор1в експоненти, гшерсиметричного степеня (G.B. Ще-niH (1981)), степеневих функтор!в (G.B. Щешн (1981), В.М. Басманов (1984)) та функтор1в G-симетричного степеня (М.М. Зар1чний (1992)).

Важливими загальними задачами с також зада'и продовження та пiдняття функтор1в. Серед pi3Hiix результат у цьому напрямку в1д-значимо теорему О.Ч. Чигопдзе (1984) про продовження нормальних функтор1в на KaTeropiro тихоновських npocTopiB та теорему М.М. 3api-чного (1987), яка характеризус степеневий функтор як нормальний функтор, що допускае шдняття на категор1ю компактних тополопчних груп. Природно сформулювати питания про характеризацш нор-

мальних функтор1в, для яких кнуе щдняття на категорно компактних натвгруп.

В рамках топологи немстризовних компактов було видшено поняття .Г-ш'ективного об'екта, де Р — деякий функтор в категорп компакт1в. в.В. Щепш дов1в, що клас абсолютних екстензор1в у вим1р1 0 (= прос-тор1в Дугундж1) р!вний класов1 Р-ш'ективних компакт1в, де Р — функтор ймов!ршсних м1р, а В.В. Федорчук 1 Г.М. Непомнящий довели, що клас абсолютних екстензор!в у ви.\пр1 1 р1вний класов1 ехр-ш'ективних компакт1в, де ехр означае функтор експоненти (гшерпростору). При-родно розглядати ситуащю, коли компакти та Р-значш воображения утворюють категорш. В певному сенс1 це екв1валентно ¡снуванню природного перстворення р: Р2 —¥ Р, що разом з природним перетворен-ням г): 1сотр —> ^ утворюе монаду (Р, г), ц) на категорп компакт1в. При цьому категор1я компактов 1 .Р-значних в1дображень е не чим шшим як категор1ею Клейаи ц1е! монади. Кр1м згаданих вище функтор1в Р \ ехр, степеневий функтор (—)", функтори суперрозширення А, пов-нпх зчеплених систем N2, гшерпростор1в включения 0 та шип також визначають монади на категорп Сотр.

У теорП категорш природно виникають задач! продовження функ-тор1в на категорп Клейсл1 монади Т, а також шдняття функтор1в на категорп Т-алгебр. 3 такими задачами ткно пoв'язaнi пращ Арб5ба, Мейнса, Вшарека та ш. У зв'язку з задачею продовження функтор!в на категорп Клейсл1 I. Вшарек (1983) вв1в поняття проективное монади. В клаа нормалышх функтор1в цими задачами займався М.М. Зар1чний (1992).

У зв'язку з кнуванням континуума попарно не1зоморфних нормальних функтор1в виникло питания про оцшку потужност! скелета категорп нормальних монад.

Зауважимо, що близью до нормальних функтори допускають продовження на категорга компакт1в з дкю компактно! групи б ((?-ком-пакт1в) та ¡х ектвар!антних в^дображень (6'-в1дображень). Це дае мож-ливкть використовувати 1х в екв1вар1антнш топологи як джерело р1зно-маштних приклад1В.

Зокрема, синтез категорних метод1в та розвинено! С.М. Агеевим те-хшки доеллдження многовид1в, модельованих на екв1вар1антному гшь-бертовому куб1 (1994), дозволяе переносити чисто геометричш факти з теорп нормальних функтор!в на екв!вар1антний випадок.

Ми акцентуватимемо увагу на отриманш екв1вар1антних аналопв теорем Д. KepTica, P. Iüopi (1978), В. Kai (1955), G.B. Moiceesa (1988) про функтор1альш представления пльбертового куба. Питания про ие, зокрема, ставив С.М. Агеев. Зауважимо також, що Hauii результата дають багато нових легко описуваних представлень екв1вар1антно-го пльбертового куба, класичне означення якого с неконструктивним (М. Стейнберг, Дж. Вест (1986)).

Нарештц нагадаемо, що одшею з в1домих задач екв1вар1аитно1 топологи е rinoTe3a Андерсена (див. Проблему 79GA1 з Open Problems in Topology. - North-Holland: Elsevier Sei. Publishers B.V., 1990) про едшпеть ди групп Z2 з единою нерухомою точкою на пльбертовому Ky6i, яка залишаеться вщфитою вже понад 30 poi<iB. Одним з результатов дисертацн е побудова ряду нетрив1альних об'ект1в, що тдтвер-джують цю г1иотезу.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Тематика дисертаци пов'язана з дослщженнями кафедри алгебри i топологи JIbBiBCbKoro державного ущвереитету, ii результати част-ково BiiKopiiCTani при виконанш завдань державно1 теми за номером №01.93V041397.

Мета i задач1 досл1дження. Метою дисертацп е:

- встановитн потужшеть скелета категорй нормальних монад;

- охарактеризувати клас слабко нормальних функтор1в скшченного степеня, що продовжуються на категорй Клейсл1 монад типу супе-ррозширення;

- досл1дити можливктъ фyнктopiaлыIoгo продовження naniBrpynoBiix операщй нормальними функторами;

- отримати eKBißapiaHTHi аналоги теорем KepTica, IHopi, Юл, MoiceeBa про представления гiльбepтoвoгo куба через rinepnpocTopn, просто-ри fiMOBipmcHiix Mip, rinepnpocTopiB включения.

Наукова новизна одержаних результа^в. В дисертацп отри-мано TaKi результати:

- Побудовано континуум не!зоморфних нормальних монад.

- Показано неможливкть продовження слабко нормальних нетотож-них функтор!в CKiH4CHHoro степеня на категорй Клейся монад су-перрозширення, rinepnpocTopiB включения та fc-зчеплених систем.

- Наведено конструкшю функтор^ального продовження HaniBrpynoi onepaiiii слабко нормальними функторами, що допускають структуру монади.

- Описано нормальш функтори скшченного степеня, що допускають функтор1альш продовження нашвгрупових операцш.

- Отримано достатш умови для того, щоб значения слабко нормального функтора на скв1вар1антному об:екгп було екв1вар!антним абсолютным екстензором.

- Охарактеризовано властивкть бути екв1вар1антним пльбертовпм кубом для простор1в ÜMOBipHicHHX Mip на G-просторах з вьльною д1-ею групп G, а також для скшченних груп G. Охарактеризовано G-диз'юнктну апроксимацшну властив1сть для просторгв ймов1ршсних Mip на G-просторах.

- Охарактеризовано властивють бути екв1вар!антним гшьбертовим кубом для rinepnpocTopiB G-npoeropiß для скшченних груп G. В загальному випадку цю властивкть зведено до встановлення G-диз'-юнктно! апроксимацшно! властивост1, а також доведено для широкого класу об'ект1В.

- Встановлено достатш умови для того, щоб npocTip rinepnpocTopiB включения даного G-простору був екв1вар1антни.м пльбертовим. кубом. Зокрема, останне е правильним для G-npocTopis з вшьною д1ею групи G.

- Охарактеризовано Z2-npocTip (QX, _L), де Q — функтор rinepnpocTopiB включения, X — невироджений континуум, _L: QX QX — оператор трансверсаль

Bei результати отримано вперше.

Практичне значения одержаних результатов. Дисертащя мае теоретичне значения. Ii результати, можуть бути використат в топо-лопчнш алгебр1, категорн1й топологи, в екв1вар!антнш нескшченно-BiiMipniii топологи.

Особистий внесок здобувача. Bei результати дисертацп отри-MaHi автором самостшно. 3 сшльно! з М.М. Зар1чним пращ [5] в дисе-ртащю включено лише Ti, що належать авторов!.

Апробащя результатов дисертацй. Рсзультати дисертацй до-пов1далися на:

- розширеному зааданш алгебра1чного семшару у Кшвському ушвер-

ситет1 присвяченому 75-р1ччю проф. B.C. Чарина (1994);

- Всеукрашськш конференцй присвяченш 70-р1ччю проф. П.С. Казь

MipcbKoro у Львов! (1995);

- Млжнароднш алгебрагшш конференцп присвяченш пам'яэт проф.

JI.M. Глускша у Слов'янську (1997);

- топологччному ceMiHapi у Льв1вському державному ушверситет1.

Публжацп. Рсзультати дисертацй опублжовано у працях [1-8],

список яких наведено в кшщ автореферату. 3 них 4 роботи надру-ковано в журналах з перелшу, затвердженого ВАК Украпш.

Структура i об'ем роботи. Дисерташя складаеться 3Í всупу, шести роздтв, розбитих на шдроздьли, biichobkíb i списку використаних джерел. Обсяг дисертацй — 108 сторшок. Список використаних дже-рел обсягом 7 сторшок включае 67 найменувань.

Автор висловлюе подяку пауковому кер^внику проф. М.М. 3apÍ4HO-му за постшну увагу до роботи.

ОСНОВНИЙ 3MICT

Дисертацшна робота присвячена досл1дженню властивостей алге-6pai4Hoi природи нормальних функторгв, пов'язаних в основному з по-няттям монадн.

Основна частина дисертацй складаеться з шести роздийв. В першо-му роздал наведено огляд Л1тератури за темою дисертацй. В другому роздЫ коротко описано ochobhí методи та 1де1, що використовуються в дисертацй.

Плдроздьл 3.1 MicTiiTb необх1дш означения з загалыго! теорп слабко нормальних функтор1в та монад.

3.1.1. Означения (G. Щепш). Епдофунктор в категори Comp компак-tíb та ix неперервних в1дображень називаеться (слабко) нормальным, якщо bíh неперервний, eni- та мономорфний, 36epirae точку, порожню множину, перетини, (прообрази) та вагу нескшчснних компакт1в.

В1дпов1дно, монаду в Comp називають (слабко) нормальною, якщо вона породжена (слабко) нормальним функтором. (Нагадаемо, що монадою на категори С називають тршку (Т,т],/л), де Т — ендофунктор

в С, г): 1с —> Т i ¡i\ Т2 —> Т — таю природш перетворення, що р о т)Т =

о Тг) — idy i ß о fiT = /jo Тр.)

В шдроздин 3.2 наведено конструкцию континуума не1зоморфних нормальних монад: кожному частковому порядку на множит на-туральних чисел однозначно в!дпов1дае нормальна монада означена формулами:

Т4Х = {(Aí)£i £ (ехр-АТ)" | i 4 3 => Ai С А,},

Т4/((А{)Г=1) = и(А{))Г=и

оо

т]Х(х) = ({z})^, fiX = Д |Jexppr¿expX,

¿=i

де pr¿: (——> Id — природне перетворення проектування на г-ту координату. Основним в роздЫ е такий результат.

3.2.5. Насл1док. Потужтсть c'm'i нормальних монад pinna континууму-

РоздЬт 4 присвячено эагальнш категории! задач1 продовження функ-TopiB на категорп Клейап. В шдроздш 4.1 наведено необхщш поняття та методи. Ochobhí результата мктяться в шдроздш 4.2.

Нагадаемо, що категоргя Клейслг Cj монади Т = (Т, r¡, р.) на ка-Teropii С означаеться в наступний cnociö: ii об'екти ствпадають з об'ектами категорп С, морф1зм /: X —> Y в Cj — це морф!зм /: X —» ТУ в С, причому композищя * морф1зм1в /: X —¥ Y та g: Y —> Z в Сх flie за формулою д * / = nZ о Тд о /, де о — композищя в С.

Говорять, що ендофунктор F в категорп Cj е продовженням ендо-функтора F в категорп С, якщо FI = IF, де функтор I: С —¥ С-ц дк за формулами IX = X, If — r¡Y о / для об'екта X та морф!зма f:X Y категорп С.

Наступи два результати розв'язують задачу продовження слабко нормальних функтор!в на категорп Клейсл1 монад типу суперрозшире-ння в клаа функтор1в сюнченного степеня (нагадаемо, що слабко нор-мальний функтор е сктченного степеня п, якщо sup {| С X : а £ : а 6 FX,X £ Comp} = п, причому число | f){A С X : а £ FA}| називасться степенем точки а € FX).

4.2.1. Теорема. Лежит Р — слабко нормальнпй функтор сюнчснного степеня п > 1. Тод1 Г не продовжуеться па категори Клсйсл! монад гшерпросторгв включения С, зчеплених систем N2 i суперрозширсн-ня 1Ь.

4.2.2. Теорема. Нсхай Р — слабко нормальнпй функтор сюнчснного степеняп > 1. Тод! Р не мае продовження на категорию Клейсл! монадп к-зчепленнх систем к > 3.

В Роздш 5 ми розглядаемо задачу функтор1ального шдняття та про-довження нашвгрупових операцш.

Кажуть що ендофунктор Р в категори компактних нашвгруп та ¡х неперервних гомоморф1зм1в е тднятптям слабко нормального функтора якщо иЁ = Р17, де II — забуваючий нашвгрупову структуру функтор з категори компактних нашвгруп в категорию компакт1в. Якщо при цьому для кожно1 компактно! нашвгрупи 5 воображения 1)118: 5 —»■ Р8 е гомоморфизмом, то шдняття Р називають природним (тут г) — едине природне перетворення Ы —ь Р).

Основшш результатом тдроздшу 5.1 е така теорема.

5.1.4. Теорема. Нехай (Т, 77,/г) — слабко нормальна монада. Тод}, яршшаючи для кожжл компактно! нашвгрупи (8, т)

Т(5, тп) = (Т5, ш), т(а, Ь) = Тгп{а ® Ь),

Т(8,т) = (Т8,т), т(а,Ь) = Ттп(а®Ь), а,ЬеТ8,

одержимо природы шдняття Т, Т функтора Т на категорию компактних нашвгруп.

В попереднш теорем1 тензорш добутки а<&Ь, а&Ъ 6 Т(5х5) елеменэтв а, Ь Е Т8 задаються формулами:

а ® Ь = х 5 о Т/ь(а), /ь(.т) = ПХ(Ь): в —> Т(8 х 5), ¿г(у) = (г, </)'• 5 -> Я х 5;

а®Ь = цв х 5 оТда(Ь), да(у) = ТзУ{а): 5^Т(5х5), ^(х) = (а:, у): 5 5 х 5.

Шдроздьт 5.2 мае допоМ1Жний характер: у ньому наведено характе-ризащйну теорему для класу нормальних проективних функтор1в сган-ченного степеня.

5.2.1. Означения. Сдабко нормальный функтор Р називаеться про-ективним, якщо кнуе природне перетворення тт = (7тХ):Р —> Ы з

■ЗТ 0 7} — 1с1.

Поняття проективного функтора можна вважати в!дпов1дником вве-деного I. Вшареком поняття проективно! монади.

5.2.3. Теорема. Нехай Р — нормальнпй функтор скшченного степеня. Тод1 наступи1 умов и скв1валентт:

1) Р проективний;

2) ¡снуе природне перетворення £ = {£Х): (—)2Р —» Р{—)2 з властшл'-стю £ о (-)2г] = г]{-)2-

Використовуючи цей результат, в тдроздип 5.3 ми розв'язуемо задачу продовження нашвгрупових операщй в клаа нормальних функтор1в скшченного степеня:

5.3.1. Теорема. Нехай Р — нормальней функтор сличенного степеня. Тод1 наступи1 умови екв'шалеитт:

1) Р проективний;

2) Р мае природне тдняття на категорш компактных нап'тгруп.

Вщмтшо також наступили результат.

5.3.3. Насл1док. Функтори Хп, п > 3, 0П, {N^71, п > 2, не мають природного тдняття на категорию компактних натвгруп.

(Функтор Ап (£„, (Мк)п) —■ це шдфунктор функтора А (в1дпов1дно, 6, Л^) вах точок степеня < п.)

Роздал 6 присвячено встановленню екв1вар!антних аналоНв теорем Д. Кертюа, Р. Шор1, Дж. Веста, В. Кш, С. Мокеева про представления г1льбертового куба через гтерпростори, простори ймов1рн!сних лыр та Г1перпростор1в включения.

В шдроздш 6.1 наведено необх1дш поняття з екв1вар1антно1 теори. Нижче групу С вважаемо компактною та метризовною. Зауважымо, що кожен слаб ко нормальний функтор Р тдшмаеться на категор1ю С-компакт1в:

д ■ а = Рд{а), д 6 С, а £ РИХ, X е й-Сотр,

(тут елемент д £ С ототожнюеться з воображениям д ■ (—):Х —> X, V — эабуваючий екв1вар1антну структуру функтор).

В шдроздш 6.2 сформульовано загальну ¡дсю усереднюючих опера-TopiB. Усередтоючим оператором (з У в X) для С?-просторпз X та У називають непсрервне воображения А: C(Y,X) —> G-C(Y, X), для яко-го Д/(у) = f(y) в таких точках у 6 У, що f(g-y) = g-f{y) для кожного g 6 G (нагадаемо, що С(У, X) — npocTip неперервних в1дображень з У в X з компактно-вздкритою тополотею, а С-С(У, X) — niflnpocTip ек-BiaapiaHTHiix В1дображень в С (У, X)). Виявляеться, що наступш умови с достатшши для ¡снування усереднюючого оператора з У в FX для дов1льннх С-компакт1в X та У:

1) функтор F доповнюеться до монади (F,r],fi);

2) ¡снуе G-право inBapianTHa точка а 6 FG, тобто Fr^(a) = а, гь(д) — gh: G G, для кожного елемента h G G.

В ньому випадку усереднючий оператор Д з У в FX ыожна означити формулами: Д/(у) = цХ о Fpy(a), py:G FX, ру{д) = д~г ■ f(g ■ у), g<EG, f eC(Y,FX),y eY.

6.2.2. Насл1док. Hexan F — слябко нормальний функтор, X — мет-рпзовний G-компакт, FX — абсолютний екстензор. Якщо F допускае структуру монади, а та кож iснуе G-право тваргантна точка в FG, то FX е G-абсолютнпм екстензором (тобто абсолютним екстензором в категорИ мстрцзовних G-компактов).

Утверсальним об'ектом в категорп метризовних С-компакта е ек-eieapiaHmnuü гыъберт1в куб Q, що означаеться як злпгенна CTeniHb добутку одиничних куль Bcix незв1дних ортогональних дшсних зобра-жень групп G, яка розглядаеться з Д1агональною Д1ею G. ИдроздЬта 6.3-6.5 дають частков1 розв'язки тако! задачи Нехай G — мстризовна компактна трупа, X — метрпзовнпй G-компакт, F — один з фупктор'ш Q (г'терпростор1в включения), ехр (гшерпростору), Р (ймов1рн1снпх м\р). За яких умов FX з продовже-ною Д1сю групп G еквшорфний скв1вар{антному гшьбертовому кубу Q. Сформулюемо основш з них:

6.3.4. Наслщок. Нсхай група G Д1е вшьно на компакт! X. G-простори РХ та Q скв1Морфт тод1 i Т1лькп тод1, коли простер op6iт дИ G па X е несктченнпй.

6.3.6. Означения. Д1я групп G на X називаеться сильно ефективною, якщо для кожних замкнено] власнсл шдгрупи Н групп G та елемента д £ G\H знайдеться точка х £ X з дх £ Нх.

6.3.7. Теорема. Hexan еюнченна группа G fiic на несктченному компакт/ X. Тод1 РХ та Q еквшорфш, якщо i тшьки якщо Д1я групп G на X сильно ефективна.

6.4.1. Означения. Нетранзитивна д1я групп G на компакт X називаеться сильно локально ефективною, якщо для кожних власно! замкнено! шдгрупи Н в G, елемента g ф. Н та в1дкрито! множини U С X знайдеться точка х £ HU з gHx ф Нх.

6.4.4. Твердження. Нехай група G д\е на невиродженому континуум! Пеано X. Тод1 exp X = Q, якщо i тшьки якщо

1) ДЛЯ КОЖНОГО £ > 0 знайдуться Е-С)ЛЛЗЬК1 до тотожного G-in добр ижсиня fi, /2: expX схрX з диз'юнктними образами;

2) Д1Я групп G на X сильно локально сфективна.

6.4.5. Теорема. Нехай група G д}е на невпроджених зв'язних компа-ктних CW-комплсксах X та Y. Припустимо, що дш G на X в1чьна. Розглянемо npoerip Z — X х Y з д1агональною Д1ею групп G. Тод1 схр Z = Q.

6.4.7. Теорема. Нехай еюнченна група G д1с: на невиродженому континуум! Пеано X. G-простори схр X та Q еквгморфт тод! i п'льки тод1, коли G Д1С на X сильно локально ефектпвно.

6.5.4 Теорема. Якщо дш групп G на невиродженому континуумi X е сильно ефективною, то QX = Q.

В шдроздйп 6.6 описано дда групп Z2 на npocTopi QX rinepnpocTopiB включения невиродженого континума X, задану оператором трансвер-сал1 L-.QX ->• дХ, ±(Л) = {С £ ехрХ | СП А ф 0 для Bcix А £ Л},

А £ дх:

6.6.1. Теорема. Для кожного невиродженого континууму X npoerip (QX, _L) е екв!Морфний до екв!вар1антного гмьбертового кубу Q.

висновки

Результата дисертаци одержано застосуванням метод1в Teopiï нор-мальних функтор1в, Teopiï KaTeropiii, eKBiBapiaiîTHoi несшнченновихир-Hoi топологи. Доведения опираються, зокрема, на характерпзацшш теореми M. Ap6i6a, Е.Мейнса, I. Вшарека для продовжень функтор1в на KaTeropiï Клейсш, С.М.Агеева для многовид1в, модельованих на ек-BÎBapiaHTHOMV пльбертовому Ky6i.

Побудова континуума нормальних монад с розвитком результату М.М. Зар1чного про потужшсть скелета KaTeropiï нормальних функ-

TOpÎB.

Результати про неможлив!сть продовження нетрив1альних слабко нормальних функтор1в скшченного степеня на KaTeropiï Клейся монад типу суперрозширення доповнюють характеризашйт теореми М.М.За-pi'raoro для нормальних функтор1в скшченного степеня, що продовжу-ютьея на KaTeropiï Клейся монад rinepnpocTopy та fiMOBipHicHiix Mip.

Щодо результат1в про продовження слабко нормальними функторами HaniBrpynoBiix операц1й, то вони доповнюють результат М.М. 3api-чного про неможливкть продовження групових операцш нормальними нестепеневими функторами.

Теореми про функтор1альш представления eKBÎBapiaHTHoro пльбер-тового куба е eKBÏBapiaHTHiiMii аналогами теорем Д.'Кертша, P. Hlopi, Дж. Веста, В.Юп, C.B. MoiceeBanpo функтор1альш представления пль-бертового куба.

СПИСОК ОПУБЛ1КОВАНИХ РОБ1Т ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦЙ

1. Teleiko A. A continuum of normal monads // Математичш Студи. -1995. - Т.4. - С.79-84.

2. Teleiko A. An equivariant Hilbert cube generated by the transversality mapping // Математичш Студи. - 1997. - T.7, №2. - С.205-210.

3. Teleiko A. Equivariant Hilbert cubes and their functorial representations // Methods of Func. Analysis and Topology. - 1997. - V.3, №2. - P.72--82.

4. Teleiko A. On projective functors in the category compacta // BicH. JlbBis-ського у-ту. Сер. Мех.-Матем. - 1998. - Т.49. - С.61-64.

5. 3api4Hnii М., Телейко A. Haniezpynu г монади // Алгебра i тополопя. - JlbBis. - 1995. - С.84-93.

6. Teleiko A. On extension of functors to the Kleisli category of some weakly normal monads // Comment. Math. Univ. Caroliriae. - 1996. - V.37, №2. - P.405-410.

7. Телейко А. Про продов Э/С бННЛ (fiynnmopie на категорп KAeucAi // Пращ Всеукрашськси конф. приевячено! 70-р1ччю проф. П. Ka3iMip-ського. - JIbBiB. - 1995. - С.46.

3. Teleiko A. On categorical extensions of semigroup operators // Proc. Glushkin Intern. Alg. conf. - Slovyans'k. - 1997. - P.116.

Телеико А.Б. Тополого-алгебрагчнг структуры в категорнгй топологи компактних простора. - Рукопис.

Дисертащя на здобуття наукового ступеня кандидата ф1зико-мате-матичних наук за спещальшстю 01.01.06 - алгебра 1 теор1я чисел. -Кшвський ушверситет ¡меш Тараса Шевченка, Кшв, 1998.

Дисертацда присвячено досидженню властивостей алгебра1чнсй природи слабко нормальних функтор1в. Встановлено потужшсть скелету категорп нормальних монад. Показано неможлшпеть продовження слабко нормальних нетотожних функтор1в скшченного степеня на категорп Клейсл1 монад типу суперрозширення. Розв'язано задачу продовження функторами нашвгрупових операшй для нормальних функ-тор1в скшченного степеня, а також для слабко нормальних функтор!в 31 структурою монади. Встановлено екв1вар1антш аналоги теорем Керть са, Шор!, Веста, Юн, Мокеева про функтор!альш представления гшь-бертового куба.

Ключов1 слова: нормальний функтор, нормальна монада, нашв-група, гшерпростори, ймов1ршсш м1ри, суперрозширення, категор1я Клейся!, екв1вар1антшш пльберт1в куб.

Телейко А.Б. Тополого-алгебраические структуры в категорией топологии компактных пространств. - Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.06 - алгебра и теория чисел. - Киевский университет имени Тараса Шевченко, Киев, 1998.

Диссертация посвящена изучению свойств алгебраической природы слабо нормальных функторов. Определена мощность скелета категории нормальных монад. Показана невозможность продолжения слабо нормальных не тождественных функторов конечной степени на категории Клейсли монад типа суперрасширения. Решена задача продолжения функторами полугрупповых операций для нормальных функторов конечной степени, а также для слабо нормальных функторов со структурой монады. Установлены эквивариантные аналоги теорем Кэртиса, Шори, Вэста, Кли, Моисеева о функториальных представлениях гиль-бертового куба.

Ключевые слова: нормальный функтор, нормальная монада, полугруппа, гиперпространства, вероятностные меры, суперрасширения, категория Клейсли, эквивариантный гильбертов куб.

Teleiko A.B. Topology-algebraic structures of the categorical topology of compact spaces. - Manuscript.

Thesis for a doctor's degree by speciality 01.01.06 - algebra and number theory. - Kyiv Taras Shevchenko university, Kyiv, 1998.

The dissertation is devoted to investigating algebraic nature properties of weakly normal functors. The cardinality of skeleton of the normal monad category is determined. It is showed that there is no weakly normal non identical functor which extends onto Kleisli categories of superextension form monads. A problem of extension of semigroup operation with functors is solved for normal functors of finite degree and weakly normal functors with monad structure. Equivariant counterparts of the theorems of Curtis, Schori, West, Klee, Moiseev on functorial representations of Hilbert cube are established.

Key words: normal functor, normal monad, semigroup, hyperspaces, probability measures, superextensions, Kleisli category, equivariant Hilbert cube. . /7

Подписано до друку 26.05.98 p. Формат 60x84 V,6- Ум. друк. арк. 0,75. Обл.-вид. арк. 1. Наклад 100.

Видруковано у видавничому центр1 Наукового товариства iM. Шевченка у Львов!. 290013, JIbBiB, вул. ген. Чупринки, 21.