Трёхмерная нестационарная конвекция в емкостях, вращающихся вокруг вертикальной оси: численное моделирование для малых чисел Прандтля тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ

\

На правах рукописи УДК 532.516:536.25

ИВАНОВ Николай Георгиевич • " .

ТРЁХМЕРНАЯ НЕСТАЦИОНАРНАЯ КОНВЕКЦИЯ В ЕМКОСТЯХ,

ВРАЩАЮЩИХСЯ ВОКРУГ ВЕРТИКАЛЬНОЙ ОСИ: ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ДЛЯ МАЛЫХ ЧИСЕЛ ПРАНДТЛЯ

Специальность 01.02.05 - Механика жидкости, газа и плазмы

Автореферат диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

Санкт-Петербург 2000

Работа выполнена на кафедре гидроаэродинамики Санкт-Петербургского гос; дарственного технического университета.

Научный руководитель:

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Евгений Михайлович Смирнов.

доктор физико-математических наук, старший научный сотрудник Валентин Степанович Юферев; кандидат физико-математических наук, старший научный сотрудник Дмитрий Алексеевич Никулин.

Ведущая организация:

Институт проблем механики РАН.

Защита состоится » У^ОУ^Ь*^ 2000 года в часов на заседани

диссертационного совета Д 063.38.15 в Сткт-Петербургском государственном тех ническом университете (195251, Санкт-Петербург, Политехническая ул., 29, корп. ] кафедра гидроаэродинамики).

Отзыв на аеторефёрат~т^ух^кзеътлярах7^авере1тый^ просьба направлять по вышеуказанному адресу на имя учёного секретаря диссерта ционного совета.

С диссертацией можно ознакомиться в фундаментальной библиотеке Санкт Петербургского государственного технического университета.

Автореферат разослан «"2^ » Оц^ГС^Ь^. 2000 года.

Учёный секретарь диссертационного совета, кандидат физико-математических наук,

доцент Д.К.Зайцев

Общая характеристика работы

Актуальность проблемы

Детальные знания о трехмерной нестационарной конвекции жидких металлов и расплавов полупроводниковых материалов, характеризуемых значениями числа Прандтля Рг « 1, в емкостях, вращающихся вокруг вертикальной оси, представляют существенный интерес, особенно в приложении к оптимизации выращивания кристаллов полупроводников го расплава по методу Чохральского (методу вытягивания). Объём доступных к настоящему времени сведений фундаментального характера о свойствах автоколебательных режимов течения жидкости при малых значениях числа Прандтля крайне недостаточен. Проведение экспериментов, направленных на исследование структуры течения и теплового состояния полупроводниковых расплавов, в силу их непрозрачности и высоких температур затруднено, а зачастую и невозможно. В связи с этим прямое численное моделирование трёхмерной нестационарной конвекции на сегодняшний день является наиболее перспективным инструментом при исследовании определяющей качество получаемых, монокристаллов полупроводников конвекции расплава. Его применение позволит существенно дополнить имеющуюся на сегодняшний день весьма скудную экспериментальную информацию по существующим устройствам, а в последующем в значительной степени заменить дорогостоящие экспериментальные исследования при отработке новых установок. В силу сложности течения, определяющегося совместным действием ряда факторов, до сих пор прямое численное моделирование конвекции расплава применительно к выращиванию кристаллов по методу Чохральского не носило систематического характера.

Существенным при проектировании и отработке установок по выращиванию кристаллов является также понимание механизмов неустойчивости, которые способствуют появлению в расплаве отчётливо выраженных квазипериодических и стохастических колебаний, приводящих, в конечном счёте, к существенной неоднородности свойств получаемого кристалла. Исследование конвекции в модельных установках метода Чохральского, в частности, в кольцевых и цилиндрических емкостях, позволяет выделить в чистом виде тот или иной из числа действующих механизмов неустойчивости. Данная проблема в настоящее время также далека от своего решения и требует серьёзной методической проработки.

Цели работы

Представляемая диссертационная работа направлена на

1) разработку и реализацию метода численного моделирования трёхмерных квазипериодических и стохастических режимов конвекции в областях со сложной геометрией;

2) численное моделирование конвекции в моделях тигля метода Чохральского (рассматриваются цилиндрические и кольцевые ёмкости) и описание проявляющихся в них бароклинной неустойчивости и неустойчивости центрального вихря;

3) прямое численное моделирование конвекции в емкостях с геометрией, типичной для тиглей метода Чохральского, при типичных же тепловых граничных условиях, вплоть до чисел Релея порядка 105, а также на выявление условий бифуркации осесиммегричного стационарного течения в трёхмерное стационарное и условий перехода к стохастическому характеру течения.

Научная новизна работы

1) Впервые получены данные о полях скорости и температуры для условий, при которых во вращающихся кольцевых или цилиндрических емкостях возникают структуры, обусловленные бароклинной неустойчивостью; воспроизведены наблюдавшиеся в экспериментах режимы регулярных волн для малых и больших чисел Прандтля и режимы негеострофической турбулентности для малых чисел Прандтля.

2) Поставлена и исследована модельная задача изотермического течения во вра-^паютейся-ёмкости-сдрииыкятп.им противпиратпяютимся центральным пиекпм, ня-

правленная на выявление роли неустойчивости центрального вихря в развитии трёхмерных автоколебательных процессов в установках метода Чохральского; проведённые вычисления показали, что эта роль может быть определяющей и в режимах тепловой конвекции.

3) Впервые проведены параметрические расчёты трёхмерных квазипериодических и стохастических режимов конвекции во вращающихся емкостях, усложнённая форма которых типична для тиглей систем метода Чохральского; получен обширный набор данных об эволюции структуры конвекции при изменениях определяющих параметров и спектральном составе пульсаций.

4) Установлено, что превышение критического числа Релея на порядок приводит к развитию интенсивных крупномасштабных трёхмерных пульсаций в центральной

(подкристальной) области; эти пульсации в сильной мере выравнивают распределение подводимого к интерфейсу теплового потока по сравнению с данными, получаемыми на основе осесиммегричной постановки.

Достоверность полученных результатов

Сравнение результатов методических и тестовых, расчётов, проведённых в рамках настоящей работы, с экспериментальными и расчётными данными других авторов показало хорошее согласование.

Практическая ценность работы

1) Накоплена ценная методическая информация по проведению расчётов трёхмерных автоколебательных режимов, включая условия слабой и сильной надкритич-ности.

2) Выявленные свойства конвекции во вращающихся емкостях и полученные подробные данные по полям скорости и температуры являются важным дополнением к скудной экспериментальной информации по локальным характеристикам и будут способствовать более рациональным постановкам последующих опытов.

3) Результаты расчётов представляют ценность для инженеров, вовлечённых в оптимизацию существующих установок выращивания кристаллов по методу Чохраль-ского и отработку новых конструкций.

4) Содержащийся в работе анализ механизмов неустойчивости, проявляющихся при конвекции расплава в методе Чохральского, может стимулировать разработку новых способов управления процессом выращивания монокристаллов.

Апробация работы

Основные результаты работы докладывались на российских и международных конференциях и семинарах: Третьей Санкт-Петербургской Ассамблее молодых учёных и специалистов (С.-Петербург, 1998), XXXIX Крыловских чтениях (С.-Петербург, 1999), Европейской конференции Е-МКБ (Страсбург, Франция, 1999), Четвёртой Санкг-Петербургской Ассамблее молодых учёных и специалистов (С.-Петербург, 1999), Третьей Международной конференции БСАЯТ (Цюрих, Швейцария, 2000), Международной конференции Е-МИЯ - Ю'МЯБ (Страсбург, Франция, 2000), 12°" Американской конференции по выращиванию кристаллов и эпитаксии

(Колорадо, США, 2000), семинаре кафедры гидроаэродинамики Санкт-Петербургского государственного технического университета под руководством проф. Ю.В.Лапина (С.-Петербург, 2000).

Публикации по теме диссертации

Основные результаты работы изложены в пяти научных публикациях.

Структура и объём работы

Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения и списка литературы из 166 наименований. Работа изложена на 218 страницах машинописного текста, включая 13 таблиц и 120 рисунков.

Содержание работы

Во введении показаны актуальность проблемы, её научное и практическое значение, приведены основные задачи работы.

В первой (обзорной) главе отражены наиболее яркие результаты физического и математического моделирования гидродинамики и теплообмена в реальных установках метода Чохральского и в моделях тигля упрощённой геометрии.

Раздел 1.1 представляет введение в проблему моделирования конвекции расплава при выращивании полупроводниковых кристаллов по методу Чохральского. Основу данного метода составляет процесс кристаллизации полупроводника на охлаждаемой затравке, которую с определенной скоростью вытягивают вверх из расплава, помещаемого в подогреваемый тигель (см. схему тигля на рис. 6). В условиях, характерных для промышденно применяемых в настоящее время устройств выращивания кристаллов по методу Чохральского, значения числа Релея Ra = (gPATH3)/(va) составляют 106 - 108 и более; здесь g - ускорение свободного падения, р - температурный коэффициент расширения, ДТ - характерный перепад температуры, Н - высота ёмкости, v - кинематический коэффициент вязкости; а - коэффициент температуропроводности. Конвекция расплава при этом носит многомодовый нестационарный, а зачастую и развитый турбулентный характер.

В разделе 1.2 сопоставлены имеющиеся в литературе экспериментальные и расчётные результаты, доказывающие пространственный характер конвекции расплава. Указано, что имеющиеся экспериментальные данные не позволяют сформировать

достоверную картину структуры течения, представление о тепловом состоянии расплава также остаётся весьма приблизительным. Литературные данные свидетельствуют, что численное моделирование конвекции расплава в осесимметричной постановке позволяет получить правдоподобные результаты только для ограниченного набора определяющих параметров, характерных для лабораторных установок выращивания кристаллов по методу Чохральского м&того размера. В то же время работы, по-свящённые численному моделированию конвекции при выращивании кристаллов по методу Чохральского в трёхмерной постановке, до сих пор ограничивались рассмотрением емкостей упрощённой (цилиндрической) геометрии для умеренных чисел Ra.

В разделе 1.3 проанализированы основные концепции того, какие механизмы неустойчивости оказывают наиболее существенное влияние на конвекцию расплава. Подробно рассмотрены неустойчивость подогреваемого снизу вращающегося слоя и бароклинная неустойчивость.

Основные выводы, сформулированные на основе обзора, изложены в разделе 1.4.

Во второй главе рассматриваются математическая модель (раздел 2.П и численный метод (раздел 2.2), на основе которых были проведены расчёты конвекции. Течение расплава описывается системой трёхмерных нестационарных уравнений Навье-Стокса, записанных во вращающейся с постоянной угловой скоростью Q системе координат, в совокупности с уравнением энергии. Для учёта эффектов плавучести в поле силы тяжести и центробежной силы используется приближение Буссинеска. При проведении расчётов применялась разработанная на кафедре гидроаэродинамики СПбГТУ с участием автора новая версия программного комплекса SINF. Программа SINF-2 позволяет проводить расчёты стационарных и нестационарных течений несжимаемой жидкости или газа, развивающихся в общем случае в областях сложной геометрии. Используются многоблочные структурированные неравномерные сетки, согласованные с границами области течения. Для получения нестационарных решений реализованы схемы как первого, так и второго порядка. При этом на каждом шаге по физическому времени итерации осуществляются по методу искусственной сжимаемости. Для расчёта конвективных слагаемых применяется схема QUICK, а при дискретизации дифференциальных операторов, отражающих действие вязкости, применяется центральная разностная схема второго порядка. Применявшийся в рамках настоящей работы алгоритм многоблочных вычислений подразумевает, что сетки не

перекрываются и генерируются таким образом, что сеточные линии продолжаются при переходе из одного блока в другой. При этом используется концепция вспомогательного виртуального блока, что обеспечивает полную "прозрачность" межблочных границ и сохранение консервативных свойств разностной схемы.

Третья глава составляет методическую основу диссертации, в ней описаны проведённые в достаточно большом объёме методические и тестовые расчеты.

Раздел 3.1 посвящен рассмотрению стационарной конвекции и возникновения автоколебательных режимов в квадратных полостях (А = L/H = 1) с разнонагретыми боковыми стенками как при умеренных (Рг = 0,71), так и при малых (Рг = 0,023) значениях числа Прандтля. Стационарные решения были получены в широком диапазоне чисел Релея на сетках размерностью 202 - 2002 ячеек, здесь и далее использовались сетки со сгущёнными к стенкам узлами, Проведённое сравнение с данными других авторов показало хорошее согласие результатов на сетках порядка 802 и более. Для расчётов нестационарной конвекции при малой надкритичности схема первого порядка точности по времени оказалась неприемлемой, так как даже в случае малых шагов по времени заведомо автоколебательное решение оставалось стационарным. В связи с этим все расчёты нестационарной конвекции в главах 3-5, кроме исследования конвекции расплава кремния во вращающейся кольцевой полости в разделе 4.1, проводились с использованием трёхслойной схемы второго порядка по времени. Для Рг = 0,71 был проведён расчёт квазипериодического режима с двумя ведущими частотами при Ra = 3xl08 на сетке 962. Выполненное сопоставление с данными [Janssen R.J.A., Henkes R.A.W.M. J. Fluid Mech. - 1995. - Vol. 290. - P.319-344] показано хорошее согласие по структуре течения и частотам развивающихся автоколебаний. Для Рг = 0,023 были рассчитаны три режима конвекции при малой надкритичности на сетке 802 и проведена оценка критического числа Релея (Racr« 6,4х104), сопоставление с [Bergman T.L., Ball K.S. In: Heat Transfer 1994 / Proc. 10th Int. Heat Transfer Conf. Brighton UK, 1994. Vol.7. P.7-12] показало хорошее согласование результатов.

В разделе 3.2 приведены результаты расчётов стационарной естественной конвекции воздуха (Рг = 0,71) в кубической полости с двумя боковыми стенками, поддерживаемыми при разных температурах; представлены данные для Ra = 104, 105, 106, полученные на сетках 203, 30J, 40\ 603. Проведённое сопоставление с результатами других авторов свидетельствует, что уже на сетке 403 для Ra = 106 погрешность в определе-

нии максимальных значений компонент скорости составляет не более 1,4%, а в определении среднего числа Нуссельта на изотермических стенках 0,2%.

В качестве тестового расчёта в конфигурации, моделирующей тигель метода Чох-ральского, в разделе 3.3 рассмотрена трёхмерная нестационарная конвекция при малой надкритичности в подогреваемой сбоку неподвижной цилиндрической ёмкости с расположенным на свободной поверхности диском (А = R</H = 1, ß = Rs/H = 0,4, форма ёмкости аналогична показанной на рис. 1в). Расчёты проводились в условиях работы [Никитин Н.В., Полежаев В.И. Изв. РАН. МЖГ. - 1999. - №3. - С.26-39] (Ra = 5x104, Рг= 0,05) на двухблочной сетке размерностью 41472 ячейки. Оптимальным шагом по безразмерному времени при этом было признано значение At ~ 0,125. Рассматриваемое течение является квазипериодическим, в ёмкости присутствует упорядоченная вихревая структура с волновым числом ш = 3. Сопоставление с расчётом Никитина, Полежаева показало хорошее совпадение результатов.

Четвёртая глава посвящена численному моделированию конвекции в моделях тигля метода Чохральского и описанию проявляющихся в них бароклинной неустойчивости и неустойчивости центрального вихря.

В разделе 4.1 рассматриваются проявления бароклинной неустойчивости во вращающихся кольцевых полостях. Были проведены расчёты конвекции воды в условиях эксперимента [Fein J.S. Geophys. Fluid Dyn. - 1973. - Vol. 5. - P.213-248] и ртути в условиях эксперимента [Fein J.S., Pfeffer R.L. J. Fluid. Mech. - 1976. - Vol 75. - P.81-112], в обоих случаях приняты геометрические соотношения Rj: AR =1,37, Н : AR = 1,97, здесь AR = R„-R, - масштаб длины, полость подвергается нагреву сбоку. Форма полости и тепловые граничные условия показаны на рис. 1а (для скорости на

дТ/дп = 0

дТ/дп = О

Рис. 1. Геометрия расчётных областей: (а) - кольцевая полость; (б) - цилиндрическая ёмкость; (в) - цилиндрическая ёмкость для модельной задачи в отсутствие сил плавучести.

Рис. 2. Моментальные поля скорости в горизонтальном сечении кольцевой полости: (а) - Рг = 7,16, сечение г = 0,94; (б) - Рг = 0,025, z = 0,94; (в) - Рг = 0,015, z = 0,48.

стенках полости задаётся условие прилипания). Для воды (Рг = 7,16, Яа = 6,8x10, Яа^ = (Г>2рДТ(ЛК)4)/(Уа) = 4,5x10'', Ко = (ё[ЗДТЖ)"2/ОДК = 0,97) воспроизведён режим регулярных волн, вихревая структура с волновым числом ш = 3 (см. рис. 2а) медленно прецессирует в направлении основного вращения. Эволюция нормированной температуры во вращающейся точке мониторинга, связанной с полостью, представлена на рис. За, к концу рассчитанной выборки период составил более 400 временных единиц. Течение является периодическим, об этом свидетельствует энергетический спектр колебаний (рис. Зг), на котором можно выделить только одну независимую характерную частоту. Для ртути (Рг = 0,025) был рассчитан режим негеостро-фической турбулентности с неупорядоченными трёхмерными пульсациями скорости и температуры (11а = 6,9х104, ~ 13, Яо= 1,04), см. рис. 26, 36, Зд. И для воды, и для ртути представленные результаты расчётов на сетке 288 тыс. ячеек с шагами по

0.5 Т

//М'»ЧМА

800 1200 1600 безразмерное время

0.0" 150

б)

Т f 0.4

В)

0.3

ш

тщ\

200 250 300 350 400 300 безразмерное время

Е_ ¡

500 700 900 безразмерное время

1Е-6С

0.01 0,1 0.01 0.1 1 1Е-3 0.01 0.1

безразмерная частота безразмерная частота безразмерная частота

Рис. 3. Колебания температуры и соответствующие энергетические спектры при конвекции в кольцевой полости: (а, г) - Рг = 7,16, точка мониторинга г = 1,84, г = 0,94; (б, д)-Рг = 0,025, точка г = 1,6, г = 0,5; (в, е) - Рг = 0,015, точка г = 0,55, г = 0,55.

безразмерному времени, соответственно, 0,1 и 0,025 согласуются с экспериментальными данными. Расчёты на грубой сетке размерностью 36 тыс. ячеек не позволяют произвести количественные оценки, хотя и дают в целом правильную качественную картину поведения жидкости.

Конвекция расплава кремния (Рг = 0,015) была рассчитана в кольцевой ёмкости иной формы (К;: ДП - 1,5, Н: ДИ- 1) в условиях одновременного нагрева и сбоку, и снизу. Для значений определяющих параметров И а = 2,7х105, Яап = 71, Ло = 4,7 был получен автоколебательный режим течения с нерегулярными пульсациями (см. рис. Зв, Зе), на фоне которых можно выделить прецессирующую вихревую структуру с гп = 5 - 8 (см. рис. 2в). Представленные результаты получены с использованием схемы первого порядка по времени (А1 = 0,1) на сетке 192 гыс. ячеек. Проведённые методические исследования показали, что в условиях сильной закритичности использование схемы первого порядка в случае не слишком мелких шагов по времени не позволяет получать решения достаточно высокого качества.

В разделе 4.2 проведено численное моделирование конвекции ртути (Рг = 0,025) во вращающейся цилиндрической ёмкости с расположенным на свободной поверхности неподвижным диском (А = 2,5, (3= 1, К.а = 1,76х105, Иа^ ~ 8,96x103, Яо = 0,746). Форма ёмкости и граничные условия показаны на рис. 16 (на свободной поверхности задаётся ди/дг = с\!дг = 0, = 0, сТ/дг = 0). В результате расчётов на сетке 53760 яче-

а)

500 1000 1500 2000 секунды

0.001 0.01 частота [Гц]

Рис. 4. Конвекция в цилиндрической ёмкости при Рг = 0,025: (а) - эволюция температуры

в точке мониторинга г = 1,4, г = 0,67; (б) - соответствующий энергетический спектр; (в) - моментальное распределение векторов скорости в горизонтальном сечении г = 0,47.

ек с шагом At = 0,125 была получена двухвихревая структура с волновым числом m = 2 (см. рис. 4в), прецессирующая в направлении, противоположном направлению вращения ёмкости. Период колебаний составил Т«450с, а амплитуда - А»1,9К (рис. 4а). Экспериментальные данные [Lee Y.-S.. Chun Ch.-H. J. Crystal Growth. -1999. - Vol. 197. - P.297-306] для указанного набора параметров свидетельствуют о развитии бароклинной волны с ш = 1 (Г к 240с, А к 2К). Различие экспериментального и расчётного значений т, скорее всего, следует отнести на счёт гистерезиса волновых чисел, существование которого отмечено при наблюдении бароклинных волн в кольцевых полостях.

Раздел 4.3 посвящен рассмотрению модельной задачи в отсутствие сил плавучести, направленной на выявление роли неустойчивости центрального вихря в развитии трёхмерных автоколебательных процессов в расплаве при выращивании кристаллов по методу Чохральского. Рассматриваемая цилиндрическая ёмкость показана на рис. 1в, для создания типичной для моделей систем метода Чохральского меридиональной циркуляции боковая стенка приводится в движение вертикально вверх с по-

Рис. 5. Модельная задача во вращающейся цилиндрической ёмкости в отсутствие сил плавучести, Re = 2400, Ro = 10, Res = 540: моментальные распределения векторов скорости (а) и вертикальной скорости (б) в сечении z = 0,5; моментальное распределение векторов скорости (в) в вертикальном сечении А-А; эволюция вертикальной скорости в точке г = 0, z = 0,53 (г) и соответствующий энергетический спектр (д).

стоянной скоростью Расчёты на сетке 41472 ячеек с шагом Дг ~ 0,125 проводились при следующих значениях определяющих параметров: А=1-2, (5 = 0,5-1, Яе = = 800 - 2400, Ко= 10-20, 1^ = 360-760. Выявлено, что потеря устой-

чивости, ведущая к возникновению квазипериодических и стохастических режимов течения, в рассматриваемых случаях чисто гидродинамических течений наступает сравнительно рано. Появление сильных трёхмерных пульсаций скорости, характеризующихся несколькими ведущими частотами, происходит при достижении числом Ке значений порядка 103. Трансформация квазипериодического течения в полностью хаотическое наблюдается при значениях Кс, не превышающих нескольких тысяч. На рис. 5 представлены результаты, относящиеся к хаотическому режиму течения, Ие = 2400. Видно, что в окрестности оси вращения формируется сильно закрученный нисходящий поток (рис. 5а - 5в). Возникающие сильные колебания характеризуются периодом из диапазона 2-10 временных единиц (рис. 5г). Одновременно с преобладанием высоких частот на кривой эволюции вертикальной скорости (рис. 5г) заметна низкочастотная модуляция, период Т » 200. Важным свойством описываемых нестационарных течений является тот факт, что они являются существенно трёхмерными.

В пятой главе рассматривается конвекция во вращающихся емкостях, усложнённая форма которых типична для тиглей систем метода Чохральского.

Раздел 5.1 посвящен выявлению условий бифуркации осесимметричного стационарного течения в трёхмерное стационарное в невращающемся тигле чечевицеобраз-ной формы с расположенным на поверхности плоским диском (А = 1,5, (3 = 0,5). При Яа = 300 точность осесимметричного решения, рассчитанного в изначально трёхмерной постановке на сетке, аналогичной приведённой на рис. 6, тестировалась путём сравнения с эталонным решением, полученным в осесимметричной постановке. В диапазоне чисел Релея Яа « 10'5-4,8х103, проявляются трёхмерные эффекты при сохранении стационарного характера течения, на основную меридиональную циркуляцию накладывается вторичное течение в виде двух трёхмерных структур. При значениях числа Релея, превышающих 4,8х 10" стационарное решение получить не удалось.

В разделе 5.2 содержатся результаты параметрических расчётов трёхмерной нестационарной конвекции во вращающемся тигле с размещённым на поверхности про-тивовращающимся центральным телом, моделирующим кристалл с близкой к реальной формой интерфейса кристалл/расплав (см. рис. 6). Структуру течения при изме-

11

Кристалл: Т = Т, V = -(Я, + Пс)г

Тигель: Т = ДБ); V = 0

Рис. 6. Геометрия ёмкости и трёхблочная Рис. 7. Моментальные распределения скоро-расчётная сетка размерностью 35712 ячеек, сти в вертикальном сечении: Яа = 5,9х103 (а)

и Ла = 6,6х 104 (б); Яо = 1,38; Рг = 0,015.

нении числа Релея на порядок иллюстрирует рис. 7: течение разделяется на две подобласти - подкрисгальную область, характеризующуюся интенсивным движением непосредственно под центральным телом и нисходящим центральным вихрём, и периферийную область, где течение сильно подавлено вращением. Рис. 8а, 9а и 9г свидетельствуют, что течение при Яа= 6,6х104 следует отнести к хаотическому режиму. Вообще, во всём рассмотренном диапазоне чисел Релея (11а= 1,5x10° - 6,6х104) были получены квазипериодические и стохастические режимы конвекции. Скорее всего, причиной столь раннего возникновения колебаний расплава во вращающемся тигле является проявление неустойчивости закрученного центрального вихря чисто гидродинамической природы, рассмотренноина модельной задаче в разделе~43^

При Ла = 6,6x104 было исследовано влияние вращения кристалла и тигля на кон-

Рис. 8. Моментальные распределения вертикальной скорости в горизонтальном сечении z = 0,64 для Ra = 6,6х 104, Рг = 0,015: (а) - Ro - 1,38, Res = 1732; (б) - Ro = 1,38, кристалл неподвижен; (в) - Ro = 6,67, Res = 1732.

120 160 200 240 безразмерное время h............... ......... а с 1г

120 160 200 240 безразмерное время

0.05 L 80

120 160 200 240 безразмерное время

0.01 0.1 1

безразмерная частота

0.01 0.1 1 безразмерная частота

0.01 0.1 !

безразмерная частота

Рис. 9. Колебания температуры в точке г = 0,1, г ~ 0,9 и соответствующие энергетические спектры для Ra = 6,6х104, Рг = 0,015: (а, г) - Ro = 1,38, Res = 1732; (б, д)- Ro = 1,38, кристалл неподвижен; (в, е) - Ro = 6,67, Res = 1732.

векцию и тепловое состояние расплава. В случае с остановленным кристаллом распределение вертикатьной скорости (рис. 86), кривая колебаний температуры (рис. 96) и соответствующий спектр (рис. 9д) свидетельствуют о большей упорядоченности течения. Напротив, увеличение числа Россби (ослабление вращения) оказывает дестабилизирующее воздействие на расплав: имеет место резкая интенсификация движения (см. рис. 8в), эволюция температуры (рис. 9в) и энергетический спектр (рис. 9е) подчёркивают сугубо хаотический характер конвекции.

Проведённый анализ осреднённых характеристик позволяет сделать вывод о том, что для рассмотренных режимов конвекции трёхмерный характер течения расплава оказывает существенное влияние на осреднённые поля. На рис. 10 показаны осред-нённые распределения скорости и температуры в вертикальном сечении для Ra = 6,6x104, полученные в трёхмерной постановке. Сопоставление осреднённого поля скорости (рис. 10а) с моментальным (рис. 76) показывает, что значения осреднённых скоростей существенно меньше актуальных как в подкристальной области, так и

1.75 <Nu> 1.70

1.65

Рис. 10. Осреднённые поля скорости (а) и температуры (б), рассчитанные в трёхмерной

постановке; Рг = 0,015, Ra = 6,6x104, Ro = 1,38, Res = 1732; осреднение проводилось за 50 временных единиц.

1.55

Рис. 11. Осреднённое за период поле температуры, рассчитанное в осесимметричной постановке.

: <Nu>ri 1.70 К

а)

220 230 240 250 260 150 160 170 180 190 200 безразмерное время безразмерное время

Рис. 12. Эволюция средней теплоотдачи через интерфейс кристалл/расплав для Рг = 0,015, Ra = 6,6х 104, Res = 1732: (a)-Ro = 1,38, (б) - Ro = 6,67.

на периферии течения. Распределение осреднённой температуры (рис. 106) иллюстрирует сильное выравнивание температуры в подкристальной области, изотермы практически горизонтальны. Это свидетельствует об относительной однородности подводимого к интерфейсу кристалл/расплав теплового потока. В то же время на ос-реднённом поле температуры, полученном в осесимметричной постановке (рис. 11), изотермы имеют выраженный провал в подкристальной области.

Принципиально важной характеристикой, позволяющей непосредственно судить о качестве получаемого кристалла, является тепловой поток, подводимый к интерфейсу кристалл/расплав. Степень изменения во времени среднего теплового потока через интерфейс <Nu> весьма существенна, особенно для случая слабого вращения тигля (рис 126), пульсации <Nu> при Ro ■= 6,67 составляют 5-7 %. В случае Ro = 1,38 (рис 12а) имеет место выраженная низкочастотная составляющая изменений среднего теплового потока. Таким образом, трехмерные пульсации температуры оказывают сильное влияние на величину теплового потока, подводимого к интерфейсу кристалл/расплав. Следует предположить, что сильно меняющийся во времени подводимый к интерфейсу тепловой поток создаёт условия для появления флуктуации скорости роста кристалла, что может приводить к неоднородностям его свойств.

В заключении кратко сформулированы основные результаты, полученные в ходе

выполнения диссертационной работы, которые состоят в следующем:

1) Разработан и реализован метод численного моделирования квазипериодических и стохастических режимов конвекции в областях сложной геометрии; проведённое тестирование алгоритма показало хорошее согласие результатов с экспериментальными и расчётными данными других авторов.

2) Накоплена ценная методическая информация по проведению расчётов трёхмерных автоколебательных режимов, включая условия слабой и сильной надкритичности.

3) Получены подробные данные о полях скорости и температуры для условий, при которых во вращающихся кольцевых или цилиндрических емкостях возникают структуры, обусловленные бароклинной неустойчивостью; воспроизведены наблюдавшиеся в экспериментах режимы регулярных волн для малых и больших чисел Прандтля и режимы негеострофической турбулентности для малых чисел Прандтля; выявленные свойства конвекции во вращающихся емкостях могут способствовать более рациональным постановкам последующих опытов.

4) Поставлена и исследована модельная задача изотермического течения во вращающейся ёмкости с примыкающим противовращаюшимся центральным диском, направленная на выявление роли неустойчивости центрального вихря в развитии трёхмерных автоколебательных процессов в установках метода Чохральского; проведённые вычисления показали, что эта роль может быть определяющей и в режимах тепловой конвекции.

5) Для неподвижной ёмкости, усложнённая форма которой типична для тиглей, использующихся при выращивании кристаллов по методу Чохральского, выявлены условия бифуркации осесимметричного стационарного течения в трёхмерное стационарное.

6) Проведены параметрические расчёты трёхмерных квазипериодических и стохастических режимов конвекции во вращающейся ёмкости с геометрией, типичной для тиглей в процессе Чохральского; получен обширный набор данных об эволюции структуры конвекции при изменении определяющих параметров и спектральном составе пульсаций.

7) Установлено, что превышение критического числа Релея на порядок приводит к развитию интенсивных крупномасштабных трёхмерных пульсаций в центральной

(подкристальной) области, при этом противовращение кристалла дестабилизирует течение расплава, а увеличение скорости вращения тигля, напротив, оказывает стабилизирующее влияние.

8) Проведён анализ осреднённых характеристик течения; показано, что значения ос-реднённых скоростей существенно меньше актуальных как в подкристальной области, так и на периферии течения.

9) Выявлено, что трёхмерные пульсации приводят к сильным изменениям во времени локального и среднего теплового потока, подводимого к интерфейсу кристалл/расплав.

10)Показано, что трёхмерность течения существенно изменяет статистически осе-симметричные поля скорости и температуры по сравнению с полученными в изна-

■ чально осесимметричной постановке; трёхмерные пульсации в сильной мере уменьшают радиальную неоднородность подводимого в среднем к интерфейсу теплового потока по сравнению с результатами решения осесимметричной задачи.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах:

1) Иванов Н.Г. Численное моделирование трёхмерной нестационарной смешанной конвекции во вращающейся кольцевой полости // Третья Санкт-Петербургская Ассамблея молодых учёных и специалистов. Тезисы докладов. - СПб, 1998. -С.56-57.

2) Иванов Н.Г., Рулинский Э.А. Чишенное-молелирование^ямииярной-^вг^пцнгм-конвскции в областях сложной геометрии при малых числах Прандтля // Вестник молодых ученых, серия технические науки. - 1998. - №1. - С.40-46.

3) Иванов Н.Г., Смирнов Е.М. Вычислительные аспекты задач моделирования ба-роклинных волн, развивающихся во вращающейся кольцевой полости // Тезисы докладов научно-технической конф. "Проблемы мореходных качеств судов и корабельной гидромеханики" (XXXIX Крыловские чтения 1999г.). - СПб, 1999. - С. 179-180.

4) Иванов Н.Г., Смирнов Е.М. Численное моделирование развития автоколебаний расплава в установках метода Чохральского // Четвёртая Санкт-Петербургская Ассамблея молодых ученых и специалистов. Тезисы докладов. - СПб, 1999. - С.42.

5) Goriatchev V., Ivanov N., Smimov E. Postcomputational visualization of baroclinic wave drift / In: Proc. 3rd Int. Conf. on Flow Interaction of Science and Art, Zürich, Switzerland, 2000. P.211-216.

Оглавление.

Основные обозначения.

Введение.

1. Обзор литературы по изучаемой проблеме.

1.1. Выращивание полупроводниковых кристаллов из расплава по методу Чохральского: введение в проблему.

1.2. Пространственный характер конвекции расплава при выращивании кристаллов по методу Чохральского.

1.2.1. Экспериментальные данные.

1.2.2. Результаты численного моделирования.

1.3. Основные механизмы неустойчивости при конвекции расплава.

1.3.1. Неустойчивость подогреваемого снизу вращающегося слоя.

1.3.2. Проявление бароклинной неустойчивости.

1.4. Выводы.

2. Математическая модель и численный метод.

2.1. Определяющие уравнения.

2.2. Численный метод и его реализация.

2.2.1. Общая характеристика численного метода.

2.2.2. Преобразование координат.

2.2.3. Геометрия ячеек.

2.2.4. Дискретизация определяющих уравнений.

2.2.4.1. Дискретизация по времени и расчёт поправок.

2.2.4.2. Пространственная дискретизация и расчёт невязок.

2.2.5 Использование блочно-структурированных сеток.

3. Методические расчёты.

3.1. Конвекция в квадратной полости.

3.1.1. Предварительные замечания.

3.1.2. Постановка задачи.

3.1.3. Стационарная конвекция при Рг = 0,71.

3.1.4. Нестационарная конвекция при Рг = 0,71.

3.1.5. Стационарная конвекция при Рг = 0,

3.1.6. Нестационарная конвекция при Рг = 0,

3.2. Конвекция в кубической полости.

3.2.1. Предварительные замечания.

3.2.2. Постановка задачи.

3.2.2. Результаты расчётов конвекции при Рг = 0,71.

3.3. Конвекция в модельной установке метода Чохральского.

3.3.1. Предварительные замечания и постановка задачи.

3.3.2. Нестационарная конвекция при малой надкритичности.

4. Конвекция в емкостях упрощённой геометрии.

4.1. Проявление бароклинной неустойчивости во вращающихся кольцевых полостях.

4.1.1. Сопоставление с экспериментами.

4.1.1.1. Постановка задачи.

4.1.1.2. Регулярные волны в воде.

4.1.1.3. Негеострофическая турбулентность при течении ртути.

4.1.2. Конвекция расплава кремния.

4.1.2.1. Постановка задачи.

4.1.2.2. Негеострофическая турбулентность в расплаве кремния.

4.2. Проявление бароклинной неустойчивости во вращающейся цилиндрической ёмкости.

4.2.1. Предварительные замечания и постановка задачи.

4.2.2. Развитие регулярной волновой структуры.

4.3. Неустойчивость центрального вихря во вращающихся цилиндрических емкостях: модельная задача в отсутствие сил плавучести.

4.3.1. Предварительные замечания и постановка задачи.

4.3.2. Развитие неустойчивости центрального вихря: квазипериодический и стохастический режимы.

5. Конвекция в емкостях с геометрией, типичной для тиглей метода Чохральского.

5.1. Бифуркация осесимметричного стационарного течения в трёхмерное.

5.1.1. Предварительные замечания и постановка задачи.

5.1.2. Возникновение стационарных трёхмерных структур.

5.2. Трёхмерная конвекция в переходном режиме.

5.2.1. Постановка и вычислительные аспекты задачи.

5.2.2. Изменение характера течения с ростом числа Релея.

5.2.3. Влияние вращения ёмкости и центрального тела на конвекцию расплава.

5.2.4. Осреднённые поля и их сравнение с осесимметричным решением.

5.2.5. Теплоотдача на интерфейсе кристалл/расплав.

Современный уровень развития полупроводниковой электроники во многом связан с новейшими достижениями в технологии получения электронных материалов. Монокристаллы больших размеров выращивают из расплава, при этом основным методом их получения является метод Чохральского, основу которого составляет процесс кристаллизации полупроводника на охлаждаемой затравке, расположенной на свободной поверхности расплава, помещённого в подогреваемый тигель.

Полученные кристаллы применяются в производстве интегральных схем, размеры которых непрерывно растут, при этом идёт процесс резкого увеличения числа элементов на одной пластине. Из этого проистекает необходимость сокращения числа дефектов и повышения однородности кристаллов при одновременном увеличении их размеров. Гидродинамика и тепломассообмен в жидкой фазе (расплаве) практически полностью определяют свойства получаемых кристаллов, в том числе и в отношении количества дефектов.

Течение расплава при совместном действии ряда факторов, в первую очередь, плавучести в поле силы тяжести из-за перепада температур между поверхностями тигля и кристалла, вращения тигля и вращения кристалла, характеризуется многообразием взаимосвязанных явлений, полное представление о которых можно получить при последовательном моделировании каждого из физических эффектов. Имеющийся на сегодняшний день объём сведений, в том числе фундаментального характера, о свойствах режимов течения полупроводниковых расплавов, характеризующихся малыми значениями числа Прандтля, крайне недостаточен.

Чрезвычайно важным представляется получение детальных знаний о трёхмерной нестационарной конвекции в емкостях, вращающихся вокруг вертикальной оси, в приложении к оптимизации метода выращивания кристаллов полупроводников из расплава (метода Чохральского). Прямое численное моделирование трёхмерной нестационарной конвекции на сегодняшний день является наиболее перспективным инструментом при исследовании движения расплава. Его применение позволит существенно дополнить имеющийся скудный объём экспериментальной информации по существующим устройствам, а в последующем в существенной степени заменить дорогостоящие экспериментальные исследования при отработке новых установок.

Исходя из этих соображений, определены основные цели работы. Диссертационная работа направлена на

1) разработку и реализацию метода численного моделирования трёхмерных квазипериодических и стохастических режимов конвекции в областях сложной геометрии;

2) численное моделирование конвекции в моделях тигля метода Чохральского (рассматриваются цилиндрические и кольцевые ёмкости) и описание проявляющихся в них бароклинной неустойчивости и неустойчивости центрального вихря;

3) прямое численное моделирование конвекции в емкостях с геометрией, типичной для тиглей метода Чохральского, при типичных же тепловых граничных условиях, вплоть до чисел Релея порядка 105, а также на выявление условий бифуркации осесимметричного стационарного течения в трёхмерное стационарное и условий перехода к стохастическому характеру течения.

Первая глава диссертации посвящена обзору работ по экспериментальным исследованиям и численному моделированию конвекции расплава. Отражены основные результаты экспериментального моделирования конвекции как в реальных установках метода Чохральского, так и в моделях тигля упрощённой геометрии, в том числе с использованием модельных жидкостей. На основании имеющихся данных сделан вывод о том, что в условиях, характерных для промышлен-но применяемых в настоящее время устройств выращивания кристаллов по методу Чохральского, течение носит сугубо трёхмерный характер. Доступная к настоящему времени экспериментальная информация как по существующим устройствам, так и по моделям, не позволяет получить полное представление о гидродинамике и теплообмене в расплаве. Проанализированы предпосылки к применению прямого численного моделирования трёхмерной нестационарной конвекции расплава. Сопоставлены имеющиеся на сегодняшний день в литературе результаты расчётов в трёхмерной постановке.

Во второй главе рассматриваются математическая модель и численный метод, на основе которых были проведены расчёты конвекции. Течение расплава описывается системой трёхмерных нестационарных уравнений Навье-Стокса в совокупности с уравнением энергии. Для учёта сил плавучести в поле силы тяжести и центробежной силы используется приближение Буссинеска. При проведении расчётов использовалась новая версия разработанного на кафедре гидроаэродинамики СПбГТУ программного комплекса SINF-2, которая позволяет проводить расчёты стационарных и нестационарных течений несжимаемой жидкости или газа, развивающихся в общем случае в областях сложной геометрии. Используются многоблочные структурированные неравномерные сетки, согласованные с границами области течения. Для получения нестационарных решений реализованы схемы как первого, так и второго порядка. При этом на каждом шаге по физическому времени итерации осуществляются по методу искусственной сжимаемости. Для расчёта конвективных слагаемых применяется схема QUICK, а при дискретизации дифференциальных операторов, отражающих действие вязкости, применяется центральная разностная схема второго порядка.

В третьей главе описаны проведённые методические и тестовые расчёты. С целью отработки методик расчёта нестационарных течений с использованием реализованного метода численного моделирования квазипериодических и стохастических режимов конвекции рассмотрено возникновение автоколебательных режимов в квадратных полостях с разнонагретыми стенками как при умеренных, так и при малых числах Прандтля. Для оценки требуемой размерности сеток при проведении трёхмерных расчётов естественной конвекции выполнено моделирование стационарной ламинарной конвекции в кубической полости с двумя боковыми стенками, поддерживаемыми при различных температурах. Рассмотрено также развитие автоколебательного режима конвекция при малой надкритично-сти в неподвижной цилиндрической модели тигля метода Чохральского с примыкающим неподвижным диском. Для указанных задач выполнено сопоставление с экспериментальными и расчётными данными других авторов.

Четвёртая глава посвящена численному моделированию конвекции в моделях тигля метода Чохральского (рассматриваются кольцевые и цилиндрические мкости) и описанию проявляющихся в них бароклинной неустойчивости и неустойчивости центрального вихря. Получены данные о полях скорости и температуры для условий, при которых во вращающихся емкостях возникают структуры, обусловленные бароклинной неустойчивостью; воспроизведены наблюдавшиеся в экспериментах режимы регулярных волн для больших чисел Прандтля и режимы негеострофической турбулентности для малых чисел Прандтля. Выявленные свойства конвекции во вращающихся емкостях и полученные подробные данные по полям скорости и температуры являются важным дополнением к весьма скудной экспериментальной информации по локальным характеристикам и будут способствовать более рациональным постановкам последующих опытов. Также в четвёртой главе поставлена и исследована модельная задача изотермического течения во вращающейся ёмкости с примыкающим противовращающимся центральным диском, направленная на выявление роли неустойчивости центрального вихря в развитии трёхмерных автоколебательных процессов в установках метода Чохральского. Проведённые вычисления показали, что эта роль может быть определяющей и в режимах тепловой конвекции.

В пятой главе рассматривается конвекция во вращающихся емкостях, усложнённая форма которых типична для тиглей систем метода Чохральского. Выявлены условия бифуркации осесимметричного стационарного течения в трёхмерное стационарное течение при умеренных числах Релея в невращающемся тигле. Проведены параметрические расчёты трёхмерных квазипериодических и стохастических режимов конвекции во вращающемся тигле в условиях противо-вращения кристалла. Получен обширный набор данных об эволюции структуры течения при изменении определяющих параметров и спектральном составе пульсаций.

В заключительных выводах представлены основные результаты и рекомендации, полученные в работе.

Основные выводы по диссертационной работе сводятся к следующему:

1) разработан и реализован метод численного моделирования квазипериодических и стохастических режимов конвекции в областях сложной геометрии; проведённое тестирование алгоритма показало хорошее согласие результатов с экспериментальными и расчётными данными других авторов;

2) накоплена ценная методическая информация по проведению расчётов трёхмерных автоколебательных режимов, включая условия слабой и сильной над-критичности;

3) получены подробные данные о полях скорости и температуры для условий, при которых во вращающихся кольцевых или цилиндрических емкостях возникают структуры, обусловленные бароклинной неустойчивостью; воспроизведены наблюдавшиеся в экспериментах режимы регулярных волн для малых и больших чисел Прандтля и режимы негеострофической турбулентности для малых чисел Прандтля; выявленные свойства конвекции во вращающихся емкостях могут способствовать более рациональным постановкам последующих опытов;

4) поставлена и исследована модельная задача изотермического течения во вращающейся ёмкости с примыкающим противовращающимся центральным диском, направленная на выявление роли неустойчивости центрального вихря в развитии трёхмерных автоколебательных процессов в установках метода Чох-ральского; проведённые вычисления показали, что эта роль может быть определяющей и в режимах тепловой конвекции;

5) для неподвижной ёмкости, усложнённая форма которой типична для тиглей, использующихся при выращивании кристаллов по методу Чохральского, выявлены условия бифуркации осесимметричного стационарного течения в трёхмерное стационарное;

6) проведены параметрические расчеты трёхмерных квазипериодических и стохастических режимов конвекции во вращающейся ёмкости с геометрией, типичной для тиглей в процессе Чохральского; получен обширный набор данных об эволюции структуры конвекции при изменении определяющих параметров и спектральном составе пульсаций;

7) установлено, что превышение критического числа Релея на порядок приводит к развитию интенсивных крупномасштабных трёхмерных пульсаций в центральной (подкристальной) области, при этом противовращение кристалла дестабилизирует течение расплава, а увеличение скорости вращения тигля, напротив, оказывает стабилизирующее влияние;

8) проведён анализ осреднённых характеристик течения; показано, что значения осреднённых скоростей существенно меньше актуальных как в подкристальной области, так и на периферии течения;

9) выявлено, что трёхмерные пульсации приводят к сильным изменениям во времени локального и среднего теплового потока, подводимого к интерфейсу кристалл/рас плав;

10)показано, что трёхмерность течения существенно изменяет статистически осе-симметричные поля скорости и температуры по сравнению с полученными в изначально осесимметричной постановке; трёхмерные пульсации в сильной мере выравнивают радиальную неодородность подводимого в среднем к интерфейсу теплового потока по сравнению с результатами решения осесимметричной задачи.

Заключение

1. Артемьев В.К., Гинкин В.П. Численное моделирование трёхмерной естественной конвекции / Труды Второй Российской национальной конференции по теплообмену, М., Изд-во МЭИ, 1998. Т.З. С.38-40.

2. Буссе Ф.Г. Переход к турбулентности в конвекции Релея-Бенара / В сб.: Гидродинамические неустойчивости и переход к турбулентности под ред. Х.Суинни, Дж.Голлаба. М.: Мир, 1984. - С.124-168.

3. Верезуб H.A., Леденев А.К., Мяльдун А.З., Полежаев В.И., Простомоло-тов А.И. Физическое моделирование конвективных процессов при выращивании кристаллов методом Чохральского // Кристаллография. 1999. - Том 44, №6. -С.1125-1131.

4. Владимирова H.H., Кузнецов Б.Г., Яненко H.H. Численный расчет симметричного обтекания пластинки плоским потоком вязкой несжимаемой жидкости /В сб.: Некоторые вопросы вычислительной и прикладной математики. Новосибирск, 1966. С. 186-192.

5. Гельфгат А.Ю., Мартузан Б.Я. Колебательные конвективные течения в прямоугольной области при подогреве сбоку / В сб.: Процессы переноса в вынужденных и свободноконвективных течениях. Новосибирск: ИТ СО АН СССР, 1987.-С.108-115.

6. Гершуни Г.З., Жуховицкий Е.М. Конвективная устойчивость несжимаемой жидкости. М.: Наука, 1972. - 392 с.

7. Гидромеханика и тепломассообмен при получении материалов. М.: Наука, 1990.-296 с.

8. Елизарова Т.Г., Калачинская И.С., Ключникова A.B., Шеретов Ю.В. Использование квазигидродинамических уравнений для моделирования тепловой конвекции при малых числах Прандтля // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1998. -Т.38, №10.-С.1732-1742.

9. Иванов Н.Г. Численное моделирование трёхмерной нестационарной смешанной конвекции во вращающейся кольцевой полости // Третья Санкт-Петербургская Ассамблея молодых ученых и специалистов. Тезисы докладов. -СПб, 1998. С.56-57.

10. Иванов Н.Г., Рудинский Э.А. Численное моделирование ламинарной свободной конвекции в областях сложной геометрии при малых числах Прандтля // Вестник молодых ученых, серия технические науки. 1998. - №1. - С.40-46.

11. Иванов Н.Г., Смирнов Е.М. Численное моделирование развития автоколебаний расплава в установках метода Чохральского // Четвёртая Санкт-Петербургская Ассамблея молодых ученых и специалистов. Тезисы докладов. -СПб, 1999.-С.42.

12. Кириллов А.И., Рис В.В., Смирнов Е.М. Численное моделирование турбулентного течения и теплообмена в трубе с ленточным завихрителем / Труды

13. Второй Российской национальной конференции по теплообмену, М., Изд-во МЭИ, 1998. Т.6. С.132-136.

14. Колмогоров А.Н. Локальная структура турбулентности в несжимаемой жидкости при очень больших числах Рейнольдса // Докл. АН СССР. 1941. - Том 30, №4. - С.299-303.

15. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Гидродинамика. М.: Наука, 1986. - 736 с.

16. Махнова Г.В., Рис В.В., Смирнов Е.М. Двумерная ламинарная свободная конвекция в полости, имеющей форму квадрата со скругленными углами / Труды Второй Российской национальной конференции по теплообмену, М., Изд-во МЭИ, 1998. Т.З. С.100-103.

17. Мильвидский М.Г. Полупроводниковые материалы в современной электронике. М.: Наука, 1986. - 144 с.

18. Монин A.C. Теоретические основы геофизической гидродинамики. Л.: Гидрометеоиздат, 1988. -424 с.

19. Мюллер Г. Выращивание кристаллов из расплава. Конвекция и неоднородности.: Пер. с англ. -М.: Мир, 1991. 143 с.

20. Никитин Н.В., Полежаев В.И. Трёхмерная конвективная неустойчивость и колебания температуры при выращивании кристаллов по методу Чох-ральского // Известия РАН. МЖГ. 1999. -№3. - С.26-39.

21. Никитин Н.В., Полежаев В.И. Трёхмерные эффекты переходных и турбулентных режимов тепловой гравитационной конвекции в методе Чохральского // Известия РАН. МЖГ. 1999. - №6. - С.81 -90.

22. Патанкар С. Численные методы решения задач теплообмена и динамики жидкости. -М.: Энергоатомиздат, 1984. 152 с.

23. Педлоски Дж. Геофизическая гидродинамика: В 2-х т.: Т.2.: Пер. с англ. -М.: Мир, 1984.-416 с.

24. Пейре Р., Тейлор Т.Д. Вычислительные методы в задачах механики жидкости: Пер. с англ. Л.: Гидрометеоиздат, 1986. - 351 с.

25. Полежаев В.И. Гидромеханика, тепло- и массообмен при росте кристаллов / В кн.: Итоги науки и техники. Сер. Механика жидкости и газа. М.: ВИНИТИ, 1984. -Т.18.- С. 198-269.

26. Полежаев В.И. Математическое моделирование процессов гидромеханики и тепломассообмена при выращивании кристаллов и разделении веществ / В кн.: Гидромеханика и тепломассообмен при получении материалов. М.: Наука, 1990.-С.8-26.

27. Полежаев В.И., Бессонов O.A., Никитин С.А. Структура и устойчивость трёхмерных конвективных течений / Труды Второй Российской национальной конференции по теплообмену, М., Изд-во МЭИ, 1998. Т.З. С. 120-123.

28. Простомолотов А.И. Исследование гидродинамических процессов в условиях возможных управляющих воздействий при выращивании кристаллов методом Чохральского / В кн.: Гидромеханика и тепломассообмен при получении материалов. М.: Наука, 1990. - С.56-68.

29. Рис В.В., Смирнов Е.М. Смешанная конвекция парогазовой смеси в подкупольном пространстве контейнмента / Труды Второй Российской национальной конференции по теплообмену, М., Изд-во МЭИ, 1998. Т.З. С.128-131.

30. Свободноконвективные течения, тепло- и массообмен: В 2-х книгах: Кн.2.: Пер. с англ. -М.: Мир, 1991.- 528 с.

31. Смирнов Е.М. Локальное нарушение двухвихревой структуры вторичного течения во вращающемся канале при малых и больших входных неравно-мерностях // Известия РАН. МЖГ. 1999. - №3. - С.40-48.

32. Тернер Дж. Эффекты плавучести в жидкости.: Пер. с англ. М.: Мир, 1977.-432 с.

33. Триттон Д.Дж., Дэвис П.А. Неустойчивости в геофизической гидродинамике /В сб.: Гидродинамические неустойчивости и переход к турбулентности под ред. Х.Суинни, Дж.Голлаба. М.: Мир, 1984. - С.271-316.

34. Флетчер К. Вычислительные методы в динамике жидкостей: В 2-х т.: Т.1.: Пер. с англ. М.: Мир, 1991.-502 с.

35. Флетчер К. Вычислительные методы в динамике жидкостей: В 2-х т.: Т.2.: Пер. с англ. М.: Мир, 1991. - 552 с.

36. Чумаков И.Ю. Использование различных условий для давления на выходной границе при расчете сложных внутренних течений на совмещённых сетках // Вестник молодых ученых. Серия прикладная математика и механика. -1997. -№1. С.48-54.

37. Шашков Ю.М. Выращивание монокристаллов методом вытягивания. -М.: Металлургия, 1982. 312 с.

38. Afrid M., Zebib A. Oscillatory three-dimensional convection in rectangular cavities and enclosures //Physics of Fluids A. 1990. - Vol. 2, №8. - P. 1318-1327.

39. Barakos G., Mitsoulis E., Assimacopoulos D. Natural convection flow in a square cavity revisited: laminar and turbulent models with wall functions // Int. J. Nu-mer. Meth. in Fluids. 1994. - Vol. 18. - P.695-719.

40. Baranov G.A., Zaitsev D.K., Smirnov E.M., Smirnov S.A. Gasdynamic structure of flow in self-sustained glowing discharge // Plasma Devices and Operation. 1998.-Vol.5.-P.239-264.

41. Basu B., Enger S., Breuer M., Durst F. Three-dimensional simulation of flow and thermal field in a Czochralski melt using a block-structured finite-volume method // J. Crystal Growth. 2000. - Vol. 219. - P. 123-143.

42. Beam R.M., Warming R.F. An implicit factorized scheme for the compressible Navier-Stokes equations // AIAA Journal. 1978. - Vol. 16. - P.393-402.

43. Ben Hadid H., Roux B. Buoyancy and thermocapilllary-driven flows in a shallow cavity: unsteady flow regimes // J. Crystal Growth. 1989. - Vol. 97. - P.217-225.

44. Ben Hadid H., Roux B. Buoyancy and thermocapilllary-driven flows in differentially heated cavities for low-Prandtl-number fluids // J. Fluid Mech. 1992. -Vol. 235. - P.1-36.

45. Bergman T.L., Ball K.S. Transition to oscillatory natural convection in low Pr liquids subject to a horizontal temperature gradient / In: Heat Transfer 1994 / Proc. 10th Int. Heat Transfer Conf. Brighton UK, 1994. Vol.7. P.7-12.

46. Bottaro A., Zebib A. Three-dimensional thermal convection in Czochralski melt // J. Crystal Growth. 1989. - Vol. 97. - P.50-58.

47. Bückle U., Schäfer M. Benchmark results for the numerical simulation of flow in Czochralski crystal growth // J. Crystal Growth. 1993. - Vol. 126. - P.682-694.

48. Buell J.C., Catton I. The effect of wall conduction on the stability of fluid in a right circular cilinder heated from below // Trans. ASME C J. Heat Transfer. 1983. -Vol. 105. - P.255-260.

49. Cabuk H., Sung C.-H., Modi V. Explicit Runge-Kutta method for three-dimensional internal incompressible flows // AIAA Journal. 1992. - Vol. 30. -P.2094-2031.

50. Cioni S., Ciliberto S., Sommeria J. Strongly turbulent Rayleigh-Benard convection in mercury: comparison with results at moderate Prandtl number // J. Fluid Mech. 1997. -Vol. 335.-P.lll-140.

51. Chandrasekhar S. Hydrodynamic and hydromagnetic stability. Oxford University Press, 1961.

52. Chen K.H. A diagonally-dominant coupled strongly implicit procedure for 3D viscous flows / In: Proc. First Asian CFD Conference, Hong Kong, January 16-19, 1995. P.325-333.

53. Chorin A.J. A numerical method for solving incompressible viscous flow problems // J. Comput. Phys. 1967. - Vol. 2. - P. 12-26.

54. De Vahl Davis G. Natural convection of air in a square cavity: a bench-mark numerical solution // Int. J. Num. Meth. Fluids. 1983. - Vol. 3. P.249-264.

55. Dupret F., Van den Bogaert, Assaker R., Regnier V. Mathematical modeling of the growth of large diameter Czochralski silicon crystals considering melt dynamics //Electrochem. Soc. Proc. 1998.-Vol. 98-1.-P.396-410.

56. Eady E.A. Long waves and cyclone waves // Tellus. 1949. - Vol. 1. - P.3352.

57. Esposito P.G., Behnia M. Transition to unsteadiness in threedimensional lowtVi

58. Prandtl natural convection / In: Heat Transfer 1994 / Proc. 10 Int. Heat Transfer Conf. Brighton UK, 1994. Vol.7. P.43-48.

59. Fein J.S. An experimental study of the effects of the upper boundary condition on the thermal convection in a rotating, differentially heated cylindrical annulus of water//Geophysical Fluid Dynamics. 1973. - Vol. 5. - P.213-248.

60. Fein J.S., Pfeffer R.L. An experimental study of the effects of Prandtl number on thermal convection in a rotating, differentially heated cylindrical annulus of fluid //J. Fluid. Mech. 1976. - Vol 75. -P.81-112.

61. Fowlis W.W., Hide R. Thermal convection in a rotating annulus of liquid: effect of viscosity on the transition between axisymmetric and non-axisymmetric flow regimes // J. Atmos. Sei. 1965. - Vol. 22. - P.541-559.

62. Fusegi T., Hyun J.M., Kuwahara K., Farouk B. A numerical study of three-dimensional natural convection in a differentially heated cubical enclosure // Int. J. Heat Mass Transfer. 1991.-Vol. 34, №6. - P. 1543-1557.

63. Gelfgat A.Yu., Bar-Yoseph P.Z., Yarin A.L. On oscillatory instability of convective flows at low Prandtl number // Trans. ASME J. Fluids Engineering. 1997. -Vol. 119. - P.823-830.

64. Gelfgat A.Yu., Tanasawa I. Numerical analysis of oscillatory instability of buoyancy convection with the Galerkin spectral method // Numerical Heat Transfer, part A. 1994. - Vol. 25. - P.627-648.

65. Goldstein H.F., Knobloch E., Mercader I., Net M. Convection in a rotating cylinder. Part 1. Linear theory for moderate Prandtl numbers // J. Fluid Mech. 1993. -Vol. 248. - P.583-604.

66. Goldstein H.F., Knobloch E., Mercader I., Net M. Convection in a rotating cylinder. Part 2. Linear theory for small Prandtl numbers // J. Fluid Mech. 1994. -Vol. 262. -P.293-324.

67. Goriatchev V., Ivanov N., Smirnov E. Postcomputational visualization of baroclinic wave drift / In: Proc. 3rd Int. Conf. on Flow Interaction of Science and Art, Zürich, Switzerland, 2000. P.211-216.

68. Gräbner O., Mühe A., Müller G., Tomzig E., Virbulis J, Ammon W. Analisis of turbulent flow in silicon melts by optical temperature measurement // Material Science and Engineering B. 2000. - Vol. 73. - P.130-133.

69. Henkes R.A.W.M., Van Der Vlugt F.F., Hoogendoorn C.J. Natural-convection flow in a square cavity calculated with low-Reynolds-number turbulence models // Int. J. Heat Mass Transfer. 1991. - Vol. 34, №2. - P.377-387.

70. Heslot F., Castaing B., Libchaber A. Transition to turbulence in helium gas // Phys. Rev. A. 1987. - Vol. 36. - P.5870-5873.

71. Hide R. Some experiments on thermal convection in a rotating liquid // Quart. J. R. Meteorol. Soc. 1953. - Vol. 79 - P. 161.

72. Hide R. On the dynamics of rotating fluids and planetary atmospheres: a summary of some recent work // PAGEOPH. 1983. - Vol. 121. - №3. - P.365-374.

73. Hide R., Mason P.J. Sloping convection in a rotating fluid // Advances in Physics. 1975. - Vol.24, №1. - P.47-100.

74. Hirata H., Hoshikawa K. Three-dimensional numerical analyses of the effect of a cusp magnetic field on the flows, oxygen transport and heat transfer in a Czochralski silicon melt // J. Crystal Growth. 1992. - Vol. 125. - P. 181-207.

75. Hurle D.T.J., Jakeman E., Johnson C.P. Convective temperature oscillations in molten gallium // J. Fluid Mech. 1974. - Vol. 64. - P.565-576.

76. Janssen R.J.A., Henkes R.A.W.M. Influence of Prandtl number on instability mechanisms and transition in a differentially heated square cavity // J. Fluid Mech. -1995. Vol. 290. - P.319-344.

77. Janssen R.J.A, Henkes R.A.W.M., Hoogendoorn C.J. Transition to time-periodicity of a natural convection flow in a 3D differentially heated cavity // Int. J. Heat Mass Transfer. 1993. - Vol. 36. - P.2927-2940.

78. Jing C.J., Imaishi N., Sato T., Miyazawa Y. Three-dimensional numerical simulation of oxide melt flow in Czochralski configuration // J. Crystal Growth. 2000. - Vol. 216. - P.372-388.

79. Jing C.J., Imaishi N., Yasuhiron S., Miyazawa Y. Three-dimensional numerical simulation of spoke pattern in oxide melt // J. Crystal Growth. 1999. - Vol. 200. - P.204-212.

80. Jones A.D.W. Flow in a model Czochralski melt // J. Crystal Growth. -1989.-Vol. 94. P.421-432.

81. Jones C.A., Moore D.R. The stability of axisymmetric convection // Geo-phys. Astrophys. Fluid Dynamics. 1979.-Vol. 11. - P.245-270.

82. Julien K., Legg S., McWilliams J., Werne J. Rapidly rotating turbulent Rayleigh-Benard convection // J. Fluid Mech. 1996. - Vol. 332. - P.243-273.

83. Kakimoto K., Eguchi M., Watanabe H., Hibiya T. Direct observation by X-ray radiography of convection of molten silicon in the Czochralski growth method // J. Crystal Growth. 1988. - Vol. 88. - P.365-370.

84. Kakimoto K., Watanabe H., Eguchi M., Hibiya T. Ordered structure in non-axisymmetric flow of silicon melt convection // J. Crystal Growth. 1993. - Vol. 126. -P.435-440.

85. Kakimoto K., Watanabe H., Eguchi M., Hibiya T. Flow instability of the melt during Czochralski Si crystal growth: dependence on growth conditions; a numerical simulation study //J. Crystal Growth. 1994. - Vol. 139. - P. 197-205.

86. Khodak A.E., Kirillov A.I., Ris V.V., Smirnov E.M. Local heat transfer in 3-D turbulent flow through ducts rotating in the orthogonal mode / In: Heat Transfer 1994 / Proc. 10th Int. Heat Transfer Conf. Brighton UK, 1994. Vol.4. P.261-266.

87. Kinney T.A., Brown, R.A. Application of turbulence modelling to the integrated hydrodynamic thermal-capillary model of Czochralski crystal growth of silicon // J. Crystal Growth. 1993.-Vol. 132.-P.531-574.

88. Kishida Y., Okazawa K. Geostrophic turbulence in CZ silicon crucible // J. Crystal Growth. 1999.-Vol. 198/199. - P.135-140.

89. Kishida Y., Tanaka M., Esaka H. Appearance of a baroclinic wave in Czochralski silicon melt // J. Crystal Growth. 1993. - Vol. 128. - P.75-84.

90. Koai K., Seidl A., Leister H.-J., Muller G., Kohler A. Modelling of thermal fluid flow in the liquid encapsulated Czochralski process and comparison with experiments //J. Crystal Growth. 1994. - Vol. 137. -P.41-47.

91. Kobayashi S. Heat transfer through the melt in a silicon Czochralski process // J. Crystal Growth. 1990. - Vol. 99. - P.692-695.

92. Kobayashi S., Miyahara S., Fujiwara T., Kubo T., Fujiwara, H. Turbulent heat transfer through the melt in silicon Czochralski growth // J. Crystal Growth. -1991.-Vol. 109. -P.149-154.

93. Kordulla W., Vinokur, M. Efficient computation of volume in flow predictions//AIAA Journal. 1983,-Vol. 21.-P.917-918.

94. Krishnamurti R. On the transition to turbulent convection // J. Fluid Mech. 1970. - Vol. 42. - P.295-320.

95. Kiippers G., Lortz D. Transition from laminar convection to thermal turbulence in a rotating fluid layer // J. Fluid Mech. 1969. - Vol. 35. -P.609-620.

96. Kwak D., Chang J.L.S., Shanks S.P., Chakravarthy S.R. A three-dimensional incompressible Navier-Stokes flow solver using primitive variables // AIAA Journal. 1986. - Vol. 24. - P.390-396.

97. Lankhorst A.M., Hoogendoorn C.J. Three-dimensional numerical calculations of high Rayleigh number natural convective flows in enclosed cavities / In: Proc. 1988 Nat. Heat Transfer Conf., ASME HTD-96. Vol.3. P.463-470.

98. Lee Y.-S., Chun Ch.-H. Experiments on the oscillatory convection of low Prandtl number liquid in Czochralski configuration for crystal growth with cusp magnetic field // J. Crystal Growth. 1997. - Vol. 180. - P.477-486.

99. Lee Y.-S., Chun Ch.-H. Transition from regular to irregular thermal wave by coupling of natural convection with rotating flow in Czochralski crystal growth // J. Crystal Growth. 1999. - Vol. 197. - P.297-306.

100. Lee Y.-S., Chun Ch.-H. Effects of a cusp magnetic field on the oscillatory convection coupled with crucible rotation in Czochralski crystal growth // J. Crystal Growth. 1999.-Vol. 197.-P.307-316.

101. Lee Y.-S., Chun Ch.-H. Experiments on the oscillatory convection of low Prandtl number liquid in Czochralski crystal growth under an axial magnetic field // J. Crystal Growth. 1999. - Vol. 198/199. - P.147-153.

102. Leister H.-J., Peric M. Numerical simulation of a 3D Czochralski-melt flow by a finite volume multigrid-algorithm // J. Crystal Growth. 1992. - Vol. 123. -P.567-574.

103. Leonard B.P. A stable and accurate convective modelling procedure based on quadratic upstream interpolation // Comput. Methods Appl. Mech. Eng. 1979. -Vol. 19. - P.59-98.

104. Lipchin A., Brown R.A. Comparison of three turbulence models for simulation of melt convection in Czochralski crystal growth of silicon // J. Crystal Growth. -1999.-Vol. 205. P.71-91.

105. Lipchin A., Brown R.A. Hybrid finite volume / finite element simulation of heat transfer and melt turbulence in Czochralski crystal growth of silicon // J. Crystal Growth. 2000. - Vol. 216. - P. 192-203.

106. Markatos N.C., Pericleous K.A. Laminar and turbulent natural convection in an enclosed cavity // Int. J. Heat Mass Transfer. 1984. - Vol. 27, №5. - P.755-772.

107. McClelland M.A. Time-dependent liquid metal flows with free convection and a deformable free surface // Int. J. Num. Meth in Fluids. 1995. - Vol.20. - P.603-620.

108. Mihelcic M., Wingerath K. Instability of the buoyancy driven convection in Si melts during Czochralski crystal growth // J. Crystal Growth. 1989. - Vol. 97. -P.42-49.

109. Mihelcic M., Wingerath K., Pirron C. Three-dimensional simulation of the Czochralski bulk flow // J. Crystal Growth. 1984. - Vol. 69. - P.473-488.

110. Mohamad A.A., Viskanta R. Transient natural convection of low Prandtl number fluids in a differentially heated cavity // Int. J. Numer. Meth. Fluids. 1991. — Vol.13.-P.61-81.

111. Nakamura S., Eguchi M., Azami T., Hibiya T. Thermal waves of a nonaxi-symmetric flow in a Czochralski-type silicon melt // J. Crystal Growth. 1999. - Vol. 207. -P.55-61.

112. Okada K., Ozoe H. The effect of aspect ratio on the critical Grashof number for oscillatory natural convection of zero Prandtl number fluid: numerical approach // J. Crystal Growth. 1993.-Vol. 126. - P.330-334.

113. Okada K., Ozoe H. Various computational conditions of oscillatory natural convection of zero Prandtl number fluid in an open boat heated and cooled from opposing vertical walls // Numerical Heat Transfer, part A. 1993. - Vol. 23. - P.171-187.

114. Ono N., Kida M., Yoshiaki A., Sahira K. A thermal analysis of the double crucible method in continuous silicon Czochralski processing. II. Numerical analysis // J. Electrochem. Soc. 1993. - Vol. 140.-P.2106-2111.

115. Paolucci S., Chenoweth D.R. Transition to chaos in a differentially heated vertical cavity // J. Fluid Mech. 1989. - Vol. 201. -P.379-410.

116. Patterson J.C., Imberger J. Unsteady natural convection in a square cavity // J. Fluid Mech. 1980. - Vol. 100. - P.469-498.

117. Proc. GAMM Workshop on Numerical Solution of Oscillatory Convection in Low Prandtl Number Fluids. Marseille. 1988 / Roux B. (Ed.) / Notes on Numerical Fluid Mechanics. Vieweg Braunschweig. 1990. Vol.27.

118. Ravi M.R., Henkes R.A.W.M, Hoogendoorn C.J. On the high Rayleigh number structure of steady laminar natural-convection flow in a square enclosure // J. Fluid Mech. 1994. - Vol. 262. -P.325-351.

119. Rhie C.M., Chow W.L. A numerical study of the turbulent flow past an isolated airfoil with trailing edge separation // AIAA Journal. 1983. - Vol. 21. -P.1525-1532.

120. Ristocelly J.R., Lumley J.L. Instabilities, transition and turbulence in the Czochralski crystal melt // J. Crystal Growth. 1992. - Vol. 116. - P.447-460.

121. Rossby H.T. A study of Benard convection with and without rotation // J. Fluid Mech. 1969. - Vol. 36. - P.309-335.

122. Ruelle D., Takens F. On the nature of turbulence // Commun. Math. Phys. -1971.- Vol.20.-P.167-192.

123. Sano M., Wu X.-Z., Libchaber A. Turbulence in helium-gas free convection // Phys. Rev. A. 1989. - Vol. 40. - P.6421-6430.

124. Seidl A., McCord G., Miiller G., Leister H.-J. Experimental observation and numerical simulation of wave patterns in a Czochralski silicon melt // J. Crystal Growth. 1994. - Vol. 137. - P.326-334.

125. Seidl A., Miiller G., Dornberger E., Tomzig E., Rexer B, Ammon W. Turbulent melt convection and its implication on large diameter silicon Czochralski crystal growth // Electrochem. Soc. Proc. 1998. - Vol. 98-1. - P.417-428.

126. Shyy W., Thakur, S., Wright, J. Second-order upwind and central difference schemes for recirculating flow computation // AIAA Journal. 1992. - Vol. 30. -P.923-932.

127. Smirnov E.M. Numerical simulation of turbulent flow and energy loss in passages with strong curvature and rotation using a three-dimensional Navier-Stokes solver // Department of Fluid Mechanics, Vrije Universitet, Brussel, 1993. 122 p.

128. Smirnov E.M. Solving the full Navier-Stokes equations for very-long-duct flows using the artificial compressibility method / In: ECCOMAS 2000. September 1114, 2000, Barcelona, Spain (CD-ROM publication). 17 p.

129. Tanaka M., Hasebe M., Saito N. Pattern transition of temperature distribution at Czochralski silicon melt surface // J. Crystal Growth. 1997. - Vol. 180. -P.487-496.

130. Tian Y.S., Karayiannis T.G. Low turbulence natural convection in an air filled square cavity. Part I: the thermal and fluid flow fields // Int. J. Heat Mass Transfer. 2000. - Vol. 43. - P.849-866.

131. Tian Y.S., Karayiannis T.G. Low turbulence natural convection in an air filled square cavity. Part II: the turbulence quantities // Int. J. Heat Mass Transfer. -2000. Vol. 43. - P.867-884.

132. Togawa S., Chung S., Kawanishi S., Izunome K., Terashima K, Kimura S. Density anomaly effect upon silicon melt flow during Czochralski crystal growth I. Under the growth interface // J. Crystal Growth. 1996. - Vol. 160. - P.41-48.

133. Tomzig E., Ammon W., Dornberger E., Lambert U., Zulehner W. Challenges for economical growth of high quality 300 mm CZ Si crystals. // Microelectronic Engineering 1999.-Vol. 45.-P. 113-125.

134. Trie E., Betrouni M., Labrosse G. Accurate solutions of natural convection flow of air in a differentially heated cubic cavity / In: Computational Fluid Dynam-ics'98 /K.D. Papailiou et al (Eds). John Wiley & Sons, 1998. P.979-982.

135. Vinokur M. An analysis of finite-difference and finite-volume formulations of conservation laws // J. Comput. Phys. 1989. - Vol. 81. - P. 1-52.

136. Wagner C., Friedrich R. Turbulent flow in idealized Czochralski crystal growth configurations // Notes on Num. Fluid Mech., Vieweg. 1997. - Vol.60. -P.367-380.

137. Watanabe M., Eguchi M., Hibiya T. Flow and temperature field in molten silicon during Czochralski crystal growth in a cusp magnetic field // J. Crystal Growth.- 1998. Vol. 193. - P.402-412.

138. Watanabe M., Eguchi M., Kakimoto K., Baros Y., Hibiya T. The baroclinic flow instability in rotating silicon melt // J. Crystal Growth. 1993. - Vol. 128. -P.288-292.

139. Watanabe M., Eguchi M., Kakimoto K., Hibiya T. Double-beam X-ray radiography system for three-dimensional flow visualization of molten silicon convection // J. Crystal Growth. 1993. - Vol. 133. - P.23-28.

140. Watanabe M., Eguchi M., Kakimoto K., Ono H., Kimura S., Hibiya T. Flow mode transition and its effects on crystal-melt interface shape and oxygen distribution for Czochralski-grown Si single crystals // J. Crystal Growth. 1995. - Vol. 151. -P.285-290.

141. Weeks E.R., Tian Y., Urbach J.S., Ide K., Swinney H.L., Ghil M. Transitions between blocked and zonal flows in a rotating annulus with topography // Science.- 1997. Vol. 278. - P.1598-1601.

142. Wheeler A.A. Four test problems for the numerical simulation of flow in Czochralski crystal growth // J. Crystal Growth. 1990. - Vol. 102. - P.691-695.

143. Xiao Q., Derby J.J. Three-dimensional melt flows in Czochralski oxide growth: high-resolution, massively parallel, finite element computations // J. Crystal Growth. 1995.-Vol. 152.-P.169-182.

144. Yang M., Tao W., Ozoe H. Computation and comparison for heat and fluid flow using a QUICK and other difference schemes // Reports of Institute of Advanced Material Study, Kyushu University. 1998. - Vol.12, №1. - P. 1-6.

145. Yi K.W., Booker V.B., Eguchi M., Shyo T., Kakimoto K. Structure of temperature and velocity fields in the Si melt of a Czochralski crystal growth system // J. Crystal Growth. 1995.-Vol. 156.-P.383-392.

146. Yi K.W., Kakimoto K., Eguchi M., Watanabe M., Shyo T., Hibiya T. Spoke patterns on molten silicon in Czochralski system // J. Crystal Growth. 1994. - Vol. 144. - P.20-28.

147. Zhao A.H., Moates F.S., Narayanan R. Rayleigh convection in a closed cylinder experiments and a threedimensional model with temperature-dependent viscosity effects // Phys. Fluids. - 1995. - Vol. 7, № 7. - P. 1576-1582.

148. Zhong F., Ecke R.E., Steinberg V. Asymmetric modes and the transition to vortex structures in rotating Rayleigh-Benard convection // Phys. Rev. Lett. 1991. -Vol. 67. - P.2473-2476.

149. Zhong F., Ecke R.E., Steinberg V. Rotating Rayleigh-Benard convection: asymmetric modes and vortex states // J. Fluid Mech. 1993. - Vol. 249. - P. 135-159.

150. Zulehner W. Historical overview of silicon crystal pulling development // Material Science and Engineering B. -2000. Vol. 73. - P.7-15.тосс**счаяrOC'iß^r-CT'-cht^ гчвяJ