Целочисленные характеристики многозначных отображений монотонного типа и операторные включения тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

■ (П

Белоруссией ордена Трудового Краевого Знамена государственный университет имени Б.П. Ленина

На правах рукописи

СШЧАКОЗА Нпна .Васильевна

1Щ0ЧКСЖШЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ШОГОШАЧШХ ОТОБРАЖЕНИЯ

МОНОТОННОГО ТИПА И ОПЕРАТОРНЫЕ ВШЛИШ

01. 01. 01 - математический анализ

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Шнек - 1991

Работа выполнена в Ярославском государственном университете

Иадх. лй руководитель

- доктор физико-математических наук, доцант В.С. Клипов

Официальные оппоненты доктор физико-иатенатических наук,

профессор А.II. Серов,

доктор £и зико-мат ематаческих наук, профессор Д.Б. Днтоневич

¿Ведущая организация

- Институт прикладной математики и механики АН УССР

Защита диссертации состоится * ^^ ¿.Н^С^Л* 1992 года в 10.ОС на заседании спецдалигировадшого совета К.056, 03. 05 по присуждают ученой степени кандидата наук в Белорусском ордень Трудового Красного Знамени государственном университете имени Б.И. Ленина (220080,. г. Минск, Ленинский проспект, 4, главный корпус, комната 206).

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Бехгос-университета.

Автореферат разослан

1991 г.

Ученый'секретарь специализированного совета доцент

П.Н.- Князев

ОЬЦАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА ЕАБОХИ

Актуальность теш диссертации обусловлена необходимостью исследования вариационных задач с негладкими неланзЯностяьи, ксасотс-ршш вопросами мехавики вязкопластических сред, теории управления, а также вариационных неравенств с ?.шогозкачкыма операторами.

Це;.„ работа состоит в дальнейшем изучения вариационных неравенств с многозначшлш операторами, исследовании топологических характеристик многозначаще отображений монотонного тепа, вычислении относительного врацэиия многозначных векторных полой, нахождении индекса мяо&ества экстремалей негладких функционалов, получении условий разрешимости вариационных неравенств с пекоэрцитив-нши операторам, исследовании задачи Кош для операторных дифференциальных включений параболического типа, рассмотрении в качестве приложений нестационарных задач механики вязкопластичесотх сред. . • .

Методика исследования. 3 диссертации широко используются введенное ЮЛ'. Борисовичи-! понятие относительного вращения, теория операторов монотонного типа, элементы негладкого анализа, аппарат многозначных отображений банаховых пространств, идеи и методы теории нестационарных краевых задач.

Научная новизна. Основные результата можно реземировать сле-дуодш образом..

а) Введено понятие относительного вращения многозначного векторного поля, приспособленное для исследования вариационных неравенств.

б) Предлоксшюя схека исследования зариациошшх неравенств позволил- отказаться от условна типа козрцативнсстк на операторы эллиптического типа. _

в) Установлено, что индекс изолированного критического множества, реализующего локальный минимум функционала, совладает с характеристикой Эйлера-Пуанкаре соответствующего многества.

г) Зыделен класс операторов монотонного типа, с помощь?) которого .удается исследовать задачу Коши для операторных дифференциальных включений параболического типа, в частности, получены • обобщения теоремы Хнезора-Фукухары.

д) Развит ковш! метод исследования нестационарна задач механики вязкопластических сред, позбохяпщий учесть инерционнне

силы и рассмотреть случай реологического оператора, не являющегося потевдиалышл.

Теоретическая значимость. Результаты диссертации могут быть исполу .юваны пр:: дальнейшем изучении вариационных неравенств с мно-гозначнььи операторами, для развития топологических штоков при исследовании и анализе задач теории .управления и механики зяакоплас-тических сред. Материалы .диссертации могут быть Еключены в спецкурсы для студентов математических специальностей.

Апробация работ«. Основные выводы диссертации докладывались на научно-исследовательских семинарах в Ярославском ц Белорусской университетах, в институте математики АК УССР (1987-1990 гг.), на У1 Республиканской конференции "Нелинейные задача математической физя-(Донецк, 1987), а такке были представлены в трудах конференции "Цатеыатачеекие методы в исследовании операций" (София, 1967).

Публикация, Основано результаты диссертации опубликованы в работах [1-9] . Три из них Нагасаки в соавторстве с научным .руководителей, которому принадлежит постановка задачи и основные идеи до-. казательств.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, ■' дв?х глав (восемь параграфов), списка литераторы, вгашчаюцего 115 наименований, л игло&еаа на 128 страницах машинописного. текста. . 1

. 0СЫ0Ш0Е СОДЕРлДНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во введении излагается методика исследования и основные результаты работы.

3 начале первого параграфа приводится одна из схем введения относительного вращения конечномерного однозначного векторного поля в перечисляется наиболее фундаментальные свойства этого понятия. Вторая часть параграфа содержит новый материал. Наиболее важными является -леммы о специальных однозначных аппроксимациях многозначных. векторных полей, которые используются для изучения конечномерных вариационных неравенств. В частности, на их основе удается ввести числовую хар чтериотику многозначных полунепрерывных сверху отображений конечномерных пространств. Данная характеристика является естественным обобщением иопяткя относительного вращения непрерывного

однозначного векторного поля и обладает, по с.ущастну, тел ка самыми свойствами.

В § 2 научаются целочисленные характеристик;: шюгозначшх ото-брааенпй монотонного юта, определенных на подмкекзетвах ро^лскекв-ного прострэдства X со значо1г/л;,з в сопряженном пространство X* . Приведем определение водного для большинства построен^ дессертаяга класса 2 ( М ). Пусть М - замкнутое подмногество рефлексотного пространства X , (/¡г X* - совокупность вкяуклых з&хшутш: под-шонеств пространства X' , < , г> - каноническая билинейная форма на X' я х . Оператор А И — (лг X * прзнадлокит классу ' "а IМ ) , если

1) прз любом К. < множество

V; Ах.

■хс М , и*« ь й-

ограничено в пространстве X* ; ,

2) для любах последовательностей тсД , обладающих свойствами

Т,- * & г^М*), хХ - X1 & 6<Х\ X). ' тс^! 6 А*п , Сгл. < г.* , 4 < X*, г >,

п. ио

справедливы соотнозения •

ii тс ^ - тс ii — 0 , * ' € А x .

Первое, требование означает ограниченность оператора А , второе - это условие типа монотонное г:; оператора А . Класс ( М ) оказывается гамкяутнм не только относительно операций слоненка л умножена.; на полокгтелышз числа, но л относительно более слозю определенной операции овшг/кления семейства операторов.

Большая часть § 2 посвящена построению теории вращения векторных полей, поровдазшх многозначны:.ш операторами класса 'з ( М ). Предлагаемая здесь целочисленная характеристика обладает свойствам;! гомотопической инвариантности, аддитивности и нормпроваляоетп. Для неа верни соответствуете варианты теоремы об алгебраическом тесло особых множеств и теорема о нечетных векторных полях и бллзютх к нил.

Пусть 0 - фиксированное выпуклое замкнутое множество пространства X . Элемент х кз И с 0 называют особой точкой оператора А класса ^ (М ), если существует элемент х* из Ах,

для I торого

< X* , V - X > » 0 (. V € 0) , • (I)

то есть особые точки явл.::отся решениями соответствующих вариационных неравенств. Шогество решений вариационного неравенства (I.) совпадает с мконеством решении операторного включения

О £ Ах * ^ IX), С2)

где 1"Х) = [х* •. х'бХ* , <*, ,1»-х>«0 -

нормальный коаус к ¡дножеотау 0 в точке х . Отчетам, что отображение х — Ах * ^а 1*х) многозначно даав в случае, когда опоратор Л однозначен.

ВсякаЗ признак отличия от нуля вращения поровдает соответствующую тоорецу о разрешимости вариационного неравенства (I). По известным схемам это позволяет, например, избавиться от предпологе-Ш1Й типа ко арщтивности оператора А , типичных для большинства теорем о разрешимости вариационных неравенств.

В § 3 изучаются потенциальные оператора. Прздаологение о потенциальности оператора А позволяет для исследования включения (2) использовать комбинацию топологических и вариационных методов. Через А, I 0 > обозначается класс локально'лшпаицевых на мнонест-ве 0 функционалов [ , обобщенный градиент которых Э^сг; порождает оператор А = "Э^ класса ^(С!) . Бри этом функционал | называют потенциалом оператора А , а особые точки сперато- . ра А - критическими точкаш функционала | ; Оказывается, что функционалы класса /4,101 являются слабо полунепрерывными снизу.

Кавдему изолированному мнокеству И. критических точек фуки- . ционала | клас"а Л, I 0 ) моэдо сопоставить его индекс гл.! а I. "К , | > , совпадшозшЗ с вращением ноля А * 91 на границе достаточно малых окрестностей множества "VI . Оказывается, индекс изолированного критического множества X . реализующего локальный минимум фуь_дионала класса А, (0) , определяется характеристиками мЕоаества X. и не зависит от выбора функционала. Более точно, справедлива

Теорема I. Пусть М, - компактное изолированное критическое шояество, реалнзунцее локалышй шнзиум функционалов . класса Л, ( 0 ). Тогда тлеет место равенство

глс^Х,^,) = иге^ (3)

Ср .щ «функционалов класса А ( ( Ц ), локально мксиун которых реализуется на кюжесгве М, , моено пытаться находать тагаю, для которых соотаетствуюпая числовая характеристика достаточно просто считается. Прз достаточно ойцгх прэдпологеш'лх относительно множества Ч и пространства удается показать, что £укгдто:гал

пранадленит классу А, ( 0 ), а есть пЗояпроваякое критическое множество функционала .

3 случае неограниченного многества 0 естествзнша образок определяется индекс ггг<1 а I <*=>, \ ) функционала £ на бесксасч-ностн. Оказывается, что для растущего на бескон&чксстз функционала имеет место равенство

япс1.а (ОО, | ) = { . (4)

Обозначим через Ки 0 совокупность коюактких вшкклих иоданоноств множества (5 . через <~> С 0 ) - шнагеньзео кольцо ,\2ЮЕестз, содерзэдеэ Ко 0 ; с? ( (5 ) называется кольцом ии-цуклссти, каждое непустое мнонество пэ ¿> ( 0 ) есть сх^едгнецпе конечного числа выпуклнх комгактов. Компакт X назовем допусташи, если "Н. - изолированное критическое шгсгество функционала {х -

Теорема 2. Хаадое даогество- X зз съ ( 0 } досустшо. а функционал а I Н , ) аддитивен на ( О -}.

В соединения с (3) и (О теорема 2 приводит е следупцезд ут-верздениэ.

Теорема 3. Пусть ■ \ * ¿>с 0) , 'А. - изслирозЕНКоз крттг-чесзгоо хнскество функционала | лз С 0 ), реалязуацее это локальный гшнинум. Тогда сзраведллзо равенство

гдо характеристика Эйлера-Пуанкаре шсхества

г.

§ 4 посвящен приложениям и вариационным неравенствам в пространствах Соболева. Первая его часть носит вспомогательный характер. Здесь ■^водятся многозначные оператора суперпозиции, действующие в прямых произведениях пространств Лебега 1_,р (Л ) к порождаемые отображениями конечномерных пространств, анализируются их свойства. Основное внэланпе уделяет-я свойствам полунепрерывности сверху и замкнутостн относительно некоторых предельных процессов.

Центральная часть § 4 содериит условия на многозначные коэффициенты а-( тс. , >2 , ; ) (1. = 0, I.....л ), при выполнении

которых оператор

'Ь

Т« - - Г — ОС и* 'и> I х> и-.

н " . гах:

1.1 с

? <

действующей из пространства Соболева Ьр(Л )(1<р*<х>)в сопрягеннос к нему (11 ), ярикадлеаиг классу Ьр (П. )). Сформулированы условия разрэзшмоити соответствующих вариационных неравенств с многозначными эллиптическими операторами.

Заключительная часть § 4 содержит предположено®, при которых интегральный функционал

• ] Г (т, а. <ги.) Ах'

а

■

принадлежит классу Д, ( Ьр ( П )), при этом в рассмотрение включаются функционалы, порождаемые кедиффервнвдруемкм, вообще говоря, интегрантом Г . ' , Далее в диссертации изучаются дифференцзалыше включений с . многозначными операторами, дейсгвухвдши в банаховых пространствах. Существенную роль в построениях играют фдшцдональшэ пространства

> , Ь.ОГ) , ЬР1Н). Ц<Н), (6)

Г Ч , Г»

где V - рефлексивное сепарабельное действительное й - пространство с Еодоой «-в , непрерывно влокенное в гильбертово пространство Ц с нормой 1-1 , М плотно в Ц , V' - сопряженное к V пространство; I * р « » , д«р0<«> »Я и Я0 "" двойственные к р и ре показатели; Ьр (V ) - пространство измеримых отобраазний из $ = 10 , Т ] ( ' 0 < Т« ) в V со стандартной нормой, пространства ^ ( V* ), Ь Ро ( Ц ), Ц, С Ц ) определяются аналогично. . '

Четверке пространств (6) мсздо сопоставить функциональное про- • странство

W-.lv».: atL.iV> пЬРвсЯ> , и с

где и.' - производная функции и. в смысле теории распределений. Пространство М(/ влокено в пространство С ( И ) непрерывных на $ функций, в частности, для функций класса ^ мокно говорит* об их значениях в точках из .

В §§ 5, 6 исследуется задача Ксши

О ? и.' к и., и I о 5 = ¡г .

(7)

X - п

Здесь А - многозначный оператор» дейст-аущиЯ по

з У'1-. Ц(У4) + <. Й ) • Реашием задачи (7) называется функция из класса \У , удовлетворяющая вкличешш 06. и.' + .

•4 А и. начальному условии и. ( 0 ) = к. Приведены условия на оператор А „ гаралтируюгцго недустог/ и ограниченность мноаества ПК реаенкй задачи (7У для любого элемента 1г из VI . Основным при этом является условие принадлежности оператора А классу Ы ( X ) •

Говорят, что оператор А принадлежит классу сА ( X ), если он удовлетворяет следующим .условиятл:

1) А ограничен (как многозначный оператор);

2) для произвольных последовательностей € V/ , |Л 4 Аи*. » обладающих свойствах,®

'»V

и

(8)

I &<.Х,Х\ иЛ-и £ 0^/(1-1),

6 ¿.IX',X),

^ € А и. и ходахюсть ^ к в мэт-

шзвт место включение рлкэ пространства X .

Теорема 4. Пусть А £ << ( X ) и существует возрастающая неограниченная сверху функция А1 : Л + , такая, что для любой функции и нз № имеет место неравенство

оо о у

в котором , 0 < I £ Т , а. < со

Тогда задача Коше разрешима при любом к ит Н

(9)

Следует заметать, что в условиях данной теоремы для ропения задачи Коаш (7) справедлива оценка ниц * И ' , где константа И может быть взята одинаковой для элементов к. иэ ограниченного подмножества пространства Ц .

В предположении ограниченности многозначного оператора 11: М — \jpiN) а Ь (. V!) доказывается его полунепре-равность сверху, устанавливается сходимость некоторого варианта метода Оаэдо-Гадерксна для отыскания решений задачи (7). Анализ приближений. полученных проекционным методом, приводит к своеобразному закону 0 или I , следствием которого является

Теорема 5. Пусть Ж - связное лод<иожаство пространства Н , многозначна отображение И: Ж — Ьр с V» л с И) определено и ограничено на ТЯ . Тогда И (Ж ) есть связное подмножество пространства с V > п (. И >

Теорега 5 обобщает известную теорем/ Кнезера-Фукухары о связности интегральной воронки. 3 § 6 намечены такге приложения .установленных результатов к задаче оптимального управления. Ценою определенных усложнений теоремы 4, 5 , а также другие результаты §§ 5,о. переносятся на случай нерефлексивного пространства Ьрс\/> о Ь^И).

§ 7 содержит примеры операторов А , для которых задача Коши (7) оказывается хорошо поставленной. Общие результаты применимы, в частности, к оператору А , определенному на пространстве X - Ьр (. Ьр I £1» л ЬРв I С,, I Я)1) равенством

Аи--Ц-.|пг)= ] 1с1х,1).их1хД) - Ь^.Ъ^СхДнсЬссЦ , иЛ )

где ( Ь ( т., -Ь ), с ( х , { )) - любое измеримое сечение много- . значного отображения &(хД,ч(хЛ), -х., I )) соответствующего класса, действующего из Д. > V» И « Ц" в КиЙ.п,< . Если оператор & однозначен и .

й(х,-- Юссх.Ь, с;)) 1#0>1.....п >

то.решения задачи (7) совпадают с обобщешшш решениями задачи Коши

¿Н 1

исх.О) гксх) , «11,1) : 0 1ХеЭ£1). (10)

~Т1

.Общая схв1ла, развитая в §§ 5, 6 не только позволяет перенести на многозначный случай известные теоремы о разрешимости задачи Койи (10), но и получить ноше результаты, относящиеся к свойствам ее решений. Мокко отметить менее жесткие, чем известные ранее, условия реализуемости метода Фаэдо-Галеркяна, связность множества решений.

В. последнем параграфа изучается задача о нестационарных, течениях вязкопластзччских сред. В работе используется математическая модель вязкопластических срэд, предложенная В.П. Мясниковым и П.П. Мосоловым. Согласно этой модели посла скоростей (и, (т,-Ъ,..., »» V Л > > сплошной среды, занимающей ограниченную область 0. с ИГ" (. п-' 2., ^ ) , при' известном начальном распределении скоростей удовлетворяет соотношениям

Ъ'Щч'&'Щ <ю

II -Л,.... и ; х« О., О Л «Т),

О" = О, (12)

»IX,0) IX 4 £1), (.х^Л, 0/1 Л*) , (13)

Ъ €. йг, . • (14)

в которых г - <.e ¿j) - девиатор тензора скоростей деформаций,

5«Лу)' ~ девиатор тензора напряжений, ъ + ) - тен-

зор напряжений,•' ?псД) = 1хД) - поле внешних сил. Соотношений (II) глзвдадт принципом виртуальных мощностей в дифференциальной форме. Равенство (12) означает несжимаемость рассматриваемой среды. Первое из соотношений (13) описывает начальное распределение скоростей, второе - тг.. называемое условие прилипания. В (14) Л есть, вообще говоря, многозначный оператор, связывающий динамические и кинематические свойства среды. Из постулата Друкера вытекает монотонность оператора И , что и позволяет применить к задаче (II) - (14) метода монотонных операторов. 3 § 8 показано, что при условиях

ие1>Л. <1е. к«>0. *«.>О. р » 1 - )

к рассматриваемой задаче применимы методы, развитые в §§ 5, 6. Это позволяет не только доказать существование обобщенного решения задачи (II) - (14), но к сформулировать простые условия реализации метода Фаэдо-Галеркша, а также установить связность мнокества решений.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах:

1. Сенчакова Н.В. Собственные функции нелинейных операторов . и индекс особой точки // Качественные и приближенные методы решения операторных уравнений» - Ярославль: Яросл. гос. ун-т, 1976.-Вып. I. - С. I5I-I59.

2. Сенчакова Н.В. О вычислении индекса особых точек при помощи собственных функций нелинейного оператора Л Качественные и приближенные ;етоды решения операторных уравнений, - Ярославль: Яросл. гос. ун-т, 1983. - С. 89-97.

3. Сенчакова Н.В, 0 вариадаонных неравенствах о многозначными оператораш / Яросл. гос. ун-т. - Ярославль, 1935. - 15 с. - Деп. в НИНИТИ 21.II.86, й 7917-366.

4. Климов Б.С., Сенчакова ,Н.В. Дифференциальные включения параболического типа и их приложения // Тезисы докладов Республиканской конференции "НелинеИнше задачи математической физики". -Донецк, 1987.- С. 62.

5. Майорова Н.Л., Сенчакова Н.В. Об одном кйассо многозначных отображений, применяемом при минимизации функционалов // Тезисы докладов глекдународной конференции "Математические методы в исследовании операции". - София, 1987. - С. 78.

6. Сенчакова Н.В. О некоторых операторах класса • <А ( X )

/ Ярославский гос. ун-т. - Ярославль, I9S8. - 19 с. - Деп. в ВИНИТИ. 16;08.88, й 6575 - В88._

7. Сенчакова Н.В. Вращение многозначного векторного поля п решение вариационных неравенств // Качественно методы исследования операторных уравнений. - Ярославль: Яросл. гос. ун-т, 1988. -

С. 70-78.

8. Климов B.C., Сенчакова Н.В. Задача Коаи для одного класса операторных уравнений / Яросл. гос. ун-т. - Ярославль, I98S. -42 с. -"дс-л. в ВИНИТИ 4.05.89, В 2878 - BS9.

S. Кжшв З.С., Сенчакова Н.В. Целочисленные характеристики мнояеетв негладких функционалов / Яросл. гос. ун-т. - Ярославль, 1989. - 28 с. - Деп. в. ВИНИТИ. I5.I2.S9, К 7448-389.