Целые функции лагерра в задачах математической физики тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

Академия наук Украинской ССР Ордена Трудового Красного Знамени Институт математики

На правах рукописи

КОЗИЦКИЙ Юрий Васильевич

ЦЕЛЫЕ ФУНКЦШ ЛАГЕРРА В ЗАДАЧАХ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ

01.01.01 - математический анализ

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Киев 1591

Работа выполнена на кафедре высшей математики Львовского торгово-экономического института

ОФИЦИАЛЬНЫЕ ОПЛОШНЫ: академик АН УССР, доктор физико-

математических наук, профессор БЕРЕЗАНСКИЙ Ю.М.

доктор физико-математических наук, профессор ГОЛЬДБЕРГ A.A.

доктор физико-математических наук, профессор МИНЛОС P.A.

ВВДЩЛЯ ОРГАНИЗАЦИЯ -

Физико-технический институт низких температур АН УССР (г.Харьков)

Защита диссертации состоится фбВПЯТТЯ 1^92 Г _ часов на заседании специализированного совета по

защите диссертаций на соискание ученой степени доктора наук А 016.50.01 при Институте математики MI УССР по адресу: 252601, Киев-4, ГСП, ул. Репина,3.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке института. Автопеферат разослан " 7 ^ " ~—с'/М 199/г.

Ученый секретарь специализированного совета

ГУСАК Д.В.

!

. ...

' !

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОШ

Актуальность темы. Современное состояние математических методов, используемых в таких разделах теоретической физики, как эвклидова квантовая теория поля и статистическая физика,характеризуется привлечением широкого круга результатов и понятий теперь уже классической математики. Источником тонких аналитических методов, к которым все чаще обращаются при исследовании задач математической физики, а также близкой к ней в определенном смысле в техническом и идеологическом планах теории вероятностей, является теория целых функций. В 1962 году будущими нобелевскими лауреатами Т.Д.Ли и Ч.Н.Янгом была опубликована теорема о распределении нулей статистической суммы ферромагнитной модели Изинга.про-должимой до целой функции некоторого физического параметра, принимающего значения на комплексной плоскости (С. . С появлением этого результата связана разработка мощных методов исследования моделей эвклидовой квантовой теории поля и статистической физики, для которых аналоги упомянутой теоремы имеют место. О роли таких методов свидетельствует то, что их изложению уделяется внимание в большинстве монографий, посвященных данному кругу проблем. В качестве примера упомянем лишь две наиболее известные такие монографии: Глимм Дж., Джаффе А. Математические методы квантовой физики. Подход с использованием функциональных интегралов. - М,: Мир, 1984. - 445 е.; Саймон Б, Модель эвклидовой кван-

товой теории поля. - И.: Мир, 1976. - 357 с. Вместе с тем,применение упомянутых методов сдерживается рядом трудностей, связанных в основном с тем, что теоремы типа Ли-Янга били доказаны далеко не для всех представляющих интерес моделей, рассматриваемых в соответствующих разделах математической физики. Последнее, в свое очередь, связано с отсутствием общей методики доказательства таких теорем, неразработанностью подходов к возникающим при этом проблемам теоретико-функционального характера. Сказанное свидетельствует об актуальности разработки методологической основы анализа возникающих в данном направлении теоретико-функциональных проблем, включая проблемы доказательства теорем типа Ли-Янга. Актуальной задачей также является усовершенствование упомянутых выше методов, а также построение нетривиальных моделей математической физики, для которых такие методы дают наиболее полное описание.

Цель работы. Предлагаемая диссертационная работа в основной своей части посвящена: создании единой методологической основы анализа теоретико-функциональных проблем, возникающих при построении и Применении методов, аналогичных упомянутым выше методам, связанным с теоремой Ли-Янга; построению нетривиальных моделей математической физики, для которых такие методы дают наиболее полное описание.

В основе достижения цели работы лежит привлечение целых функций определенного вида, называемых в современной теории функций целыми функциями Лагерра. Эти функции были введены в математику самим Ф.Лагерром в конце прошлого столетия. Их активному изучению посвящали свои работы И.Щур, Д.Пойя, Й.Йенсен и другие известные математики первой половины нашего столетия. Современное состояние теории таких функций изложено в монографиях: Л.Или-ев. Нули на цели функции. - София: Издателство на Бьлгарската академия на кауките, 1979. - 132 е.; L.lliov. Laguerre entire functions. - Sofia! Publiahing Houae of the Bulgarian Acadorcy of Soienceo, 1987. - 107 p. В связи с этим целью диссертационной работы является также развитие ряда аспектов теории целых функций Лагерра.

Научная новизна и практическая ценность. В диссертационной работе с помощью использования целых функций Лагерра впервые создана единая методологическая основа анализа теоретико-функциональных проблем, возникающих при построении и применении методов исследования моделей статистической физики и эвклидовой квантовой теории полй, связанных с аналогами теоремы Ли-Янга. Такие методы могут найти широкое применение в соответствующих разделах математической физики. При этом решены некоторые известные проблемы, существовавшие в данном направлении. К таковым откосится построение критерия наличия свойства Ли-Янга у мер типа P(4>J , сформулированное В упомянутой выше монографии Дж.Глимма и А.Джаф-фе (стр. 88). В работе вводится ряд новых понятий, а также так называемые обобщенные иерархические модели, которые могут быть использованы в дальнейших исследованиях. Кроме того, получен ряд полых результатов в теории целых функций Лагерра, которые могут найти различные приложения как в самой теории целых функций, так и в се многочисленных приложениях. Упомянутые результаты значительно усиливают и обобщают аналогичные» результаты, полученные рапсе другими авторами. Ряд из них но имеют аналогов.

Методика исследования. Для получения результатов, относящихся к теории целых функций Лагерра, вводятся локально-выпуклые пространства целых функций (функции Лагерра при этом оказываются элементами таких пространств), общая теория которых построена в работе Б.А.Тейлора ( Taylor В.A. Some locally convex apaceu of entire functions // Proceedings of Symp03ia of Pure Mathematics. - Providence: American Mathematical Society, 1968. - v.xx. - P. IV-D-1 - lv-ß-24). При доказательстве теорем о сохранении принадлежности к классам целых функций Лагерра для дифференциальных операторов определенного вида используется методика, основанная на предложении 2.2 работы Э.Либа и А.Сокала ( lieb E.H., Sokal A.D. A general Lee-Yang theorem for one-component and multlcomponent ferromagnets И Commun. Math. Phys. - 1931. - V. 80. - P. 153-179 ). Кроме того, в работе применяется ряд стандартных методов теории целых функция, функционального анализа, теории инвариантов ортогональ ной группы О (n) , D основе методики построения обобщенных иерархических моделей лежит математическая формализация физических соображений, используемых в метода И.Р.Юхновского послойного интегрирования статистической суммы трехмерной модели Иэинга в пространстве коллективных переменных - (Вхновский И.Р. Фазовые переходы второго рода. Метод коллективных переменных. - Киев: Наук.думка, 1965. - 224 е.). В работе используется также ряд фактов и понятий, относящихся к Гиббсовсним случайным полям, на основе монографии: Малышев В.А., Минлос P.A. Гиббсовские случайные поля, - М.: Наука, 1985,-- 288 е., а также к иерархическим моделям, автомодельным случайным полям, ренормализационной группе, информацию о которых можно найти в монографии: Синай Я.Г. Теория фазовых переходов. Строгие результаты. - М.: Наука, 1980. - 207 с. В качестве отправного пункта в теории, относящейся к обобщениям тесремы Ли-Янга, используется содержание упомянутой выше работы Э.Либа и А.Сокала.

Основные положения, выносимые на защиту. К таковым относятся: общая концепция использования аппарата теории целых функций Лагерра для решения теоретнко-функциональных проблем, возникающих при построении и применении методов исследования моделей статистической физики и эвклидовой квантовой теории поля, связанных с аналогами теорем! Ли-Янга; концепция вводе-

ния и использования обобщенных иерархических моделей; результаты, относящиеся к теории целых функций Лагерра. В частности, к основным предложениям, выносимым на защиту,относятся:

- методика доказательства сохранения принадлежности к классам целых функций Лагерра при действии дифференциальных операто ров определенного вида (лемма 1.4.3; лемма 1.4.4); теоремы о сохранении принадлежности к классам целых функций Лагерра для семейств операторов, включая дифференциальные операторы бесконечного порядка (теорема 1,4.1 - теорема 1.4.6)}

- теоремы о решении в классах целых функций Лагерра некоторых типов дифференциальных уравнений, включая уравнения бесконечного порядка (теорема 1.5.1} теорема 1.5.2);

- теоремы об интегральных представлениях целых функций Лагерра (теорема I.6.1} теорема 1.6.2); теоремы о представлении целых функций Лагерра в вцде рядов по ортогональным полиномам (теорема 1.6.3; теорема 1.6,4);

- концепция применения целых функций Лагерра для определения понятия "свойство Ли-Янга" в применении к изотропным конечным борелевским Мерам На jR." , we IhJ (определение 2.2.2); введение понятия "усиленная изотропность" (определение 2.3.2) в отношении класса изотропных мер naß.N/ , для которых удается описать зависимость от n явным образом;

- теоремы о наличии свойства Ли-Янга для класса мер, используемых в эвклидовой квантовой теории поля и статистической физике,- устанавливающие упомянутый в книге Дж.Глимма и А.Джа-ффе критерий наличия такого свойства (теорема 2.3.1; теорема 2.3.2);

- концепция введения и использования обобщенных иерархических моделей (глава 3);

- теоремы о наличии свойства Ли-Янга у обобщенных иерархических моделей (теорема 4.1.1) и у модели спинов со взаимодействием ближайших соседей (теорема 4.2.1);

- предельные теоремы для моделей, обладающих свойством Ли-Янга (глава 5).

Апробация работы. Основные результаты диссертационной ра-"оты докладывались на:

- II советско-итальянском симпозиуме по математическим проблемам статистической физики (Львов, 30 сентября - II октября 1985 г.);

- Всесоюзной конференции "Современные проблемы статистической физики" (Львов, 3-5 февраля 1967 г.);

- семинаре "Математические проблемы статистической физики" (ОИЯИ, Дубна, 30 мая - I июня 1989 г.);

- школе-с(.*минаре "Математические методы анализа сложных систем со случайными компонентами" (Миасс, 29 сентября -

б октября 1939 г.);

- семинаре "Ordor, Disorder and Chaoa in Quantum Méchenlos" (0ИИ1, Дубна, 17-21 октября 1989 г.);

- I советско-польском симпозиуме по физике сегнетоэлектриков и родственных материалов (Львов, 4-8 июня 1990 г.);

- Всесоюзной школе "Методы функционального анализа в задачах математической физики" (Виноградов, 17-23 сентября 1990 г.);

- I республиканском семинаре по теории аналитических и субгармонических функций и их применений (Старый Салтов, 1418 октября 1990 г.).

Кроме того, результаты диссертации неоднократно докладывались на семинарах отдела функционального анализа Института математики АН УССР (руководитель - академик АН УССР Ю.М.Еерезан-ский); на заседаниях Львовского межвузовского семинара по теории аналитических функций (руководитель - профессор А.А.Гольд-берг); на семинарах отделения "Статистическая физика" Института теоретической физики АН УССР (руководитель- академик АН УССР И.Р, Юхновский).

Публикации. Основные результаты диссертационной работы опубликованы в работах [1-17 J .

Структура и объем диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, пяти глав основного текста, содержащих 22 параграфа, двух приложений и списка литературы из 94 наименований. Общий обьем диссертации 166 страниц машинописного текста.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении приводится обоснование актуальности тематики исследований, краткий обзор имеющихся в этом направлении результатов и обзор содержания глав диссертационной работы.

Первая глава носит название "Целые функции Лагерра и дифференциальные операторы". Отправным ее пунктом является содержание упомянутых выше монографий Л.Илиева. Первый параграф посвящен обзору необходимых а дальнейшем сведений, основным источником которых являются Монографии Л.Илиева, а также известная монография В.Я.Левина (Левин Б.Я. Распределение корней целых функций. - М.1 ГИГТЛ, 1966. - 632 е.). В рассмотрение вводятся числовые последовательности : \ р> ^ : в Ж+} ,

определяемые следующим образом. Для полинома £(г)= р0+ р, е+—* ■I- р„4т } 6 <С и последовательности :

введем отображение (ъ*.^?-) =

= х0)э0+ >ч Р1 & + • • • +>»« . Через и обозна-

чим совокупности полиномов с действительными и положительными Нулями соответственно. Тогда класс образуют последовательное ти {Ь} , для которых * В€ при любом £ € . Класс 6, состоит из последовательностей ■{ (Ьь.} , для которых ((?,* 2 ; € при любом £ £ . Далее в рассмотрение вво-

дятся классы целых функций и (классы целых функций Лагерра) .

Определение 1.1.3. Класс Li образуют целые функции, являющиеся полиномами с неположительными нулями, либо пределами последовательностей таких полиномов.

Определение 1.1.4. Класс образуют целые функции, являющиеся полиномами о действительными нулями, либо пределами последовательностей таких полиномов.

В приведенных определениях (здесь и далее нумерация заимствована из текста диссертации)ямеется в виду равномерная сходимость на компактных подмножествах С . Лагерр и Пойя доказали, что введенные выше целые функции представимы в следующем виде:

оо

^(о/гоЛД А ^¿Г:*) ; (1.1.1)

Ъ£€ ; ; ы » о ; ^7, •••»агуъ^цъ-■•*<?;

оч

21 Г- < ьо .

У='

со

оО

С ; -мб г+ ; &€ ее; »г- е ^ ; 21.*; <0°»

^ У = '

при этом представления (1,1.1.) и (1.1.2) отвечают классам и ¿г соответственно. Существует тесная связь мевду введенншн выше классами последовательностей и целых функций. Оказывается, что последовательности из класса аС (класса /3 ) есть в точности последовательности тейлоровских коэффициентов в нуле функций из класса (соответственно ).

Центральное место в первой главе занимают дифференциальные

операторы вида Де = + а £>) Ъ „ £>е = Л [(2в~1)г~Ъ +

+ ; ^ ~ ; 9>0 .с помощью теоремы Э.Либа и А.Со-

кала, дашей достаточные условия для полиномов от 2= ) ... ; 2Л) € <С п ,,е обращаться в нуль на множествах -{ £ € I >0,УЧ }, в данной главе доказываются леммы, лекащие в основе методики доказательства сохранения принадлежности функций к классам ^ и ^ при действии на них дифференциальных операторов определенного вида. Пусть е^ есть множество четных функциС из Ьд .

Лемма 1.4.2. При произвольных г? > 0 оператор сохраняет принадлежность к .

Л е м м а 1.4.3. При произвольных X 2 О к оператор-

сохраняет принадлежность к .

Л е м м а 1.4.4. При произвольных X ^ О и в € [1 ; + с<э)и

и { } оператор сохраняет принадлежность к ¿-1 ,

Далее вводятся в рассмотрение операторы вила Ц> (£.д) и <Р Для полиномов '<"(¿1 действие операторов и <р( на

целые функции определяется очевидным образом. В случае трансцендентных tpfz^ полагается:

оо

(<PÍVf)fe}= Z, fe".' Ч'^о)^ )Гг) (1.2.14)

Jl=O

и аналогично ^ (. При этом возникает проблема сходимости в правой части (I.2.I4). Для ее разрешения вводятся в рассмотрение пространства целых функций 471 л и ЛЬл как множества:

IñgCf) < оо , ,

{feo 1 ?всл < c^ , ve ><x] ,

где

Ра(Л= ^pj If(a) le-*p(~al?0: ¿e € } '

cla(f)= Ifte) .

Далее,множества и Дд, наделяются топологиями, порождаемыми

семействами норм соответственно,

превращаясь при этом в пространства Фреше со свойствами, описанными в упомянутой выше работе Тейлора. При этом отображение

Ц)(Лgjf .определяемое по (1.2.14),является непрерывным билинейным отображением "^а * в. , где с. = = -ё (i- а4) 1 с (a) g)t Далее в рассмотрение вводятся следующие множества:

Li,a = ^а П í-1 i L2/a.= П ¿д >

С помощью приведенных выше лемм в данной главе доказаны следующие теоремы.

Теорема 1.4.1. Для любых неотрицательных О. и таких, что а & < 1 , и произвольных 0£ [1;-»») и ■( отображение (¿в^ является непрерывным б»ииней-

ным отображением * в £-1,с. , где е. —

Теорема 1.4.2. Для любых неотрицательных а. и таких, что ав<1, и произвольных в£ [-<; + <хО отображение

Ф является непрерывным билинейным отобра-

жением С-г^ * в ; с. = с(а)ё).

Г е о р е м а 1.4.3. Для любых .неотрицательных а. я & таких, что аВ< отображение (ч3, ^ ) является

г, с

непрерывным билинейным отображением 14 в ¡~

с = с (в ; .

В данной главе отдельно рассматривается оператор вида еур^л^ при а > О , для которого получено следующее интегральное представление:

г* 0-1. (1*3.3)

где

сю

2П

п! г^е + п) . (1.2.8)

С помощью такого представления доказаны еще две теоремы, подобные приведенным выше. В рассмотрение вводятся обобщенные полиномы Лагерра

^ п! ¿-¿-п (1.2.12)

и определяется оператор

00 ^ г

^ п—О

СЕ0 Л^Я*). (1.4.4)

Теорема 1.4.4. Для любых ;

^>0 и "Ь £ Го3 оператор Е^ линейно и непрерывно

отображает Ьч^ в и,с » с.= с Далее рассматривается класс функций

Ь= (2)1 3 а? о : е*^ (uг^f(í) 6 Ь <)0 } ,

для которого доказана такая теорема.

Теорема 1.4.5. При произвольных ~Ь >/О и #

V со) и {¿} оператор р(."¿гЛе) I определяемый с помощью интегрального представления (1.3.3), отображает Ь в себя.

Далее в данной главе рассматриваются дифференциальные уравнения, определяемые с помощью рассмотренных выше дифференциальных операторов. Для таких уравнений построены решения, принадлежащие к классу £_,д , а именно, доказаны следующие теоремы.

Теорема 1.6.1. Для произвольных ; N ;

9 >0 ; Л >0 уравнение:

( ^ [ (9 ^г 10 Рр = Л £(2)

имеет решение

<

toa _ L

o

принадлежащее . Здесь К € (£, , а. функция U/g ^ (i)

определяется следующим рядом:

W,

= Z

<>& у

ъ

rv, i-- - % i rfe-t" л

Пусть ^ = { £(2)6 Сл I f (х)>0 , V хб 1К + «=

Теорема 1.5.2. Пусть при некотором -¿^о функция ((>(21 + б принадлежит • Тогда для произвольных

0 € + Л > О уравнение

с 3)4» )0п =

ю.!еет решение

+■ с*э

= К /з0-1 V/ Ыл!:)^]^,

о

О

принадлежащее .В случае, когда ф(2) не рав>а тождественно константе, это решение принадлежит ¿.1 ,о .

Последняя теорема допускает трактовку, с которой связано использование материала данной главы в последующих главах. Для подходящей меры е<\>(5") на и заданного ©>0 вводится преобразование ч) ^ :

со

/т = ] (52) ы^) ; ге С. (1.6.1)

о

Через обозначается класс мер на , для которых при

всех 9£ [1 ¿/функции /(г) (1.6.1) принадлежат

классу^ . При этом следствием теоремы 1.5.2 является такое утверждение.

Теорема 1.6.1. Пусть функция ОЕ? (а) такова, что при некотором %>,0 ее производная — ор'^г) удовлетворя-

ет условию + ё 6 ^ . Тогда мера

сЫ

Г*-) =

принадлежит классу <М , а соответствующая ей в смысле (1.6.1) функция £ (г") удовлетворяет уравнению

= $ гг) .

Обобщение последней теоремы связано с применением теоремы 1.4.1.

Теорема 1.6.2. Пусть Ч?(г) удовлетворяет условиям предыдущей теоремы, а /. 1 . Тогда мера

принадлежит классу -М. ,

Для полиномов Лагерра (1.2.12), а также полиномов Эрмита

рассмотрим ряды:

<*> с<г)

21 1п (г) ,

п - о (1.6.5) Ьо

21 спН0(г)

В диссертационной работе доказаны следующие утверздени».

Теорема 1.6.3. Пусть в (1.6.5) er 6 [о; к«) U 5 } ,

а последовательность / Cn : r> € Z+J принадлежит классу oi . Тогда ряд (1.6.5) сходится к функции f(2") такой, что Lf . Теорема 1.6.4. Пусть в (1.6.7) последовательность

{Си : пб 2 + | принадлежит классу (Ъ . Тогда ряд (1.6.7) сходится к функции j1- (г , принадлежащей классу L4 .

Вторая глава носит название "Мери, обладающие свойством JIn-Янга". В данной главе рассматриваются конечные борелевские меры на iR1^ , M6Q-J, используемые в работах, относящихся к применении .теоремы Ли-Янга и ее обобщений к исследованию проблем статистической физики и эвклидовой квантовой теории поля. В случаи М- I в работе Э.Либа и А.Сокала свойство Ли-Янга в отношении к мере otffV) определялось как отсутствие нулей вне мнимой оси у целой функции

/(«">= f , (2.I.I)

IR

при этом мера otf(4>) считалась четной и положительной. Последнее в сочетании с конечностью можно заменить требованием, чтобы мера ¿Jt'f) была вероятностной, В таком случае функция

Q(i)=f (¡¿) будет характеристической для меры df . В работе А.А.Гольдберга и И.В. Островского (Гольдберг A.A., Островский И.В. О росте целых хребтовых функций с действительными нулями // Мат. физика и функц. анализ. - 1974. - Вып.У. - С. 3-10 ) доказано, что порядок роста функции ни мо-

жет быть больше двух, то есть, такая функция должна принадлежать классу Lji . В данной главе именно с использованием классов целых функции Лагерра вподится понятие "свойство Ли-Янга", обобщающее опошления, используемые в работе Э.Либа и А.Сокала, а также в аналогичных работах в этом направлении, на случай N > 1 . Для таких Л/ при определении свойства Ли-Янга в качества функции f(S) (2.1.1) обычно выбирают

IR^

При таком определении отсутствие нулей вне мнимой оси у функции (2.1.2) при Л/= Л. ; л/= 3 для мер вида:

dfif) = С evp [~а{<р,ч>)~ g С«р, у)* Je«ip -, (2л>3)

а€ lR_ ; в>0 j (•»•)- скалярное произведение в IR'4' , было доказано в работе Ш.Данлопа и Ч.Ньюмена (Duniop f., iiew-man С.M. >Multicomponent field theores and classical rotators // Commun.Math.Phys. - 1975. - V.44. - P. 223-235 )• При Л/= £ для мер" вида (2.1.3) (называемых обычно мерами типа if^ ) аналогичный результат был доказан в работе Б.Саймона и Р.Гриффитса (Simon В., Griffiths R. The )z field theory аз a classical

Ising model // Commun.Math.Phys. - 1973. - V. 33. - P.145-164).

• В диссертационной работе понятие "свойство Ли-Янга" предлагается определять Для изотропных мер (мера Ч^ вида (2.1.3) являете« таковйй). К изотропным относятся меры, для которых

j ¿|Л(Ч>) = j cA^w) А ' UA

для любого борелевского подмножества A

а147 и всех UëOLMj. В рассмотрение вводится класс «^n/ изотропных борелевских мер на 1Я ^ , для которых при некотором а> О :

j < оо .

Для jj.éJTX,^ вводится преобразование Лапласа

, (2.2.1)

IR^

при этом нетрудно доказать, что I*") продолжается по хеК*7 на С ы до целой функции, а также = УиеО(^)

Используя последнее, для ОО можно построить другое продолжение. Пусть / Со) > о } . Обозначим через 6)^ множество полиномов над от х 6 ИЗ.1^ таких, что

Р (V), ^иао(ы)^ Дяя кадцого такого полинома существует полином р(ь") , 5 6 С. такой,что |э(Сх,->О)=.£(>0«

Пусть X: р(*)!-» В (<) = рС^.«)» =

= £* ]- . Наделим ■ топологией равномерной сходимости на компактных подмножествах С , и пусть "С - слабейшая топология на О. м , в которой отображение X непрерывно, О - замыкание (2л/(»У) в такой топологии. Определение 2.2.2. Мера ^бЛГС^ обладает свойством Ли-Янга, если ее Лаплас-преобразование (2*2.1) Fjj.lt)

принадлежит .

Совокупность мер, обладающих свойством Ли-Янга,обозначается через Для каждой р Д^ () существует такая, что

при этом из принадлежности к следует

^ (?7= в (1-^Ггг); (2.2.3)

г J

Во второй главе диссертационной работы исследованы свойства мер из $Пыие) , связанные с представлением функций (2.2.2) в виде (2.2.3).

Легко видеть, что выражение (2.1.3) определяет семейство мер, определенных на (Я^ с различными Л/ . Для таких мер зависимость /¿и от Л/ удается описать явно. В диссертационной работе такое описание строится на основе введения понятия "усиленная изотропность мер". Пусть сУС^1^) - пространство

Шварца основных функций. Локально-выпуклая топология на нем вводится с помощью набора норм { 11 • " р^) : р, <\ £ + } ,где'

НКр^а^ = \ ■. ос, [ъ е ■

х^Л"' / т>= ОМ ■•■ } х^

9

Для функции СЬ) , определенной на через {Ч3}^ обоз-

начим совокупность ее расширений на Я , то есть

с помощью набора таких норм введем топологии .на фактор-пространстве , где £ №) = {feьPCR■)\j(í)=0, } , Полученное пространство обозначим через

определим отображение ^-(>0 ^^ (.*)•'— ,

0€ О (.ы) , сохраняющее принадлежность к .

Рассмотрим теперь пространство обобщенных функций которые будем обозначать через Тех) , при этом для

$ {-ООТ(>ОсАх . Я ^

Обобщения функция Т € яУ'СШ^) называется изотропной,если Т<Л= для всех У6 О СЫ) . Пусть

ч/ы и чУ^ - подпространства основных и обобщенных изотропных функций соответственно. Известно, что между оУд/ и

существует изоморфизм, определяемый с помощьп соотношения | = - Ч> (. Обозначим через «У^, слабое замыкание «>л/ , а через (1Й.+) - замыкание ) в наислабейшей топологии

на , в которой отображение | н> Ч' непрерывно про-

должается на . Пусть <У = (Й+) ,

при этом такое пересечение непусто, поскольку 0/(^4.) в нем содержится.

Определение 2.3.2. Конечная положительная мера ^ на йЧ м называется усиленно изотропной, если существуют такие а> О и ТС У №+) , что

• сЛ^ицз)^ е^р ч^) ] ТСС^^))^^ (2.3.1)

Для таких мер преобразование (2.2.2) дает

■ьъо

ы

^ з1 и ¡± С ) , (2.3.5)

О

где функция {г) определяется соотношением (1.2.8). Такое

представление ^рЛ-г) позволяет явно учитывать ее зависимооть от /ч/ . Если для в виде (2.3.1) ввести обозначе-

ние ^(л. (г) = ( г ; м) , то из (2.3.5) непосредственно следует.

го

/т(г; А/+2т) = ^1x15) 2 (Ъ) V) . (2.3.6)

С учетом замкнутости класса относительно дифференцирования

имеем: У + 0 «= • = р (г

при этом справедлива такая лемма.

Лемма 2.3.1. Пусть при некотором М61Ы усиленно изотропная мера (2.3.1) обладает свойством Ли-Янга. Тогда для всех

(г-; , то есть все такие меры, соот-

ветствующие размерностям л/+о?т обладают свойством Ли-Янга с- усилением.

Основная теорема данной главы формулируется следующим образом.

Теорема 2,3.1. Пусть функция (г) такова, что при некотором ее производная Ч(г) = -ф uwit

удовлетворяет условии: + L~\ .Пусть также функция

а /г") € L~t • ТогДа уоиленно изотропная мера и

да*,*)) е*р|> qp^^jdi/) (2.3.7)

обладает свойством Ли-Янга при всех ^ е ^. Замечание I. Для случая Ы= i ; ± ; Ф fr^))^

= ad\4> , й_> О из теоремы 2.3,1 следует результат Пойя ( Polya G. Bemerkung über die Integraldaratellung der Riemannachan Punktion // Acta Math. - 1926. - V. 48. - Р.Э05-. 317), относящийся к проблеме нулей римановых целых функций. Для 1 ; ± из этой теоремы следует также теоре-

ма 3,1,8 из монографии Л.Илиеза.

Замечание 2, Случай C)(z)s L и 4PCs)=G5 + 65 отвечает мере типа Ч1^ (2.1.3) (см.выше). При этом ЯР(&) удовлетворяет условиям теоремы 2.3.1 при всех afIR и О . Как отмечалось выше, ранее было доказано наличие свойства Ли-Янга у мер типа при ы~ i; Z » 3 • Наличие такого свойства при всех N следует из теоремы 2,3.1 непосредственно, а также, с учетом ранее доказанного, из леммы 2,3.1. Замечание 3, Для 9f2)S 1 и =3 , л/= 1 в

упомянутой выше монографии Б.Саймона приводится пример Фсь) , для которой соответствующая мера (2.3.7) не обладает свойством Ли-Янга. Нули <£'("£) + £> из такого примера имеют вид

при а>0;'с>^>0 . Оба нуля либо положительны, либо имеют положительные действительные части.

Замечание 4. Теорема 2.3.1 дает критерий, позволяющий для изотропных полиномов устанавливать при всех N

наличие свойства Ли-Янга у мер вида-

О таком критерии шла речь в упомянутой выше монографии Дж.Глим-ма и А.Джаффе,

Далее в данной главе рассматриваются гиббсовские меры,определяемые следующим образом. Пусть ЗЕТ - некоторое счетное множество, с каждым элементом которого связан случайный вектор о(С)£ (Цы , ¿еЗ , называемый в математической физике спином. Пусть также задана функция = С) , отображающая г в Е- , и семейство вероятностных мер на

^ { : £ € 3 . Для некоторого Л определим

квадратичную форму

Тогда гиббсовской мерой в Л будем называть следующую вероятностную меру на И-ннм: |Л1 <г оо ):

ностную меру на И (Л при этом предполагается конеч-

А Уел

где множитель 1?д выбирается из условия нормировки

Далее под спиновой моделью в диссертационной работе имеется в виду пара: функция Л*!'^') и семейство мер {■}(• : ] £ Е принадлежащих <ЗЛ ^ , такое, чтр гиббсовская мера ¿1(-<д существует в каждом конечном А , по крайней мере при малых значениях ^ .

Для заданной функции о. •■ НГ 11?. рассмотрим меру Р определяете следующим образом:

^ j £ (е-- £ си 1)<Л0)^,(1.4.2)

где 2(0 - дельта-функция П.Дирака. Далее в диссертационной работе ставится следующая проблема.

Про б'л е м а 2.4.1. При каких условиях на число М и функции й. С О . ¿ГС*; • ) из наличия свойства Ли-Янга у мер

"{/^С 1 2 } следовало бы наличие такого свойства у мер (1.4.2) для некоторого стандартного способа выбора Л ^ СЕ ?

В четвертой главе диссертационной работы доказаны две теоремы, дающие ответы на сформулированный выше вопрос. Первая из них охватывает случай всех натуральных АУ , но при этом на функции а (• Ч и 7 налагаются требования определенной симметрии, отвечающей так называемой обобщенной иерархической модели, построению которой посвящена третья глава работы. Вторая теорема, описывающая случай' ; ЛЧ;;]) = Т при I ^ — ^ 1=4. и в остальных случаях, охватывает случай всех четных N6: £ч/ , при этом на меры налагается требование усиленной изотропности.

Третья глава диссертационной работы, носящая название "Иерархические модели", посвящена введению в рассмотрение спиновых моделей, для которых теоремы типа Ли-Янга, дающие решения проблемы 2.4.1, доказываются в наиболее общем виде. Пусть

^ р> 1 - набор не более чем счетных множеств, свя-

занных между собой отображениями "на" Нр : ЗЕГр —* ЗГр + 1 > не являющимися биекциями. Обозначим Кр(С) = {г е ¿р I

} ; + 1 , потребуем конечности всех Кр(0»

при этом с учетом предыдущего имеем: 3 кр(С) : | ^р(С) I > 1 . Через $ (Нр) обозначим группу всех перестановок на 31 р , а через £ (М Для некоторого А £ 1Е1 р обозначим подгруппу

г) перестановок, тоадественных вне А . Пусть ^р -совокупность числовых функций на р , то есть отображений

•) : jE^p ^ . Через обозначим совокупность

функций, относительно которых любое Кр (С) инвариантно. По определению подмножество Л S ZETp инвариантно относительно Ffe^p » если для всех (t;j)6 Elp имеет место

равенство: ^ ^ 'J,p = TTj ) , Оказывается, что между

Jp и + i существует взаимно однозначное соответствие, устанавливаемое равенством

F ( I ; р = & (х р t f) к р (j) ) .

Пусть Sij=4~ при i-j и при Г^у . Далее, через ^р

обозначается совокупность функций из J~p , представимых в виде'

F(.';j) = fin^ij + F'f , (3,1.1)

где , V i- — р , а F £ ,В силу упомянутого

выше изоморфизма функция представит в

виде

F ( 'Ту) = /(О^ + б, fxpifjj к у; ) . (3.1.2)

Далее, через ^ +1 обозначается совокупность таких функций

из ^"р , для которых ^ в представлении (3.1.2) принадлежит JF- р+ . Аналогичным образом определяется JF ,

<V > р , при этом .F+ сг у + t v • Далее

ВВОДЯТСЯ Г т

оо

= Jf\ . ^ +

Р; Ч. ' 0, оо

срр+<

Определение 3.1.4. Иерархической структурой на

счетном множестве ZZ называется совокупность множеств { •' р} НJ и отображений ^Хр : рб Z^-} .

Пусть Хр ° Xp.i - композиция соответствующих отображе-

ний. Определим

- } ; (зл.з)

^е 1Е1 р, ; рб/М. Для р = 0 положим ^ ^ •

Пусть также

п(*/у)= тл.п : (гё

Определение 3.1.6. Спиновая модель, определенная на множестве 2И , называется обобщенной иерархической моделью, если существуют иерархическая структура на 21 и

функция ЛС-) : 2ЕГ —1► х { О } такие, что F(i;j)~

~ ЗСч])принадлежит -З*"*" .

Существенной особенностью так определенной модели является то, что соответствующая ей квадратичная форма НС — ) может быть представлена в виде

оо

?рС!)(ерИ),б-оО), (3.1.6)

Гр(Г) = 2_ (J) . C3.I.7)

Одним из примеров обобщенной иерархической модели является модель Дайсона ( Dyaon P.J. Existence of plmse transition in one-diroanaional Ising forromagnet // Commun.lIalU.Phya. -196'J. - V. 42. - P. 31-40 ) - исторически первая модель такого рода, всесторонне исследованная в работах П.М.Блехера и его соавторов. Примером обобщенной иерархической модели, противо-

положным в некотором смысле модели Дайсона, является цепочка спинов на IT = IN с функцией J li;j )= е*р(-е. I i-JI ) ; с^О. Полагая a(i)= evp (.a'J ,

~ = {fflN |f-pi ffV) ,

3f

p(p + 0= x + = pvl i , V р+л ,

получаем F l ' ij )= J C'jj ^рб c' <7 I + с Ну'))

FtJ+, при этом

Существует еще одна модель, вписывавшаяся в рассматриваемый класс обобщенных иерархических моделей. Такая модель вводится в данной главе диссертационной работы как математическая формализация приближенного метода описания трехмерной модели Изинга, основанного на использовании коллективных переменных, изложенного в упомянутой выше монографии И.Р.Юхновского. В рамках такой модели все множества £ (3.1.3) устроены одинаковым образом из подмножеств гп » при этом каждый "блок" ^ содержит

в себе |М "подблоков" Вероятностное распределе-

ние суммарного спина "блока" Ур сГр - ""(у) описывается с помощью меры (о-) : ^ Г

РсоЬ{<г е-й} = . ре ,

Ь

при этом последовательность мер -{ + | задается с по-

мощью рекуррентных формул.

<*РП(5)= ^ е^р^Г^^р.С^-ОСб-^)]^^^ , (5,1.1)

2-1

Б Г

г=1 г = 1

Число X > О связано с аоимптотикой функции ) при

I; —( -оо в исходной модели. В основе соображений, ведущих к такой модели, лежат следующие рассуждения. Естественным свойством спиновых моделей, отвечающих реальным физическим обьектам, определенных на С Л & ¡М ) , является их трансляционная инвариантность , то есть инвариантность относительно сдвигов на 2 ^ . Такая инвариантность связана с тем, что функция Л! зависит лишь от евклидова расстояния между точками ( & ^ ^ ; у ь ¡Я0*. Но в так называемых критических точках предельным (при ) гиббсовским мерам присуща некоторая специфическая симметрия, подобная симметрии иерархических моделей. Явный учет такой симметрии желателен при построении приближенного описания трансляцион-но инвариантных моделей, не поддающихся точному решению. В методе И.Р.Юхновского вта идея реализована в схеме послойного интегрирования в пространстве коллективных переменных, основанного на двух приближениях. Основным аффектом таких приближений является замена исходной трансляционно инвариантной (эвклидовой) метрики иерархической метрикой, вводимой о помощью функции Такая замена в третьей главе проводится явным образом, получен -нал в результате иерархическая модель, описываемая соотношениями (5.1.1), (5.1.2), называется иерархической версией исходной трансляционно инвариантной модели. Завершение третьей главы но -священо анализу следствий перехода от исходной модели к ее иерархической версии на примере двух трансляционно инвариантных моделей.

Четвертая глава диссертационной работы, носящая название "Свойство Ли-Янга некоторых спиновых моделей", посвящена доказательству наличия свойства Ли-Янга у обобщенной иерархической модели и у цепочки спинов на |Ы . Под свойством Ли-Янга спиновой модели имеется ввиду наличие такого свойства у мер Р^ (1,4.2) при условии его наличия у мер 4*7(1 : I е 31 } > о именно, в данной главе доказана такая теорема.

Теорема 4.1.1. При выполнении условий: а) N6 N ; б) 3 («;.)') /а1 Оа»}") ё Э7 + . из наличия свойства Ли-Янга у

мер : (" 6 ~E. f следует его наличие у мер Pw при всех

L _J л,г

nel+ . <"е о •

В основе доказательства такой теоремы лежит сохраняющее принадлежность к классу ¿6 свойство дифференциального оператора

(^fnl') Л ti ) , устанавливаемое теоремой 1,4.1. Далее в данной главе подробнее рассматривается случай иерархической модели, возникающий в методе коллективных переменных, описываемой рекуррентными соотношениями (5.1.1), (5.1.2). После перехода к функциям f (2.2.2) для мер Рп , из (5.I.I),

(5.1.2) получаем:

ч г- - п г 1 * -, /

= ' р, 15-О JCfn-1 (*■> ) .

Для обеспечения сходимости последовательности целых функций -{£ г, (г") •• 2 + } необходима перенормировка аргументов таких функций, чему соответствует перенормировка спинов <гп , являющихся суммами исходных спинов подмножеств V,, . Такая перенормировка имеет вид (г! •• = ( г 5" П(1 +>° ) » что дает

л 5"

при этом теорема 4.1,1 следует из сохранения принадлежности к & оператором, определяемым правой частью (5.1.7). Неподвижные точки этого оператора являются пределами последовательностей , В данной главе предъявляются две такие точки: Сг)Н 1 ;

1 2(г)= ' а также Д°каэьшается ряд утверждений,

описывающих другие возможные неподвижные точки.

Далее в четвертой главе доказана еще одна теорема о наличии свойства Ли-Янга. Рассматривается спиноЕая модель на 31 — И4^ с функцией Л" (.!; ;) = О при 1 < | + 1 и ЛЧ р = Т(1;С-н)=

= 3 (! ■) > О .В качестве подмножеств Л выбира-

ются Л ^ = А {'»2 ; •i •; л } .

Теорема 4.2.1. Пусть свободные меры -(. : Ь.б-Вч'} спиновой модели, определенной на Ы , с функцией л. С; { ) =

усиленно изотропны и при 1. обладают свойством Ли-Янга. Тогда при выполнении условий:

а) Гч/ •= 2 + 2. т

, т е ,

б) ЛЬ) /<х(Ыа(Ь + 0 » О i ¡Ы ,

меры Рд обладают свойством Ли-Янга.

Пятая глава диссертации "Предельные теоремы для моделей, обладающих свойством Ли-Янга" посвящена доказательству сходимости к упомянутым выше неподвижным точкам, описывающим обобщенные иерархические модели, возникающие в методе коллективных переменных. Такие модели описываются рекуррентными соотношениями (5.1.1), (5.1.2). Нетрудно убедиться в том, что вти соотношения сохраняют класс изотропных гауссовоких мер, для которых они определяют отображение вариаций О-п-1 ^ °п . Такое отображение является довольно простым (оно рационально), ввиду чего этот случай становится тривиальным в некотором смысле. Далее нас будут интересовать нетривиальные исходные меры у. , принадлежащие классу

= Селр(ыг)-, С > О/'о'»о/, то есть принадлежащие классу негаус-совских мер, обладающих свойством Ли-Янга. Воспользовавшись перенормировкой £гп »-» егп 5 ~пГ 1 + , то есть вводя

, представим (5.1.1), (5.1.2) в виде.

е*р[ ¿^С^-Ос^сг) ] Тп15^сг , (5.1.3)

* г»

' А '

г= »

г-1

(5.1.4)

В пятой главе доказаны следующие предельные теоремы. Теорема 5.1.1. Для произвольной меры ^ £ ЯТ^ 1 ) существует такое : 0 < 4 + оо , что для Р0- и Р>< (Ь* последовательность Рп : п^ 2 + } , определяемая соотношениями (5.1.3), (5.1.4), асимптотически вырождается в точке чг - О ,

Теорема 5.1.2. Для Х& (О; ^(¡1) существует подмножество с ШТ|Ч_|( ) со следующим свойством. Для каждой меры ^ €£01,^ (Х-) существует конечное ^Ъ * такое, что при выборе Р0 - у. и р> = (Ь*. последовательность 4 Рп •• и€1 сходится к изотропной гауссовской мере с вариацией (У^ . Для

< (Ъ* последовательность ]- асимптотически вырождается в точке с- О

Замечание I. Асимптотическое вырожденке последовательности 4 Ри } 1 0 котором идет речь в обеих теоремах, связано с наличием дополнительного к классическому 5'^12. перенормировочного множителя О) . Оно соответствует слабой зависимости, либо независимости, спинов подмножеств , образующих множество . Сходимость к невырожденному гауссов-скому распределению при р. = (Ь.^ означает наличие сильной зависимости между упомянутыми спинами. Последнее с физической точки зрения трактуется как пребывание описываемой спиновой модели в критической точке.

Замечание 2. Меры типа ц> ^ обладают свойством Ли-Янга при всех /V , что следует из теоремы 2.3.1. Для мер вида

dyii*) - С елср (- J- (6-, г) - ±f (<г,<г)х)е*<г ; (5.1.5)

при наложении ограничений сверху на и. подобные теореме 5.1.2 утверждения были доказаны в работах Блехера и его соавторов (см. обзор: Bleher P.M., Major P. Critical phenomena and universal exponent in statistical physics. On Dyson's hierarchical model.// The Annals of Probability. - 1987. - V. 15, № 2. - P. 431-477 : к содержанию данного замечания относится теорема 4.1 в этой работе).

Замечание 3. В ходе доказательства теоремы 5.1.2 класс мер flTL^jlW) строится явным образом, при этом анализируются ограничения, определяющие этот класс, в результате чего показано,

что при малых значениях X этот класс может совпадать с

Заметим также, что техника доказательства теорем, подобных теореме 5.1.2, в работах Блехера существенно использует форму начального распределения (б.1.5), что делает возможность ее обобщения на другие распределения крайне проблематичной. В нашем же случае существенно используются исследованные в предыдущих главах свойства мер из класса ДТС ^ L ) .

Основные положения диссертации опубликованы в следующих работах:

I. Yukhnovsky I.R., Kozitsky Yu.V. Phase transition generalized hierarchical model in the collective variable method. - Kiev, 1960. - 30 p. - (Prepr./Academy of Soienoea of the Ukrainian s3r. Institute for Theoretical Physics; ITP-80-60E). 2' Козицкий Ю.В., Юхновский И.P. Обобщенная иерархическая модель скалярного ферромагнетика в методе коллективных переменных// Теорет. и мат. физика. - 1982. - Т. 51, )i 2. - С. 268-277.

3. Козицкий Ю.В. Иерархическая векторная модель ферромагнетика в методе коллективных переменных. Теорема Ли-Янга // Теорет. и мат. физика. - 1904. - Т. 50, № I. - С. 96-100.

4. Козловский M.П., Кориневский Н.А., Козицкий Ю.В. Применение метода коллективных переменных в теории фазовых переходов второго рода. Модель Изинга, кластерные модели, иерархические модели // Проблемы современной статистической физики: Сб. науч. тр. / Редкол. Боголюбов Н.Н. (отв. ред.) и др. - Киев: Наук, думка, 1985. - С. 140-158.

5. Kozitsky Yu.V. 0(n) hierarchical ferromagnetic model. The Lee-Yang theorem for arbitrary n // II Soviet-Italian Symposium of the Mathematical Problems of Statistical Physics, Lvov, September 30 - Ootobei1 11, 1985.: Abstracts of Contributions. - Kiev, 1965. - P. 62-63.

6. Козицкий Ю.В. Иерархическая модель векторного ферромагнетика в методе коллективных переменных. Автомодельные распределена блочного спина. - Киев, 1906. - 44 с. - (Ирепр./АН УССР. Нн-т математики; 86.27).

7. Козицкий Ю.В. Порядок негауссовской неподвижной точки ренор-мплизационных преобразований в иерархической модели ферромаг-j нетика// Докл. АН УССР. Сер. А. - 1906. - № 4. - С. 61

8. Kozitsky Yu.V. Hierarchical model of a vector ferromagnet. 'Self-similar blook-spin dJ ■ ^ributiona and the Lee-Yang theorem // Reports on Hath. Phya. - 1988. - V. 26. - P. 429-445.

9. Козицкий Ю.В., Мельник И.О. Собственные функции дифференциальных операторов бесконечного порядка в классе целых функций Лагерра // Докл. АН УССР. Сер. А. - 1988. - № 2. -

С. 9-12.

10. Козицкий Ю.В., Мельник 11.0. Случайные векторы, обладающие свойством Ли-Янга // Современные проблемы статистической физики: Тр. Всесоюз. конф., Львов, 3-5 февр 1987 г. - Киев: Наук, думка, 1989. - Т. I. - С. 323-326.

11. Козицкий Ю.В., Мельник 11.0. Собственные функции дифференциальных операторов бесконечного порядка в одном классе целых функций // Дифференц. уравнения. - 1989. - Т. 25, № 7. -

С. 1273-1275.

12. Козицкий Ю.В., Мельник И.О. Случайные векторы, удовлетворяющие обобщенной теореме Ли-Янга // Теорет. и мат. физика. -1989. - Т. 78, № 2. - С. 177-186.

13. Козицкий Ю.В. Свойство Ли-Янга некоторых изотропны;; спиновых моделей // Теорет. и мат. физика. - IS90. - Т. 83, № I. -

С. 23-33.

14. Козицкий Ю.В. Целке функции Лагерра: сохраняющие принадлежность дифференциальные операторы и интегральные представления. - Киев, 1990. - 19 с. - (Препр. / Ail УССР. Ин-т. математики; 90.53).

15. Козицкий Ю.В. Термодинамический предел в, иерархической векторной модели ферромагнетика, обладающей свойством Ли-Янга// Методы функционального анализа в задачах математической физики. - Киев: Ин-т математики АН УССР, 1990. - С. I0I-IG8.

16. Козицкий Ю.В. Термодинамический предельный переход в векторной иерархической модели, обладающей свойством Ли-Янга// Докл. АН УССР. Сер. А. - 1990. - Г? 12. - С. 9-12.17. Kozitsky Yu.V., Barbuliak IV.S. Thermo dynamical limit at the

critical point for the phase transition hierarchical model jyith many component order parameter//I советско-польский симпозиум no физике сегнетоэлектриков и родственных материалов, Львов - 4-8 июня 1990 г.: Тез. докл. - Киев: Ин-т теорет. физики,1990.- С. II-12.