Уединенные волны в плазме с магнитным полем тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени М.В. ЛОМОНОСОВА

На правах рукописи УДК 532.59:533.95

Жарков Алексей Аркадьевич

УЕДИНЕННЫЕ ВОЛНЫ В ПЛАЗМЕ С МАГНИТНЫМ ПОЛЕМ

01.02.05 - Механика жидкости, газа и плазмы

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико - математических наук

Москва -2005

Диссертация выполнена на кафедре гидромеханики механико-математического факультета Московского государственного университета им. М.В. Ломоносова

Научный руководитель: доктор физико-математических наук

А.Т. Ильичев

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор К.В. Краснобаев

кандидат физико-математических наук Н.А Белов

Ведущая организация: Объединенный институт физики

Земли им. О.Ю. Шмидта РАН

Защита состоится 8 апреля 2005г. в 16 ч. 20 мин. на заседании Диссертационного совета Д.501.001.89 при МГУ им. М.В.Ломоносова по адресу: 119899, Москва, Воробьевы горы, МГУ, Главное здание, механико-математический факультет, аудитория

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механико математического факультета МГУ.

Автореферат разослан " Л " ьАЛ&^^у---:2005г.

Ученый секретарь Диссертационного совета доктор физико-математических наук

А.Н. Осипцов

Общая характеристика работы

Актуальность проблемы

Уединенные волны относятся к общему классу непериодических бегущих волн постоянной формы, основной характеристикой которых является убывание или выход на периодическую асимптотику на бесконечности В диспергирующих средах уединенные волны появляются вследствие баланса эффектов нелинейности и дисперсии

Широкое применение для моделирования динамики длинных волн малой конечной амплитуды в большом числе диспергирующих сред имеет уравнение Кортевега - де Вриза (КдВ) Свойства этого уравнения таковы, что оно описывает достаточно общий класс локализованных возмущений, которые распадаются с течением времени на последовательность классических уединенных волн (солитонов) Хотя для большого числа диспергирующих сред и существуют области физических параметров, в которых для длинных волн малой амплитуды формально выводится уравнение КдВ, солитонные решения в полной системе уравнений для них отсутствуют В этих областях имеет место замещение солитонов обобщенными уединенными волнами - бегущими волнами, подобными классическим уединенным волнам, но с периодической асимптотикой на бесконечности Присутствие в системе обобщенных уединенных волн приводит к излучению периодических волн при распаде локализованного возмущения, что коренным образом отличается от распада локализованного возмущения в случае присутствия классических уединённых волн В этих случаях не достаточно использовать модельное эволюционное уравнение, поскольку оно не учитывает ряд важных свойств волновых процессов

В различных моделях плазмы, рассмотренных, например, в широко известных работах Р 3 Сагдеева, Б Б Кадомцева, В И. Карпмана. Считается, что при описании •эволюции плоских длинных волн в этих моделях, вместо полной системы уравнений можно использовать асимтотическое уравнение КдВ представляется актуальным рассмотреть простую классическую модель плазмы и исследовать эффекты, имеющие место в полной системе уравнений модели И как следствие - выявить принципиаль-

ные отличия в этих описаниях. Совершенно ясно, что существенное влияние при этом могут оказывать короткие волны, которые не учитываются асимптотическим уравнением.

Цель работы

Исследовать влияние коротких волн на существование локализованных волновых структур постоянной формы и эволюцию возмущений в рамках двухжидкостной модели плазмы с установившимся максвелловским распределением в каждой из заряженных жидкостей. Плазма помещена в однородное магнитное поле; для давления в каждой из компонент принят закон политропии.

Научная новизна

Показано, что для рассматриваемой модели плазмы, описываемой уравнениями (2), для широкого диапазона параметров физически реальных систем решениями являются обобщённые, а не классические ускоренные и замедленные магнитозвуковые уединенные волны (солитоны). Они являются результатом нелинейного резонанса солитонов и периодических волн. Теоретический анализ подтверждают представленные в работе результаты численного моделирования квазистационарного механизма распада соли-тоноподобных магнитозвуковых возмущений.

Практическая ценность

Полученные в диссертации результаты вносят вклад в общую теорию устойчивости волновых движений плазмы и дают представление о возможных новых механизмах распада локализованных структур.

Предложенные методы аналитических и численных расчетов могут использоваться при исследовании динамики плазмы в магнитосферах планет и межпланетном пространстве, а также в других приложениях астрофизики.

Апробация

Результаты работы докладывались на Чебышевских чтениях в МГУ им М В Ломоносова (1996г.), на семинаре под руководством чл-корр РАН А Г Куликовского в МИАН им В А Стеклова (1997г ), на семинаре по проблемам механики сплошной среды под руководством проф А А Бармина и чл -корр РАН А Г Куликовского в Институте механики МГУ им М В Ломоносова (2000г ), на семинаре под руководством проф В Б Баранова в ИПМ РАН (2002г ), на расширенном семинаре кафедры "Высшей математики" МГТУ им Н Э Баумана под руководством проф Г Д Карташова (2003 г ), на семинаре кафедры гидромеханики под руководством проф В П Карли-кова, проф А А Бармина и чл -корр РАН А Г Куликовского в Институте механики МГУ им М В Ломоносова (2004г )

Публикации

Основные результаты диссертации опубликованы в 4 работах список которых приведен в конце автореферата

Структура и объём диссертации

Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, дополнения и списка литературы Работа изложена на 87 страницах, содержит 10 рисунков, 2 таблицы и список литературы из 70 наименований

Основное содержание работы

Во введении Дан обзор работ, посвященных данной тематике, и указано место среди них проведённых в диссертации исследований. Сформулированы полученные результаты, а также описана структура работы.

В главе 1 приводятся уравнения модели простой изотропной плазмы, состоящей из двух заряженных жидкостей - ионной и электронной,- помещенных в магнитное поле'

(1)

Обозначения всех физических величин и параметров системы (1), а также используемых ниже,приведены в Табл. 1.

Применимость модели обеспечивается определённой иерархией времён релаксации При этом характерное время явления удовлетворяет условиям и одно-

временно т 4С т^,. Здесь в качестве те и г, указаны времена релаксации в ионной и электронной компонентах, а - характерное время обмена энергией между ионами и электронами. В течение времени в каждой из заряженных жидкостей успевает установиться максвелловское распределение.

Предполагается, что в жидкостях происходят изотеримический и адиабатический

процессы В первом случае уравнение энергии определяет потоки тепла, необходимые для поддержания равновесных температур на временах порядка т Второй тип процессов связан с отсутствием внешнего притока тепла к системе Для ионной и электронной жидкостей используются уравнения состояния идеального совершенного газа с существенно различными температурами Т, Цсй. Табл. 1)

Первые исследования плоских волновых движений в рамках гипотетической модели плазмы, помещенной в магнитное поле, проводились в 60-е годы прошлого столетия и описаны в работах Д Монтгомери, Т Стикса и Л Спитцера В них рассматриваются частные решения уравнений переноса в холодной плазме Модель плазмы с

изотермическим давлением в частных случаях рассматривалась японскими

учеными Т Какутани и Т Кавахарой

В п 1 1 проводится упрощение системы уравнений (1) для квазинейтральной плазмы при наличии ряда дополнительных условий (см табл 1)

• альфвеновская скорость Уд настолько меньше скорости света с, что величина

пренебрежимо мала,

• характерная частота явления Шц много меньше лэнгмюровской частоты а отношение частоты столкновений в электронной компоненте к конечная величина

Уравнения движения системы (1) содержат диссипативные члены, связанные с силой торможения электронной жидкости, а также члены с дисперсией, обусловленной инерцией электронов Условие, при котором диссипативными членами можно пренебречь по сравнению с дисперсионными, имеет вид шгте 1 Это условие выполняется, в частности, в достаточно разреженной плазме с большими пространственными масштабами

С учетом принятых предположений рассматриваемую систему можно упростить и переписать в виде замкнутой системы, из которой исключены компоненты плотности и скорости электронной жидкости, а также электрическое поле Далее в диссертации рассматриваются плоско- параллельные волновые движения под заданным уголом 8 по отношению к вектору внешнего магнитного поля За направление движения волн

Таблица 1. Обозначения (CGS)

Обозначение Содержание введенного обозначения

время в секундах

массы покоя иона и электрона

плотности числа частиц ионов и электронов

векторы скоростей ионой и электроной жидкостей

вектор индукции магнитного поля

вектор индукции невозмущенного магнитною поля

число частиц в ед объема в невозмущенном состоянии

постоянная Больцмана

давление в ионной (а = г) и электронной (а = е) жидкостях равные, соответственно, ра = кьпаТа линейный пространственный масштаб альфвеновская скорость Уд = |Во|[47ГПо(те + т,)] ^ характерная частота явления а>о —

лэнгмюровская частота электронов шр = \^ще2/те

ионная и электронная циклотронные частоты ша = е|Во|/(тас), а — г, е

параметры дисперсии Яа = ша/шо, а — ( е

дебаевский радиус Ап =

тепловые скорости ионов и электронов Уа = ^кьТа/та, а = г, е безразмереные тепловые скорости ионов и электронов /За = У^/Х'а, а = г, е эффективная скорость звука /3 = \/{те + тг)_1(т,Д2 + безразмеренные волновая частота и волновое число безразмеренные характеристические скорости медленной (-) и быстрой (+) бесконечно длинных волн

выбрана ось Ох. Основная система уравнений в безразмерной форме имеет вид (п. 1.2):

В системе участвуют: функция безразмерной плотности числа ионов (п = щ/щ), компоненты вектора безразмерного вектора скорости ионной жидкости = {u,v,w), компоненты безразмерного вектора магнитной индукции - а также безразмерные временная и пространственная переменные, угол между нормалью к фронту плоской волны и вектором индукции Во. В состоянии покоя функции и, V, W, Вх, Ву, В2 имеют з н а li, 0, ft 1и> ocs^, ош<0, т, в е т -ственно, а компонента - постоянная величина.

Дисперсионное соотношение системы (2) зависит от двух параметров: угла 6 между нормалью к фронту волны и вектором магнитной индукции, а также параметра /3 (см. Табл. 1). При 0 дисперсионное соотношение системы (2) имеет три ветви. Их названия связаны с характеристическими скоростями Vo = limш(к)/к в пределе бесконечно длинных волн. Последние совпадают с хорошо известными из МГД-теории скоростями быстрой (ускоренной), медленной (замедленной) и альфвеновской волн. Ниже V¡) будут называться резонансными скоростями. Важным свойством дисперсионного соотношения является совпадение (или резонанс) фазовой и групповой скоростей линейных волн. Особый интерес представляет случай их равенства с Vo. Как известно, скорости уединённых волн близки к резонансным скоростям. В случае общего положения резонансы имеют место (см. рис. 1):

о) б)

Рис 1 Кривая 2 - быстрая магнитозвуковая ветвь при /3 > Д. и 0 < @с (б), стремящаяся к асимптоте (штриховая линия 3) при t -»со В случае (б) имеется резонанс длинной и короткой магнитозвуковых волн прямая 1, касательная к 2 в нуле, пересекает 2 при к = В случае (а) имеет место простой резонанс

• при 0 > Рс(6) = (р'1 + 1) ((р +1) COS2 в — 1)) на быстрой магнитозвуковой ветви, когда прямая ш = Vgk касаегся в начале координат только одной кривой в нуле и не имеет других, отличных от нуля, точек пересечения с кривыми дисперсионного соотношения (рис 1а),

• при ¡} < Iвс(в) на быстрой магнитозвуковой и всехй на медленной магнитозвуковой ветви (рис 16), когда касательная в нуле к быстрой (Vo = V+) или медленной

ветви, кроме того, пересекает одну из ветвей ровно один раз

В главе 2 Уравнения системы (2) записаны для бегущих волн Они зависят от £ = х — Vt Волны рассматриваются в окрестности резонансных скоростей Vo, т е V — Vo + p, ""Де р. - малый параметр Решения такого типа описывает четырехмерная динамическая система, которая получается из (2) после однократного интегрирования

по

rfw

— = A(m)W+JF(M,W), (3)

где w = (v,w,by - By - sin Вг), A(fi] - матрица 4 x 4, a T - нелинейная вектор-

функция

Плотность и и компонента скорости « выражаются через четыре неизвестные функции Постоянные интегрирования выбираются так, чтобы состояние покоя удовлетворяло системе (3)

В п 2 1 рассматривается случай /? > 0С при скоростях близких к — У+ Для волн достаточно малой амплитуды теорема о центральном многообразии позволяет свести систему (3) к динамической системе второго порядка Показано, что послед няя может быть приближена интегрируемой системой дифференциальных уравнений в квазинормальной форме, зависящей от малого параметра с точностью до произвольного алгебраического порядка по этому параметру

В п 2 2 рассматривается случай (3 < 0С Дл* Уо = У+ и произвольных /? ДЛЯ Уд = В этих ситуациях порядок системы (3) не понижается и для поиска решений типа уединенных волн производится замена переменных, выделяющая из искомого решения длинноволновую и коротковолновую составляющие Для этих случаев также приведены системы четвёртого порядка в квазинормальной форме

В п 3 1 главы 3 доказано, что семейство солитонов удовлетворяет системе, построенной в п 2 1 и существует близкое к нему семество солитонных решений исходной системы (3) Это решение имеет вид

где С,Б I а - некоторые постоянные векторы и скаляр, зависящие от физических параметров

В п 3 2 показано, что приближенная система уравнений, построенная в п 2 2 , в любом алгебраическом порядке по амплитуде также содержит солитонное решение Однако последнее не обладает свойством структурной устойчивости в силу полной системы (3) При этом, главная часть решения полной системы, структурно близкая к (4), для достаточно малых значений параметра ц является "источником" экспоненциально малых незатухающих на бесконечности колебаний А с условием четности

компонент и нечетности асимптотика колебаний имеет вид

ехр ^ 81пд±;с[1 + £ -* +оо, (5)

Решение, главная часть котого близка к (4), а асимптотика определяется (5), представляет собой обобщенную уединенную волну

Как показывают оценки, проведённые в работе, в пределе холодной плазмы 1), быстрые магнитозвуковые обобщенные уединенные волны существуют в широком диапазоне О < в < 88,25°, а классические - в очень узком 88, 25" < в < 90° Это вносит существенную поправку к выводам, полученным в рамках широко принятого описания с помощью уравнения КдВ

В п 3 3 изучается эволюция начальных возмущений, близких по форме к уеди ненным волнам, полученным в пп 31,32 Поведение этих возмущений исследуется численно с применением конечно-разностной схемы Анализ производится при помощи численного интегрирования уравнений (2), где в качестве данных Коши берутся главные части (4), вообще говоря, не малой амплитуды Каждое уравнение системы (2) записывается в дивергентной форме и содержит производную по времени только от одной переменной, что позволяет устранить неустойчивость на границах Используется аппроксимация по времени второго порядка для неявной схемы с шаблоном типа "крест" Контроль вычислений проводится с помощью двуслойной неявной схемы первого порядка по времени Сравнение результатов для этих двух схем не выявило существенных различий из-за мелкого шага по времени, в расчетах поддерживалось условие Д( = СоДх3, где со - некоторая постоянная Для решения неявных дискретных уравнений был использован метод итераций

Из локализованного возмущения вида (4) с течением времени в области параметров, для которых существуют точные солитонные решения, формируется уединенная волна (см рис 2)

Для значений параметров, рассмотренных в п 3 2, уединенные волны замещаются обобщенно-уединенными и возмущение в форме (4) излучает резонансную периодическую волну с волновым числом, близким к Из рис 3 видно, что амплитуда излучения не является экспоненциально малой, как для малых т е при эволюции возмущений

Рис. 2: Эволюция начальных данных типа быстрой магнитозвуковой уединенной волны при в > 0С, р = 0,05, в = 1,555, 9С — 1,535, =0,5,4 = 0 (тонкая линия) и Ь = 250 (жирная линия). Движение происходит вправо.

умеренных амплитуд резонансная периодическая волна может играть существенную роль в балансе энергии. Анализ расчетов приводит к выводу о том, что излучение происходит тем интенсивнее, чем больше амплитуда начальной волны и чем ближе эффективная скорость звука /3 к критическому значению /Зс.

В п.3.2. также рассмотрена эволюция локализованных возмущений для медленной магнитозвуковой ветви.

В п.3.3. определены решения типа уединенных волновых пакетов в пределе холодной плазмы для продольного и близких к нему направлений движения волн.

В заключении дана сводка оригинальных результатов работы, полученных при исследовании полной системы уравнений модели плазмы в магнитном поле.

В приложении приведена численная схема для расчета нестационарных решений уравнений исследуемой модели. Кроме того, сформулированы теоремы о центральном инвариантном многообразии и квазинормальной форме, которые применяются для решения системы (3).

Рис 3 Эволюция начальных данных типа быстрой магнитозвуковой уединенной волны при 9 <0Г II = -0,05,0 — 1,525,0с = 1,535, /З2 = 0,5, в = 0 (тонкая пиния) и ( = 250 (жирная линия) Движение происходит вправо

Основные результаты и выводы работы

• Найдены семейства решений основной системы уравнений рассматриваемой модели, описывающие в различных областях физических параметров а) классические уединенные волны - локализованные волновые структуры постоянной формы, б) обобщенные уединенные волны - результаты нелинейного взаимодействия классической уединенной волны и резонансной моды, отвечающей конечному волновому числу

• Проведен численный анализ эволюции локализованных начальных возмущений близких по форме к классической уединенной волне, как в области существования классических уединенных волн, так и в области существования обобщенных уединенных волн Результаты анализа свидетельствуют о качественно различном характере процесса эволюпии локализованных возмущений в этих двух случаях Таким образом, в рамках классической модели плазмы установлен новый эффект распада локализованных возмущений, который не может быть обнаружен без учета взаимодействий длинных и коротких волн в рассматриваемой области

параметров. В диссертации впервые проведено такое исследование при изотермическом и адиабатическом процессах в плазме помещённой в магнитное поле.

• Доказано существование областей модуляционной неустойчивости и определено семейство решений типа уединенных волновых пакетов для волн малой, но конечной амплитуды продольного направления и близких к нему.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах:

1. Жарков А. А. Косые уединенные волны в однородной бесстолкновительной плазме с горячими электронами

Материалы международной конференции и Чебышевских чтений, посвященных 175-летию со дня рождения П.Л. Чебышева. Т.2. Доклады Чебышевских чтений. М.: Механико-математический факультет МГУ, 1996г. с. 399-400.

2. Жарков А.А., Ильичев А.Т. Уединенные волны в бесстолкновительной плазме с изотермическим давлением

Изв. РАН, сер. МЖГ, 2000г., N.5, с. 129-138.

3. Бахолдин И.Б., Жарков А.А., Ильичев А.Т. Распад солитонов в изотропной бесстолкновительной квазинейтральной плазме с изотермическим давлением ЖЭТФ, 2000г., том 118, выпуск 1(7), с. 125-141.

4. Bakholdin I., Il'ichev A., Zharkov A. Steady magnetoacoustic waves and decay of solitonic structures in a finite-betaplasma

J. Plasma Physics, 2002, v.67, part 1, pp. 1-26.

Подписано в печать 28.02.2005 Объем 1.0 уел л л. Тираж 100 экз. Заказ №20 Отпечатано в ООО «Соцветие красок» 119992 пМосква, Ленинские горн, д.1 Главное здание МГУ, к.102

12 МАР 20иь

Введение.

Глава 1. Постановка задачи

1.1. Основные уравнения модели

1.2. Плоские волны и линейные резонансы

Глава 2. Основные резонансы и квазинормальные формы

2.1. Плоские бегущие волны.

2.2. Квазинормальные формы для основных резонансов.

Глава 3. Бифуркации из состояния покоя для основных резонансов.

3.1. Простой резонанс. Уединенные волны.

3.2. Обобщенно - уединенные волны и уединенные волны с рябью.

3.3. Уединенные волновые пакеты в пределе "холодной" плазмы.

В диссертации на примере двухжидкостной магнитогидродинами-ческой модели плазмы, помещённой в магнитное поле, исследуется влияние коротких волн на существование локализованных волновых структур постоянной формы (уединённых волн) и эволюция структурно близких к ним локализованных возмущений. Ведущую роль в уравнениях движения указанной модели при этом играют давление магнитного поля и давление в жидкостях. Поэтому - в зависимости от соотношения их величин - рассматривается либо модель "холодной" плазмы, когда магнитное давление существенно превосходит внутреннее, либо модель "нагретой" плазмы, когда их величины сравнимы. В некоторых случаях, например, при протекании изотермических волновых процессов, для которых времена релаксации между компонентами плазмы существенно больше, чем характерное время коллективных взаимодействий электромагнитного поля и вещества, можно отнести и бесстолкновительную плазму [5].

Уединенные волны относятся к общему классу непериодических бегущих волн постоянной формы, основной характеристикой которых является убывание или выход на периодическую асимптотику на пространственной бесконечности. В средах с дисперсией уединённые волны появляются вследствие баланса эффектов нелинейности и дисперсии. Интерес, связанный с этими объектами математического и физического исследований, отражён в ряде книг и монографий, например: [1, 8, 20, 21, 25]. Помимо основного определения, в настоящее время в литературе принято давать название уединённая волна более общему классу непериодических бегущих волн, убывающих на бесконечности или выходящих на периодическую асимптотику. Поэтому в диссертации эти волны будут различаться как: классические уединённые волны (солитоны), обобщённые уединённые волны и уединённые волновые пакеты - с целью обозначения типов уединённых волн, отличающихся поведением в конечных областях пространства и асимптотикой на бесконечности.

Построение математической теории распространения локализованных возмущений в различных моделях плазмы началось с середины 60-х годов прошлого века и отражено в работах [24, 18, 64], в которых значительные реузльтаты достигнуты в рамках уравнений длинноволнового приближения. В частности, теоретическое исследование ионно-акустических волн в "холодной" плазме без магнитного поля представлено в работе [69], а солитонные решения для ионно--акустических волн с учётом конечности температур ионов найдены для модельного уравнения КдФ в [63]. Сравнение теоретических предсказаний с экспериментальными данными в различных аспектах приводится в обзорной статье [68]. Обширный материал накоплен в исследовании нелинейных гидродинамических волн в моделях "холодной" и "нагретой" плазмы. Систематическое изложение теории уединенных волн в многомерных моделях плазмы предпринято в [22]. Здесь за основу изложения принимается вывод модельного уравнения, в котором явно выделены главные эффекты, а второстепенными поправками пренебрегается. Необходимым условием при этом является сохранение симметрии, а также интегральных характеристик, присущих исходным уравнениям.

Первые решения для плоской задачи о возмущении однородного потока квазинейтральной плазмы в постоянном магнитном поле и о возмущении состояния покоя в частных случаях были получены в [64, 65]. Анализ солитонных решений конечной амплитуды производился на основании качественной теории динамических систем и численных методов [47, 54, 64, 65]. Было показано, что среди волн конечной амплитуды физический смысл имеют только солитоны продольного и поперечного направлений по отношению к постоянному магнитному полю. Упрощеные системы уравнений моделей "холодной" и "нагретой" плазмы в предположении о квазинейтральном и нерелятивистском характере волновых явлений [47, 48], позволили исследовать более общие случаи распространения гидродинамических волн произвольной амплитуды и направления ("косых" волн) по отношению к вектору индукции однородного магнитного поля. Используя разные варианты метода многих масштабов, в этих моделях для длинных волн малой амплитуды удалось вывести уравнения КдВ: с квадратичной и кубической нелинейностью, а также обобщенные уравнения с пятой производной. Эти уравнения удовлетворительно описывают распространение и взаимодействие магнитозвуковых волн на фоне покоя и альфвеновских волн как возмущений среднего течения [49, 52]. Среди их решений найдены семейства косых волн, нормали к фронтам которых составляют уголы в с индукцией внешнего магнитного поля.

Они относятся к быстрыми магнитозвуковыми солитонами с разной полярностью ядра ("горб" или "яма"). Смена полярности происходит при переходе через некоторый критический угол 9С1 уменьшающийся с ростом степени нагретости плазмы. Причём уединённые волны, бегущие под углами меньшими 9С, представляют солитоны разряжения, а под большими углами - сжатия. Косые классические уединённые волны, относящиеся к медленной магнитозвуковой ветви как решения уравнения КдВ, выведенного в модели нагретой плазмы, представляют только волны уплотнения. Найденные решения являются продуктами эволюции локализованных возмущений в силу модельных уравнений. Исследования их эволюции в рамках полной системы уравнений не проводилось, очевидно, что новых эффектов, связанных со взаимодействием длинных и коротких волн не выявлено.

Принято считать, что уравнение КдВ адекватно описывает эволюцию локализованных возмущений для волн малой амплитуды. Это позволяет предполагать, что локализованные возмущения одной полярности с упомянутыми выше солитонами должны с течением времени распадаться в цепочку уединённых волн того же семейства и той же полярности, как это имеет место в модели тяжёлой несжимаемой жидкости конечной глубины без дополнительных поверхностных эффектов [34]. В случае, когда в модели учтена квадратичная нелинейность второго порядка, классические уединённые волны в низшем приближении по малому параметру (амплитуде волны) имеют форму солитонов уравнения КдВ. Известно, что последние являются динамически устойчивыми относительно возмущений произвольной, но малой амплитуды [62]. Динамическая устойчивость также доказана и для солитонов уравения Кавахары: обобщённого уравнения КдВ с отрицательным коэффициентом при дисперсионном члене, пятой (старшей) производной [39, 40]. Такое уравнение, в частности, было выведено для волн быстрой магнитозвуковой ветви в окрестности критического угла вс [48] а его численное исследование проводилось в [53, 40]. Тем не менее, в ряде полных систем уравнений моделей, описывающих среды со слабой дисперсией и нелинейностью, при определённых значениях физических параметров солитонные решения отсутствуют, но одновременно такого рода волны имеют место в модельных уравнениях, полученных из исходных с помощью асимптотических методов. В этих областях параметров имеет место замещение солитонов обобщённо - уединёнными волнами (ОУВ) - бегущими волнами, подобными в центральной части классическим уединённым волнам, но имеющих периодическую, незатухающую асимптотику на бесконечности.

Они наблюдаются в моделях идеальной тяжёлой несжимаемой жидкости конечной глубины с поверхностным натяжением [28, 36, 66] и под упругой пластиной, моделирующей покров [16]; непрерывно стратифицированной идеально-несжимаемой жидкости конечной глубины [27], двухслойной идеально-несжимаемой жидкости с конечной глубиной слоёв [35, 67]. В общем случае сформулированно условие наличия их периодической составляющей [57]. Присутствие в системе уравнений этих решений влечёт за собой распад локализованного возмущения за счёт излучения периодической волны, а не цепочки солитонов, как это имеет место в случае модельного уравнения. Исключения, когда при дискретном наборе значений свободных параметров периодическая составляющая отсутствует и ОУВ замещаются солитонами, также имеют место. Но они могут представлять только математический интерес, поскольку даже малое возмущение параметров выводит эти решения в класс ОУВ [62]. Аналитическое доказательство их существования легче всего провести для волн малой амплитуды. Можно показать, что амплитуда асимптотики ОУВ имеет экспоненциально малый порядок по сравнению с её центральной частью. В этой ситуации время распада существенно превосходит характерные времена волновых явлений, и не представляет интереса с физической точки зрения. С другой стороны, это семейство решений в ряде случаев может быть продолжено до умеренного значения по амплитуде, и как показывают численные расчёты, интенсивное излучение успевает разрушить возмущение за достаточно короткое время [30, 31].

Целью настоящей диссертации является рассмотрение полной системы уравнений, учитывающей все длины волн, и выявление отличия от классического описания в рамках уравнения КдВ на примере широко принятых моделей плазмы. Совершенно ясно, что эти различия, в первую очередь, могут быть связанны с влиянием коротких волн, которое не учитывается в модельных уравнениях.

Диссертация организованна следующим образом. В первой главе приводится постановка задачи о нерелятивистском распространении волн в квазинейтральной плазме, построенной для гидродинамической модели плазмы как двух заряженных жидкостей с установившимися изотропными максвеловскими распределениями. В параграфах 1.1-2 приводится вывод обратимой в пространстве и времени системы уравнений, описывающей распространение нелинейных плоских волн в присутствии дисперсии. Рассматривается геометрия графиков ветвей линейного дисперсионного соотношения. Исследуется взаимное расположение касательных в нуле к графикам ветвей, также проходящим через ноль. Известно, что классические уединённые волны, отвечающие некоторой ветви, имеют место в том случае, когда графики других ветвей лежат по одну сторону от её касательной.

В параграфах 2.1-2 второй главы для решений типа бегущих волн выведена нелинейная динамическая система. При построении возможных ветвей решений малой амплитуды, представляющих собой бифуркации из состояния покоя этой динамическая система сводится на центральное многообразие и приближается системами в "квазинормальной" форме. Метод редукции на центральное многообразие является классическим результатом качественной теории обратимых динамических систем. Он связан с заменой исходной динамичесой системы произвольного порядка на эквивалентную ей, но меньшего порядка, определённую на инвариантном многообразии. Теорема о центральном многообразии справедлива для решений, находящихся в окрестности состояния покоя системы [23, 44, 58]. Структурная устойчивость решений систем в квазинормальной форме в силу исходной динамической системы с обратимостью доказывается на основании общих теорем [45, 46]. Из основных работ, посвящённых приложению этого метода в моделях механики жидкости, следует упомянуть [45, 41, 12, 13, 17].

В параграфах 3.1-3 третьей главы описаны бифуркации из состояния покоя при тех значениях свободных параметров, для которых в окрестности нулевого значения управляющего параметра среди семейств решений, ответвляющихся от состояния покоя, ожидаются го-моклинические кривые, описывающие уединённые волны. В случае общего положения множество значений физических параметров можно разделить на две области: в одной имеют место классические уединённые волны, а в другой - обобщённые уединённые волны. Доказано, что в первой области имеют место солитоны малой амплитуды, относящиеся к быстрой магнитозвуковой ветви. Причём численное моделирование данных Коши умеренной амплитуды в первой области, близких по форме к солитонам этого семейства, не претерпевают существенных искажений с течением времени. В этой области следует ожидать хорошо известный механизм распада локализованных возмущений с образованием цепочки солитонов [18, 14]. В параграфе 3.2 для малых амплитуд доказано существование так называемых уединённых волн с рябью [45], асимптотика которых на бесконечности представляет монохромотическую волну; её амплитуда сравнима с величиной "ядра". Нулевым пределом по амплитуде колебаний являются классические уединённые волны, которые удовлетворяют соответствующей квазинормальной форме с произвольной алгебраической степенью точности. С другой стороны, главное приближение таких солитонов, подставленное в исходную динамическую систему, даёт незатухающую асимптотику на бесконечности. Последняя найдена для волн быстрой и медленной магнитозвукой ветвей с помощью преобразования Фурье, примененного к исходной динамической системе. Проведённые численные расчёты подтверждают, что квазистационарное излучение солитоноподобными волновыми пакетами имеет место и для волн умеренной амплитуды.

В параграфе 3.3 рассматривается семейство быстрых магнитозву-ковых уединённых волновых пакетов (УВП) продольного направления в пределе "холодной" плазмы. Их появления следует ожидать в окрестности тех волновых чисел, при которых фазовая и групповая скрости линейных волн совпадают (т.е. наблюдается "1:1-резонанс"), и кроме того, имеет место модуляционная неустойчивость. Уединённые волновые пакеты - бегущие волны с волновым числом промоду-лированной волны, близким к "резонансному", и огибающей, описываемой классической уединённой волной [48, 52]. В частности, в модели "холодной" и "нагретой" плазмы резонансные волновые числа существуют на быстрой магнитозвуковой ветви для углов меньших вс. Существование УВП в силу модельного нелинейного уравнения Шредингера (НУШ) с кубической нелинейностью было доказано для косых и продольных волн в моделях "холодной" [50, 60] и "нагретой" [59] плазмы. В другой работе была рассмотрена ситуация, при которой модуляционная неустойчивость обусловлена нелинейным взаимодействием поляризованных поперечных альфвеновских волн-биений и продольной магнитоакустической волны [61]. Показано, что область существования УВП "смешанного" типа расширяется за счёт нелинейного резонанса. Обосновано предположение о наблюдаемости такого рода решений на основании данных, полученных в магнитосфере Земли. В диссертации на основании общей теории [14] доказано существование быстрых магнитозвуковых УВП первого вида для продольного и близких к нему направлений распространения волн.

На тему диссертации опубликовано четыре работы [9, 10, 11, 70].

Таблица V. Обозначения (СГС).

Обозначение Содержание введенного обозначения x,t физические координата (см) и время (сек) mi,me массы покоя иона и электрона щ, пе плотности числа частиц ионов и электронов

Vi,Ve векторы скоростей ионой и электроной жидкостей

В вектор напряжённости магнитного поля вектор напряжённости электрического поля

В0 вектор невозмущенного магнитного поля

По число частиц в ед. объема в невозмущённом состоянии кв постоянная Больцмана 1,38 • Ю-23 Дж/К

Ра давление в ионной (а — i) и электронной (а = е) жидкостях равные, соответственно, ра = квпаТа

L линейный пространственный масштаб

VA альфвеновская скорость Уд = |Bo|[47rn0(me + mj)]-1/2 и0 характерная частота явления Wq = УдЬ'1

Up лэнгмюровская частота электронов ир — ^Атгще^/гПе

Ui,Ue ионная и электронная циклотронные частоты равные, соответственно, иа = e|B0|/(mQc), a = i,e

Ri, Re параметры дисперсии Ra = ша/а>0, ct = i,e

A D дебаевский радиус Ар = уквТе/Атгще2

Vi,Ve тепловые скорости ионов и электронов Va = у/квТа/та, а = г, е

Pi,Pe безразмереные тепловые скорости ионов и электронов равные, соответственно, @а = Уа/Уд, а = г, е e угол между вектором В0 и нормалью к фронту волны

P эффективная скорость звука /3 = \J(me + тг)-1(ггц/32 + те/32) и, к безразмеренные волновая частота и волновое число

V-,V+ безразмеренные характеристические скорости медленной (-) и быстрой (+) бесконечно длинных волн

Таблица 2: Типичные значения параметров для космической плазмы двух видов (СГС).

Параметры плазмы Солнечный ветер[56] Плазма магнитосферы Земли [61]

Плотность по (см-3) 7 1

Магнитное поле |Во|(гс) 7 х 10"5 2 х Ю-3

Скоростной параметр Уд/с(см • сек) 1.9 х 10"4 1.5 х 10"2

Тепловая энергия ионов и электронов (эВ) 12 1000

Масштаб длины (см) 1.5 х 1013 = 1AU 4.2 х 109 = 6.6гЕ

Характерная частота и (сек-1) 3.8 х 10"7 0.1

Ионная циклотронная частота и^(сек-1) 0.7 20

Электронная циклотронная частота о/е(сек-1) 1.2 х 103 3.5 х 104

Частота плазменных колебаний шр(сек-1) 1.4 х 105 5.6 х 105

Дебаевский радиус Ad (см) 103 2.3 х 104

З2 - параметр 0.7 0.01

Ионный ларморовский радиус pi (см) 5.1 х 106 1.5 х 106

Электронный ларморовский радиус ре(см) 1.2 х 105 3.8 х 104

Электронное время релаксации те (сек) 5.6 х 105 3.3 х 108

Ионное время релаксации тДсек) 4.85 х 107 2.8 х Ю10

Критический угол #с(рад) 1.5402 и 88.25° 1.5621 и 88.7°

Заключение

В диссертации получены следующие результаты:

1. Найдены однопараметрические семейства решений основной системы уравнений, описывающие в разных областях физических параметров: а) классические уединенные волны ( локализованные волновые структуры постоянной формы); б) обобщенно - уединенные волны — результат нелинейного взаимодействия классической уединенной волны и резонансной моды, отвечающей конечному волновому числу;

2. Проведен численный анализ эволюции данных Коши, близких по форме к классической уединенной волне, как в области существования солитонов, так и в области существования обобщенно - уединенных волн. Результаты анализа свидетельствуют о качественно различном характере процесса эволюции локализованных возмущений умеренной амплитуды. В рамках классической модели плазмы установлен новый эффект распада локализованных возмущений, который не может быть обнаружен на основании модельных асимптотических уравнений. В диссертации учтено нелинейное взаимодействие волн произвольной длины в рамках исследования полной системы уравнений модели. Впервые проведено такое исследование при изотермическом и адиабатическом процессах в плазме, помещённой в магнитное поле.

3. В "холодной" и слабонагретой плазме определено семейство уединённых волновых пакетов малой, но конечной амплитуды, продольного или близкого к нему направлений.

1. Абловиц М., Сигур X. Солитоны и метод обратной задачи. — Пер. с англ. — М.: Мир, 1987.— 497 С.

2. Бахолдин И.Б. Структуры эволюционных скачков в бездиссипа-тивных системах // ПММ — 1999. —Вып.1 — С. 52-62.

3. Бахолдин И.Б. Скачки в моделях, описываемых обобщенными уравнениями Кортевега-де Вриза // Изв. РАН МЖГ — 1999. — No.4. — С. 95-109.

4. Березин Ю.А., Карпман В.И. Теория волн конечной амплитуды в разряженной плазме // ЖЭТФ — 1964. — No.5. — С. 1880-1890.

5. Березин Ю.А. Численное моделирование нелинейных волн в разреженной плазме — Новосибирск: Наука, 1977.— 176 С.

6. Брагинский С. И. Явления переноса в плазме // Вопросы теории плазмы — М., Госатомиздат, 1963. — Вып.1. С.???-???

7. Веденов А.А., Велихов Б.П., Сагдеев Р.З. Нелинейные колебания в разряженной плазме // Ядерный синтез — 1961.— т.1 — С. 82100.

8. Бхатнагар П. Нелинейные волны в одномерных дисперсных системах. — Пер. с англ. — М.: Мир, 1983. — 136 С.

9. Жарков А.А., Ильичев А.Т. Уединенные волны в бесстолкно-вительной плазме с изотермическим давлением // Изв. РАН, сер. МЖГ — 2000. — No.5. — С. 129-138.

10. Жарков А.А., Бахолдин И.Б., Ильичев А.Т. Распад солитонов в изотропной бесстолкновительной квазинейтральной плазме с изотермическим давлением// ЖЭТФ — 2000. —Вып. 1(7) — С. 125-141.

11. Ильичев А.Т. Уединенные волны в холодной плазме // Мат. заметки — 1996. — No.5 — С. 719-728.

12. Ильичев А.Т. Уединенные волны-пакеты в холодной плазме// Изв. РАН сер. МЖГ — 1996.— No.5 — С. 154-161.

13. Ильичев А.Т. Уединенные и обобщенные уединенные волны в диспергирующих средах // ПММ — 1997. —Вып. 4 — С. 606-620.

14. Ильичев А.Т., Марченко А.В. Формирование нелинейных волноводов при резонансном взаимодействии трёх поверхностных волн // ПММ. — 1997. — Т.61. — С.190 201.

15. Ильичев А.Т. Уединенные волны в средах с дисперсией и диссипацией: обзор // Изв. РАН, сер. МЖГ — 2000.— No.2 — С. 3-27.

16. Ильичёв А.Т. Уединённые волны в моделях гидромеханики. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003.— 256 С.

17. Карпман В.И. Нелинейные волны в диспергирующих средах. — М.: Наука, 1973.— 176 С.

18. Кингсеп А.С. Введение в нелинейную физику плазмы: учебное пособие: Для ВУЗов — М.: Изд-во МФТИ, 1996.— 208 С.

19. Лем Дж.Л. Введение в теорию солитонов. — Пер. с англ. — М.: Мир, 1983. — 294 С.

20. Ньюэлл А. Солитоны в математике и физике. — Пер. с англ. -М.: Мир, 1989. —326 С.

21. Петвиашвили В.И., Похотелов О.А. Уединенные волны в плазме и атмосфере.— М.: Энергоатомиздат, 1989. —200 С.

22. Плисс В.А. О принципе сведения в теории устойчивости движения // ДАН СССР. — 1964. — Т.15. С.1044 - 1046.

23. Сагдеев Р.З. Коллективные процессы и ударные волны в разреженной плазме// Вопросы теории плазмы/ Под ред. М.А. Леонто-вича. — М.,1964, вып.4, С.20-80.

24. Солитоны/ Под ред. Р.Буллафа, Ф.Кодри. — Пер. с англ. — М.: Мир, 1983. —408 С.

25. Трубников Б.А. Столкновения частиц в полностью ионизованной плазме. // Вопросы теории плазмы — М: Госатомиздат, 1963. — Вып.1.

26. Akylas T.R., Grimshaw R.H. Solitary internal waves with oscillatory tails // J. Fluid.Mech./— 1992. — V.242 — P. 279-298.

27. Amick C.J., Kirschgassner К. A theory of solitary water waves in the presence of surface tension // Arch. Rat. Mech. Anal./— 1989. — V.108 — P. 111-139.

28. Beale J.T. The existence of solitary water waves // Comm.Pure Appl.Math. — 1977. — V.30. — P.373-389.

29. Benilov E.S., Grimshaw R.H.J., Kuznetsova E.P. The generation of radiating waves in a singularly perturbed Korteweg-de Vries equation// Physica D — 1993. —V.69. — P. 270-278.

30. Bakholdin I., Il'ichev A. Radiation and modulational instability described by the fifth order Korteweg de - Vries equation //Contemporary Mathematics. Providence: Amer. Math. Soc., 1996. V. 200. P. 1-15. J.Plasma Phys. — 1998. —No. 3 — P. 569-580.

31. Bakholdin I., Il'ichev A. Solitary-wave decay in a cold plasma// J.Plasma Phys. — 1998. —No. 3 — P. 569-580.

32. Barnes A. Collisionless Damping of Hydromagnetic Waves //Phys. of Fluids — 1966. — V.9 — P. 1483-1495.

33. Beale J.T. The existence of solitary water waves//Comm. Pure Appl.Math. — 1977. — V.30 — P. 373-389.

34. Dias F., Il'ichev A. Interfacial waves with free-surface boundary conditions: an approach via a model equation// Physica D. — 2001. — V.150, — P. 280- 301.

35. Dias F., Iooss G. Capillary-gravity solitary waves with damped oscillations// Physica D. — 1993. — V.65, — P. 299-323.

36. Dias F., Iooss G. Capillary-gravity interfacial waves in infinite depth // Eur. J. Mech., B/Fluids — 1996. —No.3. — P. 367-393.

37. Gurevich A.V., Pitaevsky L.P., Nonstationary structure of a collisionless shock wave. // Sov. Phys. JETP — 1974. — V.38 — P. 291-297.

38. Il'ichev A.T., Semenov A.Yu. Stability of subcritical solitary wave solutions to fifth order evolution equation // Preprint N.28.General Physics Institute Acad.Sci.— Moscow. 1991. — 44 P.

39. Il'ichev A.T., Semenov A.Yu. Stability of solitary waves in dispersive media described by fifth-order evolution equation// Theoret. Comput. Fluid Dynamics. — 1992. —No.6 — P.307-326.

40. Il'ichev A. Steady waves in a cold plasma // J.Plasma Phys. — 1996. —No. 2 — P. 181-194.

41. Il'ichev A.T. Solitary wave trains in a cold plasma // Fluid Dynamics1996. —No.5. — P. 754-760.

42. Il'ichev A.T. Stability of solitary waves in nonlinear composite media // Physica D. — 2001. — V.150 — P. 264 277.

43. Iooss G., Adelmeyer M. Topics in bifurcation theory and applications.

44. World Scientific, 1992. — 160 P.

45. Iooss G., Kirchgassner K. Water waves for small surface tension: an approach via normal form//Proc.Roy.Soc.Edinburgh. Ser.A — 1992. — No.3/4 — P. 267-299

46. Iooss G., Peroueme M.C. Perturbed homoclinic solutions in reversible 1:1 resonance vector fields //J.Diff.Eqns. — 1993. —No.l. — P. 62-88.

47. Kakutani Т., Kawahara Т., Taniuti T. Nonlinear Hydromagnetic solitary waves in a collision-free plasma with isothermal electron pressure // J. Phys. Soc. Japan — 1967. — V.23 — P. 1138-1149.

48. Kakutani Т., Ono H., Taniuti Т., Wei С. Reductive perturbation method in nonlinear wave propagation. II. Application to hydromagnetic waves in cold plasma // J. Phys. Soc. Japan. — 1968. — No.5 — P. 1159-1166.

49. Kakutani Т., Ono H. Weak non-linear hydromagnetic waves in a cold collision-free plasma //J. Phys. Soc. Japan — 1969. — V.26 — P. 1305-1318.

50. Kako M. Nonlinear Wave Modulation in Cold Magnetized Plasmas // J. Phys. Soc. Japan. — 1972. —No.6 — P. 1678-1687.

51. Kakutani Т., Sugimoto N. Krylov-Bogoliubov-Mitropolsky method for nonlinear-wave modulation// Phys. Fluids — 1974. —No.8 — P. 1617-1627.

52. Kawahara T. Oblique nonlinear hydromagnetic waves in a collision-free plasma with isothermal electron pressure //J. Phys. Soc. Japan. — 1969. —No.5 — P. 1331-1340.

53. Kawahara T. Oscillatory solitary waves in dispersive media // J. Phys. Soc. Japan. — 1972. —No.l, P. 260-264.

54. Kellogg P.J. Solitary waves in Cold Collisionless Plasma // Phys. of Fluids — 1964. — V.7 — P. 1555-1571.

55. Kirchgassner K. Wave solutions of reversible systems and applications// J.Diff.Eqns. — 1982. —No.l. —P. 113-127.

56. Kivelson M.G., Russel C.T. (eds) Introduction to Space Physics. -Cambridge University Press, 1995.

57. Lombardi E. Orbits homoclinic to exponentially small periodic orbits for a class of reversible systems. Application to water waves //Arch. Rat. Mech. Anal. — 1997. —No.3. — P. 227-304.

58. Mielke A. Reduction of quasilinear elleptic equations in cylindrical domains with applications // Math.Meth.Appl.Sci. — 1988 — No.l. — P. 501-566.

59. Mizutani A. Annual Review/ Institute of Plasma Physics — Nagoya University, April 1968-March 1969 — P. 107.

60. Mizutani A., Taniuti T. Oblique hydromagnetic waves in a cold plasma // Phys. of Fluids — 1969. — V.12 — P. 1167-1172.

61. Patel V., Dasgupta B. Theory and observations of Alfven solitons in the finite beta magnetospheric plasma//Physica D. — 1987. — V. 271. P. 387-398.

62. Pomeau Y., Ramani A., Grammaticos B. Structural stability of the Korteweg-de Vries solitons under a singular perturbation // Physica D1988.—No.l. — P. 127-134.

63. Sanaka P.H. Formation and interaction of ion-acoustic solitary waves in acollisionless warm plasma // Phys.Fluids. — 1972. — V.15 — P. 304-310.

64. Saffman P.G. J. Fluid Mech. — 1961. — V.ll — P. 16.

65. Saffman P.G. On hydromagnetic waves of finite amplitude in a cold plasma // J. Fluid Mech. — 1961. — V.ll — P. 552-566.

66. Sun S.M. Existence of a generalized solitary wave solution for water with positive Bond number less than 1/3 // J.Math.Anal.Appl. — 1991. V.156. - P.471-504.

67. Sun S.M., Shen M.C. Exponentially small estimate for the amplitude of capillary ripples of ageneralized solitary wave// J.Math.Anal.Appl. — 1993a.— V.172. — P.533-566.

68. Tran M.Q. Ion acuostic solitons in a plasma. A review of their experemental properties and related theories// Phys.Scr. — 1979.— V.20. — P.317-327.

69. Washimi H., Taniuti T. Propagation of ion-acoustic solitary waves of small amplitude// Phys.Rev.Lett. — 1966. — V.17. — P.996-998.

70. Zharkov A., Bakholdin I., Il'ichev A. Steady magnetoacoustic waves and decay of solitonic structures in a finite-beta plasma // J. Plasma Physics — 2002. — V.67,part 1 — P. 1-26.