Управление параметрами динамической системы для реализации самоорганизующегося процесса перехода к устойчивому периодическому режиму тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.09 ВАК РФ

На правах рукописи

Городецкий Сергей Евгеньевич

Управление параметрами динамической системы для реализации самоорганизующегося процесса перехода к устойчивому периодическому режиму

Специальность 01.01.09-дискретная математика и математическая кибернетика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

- з ДЕК 2009

Москва-2009

003486016

Работа выполнена на кафедре высшей математики Московского физико-технического института (государственного университета) Научны й руководитель: доктор ф из ико-м атематических наук,

профессор

ТЕР-КРИКОРОВ Александр Мартынович Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор БЕКЛАРЯН Лёва Андреевич

кандидат физико-математических наук ГАСНИКОВ Александр Владимирович Ведущая организация: Учреждение Российской академии наук

Вычислительный центр им. А. А. Дородницына РАН

ю л 00

Защита состоится « {О» декабря 2009 года в часов на заседании

диссертационного совета Д 212.156.05 в Московском физико-техническом институте (государственном университете) по адресу: 141700, Московская обл., г. Долгопрудный, Институтский пер. 9, МФТИ, аудитория 903 КПМ.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Московского физико-технического института (государственного университета).

Автореферат разослан >у ноября 2009 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета Д 212.156.05,

кандидат физико-математических наук ФедькоО.С.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы

Многие реальные динамические процессы, изучаемые в физике, химии, биологи, технике, экономике могут быть достаточно адекватно смоделированы системами обыкновенных дифференциальных уравнений. Обычно эти уравнения содержат числовые или функциональные параметры. Эти параметры могут быть объектом управления или могут изменяться под воздействием объективных факторов. Важной особенностью динамических систем является их способность к самоорганизации, т.е. к переходу от неустойчивой простой структуры к более сложной устойчивой структуре. Для каждой структуры есть области устойчивости и неустойчивости в пространстве параметров. Если параметры попадают в область неустойчивости данной структуры, то при определенных условиях может начаться запуск процесса самоорганизации, приводящий к более сложной устойчивой структуре или к динамическому хаосу. Задачу запуска процесса самоорганизации к желательной устойчивой структуре можно разделить на две подзадачи. Первая задача - это задача оптимального управления, целью которого является попадание конечной точки траектории (например, за кратчайшее время) в область, из которой может начаться процесс самоорганизации. Вторая задача заключается в исследовании самого процесса самоорганизации, когда параметры находятся в области неустойчивости простой структуры и устойчивости более сложной структуры. В столь общей постановке эти задачи не могут быть решены. Обычно решаются более частные, конкретно поставленные задачи. Данная работа связана с решением второй задачи для важного класса систем обыкновенных дифференциальных уравнений второго и третьего порядков. Актуальность задачи изучения процессов перехода от положения неустойчивого равновесия в режим

самоорганизации для систем обыкновенных дифференциальных уравнений второго и третьего порядков связана с тем, что они часто встречаются при решении задач управления. Кроме того, для многих моделей задач управления, описываемых системами обыкновенных дифференциальных уравнений более высокого порядка, устойчивые структуры связаны с определенными решениями систем обыкновенных дифференциальных уравнений второго и третьего порядков. Предполагается, что параметры системы находятся в области, в которой положение равновесия неустойчиво и есть устойчивый периодический режим. Известно, что такая ситуация может возникать, когда матрица линеаризованной системы имеет комплексное собственное значение с достаточно малой вещественной частью. Известно, какие дополнительные условия достаточно наложить на параметры, чтобы периодический режим был устойчивым (теория бифуркаций Андронова-Хопфа). В данной работе точными математическими методами исследуется самоорганизующийся процесс перехода га произ вольной окрестности положения равновесия к устойчивой периодической структуре.

Цель работы

Следуя синергетическому подходу, выделить из широкого множества параметров динамических систем один или два ведущих малых параметра, ответственных за реализацию самоорганизующегося процесса в этих системах, описать переходные процессы от неустойчивого равновесия к устойчивому периодическому режиму.

Научная новизна

Исследован переход из сколь угодно малой окрестности положения неустойчивого равновесия к предельному периодическому режиму для

описывающих процессы самоорганизации систем обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка. Этот подход принципиально отличается от известных аналитических исследований устойчивости предельного цикла относительно малых возмущений, а также от использования численных методов для ограниченного диапазона параметров динамических систем.

Предложен новый способ приведения динамических систем третьего порядка к нормальной форме с использованием комплексных переменных. Для таких динамических систем выявлены области начальных данных (зависящие от значения малого параметрах го которых осуществляется переход к периодическому режиму, что принципиально отличает динамические системы третьего порядка от систем второго порядка, для которых соответствующий переход происходит из произвольной окрестности положения равновесия.

Основные положения, выносимые на защиту

1. Для динамических систем второго и третьего порядков из широкого множества параметров выделен ведущий малый параметр, ответственный за переходной процесс из малой окрестности неустойчивого положения равновесия к устойчивому периодическому режиму.

2. Преобразование уравнений динамической системы к виду, позволяющему эффективно строить приближенные решения с любой степенью точности по малому параметру. Построение приближённых решений в виде асимптотических рядов по малому параметру, описание классов функций, к которым принадлежат приближенные решения.

3. Доказательство существования решения, для которого построенные ряды являются равномерно асимптотическими по малому параметру.

4. Для систем Рёсслера и Валлиса определение областей значений параметров, при которых осуществляется переход к устойчивому периодическому режиму.

Теоретическая и практическая ценность

Многие встречающиеся в приложениях динамические системы для своего описания требуют введения нескольких (двух и более) параметров, что затрудняет проблемы управления этими параметрами и описание процессов эволюции динамических систем. В диссертации предложен метод построения ведущего параметра (как функции исходных параметров системы), ответственного за описание процесса эволюции системы. Эффективность метода иллюстрируется на трех конкретных прикладных задачах. Предложенная методика выбора параметров и способ построения приближенных решений могут быть применены для исследования достаточно широкого класса прикладных задач управления.

Описанные в диссертации методы могут быть обобщены и применены для исследования динамических систем более высоких порядков, а также для исследования нелинейных функциональных уравнений эволюционного типа.

Методы исследований

Теория управления динамическими системами, методы приведения систем дифференциальных уравнений в окрестности положения равновесия к нормальной форме Пуанкаре при помощи замен зависимых переменных, методы малого параметра для построения асимптотических рядов, методы функционального анализа для доказательства существования неподвижной точки оператора.

Апробация и публикации

Результаты работы докладывались, обсуждались, получили одобрение специалистов на научном семинаре под руководством академика А. А. Петрова в ВЦ РАН (Москва, 2008), на конференции ЭКОМОД-2009 (Киров, 2009), на научных семинарах кафедры высшей математики МФТИ (ГУ) (Долгопрудный, 2007-2009), на семинарах отдела хаотических динамических систем Института системного анализа РАН (Москва, 2005, 2006Х на научной конференции МФТИ (ГУ) (Долгопрудный - Москва, 2006) По теме диссертации опубликовано четыре печатных работы, в том числе одна, [1], -в издании из списка, рекомендованного ВАК РФ.

Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из введения, четырёх глав, заключения и списка использованных источников. Общий объём работы составляет 92 страницы, включая список использованных источников из 48 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во ВВЕДЕНИИ обосновывается актуальность темы диссертации, формулируется ее цель, представляются результаты, выносимые на защиту, а также определяется научная новизна, теоретическая и практическая значимость полученных результатов.

В ГЛАВЕ 1 проведён краткий обзор работ по исследованию бифуркаций Андронова-Хопфа в динамических системах второго итретьего порядка.

В ГЛАВЕ 2 рассматривается динамическая система второго порядка, которая описывается следующей системой дифференциальных уравнений второго порядка с произвольной матрицей А.

|=л*+Д*),л = (аД (1)

где функция /(х) принадлежит классу С"-2. (Класс С"" состоит из функций, имеющих частные производные всех порядков в окрестности точки х = 0 и таких, что /(о) = /'(о) = - = /^"^(о) = О, С00'0^00.)

Делаются обычные в теории бифуркаций Андронова-Хопфа предположения о спектральных свойствах матрицы А.

Пусть с = с, + гс2 собственный вектор. При переходе к базису из векторов с, и с2система (1)записывается в комплексной форме.

^=Лг + у/(г,2), = + (2)

ш Ш

/(г, з)=-~/1{х1,х2)+-^-/2{х1, х2),х, =52 + д5,х2= ^-(г + г), 5 = + г у ап 2 2

После замены

~ г Л 2 ■ 2 а Г У

система (2) записывается в виде

^^Яг + Дг^), + (3)

В дальнейшем для простоты записи значок ~ не пишется.

Функция /(г, г)е С"'2 и, следовательно, раскладывается в асимптотический ряд Тейлора

т=2*=0

Параметр е в уравнении (2) считается малым. Из сделанных предположений следует, что при малых значениях параметра е коэффициенты ск т_к (е) ограничены.

Система (3) преобразуется к нормальной форме Пуанкаре. Рассматривается замена зависимой переменной вида

т=2 А--0

где ..((^бС" в окрестности точки г = 0.

Определение. Замена переменной называется нормальной, если преобразованное уравнение принимает в окрестности точки (о, 0,0) следующий вид:

~=Ф (с, С, *)+ $Я(С. С> 4 £ *)= + Ев^Ш Г)- (4)

где коэффициенты вк¥] к при к < N не зависят от N, а функция

Теорема 1. Для любого номера N существует нормальная замена зависимой переменной.

Далее осуществляется построение приближённого решения системы. Функция /(г,в,е) принадлежит классу Ад.(л), если она имеет частные производные всех порядков на множестве а = [0, /?0] х со, + со) х [- г0, £0 ],

2ж -периодическая по переменной в и если все производные функции /(г,в,е) по переменной г до порядка n включительно равны нулю. Если / е к к (а), то при любом n справедливы оценки

|/| < с,(л')И'+' ,\/в\< с2{му>\ \/г\< с3(му.

В системе (4), приведённой к нормальной форме, введём полярные переменные £ = Ие'в:

= е^+1>)я2*+1(5)

Ш )г=1

Щ- = 1 - X 1т вк+к к (в) Я2' + <рх (л, в, в),

ш 1=1 где ч/х е кш+3(а), <рх е К2ы+2{а).

При достаточно малых значениях ^и в качестве независимой переменной возьмём в. Уравнения (5) принимают вид

ао к=1

ао *=1

(6)

(7)

Аг = 1т Вг1, В, = - Яе В21 + Аге\ А, = (1т ВиУ + 1т Вп, В5 = Яе В7Х - И.е В,2 + А4е2,..., где у/ е к2м+3(л),<рек2м+2(а).

Предполагается также, что Въ (0) = - Ле В2, (0) > 0.

Полагая в уравнениях (6) и (7)

т = е20, в) = г{в, т,в),02к+] = ^~,Е2к

5<

(8)

получим уравнения

вг

7Щ

,в, в

(9)

~=\+Ь2кЕ2кг{0,гвГ +(!\

ав *=1

Г в г{в,вв)

№

,9,В

(Ю)

Функции й2к+1 (в),Еи{в) имеют производные всех порядков в точке £■ = 0. В дальнейшем параметр е в коэффициентах £>2к+1, Е1к считаем фиксированным, полагая 02к+1 - 02к^1(е), Е2к = Е2к(в). В окончательных формулах следует положить е = в.

Решение уравнения (9) ищется в виде г = а{е2в]. Для определения функции а(т) получается уравнение

а'(т)-а{т)+а\т) = 0.

Решение этого уравнения, определенное на всей оси имеет следующий

вид

«(г)-

1

+

где г0-произвольный сдвиг.

В уравнении (9) в качестве новой независимой переменной принимается а. Полагается также, что г = а(1 + р(в, а, £•)). Тогда функция р(в,а, е) должна быть решением уравнения

ов lv да к=2

,2)1+1

еа

V "7=0 + р(в,а,е)),в, s U53

(И)

Если функция piß, а, е) определена, то в силу уравнения (10) функция ¡{в) определяется ш уравнения

dt

+ е2а{1-а2)§- = 1 + ф(в,а,е), otf да

(12)

Ф (в,а,е)= ^s2kElk{s)a2k{\ + р{в, а, sfk + <р + р{в,а,£)\в,е

*=i увз

Приближенное решение уравнения (11) ищем в виде

p = SN(a,E)=j:e2kpk{a),N> 2. 2

При подстановке (13) в уравнение (11) получаются уравнения

Ьр2 =(1-а2)р'2(а)+2ар2(а)= -05а2. (14)

Если определены функции р,(а),..., л_,(")'•к < N, то функция рк(а) определяется ю уравнения

Ьрк = ^(а, р2(а),...,р^(а)),0 < а < 1, (15) где Рк{а, р2,..., рк^) есть многочлен, причем Рк(а, 0,..., 0)= 0.

Через Я[о, 1] обозначается пространство непрерывных функций с конечной нормой

1= вир

«2

«[0,1) л/1 -а2

Доказаны следующие леммы.

Лемма 1. Если /),■■■, /к е //[О,1], то произведение /¡- /^еЯ[0,1] и

Лемма 2. Если функция /(а)€#[0,1], то неоднородное уравнение 1м = /(а) имеет в пространстве Я[0,1] единственное непрерывно дифференцируемое на [0,1) решение

Из лемм 2.1 и 2.2 следует, что все уравнения (14), (15) последовательно разрешаются, функции (а) е #[0,1]; к = 2, N -1 и не зависят от N.

В силу уравнений (14), (15) при 0 < £ < е0 справедливы оценки

(16)

к=2

n

е2а\ + ЗаБ2„ + аБ>ы + £е2'-2аиП2к+1(?Х1 + | = ,

к =2

Далее доказывается теорема существования и единственности решения системы, для которого построенное приближённое решение является асимптотическим.

Пусть функция SN(a) определена равенством (13), функция ¿(a,s) определена соотношением (16). Полагая в уравнении (11) p = SN(a)+£(&, а,е) и учитывая соотношение (16), получим доя функции %{в,а) уравнение

MS - ^ + e2a(l -а2)^- + 2е2а2% = Щ, дв у 'да

где оператор Ч1^, в, а, е) задается следующим образом: ^ = -x-M(6SN + 3^)<f + + + f J)~ I + sKir-srb

t.J

+ e . (17)

Функция 1//(р,в,е) имеет период 2л по переменной в, непрерывно дифференцируема, причем

Иа е, е\ < Cs(N)p2N+\ \Wp{p, в, е] < C6{N)p

О < р< р0, -да <в < +оо, 0 <е <£,.

Пусть множество Е = Rx (o,l). Определим класс функций Са(Е). Будем говорить, что /(в, а) е Са (е), если

1)функции /(в, а) и /в{в, а) непрерывны на множестве Е,

2) /(0 + 2*, а) = /{в,а), Ъ)\/{в,а\<с,а\\/в{в,а\<с2а2.

Если определить норму равенством

||/||c(£)= sup a~2\f{6,aj+ sup а~2\/0(в,а],

то Ca(E) станет банаховым пространством. Доказаны следующие леммы и теорема.

Лемма 3. Если функция /(в, <з)е Са(Е), то уравнение = /[в, а) имеет единственное решение % е Са(Е)

1 . Wl-a2^ N

2i(l-s2) " " S

2 '

Для частной производной а) справедлива оценка

Лемма 4. Найдется такое число е0 >0, что при 0<£<£о в шаре ие (о) с: Са (Е) для оператора Ч", определенного формулой (17), справедливы оценки

Теорема 2. Найдется такое число г, е (0, £■„), что при 0<е<е, уравнение 3.1 имеет единственное решение а ,е)в замкнутом шаре иМ^Са{Е), причем И<фУы.

Из формулы (8) следует, что

= я(в, еУ, ф, а, е)еСМ Ш * ФУ\ А(в)б Я[0,1].

£а\£ в) ( ( 2л\\ 2Л+1

Ряд —}— + £ I—Рк "))£ является асимптотическим рядом для функции /?(б>, £•).

Для уравнения (12) доказана следующая теорема

Теорема 3. Решение уравнения (12) представляется в виде 1 = 0 + Т(в, а, е). Функция Т(в, а, г) периодическая и непрерывно дифференцируема на множестве Е,

0,г)=0. При 1/2<а<1 справедливо представление

Т(0, а, г) = ~\п(\ - а2)[^£гк-гск + £2"у,{в, а, + У2(а, е),

где у, (в, а, е) - ограниченная функция, а функция Уг (а, е) равномерно стремится к нулю при а -»1-0.

В ГЛАВЕ 3 методами, аналогичными методам главы 2 исследуется система обыкновенных дифференциальных уравнений третьего порядка. В окрестности положения равновесия система приводится к нормальной форме. Предполагается, что матрица линеаризованной системы имеет комплексное собственное значение Л = £ + ¡Р, Р» £ > 0. Вещественное собственное значение ¿<0,|<5|»£. На произвольном интервале [г0, + да) приближенное решение системы представляется в виде многочлена степени N по степеням малого параметра е с коэффициентами из функциональных пространств гёльдеровского типа.

Поведение решений систем обыкновенных дифференциальных уравнений третьего порядка принципиально отлично от поведения решений систем второго порядка. Доказано, что для любого натурального N и для любой достаточно малой окрестности положения равновесия Ое(0) существуют числа и Сы такие, что при всех 0 <е <ек и при начальном условии х(о) г 0&(0) точное решение отличается от приближенного на

величину, не превышающую Сыеи+х. Для систем второго порядка не накладывалось ограничение л(о) г 06 (о) на начальное условие, то есть, для них переход к предельному циклу осуществлялся из сколь угодно малой окрестности положения равновесия. Для систем третьего порядка такой переход осуществляется в том случае, если начальные условия заданы не слишком близко к положению равновесия.

В ГЛАВЕ 4 рассматривается применение теории, построенной во второй и третьей главах, к задачам оптимального управления. Проводится исследование поведения решений нелинейных систем дифференциальных уравнений Рёсслера и Валписа, встречающихся в приложениях.

Система Рёсслера Х1 = ~х2 ~~ >

х3 = Ьхх - /2Х3 + х3 X,,

предложена в 70-х годах XX века для моделирования управления некоторым и хим ическим и реакциям и.

Трудность исследования этой системы заключается в том, что она содержит три параметра. В работе дано описание области значений параметров, в которой реализуются явления, изложенные в третьей главе. Исходная система параметров зам'енена на новую систему параметров, более удобную для исследования методами глав 2 и 3.

Системы Валлиса

'х = /иу-ах Гх = ц{у-г)-Ь{х-/(г))

■ у = аг- у и ■ у = хг- у+ с

1 = 1 — ху —г 2 = -ху +с

моделируют колебания температуры в западной и восточной частях приэкваториальной области океана, которые оказывают сильное влияние на глобальный климат Земли. Они были предложены в 1986 году с целью

решения задач управления климатом. Первая модель, не учитывающая влияния пассатных ветров, представляет собой систему обыкновенных дифференциальных уравнений третьего порядка. Вторая модель предложена Валлисом для описания нелинейных взаимодействий атмосферы, океана и пассатных ветров в экваториальной области Тихого океана. В общем случае эта система является неавтономной. В диссертации разобран случай, когда /(/)= 0. Так же, как и для системы Рёсслера, для систем Валлиса приводится описание областей значений параметров, при которых реализуется переход от положения неустойчивого равновесия к предельному циклу.

В ЗАКЛЮЧЕНИИ приведены основные результаты исследования и намечены направления дальнейшей работы.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ ДИССЕРТАЦИИ

1. Для динамических систем второго и третьего порядков, содержащих параметры, выделен ведущий малый параметр е, ответственный за самоорганизующийся процесс перехода от неустойчивого равновесия к устойчивому периодическому режиму.

2. Для системы, приведенной к нормальной форме с точностью до величин порядка построены приближенные решения в виде многочленов степени Nпо степеням е. Построенные решения реализуют переход из малой окрестности неустойчивого положения равновесия к устойчивому периодическому режиму. Дано описание классов функций, к которым принадлежат коэффициенты полученных многочленов.

3. Доказано существование решения системы в пространстве непрерывных функций с равномерной весовой нормой, отличающегося от построенного приближённого решения на величину порядка О^)-

4. Для систем Рёсслера и Валлиса указаны области значений параметров, при которых из окрестности неустойчивого положения равновесия осуществляется переход к устойчивому предельному циклу.

Публикации по теме диссертации

1. Городецкий С. К, Тер-Крикоров А. М. О решениях двумерных систем, реализующих переход от состояния неустойчивого равновесия к устойчивому циклу // Журнал вычислительной математики и математической физики-2008. Т.48, №6. - С. 1003-1013.

2. Городецкий С. Е. Примеры систем второго и третьего порядков, в которых реализуется нестационарный процесс перехода от неустойчивого равновесия к предельному циклу // IV Всероссийская научная конференция «Математическое моделирование развивающейся экономики и экологии», ЭКОМОД-2009, г. Киров 6-12 июля 2009 / Сборник трудов. - Киров, изд-во ГОУ ВПО ВятГУ, 2009. - С. 91.

3. Городецкий С. Е. О решениях системы Рёсслера, реализующих переход из окрестности неустойчивого положения равновесия к предельному циклу // IV Всероссийская научная конференция «Математическое моделирование развивающейся экономики и экологии», ЭКОМОД-2009, г. Киров 6-12 июля 2009 / Сборник трудов. - Киров, изд-во ГОУ ВПО ВятГУ, 2009. - С. 133-144.

4. Городецкий С. Е Хаотическая динамика в двумерных неавтономных системах дифференциальных уравнений // Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук. Часть VII. Прикладная математика и экономика: Труды ХЬУ научной конференции. /Моск.физ.-техн. ин-т. - М.Долгопрудный, 2006-С. 23-24.

В работе [1], выполненной с соавтором, соискателю принадлежат следующие результаты: приведение системы обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка к нормальной форме

Пуанкаре, построение приближённого решения в виде ряда по степеням малого параметра.

Городецкий Сергей Евгеньевич

Управление параметрами динамической системы для реализации самоорганизующегося процесса перехода к устойчивому периодическому

режиму

Автореферат

Подписано в печать 06.11.2009. Формат 60x84. Усл. печ. л. 1,0. Тираж 100 экз. Заказ№41 Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Московскийфшико-технический институт (государственный университет)

141700, Московская область, г. Долгопрудный, Институтский пер., 9

Введение.

Глава 1. Бифуркации Андронова-Хопфа.

Глава 2. Переходные процессы в динамических системах второго порядка.

§ 1. Приведение системы второго порядка к нормальной форме Пуанкаре.

§2. Построение приближённого решения.

§3. Теорема существования и единственности.

§4. Уравнение Ван-дер-Поля.

Глава 3. Переходные процессы в динамические системах третьего порядка.

§ 1. Приведение системы второго порядка к нормальной форме Пуанкаре.

§2. Построение приближённого решения.

§3. Теорема существования и единственности.

Глава 4. Переходные процессы в системах Рёсслера и Валлиса.

§ 1. Система Рёсслера.

§2. Системы Валлиса.

Актуальность темы

Многие реальные динамические процессы, изучаемые в физике, химии, биологи, технике, экономике могут быть достаточно адекватно смоделированы системами обыкновенных дифференциальных уравнений. Обычно эти уравнения содержат числовые или функциональные параметры. Эти параметры могут быть объектом управления или могут изменяться под воздействием объективных факторов. Важной особенностью динамических систем является их способность к самоорганизации, т.е. к переходу от неустойчивой простой структуры к более сложной устойчивой структуре. Для каждой структуры есть области устойчивости и неустойчивости в пространстве параметров. Если параметры попадают в область неустойчивости данной структуры, то при определенных условиях может начаться запуск процесса самоорганизации, приводящий к более сложной устойчивой структуре или к динамическому хаосу. Задачу запуска процесса самоорганизации к желательной устойчивой структуре можно разделить на две подзадачи. Первая задача - это задача оптимального управления, целью которого является попадание конечной точки траектории (например, за кратчайшее время) в область, из которой может начаться процесс самоорганизации. Вторая задача заключается в исследовании самого процесса самоорганизации, когда параметры находятся в области неустойчивости простой структуры и устойчивости более сложной структуры. В столь общей постановке эти задачи не могут быть решены. Обычно решаются более частные, конкретно поставленные задачи. Данная работа связана с решением второй задачи для важного класса систем обыкновенных дифференциальных уравнений второго и третьего порядков. Актуальность задачи изучения процессов перехода от положения неустойчивого равновесия в режим самоорганизации для систем обыкновенных дифференциальных уравнений второго и третьего порядков связана с тем, что они часто встречаются при решении задач управления. Кроме того, для многих моделей задач управления, описываемых системами обыкновенных дифференциальных уравнений более высокого порядка, устойчивые структуры связаны с определенными решениями систем обыкновенных дифференциальных уравнений второго и третьего порядков. Предполагается, что параметры системы находятся в области, в которой положение равновесия неустойчиво и есть устойчивый периодический режим. Известно, что такая ситуация может возникать, когда матрица линеаризованной системы имеет комплексное собственное значение с достаточно малой вещественной частью. Известно, какие дополнительные условия достаточно наложить на параметры, чтобы периодический режим был устойчивым (теория бифуркаций Андронова-Хопфа). В данной работе точными математическими методами исследуется самоорганизующийся процесс перехода из произвольной окрестности положения равновесия к устойчивой периодической структуре.

Цель работы

В соответствии с идеями синергетики выделить из широкого множества параметров один или два ведущих малых параметра, ответственных за реализацию самоорганизующегося процесса в динамических системах, описать переходные процессы от неустойчивого равновесия к устойчивому периодическому режиму.

Научная новизна

Исследуется переход из сколь угодно малой окрестности положения неустойчивого равновесия к предельному периодическому режиму для систем обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка. Этот подход принципиально отличается от известных аналитических исследований устойчивости предельного цикла относительно малых возмущений, а также от использования численных методов для ограниченного диапазона параметров.

Предлагается новый способ приведения динамических систем третьего порядка к нормальной форме с использованием комплексных переменных. Для таких динамических систем выявлены области начальных данных (зависящие от значения малого параметра), из которых осуществляется переход к периодическому режиму, что принципиально отличает динамические системы третьего порядка от систем второго порядка, для которых соответствующий переход происходит из произвольной окрестности положения равновесия.

Основные положения, выносимые на защиту

1. Для динамических систем второго и третьего порядков из широкого множества параметров выделен ведущий малый параметр, ответственный за переходной процесс из малой окрестности неустойчивого положения равновесия к устойчивому периодическому режиму.

2. Преобразование уравнений динамической системы к виду, позволяющему эффективно строить приближенные решения с любой степенью точности по малому параметру

3. Построение приближённых решений в виде асимптотических рядов по малому параметру, описание классов функций, к которым принадлежат приближенные решения.

4. Доказательство существования решения, для которого построенные ряды являются равномерно асимптотическими по малому параметру.

Теоретическая и практическая ценность

Многие встречающиеся в приложениях динамические системы для своего описания требуют введения нескольких (двух и более) параметров, что затрудняет проблемы управления этими параметрами и описание процессов эволюции динамических систем. В диссертации предложен метод построения ведущего параметра (как функции исходных параметров системы), ответственного за описание процесса эволюции системы. Эффективность метода иллюстрируется на трех конкретных прикладных задачах. Предложенная методика управления параметрами и способ построения приближенных решений могут быть применены для исследования достаточно широкого класса прикладных задач.

Описанные в диссертации методы могут быть обобщены и применены для исследования динамических систем более высокого порядка, а также для исследования нелинейных функциональных уравнений эволюционного типа.

Структура диссертации

В первой главе приведён краткий обзор работ, посвященных бифуркациям Андронова-Хопфа в динамических системах второго и третьего порядков.

Во второй главе рассматривается переходный процесс от неустойчивого равновесия к устойчивому периодическому режиму для динамических систем второго порядка, а в третьей главе - для динамических систем третьего порядка.

В четвёртой главе для нескольких прикладных задач показаны области значений параметров, при которых происходит переход от неустойчивого равновесия к устойчивому циклу.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Можно выделить следующие результаты диссертации.

1. Для динамических систем второго и третьего порядков, содержащих параметры, выделен ведущий малый параметр е, ответственный за самоорганизующийся процесс перехода от неустойчивого равновесия к устойчивому периодическому режиму.

2. Для системы, приведенной к нормальной форме с точностью до величин порядка построены приближенные решения в виде многочленов степени /V-1 по степеням е. Построенные решения реализуют переход из малой окрестности неустойчивого положения равновесия к устойчивому периодическому режиму. Дано описание классов функций, к которым принадлежат коэффициенты полученных многочленов.

3. Доказано существование решения системы в пространстве непрерывных функций с равномерной весовой нормой, отличающегося от построенного приближённого решения на величину порядка о{ел).

4. Для систем Рёсслера и Валлиса указаны области значений параметров, при которых из окрестности неустойчивого положения равновесия осуществляется переход к устойчивому предельному циклу.

Можно также отметить направления дальнейшей работы по теме диссертации.

1. Для систем третьего порядка исследовать случай, когда вещественное собственное значение системы, линеаризованной в окрестности положения равновесия, также является малым.

2. Для систем третьего порядка исследовать поведение фазовых траекторий в случае, когда начальные условия заданы в сколь угодно малой окрестности положения равновесия.

3. Для прикладных задач теории управления сопоставить приближённые решения, получаемые численно и приближённые решения, найденные аналитически с помощью разложений в асимптотические ряды по малому параметру.

1. Городецкий С. Е., Тер-Крикорое A.M. О решениях двумерных систем, реализующих переход от состояния неустойчивого равновесия к устойчивому циклу // Журнал вычислительной математики и математической физики 2008. Т.48. - С. 1003-1013.

2. Гукенхеймер Дж., Холмс Ф. Нелинейные колебания, динамические системы и бифуркации векторных полей. — Москва — Ижевск, 2002.

3. Н.А.Магницкий, С.В.Сидоров. Новые методы хаотической динамики. — Москва, 2004.

4. Хакен Г. Синергетика М.: Мир, 1968.

5. А. Н. Колмогоров, И. Г. Петровский, Н. С. Пискунов. Исследование уравнения диффузии, соединенной с возрастанием вещества и его применение к одной биологической проблеме // Бюлл. МГУ, секция А, 1:6 (1937), 1-25

6. И. Пригожий. От существующего к возникающему. Время и сложность в физических науках Москва. Наука, 1985.

7. Turing A.M. The Chemical basis of morphogenesis // Phil.Trans.Roy.Soc.London, 1952.B.237. P. 37-72.

8. Разэ/севайкин B.H. О возникновении диссипативных структур в системе двух уравнений реакции-диффузии // ДАН СССР, 1980, Т.255, №6. -С. 1321-1322.

9. Курдюмов С.П., Куркина Е.С., Малинецкий Г.Г., Самарский А.А. Нестационарные диссипативные структуры в нелинейных двухкомпонентных средах // ДАН СССР. 1981, Т.258, №5. С. 1084-1088.

10. Самарский А.А., Еленан Г.Г., Змитренко Н.В., Курдюмов С.П., Михайлов А.П. Горение нелинейной среды в виде сложных структур // ДАН СССР, 1977, Т.237, №6. — С. 1330-1333.

11. Курдюмов С.П., Малинецкий Г.Г., Повещенко Ю.А., Попов Ю.П., Самарский А.А. Взаимодействие диссипативных тепловых структур в нелинейных средах // ДАН СССР, 1980, Т.251, №4. С. 836-839.

12. Белолипецкай А.А., Тер-Крикоров A.M. О фундаментальных решениях нелинейного уравнения теплопроводности // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1984, Т.24, №6. С. 850-863.

13. Белолипецкий А.А., Тер-Крикоров A.M. Об одном классе решений абстрактного нелинейного параболического уравнения вблизи точки бифуркации // ДАН СССР, 1984, Т.279, №4. С. 727-780.

14. Белолипецкий А.А., Тер-Крикоров A.M. Построение фундаментальных решений абстрактного нелинейного параболического уравнения в окрестности точки бифуркации // Математический сборник. 1985, Т. 128, выпуск 3. С. 306-320.

15. Недосекина И.С. Треногий В.А. О решениях нелинейных параболических уравнений, описывающих явления самоорганизации // Дифференциальные уравнения. 1986, Т.22, №9. С. 1631-1633.

16. Андронов А.А., Bumm А.А., Хайкин С.Э. Теория колебаний. М.: ГИФМЛ, 1959.

17. Лефшец С. Геометрическая теория дифференциальных уравнений. -М.: ПИЛ, 1961.

18. Марсден Дж., Мак-Кракен М. Бифуркация рождения цикла и ее приложения. -М.: Мир, 1980.

19. Хэссард Б., Казаринов Н., Вэн И. Теория и приложения бифуркации рождения цикла. — М.: Мир, 1985.

20. Боголюбов Н.Н., Митропольский Ю.А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний. М.: ГИФМЛ, 1958.

21. Баутин Н.Н., Леонтович Е.А. Методы и приемы качественного исследования динамических систем на плоскости. — М.: Наука, 1990.

22. Тер-Крикоров A.M. О переходных процессах для уравнения Ван-дер-Поля // Журнал вычислительной математики и математической физики, 2007, Т. 47, №6. С. 968-979.

23. Арнольд В.И. Дополнительные главы теории обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1990.

24. Vallis G.K. A Chaotic Dynamical System // Science, 1986, v.232. P. 243-245.

25. Vallis G.K. Conceptual Models of El Nino // J. Geophys. Res., 1988, v. 93.-P. 13979-13991.

26. Rossler О. E. An equation of Continuous Chaos // Phys. Letters, 1976, v. A57,№ 5.-P. 397-398.

27. Rossler О. E. An equation of hyperchaos // Phys. Letters, 1979, V. A71, №2,3.-P. 155-159.

28. Коддингтон Э., Левинсон H. Теория обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: ИЛ, 1958.

29. Малинецкий Г.Г., Потапов А.Б. Современные проблемы нелинейной динамики. М.: УРСС, 2002.

30. Трубецков Д.И., Мчедлова Е.С., Красичков JJ.B. Введение в теорию самоорганизации открытых систем. — М.: Физматлит, 2005.

31. Кузнецов С.П. Динамический Хаос. М.: Физматлит, 2006.

32. Кузнецов А.П., Кузнег{ов С.П., Рыскин Н.М. Нелинейные колебания. — М.: Физматлит, 2005.

33. Тер-Крикоров A.M. Нелинейный анализ и асимптотические методы малого параметра. — Москва, 2007.

34. Poincare И. Memoire sur les courbes definies par Ies eqautions differentielles. — I-VI, CEuvre T. Gauthier-Villar : Paris.

35. ЭКОМОД-2009, г. Киров 6-12 июля 2009 / Сборник трудов. Киров, изд-во ГОУ ВПО ВятГУ, 2009. - С. 91.

36. Кузьмина Р.П. Асимптотические методы для обыкновенных дифференциальных уравнений. — Москва, 2003.

37. Брур Х.В., Дюлюртъе Ф., С. Ban Стрии, Такенс Ф. Структуры в динамике. Конечные детерминированные системы. Москва — Ижевск, 2003.

38. Треногий В.А. Функциональный анализ. М.: Физматлит, 2002.

39. Тер-Крикоров A.M. Нелинейные задачи и малый параметр. М.: Знание, 1984.

40. Люстерник Л.А., Соболев Л.И. Элементы функционального анализа. М.: Наука, 1965.

41. Федорюк М.В. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1980.

42. Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. М.: Физматлит, 2004.

43. Анищенко В. С. Знакомство с нелинейной динамикой. — Москва -Ижевск, 2002.

44. Лоскутов А.Ю., Михайлов А.С. Введение в синергетику. — М.: Наука, 1990.

45. Свирежев Ю. М. нелинейные волны, диссипативные структуры и катастрофы в экологии. М.: Наука, 1987.

46. Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ. Ч. 1 М.: Наука,1985.