Управляемость в нелинейных параболических задачах тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

российский университет дружбы народов

На правах рукописи

УДК 517.97

АКПАТА Эдуард

УПРАВЛЯЕМОСТЬ В НЕЛИНЕЙНЫХ ПАРАБОЛИЧЕСКИХ ЗАДАЧАХ

01.01.02 —дифференциальные уравнения

Диссертация на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

Г"

Научный руководитель доктор физико-математических наук профессор СУХИНИН М.Ф.

Москва 1999

Содержание

Введение 3

1 О ЗАДАЧЕ УПРАВЛЯЕМОСТИ ДЛЯ КВАЗИЛИНЕЙНОГО УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ 9

§1 Предварительные сведения. Обозначения.......... 9

§2 Формулировка основного результата............. 12

§3 Строгая дифференцируемость оператора Немыцкого ... 13 §4 Завершение доказательства основного результата......20

2 О ЛОКАЛЬНОЙ РАЗРЕШИМОСТИ ОБРАТНОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ НЕЛИНЕЙНОГО УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ С ТЕРМИНАЛЬНЫМ ПЕРЕОПРЕДЕЛЕНИЕМ. 22

§1 Предварительные сведения, Обозначения........... 22

§2 Оценки нелинейных добавок в дифференциальных операторах для прямой задачи..................... 24

§3 Оценки нелинейных добавок в операторах, обратных к дифференциальным операторам для прямой задачи........ 59

§4 Оценки нелинейных добавок в операторах для обратной задачи.69

Библиография 92

Введение

В диссертации исследуется локальная разрешимость обратной задачи с финальным переопределением для квазилинейного уравнения теплопроводности. Эту задачу можно трактовать как задачу управляемости, в которой управлением является множитель в правой части, зависящий только от пространственных переменных.

Актуальность темы

Задачи управляемости для линейных и нелинейных объектов, описываемых уравнениями в частных производных, являются предметом исследований многих математиков, и в настоящее время наблюдается повышенный интерес именно к этой тематике по сравнению с другими проблемами теории управления. Это связанно, в первую очередь, с тем, что вопросы необходимых или достаточных условий оптимальности, по крайней мере, на идейном уровне функционального анализа, в основном прояснились, хотя, конечно, и там остались возможности для развития и обобщений. Далее, выводы, получаемые при использовании общих теорем об условиях экстремума в задачах с частными производными, как правило, не доводят процесс решения до пригодного для использования результата, хотя и дают возможность взглянуть на исходную задачу с

другой (подчас, не менее сложной) стороны. Во вторую очередь, многие задачи управляемости (технические, экономические, экологические, производственные, социальные, биологические, климатические) получили возможность решения именно в последнее время в связи с бурным развитием науки, техники, вычислительной техники, и это побудило математиков дать теоретическое подкрепление хотя бы для каких-нибудь простейших моделей, связанных с управляемостью. Диссертация посвящена одному из таких вопросов. Изложение естественным образом разделено на две части. В первой главе доказана локальная однозначная разрешимость обратной задачи с помощью удобного приема двукратного применения обычной теоремы об обратной функции: в одном случае -для прямой задачи, а в другом - для обратной задачи с использованием результатов Костина и Прилепко по линейной обратной задаче. Ограничения на нелинейный член связаны с размерностью. Поскольку обычная теорема об обратной функции локальна, то и результат первой главы носит локальный характер без уточнения допустимых размеров окрестности, из которой можно брать функцию из условия переопределения. Попутно введены обозначения для различных операторов (линейных и нелинейных), встречающихся по ходу дела. Во второй главе на основе двукратного использования уточненной теоремы об обратной функции (наиболее общий ее вариант принадлежит Сухинину и доказывается с помощью леммы Цорна, хотя в случае, рассматриваемом в диссертации, а именно, когда обратная функция единственна, эта теорема доказывается с помощью принципа сжимающих отображений и стандартных рас-

суждений, известных до публикаций Сухинина на эту тему) с использованием обозначений из первой главы получены достаточные условия на размер окрестности, из которой можно брать функцию из условия переопределения, с тем чтобы исходная обратная задача была однозначно разрешима.

Задачи управляемости для линейных и нелинейных параболических уравнений исследовались также в [2], [4], [8], [13], [14], [15]. В частности, в [2] предлагаются способы изучения некоторых классов обратных задач для нелинейных уравнений на основе их редукции к новым задачам. В некоторых случаях этот подход приводит к явным решениям этих задач. В [4] установлены условия существования и единственности решения обратной задачи определения зависящего от времени коэффициента температуропроводности полупространства, примыкающего к конечному слою с известными теплофизическими характеристиками. Условие переопределения имеет вид дополнительного краевого условия, заданного на наружной поверхности слоя. В [8] рассматриваются обратные задачи восстановления коэффициента в параболическом уравнении, который предполагается зависящим только от пространственных переменных. Дополнительная информация к данным прямой задачи задается в виде финального типа. Исследуется вопрос об устойчивости обобщенных решений. В [13] рассматривается обратная задача нелинейной теплопроводности о восстановлении температуры и плотности теплового потока на теплоотдающей поверхности по результатам измерений внутренней температуры. На основе вариационного метода предлагается численный

метод решения этой задачи. В [14] излагается теория решения обратных задач спектрального анализа для несамосопряженных сингулярных дифференциальных операторов произвольных порядков. Дается вывод основного уравнения обратной задачи, доказывается его однозначная разрешимость. Указываются необходимые и достаточные условия, процедура решения обратной задачи, исследуется устойчивость. Приводится теория решения << неполных >> обратных задач. В [15] доказывается существование глобального решения следующей обратной задачи, а именно, нахождения пары (и, Л) из условий

Щ = ихх + А(£)м7 в фт, и(0, #) = и°(х), 0 < х < а,

<

их(1,0) = их(1,а) — 0, 0 <t <Т,

к ж) =/?(*), Q<t<T, где С^т = {(£,ж)|0 < £ < Т,0 < ж < а},0 < 7 < 1,0 < ж == ж задано, «0(0) = и«(в) = 0,и°(х) = /3(0), /? € С2[0,Г],«° € [0,а],«°(0) = 0, и\х) = /?(0),я > 0, т&Р1-*® ~ (1 -7)аот^в((«°М)"71«оМ1) > к > 0.

Установлена также теорема единственности этого решения.

Цель работы

Доказательство теоремы о локальной разрешимости обратной задачи для квазилинейного уравнения теплопроводности с финальным переопределением, которую можно трактовать как задачу управляемости.

Общая методика исследования

В основе доказательства теоремы о локальной разрешимости обратной задачи для квазилинейного уравнения теплопроводности лежат известные свойства решений линейных (прямой и обратной) задач, а также двукратное применение теоремы об обратной функции обычной и уточненной в соответствующих функциональных пространсвах(в одном из двух случаев пространство прообразов определяется как множество решений соответствующей линейной задачи).

Были также исспользованы неравенство Гельдера, теорема Фубини, теорема Лебега, теорема Адамара, теоремы вложения.

Научная новизна

Все результаты диссертации являются новыми. Главные из них: Локальная разрешимость обратной задачи для квазилинейного уравнения теплопроводности с финальным переопределением для различных размерностей.

Приложение

Диссертация носит теоретический характер.

Апробация работы

Результаты работы неоднократно докладывались на факультетской научной конференции РУДН и на семинаре кафедры дифференциальных

уравнений и функционального анализа (руководители д.ф.-м.н. проф. В.Н. Масленникова, д.ф.-м.н. проф. М.Ф. Сухинин, к.ф.-м.н. доц. М.Е. Боговский, к.ф.-м.н. доц. А.В.Фаминский, к.ф.-м.н. доц. Н.А.Шананин), на семинаре кафедры математического анализа Московского Государственного Университета (1999 г. руководители акад. Садовничий В.А., проф. Прилепко А.И.), на семинаре кафедры математического моделирования Московского Энергетического Института (Технического Университета) (проф. Дубин^ский Ю.А.).

Публикации

По материалам диссертации опубликовано 2 печатные работы.

Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из введения, двух глав и списка литературы. Диссертация изложена на 93 страницах. Библиография содержит 15 наименований.

1. О ЗАДАЧЕ УПРАВЛЯЕМОСТИ ДЛЯ КВАЗИЛИНЕЙНОГО УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ

§1. Предварительные сведения. Обозначения

Всюду в дальнейшем О С Яп -ограниченная односвязная область с границей дП £ С2(п > 2), С}т = Пх]0,Т],0 < Т < оо,5г = дП х [О,Г], О < ¿1 < Т, Ах- первое собственное значение задачи Дирихле для оператора —А. Напомним результаты из [5]. Рассматривается обратная задача

- Ау = Р(*Л (1.1)

= о, (1.2)

= 0, (1.3)

= хМ, (1.4)

где Г(х, = Н(х, £)/(#), Ъ{х1 £) и х(хУ заданные функции, а V и / - неизвестные функции, которую можно рассматривать как задачу управляемости, а именно, перевести систему из состояния г>|г=о = 0 в состояние = х(х) с помощью управления /(х).

1.1. 1. Теорема [5, с.53]

Пусть Н е С1(фт),Ь > 0 в + \1г > 0 в (¿^ для некоторого

Л е [0,Л1[,Л(я,*1) >^>ОвОих€ П .Тогда существу-

О 1

ет единственное решение (г;,/) € И^Дфт) х задачи (1.1) - (1.4)

причем [5..57]

Ы\ш11(Ят) + II/ ||2>п <^1^x112,0. (1.5)

Попутно в [5] установлены перечисленные ниже свойства решения задачи (1.1) - (1.4).

1.1. 2.

Положим <р(х) = h{xJtl)f{x) и введем оператор А : О) —^(0), ставящий в соответсвие каждому элементу <р(х) £ 1/2(0) элемент ¿1), где решение задачи (1.1) — (1.3) при = Ъ{х11)ср(х)/Н{х111).

Хорошо известно в [6] и отмечено в [5], что решение V задачи (1.1) — (1.3) существует и единственно для любой ^ £ И^жДфг), причем w = vt является решением задачи

иц-Аы = Я, (1.6)

и;|*=о = (1.7)

= 0. (1.8)

В [5] отмечено, что при = /г(ж,£)^(ж)//г(ж,£х) будет

-ЧМ-Л)!!^ < КМОИ^ < С1\Ы\1Я (1.9)

при некотором С2 > 0 и, следовательно, А : £2(0) —> 1/2(0) вполне непрерывен. В [5] также показано, что 1 не является собственным значением оператора А. Следовательно,

I-A\L2(Q)—> L2(Q) - изоморфизм L2(О,) на L2(Q). (1-Ю) 1.1. 3.

Положим L = d/dt - A, oW$fl(QT) — {F £ W%\QT)\ F{x,0) = 0} с нормой из W^(QT), Н = {v £ W%(QT)\3F £ оW^l(QT) : v — решениёузадачи(1.1) — (1.3)} с нормой ||г/||я = ll^ilw20,1(QT)' Тогда

ш = oWt'\QT).

L : Я —у oW^^IQt) — изометрический изоморфизм Я на о W2,1(Qt)

(1.11)

(отсюда следует полнота (Я, || ||#)), и вложение Я С W2(Qt) непрерывно. Все это вытекает из [6, .189], примененного к задаче (1.6) — (1.8), поскольку wx(x,0) = Fz(x,0) = -§^F(x,0) = 0 при F £ оW2,1(QT). Оттуда же следует, что

ЗС3 > 0 VveH: IIH^Ikfi < C3\\v\\B. (1.12)

Отметим также, что по теореме о следах для W2(Qt)

{оператор ( : Я—у L2(&), ( : v 1—у vt\t=t!, непрерывен} (1-13)

в силу непрерывности вложения Я в W2 (Qt)-Напомним теорему об обратной функции.

1.1. 4. Теорема

Пусть X, У банаховы пространства, U открытое множество в X, а отображение / : U —> Y строго дифференцируемо на U и f'(xо) : X —> Y изоморфизм X на У для некоторой точки £ U. Тогда существует такая открытая окрестность U' точки xq, что / осуществует гомеоморфизм U' на открытое множество f(U'),f'(x) изоморфизм X на Y при х Е U1,/'1 : f(U') —> X строго дифференцируемо на f(U') и (/-1y(/W) = [/'Ml-1 при X е U' ( Т.е / диффеоморфизм U' на f(U') класса С1).

§2. Формулировка основного результата

В этом параграфе использованы те же обозначения,что в §1, а 2 < п < 5. Пусть v : Л —» jr дважды непрерывно дифференцируема на R, причем

И«)| < С4Ма + С5и2, (1.14)

|i/'(«)| < аС4\и\а~1 + 2С5\и\, (1.15)

\v"(u)\ < а(а - 1)С4\и\а~2 + 2C5j (1.16)

где а = (п — 1)/(п — 3) = 3 при п = 4и2<а<оо при 2 < п < 4. Если п = 5, то = 0. В остальных случаях > 0, С5 > 0.

1.2. 1. Теорема

Пусть к удовлетворяет условию п.1.1.1 и Н(х,0) = 0. Тогда задача

(1.17)

0,

(1.18)

V |5т = 0,

(1.19)

г;^ = хМ,

(1.20)

где Р(х, £) = h(x,t)f(x), имеет единственное решение (у, /) в окрестности нуля в ]¥'с}((дт) х £^(0) ПРИ достаточно малых по норме % 6 И/22(^)П

1.2. 2. Замечание

Доказательство п. 1.2.1 сводится к проверке выполнимости условия теоремы об обратной функции. При этом главными моментами являются проверка строгой дифференцируемости соответсвующих отображений и выбор функциональных пространств, связанных с задачей (1.17) — (1.20).

§3. Строгая дифференцируемость оператора Немыцкого

В этом параграфе использованы обозначения из §2.

ПЙ^О).

1.3. 1. Предложение

Оператор N : —* №)](М) = ^ф,*)),

строго дифференцируем на И^Кфг) и [№(у)г)](х^) = 1/'(г;(ж,£))(:с,£).

Доказательство.

Прежде всего, покажем, что N отображает И^Кфт) в из

теоремы вложения следует, что

]¥Цдт) непрерывно вкладывается в Ьч{0>т), где д = 2(п + 1)/(п — 3) при 3 < п < 5 и д=(та + 1)(а + 1) при 2 < п < 3,

И^фг) непрерывно вкладывается в ¿2(п+1)/(п-1)(^т)

при 2 < п < 5.

Пусть V е Щ(Ят)- Тогда при 3 < п < 5

V € ¿а(»+1)((Эт), М® £ Ьцп+1)(С2т) С 1ъ{Ят),

п—з «—1

п — 1 (п-3)(а-1)

а при 2 < п < 3

(1.21)

(1.22)

(1.23)

V, Мв, М*-1 е ДКОД, 1 < д < оо, 1н е т). (1.24)

п — 1

В этом случае при п = 4 и С5 = 0 будет Ят Ят

< а2С\ / Н^-^Ы2^* <

Ят

< а2С|( / Щ^-^йхМ)^^ I < оо,

Ят Ят

т.е. € Ь2{Ят)- Случаи С5 > О,2<и<3ига = 5 исследуются

аналогично. Из этого включения и (1.23), (1.24) следует, что ]\Г(г;) € Пусть теперь е ]¥$(дт),<ик ф 0,^ V и щ 0 в

Положим

[Я{ук, щ)](х, £) = г) + *)) - ¡/(и* (ж, *))-

и покажем, что

в (1.26)

Можно считать, переходя к подпоследовательности, что —» г;, % 0, г^г -> г^ и щ —» 0 почти всюду, а также, что

(1.25)

Ь2Ы+1) (От) при 3 < п < 5, € { "-3 ~ (1.27)

Х(п+1)(а_1)(<5г) при 2 < п < 3,

(От) при 2 < п < 5, (1.28)

п — 1

такие, что

Ы + Iщ\ < г (1.29)

и

\vktl + < ¿1 (1-30)

почти всюду на <5г[9,с.162]. Тогда при п = 4 и С5 = 0 будет

/ \К(ук,щ)\2(1хШ = Ят

= I |+ - »Ы - у'(у)ук\2<1х<И — Ят

= I {}[р'{щ + - 1/(ь)]ЪкМ)Чх<И <

Ят о

< / /И** + мк) - 1/(у)]Ч1амх(И =

= 11 [»'(щ + №к) ~ р'(у)]Ч1йхМй'& < о

<1(1 Iпи'(ук + дьк) - V'(у)^• о Ят

Ят

< /( / И«* + №к) - »'(у^йхМ^йд •

О фу п-3

Заметим, что |г/'(г;& + — г/^)^ О почти всюду в фт и

И«* + Мк) ~ < =

= € £2(Фг) С ¿1(<3г)

равномерно по $ £ [0,1]. По теореме Лебега, примененной дважды, получим, что

ШЫ^к)Ьдт1\\Ък\\ш1{Ят) 0 ПРИ к-* ос. (1.31)

Если С5 > 0,2 < п < 3 и п = 5, то (1.31) также имеет место и доказывается аналогично. Далее, используя обобщенное неравенство Гель-дера

\\щ •... • иг\\р < \\щ\\Р1 • ... • \\иг\\Ргщ>т1/р = 1/рг + ... + 1/рг, 1 < < оо, г = 1, г [3, с.18], положив в немр = 2, г = 3,

Р1

сю, п = 5,

(п-3)(а-2) —Ю, П — 4,

(/г+1)(^+1), 2 < п < 3,

а—2 ' — — "

Р2 = ^, 2 < гг < 5,

Рз =

гс-1 '

^ 3 < п < 5,

(п + 1)(а+1), 2 < п < 3,

получим, что при п = 4 и С5 = 0 будет

Ят

= I (I /[г^'К + - =

Ят о

= / + + ¿ад -

<5т о

-ф'К + - »'('фы^ЧхМ = = + - ^ +

+!/"(«) + - + +[р'(ук + - <

< / /{...}2<Шж<Й = / I {...УйхсПй'д <

Яг о о Ят

< (в силу (1.29),(1.30) и неравенство(а + Ь + с)2 <

<

<

<3(a2 + b2 + c2)) < 0 QT

-v"(v)\ i^^dxdt) п+1. .

Qt Qt

+ /( / (C4a(a - 1 )za~2) ("-зк«-2) dxdt) ("~%Г2) ■

o qt

Ir I rt- ,2(n+l) n-1

•( i vw + vvkt - Щ "-1 dxdt)n+i ■ Qt

,я—з , , . n—з

•( / IVk\n+1dxdt)»+1d^+ Qt

+ f(f \v'(vk + $vk) - v'(v)\n+ldxdt)^-

o qt

'(I \vk\1^Ldxdt)^d'&]. Qt

Заметим, что во всех трех получившихся слагаемых последний множитель оценивается через в силу (1.21) и (1.22). Остальные сомножители являются либо конечными константами, а именно,

(/ ^f^-^drí)^, (/ - l)^-2)^^^^)111^^ и 1

Qt Qt

(см.(1.27) и (1.28)), либо интегралами, стремящимися к нулю по теореме Лебега. Действительно,

\v"(vk + - i/'(v)|$^(n~3)(a~2) 0 почти всюду по (x,t) eQt И

\v"(vk + -&vk) - v"(v)\Т^ш^щ < (2C4a(a - 1 )za-2)(»-%$-v £ Li(QT) равномерно по ti £ [0,1] в силу (1.16), (1.27) и (1.29),

2(n + l)

IVkt + tivkt — vt I "-1 0 почти всюду по (x, t) £ Qt и

2(n+l) 2(n + l)

\Vkt + &Vkt - Vil "-1 < (2^1) «-1 G Li(QT) равномерно по ti £ [0,1] в силу (1.28)и(1.30),\v'(vk + tivk) - v'(v)\n+l 0

почти всюду (ж, г) Е фг И

\р'(ук + Щ) - р'(у)\п+1 < {24га~1)п+1 € ¿1(дГ)

равномерно по £ [0,1] в силу (1.21), (1.27) и (1.29). Отсюда следует (1.26) при п = 4 и С5 = 0. Случаи С5 > 0, п = 5 и 2 < п < 3 исследуются аналогично и также дают (1.26).

1.3. 2. Замечание.

В силу непрерывности вложения Я С (Фт) (см.п.1.1.3), выполнимости для v £ н условия (1.2 ) и равенства г/(г>(ж,0)) = 0) = 0 для

П 1

V £ Н получаем, что N отображает Н в оИ/2)'ж^((5г)(см.п.1.1.3) и в силу

0 1

п.1.3.1 N : Я -» оИ^'жДОг) строго дифференцируемо на Н.

1.3. 3. Предложение.

Оператор г>(ж) I—> и(у(х)) действует из Ь_2п_(0) в 1/2(Ш при 3 <

п—3

п < 5 и из £(п+1)(а+1)(П) в 1/2(О) при 2 < п < 3 и строго дифференцируем на всем 1/_2п_(0) (соответсвенно на всем 1/(п+1^а+1)(0)). Доказательство.

Пусть п = 4,С5 = 0, а = (п - 1 )/(п - 3) и у £ О). Тогда из (1.4) следует, что

J \и(у(х))^йх < С\ J ^(х^^^йх < (X) о

в силу ограниченности Л и неравенства 2(п — 1)/(п — 3) < 2п/(п — 3), т.е. 1у(у) £ Ь2(Щ.

Пусть 2<п<3иг;€ £(„+1)(а+1)(0). Тогда из (1.4) следует, что

/ \р(у{х))\Чх < С2,/ \у{х)\2айх < оо п о

в силу ограниченности О и равенства 2а < (п+1)(а+1) т.е. р(у) Е Ь2(£к). Пусть С5 > 0 и п — 5 исследуются аналогично. Доказательство строгой дифференцируемости оператора у(х) I—> р(у{х)) проводится стандартным способом ( как и в п. 1.3.1; см. также [10] ) и здесь опущено.

§4. Завершение доказательства основного результата.

В силу (1.11) и п.п.1.3.2 и 1.1.4 существуют такие открытые окрестности нуля 11\ и У\ в Я и оИ^Дфг) соответственно, что оператор £ : v 1—Ьу + ]У(г>) (см. пп.1.1.3 и 1.3.1 ) осуществляет диффеоморфизм 11\ на У\ класса С1. При этом оператор ц = : У\ —11\ строго дифференцируем на У\ и г]'(Р) = при F Е У\. В этом случае в

силу линейности и непрерывности оператора <р(х) \—> <р(х)к(х, £)/&(#, ¿1) из Ь2(П) в о^¿(фг) (см. п.1.2.1) оператор Р : Ь2(П) —> Я, Р(<р) = 1)), строго дифференцируем в окрестности ну-

ля У2 из Ь2(П), а тогда в силу (1.13) и п.1.3.3 операторы <р 1—У из У2 в Ь2(П) и <р>—> = г/([Р(^)])(,^) из У2 в Ь2(П) так-

же строго дифференцируемы на У2. Подставив в (1.17) из (1.20) и Р(х,1) = (р(х)1г(х^)/11(х,Ь 1), приходим к уравнению

М(ч>) = <р- РШ^ - N(P(ip))\t=tl = -АХ = Ф, (1.32)

к которому в силу (1.10) также применим п. 1.1.4 , поскольку М'(0) = / - А где А : 12(П) —> 12(П) ( см. п.1.1.2 ). Согласно п.1.1.4 существуют такие II и V в что М : у \—Ф осуществляет диф-

феоморфизм и на V класса С1. Поскольку —Д осуществляет изоморфизм \¥$(П) П Й^О) на Ь2(П) [7,с.240], то ТУ = -Д-1^ окрестность нуля в И^^ПТ^О) и