Условие Лежандра-Адамара в нелинейной теории упругости тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

Введение .2

Глава I. УСЛОВИЕ ЛЕШЩРА-АДАМАРА И ПОВЕДЕНИЕ

УПРУГОГО МАТЕРИАЛА .10

1.1. Удельная энергия деформации .10

1.1.1. Объективность удельной энергии . ю

1.1.2. Формы упругости .ii

1.1.3. Изотропный материал .16

1.1.4. Формы упругости в стационарной точке .22

1.1.5. Несжимаемый материал .24

1.2. Условие Лежандра-Адамара .26

1.2.1. Формулировка условия.26

1.2.2. УЛА в стационарной точке .28

1.2.3. УЛА для несжимаемого материала . 29

1.2.4. Поливыпуклость .31

1.2.5. Физико-геометрическое истолкование УЛА .34

1.2.6. Материальная инверсия .35

1.3. Физический смысл УЛА .38

1.3.1. УЛА и распространение волн .38

1.3.2. УЛА и устойчивость положений равновесия .^

1.3.3. О нарушении УЛА .46

1.3.4. Значение УЛА для теории упругости 5ц.

1.4. УЛА и связи.55

1.4.1. Понятие связи .55

1.4.2. Формулировка УЛА*.56

1.4.3. Односторонние связи .58

1.4.4. Двусторонние связи. 64

1.4.5. Возможные обобщения . 66

Глава П. УСЛОВИЕ ЛЕЖАБДРА-АДАМАРА ДЛЯ ИЗОТРОПНОГО

МАТЕРИАЛА. 67

2.1. Проверка УЛА для изотропного материала . 67

2.1.1. Алгебраическая задача. Условия Р и (3 . 68

2.1.2. Соотношение условий Р и . 73

2.1.3. УЛА для изотропного несжимаемого материала. 75

2.1.4. Частичная неотрицательная определенность . 78

2.1.5. Изотропная поливыпуклость . 83

2.2. Смысл УЛА для изотропного материала . 87

2.2.1. Смысл условия Р. 88

2.2.2. Смысл условия (3 . 89

2.2.3. Несколько лемм . Э1

2.2.4. Доказательство теоремы . 97

2.2.5. УЛА и минимум удельной энергии . 99

2.2.6. Материальная инверсия .ЮЗ

2.3. Примеры.104

2.3.1. Изотропно поливыпуклые энергии.104

2.3.2. Полулинейный материал.107

2.3.3. Физически линейный материал.109

2.3.4. Обобщенный материал Муни.ИЗ

При решении конкретных задач теории упругости правдоподобных результатов можно ожидать только в том случае, когда на удельную энергию деформации наложены некоторые дополнительные, отвечающие интуитивным представлениям о поведении материала ограничения ¡4, 15, 23]. В то время, как в классической линейной теории общепринятым и, по существу, единственным таким ограничением является требование положительной определенности задающей удельную энергию квадратичной формы £13], в нелинейной теории ситуация значительно сложнее. Наличие в натуральном состоянии минимума удельной энергии не гарантирует при рассмотрении больших деформаций даже существования устойчивых решений краевых задач [30]. Среди большого количества различных дополнителыаых условий, которые, по мнению выдвинувших их авторов, должны учитываться при выборе закона состояния упругого материала, как наиболее существенное может быть выделено так называемое условие Лежандра-Адамара (сокращенно УЛА).

Введенное в 1902 году Адамаром [зб] при изучении многомерных задач вариационного исчисления указанное условие, начиная с 50-х годов, рассматривалось в контексте нелинейной теории упругости. Было показано, что выполнение УЛА, практически совпадающего с условием гиперболичности системы дифференциальных уравнений движения, эквивалентно действительности скоростей распространения волн малой амплитуды в упругой среде [34, 5б], была установлена его роль как необходимого условия устойчивости любой равновесной упругой деформации [57]. Специализация УЛА для изотропного материала дана в [5б], связь с теоремами существования нелинейной теории упругости обсуждалась в [80], ряд частных результатов получен в [14, 29, 40, 48-5^. Среди отечественных авторов, внесших существенный вклад в выяснение значения УЛА для нелинейной теории упругости, следует назвать С.К.Годунова, А.И.Лурье, Е.И.Роменского, среди зарубежных - Р.Ривлина, К.Трусделла, Д.Эринсена. Однако в существующих исследованиях данной тематики имеется ряд пробелов. Так, например, применение известной методики проверки УЛА для изотропного материала [49] значительно осложнено необходимостью исследования ряда неравенств, зависящих от вспомогательных параметров; недостаточно изучено значение этого условия при рассмотрении упругих материалов с наложенными связями; не исследованы некоторые важные конкретные материалы.

Цель данной работы заключается в том, чтобы восполнить как указанные, так и некоторые другие имеющиеся в литературе пробе- < лы, а также дать связное изложение ряда уже известных основных результатов, касающихся применения УЛА в нелинейной теории упругости.

Дадим обзор содержания работы, состоящей из настоящего введения, двух глав и заключения, в котором приведена сводка полученных результатов.

В главе I после предварительного рассмотрения необходимых понятий и соотношений нелинейной теории упругости сформулировано УЛА и изучено, каким образом его выполнение ^или нарушение) отражается на поведении упругого материала.

В § 1.1 в удобном для дальнейшего изложения виде приведены некоторые, по существу, известные соотношения для производных удельной энергии деформации [15, 57]. Введены разновидности форм напряжений (связанных с первыми производными энергии) и форм упругости (связанных со вторыми производными), применение которых вместо соответствующих разновидностей тензоров напряжений и тензоров упругости придает используемым формулам большую наглядность и компактность. Формы Пиола (названные так из-за их связи с тензором напряжений Пиола) определяются наиболее просто с математической точки зрения; формы Коши (связанные с тензором напряжений Коши) естественно появляются (например, при исследовании линеаризованных уравнений движения), когда для описания деформации в качестве независимых используются координаты точек тела в деформированном состоянии; экспоненциальные формы удобно применять при работе с несжимаемым материалом. Изучены свойства введенных форм, вытекающие из объективности энергии, для изотропного материала получены их представления через производные задающей энергию функции главных растяжений, рассмотрено поведение этих форм в стационарной точке.

В § 1.2 сформулировано УЛА и рассмотрены некоторые связанные с ним общие свойства удельной энергии деформации. Поскольку значение УЛА для теории упругости установлено лишь в § 1.3, изложение носит формальный, предварительный характер. Показано, что наличие в данной точке минимума удельной энергии влечет за собой выполнение в этой точке УЛА, но не наоборот [гз], дана формулировка УЛА, применимая для несжимаемого материала. Исследовано важное свойство поливыпуклости, также первоначально введенное Адамаром [вт] и играющее большую роль при доказательстве теорем существования краевых задач нелинейной теории [30]. Доказано, что поливыпуклая энергия всюду удовлетворяет УЛА, сделана попытка дать физическую интерпретацию условия поливыпуклости. Приведено простое физико-геометрическое истолкование УЛА (по существу, еще одна формулировка этого условия). Доказано, что для несжимаемого материала УЛА имеет место тогда и только тогда, когда дополнительное наложение произвольного простого сдвига требует большей удельной работы, чем первоначальное.

Заметим, что используемое название изучаемого условия не является общепринятым. УЛА известно также как условие Адамара ¡15, 2з] , ИЛИ условие устойчивости материала ¡49, 51]; удовлетворяющие ему энергии называют квазивыпуклыми [45^ или слабо квазивыпуклыми [^-б]; говорят не об удовлетворении строгого УЛА (заключающегося в строгом выполнении соответствующего неравенства), а о гиперболичности уравнений движения или сильной эллиптичности уравнений равновесия теории упругости [4, 15, 23].

В § 1.3 выяснен физический смысл УЛА. Показано, что его выполнение эквивалентно действительности скоростей распространения плоских волн малой амплитуды в упругой среде [15]. Со сходных позиций УЛА (как условие гиперболичности или корректности уравнений движения) изучалось в работах С.К.Годунова и Е.Й.Ро-менского 5, 19, 20]. Рассмотрена роль УЛА как необходимого условия устойчивости любой равновесной упругой деформации |~15, 57], выделен класс простейших краевых задач, для которых УЛА является не только необходимым, но и близким к достаточному условием устойчивости. На конкретном примере задачи о радиальном сжатии цилиндра из полулинейного материала показаны последствия, к которым приводит нарушение исследуемого условия. Неприемлемость этих последствий, а также естественность ограничений, налагаемых УЛА на поведение упругого материала, позволяют рассматривать требование выполнения этого условия как постулат теории упругости [4, во]. Аргументы противников этой точки зрения (не отрицающих, впрочем, большого значения УЛА для теории упругости) следует признать необоснованными (их разбор и критика даны Д.Бо-ллом [зо]). Так, например, Трусделл и Нолл [57] предлагают использовать нарушение УЛА для объяснения таких типов потери устойчивости, которые, как показано в [зо], имеют место и при его соблюдении. Невыполнение УЛА следует скорее связывать с потерей материалом упругих свойств. Однако попытка К.Ноулза и Э.Стернберга [22, 41] использовать нарушение УЛА (точнее потерю эллиптичности уравнениями равновесия) при исследовании деформаций с разрывными градиентами, представляется неудачной, поскольку указанные авторы не учитывают всех возникающих в подобной ситуации факторов, в частности, возможное "изменение микроструктуры" деформируемого тела (см.п.1.3.3.).

В § 1.4 УЛА применяется к исследованию упругих материалов со связями. Для связей общего вида введено "условие Лежандра-Адамара со звездочкой" (сокращенно УЛА.)и приведены доводы, показывающие, что ему должна удовлетворять всякая связь, наложенная на простой упругий материал (коль скоро требование выполнения самого УЛА рассматривается как постулат теории упругости). Для односторонних связей сформулировано аналогичное УЛА дифференциальное условие, более слабое, но легче поддающееся проверке, чем УЛА. Доказано, что единственной двусторонней связью, удовлетворяющей УЛА, является изохорическая связь, соответствующая несжимаемому материалу. Значение полученного результата обусловлено, в частности, его локальным характером, поскольку в нелинейной теории упругости часто интересуются хотя и конечными, но "не слишком большими" деформациями. Заметим, что исключительность изохорической связи отмечалась Д.Боллом [зо] на том основании, что только для нее работают предложенные им методы доказательства теорем существования решения краевых задач нелинейной теории.

Глава 2 посвящена исследованию УЛА для изотропного материала.

В § 2.1 рассмотрена процедура проверки этого условия. Поставлена и изучена соответствующая алгебраическая задача, заключающаяся в нахождении ограничений на коэффициенты некоторой специальной формы четвертого порядка от шести переменных, необходимых и достаточных для ее неотрицательности. В общем случае (для анизотропного материала) подобная задача очень сложна и, по всей видимости, не поддается исследованию аналитическими методами; для изотропного материала структура указанной формы оказывается достаточно простой. Введены условия Р и Ч , совместное выполнение которых эквивалентно выполнению УЛА. Условие Р элементарно (при его формулировке не используются вспомогательные параметры), проверка условия (3 сведена к проверке частичной неотрицательной определенности четырех квадратичных форм от трех переменных, то есть неотрицательности этих форм при неотрицательных значениях аргументов. Получен критерий частичной неотрицательной определенности квадратичной формы, аналогичный классическому критерию, применяемому при исследовании обычной неотрицательной определенности. Проверка УЛА сведена, таким образом, к проверке конечного числа элементарных неравенств. Для несжимаемого материала подобная система неравенств приншдает довольно простой вид и выписана явно. Заметим, что получение такой системы являлось целью работ К.Сайерса и Р.Ривлина {4-8 - 54], однако указанным авторам не удалось исключить все вспомогательные параметры, используемые при формулировке УЛА. Сведение УЛА для изотропного материала к конечной системе элементарных неравенств осуществлено автором диссертации и А.И.Лурье [10] (1980 год), а затем (только для несжимаемого материала) Л.Зи и Э.Стернбергом \5Э] (1983 год). В заключение параграфа введено понятие изотропной поливыпуклости и доказано, что изотропно поливыпуклая энергия всюду удовлетворяет УЛА. Многие конкретные энергии очевидным образом являются изотропно поливыпуклыми (см. п.2.3.1), и УЛА для них, таким образом, автоматически выполнено. Заметим, что дополнительные ограничения на изотропно поливыпуклую энергию, достаточные для ее поливыпуклости (в смысле п. 1.2.4), рассматривались Д.Боллом [зо].

В § 2.2 выяснено, каким образом выполнение УЛА отражается на поведении удельной энергии как функции главных растяжений. Записанное для изотропного материала в виде довольно громоздкого и формального неравенства УЛА согласно результатам п.2.1.1 распадается на два независимых условия Р и СЗ Элементарное условие Р практически совпадает с известным условием Бейкера-Эриксена и имеет простой смысл [15, 23]. Для истолкования условия (Э введено понятие специальной кривой и доказано, что выполнение этого условия эквивалентно выпуклости удельной энергии вдоль каждой такой кривой. Приведена также физическая формулировка полученного результата: специальной кривой сопоставляется некоторое однопараметрическое семейство деформаций, а выпуклость энергии трактуется как возрастание виртуальной мощности в процессе деформирования. Специальные кривые лежат в трехмерном "пространстве главных растяжений", через каждую типичную точку этого пространства (в которой все три растяжения попарно различны) в каждом указанном направлении можно провести в точности одну специальную нривую. Таким образом, введенные кривые можно сравнить с прямыми обычного трехмерного пространства, а данное истолкование условия (9 с обычной интерпретацией выпуклости функции трех переменных: функция выпукла, если ее сужение на произвольную прямую есть выпуклая функция одного переменного. Б заключение пераграфа, доказано, что удовлетворяющая УЛА энергия изотропного несжимаемого материала имеет в натуральном состоянии абсолютный минимум (на самом деле, установлен даже несколько более общий результат).

В § 2.3 исследованы некоторые конкретные изотропные материалы. Приведены примеры энергий, всюду удовлетворяющих УЛА. Для полулинейного материала, предложенного Ф.Джоном [39], выписаны простые неравенства, к которым сводится в этом случае УЛА. Для физически линейного материала [з], изучавшегося Ф.Мурнага-ном [47] (по существу, также А.Синьорини ), ситуация знач чительно сложнее и получены лишь некоторые частичные результаты. Рассмотрен несжимаемый материал, являющийся обобщением материалов »предложенных М.Муни [44], Г.М.Бартеневым и Т.Н.Хазановичем [2], К.Ф.Черных и И.М.Шубиной [24, 25]. Применение предложенной в § 2.1 методики позволяет получить для этого материала очень простой критерий выполнения УЛА.

Работа изложена на 128 страницах машинописного текста, список литературы включает 59 наименований.

Основные результаты, полученные в работе и выносимые на защиту, состоят в следующем.

1) На конкретном примере задачи о равномерном радиальном сжатии цилиндра из полулинейного материала продемонстрированы противоречащие общепринятым представлениям о поведении упругого материала последствия, к которым приводит нарушение УЛА.

2) Дано применение УЛА к исследованию связей, наложенных на упругий материал. Доказано, что единственной допустимой с точки зрения УЛА двусторонней связью является изохорическая связь, соответствующая несжимаемому материалу.

3) Предложена эффективная методика проверки УЛА для изотропного материала. Для изотропного несжимаемого материала УЛА сведено к конечной системе элементарных неравенств, выписанной явно.

4) Введено и изучено связанное с УЛА условие частичной неотрицательной определенности квадратичной формы, представляющее также общий теоретический интерес. Получен критерий частичной неотрицательной определенности, аналогичный классическому, применяемому при исследовании обычной неотрицательной определенности.

5) Введено полезное при изучении специальных материалов понятие изотропной поливыпуклости. Доказано, что изотропно поливыпуклая энергия всюду удовлетворяет УЛА.

6) Выяснен тот специфический смысл, который УЛА имеет для изотропного материала. Дано физико-геометрическое истолкование условий Р и , на который распадается в данном случае

УЛА, Доказано, что удовлетворяющая УЛА удельная энергия несжимаемого изотропного материала имеет в натуральном состоянии абсолютный минимум.

7) Произведена проверка УЛА для ряда конкретных материалов, в частности, для полулинейного и физически линейного.

Проведенное исследование способствует выяснению той важной роли, которую УЛА играет в нелинейной теории упругости. Полученные в работе результаты и предложенная в ней методика проверки УЛА могут быть использованы как при выборе закона состояния исследуемого упругого материала, так и при анализе применимости найденных решений конкретных задач нелинейной теории.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. Арнольд В.И. Обыкновенные дифференциальные уравнения. -М.: Наука, 1971.

2. Бартенев Г.М., Хазанович Т.Н. О законе Еысокоэластичных деформаций сеточных полимеров. В сб.Высокомолекулярные соединения, I960, т.2, № I, стр.20-27.

3. Бердичевский В.Л. Вариационные принципы механики сплошной среды. М.: Наука, 1983.

4. Годунов O.K. Элементы механики сплошной среды. М.: Наука, 1978.

5. Годунов С.К., Роменский Е.И. Нестационарные уравнения нелинейной теории упругости в эйлеровых координатах. ПМТ?, 1972, Ш 6, стр.124-144.

6. Гурвич Е.Л. К неравенствам типа Колемана-Нолла. Изв. АН СССР, МТТ, 1978, te 3, стр.188.

7. Гурвич Е.Л. Условие Адамара в нелинейной теории упругости. Изв.АН СССР, МТТ, 1979, Ш I, стр.45-51.

8. Гурвич Е.Л. О дополнительных неравенствах теории упругости. В сб. Физика и механика нелинейных явлений, Киев: Наукова думка, 1979, стр.51-61.

9. Гурвич Е.Л. Об одном нелинейно упругом эффекте. В сб. Нелинейные динамические процессы физики и механики, Киев: Наукова думка, 1981, стр.48-55.

10. Гурвич Е.Л., Лурье А.И. К теории распространения волнв нелинейно упругой среде ( эффективная проверка условия Адамара). -Изв.АН СССР, МТТ, 1980, № 6, стр.ПО-116.

11. Колмогоров А.Н., Фомин C.B. Элементы теории функций ифункционального анализа. -М.: Наука, 1972.

12. Ладыженская O.A. Краевые задачи математической физики. М.: Наука, 1973.

13. Лурье А.И. Теория упругости. М.; Наука, 1970.

14. Лурье А.И. Критерий эллиптичности уравнений равновесия нелинейной теории упругости. Изв.АН СССР, МТТ, 1979, fö 2,стр.23-34.

15. Лурье А.И. Нелинейная теория упругости. М.: Наука,1980.

16. Маркус М., Минк X. Обзор по теории матриц и матричных неравенств. -М.: Наука, 1972.

17. Новожилов В.В. Оановы нелинейной теории упругости. -М.: Гостехиздат, 1948.

18. Понтрягин Л.С. Непрерывные группы. -М.: Наука, 1968.

19. Роменский Е.И. Конусы характеристик уравнений нелинейной теории упругости. ПМТФ, 1974, 3, стр.126-132.

20. Седов Л.И. Введение в механику сплошных сред. М.: Физматгиз, 1962.

21. Стернберг Э. Некоторые новые успехи в применении нелинейной теории упругости к сингулярным задачам. В сб. Механика деформируемых твердых тел: направления развития, М.: 1983.

22. Трусделл К. Первоначальный курс рациональной механикисплошных сред. -М.: Мир, 1975.

23. Черных К.Ф., ШубинаИ.М. Законы упругости для изотропных несжимаемых материалов. В сб.Механика эластомеров, Краснодар, 1977, т.1, стр.54-64.

24. Черных К.Ф., Шубина И.М. Обобщение упругого потенциала Бартенева- Хазановича. В сб. Актуальные проблемы нелинейной механики сплошных сред, Ленинград: изд.ЛГУ, 1977, стр.14-19.

25. Экланд И., Темам Р. Выпуклый анализ и вариационные проблемы. М.: Наука, 1979.

26. Эриксен Д. Некоторые проблемы устойчивости в нелинейной теории упругости. В сб.Успехи механики деформируемых сред, АН СССР, 1975, стр.559-565.

27. ZZ.&taiz Р.У.^Хо W.c¿. dppiCcai¿ons oí íiníle e l as i Lei iy -th eo%y to ma-tioh of % lc1. He

28. Soc. JlheoLj 19 62; V. 6J p. 33. S)cuc oy hcc J3, ucLs i со mrex ¿í ^ antLi,e¿CLXCL~íiOh ío% nonconve-oc ptoêêems ¿n the c&lcuéus ojr VCLtt¿<xÍLor\s.— /d.?t<»cí.432Z} v.4G} jiFÍ? pJ0Z-H8.

29. ЪЧ. í'cicksGh У. oC On i:he. p to po^ œi ¿on o¿ vr&ves iг) Cs oízopCc ¿л covnс ê í-e. pa^íca-b e^asitc m a-i: e * ¿a, i. í/. &cdLo»UсДеch. ¿vmlI.j i/.2; p. 329 33?.

30. Q ъссггед Х.еМ. The Vfе С е t s~í *с a ss corniliiíon io*t muíiip&G ¿niea*ca,é VOsbCa-iCoh ptoilens-JDuke cMaih. £"(4929), p.6S£~é60.

31. ZG. it&(Lcl wt a,*cd У. Sut une e/u esiio n de. calcul ¿es VCl*t¿a.ÍLo r>s r — Soc.J¿*>íh.1. З^аисе, ЪО(490Л)уa-ma,*c<í ty t oíecons su*t ¿a p"to po-^d-bíon ¿es ohdL&s.— /¿екы&пп^

32. Move ¿¿.v^CLh, Sut e,30.iehs¿o¡n de ta cohíiiion ¿e c¿u ccl¿c(a¿ ¿es VO.'bioL-tion s OLüWX ¿ ní^ çj, ьсьве s trt и êiîp te. sa pius¿<zuts é-onc~éîD)OS ¿vconnui&s, — Xohinkê>, t/fed. oí cad, Vfe i-e m s с, h арп -яг. J

33. УоЬп?, Oh ^с'л^е 4,е£о*СУг>а.-(;Сог) ofе ía-síi с Cso-bt о pùc м Qsi а- — X n s~t.

34. C0Y\$i iiuiiire Lhacjua,¿iiy ¿n ¿-Luíis eêesices it cl i h c/trch. an¿ tftmcLÍy,s is^ir. £8; p. m-149.

35. M-Ot^&y C.S. oU- ulicp^e. ¿rtie.^ HLOsAS СУ*bhe caus vcL^cCcL-hcomsJ SpYthge^

36. ЧЯ. diüu *t machar) &.3), 3-¿¡niie dej-o'c yyia'éC on oídh elcLbiùc $oéc¿j /V.Y.J J961.48 . A ¿ ir Çona ¿cÍ¿OJ0£ OY)

37. CDhsiibuiCTS-e ocj ua-éions, — Р*сос. Jní. Symp. Oh -¿be éouh¿ci-éc0У)s oj- co^~t¿nui4W¡ -bke-^ModyntxmCcs Ji USSCLCO j 4 0 7L3.49. 3í¿v¿¿h Я. IS. Some *teJrlecí¿on on sidêio^ m CL-h e *c i a, ê ,— Лес/г.1. Ooc^oxí e.n.Ji9iOJ

38. Д ¿yr ¿¿у) Д, ^ v77?e s/ut/i-ene^ func--¿¿ОИ1 L и ^C^L-ée e gûLS-é-Ca'iry Ц.

39. JUieo0.; 49S0) 1Г. <JF 6; р. 914.

40. SI, Sa ur^e t s %Jf. J + Л. g. In s-la il lli$

41. Oí O-h eÍOLS-ÍCC In-ÍGtno-'k.y. So¿C<Lz1. SlxtjLci.j с¿FZ; p

42. SZ. $a.vrye*s tt.t/l/^; JUifiétn ОиОгъ

43. Sp-ee¿ oj- ргоро^CL-éiûn o£ ur&ves ùn olmecL e ¿asifc'c жа/е^^/.- 2. в & w, M&th.voyid (¿AM Pj JWjVMjp.MS-'fOsrî.1. GZ. ^ctw^e^s

44. Speecí oj^ y?*coро^сьт-i on Mra-v&s ¿n cc1. O^cvabcL co^^esu'e eW.'c ю ¿vid С ol ¿ —2. auteur. tttvkk. (ЪАМ?)> V,Z3 p.5Ц. SCLvry e*ts

45. ЙГ.ЛС, Лсягёг* A.tf. d noie

46. OV)-bke. c*t¿-ée.tLoto J-ot clh ¿исо/юpK&$>iil-e С soi^co р ¿с eêds-étc /гт/е^с'л —1. ОЙёс/I. Де S Communs

47. GS. $>LCjn0tLl7L tÂ. J t Ol Щ s Í О ьупа, С -6 Сеул a eiasi Cche j-Cn i ie. — cJá&m. da . nn. d ¿ Mod. 4)^41^. p. 33- 14$ j dhh.dc Med,futo. tfppt. (Щ T гоj p. 1.-12.

48. C. Q e /? -e t, a> / and e^caslfiheoby oi waives in cfiy?L~é^ <a£cLS~éCc Strain. — АчсЬ. cMec/i. ¿tnd ythOitysis 19G1 ^ fyp.54.. fitues¿eé£ CtJ <АГоМ W. hor>

49. Ceé¿ ihe.o*c¿es o/ m e cha n CesSncyc ¿оре<Са

50. OÍ PhysCcS) W/Zj Sp^Cngetj 49еб~.

51. Wana C.C.j v^V ц es¿etd> С. X* ¿uc -í¿on to ■ ^ dl. ico n ai o, £¿ts~éc с i tu . — (s^oioLinúB-ñ. : Woüjets-t/fÓovdhoJ/. ¿97-Л.

52. Zee ot.j n ь <e*tcj, £. C?<t¿¿ Î иач and

53. Vhe e CJ LA it cl* с U loi

54. Ch со m p^G-GQ ié ê е. h С pe* i С сso ti c¿£, — tikbcJk. Aest. yllech. oao d vé ^¿i ¿y s ¿ s^ 4982, v. p. 6-3-90.