Условия и методы спрямляемости некоторых пространственных тканей, номографирования уравнений и приведения их к каноническим формам тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.04 ВАК РФ

Институт математики и механики Уральского отделения РАН

На правах рукописи

УДК: 514.763.7 + 514.972.8.8 + 519.675+ + 517.93 + 517.518.32

Рудаков Бронислав Петрович

УСЛОВИЯ И МЕТОДЫ СПРЯМЛЯЕМОСТИ НЕКОТОРЫХ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ТКАНЕЙ, НОМОГРАФИРОВАНИЯ УРАВНЕНИЙ И ПРИВЕДЕНИЯ ИХ К КАНОНИЧЕСКИМ ФОРМАМ

Специальность: 01.01.04 - Геометрия и топология

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Екатеринбург - 2009

003470646

Работа выполнена на кафедре высшей математики Тюменского государственного архитектурно-строительного университета

П.В.НИКОЛАЕВ

Научный консультант: к.ф.-м.н., профессор Официальные оппоненты:

доктор физ.-мат. наук, профессор Евтушик Леонид Евгеньевич доктор физ.-мат. наук Максимов Вячеслав Иванович доктор физ.-мат. наук Толстихина Галина Аркадьевна

Ведущая организация:

Уральский государственный педагогический университет

30 июня &а

Защита состоится 2009 г. в ^ на заседании

диссертационного совета Д 004.006.03 в Институте математики и механики УрО РАН по адресу: 620219, г. Екатеринбург, ул. Ковалевской, д. 16.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института Математики и механики УрО РАН

Автореферат разослан <Л0. » /и-яА 2009 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

доктор физ.-мат. наук В.В.Кабанов

УйЛср^

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы исследования. Тема работы связана с важными и взаимосвязанными разделами математики: геометрией ткани, номографией, проблемами приведения уравнений к каноническим формам.

«Геометрия тканей», как направление в дифференциальной геометрии, появилась на рубеже 20-30-х годов прошлого века в трудах виднейшего геометра, руководителя Гамбургской математической школы Вильгельма Бляшке, его многочисленных учеников и сотрудников. Однако и до настоящего времени остаётся большое число вопросов, на которые не получены ответы. Формулируя нерешённые проблемы, относящиеся к тканям, в том числе, образованными поверхностями, В.Бляшке [1] назвал фундаментальной проблему отыскания необходимых и достаточных условий спрямляемости тканей, т.е. условий, при выполнении которых ткань была бы топологически эквивалентна ткани, образованной плоскостями. При этом отметил, что "...непосредственное нахождение условий спрямляемости представляется безнадежным. Несколько более доступным кажется доказательство следующего предложения об однозначности", аналогичное гипотезе Гронвэлла (F.H.Gronvall (1912 г.)): "Образованная поверхностями ткань, не являющаяся шестиугольной, допускает (с точностью до коллинеаций) не больше одной реализации в виде ткани из плоскостей". В.Бляшке ставит также вопросы о проективной классификации тканей, видах их уравнений, о преобразованиях, допускаемых уравнениями тканей.

В.Бляшке установил, что «Учение о тканях тесно связано с «номографией», которую применяют в технике, для того чтобы графически представить функциональную зависимость» [1]. Так, если из уравнений семейств поверхностей в трёхмерном пространстве, образующих 4-ткань в некоторой области G,

tj (х, y,z) = tj= const., {j = 1 - 4), исключим переменные x,y,z, то получим зависимость /(i,,i2,i3,i4) = 0, связывающую четыре поверхности ткани Т, принадлежащих различным семействам, проходящие через одну точку в области G.

Если задана ткань Т и указаны значения параметра t,, отвечающего поверхностям каждого семейства, то Т представляет собой «номограмму» полученной зависимости. Такие пространственные «номограммы» не нашли широкого практического применения. Если же ткань Т спрямляется, то двойственным образом спрямлённой ткани будет «номограмма из выравненных точек», имеющая большое научное и техническое приложения. В.Бляшке заключает [1], «что столь необходимая для техники номография может быть включена в наше учение о тканях».

«Номография» как наука появилась раньше «Геометрии тканей». Но и до настоящего времени остаются нерешёнными немало ключевых теоретических и практических проблем, поставленных в 1912 г. Гронвэллом [2]. у

Многие вопросы, относящиеся к «Геометрии тканей», или к «Номографии», часто удаётся решить путём приведения заданных уравнений к той или иной канонической форме. В.Бляшке уделяет этому вопросу особое внимание, поскольку все ткани с одним и тем же уравнением ткани "эквивалентны в малом относительно рассматриваемого топологического преобразования" [1].

Для уравнений с тремя переменными решение отдельных вопросов указанных проблем, относящихся как к тканям, так и к номографии, можно найти в работах Т.Гронвэлла, Н.А.Глаголева, С.В.Бахвалова, Г.С.Хованского, П.В.Николаева, М.В.Пентковского, С.В.Смирнова, Г.Е. Джемс-Левн, М.А.Акивиса, В.В.Гольдберга и др. авторов. Однако и до последнего времени остаются нерешенными некоторые вопросы общей проблемы.

Вопросы спрямляемости 4-ткани, образованной поверхностями, и связанные с ними проблемы номографирования уравнений с четырьмя переменными, также привлекают внимание исследователей. Следует назвать В.Бляшке, Н.А.Глаголева, С.В.Смирнова, E.H. Кузьмина, О.В. Ермолову, Г.С. Хованского, Л.Я. Нейшуллер, Е. Goursat, M.Czyzykowski, J. Wojtowicz, B.B. Казьмина, M.D. Ocagne, E.Hösel, M.Maria, Т.Н.Солнцеву, C.H. Буланова, Ю.И. Боголюбова, Р.Петрова, И.С.Глазырину и др.

К вопросу приведения уравнений со многими переменными к каноническим формам, в частности, разделению переменных по одному или на различные пары, обращались в своих работах Н.А.Глаголев, Г.С.Хованский, Л.Я. Нейшуллер, Bal Lascu, Ю.И. Боголюбов, Е..Goursat, A.M. Бухвалов, Нгуен Ши Туэн, Р.И.Новобранова, О.В. Ермолова, Г.М.Плотникова, Г.С. Прокопьев, Мазаева Г.А. и др.

Остановимся на актуальности проблем, которым посвящена работа. Нередко приходится слышать, что в век компьютерных технологий номография и основанные на ней методы численного анализа давно утратили свою актуальность, а теория тканей не нашла широкого резонанса среди математиков-профессионалов и не имеет достаточно интересных приложений.

В ответ заметим, что номография и компьютеры не перекрывают друг друга, а скорее дополняют. Один из ведущих руководителей номографического направления в СССР Г.С.Хованский [7] отмечал, что основными проблемами теоретической номографии являются проблемы представимости и единственности. Исследования в этом направлении представляют особый интерес в связи с возможностью использования компьютеров для реализации найденных алгоритмов.

Номограммы дают, в частности, возможность строить на плоскости геометрические изображения зависимостей с числом переменных более трёх, что способствует наглядному исследованию влияния каждой переменной на результат. Они до сих пор являются удобным инструментом для эффективного анализа и прогнозирования во многих научно-исследовательских работах различного профиля. Этого и в настоящее время не удаётся получить с помощью компьютеров. И до сих пор в стране (естественно, и за рубежом) не исчезли исследователи, занимающиеся и практической номографией, и раз-

решением многих теоретических её проблем, поскольку сила номографии -в её методах, что, в частности, использовано в диссертации.

В «Геометрии тканей» с использованием номографических методов соискателю удалось решить немало проблем, связанных со спрямляемостью тканей, в том числе, решить проблемы единственности. На этом пути была опровергнута приведённая выше гипотеза, сформулированная в 1912 г. в трудах Гронвэлла, и продолженная в 50-х годах В.Бляшке [1]. Этот факт изложен в диссертации.

На сайте www.booknik.ru/news/chronicles/?id=l 1019 опубликована заметка от 16 августа 2006 г. следующего содержания:

"В 1955 году известный немецкий математик Вильгельм Бляшке опубликовал статью, в которой изложил основы новой области математики - так называемой геометрии сетей. За полвека, прошедшие с тех пор, теория Бляшке нашла ряд важных применений в физике и экономике. Тем не менее, один из главных результатов геометрии сетей (так называемая проблема ранга для планарных сетей) оставался недоказанным.

И только сейчас профессор New Jersey Institute of Technology (Технический институт штата Нью-Джерси) Владислав Гольдберг совместно с Максом Акивисом из израильского университета им. Бен-Гуриона и Валентином Лычагиным из самого северного университета в мире - университета Тромсё в Норвегии - нашли решение этой задачи. Решение потребовало огромных вычислений: ученые использовали для этого современные компьютерные программы.....".

Цель работы. Работа посвящена решению теоретических и практических проблем геометрии тканей для уравнения с четырьмя переменными. В.Бляшке [1] указывает, что решение проблемы спрямляемости ткани в общем виде, или, что то же, возможности построения номограмм из выравненных точек, наталкивается на большие вычислительные трудности. Естественны, поэтому, попытки решить вопрос до конца в отдельных частных случаях, имеющих к тому же важное прикладное значение.

В диссертации подробно рассматриваются

• шестиугольные пространственные ткани, спрямляемые четырьмя пучками плоскостей с попарно пересекающимися осями (назовём их Т0),

• и нешестиугольные ткани, спрямляемые связкой плоскостей и тремя пучками плоскостей, причём оси двух пучков принадлежат одной плоскости, направляющая связки плоскостей и ось третьего пучка принадлежат другой плоскости.Эти ткани обозначим Гу (у =1-4)).

Проводится проективная классификация рассматриваемых тканей. Ставится цель найти не только условия спрямляемости этих тканей, но и указать эффективные методы решения проблемы. Рассматривается задача об условиях и методах приводимости уравнений тканей к каноническим формам. Исследуется также вопрос о возможных преобразованиях найденных канонических уравнений ткани. Во всех случаях исследуется проблема единственности.

Отметим, что все поставленные вопросы доведены в диссертации до практической реализации.

Кроме описанных тканей проведена проективная классификация и указаны условия спрямляемости более сложных шестиугольных тканей, образованных

• двумя пучками плоскостей двух переменных с осями, расположенных п одной плоскости, и связками плоскостей двух других переменных, являющиеся касательными плоскостями к одной конической поверхности;

• либо четырьмя связками плоскостей, являющиеся касательными плоскостями к двум коническим поверхностям, направляющие которых расположены в разных плоскостях.

Рассмотрены нешестиугольные ткани, спрямляемые связками плоскостей двух переменных, являющиеся касательными к одной конической поверхности, пучком и связкой плоскостей двух других переменных. Проведена их проективная классификация, указаны условия такой спрямляемости ткани.

Методы исследования. Основными методами исследования явились: классические теоретические номографические методы, методы геометрии тканей, многие разделы классических областей математики, теория непрерывных групп преобразований, методы проективной и дифференциальной геометрии, дифференциальные уравнения в частных производных, формы Пфаффа, теория графов.

Отметим следующее. В приведённых исследованиях много говорится о двойственных образах спрямлённых тканей - о номограммах, поскольку лексика, терминология, алгебра, графическое изображение, наконец, достаточно разработанная номографическая теория, часто более наглядны и удобны в изложении материала работы. Другими словами, с одной стороны, используя номографические методы, удалось найти много неизвестного в геометрии тканей, с другой стороны, используя различные алгебраические многообразия геометрии тканей, найдено немало новых результатов в теоретической и практической номографии.

Научная новизна и практическая ценность. Все представляемые к защите результаты получены автором. Их новизна, в частности, для тканей, характеризуется тем, что впервые:

1. Проведена проективная классификация рассматриваемых типов тканей.

2. Получены аналитические условия шестиугольности и нешестиуголь-ности тканей.

3. Найдены эффективные условия спрямляемости рассматриваемых тканей.

4. Приведены конечные формулы (в квадратурах) вычисления неизвестных функций, составляющие уравнения изучаемых тканей.

5. Для рассмотренных тканей исследованы проблемы единственности.

6. Аналогичные вопросы решены для соответствующих номограмм нулевого и первого жанров и некоторых типов номограмм второго-четвертого жанров.

7. Дано описание, наглядное изображение, указаны условия спрямляемости, решены проблемы единственности значительного количества шестиугольных и нешестиугольных пространственных 4-тканей.

Как было сказано, диссертационная работа является результатом собственных исследований автора. Вместе с тем следует отметить, что направления исследований по теме были предложены автору моим учителем профессором П.В. Николаевым (1902-1970 г.г.) [3],[6].

Объём и структура работы. Диссертация объёмом 278 страниц состоит из введения, четырёх глав, 15 параграфов, 64 авторских теорем, 16 следствий, 13 таблиц. Список литературы содержит 127 наименований. В работе приведены примеры.

Нумерация теорем, следствий даётся тремя цифрами в квадратных скобках, например, теорема [2.3.6] - теорема шестая третьего параграфа второй главы. Формулы имеют ту же структуру в обозначениях с использованием круглых скобок, например, (3.2.37). Нумерация рисунков и таблиц сквозная.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении после краткой историографии проблемы ставится задача, которой посвящена работа.

Рассматривается совокупность четырёх семейств поверхностей

tj(x,y,z) = tj = const., (j = 1 -4) , (1)

определяющая ткань трёхмерного пространства. Исключение x,y,z из (1) приводит к уравнению ткани; возьмём его в виде

U=f{h,t2,h). (2)

Особый интерес представляет тот случай, когда ткань (1) с известным уравнением (2) является спрямляемой. В этих случаях коррелятивное преобразование пространства преобразует ткань из плоскостей в номограмму из выравненных точек, определяемую уравнением Массо

\flí<í¡)-Mt,yMtly,\ 1 = 0 (i=l*4).

В данной работе рассматриваются ткани, имеющие большое практическое применение, а именно те ткани, коррелятивный образ которых (после спрямления, если это возможно) даёт номограмму из четырёх плоских шкал, лежащих попарно в двух плоскостях. Для определённости будем считать, что шкалы í,,í2 принадлежат координатной плоскости у = 0, а шкалы t3,t4 -плоскости z = 0, чего, очевидно, можно достигнуть надлежащим проективным преобразованием пространства. При этих условиях детерминантное уравнение Массо номограммы принимает вид:

/п(0. о, /„(0,1 Л.С*). /«('*). o,i

Пространственная номограмма с этим уравнением, как показал Copo, допускает плоский эквивалент-составную номограмму из двух подномограмм

с общей прямолинейной немой шкалой а:

//1 /,2. 1 = 0, /И /и. 1

а 0 1 а 0 1

где здесь и в дальнейшем fjr — сокращенное обозначение функции /уг ((/) ( у = 1-4; г = 1,2).

Первая глава посвящена вопросу спрямляемости ткани (1) четырьмя пучками плоскостей, оси которых разделены на пары (и(2 и располо-

женные в двух различных плоскостях (рис.1). Двойственным образом такой ткани является номограмма из выравненных точек нулевого жанра, прямолинейные носители шкал которой также разделены на те же пары (рис.2). Таки ткани (и номограммы) обозначим Т0.

СПРЯМЛЁННАЯ ТКАНЬ НОМОГРАММА ИЗ ВЫРАВНЕННЫХ ТОЧЕК

Рис. 1 Рис. 2

Проведена проективная (с точностью до параметризации шкал) классиф кация графов номограмм Т0. В этих целях рассматриваются плоские графы, состоящие из оси а - оси Ох и четырёх прямых — носителей шкал переменных ¿Ду=1-4). Очевидно, возможны лишь графы с символами [(4)], [(3),(1)], [(2),(2)], [(2),(!),(!)], [(1),(!),(!),(1)],

где число круглых скобок означает количество различных узлов на оси а, а цифра в круглых скобках - индекс узла.

Определение. Две номограммы Т0 и Г0* будем называть проективными с точностью до параметризации шкал, если проективны соответствующие им графы, т.е., если найдётся пространственная коллинеация, совмещающая каждую из четырёх прямых tj первой номограммы с соответствующей

прямой /* второй номограммы.

Теорема [1.1.1]. Номограммы Т0 с графами первых четырёх символов образуют в точности 14 проективно различных (с точностью до параметризации шкал) типов. Номограммы Т0 с графом символа [(/),(/),(/),(')] образуют однопараметрическое семейство, две номограммы которого проективны (с

точностью до параметризации шкал) лишь при одном и том же сложном отношении Я четырёх узлов графа.

В дальнейшем считаем, что две канонические формы , , ^, , Ф,) = О и , % , Ё>, , Ф,) = О (/' = 1 -4) эквива-

лентны, если существует замена переменных FJ = <.pJ [FJ), ФJ = (ф^), переводящая одно из уравнений в другое.

Каждое из уравнений (3), соответствующих различным типам тканей Т0, приводится к канонической форме ,УГ4)=0, где и¥-

линейная функция относительно каждой из переменных . Показано (теорема [1.1.2]), что всем 15 типам непроективных тканей Тй отвечает не более восьми канонических форм уравнений (2). Результаты теоремы отражены в таблице 1.

В последней форме сложное отношение конечно и отлично от 0; 1

Таблица 1

Графы тканейТа Канонические формы

Ао>

[(?,,/,,о, С,)], [(ЛЛЛ),(*2)] "со,

К'.л.ОСО], К'.ллМО]

1

к^ололои^ололо], К',,0(0,(0],[(',,0,(0,(0] V (0)

[(л, О (О (О] УК о, 1

[('.,0.(0,(01 к//(0)

[(0,(0,(0,0,)] VIII т 1 =" +1 Х-1

Из таблицы видно, например, что к канонической форме /(0) приводятся уравнения (2) тканей Та с графами трех проективно различных типов, имеющих, соответственно, следующие геометрические изображения:

В §§ 2-5 первой главы исследованы условия и приведены методы спрямляемости тканей с уравнением (1) в виде тканей Т0. При этом в работе предполагается, что однозначная функция = /(г1;<2>'з) обладает в прямоугольной области С непрерывными частными производными достаточно

Я/1

ВЫСОКОГО порядка И ОТЛИЧНЫМИ ОТ нуля производными — з Л Ф 0 , (/ = 1 - з). Отсюда следует, что используемые далее функции

будут достаточно гладкими и не обращающимися в нуль в точках области й. Относительно неизвестных функций уравнения (3) будем предпола-

гать, что они обладают производными необходимого порядка. Доказана

Теорема [1.2.1] (типа Гронвэлла). Уравнение (2) представгшо в области О номограммой (3) любого жанра, но с прямолинейной ответной шкалой 1А, тогда и только тогда, когда при заданных функциях Ми М (4) существует решение относительно функций / (г = 1 - 3; у' = 1,2) системы дифференциальных уравнений:

X /.I '[(/и -Л.Н/Д -(/.2

/22 \{Гп ~/Л(/пХ-(/п -/»)•(/,.ХГ

С/п/22 - Аг/Л {(/п/22 - /»/,.)• УЖ + (/,2 - /22)'[/з. " (/Л ~ /,2 ' (/Ц]}

/И • [и, - /п)-{/л -(/п- /22)- (/„);]■ л, • /32 '

(5)

Следствие [1.2.1]. Если уравнение (2) представимо номограммой (3) любого жанра, но с прямолинейной шкалой ?4, то функция М (4) удовлетворяет условию:

М[= 0. (6)

Справедливость (6) непосредственно следует из (5). Заметим, что это условие эквивалентно условию Л.Я.Нейшуллера [9] разъединения переменных в уравнении (2) на пары.

Выше отмечалось, что коррелятивным образом пространственной номограммы из выравненных точек уравнения с четырьмя переменными является пространственная ткань, образованная четырьмя семействами плоскостей. В частности, коррелятивным образом номограммы (3) в общем случае, т. е. когда все шкалы криволинейны, является пространственная ткань с уравнением со = =0, образованная четырьмя семействами плоскостей

причём семейства плоскостей принадлежат двум различным связкам,

семейства плоскостей принадлежат двум другим связкам. Такую ткань и коррелятивно соответствующую ей номограмму обозначим Г (рис. 3, 4).

СПРЯМЛЕННАЯ ТКАНЬ

НОМОГРАММА ИЗ ВЫРАВНЕННЫХ ТОЧЕК ЧЕТВЁРТОГО ЖАНРА

Рис.3

Рис.4

На плоскостях любого семейства плоскостей ? ткани Т плоскости остальных трёх семейств высекают прямолинейные ткани. Их кривизны обозначим А:у(у=1-4), причем последние удовлетворяют условию Дюбурдье: 4

^|kj=0. Кривизны ткани Г обозначим а((/ = 1 — 3), где а1 + а2 + а3 =0

м

Вычисляя кривизны тканей Т0 [1], учитывая результаты теоремы [1.2.1], шестиугольность ткани Т0, условие (6) и условие Дюбурдье, получены следующие условия шестиугольности ткани:

м3'=о, (1пм);'2=о, (1пм);;=о.

(7)

Теорема [1.2.2]. Для представления уравнения (2) номограммой Т0 необходимо, чтобы функции М, М (4) удовлетворяли в области Б условиям (7).

В § 3 главы I рассмотрены графы номограмм Г0, относящиеся к канонической форме /(0) ( см. табл. 1):

[Сг.'ДСр'э)]. [СрШМЗ)]- (Ю Теорема [1.3.1]. Для представления уравнения (2) номограммой Т0 любого из указанных графов необходимо и достаточно выполнения в области С условий (7) и условия

(9)

Теорема [1.3.2]. Уравнение (2) при условиях (7), (9) допускает единственную (с точностью до коллинеаций) номограмму с графом [(7|,(2,/3,/4)] и однопараметрическое семейство номограмм с каждым из графов ,/4),(/),)], [(7],/4),(¿2)]• При этом элементы номограмм (3) определяются с помощью лишь квадратур.

Номограммы Т0 (3) с графами (8) не проективны (теорема [1.1.1]). В то же время, для представления уравнения (2) каждой из указанных номограмм, получены одни и те же условия представимости. Удалось найти связь между элементами непроективных номограмм, что представляет определённый интерес для практической номографии. Показано, что если fi - элементы номограммы Т0 с графом [(/,,?2,/3,?4)], то элементы номограмм Т0 (3) с графами [(/2, !4), (/,, /3)], [(/,, /4), (/2, /3)] определяются, соответственно, по формулам (а - параметр):

В случае графа [(^ ,<4),('2 >'з)] соответствующая система дифференциальных уравнений (5) допускает четырёхпараметрическую непрерывную группу преобразований

г = г а г _ ТО.

J1 ' J2 33./2 ' Уз 22./3 ,

«1.

и с точностью до преобразований этой группы номограмма Т0 с указанным графом будет определяться единственным образом.

Аналогичные результаты получены и для номограмм Т0 с графом

К*2 Л ),(*„*,)].

В § 3 рассмотрены также вопросы, связанные со спрямляемостью тканей с уравнением (2) тканями Т0 с графами, соответствующими каноническим формам //(„)-(см. таблицу 1). При исследовании вопроса о единственности оказалось, что уравнение (2), приводимое к одной из канонических форм //(„)-Г(о), допускает (с точностью до коллинеаций) единственную ткань Т0 каждого типа, относящуюся к данной канонической форме (см. табл.1) (теоремы [1.3.3]- [1.3.10]).

В §4 первой главы изучены ткани с графами, приводящие, соответственно, к каноническим формам и VI(см. табл.1).Так, при изучении ткани Т„ типа [(г,, ?2), (/3), )], относящейся к канонической форме VII(0), доказана

Теорема [1.4.3]. Если уравнение (2) допускает ткань Т0 с графом [(^0,(4(0], т0 функции М, М (4) удовлетворяют условиям (7) и условию

£=0, (10)

где Е = +^С-(1пММАС)', , А = С^(1пМл)[.

Без нарушения общности, рассмотрим ткань Т0 с уравнением (3), где

/,2=1, /И=-1> /„=0, /4,=1- (И)

При этих условиях система (5) примет вид:

(А)

м = --

с/,):"'" 2(/,);./з

Условие (10) найдется как условие интегрируемости [4] системы дифференциальных уравнений в частных производных, эквивалентных системе (12).

Теорема [1.4.4]. Условия теоремы [1.4.3] являются не только необходимыми, но и достаточными спрямляемости ткани с уравнением (2) тканью Т0 с графом [(/, ,г2),(г3),(?4)]. При этом существуют две системы элементов определителя (3), однозначно определяющихся (с точностью до проективных преобразований пространства) с помощью лишь квадратур.

Система дифференциальных уравнений (12) допускает двухпараметри-ческую группу преобразований:

/2=/2-«,3. /з = аи/з > (13)

являющейся подгруппой проективных преобразований пространства, что позволяет присоединить к системе (12) начальные условия; возьмём их в виде:

при /1=0, /3=1 (/ = 1;3), (14)

где =?м- любая точка области С. Эти начальные условия совместны и полны.

От системы уравнений (12) удаётся перейти [4] к канонической системе дифференциальных уравнений, не содержащей справа функции /2; при этом получим:

А

\2С + А

-0,-1);

(/¡); =5/ 'У, (»' = 1,3;У = 1-3),

где

У1

2 С + А '

(15)

(16)

(17)

(18)

Л =

4

2 С + А

■(/¡-О;

(/¡Уу =5- -у, 0=ш=1-з),

где у, = -с(-

2 С + А ' у,=-/1М^А(2С + А)-,

(19)

(20) (21)

(22)

5/ - символ Кронекера.

Исходная система уравнений (12)

распалась на две системы: (15-16) и

(19-20). При условиях (7), (10) системы уравнений (16), (20) являются вполне интегрируемыми. Отсюда имеем, что пфаффовы системы уравнений, соответствующие системам (16), (20), являются вполне интегрируемыми. При заданных начальных условиях каждая из систем имеет единственное решение [5].

При начальных условиях (14) из уравнений (17-18) однозначно и с помощью лишь квадратур находятся функции /,,/3;при известной функции /,

из уравнения (15) определится функция /2. Из уравнений (19-20) при тех же начальных условиях (14) найдётся вторая система функций /, (г = 1 - 3) (обозначим их /(2)).

Из теоремы [1.2.1] следует, что условия теоремы [1.4.3] являются не только необходимыми, но и достаточными для представления уравнения (2) тканью Г0 с графом [(/,, Г2), ), (?4)].

Следствие [1.4.2]. Для уравнения (2) все ткани Т0 с графом [(г, ,/2),(/3),('4)] (если они существуют) могут быть двух проективно различных типов.

Сравнивая решения уравнений (15-16) с решениями уравнений (1920), найдём:

/,(2)=-/;, л(2)=2-Л, /,(2)=у. (23)

/з

Справедливость предложения следует из (13) и (23).

В §§3-5 главы I аналогично получены условия спрямляемости тканей с уравнением (2) тканями Т0 всех типов, отвечающих каноническим формам //(0) - К/(0), VIII(0). Во всех случаях задача представления решается с помощью лишь квадратур, и даются конечные формулы для вычисления неизвестных функций /V, 0 =1-3; г = 1, 2) уравнения (3).

При рассмотрении ткани Т0 с графом [(¿3, 0(0(0]> уравнение (3) которой приводится к канонической форме VIщ, оказалось, как и при исследовании номограмм Т0 типа [(',,О(0>(0] (^//(о)), что для заданного уравнения ¿4 = /(/,, Гг, ) существует по две непроективные номограммы. Найдены зависимости, по которым, зная элементы одной из непроективных номограмм, находятся элементы другой.

В § 5 главы I исследованы проблемы спрямляемости тканей, сводящихся к типу [(О,(0,(0,(0] [']• В этом случае исходная система дифференциальных уравнений (5) распадается в области й на четыре самостоятельные системы. Все вместе они эквивалентны исходной системе и приводят к четырём непроективным тканям Т0 с данным графом. При этом исследованы два случая, приводящие к принципиально различным результатам: случай, когда четвёрка точек а1 является гармонической (теорема [1.5.2]), и случай конечного А,, отличного от 0, ± 1 (теорема [1.5.3]).

В случае Х=-1 для одного и того же уравнения (2) существуют четыре непроективные ткани Т0 на одних и тех же носителях. В случае конечного

Л, * 0, ± 1 существуют два значения X : Х1 и Х2 = — ; для каждого из

Х1

них для уравнения (2) существуют по две непроективные ткани Т0 на одних и тех же носителях.

Как в случае А. = -1, так и в случаях конечного X ^ 0, ± 1, получены зависимости, по которым, зная элементы одной из четырёх непроективных тканей, определяются элементы трёх других (следствия [1.5.1]- [1.5.2]).

В таблице 2 приведены условия спрямляемости рассмотренных тканей. Вместе с тем они являются условиями представимости уравнений (2) соответствующими типами номограмм нулевого жанра.

Таблица 2

№№ Каноническая форма Необходимые и достаточные условия спрямляемости Следствия

hо> F,+F¡+F;+F4=0 М'з=0, (lnM/,^0, (ln M)"n=0 Л = 0

",0> f3 + f4=f,-f2 <=5 II <4

"1,0, f3-f4=fi + f2 с = о

щ») ----F.+F, F3+F4 ' J в+с=о

V(0) F3-f4 + I = F,-F2 (ыШв)', = о

v,(0> ---= F,-F, + 1 F3+F4 ' 2 D = 0 В + СфО

F3-F4 --— fi+f2 Е = 0 в+с*о

vm(0¡ 1 = * /yf4 + l X.-1 (lnMD)! = 0 В случае л = -/.■ d2-ab = o

В случае конечного Я, отличного от 0, ± 1:

Здесь Л=|\п-=|, Вв(\пМА\, С = В-А, D -- +у]в(\аММАв\ , Е = +y¡c(lnMMAc\ .

В § 6 первой главы рассмотрены вопросы приведения уравнений /4 = /(f,, t2, ) к каноническим формам I^-VIII^, доказательству несовместности и полноты этих форм.

Теорема [1.6.1]. Существуют в точности восемь канонических форм уравнений (2), спрямляемых тканями Т0(3) (формы VIII^ ).

Из теорем [1.1.2], [1.6.1] следует несовместность и полнота канонических форм /(„) - VIII(р), в том смысле, что если уравнение (2) спрямляется тка-

нью Т0, то оно приведётся к одной и только одной из этих канонических форм. Справедливо и обратное предложение: если уравнение (2) ткани приводится к некоторой из канонических форм то она спрямляется тканями Т0 только с теми графами, которые к данной канонической форме относятся (следствие [1.6.1]) (см. таблицы 1, 2). Таким образом, условия и методы представления уравнений (2) тканями Т0 можно рассматривать и как условия и методы приведения уравнений (2) к каноническим формам /(0) - VIII^, в каждой из которых переменные разделены по одному.

Сформулируем, например, предложения, относящиеся к приведению уравнения (2) к канонической форме П^: ^ + ^ = ^ ■ .

Уравнение //(„) можно записать в виде уравнения Массо (3), где

/„=0, /22=1, /„=1, /и=-1, (24)

положив -(/=2-4). (25)

Здесь и далее /к, - краткое обозначение функций /кг(1к )> ^] (/;) [к = 1-4; г = 1,2).

Вычисляя из уравнения (3) с условиями (24) функции М, М (4), получим:

(26)

Теорема [1.6.2]. Для приведения уравнения (2) к форме II^: + = Р{ ■ необходимо и достаточно, чтобы функции М, М (4) удовлетворяли условиям:

М'3= 0, (1пМ)"2 = 0, (|пМ)® =0,5 = (1пМА)[ = 0 ;

при этом среди решений системы (26) существует решение, удовлетворяющее начальным условиям:

при ¿(.=?л: /,=-1, /2=1, /з=0(г=1-3) (где ? = -любая точка области Б), и оно однозначно (с точностью до коллинеаций пространства) определяется лишь квадратурами.

В теореме [1.3.4] получены формулы, определяющие функции / :

/,=1/

ч

- Нл, \-21 111

~У '31

По формулам (25) найдутся функции ^ (у = 1-3). Функцию ^ иногда удаётся определить непосредственно из уравнения (2) по найденным функциям

/•}(/' = 1-3). В общем случае функция определяется таблично, используя уравнение IIв котором считаются известными (у = 1 -3).

Система дифференциальных уравнений (26) допускает трёхпараметричес-

кую группу преобразований /, = -

«33/1

■. Л =—/2. /з = ан/з _Я12 •

(«зз-1)/1+1

Следовательно, функции /•}(/'= 1-3), определяющиеся по формулам (25),

допускают преобразования Г, = а33Р1, Т2 , ^з = - а12 •

°зз

Аналогичными исследованиями найдены условия и указаны эффективные методы приведения уравнений (2) к каноническим формам 1т

Во второй и третьей главах рассмотрены вопросы, связанные с проблемами спрямляемости ткани с уравнением (2) связкой и тремя пучками плоскостей, причём оси двух пучков принадлежат одной плоскости (рис.5). Двойственным образом таких тканей являются номограммы с уравнением (3) первого жанра, т. е. когда одна из шкал ^ (у = 1 — 4) в номограмме с уравнением Массо (3) криволинейна (рис. 6). Такие номограммы обозначим Тг На рисунках 5,6 изображены спрямлённая ткань и двойственный ей образ - номограмма с криволинейной шкалой переменной .

номограмма из выравненныхточек

спрямленная ткань

первого жанра с криволинеинои ответной шкалой

г» 1

Рис.5

Рис.6

В § 1 главы II проведена проективная классификация номограмм (и тканей) Тг Доказана теорема о существовании точно пяти проективно различных (с точностью до параметризации шкал) типов номограмм Т] для каждого из значений у = 1 - 4 (теорема [2.1.1]).

Результаты исследований приведены в таблице 3, в которой т, п = 1, 2; р,)-3,4 или т, п = 5, 4; р,) = I, 2 (т^п, р^у).

Таблица 3

№ Каноническая форма Граф тканей Графическое изображение

И'-'..',)] Ж

пЬ) К*, л МО] К а

Щ) =—!— Рт+Рп 01 К а Р

р +Ф, =—!— КО,(О,У

Параграфы 2, 3 второй главы посвящены условиям и методам представления уравнений (2) номограммами Т. с криволинейной шкалой ^(у' = 2,3). Показано, что задача решается в квадратурах и даны конечные формулы для вычисления неизвестных функций /у уравнения (3) (теоремы [2.2.1]-[2.2.9]).

При исследовании вопроса о единственности получены следующие результаты.

1. Если уравнение (2) представимо тканью Т2 с графом [(?,,?3,/4)] или с графом [('з,0'(0]> то для заданного уравнения (2) указанные ткани определяются (с точностью до коллинеаций пространства) единственным образом (теоремы [2.2.3], [2.2.7]).

Если уравнение (2) спрямляется тканью Т2 с графом ),('4)], то это же уравнение допускает и непроективную ткань Т2 с графом [(/,, Г4 )] , и обратно (теорема [2.2.4]). При этом найдены преобразования, переводящие одну из тканей в другую

2. Если уравнение (2) спрямляется тканью с графом [(/,), ((3), (/4)], то оказалось, что существуют (на одних и тех же носителях) две проективно различные ткани с этим графом (теорема [2.2.9]).

Выше отмечалось, что для пространственной ткани В.Бляшке [1] формулирует гипотезу:

«Образованная поверхностями ткань, не являющаяся шестиугольной, допускает (с точностью до коллинеаций) не больше одной реализации в виде ткани из плоскостей».

Из теоремы [2.2.1] следует, что коррелятивным образом номограмм Т2 является нешестиугольная пространственная ткань. Полученные результаты показывают, что одно и то же уравнение /4 = /(/,,*2,'з) может допускать две непроективные номограммы Тг с графами [(/,,Гз),((4)], [('1,(4),((3)] или две непроективные номограммы Т2 с одним графом [((,),(/3), ((4)]. Эти выводы не подтверждают гипотезу В. Бляшке.

Аналогичными исследованиями получены выводы при изучении номограмм первого жанра с криволинейной шкалой /3 (§ 3, глава II). Некоторые результаты исследований приведены в таблице 4.

Таблица 4

№ Канонические формы Тип тканей Т., Необходимые и достаточные условия спрямляемости

КмлЛ с=о

"(з) МЫ [ЫЛУ (1пмс\ = 0 , С,' = 0

Щ) I 0,

£2-4Л2 + 4АЯ + 2АС = 0 ,

щ» "Г +1 ШгШ (1пм);'2=о (1пЛЖ);=0, £;=о0 = 2,з), ' ' [ 4Я '

1 П 4«

Здесь: ^зГк—), С = ^МА\, Е - +^с(ыммлс\, Я = ^^ .

В § 4 главы II рассмотрены условия и методы приведения уравнений (2) к каноническим формам - 1У{1), (/ = 2,3). Доказаны теоремы [2.4.1], [2.4.2] о полноте и несовместности (в указанном выше смысле) полученных канонических форм.

В третьей главе изучен случай представления уравнения (2) номограммой с уравнением (3), в которой криволинейной является ответная шкала /4 (рис.5,6). Такую номограмму обозначим ТА. Важным результатом § 1 главы III является теорема [3.1.1], дающая предварительное условие представимости уравнения (2) номограммой Т с уравнением (3) со всеми криволинейными шкалами (рис. 3,4).

Введём следующие обозначения.

и; и'3 у; у■>

и: и»

0' = 1,2);А,=

и и

VI У

; д« =

где и =

VI К

(/|2 ~/22>/з

и' и"

и1 и з:

V' V"

'1 '33

VI VI V( У«ъ

(/12 /22 )/з! + /11/22 /12/21

; л4

V, и» Vи'

и; и» к/ к,?

Д7:

С/,' ^

к' к"

' 1 '13

._(/11/22 ~ /| 2 /г 1 )/з2

(/12 — /22 )-/з! +/11/22 "/12/21

Теорема [3.1.1] (типа Гронвэлла). Уравнение (2) тогда и только тогд представимо номограммой Т (3), когда при заданных функциях М, М (4) су ществует решение относительно функций /у> (у = 1 - 3; г = 1,2) следующей системы дифференциальных уравнений:

А,-М+Д2=0, (1пМ)( +—(1пМУ2 + —- —= 0, " м д2 д(

1 7Т

А/

Д2 Д[

^к-о.

(28)

В §§ 1,2 главы III проведена проективная классификация номограмм пер вого жанра Т4 с криволинейной ответной шкалой, найдены условия и указань методы представления уравнений (2) этими типами номограммам (теоремь [3.1.2], [3.2.1]-[3.2.8]). Показано, что задача представления решается с помо щью лишь квадратур, и даются формулы для вычисления неизвестных функ ций уравнения (3). Выведены канонические формы уравнений (2), соответ

ствующие графам Т4. Кратко приведем методы и результаты этих исследова ний.

Из теоремы [2.1.1] имеем, что существует в точности пять проективн различных типов номограмм Т4, а именно, номограммы с графами

[('.ода [мш, к^ш. кололо], (29)

имеющими, соответственно, следующие геометрические изображения:

Из теоремы [2.1.2] следует, что существует не более четырёх канонических форм уравнений (2), представимых номограммой Г4:

/

Ъ-Л+<*>,=-

III,

м

1

II,

IV,

м

К форме /(4) приводит, по крайней мере, граф [(?,, > )]! к форме Я(<) - графы [(г,,г3),(г2)], ),(?,)]; к формам III(4), /К(4) приводят, соответственно,

графы [(^мо]. кололо]-

Теорема [3.1.2]. Если уравнение г4 = представимо номограм-

мой ТЛ, то функции М,М (4) удовлетворяют условиям:

М'г=0, (1пМ)"2 = 0, {\пИ)"3 * 0. (30)

Теорема [3.2.3]. Для представления уравнения (2) номограммой Г4 любого из графов (29): [(/р?3 )], [(¿2,*3)>(0] необходимо, чтобы в области С, кроме условий (30), выполнялись условия:

(1пМ5);=0, 5,'= 0, (31)

где

5 =

_ [МА - (1п М) з ]

М4

1 л^У

Л/

('.г (а

Рассмотрим, для определённости, номограмму ТА с графом ),(;,)]. После надлежащего проективного преобразования можно считать, что в уравнении (3)

/у,=0(/ = 2,3). (32)

Выполнимость условий (30) следует из теоремы [3.1.2].

Составляя систему уравнений (28) из уравнения (3) с условиями (32), получим:

(ЛУз /з /, * Н

(33)

Запишем эту систему в виде следующей системы уравнений в частных производных:

(Д =8/ •>>,., =К -Ч (/,7=1-3^ = 1,3), (34)

где

=^г-у,([пМ)[, у2 =^/2(/2-1)М,

Я

-л2

: тГ 3

- (1пМ)

Л

(35)

Из условия интегрируемости (г, )| = 0 системы (34) получим новое уравнение

(36)

налагающее условие на неизвестные функции системы. Дифференцируя это уравнение по и подставляя вместо производных у1 их выражения из

(34), (36), получим условие (¡пМ?),' =0. Второе из условий (31): = ( получим дифференцированием уравнения (36) по /3.

Заметим, что условие = 0 предполагает, что в области й функ

ция В противном случае из (36) имели бы, что у, = (/,=0, чт

приводит к несуществованию функции что видно из (33

Последнее противоречит условиям, наложенным на функцию =/(?,, 1г, ?3).

Теорема [3.2.4]. Условия (30), (31) являются не только необходимыми, но достаточными для представления уравнения (2) номограммой Г4 с любым и графов [(?,, ¿з), (/2)], [(¿2, ), (?[)]. При этом уравнение (2) допускает, с точно стъю до коллинеаций, единственную номограмму с каждым из отмеченнь графов, и элементы этих номограмм находятся с помощью лишь квадратур.

Система уравнений (33) допускает четырёхпараметрическую групп проективных преобразований пространства, автоморфных относительн

Г = 0Л х = 0,1 х = 0,1 плоскостей у = 0, г = 0 и прямых ^^ г> _0 Г' г-0\~ носителе

шкал номограммы (3) с условиями (32):

Зс=__,у =_^_,2 =__. (37)

а42У + (а 33-1)г + Г аау + (а„-1> + 1' а42у + (аг]- \)г + \

Это даёт возможность присоединить к системе (33) с неизвестным (< = 1 - 3) начальные условия. Возьмём их в виде:

при *,=*„: Л =1,/2=-1, (/з);=1(/ = 1"3;А = 1,3), (38)

где ^ = - любая точка области С.

С помощью уравнения (36) от системы (34) можно перейти к системе, н содержащей в правых частях функции у^, получим:

Ш,=*'гУ,> (Д^.Гз (/,7-1-3), (39)

где =/¡-5, д;2=/2(/2-1)Л/-5,

г,=2^-у\м(А + Ъ)-{\гМ1\ (40)

/з

Из метода получения системы (39) ясно, что решения исходной системы (33) (в случае их существования) являются и решениями системы (39). Обратно, подставляя в (33) вместо производных (/),', (/, (/ = 1,2; у' = 1,3) их

значения из системы (39) получим, что в силу условий теоремы [3.2.3] левые части уравнений (33) тождественно равны правым частям. Следовательно, система (39) эквивалентна исходной системе (33).

При условиях (30-31) система уравнений (39) является вполне интегрируемой. Отсюда следует полная интегрируемость системы Пфаффа, соответствующей системе (39) При заданных начальных условиях она имеет решение и оно единственно.[5]. Следовательно, имеет решение и исходная система (33). В силу теоремы (3.1.1) заключаем, что условия (30-31) являются не только необходимыми, но и достаточными для представления уравнения = номограммой Т4 с графом [(г2,/3),(/,)].

При начальных условиях (38) из системы (39) находим:

'з г

'1 ( '2 "1 с

\M-Sdt2

А=('п ,/2=1/ 1 - 21'21 , /э=1/

ч ) V

- | Глф+5Н1пл4]л3 1- \1 '31 '31

Ли

(41)

Элементы /41, /42 последней строки определителя (3) найдутся по формулам:

/,2/2(/з); , (/,);/,2м

(1-/2)к/1);/д-/,(/з);1'=(/,№-/,(/з);'

Из однозначности решений системы (33) следует, что номограммы Г4 с графом [(<2.Н\)] уравнения /4 = /(/р/2,/3) проективны.

Аналогичные исследования проведены при рассмотрении номограммы Т4 с графом [(¿,,гз),(/2)]. При этом найдены те же самые условия представимости, с помощью лишь квадратур найдены функции ^ (в отличие от решений (41) обозначим их /и). Номограммы Т4 с уравнением (3) с графами [('2>'з)Д'1)]>[('1>гз)>('2)]> не проективны (теорема [2.1.1]). Однако по элементам одной из этих номограмм можно указать элементы другой:

/,(2) =

/

/,~2

Лй =

2Л Л-1'

/з(2)=/з-

При исследовании вопроса о единственности оказалось, что для одного и того же уравнения ?4 = /(*,, могут существовать по две непроективные номограммы Т4 либо с различными графами, либо с одним и тем же графом. Так как коррелятивным образом номограмм Т4 является нешестиугольная пространственная ткань (теорема [3.1.2]), то указанная выше гипотеза В. Бляшке вновь не получает подтверждения.

В § 3 главы III даются условия и методы приведения уравнений (2) к каноническим формам, соответствующих номограммам Г4. Доказана теорема [3.3.1] о существовании точно четырех канонических форм урав-

нения (2), представимых номограммами Т4. Эта система канонических форм является полной и несовместной (в указанном выше смысле). Найдены дополнительные преобразования функций, входящих в канонические уравнения.

В четвертой главе рассмотрены вопросы о представлении уравнени (2) некоторыми составными шкальными номограммами из выравненных точс более высоких жанров: второго жанра с уравнением (3), когда шкалы пер менных (или /3,?4) принадлежат одному коническому сечению, а ноа телями других шкал являются прямые линии; четвёртого жанра, когда о ному коническому сечению принадлежат шкалы переменных другом коническому сечению — шкалы /3, . Рассмотрен и вопрос о представлени уравнений (2) номограммами третьего жанра, когда шкала Л (_/ = 1 — 4) о

ной из подномограмм с уравнением (3') криволинейна, а носителем шкал п ременных другой подномограммы является одно и то же коническое сечение

В § 1 главы IV проведена проективная классификация номограмм вт рого и четвёртого жанров и найдены соответствующие им канонически формы.

Пусть в номограмме (3) одному коническому сечению принадлежат шка лы г,, /2, а шкалы — прямолинейны. Такую номограмму второго жанр обозначим Г(12). Номограмме Т^ поставим в соответствие граф (его такж обозначим Т(12)), состоящий из одного конического сечения — носителя шк-переменных ^, /2 и трёх прямых: оси а пересечения плоскостей г = 0 у = 0 и двух прямых — носителей шкал переменных (3, /4. Точки пересече ния коники и прямых ?3 ,/4 с осью а назовём узлами графа. Индексом узл графа будем называть число ветвей /12, /3, , проходящих через этот узел.

Ясно, что сумма индексов всех узлов графа равна четырём. Следователь но, возможны лишь графы с символами:

[(€ [(ЗШ], [(2), (2)], [(2), (1), (!)], [(1), (1), (1), (1)], (42)

где, как и раньше, цифра в круглых скобках означает индекс узла, а числ круглых скобок символа означает количество узлов графа.

В случае графа с символом [(1), (1), (1), (1)] через X обозначим сложно отношение четырёх различных точек с абсциссами ап, а12, а3, а4 Х = (ап,ап, а3,аА).

Теорема [4.1.1]. Номограммы Т^ с уравнением (3) с узлами первых че тырёх символов (42) образуют в точности десять проективно различных ( точностью до параметризации шкал) типов. Номограммы Т^ с графол

символа [(1), (1), (1), (1)] образуют однопараметрическое семейство, две номо граммы которого проективны (с точностью до параметризации шкал) лиш при одном и том же сложном отношении X четырёх узлов графа.

Теорема [4.1.2]. Существует точно восемь канонических форм уровне ний (2), представимых номограммой Т^пу а именно формы 1щ — VIII^ .

Результаты теорем отражены в таблице 5.

__Таблица 5

Канонические формы Граф номограммы Канонические формы Граф номограммы

^ + Р3 + + ^ = 0 [('|2>'|2><зЛ)] [('.г.'зМ'.гН'Л [('.гЛМ'ЛУ

К'и.'зЛМ'и)] [(<^А(>Лг)}

К'.г.'п.'зМО] К'п.^ЛМ'з)]

[(',2.',2 И'З.'Л 1 Я , „ „ [ЫЛ'иМ'зИО]

' 1 С , Г Х-1 " ' ''

Из теорем [1.1.2], [1.6.1] следует, что уравнение (2), представимое номограммой приводится в точности к одной из канонических форм /(„) -VIII каждое из уравнений /((1),///(0), К(0) допускает по два непроективных типа номограмм Г(,2); уравнение VIII^ допускает однопараметрическое семейство, две номограммы которого проективны лишь при одном и том же сложном отношении X.

Условия представимости уравнения (2) номограммами Г(,2) получены в главе I.

Аналогичные проблемы решены для случаев, когда в номограмме (3) одному коническому сечению принадлежат шкалы /3, /4, а шкалы /р/2 - прямолинейны (номограммы второго жанра Г(34)).

В случае, когда в номограмме (3) одному коническому сечению принадлежат шкалы ?[,?2, другому сечению — шкалы /3, (номограммы четвёртого жанра) поставим в соответствие граф Т^, состоящий из одной прямой -оси а пересечения плоскостей у — 0, 2 — 0, и двух конических сечений, из которых одно является носителем шкал переменных ^, ¿2, а другое - носителем шкал переменных ¿3, ?4. При этом возможны лишь графы также с символами (42).

Теорема [4.1.5]. Номограммы с уравнением (3) с графами первых четырёх символов (42) образуют в точности восемь проективно различных (с точностью до параметризации шкал) типов. Номограммы Т^ с графом символа [(1), (1), (1), (1)] образуют однопараметрическое семейство, две номо-

граммы которого проективны (с точностью до параметризации шкал) лит при одном и том же сложном отношении X.

Теорема [4.1.6]. Существуют точно восемь канонических форм уравнени (2), представимых номограммой Т^ с уравнением (3), а именно, каноничс ские формы 1щ - VIIIщ.

Следствие [4.1.1]. Одно и то же уравнение /4 = /(/,,^,¿3) может быт представимо номограммами с уравнением (3) как нулевого Т^у так и втор го 2), 7(з4), и четвёртого Т^ жанров, относящимися к какой-либо одно из канонических форм 7(0) - VIII(0).

Коррелятивным образом рассмотренных номограмм (в главах перво и §1 главы четвёртой) являются шестиугольные ткани [1], спрямлённые

• либо четырьмя пучками плоскостей, разделённых на пары, носител которых расположены в двух различных плоскостях;

• либо двумя пучками плоскостей с носителями, расположенными одной плоскости, и двумя связками плоскостей двух других пере менных, являющихся касательными плоскостями к одной квадрике;

• либо четырьмя связками плоскостей, являющихся касательным плоскостями к двум коническим поверхностям, направляющие ко торых расположены в разных плоскостях.

В таблице 6 приведены некоторые результаты исследований.

Таблица 6

КАНОНИЧЕСКАЯ ФОРМА ^ + Р2 + + = 0

Допускаемые проективно различные типы тканей

а ',7=1; К а !; j , к,т =3,4; к * т а а

V г^ / \ а /а ^О __{¡Л ✓ Г^.''2 / а ' а/

Заметим, что ткани с уравнением ^ + ^ + + ,Г4 = 0 являются ок-таэдрическим [1]. Из таблицы 6, в частности, видно, что октаэдрические ткани с одним и тем же уравнением ткани (2) порождаются

а) четырьмя пучками плоскостей;

б) двумя пучками и двумя связками плоскостей, являющиеся касса-тельными плоскостями к одной и той же конике;

в) четырьмя связками плоскостей, разделённых на пары, и являющиеся общими касательными плоскостями к двум различным поверхностям второго порядка.

В § 2 четвертой главы рассматриваются аналогичные вопросы для номограмм третьего жанра, когда шкала tj одной из подномограмм (3')

криволинейна, а носителем шкал переменных другой подномограммы является общее коническое сечение. Вкладывая в понятия «узла» графа, «индекса» узла графа тот же смысл, что и выше, нетрудно видеть, что возможны лишь графы с символами

[(3)], [(2),(1)], [(1),(1),(1)]. (43)

Такие номограммы (и соответствующие им спрямлённые ткани) обозначены

(/=1,2; 7=3,4). Показано, что эти ткани являются нешестиуголь-

ньши. Условия приведения, а значит и условия спрямляемости соответствующими тканями, изложены в главах II и III. Доказаны следующие теоремы.

Теорема [4.2.1]. Номограммы с уравнением (3) с графами символов

(43) образуют в точности четыре проективно различных (с точностью до параметризации шкал) типов.

Теорема [4.2.2]. Существует точно четыре канонические формы уравнений (2), представимых номограммами Т,

И .

й '

/(2)...F,.F2+<D2=F3+F4

III(2)... Fl-F1+91

1

//(2)...ivF2+®2=F,-F4 /F(2)...F,-F2+®2 1

F,-F4 + l

Аналогичные результаты можно было бы получить, когда в номограмме (3) шкала криволинейна, 12- прямолинейна, а шкалы принадлежат

одной конике. Рассмотрены также случаи, когда на общей конике лежат шкалы одна из шкал (¡=3,4) криволинейна, т.е. рассмотрены номограммы . Некоторые результаты исследований помещены в таблицах 7, 8.

Следствие [4.2.1]. Одно и то же уравнение (2) может быть предста-вимо номограммами (3) как первого жанра Т^ (к = 1 — 4), так и третьего

жанра (Т^, Т^ (/=1,2; у = 3,4)), относящихся к какой-либо одной га канонических форм /(2) - ГУ(2у 7(3) - IV^у /(4) - 1У(4у (см. таблицу 3).

Следствие [4.2.2]. Если уравнение (2) допускает номограмму (3) перво, жанра с криволинейной шкалой ?у,(у = 1,2^(номограмму Т^), то оно допуч

кает и номограмму третьего жанра, получающуюся из Т^ заменой пар прямолинейных носителей , принадлежащих одной полуплоскости номе граммы (3'), одним коническим сечением при сохранении узлов и их индексов графах.

Двойственным образом номограмм, указанных в таблицах 7,8, являют нешестиугольные ткани, которые не являются проективными. Услови спрямляемости всех тех тканей, которые относятся к одному и тому же кан ническому уравнению, одни и те же. И здесь мы вновь имеем случаи, не по тверждающие сформулированную выше гипотезу В.Бляшке. Так, есл уравнение ткани (2) приводится к канонической форме I^

Рр+ Ф; =^+^2,то ткань спрямляется следующими видами:

а) двумя пучками плоскостей переменных tl,tг и одной связкой пучком плоскостей других переменных,

б) одним пучком и тремя связками плоскостей, причём две связк плоскостей переменных являются касательными плоскостями к о ной и той же поверхности второго порядка.

При этом сохраняется количества узлов графа и их индексы.

Таблица

+ ф,- 1 ' ' ' '2 К/

а / 1Р /а

Таблица 8

№№ Каноническая форма Допускаемые проективно различные типы номограмм

I жанра III жанра

'М + = ^ + Р* (т, п = 1,2; тФп) Уч 1„ а '

"м (т, п = 1,2; тФп) оУ-—1,-Л к Ф ) г„ »„ \У<>""

РтРп +4>т =--- (т,п = 1,2; тФп)

1ГН ртг. +Ф„= —-— (ш,п = 1,2; тФп) 'т К <т 'п

ОСНОВНЫЕ ВЫВОДЫ ПО РАБОТЕ

Научная значимость и практическая ценность представляемых к защи результатов характеризуется тем, что впервые в области номографии:

1. Проведена проективная классификация рассматриваемых типов ном грамм. Доказаны теоремы о существовании точно 15 проективно ра личных графов номограмм нулевого жанра.

2. Получены необходимые и достаточные условия представимости ура нения 14 =/{<1Л2>1з) номограммами рассмотренных типов.

3. Приведены конечные формулы (в квадратурах) вычисления неизвес ных функций в уравнении (3), соответствующих рассмотренным н мограммам, и их возможные преобразования.

4. Выделены графы номограмм, определяющие для заданного уравнения

- единственные номограммы нулевого жанра;

- однопараметрические семейства номограмм нулевого жанра ;

- графы номограмм, определяющие по две непроективные ном граммы нулевого жанра;

- графы номограмм, определяющие для заданного уравнения четыр непроективные номограммы нулевого жанра.

5. Номограммам нулевого жанра соответствует точно восемь канонич ских форм их уравнений, обладающих свойством полноты и несовм стности.

6. Рассмотрены типы непроективных номограмм более высоких жанро (см. таблицу 11 диссертации), эквивалентные в малом [1] рассмо ренным 15 типам номограмм нулевого жанра. Это номограммы, в к торых носителями шкал переменных, лежащих в одной плоскости, я ляются прямые линии, тогда в другой плоскости носителем шкал яв ляется одно коническое сечение (номограммы второго жанра), или обеих плоскостях носителями шкал являются конические сечения (но мограммы четвёртого жанра). Их количество 31, для них указаны ус ловия представимости, они обладают свойством полноты и несовмес ности

7. Аналогичные исследования проведены и с номограммами первог жанра. Их оказалось точно по пять непроективных графов номограм для каждого из четырех случаев номограмм первого жанра.

8. Для номограмм первого жанра существуют в точности 16 канониче ских форм уравнений, образующих полную и несовместную группу.

9. Рассмотрены типы номограмм третьего жанра, эквивалентные в мало рассмотренным номограммам первого жанра.

в области геометрии тканей:

10. В геометрии тканей получены условия шестиугольности тканей. Найдены типы шестиугольных тканей, условия их спрямляемости. Определены канонические уравнения рассмотренных шестиугольных пространственных тканей, изучены проблемы единственности. Условия теоремы [1.3.1] являются условиями октаэдричности пространственных тканей [1], выраженные через функцию тканей. Указаны девять, эквивалентных в малом [1], октаэдрических пространственных тканей.

11. Найдены 46 шестиугольных пространственных тканей. Для них определены условия спрямляемости.

12. Получены условия спрямляемости пространственных нешестиугольных тканей. Найдены канонические уравнения таких тканей. Исследована проблема единственности. Приведены результаты, впервые опровергающие гипотезу о единственности спрямляемости нешестиугольных тканей, сформулированную В. Бляшке в 1959 году.

13. Доказано, что для составных шкальных номограмм нулевого жанра существуют в точности восемь канонических форм уравнений /4 = /(г,,г2,г3), представимых номограммами этого жанра. Найденная система канонических форм полна и несовместна. Для всех найденных канонических форм указаны дополнительные возможности их преобразования.

14. Для всех рассмотренных в работе 82 непроективных типов номограмм и тканей найдено ядро канонических форм уравнения 14 = состоящее из 24 уравнений, обладающих свойствами полноты и несовместности.

15. Для каждой из 24 канонических форм найдены условия и указаны методы приводимости уравнений г4 = к этим формам.

16. Рассмотрен класс типов номограмм более высоких жанров (второго, третьего, четвёртого), и двойственных к ним тканей, уравнения которых приводятся к какой-нибудь из 24 канонических форм, и при том оказалось, что к какой-либо другой из них не приводятся.

17. Все полученные результаты без каких-либо дополнительных исследований пригодны для практики.

18. Теория, представленная в диссертационной работе, может быть использована для построения специальных курсов для студентов и аспирантов математических факультетов. Приведёнными в работе методами можно продолжить исследования по представлению уравнений с четырьмя переменными номограммами второго-четвертого жанров общего вида кривых - носителей шкал переменных составной номограммы, и связанных с ними проблем геометрии тканей. Доказательства фундаментальных предложений на этот счет приведены в работе (теоремы [1.2.1], [3.1.1], следствия [1.2.1], [3.1.1], [3.1.2]).

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались и о суждались на Первой Всесоюзной номографической конференции (Москв 1965 г.), на научных конференциях математиков педагогических вузов и уш верситетов Урала и Сибири: в Казани, Екатеринбурге, Челябинске, Иванов Тюмени, семинарах кафедры геометрии Свердловского педагогического И1 статута, кафедры высшей математики Тюменского индустриального инсп тута, кафедры высшей математики Тюменского архитектурно-строительног университета, на научном семинаре математических кафедр Тюменско государственного университета (февраль, 2009 г.), семинарах на ВДНХ ( Москва), в ВЦ АН СССР, на международных конференциях в Пущш (январь, 2007 г.), Твери (март, 2007 г.), Чебоксарах (июнь, 2007 г.), Дубь (январь, 2008 г.), Москве (МГУ, мат. инст. им. JI. С. Стеклова, июнь, 20 г.), на семинаре института математики и механики РАН (Уральское отдел ние) (январь, 2006 г., январь, 2009 г.).

ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ ДИССЕРТАЦИИ ИЗЛОЖЕНЫ В СЛЕДУЮЩИХ РАБОТАХ:

1. Дураков* Б.П. О представлении уравнений с четырьмя переменным составными номограммами нулевого жанра. // Уч.зап. Свердл. гос. пед ин-та, вып.31- Свердловск. - 1965.- С..29-49.

2. Дураков Б.П. Составные номограммы первого жанра с четырьмя пере менными. // Уч.зап.Свердл. гос. пед. ин-та, вып.31. - Свердловск. 1965. - С.50-72.

3. Дураков Б.П. Об условиях спрямляемости некоторых пространственны тканей.// Тезисы докл. I межвуз. номографич. конф. - М.:- 1965. - С.22 24.

4. Дураков Б.П. О представлении уравнений с четырьмя переменными со ставными номограммами первого жанра с прямолинейной ответной шкалой. // Тез.докл. I межвуз. конф.- М.: -1965. - С..24-25.

5. Дураков Б.П и другие.. О представлении уравнений спрямляемыми пространственными тканями, допускающими построение плоских составных номограмм.// Тез. докл. и сообщений XXY научно-пед. конф. матем. кафедр педвузов Уральской зоны,- Свердловск. - 1967. - С.58-59.

6. Дураков Б.П., Мазаева Г.А., Николаев П.В.. Представление уравнений пространственными номограммами, допускающими реализацию в виде составных плоских номограмм.// - III межвузовская научная конференция по проблемам геометрии.- Казанский государственный университет, тез. докладов. - Казань. - 1967. - С. 105-106.

7 Дураков Б.П. О приведении уравнений с четырьмя переменными к некоторым каноническим формам. // Номографич. сб., №4 - Изд.ВЦ АН СССР.-М,- С.220-227. 8. Рудаков Б.П. Об условиях и методах номографирования уравнений, до-

пускающих по две непроективные номограммы нулевого жанра. // Тр. Тюменского индустр. ин-та "Бурение скважин и трубопроводный транспорт нефти и газа" -Тюмень. - 1969.- С.244-254.

9. Рудаков Б.П. Номографирование уравнений, допускающих четыре непроективные номограммы нулевого жанра. // Тр. Тюменского индустр. ин-та "Бурение скважин и трубопроводный транспорт нефти и газа".-Тюмень. -1969. С.254-264.

10. Рудаков Б.П. К вопросу единственности спрямляемости некоторых пространственных нешестиугольных тканей. // Тр. Тюменского индустр. ин-та "Бурение скважин и трубопроводный транспорт нефти и газа". -Тюмень. - 1969. - С.264-280.

11. Рудаков Б.П. О приведении уравнений с четырьмя переменными к каноническим формам пятого номографического порядка. // Номографич. сб. №6. - Изд. ВЦ АН СССР.-М.. - 1969. - С.190-199.

12. Рудаков Б.П., Мазаева Г.А., Прокорьев Г.С., Смирнов C.B. Памяти П.В.Николаева. // Номографич. сб №8.- Изд. ВЦ АН СССР. - М. -1971. - С.10-13 .

13. Рудаков Б.П. О применении в плановых расчетах одного вида номограмм.// "Комплексное планирование на промышленных предприятиях".- Научн. Тр. Тюменского индустр. ин-та, вып.23. - Тюмень - 1973. -С.132-141.

14. Рудаков Б.П. К вопросу о приведении уравнений с четырьмя переменными к некоторым каноническим формам.// Номографич. сб. № 10. -Изд. ВЦ АН СССР.-М. -1975. - С. 178-185.

15. Рудаков Б.П., Федотов В.П. Построение номограмм для оперативного учёта и прогнозирования наработки оборудования буровых установок.// Тюменский индустриальный институт, учебное пособие. - Тюмень. -1988.- С. 38.

16. Рудаков.Б.П. Условия и методы спрямляемости некоторых пространственных тканей, номографирования уравнений и приведения их к каноническим формам,- Тюмень: Издательство "Вектор Бук" - 2003. -С.246.

17. Рудаков Б.П. О приведении уравнений с четырьмя переменными к некоторым каноническим формам, допускающих представление составными шкальными номограммами первого жанра. // "Вестник" Тюменского гос. университета, № 4. - Тюмень. - 2005. - С. 112-121.

18. Рудаков Б.П. О представлении уравнений с четырьмя переменными некоторыми видами составных номограмм второго и четвёртого жанров. // "Вестник" Тюменского гос. университета, № 4. - Тюмень. - 2005. - С. 121-130.

19. Рудаков Б.П. О предварительных условиях спрямляемости некоторых пространственных тканей./ЛВестник" Тюменского гос. университета, № 5. - Тюмень. - 2006. - С.156-165.

20. Рудаков Б.П. Козлов В.Д. О приведении уравнений с четырьмя переменными к каноническим формам (F/Fî + 1) (F3 + F4) = 1, (F3F4 + 1)

(Г) + Г2) = 1. // Тюменский гос. университет: «Математическое и ш формационное моделирование: сборник научных трудов», выпуск 8. Тюмень. - 2006. - С. 174-181.

21. Рудаков Б.П. Об условиях и методах спрямляемости некоторых пространственных шестиугольных тканей.// «Математика. Компьютер. Об разование». Материалы XIV Международной конференции, тезисы докладов. - Москва. - 2007.- С.17.

22. Рудаков Б.П. О полной и несовместной группе канонических форм уравнений 4-тканей, допускающих реализацию в виде составных номограмм первого и третьего жанров.// Третьи Курдюмовские чтения. «Синергетика в естественных науках». Материалы Международной научной конференции. - Тверь. - 2007.- С. 123-127.

23. Рудаков Б.П. О полной и несовместной группе некоторых шестиуголь ных 4-тканей. // XIV Международная конференция «Математика. Обра зование». - Чебоксары. - 2007 . - С.248.

24. Рудаков Б.П. О представлении уравнений с четырьмя переменными некоторыми видами составных номограмм первого и третьего жанров.// «Вестник кибернетики», №6. - Изд-во ИПОС СО РАН. - Тюмень. -2007. - С. 47-54.

25. Рудаков Б.П. Об условиях и методах спрямляемости некоторых про странственных шестиугольных тканей.// «Математика. Компьютер. Образование», т.2 - Москва, Ижевск: Изд-во НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика». - 2007. -С. 91-101.

26. Рудаков Б.П. О полной и несовместной группе некоторых шестиугольных четыре-тканей.// «Математика и образование», №3 - Изд-во Чувашского университета. - Чебоксары. - 2007. - С.278-283.

27. Рудаков Б.П. Об эффективных условиях и методах спрямляемости некоторых пространственных нешестиугольных тканей.// «Математика. Компьютер. Образование», вып. 15. - Изд-во НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика». - Дубна. - 2008. - С. 448.

28. Рудаков Б.П. Об условиях и методах спрямляемости 4-тканей, образованных поверхностями.// Материалы международной конференции «Дифференциальные . уравнения и топология». - Москва: Математ. Ин-т Стеклова, МГУ. - 2008. - С. 480.

29. Рудаков Б.П. К проблеме спрямляемости и единственности некоторых нешестиугольных пространственных тканей тремя пучками и связкой плоскостей.// «Вестник кибернетики» , №7 - Изд-во ИПОС СО РАН. - Тюмень. - 2008 . - С. 53-61.

30. Рудаков Б.П. Об условиях и методах спрямляемости некоторых нешестиугольных пространственных тканей. К гипотезе В.Бляшке.// -Математика. Компьютер. Оборазование (Дубна): Сб. научных трудов. Том.2 . - М.-Ижевск: НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика",- 2008. - С.76-83.

*) Дураков Б.П. сменил фамилию на Рудаков 7 мая 1969 г. (в г. Тюмени)

Список цитированной литературы

1. Бляшке В. Введение в геометрию тканей.- М., 1959.

2. Gromvall Т.Н. Sur les équations entre trios variables représentables par les nomogrammes a points alignés // Journ. mathem. pures et appliqués, ser. 6, 8.-Paris, 1912.

3. Николаев П.В. О представлении уравнений номограммами второго жанра.//ДАН СССР, т. 157, №6,1964.

4. Эйзенхарт Л.П. Непрерывные группы преобразований. - М.:, 1947.

5. Рашевский П.К. Геометрическая теория уравнений с частными производными. -М.:, ВЦ АН СССР, 1964.

6. Николаев П.В. О номограммах второго жанра с ответной криволинейной шкалой.// Ученые записки Свердловского пединститута, серия "Математика", сборник 79, 1969.- С.56-65.

7. ХованскийГ.С. Основы номографии.- М.: изд-во «Наука», 1976. С. 331

8. Нейшуллер Л.Я. Уравнения с четырьмя разъединяющимися переменными и оптимальное двучленное табулирование их // ДАН, №б - М.,1954.

Изд. лицензия № 02884 от 26.09.2000. Подписано в печать 09.02.2009. Формат 60x90/ 16. Печать цифровая. Гарнитура Тайме. Усл. печ. л. 2,19. Тираж 100 экз. Заказ № 30.

РИО ТюмГАСУ, 625001, г. Тюмень, ул. Луначарского, 2

1. Основные обозначения, принятые в диссертации

2. Введение

3. Основное содержание работы

4. Итоги и выводы

Глава I. Представление уравнений номограммами нулевого жанра

§ 1. Классификация номограмм нулевого жанра. Канонические формы

§ 2. Предварительное условие номографируемости. Необходимые условия

§ 3. Графы, определяющие для заданного уравнения единственные номограммы или однопараметрические семейства номограмм нулевого жанра

§ 4. Графы, определяющие для заданного уравнения по две непроективные номограммы

§ 5. Граф, определяющий для заданного уравнения четыре непроективные номограммы нулевого жанра

§6. Приведение уравнений /4 =/(/,,^,/3) к каноническим формам /(0) - VIII^. Несовместность и полнота канонических форм

Глава И. Представление уравнений номограммами первого жанра с прямолинейной ответной шкалой

§ 1. Проективная классификация номограмм

Tj. Канонические формы

§ 2. Условия и методы представления уравнений номограммами Т

§ 3. Условия и методы представления уравнений номограммами первого жанра с криволинейной шкалой /

§ 4. Приведение уравнений /4 = f{tx,t2,t3) к каноническим формам /(,) - IV{jy Несовместность канонических форм

Глава III. Представление уравнений номограммами первого жанра с криволинейной ответной шкалой 202

§ 1. Предварительные условия номографируемости. Необходимые условия

§ 2. Проективная классификация номограмм Т4. Канонические формы. Условия и методы номографирования

§ 3. Приведение уравнений tA = к каноническим формам /(4) - /Г(4). Несовместность канонических форм

Глава IV. Представление уравнений некоторыми видами номограмм второго, третьего и четвёртого жаров 244-

§ 1. Классификация номограмм второго и четвёртого жанров. Канонические формы

§ 2. Классификация номограмм третьего жанра. Канонические формы 256 Список авторских теорем 266-268 Цитируемая литература 269

Таблицы Страница Таблицы Страница

Таблица 1 20, 122 Таблица 8 200

Таблица 2 123 Таблица

Таблица 3 130-131 Таблица 10 242

Таблица 4 139 Таблица 11 258

Таблица 5 189 Таблица

Таблица 6 190 Таблица

Таблица 7 198

1. ОСНОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ, ПРИНЯТЫЕ В ДИССЕРТАЦИИ

Номограмма нулевого жанра (носителями шкал переменных являются прямые линии)

Р, Краткое обозначение функции Т7, ) т; Номограмма первого жанра с криволинейной шкалой 0=1-4)

Г(12) Одному коническому сечению принадлежат шкалы а шкалы - прямолинейны.

V0' Частное значение функции ) при tl = г(34) 7 02) Номограмма четвертого жанра: одному коническому сечению принадлежат шкалы другому коническому сечению - шкалы ¿4.

Т(34) (2) Номограмма третьего жанра: шкала t2 криволинейна, Г,- прямолинейна, а шкалы переменных /3,/4 лежат на одном и том же коническом сечении.

Обозначения Впервые на странице I Впервые Обозначения на стра- 1 нице о;' (о; 16 F- (ШВУ* 1-П г - . 150 2М(1ПМ);72 |

1 М)х 58 р 1 Г ( (ММАВ\ + (МАВ\ 1 2| MD • (in М)"2 J

В = (ЫМА)[ 58 R- {AC)li 2(in м);;

58 МА

D = +^B(lnMMAB)/] 58 н- № 2(\пМ)

E = +^C(\I1MMAC)[ 58 0 = +^- (inMS);+s + -= (insy3 J

Актуальность работы. Тема работы связана с тремя важными разделами математики: геометрией ткани, номографией и проблемами приведения уравнений к каноническим формам.

Согласно идее Ф. Клейна геометрия изучает инварианты относительно тех или иных групп преобразований. Эта точка зрения применима и к дифференциальной геометрии.

В.Бляшке предложил рассматривать «топологическую» дифференциальную геометрию, т.е. изучать дифференциально-геометрические (локальные!) свойства различных объектов, инвариантные относительно произвольных взаимно-однозначных и взаимно-непрерывных (топологических) преобразований.

Изменение целей исследования отразилось и на его объекте. Изучаемые в классической дифференциальной геометрии кривые и поверхности устроены в «малом» в каждой своей (обыкновенной) точке топологически одинаково — малый отрезок любой линии не отличается от отрезка прямой, а небольшой участок поверхности - от плоской площадки. Поэтому кривые и поверхности не имеют топологических свойств, позволяющих отличать одну из них от другой.

Также и «сети» на плоскости или на произвольной поверхности, т.е. двухпараметрические семейства линий, такие, что через каждую точку определённой области проходят две (не касающиеся в этой точке!) линии, топологически эквивалентны - все они устроены как сеть координатных линий в декартовой системе координат.

По другому обстоит дело, когда от сети переходят к «3-ткани», т.е. к трёхпараметрическому семейству линий на плоскости или на поверхности, такому, что три (не касающиеся друг друга!) линии трёх различных семейств 3-ткани уже могут быть устроены топологически различно: далеко не каждую такую ткань можно отобразить, скажем, на ткань, образованную прямыми трёх фиксированных направлений.

Аналогичная ситуация имеет место, если рассматривать 4-ткань в трёхмерном пространстве, образованную четырёхпараметрическим семейством поверхностей. Подобные «ткани» и родственные им объекты - основной предмет изучения в «геометрии тканей».

Геометрия тканей» как новое направление в дифференциальной геометрии появилось на рубеже 20-30-х г.г. XX века в трудах виднейшего геометра, руководителя Гамбургской математической школы В. Бляшке, его многочисленных учеников и сотрудников. Однако, и до настоящего времени остаётся большое число вопросов, на которые не получены ответы. Формулируя нерешённые проблемы, относящиеся к тканям, в том числе, образованными поверхностями, В.Бляшке [1] назвал фундаментальной проблему отыскания необходимых и достаточных условий спрямляемости тканей, т.е. условий, при выполнении которых ткань была бы топологически эквивалентна ткани, образованной плоскостями. При этом отметил, что ". .непосредственное нахождение условий спрямляемости представляется безнадежным. Несколько более доступным кажется доказательство следующего предложения об однозначности", аналогичное гипотезе Гронвэлла (Р.Н.ОгопуаП (1912 г.)): "Образованная поверхностями ткань, не являющаяся шестиугольной, допускает (с точностью до коллинеаций) не больше одной реализации в виде ткани из плоскостей". В.Бляшке ставит также вопросы о проективной классификации тканей, видах их уравнений, о преобразованиях, допускаемых уравнениями тканей [1, с.с.59, 62, 111].

В.Бляшке в своих работах указал на связь геометрии тканей с номографией. Если ткань спрямляется, то двойственным образом спрямлённой ткани будет номограмма из выравненных точек. Такие номограммы нашли широкое применение в различных отраслях знаний.

Номографией называют область математики, в которой рассматривается теория и практика построения номограмм - особых чертежей, служащих для решения различных уравнений, в том числе и со многими переменными. Каждая формула, для которой строится номограмма, выражает обычно закон течения какого-либо процесса или закон, по которому изменяются различные переменные величины, входящие в данный расчет. Номограмма — графическое изображение этого закона. Пользование этими чертежами уже не требует никаких дополнительных построений. Искомая величина отыскивается непосредственно на самой номограмме путем прикладывания линейки к чертежу или другим столь же простым приемом. Ценными свойствами номограмм является их большая наглядность, удобность и эффективность для анализа и прогнозирования положенных в основу номограмм зависимостей [11,87, 102]. Отметим, что название раздела математики "Номография " установлено в 1890 г. на Международном математическом конгрессе в Париже

7].

В 30-90 г.г. прошлого столетия широкий круг теоретических проблем и прикладных задач эффективно решался с помощью номограмм. Исследователи отдела номографии ВЦ АН СССР, различных научных школ и семинаров в Москве, Ленинграде, Иваново, Свердловске, Новосибирске, Чебоксарах, Липецке, Чимкенте, Батуми, Алма-Ате, Кзыл-Орде, Ереване, Душанбе, Риге и других городах СССР, а также в Германии, Франции, Болгарии, Румынии, Польше, Италии и других странах успешно занимались различными вопросами, связанными с номографией.

В современных условиях ЭВМ способны выполнить расчеты функциональных зависимостей со многими переменными и выдать их в виде таблиц (как правило, объемных, с многочисленными входами). Но по таким таблицам затруднительно исследовать влияние одних параметров, входящих в формулу, на другие; невозможно дать наглядную геометрическую интерпретацию каким-либо свойствам номографируемой формулы; по таким таблицам практически невозможно установить ранее неизвестные особенности изучаемой зависимости, но что позволяет делать построенная номограмма [6].

Основными проблемами теоретической номографии являются проблемы представимости и единственности [1-5,7,12,20].

Суть первой проблемы: можно ли данное уравнение привести к определенной детерминантной форме и, если возможно, то указать алгоритм такого приведения. "В настоящее время получены решения этой проблемы для некоторых уравнений. Они сложны и на практике не применяются" [7, с.331].

Вторая проблема состоит в разрешении вопроса: единственным ли способом приводится изучаемая зависимость к детерминантной форме, и если не единственным, то указать все возможные способы и установить возможности преобразования номограмм в> каждом из них. Для использования результатов решения этой проблемы не требуется знать теорию их получения. Эти результаты сразу становятся достоянием практики.

Вопросами геометрии тканей и теоретической номографии занимались и занимаются многие отечественные и зарубежные исследователи. Для уравне- , ний с тремя переменными решение отдельных вопросов указанных проблем можно найти в работах Т.Гронвэлла (Т. GronwaH) [2], С.В.Бахвалова [4], г. Г.С. Хованского[5-7], П.В.Николаева [13-17], М.В.Пентковского[20,21], С.В.Смирнова [26], Г.Е. Джемс-Леви [33], В.В.Гольдберга [90-92], М.А.Акивиса [89], Г.А.Толстихиной, А.М.Шелехова [93] и др. авторов. Не до конца решенным остаётся лишь общий случай, когда в номограмме носители всех трёх шкал переменных (/' = 1 — 3) криволинейны. Не доказано и предложение об однозначности, высказанное Гронвэллом. В терминах геометрии тканей гипотеза Гронвелла означает, что если нешестиугольиая ткань спрямляема, то её реализация в виде прямолинейной ткани единственна (с точностью до коллинеаций) [1,2]. Боль (G. Bol) и Борувка (О. Boruvka) показали в 1938 г., что число проективно различных реализаций нешестиугольной ткани не больше 16. В. Бляшке считал эту оценку "явно завышенной'^!,с.63]. Гуйдо (V.Guido) в 1961 г. улучшил этот результат, показав, что число таких реализаций не больше 11.

Решением проблем, связанных со спрямляемостью тканей и номографированием уравнений с больипш числом переменных, занимались В.Бляшке [1], T.Gronwall [2], H.A. Глаголев [3], Г.С. Хованский [8,9,10], П.В. Николаев [12], С.В.Смирнов [22,23,25], E.H. Кузьмин [29,30], E.Hösel [32], E.Goursat [34], О.В.Ермолова [35], M. Czyzykowski [37], J. Wojtowicz [38], V.Guido [42], R. Mehmke [45], Adams Douglas [50], Bal Lascu [53], Ю.И. Боголюбов [54, 55], Р.Петров [67] , Radó Francise [94], Г.С. Прокопьев [69,72], Г.А.Мазаева [78-79], Г.М.Плотникова[80-83], Mihoc Maria [84] и др. Однако и до настоящего времени в вопросах представимости уравнений той или иной номограммой и проблеме единственности остается много нерешенных вопросов. В.Бляшке утверждает, что эти проблемы номографии являются примерами вопросов, которые теоретически не сложны, но фактическому решению которых препятствуют вычислительные трудности [1, с.63].

В диссертационной работе дается решение поставленных вопросов для . уравнений с четырьмя переменными в трёхмерном пространстве. Многие авторы занимались такими уравнениями и посвятили свои исследования различным вопросам как геометрии тканей, так,и теоретической номографии. Следует назвать В.Бляшке, Н.А.Глаголева, С.В.Смирнова, E.H. Кузьмина, О.В. Ермолову, Г.С. Хованского, Л.Я. Нейшуллер, В.В. Казьмина, M.D. Ocagne, E.Hösel, Mihoc Maria, Т.Н.Солнцеву, C.H. Буланова, Ю.И. Боголюбова, Р.Петрова, И.С.Глазырину и др.

Вопрос о представимости уравнений той или иной номограммой, той или иной спрямлённой тканью часто решается в зависимости от приведения данного уравнения к определённой канонической форме [1,6, 29-31, 58, 86]. В связи с этим важной становится задача об условиях и методах такой приводимости.

Вопросу приведения уравнений с четырьмя переменными t4 =f{t,,í2,i¡) к каноническим формам, в. частности, разделению переменных по одному или на различные пары, посвятили свои труды Н.А.Глаголев [3], Г.С.Ховапский [8,10], Л .Я. Нейшуллер [36], Ласку Бал [52], Ю.И. Боголюбов [53], A.M. и

Бухвалов [61], Нгуен Ши Туэн [63], Р.И.Новобранова [66], О.В. Ермолова [35], Г.С. Прокопьев [71], Mihoc Maria [84,85] и др. И этот вопрос оказался тесно увязанным как с проблемами спрямляемости тканей [1], так и с вопросами теоретической номографии.

Так, Н.А. Глаголев [3] привёл ряд уравнений с четырьмя переменными: i+/2+/3+/l=0;Jr + -l- + 4. + -i- = 0;A = A: /1+/2=А;А + 1'

1 / 2 УЗ J 4 /2 J\ ./4 /2 /З /4

2+/з-/4=^4; f\+fï-g\=fl+f*'g2\ /l- /3+/l

2 1-/3-/4 где есть краткое обозначение функций /,(1,), 8,(1,)), для которых возможны плоские составные номограммы из выравненных точек. Он указал также отдельные виды номограмм, которыми представляются каждое из приведённых уравнений.

Е Гурса[34], О.В. Ермолова[35], Л .Я. Нейшуллер[36] и др. исследовали вопрос об условиях разделения переменных в уравнении с четырьмя переменными. Эти условия могут рассматриваться как необходимые для представления указанных уравнений пространственными номограммами из выравненных точек.

Жижиковски [37] получил необходимые и достаточные условия представления функций в виде Р(11,12,(3,14)=\/11((1),.;/ы(11)\, (/=/-•/).

Пространственные номограммы из выравненных точек для уравнений с четырьмя переменными в простейших случаях были рассмотрены также в работах Б. Адамса [50] и С.Н. Буланова [51], которые использовали методы начертательной геометрии для изображения на плоскости некоторых частных видов пространственных номограмм из выравненных точек.

Вопросу приведения уравнений к некоторым каноническим формам посвящены работы и других авторов. В частности, Войтович [38] дал необходимые и достаточные условия существования анаморфозирующих множителей, приводящих уравнение , л,, (3, /*,) = 0 к уравнениям где у; = у; (7,,). Для каждого из этих случаев указаны формулы для определения анаморфозирующих множителей.

Л. Матеева [27] нашла необходимые и достаточные условия представимости уравнения г = где п>2, в виде =

Цель работы. Работа автора посвящена решению теоретических проблем номографии, геометрии тканей, каноническим формам для уравнения с четырьмя переменными. Ставится задача найти не только условия представимости уравнений = /{(¡,12,13) составными шкальными номограммами с прямолинейной немой шкалой, но и указать эффективные методы такой представимости. Изучается возможность выделения канонических форм уравнений (2), представимые такими номограммами, и найти условия приводимости уравнений к этим каноническим формам с указанием конечных формул' элементов этих форм, рассмотрев и вопрос о возможных преобразованиях найденных функций. Целью работы является и решение вопросов единственности представлений рассматриваемых в работе номограмм. Таким образом, ставится задача довести решения поставленных задач теоретической номографии до практической реализации.

Указанные вопросы в работе решаются для случаев представления уравнений (4 составными шкальными номограммами нулевого и первого жанров, а также для некоторых типов номограмм второго - четвертого жанров, с прямолинейной немой шкалой.

В области геометрии тканей ставится цель найти условия спрямляемости соответствующих пространственных тканей и рассмотреть проблемы единственности таких преобразований. Изучается и вопрос о видах уравнения ^ = /(/7,для некоторых шестиугольных и нешестиугольных пространственной ткани, нашедших большое практическое применение.

Методы исследования. Основными методами исследования явились:

- номографические методы исследования,

- методы геометрии тканей,

- многие разделы классических областей математики,

- полнота и замкнутость системы функций,

- теория непрерывных групп преобразований,

- методы проективной и дифференциальной геометрии,

- Пфаффовы уравнения и пфаффовы системы,

- теория графов.

Научная новизна и практическая ценность. Все представляемые к защите результаты получены автором. Их новизна, в частности, характеризуется тем, что впервые

В области номографии:

1. Проведена проективная классификация рассматриваемых типов номограмм. Доказаны теоремы о существовании точно 15 проективно различных графов номограмм нулевого жанра.

2. Получены необходимые и достаточные условия представимости уравнения ^ =/^1,12,13) номограммами рассмотренных типов.

3. Приведены конечные формулы (в квадратурах) вычисления неизвестных функций в уравнении (3), соответствующих рассмотренным номограммам, и их возможные преобразования.

4. Выделены графы номограмм, определяющие для заданного уравнения

- единственные номограммы нулевого жанра;

- однопараметрические семейства номограмм нулевого жанра ;

- графы номограмм, определяющие по две непроективные номо-грамммы нулевого жанра;

- графы номограмм, определяющие для заданного уравнения четыре непроективные номограммы нулевого жанра.

5. Номограммам нулевого жанра соответствует точно восемь канонических форм их уравнений, обладающих свойством полноты и несовместности.

6. Рассмотрены типы непроективных номограмм более высоких жанров (см. Таблицу 11 диссертации), эквивалентные в малом [1] рассмотренным 15 типам номограмм нулевого жанра. Это номограммы, в которых носителями шкал переменных, лежащих в одной плоскости, являются прямые линии, тогда в другой плоскости носителем шкал является одно коническое сечение (номограммы второго жанра), или в обеих плоскостях носителями двух шкал являются конические сечения (номограммы четвёртого жанра). Их количество 31, для них указаны условия представимости, они обладают свойством полноты и несовместности

7. Аналогичные исследования проведены и с номограммами первого жанра. Их оказалось точно по пять непроективных графов номограмм для каждого из четырех случаев номограмм первого жанра.

8. Для номограмм первого жанра существуют в точности 16 канонических форм уравнений, образующих полную и несовместную группу.

9. Рассмотрены типы номограмм третьего жанра, эквивалентные в малом рассмотренным номограммам первого жанра.

В области геометрии тканей:

10. В геометрии тканей получены условия шестиугольности тканей. Найдены типы шестиугольных тканей, условия их спрямляемости. Определены канонические уравнения рассмотренных шестиугольных пространственных тканей, изучены проблемы единственности. Условия теоремы [1.3.1] являются условиями октаэдричности пространственных тканей [1], выраженные через функцию тканей. Указаны девять эквивалентных в малом [1] октаэдрических пространственных тканей.

11. Найдены 46 шестиугольных пространственных тканей. Для них найдены условия спрямляемости.

12. Получены условия спрямляемости пространственных нешестиугольных тканей. Найдены канонические уравнения таких тканей. Исследована проблема единственности. Приведены результаты, впервые опровергающие гипотезу о единственности спрямляемости нешестиугольных тканей, сформулированную В. Бляшке в 1959 году. В области канрнических форм:

13. Доказано, что для составных шкальных номограмм нулевого жанра существуют в точности восемь канонических форм уравнений 14 =/{*1<Ь>Ь)> представимых такими номограммами. Найденная система канонических форм полна и несовместна. Для всех канонических форм указаны дополнительные возможности их преобразования.

14. Для всех рассмотренных в работе 82 непроективных типов номограмм и тканей найдено ядро канонических форм уравнения =/(/,,со~ стоящее из 24 уравнений, обладающих свойствами полноты и несовместности.

15. Для каждой из 24 канонических форм найдены условия и указаны методы приводимости уравнений /4 = /(//Л?,^) к этим формам. '

16. Рассмотрен класс типов номограмм более высоких жанров (второго, третьего, четвёртого), и двойственных к ним тканей, уравнения которых приводятся к какой-нибудь из 24 канонических форм, и при том оказалось, что к какой-либо другой из них не приводятся.

17. Все полученные результаты без каких-либо дополнительных исследований пригодны для практики.

18. Теория, представленная в диссертационной работе, может быть использована для построения специальных курсов для студентов и аспирантов математических факультетов. Приведёнными в работе методами можно продолжить исследования по представлению уравнений с четырьмя переменными номограммами второго-четвертого жанров общего вида кривых - носителей шкал переменных составной номограммы, и связанных с ними проблем геометрии тканей. Доказательства фундаментальных предложений на этот счет приведены в работе (теоремы [1.2.1], [3.1.1], следствия [1.2.1], |3.1.1], [3.1.2]).

Диссертационная работа является результатом собственных исследований автора. Вместе с тем следует отметить, что первые задачи и начала исследований по теме были предложены автору моим учителем профессором Петром Владимировичем Николаевым (1902-1970 г.г.).

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались или публиковались в трудах различных конференций: Первой Всесоюзной номографической конференции (Москва, 1965 г.), на научных конференциях в г.г. Казани (1967 г.) , Ярославле (1968 г.), Свердловске (1967 г.), Челябинске (1970 г.), Иваново (1973, 1975 г.г.) , Тюмени (1966 г.), Душанбе (1978 г.), на семинарах , проводимых ВЦ АН СССР совместно павильоном " Вычислительная техника" на ВДНХ (г. Москва) (1969 ,1972 , 1973,1974, 1986 г.г.), семинарах кафедры геометрии Свердловского педагогического института (1964-1969 г.г.), кафедры высшей математики Тюменского индустриального института (1965-1988 г.г.), кафедры высшей математики Тюменского архитектурно-строительного университета (1999-2005 г.г.), семинаре института математики и механики УрО РАН (2006 г.), международных конференциях в г.г. Пущино (2007 г.), Твери (2007 г.), Чебоксарах (2007 г.), Дубне ( 2008 г.), Москве (МГУ, мат. инст. им. Л. С. Стеклова (2008 г.)).

Публикации. По материалам диссертации опубликовано 30 статей и тезисов конференций, две работы депонировано, выпущена одна номография.

Объём и структура работы. Диссертация объёмом 270 страниц, состоит из Введения, четырёх глав, 15 параграфов. В работе изложено 64 авторских теорем (см. с. 260-262) и 16 следствий, помещено 13 таблиц. Список литературы содержит 127 наименований. В работе приведены примеры.

1. Бляшке В. Введение в геометрию тканей,- М., 1959.

2. Gronwall Т.Н. Sur les équations entre trios variables représentables par les nomogrammes a points alignés // Journ. mathem. pures et appliqués, ser. 6,8.- Paris, 1912.

3. Глаголев H.A. Теоретические основы номографии.- M.-JL, ОНТИ-ГТТИ, 1934.

4. Бахвалов C.B. Дифференциально-геометрический метод решения проблем общей анаморфозы. Вестник МГУ, №1,1961.

5. Хованский Г. С. Некоторые вопросы практической номографии.//Сб. "Вычисл. мате-мат.", сб.4. М.: Изд. АН СССР, 1959.

6. Хованский Г. С. Методы номографирования,- М.: Изд. ВЦ АН СССР, 1964.

7. Хованский Г.С. Основы номографии. — М.: Изд. "Наука", 1976.

8. Хованский Г.С. О представлении некоторых зависимостей с четырьмя переменными номограммами с ориентированным транспарантом. // Тезисы докладов. Труды Ш Всесоюзного математического съезда, т.2. М. : Изд-во АН СССР, 1956, с. 143-144.

9. Хованский Г.С. Формы зависимостей, обладающих дополнительными возможностями для преобразования номограмм с ориентированным транспарантом. // ДАН СССР, т. 118, 1958, №2.

10. Хованский Г.С. О представлении зависимостей номограммами из выравненных точек // Номографический сборник №1 . М., ВЦ АН СССР, 1962, - С. 122-127

11. Хованский Г.С. Применение номограмм для исследования функциональных зависимостей. // Материалы научно-технической конференции: " Новые разработки в области вычислительной математики и вычислительной техники". Киев, ВЦ ФН Укр. ССР, 1960.

12. Николаев П.В. О некоторых задачах номографии // Успехи математич. наук, т. 17, вып.1 (103)-М„ 1962, С.256.

13. Николаев П.В. О представлении уравнений номограммами второго жанра.// ДАН СССР, т. 157, №6, 1964.

14. Николаев П.В. О представлении уравнений номограммами второго жанра // Тез.докладов I межвуз. номографической конф. -М., 1965, с.38-39.

15. Николаев П.В. О представлении уравнений номограммами Коши и Кларка // Ученые записки Свердловского пединститута, серия "Математика",сборник 31, 1965. -С.199-227.

16. Николаев П. В. О номограммах второго жанра с ответной прямолинейной шкалой. //17