Усреднение вариационных неравенств для оператора Лапласа и для бигармонического оператора с ограничениями на множествах, периодически расположенных вдоль многообразий тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

Московский Государственный Университет им М В Ломоносова Механико - математический факультет.

На правах рукописи УДК 517.956

Зубова Мария Николаевна

УСРЕДНЕНИЕ ВАРИАЦИОННЫХ НЕРАВЕНСТВ ДЛЯ ОПЕРАТОРА ЛАПЛАСА И ДЛЯ БИГАРМОНИЧЕСКОГО ОПЕРАТОРА С ОГРАНИЧЕНИЯМИ НА МНОЖЕСТВАХ, ПЕРИОДИЧЕСКИ РАСПОЛОЖЕННЫХ ВДОЛЬ МНОГООБРАЗИЙ

01.01.02 - дифференциальные уравнения

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико - математических наук

ии3065331

Москва, 2007

003065331

Работа выполнена на кафедре дифференциальных уравнений Механико - математического факультета Московского Государственного Университета им. M В Ломоносова

Научный руководитель: доктор физико - математических наук,

профессор Т А Шапошникова

Официальные оппоненты: доктор физико - математических наук,

профессор А А. Злотник, кандидат физико - математических наук ГА Иосифьян

Ведущая организация: Владимирский государственный

педагогический университет.

Защита состоится "5"октября 2007 г. в 16 час 15 мин. на заседании диссертационного совета Д 501 001.85 в Московском Государственном Университете им M В Ломоносова по адресу 119992, ГСП - 2, Москва, Ленинские горы, МГУ, Механико - математический факультет, аудитория 16-24

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Механико - математического факультета МГУ (Главное здание, 14 этаж)

Автореферат разослан "5"еентября 2007 г.

Ученый секретарь диссертационного совета Д 501 001 85 в МГУ, доктор физико - математических наук, профессор

Общая характеристика работы

Актуальность работы. Вариационные неравенства возникают в различных задачах физики, таких, как, например, задачи о полупроницаемых стенках, задачи фильтрации, задачи управления температурой. Вариационные неравенства для бигармонического оператора и оператора Лапласа с ограничениями типа неравенств соответствуют задачам о равновесии пластины или мембраны, расположенной над препятствием При большом числе подмножеств, на которых заданы ограничения, области, в которых ставятся подобные задачи, имеют весьма сложную структуру. Сложная структура области не вносит дополнительных трудностей в доказательство теорем существования и единственности этих задач, однако нахождение этих решений как точными, так и приближенными методами не представляется возможным. Лишь привлекая различные физические соображения, иногда удается приближенно найти основные характеристики изучаемого процесса при помощи замены решений исходных задач решениями более простых приближенных задач. В одних случаях задачи с ограничениями типа неравенств на подмножествах заменяются решениями вариационных неравенств с ограничениями на всем пространстве или на поверхности, вдоль которой были расположены эти подмножества, в других - решениями краевых задач с мусредненными"граничньтми условиями или условиями сопряжения на некоторой поверхности

Подобными задачами занимается теория усреднения, начало которой было положено в работах Пуассона, Максвелла, Релея. Как самостоятельная наука теория усреднения была развита в работах таких математиков, как О.А. Олейник, Н.С Бахвалов, В В Жиков, В А Марченко, Е Я Хруслов, Е. Де Джорджи, Ж. Лионе, Э Санчес - Паленсия, Г Дель Мазо , Л. Тартар и многие другие

Основы теории вариационных неравенств были заложены в 60-х годах прошлого века в работах Ж.-Л. Лионса и Г. Стампаккьи1,

'Lions J -L. and Stampaccia, G. Inéquations vanationelles non coercives // C. R. AcacL Sci Paris, voL 261, 1965, pp 25-27

Г. Дель Мазо2, Г Фикеры3, Б Санчес - Паленсия4. Впервые задачи усреднения вариационных неравенств с ограничениями, зависящими от параметра, были рассмотрены в работах Г Дель Мазо5, К Пи-кар6 Так, например, в работах Г. Дель Мазо изучалась асимптотика решений задачи о минимизации функционала / | Du |2 +д(х, u)dx на множестве функций с двусторонними ограничениями фп < и < фп, в случае, когда ограничения являются элементами некоторых функциональных последовательностей В монографии К Пикар были рассмотрена задача усреднения вариационного неравенства для бигармонического оператора с односторонними ограничениями на подмножествах, зависящих от малого параметра, периодически расположенных по всей области Для этого использовалось понятие Г -сходимости, емкости множеств и техника интегральных представлений В работе К Пикар и Г Аттач7 изучено асимптотическое поведение решений вариационных неравенств для эллиптических операторов с односторонними ограничениями, составляющими сходящуюся в некотором пространстве последовательность и заданными на всей области В зависимости от предельного поведения функций, задающих ограничения, были выделены несколько качественно различных типов предельных задач.

Асимптотическое поведение решений вариационных неравенств для операторов второго порядка с периодическими быстро меняющимися коэффициентами в случае, когда функции, задающие препятствие, являются элементами некоторых функциональных последовательностей или ограничения заданы на перфорированной части границы, изучались такими авторами, как ГА Иосифьян8, Г В

2G Dal Maso, Trebeschi P Г - limit of periodic obstacles // Acta Appl Math 2001 v 65 p 207-215

3Fichera G Problemi elastostatici con vmcoli umlaten il problema di Signorim con ambiguë condizom al contorno // Mem Accad Ñas Lmcei, ser 8, vol 7, pp 91-140

4Sanchez - Palencia E Bovalue problems m domain containing perforated walls // Nonlinear P D E and their applications Coll'ege de Frace Seminar, Vol III (Research Notes m Mathematics, Vol 70, pp 309-32 Pittman, London, 1982)

5G Dal Maso Asymptotic Behaviour of Minimum Problems with Bilateral Obstacles //Annall di Matematica Pura ed Applicata 1981, v 129, N 1, p 327-366

6Colette Picard "Problème biharmonique avec obstacles variables", Thèse, Université Pans-Sud, 1984

7H Attouch - С Picard Variational inequalities with varying obstacles The general Form of the limit problem //J of Functional Analysis 50, 1983, pp 329-386

8Иосифьян Г А Об усреднении некоторых задач с быстро осциллирующими ограничени-

ями // Труды семинара имени И Г Петровского выл 23, 2003

Сандраков9, С Е Пастухова10 Проблема усреднения решений задачи Дирихле для бигармонического и полигармонического оператора в области, перфорированной вдоль многообразий, была изучена в работах О А Олейник11, ТА Шапошниковой12

В диссертации рассмотрена задача усреднения вариационных неравенств для бигармонического оператора и оператора Лапласа с ограничениями типа неравенств, заданными на подмножествах, которые расположены вдоль многообразий произвольной размерности При этом диаметр подмножеств, на которых заданы ограничения и период, с которым эти подмножества расположены, зависят от малого параметра. В работе рассмотрены все возможные случаи качественно различного асимптотического поведения решений в зависимости от размерности многообразия, от периода струкутрьт и от диаметра подмножеств, на которых заданы ограничения.

Цель работы. Целью настоящей работы является исследование асимптотического поведения решений вариационных неравенств для бигармонического оператора и оператора Лапласа с ограничениями типа неравенств, заданными на периодически расположенных вдоль некоторого многообразия подмножествах, когда диаметр подмножеств, на которых заданы ограничения, а также период, с которым расположены эти множества, стремятся к нулю.

Методы исследования. В работе используются методы теории усреднения дифференциальных операторов, общей теории уравнений в частных производных, а также методы функционального анализа и теории пространств Соболева.

Научная новизна. Основные результаты диссертации являются новыми, получены автором самостоятельно, приведены с полным доказательством и состоят в следующем.

1. Исследовано асимптотическое поведение решений вариацион-

11 Сандраков Г В Осреднение вариационных неравенств для задач с препятствиями // Мат сборник т 196, 2005г, № 4, с. 79 - 98

1 "Пастухова С Е Об усреднении одного вариационного неравенства для упругого тела с периодически расположенными трещинами // Матем сб , 2000, т 191, в 2, с 149 - 164

'10лейник О А , Шапошникова Т А. Об усреднении бигармонического уравнения в области, префорированной вдоль многообразий малой размерности // Дифференциальные уравнения т 32, № 6, с 830-842

12Т A Shaposhnikova On the averaging of the Dinchlet problem for a multiharmonic equation in regions perforated along a manifold with large codimention // Труды Москов Матем Общ т 61,с 139-195

ных неравенств для оператора Лапласа с ограничениями типа неравенств на е - периодически расположенных вдоль некоторого многообразия подмножествах. Диаметр подмножеств 2a£)S, aSiS < е. Рассмотрены все качественно различные типы поведения решения допредельной задачи при е —► 0, определяемые соотношением между a£)S и е, а также коразмерностью многообразия, вдоль которого расположены подмножества, получены постановки усредненных задач, доказана сходимость решений исходных неравенств к решению предельной задачи в соответствующем Соболевском пространстве Во многих случаях получены оценки скорости сходимости решений допредельной задачи к решению усредненной задачи

2. Исследовано асимптотическое поведение решений вариационных неравенств для бигармонического оператора с ограничениями типа неравенств на г периодически расположенных вдоль некоторого многообразия подмножествах Диаметр подмножеств 2a£rS, aEyS < е Рассмотрены все качественно различные типы поведения решения допредельной задачи при е —► 0, определяемые соотношением между a£iS и е, а также коразмерностью многообразия, вдоль которого расположены подмножества; получены постановки усредненных задач и доказана сходимость решений исходных вариационных неравенств к решению усредненной задачи в соответствующем Соболевском пространстве Во многих случаях установлены оценки скорости сходимости решений допредельной задачи к решению усредненной задачи.

Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретический характер, результаты диссертации относятся к теории усреднения вариационных неравенств. Методика исследования, применявшаяся в диссертации, может быть использована при изучении других вариационных неравенств с ограничениями различного типа.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались и обсуждались на семинаре "Уравнения с частными производными и теория усреднения "кафедры дифференциальных уравнений механике - математического факультета МГУ под руководством Жикова В В., Шамаева А С., Шапошниковой Т.А , 17 марта 2006г, на международной конференции Functional Differential Equations, Россия, Москва, проходившей 14 - 21 августа 2005г, на международной кон-

ференции "Дифференциальные уравнения и смежные вопросы", посвященной 103 - летию со дня рождения И.Г. Петровского, Россия, Москва, проходившей 16 - 22 мая 2004г

Публикации. Содержание диссертации опубликовано в 5 работах Список работ приведен в конце диссертации

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, вспомогательных утверждений и двух глав, разбитых на 13 параграфов, а также из приложения с иллюстрациями и списка цитируемой литературы Параграфы имеют двойную нумерацию, а формулы, теоремы, замечания и рисунки - сквозную Диссертация содержит 15 теорем и 7 лемм. Кроме того, текст снабжен 3 рисунками Список литературы включает 49 наименований, общий объем диссертации 99 страниц

Краткое содержание диссертации.

Во введении дан краткий обзор работ, близких к теме диссертации, сформулированы основные задачи и кратко изложены главные результаты работы.

В параграфе 0.2 сформулированы вспомогательные утверждения из функционального анализа, общей теории уравнений с частными производными и теории вариационных неравенств, а также приводятся утверждения, часто используемые в диссертации.

В первой главе изучено асимптотическое поведение решений вариационных неравенств для оператора Лапласа, соответствующих односторонним ограничениям на подмножествах, которые представляют собой шары радиуса a£)S, 0 < ag,s < de, d — const > 0, e - периодически расположенные вдоль многообразия Mn_s размерности п - s, M„_s С fi

Сформулируем основные результаты, полученные в первой главе Пусть Q - ограниченная область в Rn с гладкой границей dfl] Mn-s~ гладкое многообразие размерности п — s, s > 0 Пусть Pi-S— точка принадлежащая M„_s, j = 1, ,Ne и Ne — do£s~n, do = const > 0 Обозначим через Т^ тпар радиуса a£tS с центром в точке P&~s, где е малый параметр, a£j3 < е Предположим, что П Т^ = 0 для г ф j; г, j = 1, , Ne Через Т-? в дальнейшем будем обозначать шар радиуса г с центром в точке Pn-si а через дТ^ границу этого

тара Будем предполагать, что точки Рп~3 расположены так, что тары радиуса е с центрами в этих точках образуют конечнократное покрытие многообразия Мп-е, причем кратность этого покрытия

I - ч ^

ограничена постоянной, не зависящей от е Пусть = £ Т^ а

7=1

В параграфах 1.2 - 1.5 исследуется асимптотика при е —► 0 решений следующей задачи найти элемент

иеЕ Ке = {д€ Н?(П)\д(х) > ф{х) п в на С^}, (1)

удовлетворяющий вариационному неравенству

J — ие)<1х > J/(и — иг)йх, (2)

п о

где V - произвольный элемент К£, '\7uVg = Е Сутцествова-

7=1 3 3

ние и единственность решения задачи (1), (2) следуют, например, из теоремы существования и единственности решений вариационных неравенств для оператора с выпуклыми ограничениями (см 13 ГЛ 2,§ 3)

В параграфе 1.2 исследован случай, когда многообразие Мга_8 таково, что в > 2 и га > 2 Доказана следующая

Теорема 1. Пусть п > 2 «О содержит многообразие Мп-3, 2 < в <п Пусть и£ - решение задачи (1), (2) Тогда ие сходится кщ в Н\(и) при £ —► 0, где щ - решение краевой задачи

Аи0 = / ,х 6 О, = 0 (3)

Если щ — гладкое решение задачи (3), справедлива оценка-

1К - щ\\Ъ1т < Кс%-2е°-п, когда п > 3,

и

\\и£ - г1о|1я1(П) ^ к I 1па£,8 Г1) ког^а П = 2

В параграфах 1.3 - 1.5 рассматривается случай, когда п > 2 и область П содержит многообразие Мп-3, причем 3 = 0, 1 Пусть е и

,3Экланд И., Темам Р Выпуклый анализ и вариационные проблемы М Мир, 1979

a£)S удовлетворяют одному из следующих трех условий lim a?~nen~s — 0, если п > 3, lim е2~3\ In a£¡s | = 0, если n = 2,

lim a£~nsn~s = +00. если n > 3,

lime2_s|lna£S| = -foo, если n — 2: e-+o 1 ' 1

lima?-reen"'s = С > 0, если те > 3,

£->0 £'S 5—1

lime2_s| lna£iS| = С > 0, если n = 2

(5)

(6)

В каждом из случаев (4) - (6) исследована асимптотика решения задачи (1), (2) при е —> 0; получена усредненная задача, доказана сходимость последовательности ие к решению усредненной задачи, а в случае (5) приведена оценка скорости сходимости

В параграфе 1.3 исследован случай (4) соотношения между и г и доказана следующая

Теорема 2. Пусть и£ - решение задачи (1), (2) и выполнено условие (4) Тогда и£ сходится слабо в Ну (О.) к щ при е —» 0, где щ - решение задачи найти элемент

и0еК0 = {уе Я?(П) | ь(х) > ф(х) п в в Мп-3}, (7)

удовлетворяющий неравенству

I ЧщХГуI - щ)йх > У /(/г - щ)йх (8)

г* п

для любой функции к & Ко

В параграфе 1.4 исследован случай (5) и доказана следующая Теорема 3. Пусть и£ - решение задачи (1), (2), щ - решение задачи (3), и выполнены условия (5) Тогда и£ сходится в Н^(О) к щ при е —»• 0, и, если щ гладкое решение задачи (3), то справедливы оценки

К - «оИвд < Ка1~2е*~п, если п > 3

и

И^е - иоИяцп) < К£3~2 11пам I-1, если п = 2 7

В параграфе 1.5 исследован так называемый "критический"случай (6) предельного поведения решений ие задачи (1), (2) Пусть Go = {х |ж| < а}— шар в Rn радиуса a, Go С Q, где Q = {х\ — 1/2 < х} < 1/2, 3 = 1, , га} - куб с единичным ребром Будем предполагать, что это совокупность множеств вида ee>sGo, содержащихся в

Ü Доказана

Теорема 4. Пусть выполнены условия (6), s — 0, 1, ие - решение задачи (1), (2) Тогда ие слабо сходится в H°(Q) к щ при е —► О, где щ € Hi(Cl) - функция, удовлетворяющая интегральному тождеству

j Vti0Vhdx + С J (щ- ф)~ЬМ = j fhdx, (9)

ft n

для произвольной функции h 6 Я^П), С = ui(n)(n — 2)ап~2С{1 Кроме того, имеют место сходимости

IIие - зд||£2(п) 0, когда е -> О,

|| V((uo — ф)+ + ф + и>е(ш — ф)~ - Me)llLj(n) —>■ 0, когда е —О

Здесь шг 6 Яуос(Дп) - срезающая функция, построенная следующим образом пусть

^ = {|® - Р/"п - (ae,sf-n}/{{ebf-n - (a£,s)2~n}, j = 1, ., Ne,

для x G Tgb \ ч, где b = const,a£yS < sb < ej2, iVe -количество шаров, составляющих Положим u>£ = w{ при x £Tj!b\

= 0 при x € T£s и = 1 при x € Я" \

В параграфе 1.6 рассмотрена задача усреднения аналогичного вариационного неравенства с ограничениями, заданными на подмно-жестах, расположенных вдоль границы области Пусть fi - ограниченная область в {хп > 0} с кусочно-гладкой границей дП, состоящей из двух частей Ti и Гг, причем Г1 = dfi П {х Е Rn\xn =

Обозначим Go = {ж 6 Rn ¡ж — Р0| < а}, где Ра - центр куба Q = {х £ R1 0 < х3 < 1, з = 1, . ,п} Предположим, что Go С Q.

Положим Ge — Ez€g'(aeGo + £z) — U^G^, где Z' - множество векторов вида z = (zi, ., zn-1,0), Zj (j = 1, , n—1) - целочисленные, — n— мерный map с центром в точке Р3 радиуса а£а, 0 < а£а < е/2 Не ограничивая общности, считаем, что , G^J-^ - все те

тттары из совокупности Gg, для которых Y\ С ГЮГх, j = 1, ., 7V(e), где Y> = {x \xt - Pi I < е/2, г = 1, , n}, где iV(e) ^ е1_птевГ1

Исследована асимптотика при s —► 0 решений следующей задачи, найти элемент

удовлетворяющий вариационному неравенству

J Vti£V(v - tt£)cfa > J f(v - ue)dx, (10)

fi fi где V— произвольный элемент K£

Доказаны:

Теорема 5. Пусть выполнены условия (4) с s — 1, ие - решение неравенства (10) Тогда ||гг£ — ^оЦя^п) 0 при £ —* 0, где функция щ € Ко = {v 6 Н1(Г2,Гг) | v > ф п.в. на Гх} удовлетворяет вариационному неравенству

J VuoV(k - m)dx > ff (h- u0)dx, (11)

fi fi для любого h G Ko

Теорема 6. Пусть выполнены условия (5), щ- обобщенное решение задачи (3) Тогда и£ щ слабо в О) при е —> 0 Если щ - гладкое решение задачи (3), то ||ио — ^еИя^п) < Ka™~2el~ni когда п > 3, ||tio — ИеЦя^п) < Ä" 11па£ I"1 е-1, когда п = 2.

Теорема 7. Пусть выполнены условия (6), и£ - решение вариационного неравенства (10), щ - обобщенное решение нелинейной краевой задачи

' —Ащ = / в Ü; щ = 0 на Г2;

' ^ + А(п)(щ-ф)- = 0 наТг, (12)

где А(п) = (п-2)ш(п)ап~2С-п > 3, А{2) = 27rG_1. Тогда щ м0 слабо в Hi(ü) при £ —» 0 и

II«о - и£||ь2(п) 0, если £ 0, 9

||~ф)+ + ф + Юе(и0 - ф)~] ~ УМеНад О, если е О, где иге - та же функция, что и в теореме 4

Во второй главе диссертации изучено асимптотическое поведение решений вариационных неравенств для бигармонического оператора в области О пространства Л™ с односторонними ограничениями на подмножествах , е - периодически расположенных вдоль многообразия размерность которого равна (п—в), в > 0. Когда 8 = 0, считаем, что Мп - подобласть Рассмотрены все возможные типы асимптотического поведения решений щ вариационных неравенств при е —► 0 в зависимости от коразмерности многообразия в, соотношения между малым параметром е - периодом структуры и а£)8 - коэффициентом сжатия подмножеств, на которых заданы односторонние ограничения. Предположения об области О, многообразии Мп_8 и подмножестве остаются такими же, как и в п 12-15

В параграфах 2.2 - 2.6 исследована асимптотика при е —> 0 решений следующей задачи найти элемент

щеК£ = {де Н%{Щд{х) > ф{х) п.в на (13)

удовлетворяющий вариационному неравенству

/ Р2«^« - Че)дх > / /(и - Че)йх, (14)

п п

где V — произвольный элемент Ке Здесь В2уВ2и — Е тётг,.

дхгдх:, Эхгдх3 '

Существование и единственность решения задачи (13), (14) следуют, например, из теоремы существования и единственности решений вариационных неравенств для оператора с выпуклыми ограничениями (см 14 гл 2, § 3)

В параграфе 2.2 исследован случай, когда п = 2, 3 и коразмерность з многообразия, вдоль которого расположены подмножества, положительная Доказана следующая

Экланд И , Темам Р Выпуклый анализ и вариационные проблемы М Мир, 1979

Теорема 8. Предположим, что размерность пространства п = 2 или п — 3, а£>5 —* О, когда г —► 0, щ - решение задачи (13), (Ц) Тогда ие слабо сходится кщ в Щ(0.) при е —> О, где

ще Ко = {и € #2°(0) | у(х) > ф{х) на Мп_8} (15)

удовлетворяет неравенству

/ - щ)йх > / /(Л - ио)йх (16)

а п

для любой функции к € Ко

В параграфе 2.3 исследован случай, когда п > 4 и множество расположено вдоль многообразия Мп_5, 4 < 5 < п Доказана следующая

Теорема 9. Пусть п > 4 и О, содержит многообразие Мп-Я, А < в < п Тогда решение задачи (13), (Ц) Щ сильно сходится к щ в Н$(П), при е —> 0 где щ ~ решение задачи

Л 2 f ^ П I ди0

А щ = f,x € 52, ii0[an =

an

Если щ гладкое решение задачи (17), то справедливы оценки: К ~ «о||я°(п) < | In a£)S \~2, если s > 5,

\\ue — ^о||но(п) ^ К | lnae,s |-1, если s — 4

В параграфах 2.4 - 2.6 рассмотрен случай, когда п > 4 и область П содержит многообразие Mn~s, причем s = 0, 1, 2, 3 Пусть последовательности {е} и {a£jS} удовлетворяют одному из следующих трех условий

hm af~nen~s — 0, если п > 5,

е->0 £>5 ' — ' , v

оЧ

lim e4_sl Inа£ J = 0, если п = 4; £-»0 1 ' 1 '

lim at~nen~s = +оо, если п> 5,

(19)

lime4-sj lna£iS| = +оо, если п = 4; '

Ит<4 епеп в — С > 0, если п > 5,

г—»0 Е'8 ~~

Ит1па£ в\ = С > 0, если п = 4 ^^

£-►0 1 1 1

В каждом из случаев (18) - (20) исследовано асимптотическое поведение решения задачи (13), (14) при е —* 0, получен а усредненная задача, доказана сходимость последовательности ие к решению усредненной задачи, в случае (19) найдена оценка скорости сходимости

В параграфе 2.4 исследован случай (18) и доказана следующая Теорема 10. Пусть выполнено условие (18), п > 4 и О, содержит многообразие Мп_е, причем в = 0, 1, 2, 3 Тогда решение задачи (13), (14) и£ сходится слабо в Н^О*) к решению щ(х) задачи (15), (16) при е 0

В параграфе 2.5 исследован случай (19) и доказана следующая Теорема 11. Пусть выполнено условие (19). Тогда решение задачи (13), (Ц) ие сходится сильно в Н^О,) к щ - решению задачи (17) при е —> 0 , причем если щ - гладкое решение задачи (17), то

II Иг - ко||яо(п) < Ка^с8~п, когда п>Ъ

и

||ие — г4о||'н|(п) < К | 1пае,8 |~х ев~4, когда п = 4

В параграфе 2.6 исследован так называемый "критический"случай (20) предельного поведения решений и£ задачи (13), (14) и доказана Теорема 12. Пусть выполнено условие (20), в = 0, 1, 2, 3, иЕ -решение задачи (13), (14) Тогда и£ слабо сходится в Н^О) к щ при е 0, где щ £ Н^ЦО) - функция, удовлетворяющая интегральному тождеству

У £2«о£>2Ыж + В{п) / (щ - ф)-Мх = У /Мг, (21) п м„_» п

для произвольной функции к € Константа В = П(П-2Х^-4М"? >

когда п > 5 и В = когда п = 4. Существование и единствен-

ность решения задачи, соответствующей интегральному тождеству (21), следует из теоремы 2.2 (гл 2 п. 2.2)15.

В параграфе 2.7 исследована задача усреднения аналогичного ваг риационного неравенства с ограничениями, заданными на подмно-жестах, расположенных вдоль границы области. Область и подмножества, на которых заданы ограничения, здесь такие же, как и в п. 1 6 Пусть

щ € Ке = {д € Н2(П,Г2)\д(х) > ф(х) п в.на С^}, (22)

удовлетворяет вариационному неравенству

I В2иеБ2(у - ие)<1х > У /(V - ие)(Ь, (23)

п п

где V - произвольный элемент Ке. Здесь ф{х) € С2(П), / е О), под пространством Нт(С1,7) мы понимаем пополнение по норме Нт(Щ множества бесконечно дифференцируемых в П функций, обращающихся в нуль в окрестности 7, где 7 некоторое в - мерное многообразие в О Получены следующие результаты

Теорема 13. Пусть выполнены условия (18) с в = 1. Тогда решение задачи (22), (23) ие —щ слабо в Яг(^) при в —> 0, где щ— решение задачи найти элемент

щеК0 = {уе Я2(0,Г2) | у(х) > ф{х) п в на Гг}, (24)

удовлетворяющий неравенству

У В2иоВ2{Н - щ)йх > //(Л - и0)йх (25)

п п

для любой функции к 6 Ко

Теорема 14. Пусть выполнены условия (19) с в = 1 Тогда решение задачи (22), (23) и£ сходится сильно кщ - решению задачи (17) в #2(0) при е 0. Если щ - гладкое решение (17), то

IIие - «о||я,(П) < когда п> 5

*2(П) и

|% — Ио||я2(п) < К 11пае | 1 е 3, когда п = 4.

15Ж -Л. Лионе Некоторые методы решения нелинейных краевых задач М : Мир 1972

Теорема 15. Пусть выполнены условия (20) с s = 1 Тогда последовательность решений задачи (22), (23) ие сходится слабо к щ(х) в Яг(О) при е —> 0, где функция щ(х) е Яг(П, Гг) удовлетворяет интегральному тождеству

J D2uoD2hdx + В(п) J (щ- ф)"ЬАх = j fhdx (26)

fî Ti n

для произвольного h G i?2(fi), В ~ ; когда n>5 и

В — когда п = А

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю, доктору физизико - математических наук, профессору Татьяне Ардолионовне Шапошниковой за постановку задач, ценные советы и постоянное внимание к работе

Список работ автора по теме диссертации

[1] Зубова M H Об усреднении вариационных неравенств для би-гармонического оператора с ограничениями на подмножествах, е - периодически расположенных вдоль многообразий // ДАН РАН 2007 т. 414 m с. 142 - 145

Постановка задачи принадлежит Т.А. Шапошниковой, решение задачи принадлежит M H Зубовой (иаяслими* К- ^яЯЪте £Sj)

[2] Зубова M H Об усреднении вариационного неравенствадля бигармонического оператора с ограничениями на подмножествах, периодически расположенных вдоль многообразий большой коразмерности // тр. ИСА РАН 2005, т 17(1), с. 166 - 175.

[3] Зубова M H. Об усреднении вариационных неравенств для бигармонического опреатора с ограничениями на е - периодически расположенных подмножествах // Дифференциальные уравнения 2006, т 42, №6, с 801 - 813

[4] Shaposhmkova Т А , Zubova M N On gomogenization of variational inequalities whith obstracles on e -periodically situated inclusions, FDE 2005, v 12, p 463-473.

Постановка задачи и доказательство теоремы 1 принадлежит Т А Шапошниковой, доказательство теоремы 2 принадлежит М Н Зубовой

[5] Зубова М Н Шапошникова Т А Усреднение некоторых вариационных неравенств с ограничениями на подмножествах, £ - периодически расположенных вдоль границы области Вест. МГУ, сер Математика и механика 2007, №2, с 26 - 37.

Издательство ЦИПИ при механико - математическом факультете МГУ им М В Ломоносова. Подписано в печать 0 ¿/ ¿)с/ д /

Формат 60 х 90 1 / 16 Усл. печ л 1

Тираж 100 экз. Заказ ¿26

0.1 Введение.

0.2 Вспомогательные утверждения

1 Вариационное неравенство для оператора Лапласа

1.1 Постановка задачи.

1.2 Случай многообразия большой коразмерности

1.3 Случай образования препятствия вдоль многообразия

1.4 Случай исчезновения препятствия

1.5 Критический случай.

1.6 Случай, когда ограничения заданы на множествах вдоль границы.

2 Вариационное неравенство для бигармонического оператора

2.1 Постановка задачи.

2.2 Случай малой размерности объемлющего пространства

2.3 Случай многообразия большой коразмерности

2.4 Случай образования препятствия вдоль многообразия

2.5 Случай исчезновения препятствия.

2.6 Критический случай.

2.7 Случай, когда ограничения расположены на множествах вдоль границы.

3 Литература

4 Иллюстрации

Вариационные неравенства возникают в различных задачах физики, таких, как, например, задачи ол полупроницаемых стенках, задачи фильтрации, задачи управления температурой. Вариационные неравенства для бигармонического оператора и оператора Лапласа с ограничениями типа неравенств соответствуют задачам о равновесии пластины или мембраны, расположенной над препятствием. При большом числе подмножеств, на которых заданы ограничения, области в которых ставятся подобные задачи, имеют весьма сложную структуру. Сложная структура области не вносит дополнительных трудностей в доказательство теорем существования и единственности этих задач, однако нахождение этих решений как точными, так и приближенными методами не представляется возможным. Лишь привлекая различные физические соображения, иногда удается приближенно найти основные характеристики изучаемого процесса при помощи замены решений исходных задач решениями более простых приближенных задач. В одних случаях задачи с ограничениями типа неравенств на подмножествах заменяются решениями вариационных неравенств с ограничениями на всем пространстве или на поверхности, вдоль которой были расположены эти подмножества, в других - решениями краевых задач с "усредненньши"граничными условиями или условиями сопряжения на некоторой поверхности.

Подобными задачами занимается теория усреднения, начало которой было положено в работах Пуассона, Максвелла, Релея. Как самостоятельная наука теория усреднения была развита в работах таких математиков, как Н.С. Бахвалов, В.В. Жиков, В.А. Марченко, Е.Я. Хруслов, Е. Де Джорджи, Ж. Лионе, Э. Санчес - Паленсия, Г. Дель Мазо , Л. Тартар и многие другие ([2|- [22] ). Особую роль в теории усреднения занимают работы O.A. Олейник ее учеников ([311, [35], [37], [36], ]38]).

Примерами задач, решаемых теорией усреднения, могут служить краевые задачи для уравнений с частными производными, моделирующие процессы в сильно неоднородных средах, перфорированных материалах, с быстро меняющимися граничными условиями, задачи со сменой граничного условия на малом участке границы, задачи в областях с быстро осциллирующей границей и т.д. Примерами задач, связанных с усреднением вариационных неравенств могут служить задачи с ограничениями типа неравенств на перфорированной части границы области, задачи с быстро меняющимися ограничениями (см., например, работы [9], [171, f19l> i18l> f25l> i31l> i32l> f43D

В 60-х - 70-х годах прошлого столетия в работах В.А. Марченко и Е.Я. Хруслова [9], [10] впервые были рассмотрены задачи усреднения в областях с так называемой мелкозернистой границей. Краевое условие в такого рода задачах ставится на границе множества сложной структуры, состоящего, например, из большого количества (как правило, непересекающихся) малых областей, расположенных близко друг к другу. При этом изучается поведение решения, когда число областей неограниченно возрастает, а расстояние между ними и их размеры стремятся к нулю. Задачи в подобного рода областях возникают при исследовании, например, дифракции волн различной природы на экранах с большим числом мелких дырок, деформации упругих сред с большим числом мелких неоднородностей (пустот, трещин и т.п.). Позднее, методы, разработанные в теории усреднения дифференциальных уравнений с частными производными, позволили получить дальнейшее продвижение в задачах, рассмотренных В.А. Марченко и Е.Я. Хрусловым, для областей со сложной границей, обладающей периодической структурой.( [35], [44] и др.)

Основы теории вариационных неравенств были заложены в 60-х годах прошлого века в работах Ж.-Л. Лионса и Г. Стампаккьи [5], [6], Г. Дель Мазо [2], [3], Г. Фикеры [11[, Е. Санчес - Паленсия [12]. В работах этих авторов были изучены вопросы существования и единственности решений вариационных неравенств при достаточно общих предположениях об операторе, задаче на нахождение минимума которого соответствует вариационное неравенство, а так же получены некоторые результаты о регулярности решений. Впервые задачи усреднения вариационных неравенств с ограничениями, зависящими от параметра, были рассмотрены в работах Г. Дель Мазо. К. Пикар. Например, в работах Г. Дель Мазо [4] изучалась асимптотика решений задачи минимизации функционала / | Du |2 +д(х,и)с1х на множестве функций с двусторонними ограничениями фп < и < фп, в случае, когда ограничения являются элементами некоторых функциональных последовательностей. В монографии К. Пикар [1] была рассмотрена задача усреднения вариационного неравенства для бигармонического оператора с ограничениями типа односторонних неравенств на подмножествах, зависящих от малого параметра, расположенных с малым периодом по всей области.

При изучении задач усреднения вариационных неравенств в работах Г. Дель Мазо [2] и К. Пикар [1], [7|, [8] использовалось понятие Г - сходимости, емкости множеств и техника интегральных представлений. В работах [7|, [8] было изучено асимптотическое поведение решений вариационных неравенств для эллиптических операторов с односторонними ограничениями, составляющими сходящуюся в некотором пространстве последовательность. В зависимости от предельного поведения функций, задающих ограничения, были выделены несколько качественно различных типов предельных задач. В первом случае предел последовательности решений будет решением вариационного неравенства с ограничением типа неравенства на множестве меньшей размерности, причем в этом случае предельная функция более гладкая, чем решения допредельной задачи. Во втором случае предел последовательности решений будет решением задачи другого типа. В зависимости от асимптотического поведения функций, задающих ограничения, могут возникнуть интегральные слагаемые или слагаемые, содержащие меру области, на которой заданы вариационные неравенства. В этом случае ограничения типа неравенств отсутствуют. Позднее, в работах [12], [15]. [41], [42] были изучены асимптотики решений вариационных неравенств для операторов второго порядка с периодическими быстро меняющимися коэффициентами в случае, когда функции, задающие препятствие, являются элементами некоторых функциональных последовательностей или ограничения заданы на перфорированной части границы. При этом в рассматриваемых задачах обычно доказывалась Г - сходимость и слабая сходимость, в то время, как вопрос скорости сходимости исходных задач к усредненным не затрагивался.

В диссертации рассматривается задача усреднения вариационных неравенств для бигармонического оператора и оператора Лапласа с ограничениями типа неравенств, заданными на подмножествах, которые расположены вдоль некоторых многообразий. При этом диаметр подмножеств, на которых заданы ограничения и расстояние между множествами зависят от малого параметра. При исследовании асимптотики решений автор применяет методы теории усреднения дифференциальных операторов, общей теории уравнений в частных производных а также методы функционального анализа и теории пространств Соболева.

Задачи усреднения задачи Дирихле для бигармонического и полигармонического операторов в областях перфорированных вдоль многообразий большой коразмерности были изучены в [33]. [37].

Первая глава диссертации посвящен а задаче усреднения решений вариационного неравенства для оператора Лапласа с ограничениями типа односторонних неравенств на множествах расположенных как по всей области Q (s = 0), так и вдоль некоторого многообразия M„s С размерности п — s. Диаметры подмножеств, составляющих а£ < 2е, их количество Ne = d^e9-11, где е -малый параметр, an- размерность пространства.

Сформулируем основные результаты, полученные в первой главе. Пусть О, - ограниченная область в Rn с гладкой границей ¿Ю; пусть Mn—g— гладкое многообразие размерности п — s, s > 0. В случае, когда s = 0, Mn-S совпадает с Q. Пусть Pl~s— точка принадлежащая Mn-S, j = 1,., Ne и N£ = do£s~n, do = const > 0. Через Tj в дальнейшем будем обозначать шар радиуса т с центром в точке Pl~s, а через границу этого шара. Предположим, что Т1а ПТ^ = 0 для г ф j, i,j = 1,., N£, a£jS < е. Будем предполагать, что точки Pis расположены так, что шарьт радиуса е с центрами в этих точках образуют конечнократное покрытие многообразия Mns, причем кратность этого покрытия ограничена постоянной, не зависящей от

В параграфах 1.2 - 1.5 при заданных функциях /(х) е Ь2^1) и ф(х) € Сд (О) исследуется асимптотика при е —> 0 решений следующей задачи: найти элемент и£ е К£ = {д б Я?(ПМ®) > Ф{х) п.в.на Î1) е. Пусть Gts) = Е%3. N удовлетворяющий вариационному неравенству где V - произвольный элемент К£. Существование и единственность обобщенного решения задачи (1), (2) следует, например, из теоремы существования и единственности решений вариационных неравенств для оператора с выпуклыми ограничениями (см. |26])(гл.2,§3).

В параграфе 1.2 исследован случай, когда коразмерность многообразия Мп-$ 5 > 2 и П С Яп, п > 3. Доказана следующая теорема: Теорема 1. Пусть С Яга, п > 3 и О, содержит многообразие Мп-$, 2 < в < п. Пусть и£ - решение задачи (1), (2). Тогда и£ сходится к щ в //1 (Г2) при е —> 0, где щ - гладкое решение краевой задачи

Ам0 = 6 и0\дп = 0. (3)

Справедлива оценка: ||и£ - «оИя^п) < Ка£~2е3~п.

Пусть О, с п > 2 содержит многообразие Мп-3, причем 0 < в < 2. Пусть последовательности {е} и {а£} удовлетворяют одному из следующих трех условий:

1та1.п£п 8 = 0, если п > 3, £-.0 £>5 ' ~

Птг Ьа^! = 0, если п = 2;

Ита2 ,п£п в = +оо, если п > 3, £-»0 £'3 ' —

1ш1е2~5|1па£ с| = +оо, если п = 2; £—»0 ' ' '

Ит а2~пеп-$ = С > 0, если п > 3,

Нт£25|1па£з| = С > 0, еслип = 2. £-+0 ' ' '

4)

5)

6)

В каждом из случаев (4) - (6) автор исследует асимптотику решения задачи (1), (2) при е —► 0, выписывает предельную задачу, доказывает сходимость последовательности и£ к решению усредненной задачи и в случае (5) находит оценку ее скорости.

В параграфе 1.3 исследован случай (4) и доказана следующая теорема:

Теорема 2. Пусть и£ - решение задачи (1), (2) и выполнено условие (4). Тогда щ сходится слабо в Н^О) к щ при £ —► О, где щ - решение задачи: найти элемент щ е К0 = {у е Я?^) | у(х) > ф(х) п. в. в М„3}, (7) удовлетворяющий неравенству

IVи0У(к - и0)(Ь > / /(Л - щ)йх (8) п п для любой функции к £ Ко.

В параграфе 1.4 исследован случай (5) и доказана следующая теорема:

Теорема 3. Пусть и£ - решение задачи (1), (2); щ - решение задачи (3), и выполнены условия (5). Тогда и£ сходится в #х(Г2) к щ при е —> 0, и справедливы оценки: 11ме ~~ ^оЦя^п) < Ка%~2е3~п, если п > 3 и

Ни£ - ио||я,(П) ^ Ке*~2 I 1пае Г1, еСЛи п = 2.

В параграфе 1.5 исследован так называемый "критический"случай (6) предельного поведения решений и£ задачи (1), (2) и доказана следующая теорема

Теорема 4. Пусть выполнены условия (6); и£ - решение задачи (1), (2). Тогда и£ слабо сходится в к щ при е —► 0, где «о €

Н^П) - функция, удовлетворяющая интегральному тождеству

I УиоУМх + С I (щ- ф)~Ш = I /Мх, (9) п м„-в п для произвольной функции Н € Я^П), причем имеют место оценки:

1К - иоИзд 0, когда е О,

-ф)+ + ф + и)£{щ - ф)~ - и£)Над 0, когда е 0.

Здесь и)£ 6 Я° 10С(П,п) - срезающая функция, построенная следующим образом: положим = {\х ~ РЛ2~п ~ (а£)2-п}/{(еЬ)2~п - (ае)2""}, з = 1,., ДГ£, для х е Т*Ь\Т1, где Ь = сопбЬ, а£ <еЬ < е/2, Ие -количество шаров, составляющих .

Построим функцию ги£, полагая ю£ = и){ при х € \ и ю£ = 0 при х Е гп£ = 1 при хеЯп\ и

В зависимости от коразмерности многообразия Мп-8 и его расположения, интегральное тождество (9) может быть записано в терминах различных уравнений и краевых условий. В случае, когда 5 = 0, и множества С?^ расположены по всей области П, щ(х) является обобщенным решением задачи:

-Ди0 + С{щ - ф)~~ = /, х е О, и0 = 0, х е дП, (10) где С = а){п){п - 2)С~1, для п > 3.

В случае, когда в = 1 и Мп-\ С О, Ио(я) является обобщенным решением задачи: Ои '

-Ащ = /, х е й, щ = 0, х 6 dv с(щ-ф)~ = о,хе мпi, где (7 = си{п)(тг — 2)С\ если п > 3, [у] - скачек функции v на гиперповерхности Мп-\, (щ - ф)~ = inf{wo - 0,0}.

Результаты, полученные в случае s = 0, были опубликованы в статье [47].

В параграфе 1.6 рассмотрена задача усреднения аналогичного вариационного неравенства с ограничениями, расположенными вдоль границы области. Предполагается, что Q - ограниченная область в Rn с липшицевой границей dQ, расположенная в полупространстве хп > 0; Ti = {dfi П {хп = 0}} ф 0; дП \ = Г2. Обозначим Go = {х в Rn : \х - Ро| < а}, где Ро - центр куба Q = {х € Rn : 0 < Xj < 1 = 1 ,.,п}. Предположим, что Go С Q. Положим G£ = Y,z€z'{aeGo + — U^G^, где Z' - множество векторов вида z = (zi,.zn-1,0), Zj (j = 1,. ,n - 1) - целочисленные; G¿£ — n— мерный шар с центром в точке Pj радиуса а£а, 0 < а£а < е/2. Не ограничивая общности, считаем, что G^,., G^}^ - Ree те шары из совокупности Ge, для которых У3£ С Q U Гь j = 1,., N(e), где Y¡ = {х : \xí - P¡| < e/2, i = 1,. ,n}; N{e) * e^mesY^

Задача состоит в том, чтобы при заданных функциях f(x) 6 £г(Г2) и ф(х) е Gq(Q) исследовать асимптотику при е —> 0 решений следующей задачи: найти элемент и£(х) £ К'£ = {v £ Гг)| > ф(х) п.в. наGle, j = 1,. ,N(e)}] ф(х) е #i(f2,r2), удовлетворяю-]ций вариационному неравенству

J Vw£V(t> - u£)dx > J f(v - u£)dx, (12) n n где v- произвольный элемент K'£, f £ ¿2^), VuV<? = £ fj?.

7 = 1 J ^

В параграфе 1.6 приведены следующие результаты, аналогичные результатам пунктов 1.3-1.5, а именно:

Теорема 5.Пусть выполнены условия (4) с s = 1, и£ - решение неравенства (12). Тогда ||и£—здЦя^п) 0 прие —» 0, гдещ G К'0 = {f G Hi(p*, Г2) I v > ф п.в. на Г1} удовлетворяет вариационному неравенству

J Vu0V(h - u0)dx > J /(Л - u0)dx, (13) п n для любого h G К'е.

Теорема 6. Пусть выполнены условия (5) щ- обобщенное решение задачи (3). Тогда и£ -1 но слабо в Я^П) при е —► 0.

В так называемом критическом случае щ является обобщенным решением из пространства #i(fi,r2) нелинейной краевой задачи:

Дио = / в Q; «о = 0 Г2; ' % + А{п)(щ - ф)~ = 0 на Гь (14) где А(п) = (n — 2)(j(n)an-2Ci, п > 3; А{2) = 27гС^"1. Доказана следующая

Теорема 7. Пусть выполнены условия (6), и£ - решение вариационного неравенства (12); щ - обобщенное решение краевой задачи (Ц). Тогда

Нио-Мвд -►0,

II v[(«0 - Ф)+ + ф + Юе(щ - Ф)~] - Vw£|U2(n) 0, если е —> 0.

Вторая глава диссертации посвящена задаче усреднения решений вариационного неравенства для бигармонического оператора с ограничениями типа односторонних неравенств на множествах расположенных как по всей области Q (s = 0), так и вдоль некоторого многообразия M„s С £1 размерности п — s. Диаметры подмножеств, составляющих а£>3 < их количество N£ = do£s~n, где е - малый параметр, а п - размерность пространства.

Сформулируем основные результаты, полученные во второй главе. Пусть ft - ограниченная область в Я" с гладкой границей Ш;

Mn—g— гладкое многообразие размерности n — s и s > 2. Пусть Pn-S— точка принадлежащая M„s, j = 1,., Ns и Ne = does~n, do = const > 0. Обозначим через шар радиуса o£)S с центром в точке Pn~si где £ малый параметр, о^« < е. Предположим, что Тде< П7*. =0 для г Ф j, i,j = 1,.,Ne. Через Г/ в дальнейшем будем обозначать тар радиуса т с центром в точке Рп-$, а через дТ-j. Гранину этого шара. Будем предполагать, что точки Ph-S расположены так, что шары радиуса е с центрами в этих точках образуют конечнократное покрытие многообразия Mns, причем кратность этого покрытия ограничена постоянной, не зависящей от е.

Пусть Gts)=%Tle.

В параграфах 2.2 - 2.6 при заданных функциях f(x) 6 Ьг(^) и ф{х) G Cq(Q) исследуется асимптотика при е —» 0 решений следующей задачи: найти элемент и£ е К£ = {д е Н$(П)\д(х) > ф{х) п.в. на G^}, (15) удовлетворяюгций вариационному неравенству j D2u£D2{v - u£)dx > J f(v - uE)dx, (16) n n где v— произвольный элемент K£. Здесь D2vD2u = £ ofdxj dtdx,'

Существование и единственность решения задачи (15), (16) следует, например, из утверждений, доказанных в [26] (гл.2,§3).

В параграфе 2.2 исследован случай, когда Q С Rn, п = 2, 3 и коразмерность многообразия, вдоль которого расположены подмножества, 5 > 0. Доказана следующая теорема:

Теорема 8. Предположим, что размерность пространства п = 2 или п = 3, а£<$ —0, когда е —> 0, ие - решение задачи (15), (16). Тогда и£ слабо сходится к щ в Я°(П) при е —» 0, где щ решение задачи: найти элемент u0£K0 = {ve Я2°(0) | v{x) > ф(х) в Mns}, (17) удовлетворяющий неравенству

J D2uQD2(h - u0)dx > J f(h- u0)dx, (18) для любой функции ¡г е Ко.

В параграфе 2.3 исследован случай, когда С Яп, п > 4, и множество расположено вдоль многообразия 4 < к < п. Доказана следующая теорема:

Теорема 9. Пусть п > 4 и П содержит многообразие Мп-к, 4 < к < п. Тогда решение задачи (15), (16) ие сильно сходится к ио в #2(П), гари £ —► 0 где щ - гладкое решение задачи ll

A2u0 = f,xeü, и0\т = 0. (19) дп

При этом справедливы оценки: \\и£—«о|1я°(п) ^ Ka£*k | ln(2a£jfc) 1 если к> 5, ||ие — ^na£,4 I-1) к = 4.

Пусть область П С /2", п > 4 содержит многообразие Mns, причем 0 < s < 3. Пусть последовательности {е} и {öe)S} удовлетворяют одному из следующих трех условий: lim a\~nen~s = 0, если п > 5, е-о £ lime4 s| Ina£-J= 0, если гг = 4; £-+0 1 * 1 * ' limaj чпеп 5 = +00, если п > 5, £—»0 ~ lime4-s| lnae J =+оо, если п = 4; £-♦0 1 ' 1 lim a4Tn£n~3 = С > 0, если п > 5, lim. | lna£)S| = С > 0, если п = 4.

20)

21)

22)

В каждом из случаев (20) - (22) автор исследует асимптотику решения задачи (15), (16) при е —> 0, выписывает предельную задачу, доказывает сходимость последовательности и£ к решению усредненной задачи и в случае (21) находит оценку ее скорости.

В параграфе 2.4 исследован случай (20) и доказана следующая теорема:

Теорема 10. Пусть выполнено условие (20) и О, С Яп, п > 4 содержит многообразие Мп-3, причем 0 < 5 < 3. Тогда решение задачи (15), (16) и£ сходится слабо в к решению щ(х) задачи (17), (18) при е -> 0.

В параграфе 2.5 исследован случай (21) и доказана следующая теорема:

Теорема 11. Пусть выполнено условие (21). Тогда решение задачи (15), (16) и£ сходится сильно в #г(^) к щ - решению задачи (19) при е —у 0 , причем имеют место следующие оценки: ||«£ ~ уо|1я2°(п) < Ка"~4е$~п, когда п > 5 и \\и£ - ио||я°(п) ^ к I 1па£)5 |-1 е8~4, когда п = 4.

В параграфе 2.6 исследован так называемый |,критический"случай (22) предельного поведения решений и£ задачи (15), (16) и доказана теорема:

Теорема 12. Пусть выполнено условие (22); и£ - решение задачи (15), (16). Тогда и£ слабо сходится в Н^О,) к щ при е —> 0, где щ € #2(Г2) - функция, удовлетворяющая интегральному тождеству

I й2иоВ2Ш + В(п) | (и0 - ф)~Ш = I //«¿ж, (23) п м„, п для произвольной функции К е ЩКонстанта В = П(га-2)(^~4М") в случае п > 5 и В = ^ когда п = 4.

В случае, когда з = О, и множества расположены по всей области О, задача, соответствующая интегральному тождеству (23) может быть записана в терминах уравнений и краевых условий, а именно: щ(х) является обобщенным решением задачи:

А2и0 + В(п){и0-ф)- = / в П, (24)

В параграфе 2.7 рассмотрена задача усреднения аналогичного вариационного неравенства с ограничениями, расположенными вдоль границы области. Пусть подмножества С^71-1) расположены вдоль части границы области £1. Пусть - область с липшицевой границей дО,, расположенная в полупространстве хп > 0; Рх = {Ш П {хп = 0}} ф 0; ЯДГх = Г2. Пусть С<?~1) = £ (То, + ег) = где Ъ' множество векторов с целочисленными координатами вида 2 = (¿1,., 0) таких, что С^1-1) С Л

В области П рассмотрим задачу: найти элемент и£ек£ = {де Я2(П,г2)|д(х) > ф{х) п.в.на С?^}, (25) удовлетворяющий вариационному неравенству

J D2ueD2(v - u£)dx > J f(v- us)dx, (26) n n где v - произвольный элемент K£. Здесь ф{х) G С2(П), / 6 ^г(^), под пространством Ят(П, 7) мы понимаем пополнение по норме Hm(Si) множества бесконечно дифференцируемых в Q функций, обращающихся в нуль в окрестности 7, где 7 некоторое s - мерное многообразие в П. Существование и единственность обобщенного решения задачи (1), (2) следует, например, из утверждений, доказанных в [26j(cM. гл. 2, § 1). Получены следующие результаты:

Теорема 13. Пусть выполнены условия (20) с s = 1. Тогда решение задачи (25), (26) ие щ при е —» 0 в H^ity, где щ— решение задачи: найти элемент u0eK0={ve Я2(П, Г2) | v(x) > ф(х) п. в. на Гх>, (27) удовлетворяющий неравенству

J D2u0D2(h - u0)dx > J f(h - u0)dx, (28) n n для любой функции h G Ко.

Теорема 14. Пусть выполнены условия (21) cs = 1. Тогда решение задачи (25), (26) щ сходится сильно kuq - решению задачи (19) при £ —► 0 в Яг(О), причем имеют место оценки: ||ие — щ\\2н2(п) < Ка"~*е1~п, когда п > 5 и ||и£ - «о||я2(П) < К \ Ыа£ \ е-3, когда п = 4.

Теорема 15. Пусть выполнены условия (22) с s = 1. Тогда последовательность решений задачи (25), (26) и£ сходится слабо в Яг(О) к щ(х) при £ —► 0, где функция щ(х) £ Яг^Гг) удовлетворяет интегральному тождеству

J D2u0D2hdx + В(п) J{и0 - ф)-hdx = J fhdx (29) п rt п для произвольного h б Н$(П), где В = "("-2)fo-4Mn) когда п > 5 и В = ^ когда п = 4.

Отметим, что случай пространственного распределения подмножеств, на которых заданы ограничения, был опубликован в [47].

Аналогичные задачи (случаю расположения подмножеств по всей области) рассматривались в работе [1] и использованием понятия Г - сходимости.

Благодарности. Автор искренне благодарен своему научному руководителю, доктору физико - математических наук профессору Татьяне Ардолионовне Шапошниковой за постановку задач и постоянное внимание к работе.

0.2 Вспомогательные утверждения

В этом параграфе мы сформулируем ряд утверждений из функционального анализа, которые будут нам необходимы в дальнейшем. На основании следующей леммы можно утверждать о существовании предела у ограниченных в Н^П) и Яг(П) последовательностей: Лемма. (Реллиха) Пусть - ограниченная область в Нп с лип-шицевой границей, {ип}, ип £ Н1{0) - последовательность функций, ограниченных в Я^П) равномерно по п. Тогда существует функция щ 6 Н1{0) и подпоследовательность {«т} С {ип}, такая, что ит —► Щ сильно в ^ ~1 слабо в Ьг(^), г = 1 ,.,п.

В следующей лемме приводится неравенство для нормы слабого предела последовательности в гильбертовом пространстве. Доказательство этой леммы можно найти, например, в [27]. Лемма. Если последовательность {ип} сходится к и слабо в гильбертовом пространстве Н, то

N1 <Й8эЫ <Йш |Ы, причем правая часть этого неравенства конечна.

Также мы будем пользоваться теоремой о полной непрерывности оператора вложения И^^ в Ьд* [20]:

Теорема. Если 1 < р < оо, п > 1р, э > п -1р, < область

0 представляет собой сумму конечного числа ограниченных областей, каждая из которых является звездной относительно своего шара, то оператор вложения пространства V/® в Ья. на сечении О. любой гиперплоскостью 5 измерений вполне непрерывен, то есть для всякого ограниченного мноэ/сества {0} С У/® множество {ф} является компактным в Ьч* на этом сечении, где функции ф совпадают с ф почти всюду на О.

Замечание. Пусть в области О, задана суммируемая функция ф(х Пусть Е С П - гладкое многообразие в измерений.

Будем говорить, что ф{х\,. ,хп) непрерывна в смысле если

1 | ф(Р + АР) - ф(Р) йЕ 0 при АР 0, каково бы ни е было многообразие Е, лишь бы сдвиг Е на вектор АР лежал в £1 Из теоремы, приведенной выше, следует, что для всякой функции ф 6 функция {ф} непрерывна в смысле Ьд*г3, если б > п — 1р и

В [29| доказано неравенство Фридрихса в следующей форме: Лемма.(Неравенство Фридрихса) Пусть П - ограниченная область в П,п с липшицевой границей и Ь - подмножество дС1, имеющее ненулевую меру Лебега на 80,. Тогда для любой д{х) € Н1(р.,Ь) справедливо неравенство

1Ы11(п) < с константой С > О, не зависящей от д(х). Если Ь = 80,, то оценка справедлива для любой ограниченной области П.

Для доказательства существования и единственности решений различных вариационных неравенств неоднократно будет применяться теорема [26]:

Пусть V - рефлексивное банахово пространство и О - непустое замкнутое выпуклое подмножество V. Возьмем функцию ^ : О —> Я и предположим, что

Р выпуклая, собственная и полунепрерывная снизу (30) Мы будем изучать задачу минимизации

ЫР(и). (31)

Любой элемент иеб такой, что называется решением задачи (31). Необходимое условие существования решения дается в следующем предложении:

Теорема. Допустиль, в дополнение к (30), что множество О ограничено, или что функция F коэрцетивна на С, то есть что Пш^(и) = +оо при и € С, когда ||и|| —> оо. Тогда задача (31) имеет по меньшей мере одно решение. Решение единственно, если Р строго выпукла на (?.

Нас будет интересовать непосредственно из этой теоремы получаемое следствие:

Замечание. Пусть а(и, у) - непрерывная симметричная билинейная форма на V, коэрцетивная в том смысле, что а(и, и) > с*||и||2

Уи £ V, где а > 0. Если задать I е V*, то найдется единственное и, на котором достигается минимум на (? функционала F(t;) = а(у,у) -2 <1,у > .

Неоднократно нам понадобится лемма Минти [23]. Пусть X - рефлексивное банахово пространство, X' его двойственное относительно билинейной формы (•,•): X' х X —> В, и К С X - замкнутое выпуклое множество.

Определение Отображение А: К X' называется монотонным, если (Аи - Ау, и-у)> 0 для любых и, у € К. Определение Отображение А: К —у X' называется непрерывным на конечномерных подпространствах, если для каждого конечномерного подпространства М С X отображение А : К П М X' слабо непрерывно.

Лемма. (Минти) Пусть К - замкнутое выпуклое подмножество X и А: К —► X' монотонное а непрерывное на конечномерных пространствах отображение. Тогда для того, чтобы элемент и € К удовлетворял неравенству

Аи, у - и) > 0 \/у е К, необходимо и достаточно, чтобы

Ау,у-и)>0\/у е К.

Приведем так же формулировку теоремы единственности, доказательство которой можно найти [28] (см. гл.2 §2):

Теорема Пусть V — рефлексивное сепарбанахово пространство. Пусть оператор А: V —» V' обладает следующими свойствами: оператор А семинепрерывен, оператор А монотонный; лу,у) „ м

I, „ —> оо при М —» оо, И норма \\у\\ строго выпукла на единичной сфере б V,

А(и) = А(у) ||м|| = ||г;||.

Тогда уравнение А(и) = /, / € V' допускает единственное решение.

Сформулируем важную лемму, доказательство которой можно найти в [35]

Лемма 1. Пусть и 6 Н1{У£), где У£ = ¿>о = Я - единичный куб, Со— объединение конечного числа непересекающихся областей в (3, таких, что Со С <3 и каждая из них диффеоморфна шару. Тогда

II «\\ЪМ)< К{аГ1£~п || и \\12{уе) +а£ || Vu |||2(п)}, если п > 3,

Докажем две леммы, в которых выводятся оценки для отрицательных частей функции, при условии, что на некоторых подмножествах функция положительна:

Лемма 2 Для любой функции V € Н^Тсе) такой, что ь(х) > О п.в. в Тв£, а£ < Се, где Тй£ и Тс£ - концентрические шары с радиусами а£ и Се соответственно, справедливо следующее неравенство:

II Н1(7Ы< Кепа2Г || Vu \\1{ТсЛТае) если п > 3, (34) II v- \\12{Тс£)< Ке21 lrnfe HI Vv \\12(тСе\тае) если n = 2. (35)

Доказательство: Рассмотрим последовательность гладких в Тс£ функций vT таких, что vT > 0 в Та£, ||uT —ьЦн^Тсе) О ПРИ т 0. Имеем:

32)

II и ||ЪМ)< К {а£е~2 II « II12Ш +а£\п~ || Vu ||2ад)} если п = 2.

33) откуда

Тогда

Умножая обе части этого неравенства на якобиан сферической замены гп1Ф(0ь., фп) и интегрируя по ., фп, получим, что | v~ |2 ds < Ar"1a2-n||VvT||Li{TCe\Tac) в случае n > 3,

11 v~ I2 ds < Krn~l I In a, I \\VvT\\L2{Tce\Tae) в случае n = 2. sr

Проинтегрируем обе части неравенства по г от а£ до Се:

II vr |Ц(гсдтае)< Кепа2~п || Vv ||l2{Tce\Tas) в случае п> 3,

II vr lli2(rC£\ra£)< Кеп | lnae HI Vv |||2(Гсдтаг) в случае п = 2.

Переходя к пределу при т 0, получим утверждение леммы 2.

Лемма 3 Для любой функции v 6 #2{Тс£) такой, что v(x) > О п.е. в Та£, гдеТсе иТае - концентрические шары с радиусами Се и ае соответственно, ае < Се, справедливы следующие неравенства:

II 1Й,(ЗД< II V. ||ij(ib>Vrj +atv || Л Щ^дщ},

36) если п > 5,

II II1свд< 1| V« ||!2№дт«,) + 1I 1| D2v |Цг№ЛТи)} ,

37) если п= 4,

II »■ 111(ГС.\Т«)< К{ег II W 1| D2v \\ll(TaArJ,

38) если п=3,2.

Доказательство: Рассмотрим последовательность гладких в Тс£ функций vT таких, что vT > 0 в Та£, \\vT - v\\нг{тС£) О ПРИ т —» 0. Имеем:

Щ = J ТГ^' а£,г]П{фт(*)<0} °6 откуда и dvT 1 д > (111 11 г П ij=laF dXi dvT дх. edg.

Тогда v. дут дх, вЛе]

Умножая обе части этого неравенства на якобиан сферической замены гп1Ф(01,. ,фп) и интегрируя по 01,., фп, получим, что I V- I2 <1з < К - г2 / I Чут I2 <1з + а*пгп1 / I ЧУг I2 йз+ п . А дх; дут дхэ i а€

Проинтегрируем обе части неравенства по г от а£ до Се:

II «Г \\Ъ(тс,\т.,)< К {сг II V* ||2МЗЬдг«) II Щ^дщ + когда тг > 5,

II ^ II 1(тсе\тае)< К [е2 II V,, \\\2{тслтае) + 11п— | 41 ^Уг || 12{тсе\та£) + когда п = 4,

II ^ 1112(тсдта£)< К {с2 II II 12{ТсЛТае) +е3 II \\12{ТсЛТае) + когда п = 2,3.

Для оценки последних слагаемых воспользуемся леммой 1. Применяя (32). (33) получим, что | Чут |Чх<К {аГ1^ || Чщ || 12(ТсЛТае) +а£ || В2ут \\ЪрсЛТи)}, при п > 3, | Чут |2 йх < К |а£Г21| \\12{ТсАтаЕ) " ^ '

При 71 — 2. Отсюда

II «Г Н12(гС£\га£)< К {с2 II VI;, II 12{ТсЛТае) +а*Г£п II \\1{тсЛта£) + а?||У^г||12(ГсДГа£)}, в случае п > 5,

II »Г 1|2й(Тс\т„)< К {г II V»г [[1(гсДГ„, II \\1,(тсЛт'1} + в случае п = 4,

II Щ(тслтв£)< К{£2 II \Ц{ТсЛТа£) II \\12{ТсЛТае)}, в случае п = 3,

II I\Ъсг*\ти)< «{е2 II \\%(тС£\та£) Н ИЫтС£\тае) [, в случае п = 2.

Переходя к пределу при т —> 0 в полученных неравенствах, получим утверждение леммы 3.

В [33] доказана следующая лемма:

Лемма 4. Пусть у Е Ня(П,дС1), Мп-3 - гладкое многообразие размерности п — в, в < 2д, Мп-8 бП, « пусть шары радиуса Ье образуют покрытие Мп5 конечной кратности, не зависящей от е. Тогда е1'5 J vds — В(п) J vdx

Ujdri Мп-, КеЦу\\1Ю, где В{п) = bn~lu(n) - площадь единичной сферы в Rn, 7 = const > 0.

Докажем утверждение, которое содержит аналогичный результат для случая, когда многообразие Mns представляет собой часть границы:

Лемма 5. Пусть ф £ Hi(Q). Покажем, что £ / Ф2ds - bn~lu{n) J фЧх Н 0 j=ldci г при е —> 0, где и>(п) - площадь единичной сферы в В,п.

Доказательство. Введем функцию £{у){у — €~1х), являющуюся решением краевой задачи: А£ = 0у ЕС}\(ГЬ1 Сь = {у : \у - Р0\ <Ь}; й\дсь = 1; |к = -МЬ = Ъп~1ф), /1 = {уедЯ-.уп = 0}; 0; = 0; 'ь где и(п) - площадь поверхности единичной сферы в Нп.

Продолжим функцию периодически на каждую ячейку У^ = и полученную функцию обозначим ££(х). Имеем

Ще) £ / ф^-Ь^ф) 1^(1x1 = ^(е) , „ Т-РЗ I Е / <

3=1уз- е

• „ Х-РЗ г Е /-)|&<СЕ / у; £ ;=! у;

Ьг Ьс

С(Е / №|2 Над - 0, когда е - 0.

7=1 уз

1Ье

Здесь П = (и^Г/) П {хп = 0}. Таким образом, мы получаем утверждение леммы.

Распространим утверждение Леммы 4 на случай, когда 5 = 0 и подмножества распределены по всей области П периодически с малым периодом £. Пусть С£ = иг€2(а£Со + 4ег) П П£, 0£ = {х € С1\р(х,д&) > £•}, аЛ)о С £<2, £• - положительный параметр. 0 < а£ < ¿е, £ - множество векторов г с целочисленными координатами. Имеет место

Лемма 6. Для любого д € Я^О) имеет место оценка:

Ее I дйх — В(п)Удс1х •?=1 ад? п ^И^Няцп), где В(п) = и(п)— площадь единичной сферы в К1. Доказательство: Рассмотрим функцию £ = £(у), у — § : Д£ = /х в^Л?!

§ \т=1. и |а?4=°

Здесь = {х \ —2 < Х{ < 2, г = 1,. .п}, Т\ - единичный шар, а число (1 выбрано так, чтобы существовало решение задачи Неймана: » = гЩту Пусть (««да = 0.

Введем вектор - функцию Р£{х) = (Ре\., Р£") , где Р3£ = Ц^-. Здесь £(|) - решение задачи Неймана на ячейке. Рассмотрим интеграл

I (Цух{Р£д{х))йх = I д{х)йз. Я1\П №

Левая часть этого равенства может быть преобразована в виде:

I (Иух(Р£д{х))йх = е~1ц / д(х)<Их + / | 11 Чхд | ёх. QL\W &ехп ода

Оценим разность: е J д{х)йэ - ц J д{х)йх

Ке I | Уд | дх. сШ

Таким образом, просуммировав по у, получим е I д(х)с18 — ¡1 ! д{х)йх ияШ Ке\\д\\нт. (39)

Теперь покажем, что д / д(х)йх -> В(п) / дс1х при е 0. Расхода п смотрим функцию а(у) = ЦХя^ХГ^у) ~ Продолжим ее периодически с периодом (^4 на все К1. Среднее этой функции по ячейке а(у))ддТ1 = 0. Воспользуемся леммой ([31], гл.1, §1). Получим, что йх Се\\д\\нт, х I д{х)<Ы - — / д{х)(кс иМЛП п

Из неравенств (39), (40) следует утверждение леммы. Ке\\д\\ит. (40)

1. E. De Giorgi G. Dal Maso - P. Longo Г- limiti di ostacoli// Atti Accad. Naz. Lincei, Rend. Cl. Sci. Fis. Mat. Natur., (8) 68 (1980), pp 481-487

2. H. Attouch C. Picard Variational inequalities with varying obstacles: The general Form of the limit problem // J. of Functional Analysis 50, 1983, pp 329-386.

3. Марченко В.А. Хруслов Е.Я. Краевые задачи в областях с мелкозернистой границей Киев. 1974• 279 с

4. Spagnolo S. Convergence of energy for elliptic operators // Numerical Solutions of Partial Differential Equations III, Synspade 1975, Academic Press, 1976, pp. 469-498.

5. Bensusann A., Lions J.-L., Papanicolau G. Asymptotic analysis for periodic structures Amsterdam: Noth- Holland, 1978

6. G. Dal Maso, Trebeschi P. Г limit of periodic obstacles // Acta Appl. Math. 2001. v. 65. p 207-215.

7. Бахвалов H.C., Папасенко Г. П. Осреднение процессов в периодических средах М. Наука, 1984, 352 с.

8. Панасенко Г.П. Асимптотики высших порядков решений задачи о контакте периодических структур // Мат. сб. 1979, т. 110 (152), №4(12) с. 505-538.

9. Сапчес-Паленсия Э. Неоднородные среды и теория колебаний М. Мир, 1984. Щс.

10. D. Cioranescu, J. Saint Paulin Homogenizatioin open sets with holes //J. Math. Anal. Appl, 71,1974, 599-607

11. De Georgi E., Spagnolo S. Sulla convergenza degli integrali delVenergia per operatori elliptici del secondo ordine // Boll. Unione Math. Ital. 8 (1973), pp. 391-411

12. Tartar L. Homogenization. Cours Peccot. Coll'ege de FranceParis, 1977.

13. Экланд И., Темам Р. Выпуклый анализ и вариационные проблемы. М.: Мир, 1979 .

14. Ладыженская О.А. Уралъцева Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа. М. Наука 1964 г

15. Лионе Ж.-Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач. М.:Мир, 1972.

16. Ректорис Уравнения математической физики

17. Shaposhnikova Т.A., Zubova M.N. On gomogenization of variational inequalities whith obstracles on e -periodically situated inclusions // FDE v. 12, p. 463-473, 2005.

18. Lions J.L. and G. Stampacchia Variational Inequalities // Pure and Applied Math, v XX, n. 3, 1967

19. Сандраков Г. В. Осреднение вариационных неравенств для задач с препятствиями // Мат. сборник т 196, е4 2005г42J Иосифъян Г.А. Об усреднении некоторых задач с быстро осциллирующими ограничениями // Труды семинара имени И. Р. Петровского вып 23, 2003