Устойчивость некоторых операторных последжовательностей и приближенное решение интегральных уравнений в сопряжением тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

ОДЕССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ 7/НИВЕРСИТЕТ ям. И.И.Мпчнгзиэал

Р Г 5 ОЛ 2 '1 ОПТ П .;

ча правах

ДИДЕНКО ВИКТОР ДМИТРИЕВИЧ

УСТОЙЧИВОСТЬ НЕКОТОРЫХ ОПЕРАТОРНЫХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ И ПРИБЛИЖЕННОЕ РЕШЕНИЕ ИНТЕГРАЛЬНЫХ уравнений с сопряжением

Q1.01.0X - Матема-гвпссЕИЙ аяадаг* ж Gt.01.02 - Дзффгренцаагп»Еыг • . ' уразисаил . .

А 3 ? О Р 3 Ф Б Р А Т дяссгуташхл га «мкшиа ученой сгеяезш ^тратора ^-сгакг^катймйхячгесгза: аяуз

0,ттрсса » 1304

Ребота вьшолиека ив кафедре математического анализа Одесского госуил-верситета им. И.К.Мечников».. '

диссертадией является рукопись

Офиыиэ льные оппонент ы -

Ведущая оргаккзэцв*-

доктор фюик< > - м ат> ' м п г кч . ч: к и * каук,академик АН Эстонии Г.М.ВаЙмикко

Доктор фюик1>-мат*‘матич^ски> на\К,профессор

В.А.Золотаревский '

доктор филико-мачч'матических наук,проф<'ггор Ю.И.Черский

Харьковский госуда.рстл«ш1Ь1Й уиавсрсвгет

г. Харьков . .

ЛЬЩИТЬ СОСТОИТСЯ

“2£”Оюгд<$кя

19&4 г. в

11

т-оО

ва заседании

Оиениг.лизироыишото Совета М. 05.01.0] при Одесском государственном университете ни. И.Й.Мечникова ао «лресу ; 270000, г.Одессь, уя. Петра Великого^. .

С диссертацией можно ©знакомиться вбнблттгркр у!шве5»гитета. Автореферат разослан “ *&мХ-$^дЪ у5\ 1994 Г.

У чеиый секретарь . . '

Спеииииоироввшюго Совета _/

б&ндид&т фю.-'иат-ваук Стсжолсс А.Ы.

ОБТТІА.Я ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальности тены. Практически одноер<-м>.‘ніто с появлением первих работ по сингулярным итттрплькым уравнениям п!Мї, «чаїкк о методах ях при-блкн'ччтпоі'о решения. Оіг приобрел <?'це ґхиіі.тукі мкгуа.и.н*ч:гь когда иилпгм-лось.что л>і.ччи 11 .и.и,ч1 часті, интргральямх ура«іі*ч<іі?і,псТрочаіогаяхся и яри-яладия*,йе можл Сытк реїш'яя и лАмкнутчІі ';орм<-Ср.‘ди многообразия изучавшихся приближения происссои исоГ^тю удобными оказались те ят чих.

КОТОрЫ*- ЙрИНОДИЛП Я Р'ЧПРМЯЮ КОПОЧЯМХ с иі:г‘-ї линейных Алгебраических

урпїчі-иийЛІри э'Я’>м;»на.члле,6опыа^х* «кимняиг удалялось -ч\уч.-!'Ик> тіолнію* мн,г.н,ш« кппрохсмыациояных мвТодія»,а при докадпгеяьстік? их усптмипчсгн Широко исиоль'ювддись различные факторизации рассматриваемых операторов. Таким способом была докалаиа ус тойчивость ряда колииомл&льлых при-блингоялих методов для сингулярных ннтегральетъгх уряпнеяяй сопряжения С ДОСТГ(.ТОЧЯО гладкими КОІіффіГЦИСЯТаМЯ.

Основном достижения данного н**рнояг\ отражены » мопограцжях и обзорные статьях В.В.Иванова, Б.Г.Габдуяхаева, И.Ц.Гохбергз и И .А,Фельдмана. З.Пр^дсрфз к Б.Зияьберюна. 8.А.Зо.яотар«вс*сго. В то же эремя,становится: ястю/гго мсто дм дскалатедьства устойчивости, основанный на аіілліпическк.І факторизация, «е позволяют достигнуть существенного прогресса ,.і.п к урао-иеяіій с разрыииыми коэффициентами. С другой стороны, упомянутый подход пе узостей реализовать и ари исследовании устойчивости врчеатиоіппд про-цёссоз д^ш сингулярных интегральных уравгоеттй с комтілексно-соардж<-нш.».. ч значениями веизнчстггоЙ функции. Причем,исиоряые грудиостгт в данной см-тупцяй вънипгя-» структурой'исходиого оператора,но допускающего,п отлц-чне от сикгуляркмх ни-гегральпы* уряая^янЯ (^з С0!іря;к«ния,ралл0.'*(еци>і а иріілш«/ігаш оаераюрчи.якждїліі яз которых хорошо взаимодействует с .ЕС-пользуемым!» проекционными операторами.

В сияли с ятим,первоначально,посгроснш; приближенных мето до п для сж-гулярнит интегральных уравнений с сопрял-;<\-нием розпивалось по следуклаим диум н»прам1и>ъпям. В первом с луч ш; - п р глп ;г ;г. г. спи ь№ методы применялись пе к самому у; міпеиин>, а к ягесхошрованним с ним сиетомалі сингулярних «яте-гральных уралкеи;;!! Пез сопряжения (В А.Зсзо7эреясхий, З.П.Кэдушим!. Кромі» того,предпринимались попытки построїт» такие при о .л и'. ї -■ ш: и <■ методи, которые б;»: погашали "плохую” структуру исходного оператора. Одтг~..";п. уепеїт-но*; аровед^яий лпиичго подхода о«че:п. еялчпа зазяочло от кпшф**>пюго в»ла ко»ффипя‘-*5поа уродпгингя. К тому ле, использование яшгыг фаяториластК рсдомогатсят-иых фуккаиіі делало прлвтячггсуа невозможной числе дну >о індгеяпгіет подобных процессов.

В последгао годы ерчдя различимте истодов приближенного реянгяшг сингулярны* ^д..»:-'р!’-«ьдыя ур&8!№ітй ва аеррый ал ап выдяинулясь сплвЯи-п!:7твмзт:ч>!>а!проа«ссы, изучоииек которых .иипгалмі В Д .Купс.> Д:-:. «9.И.Рі«о, Г.М.ВзИни«и>, И.:'.і!ифаноз, 8.Л.Й-іяялаид. Д.Н.Арногьд, Г.А.Чандлер, И.Г.Грэ>га», М.Кссгзбел. Е.П.Штефэм, Ш.Рох, ' Гэген,- б.Зияьберкан, А.Ргифедь.д, З-Пресдйрф, . Ш?*иДт. Д.Г.Сз«им»/(зв. Ю.Сарзигн, И.А.Слсан. Благодаря их усн-якхсм к началу д^оішостия годов, * ос};очя>™,бн.л;: ясследоваїта прігоянгяеаиг-іе

м-тадг» jtsx уртмояиК ?► >.ч спцряг-.сРйиг.В го же В!И'ЫУ, и раСкгглх Н.ИА'ус-а№»«шв*ли. iJ H lii«pw«. Я.Б./юпзтинсу.ся-о. И.К.Векуа. Л.Г.Магкзрадзе. Р.В.Ду-дучгаы, А.П.С.огдг?о»э, Г.М МанЯАавкдзе, ЗЯ.П.Саорука.В.Б.Панасюкг и ряда дру-rxs а.г. venae- оокззаоо.что wim w Азят-чю ыг.гемвтнчосхой оизп'ни г;р«и.о;г;ггл

I енм-у^ярннм 1ии**г|»лльшш ургаениям с соп)1штш'>к илв I. крсодой зп-дачо Гкль&£р1«.Отис:1№1,в частп»»сти,что одгям из ип'лСоиео излетим* оред-ст&иктслек ypsartч-жк указанного типе, является уредтегше с'оператором'и»-тчышала дйийао. о слов. Бгшрооде .устойчивости сил^н-апирокгимаананниз методов р«ше>пи< гагих у панн1'ЯиК,зад8..1зъ:ж ка кусочво-лялувнпссмх 1-сг.-;гу-p-ax,apr. сиеииальниы выборе (да»ффя«ие1Гтор лосвящены райогы К .Аткинсона, И.ГТрзхзма, М.Костзбслй л Е.Р.Штьфзнз. Р Нреа, Г.А.Чзндseps.

Такт Ьбрьзокдюсгрогкие .достаточно иолиой теориж устойчивости ca;sii.iuj-Diiriwosccvii,MsnBoa!ibij в иодняомиояьиих процессов для еишуллрпыж ■яггеградьиы» уравнений с с(шр1сл<екяН4>учитюв&ющё£ позкожнме особгдаао-с-ги кочффь'1!г;е(ГГ015 е ьо игу р*i-иос.г.'гекд, имеет иазгаюе. зкалгегте 5;ак с точки 3j«?.uws арнйо»д;кл6 к р&замчхгии агл&чем мая'ем&т»едхс*ой фи?.нкк,тгж в в сяк— ези С изучеиц- ЗЛ СПСЯйфнчеСКИ! СВОЙСГп Объектов ,803Ш51Ка,»2ДК1 в данной СЕ-

Цель работа. Иссяедовашхе устойчивости операторных последователь-, яостей, юозпякаьйЩИ! прЕ рассмотрев*»! врсблплагкжь:! процессов дад енв-гуяярстнх влтегралыныЕ1 уряавепн& »ида.

M_-)W Е

- /w ' ' in Jr Т ~t ' ' W -Ki, Jr T-t n Jf Г-!

а также - для близкая к явм у р авяекмй, сааз ахшых с различными задачами математической фюздев в. содержантах комнлексяо-солряжсшше звич(-иаи; неизвестной функции.

' Научна* «овдзкгдеоретцчеаця и практическая ценность.

1. Разработан единый рвдход к изучению устойчивости долимомя&аьвшЕ и

сплв&н-аояроххкшздзгоишл. методов рйтекпя скнгуляраы! шггегрвлыалх уравнений с соарянкеш!£ы,заяшца11 аа «лсуноасккг кривых,глзволившкй объединить, дополнить и существенно. расширит». предыдущие исследования. . •

. . " • • . • ■ . • •

2. Развит?. теория пряблкжеяпых методов два операччэров^гействужлцкх в

паре пространств ,что позволило изучить с елипой точки зрения ряд таро екхзгонкьпг процессов дли гратеых задач ГкяСбертз и Рикзна-Гииьбертз-Пуанкаре, для сиагуляраыт иитегро-йи^^ренкиальнь*! уравнений с ео~ пря:копием и без, в также дав блсивгуяярша* шггадгро-даффрреш»!алы?ых уравнений. . ; '

3. Цзуч<*ил уСЛХи^Т>ШОС-ГЬ арибдИЖ^'ЧПЫ* Ц(*Т< »ДоМ ДЛЯ уляркых

гральних урмьа*‘и.чц с глтрлг.к'лич**! uti xyco^iu*-глл;;кнл кдлггура*. 0*>-ннруяс»:и ряд иртщизитльно uohwjc4 снойстн л^клльлид • *я^ратор<;8 нри-

ЙЛ И.'К*' Н ИУ.1 X М<11Л >/и»я.

Апроблии^ работы. Результаты ^н^сг'рт&ции .яоклалыпалмсь ян. рало {шумных ?*ф^р^1У*Я>г.амгк>зиу.мо11 ** школ, •* row числ-е

* всесоюзной uikij-j** теории ouepvrop^e я функциональных щ осграист-

акх (Юрмала, 1083 г.). .

« Всесокпяых симпозиумах ту методу дискретных особенностей « ълцлчгчх математической физики (Харьков, 10*57, 10S0, 1003 if.; Одесха, 1001 г.).

* Шко.че-гом'ререкцни по грздгичндем задач»** теория фушсиий ч нлтегр;*л v

ш<ш уравнениям (Сухуми, 1087 г.). .

« Северо-Кавказской тшголе конференции *Фуикаио«ал.Ы1Ьг£ простри. ucTwa, скнгул«грггь?#“ ояорат^гм ?т их приложат*;** (Т^б+*рда, 1088 г.).

* Эстонских р^сиу'блика.пс.кк'х конферешдалх ио мегодам р€ш>:1шя д№Ьфс-р<*пдия.льпы* и интегральны* ургштк'ний (Тарту, 19#7, 1989 гг.).

+ Pecfryrt-TvTK»!?tntx оплтозиумах cto лнфф^решхкллмшм и «ттегрольнъе-' урлннр«иям (Олесел, 1982, 1987 гг.),

« У ралр-^соЙ р**гн«>шглгдЯО# тпф-ер^йции tr«r> д*?фф^р«гшттал1»н:г»м уряпсу«*«ш-ИГМ if tiJS ПрНЛОЖ*’Ш1ЯМ (Уфа, 10,S0 г.). ' *

- ш *-ол<--к<-.!1.Ы'р^шдан но свш’у.глркыи иК!'-гр уракнеыилм (Зкзеи-

-глль..''1У?*‘.) г.). . *

в ?»?*-':клу парадном ся?.нго:»иумч цо м^ганике салоалзой среды я родственным npofj.'if>“aM анаяичя. (Тбилиси, 1031 г.).

» 4-т*;й i«)H-b«»j>"Mittm по методу гршшчных злем«1пх>в (Райзенсбург, 1001 г.). '

* Международном симпозиуме "Операторные урааненмя и численный --па-лт” (Г<ли-п, 1091 г.).

* Международном симпозиум*! "Проблемы ;y t <Ь ф е ре iriu t р у е м ост; г” (Вяр-иава, 1093 г.).

« 10-ом еимт»чнум« ” Проблемы мп-лматической физякл и методы из рк-Ш^ния” (Хекгато, 1ЭУЗ г.). , "

С сообщениями о результат»! диссертации автор выступал ка еемияк-рлх академика АН Эстонии Г.МВайникко (Тарту), академика. АН Украины П. К. Корнейчука (Кие»), члея-корр. РАН А.В.Бицадзе (Москви), члев~хорр. РАН П.Л У*ьяно8а(Мосхвй.), проф. Д.З.Ароеа (Одесса), проф. в,й>.Бабенко (Днчнропетр лрск),пр<>ф. Б.Г.Гвбдуякаева (Казань), проф.В.В-Иваковз (Киев), проф. Е.В. Захарова (Москва), яюо&.Б.Зильберианя (Кем вид), проф.И. К .Л «фэдовг (Москва.), проф Г.С.Литвинчука (0д«'СГ(1),проф. З.Лресдорфа (Н,рдин)

Публикации. Основные результаты диссертации оиублчхоианы в работал [1 - 19], Результаты со.выестныя работ [11 - 1С, JЭ] принадлежат авторам в ракнок мс’ре. В теорема! 5.1, 6.1, п. 1луч<-ш:их гоимгегяо с В.М.Мэчкулом «штору' принадлежат вустааовка задачи, метод исследования, а тякжя дс>-казатедьегно теоремы, Ь.1 и леииы (5.2. Теорема 7.5 получена, совместно о £).Зильберманом. При »том леммы 7.1’- 7.4, Т.С, 7.6, яспс»льзуеи,ы«* я ее доказательстве, доказаны Диденко 8,Д., а леммы 7.2, 7.7 и тгорелы 7.3, 7.4 Б-Зильбериакок. -

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит нз Вледгзга.ч » четыре* глав.разбигпн! к»; 2С параграфов. О бю^ ..объем работы .составляет 312 стра-рнц машинописного текста. С иисо к д*псра’’*''; ы содержит. 202 нанменоа&щгя.

'• " ; СОЛЕРЖАНИЕРАБОТЫ. ■'

Во еведцпюг приводился, краттсав историческая сиразкз.,даетсй обзор оссовша* идей И результатов работы. . . .

Первая глава !(§§ 1 - 4 ) еосит,в основном, ЕспамагптехьвыЗ з&рг^сгер щю-евдщена определению, пространств пряблш^аюшиг последоватвяьвпстей оне-рмвро». ;Я взучеинк» их . свойств.'\Р&ул‘&та*й-ЯгйтоЯ; главы ; обобщ&да? саот-ветству: >1вде результсаты Б'.3ил1,йеркэна. ла,сл>‘чай;адд1?ткгщшх оператора»,а также, пй:рператоры,,д4^1®ук»а1Й в паре простраяств^Кдоме того, адес^ ик? цркводагтел 'лог^ьвый.^рившевд; дтя па^вллтебр;'-II усть А' к К бвнлхоща пространстсь, Чер^з Ьаи(Х,У) оСозвячяа» аро-етраостю. адюпжввых >яевЁ[ерыр««р;.операторов:дЫ&здхюсдаг та:-б«мам«ж*'. пространства, X: ч?° ‘задаеы;п<з<у1€~

доаател^6ста''пр^к^|^Л;2,, скльпа сход^иесяТгедой^чпым” ^ соохеететгуюшкх аростр5.ист~

вал. Дл«’приблк?в№Й>1^ ^ : .■ Г■ '

• , '• ■ -Ах УГ^;€Г^'\ ЛвЬ^Х.У), , {5)

восоодьзуеиси лосдсдоиатеяьиостьго у^адйеЕыгй у-: ' ;

’ » ^**-а " *1!»» |с

арзгчем £ 1^$тпР£,жтР*),п яг. 1,2,у ; ' . .' •

Определгнме. Послвдо8а1тельзость' {<4,1.}^ "азывается устойчиаой, ешм--чгшал с.некоторого.ookepa.no операторы'о(у>аташл а А*.: ЪпР* ~~ъ ъпР*,

обратимы и , ’■ ' ■ • . ' . ’ ' ' .

: . . - : 9ир Р~г|! <гх> ... .

„ . ‘ ‘ ' - '. • - '

€

Хлрсиви іолесгяо {Г.?.4,ВлЙник*о), что яри «рпииость праблинсекяого зістодл ІЗ) іі у рангу'нию (2) Tvc.ua сяюгіза. с устийчшюстью последовательности {<!„ і . В стой V :ігим, в діксертяцпоішоїЧ рпочте осповпое пн;імаюїе уделяется

ЗІДЛСНСЇЛІХ» И**обїі>Д15МЬиГ я достаточных условіій устойчлногти ДЛЯ РАЗЛИЧНЫХ

операторных !!• .••^■■Г!Г'1>ЬИ>ЛІ>Г«>СТ<'1І С ;«’І(!іаЛЬ!ГОГО »ИЛ(І.

Так з 5 2 датшй ао«р<)С гаучию.тся для о>'>сл»;ливлтел5,Я!'>стєЯ операторов, прнблиікаїатп'я оиерн.тор А ;Кате известно, каждый .а?:/ м оператор яредсізвит». в виде суммы линейного. Лі и аятилквейкого у5 , операторов. Пусть М петгорыЗ антилтгейнм& оператор, л^Йстлуголтії і простраа-СТП- А ’ . Следуя З.И.ГоДИЧу, ДЛЯ ЗЮ&)ГО оператор» А е ^аМ.{Х). опрелгліім соиі;аже!;«і,;:1 оператор Л* , лейстауюгаяй а X" следующим оораэом

— д(А(х) +• Мд(.\з), г€І, ? € X’.

Воєітользо:?г.-Еятсь двяшм опредчлевкок ми строям оалаюву ллгтору .4, СОСТОЯЛ^ ІО из яосле’Довлтельїїосгей {-М ''І! адпитткых ооераюров ,■!„ : ітР* —ітР*, и ааходим ясобшлюш» я достаточные условіш устойчивости послеяонательиостей, аръзядлежащил дапяой алгебро, которые іакліо чаются з обратимости секоториіі, вполне еяредг-чеетой ЕЕары операторов Ьп,ц(^} :і обратимости класса. вычетов ш° := {Л„ }Г=1 4-^/ .содержащего и ?'-ледог:п-телі.п<хггь {А»}£і,, в <у»{лор-лягсі'ре , где ./ ,замкнупд!І идеал алгкбріл Д , сок: тонкім а нз гілслелоп,'ітель:іостсй сш.’аиал!.гюго зііл;і.

й 53 рассматривается вопрос об устойчивости і’риблм?ке«аь!5 метолот п.1 -для спера-;ггр?і А £-/.(Х, У) ,«сяк- X г- К.8 ->том случае п множестве 1(Л\У} отсугсгиу'.’т сцердгяіїї у.мг.огтецтж, что пр.яяояят з доколн'тл^льиым трудностям г'Гхї ясслрлои?(пмгг рркмїятгмостя нроГі.-іткеїгкім»'тс>яоп к оаерлторпм я;< /(А, У) .Поэтому а 4 3. строится варалдгейрл ^4 і; (> ^ л е л оь і. Л:;?* ~ V ове-

рлтороп ' ’ .

/ • Л*у-Ах Ау

ЛУХ

/

зху \

? ^ з*

рх

я для элементов аз Л формулируется грятг-рий устойчивости в термитах обратимее:, -ілгмчіт» парштебры Д/.? .Отметим, ’,«№ иями* аараялге-брм, введенное Д.Пршеесрс*оЯ-Рол«виц л Ш.Рояеаимг.;*, осадалоса чрезвьгчлЙЕіо улобпым пря иссаедоваїЕпї орибшовсЕШйха методо» пал аиіроного класса операторов. 1 . '

Во мяагжа езггумдаях зоврое об обра-кшкїстн тілемеггга га иарпалгебре Л{3 может бмт& рекитп ври поысщи тєхніжи лсвалязацтоі. В связи с аги,м, а § 4

дается, плпо оСи «Гчцгикр од случай. илр&ллгебр локального пркишша Гояберга-Круинииг.

Е главе1 2 изучаются ырпОлюкешш? методы решения ураниекия (]}, онр-'-дел пнного !». простой злмкиутои Ляпунове кой кринок Г .При »тоы,вначале, Б §§ЬД> предтмтгя/'тс г(. что Г - сл)11>ич1ни) «ч-гругклость г ц<-втр<>ы к иачалг координат и рас-ципрпнаются полиномиальные методы Галеряинй и коллокрпии дм оператора А ,-пм!;киасго в кд

А ~ са]' + ЬъС}+ Ща,Г + 6,<?) + Т {4)

где- (Л/ = ){1) = ц7), Р = (312){1 + 5), д = (,/2)(7 -Б),

ий = 11^

?П Уг Г - У

Т - вешторм»! гезкпекткий оператор и прострььствр I < у < сх\ и

Оо. 6р, Со- <4 " <-«!ерИ7Х>р'Ы ущкжоал В» фуВКНИЗ По({), М*). <•<.(<), Й;(£) , 1ЧЧЧ--

котстиешга. П\сть {Р,.5 »; - т>сл<;доивлч1лы1Лстг. цр<ч».т«.>|>ов, -»щуг-

дел^кних сл уучв!» сЗрилом

(Я.#)М - £ г.1*, - тг / , .• £ 11ДГ.

А=-« ’ 11

«

^..')(<> = £ “А = 5^7 С - г£.П!Т)

; =

-гдр ^ =■ сзр?;2г_»/(2и-^ 3)} и Л — /х(оззьчьм множество фут-зхий, }шт*трнру-емш по Ркмяну ии 1 . ' .

Теор. лг В.1. Пусть а„,Ь,„ £ @С(Г),гп — 0, 1, ч А £ Ь{1Г),1 < ;• < оо- *л»-рь-тор.апррделешгий к (4). Для того, чтобы А 6 П{ Я,}. »к*>Г>.\оды>к> и достаточно, чтобы операторы А » А

А - РаоР1^Ь0д-гС>Меа1Р-гРМ1Ч1<2

были обратимы.

’ Теорема 6.1. Пусть Стг.,Ь„> £ С(Г), т = 0,1 . Для тою, «тЛи Л 6 П> 1„ЛР„, ^‘ч/} , меобходкмо м достаточно, чтсГ>ы оперпт-оры >4 я л,

• Л ~ ЪцР-г М1(Ъ.\Р 4- £ч<2)

бы ии обрллпш. '

При втом,^ = &„.(£), Ь„ =■ }т(£),т ~ С I к фСИ’), как обичпо, оГюзначяст клисс кн&зинеирердошых на Г функций. _

Зом^ттл, ч-то ирию!1!П>’лльныы«танхием примсплоиих методой ггг методов рлОот Б.П.Кгаушияа. В.А.Змшаревсхого я В.И.Нкгм1 является то, чти яриСлк-ЙКИНЫЙ процесс применяется иевосредетвевни К исходному СИер«ГОру, а к

р^х-тал В -Л .3’ > г'>тъь^ь:: у. В.И.Няги ра.'гекз.трчэа^ся с-п<эра.'п1,р ,

от оЖф&торь. (4)» ызуч'-г^'г с^к'п'стструь^цих яр^Сл'илс^.гги* а!ю^“ссс^ для о;:рр1^-'/рь

ыожс^т Сьтть пройслсио аделогкчно рагсукуга‘Кя«дг -

асссчхякровакной сингм системе.сякгуллркых интегральных ур*«и<лш.Ч без со-ирлл'еііяя.Кроме •гого,услот?я, привч.асиїшс в рглютах упомянутых авторов,ил ЯНЛЯГОГЯ НСоблоДИ'МММИ ДЛЯ уСТОЙЧИИ^СТН pH С Г. М ЛТ р ими методов.

В §7 изучаются СВОЙСТВА ОДЯОЙ С'**алгебры МОСЛ^ДОИНТ<*ЛЫ«>СТ*:Й ои<*рл-торон, обрллон.чщк’й пщтыъгя цирк>дяятамк а оя«?рдторо.ч£ комллс’кегюго со-нрядеоиия, я устїша^лми&ется критерий устойчивости .для ©лом^итов длштй алі'ебри. Более точно, пусть задана огрлничряиал функция ■;* ал единичной скружкости Т ~ {і : 1 — ехр(і2те), ? £ Щ и пусть Ц — ехр(г2їїА/н), — ехр((2я(Ж 4- 0 < с < 1,£ == 1,2,..,,^, — І. Через с*а к су* обозлачхм дча-

гоши\ыш»* мелркгйа *

~ (п<(и)^і)“Г=0 » «т — ' .

а через аг* - шгркулянт - -

= ип^и-1 ’ •

где ип - «-1/в(«*р(»2*М/г^)£Йо- Пусть, к тому же, оверптор ЛГ действует в простряястве 1](п) = {£ : (;0,€ С, і = 0,1,...,п- 1,} «о правилу

8 пространства* ^(г.), п = 1,2,... рассматривается елеДуюіаал операторная последовательность

. Д, = £*«„ + 5*Д» -+ (с, 7„ + гкК) + 6Г„ (5)

где Сп IалАМ{п)} и ||<7»|| 0 ари п —* 0. Введем отображения .4, і? : РС(Т) —♦

8-:*-+8^ где ‘ ,

и отображение Л : Х|(Т) -♦ £^(Т),{Ку>)(1) = (ЛОърЛХО = (<Лг, ¥>>)• Для каждой нос л сдон атч л ыгос ти вида (&) построим отойршкение > : г —►

^{8»}(’’)>^{Я«}(Г)}>Г е оиердторс-фуимети <?;;}„} : Т —► С(Л, опре-

делены следующим образом

. *1Я„}(т) = И.«(Ова(г+0)+Л(^вр(т+0)+{А(*)Йт(г+0)+^)Я*(г+0}}А1Р

[А(1)Ь\{г-(>)+^ь(«).%{г-0)+(Л(0^(г-0}Ч-И^)е'«(г-0))Л{<3, (6) *<а.}(г) * Р{Л<(г +0)Ра(£)+Л(г+0)ад+(Ас(т + 0)Д7(г)+.-?д(г+0)Г?,}(Г))Л]

. <3[Л(г-0)Ь-„(<)+Иь(г-0')В^г)+(Х;(г - 0)Ву({)+Л4т-0ШфЛ]. (<)

Теорема 7.5. Пусть о, 6, с, </,аг,7, $ £ РС(Т) .Тогда справедливы следующие

утверждения Г' ■ ’ . ;

■ 1- Посдедовлтчия»посп. (5) устойчива тогда -л только тогда, когда оператор. фу{жцкя £ут<д^ (г) обратима в £| яри всех г € Т.

2. Если а, 6, с,й€ /*С(Т); а,7, 6 С(Т\{1}) (соогветственпо,#,-);, р,д £ С(Т\

{“^1}) )> то посж'локптсямюсть (6) устойчив» тогда и только тогда., кргдв. оцоратор (соответственно,операторы Ф{в»}0) к

к оператор-фу икпия Ф{в„}(г), гСТ обрнтимы в 1|(Т) .

. 3. Если с. Ь,г,,с1£ С(Т); а, у, Д £ £ С(Т\ {1}) (соответствеыло.а, -у, /?, © £ С{Т,\ ’

{—1,1}).), то Последовательность (6) устойчива тогда в №иько тогда! когда опер атор (соответственво,операторы и Ф{я,}{—1))

обратим в /^(Т) и '

ае1И^г)^(г> + Аь{1)Вц{т) + (А(1)в,(т) + Д;(£)Вв(г))Л] Ф О на Т х Т . ■

Д&гшое утверждение позволяет рассмотреть с единой точкй зрение ял:-рокий класс сплайи-юпцроксимаииоаиыз методов для уравнений (1).Тьк, в §3 изучается рзд прмблизкеккых методов решения ур<инеиил (I), ооговмь шьгг на сраз!:ит«лъно дростызг каадрагуркых формулах для сингулярных интегралов,- когда Г - единичная окружность, Среди методов такого гиг.з наиболее известным,- вероятно, -1КЛЛСТСЯ метод "дискретиит особенностей’, научавшийся ръяее. С.М.Беяоцерковским, И.К.Ливановым, Я.£.Полонским при специальном ъыборе коаффкциоитов уравнения. В общем случае сингулярных ин-тегральиыд уранывлий Вез сопряжения шг&логичюзе приближение процессу изучешл А.РамфельДом. - ' . . - .

Приведем один из тяаичяих результатов данного параграфа.При втом.дял упрощения записи оставошгмся лтидь ка. характеристическом урааяекин,

(**> * '-&«>+*&(ч

Зиаченкя приближенного репгеташ з в точках <4 обозначим через £*, & г* й. = 0,1,..., п — 1, и будем определять кь из системы ЬЛГсбр&аЧССКЗЯЕ уравнений . / '

. (а(п)~* «*(«)&(*),))& + •

(<:(*>)-*со1(же)4п))& + ]Г -~-Ъ-/Ы> 1фй,к-И,1,„.,п-\. (9)

Теорема. Пусть а,6,с,с£ € РС(1) к оператор В обратим в £3(Т). Д&а того, чтобы к уравнению (8) был применим- квадратурный метод (9) авобходимо и достаточно, чтобы . . ’

1. оператор .

был обратим, п 1>1(Т) ,

2. оператори ЕГ,

W = І%Ал{т + 0) + Л(г + 0)ВР(і) + (Л(г + 0) + Mr + 0)^(і1)Л] + <?[А(г - 0) + А(т - 0}Bp{t) + (А(г - 0) + ААг - 0;6>(г))Л],

где

да^(і2«) = -i'eol(rr) +

3 - e*p{i.*Tt)

. бики обратимы для всіх т 6 Т.

В У 9,10 изучаются методы «-ксллок&ции. и спллйн-Галеркина, ссх>гветст-вешзо, дія уравнения (1) на единичной окружности с к>' с° чио- и ~>п р*>р і» н it

КОВффииЛЛтй.ші. Приближенное решение 2„(.*) ищется В ПрОСТрЛПСТЛв глпдкяа 1гПериодичі*скі« ‘ силайл.’ОГ) стеїкия S, соогвехсткуюпшх ряячомер-яому разбиению миожестаа' вещ«Ствеяиих чисел Л. В завискмо-

ffnsf от четности 5 приводятся «ид функций о»,/?,-у, tf, огнеча-юідчх укл-чанжлм ярнближмшым методам, и находятся необходимые и достаточные условия »х устойчивости. ПриЪтом, >ік ноліоуі-мся оимсауйями у,п№риол1шкояпыя баліі-сов в аростр&иств&і £ f , полученные Д.И.Арнодьдо» н В. Л .Бекдлакдс-й. В частности .для оператора. А — а/ + Ь-S -f сМ + dSM + К0 + А'1, где

^“=(0 = /г Ы‘, T);(r)rfr, Klz(t)~

справедлива ' •

Теорема 9.1. Пусть о, !>,с,с( Є РС(Т), А:0, Ц Є </(Т х Т),оператор В ~ aJ + +-

сМ + dSM с!>ратим в £з(Т) п 0 < < < 1. е- коллокгищиоплйй'ыетод устой-чтаї тогда и Только тогда, когда оператор Л обратим в Хз(Т),а оператор

а операторы S’", , '

S' = >І(А(У + 0) + A(r + 0)Л)За(0 + (A(r -і- 0) Ч- Mr + 0}5^О)Л] +

■ Q[(A(? - 0) -f A(r - Q)A)3f(t) + (A(r - 0) + Mr - 0)^(0)Л],

обрвгизт в £j(T) ври .все* т Є Т. При ътом функция a(t),f(t) кш-юг pav яичный вид в зависимости от четности епя нечетности S. 'Тик,тпример,ссли I- чепгое,то : ,

' а^*) ». 0 <* < 1.

'. • *М») = ' ’

■ <%(*)

■ ' ■' ' ' . • кжв - ' **1 - • ' .

*{i) * w •

В 5 И рассматривается метод клало»:,-«цин для уравнения (1). Данный метод был предложен И.А.Ооанс* и заключается в следующем. ,

Мусть и сгростраястие 1,2(Т) рвссм:>л'ряи«.етсл операторное .уравнение Ви —

/'. ВмОр'-м (ищу жмшчмомераьа лростралсти 5* к , иппЗь, — сИт'Ть — гц. и кчадратуриу» формулу £}(, ,

ЦьЯ ~ Л ЩёЯ, тщ.>пь, Ь€Т, -

, /-0 _ ...

и будем искать элемент и* £ талой, что

• <Ылч • Вчк) - ЯЛ?к!) ДЛЯ всех ьк £ Тк. .

Так*.'# ир«б лкж^клик пр<щос,с можно .рассматривать как некоторую дискретную версию'метода Галеркина или :-ве,>сок осяовааное на. квадратурных формулах: о'»/о1Ц>;хгш; ходлокадкогдасн-о метода. Преимуществом такого лодюда явля-етря то, что он допускает более простую численную реализацию по ср&в-а» я»!ю с методом Га/сркииэ и Гоаее высокую скорость сходимости до сравве-вик/ с методом коллосадки.

Для сингулярны* иктсгра-иьиш уравнений без соирлжекид д&иньаЙ ме~ тод изучался И.А.Сиоаком, В.Л .Всндязийоы. Р.Гагекои, БЛильберманон, которые % нашли «-которые досгигочныс.а затем м необходимые и достаточные условия «’то.устойчичюстя. Теорема 7.5 позволяет иолу чмть соответствующий результат и для уравнения (1). 1{ци этом в качестве пространства. 5ь.аыбирается пространство сплайнов а в качестве пространства 'Д пространство иоак-номин X, = 1гпРл , ири««м проектор Р„ определен выше. , - .■ .

Заметим, что результаты' гисяадвкх тре*’ параграфов справедливы для урявиекпй, ладанных на ирслоиопьиых замкнуты! ‘ ляпукойскв! кривы! Г. Лгйстивтелык», если 7(?)- 1-периодическая параметризаций! простой замкнутой ллиуневской кривой Г, то отождествив точки -у(з) в с\р(|2тг«) можно можно подучить соответствующие утеерждея-чя. Данное зямеч&иае не распространяете»!, однако, па гзвдрьтурние методы, Так как случай, рассмотренный в § 8 , сущестаезшо исиодьзует специфику коитура-иосителя. Это приводит к Нч'обюдимости построения квпдратур-вдх методов для простых замкнутых ляпупояскит кривые. Решению указанной задачи носишка § 12,в ко- , тором получали критерии устойчивости некоторых квадрату ртгх методов для сингулярного иитегральаого уравнения с сопряжением н» замкнутом лялунов-ском контуре. ' ■. _ ,

В § 13 рассматривается вопрос об устойчивости полиномип-лькых мето- ' до» коллокащш и Га.перкина » случал пространств, определяемых моду лам и непрерывности. Как известно, в доавоК сятсуаирм возашглют специфические трудности, связанные с построение* сопряженных и ростре яств и, как след-ствп'е 9Ю10 - трудности, связалиые с построением а взучеттел» сотргаг.еня1л. осератироя. Методы исследования, Гфимсшпь-цпгеся ч(дме, здесь оказываются вейффектквкыыи, в связи с чем предлагается другой подход к доказательству ус гойчивости. ' . . ' .

Пусть и1 (5), 1^(5) - аехоторые модули аепрерывяостн в,Щ6) — .

Рассмотрим урадоехие '. . •

Ох *• (ааР +&!<?)х -¥^(й1р + ^<3)* . (10)

' ' «

(7(f) = ^ { 1Ы* — N5 —(ooii — aj&o)* \

аобо ~ \ {ciobi — aibo)t |оо[2 —]oi|3 J

Tecpewa 13.2. Пусть выполпевдл следующие условия: оператор G обратим в врострялястае Rvї(Т);

2. ^Л,аіЛ,/Є Я;,(Т),!->0; ,

3. фугцагедя -Ъ{£) -jry-n-H ве угНіви.ст и а [0,)];

■4. -’■'С(і)Ь.-5 <в о{\) Ера $ ■-> -И);

б. :spwja *»стпп,-й іпідсксм vrtpkhw C{t) рюяі зугк» ; *

j с -Hro, j r£/ C(cj’(Z)) иргі і —* -і-0.

Тогл.ї угі~в:{<'!г:гзо (3} яр^ис'гппд пол5Г7г>7^і;:і_’Гї>тп;:і' К'™->д ;;о.і.ао»-.чкки д кря-оп>-.-:-:г-г;гірг-ггч-гпд , і:к(ілгх>кілс согльсг;о "япігуїту -ос^огу, czoru-лі--'.

”. г: -: ,:с> г/ r:v’n.i<>>ui:o -'о скоростью

i!“{2) ~ ~»МП^,(Т) £ .i;n-"*(l/n)lnn,

ГДР іїі 'иягстэрэд IIOCTt5iiiiaWl,fIf з&х-иелгц&я от я.

її TpefS-eti гладе ■р»*еемзтр5г»*чотсд приближенные методы решения краевых sajj-j"i ГияьСгртэ, Ряі.-;аіі.з-Гя.яьб£рг.5-Пузні;Ере, а тыже слигуляриих и 6нс№гу-пяриих іііггегр©-.лз*£»ф«репцяальлмх ураявекігл. Специфика риесыагриг.см’мой сэтуоцкв ЗС-КЛІОЧЕ.ЄТГСЯ в том, что иезодаие оператори действуют в паре аро-страяста з, поэтому соответствуклане пространства операторов не обладают озерыимгй умвектеепия, что затрудняет примек-евие влгебраи^Оклі тюздодон. Отмеченгіие трудности могут бить устрапеггы введением поддодящкі злралл-гебр. Это позволяет получить зеобходямые а достаточные условия применимости пяля приближенных методов к операторам,упомянутым вигое.

З §§14,15 рассматриваются метол Гаяеркинэ я изтерполланонный мйтод для краткой задачи Гильберта с непрерывным ко»ф£К>щт>іглґ>м. Обозначим через Xj (Т) подмножество пространства L;(T), состоящее из пределилы! зи&-чемиД функций Ф, апьдиТїгческих в I? = {і Є С : 5гJ < 1} в тммп,что

/ітіФ(о) := 0, а через Ь(Т) -- мво?кг.’стяа в е ш с 11; етім о з п п ч і: i j j влемгптоз іфо-страистьа ^а(Т).

Крлсвал зпдvia Гии.берт.і ликдгочоятсл я следующем 11 п£тн вектор-фупкнииз ‘Ь Є 2-t(T) По красному усложоо

1/2(7 + M)(i(t№) - ДО, <ет, (п;

где G{t) - ххп.,тратим г,г х гч млгрлиа-Аувкпнд, / ‘.г lj‘ . •

Bcr?f.'txc 53[;«о.=;*:кги!ічм р:-г,: psh:i ^-ад-Ччії! (] І) з глучьг гкалчірігого ков'ффші.гїягта рвссматрквался я рпбит** Л.С.Кл»^ко»оН.'я A.H.Ms«ешхо. З&мс-Г!т;і, что їїецодьаозани»; первым а:;ом развостшл еігм во областа D су:г<?. стяетю влилгт кл об-ьсм вычислский в зачпетую требует їил»тгвей глядк^та

коеффиди€"1п& С , а уетоди работ А.И.Меяешко вр переносятся ка. ьекгоры^й случай, поскольку яспольэукт формулы точного решения злдячк (II)-

Пусть Д,*г = 0,х1,.ковффюшенггм фурм? функции / . В пространств^:: £з(Т) в 2г а«сд*.-и прооквдокаые оаер&тиры к Д . ., *атвегстаека'а,

(Л/т = л-^)=л +/,«*... + /„-1Г-1+(н^\

о '

•♦*00 ■

(?„/)(:) = Й.( £

/о +■ /1* 4- • • • т + (Яс ;„)**•

В 5 16 рассматривается одия арсхжконкый метод решения задачи (11),

осчоапяяьзй аа йсподюовавил зкдгшзмеиснлого ошграюр?, Лагранка £„ * РпЬч- Зе*«.гям, ч"го оператор Ь*. уже ве согрзиигт зяачевмд фушсщй кь вы-ораалй системе умов в, аоат -.му обык*ме саосоСм ксеяедозгяма орв^лижеа-ных метола», б&лируюоуцея на спораторе Лггранхз, яе ар«те«ямьг в даыной сят*гцкя. В то же время, арлмечевие подзгадяиин параилгебр даст возможность получ»гп> кря-гер!5Й устойчзиьоста шггераоляхагогаюго »!«тода.

Теорта-13 15.1. Пусть С С <7га:<",(Т).Для го го, чтоогл 1/2(1 -+- М)'31х' 6 П{ХГ. !/5(/ + М^Р^Р^, Рл/}кеобзодашо а достгати-чно, чтобы сяграхири

Л = 1 /2(1 + М)£?Р°, Л = 1 /2(7 ■+ .1/}(Р +

Л, Л с ЦЬТП,ЪТ) бы ля обретго-гк.

Пр» зтои Г° г' <5(г) = <?<*), { £ -Г .

В з 16 построены пранал я аевая покрывающие састемь; йокшзязугощмх классов для (^Ахтор-олраалгебрь; ’

/ \ лр = \ - лиии\,

\ ' )

перестапобочЕме отаооттёаьво ве<?х м«*е&тоэ г*2Ла-

{Р.1/2(/ + ^)С>^}а » {Д1/2(/ +

гд? С £ !«.. Это еггкрыаалл возлоядаость два пргемепенхш локального врзтннш1& при шучешш угтойчквоств татерполидковного метода а метода Гв.г«р&ина орийяижавиого регаиЕия яр&огюй задача Гильберта с кусочио-в^ар«рывныг.г киаффиаяеатом. Так э § 1? доказывается

Теорема 17А. Пусть О £ РС и для любоЛ точки г £ Т ■

, С(г + 0) х !а18С(7Го)1 < ?

Лда того, -чз-оба оагратэр А £ И{^, А} яообхояшао я достапточне, чтобгл «звараяоры Л и А - 1/2(Г + И)150&Р> были обратиша.

§ 18 яосзящея аеследоямшто УСТ0Ї{Ч2ЕВ0СТН полтевомивлыпи методов Г»-деряянз и колвокадия спя систем сингулярных интегральных у рлвяепкй с £їзм«'рммьзїлл коэффициентами. Результаты, получештые здесь, яграют злм-вух> роль в последующих ра.ссу>вденияг при ИчуЧСЛИЕ соответствующих пра-бляжеишах Процессов ДЛЯ систем сиягулйрвых ИНТеГрО-ДифферсВДИЛЛЬВЫХ уранвезпій.одвплсо, вечсоторые яз нет представляют, за наш взгллд, в слмос-толтелі.мьій интерес. Обозначим через 6'п,гп(Т) маож.естко млтрид-фуяядай с язиеримыяя ограниченными коэффициентами, млл которых в дюбоУ точке Г Є Т существует открытая дугь Г,, содержащая точку г в ыатрияа-фупюсая Яг е <?Г?~“’*(Т} гагеїе.что /У-1 Є<?С’"**т(Т) и Ле(С(1)Л’,) > к > 0 почти всюду

па Т .

Теоршз 18.7. Пусть' матрипа-фуїшшія С(і) € 5*кЖ,н(Т). Опс-ратор Р + С<? Є Щ.Р*} Тогда д тоаысотогда, когда операторы Р-К?ф, Р+<5<3 Є С(£^) обратимы.

Отаеткаї, тао хяасс 5(Т) = 5г(Т) содержит, в чпстаостн, класс

отвдащусочпо-иепрсрывшлх фупхцнй РС?С{Т).

В §19 рассматриваются вопроси примеаямостн полішомяальїаїї пра-блилхглзздз методов для уразіпеаяй, содеряяй&кх даЛфер-дасталькі^ оператора. В палгтггостп, полупегпл необходимые я ,ік>ст»то*а2ь:е ’■ условия уетоЯ-■чквоста методов Гадеркннэ ц холлокагтт-пі лдя систем спягуляркых аэтегро-іглф.^рсгмиальпзлї уравкедай ■ с радрмвяьмя коэффтаяеятаип прз стърггвп яроязэояыых, для сиагуляряых' йЛтегр^дкфф^рсппКЕЛЪЕых уравнений с со-яратаеваеяж, для ярп-гвой: задачи Рк^знз-Гильбертз-Пузниврг.. '

Пусть Р* г1, Р~~ Ц. Чергз ги"г, />~+, Р~~ обозка^тгм оператори

■ ' ' ' '7***'; ~ ./*.» /*, . ' '

& *ГЄ£>ЄЗ ' * . . . . ■ '

'* ■ . • - . - ' - &"+** ■ - ■

. . ' • СЛг^С^С^- ■ -

В 20-М вараграфр дайдгги гр>гх-еп:т уетоХчэтжостэ солаокатаг.-гоого ко-

• -юле я в№К»да. Га.зеркмкз Хм бчеиногляряыг етічтро-даффсргпдяїціьяьі* урад-

'иеякй окда. ' ' . ' ■ . ■''■.■ . ' ■ ' • ".

' .:Жг:+ * ., ,

- "■ ■, г «О 5»в0 ■ ' .. - _ ' :

а предаоаоямаетк 'Жепрсрыааосгя' ггоэффицггеиггоз &,.ч, Ь »„ с^, і,.7. Алмсгчгч-3£ме вопросы ліія твадияевых и сяш'ул^тлх иптегрпльгых операторов в:»у-тоями. Д.Бгттхгрсл», РХіг^омгБ:Зя«.С8(>м»«яі;, П.Юмпяжяа. Н«?**яорие ср*>-

’бдш2«»ша»« 'ь^тюдзм- ' - бїтс>іи?гуяте-ре-*-:г V» ел--

яггаажЗ' ’огис«;^й:г,гыз гез т:гЧ^и

^с'Ьф->лггзез'гс?^ с ^оезедуго^и^. ар^-озе^л’М аолл^каштош?ого .м:тодд. яр^д-йаг&ішхо- М-В.бо^а»аіма. Вря »іад-/яредлоа^^ося;1..что- «іасті. ко®^йц6№їгті.'9 оЄрхщй^гтся в вудь'всюяіу ге в осгалько*^ могесіЮ'арелсїа№гь я,амс яр^іх}-2><вд«йлл доух фузскэтЙу ісхж^ая еэ котором іиівас^т лійШ^ от одаоЙ пгре^?’ хжяі

Тькве предичлолеик* сущ1?ст»еи«о уг.ро«\,ак>т ладв.ч>. Заметам также, что методы Д’лчио ^ЛЬ<-П14 УСТОЙЧИВОСТИ, применлвпт<*ся Б.Г.ГлбДуДЖвСвЫМ Вр1! рас- ‘ смотроякк близких урлянчнмй ае могут бы’хь ксиолдооваиы в общем случае в^пр*1рькшых козффиди«ктов.

Обозначим через Д”‘"(Т X Т) множество функций <£(^,£1), £ X, все

смршвдкче ароклаодкм? которых до порядка (т ~ 1уц — 1) включительно,

*ОСОЛЮТНОЯепр«1рЫв1Ш, ф™* 6 1^(1 X Т) И

11 Ф(иЛ№1*~х£’~''&1&г-0, ** = 0,1, ...,т~ 1; = 0,1,..., д - 1,

ТТ в аусть .

«*)(*) = £**** + £

4«*

Испольлуя доквлыгъгй аришглп а парлилгебраа докаливается

Теорема 20.2. Пусть а С(Тх7),аГ1,,&^,сг)„Ыгр е £Ю(Т х Т), г —

О, 1,. .., т — 1;р = 0,1,..ц — 1, Для того,чтобы К й Ф Р^Р*. & Д,} необхо-

димо и достаточно, чтобы оператор К € С( В™'{Т х Т), Х-ДТ X Т)) и операторы

Кг, К2, К1 € £(£з(Т х Т)) ' '

Кг » (Р*»/)<(Р* ® Р^) + (Р+ф/)^Г(^ «/’") +

(Р- ®Г)с^?(Р~ & Р*) -*г{Р~ & ГУ^?^(Р- 9 В-),

Кг = (Р+®1)<Ъ(Р+<$ ^) + {1®РПЬ1чЯ{Г ®Р~)+ -

(/ в Р*)^Г(Р- ® Р*) + (/в 'р-у^^цр- ® Р'),

. Ал * (Р+,»Р+)^(Р+®Р^)4-(^«Р-)6^КР,'«ЭР")4-

(р- «з р*:)^г(Р" в> р-)+( р~ ® р-><4, 1?щр- ф р~),

были обрАТКМЬЗ. ■

При этом, «ела ф{1х, 1з)- «сксуторал фракция, то - Ф\М, *з), Ф2{^^ *з) —

4(к,Ъ),ФЧ*1,Ь) = <?(гГ,£1) - ' ' : • -

В глаоо. <1 изучаются ярибяи*:ешП4е миггодм р»'шеютя уравнении (1), когда. Г простая -замкнутая -кусочно-ллкуиовскан крия&я, ае содержащая точек возйрата. Дмпшй случай ккляется, оо-ьндмыому, >:аибл*.;»-е в&жаыгл для Приложений. Исслидоиапке аналогичны! иоиросон дли сингулярных ките-грмтых урйдн.г'ккй ураклений' б*э- еоарядевкя также пачллось лиан, в во-сдеяние годи (З.Пресдор^, А.Рацфельд, Щ .Рох. Б.Знт.б»*рылн). В яастояа^й дис-сертстоояяой раГютг рассматривается ч^имй случай уравж*вяя (1) п апка,-эыва^тся, что иисюкя сущ-стк-каа? отличил в характеру-устойчивости последовательностей ор 11 Гзлижеяных «сираторов для урлвшмтл (1) и для сиягу-Л1[рт« ккхегр^льь'ых уравнений без соцрдаккпая* которое выражается а раз-личяом поведении локальных оСьсктои.

8 $$2.1,22 формулируются и доказываются основные результаты об устойчивости квадратурвых .методов для уравнении (1).Так, с каждым изу-ч&еамм меггоааы к с халдой точкой г контура Г евлзцваетея некоторый мо» дельаыЗ оператор3 А, яз алгебры, образованной теидапевыми шереяорамк

аВ ляисьюйпия итк отерияуы ямывилз-геа »о«альаыии оеир«.тори*«

с Еусочво-иепрсривтдм символом я аналогом оператора 1сом«л«;с*'>п> сс-сря-нтепля. Соотьеіствуюіг.кК квадратурный м<?тод окчзывлотся усто'іі^ял'.-ч іиг-дл и только тогдч., когда оїіорпгс-п А £ ЦЬч{ГУ) н опгрплоры Л-, £ -г в Г.

оСрЯТКМЛ. ’

§23 сосаящея мсс-іедивлншп свойств догьльнъп операторов Л,,т Р Г. Пусть фуюяшя /“ определена следу ;г>иич образец

їИі{-то)

1,

О < s < 1.

s.пусть с, 5- параметр?!, определзютме выбор точек в «сволъзуешл. турюгх формулах,О < е, 6 < 1, с Предположи* также s(i) — /(f) sO as Г и рассмотрим мя-тркцу /і), £ € Т, ;t Є [0, l].

Wr)«

4^НЙ(1-Ы

■?' ‘•Ч.-і » -»^т—•* )д -___ A g

£(r)-<-d(r)(l-2fi)

c(r)+a(r}(l — 2/;)

a(TJ-i(r)(l~2^)

c(r)~d(r){]- fy)

___'_/> ^_

a(r)+4(r)(l-2u)

Д Є [0,1].

• • • ' ' ^лД*.д) =

/ а(г)+6(т)/'~^(і) 0 с(г)+^(т)г<*-^({) 0

о . о(г)+Щ/с'-і)*(«) о

\ . о 0

• ■ ; р€ [0,Є Т\{1}.

. \ - ' ‘

В работе пох&заео, тго оператор А. фредгодьмов тогда й только тогда,когда А*г(*|£*) Ф 0 для всех і € Т и <л € [0, 3] .Кроме того, справедлива

Теорема 23.1. Если локальный оператор А, фредгольмо», то его индекс может цртапіиатг- лисп, следующие три значения : -1, 0, +3.

Отметав, что" индекс соответствующих докальпых операторов двя ураз-сегшй без сопряжения всегда р&эея пулю (З.ПресДорф, А.Рзц$>еяьД).

В |5 24,25 изучаются вопросы устойчивости л свойства лоиямал операторов для методов коллокадни и кпалокапйи. Отмечается ряд пеобыпаых свойств укЯгЭвишлж объектов. Б часТаостк, интересным, да ваш яіідйд, является следующее свойство я&кдльпогь оператора АГіС гаэядоклоюшю' о метода. ' . • _ ' - - '

СяеДСТЕяа 24.3. Для д га бой точки г 6 Г нзлеке локального оперлгада.

Я» зшат отвыборд с, 0<е< 1, а звакежг дяпй» от зяпч^ниЗ *оі»ффкг,;-*!т>я уравяеьэтд (I) » У'ОЧЙЗ г б Г . •

В закдіочмтиііьном, параграфи, методы, тумекные е SS^i - 25* пряме-

HHWtCH К ypftKU^KHKJ С ОП^р^ТОрОМ ПОТеїЩИайЛ ДЗОЙНОГО СЛОІІ

{Лф)(і) е а(.:)'?{<)+ ~ ^ ф{т)-~-Іо$\т-t\d\'T- (Тф)(і) = /{t), ієГ,( IZ)

гд*‘ а, Ь Є <7(Г),Т- компактный оператор. Приводится необходимые и достаточный ус.юяия устойчивости методов коллокааик, кваяокаїрш и квадратурного метода. Показано, что в данной сктуалш* »ти методы имеют много об-щ«г« Весьма неожиданным явилось

Следствие 26.6. Пусть г некоторая фиксированная? точка Г . Локальные операторы Л,, А, * и Ат<дс4) квадратурного метид»,методов коялокадии и га;алокації и, соответственно, ялля:отся фредтльмовыми ая ант лишь одно в ри м е япо и имеют одіш и тот же индекс.

Таким образом, если хотя бы для одной точки г £ Г полазало, что индекс какого-либо к.) локальных операторов /1Т, ЛТ1 или отлична от нуля, то пи

одим из уіи>»<яііутмі в следст.-ии 2'6.6 методов ее может быть непосредствеано использовав для приближенного р«шеичя уравнения (13).

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИИ ОПУБЛИКОВАНЫ В РАБОТАХ

1. Дидемио В.Д. К приблдакевиому решению сингуляршлк їііпгегральиьіх уравнений со сдвигом Кардемана.и ко м и лек с но о о ц р ик ьш к значещисмя неизвестной функции J Ухр. млпхм. ж$?н. - 1930 - Т.32, No 3. - С. 3TS - 382.

2. Дид«м<о В Д. Прибяижеяиоя решение систем сикгуяяраь/х кктегральаых урапнений s подпространствах непрерывных функций / Дохл. АН СССР. - 1340.

- 7.254,No 6. ■ С. 1314 - 1317. .

3. Диденио В-Д. Прибли/к<екно*? ретецие краевой задачи Рикака для одного

класса коэффициентов // Тг,з. дох.л. 3 Ptr.n. стилпаз, во дъфф. к китегр. ^рчзкг-hkjtm / О^есся, ! - ,? хх’кя, І9Я2 /. - OOtcca, 1$82. - С. 203 - 209. ■

Л. Диденко В.Д. К приближенному решению обобщеігауй краевой задачи Рк-маиа / Ухр,м*.тсм.ж}ря. - 1SS3. - Т.35,No t. - С. 8S - S9, _ -

5. Диденмз В.Д. Задача приближенной факторизации матриц я ее приложения / Мтпем.энмстхи. - 1981. - Т.3(,аып. 3. - С. 341 - 350.

6. Диденко В.Д. О приближенном решении некоторых систем сингулярных

интегральных ураьиений со сдвигом / Аъффсреяц.урла-*г.кги-. - 1S34. - No $. -

С. 1055 - lOSO. ,

7. Дидкнко В.Д. О некоторых методах аргсблгакеапога реШекня -четырехаде-

мсвітіой обобщенной краевой задачи Римзиа / Дъффсрккц. грвапсян-г. - 19Зі. -No S. - С. іІ3!> - N4 і. . • .

8. Днденчо а.Д. Некоторые вртиакв ерииешгмастк цросетоюД(ЯмГ методов к

chctvm&m сянгуяяршах иатегрвльЕсьЕХ уравнений jj SeminarAhna.ly$is 1085/bo. — Berlin : AkademU d. IVijj. d. DDR, 1985. — P.J05,— 127. .

9. Диденко 8.Д. Об одиои аряиоа методе реіг.еаия краевой задач»з Гвль-

бе.ртз / Math.Nachri!:hten. - 13ST. - 5.133. — 5.31Т-J42- . у . ■ .

10. Дндемко 8.Д. Иатерподлциоквый истод р«;пезї5я краевой зад&та Гкль-

бврта / М4th.Xachriskten. — 8.142. — 5J37 — 348. . •. • .

11. Диденио В.Д. Некоторые сряблЕ^згшьге мего.дм ptusіезия обайщев*а;й їф&' екоа з&ючя. РимдвсГваіь6вр-?а>Пх««к»рв- // Тез, 'дохл. '4 '8ctci#sa. roumiix ■

IS.

”Мет0д дясхретних рссбгянасгиеъ 0 зад«чя» матемаюхчесхя* фьзжтв'’ / А'а?»гое, 21 - 25 мал,1949 / - Хаp*xoa, 1SB9. - С. 9Б.

12. ДидеилоВ.Д. Параллп-бры и ври&лижеяво? решение сингулярпиг wmr-

ро-лифферевлиаяьаых уравнений /Длкл. А И СССР. - 199]. - Т.316,Nr, ( . С. №3-1297. • •

13. Диденко В.Д. Об одном методе приближенного репкш сиягулярвид интегральных уравнений с сопряжением на кусочно-гладких контурах / Лохд. ЛВ СССР. - 1991. ■ Т.318, До €. - С. mb ■ 1301.

14. Дмденко В.Д.. Зильберман Б. Символы некоторых оператор пых последипа--уеяьнострЭ и квадратурные методы решения сингулярных иит*;грвл1.лгь« уравнений с сопряжением /Фунхц. анализ * сгс »у*ло»сг»«д. - 1992. - No 4. - С. £7

- 70. '

15. Диденко 0.Д.,Мацкул В.Н. Метод редукции решения сшггуляряых шлгт-ральнт ураввгевмй с сопряжением / Лскл. АП Укр. CCF,rcj>. А,фпз.-матгм. * тег», яаргв. - 19S7. - No 7. - С?. 40 - /Л

36. ДидемяЪ В.Д..Мзц*у* В.Н. К п р иб л иже ином у ревгенмго сингулярных интегральных ур&ввевкй с соарк-.я^нис-м } ЖБМ * МФ- - J989. - T.?$,tio 3. - С. 392

- Ш. : . .

17, Didenfco V.D. Approrimate Solution of Bisingular Integra-Dtitercu l Ы Equations / Zcitechr. fir Analysis un^ ikre Атает.&ипцеn. - IS92. - .Kll,No.2. - P. 199-~13.

]S. Didenko V.D. Oa tbc Approximate Solutioo of Sonje Operator Equations witb Conjugation J/Preprint No 22,Jnstitut fir Ange-v/nnils Analy.fi! und Stochastik. l’n>c. hiiern. Symy. 'Operator Bjual. mi Rurr.tric. Anal-iris’ / Gosen,September 2S - ОИсЬег £, 199S. - P. 19.

19. Oidfiiko V.D., Silberrmnn 8. Oil the Stability of sotne Operator fieoucDcei and the apptosiBiste solution of eiaguW -integial equitiont witb Conjugation j Inteor. Equal, and Opcr.Theory. - 199S. - V.J6. . P. Щ - US.