Устойчивость по Ляпунову некоторых эволюционных уравнения и систем со второй производной по времени тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

Львівський державний університет )Д імені Івана Франка

СТІЙКІСТЬ ЗА ЛЯПУНОВИМ ДЕЯКИХ ЕВОЛЮЦІЙНИХ РІВНЯНЬ І СИСТЕМ З ДРУГОЮ ПОХІДНОЮ ЗА ЧАСОМ

01.01.02 - диференціальні рівняння

АВТОРЕФЕРАТ дисертації на здобуття наукового ступеня кандидата фізико - математичних наук

БАРАБАШ Галина Михайлівна

УДК 517.95

Львів — 1998

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана в Львівському державному університеті імені Івана Франка, Міністерства освіти України, на кафедрі диференціальних рівнянь.

Науковий керівник - доктор фізико-математичних наук, професор Лавренкж Сергій Павлович,

Офіційні опоненти: доктор фізико-математичних наук, професор

Провідна установа Чернівецький державний університет імені Юрія Федьковича, кафедра математичного моделювання, Міністерство освіти України, м. Чернівці

Захист відбудеться ”18” червня 1998 р. о 15.20 год. на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 35.051.07 у Львівському державному університеті імені Івана Франка за адресою:

290602, м. Львів, вул. Університетська, 1, аудиторія 377.

З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Львівського державного університету імені Івана Франка (вул. Драгоманова, 5).

Автореферат розісланий ”15” травня 1998 р.

Вчений секретар п

Львівський державний університет імені Івана Франка, завідувач кафедри диференціальних рівнянь

Слюсарчук Василь Юхимович,

Український інститут водного господарства, професор кафедри вищої математики;

кандидат фізико-математичних наук, доцент Ільків Володимир Степанович,

Державний університет "Львівська політехніка”, доцент кафедри обчислювальної математики і пр ограмування

спеціалізованої вченої ради

Микитюк Я.В.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Теорія стійкості руху як галузь математики була створена працями академіка О.М. Ляпунова в кінці XIX століття. В останні десятиліття спостерігалось стрімке зростання цієї теорії, яке обумовлене потребами техніки і особливо потребами автоматичного регулювання. Розвиток теорії стійкості здійснюється двома шляхами: по-перше, розширенням кола задач і. по-друге, створенням нових і посиленням вже відомих методів дослідження.

О.М. Ляпунов (Ляпунов A.M. Общая задача об устойчивости движения- М.: Л.ГИТТЛ, 1950) зводить задачу про стійкість розв'язку до вивчення стійкості нульового розв’язку. При загальному дослідженні стійкості нульового розв’язку застосовувалось два методи: розвинення розв’язку в ряди спеціального вигляду і використання функції з певними властивостями. О.М. Ляпуновим були встановлені умови, при яких лише лінійні члени розв’язують питання стійкості розв’язку.

М.М. Красовськші (Красовскнй Н.Н. Некоторые задачи теории устойчивости.- М.: Физматгиз, 1959.- 212 с.) розвинув метод Ляпунова, розв’язав проблему існування функції Ляпунова, запропонував нове функціональне трактування систем з післядією.

Подальший розвиток теорії стійкості було зроблено О.А. Мовчаном (Мовчан А.А. О прямом методе Ляпунова в задачах устойчивости упругих систем // Прикладная матем. и механ.- 1959.- 23, N3.- С. 483 - 493). З використанням прямого методу Ляпунова ним доведено необхідні та достатні умови стійкості, асимптотичної стійкості і нестійкості незбуре-ного розв’язку загальноі пружної системи.

Дослідженням достатніх умов асимптотичної стійкості у розумінні Ляпунова для пружних систем і систем автоматичного керування займались Parks Р.С., Wang Р.К.С., A.M. Слоботкін, Como М., Grimaldi А. За допомогою функції Ляпунова Leipholz Н.Н.Е., Russo R., Gutowski R., Kutsch-ke K. встановили стійкість розв’язків систем рівнянь теорії пружності.

Узагальненням і подальшим розвитком класичного прямого методу Ляпунова є дослідження С.Д. Ейдельмана і Я.М. Дріня стійкоподібних властивостей розв’язків параболічних псевдодиференціальних рівнянь. Т.К. Сіразетдінова і А.А. Шестопалова систем з розподіленими параметрами, В.І. Зубова загальних систем з частинними похідними.

Jama D. і Czech А. встановили за допомогою прямого методу Ляпунова необхідні та достатні ознаки стійкості і асимптотичної стійкості стосовно початкових і крайових умов розв’язків систем і рівнянь параболічного типу, де вже є присутні похідні четвертого порядку. За допомогою по-

будови спеціальних норм В.П. Орлов, П.Е. Соболевский, Marcati P., Lang-lais М., Phillips D., Lunardi А. вивчали асимптотичну поведінку і стійкість за Ляпуновим розв’язків нелінійних еволюційних рівнянь.

В.Ю. Слюсарчук дослідив умови стійкості та асимптотичної стійкості систем за першим наближенням, виділив нові умови відсутності стійкості нульового розв’язку. В.А. Владимиров, А.А. Ільїн, А.Н. Філатов встановили критерії нелінійної стійкості за допомогою функцій Ляпунова, які виражаються через квадрати норм збурень, тобто вивчено умови стійкості або нестійкості в середньому квадратичному за лінійним наближенням. Rionero S. і Mulone G. досліджували нелінійну стійкість прямим методом Ляпунова, показали, що умови стійкості однорідної рідини є достатніми умовами стійкості горизонтального шару рідини зі змінною густиною. ’

В.К. Ясинським отримано достатні умови асимптотичної стійкості в різних імовірносних розуміннях тривіального розв’язку стохастичних диференціальних рівнянь з випадковими операторами, квазілінійних стохастичних диференціально-функціональних рівнянь, лінійних стохастичних диференціально-функціональних систем в критичному випадку.

Knopp U. встановив достатні умови глобальної асимптотичної стійкості за Ляпуновим у просторі L2 для розв’язку модельного рівняння динаміки хімічних реакцій в каталітичному реакторі. Використовуючи прямий метод Ляпунова, К.С. Матвійчук отримав достатні умови стійкості нелінійних розподілених процесів, технічної стійкості на скінченному і нескінченному проміжках часу і асимптотичної технічної стійкості двомірної панелі в газовому потоці. Newman W., Nagylaki Т. побудовали функціонали Ляпунова для рівнянь пористого середовища, за допомогою яких досліджується стійкість розв’язків з просторово-неоднорідною структурою.

За допомогою прямого методу Ляпунова С.П. Лавренюк встановив достатні умови стійкості нульового розв’язку рівняння коливання стержня з гострим краєм, отримав стійкість за Ляпуновим однієї еволюційної системи.

К.Б. Байкузієв розглянув мішані задачі для рівнянь з другою похідною за часом і еліптичним самоспряженим оператором високого порядку за просторовою змінною, коефіцієнти якого залежать лише від х, причому цей оператор вироджується на межі області. В залежності від характеру виродження накладено умови на поведінку розв’язку в точках виродження. Отримано умови існування та єдиності розв’язку таких задач. За допомогою функції Гріна і відокремлення змінних К.Б. Байкузієв побу-

дував розв’язок у вигляді ряду, довів рівномірну і абсолютну його збіжність, гладкість. Е.В. Маховср дослідила постановку крайових задач для рівняння коливань пружноі пластинки зі змінною товшиною у залежності від характеру виродження.

О.О. Олійник встановлено єдиність розв’язків крайових задач в необмежених областях для параболічних рівнянь, досліджено поведінку розв’язків на нескінченності для лінійних і загальних параболічних систем диференціальних рівнянь, побудовано функціональні класи єдиності. С.Д. Івасишен отримав умови коректноі розв’язності деяких параболічних крайових задач без початкових умов. М.М. Бокала виділив нелінійні параболічні рівняння, для яких задача Фур’є має єдиний розв’язок в класах функцій, що не залежать від їх зростання при £ —> — оо. С.П. Лавренюк встановив умови однозначної розв’язності задач Фур’є для еволюційних рівнянь і систем високого порядку. Варіаційні нерівності без початкових умов в класі обмежених, періодичних або майже періодичних за часом функцій вивчалися Ж.- Л. Ліонсом і О.А. Панковим.

Зв’язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Тематика дисертації пов’язана з науковими дослідженнями кафедри диференціальних рівнянь Львівського державного університету, її результати використані при виконанні завдань державних тем за номерами N 0195\г009657, N 0193У027106.

Мета і задачі дослідження. Дослідити умови існування та єдиності розв’язків еволюційних рівнянь з другою похідною за часом, які вироджуються на межі області, коефіцієнти яких можуть бути розривними, варіаційних нерівностей і нелінійних параболічних рівнянь, а також умови стійкості та асимптотичної стійкості за Ляпуновим їх нульових розв’язків. Побудувати простори коректності задачі Фур’є для систем типу Нав’є - Стокса та варіаційних нерівностей для систем типу Нав’є -Стокса. Встановити поведінку іх розв’язків при і —> +оо.

Наукова новизна одержаних результатів.

- Отримано умови існування та єдиності узагальнених розв’язків рівнянь типу коливання пластинки з гострим краєм. Доведено достатні умови стійкості й асимптотичної стійкості за Ляпуновим нульових розв’язків таких еволюційних рівнянь і варіаційних нерівностей.

- Встановлено за допомогою методу Гальоркіна умови існування та єди-ності узагальненого розв’язку мішаноі задачі для нелінійного параболічного рівняння та умови стійкості й асимптотичної стійкості за Ляпуно: впм його нульового розв’язку.

- Побудовано простори коректності задачі Фур’є для системи типу На-

в’є - Стокса, встановлено поведінку іі розв’язків і розв’язків варіаційної нерівності для системи типу Нав’є - Стокса при ? -> +ос.

Практичне значення одержаних результатів. Дисертація має теоретичний характер, її результати є певним внеском в теорію рівнянь з частинними похідними і можуть бути використані для подальших досліджень у цьому напрямку.

Особистий внесок дисертанта. У працях [2], [3], [6] С.П. Лавре-нюку належить формулювання задач і керівництво роботою, результати ж отримані автором самостійно.

Апробація результатів дисертації. Результати роботи доповідались на Львівському міському семінарі з диференціальних рівнянь (керівники Б.Й. Пташник, С.П. Лавренюк, П.І. Каленюк 1996, 1997 рр.), Міжнародній математичній конференції, присвяченій пам’яті Ганса Гана (м. Чернівці, 1994 р.), Всеукраїнській науковій конференції, присвяченій 70 - річчю від дня народження професора П.С. Казимірського (м. Львів. 1995 р.), Всеукраїнській конференції, присвяченій 60 - річчю від дня народження В.І. Фодчука (м. Чернівці, 1996 р.).

Публікації. Основні результати дисертації опубліковано в роботах [1 - 8], список яких подано в кінці автореферату і з яких три надруковані у виданнях з переліку N1, затвердженого ВАК України.

Структура і об’єм роботи. Дисертаційна робота складається з вступу, восьми розділів, висновків і списку використаних джерел, що нараховує 110 найменувань. Повний осяг роботи - 138 сторінки, які набрані і надруковані в редакторі ТЕХ.

Автор висловлює щиру подяку С.П. Лавренюку за наукове керівництво та постійну увагу до роботи.

ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі обгрунтовується актуальність теми, дано короткий огляд результатів, що мають безпосереднє відношення до теми роботи, викладено зміст дисертації.

У першому розділі наведено огляд праць, що стосуються досліджень стійкості за Ляпуновим різних математичних моделей, однозначної розв’язності задач без початкових умов і задач з виродженням.

У другому розділі вивчається стійкість за Ляпуновим рівняння типу коливання пластинки з гострим краєм. Досліджуються умови існування та єдиності узагальненого розв’язку рівняння -

П ТІ

ии+^(а^(х,і)иХкХ^хіх~^2(Ьі:і(хЛ)иІ)х + с{хЛ)щ +Ь.{х,ї)и =/(х. і), і, І,к,1 = 1 = 1 (1)

х = (xi, ...,xn) в області Q = П x (0;+oc) з початковими

u(x, 0) = щ{х), іЄЯ. (2)

иг(а;,0) = Ui(a:). ж Є Q (3)

і крайовими умовами, які залежать від характеру виродження. Тут

П - обмежена область з простору R", межа якої дії = Г U Го, причо-

му Г П Г0 = 0. mesFo ф 0, mesF ф 0.

На коефіцієнти рівняння (1) накладено такі умови

aij = akh bij = bji, = 1,..., n.

71 71 n

aQpa(x) rfij < a-j(x,t)TjijTjki ^ агра(х) ^ 77?-, (4)

i,j=1 i,j,k,l—1 i.j—1

q > 0, a0 > 0, для всіх rj є М71*, (x,t) Є Q. де р(х) = inf |х — у\. х Є П.

‘ у€Г0 '

Для шуканої функції и задано такі крайові умови

'|зп = 0,

ди

дї

= 0, 0 < а < 1; иіяо — 0

ви

и|г = 0,

ди

ди

ди dv

- 0. а ^ З

= 0, 1 < а < 3:

(5)

для і Є 5 = [0; +оо), де V - зовнішня нормаль до д£1.

Означення 1. Узагальненим розв’язком задачі (1) - (5) називається фукція и, яка задовольняє включення

и Є Ь^НЦП)), 0 < а < 2, и Є (5:Я^(П)), а £ 2;

щ£і^с{3:Ь2(П)), а>0, (6)

умову (2), а також інтегральну тотожність

| -ЩЬ'і + ^2 аі1}{хіі)ихк*і'их,хі + ^2 + С.(х,І;:и,У+

д і,І,к,1—1 і,І= 1

+к(хЛ)иу — /(х,і)у^сіх сИ = J щьііх

А>

для довільної V Є Ма, що має обмежений носій, де

Ма = {у е Х2(5; НЦП)), 0 < а < 2, £2(5;Я^.ДП)), а ^ 2, •

ь-іЄІ2{3;Ь2(Щ), а > 0},

Пт = <3 П 0 = т}, г > О, Я„(П) (Я^7(П), 0 > а - 1; 7 > /3 - 1)

- замикання множини двічі неперервно диференційовних функцій, які задовольняють умови (5) для 0 < а < 2 (а ^ 2) за нормою

а'1 \ 1/2

р“ ^

Я *Л = 1

И*і„<а> = (/('’" + /В»..)2 + о,«2)*)І/г

Будемо припускати, що виконується умова

П П

^ ак^{х^)щт]к1 ^а2ра{х) ^ т?2- (7)

для всіх і) £ К" , (ж, і) Є <5, де ао -додатна стала. Сформульовано і доведено теореми існування та єднності такого розв’язку.

Теорема 1. Нехай виконуються умови (4), (7) для 0 < а < 2 і, крім того, а%, Ьіс, /і, а£}ш Ьііи си Ы Є і, з, к,1 — Т^п;

П П

> Ьо те для всіх £є г\ Ь0 + ^21 > о, Цх, і) + ^> 0,

Ші .=і ^

а також с > со > 0, де (х, і) є <5, 7ь7г - деякі додатні сталі, причому 7і+72 < 1, а хі, Хй - константи з нерівностей типу Фрідріхса;

и0 Є Я*(її), щ Є і2(П), / Є Г2ос(5;і2(П)). Тоді існує узагальнений розв’язок задачі (1) - (5).

Теорема 2. Нехай виконуються умови (4), (7) для 0 < а < 2 і, крім /) • • /)

того, а$, Ь0-, с, /г, а$м, Ь0-4, с4, Ы Є Ь°°((}), і,і,кЛ= 1 ,п;

У! ^ і'оУ'^ для всіх £ Є М", 60 + —— >0, с ^ с0 ^ 0,

г=і Хі

де (г, і) Є £?, 70 - додатна стала, причому 70 < 1. Тоді задача (1) - (5) має єдиний узагальнений розв’язок.

Стійкість за Ляпуновим трактується більш широко, що дозволяє проводити дослідження методом Гальоркіна.

Означення 2. Нульовий розв’язок задачі (1) - (5) називається стійким за Ляпуновим, якщо для довільного є > 0 знайдеться таке 5 > 0, шо як тільки виконується умова р(и(х, 0)) < 8, тоді р{и(х, і)) < ; для майже всіх

^ Є 5. Якщо ж, крім того,

Ііт езввир р(и(х, ()) = 0, :

(о-»+оо

то нульовий розв’язок будемо називати асимптотично стійкіш.

Отримано умови стійкості і асимптотичної стійкості нульового розв’язку.

Теорема 3. Нехай виконуються умови існування та єлиності розв’язку задачі (1) - (5) з }{х,і) = 0 в <3, 0 < а < 2 і, крім того,

П П

X] ^ о, ^ <0, Гіг < 0

1 * *,І = 1

для всіх г] Є , £ Є їй", (а:,£) Є <3- Тоді нульовий розв’язок стійкий за Ляпуновим. Якщо жсо > 0. то р(и(х,і)) ^ Ае~^ р(и(х, 0)) для майже всіх і Є 5, де /і і А - додатні сталі.

У випадку, коли а ^ 2 сформульовано і доведено аналогічні теореми існування та єдиності узагальненого розв’язку задачі (1) - (5), а також теорему стійкості за Ляпуновим нульового розв’язку.

У третьому розділі розглядається рівняння типу коливання пластинки з гострим краєм. Уточнено результат попереднього розділу у випадку, коли = {(^і, Хо) : 0 < Х\ < а, 0 < Хо < Ь}, Го = {(її, 0) : 0 < її < а}. Одержано оцінки параметрів, які пов’язані з геометрією області.

За допомогою методу Гальоркіна встановлено умови існування та єдиності узагальненого розв’язку рівняння

2 2

Щі +]Г (а^(х1і)пХкХІ)х^-^2(Ьі1{х,і)иХ])х+с(х,і)и = /(х,і). (8) і,І,к,1=1 *,І=1

Використовуючи прямий метод Ляпунова, доведено аналогічні достатні умови стійкості нульового розв’язку у розумінні означення 2. Одержано умови існування достатньо гладкого за часом розв’язку. У цьому ж розділі розглянуто пластинку з криволінійним краєм, яка вироджується у внутрішній точці.

У четвертому розділі досліджується рівняння з розривними коефіцієнтами. В області С}, де $1 є об’днанням областей

Пі = {(я і, хі) : 0<іі<а,0<х2<ЬоЬ ^2 — {(^1,^2) : 0 < я і < а. Ь0 < х2< Ь}. Г = {(її, Ь0) : 0 < Хі < а} розглянуто рівняння

ии+ £ (а^{т\хЛ)иХкІІ)ХіХі- ^(Ь{™){хЛ)и^)х + і,_/,&,/=! і*] — 1

+с{т) (X, і)щ + /і<т> {х, Ои = /(т) (х, І),

(9.т)

х = (11,12) Є Пт, т = 1,2 з аналогічними початковими і граничними умовами. Припускається, що коефіцієнти головної частини рівняння вироджуються при х2 = 0. Для шуканої функції її задано умови спряження

Ь Є 5, Ат = Ат(і), тп = 1,2.

Узагальненим розв’язком такої задачі називається функція, що задовольняє включення з означення 1 і наступну інтегральну тотожність

де Сх (0; +оо), т = 1,2, для довільної V Є Ма, що має обмежений носій. Доведено достатні умови існування та єдиності узагальненого розв’язку, а також умови стійкості і асимптотичної стійкості за Ляпуно-вим нульового розв’язку.

У п’ятому розділі розглядається стійкість за Ляпуновим розв’язку однієї варіаційної нерівності. Нехай Г) - довільна обмежена область про-

стору Кп, <5 = П х 5, V — \¥2’2(£1), Я = Ь2(£і), К - замкнена опукла множина в V, яка містить нульовий елемент. Шукана функція и повинна задовольняти нерівність

де Т - довільна додатна стала, для довільної V, и Є £2(5; Я), ь Є К майже

2

[и]г = 0, [иХ2]г = 0, ^2 {а2^)и^кх,Аі-а^2)иХкХіА2) - 0,

^■ХкХі

о

(10)

Дія оператора .4 визначається рівністю

г/ " "

Ь') — /( ^ ' Я(^1 ^ 1 0 +

£ *-І = 1

(ІХ.

Вважатимемо, шо виконуються умови

+с(х, і)іііУ -І- Л(х, і)ии

а?і = акі■■ ьіі = ьзіі XI аіі(х^)^т ^ °о Ъу а° > °-і^,к,І=: 1 *,.7 = 1

п п

у bij{x,t)ZjЄi ^ Ьо'^ГЄі ДЛЯ довільних г? Є , £ Є К”, (13)

І, і = 1 ** І = 1

£>о + ~~° > 0. /г(.т, і) +- а°-2- > 0, с0 ^ с(х, і) ^ с°, (і, і) Є <3-

Хі

Де 7ь 72“ додатні сталі, причому 7і + 72 < 1.

Доведено теорему існування та єдііності розв’язку цієї задачі.

Теорема 4. Нехай виконуються умови (13) і,.крім того,

О'ІІі ^г_/^ ®ІІН' bij: ^г^£? ^ 5 С^ Є -І/ (0)ї Іі^-?

Со ^ 0, ио Є V, А(0)и0 Є Н, Мі Є А, (14)

а функція / така, що /, /г Є Х]2ос(5; Я). Тоді нерівність (10) має єдиний розв’язок, який задовольняє включення (11) і умови (12). Сформульовано і доведено умови, коли и, щ Є і2(5; У), ии Є І2(5;Я), а також умови стійкості за Ляпуновим і асимптотичної стійкості нульового розв'язку.

Висновки. У даних розділах досліджено умови існування та єдино-сті узагальненого розв’язку рівняння типу коливання пластинки, яке вироджується на частині межі. У випадку, коли П є прямокутником зі сторонами паралельними до осей координат на площині М2 і лінія виродження є однією з сторін цього прямокутника, отримано оцінки параметрів, пов’язаних з геометрією області, а також умови існування достатньо гладкого за часом розв’язку задачі. К.Б Байкузісв дослідив умови існування та єдиності розв’язку мішаних задач для рівнянь з другою похідною за часом і еліптичним самоспряжешгм оператором високого порядку за просторовими змінними, коефіцієнти якого залежать лише від х, причому цей оператор вироджується на межі області.

Стійкість за Ляпуновим нульового розв’язку для рівняння коливання пластинки за допомогою функцій Ляпунова вивчалась у роботах Д. Ями , А. Чеха і С.П. Лавренюка. ■

П

п

Функціонал, стосовно якого визначена міра стійкості, може бути заданим не для всіх моментів часу, що дозволило застосувати метод Гальор-кіна до дослідження стійкості нульових розв’язків рівнянь тішу коливання пластинки з гострим краєм і варіаційних нерівностей для рівняння типу коливання пластинки.

У шостому розділі отримано за допомогою методу Гальоркіна умови існування та єдиності узагальненого розв’язку мішаної задачі для нелінійного параболічного рівняння

П

Щі (аа0 (Ь(ж, |и<г |Р_1)\щх\Р~2ЩХі) х+ с(х)Щ = /(х, ^

|с|=|,в|<2 І=1 ' (15)

в <5 = П х (0;+оо), де П - обмежена область в М", з крайовими и\3 = 0, ^ аа/з(х)и3иі/а

\а\=\0\=2

і початковими

и(х,0) = !р(х), иг(:г,0) = ф{х). х Є О (17)

умовами. Тут 5 = ЗПх(0; +оо). V - нормаль до 5, Vа —[ір >2.

Узагальненим розв’язком такої задачі називається функція и, яка задовольняє рівність

= 0 (16)

-щЬі+ ^2 аа!з(х)О0иОау+

£ 4 |с|=|Д|^2

п .

+ ^2ь(х, \иіх\р~1)\щх\р~2щхіу1і + с(х)иі -/г)с£гЛ = гр І=1 І

■фуйх

для довільної V Є С^), початкові умови і включення

и є £,*([0; +оо); (П)), щ є ([0; +оо); И^(П)), ип Є £&([(); +оо); V'),

де V = Я02(П) Л И^П), V* = Н'2{П) + ^-«(П), і + | = 1.

Будемо говорити, що коефіцієнти рівняння (15) задовольняють відповідно умови (А), (В), (С), якщо: .

(A): аа0(х) = а0а(х), аа/3 Є £°°(П), N = Щ < 2;

аар{х)Пг>уОаь<1х >а0 І ^2 {Вау)2 йх, а0 > 0

я |а|=|,3|^2 I |а|=2

для довільної V Є Я02(П);

(B): для кожного ^ Є [0; +оо) функція х н* 6(х,£) вимірна; для майже всіх

х Є П функція £ ь-> Ь(х,£) неперервна; 0 < бо ^ Ь{х,£) < 6°, (х,£) ЄЙхі: Ь(х,£)£ монотонно зростає для майже всіх х Є П ;

який діє з простору И'г1,р(П) в простір IV 1,Ч(П) , є монотонним, хеміне-перервним і коерцитивним. Сформульовано і доведено теореми.

Теорема 5. Нехай для коефіцієнтів рівняння (15) виконуються умо-

ви (А), (В), (с); / є £2ос([0;+~);£2(П)); р є_я|(П); V є і2(п).

Тоді існує єдиний узагальнений розв’язок задачі (15) - (17).

Теорема 6. Нехай /(х,і) = 0, для коефіцієнтів рівняння (15) виконуються умови (А), (В), (С), с(х) ^ с0 ^ 0 ; <р € іїд(П): 0 Є Ь2(ії). Тоді нульовий роз’язок рівняння (15) стійкий за Ляпуновим. Якщо, крім цього, 2 < р < 2п/(п — 2), с0 > 0. то нульовий розв’язок рівняння (15) асимптотично стійкий за Ляпуновим.

Висновок. Новими є умови існування та єдиності узагальненого розв’язку мішаноі задачі для нелінійного параболічного рівняння з другою похідною за часом, а також достатні умови стійкості за Ляпуновим і асимптотичної стійкості нульового розв’язку, які отримані за допомогою метода Гадьоркіна.

У сьомому розділі досліджено задачу Фур’є для системи типу Нав’є -Стокса. В області ф = П х Е, П С Кп, ЗП С С1, розглянуто систему рівнянь

П

П

О

п

п

п

і=1

п

ТІ

+Є(х,і)и + У~У

щиХі = Ра{х,і) - РІХі(х, і) - gгad р*. (18)

сііущ = 0,

(19)

з крановими умовами

(20)

де 5 = дП х К, и > 0, р > 2. и(хЛ) — (гіі(х.і).......................иа{хЛ)).

ґ;(х,£) = і),..., і)), ВіСі. С - квадратичні матриці по-

рядку 72.

іУгіі2 = !С »,І=1

Встановлено умови існування, які не залежать від зростання розв'язку при і -» -оо.

Теорема 7. Нехай іч- Є Ічос(М;Я), і = 0, п; В,-7- Є £°°(П)),

С,-, г,і = М;р^ 1 + 2п/(п + 2); п^2. Тоді

існує розв’язок задачі (18) - (20) і для кожного розв’язку и цієї задачі справедлива оцінка

Т •

II [Уи(х, <)|рс/х сЙ ^ Со,

Пт т-2 пс

для майже всіх т Є М, де стала С0 залежить від г, П, р, п і функцій С,-,

С, Fj, г,7 = 1, п.

Встановлено поведінку розв’язків при і —^ +оо.

Наслідок. Якщо виконуються умови теореми 7 і, крім цього,

оо

I Jm\z\\Сг(х,в)г/ір-

Р-2) +

<і Пе

П -

dxd6 < оо,

+||С(х,0)Г/<р-2) + |ґо(х,0)Г + ^|^(і,Є)Г

і=і

де v(t) > 0. v(0 Є С^і.оо)), строго монотонно зростає і

|^'(t)| ^/Jio^'(Oi_Q- Q >0, то для кожного розв’язку и задачі (18) - (20)

lim esssup||u(x,t)|jfl = 0.

. «0-++00 t^to

Одержано деякі умови єдиності.

Теорема 8. Нехай Bij,Ci,G Є Lf£c{R\L°°(p))\ (G(x,i)£,£) ^ £?оі€}2-до = const майже для всіх (х, t) Є Q і для всіх £ Є р ^ (п + 2)/2; бо + 'оЗо > у/со'ю. Тоді задача (18) - (20) має єдиний розв’язок и в класі функцій

ие Llc(R:V)nL^c{R:H): J \Vu{x.t)\2dxdt < оо. (21)

Q-oc,0

У восьмому розділі досліджено варіаційну нерівність для системи типу Нав'є - Стокса. Розглядається задача знаходження функції и. шо задовольняє нерівність

і ^ (\Уи\Р ^і,*) ~Ь ^ О^аг^ ^д~і

оЛ І'=1

ЧГ^ .е2

2 о

+У;(С,-(х, О^г,; V - ^) + (С(^. і)и, V - и) -ь)~^ «і(иХі. г - и)~

І=1

— (.Го(я,£).г' — г/) — ^(,РгХ(. (;г, £). і’Гі — иХг) \dxdt ^ і=і '

|и(л:, і2) “ и(ж,і2)і2^а: - ^ J \ь(х, іх) - и(х, іі)|2</г

(22)

^ 2

я о

для довільної у Є V'), ьг Є і|?ос(М; І7*), і; Є А' майже для^всіх

і Є А’ і для довільних £і, & Є ®, т і включення

и Є А^С(М; V) П І“С(М.; Н), и Є А' майже для всіх і Є А', де П С ї^2- А’ -опукла замкнена множина в V, яка містить нульовий елемент. Ф = {(р : <р — (<рі,..., <рп), <рі Є А>(П), = 0}. V - замикання Ф

в (И'ГІ'Р(П))П, Vі - замикання Ф в (Я((П))", І > 2, Н - замикання Ф в [Ь2(П))п. Встановлено аналогічні умови існування розв’язку варіаційної нерівності (22) та поведінку іі розв’язків при і —> +оо.

Висновки. С.Д. Івасишен отримав умови коректної розв’язності деяких параболічних крайових задач без початкових умов. М.М. Бока-ло виділив нелінійні параболічні рівняний, для яких задача Фур’є має єдиний розв’язок в класах функцій, що не залежать від їх зростання при £ —»■ — оо. С.П. Лавренюк встановив умови однозначної розв'язності задач Фур’є для еволюційних рівнянь і систем високого порядку.

У сьомому розділі досліджено задачу Фур’є для системи типу Нав’є -Стокса. Отримано умови існування розв’язку, які не залежать від його зростання при £ —> — оо. Встановлено умови, коли всі розв’язки задачі прямують до нуля при Ь —» +оо. Отримано також деякі умови єдино-сті розв’язку. У восьмому розділі досліджено варіаційну нерівність без початкових умов для системи типу Нав’є - Стокса.

ВИСНОВКИ

- У дисертаційній роботі знайдено умови існування та єдиності розв’язків еволюційних рівнянь типу коливання пластинки з гострим краєм.

- Доведено достатні умови стійкості за Ляпуновим та асимптотичної стійкості нульових розв’язків таких рівнянь, а також нульового розв'язку варіаційної нерівності.

- Отримано умови існування та єдиності розв’язку нелінійного параболі-

чного рівняння і достатні умови стійкості і асимптотичної стійкості його нульового розв'язку. . ■, . . .

- Встановлено коректність задачі Фур’є для системи і варіаційної нерівності типу Нав’є - Стокса. Досліджено поведінку їх розв’язків при і —> +оо.

Основні результати дисертації опубліковані в працях:

1. Онишкевич Г.М. Стійкість за Ляпуновим рівняння типу коливання

пластинки з гострим краєм //Львів, ун-т.- Львів, 1995.- 23 с- Укр,-Деп. в ДНТБ України 4.09.95, N2020 - Ук95. '

2. Лавренюк С.П., Онишкевич Г.М. Стійкість за Ляпуновим нульового розв’язку одного нелінійного параболічного рівняння //Доп. НАН України.- 1996. - N6.- С. 5-16.

3. Лавренюк С.П., Онишкевич Г.М. Стабілізація розв’язків задачі без початкових умов для системи типу Нав’є-Стокса.- Львів: 1996.- 38с. (Препр./ НАН України Центр матем. моделюв. ІППММ ім. Я.С.Під-стригача; 96).

4. Онишкевич Г.М. Стійкість за Ляпуновим рівняння типу коливання пластинки з розривними коефіцієнтами //Вісник Львів, ун-ту,- 1996. Сер. мех.- мат. Вип. 45,- С. 5-16.

5. Онишкевич Г.М. Стійкість за Ляпуновим варіаційної нерівності для рівняння типу коливання пластинки //Вісник Львів, ун-ту,- 1997. Сер. мех.- мат. Вип. 47.- С. 22-31.

6. Лавренюк С.П., Онишкевич Г.М. Стійкість за Ляпуновим рівняння типу коливання пластинки з гострим краєм //Праці Міжнар. матем. конф., присвяченої пам’яті Ганса Гана,- Чернівці. - 1994. - С.84.

7. Галина Онишкевич. Стійкість за Ляпуновим нуяьового розв’язку одного нелінійного параболічного рівняння //Праці Всеукр. наук, конф., присвяченої 70 - річчю від дня народження професора П.С. Казимір-ського.- Львів.- 1995. - С.40.

8. Галина Онишкевич. Про стійкість за Ляпуновим варіаційних нерівностей //Праці Всеукр. конф., присвяченої 60 - річчю від дня народження В.І. Фодчука,- Чернівці: Ін-т матем. НАН України.- 1996. - С.141.

Барабані Г.М. Стійкість за Ляпуновим делких еволюційних систем і рівилнь з другою похідною за часом.- Рукопис.

Дисертація на здобуття вченого ступеня кандидата фізико - математичних наук за спеціальністю 01.01.02 - диференціальні рівняння. Львівський державний університет, Львів, 1998.

У дисертаційній роботі доведено умови існування, єдиності. стійкості за Ляпуновим і асимптотичної стійкості нульових розв’язків рівнянь типу коливання пластинки з гострим краєм, з розривними коефіцієнтами, варіаційної нерівності та нелінійного параболічного рівняння. Досліджено коректність задачі Фур’с та поведінку при і —> +сх> розв’язків систем і варіаційних нерівностей типу Нав’є - Стокса .

Ключові слова: стійкість за Ляпуновим, узагальнений розв’язок, вироджене еволюційне рівняння, задача Фур’є, варіаційні нерівності.

Барабаш Г.М. Устойчивость по Ляпунову некоторых эволюционных систем и уравнений со второй производной по времени.-- Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степенн кандидата физико - математических наук по специальности 01.01.02 - дифференциальные уравнения, Львовский государственный университет, Львов, 1998.

В диссертационной работе доказано условия существования, единственности, устойчивости по Ляпунову и асимптотической устойчивости нулевых решений уравнений типа колебания пластинки с острым краем, с розрывными коэфициентами, вариационной неравностк и нелилнейного параболического уравнения. Исследовано коректность задачи Фурье и поведение при і -4 +оо решений систем и вариационных неравенств типа Навье - Стокса .

Ключевые слова: устойчивость по Ляпунову, обобщенное решение, вырождающееся эволюционное уравнение, задача Фурье, вариационные неравности.

Barabash G.M. Stability by Lyapunov of some evolutionary systems and equations with second derivative by time - Manuscript.

The thesis for obtaining the Candidate of Phisical and Mathematical degree on the speciality 01.01.02 - Differential Equations. Lviv State University. Lviv, 1998.

Conditions of the existence, unity and stability by Lyapunov and assvmp-totical stability of the zero solutions of equations by type of vibration of plane with sharp border with explosive coefficients, variational unequation and non-liner parabolic equation are proved in the work. Wellpossednes of the Fourier problem and the behaviour of the solutions of systems and of variational unequations of type of Navier - Stokes at t —>• +oo are researched.

Key words: stability by Lyapunov, wear solution, degenerated evolutionary equation, Fourier problem, variational unequations. •