Устойчивость решений некоторых классов существенно нелинейных функционально-дифференциальных уравнений тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

На правах рукописи

ЕРМОЛАЕВ Михаил Борисович

УСТОЙЧИВОСТЬ РЕШЕНИЙ НЕКОТОРЫХ КЛАССОВ СУЩЕСТВЕННО НЕЛИНЕЙНЫХ ФУНКЦИОНАЛЬНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

01.01.02 — дифференциальные уравнения

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Ижевск 1996 г.

Работа выполнена б Пермском государственном техническом университете.

Научный руководитель —

кандидат физико-математических паук, доцент Малыгина В. В.

Официальные оппонент ы:

доктор физико-математических наук, профессор Ченцов А. Г.;

кандидат физико-математических наук, доцент Сумин В. И.

Ведущая организация —

Рязанский государственный педагогический университет. Защита состоится « В-О. » .... 1996 г.

в .14. часов на заседании диссертационного совета К 064.47.01 в Удмуртском государственном университете по адресу: 426034, г. Ижевск, ул. Красногеройская, 71, а уд. № 216.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Удмуртского государственного университета.

Автореферат разослан « » . . 1996 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

ПЕТРОВ Н. Н.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы . Математическое моделирование ряда прикладных задач приводит к функционально дифференциальным уравнениям /ФДУ/ с запаздыванием , явно или неявно зависящим от неизвестной функции , в частности - к уравнениям с максимумами и уравнениям с авторегулируемым запаздыванием.

Вопросы существования , единственности и устойчивости решений уравнений с максимумами изучались в работах В.Р.Петухова , а также в работах азербайджанских и болгарских математиков . Результаты этих исследований не достигают той степени общности , которую мог бы дать операторный подход , а эффективные признаки устойчивости , полученные для некоторых классов таких уравнений , труднопроверяемы.

Существованию и . единственности решений дифференциальных уравнений с авторегулируемым запаздыванием .. посвящены работы Р.Драйвера , М.Е.Драхлина , В.П.Максимова , Е.С.Жуковского , С.А. Гусаренко и других математиков . Работы по устойчивости таких уравнений разрозненны и не учитывают специфику нелинейного оператора внутренней суперпозиции .

Цель работы . Исследование вопросов устойчивости решении уравнений с максимумами и с авторегулируемым запаздыванием на основе операторного подхода , получение эффективных признаков устойчивости для некоторых классов скалярных уравнений.

Общие методы исследования . В диссертации применяются методы функционального анализа , теории ФДУ , теории функций действительной переменной .

Научная новизна . На основе установленных свойств операторов , определяющих специфику исследуемых классов ФДУ получены общие утверждения об устойчивости и разрешимости таких урапненин . Для скалярных автономных

уравнений получены эффективные признаки устойчивости , а также доказан аналог теоремы Ляпунова об устойчивости по первому приближению .

Практическая ценность . Работа носит теоретический характер . Однако ее результаты могут найти применение при исследовании на устойчивость решений задач , возникающих в приложениях ( например , в задачах автоматического регулирования ).

Апробация работы . Результаты диссертации докладывались и обсуждались на 5-й и 6-й Украинских конференциях " Моделирование и исследование устойчивости систем ." /Киев, 1994 - 1995 / , на Международной конференции "Дифференциальные уравнения и их приложения " / Саранск , 1994 / , на совместном заседании семинара им. Петровского по дифференциальным уравнениям и математическим проблемам физики и Московского Математического общества / Москва , 1994 / , на Ижевском городском семинаре /1994/ , на семинаре профессора С.Т.Завалищина /Екатеринбург , 1995 / , на Пермских семинарах по функционально - дифференциальным уравнениям/1992-1994/.

Публикации . Основные результаты диссертации опубликованы в 6 работах .

Структура и объем диссертации . Диссертация состоит из введения , двух глав .и списка, литературы . Содержание изложено на 104 страницах . Библиография содержит 72 наименования. .

Содержание диссертации

В работе принял ы следующие обозначения : 11" - п - мерное пространство вещественных векторов с нормой И ;

L ;oc - линейное пространство функций 2: {.&,<*>) -^PJ1, суммируемых на каждом конечном отрезке [ а,Ь ] ; Dtoc - линейное пространство функций х : С«,00-) -*Rn, абсолютно непрерывных на каждом конечном отрезке [ а,Ь ] ; С - банахово пространство непрерывных и ограниченных функций X : la, оо) с Нормой 11 х «с = lup 1 xCfc)l ;

С = { х € С : Elm 1 x(V)l = О , llxllc„ = llxllc } ;

\ со

<Ск={хбС: Цх11с = sup. 1 -escj>(5i) <со ] ;

Lp(a, в), - ~ < а < б « оо, J s ? < _ банахово пространство функций z \>, g) ->- К" , суммируемых с р-й степенью на

а

1Г(а,3), -оо<а<8«оо, -банахово пространство существенно ограниченных на [ а,Ь ) функций z: [а, 8) R"}

Il2ll.„ = wraliup 12(441 ;• tec а.«Ь

в|Г = {не!Г : vraibmUWI = о, Il2ll,r = IIж|1г ] ; t -»<=«

1!° = Г2€ 1Г •■ «2U.~ = wiiiuo 12(Ol е^(^) < ъо} ; У 1 ff t>a

Ь = l xeDtdc- llxllß^x-rali^ClxCtM+liCtM)«^]; D" = Г x e D : km 1*№1 = 0, llxll . = Wxll ] ;

i-»oo

Dy - [X€]D : II* IL, =WraiSu?ClxCt)l + lxWI>e3:p(yf)<oo3 .

8 _ Ы

Во введении дан краткий обзор работ , в которых изучались дифференциальные уравнения с максимумами и с авторегулируемым запаздыванием , а также обосновывается актуальность настоящих исследований.

В параграфе 1.1 рассматривается нелинейное уравнение общего вида:

= CFx)(i) , ( 1 )

где ¿с и F*:Dbc-»-Lbjc- соответственно линейный и нелинейный вольтерровы * операторы . Решением уравнения ( 1 ) назовем функцию х€ Deoc , для которой равенство ( I ) выполняется почти всюду на [а,»).

Для уравнения ( 1 ) в работе доказывается аналоги известных теорем о локальной разрешимости и продолжаемости решения*" , имеющие основополагающее значение при исследовании вопроса существования решения .

Рассмотрим задачу

= Fx + Ф j х(а)=с<. (2)

Пусть х°- некоторое решение этой задачи при =<*", + = о.

Определен и el . Уравнение (1) называется (локально) CB.V) - устойчивым в окрестности решения х° , если существует такое 6°= Е°(х°) >о , для которого при каждой паре 1^.5 ]е В "К", «viv<8'f 1« < 6е ,задача (2) имеет единственное решение х е V , и для любого £ >о найдется такое & ~ 6(х,е)>о, ЧТО ||X-X1|1V<S .кактолько «H^II^S", |C41-U"|<6°) Цф'-i II < 6, lot1-¿г i < 5 , где х1 - решение задачи (2) при а: = с<1,ф = цл

Имеет место следующее утверждение , обобщающее теорему Ляпунова о первом приближении :

Тихонов А.Н О функциональном уравнениях типа Вольтерра и их применениях к некоторым задачам математической физики // Бюлл. Московск. ун-та. - Секция А. -1938.-Т.1 , Вып. 8.-С. 1-25

Азбелев Н.В. , Максимов В.П. , Рахматулина Л.Ф. Введение в теорию функционально - дифференциальных уравнений . - М., Наука , 1991. - 280 с.

Теорема 1 . Пусть линейное уравнение & х = { (В/У)- устойчиво,а оператор Г;\г-> В обладает свойствами: Р(0) = о , и для гаобого к > о найдется такое & > о . что при |х'Ч(^-<5) 1 = 1,2/ имеет место неравенство

I! Fxí - ¥хг\{ъ ^ к • Ц х1 - х2 II^

Тогда уравнение ( 1 ) локально СБ.V) - устойчиво в окрестности тривиального решения .

В параграфе 2.2 изучается особый класс уравнений ( 1 ) -уравнения с максимумами , для которых

Кх Ф{х,м!рх,...,Л1;х], (3?)

Ф т*1

: С1— »о^4) -*■ - вольтерров оператор, а операторы М*: € ?с„ определяются равенствами .:

1 = 1....п. к = 1„ .ш,

где функции Ь*: [<*,<») И измеримы по Лебегу и удовлетворяют условию с^4) ^ -Ь при почти всех Ь >а , функции непрерывны справа, функции

>4: В. И. определяются равенством:

( , если t > а ,

ЗД = ■

если t< а .

Установленные в работе свойства оператора позволяют утверждать ( при наличии естественных ограничений на Ф ) справедливость теорем о локальной разрешимости и продолжаемости решения для уравнения ( 1 ), ( 3 ^ ) , а также других важных утверждений общей теории ФДУ . На основании теоремы 1 доказывается следующее

утверждзнне об устойчивости рассматриваемого уравнения .

Пусть ТВ и "V - любая из пар пространств :.Г и С , "ИГ и €° , и Сг , причем в последних двух случаях предполагается существование постоянной д>о такой , что ^«^-^(««л, 1 = 1....,п, к=1, ,т, припочтивсех 1:>а. .

Теорема 2. Пусть уравнение ' ¿х (ВЛО-

устойчиво , и для оператора Коши Ъ -»V этого уравнения имеет место оценка : || <241 ^ . Пусть также

оператор ф:(В)п"1— Б обладает свойствами : Ф[о, ,о]=о , и существуют такие положительные константы б, . ,4™ , что справедливы неравенства

1П

для Ии^ц«; 1|-»-М1ь<&, ¿ = 1,. ,,т. Если при ЭТОМ о Е < 1

X \ т

/ б(к°+е6 Х>М<1 в случае В =

1=1 ■ Е • В >

то уравнение ( 1 ) , ( 3° ) локально (1В/\Г) - устойчиво в окрестности тривиального решения .

В работе приводится ряд следствий теоремы 2. Для работ , посвященных устойчивости уравнений с максимумами , характерно традиционное понимание устойчивости . В диссертации также рассмотрен вопрос об устойчивости решений уравнения ( 1 ) , ( ) в подобной постановке. Рассмотрим задачу

и пусть ха - решениеэтой задачи при =ч> = о

Определение2. Решение х°уравнения (1) , ( 3°) будем называть устойчивым по Ляпунову , если для всякого <§ > о найдется такое & = £(5)>о , что задача ( 4 ) имеет единственное решение х , как только I - I < 5 , ьи^ I ) I < 8 , и для всякого решения выполняется неравенство : ^ 14(Л) - *осо1 < 5 Если , кроме того, ?и>> ) х(о - х°(1)| = о , то решение

назовем асимптотически устойчивым , Если же существуют такие числа iMl.y^o , что , то решение

назовем экспоненциально устойчивым.

Имеет место

ТесремаЗ. Пусть д = та* wü ^ 11 - l\Ct)\ < ^,

ISIS" 1 i J s т

и выполнены условия теоремы 2 . Тогда тривиальное решение уравнения (1 ) , ( 3°) устойчиво по Ляпунову , асимптотически или экспоненциально в зависимости от того , какая соотнетств"ч"о ыз пвр гп'^стр^нств - ИТ* и ~ , ° « или и С5 • - выбрана в качестве ТЬ и "V

Два заключительных параграфа первой главы посвящены другому классу уравнений ( 1 ) - уравнениям с авторегулируемым запаздыванием , для которых

Fx t{ ф(х, Н„х] , (5^)

где Ф '• L L foc L £ос - вольтерров оператор , а Н^: С - оператор , определяемый равенством:

( Н V41 1 x[ftct,x(t»l , f»(t.xtu>sa, > - [ , Fi (t, x(tl) < а .

Здесь функция ft = c=£ ^AI' R" удовлетворяет

условиям Каратеодори и ^О-,*1* st при почти всех t > а и всех xeR .функция (е = соЦч'1, непрерывна;

записи х[Ь] и ^[Ь] означают, соответственно,

«t ^РчС^.хСОЩ, 1 = 1. X И

Оператор HY-■. СО.&1 — .Lp[a,e,] . где е >а .вообще

говоря , не является непрерывным . В связи с этим решение уравнения ( 1 ) , ( 5 е) имеют некоторые необычные свойства , а именно , никакая степень гладкости функций fi , и

оператора Ф: С|>.6] - Lp[a.S] ->• Lr[a.?] не rapaimrpyeT не только единственности , но и существования локального решения задачи Коши для этого уравнения .

Поэтому в параграфе 1.3 прежде всего рассмотрены вопросы существования решения уравнения ( I ) , ( б*) . Основополагающую роль здесь играет следующая

Лемма". Пусть ebr|>.6] , такое открытое

множество , что для всех x«Q6 выполнено условие :

тел [ -t е [л, б ] : fi^Cfc, Ч"^-л \ ~ с , L = 1, ...п .

Тогда сужение оператора Н г •• Dr[a , £ ] -> 0,6 ] на множество непрерывно в каждой точке xeQg, и образ

всякого ограниченного ( в метрике ) множества из Q6 относительно компактен в LP|X£] .

Исходя из леммы , мы попытались сформулировать принцип исследования разрешимости для определенных классов уравнения ( 1 ) , ( 5V) . На основе этого принципа мы получили ряд теорем , обобщающих результаты работ В.П. Максимова , Е.С. Жуковского , С.А. Гусаренко .

В параграфе 1.4 исследуется устойчивость решений уравнения ( 1 ) , ( 5V) . Специфика оператора Н^ еще в большой степени проявляется при рассмотрении его действия в пространствах , заданных на полуоси . Введем следующее определение.

ОпределениеЗ. Будем говорить , что функция = .M'-Sa^R" ->ИП удовлетворяет условию если существуют такие положительные константы что выполняются неравенства: .

при почти всех -t^i, <= |>, л+л] и при всех

ua.x1) - ixi-x2t

при почти всех + > а и при всех |хЧ<& i = i,2.

Гусаренко С.А. , Жуковский Е.С. , Максимов В.П. К теории функционально - дифференциальных уравнений с локально - волътерровыми операторами // Докл. АН СССР.--1986. - Т.287, № 2. - С.268 -272.

Введем также в рассмотрение банахово пространство Ь л д функций 2[л представимых в виде ^ ^ ^

где ие ( т>е ^.(атд,^), И2!| в,_ _ = ¡¡и||Ц1 + Н-И^

Удалось доказать следующее утверждение.

Теорема4. Пусть линейное уравнение & х = | (-устойчиво , й >о . Пусть также оператор Ф: <СК«Вд.д -» обладает свойствами ? ф[г»,оХ=о# и для тобого к >о найдется такое 5 > о , что

!! Ф [и1;»» ] - ф [и2, у-2 1 «к (II - и- Й^ в+ II^1 11 ьО

при II и'1 Н Св < & , II«-1 IIЕ,1 < & . I = 1.2 .

Пусть , наконец , функция в - [л."-4) - К" -Еп непрерывна по всем

аргументам и удовлетворяет условию (с'^) . Тогда уравнение ( 1 ) , ( 5°) (¡Ь^ТЬ^-устойчиво в окрестности тривиального решения.

Замечание.В условиях теоремы выполнение неравенств ^С^хН-^, 1 = 1.г, можно потребовать лишь при почти всех ^а. и при всех хе(-Г.&°хгде некоторое положительное число.

Те же специфические свойства оператора при

рассмотрении традиционной устойчивости тривиального решения уравнения ( 1 ) , ( 5°) , вынуждают нас отказаться от требования единственности решения задачи Коши

кх = ф[х , Нух ^ , х(а} = <* (6)

при достаточно малых <=< ,

Имеет место следующая теорема.

Теорема5. Пусть уравнение ¿С х = | ( ТЬ)-/ С^, 1Л -

(Г5, ^-/устойчиво ; пусть оператор ф: -* В , где , В И!° /У=Са, © = 1!°, ЛГ=С8,В = ^/обладает свойствами : ф[о,о^=о , и для любого к > о найдется такое <5 >о , что справедливо неравенство

11 Ф [ и , 1>. 3 II ^ < к ( || и || + Й || ^

при всех uéV.^eB, Il ullv , ll^llb<S . Пусть также функция ft ■. [>- Rn Rn удовлетворяет условию (c^ ) . Тогда тривиальное решение уравнения ( 1 ) , ( 5° ) устойчиво по Ляпунову / асимптотически , экспонинциально / в смысле определения 2 с заменой ( 3 ) на (5 ),(4)-на(6)и без требования единственности решения задачи ( 6 ).

Вторая глава диссертации посвящена получению эффективных признаков устойчивости некоторых классов автономных уравнений с максимумами и с авторегулируемым запаздыванием . При этом используется идея сведения вопроса устойчивости исследуемых нелинейных уравнений к вопросу устойчивости класса линейных уравнений , который был подробно изучен , например , в работе В.В. Малыгиной ?

В параграфе 2.1 рассматриваются скалярные "псевдолинейные " уравнения с максимумами вида :

x(-t) ч-a x(t) =-ё мр X(V> ,

x(!jf) = О , £ <0,

a в параграфе 2.2 - скалярные " псевдолинейные " уравнения с авторегулируемым запаздыванием :

x(t4 + = -è вк чк^мт ,t>o, (8)

В терминах параметров л, и ограничения на запаздывания t - fiKco, t - FlK (Ч, x (-t)) получены эффективные признаки экспонинциальной устойчивости тривиального решения уравнений (7)и(8),а также его (В ДО- устойчивости при соответствующем выборе пространств Ъ и "V

Малыгина В.В. Об устойчивости решений некоторых линейных дифференциальных уравнений с последствием // Изв. вузов. Математика. - 1993. - № 5. - С.72-85.

В параграфе 2.3 рассмотрены автономные уравнения более общего вида:

И _ —

хсно = к^с^.хсь^хм],..., *[&тсмсед,1>о,

*0?) =о . г <о. (

Пусть функция £Сц°. .ц,п) в некоторой окрестности точки (о,.... о) имеет непрерывные частные производные по всем аргументам и !(о,...,о)=о. Обозначим а - , 8К = - -^г^1,

8 = 2; вн . Пусть также существует такая положительная постоянная ы , что выполняются неравенства : о -ь - Ак,ч) ¿со при почти всех I >о и о ^ч-^^.^есо при почти всех и при всех , где 6* > о - некоторая константа .

В заданных предположениях имеют место следующие утверждения.

Теоремаб. Если точка е&(аи,&<>) е Х> / изображение н алгоритм построения области X) координатной плоскости приведены в вышеуказанной работе В.В. Малыгиной , а также в приложении диссертации /., то тривиальное решение уравнения ( 9 ) экспоненциально устойчиво и С , С 6Л устойчиво при о < £ ^ , где £><> - некоторое положительное число.

Теорема7. Пусть точка с11(аш, вы) еХ1 , а функции Й^сь.л-), к = 1,..,т, удовлетворяют условию (с£).Тогда тривиальное решение уравнения ( 10 ) экспоненциально устойчиво и ( -

устойчиво при о где <$„ - некоторое положительное число.

Автор выражает благодарность Н.В. Азбелеву за посгоянное внимание и поддержку , а также всем участникам Пермского семинара за интерес , проявленный к работе .

Список опубликованных работ.

1. Ермолаев М.Б. О разрешимости задачи Коши для особого класса уравнений с отклонением , зависящим от неизвестной функции . - Изв. вузов . Математика. - 1993 - № 5. - С.40 - 42 .

2. Азбелев Н. В. , Ермолаев М. Б. , Малыгина В. В. Устойчивость одного класса существенно нелинейных уравнений с запаздывающим аргументом . - Успехи матем. наук . - т. 49 , вып. 4 ( 298 ). 1994 - С.94 - Совместное заседание семинара им И.Г. Петровского по дифференциальным уравнениям и математическим проблемам физики и Московского Математического Общества ( 16-я сессия , 18 -21 янв. 1994 г.).

3 . Ермолаев М.Б. О разрешимости и устойчивости решений уравнений с авторегулируемым запаздыванием . -Тезисы докладов Украинской конференции " Моделирование и исследование устойчивости систем " - С. 110 - 111 ( 16 - 20 мая 1994 г.).

4 . Ермолаев М.Б. Об устойчивости уравнений с запаздыванием , зависящим от неизвестной функции . - Изв. вузов , Математика . - 1994 - № 6 - С.60 - 63 .

5 . Ермолаев М.Б. Об устойчивости уравнений с максимумами - Тезисы докладов Международной конференции "Дифференциальные уравнения и их приложения", г. Саранск (20 - 25 дек. 1994 г.) - С. 139.

6 . Ермолаев М.Б. Аналог теоремы Ляпунова об устойчивости по первому приближению для одного класса уравнений с максимумами . - Тезисы докладов 6-й У:сраинской конференции " Моделирование и исследование устойчивости систем "(21 - 23 мая 1995 г.)

Подписано к. печати 10.01.96 г. '-йорм&т издэн'/я 60x84 1/10. Печ. л. 0,7о. .Усл. п. л. 0,69. Закз:) 37/р, Тира.* 90 ока.

Типогрк.тмд ГУ КГ;1{, г. Иваново, ул. Ермака, 41