Устойчивость тонких прямоугольных сопряженных пластин тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

Введение

1 Устойчивость цилиндрической оболочки с квадратным поперечным сечением

1.1 Формулировка проблемы.

1.2 Решение задач устойчивости.1G

1.3 Исследование решений задач устойчивости.

1.4 Численные примеры.

1.5 Расчеты методом конечных элементов.

2 Устойчивость шарнирно опертой цилиндрической оболочки с прямоугольным поперечным сечением.

2.1 Постановка задачи.

2.2 Точное решение задачи устойчивости.

2.3 Приближенное решение задачи.

2.4 Расчеты МКЭ. 3G

3 Устойчивость оболочки с прямоугольным поперечным сечением, имеющей два свободных края.

3.1 Формулировка проблемы.

3.2 Приближенное решение задачи устойчивости.

3.3 Численный пример. 4G

3.4 Расчеты МКЭ. 4G

4 Устойчивость тонких прямоугольных сопряженных пластин

4.1 Устойчивость двух прямоугольных сопряженных пластин (уголок).

4.2 Устойчивость трех прямоугольных сопряженных пластин (тавр).

4.3 Устойчивость двутавра.G

Интерес к задачам устойчивости тонкостенных оболочек, состоящих из сопряженных прямоугольных пластин, обусловлен широким использованием таких оболочек на практике. Образованные из тонких сопряженных пластин конструкции сочетают в себе легкость с высокой прочностью, что объясняет их применение в судостроении, авиа- и ракетостроении, многих других отраслях и, в частности, в автомобильной промышленности.

Некоторые детали автомобиля представляют собой пустотелые или заполненные тонкостенные конструкции. Одной из важнейших задач является анализ поведения элементов конструкций автомобиля при столкновении. Указанная задача стимулировала исследования устойчивости тонкостенных конструкций различной геометрии при различных условиях нагружения.

Расчет на устойчивость является одним из важных элементов расчета при проектировании тонкостенных конструкций в различных областях техники — судостроении, ракетостроении, строительстве, машиностроении. К тонкостенным пространственным конструкциям, которые исследуются на устойчивость, относятся, к примеру, оболочки трубопроводов, железнодорожные и автодорожные коробчатые мосты, тонкостенные системы бункеров, конструкции высотных зданий.

Задачам устойчивости стержней, пластин и оболочек посвящено большое число публикаций. Значительный вклад в исследования в этой области был внесен Л. С. Вольмиром [9], С. П. Тимошенко [29, 30], В. 3. Власовым [7, 8]. Устойчивостью упругих систем занимались также Н. А. Алфутов [1], Э. II. Григолюк и В. В. Кабанов [12], И. А. Биргер и Я. Г. Пановко [27] и многие другие, чьи успехи способствовали развитию теории устойчивости и различных методов расчета оболочек.

Рассматриваемые в данной работе оболочки нагружены статической консервативной нагрузкой, величина и направление которой не меняется со временем. При действии на оболочку статических нагрузок ее работоспособность зависит от значений критических нагрузок, при достижении которых происходит потеря устойчивости.

Линейные задачи устойчивости оболочек сводятся к краевым задачам на собственные значения для систем дифференциальных уравнений в частных производных. В задачах устойчивости интерес представляют лишь наименьшие и, может быть, близкие к ним собственные значения краевой задачи. Условие существования ненулевого решения уравнений устойчивости служит для определения критической нагрузки. При решении задач устойчивости удобно считать, что нагрузка меняется пропорционально параметру нагруженпя Л. Тогда задача устойчивости сводится к задаче на собственные значения параметра Л, а в качестве критического значения следует взять наименьшее собственное значение Л.

Актуальными являются разработка новых и совершенствование существующих методов расчета тонкостенных конструкций.

Аналитические методы решения задач устойчивости в простейших случаях дают точное решение задачи. В общих случаях они приводят к достаточно точному приближенному решению и проясняют качественную картину.

Асимптотические методы, основанные на разложениях решений в ряд по степеням малого параметра, занимают ведущее место среди методов построения приближенных аналитических решений. Решения, полученные с использованием асимптотических методов, позволяют проанализировать влияние различных параметров на поведение тонкостенной конструкции. Асимптотические методы успешно применяются для решения линейных краевых задач на собственные значения. С их помощью построены приближенные асимптотические формулы для форм потери устойчивости. Описанию и применению асимптотических методов посвящены работы [3, 4, 13, 23, 2G, 32, 33, 34, 47].

В свою очередь, методы численного решения задач устойчивости на сегодняшний день достигли высокого уровня. Для осесимметрич-по нагруженных оболочек часто применяются методы ортогональной прогонки, а в более сложных случаях, не допускающих разделения переменных, - различные вариационные методы. В данной работе при решении задач устойчивости используются численные методы (метод Ныотона, метод прогонки) и вариационный метод (метод конечных элементов).

Одной из первых книг, написанных на тему метода конечных элементов, была книга О. Зенкевича и И. Чапга [49]. Метод конечных элементов изначально использовался в строительной механике, но оказалось, что он имеет широкое применение во многих научных и инженерных приложениях. На сегодняшний день метод конечных элементов — один из наиболее популярных методов численного решения инженерных, физических и математических задач. Метод конечных элементов применяется к задачам теории упругости, теории пластин и оболочек, теплопроводности, теории потенциала. К области применения метода относятся летательные аппараты, автомобили, суда, стальные и железобетонные мосты, каркасы зданий и многое другое. В отличие от аналитических методов он позволяет значительно приблизить расчетную схему к реальному объекту. Обзор метода, его приложений к расчету инженерных конструкций и задачам механики сплошной среды и описание компьютерных программ на его основе содержатся в работах [24, 25, 3G, 37, 38, 39, 41, 45, 4G, 48].

В настоящее время существуют готовые пакеты программ для численных расчетов тонких оболочек, которые значительно облегчают работу и уменьшают процент арифметических ошибок. Однако численные методы имеют свои недостатки: они требуют достаточно много времени для подготовки начальных данных и больших вычислительных мощностей, их применение затруднено при расчетах систем, в которые входят очень большие или очень маленькие величины.

К примеру, при расчете методом конечных элементов в пакетах программ, задание граничных условий отличается от задания граничных условий в теории. Подобрать соответствие между ними бывает достаточно трудно. Распространение численных решений на задачи, не проанализированные теоретически, нередко приводит к ошибочным результатам. Таким образом, аналитические и численные методы дополняют друг друга, и численные методы можно использовать для оценки достоверности теории.

В диссертации исследуется устойчивость тонких сопряженных пластин при осевом сжатии. Исследования по расчету пластин можно встретить в работах С. П. Тимошенко и С. Бойцовского- Кригера [29, 31], Д. В. и Е. Д. ВаГшбергов [5] и в книге [44].

Основная часть работы посвящена устойчивости тонких цилиндрических оболочек, представляющих собой четыре сопряженные пластины. Такие оболочки относятся к классу коробчатых или призматических оболочек.

Призматическими оболочками в свое время активно занимался В. 3. Власов. Его монография [8] содержит общую теорию и вариационные методы расчета пространственных систем тина призматических и цилиндрических оболочек. Он рассматривал оболочки, состоящие из конечного числа тонких прямоугольных пластин, которые жестко соединены между собой на линиях сопряжения так, что в каждой точке этих линий устранена всякого рода подвижность каждой пластинки относительно соседних с нею.

В. 3. Власов внес неоценимый вклад в создание теории расчета призматических оболочек, формулировка которой наложила существенный отпечаток как на создание методов расчета сложных объектов, так и на широкое использование ее в различных отраслях науки и техники (самолето- и ракетостроении, судостроении, строительстве). Власов предложил новый вариационный метод, сводящий расчет тонкостенных оболочек к расчету дискретно-континуальной системы. Это было возможно в силу представления искомой функции (к примеру, прогиба пластины), зависящей от двух переменных, в виде произведения двух функций, каждая из которых была функцией одного переменного. Это приводило систему дифференциальных уравнений оболочки в частных производных к системе обыкновенных дифференциальных уравнений.

Призматические оболочки исследовались также Н. И. Векуа [6]. Современные работы, посвященные таким оболочкам, представлены Е. С. Вронской [10], О. JI. Соколовой [28], Д. Л. Высоковским и В. II. Шумейко [11], С. П. Ивановым [15]. Учебное пособие [28] содержит изложение метода пространственного расчета коробчатых пролетных строений мостов многосвязного сечения как призматических оболочек, что позволяет исследовать такие конструкции как ангары, перекрытия, покрытия, технические этажи, подпорные стенки, пролетные строения коробчатых мостов, кузова - фургоны.

Классическая теория устойчивости топких цилиндрических оболочек, находящихся под действием осевых сжимающих сил [8, 9, 29, 30], дает значения критических нагрузок, которые обычно существенно превышают значения, полученные экспериментально. Одной из основных причин расхождения теоретических и экспериментальных результатов является чувствительность к несовершенствам срединной поверхности оболочки.

Другая причина связана с влиянием граничных условий. В работах [17, 43] показано, что отношение величины осевой критической нагрузки для круговой цилиндрической оболочки со свободным краем к ее классическому значению для шарнирно опертой оболочки составляет 0.37. Ввиду этого отличие граничных условий, используемых в теоретических исследованиях, от реальных граничных условий может послужить причиной существенного различия между теоретическими и экспериментальными значениями критических нагрузок. Слабое закрепление края может существенно уменьшить критическую нагрузку.

Данная работа состоит из 4 глав. В первой главе исследуется задача устойчивости цилиндрической оболочки с квадратным поперечным сечением. Во второй главе рассматривается шарнирно опертая цилиндрическая оболочка с прямоугольным поперечным сечением. В третьей главе решается задача устойчивости цилиндрической оболочки с прямоугольным поперечным сечением и двумя свободными краями. В последней главе изучаются оболочки с поперечным сечением в виде уголка, тавра и двутавра.

Рассматривается упругая цилиндрическая оболочка, сжимаемая между двумя абсолютно твердыми параллельными плитами.

Предполагается, что смещениям края оболочки в плоскости плиты могут препятствовать только силы трения между оболочкой и плитой. Если силы трения так велики, что исключают перемещения краев оболочки в плоскости плиты, то граничные условия па краях оболочки совпадают с условиями шарнирного опирания краев.

Форма потери устойчивости равномерно покрывает всю поверхность стенок оболочки.

Для шарнирно опертой оболочки с квадратным поперечным сечением точное значение критической нагрузки приведено в монографии [40] и статье С. Б. Филиппова [35].

Случай, когда силы трения равны нулю, соответствует гранпч-пьш условиям свободных краев. Форма потери устойчивости локализуется возле краев оболочки.

Локализация в окрестности края может быть связана с особенностью его закрепления и переменностью определяющих характеров. Такие формы потери устойчивости возможны для оболочек нулевой кривизны под действием осевого сжатия.

Эффект локализации формы потери устойчивости вблизи свободного края, по-видимому, впервые, был описан в работе А. 10. Ишлинского [16] при рассмотрении пластины с двумя свободными краями при осевом сжатии. Локализация прогибов цилиндрических панелей и круговых цилиндрических оболочек вблизи свободных или слабо закрепленных краев при потере устойчивости под действием осевого сжатия исследована в книгах П. Е. Товстика и А. Л. Смирнова [32, 47].

Эффект локализации формы потери устойчивости также был рассмотрен в книге [43] для круговой цилиндрической оболочки со слабо закрепленными краями, в статье [42] для случая оболочки с квадратным поперечным сечением и слабо закрепленными краями, в статье [14] — для цилиндрической панели со слабо закрепленными прямолинейными краями.

В работе [35] для оболочки с квадратным поперечным сечением, у которой хотя бы один из краев оболочки свободен, асимптотическим методом получены простые формулы, позволяющие найти приближенное значение критической сжимающей нагрузки и построить форму потери устойчивости, локализованную вблизи свободного края. Асимптотические формулы дают хорошее приближение к точному решению, если душна оболочки достаточно велика.

В диссертации получено точное аналитическое решение задачи устойчивости для оболочки с квадратным поперечным сечением с двумя свободными краями и найдены собственные значения краевой задачи, соответствующие антисимметричной и симметричной формам потери устойчивости. Использование же приближенного подхода [35] не позволяло различить собственные значения для антисимметричной и симметричной форм.

Было показано, что задача устойчивости оболочки с квадратным поперечным сечением может быть сведена к задаче устойчивости пластины [35]. Устойчивость пластин широко освещена в литературе, к примеру, в монографиях А. С. Вольмира [9] и С. П. Тимошенко [29, 30].

В первой главе также проведено исследование решений задач устойчивости в зависимости от длины оболочки и представлены приближенные асимптотические решения для оболочки со свободными краями. Если оболочка достаточно длинна, ее форма потери устойчивости походит на форму прогиба стержня. Еще В. 3. Власов [7, 30] разделял цилиндрические и призматические оболочки на три класса: длинные, средней длины и короткие. К длинным оболочкам относятся тонкостенные стержни (для которых может быть принята гипотеза о неизменяемости формы поперечного сечения), оболочки средней длины обладают деформируемым профилем и сопротивляются изгибу только в поперечном направлении, а в коротких оболочках следует учитывать наряду с поперечными изгибающими моментами еще и продольные изгибающие и крутящие моменты. В его работе [7] излагается общая теория прочности, устойчивости и колебаний тонкостенных стержней, где он отказался от рассмотрения тонкостенного стержня как бруса и использовал в качестве основы теорию призматической оболочки. Примером тонкостенных стержней могут быть отдельные элементы ферм и рам, металлические сварные балки.

Во второй и третьей главах рассматривается задача устойчивости цилиндрической оболочки с прямоугольным поперечным сечением при осевом сжатии.

В главе 2 найдено точное численное решение задачи устойчивости для шарнирно опертой оболочки с прямоугольным поперечным сечением.

Если поперечное сечение оболочки близко к квадратному, то для нахождения приближенного значения параметра критической нагрузки применяется асимптотический метод. В качестве начального приближения асимптотического метода используется решение задачи устойчивости оболочки с квадратным поперечным сечением.

Для шарнирно опертой оболочки с прямоугольным поперечным сечением предполагается возможность свести задачу к одномерной путем разделения переменных и асимптотическим методом получено приближенное значение параметра критической нагрузки.

Рассматриваемая в главе 3 задача устойчивости оболочки с прямоугольным поперечным сечением и двумя свободными краями является существенно двумерной. Для нее также разработан алгоритм определения приближенного значения параметра критической нагрузки с использованием асимптотического метода.

Четвертая глава посвящена системам двух (уголок) и трех (тавр) и пяти (двутавр) сопряженных прямоугольных пластин под действием продольной равномерной сжимающей нагрузки, параллельной линии сопряжения. Нагрузка приложена к противоположным шарнирно опертым поперечным сторонам пластин. На свободных от иагружеиия и сопряжения продольных сторонах заданы условия шарнирного опирания или свободного края.

При шарнирном опирании продольных сторон пластин задача устойчивости имеет явное решение [35], если стенки уголка или тавра имеют равную ширину. В работе Тимошенко [30] отмечалось, что задача о сжатии уголка со стенками равной ширины сводится к задаче о сжатии пластины и поведение стенок уголка аналогично поведению отдельных пластин при соответствующих условиях.

Если стенки сопряженных пластин не равной ширины или на продольных сторонах заданы условия свободного края, то задача сводится к определению корней определителя с элементами, зависящими от искомой величины. К задаче об устойчивости уголка при соответствующих условиях на краях сводилась задача о шарнирно опертой цилиндрической оболочке с прямоугольным поперечным сечением [20].

Если длина оболочки намного больше характерного размера поперечного сечения, то уголок и тавр можно рассматривать как балки. Тонкостенные стержни открытого профиля используются в качестве механических моделей для висячих мостов корытного или двутаврового сечения, в авиации и судостроении — для описания деформаций стрингеров и шпангоутов.

Теория изгиба, кручения и устойчивости стержней открытого профиля (уголкового, таврового, двутаврового сечений) рассматривалась в работах С. П. Тимошенко и В. 3. Власова [30], А. С. Вольмира [9], в которых обращалось внимание на такую особенность стержней открытого профиля, как слабая сопротивляемость кручению. В работах уточняется классическая теория Эйлера и исследуются явление потери устойчивости и критические состояния стержня в более общей постановке с учетом пространственных изгибно-крутильных форм равновесия.

В каждой главе приводятся результаты численных расчетов и расчетов методом конечных элементов. Помимо приближенных значений параметра критической нагрузки, метод конечных элементов позволяет получить формы потери устойчивости соответствующих конструкций, оценить границы применимости приближенных асимптотических методов и подтвердить достоверность применяемых аналитических методов.

В работе получены приближенные аналитические формулы для критической нагрузки и формы потери устойчивости, позволяющие легко проводить анализ влияния параметров задачи на критическую нагрузку. Результаты могут служить для контроля результатов полученных численными методами, например при использовании метода конечных элементов.

Основные результаты, выносимые на защиту:

Для оболочки с квадратным поперечным сечением получены и исследованы точные решения задачи устойчивости. Определена критическая сжимающая нагрузка для ряда конкретных параметров оболочки при различных граничных условиях.

Найдено точное решение задачи устойчивости для шарнпрно опертой оболочки с прямоугольным поперечным сечением. Асимптотическим методом получены приближенные формулы для параметрои критической нагрузки оболочки с прямоугольным поперечным сечением, близким к квадратному, при различных граничных условиях на торцах. Исследована зависимость критической нагрузки от формы поперечного сечения и граничных условий.

В явном виде получены уравнения для определения параметров критической нагрузки в задачах устойчивости оболочек открытого профиля в виде уголка и тавра.

Методом конечных элементов проведены расчеты критических нагрузок и форм потери устойчивости для оболочек с квадратным, прямоугольным, уголковым, тавровым и двутавровым поперечными сечениями. Путем сравнения результатов расчетов методом конечных элементов с результатами аналитических вычислений дана оценка границ применимости приближенных методов.

Основные результаты, выносимые на защиту:

В данной работе исследуется устойчивость тонких упругих прямоугольных сопряженных пластин.

Для оболочки с квадратным поперечным сечением получены и исследованы точные решения задачи устойчивости. Определена критическая сжимающая нагрузка для ряда конкретных параметров оболочки при различных граничных условиях.

Найдено точное решение задачи устойчивости для шарнирно опертой оболочки с прямоугольным поперечным сечением. Асимптотическим методом получены приближенные формулы для параметров критической нагрузки оболочки с прямоугольным поперечным сечением, близким к квадратному, при различных граничных условиях на торцах. Исследована зависимость критической нагрузки от формы поперечного сечения и граничных условии.

В явном виде получены уравнения для определения параметров критической нагрузки в задачах устойчивости оболочек открытого профиля в виде уголка и тавра.

Методом конечных элементов проведены расчеты критических нагрузок и форм потери устойчивости для оболочек с квадратным, прямоугольным, уголковым, тавровым и двутавровым поперечными сечениями. Путем сравнения результатов расчетов методом конечных элементов с результатами аналитических вычислений дана оценка границ применимости приближенных методов.

Заключение

1. Алфутов 1.. А. Основы расчета на устойчивость упругих систем. М.: Машиностроение, 1978. 312 с.

2. Амосов А. С. Колебания тонкой цилиндрической оболочки с прямоугольным сечением //Вести. СПбГУ. Сер. 1. 2004. Вып. 1. С. С7-72.

3. Бауэр С. М., Смирнов А.Л., Товстик П.Е., Филиппов С.Б. Асимптотические методы в примерах и задачах. Изд. СПбГУ. 1997. 27G с.

4. Вазов В. Асимптотические разложения решений обыкновенных дифференциальных уравнений. М., 19G8. 464 с.

5. Вайиберг Д. В., Вайпберг Е.Д. Расчет пластин. Киев, 1970. 436 с.

6. Вскуа II. И. Об одном методе расчета призматических оболочек // Труды Тбилисского математического института. 1955. Т. 21. С. 191-259.

7. Власов В. 3. Избранные труды. Т. 2: Тонкостенные упругие стержни. М.: Изд-во АН СССР, 1963. 507 с.

8. Власов В. 3. Избранные труды. Т. 3: Тонкостенные пространственные системы. М.: Изд-во АН СССР, 1964. 488 с.

9. Вольмир А. С. Устойчивость деформируемых систем. М.: Наука, 1967. 984 с.

10. Высокооский Д. А., Шумейко В. И. О некоторых следствиях теории призматических оболочек // Изв. РАН. Механика твердого тела. 2004. № 2. С. 145-150.

11. Григолюк Э. И., Кабанов В. В. Устойчивость оболочек. М.: Наука, 1978. 360 с.

12. Гольденвейзер A. JI. Асимптотический метод в теории оболочек // Успехи механики. 1982. Т. 5. Вып. 1/2. С. 137-182.

13. Ершова 3. Г. Устойчивость цилиндрической панели со слабо закрепленными прямолинейными краями // Вести. СПбГУ. Сер. 1. 1993. Вып. 3. С. 93-97.

14. Иванов С. П. Колебания призматических оболочек при больших перемещениях // Изв. Вузов. Строительство. Теория инженерных сооружений. 1999. № 1.

15. Ишлинский А. 10. Об одном предельном переходе в теории устойчивости упругих прямоугольных пластин // Докл. АН СССР, 1954. Т. 95. № 3. С. 477-479.

16. Кильчевекий II. А. Об осесимметричных деформациях и упругой устойчивости круглой трубы, находящейся под действием продольных сжимающих сил // Прикл. мат. и мех. 1942. Т. 6. № 6. С. 497-508.

17. Кликушина М. В. Устойчивость цилиндрической оболочки с прямоугольным поперечным сечением под действием осевой сжимающей нагрузки // Третьи Поляховские чтения: Избранные труды международной научной конференции по механике. СПб, 2003. С. 266-270.

18. Кликушина М. В. Устойчивость цилиндрической оболочки с прямоугольным поперечным сечением со свободными краями // Вести. СПбГУ. Сер. 1. 2004. Вып. 2. С. 91-96.

19. Кликушииа М. В. Устойчивость шарнирно опертой цилиндрической оболочки с прямоугольным поперечным сечением. // Вести. СПбГУ. Сер. 1. 2004. Вып. 1. С. 89-95.

20. Кликушииа М. В., Смирнов А. Л., Филиппов С. Б. Устойчивость цилиндрической оболочки с квадратным поперечным сечением // Вторые Поляховские чтения: Тезисы докладов Всероссийской научной конференции по механике. СПб, 2002. С. 121.

21. Кликушииа М. В., Филиппов С. Б. Устойчивость цилиндрической оболочки с квадратным поперечным сечение*м, имеющей два свободных края // Вестн. СПбГУ. Сер. 1. 2001. Выи. 1. С. 86-92.

22. Найфе А. Введение в методы возмущений. М., 1984. 536 с.

23. Наумова Н. В. Расчет стержневых и оболочечных конструкций методом конечных элементов в пакетах ADINA и ANSYS. СПб: Изд. СПбГУ, 2004. 53 с.

24. Норри Д., де Фриз Ж. Введение в метод конечных элементов. М.: Мир, 1981. 299 с.

25. Образцов II.Ф., Нерубайло Б.В., Андрианов И.В. Асимптотические методы в строительной механике тонкостенных конструкций. М.: Машиностроение, 1991. 416 с.

26. Прочность. Устойчивость. Колебания. Справочник в 3 т. (Под ред. И. А. Биргера и Я. Г. Пановко). М.: Машиностроение, 1968.

27. Соколова О. Л. Расчет призматических оболочек. Часть 2. Учебное пособие. Вологодский политехнический институт, 1996. 80 с.

28. Тимошенко С. П. Устойчивость стержней, пластин и оболочек. М.: Наука, 1971. 807 с.

29. Тимошенко С. П. Устойчивость упругих систем. ОГИЗ, М.- JI.: 1946. 532 с.

30. Тимошенко С. П., Войповский-Кригср С. Пластинки и оболочки. М., 19G3. 635 с.

31. Товсгпик П. Е. Устойчивость тонких оболочек: асимптотические методы. М.: Наука, 1995. 320 с.

32. Товстик П. Е., Бауэр С. М., Смирнов А. Л., Филиппов С. Б. Асимптотические методы в механике тонкостенных конструкций. СПб.: Изд-во СПбГУ, 1995. 184 с.

33. Федорюк М. Ф. Асимптотические методы для линейных обыкновенных дифференциальных уравнений. М., 1983. 352 с.

34. Филиппов С. Б. Устойчивость цилиндрической оболочки с квадратным поперечным сечением //Вести. СПбГУ. Сер. 1. 1999. Вып. 3. С. 97-101.

35. ADINA System Online Manuals. USA, Watertown, 2000.

36. ADINA Users Guide. USA, Watertown, 2001.

37. Bathe K. J. Finite Element Procedures in Engineering Analysis. New Jersey, Prentice Hall, 1982. 735 pp.

38. Bathe K. J., Wilson E. L. Numerical Methods in Finite Element Analysis. Englewood ClifTs, Prentice-Hall, 1976. 524 pp.

39. Bleich F. Buckling strength of metal structure. New York, McGraw-Hill Publ., 1952.

40. Cook R. D. Concepts and Application of Finite Element Methods. New York, Wiley, 1982.

41. Filippov S. В., Haseganu E., Smimov A. L. Buckling analysis of axially-compressed square elastic tubes with weakly supported edges // Teclmishe Mechanik. 2000. T. 2. jV 1. P. 13-20.

42. Nachbar \V., Hoff N.J. The buckling of free edge of an axially compressed circular cylindrical shell // Quart. Appl. Math. 1962. Vol. 20. № 3. P. 267-277.

43. Pank V. Theories of elastic plates. Leyden, 1975. 71G pp.

44. Rao S. S. The Finite Element Method in Engineering. Oxford, Pergamon Press, 1982.

45. Stasa F. L. Applied Finite Element Analysis for Engineers. New York, CBS Publ. Japan, 1985. 658 pp.

46. Tovstik P. E., Smirriov A. E. Asymptotic Methods in the Buckling Theory of Elastic Shells. World Scientific Publishing Co, 2001. 348 pp.

47. Zienkeiwicz О. C. The Finite Element Method in Engineering Sciences. London, McGraw-Hill Publ., 1977. 520 pp.

48. Zienkiewicz О. C., Cheung Y. K. The Finite Element Method in Structural and Continuum Mechanics. London, McGraw-Hill Publ., 1967.