Весовые краевые задачи для сингулярных дифференциальных уравнений тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

АКАДЕМИЯ НАУК ГРУЗИИ Тбилисский математический институт им. А.М.Размадзе

на правах рукописи

ОГАНЕСЯН ГРО РАФАЕЛОВИЧ

ВЕСОВЫЕ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ СИН1УЛЯРНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

01.01.02 - дифференциальные уравнения

Автореферат

диссертации на соискание степени доктора физико-математических наук

ТБИЛИСИ - 1991

Работа выполнена в отделе дифференциальных и интегральных уравнений Института математики АН Армерии.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Ю.А.Дубинский, доктор физико-математических наук, профессор А.М.Нахушев, доктор физико-математических наук, профессор Р.Л.Шахбагян.

Ведущая организация - Московский государственный университе:

Защита диссертации состоится .

в час. ^ мин. на заседании специализированного совета

Д.007.12.01 при Математическом институте юл.Г азмадзе

380093 Тбилиси, ул.Рухадзе, I, тел. 355977 , 364595

С диссертацией мояно ознакомиться в библиотеке Института.

Автореферат разослан__ 199/г.

А.

Ученый секретарь: к.ф.-м.н. Р.Н.Абдулаев

; ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

•» I

(!

¿.^Актуальность теш. Диссертация посвящена исследованию кор-юктности весовых задач Коши и Дирихле для уравнений в частных гроизводных с сингулярными ( неограниченными ) на границе облас-1и коэффициентами.

Первые постановки задачи Коши возникли в середине восемнад-

[атого века, при исследовании уравнения колебаний струны Далам-

¡ером, Эйлером и Д.Бернулли. Решение Даламбера уравнения стру-

ы содержало две произвольные функции. Этот произвол устранил

йлер, который зафиксировав начальное положение и начальную

корость струны, пс существу первым рассмотрел задачу Кош для

равнения струны. Общая теория задачи Кош, созданная Коши не

илучила вначале широкой известности. Его результаты вспомнили

:шпь через тридцать лет, когда их переоткрыла С.Ковалевская.

'еорема Коши - Ковалевской утверждает, что для нехарактеристи-

еской задачи Коши для системы с аналитическими коэффициентами

ри аналитических начальных данных имеют место (локально-) су-

¡ествование и единственность в классе аналитических функций. В

;альнейшем из физических задач возникла потребность обобщения

■еореш Коши - Ковалевской на неаналитический случал, однако

[.Лдампр на примере задачи Коши для уравнения Лапласа показал,

;то малое возмущение начальных дашшх мскет привести к сильно-

у возмущению решения. В связи с этим Адамар ввёл понятие кор-

¡ектнои началь«"й или краевой задачи для уравнения в частных

гроизводчих. Задача называется корректной, если она имеет один-

:?г-еччое гг-нечно, ь'^прер'.вно р.агпсетое от начальных дишых за-

,ачи 'з некотором классе 'Зуптшпй конечной гладкости, Лдамаром

>кла доказана корректность задачи Кося для линейш-х гпперболг:-

- I ~

ческих уравнений второго порядка с переменными коэффициентами. Однозначная разрешимость задачи Дирихле для конкретных эллиптических уравнений была уже известна Гауссу и Дирихле. Рассматривая задачу Коши для системы общего вида с коэффициентами, зависящими только от времени И.Г.Петровский показал, что она корректна в классе функций конечной гладкости тогда и только тогда, когда система обыкновенных дифференциальных уравнений, получающаяся из исходной применением преобразования Фурье по пространственным переменным имеет фундаментальную систему решений, растущую по двойственным переменным не быстрее некоторой степени , при |и,\-»-оо . На основе этого результата Петровский ввёл классификацию систем уравнений с частными производными и доказал корректность задачи Кош для гиперболических систем. В дальнейшем теорию Адамара-Петровского существенно упростила и углубила теория обобщённых зункций Соболева, Шварца и теория псевдодифференциальных операторов.

Уравнения сингулярные на границе впервые были рассмотрены М.В.Келдышам [i], который заметил, что при постановке краевых задач для них, часть границу должна иногда освобождаться от краевых условий. А.В.Бицадзе [2} предложил для таких уравнений ставить задачи Коши и Дирихле с некоторым весом, расширяя класс решений неограниченными функциями.^/дальнейшем краевые задачи в постановках Келдыша и Еяцадзе исследовались в работах И.Н. Вехуа, Ы.И.Вишика.И.А.Киприянова.И.Т.Кигурадзе, С.Г.Шшяша,

[1] Келдаш М.В. О некоторых случаях вырождения уравнений эллиптического типа на границе области // ДАН СССР. 1951. Т.77. № 2. С.181-183.

[2] Бицадзе A.B. Уравнения смешанного типа.М. :ВШИТИ АН СССР.' 1959. Вып. 2 - 164с.

С.М.Никольского, П.И.Лизоркина, О.А.Олейник, А.И.Янушаускаса, а также в работах зарубежных математиков С.Алиньяка, М.С.Бау-енди, Н.Галауика, В.Гийомина, Р.Кэролла, С.Паренти, Х.Тахарн, Ф.Трева и других.

Пата -работа: I) систематическое исследование постановок задач для уравнений в частных производных с сингулярными на границе коэффициентами, 2)'обобщение теории Кош-Адамара-Пет-ровского корректности задач Коши и Дирихле на случай сингулярных уравнений, 3) выяснение естественности весовых постановок и сравнение с известными постановками, 4) выявление случаев, когда эти постановки явные, т.е. достаточно просто записываются через коэффициенты уравнения, 5) нахождение условий единствён-ности и корректности весовых задач, 6) описание областей корректности весовых задач, 7) построение параметрикса весоЕой задачи Дирихле, 8) получение ВКБ-оценок для гиперболических уравнений второго порядка.

Общая методика исследования базируется на модификации метода интегралов энергии, заключающаяся в использовании в качестве плотности энергии сутя.и квадратов модулей вронскианов от ре-иения и вспомогательных весовых функций. Идея использования такой плотности энергии основана на общеизвестном факте, что вронскиан двух точных решений является интегралом движения (не зависит от времени) и на использовании в качестве начальных данных вышеупомянутых вронскианов вместо данных Кош.Используя асимптотические решения в качестве весовых функций, фигурирующих в вронскианной энергии, в работе доказываются естественные энергетические оценки, из которых непосредственно следуют единственность п устойчивость весовых задач Копи. Отметим, что точность пслучаегих при этом условий единственности зависит от

- 3 -

точности используемого асимптотического решения. В частности, когда известии точные решения, условия корректности являются необходимыми и достаточными. В процессе реализации этого метода широко используется теория асимптотического интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений. При доказательстве корректности весовой задачи Копш для сингулярных гиперболических уравнений с переменными коэффициентами ключевую роль играет обобщение теоремы о ВКБ-оценках на случай гиперболических уравнений в частных производных, полученное автором. Ранее ВКБ-оценки были доказаны лишь для обыкновенных дифсперенциаль-шх уравнений, поэтому это обобщение, как нагл ка'кется, представляет самостоятельный интерес.

Научная новизна. Основные методы и результаты диссертации являются новыми и опубликованы в работах автора. Они состоят в следующем.

1.Доказаны варианты тоореш Коши-Ковалсвской в вронскиан-ной постановке, предлояенной автором.

2.Доказана разрешимость и построен параыетрикс весовой задачи Дирихле для псевдодифференциального сингулярного эллиптического оператора второго порядка.

3.Доказана теорема о среднем для сингулярно возмущённого уравнения Лапласа.

4.Для системы уравнений с коэффициентами, зависящим! только от времени получены необходимые и достаточные условия корректности весовой вронскиашюй задачи Кош, обобщающие извеотзше условия Петровского.

5.Доказана корректность весовой задачи Кош для сингулярного псевдодифференциального гиперболического оператора второго порядка. При этом в начальных данных, обобщающих данные Кош используются в качества весов интегральные операторы Фурье.

_ 4 _

6.Доказаны ВКБ-оценки для гиперболических уравнений в астных производных.

7.Для уравнения Эйлера-Пуассона-Дарбу и уравнений с коэф-ициентами, являющимися степснныш функциями от времешюй пе-еменной описаны области корректности весовой задачи Коши.

S.Получены достаточные условия единственности решения ве-эвой задачи Коши для эволюционных псевдодждперенциашгых урав-эний с коэффициентами, зависящими только от времени. Эти ус-эвия, в отличие от указанных в п.4 являются легко проверяешь т.к. они выражаются непосредственно чероз коэффициенты равнения.

9.Получены достаточные условия корректности смешанных за-14 для вырождающегося гиперболического уравнения с двумя не-звисишми переменными энергетическим методом Лере-Гординга-зрсесяна.

Приложения. Работа носит теоретический характер. Результа-I и методы диссертации имеют приложения в теории уравнений с ютили производными, задачах математической физики. Возможны шлокения полученных результатов в различных областях физики, которых возникают сингулярные уравнения (газовая динамика, щродинамшеа, уравнешш Кирхгофа и др.) .

Апробация работы. Результаты ■ диссертации докладывались в гституте математики АН Армении па семинарах под руководством ;адемика АН Армении Александряна P.A. ,на семинарах под руко-)дством члсн-корреспондента АН Армении Нерсесяна А.Б., а так! в Ереванском госуниверситете на семинарах под руководством гафсссора Шахбагяна Р.Л. Отдельные результаты диссертации жладнволись на семинаре под руководством профессора Киприя-

нова И.А. в Воронежском госуниверситете ^1988 г.}, на семинаре под руководством профессора Боярского Б. в Варшавском университете (1988 г.), на семинаре под руководством профессора Моисеева Е.И. на факультете ВМК ШУ (1990 г.) , на сешшаре под руководством член-корреспондента АН СССР Похожаева С.И. и профессора Дубинского Ю.А. в Московском энергетическом институте (1991 г.) .

Публикации. Основные работы диссертации опубликованы в работах автора, список которых приведён в конце автореферата.

Структура и объём диссертации. Диссертация состоит из введения и четырёх глав. Общий объём диссертации 297стр., список литературы содержит 199 наименований.

Обзор содеркания диссертации

Во введении сделан краткий обзор работ, связанный с темой исследования и сформулированы основные результаты работы.

В первой главе излагается основная идея вронскианной постановки начальной задачи, которая заключается в следующем. Хорошо известно, что задача Кош

- = -и ]0,т[ (I)

^ (0) = с,, = Са , (?)

при С ([о.т]) однозначно разрешив. Если же например, С^ - - 2 / .то общее решение (I) имеет вид:

Я С«

здесь ^ = » ^ = I / -Ь , постоянные,

- 6' -"

эткуда видно, что данные Коши (2)в этом случае теряют смысл. 3 таких ситуациях А.В.Бицадзе предложил, задавать весовые дан-ше Коши

= Сь > ^ Ч^У,^ Ц , (4) где "Ч' - подходящие весовые (Ьункции.

~ с

Пусть известна фундаментальная система решений |

равнения (I). Тогда из (3) имеем выражения ^

с,^^

эазрешая которые относительно получаем соотношения

С. = .

А А-1'2'

соторые мы трактуем как весовые данные Коши.

Если { - асимптотические решения (I), т.е.

= ц=1'2, (е)

Л

го при условиях

& (?)

^посредственно' доказываются соотношения

Соотношения

^ ^ = с , ¿-^а, (9^ ■ь-о V/*

■.и трактуем как росовге лапше Коши для (I), причём, в отлпчкч

эт (5), для постановки начальной задачи в виде (9)достаточно

знать линь асимптотику •йуадмштальпой систош решешй урав-

- 7 -

нения (I) при ~Ь —*- 0.

Ерли с^ ^ то по теореме Левинсона с^ = 1: ,

1 = I в данше (9) превращаются в обычные данные Коши.

Если в окрестности нуля функция "Ь алалитична (фук-

совый случай), то из аналитической теории обыкновенных дифференциальных уравнений известна фундаментальная система решений уравнения (I) и имеет смысл постановка весовой задачи Коши в форме (5).

Третий случай: будет основным объектом наше-

го исследования, т.к. этот случай мало изучен. В этом случае, точнее если с1(£)>0, О, С^Оо.ТД), ¿Ч(1Р'Т^

"¿¿»уч а' о~ = 0, то по теореме о ВКБ-оценках асимптотичес-Ч,-».о *

кие решения (I") шеют вид

- _ ' г.

^а.ЗЛ^ = << С10)

^ т

и однозначно разрешима весовая задача (I), (_9). Примером функции О. удовлетворящей вышеуказанным условиям является функция С^, = х. , ^ > 2.

В первой главе приведены также обобщение вронскианной постановки начальной задачи на обыкновенные дифференциальные уравнения высокого порядка и системы и сводка результатов;ягз теории асимптотического интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений и некоторые её обобщения на уравнения в частных производных (результаты Тахары ) , которые используются в диссертации.

Вторая глава посвящена доказательству нескольких вариантов теоремы Коши - Ковалевской в вронскианной постановке.

Хорошо известно, что в классической теореме Коши - Ковалевской для нехарактеристической задачи Коши требование анали-

- 8 -

пности по временной переменной можно ослабить до требова-т непрерывности вплоть до границы. М.С.Бауенди и Г.Галауик аспространили теорему Коши - Ковалевской на случай тотально арактеристической задачи Коши для фуксовых уравнений в част-IX производных. При этом в качестве начальных условий они ис-эльзовали неполные дан!ше Кош (постановка Келдыша) . Тоталь-э характеристическую задачу Коши ¡.южно трактовать также как ачальную задачу для уравнений с неограниченными коэффициента-I, т.е. как ослабление условия непрерывности коэффициентов равнения вплоть до гранида.

В отличие от работ Хамады , К.Игари.Н.Тербеша, Л.А.Ива-эва посвященных обобщении теоремы Ксши-Ковалевской на случай ингулярных уравнений, мы доказываем её в более общей, врон-кианной постановке. Перейдём к формулировке наиболее простого арианта теоремы Коши - Ковалевской, доказанного в § I второй яавы.

Пусть о< = , ) - точки комплексного

ространства С^ * , а - = ^ .х <С ,

= I,..., п, -I ^ - полидиск радиуса Я. с центром в начале

оординат. Пусть = Через обозна-

им класс голоморфных в (э- функций. Пусть известна фунда-ентальная система решений 5 "^у. . сингулярного

ри "Ь'= 0 обыкновенного дифференциального уравнения

ависящего от параметра ¿С , причём вронскиан

(Ч.;у)- ^ ,^.....V) = \\^__, = I.

Обозначим через Ы ^ определитель, полученный из очскгана заменой ¿-того столбца на (0,...,0,1)

- 9 -

а через KCt^x)- функцию Коши:

rru

•1С (i/*.*) =

i-л 1

Рассмотрим начальную задачу

L= Z a^ytfu + L(t,x\ tfeio.ii;, *feQ4l(J2)

o<w<t

{¿rwW C^.'Y .....Ч'.М"-^^0' (i3)

-b-*o 4 »i-i Q

Пусть

существуют постоянные CD , (p.vxv^ такие, что для всех

а.^ i, "tt]o,i[ , otfcQ^

(i-t) l^-x)"< . (I5)

O ^

Теорема I. В условиях (I4),(I5) начальная задача (l2) ,(J3)

имеет единственное решение, аналитическое в (э-^ доста"

точно мало). _ ^

Замечание. Есла ¿п ) р= I,... , то

L ,

—— , ¿ = I.vyx. , начальные условия (13)преобразуются в обычные данные Коши, условия (15) автоматически выполняются с = Inrv, и .теорема I превращается в обычную теорему Коши-Ковадевской.

Пример. Если Уп,= 2, а *Со удовлетворяет условиям теоремы о ВКБ-оценках, то (15) удовлетворяется с а весовые

функции выписываются явным образом:

- 10 -

-Ах ^ С -ь А 6 V

Пришр. Если Ггъ= 2, £о= "Ь ,то при ^^

# ч ° + , ,

условие (15) выполнено ' $

На этом примере легко убедиться, что условие (15) является, вообще говоря необходимым, т.е. при его нарушении теорема I уже не тлеет места.

Доказательство теоремы I проводится методом Розенблша-Лере-Хёрмандера, причём в качестве нулевого приближения используется оператор .

Во второй гла 5е доказывается также теорема Коши-Ковалев-ской для нелинейных уравнений и систем в шкалах банаховых пространств Еевре по методу Овсянникова-Трева-Ниренберга.

В 'третьей главе изучается весовая задача Дирихле для эллиптического псевдодифференциального уравнения второго порядка

с**-л^х^^^о, -ь^ом, (к)

здесь ствол СХ^,*,^) псевдодийреренциалыюго оператора второго порядка предполагается положительным и неограниченным при ^->0 (например, = с1(ь,х) - А, =

= 2Г Л. - оператор Лапласа, а весовая функция А - ^ Л _ -Ь _

Для всякого вещественного & через

и5 = и ОС'*)

обозначим пространство всех умеренных распределений Т-Цх), для

- II -

л I ь л.

которых "Ч' , где "Ц. - преобразование Фурье распределения ^, а есть /^-пространство относительно меры (¿Тг^ Л^2-^ А^ . В Ц^вводится норма

Пусть ^ с

I). а(-С 0°>т]'С О1 )),

И- а° ^ V * гг-

•иЛтъ-^- = 1,при фиксированных хД; <= ^

существуют постоянные ^ С^ такие,что

Ьол,

Для всех 2

здесь

V * £ - Л* > ^ = т + X +1 * '

Х-(з-^ноЧСий, = 1,прлЪо.

4). Т - достаточно малое число ,• меньшое едишшд.

Тоопема 2. В условиях I) - 4) весовая задача Дирихле (1б) 6*3. т с^Л

(17) при £ VI , г иазет решение

ц<с_ , \Ч ) удовлетворяющее оценкам

«К* од,2,(ю)

о постоянной с зависящей только от постоянных, фигурирующих в

условиях IV 3\.

} - 12 -

Пример. Если А = ДО-,*)-Д, Д- ^[г+Х^тф-^

1,при < 1/2, О, при > I,

'о нетрудно проверить, что все условия теоремы 2 выполнены.

Теорема 2 доказывается в § 3 третьей главы методом гостроения решения в виде псевдодифференцпального оператора.

В § I третьей главы методом преобразования «З'урье и ВКБ-щенск доказывается однозначная разрешимость задачи (1б), (17) ! случае, когда символ О,(Ь, у., не зависит от ^Х .

В § 2 третьей главы доказывается весовая теорема о средам для сингулярно ?озмущёшюго уравнения Лапласа.

Четвёртая глава посвящена исследованию весовых задач для :ингулярных гиперболических уравнен™.

Рассмотри?,! систегду дифференциальных уравнений

С19)

\це IX = с« 1 о к ( И ^,... ,11- вектор-столбец, ^ - А/) гатрииа, элементам: которой являются дифференциальные операторы порядка *п, с бесконечно дпфрерсшздруегамп на 30,Т~] кооф-ташгентамл. Обозначим через фунда^ентальщ-го матри-

цу систем!

\\ >1:(тлуе. ДеЗо.тц (20)

О о о «1

где е.- (о,... ,0,1,0,... ,0) , единица стоит на д -том месте, т.е.

-едпнгшая {?л)

1ол.?гпя тотрту <ф обратг.'.»:1 на ]0,Т (если

- 13 -

след матрицы $ равен нулю, то из формулы Лиувилля следует, что .определитель матрицы Ф равен едишпф, откуда автоматически следует, что матрица Ф обратима), начальные условия для систеш (19) ставим в виде, предложенном ■Нерсесяном

С2*)

где тх - Л -преобразование Фурье функции и .

Определение. Начальную задачу (19), (22) назовём корректной при £ 1о,Т], если для каждого вектора ^ =

= существует единственное решение иеС (.^М ^ )

которое непрерывно зависит от ^ . Последнее означает, что

для любых £. > О, ¿С N существуют такие Ь > о и

^чЛ^ - множество натуральных чисел), что

если М « , то \\Ф * 0 5г £ .

ы

Теорема 3. Пусть ^ . ^ - решения задач

Коши (20). Тогда для корректности начальной задачи (19), (22) необходимо и достаточно, чтобы существовали функции и С(£) такие, что ^

)ПРЙ д=1,...,Ы;^]0,Т].С23)

Эта теорема является обобщением теореш Петровского на случай сингулярных систем.

В § I четвёртой главы изучаются сингулярные псевдодиффе-ренциалыше уравнения первого порядка, В § 2 доказывается следующее Предложение. Начальная задача

ди + ±ь1о,ти С, (24)

— г ^

о-

г т

при аеС(]о,т]), аС^ > о, (26)

_ ь. ь ъ

а^аГ4 , а^а^ЦМ), = (27) '

для любых С- еН имеет единственное решение

-и £ причё

причем справедливы априорные оценки

И

где постоянная с не зависит от Ц- .

_ у

.Пример. Функция а. = "Ь , £ > 2 удовлетворяет всем условиям предложения. .

Применением 0<. - преобразования Фурье к (24) получаем обыкновенное дифференциальное уравнение с параметром :

И

-Ье^о.ТГ, (29)

Доказательство предложения проводится двумя способами. , Первый способ основан на применении ВКБ-оценок к представлению решения уравнения (29), см. § 2 главы 4.

Второй способ - модз&гцнрованный метод интегралов энергии, аш подход от обычного отличается тем, что в качестве шготиос-к энергии используется суша квадратов модулей вронскианов:

Е С^Л") -¿ЫСи,^1 (а0)

Если ^ х являются фундаментальной систвшЗ рв-

ений уравнения (29), то вронскианы V/ (и,^.*) являются ин-

ограла1.ш движения (т.о. но зависят от времена ), поэтому

- 15 -

имеет место закон сохранения энергии:

\ =0. Если же (^^-приближённые решения уравнения (29) ,напри-мер, ^

то в § 5 главы 4 доказывается приближённый закон сохранения, из которого выводится оценка ^

Отсюда применением леммы Гронуолла-Беллмана,при условии В (* .> £ ^-а^Л"]) равномерно по

(зг)

выводится основная энергетическая оценка

ЕСЬЛ) *с..£(о,1\

из которой непосредственно вытекает единственность и устойчивость решения задачи (24) с начальными условиями

л

- С; (33)

•ь-» о л

несколько более общими, чем (25).

Итак единственность вронскианной начальной задачи (24), (33) доказывается при более слзйых предположениях, чем условия (26),(27) предложения. Именно, если > 0, то услови-

ем единственности является условие (32), которое преобразуется в условие абсолютной ш1тегрируемости(полушгоарианта) шварциана

по мере ^О-4)- Ь ^ СЗ(ь,•} А £> на полуоси

О 5, V ^ /

Применяя эти результаты к вырождавшимся на начальной гиперплоскости "Ь= 0 сингулярным гиперболическим уравнениям, ь отличие от обычных условий корректности, требующих стремления

к нулю субхарактеристического символа с определённой скоростью (см. § 4 главы 4) мы получаем другого типа условия,, требующие сильного стремления к бесконечности символа npn"t-*0.

Смысл последних условий в том, что они обеспечивают отсутствие точек поворота и применимость известных асимптотик.

Корректность вронскианной начальной задачи (33) при наличие точек поворота мы доказываем для классического уравнения Эйлера-Пуассона-Дарбу

(Х-д + = te}o,Tt; (35)

(см. § 2 четвёртой главы, теорема 4.2.10). Для этого уравнения, если весовые функции ^-(t, в (33) заменить первыми ела-

гаемыми асимптотических разложений

^.(ЧД) = (i -v ¿ ¿^ £ = О,

то данные (ЗЗ)упростятся и пршлут вид

L^ Vi О, ^,$0) =

t-o

(36)

где весовые функции (t) шляются фундаментальной системой

решении укороченного уравнения &>(1)=--1_ , т.е. при

?-Ф ~ , ь - \ * ^ А

Из теоремы 4.2.10 следует, что для корректности начальной задачи (35), (Зб) необходимо и достаточно, чтобы

<из- (^1)' ^ >о, И

поэтому эту область комплексной плоскости естественно назвать областью корректности задачи (35),(3б). Усложняя длнпнэ (ЗЗ) учётом последую«.!* слагае;ях асш-итотичеоких разложений функций получим в качестве дачных выражения, содержание стопеш: оператора Лапласа и еврш рас1Лф:тт,ихся облао-

- 17 -

тей корректности. Итак для сингулярных уравнений (24), (35) удаётся упростить начальные данные (33) и опустить их с ко-касательного расслоения, т.е. избавиться от зависимости весовых функций (Н:^) от ^ .

В § 4 четвёртой .главы мы изучаем условия корректности смешанных задач для вырождающегося гиперболического уравнения с двумя независимыми переменными. Основное достаточное условие корректности записывается в виде условия неотрицательности некоторой матрица, построенной по коэффициентам искомого оператора. Доказательство корректности смешанной задачи проводится энергетическим методом 1ере-Гординга-Нерсесяна.

В общем случае сингулярных гиперболических уравнений с переменными коэффициентами в качестве весов нужно использовать интегральные операторы Фурье. Поясним это на простейшем примере.

Пвицетз. Общее решение уравнения имеет вид - ,»

е С= С(*\ . (39)

где С (-х) - произвольная гладкая (функция, а ¡Если вещественная функция, то

является интегральным оператором Фурье. Из (39)получаем соотношение

С-С*) - (Ч") ^ 6Ц *) , (40)

- 18 'V -

которое ш трактуем как' обобщённое начальное условие Коши.

Пусть - эллиптический, классический

псевдодифгаеренциальный оператор порядка 1/2 , определённый

при "Ь е. Зо,Т],л с неограничомшм при Ь О

символом^(на1фимер, = ^ (ь) - д ).

Общее решение гиперболического уравнения второго порядка

о,О-^о/пх^ (41)

записывается в виде

где С ^ д ~ произвольные гладкие функции, а - эллиптические интегралыше. операторы Фурье. Из (42) полу-

чаем соотношения

Гч/

разрешая которые относительно функций получаем

формальные выражения

которые трактуем как начальные условия для уравнения (41):

{¿^ Ог С(*\ (44)

х-н-о

здесь

С Й - (с к в, Ч , О* № • (¡¿) •

Замечание.В случае регулярного уравнения, т.е. если - 19 -

^С***4^ ^ эта постановка эквивалентна

обычной задаче Кош, а когда оператор С> х не зави-

сит от пространственных переменных, совпадает с вронскианной постановкой (33).

Замечание. Из формул (42) или (43) следуют формулы преобразования оператора О^ относительно ^ ^

а) обратимого преобразования

л - \ л _ Л сЬ. <а

б) преобразования подобия ^- ^ ' д а'

где ^ - обратимый оператор, не зависящий от "Ь :

в) преобразования ^ : X

здесь

Отметим, что преобразования а} и в^ могут быть сингулярными шш вырожденными при 0.

Определение I. Начальные данные мы будем называть эквивалентными, если они отличаются от данных Оф(д) на величину стремящуюся к нулю при "Ь-»0 или-же отличаются преобразованиями а), б), в). ^

Для каздого вещественного числа т, через обоз-

начим класс символов Уёрмандера, т.е. множество всех функций

таких, что для любых мультииндексов , _ >

производные - о^ ох <Х удовлетворяют оценкам

здесь 0 <^>< I, а О < I,

Функцию а. £ о , которая разлагается в асимптотичесНг кий ряд по однородным по функциям называют классическим

Srv^. С '

Обозначил через

Хл СО

множество всех собственных псевдодифференциалышх операторов с символами класса

^ С^с ^ ' а через псевдодифференциальный

оператор с символом (1 +•

Пусть [_^([0,Т], К^ ) - пространство абсолютно интегрируемых отображений

пространство непрерывных отображений [0,ТЗ в

Обозначил через множество вещественных,по-

ложительных, непрерывно дифференцируемых на ^О/Г] функций удовлетворяющих условиям

£ л р'ОО

р'Ю>о, р^Л^Ц^А о.

Примерами функплй класса ^ являются функции

Если псевдодифференцивлышй оператор О (Ч., ж, обратим

и дифференцируем по параметру "Ь , то имеют сжсл следующие вспомогательные пс^вдсдифференциальные операторы первого порядка ^

/\,а(>' - О" О* • (48)

Обозначим через Ф^ (Д ^Т^ ^ = 1,2 разрешающие операторы следувдих гиперболических уравнений первого порядка

= Д.^ЛА") ¿=1,2, (47)

переводящие в ^("ЦЛ.т.е,

с ^

¿о. (-ь, Л * Ф- (Чгг4) ^ (т, о. С48)

Для крактости, мы будем, шюгда, писать' Ф* вместо

Замечание. Из теории интегральных операторов Фурье известно, что для существования операторов Ф^ , Ф^ -ф-^ГД^при 0 достаточно предположить, что оператор обратим,'

^О.-'-^сОо.ч.с^с^х (50)

и главные символы операторов i являют-(51)

' ся вещественными функциями.

Для наших целей нужны ещё равномерные по €.[0,Т] оценки

норш оператора = ф , поэтому ш накладываем бо-

лее жёсткие ограничения на (Д .

Итак, пусть выполнены следующие условия

г.) оператор О однозначно обратим в

—» с^^Ь/,-") является двахды непрерывно ди#ерешздруешм отображением 1о,т]в причём существует функция

р(€)е.\р такая, что , •

р-гО-'е,^0, И

здесь через L". О обозначен коммутатор операторов,

iii). Q'-CQ")4^0 [ф(т^)дФС1тХЕ^Х

равномерно по t<t[0,T].

Отметим, что условию ъ) удовлетворяет эллиптический псевдодифференциальный оператор зависящий от параметра "t .

Доказательство основного результата главы 4 о корректности весовой начальной задачи для сингулярного гиперболического уравнения (41) (см. теорецу 6 ниже) основано на применении ниже сформулированных теорем 4,5 , которые являются обобщениями теорем о ВКБ-оценках для обыкновенных дифференциальных уравнений на случай уравнений с частными производными.

Теорема 4. Пусть выполнены условия i.), Iii), (50) ,(5l) и существуют положительные функции ^ £ [o,Tl) такие, что для всех "t & [о,Т]

Тогда для произвольных функций С^ t Ц уравнение (41) имеет решения ^ , , представимые в виде

, л -w. о»)

где ¿im Ц (ty)\\ =0, i =>-2' <F")

"t-* о

. Теорема 5. Если выполнены условия теоремы 4 и существует золожительная функция ^(t) такая, что

U ^ -о, Q Г 16 [о,т], зд

го существуют лхшейно независимые решения Ч уравнения

- 23 - '

(41), удовлетворяющие соотношениям (56), (5б'), причём эту асимптотику южно дифференцировать по 1; ,т.е.

М] , ,А =1,2 (58)

или

гае йт \ЦО,Л1\<гО, ¿-Г! .(59)

"Ь о

Замечание. Теоремы 4,5 остаются справедливыми, если интервал заменить на [Т, м[ , ав соотношениях (5б), (59") заменить 1. 0 на "Ь -* сл.

Основным результатом главы 4 является Теорема 6. В условиях "V) - уравнение (41} с

начальными условиями

^Ч^Ч^^К^ 4-1.»,(ео)

при С^ Ц имеет единственное решение ^ причём имеют место оценки

здесь постоянная С. зависит только от постояншх, фигурирующих в г!), а

С 1/2, к = О,

= \ I. к - I. [г, к = 2.

Примэр. Рассмотрим гиперболическое уравнение - 24 -

где х&Н. и - вещественные функции, ^ (<:, л) ^ с > О

Пусть существует функция £ Р такая, что ^

* .< р (63)

для любых мультшшдексов ^ и достаточно малом Тогда все условия теоремы 6 выполнены.

Рассмотрим задачу Коши для слабо гиперболического уравнения

+ Ц^^К^^О, (64) л" ¡4

(65)

Пусть и. = где корни

л. ■ ^ • •

характеристического уравнения Та+'Г =0.

Из теорем, доказанных в диссертации, следуют такие новые ус-ювПя корректности обычной задачи Коши, например, справедлива

Теорема 7. Если коэффициенты уравнения (64) непрерывны на(о,Т^

<орни вещественны при ^^ (слабая ги-

зерболичность), и для всех Ъ&]о,т1 ,

_МТ>*><Ь(> I ¿х. & ессоДбб)

то задача Коши (64) , (65) корректна.

В отличие от известных результатов, эта теорема допускает не-юнотонпоо слипание характеристик: - ^()^ь,'»_,

- 25 -

РАБОТЫ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ I.Оганесян P.P. О некоторых смешаншх задачах для слабо гиперболических уравнений//ДАН Арм.ССР.1977.T.65.J6 3. C.I32-I35. 2.Оганесян Г.Р. Смешанные задачи для слабо гиперболических уравнений с двумя независимыми переменнымщ//Изв.АН Арм.ССР.-"Математика".- I97S.T.I4Je 5.С.369-388.

З.Оганесян Г.Р. О начальной задаче с заданными вронскианами// Изв.АН Арм.ССР.-"Математика".- 1980.Т.15.Й 4.С.292-309. 4.Оганесян Г.Р. О начальной и смешанной задачах с заданными вронскианами дая сингулярных гиперболических уравнений второго порядка//Изв.АН Арм.ССР.-"Математика".-1987.Т.22.Й 4.С.337-357. 5.Оганесян Г.Р. О весовых задачах Коши и Дирихле для некоторых сингулярных на границе уравнений в частных производных//Изв.АН Арм.ССР.-"Математика".- 1988.Т.23.№ I.С.3-21. 6.Оганесян Г.Р. Весовая теорема о среднем для сингулярно возмущённого уравнения Лапласа//Изв.АН Арм.ССР.-"Математика".- 1988. T.23.J6 4. С.325-335.

7.Оганесян Г.Р. Начальная задача для некоторых сингулярных гиперболических уравнений и ВКБ-оценки её решений//Диффер.уравн. 1989. Т.25.» 6.С.1062-1064.

8.0ганесян Г.Р. ВКБ-оценки для уравнений в частных производных и задача Коши для сингулярных гиперболических уравнений второго порядка//Изв• АН Арм.ССР.-"Матем".-1990.Т.25.1? 2.С. 123-134. Э.Оганесян Г.Р, Весовая задача Дирихле для сингулярного эллиптического уравнения второго пордяка//йзв.АН Арм.ССР.-"Математика".- I990.T.25.S 5. С.448-461.

Ю.Оганесян Г.Р. О теорема Кош-Ковалевской в вронскианной

постановке для уравнений с особенностящ//Шв.АН Арм.ССР.'-"Мат-

тематика".- 199Г.Т.26. & I. С. 20 - 30.

- 26 -

11. Oganeayan G. JWKB estimates and weighted Cauchy problems "or■singular on initial hyperplane partial differential equnti-ina //Bull.of the Polish Acad.Sci. Math. 1991 .V.39.B 1.

Ls1,