Ветвление решений нелинейной задачи о поверхностных волнах на границе раздела двух жидкостей тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

П6 од

>. .. пз

I и ¡»¡Л!«

А.К Л Д Е М И Я НАУК РЕСПУБЛИК И УЗБЕКИСТАН' ИНСТИТУТ ШШ^АШИ икснн В.И.РОМАНОВСКОГО

На правах рукописи ТРОФИМОВ Евгений Васильевич

ВЕТВЛЕНИЕ РЕШЕНИЙ НЕЛИНЕЙНОЙ ЗАДАЧИ О ПОВЕРХНОСТНЫХ ВОЛНАХ НА ГРАНИЦЕ РАЗ,ЦЕЛА ДВУХ ЖИДКОСТЕЙ

01.01.02 -Дифференциальные уравнения

АВТОРЕФЕРАТ ■

диссертанин но соискание ученей степени кандидата физико-математических наук

Ташкент - 1993

Работа выполнена в отделе прикладной математики Института математики им.В.И.Романовского АН Узбекистана.

Научный руководитель: доктор физико-математических

наук, профессор Б.В.ЛОГИНОВ

Официальные оппоненты: доктор физико-математических

наук, профессор БЕГЫАТОВ A.B.

кандидат физико-математических наук НАГОРНЫЙ А.Ы.

Ведущая организация - Институт гидродинамики имени академика U.A.Лаврентьева СО R\H.

Защита диссертации состоится "__¿З^^^А^-

1993 г. е _ часов на заседании специализированного

совета Д 015.17.21 ь Институте математики им.В.И.Романовского АН Узбекистана по адресу: 700143, г. Ташкент, 143,' ул. й.Згдааеиа, 29. ' - '

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института математика ны. В.И.Романовского АН Узбекистана.

Автореферат разослан _ ig93 г_

Ученый секретарь '

спгтялиэнрованного совета ,, ^

.доктор фиэ.-ычт.-н.чук

и< г ' Ш.А.ХАНШОВ

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТУ

Актуальность т а м и. Нелинейная задача о волнах установившегося вида на поверхности тяжелой глдкости (так называемых гравитационных волнах), описывающая плоские потенциальные течения, била решена в 20-х годах нашего столетия в работах А.И.Некрасова, Т.Леви-Чивита и Д.Стройка. В 1920 году Н.Е.Кочиным методами теории функций комплексного переменного исследована плоская задача о движении двух носмеетвают.ихся nocsjai.iei.Mx УидкостеЯ с плотностями н ря в слое, ограниченно!.! горизонтальными плоскостями. Линия раздела жидкостей обладает периодом и перемещается без изменения фора с постоянной горизонтальной скоростью. Било доказано существование реканий задачи.

С начала XX вока развивается теория ветвления решений нелинейных уравнений, основы которой били заложены в работах Л.М.Ляпунова и Э.Емидта. Спи показали, ч?о исходная задача о вотвлогши решений нсяинеЯтгх интегральных уравнений эквивалентна исследовании уравнения разветвления (УР) - системе неявных аналитических функций, У от од построения УР стали Называть Уйтодом Ляпунов а-Шггмдта. Далее теория ветвления развивалась в работах Л.Лихтенштейна, А.И.Некрасова, !5.А.Красносельского, В.А.Треногина, М.М.Вайнберга. Наиболее интересным и трудным является случай кратного сыроядения линеаризованного оператора, так называемое мйогоме^иоо вотвленив, полностью не исследованное и до наших дней. В конкретных приложениях Многомерного ветвления нелинейное уравнение может иывть семейство ренений. Как правило параметры семейства имеют групповой сиысл, нелинейная задача допускает непрерывную группу преобразований. Первый результат по использованию неирорлвнше групп в теории

ветвления принадлежит В.И.Ццовичу { 0 возникновении конвеки - П1Щ, 1966, т.30, вып.6, с.1000-1005; Свободная конвекция : ветвление. -Шй1, 1967, т.31, вмп.1, с.101-111), рассмотревшему "один случай ветвления нри наличии кратного спектра",

Общая теория ветвления с групповой симметрией была разработана В.А.Треногиным и Б.В.Логиновым (см. Б.В.Логинов. Т ория ветвления.решений нелинейных уравнений в условиях труп повой инвариантности. Ташкент: Фан, 1985, 184 е.). В послед ствии , Б.В.Логиновым на основе методов группового анализа дифференциальных уравнений, разработанных в трудах Л.В.Овен никова и Н.Х.Ибрагимова, был предложен прием построения общего вида УР по допускаемой им группе симметрии, нашедший применение в различных задачах математической физики.

В диссертации теория многомерного ветвления в условиях групповой симметрии применяется к решению систем нелинейных дифференциальных уравнений, возникающих в задачах о волнах . границе раздела двух жидкостей.

Цель работы, замечается в построении асимптот, ки периодических решений задач о капиллярно-гравитационных волнах на границе раздела двух жидкостей, ограниченных гори эонтальными плоскостями и на поверхности бесконечного иилин, ра. В исследовании порядков вырождения линеаризованных опер торов, соответствующих задачам.

; Методика исследования. В работе испо •эуются методы теории линейных дифференциальных операторов, функционального анализа, теории ветвления решений нелинейны уравнений и методы группового анализа дифференциальных уравн • гай. ,

Научная новизна- и практическая' а .н а ч и « о с т ь. В работе впервые построена ас

отика решений технически сложной задачи о капиллярно-грави-пионшх волнах ча границе раздела двух жидкостей в слое, ог-ниченнсм гпризонтальними плоскостями. Доказано существование 6,8,12 и 16-кратного пироадения отвечающего задачб линеари-ванного дифференциального оператора. Доказано отсутствие оских волн при размерностях вырождения болытих 4. Построена кмптотака решений задачи о волнах н» границе раздела двух дкостсЯ на поверхности бесконечного цилиндра и доказано от-тствие высоких внроздений отвечающего этой задаче линеари-паннсго оператора. Результата работы могут найти применение теории задач со свободной границей.

Апробация работы. Основные результаты дис-рташи докладывались на Всесоюзной конференции по д;фЬерэн-альт™ уравнения?* и оптимальному управлению (г. Ашхабад, 90 г.), на конференции по моделированию ¡1 исследовани::) ус-Ичивости прсцэссов (г. Киев, 1992 г.), на научном семинаре статута математики АН РУз (сентябрь, 1992 г.), на кокрврен-пх молодах ученых Института математики АН РУз.

Публикации. По тепе диссертации опубликовано пять бот, в которых отражено оснсвноо содержание.

Структура и объем работы. Диссер-ция состоит из введения, двух глав и приложения и изложена

114 страницах машинописного текста. Список литература со-ржит 40 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во введении обосновывается актуальность темы исследования, рмулируютсл ноли и задачи диссертации. Даются несбходюие едварительнне сведения и используемые обозначения. Приаедег..' которые из них.

Теория ветвления решении нелинейных уравнений рассматривает вопросы о существовании, количестве и построении асимптотики по малому параметру h машх решений функционального уравнения

Fíx, h) = о, (D

- нелинейный оператор со значениями в , определенный в окрестности U>-íO(%a, he)cEii'E известного решения X = Х0 при h= h0 ; Ef , Е я и Е - банаховы пространства. Если оператор В— ~FX (Ха, hej имеет нетривиальное подпространство нулей N(B) и на выполнены предпосылки теоремы о неявных операторах, то в окрестности LÚ мокет существовать несколько решений или даже семейств решений, зависящих от свободных параметров. В этом случае точка (x<¡, ha) называется точкой ветвления, а число ha критическим значением параметра. Не ограничивая общности можно считать 0, ho=0 и представить (I) в виде

6х = R(%,h) ,-'Я(0,0)~0, Rx(0,0)~0 <2)

где/2 (зс, fl) - аналитические нелинейности.

В дальнейшем будем считать, что L [E¡ ~*Ej¡ J - Фред-гольков оператор, /^(В)СЕ^ -подпространство нулей, а N*(B)C E¿ - дефектное подпространство оператора В ,

» (^i}" ~ баэисц соответственно в N(Q) и j j-, J^g £ * и Е2 ~ биортогональные к ним системы.

Задача о нахождении семейств решений уравнения (2) сводится

к исследованию УР, которое выводится на основе обобщенной яем-

иы Шмидта. Разыскивая малые решения в виде ряда ЭС— W+Sléjif

i-i '

= получаем следующий вид УР:

t« (4 ,h-) в <w($,h), , /с = *,..., п. (з.)

В данной работе для уравнения (2) предполагается групповая инвариантность относительно группы & . Пусть некоторое представление /.у группы & в инвариантном подпространстве Е" действует согласно формулам

¿-9 = - ^ад(д) У! . 1=1,..:, п.

Тогда, если ^ »то

Интерес представляет случай, когда групповая инвариантность (2) наследуется уравнением разветвления, т.е.

При этом многообразие 3-- пространстве век-

торов I,..., | является инвариантным многообразием.

Пусть Ад - ¿-параметрическая группа. Будем предполагать, что Э" является неособым инвариантным многообразием, т.е. если

базис алгебры Ли группы Ад , то ранг

матрицы М[(Х1,,Р>)], 9= I, --,) , 1 = ^,., И, J=n+^>...,5n

на многообразии ^ совпадает с ее общим рангом ГЪ . Если,..., Г"= 211- базисная система функционально-независимых инвариантов группы Ад , то многообразие Т можно представить в виде (, ..., Хг ) - О , 5 - 1, •• ; Я и для построения общего вида УР должно выполняться условие

-г-—* I — И . При этом становится возмохньш понизить

9 tj

порг^ок уравнения разветвления с помощью полной системы функционально-независимых инвариантов.

В первой-главе рассматривается задача о капиллярно-гравитационных волнах на поверхности раздела двух жидкостей конечной глубины в слое, ограниченном горизонтальными плоскостями.

- о -

В окрестности критического значения числа Фруда Р^пп после перехода к безразмерным переменным и использования приема "распрямления" свободной границы получаем следующую нелинейную систему дифференциальных уравнений, описывающую задачу:

эаи] + аящ + ((к-1}$ -к-1)4 э ааа ау2 Чк2(к+1)2 '

к+1 8 и, , л,

ЯГ"*- = .

= 1-У5(и< , ил , <1 ,£) , ¥ =0 ■

Здесь = ; / = - свободней Грани-

на, к , , , Р3 = > (Г ~ Физические параметры,

прагие части систем!: яедяются аналитическими нелинейностями. П01=Лв*£ч;0] , По2= П0к[ОЦ1 , По - прямоуголь-пик периодов по 2 и у со сторонами ~ и .

Система (4) допускает Труппу сдвигов по X , у и

. отражения X-* - ОС , У ~ У • Линеаризованная система определяет фредгольыев оператор В •' П01) ^

+ СЯЫ(П*) + С*+Л(П.) +сл(пм)4 сы(п0г)+с*(п0):'

Исвовъэуя метод г5урье разделения переменных находи:.-, подпространство нулей N (В) оператора В с кемплекснозначшм е&зкссы '( Г, • При атом с11№ N(6)% Ч , если выполняет-

4 ЛЛ4- 1

ся следующее определяющее соотношение

(£в + F*n а-1 }, (5)

где № , — целые неотрицательные числа, 5Уиг1 -1

Стандартными методами находится дифференциальный оператор, сопряженный по Лагранжу к В и базис в /V* (В) • Выписаны условия разрешимости неоднородной системы вида (4) с правыми частями, зависящими от X , ^ , ^ . С использованием групповой симметрии исходной системы построено УР:

Аеп<+В1г* + = о, Ья(ц,£) = А£Г2ч +С?*ггч = о,

в котором осуществлен переход к вещественным переменным ^ 11 проведена редукция с помощью группы сдвигов •

Вид асимптотики решений содержит

От

Теорема I. Пусть ф . Тогда для основных

трансляций, образующих прямой угол, задача в окрестности точки бифуркации Гтп ~ четырехкратного собственного значения, определяемого условием (5), имеет с точностью до преобразова- .. ния два двупараметрических семейства периодических

решений

1и1(Ц,, = вТс к

Бидп (Ра-Гжп) = -"0« А(13+с), [и,,и,, (] г [- (шч(г;)со!та(хщ)х

xSLianbly-tjSi) ,

иГ3 sLntnafrffiijsLirmbfy+fa)] + o(lFz~F*nlV*),

где LWi известные функции, 8 = ^ (В +С ) , С -Подсчет коэффициентов УР В и С производился с использованием условий разрешимости и оказался технически сложным. Здесь не приводятся значения этих коэффициентов в виду их крайней громоздкости.

Отдельно рассмотрен случай К = 4 ( /"L , ft л - тол-

rii

щины слоев жидкостей), так как прямая подстановка значения К= i в расчетные формулы невозможна.

Если (5) выполняется для t пар целых неотрицательных чисел (mi , И, ), t= 1,... > 4 , то dim /W0) может принимать значения 2, 4,..., 4(( cLitYlN(B)= Ч( когда все (Hi, П-i не равны нулю). Для нахождения возможных значений -В мы приходим'К проблеме разрешения диофантова уравнения, содержащего трансцендентные функции и ограничения на параметры. Доказано, что t может равняться 2, 3 и 4.

В случае ctim/V(8)=6 (Пя-0) группа сдвигов при действии в N (В) индуцирует группу вращений

Ад = diacf[ ,р> , .... eut"fi>}

\\ шестимерном пространстве Е* векторов {^ijifj» ( & ~ teK_ тор решетки, обратной решетке периодов). Базисная система цнфинитезимпльных операторов, соответствующая группе Ад состоит из элементов:

-МЫ-

При этом Гп - 2 и тогда Л = iO.

Переходя к вещественным переменным ^ и осуществляя редукцию с помощью группы сдвигов /.^^получаем следующее >Р

Ае^ + = о ;

В^^-О, Ceq6 - О,

А£>1Ц -&ЧчЦ<> = О , Се^гг + ¿5 «Ж-Я? +ti)=0 .

Коэффициенты

А, В , С ,3)

находятся аналогично случаю cliffl N(B) - Ч . Построена асимптотика решений, вид которой содержит

Теорема 2. Задача (4) в случае одной двумерной и одной одномерной взаимодействующих решеток периодичности в окрестности точки бифуркации Fo = Fm1ni ~ с шестикратным вырождением линеаризованного оператора имеет одно двупа-рэметрическое семейство периодических решений

[и, ,u2,t}= 2f~§^(F*-Fo3) {-¿Г4(ч№пт<а(хф)к

«С05 ntbty+рц), -

ur3cosm1a(x+y3<)cosn,6(y+j3i)] - 4-(F2-F03) х

— А —

Г 2 я

х1-^(1?)51птйа(зс+;з<) , - их, (т;)$1птяа(эс+/з<),

I

и/. - известные функции. ■В случае плоской волны доказано, что соответствующее определяющее соотношение не может выполняться для трех различных натуральных ГЛ.,, Ш2и ГП3 и тем самым невозможно шестикратное вырождение соответствующего линеаризованного оператора. Найдены условия при которых возможны двух и четырехкратное вырождения.

Во второй главе рассматривается задача.о волнах на границе раздела двух жидкостей конечной глубины на бесконечном цилиндре с, учетом поверхностного натяжения. В окрестности критического значения числа Фруда после перехода к безразмерным переменным и используя прием "распрямления" свободной границы получаем следующую систему * описывающую задачу: .

д*Щ 1 ЭгЩ ^ 1 ЭЩ 4Д, , ,

+ ч* Те* + ("1,^^)61101,142,

П«н=[(Г2,0) | ^ Г2 -с

п02= [&г,в)1 к , Ойвйяп],

1Щ = о = о

Ш +

;fFt* (R+R")= w3(u„u2,fi, e) , n=i.

Здесь Ui-Uii^,B) - потенциал скоростей жидкостей, (¿ = R(b) ■ свободная граница, Г0 , К , f > Fn = F*~S - физи-

¡еские параметры. Правые части являются аналитическими нзли-¡ейностями. Система (6) допускает группу сдвигов по координа-!е д и отражение 0 - 0 .

Линеаризованная система (6) определяет фредгольмов"опера-

ср .0: С^ЧПш) ¡ С^(По3)КЗМ(^):> cd(n0i)4C%3)+

С ( S ') > -5округлость радиуса I. Найдена, базисная сис-ема нулей оператора В , определяющая подпространство N(B). ри этом d.W\N(ii)m меньше 2, если выполняется следующее оп-оделяацее соотношение■

- 0*~Тп +<-1 'ftW о

I о ~ 1 I о ~ К

ри dim N(B)=2 редуцированное УР в вещественных переменных теет вид

ATi£ + ВТ? + '•■■ -О

ГК"'

роме тривиального оно имеет решение Т.-, — ± \-f~E +

ode I1'2).

::мовным результатом отой главы являете- ;

Теорема 3. В окрестности, точки бифур ¡-г~- дсукр-лтно-

з собственного значения систеш (б) "д ч»>еет с точностью j сдвига по координате 0 решения в: /,

= R] = [- -ц -(F3-FnJj *(-сОМяппЯ,

i02(q) SinnO , cos no) + o{\F^-Fn\^} . ion(F2- F£) = - sign А В,

LÜi (Ц), U)^(fl)- найденные функции.

Доказано, что (7) не может выполняться для двух различных натуральных чисел П и YYI и тем самым dimN(B) /4.

В приложении рассмотрено сведение систем вида (4), (6) с нелинейными аналитическими правыми частями \Л/(х,у,Ч)и к эквивалентным системам интегральных уравнений типа Фред-гольма. Построены функции Грина.

Автор выражает глубокую признательность своему научному руководители профессору Логинову Борису Владимировичу за пос тановку задач и постоянное внимание к работе. .

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах:

1. Логинов Б.В., Трофимов Е.В. Вычисление асимптотики кап лярно-гравитаююнных волн на поверхности раздела двух жидкое тей конечной глубины. В сб.: Дифференциальные уравнения мате матической физики и их приложения. Ташкент. Фан. 1989. с.57-

2. Логинов Б.В., Трофимов Е.В. Построение асимптотики капиллярно-гравитационных волн в слое над ровным дном. Тезисы докладов Всесоюзной конференции Диффер. уравнения и оптималь ное управление. 4-6 октября 1990, г. Ашхабад.

3. Кузнецов А.О., Трофимов Е.В. 0 порядке вырождения в за даче потенциального течения двух жидкостей конечной глубины. Узбекский математический журнал. Ташкент, Фан, 1991, №5,

с. 26-30.

4. Кузнецов А.О., Логинов Б.В., Трофимов Е.В. Неправильна гексагональная периодичность капиллярно-гравитационных волн слое над ровным дном. Тезисы докладов конференции: Моделирование и исследование устойчивости процессов. 26-28 мая 1992, г. Киев.

5. Трофимов Е.В. Ветвление и симметрия при вычислении поверхностных волн на границе раздела двух кидкостей.// Ташкент, 1992. Деп. в ВИНИТИ 17 июля 1392, £2311-092. 95 с.

АННОТАЦИЯ

Диссертацияда икки суюг^ликнинг булиниш сиртнда капилляр» гравитацнон яулцинларга дойр масалалар царалган. Бирйнчп идеал ада горноонтал текясликлар бнлан чегараланган фазовпй г.аглацлагн тулцянлар, лккинчи юсалада эса цялиндрик еярт-дага тулцннлар урганилган.

'Гедцнцотда асримизнинг 20-йилларида А.М.Ляпунов, Э.Шш;д1', А.И.Некрасов, кейинчалик Ы.А.Красносельский, В.А.Треногий, И.У.ВаЯнберглар томонндан асос солинган чизш;е;:;з тенгла^а ламлармнинг тарыоцланиш назарияси усулларм Ьар.монланиш ггнглаыасинм чуриш усули Ляпунои-Шмццг усули диЕилади) дан, ',уьща Л.В.Овсянников, Н.К.Ибрпгииоилар токонздаи ищлаб чи-д:;лган дифференциал тенгланаларшшг групнагнИ анализ« усул-ларядан фойдал&нялган. Группами симкгтрияли Фармоцланяа-'¿лнг умукнЯ иаэарияси В.А.Треногим, Б.В.Логииоьлар томош;-дия ккрзгллгал.

Курсагялган масалалар чиэицеиз, хусуснй цоснлалн диф-•Ьрекцпаг: тенгламалар систекаларп ор'«;алк тасскфланади. Еувд® сцсгемаллрлшг чнзицли цист фредгольм операторами ыяцлайдя. Бу мзда цушма операторлар топилгаи, линеарлая-гвя ыасалаиинг ечилиш шартлари Бзклган. Тарг.;о>(ланиш тенг» а^иалари цурилиб, шулар асосида даврий ечимларитг ассим-пгсгакаса ёзилган. Биринчи масалага мое линеарланган опе-рагоркинг айта® гарткби 4,6,8,12,16 цкйматларан цабул г,п-дгпзи цукаянлиги, аЯнкш тартиби 4дан кат? а булгенда силллк, тул2р!нлар йуцлиги нсботланган. 111у бнлан бирга кккнпчи ма-салага нос лгатарлангаи ойераторгшнг айшпа »аргкбп икшз-дап лагта булнаслиги нсботланган.

. . Диссертация натигалара эркнн чэгарали гаеалалар назарп-непда хфяланшшшя цуыкян.

¿ú ¡.G'iA'ÍIOi.

V¡.& pvoi/le«. a'»ui;t eapilltiry-¿¿ravi Ly vvaves ojí ILe interface oí t\<o fiv.iti» oí' i iiii.xu ucjp Ik are considered, l'ut! íivat ¡,1'OlÍ e:.; cíi. ii.Hdu i iivfes i n thu tipulial layer liui teu oy :a,vi¿,x,u v;¡. v. <s ;>«,co.,u - oí. ti.o iui'iiiite eylii.doi. .-, iÍCioí.*. l¡, '. c i: ví'^Lj^uli'ji: 't.ie i.c'thod:^ of brunch!:,..^' theory o;' ¡.v/UUoisy oí iiu, lii.tur eijuatioí-o ana tl.e nethoda of group :tn:;¡yai£; c¿ d U'l'er-jütiüJ equation» uí'ü usee.. 'íhe baae oí first ones v/oi'í. íoi...deti tit the be^inin^ of the XX-th century \>j m.d B.SCíwiiüt (aí'terwards tney are iimaed as

Lyupo •»ic.v-Sc'íii.iidl r-e lí.otla) axid developed later by A.I.lifckra-¡>ov, ¡ií.A.Ki -nurioselulry, V.A.'írenogin, 1.1.1.1.Vainber¿;. The oecond ones were aevoloped in tac- works of Ii.V.Ovsjjannikov p.nd L.H.Il/ra^iMov. Uexioral branchi;iü theory i»» conditions of a CiO'..p syi.juEti'y \,a» ensealed by 7.1.Judovich, ü.V.Lo¿iriov and V.A.i'rsnojin.

'i'he 'pj.obler.ij are describir.^ by the systems of nonlinear partial differential equations. Linear parta of these ays teas define l'red£oju cpeiuloi-u. 'Xue conjudate opera fcoi'o are cjna trusted and Hie solvability conditions of linearised problems are finded. i'lie branching equations are constructed and with ti.eiv aid tne asyapto tioa of periodical solutions arc w¿iklc<. out. It ia proved tl.it order of degeneration ^uii.iti.iiioi. of zsro-:ju'ospuce of the liiiearised operator), corresponding to the first problem, iaay take the following value-: 4> 6, B, ¡2 and 16. The absence of plane v/aves for the case' when the diuei.sip*: of zero-subspace ia r.iore than 4 is.proved. Ai so i i, is provea tiie absence of high degeneracy Oi-'ie t..ar. 2) oí.-;¡.c iii.eía-'ised operator corresponding; to

Results of the dissertation are applicable in the Tree boundary value problems theory.

7

Ic?

Подписано в печать — Формат бумаги 60Хв4'/|« Бумага типографская -»_< I. П«члть «РОТАПРИНТ». Объем */Тириж •»Х'1.

Злчаэ

Тлпографмя издательства «Фан» АН Республики. У^-мктан. 700170. Ташкент, пр. М. Горького, 79.