Ветвление решений задачи о сопряженных стратифицированных течениях тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

На правах рукописи //

Казаков Алексей Юрьевич

ВЕТВЛЕНИЕ РЕШЕНИЙ ЗАДАЧИ О СОПРЯЖЕННЫХ СТРАТИФИЦИРОВАННЫХ ТЕЧЕНИЯХ

01.01.02 — дифференциальные уравнения

Автореферат 1 9 НОЯ ''•"-О

диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

Новосибирск — 2009

003483953

Работа выполнена в Институте гидродинамики им. М. А. Лаврентьева СО РАН.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

доцент Макаренко Н. И.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Налимов В. И.

доктор физико-математических наук, профессор Фокин М. В.

Ведущая организация: Институт вычислительного моделирования

СО РАН (г. Красноярск)

Защита состоится " $ " 2009 в IX ч. мин. на засе-

дании Диссертационного совета Д 212.174.02 при Новосибирском государственном университете по адресу: 630090, г. Новосибирск, ул. Пирогова, 2.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Новосибирского государственного университета.

Автореферат разослан " С " их&'ъ^х 2009 г.

Учёный секретарь диссертационного совста^л г

доктор физико-математических наук — Макаренко Н.И.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. В диссертации исследуется нелинейная задача на собственные значения для одномерного варианта уравнения Дюбрей Жакотэн — Лонга. Указанное квазилинейное эллиптическое уравнение второго порядка возникает в теории двумерных установившихся волн в неоднородной жидкости. Рассматриваемая задача тесно связана с проблемой аналитического описания предельных форм внутренних стационарных волн — уединенных волн типа плато (рис. 1а). Волны типа плато имеют фронты, подобные плавным внутренним борам (рис. 16), и почти одномерные горизонтальные срединные течения, сопряженные с невозмущенным течением перед волной. Два одномерных течения стратифицирован-

— —

г \ Фо

_

—1 - —

(а) (б)

Рис. 1: (а) - уединенная волна типа плато, (б) - плавный бор

ной жидкости называются сопряженными, если они являются согласованными в смысле законов сохранения массы, импульса и (или) энергии. Предельные амплитуды внутренних уединенных волн задаются параметрами сопряженных течений, для которых выполнены все три указанных закона сохранения. Понятие сопряженного течения, а также постановка задачи об отыскании пар сопряженных течений как бифуркационной задачи для уравнения Дюбрей Жакотэн — Лонга и первые результаты о ее разрешимости принадлежат Бенджамину [1]. По своей формулировке указанная задача относится к классу нелинейных задач Штурма — Лиувилля [2]. Такие задачи возникают в нелинейной теории теплопроводности и теории упругости, теории фазовых переходов, а также при исследовании задач сегментации фотоизображений и нахождении точных констант в изопери-метрических неравенствах. Поэтому тема диссертации актуальна с точки зрения общей теории нелинейных дифференциальных уравнений.

Цель работы — получение необходимых и достаточных условий разрешимости задачи о сопряженных течениях в терминах коэффициентов уравнения Дюбрей-Жакотэн — Лонга, задающих профиль плотности жидкости и сдвиг скорости в невозмущенном потоке.

Методы исследования. В диссертации используются методы теории ветвления решений нелинейных дифференциальных уравнений [3]. Основные результаты получены путем анализа уравнений разветвления Ляпунова — Шмидта, при этом существенную роль играют вариационные свойства рассматриваемой задачи.

Научная новизна. Все основные результаты диссертации являются новыми, их достоверность устанавливается строгими математическими доказательствами.

Теоретическая и практическая ценность. В диссертации рассматривается задача о бифуркациях решений уравнения Дюбрей-Жакотэн Лонга, удовлетворяющих дополнительному интегральному соотношению (закон сохранения импульса), выраженному в терминах лагранжиана исходного уравнения. В работе получены необходимое и достаточное условия существования нетривиальной ветви решений указанной задачи. Аналогичное необходимое условие разрешимости сформулировано и обосновано для класса нелинейных операторов Штурма — Лиувилля общего вида. С точки зрения приложений в гидродинамике полученные условия характеризуют профили плотности и скорости в слое стратифицированной жидкости, для которых могут реализовываться режимы движения в виде волн типа плато.

Апробация работы. Результаты работы докладывались на следующих конференциях:

1. XLI Международная научная студенческая конференция «Студент и научно-технический прогресс», Новосибирск, 2003.

2. VII Международная конференция «Потоки и структуры в жидкостях», Санкт-Петербург, 2003.

3. Всероссийская конференция «Новые математические модели в механике сплошных сред: построение и изучение», приуроченная к 85-летию академика Л. В. Овсянникова, Новосибирск, 2004.

4. Всероссийская конференция «Проблемы механики сплошных сред и физики взрыва», посвященная 50-летию Института гидродинамики им. М. А. Лаврентьева СО РАН, Новосибирск, 2007.

5. Ассамблея Европейского геофизического союза EGU General Assembly, Вена, Австрия, 2008.

6. Международная конференция «Дифференциальные уравнения. Функциональные пространства. Теория приближений», посвящённая 100-летию со дня рождения С. Л. Соболева, Новосибирск, 2008.

Результаты диссертации обсуждались на семинаре лаборатории математического моделирования фазовых переходов Института гидродинамики им. М. А. Лаврентьева СО РАН под руководством чл.-корр. РАН П. И. Плотникова, семинаре «Дифференциальные уравнения и смежные вопросы анализа» под руководством проф. В. С. Белоносова и проф. М. В. Фокина в Институте математики им. С. Л. Соболева СО РАН, семинаре под руководством проф. О. В. Капцова в Институте вычислительного моделирования СО РАН.

Публикации. По теме диссертационной работы автором опубликованы статьи [19, 20], труды конференций [14] и тезисы докладов [12, 13], [15]-[18]. В совместных публикациях [17, 20] автору принадлежат результаты о необходимых условиях ветвления решений задачи о сопряженных течениях.

Основные результаты диссертации.

1. Получено необходимое условие ветвления решений задачи о сопряженных течениях (теорема 1). Указанное условие формулируется в терминах собственных функций оператора Дюбрей-Жакотэн — Лонга, линеаризованного на невозмущенном решении.

2. Получено достаточное условие ветвления решений задачи о сопряженных течениях (теорема 2). Указана асимптотика ветви нетривиальных решений вблизи точки бифуркации.

3. Установлена связь между полученными условиями существования сопряженных течений и структурой асимптотического разложения для решений двумерной задачи об уединенных внутренних волнах.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав и приложения. Работа изложена на 87 страницах машинописного текста, содержит 4 рисунка. Перечень литературы состоит из 64 наименований.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность исследуемой проблемы, дан обзор литературы и охарактеризовано содержание диссертационной работы.

Первая глава является вводной, в ней приводится постановка задачи об уединенных волнах и формулируется связанная с ней задача о сопряженных течениях. Кроме того, в этой главе излагаются необходимые сведения из теории ветвления, касающиеся основного метода исследования — конструкции Ляпунова — Шмидта.

Уравнение Дюбрей-Жакотэн — Лонга для функции тока ф(х, у), описывающей плоское стационарное течение неоднородной жидкости, имеет вид

р{ф){фхх + Фп) + Р*У>) + да) = Вф{ф). (1)

Здесь функция р(ф) задает распределение плотности по линиям тока, В(ф)

функция Бернулли, д ускорение силы тяжести. Функции р и В известны, если задано поведение течения при х —> —оо.

Двумерная краевая задача для уравнения Дюбрей-Жакотэн — Лонга (1) формулируется в плоскости независимых переменных Мизеса (х, ф) для искомой функции ги(х, ф), задающей форму линий тока в виде у = уо(ф) + ю(х1ф), где зависимость Уо(ф) соответствует невозмущенному течению с известной функцией тока ф = фо(у)- Для течения типа плавного бора, изображенного на рисунке 16, функция ш в полосе {—оо<ж<оо, 0<ф< 1}

должна удовлетворять следующим уравнениям и граничным условиям:

+ +Щу)+ (2)

■ШхЩ

pwA , n(Wx

У1ф™1 + + , (

^ I fUy-» Д- vwy yj Ц> I ^ I — Ju — ф I _ Q

\ + \Ущ{У0ф + щ))х

w(x, 0) = 0, w{x, 1) = 0, (3)

W —> 0 (х —у —со), W —у Wooty) (х —у сю). (4)

Здесь функции p{ip,cr) = Ро{уо('ф), а) и р{ф,ст) = о~1р{ф, а) считаются заданными. Параметрами в указанной задаче являются плотностиое число Фруда Л и малый параметр Буссинеска ст, характеризующий средний градиент плотности в слое слабостратифицированной жидкости. Предполагается, что функция плотности po(Y,a) имеет вид

Ро(Х, а) = 1 + aPi(Y) + a2p2(Y, а), (5)

где функция />], задающая фоновый профиль плотности, и функция р2> характеризующая тонкую структуру стратификации, принадлежат классам гладкости

Pi(Y)eC*[o,i], р20» е с4([о, i] х [о,сто]), Ш е С4[о,1] (б)

и всюду в своей области определения удовлетворяют неравенствам ро > 0, POY < 0, PlY < 0.

Функция Woo (-(/)) в условии (4), определяющая сопряженное течение при х —у +оо, должна быть решением уравнений (2), (3). При этом она должна удовлетворять условию согласования, вытекающему из закона сохранения импульса. Это условие получается с помощью дивергентной формы записи уравнения (2), которая дается теоремой Э. Нетер в силу наличия у уравнения (2) лагранжиана, инвариантного относительно группы переносов по переменной х. С гидродинамической точки зрения данное условие согласования означает требование совпадения полных потоков импульса в основном течении с«/ = 0ив сопряженном течении с w — Woo(^). Потоки массы и энергии для пары этих течений совпадают в силу сохранения плотности р{ф) и константы Бернулли B(tp) вдоль линий тока.

Таким образом, в задаче о сопряженных течениях требуется найти решение w = wM(ip) нелинейного обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка, удовлетворяющее однородным граничным условиям и дополнительному интегральному соотношению

def (pwA ( ЗУОф'Шф +

/l(«,A,,)**/ Lr^ + » = 0, (8)

о о 4 v '

iü(0) = u/(l) - 0. (9)

Уравнение (7) является уравнением Эйлера — Лагранжа для функционала (8) с лагранжианом Ь{ги, гиф-, А, а), то есть

Г(ю-,\,а) = Ь№-{Ь^)ф. (10)

Поэтому задача о сопряженных течениях (7) (9) является задачей об отыскании критических точек функционала (8), лежащих на поверхности его нулевого уровня. Исследование условий разрешимости этой задачи в пространстве гладких функций класса С2 [0,1] является основной целью диссертационной работы.

Во второй главе излагаются основные результаты диссертации о разрешимости задачи о сопряженных течениях. Решение ги(?/>) = 0 удовлетворяет системе уравнений (7) (9) при любых значениях параметров А и и 6 [0, ст0). Таким образом, рассматриваемая задача является задачей о бифуркации тривиального решения.

В §2.1 с помощью конструкции Ляпунова — Шмидта выполняется конечномерная редукция задачи (7)-(9) с использованием пары функциональных пространств Е = Со[0,1] == {т е С2[0,1] : и>(0) = го(1) = 0} и Е = С[0,1]. Для нелинейного дифференциального оператора (7), задающего гладкое отображение А, а) : Е х К х [0, сто) >-> Е, рассматривается производная Фреше Л(А, а) = /""/„(О; А,ст). С учетом малости параметра а > 0 точки бифуркации нулевого решения разыскиваются среди точек спектра оператора Л(А,0), т.е. точек, являющихся собственными значениями линейной задачи Штурма — Лиувилля

Л(А,0)Ы ='- ( Щ- ) + Хрхфр = 0, р(0) = <о(1) = 0. (И) \у0Ф/ф

Пусть Ао — минимальное собственное значение указанной задачи и <ра{ф) ~ соответствующая ему собственная функция. Оператор у1(А0, 0): Е Е является фредгольмовым оператором, самосопряженным относительно скалярного произведения в /^[0,1]. Одномерное ядро этого оператора порождается функцией </>о, а необходимое и достаточное условие разрешимости в пространстве Е неоднородного уравнения Л(Ао, 0)(</?) = /€ Е имеет вид г(/) = 0 с дефектным функционалом

*•</>= /%оШМ#- (12)

¿о

Проектор Н(-): Е ь-> Е, определенный по формуле Н(/) = !£ог(/), задает следующие разложения пространств Е и Е в прямые суммы замкнутых подпространств:

Е = кегЛ(А0,0) © кег(#|Е), Е = тН ® ¡тЛ(А0,0),

где пиН и 1тЛ(Ао, 0) — образы соответствующих операторов. Оператор 5{-) : ¡т Л (Ао, 0) |—► кег(Т/|Е), дающий единственное в подпространстве кег(Я|Е) решение неоднородного уравнения Л(Ао,0)(<^) = / € тЛ(Ао,0), реализуется в виде интегрального оператора

8</>М= [1С(ф,з)Нз)йз (13)

с функцией Грина которая выражается с помощью квадратур че-

рез собственную функцию щ.

Согласно схеме Ляпунова — Шмидта решение т € Е задачи (7), (9) разыскивается в виде и> = + и, где Ь 6 М — амплитудный параметр, и € кег(Я|к) С Е. С учетом разложения пространства У, порожденного проектором Н, уравнение (7) записывается в проекциях на подпространства йпЛ(Ао,0) и ¡шЯ,

где Л(и>;А,ст) = Л(Ао,0)(ги) - ^(ги, А,а) — малый нелинейный оператор, квадратичный по совокупности переменных. Введем следующее множество в пространстве параметров:

Через Вб С X будем обозначать шар радиуса 8 в банаховом пространстве X с центром в нуле.

Лемма 1. Существует 5 > 0, с которым определено единственное гладкое отображение класса С2

обращающее уравнение (Ц) в тождество, причем для всех X, а, Ь из области определения имеет место оцеНка

с некоторой положительной константой С, не зависящей от X, а и Ъ.

С указанным в лемме 1 отображением и(А,ст,6) уравнение (15) представляет собой неявно заданное скалярное уравнение разветвления относительно трех параметров А, а и Ь, описывающее поведение всех ветвей решения уравнения (7) в окрестности точки бифуркации. Полная система скалярных уравнений, эквивалентная исходной задаче (7)-(9), получается после подстановки представления решения V) = Ьро + а, Ь) еще и в интегральное соотношение (8). В результате задача о сопряженных течениях сводится к эквивалентной системе двух вещественных уравнений вида 6/(А, а, Ь) = О, ЬЧ{Х, а, Ь) = 0 с функциями

Л(Ло, 0)(и) = (/ - Н)(ЩЫро + и; А, а)), г{Я{Ь<ро + тх; А, <т)) = О,

(14)

(15)

Пд = {(А, <т,6) | <т > О, |А-А0| + <7 + |&| <

и{\а,Ь) : Пг Вг С кег(Я|Е)

|КА, а, 6)(.)1Ь[о,1] < С(\Ь\а + |А - А0||Ь| + Ь2) (16)

1

+ + й) +

+ \Р

ЗЬуоф(<Роф + йф)2 + 2Ь2((р0ф + йф) ъЛ,р{Уоф + ЬПФ + Ьйф)2

:3

#, (17)

где функция й = Ь~1и(\, а, Ь)(ф) определена неявно в силу леммы 1.

В §2.2 анализируются условия существования малых нетривиальных решений редуцированной системы уравнений разветвления

/(А, сг, Ь) = 0, 1(\,а,Ь) = 0. (19)

Существенным является тот факт, что система (19) имеет решение 6(ст) = О, Л = Ао(ст), соответствующее минимальному собственному значению Ао(ст) линейной задачи Штурма — Лиувилля А{\,о){(р) = 0, </>(0) = у?(1) = 0, являющейся возмущением задачи (11) по параметру а. Наличие указанной вырожденной ветви решений, которая не дает нетривиальных сопряженных течений, обеспечивается согласованной структурой функций /и I, вытекающей из вариационного свойства (10). Вычисление коэффициентов уравнений разветвления в главном порядке по параметрам А и Ь дает с учетом сделанного выше замечания следующий ключевой результат.

Теорема 1. Условие

1 з

= 0 (20)

^ Уоф о

является необходимым для существования нетривиальной ветви решений (ги(а), А (а)) задачи о сопряженных течениях (7)-(9), имеющих асимптотику (ги(сг), А(<т)) —>(0, Ао) при а —> 0.

Неравенство /х(</?о) Ф 0 обеспечивает существование единственного малого решения системы (19), которое в этом случае с необходимостью оказывается тривиальным (с амплитудой Ь(а) = 0).

В §2.3 устанавливается достаточное условие существования сопряженных течений, близких к основному потоку. С этой целью из системы уравнений (19) исключается тривиальная ветвь решений, отвечающая возмущенному собственному значению Ао(сг). Анализ коэффициентов разложения функций / и I из формул (17) и (18) во втором порядке по амплитудному параметру Ь дает следующий результат.

Теорема 2. Пусть выполнено необходимое условие ветвления (20) и при этом выполнено

где З(-) оператор Грина (13). Тогда существует гладкая ветвь

(b(a), А(ег)) решений системы (19) с асимптотикой А(ст) = А0 - с Pwvldrp х

А(о-) = А о - с

Jо V Уы

Ь(а)

£_ [ЧрМф (3<Л

(23)

хЗ

Асимптотика (23) дает конструктивный способ проверки нетривиальности найденной ветви решений.

В §2.4 устанавливается, что полученное необходимое условие ветвления решений задачи о сопряженных течениях допускает обобщение на более широкий класс нелинейных операторов Штурма Лиувилля. Вывод условия (20) в теореме 1 по существу использует только вариационное свойство одномерного оператора Дюбрей-Жакотэн — Лонга и тот факт, что дополнительное интегральное соотношение (8) согласовано с этим вариационным свойством. В данном параграфе исследуются условия ветвления решений нелинейной задачи Штурма — Лиувилля общего вида, принадлежащих нулевой поверхности уровня потенциала для соответствующего оператора Эйлера Лагранжа:

где лагранжиан А, ст) : R2 х [0,1] х12нЁ является гладким

отображением класса С4. Предполагается, что задача (24) (25) имеет тривиальное решение w(X, а) = 0 при любых значениях (А, а) 6 R2. Предполагается также, что линеаризованный оператор А = F'w{0; 0,0) : Cq[0,1] —> С[0,1] имеет одномерное ядро, порожденное функцией (р(ф). В этой ситуации справедлив следующий результат.

Теорема 3. Необходимым условием существования непрерывной ветви ненулевых решений (w(cr),\(o)) : R н-> Сд[0,1] х Е системы (24) (25) такой, что (w(a), А (с)) —> (0,0) при а —> 0, является равенство

где F'¿w{0; 0,0) вторая производная Фреше оператора F.

Интересно отметить, что функционал, аналогичный (26), фигурирует в работе Дж. Б. Келлера [4] в формулировке достаточного условия ветвления решений нелинейной задачи Штурма — Лиувилля, не содержащей каких-либо дополнительных интегральных соотношений.

В третьей главе результаты, полученные для одномерной задачи о сопряженных течениях, рассматриваются в контексте их приложений к уравнениям двумерных стационарных волн в неоднородной жидкости.

В §3.1 устанавливается соответствие между найденными условиями существования сопряженных течений в непрерывно стратифицированной жидкости и известными условиями бифуркации двухслойных кусочно-постоянных течений. Пусть С/х и ?7г — скорости жидкости невозмущенного течения в нижнем и верхнем слоях, а и Яг — толщины слоев. Предполагается, что профиль плотности указанного течения имеет вид Ро (у) = р*(1 - ав(у - Нх)), где в (у) — функция Хевисайда. В этом случае линейная задача Штурма — Лиувилля (11) в обобщенной постановке имеет кусочно-линейную собственную функцию (ро 6 И^О, 1], условием существования которой является выполнение соотношения

Р? + ^ = Ль (27)

где ^ = Их/у/даН, = 1/2/\/дсгН — денеиметрические (плотност-ные) числа Фруда, Я = Ях + Яг — полная глубина жидкости, Ь,1 = Н\/Н. Известно [5], что эллипс (27) в плоскости чисел Фруда (^1,^2) задает границу непрерывного спектра линеаризованной задачи о двумерных стационарных волнах в двухслойной жидкости (точкам данного спектра соответствуют обобщенные собственные функции в виде синусоидальных волновых пакетов). Известно также, что геометрическое ме-

Рис. 2: Спектр линеаризованной задачи и диаграммы сопряженных течений: (а) — решение задачи [5], (б) — решение, задаваемое локальными условиями (20) и (21).

сто точек существования сопряженных течений в плоскости (^х, Р2) есть квадрат + = 1, касающийся эллипса (27) в четырех точках (■Ръ-^г) = (±/¿1, ±(1 — Ы)) (см. рис. 2а). Указанные точки являются точками бифуркации, в которых нетривиальные сопряженные течения ответв-

ляются от основного потока (они же являются точками бифуркации для решений в виде плавного бора [5] и уединенных волн типа плато [6]). Необходимое условие ветвления (20) в рассматриваемом случае принимает вид (■Рг^)2 = -?12(1 - /&1)2 и задает в плоскости (-Рь-РЬ) пару прямых, пересекающих эллипс (27) в упомянутых выше четырех точках бифуркации (см. рис. 26). Достаточное условие существования сопряженных течений (21) при этом указывает на наличие единственной ветви решений в окрестности каждой из этих точек. В этом смысле условия (20) и (21) характеризуют гладкие профили плотности и скорости основного течения, для которых ветвление малых решений задачи (7)-(9) аналогично ветвлению двухслойных сопряженных течений.

В §3.2 дается формулировка необходимого условия ветвления сопряженных течений (20) в исходных (эйлеровых) переменных (ф(у),у)- Пусть Ао и £0 {у) — минимальное собственное значение и соответствующая ему собственная функция задачи Штурма — Лиувилля (11), записанной в переменных (ф(у), у),

= *(0) = «1) = 0. (28)

Справедлива следующая теорема. Теорема 4. Условие 1

/

2А0 ( Ply \ J_f фйууу

W2 \W2)y фоу WoJy

eody = 0 (29)

является необходимым для существования нетривиальной ветви решений (ф{а), A(<j)) задачи о сопряженных течениях, имеющих асимптотику (-ф{а),\(а)) ->(фо,\о) при 0" 0.

Условие (29) является конструктивным в том смысле, что оно позволяет получать примеры профилей скорости и плотности невозмущенного потока, для которых указанное условие заведомо выполняется. Например,

где 7 = const > —1/2,7 Ф 0В §3.3 рассматривается задача о течениях, сопряженных с бессдвиговым основным потоком. В этом случае условие (29) принимает вид

J0

Р1ууШ1ШУ = о- (30)

Указанное условие является выполненным для профилей плотности вида ро(у, а) = 1 — ау + а2рг{у, сг), т.е. близких к линейному или экспоненциальному. Для указанных профилей достаточное условие (21) не выполняется,

что согласуется с результатом [7] о неединственности ветвей решений, порожденных минимальным собственным значением линеаризованной задачи. В работе [8], специально посвященной исследованию неединственности сопряженных течений, установлено, что при отличии от нуля функционала из (30) существует только одна ветвь решений рассматриваемой задачи. В настоящей диссертации показано, что указанная ветвь является тривиальной. Тем самым здесь существенно уточнен смысл условия (30).

В §3.4 выясняется роль условий (20), (21) в алгоритме построения асимптотического разложения для решения двумерной задачи об уединенных внутренних волнах (2)-(3). Построение приближенных решений данной задачи является существенным этапом при доказательстве теорем существования точных решений типа уединенных волн для двумерных стационарных уравнений гидродинамики [11, 9, 10].

Приближенное решение уравнений (2)-(3) разыскивается в виде формальных рядов по степеням малого параметра а

00 00 ги{х,хр) = ^ Л(ст) = Ао + ^ Хк(тк> (31)

к=1 к= 1

где Ао — минимальное собственное значение задачи Штурма — Лиувилля (11) с оператором А(А, 0). Для первых трех коэффициентов ряда возмущений для ю возникает система уравнений

го?

( Р1У)1ф\

Vл

Ф

^--^чзмрй.-

_ 3 (Ц,1У'Щ2'Л + ( Р1™2ф\ (РмЛ

V Уоф V < )ф V < )ф

- р2ф{Х№г + Ах«^) - + А2Ш1) - АоЯз^«'1-

Из первого уравнения (32) находится вид функции (х, ф) ~ а\(х)щ(ф) с разделенными независимыми переменными х и ф (здесь — собственная функция задачи (11)). Неизвестная амплитудная функция ах (я) определяется из условий совместности уравнений последующих приближений, которые представляют собой условия ортогональности правых частей неоднородных уравнений (32) собственной функции щ. Условие разрешимости для уравнения второго приближения дает соотношение

ЪцЫа\{х)/2 + а1{х)хЫ{К{0) - А1) = 0, (33)

где функционал ^и(^о) определен формулой (20), а величина Аст(0) определяется в соответствии с формулой (22). В силу необходимого условия

существования малой ветви сопряженных течений (20) выполнено равенство = 0. Поэтому условие (33) удовлетворяется автоматически, если кривая А(сг) из (31) касается ветви сопряженных течений Л = Л(<т) в точке (Л, сг) = (Ло, 0). В результате условие совместности для уравнения третьего приближения из (32) дает модифицированное стационарное уравнение Кортевега — де Фриза с кубической нелинейностью, проинтегрированное один раз по X

x(ipo) aixx = с3а? + с2а\ + с^ь (34)

Коэффициенты в (34) имеют вид

Í1 ч>2

с3 = 4т}(</?0), к(<Ро) = —dip,

J о Ущ

где 7у(^о) определяется формулой (21), явный вид коэффициентов ci и ci здесь не столь существенен. Условие т](^ро) Ф 0 является в силу теоремы 2 достаточным условием существования единственной малой ветви сопряженных течений. Именно в этом случае уравнение (34) имеет решения в виде плавного бора и уединенной волны типа плато.

В приложении дано доказательство эквивалентности необходимых условий существования сопряженных течений (20) и (29), сформулированных в теоремах 1 и 4.

Автор выражает глубокую признательность своему научному руководителю д.ф.-м.н. Н. И. Макаренко за постановку задачи и ценные советы.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

[1] Benjamin T.B. Unified theory of conjugate flows. // Philos. Trans. Roy. Soc. 1971, London A, v. 269, p. 587-643.

[2] Осмоловский В.Г. Нелинейная задача Штурма Лиувилля. Учеб. пособие. СПб.: СПбГУ, 2003, 230 с.

[3] Вайнберг М.М. Теория ветвления решений нелинейных уравнений. / М.М. Вайнберг, В.А. Треногин - М.: Наука, 1969, 529 с.

[4] Келлер Дж. Б. Теория ветвления решений обыкновенных дифференциальных уравнений // Теория ветвления и нелинейные задачи на собственные значения. / ред. Дж. Б. Келлер, С. Антман, пер. с англ.-М.: Мир, 1974. 254 с.

[5] Makarenko N.I. Smooth bore in two-layer fluid // Intern. Ser. Numer. Math., 1992, v. 106, p. 195-204.

[6] Мальцева Ж.Л. Об одном типе уединенных внутренних волн в двухслойной жидкости // ПМТФ. 1999. Т. 40, № 5. с. 55-61.

[7] Макаренко Н.И. Сопряженные течения и плавные боры в слабостра-тифицированной жидкости // ПМТФ. 1999. Т. 40, № 2. с. 69-78.

[8] Макаренко Н.И. О неединственности сопряженных течений//ПМТФ. 2004. Т. 45, № 2. с. 68 74.

[9] Friedrichs К.O., Hyers D.H. The existence of solitary waves. // Comm. Pure. Appl. Math., 1954, v. 7, N 3, p. 517-550.

[10] Ter-Krikorov A.M. Theorie exacte des ondes longues stationnaries dans un liquide heterogene // J. Mecanique, 19G3, N 2, p. 351 375.

[11] Белолипецкий A.A., Тер-Крикоров A.M. Асимптотические решения типа длинных волн для одного класса граничных задач математической физики. // Нелинейный анализ и нелинейные дифференциальные уравнения / Под ред. В.А. Треногина, А.Ф. Филиппова. — М.: ФИЗ-МАТЛИТ, 2003, с. 144 196.

ПУБЛИКАЦИИ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

[12] Казаков А.Ю. Сопряженные сдвиговые течения слабостратифициро-ванной жидкости. Тезисы межд. науч. студ. конф. «Студент и научно-технический прогресс», Новосибирск, 2003.

[13] Казаков А.Ю. Сдвиговые сопряженные течения слабостратифициро-ванной жидкости. Тезисы всеросс. конф. «Потоки и структуры в жидкостях», Санкт-Петербург, 2003, с. 200 201.

[14] Kazakov A. Conjugate shear flows of weakly-stratified fluid. // Proc. of VII int. conf. «Fluxes and structures in fluids», Moscow, Inst. Prob. Mech. RAS, 2003, p. 93-98.

[15] Казаков А.Ю. Сдвиговые сопряженные течения слабостратифициро-ванной жидкости. Тезисы всеросс. конф. «Новые математические модели в механике сплошных сред: построение И изучение», Новосибирск, 2004, с. 66-67.

[16] Казаков А.Ю. Условия существования сдвиговых сопряженных течений и длинноволновые приближения, Тезисы всеросс. конф. «Проблемы механики сплошных сред и физики взрыва», Новосибирск, 2007, с. 96.

[17] Makarenko N., Maltseva J., Kazakov A. Conjugate flows and amplitude bounds for extreme internal waves // Geophysical Research Abstracts, 2008, v.lO, EGU General Assembly, Vienna, Austria, 13-18 April 2008. A-06692.

[18] Казаков А.Ю. Об одной нелинейной задаче Штурма — Лиувилля из теории внутренних волн. Тезисы межд. конф. «Дифференциальные уравнения. Функциональные пространства. Теория приближений ». Новосибирск, 2008. с. 151.

[19] Казаков А.Ю Сдвиговые сопряженные течения слабостратифициро-ванной жидкости // ПМТФ. 2009. т. 50. N 2. с. 79-88.

[20] Makarenko, N. I., Maltseva, J. L., Kazakov, A. Yu. Conjugate flows and amplitude bounds for internal solitary waves // Nonlinear Processes in Geophysics, 2009, v.16, N 2, p. 169-178.

Подписано к печати 16.09.2009. Формат 60 х 84 1/16. Объем 1.0 п. л. Тираж 75 экз. Заказ № 21.

Отпечатано в Институте гидродинамики им. М. А. Лаврентьева СО РАН 630090, Новосибирск, просп. акад. Лаврентьева, 15.

Г

Введение

1 Предварительные сведения

1.1 Уравнения движения стратифицированной жидкости

1.2 Формулировка уравнений в переменных Мизеса.

1.3 Задача о сопряженных течениях.

1.4 Конструкция Ляпунова — Шмидта.

1.5 Свойства линейных операторов Штурма — Лиувилля

2 Ветвление решений задачи о сопряженных течениях

2.1 Конечномерная редукция задачи о сопряженных течениях

2.2 Необходимое условие ветвления решений задачи о сопряженных течениях.

2.3 Достаточное условие ветвления решений задачи о сопряженных течениях.

2.4 Ветвление критических точек потенциала нелинейного оператора Штурма — Лиувилля на фиксированной поверхности уровня.

В диссертации исследуется нелинейная задача на собственные значения для одномерного уравнения Дюбрей-Жакотэн — Лонга, возникающего в теории волн в неоднородной жидкости. Рассматриваемая задача тесно связана с проблемой аналитического описания предельных форм внутренних уединенных волн, сформулированной в работе Эмика и Тернера [25]. В этой работе с помощью топологических методов доказано существование точек разрушения соболевской И^-нормы на глобальной ветви решений типа уединенных волн. Физически это соответствует либо неограниченному возрастанию площади между профилем волны и невозмущенным уровнем линии тока (рост Z/2-нормы решения), либо появлению на профиле волны точек с вертикальной касательной (неограниченность С1-нормы). Неограниченность вовлеченной в волну массы жидкости имеет место для семейства уединенных волн столообразного вида с уплощенными вершинами, по форме напоминающими плато («table-top waves», рис. la.). Предельной формой волн этого семейства является плавный внутренний бор (рис. 16.). Анализу структуры таких решений в случае двухслойной, или близкой к ней, стратификации были посвящены исследования Эмика и Тернера [26], а также работы Мильке [54], Жаме [40, 41], в которых использовалась техника конечномерной редукции на центральное многообразие, и работы Н. И. Макаренко [49], Ж. JL Мальцевой [15], в которых применялся метод Ляпунова — Шмидта. Численными методами эту задачу решали Тернер и Ванден-Брок [62], Диас и Ванден-Брок [36]. а) (б)

Рис. 1: (а) — уединенная волна типа плато, (б) — плавный внутренний бор

Уединенные волны типа плато имеют фронты, подобные плавным внутренним борам, и почти одномерные горизонтальные срединные течения, сопряженные с невозмущенным течением перед волной. Два одномерных течения стратифицированной жидкости называются сопряженными, если они являются согласованными в смысле законов сохранения массы, импульса и (или) энергии. Этот термин, сама постановка задачи об отыскании пар сопряженных течений как бифуркационной задачи для нелинейного уравнения Дюбрей-Жакотэн — Лонга, а также первые результаты о ее разрешимости принадлежат Бенджамину [30, 31]. Указанная задача может рассматриваться независимо от исходной двумерной задачи, при этом ее решения дают информацию о параметрах внутренних волн, чьи предельные амплитуды фактически и задаются параметрами сопряженных течений. Задача о сопряженных течениях относится к классу нелинейных задач Штурма — Лиувилля — задач на собственные значения для нелинейных обыкновенных дифференциальных операторов второго порядка.

Такие задачи возникают в нелинейной теории теплопроводности и теории упругости, теории фазовых переходов, а также при исследовании задач сегментации фотоизображений и нахождении точных констант в изопериметрических неравенствах. Обзор соответствующих математических постановок и методов исследования их разрешимости имеется в книге В. Г. Осмоловского [21] (см. также статьи [44, 57, 58, 59, 63] и книгу [27]). Особенностью задачи о сопряженных течениях является возможность существенной неединственности ее решения, что было доказано в работах Н. И. Макаренко [13, 14] и найдено в численных расчетах Лэмба [45, 46, 60]. Основными результатами диссертации являются необходимые и достаточные условия существования ветвей нетривиальных решений задачи о сопряженных течениях, формулируемые в терминах функций, определяющих профили скорости и плотности заданного основного течения.

Далее дается краткий обзор содержания диссертационной работы. Первая глава является вводной, в §1.1 приводится вывод уравнения Дюбрей-Жакотэн — Лонга, описывающего движение неоднородной жидкости. В §1.2 это уравнение преобразуется к переменным Мизеса, использование которых оказывается более удобными для исследования. В §1.3 дается постановка задачи о сопряженных течениях как нелинейной задачи на собственные значения для нелинейного обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка (уравнения Дюбрей-Жакотэн — Лонга) на конечном промежутке с дополнительным интегральным соотношением, выражающим закон сохранения импульса. Поскольку интегральное соотношение формулируется в терминах лагранжиана одномерного оператора Дюбрей-Жакотэн — Лонга, постановка задачи является вариационной: требуется отыскать критические точки функционала, лежащие на поверхности его нулевого уровня. Отметим, что вариационные свойства задачи о сопряженных течениях обсуждались Бенджамином в работах [31, 32], однако условие принадлежности искомой ветви решений задачи фиксированной поверхности уровня потенциала исходного оператора в этих работах не рассматривалось, поскольку не требовалось согласования сопряженных течений в смысле закона сохранения импульса (с физической точки зрения потеря импульса связана с силами реакции потока жидкости при обтекании неровностей на дне канала). Также в §1.4 приводятся необходимые сведения из теории ветвления, касающиеся основного метода исследования настоящей работы — конструкции Ляпунова — Шмидта, в §1.5 описываются необходимые свойства линейных операторах Штурма — Лиувилля.

В главе 2 излагаются основные результаты диссертации. Решения задачи о сопряженных течениях разыскиваются в пространстве дважды непрерывно дифференцируемых функций с помощью метода Ляпунова — Шмидта. В §2.1 описание ветвей решений задачи о сопряженных течениях в окрестности собственного значения линеаризованного одномерного оператора Дюбрей-Жакотэн — Лонга сводится к анализу системы двух неявно заданных скалярных уравнений разветвления, связывающих три вещественных параметра. В §2.2 устанавливается, что в силу вариационного характера задачи полученная вещественная система в общем случае обладает только тривиальным решением. Условие вырожденности матрицы линейной части указанной системы дает необходимое условие существования нетривиальных ветвей сопряженных течений, являющееся центральным результатом диссертации. В §2.3 приводится достаточное условие существования нетривиальной ветви сопряженных течений, получающееся из рассмотрения преобразованной вещественной системы с исключенной тривиальной ветвью решений. Анализ решения этой системы дает асимптотику ветви сопряженных течений по параметрам задачи в окрестности точки бифуркации. В §2.4 отмечается общий характер полученного необходимого условия ветвления, и приводятся формулировка и доказательство теоремы, дающей необходимое условие ветвления решений уравнения Эйлера — Лагранжа общего вида, удовлетворяющих дополнительному интегральному ограничению, выраженному в терминах лагранжиана.

В главе 3 полученные условия существования сопряженных течений непрерывно стратифицированной жидкости интерпретируются с точки зрения известных результатов. В §3.1 рассматривается задача о сопряженных течениях двухслойной жидкости. Здесь устанавливается, что полученные в настоящей работе условия ветвления согласуются с известными условиями существования ветвей решения [49]. В §3.2 условия существования сопряженных течений, полученные для исходной задачи в полулагранже-вых переменных (переменных Мизеса), формулируются в эйлеровых переменных. При такой интерпретации эти условия позволяют легко находить удовлетворяющие им профили плотности и скорости основного течения. В §3.3 рассматриваются бессдвпговые течения. Использование эйлеровых переменных позволяет дать физическое истолкование условий ветвления в терминах профиля плотности основного течения, а также сопоставить полученные результаты с результатами работы [14] и дать уточненную интерпретацию полученных в ней условий существования течений, сопряженных с бессдвиговым потоком. В §3.4 устанавливается связь между полученными условиями существования сопряженных течений и структурой асимптотического разложения для решений задачи об уединенных внутренних волнах. Показано, что необходимое условие существования ветви сопряженных течений есть условие равенства нулю коэффициента при квадратичной нелинейности в классическом уравнении Кортевега — де Фриза [33, 48], I описывающем в главном порядке решения двумерной задачи в виде уединенных волн. Хорошо известно [39, 42], что при вырождении квадратичной нелинейности в исходных уравнениях асимптотика решений типа уединенных волн дается модифицированным уравнением Кортевега — де Фриза с кубической нелинейностью, обладающим более широким набором решений (включая решения типа плавного бора [20]). Основные результаты диссертации:

1. Получено необходимое условие ветвления решений задачи о сопряженных течениях (теорема 1, §2.2).

2. Получено достаточное условие ветвления решений задачи о сопряженных течениях (теорема 2, §2.3).

3. Установлена связь между полученными условиями существования сопряженных течений и структурой асимптотического разложения для решений двумерной задачи об уединенных внутренних волнах (§3.4).

Результаты диссертации докладывались на следующих конференциях:

1. XLI Международная научная студенческая конференция «Студент и научно-технический прогресс», Новосибирск, 2003.

2. VII Международная конференция «Потоки и структуры в жидкостях», Санкт-Петербург, 2003.

3. Всероссийская конференция «Новые математические модели в механике сплошных сред: построение и изучение», приуроченная к 85-летию академика JI. В. Овсянникова, Новосибирск, 2004.

4. Всероссийская конференция «Проблемы механики сплошных сред и физики взрыва», посвященная 50-летию Института гидродинамики им. М. А. Лаврентьева СО РАН, Новосибирск, 2007.

5. Ассамблея Европейского геофизического союза EGU General Assembly, Вена, Австрия, 2008.

6. Международная конференция «Дифференциальные уравнения. Функциональные пространства. Теория приближений», посвящённая 100-летию со дня рождения С. Л. Соболева, Новосибирск, 2008.

Результаты диссертации обсуждались на семинаре лаборатории математического моделирования фазовых переходов Института гидродинамики им. М. А. Лаврентьева СО РАН под руководством чл.-корр. РАН П. И. Плотникова и семинаре «Дифференциальные уравнения и смежные вопросы анализа» под руководством проф. В. С. Белоносова и проф. М. В. Фокина в Институте математики им. С. Л. Соболева СО РАН.

Основные результаты работы опубликованы в статьях [10, 51], трудах конференции [43] и тезисах докладов [5]-[9], [50]. В совместных публикациях [50, 51] автору принадлежат результаты о необходимых условиях ветвления решений задачи о сопряженных течениях.

Автор выражает глубокую признательность своему научному руководителю д.ф.-м.н. Н. И. Макаренко за постановку задачи и цепные советы, а также благодарит руководителей и участников перечисленных семинаров за вопросы и замечания.

Работа выполнена при финансовой поддержке программы «Ведущие научные школы РФ» (гранты № НШ—440.2003.1 и № НШ—5245.2006.1) и гранта INTAS—СО РАН (№ 06-1000013-9236).

1. Казаков А.Ю. Условия существования сдвиговых сопряженных течений и длинноволновые приближения, Тезисы всеросс. конф. «Проблемы механики сплошных сред и физики взрыва», Новосибирск, 2007, с. 96.

2. Казаков А.Ю. Об одной нелинейной задаче Штурма — Лиувилля из теории внутренних волн. Тезисы межд. конф. «Дифференциальные уравнения. Функциональные пространства. Теория приближений». Новосибирск, 2008. с. 151.

3. Курант Р., Гильберт Д. Методы математической физики. Т. 1 — М.-Л.: Гостехиздат, 1951. 476 с.

4. Макаренко Н.И. Сопряженные течения и плавные боры в слабостра-тифицированной жидкости // ПМТФ. 1999. Т. 40, № 2. с. 69-78.

5. Макаренко Н.И. О неединственности сопряженных течений // ПМТФ. 2004. Т. 45, № 2. с. 68-74.

6. Мальцева Ж.Л. Об одном типе уединенных внутренних волн в двухслойной жидкости // ПМТФ. 1999. Т. 40, № 5. с. 55-61.

7. Мальцева Ж.Л. Об асимптотических свойствах уединенных внутренних волн в двухслойной жидкости // Вычислительные технологии. 2000. т. 5. N 1. с. 85-92.

8. Михлин С. Г. Линейные уравнения в частных производных. — М.: Высшая школа, 1977.

9. Ниренберг Л. Лекции по нелинейному функциональному анализу. — М.:Мир 1977, 230 с.

10. Рождественский В.Л., Яненко Н.Н. Системы квазилинейных уравнений и их приложения к газовой динамике. — М.: Наука, 1978, 687 с.

11. Овсянников Л.В., Макаренко Н.И., Налимов В.И. и др. Нелинейные проблемы теории поверхностных и внутренних волн. — Новосибирск: Наука. 1985. 320 с.

12. Осмоловский В.Г. Нелинейная задача Штурма — Лиувилля. — Учеб. пособие. СПб.: СПбГУ, 2003, 230 с.

13. Трикоми Ф. Дифференциальные уравнения. — М: Изд. иност. лит., 1962.

14. Федоров К.Н. Тонкая термохалинная структура вод океана. — Л.: Гид-рометеоиздат, 1976, 184 с.

15. Хабахпашева Т. И. Уединенные волны в двухслойной жидкости // Динамика сплошной среды. 1985, Изд. ин-та гидродинамики СО АН СССР: Новосибирск, вып. 69. с. 96-122.

16. Атгск, С. and Turner, R.E.L. A global theory of internal solitary waves in two-fluid system j j Trans. Amer. Math. Soc., 298, p. 431-484, 1986.

17. Amick, C. and Turner, R.E.L. Small internal waves in two-fluid systems. // Arch. Rat. Mech. Anal., 1989, v. 108, p.111-139.

18. Amrein W.O., Hinz A.M., Pearson D. P. Sturm — Liouville theory: past and present. — Springer, 2005, 335 p.

19. Beale J.T. The existence of solitary water waves j j Comm. Pure Appl. Math., 1977, v. 30, p. 373-389.

20. Beale J. T. Exact solitary waves with capillary ripples at infinity // Comm. Pure Appl. Math., 1991, v. 44, p. 211-257.

21. Benjamin T.B. Internal waves of finite amplitude and permanent form // J. Fluid Mech. 1966. N 25. p. 241-270.

22. Benjamin T.B. Unified theory of conjugate flows. // Philos. Trans. Roy. Soc. 1971, London A, v. 269, p. 587-643.

23. Benjamin, Т. B. Impulse, flow force and variational principles // IMA J. Appl. Math., 1984, v. 32, p. 3-68.

24. Benney, D.J. Long non-linear waves in fluid flows // J.Math.Phys., 1966, N 45, p. 52-63.

25. Birkhoff G., Rota G.-C. Ordinary differential equations — Boston: Ginn and Co., 1962, 318 p.

26. Bona J. L., Sachs R. L. The existence of internal solitary waves in a two-fluid system near the KdV limit // Geophys. Astrophys. Fluid Dynamics, 1989, v. 48 , p. 25-51.

27. Dias, F. and Vanden-Broeck, J.-M. On internal fronts. //J. Fluid. Mech., 2003, v.479, p. 145-154.

28. Dubreil-Jacotin M.L. Sur theoremes d'existence relatifs aux ondex permanentes periodiques a deux dimensions dans les liquides heterogenes // J. Math. Pures Appl. 1937. v.9, N 19, p.43.

29. Friedrichs K.O., Hyers D.H. The existence of solitary waves. // Comm. Pure. Appl. Math., 1954, v. 7, N 3, p. 517-550.

30. Gear J.A., Grimshaw R. A second-order theory for solitary waves in shallow fluids // Phys. Fluids. 1983. v. 26, N 1. p. 14-29.

31. James G. Small amplitute internal waves in stratified fluid // Ann. Univ. Ferrara. ser. VII Sc. Mat, 1997, N 43, p. 65-119.

32. James G. Internal travelling waves in the limit of discontinuously stratified fluid // Arch. Rat. mech. Anal. 2001, N 160, p. 41-90.

33. Kakutani Т., Yamasaki N. Solitary waves on a two-layer fluid. //J. Phys. Soc. Japan, 1978, v. 45, p. 674-679.

34. Kazakov A. Conjugate shear flows of weakly-stratified fluid. // Proc. of VII int. conf. «Fluxes and structures in fluids», Moscow, Inst. Prob. Mech. RAS, 2003, p. 93-98.

35. Kuiper H.J., Turner R.E.L. Sturm-Liouville problems with prescribed nonlinearities // Q. J. Math. Eq., 1973, v.26, p. 491-505.

36. Lamb K.G., Wan B. Conjugate flows and flat solitary waves for a continuously startifled fluid j I Phys. Fluids, 1998, v. 10, N 8, p. 20612079.

37. Lamb K.G. Conjugate flows for a three-layer fluid // Phys. Fluids, 2000, v. 12, N 9, p. 2169-2185.

38. Lamb K.G., Wilkie K.P. Conjugate flows for waves with trapped cores // Phys. Fluids, 2004. v. 16, N 12. p. 4685-4695.

39. Long R.R. Solitary waves in one- and two-fluids system //Tellus., 1956, v. 8, N 4, p. 460-471.

40. Makarenko N.I. Smooth bore in two-layer fluid // Intern. Ser. Numer. Math., 1992, v. 106, p. 195-204.

41. Makarenko N., Maltseva J., Kazakov A. Conjugate flows and amplitude bounds for extreme internal waves // Geophysical Research Abstracts, 2008, v. 10, EGU General Assembly, Vienna, Austria, 13-18 April 2008.NA-06692.

42. Makarenko, N. I., Maltseva, J. L., Kazakov, A. Yu. Conjugate flows and amplitude bounds for internal solitary waves j j Nonlinear Processes in Geophysics, 2009, v. 16, N 2, p. 169-178.

43. Makarenko, К Equivariant cosymmetry and front solutions of the Dubreil-Jacotin-Long equation j j C.R. Acad. Sci, 2003, Paris. Ser. I: Part 1. Boussinesq limit, v. 337 pp. 753-756; Part 2. Exact solutions, v. 337, p. 815-818.

44. Maltseva, J.L. Limiting forms of internal solitary waves // JOMAE Trans. ASME, 2003, 125, p. 76-79.

45. Mielke A. Homoclinic and heteroclinic solutions in two-phase flow // Adv. Series in Nonlinear Dynamics, 1995, v. 7, p. 353-362.

46. Miles J. W. On internal solitary waves // Tellus, 1979, v.31, p.456-462.

47. Rusds P.-O., Grue J. Solitary waves and conjugate flows in a three-layer fluid // Eur. J. Mech. B/Fluids, 2002, v.21, p. 185-206.

48. Shibata T. Asymptotic profiles of variational eigenvalues of two-Parameter non-linear Sturm-Liouville problems // Math. Meth. Appl. Sci., 1998, v.21, p. 1619-1635.

49. Shibata T. Asymptotic expansion of the variational eigencurve for two-parameter simple pendulum-type equations I j Nonlin. Anal., 2004, v.58, p. 425-440.

50. Shibata T. Boundary layer and variational eigencurve in two-parameter single pendulum type equations // Comm. Pure App. Anal., 2006, v.5, N 1, p. 147-154.

51. Stastna M., Lamb K.G. Large fully nonlinear internal solitary waves: The effect of background current // Phys. Fluids, 2002, v. 14, N 9, p. 2987-2999.

52. Ter-Krikirov A.M. Theorie exacte des ondes longues stationnaries dans un liquide heterogene //J. Mecanique, 1963, N 2, p. 351-375.

53. Turner R.E.L., Vanden-Broeck J.-M. Broadening of interfacial solitary waves // Phys. Fluids, 1988, v. 31, p. 2486-2490.

54. Turner R.E.L. Superlinear Sturm — Liouville Problems // J. Diff. Eq, 1973, v.13, p. 157-171.

55. Yih Chia-Shun. Stratified flows. N.Y.: Acad. Press, 1980.