Влияние деформационной анизотропии на критерий страгивания трещины нормального разрыва в упругопластическом теле тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

1. Исследования в области механики разрушения упруго-пластических тел.

2. Напряжённо-деформированное состояние упругопласти-ческой пластины с движущейся трещиной нормального разрыва.

2.1.Поля напряжений и деформаций в пластической области в рамках теории малых упругопластических деформаций.

2.2.Представление функции напряжений в упругой об ласти.

2.3.Построение контура пластической зоны.

2.4.Напряжённо-деформированное состояние вблизи конца страгивающейся трещины (изотропная теория течения с линейным упрочнением).

2.5.Страгивающаяся трещина в рамках модели плоского тела.

2.6.Напряжения и деформации в области разгрузки.

3. Построение областей активного догружения и разгрузки у конца трещины в момент её страгивания.

3.1.Области разгрузки и активного догружения в рамках деформационной теории пластичности.

3.2.Построение границ областей полного, неполного догружения,разгрузки и определение соответствующих постоянных интегрирования (модель плоского тела).

3.3.Зоны разгрузки и активного догружения в условиях изотропной теории течения с линейным упрочнением. Определение'соответствующих постоянных инт егрирования.

4. Зависимость критической нагрузки для тела с трещиной от определяющих соотношений различных теорий пластичности.

4.1.Энергетический критерий упругопластического разрушения. хи

4.2.Баланс энергии в рамках деформационной теории пластичности.

4.3.Энергетический критерий локального разрушения в рамках модели плоского тела. х<,4:

4.4.Энергетический критерий локального разрушения в случае соотношений теории течения с изотропным упрочнением.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

1. Решена краевая задача по определению напряженно-деформированного состояния упругопластической пластины с фиксированной трещиной нормального отрыва. Исследования проводились в рамках деформационной теории пластичности. Исходя из полученного приближенного решения,определено уравнение контура пластической области. При этом предполагалось, что максимальный размер пластической зоны мал по сравнению с длиной трещины.

2. Определено перераспределение напряженно-деформированного состояния пластины с трещиной в момент начала движения последней. При этом в пластической области использовались соотношения деформационной теории, а также теории течения с изотропным упрочнением. Построены границы областей активного догружения и разгрузки.Показано, что в обоих случаях решения отличаются незначительно.

3. В рамках теории пластичности для плоского тела,основанной на концепции скольжения,определено перераспределение напряженно-деформированного состояния пластины с трещиной в момент ее страгивания. В этом случае область активного догружения разбивается на две подобласти: полного и неполного догружения. Показано, что зона неполного догружения охватывает большую часть пластической области. Построены границы трех подобластей,составляющих пластическую область.

4. Показано, что в случае применения в пластической области соотношений теории скольжения порядок особенности сингулярных членов по напряжениям и деформациям уменьшается. Этого не наблюдается как в случае деформационной, так и в случае теории течения с изотропным упрочнением.

5. Энергетический критерий локального разрушения применен к напряженно-деформированному состоянию, определенному в рамках трех теорий пластичности: деформационной, теории течения с изотропным упрочнением и теории скольжения. Показано, что построенные на его основе зависимости между критическими параметрами (длиной трещины и нагрузкой) близки в случае теории течения и деформационной теории и мало отличаются от таковых, построенных Гриффитсом, для упругой пластины. Аналогичные исследования в рамках теории скольжения, в отличие от предыдущих случаев, свидетельствуют о значительном увеличении критической длины трещины по сравнению со случаем упругой пластины. Одним из наиболее существенных аспектов при этом является снижение порядка особенности главных членов по напряжениям и деформациям, поскольку последние определяют энергетический баланс вблизи кончика трещины.

Эти .результаты получены в предположении о. малости пластической зоны и слабом отклонении диаграммы материала от упругой. б. Полученные результаты позволяют сделать вывод о необходимости использования теорий пластичности с угловой точкой в инженерных расчетах на прочность конструкций с дефектами типа трещин. Это приводит к увеличению расчетных значений максимальных допустимых нагрузок.

1. БаренблаттГ.И. Математическая теория равновесных трещин, образующихся при хрупком разрушении. Журн.прикл.механики и техн.физики, 1961, № 4, с.3-56.

2. Баренблатт Г.И. О некоторых общих представлениях математической теории хрупкого разрушения. ПММ,1964,т.28,с.630-643.

3. Батдорф С^Б.,Будянский Б. Зависимость между напряжениями и деформациями для упрочняющегося материала при сложном напряженном состоянии /Сб.пер. Механика, 1955, № 5,с.120-127.

4. Батдорф С.Б.,5удянскии Б. Математическая теория пластичности, основанная на концепции скольжения./Сб.пер. Механика, 1962, № I, с.135-155.

5. Билби Б. Разрушение. В сб.: Механика разрушения.Разрушение конструкции. - М.,Мир,1980,с.204-227.

6. Витвицкий П.М.Леонов М.Я. Полосы скольжения при неоднородной деформации пластинки. В сб.: Вопросы механики реального твердого тела. Киев,Изд-во АН УССР,1962,в.I,с.13-28.

7. Витвицкий П.М.»Панасюк В.В.,Ярема С.Я. Пластические деформации в окрестности трещин и критерии разрушения (обзор).

8. Проблемы прочности,1973, № 2, с.3-18

9. Генки Г. К теории пластических деформаций и вызываемых имив материале остаточных напряжений. В кн.: Теория пластичности. М.:ИЛ,1948,с.114-135.

10. Генки Г. Новая теория пластичности,упрочнения,ползучести и опыты над неупругими материалами. В кн.: Теория пластичности. М.:ИЛ,1948,с.427-446.

11. Гольдштейн P.B. Некоторые вопросы механики разрушения крупногабаритных конструкции. В сб.Механика разрушения. Разрушение конструкций. М.,Мир,1980,с.228-255.

12. Греков М.А. 0 влиянии двухосной нагрузки на размеры пластической зоны около трещины. В кн.Исслед. по упругости и пластичности. Л., 1982,№ 4, с. 174-178.

13. Греков М.А. 0 пластических зонах у вершины при плоской деформации. ФХММД978, № 5, с.110-114.

14. Даль Ю.М. Об оценке размеров пластических зон в пластине у концов трещины. Изд.АН СССР.МТТ,1970, Ш 5,c.II4-I20.

15. Ершов Л.В. ,Ивлев Д.Д. Об условиях квазихрупкого разрушения. ПММД967, J* 3,0.537-542.

16. Зарубин B.C. Модель неупрутого деформирования конструкционного материала в условиях переменной температуры. -Тр. МВТУ им. Н.Э.Баумана. 1980, № 325,0.6-16.

17. Зарубин B.C.,Кадашевич Ю.Й.,Кузьмин М.А. Описание ползучести металлов при помощи структурной модели. Прикл.механика. 1977,13, В 9, с.10-13.

18. Зарубин B.C.,Поляков A.A. Модель неизотермического пластического деформирования поликристаллического материала.-В кн.:Тепловые напряжения в элементах конструкций.Киев, Наукова думка, 1970, в.9, с.253-266.

19. Ибрагимов В.А. Концепция неидеального хрупкого разрушения в нелинейной теории трещин. Теоретическая и прикл.механика, 1982, № 9, с.16-26.

20. Ибрагимов В.А. Напряженно-деформированное состояние вблизи конца растущей трещины в упругопластической среде. ПММ, 1976, т.40,вып.2,с. 337-345.

21. Ибрагимов В.А. Некоторые задачи о распределении трещин в упрутопластических средах. Автореф. дис.докт.физ.мат. наук. М.: М1УД978 - 28с.

22. Ибрагимов В.А. Об одном классе решений упругопластической задачи в условиях антиплоского состояния. Изв.АН СССР, МТТД978, № 3, с.85-91.

23. Ибрагимов В.А. Об одном представлении решений задачи антиплоского деформирования физически нелинейной упрут ой среды. ПММ, 1977, т.41, с.699-703.

24. Ибрагимов В.А. О некоторых направлениях исследований в упругопластической механике разрушения. Теор. и прикл.мех., 1983, вып. 10, с.З-П.

25. Ибрагимов В.А.,Кпюшников В.Д. О влиянии деформационной анизотропии на состояние в окрестности конца трещины. ПММ, 1977, т. 41, вып. 5, с.943-948.

26. Ибрагимов В.А.,Клюшников В.Д. О некоторых характерных особенностях упрутопластических решений в теории трещин. Изв. АН СССР. МГТ, 1978, № 5, с.122-131.

27. Ивлев Д.Д. О теории трещин квазихрупкого разрушения, ПМТФ, 1967, № 6, с.5-16.

28. Ивлев Д.Д.,Быковцев Г.Н. Теория упрочняющегося пластического тела. М.:Наука, 1971, 231 с.

29. Ильюшин A.A. Пластичность. М.,АН СССР, 1963,272 с.

30. Ирвин Д., Парис П. Анализ упругопластического состояния ввершине трещины при помощи!?- кривых. В сб. ¡Механика разрушения. Разрушение материалов. - М.: Мир, 1979, с.9-18.

31. Качанов Л.М. Основы механики разрушения. М.: Наука, 1974, 198 с.

32. Клюшников В.Д. Новые представления в пластичности и деформационная теория. ПММ, т.23, вып.4,1959,с.722-731.

33. Кшошников В.Д. О возможном пути построения соотношений пластичности. ПММ, 1959, т. 23, вып.2,с. 281-291.

34. Клюшников В.Д. О законах пластичности длЙ материала с упрочнением. ПММ, 1958,т.22, в.1, с.97-118.

35. Козлов А.Г.,Синяговская М.С. О форме и размерах зоны пластической деформации у вершины несквозной трещины при растяжении. Проблемы прочности, 1981, № II, с.36-39.

36. Корн Г.,Корн Т. Справочник по математике. М.: Наука, 1970, 720 с.

37. Корнилов Г.И., Ярема С.Я. Плоские образцы с трещиновидным концентратором для экспериментального исследования полос пластичности. В кн.: Вопросы механики реального твердого тела, вып. I, Киев, Изд-во АН УССР, 1962, с.29-36.

38. Костров В.Б. .Никитин л.±$. ,Флитман л.га. механика хрупкого разрушения. Изв. АН СССР, МГТ, 1969, № 3,с. 112-125.

39. Кудрявцев Б.А.,Партон В.3.,Песков Ю.А.»Черепанов Г.П.

40. О локальной пластической зоне вблизи конца щели. Изв.АН СССР. МГТ, 1970, № I, с.61-64.

41. Кудрявцев Б.А.»Партон В.3.Песков Ю.А., Черепанов Г.П. О локальной пластической зоне вблизи конца щели (плоская деформация). Изв. АН СССР, МГТ, 1970, № 5, с. 132-138.

42. Куземко В.А.»Русинко К.Н. Плоскопластическая деформация в малой окрестности конца трещины. Изв. АН СССР. МГТ, 1983,2, с.124-127.

43. Кфури А.,Райс Д.Скорость высвобождения энергии деформации трещины при увеличении ее размера на конечную величину. -В сб.: Механика разрушения. Разрушение материалов. М.:Мир, 1979.с. 19-29.

44. Леонов М.Я. К основам математической теории пластичности. -Изв. АН Кирг.ССР,1969, № 4, с. 13-20.

45. Леонов М.Я. Основные постулаты теории пластичности. ДАН СССР, 1971, т. 199, № I, с. 51-54.

46. Леонов М.Я. Упрощенная модель хрупкого тела. Инф.бюллетень Научного Совета по проблеме "Научные основы прочности и пластичности", 1960, ВИНИТИ АН СССР, В I, с.28-30.

47. Леонов М.Я. Элементы математической теории пластичности. -Изв. АН Кирг.ССР,1970, № 3, с.3-10.

48. Леонов М.Я.,Витвицкий П.М.,Ярема С.Я. Полосы пластичности при растяжении пластин с трещиновидным концентратором. -ДАН СССР, 1963, т. 148, № 3, с.541-544.

49. Леонов М.Я.,Витвицкий П.М.,Ярема С.Я. Теоретическое и экспериментальное исследование упруго-пластических деформаций при растяжении пластинки со щелью. В кн.: Теория пластини оболочек. Киев, Изд-во АН УССР, 1962, с.196-200.

50. Леонов М.Я. ,Панасюк В.В. ,Розвиток найдр1бнИшх тр1щин в твердому тШ. Прикл.Мех.,т.5,вып.4, 1959,с.391-401.

51. Мак Кяинток Ф.,Аргон А. Деформация и разрушение материалов.-М.:Мир, 1970,278 с.

52. Мак Кпинток Ф.,Ирвин Дж.Р. Вопросы пластичности в механике разрушения. В кн.: Прикладные вопросы вязкости разрушения. Мир, 1968, с. 143-187.

53. Малинин H.H. Прикладная теория пластичности и ползучести.-М.: Машиностроение, 1975,398 с.

54. Морозов Е.М. Вариационный принцип в механике разрушения, -ДАН СССР, 1969, т. 184, с. I308-I3II.

55. Морозов Е.М. Об одном обобщении Г теории трещин. -Прикл. Мех., 1970,т.6, № 4, с. 5-II.

56. Морозов Е.М. Энергетический критерий разрушения дня упруто-пластических тел. В сб. Концентрация напряжений.Киев, Наукова думка, 1971, вып.З, с. 85-90.

57. Морозов Е.М. Энергетические условия роста трещин в упруго-пластических телах. ДАН СССР, 1969, т. 187, }Ь I, с.57-60.

58. Морозов Е.М.,Никишов Г.П. Метод конечных элементов в механике разрушения. М.:Наука, 1980, 254 с.

59. Морозов Е.М.,Никишков Г.П. Нестационарная упругопластичес-кая задача о начале движения трещины в условиях изотермического процесса. Физико-химическая механика материалов, 1978, Ш 4, с. II5-II8.

60. Морозов Е.М. ,Никишков Г.П. Погрешности линейного подхода при определении нагрузки старта трещины в упругопластических телах. Физико-химическая механика материалов, 1975, № 3, с. 95-98.

61. Мусхелишвили Н.И. Некоторые основные задачи математической теории упругости. М.,Изд-во АН СССР, 1954, 647 с.

62. Надаи А. Пластичность и разрушение твердых тел. М.:ИЛ, 1954, 648 с.

63. Панасюк В.В. О современных проблемах механики разрушения. -Физ.-хим. механика материалов, 1982, т. 18, № 2,с. 7-28.

64. Панасюк В.В. Предельное равновесие хрупких тел с трещинами. Киев, Наукова думка, 1968, 148 с.

65. Партон В.З.,Морозов Е.М. Механика упругопластического разрушения. М.:Наука, 1974, 416 с.

66. Партон В.3.»Черепанов Г.П. Механика разрушения. В кн.: Механика в СССР за 50 лет. М.:Наука, 1972, т. 3,с. 365-468.

67. Работнов Ю.Н. Механика деформируемого тела. М.: Наука, 1У79,744с.

68. Разрушение (Под ред. Г.Либовиц) М.:Мир, т. 1,1973, 615 с.

69. Разрушение (Под ред. Г. Либовиц) М.:Мир, т. 2, 1975, 764с.

70. Разрушение (Под ред. Г. Либовиц) М.:Мир, т. 3, 1976, 797 с.

71. Райе Д. Напряжения, обусловленные острым вырезом в упрочняющемся упруго-пластическом материале при продольном сдвиге. Труды американского общества инженеров-механиков, сер. Е.Прикладная механика, 1967, т.34, № 2, с. 32-46.

72. Ритчи. Механика вязкого разрушения. Труды американского общества инженеров-механиков, сер. Е. Теоретические основы инженерных расчетов, 1983, т. 105, № I, с. 1-10.

73. Савин Г.Н. Распределение напряжений возле отверстий. Киев, Наукова думка, 1968, 237 с.

74. Савин Г.Н.,Каминский А.А. Об одной модели разрушения вязко-упругих сред. Прикл.мех., 1971, т. 7, № 9, с. 3-12.

75. Седов Л.И. Механика сплошной среды. Т.1 М.:Наука,1970, 492с.

76. Седов Л.И. Механика сплошной среды. Т.2 М.:Наука, 1970, 568 с.

77. Слепян Л.И. Деформация у края растущей трещины. Изв.АН СССР. МГТ, 1973, № 4, с. 139-148.

78. Слепян Л.И. Растущая трещина при плоской деформации упруго-пластического тела. Изв. АН СССР. МГТ. 1974, № I, с. 57-67.

79. Тихонов А.Н.Дрсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1979,285 е.:

80. Федоров А.П. Решение упруго-пластических задач методом оптически активных покрытий. В кн. Поляризационно-оптический метод исследования напряжений. Л. ,изд. ЛГУ", 1966, с.212-222.

81. Черепанов Г.П. Инвариантные Г интегралы и некоторые их приложения в механике. Прикл. мат.и мех., 1977, 41, № 3, с. 399-412.

82. Черепанов Г.П. Механика хрупкого разрушения. М.:Наука, 1974, 640 с.

83. Черепанов Г.П. Некоторые основные вопросы линейной механики разрушения. Проблемы прочности, 1971, Л 2, с. 70-73.

84. Черепанов Г.П. 0 проблеме неединственности в теории пластичности. ДАН СССР, 1974, т. 218, с. 779-782.

85. Черепанов Г.П. 0 распространении трещин в сплошной среде. -ПММ, 1967, т. 31, № 3, с. 283-291.

86. Черепанов Г.П. Упругопластическая задача. Изв. АН СССР. МГТ, 1969, № 2, с. 82-91.

87. Швайко Н.Ю. К теории линейной анизотропно-упрочняющейся среды Инженерный журнал. МТТ, 1967, № I, с.137-142.

88. Ярема С.Я. Исследование полос пластичности при растяжении пластин с концентратором. В кн.: Вопросы механики реального твердого тела. Киев,Наукова думка, 1964, вып.2, с. 177-190.

89. Ярема С.Я.,Манюк З.М. Пластическая деформация у кольцевой трещины в цилиндрических образцах при различных температурах и скоростях нагружения. Физико-химическая механика материалов, 1971, т.7, № 3, с. 12-21.

90. Ayres D.J. A numerical procedure for calculating stress and deformation near a slit in a three-dimensional elastic solid.- Engeneering Fracture Mechanics, 1970, vol.2, H2, p. 287-295.

91. Banks T.M., Garlick A. The form of crack tip plastic zones. -Eng.Fract.Mech., 1984, 19, N3, p.571-581.

92. Chitaley A.D., Mc.Clintok P.A. Elastic-plastic mechanics of steady crack growth under anti-plane shear.- J.Mech.Phys. Solids, 1971, vol.19, p.147-163.

93. Dugdale D.S. Yielding of steel sheets containing slits.-J.Mech.Phys. Solids,1960, N8, p.100-104.

94. Francis F.H. Elasto-plastic analysis of a made I edge crack with application to a surface notch.-International Journal of Fracture Mechanics, vol.7,U4,1971, p.61-65.

95. Gerherich W.W. Plastic strains and energy density in cracked plates. Part I. Experimental technique and results.-Experimental Mechanics, vol.4,N11,1964, p.115-128.

96. Griffith A.A. The phenomenon of rupture and flow in solids. -Phil. Trans.Roy.Soc.,1920,ser.A.,221, p.163-198

97. Griffith A.A. The theory of rupture.-Proc.First. Intern. Congr. Appl.Mech.,Delft,1924, p.55-63.

98. Hahn G.T., Kanninen M.F.»Rosenfield A.R. Ductile crack extension and propagation in steel foil.- In: Fracture.1969. Proceedings of the Second Conference on Fracture (Brighton, 1969), London, Chapman and Hall, 1969, p.112-119.

99. Hahn G.T., Rosenfield A.R. Local yielding and extension ofa crack under plane stress.- Acta metalurgioa,vol.13»n3»1965, p.128-135.

100. Hult J.A., Mc Clintock F.A. Elastic-plastic stress and strain distributions around sharp notches under repeated shear.9 th Int. Congr.Appl.Mech., Brussels,1957, vol.8, p.51.

101. Hutchinson J.W. Crack-tip singularity fields in nonlinear fracture mechanics: a survey of current status.-Adv.Fracture Res.(Fracture 81). Proc.5th int.Conf.Fracture(ICF5). Cannes,29 March-3 Apr.,1981.Vol.6. "Oxford e.a.,1982,2669-2684.

102. Irwin G.R. Fracture dynamics.- In: Fracturing of Metals. Cleveland:ASM,1948, p.147-166.

103. Levi N., Marcal P.7. a. an. Small scale yielding near a crack in plain strain: A finite element analysis.«International Journal of Fracture Mechanics, vol.7,N2,1971,p.187-195.

104. Liu H.W. Fatigue crack propagation and the stresses and strains in the vicinity of a crack.-Applied Materials Research, vol.3,N4, 1964, p.16-25.

105. Lo K.K., Peirce D. Effect of yield surface vertex on crack- tip fields in mode III.-J.Mech.Phys.Solids,1981,v.29,12,p.143-152.

106. Mc.Clintock P.A. Effect of root radius, stress, crack growth and rate fracture instability.-Proc.Roy.Soc., Ser.A, 1965, vol.285,N1400, p.1125-1131.

107. Oppel G.V., Hill P.W. Strain measurements at the root of a cracks and notches.- Proc.Soc.Exp.Stress.Anal.,1964,21,H2, p.206-211.

108. Orowan E.O. Fundamentals of brittle behaviour of metals. -In: Fatigue and Fracture of metals. H.Y.:Wiley,1952,p.139167.

109. Rice I.R. A path independent integral and the approximate analysis of strain concentration by notches and cracks.-Trans. ASME, ser.E,Journ.Appl.Mech.,1968,vol35,p.379-386.

110. Rice I.R. Stresses due to a sharp notch in a workhardening elastic-plastic material loaded by longitudinal shear.-Trans. ASME, ser.E,Journ.Appl.Mech., June,1967, p.287-298.

111. Rice I.R., Rosengren G.F. Plane strain deformation near a crack tip in a power-low hardening material.-Journ. Mech. Fhys. Solids, N1,1968,vol.16, p.1-12.

112. Rice I.R., Tracey D.M. Computational fracture mechanics.-In: Numerical methods in structural mechanics. (Ed.S.J. Fenves et.al.N.-Y),1973,p.585-613.

113. Rooke D.P., Bradshaw F.J. A study of crack tip deformation and derivation of fracture energy.- In:Fracture.1969.Proceeding of the Second International Conference on Fracture(Brighton,1969), London, Chapman and Hall,1969,p.358-372.

114. Rosenfield A.R., Dai P.K., Hahn G.T. Crack extension and propagation under plane stress.- In: Proceedings of the First International Conference on Fracture (Sendai,1965),vol.1,1966,p.114-128.

115. Shaeffer B.J., Lin H.W., Ke J.S. Deformation and the strip necking zone in a cracked steel sheet.- Experimental Mechanics, vol.11,N4,1971, p.78-94.

116. Sih G.G., In: "Proceedings of the 2 nd Conference on Theoretical Applied Mechanics, Atlanta" (Shaw W.A.,ed.),vol2.,p.117» 1965.

117. Swedlow J.L. Elasto-plastic cracked plates in plane strain.-International Journal of Fracture Mechanics, vol.5,H1,1969, p.52-58.

118. Swedlow J.L., Gerberich W.W. Plastic strains and energy density in cracked plates. Part II. Comparison with elastic theory.- Experimental Mechanics, vol4,H"12, 1964, p.78-84.

119. Swedlow J.L.,Williams M.L., Yang W.H. Elasto-plastic stresses and strains in cracked plates.- In: Proceeding of the First International Conference on Fracture (Sendai, 1965),vol.1, 1966,p.287-298.

120. Vosikovsky 0. Displacements and strains at the crack tip.-International Journal of Fracture Mechanics, vol.4, N3, 1968, p.184-196.

121. Wells A.A. Application of fracture mechanics at and beyond general yielding.-Brit.Weld.J.,1963,vol.10,N11, p.211-219.

122. Wunuk M.P., Mura T. Comparative study of models for ten-sil quasistatic fracture.-Int.J. Eng.Sci.,1981,19,H2,p.1517-1527.

123. Растяжение упругой пластинки с прямолинейной трещиной.

124. Поверхности трещины соответствует линия 1 , во всех остальных точках пластины ^>1 . На продолжении трещины /?=£7 , поэтому из соотношений (ПЛ. 6) следует, что здесь 9=0 .на основании (ПЛ.4) при 6-0 получим

125. Ъу-СаГР' ^^рУ+р-^о еэсу=0- (ПЛ.7)

126. Обозначим через Ы. малое расстояние от конца трещины доточки на ее продолжении ( О ), так что радиус-вектор этойточки 1+<к ). разрешая первое из уравнений (ПЛ.6)аотносительно р , с точностью до Ы. , с учетом того, что , найдем

127. Из формул (ПЛ.7) с учетом (П.1.8) легко получшл6=V . (ПЛ.9)

128. Введем новую полярную систему координат (Г, У ) с полюсом в конце трещины. Причем здесь под Г понимаем безразмерныйрадиус отношение величины радиус-вектора точки к длине трещины. Тогда уравнение (П.1.12) можно переписать в виде

129. Г5¿Л Л3 ьт% Ыч *Гу и■ (П.1.13)

130. Функцию напряжений разыскиваем в виде ряда (П.1.10), общий член1. Лт(Г№ГтЪч). (П. 1.14)которого имеет вид т1. Р1 ч. 1 -у ■ *т

131. Подставляя (П.1.14) в уравнение (П.1.13), получим2(тг-2т<И)*т\гп-2^1т=0. (пл.15)

132. Корни характеристического уравнения, соответствующего (П.1.15), равныгп-у0 = ±т. (п.1.16)

133. Общее решение уравнения (П.1.15)

134. Тт 04 =Ц1 ^ ; г^тг-^; ¿Г^Г/^^ (пл. 17)однако в случаяхШ-^ , когда корни (П.1.16) попарноравны, общее решение запишется иначе. Так, при т = 21. Т2Ы)=УиШ- (п. 1.18)

135. При /71^4- перемещения в конце трещины оказываются бесконечными, что не допускается, поэтому /77 >/ ^ .

136. Выпишем условия незагруженности поверхности трещины и условия симметрии задачи:в^ = 0, при1. ПЛ.19)1. Отсюда следует7тш=0, Т>=0, Т>)--0, Т>--0. ®.1.а»

137. Подставляя (П.1Л7) в (ПЛ.20), получим

138. А^ОШ+ДзШггиг^О, (т-2)Д< Иппис* Д5т$1пмл = о

139. Полученная система однородных уравнении имеет нетривиальное решение, когда ее определитель равен нулю, т.е. лишь при т = С.), причем,если ¡г четное, то Д^'Йз , в противном случае

140. Так, при /7?-% получим Л1= 5Д3 ипри т=5~/2. следует Д , тогда (переобозначим на В4 )

141. При на основании (ПЛ.18), (ПЛ.20) следует

142. Таким образом, считая Г величиной достаточно малой, представим функцию 11 (Г} У ) с точностью до Г в виде1. Шгм^йАт^т^гЩ (нем) *■, (ПЛ.21)

143. Выражения для напряжений определяются формулами (П.1.II)»которые в полярной системе координат имеют видj (№ Пги ), г11 , ^ I пЩ\1. ГУ ЩЧг'дУ/. (ПЛ.22)1. Отсюда следует

144. При О имеем: , э г = ^ • Определяяпри помощи формул (ПЛ.23) величины , при Ц=о и сравнивал полученные выражения с разложениями (П.I.9),получим

145. Й--2р1\ $Г-р{\ ЕМ1 (П. 1.24)

146. Формулы (ПЛ.23),(П.1.24) совместно с соотношениями (П.1.1) позволяют определять напряженно-деформированное состояние в малой окрестности конца трещины нормального разрыва в упругой пластине.

147. Теория малых упругопластических деформацийи теория течения с изотропным упрочнением.

148. При малых упругопластических деформациях для каждого материала между интенсивностью напряжений и интенсивностью деформаций существует определенная функциональная зависимость ф ) полностью определяемая диаграммой растяжения.

149. A.A. Ильюшин 29. показал, что уравнения теории малых упругопластических деформаций подтверждаются для простых либо близких к простым процессов нагружения (т.е. в каждой точке происходит пропорциональный рост девиаторов напряжений).

150. В отличие от теории малых упругопластических деформаций теория течения устанавливает уравнения связи между компонентами напряжений и их приращений с компонентами скоростей пластических деформаций. Она основана на-, следующих допущениях 34. .

151. Приращение девиатора деформаций вполне определяется девиатором напряжений и его приращением.

152. Эта связь линейна относительно приращений компонентов девиаторов напряжений и деформаций.

153. Законы пластичности и упругости совпадают при нейтральном нагружении.• »

154. Критерием нагружения является условие ^¿Ау •7 а

155. Теперь на основании тензорного анализа можно получить, чтос1к>0. Ь>1П а1 о (¿1^0), (п.2.з)где?(12)- некоторая функция материала, характеристическая постоянная.

156. Концепция скольжения. Модель плоского тела.

157. Каждый кристалл имеет лишь одну плоскость скольжения и только одно направление сдвига в ней.

158. Каждое зерно деформируется, не мешая друг другу.

159. Все зерна имеют одинаковую форму и размеры.

160. Напряженное состояние в каждом зерне одинаково и таково, как и во всем поликристаллическом агрегате.

161. Суммированием сдвигов всех зерен по объему тела можно найти 3, 4. величины пластических деформаций относительно осей произвольной декартовой системы координат.

162. Тогда девиаторы напряжений

163. Поскольку пластические деформации не влияют на изменение объемато£.и = £ ' ). (П.3.3)

164. Предполагается, что деформирование осуществляется только за счет сдвигов, происходящих в плоскостях, нормальных к плоскости .ХДз. (Рис- П.1).

165. Касательное напряжение по произвольной площадке, наклоненной под утлом со к оси Х4 , равно (рис. П.1)с ^^тш+^Шы (ШЗв4)

166. Примем в качестве координат в двухмерном пространстве напряжений величины 0.1- и 0-2.-> соответствующие пластическим деформациямп.з.б)

167. Тогда последние определяются сутлмированием по всем площадкам скольженияп.з.7)

168. Варьируя соотношения (П.3.7) по Г (т.е. сообщая догрузку из некоторого напряженного состояния), получим

169. Рассмотрим соотношения (П.3.8) в приложении к случаю пропорционального нагружения (рис. П.2). Обозначим через уЗ угол, который составляет луч нагружения с осью (2£ . Тогдайг&жр> йгй&шр; й. з.э)и на основании (П.3.4) V- О-ШфоО+р) .

170. Вместо исходной координатной системы ) с ортамивведем базис, связанный с путем пропорционального нагружения

171. Равенства (П.3.7) можно представить в видеп.з.п)11кП2и)+1.1(Х№и)=в4 ип рье^об&со+р). Обозначим9 (П.3.12)тогда на основании (П.З.П)= (П.3.13)

172. При этом С=О.£0£Х и интегрирование распространяется по площадкам, в которых произошли пластические сдвиги, т.е. там, где ¿¿>Г0 Пусть , тогда при 9 Я,/ . В этихпределах меняется Л. при интегрировании (П.3.13).

173. Тогда начальной поверхности нагружения в осях соответствует1. Рис. П.1.1. РИС. п. 2.окружность£ ^ (П. 3.16)

174. Пусть после пропорционального нагружения вектор ¿2 получаетприращение &0. , направленное под углом ~~о( к первона1. Л«чальной траектории нагружения (рис. П.2). Тогдай1 =Е&1и1(с1-р)3 ЬОигШШ-Р)- (П. 3.17)

175. Варьируя соотношение (П.3.4), с помощью (П.3.17) получим8Г = ¿0 21П(4-1). <п-зл8 )

176. Теперь формулы для приращения вектора пластической деформации (П.3.8) можно переписать в векторной формей.р'(Г)т^)(е1Щ1-^ипХ) (Ц. (П. 3.19)

177. Дня активного процесса эти пределы определяются условием1..UA,!> ипН-Х)>0. (п.з.20)

178. При Х1 для пластически деформированных элементовразность о(-Лу отрицательна при и положительна при

179. В первом случае происходитразгрузка, во втором ¡Г>0 (неполное догружение). Таким образом, в этом случае значения Х- при интегрировании (П.3.19) меняются от -X до оС . Область II называется зоной неполного догружения.

180. Пусть теперь . Обозначим Ыг=о(~/С ,

181. А ¿-Я-Я., тогда согласно (П.3.18)1 £ -3 Я,1дГ=~Шип(с(1-А1 (п.з.21)и условия для активного процесса нагружения принимают вид

182. Метод регуляризации решения системы уравнений (2.59)