Влияние термокапиллярного эффекта на электроконвективную неустойчивость при инжекции заряда через свободную поверхность тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ

в

г*

Ч ПЕРМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

«0«

На правах рукописи

ЛЮШНИН Андрей Витальевич

ВЛИЯНИЕ ТЕРМОКАПИЛЛЯРНОГО ЭФФЕКТА НА ЭЛЕКТРОКОНВЕКТИВНУЮ НЕУСТОЙЧИВОСТЬ ПРИ ИНЖЕКЦИИ ЗАРЯДА ЧЕРЕЗ СВОБОДНУЮ ПОВЕРХНОСТЬ

Специальность 01.02.05 — механика жидкости, газа и плазмы

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Пермь — 1998

Работа выполнена на кафедре теоретической физики и компьютерного моделирования Пермского государственного педагогического университета.

Научный руководитель: кандидат физико-математических наук, доцент Р. В. Бирих (Пермский государственный педагогический университет).

Официальные оппоненты: кандидат физико-математических наук, доцент В. А. Саранин (Глазовский государственный педагогический институт); доктор физико-математических наук, профессор Е. Л.Тарунин (Пермский государственный университет).

Ведущая организация — Институт механики сплошных сред (г. Пермь).

Защита состоится _Ф^СрЛ _ 1998 г.

в__ часов на заседании диссертационного совета

Д 063.59.03 в Пермском государственном университете (г. Пермь, ГСП, 614600, ул. Букирева, 15).

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Пермского государственного университета.

Автореферат разослан _•А__5993 г_

Секретарь диссертационного совета кан„ - < -- ■ ау,к>

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность проблемы исследования

Изучение проблем электроконвективной неустойчивости жидкости и газа связано с многочисленными практическими приложениями в различных областях техники и технологии, математическое моделирование этих задач приводит к пониманию большого числа природных явлений. В настоящее время эта область науки переживает фазу активного развития. Наибольший интерес к вопросам электроконвективной неустойчивости обусловлен развитием теории пробоя и предпробойных состояний, значимость которой для современной технологии материалов трудно переоценить. Имеется большое количество работ, посвященных исследованию электрогидродинамической устойчивости равновесия.

В отличии от изучения конвективной устойчивости при омическом механизме проводимости, задача об устойчивости системы с инжекционным механизмом не привлекла достаточного внимания при теоретических исследованиях, хотя в экспериментальных исследованиях эта проблема неоднократно ставилась.

Проведенный анализ работ показывает, что большинство работ по конвективной устойчивости слабопроводящей жидкости при инжекционном механизме проводимости относятся к однослойной системе. Вопрос о влиянии на инжекционный механизм неустойчивости других механизмов изучен, на наш взгляд, недостаточно. Это делает актуальным подробное исследование задачи о взаимодействии инжекционного и термокапиллярного механизмов неустойчивости.

Цель работы

Диссертация посвящена теоретическому исследованию взаимодействия термокапиллярного и инжекционного электрогидродинамического механизмов конвективной неустойчивости равновесия слабопроводящей жидкости.

Научная новизна результатов

В диссертации впервые изучено и написано распределение заряда и поля в системе воздух-слабопроводящая жидкость при инжекционном механизме проводимости в обеих средах. Для получения недостающего граничного условия для поверхностного заряда диэлектрическая проницаемость е и подвижность Ь в обеих средах была представлена в виде непрерывной функции вертикальной координаты. В результате численного интегрирования

системы уравнений для "сглаженной" среды было обнаружено, что повсР„ ностный заряд на границе двух сред не образуется, а имеет место скачок объемной плотности заряда.

Проведено исследование монотонной моды конвективной неустойчивости слабопроводящей неизотермической жидкости с инжекционным механизмом проводимости. Свободная поверхность считается плоской и расположена близости инжектора. Коэффициент поверхностного натяжения записывается в виде а = сто — о\Т. Установлено, что при Ма > 0 устойчивость понижается, а при Ма < 0 повышается.

Для слоя жидкости с деформируемой границей и отделенного от инжектора воздушной прослойкой изучены монотонная и колебательная моды неустойчивости. Расчеты показывают, что взаимодействие инжекционного и термокапиллярного механизмов неустойчивости приводит к дестабилизации относительно монотонных возмущений при подогреве со стороны твердой границы (Ма > 0). При отрицательных числах Марангони (нагрев со стороны воздушной прослойки) происходит повышение устойчивости. При достижении некоторого критического значения числа Марангони происходит слияние двух нижних монотонных мод неустойчивости с образованием колебательной моды. С увеличением толщины воздушной прослойки, при фиксированной разности потенциалов, наблюдается повышение порогового значения числа Рэлея.

Автор защищает

Впервые получено распределение заряда в двухслойной системе слабопро-водящих жидкостей при инжекционном механизме проводимости. В численном эксперименте показано отсутствия поверхностного заряда на границе раздела двух сред. В диссертации обсуждены различие в распределении заряда при инжекционном и омическом механизмах проводимости.

В рамках линейной теории для монотонной моды конвективной неустойчивости слабопроводящей жидкости, у которой коэффициент поверхностного натяжения линейно зависит от температуры при инжекции заряда через свободную поверхность впервые показано, что как для плоской границы, так и для деформируемой при Ма > 0 устойчивость системы понижается, а при Ма < 0 повышается.

Определены значения числа Рэлея и формы движения для двух нижних критических мод неустойчивости

В случае с деформируемой границей найдено, что за счет термокапиллярного эффекта критические числа Да сближаются и при некотором Ма„

происходит слияние двух нижних мод с образованием колебательной моды неустойчивости.

Апробация работы

Основные результаты диссертации доложены на 1-й международной студенческой конференции "Физика и прогресс", 1992 г., III Международной конференции " Современные проблемы электрогидродинамики и электрофизики жидких диэлектриков", Петродворец, 1994 г., International workshop " Non-gravitional mechanisms of convection and heat/mass transfer", Zveni-gorod, 1994, X зимняя школа по механике сплошных сред, Пермь, 1995 г., 12 International Conference on Conduction and Breakdown in Dielectric Liquid, Roma, 1996, XI зимняя школа по механике сплошных сред, Пермь, 1997 г. , а также на Пермском гидродинамическом семинаре.

Публикации

Основное содержание кандидатской диссертации опубликовно в семи печатных изданиях.

Структура

Диссертация состоит из обзора литературы, трех глав и заключения. Работа содержит 11 рисунков и 75 ссылок на литературные источники. Общий объем диссертации 87 страниц.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Обзор литературы по своей структуре состоит из двух частей; в первой части обсуждаются работы по омическому и инжекционному механизмам электрогидродинамической неустойчивости, вторая часть обзора посвящена работам, в которых рассматривается термокапиллярный механизм неустойчивости. Кроме этого дается краткое описание существующей теории и экспериментальных данных по проблеме диссертации, формулируются цели и задачи работы.

Глава I. Распределение заряда в двухслойном диэлектрике с инжекционным механизмом проводимости

В главе проводится анализ задачи о распределении заряда в плоском конденсаторе, заполненным двумя диэлектриками с инжекционным механизмом проводимости. Для определенности разговора будем называть верхнюю жидкость воздухом. Пусть слой нижней слабопроводящей жидкости имеет толщину Л, а расстояние между параллельными обкладками конденсатора Н. Ось г направим вертикально вверх. Через слой воздуха, который расположен выше жидкости, происходит инжекция заряда в жидкость. Для обеих сред мы можем написать электростатические уравнения Пуассона и закон инжекционной проводимости:

Афа = --, Л = дЛД, Еа — —Чфа (1)

€а

Аф = -1, 3 = дЬЁ, Ё=-Чф (2)

Здесь Е — напряженность электрического поля; ф — электрический потенциал; q — объемная плотность свободных зарядов; е — диэлектрическая постоянная жидкости; 3 — плотность тока; Ь — подвижность зарядов. Индексом а отмечены величины относящиеся в воздуху.

Систему уравнений дополним следующими граничными условиями. На инжекторе поддерживается постоянное значение электрического потенциала и выполняется условие для униполярной инжекции Е = 0:

г = Я: фа=и, Еа = 0. (3)

На границе двух сред для стационарного состояния выполняются следующие равенства:

г = к: Фа = Ф, еаЕа - гЕ = д,, За = 3. (4)

где д, — поверхностная плотность заряда. Граничное условие на коллекторе имеет вид:

г = 0: ф = 0. (5)

В воздушной среде можно написать распределение напряженности поля и • плотности заряда. Аналогичное распределение можно было бы написать и

для жидкости. Однако, в краевой задаче нет условия для определения поверхностного заряда q„ так как вместе со скачг.ом электрической подвижности и проницаемости может скачком измениться объемная плотность зарядов.

Основной целью исследования этой главы была проверка предположения об отсутствии поверхностного заряда на границе раздела двух сред, сделанного в работе Аттена ( Atten P., Koulova-Nenova D. EHD instability of insulating liquids due to charge injection from the free surface. 12 Int. Conf. on Conduction and Breakdown in Dielectric Liquid, Roma, 1996, p. 476-479 ).

Для получения граничного условия перехода из одной среды в другую, рассмотрим модельную задачу, в которой распределения значений е и Ь для двух сред меняются непрерывно от значения в первой среде до значения во второй в пограничном слое конечной толщины.

Таким образом, задача о распределении свободного заряда в двухслойной системе трансформируется в задачу нахождения распределения заряда для слоя жидкости с непрерывно меняющимися величинами диэлектрической проницаемости и подвижности зарядов.

Для проверки правильности применяемой методики была решена задача о нахождении распределений заряда и напряженности поля для двухслойного конденсатора с омическим механизмом проводимости.

В результате исследования было получено, что в отличии от омического механизма проводимости, п инжекцнонном с уменьшением толщины переходного слоя S поверхностный заряд не формируется, а образуется скачок объемной плотности заряда. Величина итого скачка определяется отношением подвижностей зарядов и средах.

Глава II. Устойчивость плоского неизотермического слоя жидкости в электрическом поле

Рассмотривается плоский горизонтальный слой слабопроводящей вязкой жидкости. Начало координат находится на нижней твердой поверхности: ось х направлена горизонтально, а ось с- вертикально вверх. На твердой границе с = 0 поддерживаются постоянные значения температуры Т = G и электрического потенциала ф = Ü. Свободная поверхность z = h является границей между жидкостью и внешней средой, на ней значение температуры Т = 0 и потенциала ф = Г. Предполагается, что над свободной поверхностью жидкости близко расположен плоский электрод, с которого

осуществляется ннжекция заряда. За счет инжекции из внешней области в жидкости возникает объемная плотность заряда q. Дополнительная кулоновская сила в уравнении Навье-Стокса пояппется в результате сза-имодействия электрического поля и свободного заряда. Коэффициент поверхностного натяжения жидкости предполагается линейно зависящим от температуры и описывается формулой а = ао — а{Г. Движение жидкости и свободных зарядов определяется системой уравнений электрогидродинамики.

Система уравнений имеет стационарное решение, соответствующее покоящейся жидкости. Для исследования устойчивости равновесного состояния применялся метод малых возмущений. Решение системы уравнений ищем в виде "нормальных" возмущений. Полагая декремент возмущений А = 0, получаем краевую задачу для нейтральных возмущений.

Задача содержит два безразмерных параметра — число Ra являющееся электрическим аналогом числа Рэлея и число Марангони. В результате расчетов была найдена связь между тремя параметрами — числами Ма, Ra и волновым числом к на границе устойчивости. Определяя минимальное значение Мат и кт при заданном значении Ra, мы можем получить связь между Мйт и Ra, т.е. найти область устойчивости при взаимодействии обоих механизмов неустойчивости.

При Ra = 0 (отсутствие поля) получается обычная задача о возникновении конвекции Марангони. Пороговые значения числа Марангони и волнового числа согласуются с полученными в работе Пирсона ( Pearson J.A. On convection cells induced by surface tension. J. Fluid. Mech.,1958. V.5, N 5, p. 489-500.) и соответственно равны Mam = 80, к = 2.0. Показывается, что нагрев со стороны твердой границы (положительные числа Марангони) приводит к дестабилизации конвективного течения. При подогреве со стороны свободной границы (отрицательные числа Марангони) происходит повышение критического значения Ra.

С увеличением величины тока Jq порог устойчивости для фиксированного электрического числа Рэлея понижается. Критическое значение волнового числа km для монотонной моды неустойчивости при увеличении положительных значений числа Ма смещается в диапазон больших длин волн.

При Мат = 0 соответствующее критическому значению числа Рэлея волновое число слабо зависит от значений тока Jo и равно Jfcm = 4.0. С ростом отрицательных значений числа Марангони происходит увеличение порогового значения волнового числа.

Глава III. Взаимодействие термокапиллярного и инжекциониого механизмов неустойчивостей в двухслойной системе

Глава посвящена изучению влияния термокапиллярного механизма неустойчивости на устойчивость инжекционного механизма электроконвекции. Рассматривается плоский горизонтальный слой слабопроводящей вязкой несжимаемой жидкости толщиной h, заключенный между двумя плоскими параллельными электродами, расстояние между которыми равно Н. Начало координат находится на нижней твердой поверхности: ось г направлена горизонтально, а ось z — вертикально вверх. Через слой воздуха, который расположен выше жидкости происходит инжекция заряда в жидкость. Коэффициент поверхностного натяжения границы раздела двух сред линейно зависит от температуры и описывается формулой а = <tq — <т\Т. Уравнения движения жидкости, переноса тепла и электрического поля в жидкости запишем в виде:

+ =--Vp+vAv+ —, divtr = 0 (6)

dt р р.

^ + = (7)

divJ3=-, Ё=-Щ (8)

е

дд

= З^д^+ЪЕ) (9)

Здесь V — вектор скорости жидкости; р — превышение давления над гидростатическим; Г — температура; Е — напряженность электрического поля в жидкости; J — плотность потока свободных зарядов; ф — электрический потенциал в жидкости; q — плотность свободных зарядов; р — плотность; 1/,х — коэффициенты кинематической вязкости и температуропроводности; е — диэлектрическая постоянная жидкости; Ь — подвижность зарядов в жидкости.

Макроскопическим движением в воздушной прослойке будем пренебрегать, поскольку это движение практически не влияет на перенос заряженных частиц и слабо механически влияет на движение жидкости.

В этом приближении для воздушной прослойки достаточно записать уравнения для поля и тока.

= Ёа = -Чфа /а = даЪаЁа (10)

Индексом а отмечены величины, относящиеся к воздуху.

Граничные условия для системы уравнений (6-10) запишем следующим образом. На инжекторе поддерживается постоянное значение электрического потенциала и выполняется условие для униполярной инжекции:

г = Н : фа = ин, Еа = 0. (11)

Для невозмущенного стационарного состояния границу раздела будем считать изотермической и эквипотенциальной, температуру жидкости и потенциал будем отчитывать от температуры и потенциала границы раздела. Таким образом на границе раздела двух сред для основного состояния предполагаются выполненными следующие равенства:

г = к: фа = ф = 0, Г=0, еаЕа-еЕ = 0, За = 3. (12)

Для системы воздух-слабопроводящая жидкость реализуется ситуация, в которой = 0 (см. гл. I) , и имеет место скачок объемной плотности заряда. Граничное условие для коллектора имеет следующий вид:

г = 0 : ф = -и, Т = ©. ' (13)

Температура нижней границы может быть как положительной, так и отрицательной.

Задача (6)-(13) допускает равновесное решение, в котором скорость равна нулю, а распределение потенциала и объемной плотности заряда являются функцией вертикальной координаты: для воздуха

для слабопроводящей жидкости

= (Й) V - (С(15)

*о(г) = (2Ь(Й!))3'

Параметр С имеет вид:

С = 1г + а ■ (Н — к), . (16)

£оа

Плотность тока может быть найдена из условия равенства потенциалов на границе раздела двух сред:

Как показывают расчеты, с увеличением толщины воздушной прослойки величина тока 7о уменьшается.

Для исследования устойчивости равновесного состояния слоя жидкости применим метод малых возмущений. В воздушной прослойке, а связи с относительно высокой подвижностью заряда (для системы воздух-органическая жидкость 6/Ь0 < Ю-4), возмущения заряда и поля можно считать быстро затухающими и при исследовании устойчивости системы не рассматривать. Пусть, г;, р, Т, ф, д — малые возмущения скорости, давления, температуры, потенциала, плотности заряда в жидкости.

Обсудим граничные условия на свободной поверхности. Считается, что под воздействием возмущений, первоначально плоская свободная поверхность может деформироваться:

2 = Л+ £СМ) (18)

Полагая деформацию малой по сравнению с А, граничные условия сг = можно перенести на г = А, используя тейлоровское разложение.

Запишем граничные условия на поверхности г = ¿). Эти условия состоят в непрерывности на границе тангенциальной компоненты поля и полного тензора напряжений. Граничные условия можно записать в форме:

= (19)

Здесь п — единичный вектор нормали к поверхности Я — ра-

диус кривизны. Квадратными скобками обозначается скачек величин при переходе через поверхность :

[Ь] = (Ьа - Ьи( (20)

К этим условиям следует добавить кинематическое соотношение:

*-§ и

Линеаризованные и обезразмернные уравнения для малых возмущений, зависящие от времени пропорционально ехр(М), имеют вид:

А (и" - к2и) = V™ - 2к2 + к*у - Лак2 (^ф - ^д)

-АРгв = в" -к20 + ь (22)

1р" — к2>р "-■-' —q

z = 1 : v + Pr АС = 0, f = О, „ + А = + = (23)

az dz

Cr [(3fc - X)v' - Vм + Rak2{q0<p + = -к\{Во + к2),

v" + к2v - к2Ma [С-в) = о.

г = 0 : v = 0, v' = 0, 9 = 0, <р = 0. (24)

Задача содержит шесть перечисленных ниже безразмерных параметров — число Ra, являющееся электрическим аналогом числа Рэлея, число Маран-гони Ма, число Прандтля Рг, число Бонда Во, капиллярный параметр Сг, число Pj, описывающее подвижность зарядов:

„ eU ,, <7i©/i _ v gph2 ,„„.

Ra = -—, Ma = ——, Pr = -, 5o = , (25)

bpu pv\ x °o

Cr - ^ P - —

Спектральная задача (22—24) определяет собственные числа А как функцию волнового числа и параметров задачи.

В проводимых расчетах была найдена связь между тремя основными параметрами — числами Ма,Яа и волновым числом к, на границе устойчивости при фиксированных остальных параметрах. Определяя минимальное значение Яат и кт для заданного значение числа Ма, мы можем определить влияние термокапиллярного эффекта на электрический механизм неустойчивости.

С увеличением положительных значений числа Марангони (нагрев со стороны твердой границы) критическое значение электрического аналога числа Рэлея первой моды понижается и становится равным нулю при значении Ма = 80, что соответствует обычной задаче о возникновении конвекции Марангони. Пороговое значение волнового числа кт = 2. При подогреве со стороны свободной границы (отрицательные числа Марангони) происходит повышение значения порогового значения для первой моды Яа^К Для второго уровня неустойчивости с ростом положительных чисел Марангони происходит повышение минимального значения Яат, а при отрицательных Ма значение Яа$ понижается.

20

15 —

10

5 —

1/3

к

о

1.0

1.5

2.0

2.5

Нейтральные кривые устойчивости для двух нижних уровней монотонной и колебательной моды при различных значения числа Марангони, Ма=0, -100, -150, -250 (кривые 1 - 4). Пунктирная линия - граница колебательной моды неустойчивости.

Деформация нейтральных кривых при росте по модулю отрицательных значений числа Марангони показана на рисунке. Как было сказано выше нейтральная кривая для первой моды неустойчивости поднимается, а для второй опускается. При некотором отрицательном значении числа Марангони (Ма = —120) они соприкасаются и слой становится неустойчивым по отношению к колебательным возмущениям.

Колебательная термокапиллярная неустойчивость в отсутствии поля наступает при Мат = 104 с кт = 0.1. В нашей задаче колебательная область неустойчивости возникает значительно раньше при таких значениях Ма, при которых происходит слияние значений Да, соответствующих двум разным модам неустойчивости. Следует отметить, что аналогичный переход от двух уровней монотонной неустойчивости к колебательной наблюдается в случае гравитационной конвективной неустойчивости двухслойной системы несмешивающихсл жидкостей, подогреваемой снизу ( Гершуни Г.З., Жуховицкий Е.М. О монотонной и колебательной неустойчивости двухслойной системы несмешивающихсл жидкостей, подогреваемой снизу. Докл. АН СССР. 1982. т. 265, N 2, с.302-305).

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

1. Для системы воздух—слабопроводящая жидкость при униполярной инжекции заряда из-за отсутствия на границе раздела условия для поверхностного заряда не удается написать распределение напряженности поля и плотности заряда в данной системе. Представляя значения диэлектрической проницаемости и подвижности зарядов для обеих сред в виде непрерывной функции, мы получаем систему уравнений для однослойной системы с непрерывно меняющимися физическими свойствами. В результате численного исследования показано, что в двухслойной системе воздух—слабо-проводящая жидкость с инжекционным механизмом проводимости при конечной подвижности зарядов на границе раздела двух сред поверхностный заряд не образуется, в место этого на границе имеет место скачок плотности объемного заряда. Предпринята попытка объяснить причины различия в распределении зарядов для омического и инжекционного механизмов проводимости в двухслойной системе.

2. Рассмотрена задача конвективной неустойчивости слабопршшджпсм неизотермической жидкости при ин?кекции заряда через ее свободную ми

верхность. Коэффициент поверхностного натяжения предполагается линейной функцией температуры. Задача решается в линейной постановке. В стационарном состоянии распределение электрического потенциала и плотность свободного заряда зависят от двух независимых величин: плотности тока определяемой физическими свойствами среды и внешней разности потенциалов V. Показано, что подогрев может понизить или повысить конвективную устойчивость равновесия. Если осуществлять подогрев со стороны свободной поверхности, то происходит стабилизация устойчивости, в то время как при подогреве со стороны твердой границы конвективная устойчивость понижается. При увеличении плотности тока через слой для фиксированного числа Марангони порог устойчивости понижается.

3. В рамках линейной теории устойчивости изучается двухслойная система воздух—слабопроводящая жидкость, заключенная между обкладками плоского конденсатора. Инжекция заряда производится через воздушную прослойку над свободной деформируемумой поверхностью неизотермической жидкости, коэффициент поверхностного натяжения которой линейно зависит от температуры. Из-за большой подвижности заряда в воздухе по отношению к жидкости возмущения заряда и поля в воздушной прослойке можно считать быстро затухающими и при исследовании устойчивости системы рассматривать только жидкость. В результате численного исследования (методом Рунге-Кутта) было показано, что взаимодействие инжекционного и термокапиллярного механизмов приводит к дестабилизации относительно монотонных возмущений при подогреве со стороны твердой границы (Ма > 0). При Ма < 0 (подогрев со стороны свободной поверхности) происходит повышение устойчивости. Для инжекционного механизма электроконвекции найдены две нижние моды неустойчивости. При \Ма\ > (А/аст! происходит их слияние и образуется колебательная мода неустойчивости. Найдена зависимость частоты колебаний от волнового числа.

4. Проведенное исследование указывает на возможность использования термокапиллярного эффекта для управления инжекционной электроконвективной неустойчивосью.

ПУБЛИКАЦИИ

1. Люшнин А.В. Устойчивость конвективного течения слабопроводящей жидкости в электрическом поле. I Международная студенческая конференция " Физика и прогресс ", Тезисы докладов, Санкт-Петербург, 1993, с.12.

2. Бирих Р.В., Люшнин А.В. Конвективная неустойчивость слабопроводя-

щей жидкости в электрическом поле при инжекции заряда через свободную поверхность. III Международная конференция " Современные проблемы электрогидродинамики и электрофизики жидких диэлектриков ", Тезисы докладов, Санкт-Петербург, 1994, с.85-86.

3. Lyushnin A.V. Convective instability of dielectric liquid subjected to unipolar injection of charge through a free surface. Abstract for International workshop " Non-gravitational mechanisms of convection and heat/mass transfer", Zvenigorod, Russia, 1994, p.67.

4. Люшнин А. В. Конвективная неустойчивость слабопроводящей жидкос-

ти с деформируемой границей в электрическом поле. X Зимняя школа по механике сплошных сред, Тезисы докладов, Пермь, 1995, с.155-156.

5. Birikh R.V., Lyushnin A.V. Convective instability of dielectric liquid subjected to unipolar injection of charge trough free surface. 12 International Conference on Conduction and Breakdown in Dielectric Liquid, Roma, 1996, p.77-80.

6. Люшнин А.В. Электроконвекция с деформируемой границей при инжекции заряда через свободную поверхность. XI Зимняя школа по механике сплошных сред, Тезисы докладов, Пермь, 1997, с.203.

7. Люшнин А.В. Влияние термокапиллярного эффекта на электроконвек-

тивную неустойчивость при инжекции заряда через свободную поверхность. В сб. Пермск. универ. Гидродинамика, 1998, N 11, с. 219-226.

/ 1 / " ' / ' -3

ПЕРМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ

УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи ЛЮШНИН Андрей Витальевич

ВЛИЯНИЕ ТЕРМОКАПИЛЛЯРНОГО ЭФФЕКТА НА ЭЛЕКТРОКОНВЕКТИВНУЮ НЕУСТОЙЧИВОСТЬ ПРИ ИНЖЕКЦИИ ЗАРЯДА ЧЕРЕЗ СВОБОДНУЮ ПОВЕРХНОСТЬ

(01.02.05-механика жидкостей, газа и плазмы)

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель -кандидат физико-математических наук, доцент Р.В. Бирих

Пермь — 1998

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ ........................... 4

ОБЗОР ЛИТЕРАТУРЫ......................8

Глава I. РАСПРЕДЕЛЕНИИ ЗАРЯДА В ДВУХСЛОЙНОМ ДИЭЛЕКТРИКЕ С ИНЖЕКЦИОННЫМ

МЕХАНИЗМОМ ПРОВОДИМОСТИ .............27

§1. Постановка задачи ..................27

§2. Распределения потенциала, поля и заряда в среде,

примыкающей к инжектору ..............29

§3. Модель " сглаженной" среды..............30

§4. Результаты......................33

§5. Выводы .......................42

Глава II. УСТОЙЧИВОСТЬ ПЛОСКОГО НЕИЗОТЕРМИЧЕСКОГО

СЛОЯ ЖИДКОСТИ В ЭЛЕКТРИЧЕСКОМ ПОЛЕ .......43

§1. Постановка задачи ..................43

§2. Стационарное распределение температуры, плотности заряда и потенциала ........:............44

§3. Уравнения для возмущений ..............46

§4. Результаты и обсуждение ...............50

§5. Выводы .......................53

Глава III. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ТЕРМОКАПИЛЛЯРНОГО

И ИНЖЕКЦИОННОГО МЕХАНИЗМОВ НЕУСТОЙЧИВОСТЕЙ В ДВУХСЛОЙНОЙ СИСТЕМЕ................54

§1. Постановка задачи...................54

§2. Стационарное состояние................57

§3. Устойчивость равновесия слоя слабопроводящей жидкости

с деформируемой границей...............58

§4. Результаты и обсуждение ...............62

§5. Выводы .......................71

ЗАКЛЮЧЕНИЕ........................72

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ ...................76

ВВЕДЕНИЕ

Цель работы. Диссертация посвящена теоретическому исследованию взаимодействия термокапиллярного и инжекционного электрогидродинамического механизмов конвективной неустойчивости равновесия слабопро-водящей жидкости.

Содержание. Исследуется распределение электрического поля и свободного объемного заряда в системе воздух-слабопроводящая жидкость. Обсуждается различие в физических механизмах омического и инжекци-оного механизмов проводимости. Рассмотрено влияние конвекции Ма-рангони на электроконвективную неустойчивость слоя слабопроводящей жидкости со свободной плоской границей с инжектором вблизи поверхности и для деформируемой границей, отделенной от инжектора воздушной прослойкой конечной толщины.

Научная новизна. В диссертации впервые изучено распределение заряда и поля в системе воздух-слабопроводящая жидкость при инжекционном механизме проводимости в обеих средах. Для получения недостающего граничного условия для поверхностного заряда диэлектрическая проницаемость г и подвижность Ь в обеих средах были представлены в виде непрерывной функции вертикальной координаты. В результате числен-

ного интегрирования системы уравнении для сглаженной среды воздух-жидкость было обнаружено, что поверхностный заряд на границе раздела двух сред не образуется, а имеет место скачок объемной плотности заряда.

Проведено исследование монотонной моды конвективной неустойчивости слабопроводящей неизотермической жидкости с инжекционным механизмом проводимости, у которой коэффициент поверхностного натяжения равен сг = ао — а{Г. Граница считается плоской и через нее происходит инжекция заряда. Установлено, что при Ма > 0 устойчивость понижается, а при Ма < 0 повышается.

Для слоя жидкости с деформируемой границей и отделенного от инжектора воздушной прослойкой изучены монотонная и колебательная моды неустойчивости. Расчеты показывают, что взаимодействие инжек-ционного и термокапиллярного механизмов неустойчивости приводит к дестабилизации относительно монотонных возмущений при подогреве со стороны твердой границы (Ма > 0). При отрицательных числах Маран-гони (нагрев со стороны воздушной прослойки) происходит повышение устойчивости. При достижении некоторого критического значения числа Марангони происходит слияние двух нижних монотонных мод неустойчивости с образованием колебательной моды. С увеличением толщины

воздушной прослойки, при фиксированной разности потенциалов, наблюдается повышение порогового значения числа Рэлея. На защиту выносятся.

Распределение заряда в двухслойной системе слабопроводящих жидкостей при инжекционном механизме проводимости. Доказательство в численном эксперименте отсутствия поверхностного заряда на границе раздела двух сред. Различие в распределении заряда при инжекционном и омическом механизмах проводимости.

В рамках линейной теории для монотонной моды конвективной неустойчивости слабопроводящей жидкости, у которой коэффициент поверхностного натяжения линейно зависит от температуры при инжекции заряда через свободную поверхность показано, что как для плоской границы, так и для деформируемой при Ма > 0 устойчивость системы понижается, а при Ма < 0 повышается.

Определены значения числа Рэлея и формы движения для двух нижних критических мод неустойчивости

В случае с деформируемой границей за счет термокапиллярного эффекта критические числа Яа сближаются и при некотором Масг происходит слияние двух нижних мод с образованием колебательной моды неустойчивости.

Работа доложена

Основные результаты диссертации доложены на 1-й международной студенческой конференции "Физика и прогресс", 1992 г., III Международной конференции " Современные проблемы электрогидродинамики и электрофизики жидких диэлектриков", Петродворец, 1994 г., International workshop " Non-gravitional mechanisms of convection and heat/mass transfer", Zvenigorod, 1994, X зимней школе по механике сплошных сред, Пермь, 1995 г., 12 International Conference on Conduction and Breakdown in Dielectric Liquid, Roma, 1996, XI зимней школе по механике сплошных сред, Пермь, 1997 г. , а также на Пермском гидродинамическом семинаре. Публикации Основные результаты диссертации представлены в работах [69-75].

Объем работы 87 страниц.

ОБЗОР ЛИТЕРАТУРЫ

Диссертация посвящена теоретическому исследованию влияния термокапиллярного эффекта на электроконвективную устойчивость равновесия слабопроводящей жидкости со свободной границей. В работе предполагается, что плотность свободных зарядов в жидкости образуется в результате инжекции заряда через воздушную прослойку над свободной поверхностью жидкости. Исходя из этого, представляется логически верным разделить обзор литературы на две части, одна из которых будет посвящена электрическому механизму неустойчивости, а вторая термокапиллярной неустойчивости.

1. Изучение проблем электроконвективной неустойчивости движения жидкости и газа связано с многочисленными практическими приложениями в различных областях техники и технологии, математическое моделирование этих задач приводит к пониманию большого числа природных явлений. В настоящее время эта область науки переживает фазу активного развития. Наибольший интерес к вопросам электроконвективной неустойчивости обусловлен развитием теории пробоя и предпробойных состояний, значимость которой для современной технологии материалов трудно переоценить. Имеется большое количество работ, посвященных

исследованию устойчивости электрогидродинамических течений. Основные результаты обобщены в обзорах [1,2] и монографиях [3-5].

В последнее время используются новые возможности интенсификации тепло- и массообмена в слабопроводящих жидкостях при помощи электрического поля. Электрические и гидродинамические поля оказывают друг на друга взаимное влияние. С одной стороны, электрическое поле создает в жидкости объемную пондермоторную силу, а с другой стороны, заряды, находящиеся в жидкости, участвуют в конвективном движении, образуя электрические токи конвекции. Для взаимодействия электрических и гидродинамических полей необходимо присутствие в жидкости объемного заряда.

Одним из основных вопросов электрогидродинамики является вопрос о способе образования в жидкости объемного заряда. Существуют два механизма образования в жидкости свободных зарядов, участвующих в процессе прохождения тока: образование свободных зарядов в результате процесса диссоциации-рекомбинации и инжекция заряда через границу.

В первом случае можно ввести коэффициент собственной проводимости жидкости, различной в разных точках пространства, а плотность тока

—* —*

связать с напряженностью поля законом Ома ^ — оЕ. В стационарном состоянии распределение объемного заряда q описывают следующие урав-

нения:

div Ё = divj = О,

£

из которых мы можем получить, что

£Vcr В ( 4.\

q —--Ь {£ = const)

о

Такой механизм проводимости называют омическим, а модель формирования объемного заряда—моделью проводимости. Объемный заряд, в этом случае, образуется в процессе токопрохождения в результате неоднородности электропроводности а, которая может быть вызвана зависимостью от температуры [2-4] или от напряженности поля [6]. Данная модель образования заряда была использована в работах [3,4,8-14] по изучению электроконвективной неустойчивости жидкости.

В экспериментальных работах по исследованию электроконвективной неустойчивости слоя слабопроводящей жидкости, заключенной между двумя твердыми электродами подогрев обычно осуществлялся сверху. Дело в том, что механическое равновесие неравномерно нагретой жидкости в поле тяжести возможно лишь при условии постоянства и вертикальности градиента температуры. Когда вертикальный градиент температуры, при подогреве слоя жидкости снизу, превосходит некоторое критическое значение, равновесие становится неустойчивым и возникает конвекция. Конвективное движение, в этом случае, обусловлено зависимостью плотности

жидкости от температуры. Такая конвекция называется тепловой. При нагреве жидкости сверху равновесие относительно тепловой конвекции всегда устойчивое, что позволяет выделить чисто электроконвективный механизм неустойчивости. В работе [7] изучался слой транформаторно-го масла толщиной 1мм при разности температуры между электродами 12° С. В отсутствии электрического поля равновесие было устойчивым. При включении вертикального электрического поля и при достижении критического напряжения 180 V наблюдалось конвективное движение. В качестве объяснения этого эффекта было выдвинуто предположение о зависимости диэлектрической проницаемости среды е от температуры и образование в связи с этим в жидкости объемного поляризационного заряда. Образующаяся в результате этого пондермоторная сила, пропорциональная Ve, способна вызвать конвективное движение.

В работах [8,9] производилось изучение электроконвективной неустойчивости экспериментально и численно. В качестве жидкости использовались растительное и касторовые масла с толщинами 1 и 2 дюйма. Подогрев осуществлялся сверху. При разности температур между электродами 5, 10, 15 и 20° С наблюдалось осцилляционное движение для напряжения порядка 10 kV. Для описания такого поведения жидкости была предложена модель, где предполагалось, что проводимость а есть квадратичная

функция от Т, а е есть константа. В результате решения линейной задачи устойчивости, было найдена колебательная мода неустойчивости. В вычислениях число Прандтля считалось бесконечным. Численные результаты для дисперсионного соотношения качественно подтвердили экспере-ментальные данные. Монотонная мода неустойчивости в теоретическом анализе не рассматривалась и эта теория не могла объяснить результаты

[7].

В дальнейшем, многие авторы в своих работах пытались объяснить эти противоречивые результаты, основываясь на предположении, что объемный заряд образуется в жидкости из-за зависимости электрической проводимости сг от температуры. Такая модель описания получила названия модели проводимости.

Первую попытку теоретически рассмотреть явление, описанное в [7] предпринял Roberts [10]. В работе предполагалось, что объмный заряд образуется вследствии линейной температурной зависимости е. Для безразмерной системы электрогидродинамических уравнений введены два безразмерных управляющих параметра: электрическое число Рэлея и число Прандтля. Было найдено, что для монотонной неустойчивости, приложенное электрическое поле действительно может породить конвективную неустойчивость, но численные результаты давали различие с эксперимен-

тальными в 107 раз. Поэтому, далее в этой работе, Roberts выдвинул другое предположение, в котором он считал, что объмный заряд образуется вследствии линейной зависимости а от температуры. Но результаты вычислений показали, что в таком случае электрическое поле стабилизирует систему.

Так как учет линейного члена в разложении проводимости в ряд по температуре при решении задачи устойчивости не дает объяснения результатам, полученным в работе [7], был сделан вывод о необходимости учета следующих членов разложения. Квадратичная зависимость проводимости а от температуры изучалась в работе [11]. Основные результаты, для монотонной моды неустойчивости заключаются в следующем: 1) механизм образования объемного заряда, вызваный зависимостью г от Т, мал по сравнению с механизмом проводимости; 2) учет линейного слагаемого в разложении а по температуре дает стабилизационный эффект; 3) когда зависимость проводимости предполагается квадратичной, то приложенное электрическое поле сильно дестабилизирует слой жидкости и численные результаты находятся в согласии с экпериментом. Дальнейшие члены разложения проводимости по температуре не вносят заметный вклад для критического значения.

Для колебательной моды линейная задача устойчивости была решена

Bradley [12]. Зависимость проводимости а от Т предполагалась линейной. Расчеты проводились для конечного числа Прандтля. Используя граничные условия на свободной поверхности и тригонометрические функции для разложения скорости движения жидкости и температуры он обнаружил, что колебательная мода способна возбудить конвективное движение. Это качественно согласуется с результатами работы [9]. Для устранения различия между численными и экспериментальными данными Bradley считает необходимым учет иных, не температурных эффектов.

Еще одним подтверждением этого предположения является работа [15]. Для колебательной моды неустойчивости, была решена линейная задача устойчивости при конечных значений числа Прандтля. Зависимость проводимости от температуры выбиралась линейной, квадратичной и в соответствии с формулой Аррениуса. Параметры задачи выбирались в соответствии с экспериментом [9]. Было показано, что на основе модели проводимости не удается объяснить результаты, полученные [9].

Модель проводимости предполагает, что если температурного градиента нет, то нет объемного заряда и конвективное движение отсутствует. Однако целый ряд теоретических и экспериментальных исследований [16-20] показал, что в изотермическом слое слабопроводящей жидкости в электрическом поле наблюдается конвективое течение. В связи с этим

была сформулирована так называемая модель подвижности, в которой ток обусловлен внесенными в диэлектрик свободными зарядами. Образование свободных зарядов происходит на электродах или в результате приэлектродной реакции. Механизмом образования ионов одного знака на инжекторе (униполярная инжекция заряда) может быть, например термоэлектронная эмиссия [5,21]. Плотность тока при этом механизме проводимости записывается следующим образом:

1 = ЧЬЁ

где Ь — подвижность инжектируемых ионов, д— объемная плотность инжектируемого заряда.

Перейдем к более подробному обсуждению модели подвижности и ин-жекционному механизму неустойчивости. В работе [16] изучалась численно и экспериментально устойчивость изотермического слоя жидкости со свободной границей, через которую происходит инжекция заряда. Инжектор был расположен на свободной границе. В линейной задаче устойчивости были выявлены два управляющих безразмерных параметра: электрический аналог числа Рэлея и параметр, определяющий подвижность заряда в среде. При решении было найдено, что от параметра подвижности система зависит слабо, а критические значение электрического числа

Рэлея и волнового числа равны соответственно Яа = 100, к = 4.0.

В экперименте [17] этот результат был с хорошей степенью точности подтвержден.

Рассмотрение модели подвижности для слоя жидкости при линейной зависимости подвижности заряда от температуры проводилось в работе [18]. В этом случае, для линейной задачи устойчивости, удалось найти монотонную и колебательную моду неустойчивости. Более того, в рамках модели подвижности было показано, что экспериментальные результаты работы [7] находятся в хорошем соответствии с численными результатами. Из этого был сделан основной вывод о том, что в работе [7] основной причиной неустойчивости выступает инжекция заряда.

В [3,5,15] было отмечено, что в слабопроводящей жидкости имеют место оба механизма проводи