Влияние вибрационно-акустических воздействий на конвективные течения тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ
|
Скуридин, Роберт Владиславович
АВТОР
|
||||
|
кандидата физико-математических наук
УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ
|
||||
|
Пермь
МЕСТО ЗАЩИТЫ
|
||||
|
2004
ГОД ЗАЩИТЫ
|
|
01.02.05
КОД ВАК РФ
|
||
|
|
||||
на правах рукописи
Скуридин Роберт Владиславович
ВЛИЯНИЕ ВИБРАЦИОННО-АКУСТИЧЕСКИХ ВОЗДЕЙСТВИЙ НА КОНВЕКТИВНЫЕ ТЕЧЕНИЯ
Специальность 01.02.05 - "Механика жидкости, газа и плазмы"
Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук
Пермь - 2004
Диссертация выполнена в Лаборатории вычислительной гидродинамики Института механики сплошных сред УрО РАН.
Научный руководитель доктор физико-математических наук,
старший научный сотрудник Любимова Т.П.
Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,
профессор Фрик П.Г.
кандидат физико-математических наук, доцент Мызников В.М.
Ведущая организация Институт проблем механики РАН
Защита состоится "22 " _2004 г. в "¿у часов на заседании
диссертационного совета Д 004.012.01 в Институте механики сплошных сред УрО РАН (614013, г. Пермь, ул. Академика Королева, 1; тел: (3422) 136811, (3422) 136759; факс: (3422) 136087)
С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института механики сплошных сред УрО РАН.
Автореферат разослан Н^Ус^_2004 г.
Ученый секретарь диссертационного совета доктор технических наук, старший научный сотрудник
ОБШДЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ
Актуальность работы. Изучение влияния вибрационно-акустических воздействий на конвективные течения имеет большое значение. Такого рода течения возникают во многих технологических процессах и геофизических явлениях. К ним относятся, в частности, атмосферная циркуляция Хэдли, некоторые типы движений в океане, коре и мантии Земли, процессы переноса в мелких водоемах, движение расплава в установках для получения кристаллов в горизонтальном варианте метода направленной кристаллизации (см.',2).
Одним из многообещающих методов получения высококачественных монокристаллов полупроводников является их выращивание из расплава методом плавающей зоны, позволяющее избежать нежелательного взаимодействия со стенками тигля. Конвективное течение в расплаве, ведущее к возникновению неоднородностей в распределении примесей и ухудшающее структуру кристалла, может быть в значительной степени устранено при осуществлении процесса в условиях микрогравитации. Однако, в отсутствие силы тяжести важную роль играет термокапиллярная конвекция, вызываемая наличием градиента поверхностного натяжения на свободной поверхности расплава. Проблема управления течениями и теплопереносом, вызываемыми термогравитационной и термокапиллярной конвекцией в жидкой зоне, вызывает большой интерес в последние годы в связи с необходимостью получения полупроводниковых кристаллов большого диаметра.
Цель работы
• исследование структуры и устойчивости адвективного течения в горизонтальном канале прямоугольного сечения;
• исследование влияния акустической волны, распространяющейся вдоль оси горизонтального канала прямоугольного сечения, на структуру и устойчивость адвективного течения в нем;
• исследование течения в изотермическом жидком мостике с деформируемой в среднем свободной поверхностью при наличии высокочастотных вибраций одного из торцов;.
• исследование течений и тепломассообмена при выращивании кристаллов методом плавающей зоны при высокочастотных вибрациях растущего кристалла;
• исследование влияния высокочастотных вибраций одного из торцов на устойчивость осесимметричного течения в жидкой полузоне.
Научная новизна результатов
• изучена устойчивость адвективного течения в горизонтальном канале прямоугольного сечения при ненулевых значениях числа Прандтля. Полу-
1 Авлуевский В.С., Бармин И.В., Гришин СД., Лесков Л.В., Пе1ров А.П., Полежаев В.И., Савшев ВВ. Проблемы космического производства. М.: Машиностроение, 1980. - 222с.
2 Полежаев В.И. Гидродинамика, тепло- и массообмен при росте кристаллов. Механика жидкости и газа т 18. М.: ВИНИТИ (Итоги науки и техники), 1984 С. 198-26 9.
РОС. НАЦИОНАЛЬНАЯ
БИБЛИОТЕКА 3
чены нейтральные кривые, изучена структура возникающих вторичных течений;
• изучено влияние акустической волны на устойчивость адвективного течения в горизонтальном канале прямоугольного сечения. Показано, что характер этого влияния существенно зависит от значений чисел Прандт-ля и Рейнольдса: может иметь место как дестабилизация, так и стабилизация;
• изучены пульсационные и средние деформации свободной поверхности и течения в изотермическом жидком мостике при высокочастотных вибрациях одного из торцов;
• изучено влияние высокочастотных вибраций растущего кристалла на течения и тепломассообмен-при выращивании кристаллов методом плавающей зоны в условиях невесомости и земных условиях;
• изучено влияние высокочастотных вибраций одного из торцов на устойчивость осесимметричного режима термокапиллярного течения в жидкой полузоне. Обнаружено, что вибрации малой и умеренной интенсивности оказывают значительное стабилизирующее действие. В то же время; при больших амплитудах вибраций появляется новый вибрационный механизм неустойчивости, так что интервал устойчивости осесимметричного течения оказывается ограниченным по числу Рейнольса как сверху, так и снизу.
Автор защищает:
• результаты исследования стационарного адвективного течения в горизонтальном канате прямоугольного сечения и линейной устойчивости этого течения по отношению к пространственным возмущениям;
• результаты исследования влияния акустической волны на структуру адвективного течения в горизонтальном канале прямоугольного сечения и линейной устойчивости адвективно-акустического течения по отношению к пространственным возмущениям;
• результаты численного исследования пульсационных и средних деформаций свободной поверхности и течений в изотермическом жидком мостике при вибрациях одного из торцов;
• результаты прямого численного моделирования течений и тепломассообмена при выращивании кристаллов методом плавающей зоны при наличии высокочастотных вибраций растущего кристалла;
• результаты численного исследования влияния вибраций на устойчивость осесимметричных режимов термокапиллярного течения в жидкой зоне с недеформируемой свободной поверхностью в условиях невесомости.
Практическая ценность. Результаты работы могут быть использованы для оптимизации технологии получения кристаллов полупроводников методами направленной кристаллизации и методом жидкой зоны.
Достоверность результатов подтверждается сравнением с известными предельными случаями плоского слоя для задачи об адвективном течении, сравнением с данными других авторов (в том числе экспериментальными) по
вибрационным течениям в жидкой зоне и с опубликованными данными по устойчивости стационарного осесимметричного течения в полузоне в отсутствие вибраций.
Апробация работы. Материалы диссертации докладывались на 11-ой и 12-ой Зимних школах по механике сплошных сред (Пермь, 1997, 1999), на 1-ой Российской конференции по космическому материаловедению (10-12 ноября 1999, Калуга), на 51-st International Astronautical Congress (2-6 Oct. 2000, Rio de Janeiro, Brazil), на 16th IMACS World Congress on the Scientific Computation, Applied Mathematics and Simulation (Lausanne - August 21-25, 2000), на First International Symposium on Microgravity Research & Applications in Physical Sciences and Biotechnology (10-15 September 2000, Sorrento, Italy), на 33rd Scientific Assembly of COSPAR (16-23 July 2000, Warsaw, Poland), на Восьмом Всероссийском съезде по теоретической и прикладной механике (Екатеринбург, 2001), на 2nd China-Germany Workshop on Microgravity Science (Dunhuang, China Sept. 1-3, 2002), на XXIX Summer School "Advanced Problems in Mechanics" (St. Petersburg Russia, 2002), на Journee du GDR 2258, Reunioin generale du GDR (Paris, France, 27-28 May 2002), на Всероссийской конференции «Теория и приложения задач со свободными границами» (Бийск, 2-6 июля, 2002 г.), на Конференции молодых ученых 'Неравновесные процессы в сплошных средах' (Пермь, 2002), на II Всероссийской конференции по космическому материаловедению (Калуга, 2003), на Int. Conference «Advanced Problems in Thermal Convection» (Perm, 24-27 November, 2003).
Публикации. Результаты диссертации опубликованы в 25 печатных работах [1-25]. Во всех работах автор диссертации проводил основные вычисления, принимал участие в постановке задачи и обсуждении результатов.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из вводной части, 5 глав и заключения. Вводная часть содержит собственно введение и обзор литературы. Объем диссертации 140 страниц, в работу включено 72 рисунка. Список литературы содержит 163 названия.
СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ
Введение состоит из обзора литературы и общей характеристики работы. В литературном обзоре описаны работы, посвященные структуре и устойчивости конвективных течений в каналах и слоях, влиянию на них вибраций и акустических волн, течениям в жидкой зоне при наличии разнообразных управляющих воздействий и их устойчивости. В общей характеристике обсуждаются актуальность работы, научная новизна, практическая ценность и достоверность полученных результатов.
Во второй главе рассматривается устойчивость адвективного течения несжимаемой жидкости в горизонтальном канале прямоугольного сечения с идеально теплопроводными стенками, к которым приложен постоянный горизонтальный градиент температуры. Используются уравнения свободной тепловой конвекции в приближении Буссинеска. Однородное вдоль оси канала решение удовлетворяет следующей системе уравнений и граничных условий:
Здесь Пию- поперечные и продольная компоненты скорости, 0 - отклонение температуры от теплопроводного распределения,/- не зависящая от продольной координаты часть давления, у - вертикальная координата, V, - дифференциальный оператор, действующий в плоскости (х,у), Рг = у/% - число Пран-дтля, От = д@АН*/V1 - число Грасгофа. Использованы следующие единицы измерения: для скорости у/Н, для температуры АН, для времени Я2/V, для расстояния Я, Я - высота канала. В общем случае сформулированная задача не допускает решений, соответствующих плоскопараллельному течению.
Для анализа устойчивости стационарных адвективных течений вводились малые возмущения скорости, температуры и давления, периодические вдоль оси канала. Их эволюция определяется следующей системой уравнений:
Здесь - компоненты скорости и температура основного течения,
и, и, IV - горизонтальная, вертикальная, продольная компоненты возмущения скорости, 0 - возмущение температуры, р - возмущение давления. Кроме того, специального рассмотрения требует случай к=0 (спиральные возмущения).
Для численного исследования устойчивости стационарного течения применялись два разных метода. В соответствии с первым методом осуществлялось прямое решение уравнений для возмущений от некоторого начального состояния методом конечных разностей с использованием явной схемы дискретизации по времени, анализ временной эволюции возмущений позволял определять инкремент возмущения и строить нейтральные кривые. В соответствии со вто-
рым методом, предполагалась экспоненциальная зависимость возмущении от времени: е*1. Дискретизация уравнений методом конечных разно-
стей со вторым порядком точности приводила к обобщенной алгебраической проблеме собственных значений. Для решения алгебраической проблемы ис-
пользовался разработанный Д.В. ВАМорозовым программный пакет. 1000000
Любимовым,
Т. П.Любимовой
и
Рис.1. Карта устойчивости для канала квадратного сечения в сопоставлении с данными для слоя.
Вычисления показали, что наличие боковых стенок существенно стабилизирует течение по сравнению с исследованным случаем плоского слоя, что можно видеть на рис. 1. Обнаружена мода возмущений гидродинамической природы, не имеющая аналога в случае слоя и связанная с развитием неустойчивости вблизи боковых стенок. Для канала квадратного сечения она является наиболее
опасной от Рг = 7'Ю-4 до приблизительно Рг = 0.3, ее появление проявляется в виде резкого излома кривой устойчивости на рис.1. Прослежен также переход к случаю плоского слоя при увеличении относительной ширины канала.
В третьей главе рассматривается влияние акустической волны на адвективное течение в горизонтальном канале прямоугольного сечения и его устойчивость. Используется осредненное описание движения жидкости. Уравнения для осредненных полей имеют тот же вид, что и обычные уравнения свободной тепловой конвекции в приближении Буссинеска, Акустическая волна генерирует осредненную завихренность в пограничных слоях вблизи твердых стенок канала. Этот эффект описывается с помощью эффективных граничных условий. При использовании тех же, что и в главе 2, единиц измерения для описания течения получается та же самая система уравнений и граничных условий, что и в отсутствие волны, отличие состоит лишь в условии для продольной компоненты скорости на стенках: и^Яе, Ке = За1й/гЛ'/(4су) - пульсационное число Рей-нольдса.
Для исследования стационарного адвективно-акустического течения и его устойчивости применяются те же методы, что и в предыдущей главе. В работе приведены результаты численных расчетов устойчивости термоакустического течения при разных числах Прандтля для ширины канала 1 и 5. Показано, что по сравнению со случаем плоского слоя течение сильно стабилизировано, иденти-
Рис.2. Критические числа Грасгофа в зависимости от числа Рейнольдса при / = 5, Рг = 0.1. Сплошная линия - гидродинамическая мода, штриховая линия - спиральная мода.
фицированы наиболее опасные моды возмущений. Пример карты устойчивости приведен на рис. 2.
Четвертая глава посвящена численному исследованию пульсацион-ных и средних течений в изотермическом жидком мостике с деформируемой в среднем свободной поверхностью при наличии аксиальных высокочастотных вибраций нижнего поддерживающего диска.
Используется метод осреднения, все поля разбиваются на среднюю и пульсационную компоненты. Поле средней скорости определяется следующими уравнениями:
(йУ)й - 5 х пЛй = Ур + уД й,
Р
СНум = 0,
где 5 - вектор пульсационного транспорта, определяемый формулой
_ а—
5 = (дУ)5р, = €р, д = 0, €р- пульсационная компонента скорости.
Пусть ир =асоЯе[1Уехр(1(01) + 1гУ'ехр(-1й)1)]/2. Комплексная амплитуда
пульсационной скорости IV определяется уравнениями
^=УФ,ДФ=0.
Условие непротекания на свободной и твердых поверхностях принимает следующую форму:
к-й + 5-й = 0.
Граничные условия для касательной компоненты осредненной скорости на твердых границах имеют вид:
и, = -Ла а
дп
Условие для средней скорости на поверхности раздела жидкость-газ следующее:
. дъ ди _ 2 __ {
Ф-—---— = 2а юЛЯе —2---
дг дг \дт дх
Здесь £ - комплексная амплитуда пульсационного отклонения свободной поверхности от ее среднего положения, ф - завихренность среднего течения. Условия для пульсационных полей:
На вибрирующем торце:
На неподвижном торце:
R-= «-е.
дп
<?Ф R——-0.
I 'ФЦ^2^-
со
pRco
Г /-(1+/,2)2 0+//)3 0+//):
/•2 , 2 . Q Ji Jn | ./g
2\3
1
. „Г<?Ф .^ф4! д . . . д .
Здесь функция/описывает среднее положение свободной поверхности, ст- коэффициент поверхностного натяжения, индекс г означает дифференцирование по аксиальной координате.
Для пульсационного отклонения свободной поверхности от среднего положения на линиях контакта ставятся условия закрепления:
Квазиравновесная форма границы раздела определяется условиями
где К- осредненная кривизна границы раздела.
Используется сетка, вписанная в границы области. Криволинейные координаты генерируются в соответствии с методом Томпсона и др.3
Все производные аппроксимируются центральными разностями второго порядка точности внутри области и правыми или левыми разностями второго порядка точности на границах. Для решения нелинейных систем применяется метод Ньютона.
Типичный вид структуры среднего течения приведен на рис.3. Интенсивность течения возрастает с ростом частоты немонотонным образом, проявляя резкое возрастание при частотах, близких к резонансным.
1 J.F. Thompson, F.C. Thames, and С. W. Mastin, J. Comput. Phis. 15,299 (1974).
В пятой главе представлены результаты прямого численного моделирования течений и тепломассообмена при выращивании кристаллов методом плавающей зоны при высокочастотных аксиальных вибрациях растущего кристалла. Расчеты выполнялись в рамках подготовки космического эксперимента по выращиванию кристаллов методом плавающей зоны в условиях микрогравитации с целью выработки рекомендаций по его проведению, а затем в ходе анализа полученных результатов. Эксперимент был осуществлен в 2000 году в Германии ПДолдом,
Рис.3. Изолинии лагранжевой функции тока среднего течения для с*=1000
з"1. Штриховые линии соответствуют А.Кроллем и К.Бенцем отрицательным значениям функции Как показано Д.ВЛюбимовым, при тока. ^¡„щ—0.0108, ^/„,«=0.00465. описании конвекции в жидкости со
свободной поверхностью при наличии высокочастотных вибраций должны быть учтены пульсационные деформации свободной поверхности, однако их учет не совместим с обычным приближением Буссинеска. Обобщенное приближение Буссинеска позволяет осуществить корректный учет деформации свободной поверхности. Задача описывается следующей системой уравнений:
Безразмерные параметры:
Rep=a2a/ v
пульсационное число Рейнольдса,
Ra,-ß\T(acoR) /(4v;f) . вибрационное число Рэлея, Рг=\4х - число Прандтля, Sc=v/D- число Шмидта. Здесь % - коэффициент температуропроводности, Тс -температура в кристалле, Тр - температура в заготовке, Xs - температуропроводность кристалла, D - коэффициент диффузии. Величины R, Fflv, v/R, AT и p\?IR использованы как единицы измерения длины, времени, скорости, температуры и давления соответственно.
ю
Граничные условия для гидродинамических полей аналогичны использованным в изотермической задаче, с дополнительным учетом термокапиллярного эффекта:
П = Де, Яе {'ЧС Лу ¡V* + • V + ))+.
где П - касательная компонента тензора сдвига на свободной поверхности,
Ма = Д7Х 1(ру%) — число Марангони.
Для температуры на боковой поверхности ставится условие соответствия экспериментальному профилю, полученному при измерениях в зеркальной печи ELLI.
Поток примеси через свободную поверхность отсутствует:
Я-о.
дп
Граничные условия для температуры на фронтах плавления и кристаллизации следующие:
Здесь к и Кс - теплопроводность расплава и кристалла, Я - единичный вектор, нормальный к фронту, Ь - удельная теплота плавления. Фронты полагаются совпадающими с изотермами, отвечающими температуре плавления, так что их положение и форма определяются в ходе расчета методом 'миграции изотерм'.
Для концентрации примеси на фронте плавления и кристаллизации используются соответственно следующие граничные условия:
где - концентрация примеси в заготовке, к - коэффициент разделения.
Дополнительно для всех полей ставится условие осесимметричности.
При наличии плавления и кристаллизации действительный объем расплава неизвестен заранее, так как он определяется взаимодействием теплопереноса и капиллярных эффектов. В этом случае контактный угол в точке соприкосновения кристалла, расплава и внешней среды имеет некоторое значение
Для моделирования течений и теплопереноса в жидкой зоне мы разделяем физическую область на три подобласти, соответствующие кристаллу, расплаву и заготовке. В каждой подобласти производится преобразование координат аналогично случаю изотермической зоны.
Для проведения расчетов вводятся функция тока и завихренность осреднен-ного течения. Нестационарные уравнения для завихренности и концентрации решаются методом конечных разностей с использованием схемы дробных шагов по времени. Число Прандтля считается малым, поэтому задача для температуры в каждый момент времени стационарна. Стационарные системы уравнений решаются аналогично изотермическому случаю.
и
Пример структуры течения приведен на-рис.4. Расчеты показали, что вибрационное воздействие позволяет уменьшить интенсивность течения и кривизну фронта кристаллизации и получить более однородное распределение примеси в кристалле.
В шестой главе приводятся результаты численного исследования влияния высокочастотных вибраций одного из торцов на устойчивость стационарного осесимметричного термокапиллярного течения в жидкой полузоне в условиях невесомости. Задача описывается теми Рис.4. Термокапиллярно-вибраци- же уравнениями и граничными условия-онное течение в отсутствие тяжести: ыи, что и в главе 5, за исключением ус-а=3-10 см, «=27500 с", (¿^=0.0699 ловий для температуры на твердых дис-см3/с, Уйм—0.185 см3/с. ках и на свободной поверхности:
ет
ги=П., =1 > ^=~в*т ~ Та>•Та=гП
Кроме того, свободная поверхность предполагается недеформируемой в
среднем. Это позволяет найти пульсационные поля в явном виде в форме рядов.
Основное осесимметричное состояние находится методом конечных разностей. 25000
20000 — 15000 —
<
10000 — 5000 —
0
а=4е-3, к=1
-----а=4е-3, к=2
— - — а=4е-3, к=3
0.02
0.04
Рг
0.06
0.08
~1 0.1
Рис.5. Зависимость критических чисел Рейнольдса от числа Прандгля для а = 0.004, Же = 17000.
При вибрационном воздействии на неизотермическую жидкую зону результирующее течение определяется взаимодействием термокапиллярного и вибрационных механизмов. В рассматриваемой конфигурации, когда вибрирует бо-
лее холодный диск, термокапиллярный и поверхностно-волновой вихри имеют разное направление, что позволяет, варьируя вибрационные параметры, производить балансировку и подавление термокапиллярного течения.
После получения стационарного осесимметричного решения производился анализ его линейной устойчивости относительно малых трехмерных возмущений с использованием той же техники, что и в главах 2,3.
Для изучения .воздействия вибраций на устойчивость течения проведена серия расчетов для двух разных значений числа Вебера (Же = 7500 и Же = 17000) и при Рг = 0.02 с варьированием безразмерной амплитуды (пример карты устойчивости - на рис. 5). Расчеты по изучению зависимости устойчивости течения от числа Прандтля проводились для фиксированного числа Вебера (Же = 17000) при трех значениях амплитуды вибрации: а = 0,0.0025 и 0.004.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
В ходе исследования получены следующие результаты:
Численно исследовано стационарное адвективное течение в горизонтальном канале прямоугольного сечения, на стенках которого поддерживается однородный градиент температуры, параллельный оси канала. Показано, что при нулевом числе Прандтля задача имеет решение, соответствующее плоскопараллельному течению, направленному вдоль оси канала. При этом в нижней части канала жидкость движется в направлении, совпадающем с направлением приложенного градиента температуры, а в верхней части - в противоположном направлении. Для любых ненулевых значений числа Прандтля таких решений не существует, и течение представляет собой четыре вихря, образующиеся в поперечном сечении канала. Траекториями частиц жидкости являются спирали с осью, параллельной образующей канала. По ним жидкость движется от центра к периферии по вертикали, а затем возвращается к центру по горизонтали.
Изучена линейная устойчивость адвективного течения в горизонтальном канале прямоугольного сечения при нулевом значении числа Прандтля. Получены нейтральные кривые, изучена структура возникающих вторичных течений. Показано, что при увеличении ширины канала устойчивость снижается, критические числа Грасгофа приближаются к предельному значению Огс = 7900, что хорошо согласуется с известными данными для плоского слоя.
Исследована линейная устойчивость адвективного течения в горизонтальном канале прямоугольного сечения при отличных от нуля значениях числа Прандтля. Течение сильно стабилизировано по сравнению со случаем слоя. Обнаружено, что в области значений чисел Прандтля около , наблюдается резкая стабилизация основного течения с увеличением Рг. При этом основное течение перестраивается, зависимость Оге (Рг) претерпевает разрыв. Предложено объяснение этого эффекта, заключающееся в том, что увеличение вклада поперечных составляющих скорости основного течения с ростом числа Пран-дтля приводит к выносу энергии возмущений гидродинамического типа, связанных с взаимодействием встречных потоков, из приосевой области. Дальнейшее повышение числа Прандтля ведет к дестабилизации течения, обуслов-
ленной развитием вихрей на границе встречных потоков у боковых стенок канала. Обнаруженные эффекты не имеют места в хорошо изученном случае адвективного течения в плоском горизонтальном слое.
Изучено влияние на устойчивость адвективного течения в горизонтальном канале прямоугольного сечения акустической волны, распространяющейся вдоль оси канала. Показано, что характер этого атияния определяется значениями чисел Прандтля и Рейнольдса и шириной канала. Как и в случае плоского горизонтального слоя, во всем рассмотренном диапазоне значений числа Прандтля акустическое воздействие приводит к заметной стабилизации гидродинамической моды неустойчивости и к сильной дестабилизации спиральной моды. Монотонная при отсутствии акустического воздействия гидродинамическая мода становится колебательной при Яе ее частота растет с ростом числа Рейнольдса. Границы неустойчивости по отношению к возмущениям всех типов, как и в отсутствие акустического воздействия, лежат значительно выше, чем в случае плоского слоя, что связано со стабилизирующим действием боковых стенок.
Выполнено численное моделирование течений в изотермической жидкой зоне с деформируемой в среднем свободной поверхностью при высокочастотных аксиальных вибрациях одного из торцов. Найдены пульсационные и средние деформации свободной поверхности, структура и интенсивность пульсаци-онных и средних течений при различных параметрах вибраций. Показано, что во всем рассмотренном диапазоне параметров вибраций доминирующий вихрь, занимающий большую часть зоны, вызывается поверхностными волнами, распространяющимися от вибрирующего торца. Направление этого вихря таково, что жидкость движется вдоль свободной поверхности от вибрирующего торца к неподвижному. Интенсивность вибрационного течения монотонно меняется при изменении амплитуды вибраций. Зависимость интенсивности течения от частоты вибраций немонотонна, наблюдается резкое возрастание при частотах, близких к резонансным значениям. В рассмотренном диапазоне параметров вибраций средняя деформация свободной поверхности мала.
В рамках подготовки космического эксперимента по выращиванию кристаллов методом плавающей зоны при высокочастотных аксиальных вибрациях кристалла выполнено прямое численное моделирование течений и теплообмена в жидкой зоне с деформируемой свободной поверхностью с учетом процессов плавления, кристаллизации и протягивания заготовки. Показано, что вибрации ведут к подавлению термокапиллярного течения у фронта кристаллизации и уплощению фронта. При нормальной силе тяжести эффект подавления выражен слабее, чем в случае невесомости, а уплощение фронта напротив более значительно. В силу сложной структуры возникающего в рассматриваемой конфигурации конвективного течения, полное его подавление невозможно, однако оказывается возможным, прилагая вибрации, уменьшить интенсивность течения вблизи фронта кристаллизации и сделать этот фронт более плоским. Вибрационное подавление течения у фронта кристаллизации ведет к уменьшению радиального градиента концентрации примеси.
Изучено влияние высокочастотных аксиальных вибраций одного из торцов на структуру и устойчивость осесимметричного термокапиллярного течения в
жидкой полузоне с недеформируемой в среднем свободной поверхностью в широком интервале значений параметров вибраций и значений числа Прандтля, характерных для расплавов металлов и кристаллов полупроводников. Определены зависимости критического числа Рейнольдса от параметров вибраций и числа Прандтля. Обнаружено, что вибрации малой и умеренной интенсивности оказывают значительное стабилизирующее действие на устойчивость термокапиллярного течения. В то же время, при больших амплитудах вибраций появляется новый вибрационный механизм неустойчивости, связанный с трехмерными возмущениями. Таким образом, в случае больших чисел Марангони интервал устойчивости осесимметричного течения оказывается ограниченным по амплитуде вибраций как сверху, так и снизу.
СПИСОК ПУБЛИКАЦИЙ
1. Д. В Любимов, Т.П. Любимова, Н.И. Лобов, Р.В. Скуридип. Об адвективном течении в горизонтальном канале прямоугольного сечения. 11-я Международная зимняя школа по механике сплошных сред. Тезисы докладов, Кпига 2, Пермь, 1997, С. 199.
2. Н.И. Лобов, Д.В. Любимов, Т.П. Любимова, Р.В. Скуридин. Об адвективном течении в горизонтальном канале прямоугольного сечения. Гидродинамика, вып.11, Пермь, ПТУ, 1998,С. 167-175.
3. Д.В. Любимов, Т.П. Любимова, Н.И. Лобов, Р.В. Скуридин. Об устойчивости адвективного течения в горизонтальном канале. Зимняя Школа по механике сплошных сред (двенадцатая). Тезисы докладов. Пермь, 1999, С. 218.
4. Д.В. Любимов, Т.П. Любимова, В А Демин, Р.В. Скуривдн. Равновесная форма, устойчивость
и вибрационная динамика жидкой зоны. 1-я Российская конференция по космическому материаловедению. 10-12 ноября 1999, Калуга, Программа. Тезисы докладов, С. 50.
5. P. Dold, K.W. Benz, A. QOL В. Roux, D. Lyubimov, T. Lyubimova, R Scuridyn Vibration Controlled Convection - Preparation and Perspective ofthe MAXUS 4 Experiment Preprint 00 J.4.07 IAF ofthe 51-st International Astronautical Congress, 2-6 Oct 2000, Rio de Janeiro, Brazil.
6. D.V. Lyubimov, T.P. Lyubimova, R.V. Scuridin. Numerical investigation of stability of advec-tive How in a horizontal cylinder of rectangular cross-section. 16* IMACS World Congress on the Scientific Computation, Applied Mathematics and Simulation. Proceedings, Lausanne - August 21-25,2000, p. 411-418.
7. D.V. Lyubimov, T.P. Lyubimova, R.V. Scuridin. Numerical investigation of stability of advec-tive flow in a horizontal cylinder of rectangular cross-section. 16* IMACS World Congress on the Scientific Computation, Applied Mathematics and Simulation. Book of Abstracts. Lausanne, EPFL,2OOO,p.38O.
8. D.V. Lyubimov, T.P. Lyubimova, R.V. Scuridyn, K. Benz, A. Croel, P. Dold, B. Roux. First International Symposium on Microgravity Research & Applications in Physical Sciences and Biotechnology, 10-15 September 2000, Sorrento, Italy. Abstracts, p. 108.
9. D. Lyubimov, T. Lyubimova, R. Scuridyn, B. Roux. Deformations and flows in isothermal liquid bridge subjected to high frequency vibrations. 33I|J Scientific Assembly of COSPAR, 16-23 July 2000, Warsaw, Poland, Abstracts.
10. Д.В. Любимов, Т.П. Любимова, Р.В. Скуридин. Устойчивость адвективного течения в горизонтальном канале. Устойчивость течений гомогенных и гетерогенных жидкостей. Вып. 7, Под ред. проф. ВЛ.Рудяка, Новосибирск, 2000, с. 56-58.
11. P. Dold, KW. Benz, А. СгбП, В. Roux, D. Lyubimov, T. Lyubimova, R. Scuridyn: Vibration controlled convection - preparation and perspectives ofthe Maxus 4 experiment, Acta Astronautica, 2001,48,5-12, pp. 639-646.
IS
12. D.V Lyubimov, T.P. Lyubimova, RV Scuridyn, K. Benz, A. Croel, P. Dold, B. Roux High frequency vibration influence on thermccapfflaiy flow in a flcating-zDne type system. Proceedings of the First International Symposium on Miciqgiavity Research & Applications in Physical Sciences & Biotechnology, Sorrento, Italy, 10-15 September 2000 (ESA SP-454, January 2001), Vol.II, pp. 861-870.
13. Т.П. Любимова, ?В. Скуридин. Влияние высокочастотных вибраций на устойчивость термокапиллярного течения в жидкой зоне. Устойчивость течений гомогенных и гетерогенных жидкостей. Тезисыдокладов, вып.8. Подред. В.В. Козлова. Новосибирск, 2001, С. 114-116.
14. К. Бенц, П. Долд, А. Кроль, Т.П. Любимова, Р.В. Скуридин, Б. Ру. Численное моделирование течений и теплообмена при выращивании кристаллов по методу плавающей зоны в условиях вибрационного воздействия. Подготовка космического эксперимента. Восьмой Всероссийский съезд по теоретической и прикладной механике. Аннотации докладов. Екатеринбург: УрО РАН, 2001, С. 96.
15. D.V. Lyubimov, T.P. Lyubimova, RV. Skuridin, G. Chen, В. Roux. Numerical investigation of meniscus deformation and flow in an isothermal liquid bridge subject to high-frequency vibrations under zero gravity conditions. Computers & Fluids, 2002, vol.31, pp. 663-682.
16. U. Kerat, P. Dold, K.W. Benz, A. CrolL R Scuridyn, T. Lyubimova. Floating-zone growth of silicon single crystals on board the European sounding rocket Maxus-4. Proceedings of 2nd Chim-Gecmany Workshop on Mcrogravity Science, Dunhuang,China Sept 1 -3,2002, pp. 78-84.
17. D.Vlyubimov, TP.Lyubimova, VAMorozov, R.V.Scuridyn Numerical investigation of stability of advective flow in a horizontal cylinder of rectangular cross-section. Proceedings of XXXIX Summer School "Advanced Problems in Mechanics" on CD, StPetersburg Russia, 2002, pp. 22-28.
18. D.Vlyubimov, T.P.Lyubtmova, RV.Scuridyn, G.Chen, B.Roux, ICW.Benz, ACroll, PDol& Vibrational control of flows and heat transfer in crystal growth by floating zone technique. Joumec du GDR 2258, Reunioin gencrale du GDR, Paris, France, 27-28 May 2002, Recueil des resumes, p. 21.
19. Т.ПЛюбимова, Р.В.Скуридин. Исследование воздействия вибрации одного из торцов на течения и тепломассоперенос при выращивании кристаллов методом плавающей зоны. Всероссийская конференция «Теория и приложения задач со свободными границами», Бийск, 2-6 июля, 2002 г., Тезисы докладов. С. 60-61.
20. Р.В.Скуридин. Численное исследование тепло- и массообмена при выращивании кристаллов методом плавающей зоны при воздействии высокочастотных вибраций. Конференция молодых ученых 'Неравновесные процессы в сплошных средах'. Тезисы докладов. Пермь, 2002, с. 124.
21. TP.Lyubimova, RV.Scuridin, ACroell, P.Dold Influence ofhigh frequency vibrations on fluid flow and heat transfer in a floating zone. Crystal Research and Technology, 2003, vol.38, N 7-8, pp. 635-653.
22. Т.ПЛюбимова, Р.В.Скуридин Численное моделирование тепломассообмена при выращивании кристаллов методом плавающей зоны в условиях вибрационного воздействия. Тезисы докладов II Всероссийской конференции по космическому материаловедению. Калуга, 2003, с. 70.
23. D.Vlyubimov, T.P.Lyubimova, VAMorozov, R.V.Scuridin, GASedelnikov. Stability of advective flows in a horizontal channel of rectangular cross-section. Int. Conference «Advanced Problems in Thermal Convection» Perm, 24-27 November, 2003. Abstracts, C. 155-156.
24. T.P. Lyubimova, R.V. Scuridin. High-frequency vibration influence on a stability of thermo-capillary flow in a liquid zone. Int Conference «Advanced Problems in Thermal Convection» Perm, 24-27 November, 2003. Abstracts, C. 169-170.
25. Р.В.Скуридин. Численное исследование тепло- и массообмена при выращивании кристаллов методом плавающей зоны при воздействии высокочастотных вибраций. Конференция НОЦ 'Неравновесные процессы в сплошных средах*. Тезисы докладов. Пермь, 2003, с. 84.
Лицензия ПД-11-0002 от 15.12.99
Подписано в печать 18.03.2004. Набор компьютерный Формат 60X84/16 Усл. печ. л. 1,0 Заказ № 184/2004 Тираж 100 экз.
Отпечатано на ризографе в отделе Электронных издательских систем ОЦНИТ Пермского государственного технического университета 614000, г. Пермь, Комсомольский пр., 29, к.113, т.(3422) 198-033
p.5857
1. Введение. Обзор литературы.
1.1 Адвективные течения.
1.2 Течения и массообмен в жидкой зоне.
1.3 Устойчивость термоканиилярного течения в жидкой зоне.
результатов.21
1.5 Содержание диссертации.22
2. Устойчивость адвективного течения в горизонтальном канале.26
2.1. Основное состояние.26
2.2. Устойчивость адвективного течения.30
2.3. Численные результаты.33
2.3.1. Случай Рг=0.33
2.3.2. Малые числа Прандтля. Гидродинамическая мода.35
2.3.3.Спиральная колебательная мода.41
2.3.4. Монотонная спиральная мода.43
2.4. Обсуждение результатов.44
3. Влияние акустической волны на адвективное течение в горизонтальном канале и его устойчивость.46
3.1. Введение.46
3.2. Влияние акустической волны на стационарное адвективное течение.47
3.3. Влияние акустической волны па устойчивость адвективного течения.49
3.3.1 Канал квадратного сечения. Малые числа 11рандтля.49
3.3.2 Канал относительной ширины 5.56
3.4. Заключение.65
4. Пульсационные и осредненные течения в осссимметричном изотермическом жидком мостике при наличии высокочастотных вибраций.67
4.1. Уравнения движения.67
4.2. Генерация сетки.70
4.3. Вид уравнений движения в криволинейных координатах.72
4.4. Численный метод.72
4.5. Численные результаты.74
5. Численное моделирование течений и тепломассоперспоса при выращивании кристаллов по методу плавающей зоны.78
5.1. Введение.78
5.2. Постановка задачи. Определяющие уравнения и граничные условия.80
5.2.1. Уравнения движения.80
5.2.2. Граничные условия для осредненных полей.82
5.2.3 Граничные условия для пульсационных полей.87 1 5.2.4. Постановка задачи в цилиндрических координатах.88
5.3. Метод решения.89
5.4. Численные результаты.91
5.4.1. Случай высоких частот.94
5.4.2. Моделирование распределения примеси.105
6. Влияние вибраций на течения и теплоперепос в жидкой зоне с недеформируемой свободной поверхностью в условиях невесомости.106
6.1. Постановка задачи.106
6.1.1. Уравнения движения.106
6.1.2. Граничные условия для осредненных полей.108
6.1.3. Граничные условия для пульсационных полей.109
6.2. 11олучение основного состояния.109
6.3. Влияние вибраций на основное течение.113
6.4. Анализ линейной устойчивости.115
6.5. Тестовые расчеты.117
6.6. Влияние вибраций на устойчивость основного течения.118
6.7. Влияние числа ГТрандтля.122
6.8. Выводы.125
Заключение.126
Список литературы.129
6.8 Выводы
Таким образом, изучено влияние высокочастотных вибраций одного из торцов на структуру и устойчивость термокапиллярного течения в жидкой полузоне для широкого спектра значений безразмерных амплитуд и чисел Вебера и значений числа Прандтля, характерных для расплавов металлов и кристаллов полупроводников. Показано, что вибрации могут использоваться для уменьшения интенсивности термокапилярного течения и его стабилизации. Рассмотрен переход к преимущественно вибрационному течению при росте амплитуды и потеря им устойчивости.
Заключение
В работе численно исследовано стационарное адвективное течение в горизонтальном канале квадратного сечения, на стенках которого поддерживается однородный градиент температуры, параллельный оси канала. Показано, что при пулевом числе Прандтля задача имеет решение, соответствующее плоскопараллельному течению, направленному вдоль оси канала. При этом в нижней части канала жидкость движется в направлении, совпадающем с направлением приложенного градиента температуры, а в верхней части - в противоположном направлении. Для ненулевых значений числа Прандтля плоскопараллельных решений не существует, в поперечном сечении канала образуются четыре вихря. Траекториями частиц жидкости являются спирали с осью, параллельной образующей канала. По ним жидкость движется от центра к периферии по вертикали, а затем возвращается к центру по горизонтали.
Исследована линейная устойчивость адвективного течения в горизонтальном канале прямоугольного сечения. Обнаружено, что в области значений чисел Прандтля около 6-Ю"4, наблюдается резкая стабилизация основного течения с увеличением Рг. При этом основное течение перестраивается, зависимость Grc(/V) претерпевает разрыв.
Предложено объяснение этого эффекта, заключающееся в том, что увеличение вклада поперечных составляющих скорости основного течения с ростом числа Прандтля приводит к выносу энергии возмущений гидродинамического типа, связанных с взаимодействием встречных потоков, из приосевой области. Дальнейшее повышение числа Прандтля ведет к дестабилизации течения, обусловленной развитием вихрей на границе встречных потоков у боковых стенок канала. Обнаруженные эффекты не имеют места в хорошо изученном случае адвективного течения в плоском горизонтальном слое.
Изучено влияние на устойчивость адвективного течения в горизонтальном канапе прямоугольного сечения акустической волны, распространяющейся вдоль оси канала. Показано, что характер этого влияния определяется значениями чисел Прандтля и Рейнольдса и шириной канала. Как и в случае плоского горизонтального слоя, во веем рассмотренном диапазоне значений числа Прандтля акустическое воздействие приводит к заметной стабилизации гидродинамической моды неустойчивости и к сильной дестабилизации спиральной моды. Монотонная в отсутствие акустического воздействия гидродинамическая мода становится при Re Ф 0 колебательной, ее частота растет с ростом числа Рейнольдса. Границы неустойчивости по отношению к возмущениям всех типов, как и в отсутствие акустического воздействия, лежат значительно выше, чем в случае плоского слоя, что связано со стабилизирующим действием боковых стенок.
Численно исследованы течения в изотермической жидкой зоне с деформируемой в среднем свободной поверхностью при высокочастотных аксиальных вибрациях одного из торцов. Найдены пульеационные и средние деформации свободной поверхности, структура и интенсивность пульсационных и средних течений при различных параметрах вибраций. Показано, что во всем рассмотренном диапазоне параметров вибраций доминирующий вихрь, занимающий большую часть зоны, вызывается поверхностными волнами, распространяющимися от вибрирующего торца. Направление этого вихря таково, что жидкость движется вдоль свободной поверхности от вибрирующего торца к неподвижному. Интенсивность вибрационного течения монотонно меняется при изменении амплитуды вибраций. Зависимость интенсивности течения от частоты вибраций немонотонна, наблюдается резкое возрастание при частотах, близких к резонансным значениям.
В рамках подготовки космического эксперимента по выращиванию кристаллов методом плавающей зоны при высокочастотных аксиальных вибрациях кристалла выполнено прямое численное моделирование течений и теплообмена в жидкой зоне с деформируемой свободной поверхностью с учетом процессов плавления, кристаллизации и протягивания заготовки. Показано, что вибрации ведут к подавлению термокапиллярного течения у фронта кристаллизации и уплощению фронта. При нормальной силе тяжести эффект подавления выражен слабее, чем в случае невесомости, а уплощение фронта напротив более значительно. В силу сложной структуры возникающего в рассматриваемой конфигурации конвективного течения, полное его подавление невозможно, однако оказывается возможным, прилагая вибрации, уменьшить интенсивность течения вблизи фронта кристаллизации и сделать этот фронт более плоским. Вибрационное подавление течения у фронта кристаллизации ведет к уменьшению радиального градиента концентрации примеси.
Изучено влияние высокочастотных аксиальных вибраций одного из торцов на структуру и устойчивость осесимметричного термокапиллярного течения в жидкой полузоне с недеформируемой в среднем свободной поверхностью в широком интервале значений параметров вибраций и значений числа Прандтля, характерных для расплавов металлов и кристаллов полупроводников. Определены зависимости критического числа Рсйнольдса от параметров вибраций и числа Прандтля. Обнаружено, что вибрации малой и умеренной интенсивности оказывают значительное стабилизирующее действие на устойчивость термокапиллярного течения. В то же время, при больших амплитудах вибраций появляется новый вибрационный механизм неустойчивости, связанный с трехмерными возмущениями. Таким образом, в случае больших чисел Марангони интервал устойчивости осесимметричного течения оказывается ограниченным по амплитуде вибраций как сверху, так и снизу.
1. Гершуни Г.З., Жуховицкий Е.М. Конвективная устойчивость несжимаемой жидкости. М., Наука, 1972. 392 с.
2. Гершуни Г.З., Жуховицкий Е.М., Непомнящий А.А. Устойчивость конвективных течений. М., Наука, 1989.318 с.
3. Лвдуевский B.C., Бармин И.В., Гришин С.Д., Лесков Л.В., Петров А.П., Полежаев В.И., Савшев В.В. Проблемы космического производства. М.: Машиностроение, 1980.-222 с.
4. Полежаев В.И. Гидродинамика, тепло- и массообмен при росте кристаллов. Механика жидкости и газа. Т. 18. М.: ВИНИТИ (Итоги науки и техники), 1984 С. 198-26 9.
5. Линь Ц. Ц. Теория гидродинамической устойчивости. М.: ИЛ, 1958. -194 с.
6. Шлихтинг Г. Возникновение турбулентности. М.: ИЛ, 1962.-203 с.
7. Бетчов Р., Криминале В. Вопросы гидродинамической устойчивости. М.: Мир, 1971.-350 с.
8. Гольдштик М.А, Штерн В.Н. Гидродинамическая устойчивость и турбулентность. Новосибирск.: Наука, 1977.- 366 с.
9. Джозеф Д. Устойчивость движений жидкостей. М.: Мир, 1981.-638 с.
10. Вирих Р.В. О термокапиллярной конвекции в горизонтальном слое жидкости. ПМТФ. 1966.-№3. - С. 69-72.
11. A. Began and С. L. Tien. Fully developed natural counterflow in a long horizontal pipe with different end temeraturcs. Int. J. Heat Mass Transfer. Vol. 21 (1978), pp. 701-708.
12. P. Bontoux, C. Smutek, B. Roux, J. M. Lacroix. Three-dimensional buoyancy-driven flows in cylindrical cavities with differentially heated endwalls. J. Fluid Mech., vol. 169(1986), pp. 211-227.
13. Gershuni G.Z., Laure P., Myznikov V.M., Roux В., Zhukhovitsky E.M. On the stability of plane-parallel advectiv flow in long horizontal layers. Microgravity Q. -1992. -Vol. 2, No. 3.-P. 141-151.
14. Гершуни Г.З., Жуховицкий E.M., Мызников B.M. Об устойчивости плоскопараллельного конвективного течения жидкости в горизонтальном слое. ПМТ. 1974.-№ 1.-С. 95-100.
15. Гершуни Г.З., Жуховицкий Е.М., Мызников В.М. Устойчивость плоскопараллельного конвективного течения жидкости в горизонтальном слое относительно пространственных возмущений. ПМТФ. -1974. -№ 5.-С. 145-147.
16. Мызников В.М. О спектре декрементов возмущений стационарного адвективного течения вязкой жидкости, вызываемого продольным градиентом температуры. Конвективные течения и гидродинамическая устойчивость. Свердловск: УНЦ АН СССР. 1979 . С. 29-35.
17. Мызников В.М. О форме возмущений плоскопараллельного конвективного движения в горизонтальном слое. Учен. Зап. Перм. Ун-т. Серия Гидродинамика. 1974. Вып. 7. С. 33-42.
18. Gershuni G.Z., Laure P., Myznikov V.M., Roux В., Zhukhovitsky E.M. On the stability of plane-parallel advectiv flow in long horizontal layers. Microgravity Q., 1992. Vol.2, No.3.P. 141-151.
19. Hart J.E. Stability of thin non-rotating Hadly circulations. J. Atmos. Sci. 1972. V. 29. N5. P. 687-697.
20. Kuo H.P., Korpela S.A., Chait A., Marcus P.S. Stability of natural convcction in a Shallow cavity. 8fh Int. Heat Transfer. Conf., San Francisco. Calif. 1986. V.3 P. 15391544.
21. C.A. Никитин, Д.С. Павловский, В.И. Полежаев. Устойчивость и пространственная структура конвекции в вытянутых горизонтальных слоях при боковом подводе тепла. Механика жидкости и газа. №4,1996. С. 28-37.
22. Зеньковская С.М., Симоненко И.Б. О влиянии вибраций высокой частоты на возникновение конвекции. Изв. АН СССР. МЖГ. 1966, №5, с. 51-55.
23. Зеньковская С.М. Исследование конвекции в слое жидкости при наличии вибрационных сил. Изв. АН СССР. МЖГ. 1968, №1, с. 55-58.
24. Lyubimov D.V. Convective flows under the influence of high-frequency vibrations. Eur. J. Mech., B/Fluids. 1995, v. 14, n.4, p. 439-458.
25. Катанова Т.Н. Исследование влияния высокочастотных вибраций на устойчивость адвективного течения. Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук. Пермь, 1999. На правах рукописи.
26. Ben Hadid, Н„ Henry, D. 1997 Numerical study of convection in the horizontal Bridgman configuration under the action of a constant magnetic field. Part 2. Three-dimensional flow. J. Fluid Mech. 333,57-83.
27. Любимов Д.В., Шкляев С. В. Об устойчивости адвективного термоакустического течения. Механика жидкости и газа. №3,2000, с. 10-21
28. G.Z. Gershuni and D.V. Lyubimov, Thermal Vibrational Convcction (John Wiley & sons, New York, 1998), 358 p.
29. Chun Ch H, Wuest W. 1978. Acta Astronautica, 5:681.
30. Schwabe D., Scharmann A., Preisser F., Oeder R. 1978. J. Crystal Growth, 43:305.
31. Thcrmocapillary convection in liquid bridges: Solution structure and eddy motions. A.M.J Davis. Phys. Fluids A 1(3), March 1989,475-479.
32. Duane T. Johnson. Viscous effects in liquid encapsulated liquid bridges. International Journal of Heat and Fluid Flow 23(2002) 844-854.
33. C.W. Lan, Sindo Kou. Heat transfer, fluid flow and interface shapes in floating zone crystal growth. Journal of Crystal Growth, 108 (1991), 351-366.
34. C.W. Lan. Newton's method for solving heat transfer, fluid flow and interface shapes in a floating molten zone. International Journal for numerical methods in fluids, vol. 19,41-65(1994)
35. T.A. Campbell, M. Schweizer, P. Dold, A. Croll, K.W. Benz. Float zone growth and characterization of Gei.x-Six (x<at%)single crystals. Journal of Crystal Growth 226 (2001)231-239.
36. С.W. Lan. Three-dimensional simulation of floating-zone crystal growth of oxide crystals. Journal of Crystal Growth 247 (2003) 597-612.
37. A.S. Senchenkov, I.G. Smirnova. On Shape of single crystals grown by FZM in mi-crogravity. Proceedings VIHth European Symposium on materials and Fluid Sciences in Microgravity, Brussels, Belgium, 12-16 April 1992.
38. D. Rivas, R. Haya. A conduction-radiation model for the floating-zone technique in monoelliosoidal mirror furnaces. Journal of Crystal Growth, 206 (1999). 230-240.
39. J.S. Walker, P. Dold, A. Croll, M.P. Volz, F.R. Szofran. Solutocapillary convection in the float-zone process with a strong magnetic field. International Journal of Heat and Mass Transfer 45 (2002) 4695-4702.
40. P. Dold, K. Benz. Rotating magnetic fields: fluid flow and crystal growth applications. Prog. Crys. Growth and Charact. of Mat., vol. 38 (1999), no. 1-4, pp. 7-38.
41. Th. Kaiser, K.W. Benz, Floating-zone growth of silicon in magnetic fields III. Numerical simulation. Journal of Crystal Growth 183 (1998) 564-572.
42. L.M. Witkowski, J.S. Walker, 'Flow driven by Marangoni convection and Rotating Magnetic Field in a Floating-Zone configuration', Magnetohydrodynamics, vol. 37 (2001), 1-2.
43. Tetsuo Munakata, Satoshi Someya, Ichiro Tanasawa. Suppression of Marangoni convection in the FZ melt by high-frequency magnetic field. Journal of Crystal Growth 235(2002)167-172.
44. K. Li, W.R. Hu. Numerical simulation of magnetic field design for damping thermocapillary convection in a floating half-zone. Journal of Cry stal Growth 222 (2001) 677-684.
45. Jie Li, ,Mingwei Li, Wenrui Hu, Danling Zeng. Suppression of Marangoni convection of silicon melt by a non-contaminating method. International Journal of Heat and Mass Transfer 46 (2003) 4969-4973.
46. Повицкий A.C., Любин Л.Я. Основы динамики и тепломассообмена жидкостей и газов при невесомости. М., Машиностроение, 1972.
47. Гидромеханика невесомости. Под ред. А.Д. Мышкиса. М., Наука, 1976.
48. Ганиев Р.Ф., Лапчинский В.Ф. Проблемы механики в космической технологии. М., Машиностроение, 1978, 119 с.
49. Ганиев Р.Ф., Охотин А.С. Об управляемом вибрационном перемещении жидкости и газа в условиях, близких к невесомости. ДАН СССР, 1978, т. 233, №2, с. 338-342.
50. W.S. Liu, V.F. Wolf, D. Elwell, R.S. Feigelson. Low frequency vibrational stirring: a new method for radial mixing solutions and melts during growth. J. Crystal Growth 151 (1995)235-242.
51. E.V. Zharikov, L.V. Prihod'ko and N.R. Storozhev. Fluid flow formation resulting from forced vibration. Journal of crystal Growth 99 (1990) 910-914.
52. V. Uspenskii, J.J. Favier. High frequency vibration and natural convection in Bridg-man-scheme crystal growth. Int. J. Heat and Mass Transfer 37 (1994) 691-698.
53. D.V. Lyubimov, Т.Р. Lyubimova, S. Meradji, В. Roux. Vibrational control of crystal growth from liquid phase. J. Crystal Growth, 180 (1997), 648-659.
54. Zhang Y., Alexander J.I. Sensitivity of liquid bridges subject to axial residual acceleration. Phys. Fluids 1990, A2(l 1), pp. 1966-1974.
55. Schlichting H., Grenzchicht-Theorie. Braun, Karlsruhe, 1951.
56. Longuet-Higgins M.S. Mass transport in water waves. Philosophical Transactions A., 1953,245,535-581.
57. Lyubimov D.V., Savvina M.V., Cherepanov A.A. On quasi-equilibrium shape of a free surface in modulated gravity field. In The problems of hydromechanics and heat/mass transfer with free boundaries. Novosibirsk, 1987, pp. 97-105.
58. Lyubimov D.V., Cherepanov A.A. On the development of steady relief on fluid interface in a vibrational field. Fluid Dynamics, 1987, pp. 849-854.
59. Lyubimov D.V., Lyubimova T.P. One method for numerical modelling in the problems with deformable fluids interfaces. Modelling in Mechanics, 1990, 4/21 (1), 136140.
60. Lyubimov, D.V., Thermovibrational flows in non-uniform systems. Microgravity Quarterly, 1994,4(2), 221-225.
61. Lyubimov D.V. Convective flows under the influence of high frequency vibrations. European Journal of Mechanics, B/Fluids, 1995, 14(4), 439-458.
62. G.Z.Gershuni, D.V.Lyubimov, T.P.Lyubimova, B.Roux. Vibrational convection in a heated liquid bridge with a free surface. C. R. Acad. Sci. Paris, 1995, t.320, Serie lib, pp. 225-230.
63. Lyubimov D.V., Lyubimova T.P., Roux B. Mechanisms of vibrational control of heat transfer in a liquid bridge. Int. J. Heat Mass Transfer. Vol. 40, No. 17, pp. 4031-4042, 1997.
64. Anilkumar A.V., Grugel R.N., Shen X.F., Lee C.P. and Wang T.G. Control of ther-mocapillary convection in a liquid bridge by vibration. J. Appl. Phys., 73(9), 41654170, 1993.
65. Mollot D.J., Tsamopoulos J., Chen T.Y., Ashgriz N. Nonlinear dynamics of capillary bridge experiments. J. Fluid Mech., 1993, 255,411.
66. Grugel R.N., Shen X.F., Annilkumar A.V., Wang T.G. J. The influence of vibration on microstructural uniformity during floating-zone crystal growth. Crystal Growth, 1994, 142,209-214.
67. Lee C.P., Anilkumar A.V., Wang T.G. Streaming generated in a liquid bridge due to nonlinear oscillations driven by the vibrations of an endwall. Phys. Fluids, 1996, 8(12), pp. 3234-3246.
68. D. Schwabe, Crystals, vol. 11, Springer, Berlin, 1988, p. 75.
69. J.-C. Chen, G.-H. Chin. Linear stability analysis of thermocapillary convection in the floating zone. Journal of Crystal Growth 154 (1995) 98-107.
70. С.-И. Chun, W. Wuest, Experiments on the transition from the steady to the oscillatory Marangony-convection of a floating zone under reduccd gravity effect, Acta Astronaut. 6,1073 (1979).
71. S. Ostrach, Y. Kamotani, C.L. Lai. Oscillatory thermocapillary flows, Physicochem. Hydrodyn. 6,585(1985).
72. F. Preisser, D. Schwabe, A. Scharmann, 'Steady and oscillatory thermocapillary convection in liquid columns with free cylindrical surface', J. Fluid Mech. 126, 545 (1983).
73. H.C. Kuhlmann, H.J. Rath, 'On the interpretation of phase measurements of oscillatory thermocapillary convection in liquid bridges', Phys. Fluids A 5,2117 (1993).
74. R. Velten, D. Schwabe, A. Sharmann, 'The periodic instability of thcrmocapillary convection in cylindrical liquid bridges', Phys. Fluids A 3,267 (1991).
75. Y.K. Yang, S. Kou. Temperature oscillation in a tin liquid bridge and critical Maran-goni number dependency on Prandtl number. Journal of Crystal Growth 222 (2001) 135-143.
76. Y. Shen, G.P. Neitzel, D.F. Jankowski, H.D. Mittelmann, J. Fluid Mcch. 217 (19990) 639.
77. G.P. Neitzel, C.C. Law, D.F. Jankowski, H.D. Mittelmann, Phys. Fluids A 3 (1991) 2841.
78. J.J. Xu, S.H. Davis, Phys. Fluids 27 (1984) 1102.
79. G.P. Neitzel, K.T. Chang, D.F. Jankowski, H.D. Mittelmann, Phys. Fluids Л 5 (1993) 108.
80. H.C. Kuhlmann, H.J. Rath, J. Fluid Mech. 247 (1993) 247.
81. Convective instability mechanisms in thermocapillary liquid bridges. M. Wanschura, V.M. Shevtsova, H.C. Kuhlmann and H.J. Rath. Phys. Fluids 7 (5), May 1995, 912925.
82. R. Rupp, G. Muller, G. Neumann, J. Crystal Growth 97 (1989) 34.
83. M. Levenstam, G. Amberg, J. Fluid Mech. 297 (1995) 357.
84. J. Lcypoldt, H.C. Kuhlmann, H.J. Rath. 'Three-dimencional numerical simulation of thcrmocapillary flows in cylindrical liquid bridges'. J. Fluid Mcch. 414 (2000), 285.
85. J. Leypoldt, H.C. Kuhlmann, and H.J. Rath. Stability of hydrothermal-wavc states. Adv. Spacc Res. Vol. 29, No. 4, pp. 645-650.2002.
86. Z. Zeng, II. Mizuseki, K. Shimamura, K. Higashino, T. Fukuda, Y. Kawazoe. Maran-goni convection in model of floating zone under Microgravity. Journal of Crystal Growth 229 (2001)601-604.
87. R. Savino, R. Monti, 'Oscillatory Marangoni convection in cylindrical liquid bridges', Pys. Fluids 8 (1996), 2906-2922.
88. R. Monti, R. Fortezza, D. Castagnolo, D. Desiders. 1994 The Telemaxus experiment on oscillatory Marangoni flow. ESA SP 1132, vol. 4, pp 44-59.
89. R. Monti, C. Albanese, L. Carotenuto, D. Castagnolo, E. Ceglia. 1995 First results from the Onset experiment during Spacelab mission D-2. Scientific Results of the German Spacelab Mission D-2, pp.247-258.
90. H.C. Kuhlmann, С. Nienhiiser, H.J. Rath, and S. Yoda. Influence of the volume of * liquid on the onset of three-dimensional flow in thermocapillary liquid bridges. Adv.
91. Space Res. Vol. 29, No. 4, pp. 639-644.2002.
92. H.C. Kuhlmann, Ch. Nienhiiser. Dynamic free-surface deformations in thermocapillary liquid bridges. Fluid Dynamics Research 31 (2002) 103-127.
93. M. Levenstam, G. Amberg. 1995 Hydrodynamical instability of thermocapillary flow in a half-zone. J. Fluid Mech. 297, 357-372.
94. V.L. Griaznov. CFD Simulation of the Oscillatory Floating -Zone convection for high Prandtl numbers. Proceedings of the Microgravity Science and Applications Session. Moscow, IPM RAS, NASA, 1995 , 113-118.
95. S. Yasuhiro, N. Imaishi, H. C. Kuhlmann, and S. Yoda. Numerical simulation of three-dimensional oscillatory thermocapillary flow in a half zone of Pr=l fluid. Adv. Space Res. Vol. 24, No. 10, pp. 1385-1390, 1999.
96. N. Imaishi, S. Yasuhiro, Y. Akiyama, S. Yoda. Numerical simulation of oscillatory Marangoni flow in half-zone liquid bridge of low Prandtl number fluid. Journal of Crystal Growth 230 (2001) 164-171.
97. C.W. Lan, J.H. Chian. Three-dimensional simulation of Marangoni flow and interfaces in floating-zone silicon crystal growth. Journal of Crystal Growth 230 (2001) 172-180.
98. Shevtsova V.M., Ermakov M.K., Ryabitskii E., Legros J.C. Oscillations of a liquid bridge free surface due to the thermal convection. Acta Astronautica. Vol. 41, Nos 410, pp. 471-479, 1997.
99. V. M. Shevtsova, M. Mojahed and J.C. Legros. The loss of stability in ground based experiments in liquid bridges. Acta Astronautica Vol. 44, Nos. 7-12. pp. 625-634, 1999.
100. Z.M. Tang, W.R. Hu, N. Imaishi. Two bifurcation transitions of the floating half zone convection in a fat liquid bridge of larger Pr. International Journal of Heat and Mass Transfer, 44 (2001) 1299-1307.
101. Q.S. Chen, W.R. Ни, V. Prasad. Effect of liquid bridge volume on the instability in small-Prandtl-number half zones. Journal of Crystal Growth 203 (1999) 261-268.
102. S. Yasuhiro, N. Imaishi, Y. Akiyama, S. Fujino, S. Yoda. Oscillatory Marangoni flow in half-zone liquid bridge of molten tin supported between two iron rods. Journal of Crystal Growth, article in press.
103. V.M. Shevtsova, D.E. Melnikov, M. Mojahed, J.C. Legros. Effect of ambient conditions near the interface on flow instability. Available online at wwAv.sciencedirect.com. Manuscript accepted 21 March 2003.
104. M. Wanschura, H.C. Kuhlmann, V.M. Shevtsova and H.J. Rath. Thermo- and solu-tocapillary convection in a cylindrical liquid bridge: stability of steady axisymmetric now. Adv. Space Rev. Vol. 16, No. I. pp. (7)75-(7)78,1995.
105. J.-J. Xu and S.H. Davis, 'Convective thermocapillary instabilities in liquid bridges', Phys. Fluids 27, 1102(1984).
106. The periodic instability of thermocapillary convection in cylindrical liquid bridges. R. Velten, D. Schwabe and A. Scharmann. Phys. Fluids A 3 (2), February 1991, 267279.
107. II. C. Kuhlmann, M. Wanschura, V. Shevtsova and H. J. Rath. Energy analysis of some flow instabilities in liquid bridges. Adv. Space Res. Vol. 16, No. 7, pp. (7)15-(7)22, 1995.
108. G. Chen, A. Lizee, B. Roux. Bifurcation analysis of the thermocapillary convection in cylindrical liquid bridges. Journal of Crystal Growth 180 (1997) 638-647.
109. V.I. Polezhaev, О.Л. Bessonov, S.A. Nikitin. Dopant inhomogencitics due to Convection in Microgravity: Spatial Effects. Adv. Space Res., 1998,22 (8), 1217.
110. О.Л. Бессонов, В.А. Брайловская, В.И. Полежаев. Пространственные эффекты конвекции в расплавах: концентрационные однородности, возникновение не-симмстрии и колебания. Изв. РАН, МЖГ N 3, 1997, 74-82.
111. De N. Leon, J. Guldberg, J. Sailing. 1981. J. Crystal Growth, 55:406.
112. M. Prangc, M. Wanschura, H.C. Kuhlmann and H.J. Rath. Linear stability of thermocapillary convection in cylindrical liquid bridges under axial magnetic fields. J. Fluid Mech. (1999), vol. 394,281-302.
113. P. Dold, A. Croll, M. Lichtensteiger, Th. Kaiser, K.W. Benz, J. Crystal Growth 231 (2001)95.
114. Numerical Study of GEZON Experiment. G. Chen, B. Roux, D. Camel, P. Tison, J.P. Garandet, J.J. Favier, A.S. Senchcnkov and R. Moreau. Microgravity sci. technol. VI1/2 (1994), 120-123.
115. J.S. Walker, L.M. Witkowski, B.C. Houchens, 'Effects of a rotating magnetic field on the thermocapillary instability in the floating zone process', Journal of crystal Growth 252 (2003)413-423.
116. С.W. Lan, B.C. Yeh. Three-dimensional simulation of heat flow, segregation, and zone shape in floating-zone silicon growth under axial and transversal magnetic fields. Journal of Crystal Growth, article in press.
117. B. Fischer, J. Friedrich, H. Weimann, G. Muller. The use of time-dependent magnetic fields for control of convective flows in melt growth configurations. Journal of Crystal Growth 198/199 (1999) 170-175.
118. Chun Ch.-H, Marangoni convection in a floating zone under reduced gravity, J. Crystal Growth 48 (1980) 600-610.
119. Kamotani N., Kim J., Effect of zone rotation on oscillatory thermocapillary low in simulated floating zones, J. Crystal Growth 66 (1984) 63-72.
120. Y.-S. Lee, H.C. Kuhlmann, Ch.-H. Chun, Hydrodynamic stability in cylindrical thermocapillary liquid bridges with cold-wall rotation. 4th international Workshop on Modeling in Crystal Growth, November 2003, Abstracts.
121. Effects of high frequency vibration on critical Marangoni number. II. Tang and W.R. Hu. Adv. Space Res. Vol. 16, No 7, pp. (7)77-(7)74, 1995.
122. Jose A. Nicolas, Jose M. Vega. Weakly nonlinear oscillations of nearly inviscid axi-symmetric liquid bridges. J. Fluid Mech. (1996), vol. 328, pp. 95-128
123. Д. ВЛюбимов, Т.П. Любимова, Н.И. Лобов, Р.В. Скуридин. Об адвективном течении в горизонтальном канале прямоугольного сечения. 11-я Международная зимняя школа по механике сплошных сред. Тезисы докладов, Книга 2, Пермь, 1997, С. 199.
124. Н.И. Лобов, Д.В. Любимов, Т.П. Любимова, Р.В. Скуридин. Об адвективном течении в горизонтальном канале прямоугольного сечения. Гидродинамика, вып. 11, Пермь, ПГУ, 1998, С. 167-175.
125. Д.В. Любимов, Т.П. Любимова, Н.И. Лобов, Р.В. Скуридин. Об устойчивости адвективного течения в горизонтальном канале. Зимняя Школа по механике сплошных сред (двенадцатая). Тезисы докладов. Пермь, 1999, С.218.
126. Д.В. Любимов, Т.П. Любимова, В.А. Демин, Р.В. Скуридин. Равновесная форма, устойчивость и вибрационная динамика жидкой зоны. 1-я Российская конференция ио космическому материаловедению. 10-12 ноября 1999, Калуга, Программа. Тезисы докладов, С.50.
127. D.V. Lyubimov, T.P. Lyubimova, R.V. Scuridyn, K. Benz, A. Croel, P. Dold, B. Roux. First International Symposium on Microgravity Research & Applications in Physical Sciences and Biotechnology, 10-15 September 2000, Sorrento, Italy. Abstracts, p. 108.
128. D. Lyubimov, T. Lyubimova, R. Scuridyn, B. Roux. Deformations and flows in isothermal liquid bridge subjected to high frequency vibrations. 33rd Scientific Assembly of COSPAR, 16-23 July 2000, Warsaw, Poland, Abstracts.
129. Д.В. Любимов, Т.П. Любимова, P.B. Скуридии. Устойчивость адвективного течения в горизонтальном канале. Устойчивость течений гомогенных и гетерогенных жидкостей. Вып. 7, Под ред. проф. В.Я.Рудяка, Новосибирск, 2000, с.56-58.
130. P. Dold, KW. Benz, А. СгбИ, В. Roux, D. Lyubimov, Т. Lyubimova, R. Scuridyn: Vibration controlled convection preparation and perspectives of the Maxus 4 experiment, Acta Astronautica, 2001,48, 5-12, pp.639-646.
131. T.P. Lyubimova, R.V. Scuridin, A. Croell, P. Dold. Influence of high frequency vibrations on fluid flow and heat transfer in a floating zone. Crystal Research and Technology, 2003, vol.38, N 7-8, pp.635-653.
132. T.P. Lyubimova, R.V. Scuridin. High-frequency vibration influence on a stability of thermocapillary flow in a liquid zone. Int. Conference «Advanced Problems in Thermal Convection» Perm, 24-27 November, 2003. Abstracts, C. 169-170.
133. P. В. Скуридин. Численное исследование тепло- и массообмена при выращивании кристаллов методом плавающей зоны при воздействии высокочастотных вибраций. Конференция НОЦ 'Неравновесные процессы в сплошных средах'. Тезисы докладов. Пермь, 2003, с. 84.
134. Numerical Implementation of a Package for Studying Linear Instability of Non-unidimensional Flows. Dmitry V. Lyubimov, Tatyana P. Lyubimova , Vitali A. Morozov.
135. J.F. Thompson, F.C. Thames, and C. W. Mastin, J. Comput. Phis. 15, 299 (1974).
136. Rivas Damian, Haya Rodrigo. Journal of Crystal Growth, 1999
137. Dold P. Ph.D. Thesis, Albert-Ludwigs-Universitat, Freiburg, 1994
