Волны солитонного типа в одномерных дискретных системах свободных от потенциала Пайерлса-Набарро тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.07 ВАК РФ
|
Бебихов, Юрий Владимирович
АВТОР
|
||||
|
кандидата физико-математических наук
УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ
|
||||
|
Барнаул
МЕСТО ЗАЩИТЫ
|
||||
|
2010
ГОД ЗАЩИТЫ
|
|
01.04.07
КОД ВАК РФ
|
||
|
|
||||
На правах рукописи
БЕБИХОВ ЮРИИ ВЛАДИМИРОВИЧ
ВОЛНЫ СОЛИТОННОГО ТИПА В ОДНОМЕРНЫХ ДИСКРЕТНЫХ СИСТЕМАХ СВОБОДНЫХ ОТ ПОТЕНЦИАЛА ПАЙЕРЛСА-НАБАРРО
Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук
Специальность 01 04 07 - физика конденсированного состояния
004602594
Барнаул -2010
004602594
Работа выполнена в Алтайском государственном техническом университете и в Институте проблем сверхпластичности металлов РАН
Научный руководитель
доктор физико-математических наук, Дмитриев Сергей Владимирович
Официальные оппоненты
доктор физико-математических наук, профессор, Колупаева Светлана Николаевна
доктор физико-математических наук, профессор, Попов Валерий Андреевич
Ведущая
организация Институт механики сплошных сред УрО РАН, г Пермь
Защита состоится 27 апреля 2010 г в 12 час на заседании диссертационного совета Д212 004 04 при Алтайском государственном техническом университете по адресу 656038, г Барнаул, пр Ленина, 46
С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Алтайского государственного технического университета
Автореферат разослан «13» марта 2010 г
Примечание отзывы на автореферат, заверенные гербовой печатью организаций, просим присылать в 2-х экз на адрес университета
Ученый секретарь диссертационного совета, кандидат физико-математических наук
Романенко В В
ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ
Актуальность проблемы. Теоретическое изучение дискретных систем является традиционным в физике конденсированного состояния, например, при изучении колебательных спектров идеальных кристаллов, а также колебательных мод, локализованных вблизи дефектов кристаллической структуры В последние несколько десятилетий необычайно вырос интерес к задачам, где смещения атомов от решеточных положений значительны и требуется учет нелинейных слагаемых в разложении сил межатомных взаимодействий Нелинейные дискретные системы, по сравнению с линейными, проявляют целый ряд качественно новых физических свойств, среди которых одним из важнейших является возможность существования в них волн солитонного типа (ВСТ) ВСТ необычайно устойчивы по отношению к возмущениям и, в случаях близких к интегрируемым, взаимодействуют друг с другом почти упруго, то есть восстанавливают свои свойства после столкновения Таким образом, ВСТ способны эффективно осуществлять перенос энергии, импульса, вещества, электрического заряда и др, что и делает их исключительно важными для физики конденсированного состояния Такого рода волны возможны и в континуальных нелинейных системах, но дискретность среды вносит заметные корректировки в их свойства и даже может приводить к появлению качественно новых свойств С математической точки зрения, дискретизация приводит к потере трансляционной симметрии системы, а в физическом плане это проявляется в появлении периодического потенциала, который ВСТ вынуждена преодолевать при движении воль кристалла от одной ячейки периодичности к другой В теории дислокаций этот потенциал получил название потенциала Пайерлса-Набарро (пПН), и позже этот термин стал использоваться и в других приложениях Революцией в теории нелинейных дискретных систем стало открытие Тодой полностью интегрируемой цепочки [1], где кин-ковые решения не испытывают действия пПН В последствии были открыты и другие интегрируемые дискретные нелинейные цепочки, например, цепочка Абловица-Ладика [2], но все же число таких систем остается весьма ограниченным С другой стороны, известен ряд неин-тегрируемых нелинейных дискретных уравнений, допускающих точные решения, например, уравнения, сводящиеся к нелинейному отображению Квиспела-Робертса-Томпеона [3] Роль таких решений, как в теории нелинейных дискретных систем, так и в их физических приложениях весьма значительна
В последние десятилетия дискретные нелинейные системы привлекают все большее внимание в различных разделах физики, например, в физике фазовых превращений, физике пластической деформации, в
нелинейной оптике, в физике Бозе-Эйнштейновского конденсата, при исследовании волн кальция в живых клетках, сверхпроводящих Джозеф-соновских контактов, и в целом ряде других областей [4-6] Дискретность материи на молекулярном и атомарном уровне становится заметной при работе с наноразмерными системами
Таким образом, весьма актуальными являются следующие задачи, рассматриваемые в настоящей работе
- построение дискретных аналогов для уравнения Клейн-Гордона и нелинейного уравнения Шредингера, для которых статические (стационарные) задачи сводятся к интегрируемым отображениям, используя методологию, предложенную в работе [7],
- изучение законов сохранения полученных дискретизаций,
- полуаналитическое и численное исследование свойств ВСТ для таких дискретных моделей,
- физическая интерпретация полученных результатов
Цель и задачи исследования:
Целью диссертационной работы является исследование волн со-литонного типа в нелинейных дискретных уравнениях Клейн-Гордона и Шредингера без потенциала Пайерлса-Набарро
Для достижения данной цели возникает необходимость решения следующих задач
1 Построение дискретных аналогов уравнения Клейн-Гордона и нелинейного уравнения Шредингера, для которых статические решения свободны от потенциала Пайерлса-Набарро
2 Получение и всесторонний анализ некоторых решений этих уравнений
3 Физическая интерпретация полученных уравнений и их решений в контексте физики конденсированных сред
Научная новизна:
1 Впервые построена дискретная модель Клейн-Гордона без потенциала Пайерлса-Набарро с асимметричным локальным потенциалом
2 Исследован ратчет кинка в этой дискретной модели при отсутствии и при наличии вязкости и показано, что скорость дрейфа кинка очень слабо зависит от параметра дискретности, и что при достаточно большом значении коэффициента вязкости происходит смена направления движения кинка
3 Для обобщенного дискретного нелинейного уравнения Шредингера исследованы законы сохранения энергии, нормы и импульса, и получен ряд новых точных решений, как в замкнутой форме, так и в виде двухточечных нелинейных отображений
Научная и практическая ценность работы:
1 Результаты исследования свойств кинковых решений свободных от потенциала Пайерлса-Набарро в дискретной модели Клейн-Гордона с асимметричным потенциалом, а также получение целого ряда точных решений обобщенного дискретного нелинейного уравнения Шредингера представляют несомненную научную ценность работы
2 С практической точки зрения, отсутствие потенциала Пайерлса-Набарро в исследованных дискретных моделях приводит к высокой подвижности топологических солитонов, что означает повышенные транспортные свойства таких моделей Исследованные уравнения находят широкое применение в физике конденсированного состояния при описании свойств топологических дефектов кристаллов (доменные стенки, дислокации), а также в других разделах физики
На защиту выносятся следующие положения:
1 Ратчет кинковых решений свободных от пПН в дискретной модели Клейн-Гордона существенно отличается от такового в дискретной модели с пПН В частности, было показано, что в модели без пПН скорость дрейфа кинка очень слабо зависит от параметра дискретности и дрейф кинка наблюдается при сколь угодно малом значении амплитуды внешней периодической силы Дрейфовая скорость кинка меняет знак при достаточно большом значении коэффициента вязкости
2 Получен ряд новых точных решений обобщенного дискретного нелинейного уравнения Шредингера в явной форме и в форме двухточечных нелинейных отображений, а также перечень некоторых законов сохранения этого уравнения
Апробация работы Основные результаты работы докладывались на следующих научных форумах X Международная школа-семинар "Эволюция дефектных структур в конденсированных средах" (ЭДС -2008), 8-12 сентября 2008, г Барнаул, г Бийск, Всероссийская молодежная научная конференция «Мавлютовские чтения», 28-29 октября 2008, г Уфа, Международная научно-практическая конференция "Проблемы и перспективы развития литейного, сварочного и кузнеч га-штамповочного производства", ноябрь 2008, г Барнаул, Всероссийская научная конференция студентов, аспирантов и молодых ученых "Наука Технологии Инновации" (НТИ-2008), 4-7 декабря 2008, г Новосибирск, Международый симпозиум «Перспективные материалы и технологии» 25-29 мая 2009, г Витебск, Беларусь, X Международная научно-техническая уральская школа-семинар металловедов - молодых ученых, 711 декабря 2009, г Екатеринбург
Публикации Результаты исследований опубликованы в 14 печатных работах
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, двух приложений и списка литературы из 126 наименований Работа изложена на 135 страницах машинописного текста, содержит 15 рисунков
СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ
Во введении обоснована актуальность исследуемой проблемы, сформулирована цель диссертационной работы, описаны научная новизна, практическая ценность и основные защищаемые положения Дается краткое содержание работы по главам
В первой главе дан обзор работ, где рассматриваются нелинейные дискретные уравнения, их физические приложения, методы построения и анализа точных решений таких уравнений, а также формулируются открытые проблемы, на частичное решение которых направлено данное диссертационное исследование
Вторая глава диссертации посвящена построению дискретного аналога уравнения Клейн-Гордона с асимметричным потенциалом по методике [7], описанной в разделе 2 1 В разделе 2 2 данная методика впервые применена к построению модели с несимметричным локальным потенциалом
Континуальная модель Клейн-Гордона имеет гамильтониан
о)
где ф(х,1) неизвестное поле, а У(ф) заданный потенциал Соответствующее уравнение движения имеет вид
Ф.=ФВ-У'(Ф) (2)
Дискретизируем уравнения (1) и (2) по переменной хп — Ип, где п - 0, ±1, ±2, , а й>0 - шаг решетки Выпишем традиционную дискретизацию уравнения (2)
Фп ~~7т(Фп-1 ~ + Фп+\) ~ У'(Ф„) > О)
п
где кинковые решения испытывают пПН
Дискретизация, допускающая кинковые решения свободные от пПН, имеет вид [7]
д д
К = -V (Л, ф„.} > ТГ У (/?> ( А> Фп > Фп+1 )тгЛ1г>Фп> Фп+1 ) '
оф„
(4)
где
Выбрав локальный потенциал в виде
У{ф) = -(афА +Ьф2 +сф + ё) ,
(6)
(7)
где а,Ь,с,с1 - константы, конкретизируем представленные выше дискретизации
06
Рис 1 Потенциал (7) для Ь = 0 при а = -\, с = 0, с1 = \ (пунктирная линия), а = -0 83988, с = 0382925, й = 0 860756 (штрих пунктирная линия), а = -0 643049, с = 0 626843, с1 = 0 706344 (сплошная линия)
Простая дискретная модель Клейн-Гордона (3) с потенциалом (7) (обозначим ее как ДМКГ1) имеет вид
Фп =¿-(4,-.-2Фп +0-К +ЬФп + СФ» +^)(4аф:+2Ьфп +с) (8)
Гамильтониан ДМКГ1 имеет вид
нг -ф^Наф^Ьф; + сф„ + </)2} (9)
Более сложная дискретная модель Клейн-Гордона (ее обозначим ДМКГ2) определяется формулой (4), где для потенциала (7) имеем
(10)
Гамильтониан ДМКГ2 имеет вид
н2=^{ф:+ЫФ„.Л,)]2} (п)
п
За асимметрию потенциала (7) отвечает параметр с На рис 1 потенциал изображен для различных значений параметров Численные расчеты в данной работе будут проводиться при следующих значениях параметров а--0 643049, Ъ -0, с = 0 626843, й = 0 706344
Асимметрия потенциала предполагает наличие двух различных вакуумных решений фп — фх и фп = ф2, где ф1 и ф2 координаты двух минимумов потенциала Мало-амплитудные фононные колебания вида фп ~ ехр[/(ди - су/] , где с} - волновое число и со - частота, имеют различный спектр для различных вакуумов
Границы фононного спектра для каждого вакуума ДМКГ2 могут быть найдены по формулам
аи = 28аф' + 30аЬф' + 20асф] + 3(2Ь2 + Ш)ф] + 6Ьсф + с2 + 2Ы, (12)
(и2
28а 4 4асф1
<а ,,=-- + 2 аЬф +-- + 6
25 ' 5
Ъ1 2 ас! — + —
9 5 у
2 Ьсф 2 Ьс1 4
—+—, (13)
где г = 1,2, а сои (со21) соответствует q = Q = к)
Для ДМКГ1 граница спектра, соответствующая д = 0 , совпадает с сох ( в ДМКГ2, тогда как со21, соответствующая с\ — п, может быть найдена по формуле
а21 = 28 аф' + 30 аЬф* + 20 асф' + 3(2 Ь2 + 4ас1)ф2 + 6Ьсф, + с + 2Ьс1 + ^
И2
(14)
В разделе 2 3 описаны численные и полуаналитические процедуры, используемые при построении равновесных кинковых решений для ДМКГ1 и ДМКГ2 Для модели ДМКГ1, заданной уравнением движения (8), метод нахождения точных статических кинковых решений не известен, и приходится прибегать к численным методам Среди таких методов наиболее популярными являются метод стрельбы и градиентный метод Для ДМКГ2 статические кииковые решения могут быть найдены итерационно из двухточечного отображения v(<pn ,,ф„) = 0, левая часть которого задана выражением (10) В качестве начального значения можно выбрать любое (рп (или (рп {), лежащее между двумя минимумами потенциала Таким образом, статическая задача для ДМКГ2 имеет континуум решений, параметризованных выбором начального значения отображения Этот факт говорит об отсутствии пПН в такой модели, поскольку равновесный кинк может быть размещен произвольно относительно решетки
В третьей главе, в разделах 3 1 и 3 2, исследуются свойства кинковых решений дискретной модели Клейн-Гордона, построенной во второй главе, а в разделах 3 3 и 3 4 изучается ратчет (ratchet) кинка при действии внешней силы, изменяющейся во времени по гармоническому закону
Рис 2 Спектр малоамплитудных колебаний цепочки, содержащей кинк, для различных значений параметра дискретизации решетки Л (а) модель с пПН, (б) модель без пПН Здесь и далее параметры локального потенциала а = -0.643049, Ъ = 0, с = 0 626843, Л = 0 706344.
Ратчетом называется движение частицы в определенном направлении под действием силы, изменяющейся во времени и имеющей среднее нулевое значение Ратчет возможен при выполнении следующих двух условий система должна находиться в термодинамически неравновесном состоянии и пространственно-временная симметрия системы должна быть понижена [6] Ратчет представляет собой один из механизмов переноса вещества и активно изучается в приложении к самым разнообразным системам, например, в биологии, молекулярных двигателях, джозефсоновских сверхпроводящих контактах, нелинейной оптике, бо-зе-эйнштейновском конденсате и физике твердого тела Ратчет солито-нов впервые изучался Марчесони [8] для задемпфированного уравнения Клейн-Гордона В отличие от точечных частиц, солитоны могут иметь внутренние колебательные моды [9], которые могут оказывать существенное влияние на ратчет, особенно в случае малой вязкости Влияние дискретности на ратчет кинков изучалось в работе Золотарюка и Салер-но [10] Они показали, что учет дискретности приводит к появлению новых эффектов, например, к необходимости приложения внешней силы с амплитудой достаточной для преодоления пПН
Спектр малоамплитудных колебаний цепочки, содержащей кинк, для различных значений параметра дискретизации решетки И, изображен на рис 2, где (а) соответствует результату для модели с пПН, а (б) без пПН Пунктирная горизонтальная линия указывает нижнюю границу фононного спектра, которая совпадает для обеих моделей и может быть найдена из (12) при / = 1 На этих спектрах видны частоты колебательных мод, локализованных на кинках Обе модели имеют один и тот же континуальный предел и при малых значениях параметра дискретности (Л < 0 25) их спектры близки Кинк в модели с пПН при малых Л имеет трансляционную моду с частотой близкой к нулю С ростом Л частота этой моды растет и кинк теряет подвижность Модель без пПН имеет трансляционную моду с нулевой частотой для любого значения И Кроме того, кинки в обеих моделях имеют внутреннюю колебательную моду, частота которой зависит от Л, и при малых И равна примерно 1 35
Для изучения ратчета кинка добавим в правые части уравнений движения (4) и (8) гармоническую силу
^ = + (15)
с амплитудой А, частотой О и начальной фазой <р Начальные условия следующие имеется статический равновесный кинк и при 1 = 0 начинает действовать периодическая сила (15)
Ратчет без учета вязкости, случай когда движущая сила имеет малую амплитуду (А < 0 04) и частоту, лежащую вне фононного спектра
(точнее ниже фононного спектра) При несоблюдении этих условий будут активно возбуждаться фононные моды и изучение ратчета кинка станет невозможным
На рис 3 представлено влияние начальной фазы <р внешней силы (15) на динамику кинка для случая Л = 0 6, А = 0 4, 0 = 05 На панели (а) показаны примеры изменения во времени координаты кинка для ср = 0 и = я710 (осциллирующие линии) а также квадратичные параболы
*(/) = а/2 + о0/ + х0, (16)
построенные методом наименьших квадратов для этих траекторий Смысл коэффициентов параболы известен здесь а - ускорение, и0 и х0 - начальные скорость и положение частицы На панелях (б) и (в) даны а и иа как функции (р Видно, что если усреднить и0 по фазе, получится ноль, в то время как ускорение практически не зависит от (р и отлично от нуля В дальнейшем всегда будем полагать (р = О
о 100 200 зоо
/
Рис 3 Движение кинка для различных значений начальной фазы (р внешней силы (15) Параметры И = 0 6, А = 0 4, £1 = 05
На рис 4 представлено ускорение кинка как функция частоты движущей силы при различных значениях параметра А для А = 0 6 Вертикальная сплошная линия показывает частоту колебательной моды лока-
лизованной на кинке, а пунктирная показывает нижний уровень фонон-ного спектра Из рис 4 видно, что ускорение возрастает на два порядка, когда частота вынуждающей силы О приближается к значению частоты колебательной моды кинка со... = 1 32
1Е-3 1Е-4
а
1Е-5 1Е-6
О
Рис 4 Влияние частоты движущей силы О на ускорение кинка при различных значениях амплитуды А Начальная фаза </5 = 0, параметр дискретности // = 06
Результаты влияния оценки параметра дискретности Ь на зависимость ускорения кинка от частоты представлены на рис 5 Для О < 1 2, то есть в нерезонансной области частот, результаты для разных И близки друг к другу Различия наблюдаются в области частот вынуждающей силы, близких к частотам колебательных мод, локализованных на кинке, т е для > 1 2 (см рис 26)
Исследуется влияние вязкости на ратчет кинка в ДМКГ2, для чего в левую часть уравнения движения (4) добавляется член уфп, где у - коэффициент вязкости На рис 6 (а) показаны две траектории кинка х(7) для двух значений коэффициента вязкости, у = 0 1 (жирная линия) и у = 0.2 (тонкая линия) Видно, что кривые ;с(/) осциллируют с частотой вынуждающей силы, которая была выбрана равной П = 1 35 , и в установившемся режиме движения устанавливаются постоянные дрейфовые скорости кинка В данных расчетах предполагается А = 0 08 и И = 0 4 Скорость дрейфа кинка, которая обозначается через{ук} , измерялась на отрезке времени 300 < Г < 1000 в режиме установившегося движения Заметим, что для двух примеров, показанных на рис 6 (а),
^—' I---1—--1 > I—1—г
Л=0 6
ДКГМ2
Л=0 02 ,
\ ¡л*»*
_I___I_._I_I_I_._I.
0 02 04 06 08 10 12 14 16 18
п
дрейфовые скорости кииков оказываются разного знака Ратчет без учета вязкости всегда приводил к положительному ускорению кинка, так что изменение направления эффективной движущей силы, действующей на кинк, связано именно с наличием в системе вязкости
Рис 5 Зависимость ускорения кинка а от частоты движущей силы Г2 при различных значениях параметра дискретности /г для амплитуды А = 0 4 и начальной фазы <р = 0 Вертикальные сплошные линии - частоты колебательных мод кинка, пунктирная - граница фононного спектра
Влияние коэффициента вязкости у на скорость дрейфа кинка (Ук} показано на рис 6 (б) для трех различных значений амплитуд вынуждающей силы А Здесь использовалось П = 1 35 и /¡ = 04 Можно видеть, что для всех трех значений амплитуд, (¥к} положительно для малых у и становится отрицательным при достаточно больших значениях у При этом, с ростом у, отрицательное значение дрейфовой скорости сначала растет по абсолютной величине, а затем начинает уменьшаться, приближаясь к нулю Смена знака дрейфовой скорости происходит при значении у', которое растет с ростом амплитуды вынуждающей силы А
Значение у , при котором наблюдается максимальная отрицательная скорость, также растет с ростом А 80
79
78
77
76
0 50 100 150 200 Г
Рис 6 (а) Траектории кинка для двух значений коэффициента вязкости, 7 = 01 (жирная линия) и у = 02 (тонкая линия) для частоты вынуждающей силы равной О = 1 35 и А = 0 08 , к = 0.4 (б) Влияние коэффициента вязкости у на скорость дрейфа кинка (¥к ) для трех различных значений амплитуд вынуждающей силы А Здесь использовалось £2 = 135 и /г = 0 4
Таким образом, показано, что для кинка не испытывающегося пПН в модели с нелинейным локальным потенциалом под действием гармонической внешней силы, кинк движется равноускоренно до тех пор, пока его скорость не становится слишком большой и становятся заметными потери на излучение Ускорение кинка слабо зависит от параметра дискретности Л, что может быть объяснено только отсутствием пПН в данной модели При приближении частоты внешней силы к частоте собственной колебательной моды, локализованной на кинке, происходит рост ускорения кинка на два порядка При учете вязкости при изучении рат-чета кинка в ДМКГ2 было установлено, что дрейфовая скорость кинка меняется с положительной на отрицательную если значение коэффициента вязкости у оказывается больше некоторого значения
В четвертой главе рассматривается обобщенное дискретное нелинейное уравнение Шредингера с кубической нелинейностью
,у/п =-*>((//_-2<//„ +1//+)-/((//_,!//,, 1//+), (17)
где использована сокращенная форма записи Ц/_ - , Ц/+ = (//л+1, и
/, V,,) = а, ||//„ |:> „ + а2 \ц/п |2 (у/_ + у/+) + аУ (ц/'_ + «//)
Г +К Г ) + (+ Ч> У.) + <*У (у. + У?) +«7+«8(КГ +КГ у/.) + а9(у/'У +1/У) +«,о (к Г Ч>- + к| V*) + <*„ V. (к^. | + к^1) +«12 (у. 1 + к-У„ |) + а13 (|//+ к^ I + КУ. I) +а14(^+ к^ + У-к^!)'
(18)
с вещественными коэффициентами а, , удовлетворяющими условию континуального перехода
2(а2 +а3 +а4 +а5 + а6) +
+2 (а8 + а9 + а10 + а,, + а12 + а13 + а14) = ±2
Верхний (нижний) знак в (19) соответствует фокусирующей (дефокуси-рующей) нелинейности Отметим, что функция / , заданная выражением (18), была выбрана симметричной по отношению к перестановке у/_ <->!//+ Как уже отмечалось, представленная выше модель обобщает многие из вариантов ДНУШ, рассматривавшихся ранее в литературе
В разделе 4 3 1 описаны некоторые законы сохранения, выполняющиеся для рассматриваемого ДНУШ при определенных условиях, накладываемых на коэффициенты а1
Например, прямой подстановкой в выражение с!М /<:// = 0 несложно показать, что ДНУШ (17), (18) с произвольными а1,а2,а5,а6,а11,а12 , при выполнении условий а2 = а^ + а8 и а1 = а9 = а10 = аи = а14 = 0, сохраняет норму
^ = (20)
п
С другой стороны, если а2, сс14 произвольны, при а4 =аул-а6, а5 -а6, а7 =а4+а5, а10 = ан + а9, а12 = ап и а3 = аи = 0 , рассматриваемая модель сохраняет модифицированную норму
п
Кроме этого, если только а7 отлично от нуля при всех остальных а1 = 0 , то сохраняется другой вид модифицированной нормы
(22)
н
Далее, для произвольных а2 и а3, при а1 = а4 + а6, а5 =а6, аА = а5 + а7 , а8 = а9 + а10 и ап = а|2 = а13 = а14 = 0 , модель сохраняет импульс определенный оператором
(23)
п
При а5 и а1 произвольны и отличны от нуля, а все остальные = 0, то сохраняется импульс определенный оператором
(24)
п
В разделе 4 3 2 обсуждаются случаи, когда задача отыскания стационарных решений уравнения (17), (18) оказывается интегрируемой в том смысле, что она допускает сведение к двухточечному нелинейному отображению Важность двухточечных отображений состоит в том, что они позволяют получать точные решения соответствующих трехточечных уравнений итерационно, начиная с любого допустимого начального значения
В разделе 4 3 3 приводятся движущиеся точные решения уравнения (17), (18) в виде светлого и темного солитонов Например, решение, описывающее светлый солитон, имеет вид
ц) п = А ехр[-/(ш - кп + 5)] Бес (и - V/ + 8Х)], (25) при условии, что выполнены следующие соотношения
у/? = 2«^, ю = 2е(1-с,С),
ЦгС + £ = О, Л2 (£С - £ + £ / 2) = еБ2Ссх
(26)
Здесь 8 и (5, - произвольные постоянные, А, со,к, (3 и v обозначают амплитуду, частоту, волновое число, обратную ширину и скорость соли-тонного решения, соответственно, и для краткости записи использованы следующие обозначения
S =sinh(/?), С = cosh ( 0), T = tanh ( 0), 5,= sin s2 = sin(2&), s3 = sin (3k),
c,=cos(£), c2=cos(2A:), c3=cos(3/t), £ = (a2 + a3) c, + a,,, £ = a4 + a6c2 +ancv £ = 2 a,c2 + a7 + 2a, ,c,, £ = a9c3 + (a10 + au ) c,,
£ = «A - + . 1« = «6S2 + 2*1 В разделе 4 3 4 показано, что ДНУШ (17), (18) допускает целый ряд точных решений с коротким периодом, а также ряд точных апериодических решений
В разделе 4 3 5 рассматриваются вопросы устойчивости некоторых точных решений ДНУШ (17), (18), в частности, светлого и темного солитонов Показано, что и для светлых и темных солитонов существуют области параметров модели и параметров солитонов, где их движение устойчиво
Таким образом, для рассмотренного обобщенного ДНУШ (17), (18) был найден ряд законов сохранения, описаны случаи, когда стационарное уравнение интегрируемо, то есть, может быть сведено к двухточечному нелинейному отображению, выписаны условия существования точных движущихся решений в виде светлого и темного солитонов, получен ряд точных стационарных короткопериодических и апериодических решений, показано существование областей параметров модели и параметров солитонов, где их движение устойчиво
ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ
1 Построены две дискретные модели Клейн-Гордона (ДМКГ1 и ДМКГ2) с асимметричным потенциалом Модель ДМКГ1 является классической дискретизацией в то время как ДМКГ2 получена по методу дискретизированного первого интеграла [7] Для статической задачи модели ДМКГ2 может быть получен первый интеграл, имеющий вид двухточечного нелинейного отображения Статические кин-ковые решения могут быть найдены из этого отображения для любого допустимого начального значения Этот факт говорит об отсутствии потенциала Пайерлса-Набарро в такой модели, поскольку равновесный кинк может быть размещен произвольно относительно решетки
2 Показано, что свойства кинковых решений в ДМКГ1 и ДМКГ2 сильно отличаются, что можно объяснить наличием потенциала Пайерлса-Набарро в ДМКГ1 и его отсутствием в ДМКГ2 Кинк в ДМКГ2
имеет трансляционную моду с нулевой частотой для любого значения параметра дискретности ДМКГ1 имеет такую моду лишь при малых h Наличие трансляционной моды у кинка в ДМКГ2 при любом h свидетельствует о повышенных транспортных свойствах этой дискретной модели Кинки в ДМКГ2 не захвачены потенциалом Пай-ерлса-Набарро и, следовательно, они могут быть ускорены сколь угодно малым внешним полем
3 При изучении ратчета кинка в ДМКГ2 под действием гармонической вынуждающей силы было показано, что при отсутствии вязкости, под действием гармонической внешней силы кинк движется равноускоренно Ускорение кинка слабо зависит от параметра дискретности h При приближении частоты внешней силы к частоте собственной колебательной моды, локализованной на кинке, ускорение кинка увеличивается на два порядка При изучении ратчета кинка в ДМКГ2 с учетом вязкости было установлено, что дрейфовая скорость кинка меняется с положительной на отрицательную при коэффициенте вязкости выше некоторого значения
4 Для обобщенного дискретного нелинейного уравнения Шредингера (ДНУШ) с кубической нелинейностью получены законы сохранения нормы, импульса и энергии, показаны случаи, когда задача отыскания стационарных решений интегрируема, выписаны точные движущиеся решения в виде светлого и темного солитонов и показано, что существуют области параметров, где солитоны устойчивы, получен ряд точных короткопериодических и апериодических решений
ЛИТЕРАТУРА
1 ТодаМ Теория нелинейных решеток Изд-во М Мир - 1984 -262 С
2 Ablowitz, М J, Ladik, J F J Math Phys 16, 598 (1975) 293, ibid 17, 1011 (1976)
3 Quispel, G R W , Roberts, JAG, Thompson, С J Physica D 34, 183 (1989)
4 Encyclopedia of nonlinear science / Edited by A Scott - New York Routledge, 2005 - 1053 P
5 Белова T И , Кудрявцев A E Солитоны и их взаимодействия в классической теории поля//УФН - 1997 -Т 167 -№4 -С 377-406
6 Braun О М, Kivshar Y S The Frenkel-Kontorova model concepts, methods, and applications - Berlin Springer, 2004 - 472 P
7 Dmitriev, S V, Kevrekidis, P G, Yoshikawa, N, Frantzeskakis, D J Phys Rev E 74, 046609 (2006)
8 F Marchesoni, Phys Rev Lett 77, 2364 (1996)
9 Yu S Kivshar, D E Pelmovsky, T Cretegny, M Peyrard, Phys Rev Lett 80,5032(1998)
10 Y Zolotaryuk, M Salerno, Phys Rev E 73,066621 (2006) Основные результаты диссертации изложены в следующих работах:
1 Пожидаева О В , Дмитриев С В , Медведев Н Н , Бебихов 10 В , Самсонов А В , Старостенков М Д Локализованная колебательная мода в двумерном упорядоченном сплаве // Фундаментальные проблемы современного материаловедения, Барнаул -2007 -Т 4 -№4 -С 102-107
2 Бебихов Ю В , Дмитриев С В , Старостенков М Д Точные статические
решения двух дискретных трансляционно-инвариантных моделей фА II Фундаментальные проблемы современного материаловедения, Барнаул -
2007 -Т 4 -№4 -С 7-12
3 Бебихов Ю В , Дмитриев С В , Старостенков М Д Свойства трансляци-онно-ннвариантных кинковых решений дискретных моделей фА II Фундаментальные проблемы современного материаловедения, Барнаул - 2008 -Т 5 -№4 - С 105-108
4 Бебихов Ю В , Старостенков М Д Подвижность кинков в трансляционно-инвариантных дискретных моделях фА II Материалы всероссийской научной конференции молодых ученых "Наука Технологии Инновации", 4-7 декабря 2008, г Новосибирск / Часть 1 - 2008 - С 65-66
5 Бебихов Ю В , Старостенков М Д Трансляционно-инвариантные дискретизации уравнения Клеин-Гордона // Тезисы докладов Всероссийской молодежной научной конференции «Мавлютовские чтения», 28-29 октября
2008 г Уфа /Уфа -2008 - С 112,
6 Бебихов Ю В Дискретное уравнение Шредингера с кубической нелинейностью, допускающее точные решения 9-я Международная научно-практическая конференция 12-13 декабря 2008, г Барнаул Изд-во Алтайского госуд техн ун-та - 2008 - С 76
7 Дмитриев С В , Кхаре А , Сучков С В , Бебихов Ю В Ратчет кинка в дискретной модели Клеин-Гордона свободной от потенциала Пайерлса-Набарро // Фундаментальные проблемы современного материаловедения, Барнаул -2009 - Т 6 -№ 1 -С 90-95
8 Бебихов Ю В , Дмитриев С В, Кхаре А Законы сохранения и точные стационарные решения обобщенного дискретного нелинейного уравнения Шредингера // Фундаментальные проблемы современного материаловедения, Барнаул -2009 -Т6-№3-С 55-58
9 Бебихов Ю В , Дмитриев С В , Самсонов А В , Старостенков М Д Моделирование сетки дислокаций несоответствия на границе медь/сапфир // ВестникСибГУТИ -2009 -№3 -С 23-31
/О
и гv
10 Бебихов Ю В , Дмитриев С В , Сучков С В , Старостенков М Д Ратчет кинков в дискретной цепочке без потенциала Пайерлса-Набарро // Тезисы докладов Международного симпозиума «Перспективные материалы и технологии», 25-29 мая 2009, Витебск, Беларусь - С 175
11 Сучков С В , Бебихов IO В , Дмитриев С В Влияние вязкого трения на ратчет кинка в в дискретной модели Клейн-Гордона свободной от потенциала Пайерлса-Набарро // Фундаментальные проблемы современного материаловедения, Барнаул -2009 - Т 6 -№4 - С 109-113
12 Бебихов Ю В , Дмитриев С В Моделирование несоразмерной фазы в 2D модели с частицами конечных размеров // Сборник трудов X Международной научно-технической уральской школы-семинара металловедов - молодых ученых, 7-11 декабря 2009, г Екатеринбург / Екатеринбург - 2009 - С 199201
13 Bebikhov Yu V, Dmitriev S V , Suchkov S V , Khare A Effect of damping on kink ratchets in the Klein-Gordon lattice free of the Peierls-Nabarro potential - Physics Letters A -2010 -V 374 -P 1477-1480
14 Баимова Ю A , Бебихов 10 В , Дмитриев С В , Кхаре А , Потекаев А И Трансляционно-инвариантные кинковые решения дискретных моделей
фА //Изв вузов Физика -2010 -№3 -С 20-25
Подписано в печать2602 Юг Формат60x84 1/16 Печать - цифровая Уел п л 2,0 Тираж 100 экз Заказ 2010 - 126
Отпечатано в типографии АлтГТУ 656038, г Барнаул, пр-т Ленина, 46 Лицензия на полиграфическую деятельность ПЛД№ 28-35 от 15 07 1997 г
ВВЕДЕНИЕ.
1. НЕКОТОРЫЕ ТОЧНО РЕШАЕМЫЕ НЕЛИНЕЙНЫЕ ДИСКРЕТНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПРИЛОЖЕНИЯМИ В ФИЗИКЕ КОНДЕНСИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ.
1.1. Нелинейные дискретные физические системы и способы их описания.
1.2. Обзор литературы.
1.2.1. Способы построения дискретных аналогов нелинейных уравнений математической физики, обладающих рядом особых свойств.
1.2.2. Свойства солитонных решений в дискретных моделях свободных от потенциала Пайерлса-Набарро.
Выводы.
2. ПОСТРОЕНИЕ ДИСКРЕТНОГО УРАВНЕНИЯ КЛЕЙН-ГОРДОНА С АССИММЕТРИЧНЫМ ПОТЕНЦИАЛОМ, ДОПУСКАЮЩЕГО КИНКОВЫЕ РЕШЕНИЯ, СВОБОДНЫЕ ОТ ПОТЕНЦИАЛА ПАЙЕРЛСА-НАБАРРО
2.1. Дискретизация, использующая ДНИ.
2.2. Две дискретные модели Клейн-Гордона с асимметричным потенциалом.
2.3. Нахождение статических кинковых решений уравнений ДМКГ1 и
ДМКГ2.
Выводы.
3. СВОЙСТВА КИНКОВЫХ РЕШЕНИЙ В ДИСКРЕТНЫХ МОДЕЛЯХ КЛЕЙН-ГОРДОНА С АСИММЕТРИЧНЫМ ПОТЕНЦИАЛОМ. РАТЧЕТКИНКОВ.
3.1. Форма кинков.
3.2. Колебательные спектры кинкоз.
3.3. Ратчет (ratchet) кинка при отсутствии вязкости.
3.4. Ратчет кинка при наличии вязкости в ДМКГ2.
Выводы.
4. ОБОБЩЕННОЕ ДИСКРЕТНОЕ НЕЛИНЕЙНОЕ УРАВНЕНИЕ ШРЕДИНГЕРА СВОБОДНОЕ ОТ ПОТЕНЦИАЛА ПАЙЕРЛСА-НАБАРРО.
4.1. Известные дискретизации НУШ свободные от потенциала Пайерлса-Набарро.
4.2. Конкретизация на случай кубической нелинейности.
4.3. Обобщенное дискретное НУШ с кубической нелинейностью.
4.3.1. Законы сохранения.
4.3.2. Двухточечные отображения для нахождения стационарных решений.
4.3.3. Движущиеся точные решения.
4.3.4. Точные короткопериодические и апериодические решения.
4.3.5. Вопросы устойчивости некоторых решений обобщенного дискретного НУШ с кубической нелинейностью.
Выводы.
Теоретическое изучение дискретных систем является традиционным в физике конденсированного состояния, например, при изучении колебательных спектров идеальных кристаллов [1], а также колебательных мод, локализованных вблизи дефектов кристаллической структуры [2]. В последние несколько десятилетий необычайно вырос интерес к задачам, где смещения атомов от решеточных положений значительны и требуется учет нелинейных слагаемых в разложении сил межатомных взаимодействий. Нелинейные дискретные системы, по сравнению с линейными, проявляют целый ряд качественно новых физических свойств, среди которых одним из важнейших является возможность существования в них волн солитонного типа (ВСТ). ВСТ необычайно устойчивы по отношению к возмущениям и, в случаях близких к интегрируемым, взаимодействуют друг с другом почти упруго, то есть восстанавливают свои свойства после столкновения. Таким образом, ВСТ способны эффективно осуществлять перенос энергии, импульса, вещества, электрического заряда и др., что и делает их исключительно важными для физики конденсированного состояния. Такого рода волны возможны и в континуальных нелинейных системах, но дискретность среды вносит заметные корректировки в их свойства и даже может приводить к появлению качественно новых свойств. С математической точки зрения, дискретизация приводит к потере трансляционной симметрии системы, а в физическом плане это проявляется в появлении эффективного периодического потенциала, который ВСТ вынуждена преодолевать при движении воль кристалла от одной ячейки периодичности к другой. В теории дислокаций этот потенциал получил название потенциала Пайерлса-Набарро (пПН), и позже этот термин стал использоваться и в других приложениях. Революцией в теории нелинейных дискретных систем стало открытие Тодой полностью интегрируемой цепочки [3], где кинковые решения не испытывают действия пПН. В последствии были открыты и другие интегрируемые дискретные нелинейные цепочки, например, цепочка Абловица-Ладика [4,5], но всё же число таких систем остается весьма ограниченным. С другой стороны, известен ряд неинтегрируемых нелинейных дискретных уравнений, допускающих точные решения, например, уравнения, сводящиеся к нелинейному отображению Квиспела-Робертса-Томпсона [6]. Роль таких решений, как в теории нелинейных дискретных систем, так и в их физических приложениях весьма значительна.
В последние десятилетия дискретные нелинейные системы привлекают всё большее внимание в различных разделах физики, например, в физике фазовых превращений, физике пластической деформации, в нелинейной оптике, в физике Бозе-Эйнштейновского конденсата, при исследовании волн кальция в живых клетках, сверхпроводящих Джозефсоновских контактов, и в целом ряде других областей [7-16]. Дискретность материи на молекулярном и атомарном уровне становится заметной при работе с наноразмерными системами.
Таким образом, весьма актуальными являются следующие задачи, рассматриваемые в настоящей работе:
- построение дискретных аналогов для уравнения Клейн-Гордона и нелинейного уравнения Шредингера, для которых статические (стационарные) задачи сводятся к интегрируемым отображениям, используя методологию, предложенную в работе [17];
- изучение законов сохранения полученных дискретизаций;
- полуаналитическое и численное исследование свойств ВСТ для таких дискретных моделей;
- физическая интерпретация полученных результатов.
Цель и задачи исследования:
Целью диссертационной работы является исследование волн солитонного типа в нелинейных дискретных уравнениях Клейн-Гордона и Шредингера без потенциала Пайерлса-Набарро.
Для достижения данной цели возникает необходимость решения следующих задач:
1. Построение дискретных аналогов уравнения Клейн-Гордона и нелинейного уравнения Шредингера, для которых статические решения свободны от потенциала Пайерлса-Набарро.
2. Получение и всесторонний анализ некоторых решений этих уравнений.
3. Физическая интерпретация полученных уравнений и их решений в контексте физики конденсированных сред.
Научная новизна:
1. Впервые построена дискретная модель Клейн-Гордона без потенциала Пайерлса-Набарро с асимметричным локальным потенциалом.
2. Исследован ратчет кинка в этой дискретной модели при отсутствии и при наличии вязкости и показано, что скорость дрейфа кинка очень слабо зависит от параметра дискретности, и что при достаточно большом значении коэффициента вязкости происходит смена направления движения кинка.
3. Для обобщенного дискретного нелинейного уравнения Шредингера исследованы законы сохранения энергии, нормы и импульса, и получен ряд новых точных решений, как в замкнутой форме, так и в виде двухточечных нелинейных отображений.
Научная и практическая ценность работы:
1. Результаты исследования свойств кинковых решений свободных от потенциала Пайерлса-Набарро в дискретной модели Клейн-Гордона с асимметричным потенциалом, а также получение целого ряда точных решений обобщенного дискретного нелинейного уравнения Шредингера представляют несомненную научную ценность работы.
2. С практической точки зрения, отсутствие потенциала Пайерлса-Набарро в исследованных дискретных моделях приводит к высокой подвижности топологических солитонов, что означает повышенные транспортные свойства таких моделей. Исследованные уравнения находят широкое применение в физике конденсированного состояния при описании свойств топологических дефектов кристаллов (доменные стенки, дислокации).
На защиту выносятся следующие положения:
1. Ратчет кинковых решений свободных от потенциала Пайерлса-Набарро в дискретной модели Клейн-Гордона существенно отличается от такового в дискретной модели с потенциалом Пайерлса-Набарро. В частности, было показано, что в модели без потенциала Пайерлса-Набарро скорость дрейфа кинка очень слабо зависит от параметра дискретности и дрейф кинка наблюдается при сколь угодно малом значении амплитуды внешней периодической силы. Дрейфовая скорость кинка меняет знак при достаточно большом значении коэффициента вязкости.
2. Получен ряд новых точных решений обобщенного дискретного нелинейного уравнения Шредингера в явной форме и в форме двухточечных нелинейных отображений, а также перечень некоторых законов сохранения этого уравнения.
Охарактеризуем работу по главам.
В первой главе приведен обзор теоретических представлений о волнах солитонного типа в дискретных системах в сопоставлении с солитонными волнами в континуальных нелинейных уравнениях. Дается обзор литературы по главам диссертации. Формулируется ряд открытых проблем теории и практики волн солитонного типа в дискретных системах.
Вторая глава диссертации посвящена построению дискретного аналога уравнения Клейн-Гордона с асимметричным потенциалом, допускающего кинковые решения, свободные от потенциала Пайерлса-Набарро. В разделе 2.1 излагается методика построения дискретных аналогов уравнения Клейн-Гордона, основанная на использовании дискретизированного первого интеграла (ДЛИ) статического континуального уравнения, предложенная в работе [17]. В разделе 2.2 данная методика впервые применена к построению модели с несимметричным локальным потенциалом. Кроме того, строится классическая дискретизация для того же уравнения, с целью сравнения свойств кинковых решений в двух различных моделях. В разделе 2.3 описаныописаны численные и полуаналитические процедуры, используемые при построении равновесных кинковых решений для двух рассматриваемых дискретных моделей.
В третьей главе, в разделах 3.1 и 3.2, исследуются свойства кинковых решений дискретной модели Клейн-Гордона, построенной во второй главе. В частности, сравниваются профили кинковых решений, фононные спектры вакуумных решений, а также частоты колебаний малоамплитудных мод, локализованных на кинках. В разделах 3.3 и 3.4 изучается ратчет (ratchet) кинка при действии внешней силы, изменяющейся во времени по гармоническому закону. Сначала исследуется система без вязкого трения, а затем анализируется влияние вязкого трения на ратчет кинка. Результаты, полученные для двух различных дискретизаций сравниваются и делается вывод о существенном отличии ратчета кинков в дискретных моделях с и без потенциала Пайерлса-Набарро.
В четвертой главе рассматривается обобщенное дискретное нелинейное уравнение Шредингера (ДНУШ) с кубической нелинейностью достаточно общего вида. Для данного уравнения, в разделе 4.3.1., описаны некоторые законы сохранения нормы, импульса и энергии, выполняющиеся для рассматриваемого ДНУШ при определенных условиях, накладываемых на его коэффициенты. В разделе 4.3.2. обсуждаются случаи, когда задача отыскания стационарных решений рассматриваемого уравнения оказывается интегрируемой в том смысле, что она допускает сведение к двухточечному нелинейному отображению. В разделе 4.3.3. приводятся движущиеся точные решения для рассматриваемого
ДНУШ в виде светлого и темного солитонов. В разделе 4.3.4. показано, что это уравнение допускает целый ряд точных решений с коротким периодом, а также ряд точных апериодических решений. В разделе 4.3.5. рассматриваются вопросы устойчивости некоторых точных решений ДНУШ, в частности, светлого и темного солитонов. Показано, что и для светлых и темных солитонов существуют области параметров модели и параметров солитонов, где их движение устойчиво.
Выводы
В четвертой главе, в разделе 4.3.3., был успешно применен метод идентификации особых дискретизаций НУШ с кубической нелинейностью, допускающих точные трансляционно-инвариантные стационарные решения, а, следовательно, дискретизаций без потенциала Пайерлса-Набарро. Метод прост, он основан на прямой подстановке в дискретное уравнение движения выражений, определяющих движущиеся решения в форме эллиптических функций Якоби и в нахождении условий на коэффициенты уравнения и на параметры решения, обращающие уравнение движения в тождество. Таким образом были получены решения вида sn, сп и dn, которые, в пределе т-> 1 свелись к решениям описывающим движущиеся светлый и темный солитоны, для которых в параграфе 4.3.5. было показано, что они могут быть устойчивы в некоторых интервалах параметров.
Кроме того, для рассмотренного обобщенного ДНУШ (4.36) был найден ряд законов сохранения (параграф 4.3.1.) и случаи когда стационарное уравнение интегрируемо (параграф 4.3.2.), то есть, может быть сведено к двухточечному нелинейному отображению.
6000
4000
2000 П
Рис. 4.1. Пространственно-временная эволюция |y/n{t) при движении светлого солитона (4.69) в ДНУШ с а2=аъ =1/2, при остальных at = 0.
8000 6000 t
4000 2000 0
-8 -4 0 4 8 П
Рис. 4.2. Пространственно-временная эволюция при столкновении двух-темных солитонов (4.73) в ДНУШ с а2 = а3 =1/2, при остальных at = 0. о—О—о—О—о—О—о—О—о—О—о^У^о—с
-О—о—о—о—о—о—о—о—о^ ^В—О—с
О—о^ —о—о—о—о—о—о—о—о. ° о—о—С )—о—О ° .О—О—О—О—О—О—О—О——о—с )—О—О^о^О—О—О—О—О—О—О—О—-о^О^О—о—с
О—O^g—О—О—О—О—О—сх. ""о—О—о—с
О—О—о. JO—о—о—о—о—о——О—О—С )—О—О—о/^Оуэ—О—О—О—О—О—о/^о/О—о—о—с Г—О—О—0^0^,0-—°—°—°—°——°— )—о—о—o-^g^ ^О—О—О—О—CL о—о—о—о—( )—О—О—О—о—О—О—О—О. О о—О—О—О—( )—О—О—О—О^О^О—о—О—О——о—о—о—с Г—О—О—О—О^о о—°—°——О—О—О—I )—о—о—о—^.О—О—CL —о—о—о—с о—о—о—о—о ° О—о——о—о—о—о—с )—О—О—О——о—о^о^о—о—о—о—о—с Г—О—О—О—О—о О^О—О—о^о О—О—о—о—о—к о—о—о——О—О—О—О—О—(
О—О—О—CL —°—°—-8"" —°—°—°—с о—о—о——о—о—о—.о—о—о—о—с
О—О—О—-о О^о—О—О—О—О^о о—°—°—°—с
О—О—О^ ^О о—о—О—О—о-^о^ о—о—о—с о—О ^О—Сг
О—О—о о—О—О—О—О—О—о. О—О—О—(
О—О—О О^О—О—О—О—О—О—О^О—о—о—с
О—O-^Q^O^O—О—О—О—О—О—0^0 0--0—О—(
О—о. §о—о—о—о—о—о—о——о—с о—о—о—о—о—о—о—о—о—о—с )—О—о —о—О—О—О—О—О—О—О^О о—°—с
О—О—О—О—О—О—О—О^О^ ^о—( >—О ~~*0—о—О—О—О—О—О—О—О—О—.о— >■—о^О^О—О—О—О—О—О—О—О—О—О—О^О о— ""-С) о—О—О—О—О—О—О—О—О—О—0<У^ С о—■ ■ ■ ■ ■ ?—° t
Рис. 4.3. (а) Профиль движущегося солитона (4.69) с параметрами (4.115) в момент t-0 при аъ =-0.473034, а5= 1, а7= 0.946068, /? = 1, £ = 0.102102. (Ь) Скорость солитона как функция времени для двух различных значений шага интегрирования, г = 5х10~3 (сплошная линия) и г = 2.5x10-3 (пунктир). t
Рис. 4.4. (а) Профиль движущегося солитона (4.69) с параметрами (4.116) в момент / = 0 при а2 =0.603116, аъ = 0.0968843 , а5=0.3, /? = 1, А: = 3.09447. (Ь) Скорость солитона как функция времени для двух различных значений шага интегрирования, г = 5х10~3 (сплошная линия) и г = 2.5х103 (пунктир).
Заключение
В диссертационной работе, теоретически, и с использованием численных методов, исследованы волны солитонного типа в дискретных моделях Клейн-Гордона и в дискретном нелинейном уравнении Шредингера, которые допускают статические (стационарные) решения, свободные от потенциала Пайерлса-Набарро.
Перечислим основные результаты и выводы.
1. Построены две дискретные модели Клейн-Гордона (ДМКГ1 и ДМКГ2) с асимметричным потенциалом. Модель ДМКГ1 является классической дискретизацией в то время как ДМКГ2 получена по методу дискретизированного первого интеграла [17]. Для статической задачи модели ДМКГ2 может быть получен первый интеграл, имеющий вид двухточечного нелинейного отображения. Статические кинковые решения могут быть найдены из этого отображения для любого допустимого начального значения.
Этот факт говорит об отсутствии потенциала Пайерлса-Набарро в такой модели, поскольку равновесный кинк может быть размещен произвольно I относительно решетки.
2. Показано, что свойства кинковых решений в ДМКГ1 и ДМКГ2 сильно отличаются, что можно объяснить наличием потенциала Пайерлса-Набарро в
ДМКГ1 и его отсутствием в ДМКГ2. Кинк в ДМКГ2 имеет трансляционную моду с нулевой частотой для любого значения параметра дискретности . ДМКГ1 имеет такую моду лишь при малых h. Наличие трансляционной моды у кинка в ДМКГ2 при любом h свидетельствует о повышенных транспортных свойствах этой дискретной модели. Кинки в ДМКГ2 не захвачены потенциалом Пайерлса-Набарро и, следовательно, они могут быть ускорены сколь угодно малым внешним полем.
3. При изучении ратчета кинка в ДМКГ2 под действием гармонической вынуждающей силы было показано, что при отсутствии вязкости, под действием гармонической внешней силы кинк движется равноускоренно. Ускорение кинка слабо зависит от параметра дискретности h. При приближении частоты внешней силы к частоте собственной колебательной моды, локализованной на кинке, ускорение кинка увеличивается на два порядка. При изучении ратчета кинка в ДМКГ2 с учетом вязкости было установлено, что дрейфовая скорость кинка меняется с положительной на отрицательную при коэффициенте вязкости выше некоторого значения.
4. Для обобщенного дискретного нелинейного уравнения Шредингера (ДНУШ) с кубической нелинейностью получены законы сохранения нормы, импульса и энергии; показаны случаи, когда задача отыскания стационарных решений интегрируема; выписаны точные движущиеся решения в виде светлого и темного солитонов и показано, что существуют области параметров, где солитоны устойчивы; получен ряд точных короткопериодических и апериодических решений.
1. Борн М, Кунь X. Динамическая теория кристаллических решеток. М.: Иностр. лит., 1958. 488 с.
2. Марадудин А. Дефекты и колебательные спектры кристаллов. М.: Мир, 1968. 432 с.
3. Toda М. Theory of nonlinear lattices. Berlin: Springer-Verlag, 1981, 203p.
4. Ablowitz M. J., Ladik J. F. Nonlinear differential-difference equations // J. Math. Phys. 1975. - V. 16. - 598-603.
5. Ablowitz M. J., Ladik J. F. Nonlinear differential-difference equations and Fourier analysis//J. Math. Phys. 1976. -V. 17.-1011-1018.
6. Quispel G.R.W., Roberts J.A.G., Thompson C.J. Integrable mappings and soliton equations II // Physica D. -1989. -V. 34. -P. 183-192.
7. Encyclopedia of nonlinear science / Edited by A. Scott. New York: Routledge, 2005.-1053 P.
8. Kivshar Yu. S., Agrawal G. P. Optical Solitons: From Fibers to Photonic Crystals. -San Diego: Academic Press, 2003. 540 p.
9. Peyrard M., Bishop A.R. Statistical mechanics of a nonlinear model for DNA denaturation // Phys. Rev. Lett. 1989. - V. 62. - p. 2755-2758.
10. Ustinov A.V., Doderer Т., Vernik I.V., Pedersen N.F., Huebener R.P., Oboznov
11. V.A. Experiments with solitons in annular Josephson junctions // Physica D. 1993 V.68. -p.41-44.
12. Laplante J.P., Erneux T. Propagation failure in arrays of coupled bistable chemical reactors // J. Phys. Chem. 1992. -V. 96. - p. 4931-4934.
13. Trombettoni A., Smerzi A. Discrete solitons and breathers with dilute Bose-Einstein condensates // Phys. Rev. Lett. 2001. V. 86. -P. 2353-2356.
14. Dawson S.P., Keizer J., Pearson J.E. Fire-diffuse-fire model of dynamics of intracellular calcium waves // Proc. Natl. Acad. Sci. U.S.A. 1999. - V. 96. - p. 6060-6063.
15. Hennig D., Tsironis G. Wave transmission in nonlinear lattices // Phys. Rep. -1999. -V.307. -P. 333-432.
16. Braun O.M., Kivshar Yu. S. The Frenkel-Kontorova Model: Concepts, Methods, and Applications. Berlin: Springer, 2004. - 472 p.
17. Incommensurate Phases in Dielectrics: Part 1, Fundamentals, Eds. R. Blinc and A.P. Levanyuk, V.14.1, Amsterdam: North-Holland, 1986. 417 p.
18. Dmitriev S.V., Kevrekidis P.G., Yoshikawa N., Frantzeskakis D.J. Exact static solutions for discrete <p4 models free of the Peierls-Nabarro barrier: Discretized first-integral approach // Phys. Rev. E.-2006.-V.74.- P. 046609-046623.
19. Габов C.A. Введение в теорию нелинейных волн. М.: Изд-во МГУ, 1988. -177 с.
20. Dodd R.K., Eilbeck J.C., Gibbon J.D., Morris H.C. Solitons and Nonlinear Wave Equations. London: Academic Press, 1982. - 640p.
21. Infeld E., Rowlands G. Nonlinear Waves, Solitons and Chaos. Cambridge: Cambridge University Press, 2000. - 423p.
22. Gardner C.S., Green J.M., Kruskal M.D., Miura R.M. Method for solving the Korteweg-de Vries equation//Phys.Rev.Lett. 1967. V. 19. P. 1095-1097.
23. TodaM. Theory of nonlinear lattices. Berlin: Springer-Verlag, 1981, 203p.
24. Ablowitz M. J., Ladik J. F. Nonlinear differential-difference equations // J. Math. Phys. 1975. - V. 16. - 598-603.
25. Ablowitz M. J., Ladik J. F. Nonlinear differential-difference equations and Fourier analysis //J. Math. Phys. 1976. -V. 17. - 1011-1018.
26. Orfanidis S. J. Sine-Gordon equation and nonlinear sigma model on a lattice // Phys. Rev. D. 1978.-V. 18.-P. 3828-3832.
27. Fermi E., Pasta J., Ulam S. Studies of nonlinear problems, Document LA-1940 (May 1955).
28. Campbell D.K., Rosenau P., Zaslavsky G.M. Introduction: The Fermi-Pasta-Ulam problem The first fifty years // Chaos, Vol. 15, No. 1. (2005) P. 015101-015104
29. Sievers A. J., Takeno S. Intrinsic localized modes in anharmonic crystals // Phys. Rev. Lett. 61, (1988) P. 970-973.
30. Dauxois Т., Khomeriki R., Piazza F., Ruffo S., The Anti-FPU problem // Chaos 15,• i 1212005. P. 015110-01520.
31. Flach S., Willis C. R. Discrete breathers // Phys. Rep. -1998.-V.295. P. 181-264.
32. Kevrekidis P.G., Rasmussen K.O., Bishop A.R. Pattern forming dynamical instabilities of Bose-Einstein condensates // Int. J. Mod. Phys. B. 2001. -V.15. -P. 2833-2862.
33. Christodoulides D.N., Lederer F., Silberberg Y. Discretizing light behaviour in linear and nonlinear waveguide lattices // Nature. 2003. - V.424. - P. 817-823.
34. Самарский A.A., Гулин A.B. Устойчивость разностных схем. М: Наука, 1973, 416с.
35. Кунин И. А. Теория упругих сред с микроструктурой: Нелокальная теория упругости. М.: ФИЗМАТ ЛИТ, 1975. - 416 с.
36. Maugin G.A. On the Structure of the Theory of Polar Elasticity // Phil. Trans. Roy. Soc. Lond. A.- 1998.-V.356. P. 1367-1395.
37. Vasiliev A.A., Dmitriev S.Y., Miroshnichenko A.E. Multi-field approach in mechanics of structural solids // Int. J. Solids Struct V.47 - 2010. - P. 510-525.
38. Фридель Ж. Дислокации. M: Мир, 1967. - 440 с.
39. Хирт Д., Лоте И. Теория дислокаций. М: Атомиздат, 1972. - 600 с.
40. ХиртД. Дислокации/В кн.: Физическое металловедение. Т. 3. Физико-механические свойства металлов и сплавов / Под ред. Р. Кана. М.: Мир, 1987.-С. 74-111.
41. Гантмахар Ф.Р. Лекции по аналитической механике. М.: Физматлит, 2001. -С. 264.
42. Flach S., Gorbach А. V. Discrete breathers Advances in theory and applications // Phys. Rep. -2008.-V.467. -P.l-116.
43. Bender С. M., Tovbis A. Continuum limit of lattice approximation schemes // J. Math. Phys. 1997. - V. 38. - P. 3700-3717.
44. Quispel G.R.W., Roberts J.A.G., Thompson С,J. Integrable mappings and soliton equations II // Physica D. -1989. -V. 34. -P. 183-192.
45. Speight J.M., Ward R.S. Kink dynamics in a novel discrete sine-Gordon system // Nonlinearity. 1994. - V. 7. - P. 475-484.
46. Speight J.M. A discrete r/?4 system without a Peierls-Nabarro potential // Nonlinearity. 1997. -V. 10. -P. 1615-1625.
47. Speight J.M. Topological discrete kinks //Nonlinearity. 1999. - V. 12. - P. 13731387.
48. Kevrekidis P.G. On a class of discretizations of Hamiltonian nonlinear partial differential equations // Physica D. 2003. - V.l 83. - P. 68-86.
49. Dmitriev S.V., Kevrekidis P.G., Yoshikawa N. Discrete Klein-Gordon models with static kinks free of the Peierls-Nabarro potential // J. Phys. A: Math. Gen. 2005. -V. 38.-P. 7617-7627.
50. Barashenkov I.V., Oxtoby O.F., Pelinovsky D.E. Translationally invariant discretekinks from one-dimensional maps // Phys. Rev. E. 2005. - V. 72. - P. 35602R-4.
51. Cooper F., Khare A., Mihaila В., Saxena A. Exact solitary wave solutions for a discrete lambda-phi4 field theory in 1+1 dimensions // Phys. Rev. E. 2005. - V. 72. -P. 36605-36615.
52. Dmitriev S.V., Kevrekidis P.G., Yoshikawa N. Standard nearest neighbor discretizations of Klein-Gordon models cannot preserve both energy and linear momentum // J. Phys. A: Math. Gen. 2006. - V.39. - P. 7217-7226.
53. Dmitriev S.V., Kevrekidis P.G., Yoshikawa N., Frantzeskakis D.J. Exact static solutions for discrete cpA models free of the Peierls-Nabarro barrier: Discretized first-integral approach // Phys. Rev. E.-2006.-V.74.- P. 046609-046623.
54. Dmitriev S.V., Kevrekidis P.G., Khare A., Saxena A. Exact static solutions to a translationally invariant discrete (pA model // J. Phys. A: Math. Theor. 2007 — V.40.-P. 6267-6286.
55. Roy I., Dmitriev S.V., Kevrekidis P.G., Saxena A. Comparative study of different discretizations of the (pA model // Phys. Rev. E. 2007. - V.76. - P. 026601026615.
56. Speight J.M., Zolotaryuk Y. Kinks in dipole chains // Nonlinearity. 2006. - V. 19. -P. 1365-1382.
57. Barashenkov I.Y., van Heerden T.C. Exceptional discretizations of the sine-Gordon equation // Phys. Rev. E. 2008. - V. 77. - P. 036601-9.
58. Dmitriev S.V., Kb are A, Kevrekidis P.G., Saxena A., Hadzievski L. High-speed kinks in a generalized discrete (pA model // Phys. Rev. E. 2008. - V. 77. - P. 056603-9.
59. Khare A, Dmitriev S V, Saxena A Exact static solutions of a generalized discrete (рл model including short-periodic solutions // J. Phys. A: Math. Theor. 2009. - V. 42.-P. 145204-23.
60. Dmitriev S.V., Kevrekidis P.G., Sukhorukov A.A., Yoshikawa N., Takeno S. Discrete nonlinear Schrodinger equations free of the Peierls-Nabarro potential // Phys. Lett. A. 2006. - V.356. - P. 324-332.
61. Pelinovsky D. E. Translationally invariant nonlinear Schrodinger lattices // Nonlinearity- 2006.-V.19.- P. 2695-2716.
62. Dmitriev S.V., Kevrekidis P.G., Yoshikawa N., Frantzeskakis D.J. Exact stationary solutions for the translationally invariant discrete nonlinear Schrodinger equations // J. Phys. A: Math. Theor.- 2007.- V.40.- 1727-1746.
63. Kevrekidis P.G., Dmitriev S.V., Sukhorukov A.A. On a class of spatial discretizations of equations of the nonlinear Schrodinger type // Mathematics and Computers in Simulation. 2007. - V.74. - P. 343-351.
64. Khare A., Dmitriev S.V., Saxena A., Exact moving and stationary solutions of ageneralized discrete nonlinear Schrodinger equation // J. Phys. A: Math. Theor. -2007.-V.40.-P. 11301-11317.
65. Khare A., Rasmussen K., Samuelsen M.R., Saxena A. J. Exact solutions of the saturable discrete nonlinear Schrodinger equation // Phys. A 2005.-V.38 - P. 807814.
66. Khare A., Rasmussen K., Salerno M., Samuelsen M.R., Saxena A. Discrete nonlinear Schrodinger equations with arbitrarily high-order nonlinearities // Phys. Rev. E- 2006.-V.74.- P. 016607-016617.
67. Бебихов Ю.В., Дмитриев С.В., Старостенков М.Д. Точные статические решения двух дискретных трансляционно-инвариантных моделей (рл // Фундаментальные проблемы современного материаловедения, Барнаул. —2007.-Т. 4.-№4.-С. 7-12.
68. Бебихов Ю.В., Дмитриев С.В., Старостенков М.Д. Свойства трансляционно-инвариантных кинковых решений дискретных моделей <р4 // Фундаментальные проблемы современного материаловедения, Барнаул. —2008. Т. 5. - № 4. - С. 105-108.
69. Бебихов Ю.В., Старостенков М.Д. Трансляционно-инвариантные дискретизации уравнения Клейн-Гордона // Тезисы докладов Всероссийской молодежной научной конференции «Мавлютовские чтения», 28-29 октября 2008 г. Уфа. / Уфа. 2008. - С. 112;
70. Бебихов Ю.В. Дискретное уравнение Шредингера с кубической нелинейностью, допускающее точные решения. 9-я Международная научно-практическая конференция 12-13 декабря 2008, г. Барнаул. Изд-во Алтайского госуд. техн. ун-та. 2008. - С. 76.
71. Дмитриев С.В., Кхаре А., Сучков С.В., Бебихов Ю.В. Ратчет кинка в дискретной модели Клейн-Гордона свободной от потенциала Пайерлса-Набарро // Фундаментальные проблемы современного материаловедения, Барнаул. 2009. - Т. 6. - № 1. - С. 90-95.
72. Бебихов Ю.В., Дмитриев С.В., Кхаре А. Законы сохранения и точные стационарные решения обобщенного дискретного нелинейного уравнения Шредингера // Фундаментальные проблемы современного материаловедения, Барнаул. 2009. - Т. 6. - № 3. - С. 55-58.
73. Бебихов Ю.В., Дмитриев С.В., Самсонов Ю.В., Старостенков М.Д. Моделирование сетки дислокаций несоответствия на границе медь/сапфир //
74. Вестник СибГУТИ. 2009. - № 3. - С. 23-31.
75. Bebikhov Yu.V., Dmitriev S.V., Suchkov S.V., Khare A. Effect of damping on kink ratchets in the Klein-Gordon lattice free of the Peierls-Nabarro potential. Physics Letters A. - 2010. - V. 374. - P. 1477-1480.
76. Баимова Ю.А., Бебихов Ю.В., Дмитриев C.B., Кхаре А., Потекаев А.И. Трансляционно-инвариантные кинковые решения дискретных моделей (рл // Изв. вузов. Физика. 2010. -№3. - С. 46-54.
77. Joshi N., Grammaticos В., Tamizhmani Т., Ramani A. From Integrable Lattices to
78. Non-QRT Mappings // Letters in Mathematical Physics. 2006. - V. 78. - P. 27-37.
79. Bogomol'nyi E.B. The stability of classical solutions // J. Nucl. Phys. 1976. - V. 24.-P. 449-455.
80. Maluckov A., Hadzievski L., Stepic M. Bifurcation analysis of the localized modes dynamics in lattices with saturable nonlinearity // Physica D. 2006. - V. 216. - P. 95.
81. Hennig D., Rasmussen K.O., Gabriel H., Bulow A. Solitonlike solutions of the generalized discrete nonlinear Schrodinger equation // Phys. Rev. E. 1996. - V. 54. -P. 5788-5801.
82. Khare A., Lakshminarayan A., Sukhatme U.P. Cyclic identities involving Jacobi elliptic Functions // Pramana (J. Phys.). 2004. - V. 62. - P. 1201.
83. Braun O.M., Kivshar Yu.S., Peyrard M. Kink's internal modes in the Frenkel-Kontorova model // Phys. Rev. E. 1997. - V. 56. - P. 6050-6064.
84. Kivshar Yu.S., Pelinovsky D.E., Cretegny Т., Peyrard M. Internal modes of solitary waves // Phys. Rev. Lett. 1998. - V. 80. - P. 5032-5035.
85. Kevrekidis P.G., Jones C.K.R.T. Bifurcation of internal solitary wave modes irom the essential spectrum // Phys. Rev. E. 2000. - V. 61. - P. 3114-3121.
86. Kivshar Yu.S., Malomed B.A. Dynamics of solitons in nearly integrable systems // Rev. Mod. Phys. 1989. -V. 61. -P. 763-915.
87. Goodman R. H., Haberman R. Chaotic scattering and the n-bounce resonance insolitary-wave interactions // Phys. Rev. Lett. 2007. - V. 98. - P. 104103-104106.
88. Дмитриев C.B., Науман Л.В., Овчаров A.A., Старостенков М.Д. Механизм зарождения дислокаций в одномерной модели кристалла Френкеля-Конторовой // Известия ВУЗов. Физика, Томск. 1996. - № 2. - С. 72-76.
89. Frauenkron Н., Kivshar Yu.S., Malomed В.A. Multisoliton collisions in nearly integrable systems // Phys. Rev. E. 1996. - V. 54. - P. 2244-2247.
90. Yang J., Tan Yu. Fractal Structure in the Collision of Vector Solitons // Phys. Rev. Lett. 2000. - V. 85. - P. 3624-3627.
91. Semagin D. A., Dmitriev S.V., Shigenari Т., Kivshar Yu.S., Sukhorukov A. A. Effect of weak discreteness on two-soliton collisions in nonlinear Schrodinger equation // Physica B. 2002. - V.316-317. - P. 136-138.
92. Dmitriev S.V., Semagin D. A., Sukhorukov A. A., Shigenari T. Chaotic character of two-soliton collisions in the weakly perturbed nonlinear Schrodinger equation // Phys. Rev. E. 2002. - V.66. - P. 46609-46616.
93. Campbell D.K., Peyrard M., Sodano P. Kink-antikink interactions in the double sine-Gordon equation // Physica D .- 1986 V.19.- P. 165-205.
94. Dmitriev S.V., Kevrekidis P.G., Malomed B.A., Frantzeskakis D.J. Two-soliton collisions in the Salerno model // Phys. Rev. E. 2003. - V.68. - P. 056603-056609.
95. Papacharalampous I.E., Kevrekidis P.G., Malomed B.A., Frantzeskakis D.J. Soliton collisions in the discrete nonlinear Schrodinger equation // Phys. Rev. E. 2003.1. V.68.-P. 046604-046612.
96. Kivshar Yu.S., Zhang F., Vazquez L. Resonant soliton-impurity interactions // Phys. Rev. Lett. 1991. - V. 67. - P. 1177-1180.
97. Zhang F., Kivshar Yu.S., Vazquez L. Resonant kink-impurity interactions in the phi4 model // Phys. Rev. A. 1992. - V. 46. - P. 5214-5220.
98. Flach S., Yevtushenko O., and Zolotaryuk Y. Directed current due to broken time-space symmetry // Phys. Rev. Lett. V. 84. - P. 2358-2361 (2000).
99. Reimann P., Supersymmetric ratchets // Phys. Rev. Lett. V. 86, 4992-4995 (2001).
100. Reimann P., Brownian motors: noisy transport far from equilibrium // Phys. Rep. -V. 361.-P. 57-265 (2002).
101. Alberts В., Johnson A., Lewis J., Ra M., Roberts K. and Walker P., Molecular biology of the cell (Garland, New York, 2002).
102. Engelstadter J. Genetics. V. 180. - P. 957-965 (2008).
103. Wang H., Oster G. Ratchets, power strokes, and molecular motors // Appl. Phys. A. V. 75. - P. 315-323 (2002).
104. Downton M.T., Zuckermann M.J., Craig E.M., Plis-chke M. and Linke H., Single-polymer Brownian motor: A simulation study // Phys. Rev. E. V. 73. - P. 011909-12(2006).
105. Schliwa M. (Editor), Molecular motors (Wiley-VCH, Weinheim, 2003).
106. Campas О., Kafri Y., Zeldovich К. В., Casademunt J., and Joanny j.-F. Collective dynamics of interacting molecular motors // Phys. Rev. Lett. V. 97. - P. 038101-4 (2006).
107. Trias E., Mazo J. J., Falo F., and Orlando T.P. Depinning of kinks in a Josephson-junction ratchet array // Phys.Rev. E. V. 61. - P. 2257-2266 (2000).
108. Marconi V.I. Rocking ratchets in two-dimensional Josephson networks: collective effects and current reversal // Phys. Rev. Lett. V. 98. - P. 047006-4 (2007).
109. Segall K., Dioguardi A.P., Fernandes N., and Mazo J.J. Experimental observation of fluxon diffusion in Josephson rings // Journal of Low Temperature Physics. V. 154.-P. 41-54 (2009).
110. Gorbach A.V., Denisov S., and Flach S. Optical ratchets with discrete cavity solitons // Opt. Lett. V. 31. - P. 1702-1704 (2006).
111. Poletti D., Alexander T.J., Ostrovskaya E.A., Li В., and Kivshar Yu.S. Dynamics of matter-wave solitons in a ratchet potential // Phys. Rev. Lett. V. 101. - P. 150403-4 (2008).
112. Marchesoni F. Thermal Ratchets in 1+1 Dimensions // Phys. Rev. Lett. V. 77. -P. 2364-2367 (1996).
113. Kivshar Yu.S., Pelinovsky D.E., Cretegny Т., and Peyrard M. Internal modes of solitary waves // Phys. Rev. Lett. V. 80. - P. 5032-5035 (1998).
114. Willis C.R., Farzaneh M. Soliton ratchets induced by excitation of internal modes // Phys. Rev. E. V. 69. - P. 056612-6 (2004).
115. Salerno M., Quintero N. R. Soliton ratchets // Phys. Rev. E. V. 65. - P. 025602-4(2002).
116. Morales-Molina L., Mertens F.G., San-chez A. Inhomogeneous soliton ratchets under two ac forces // Phys. Rev. E. V. 73. - P. 046605-4 (2006).
117. Costantini G., Marchesoni F., Borromeo M. String ratchets: ac driven asymmetric kinks // Phys. Rev. E. V. 65. - P. 051103-7 (2002).
118. Muller P., Mertens F.G., Bishop A.R., Chaotic transport in deterministic sine-Gordon soliton ratchets // Phys. Rev. E. V. 79. - P. 016207-10 (2009).
119. Zamora-Sillero E., Quintero N.R., Mertens F.G. Sine-Gordon ratchets with general periodic, additive, and parametric driving forces // Phys. Rev. E. V. 76. -P. 066601-9 (2007).
120. Quintero N. R., Sanchez-Rey В., Salerno M. Analytical approach to soliton ratchets in asymmetric potentials // Phys. Rev. E. V. 72. - P. 016610-8 (2005).
121. Salerno M., Zolotaryuk Y. Soliton ratchetlike dynamics by ac forces withharmonic mixing // Phys. Rev. E. V. 65. - P. 056603-10 (2002).
122. Zolotaryuk Y., Salerno M. Discrete soliton ratchets driven by biharmonic fields // Phys. Rev. E. V. 73. - P. 066621-12 (2006).
123. Martinez P.J., Chacon R. Disorder Induced Control of Discrete Soliton Ratchets // Phys. Rev. Lett. V. 100. - P. 144101-4 (2008).1. Благодарности
