Волны ускорений в разномодульной упругой среде тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

чи

РГ6 0/1

российская академия наук

ДАЛЬНЕВОСТОЧНОЕ ОТДЕЛЕНИЕ

На правах рукописи

наумкин александр павлов!«

ВОЛГИ УСКОРЕНИЙ В РАЗНОМОДУЛЬНОЙ УПРУГОЙ СРЕЩЕ

01.02.04 - Мекакика деформируемога твердого тела

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Владивосток - 1993

. Работа выполнена в Институте автоматики и процессов управления ДВО РАН.

НАУЧНЫЙ РУКОВОДИТЕЛЬ: доктор физико-математических наук, профессор Быковцев Г.И.

ОФИЦИАЛЬНЫЕ ОППОНЕНТЫ:

доктор физико-математических наук Никитенко А.Ф. доктор физико-математических наук Хромов А.И.

Ведущая организация - Институт горного дела СО РАН.

Защита диссертации состоится Г 99 Уг.

час.££_ мин. на заседании Специализированного совета Д 002.06.07 при Президиуме ДВО РАН по адресу: 690041, Владивосток, ул.Радио,5.

С диссертацией можно ознакомиться в научной Оиблиотеке Института автоматики и процессов управления (ИАПУ) ДВО РАН.

Автореферат разослан

Ученый секретарь Специализированного совета

доктор физико-математических

наук у f« fr" Буренин A.A.

общая ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ.

АКТУАЛЬНОСТЬ ТЕМЫ. Практически во всех областях естествознания и техники возникают проблемы, связанные с теорией распространения волн, этим объясняется повышенный интерес исследователей к волновым явлениям в твердых телах. В настоящее время большинство достижений в решении задач волновой динамики основано на линейной теории распространения волн. Однако обширный накопленный экспериментальный материал свидетельствует о том, что многие не только существенные, но зачастую и определяющие эффекты процесса распространения волн, являющегося в сущности нелинейным, при линеаризации попросту теряются. Показательна здесь невозможность обоснования в рамках линейной модели эффекта сейсмической анизотро~от, с существованием котор го приходится считаться при интерпретации данных наблюдений в сейсмологии, глубинном сейсмическом зондировании, сейсморазведке и сейсмоакусткке, а твкк при изучении упругих свойств горных пород.

В роботе процесс распространения волн по твердому деформируемому телу изучается в рамках модели разномодульной упругой среды, являющейся физически нелинейной и в тоже время наиболее простой. Выбор такой математической модели процесса вполне обоснован, так как свойством разномодульности в той или иг^й степени обладают все материалы. Использование же простейшей рвзно-модульной модели объяснимо тем, что позволяет выявить основополагающие закономерности процесса распространения волн, которые возможно и в более сложных моделях качественно сохранятся, а также

решить ряд конкретных краевых задач. Таким образом, следует признать, что изучение особенностей процесса распространения возмущений в разномодульных упругих средах, его нелинейных э^фектар является весьма актуальной задачей.

ЦЕЛЬ РАБОТЫ. I. Исследование особенностей распространения волн ускорений в трехмерной разномодульной упругой среде с учетом изменения геометрии волн.

2. Решение заде I локального отражения - преломления волн ускорений на границах разномодульного упругого слоя.

НАУЧНАЯ' НОВИЗНА полученных результатов заключается в следу идем:

- изучены уставил существования и закономерности распространения различных типов волн ускорений в трехмерных разномодульных упругих средах в зависимости с : характера предварительных деформаций и упругие свойств среды с учетом изменения геометрии волн;

- вычислены скорости и определена поляризация волн ускорений;

- получены ура:..гения изменения интенснвностей волн ускорений в процессе распространения по разномодульному упругому материалу;

- в задаче о распространении волн ускорений по неравномерно дефор- -мированному пространству получен аффект неограниченного усиления интенсивное гей волн, определены направления затухания и усиления волн в зависимости от ориентации главных осей тензора деформаций; методом малого параметра определены параметрические уравнения, средние и гауссовы кривизны волн, проинтегрированны уравнения изменения интенсивностай, при этом показано, что в линейном приближении эффект неограниченного усиления интенснвностей отсутствует;

- решены задачи локального отражешм волн от свободной поверхности упругого и разнимодульного упругого слоя, отракения-преломления волн на границе двух упругих и двух разномодульных упругих сред с учетом геометрии волн, вычислена интенсивности отраженных и преломленных волн;

- рассмотрении задачи отрагания-прел. мления волн в слое, находящемся в условиях деформации сдвига.

Достоверность получешшх результатов основана на использовании классических подходов механики сплошных сред, определяется строгостью математических выкладок и приемов, соответствием результатов численных расчетов, полученным прежде аналитическим выводам, внутренней непротиворечивостью непосредственным следованием из полученных решений результатов классической теории упругости.

Практическая ценность работы.

Результата расчетов динамических характеристик по разномодульной модели, учитывающей наличие предварительных деформаций и трещиноватость материала могут быть использоваш для анализа напряженного состояния горных пород, при решении задач распознавать природа источника по сейсмическому сигналу.

Учет нелинейных искажений волн ускорений позволит более точно определить значения их скоростей и интенсивностей.

Установление зависимости параметров волн от физико-механических свойств материалов необходимо в акустодиагностике, дефектоскопии, неразрушающих методах контроля, при интерпретации геофизических данных, при проведении изысканий для строительства, при

инженерно-геологическом картировании.

Определение направлений усиления интенсивностей волн ускорений поможет обозначить зоны, сейсмически опасные для жилищного и капитального строительства.

Апробация. Основные положения и отдельные результаты работы докладывались и обсуждались:

на семинаре по МДТТ в ИАПУ ДВО СССР (май 1990 г. );

Сибирской школе по современным проблемам МДТТ (июль 1990 г., г.Якутск);

I Всесоюзном совещании "Физика и техника высокоскоростного удара" (сентябрь 1990 г., г.Владивосток);

I Советско-корейском симпозиуме ьа краевым задачам математической физики (май 1990 г., г.Владивосток);

VI Всесоюзном семинаре "Аналитические методы и нриминонив ЭВМ в механике горных пород" (июнь .991 г., г.Новосибирск);

IV Международной школе-семинари по фундаментостроонию и охране геологической среды (май 1992 г., г.Сочи);

XX Дальневосточной математической школе-семинаре им академика Е.В.Болотова по проблемам математического моделирования и численного анализа (август 1992 г., г.Находка).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 2 статьи и тезисы к 3 докладам.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, основных выводов и списка литературы, включающего 114 наименований. Работа содержит 8 рисунков, I таблицу. Общий объем диссертации 116 страниц.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении приведен краткий обзор наиболее важных исследований по теме диссертации. В последние годы особенно активно развиваются исследования явлений, описываемых нелинейной терией распространения упругих волн. Многочисленные результаты, полученные в этой области, обобщены в монографиях отечественных и зарубежных ученых Д.Бленда, З.Ввсоловского, А.Н.Гузя, Л.К.Зарембо И В.А.Кра-силыткова, В.И.Карпмана, У.К.Нигула, О.В.Руденко и С.И. Салуяна, К.Трусделла, Дк.Уизема, Ю.К.Энгельбрехта и др. Особый интерес исследователями проявляется к изучению влияния предварительных деформаций в среде на скорости распространения упругих волн, что отражено в работах Дж.Ахенбаха, А.А.Буренина, А.Д.Черныщовг., М.А.Гринфельда, А.Н.Гузя, Б.В.Кострова, Л.В.Никитина, А.Г.Куликовского, В.П.Мясникова, В.И.Топалэ, Е.М.Чвснокова, Н.В.Зволш-ского и др.

Одной из наиболее гибких и продуктивных в решении динамических задач явилась теория особых движущихся в теле поверхностей и лшшй. Основы этой теории были заложены еще Адамаром. Дальнейшее развитие математический агшарат Адамара получил . работах Т.Томаса, Р.Хилла, Г.И.Быковцева, Ж.Манделя и др. Большое применение теория поверхностей разрывов получила в лучевых методах решения задач динамики, развитых Г.И.Быковцевым, А.А.Бурешшым, Д.Редди, М.А.Гринфельдом, О.Ахенбахом, Т.Тингом.

Многочисленные экспериментальные данные, краткий обзор которых приведен в работе, свидетельствуют о том, что практически всем

материалам в той или иной степени присуще явление разномодульности.

Разномодульность использовалась при изучении распространения волн в работах А.А.Гвоздева, В.В.Кузнецова, В.П.Мясникова, В.А.Ля-ховского, В.И.Топалэ, А.В.Николаева, А.Г.Куликовского, Л.А.Пеку-ровской и др.

Особое внимание уделено вопросам отражения-преломления волн на границе раздела двух нелинейных сред, играющим вакную роль при решении краевых задач динамики. Существенный вклад в развитие этого направления внесли Н.В.Зволинский, М.А.Гринфельд, С.Л.Соболев, Г.А.Скуридин, А.А.Гвоздев, Л.Карниард.

Во введении также обосновывается актуальность выбранной темы, проведен краткий обзор содержания работы.

В первой главе исследуется распространение поверхностей разрыва по разномодульному упругому материалу. Кратко изложена простейшая модель разномодульной упругой среда, предложенная В.П.Мяснико ■ вым. Модель является исходной теоретической базой настоящей диссертационной работы.

Разномодульное упругое тело в переменных Эйлера моделируется системой уравнений

дч1

- = 0 ' = эг •

и = \ \1г, + \Х12 - Х1,/Т2, (I:

1/ - • 1г = еиеи '

В (I) и{, и{1 ап - компоненты векторов перемещений к дсорости, тензора малых деформаций и тензора напряжений, р - плотность среда, которую предполагаем постоянной, к, р. - коэффициента Ламэ, зе - модуль, характеризующий разномодульность среда, I] - 1)(1),1г) - упругий потенциал изотропной упругой среды (это простейший неаналитический потенциал второй степени однородности, позволяющий учесть различив свойств среды при растяжении и сжатии, при ае = О соотношения (I) совпадают с моделью классической линейно упругой среда.

С помощью аппарата теории поверхностей разрывов из соотношений (I) и уравнений движения получена линейная систем-; уравнений, анализ которой позволяет, сделать вывод о существовании трех типов волн ускорений: продольно-поперечная, поперечно-продольная (на них вектор смещения имеет как продольную, так и поперечную составляющую) и чисто поперечная волна. Вычислены скорости распространения волн, которые оказались зависящими от предварительных деформаций и трещиноватости материала. Скорости продольно-поперечной и попаречно-продолыюй волн кроме того, в отличие от чисто поперечной волны, зависят от направления распространения волн. Определены условия, при которых продольно-поперечная и поперечно-продольная волны становятся чисто продольной и чисто поперечной. Определена поляризация волн.

Таким оОразом использование исследуемой модели распространения волн ускорений для описания эффекта сейсмической анизотропии

вполне обосновано.

Отметим, что выражения для скоростей волн ускорений совпадают с выражениями для скоростей упругих сейсмических волн, полученными В.И.Топала и при ае = О приводят к классическим выражениям для скоростей продольной и поперечной волн.

С помощью геометрических и кинематических условий совместности второго порядка получены дифференциальные уравнения изменения интенсивностей волн ускорений, которые имеют вид: для поперечной волны:

(Г = , '= lvi>nl,

где Hue- средняя кривизна и скорость распространения поверхности разрыва 2, d/dn означает дифференцирование по нормали к волновой поверхности!

для продольно-поперечной и поперечно-продольной:

3 + (В - 2HDJW - Еш2 t fawM = о . (3)

и =

где v{ - компоненты вектора нормали к волновой поверхности.

Скалярные функции Q, В, D, £ и вектор fQ зависят от предварительных деформаций трещиноватости материала и геометрии самих поверхностей.

При ае = 0 формулы (2)-(3) принимают классический вид уравне-

Ríe. I.a

ñíC.1.6

Рас. 2

20 1.0' «•

Bio. 3

К ь* __ , 3 f .г

Vir «— ос i

а = - 2.0 а = - 0.1

а = 0.Ï а = 0.5

а = -I.I а = Л.0

Рис. 5

ний изменения кнтенсивностей продольных и поперечных волн.

Для выяснения качественной картины поведения волн ускорений рассмотрен процесс их распространения по равномерно деформированному ьространству (е= сопаН.

Выражение для интенсивности поперечной волны в этом случае имеет - вид

№ = н0а - гя0сг + к0сггг)-'/г, (4)

где (У - значение интенсивности волны, Н0 и К0 - средняя и гауссова кривизны поверхности разрыва в момент времени г = О.

Далее рассмотрены плоские продольно-поперечная и поперечно-продольная волны.

Для них уравнение (3) примет вид

5 $ - Еш2 ♦ ^ а « О . (Б)

На характеристических поверхностях уравнений (5) и меняется по закону

и = ы0(У(С1 - ы0ЕЫ) . (6)

Из (6) следует, что в разномодульной упругой среде в зависимости от ориентации вектора нормали поверхности разрыва относительно главных осей тензора деформаций интенсивность може : как уменьшаться, так и неограниченно возрастать. Определены направления затухания, постоянства и неограниченного возрастания интенсивностей волн.

Вторая глава посвящена вычислению геометрических характери-

стнк вода и интегрированию уравнений изменения интенсивностей.

Некоторые оценки модуля х, характеризующего степень разрушения микрошояюродной среда, сделанные В.П.Ыясшшовым и В.И.Топалэ, указывают на то что существует ряд материалов (в частности геоматериалов), для которых отношение ш/(\ + 2\х) является величиной достаточно малой.

Предполагается, что все переменные величины в рассмотренных . выше соотношениях представляются в виде разложения по степеням малого параметра ж = ае/(Л + 2\1), причем учитываются только линейные члены.

Методом малого параметра с точностью до линейных членов по аё получены параметрические уравнения поверхностей разрыва ускорений, выражения для компонент векторов нормалей к поверхностям, вычислены средние и гауссовы кривизны, .гроинтегрированы уравнения изменения интенсивностей волн. Показано, что линеаризация уравнений с точностью до линейных членов по х приводит к потере эффекта неограниченного возрастания интенсивности, полученного в главе I.

В третьей главе рассматриваются вопросы отражения-преломления волн на границах линейно упругого слоя, лежащего на линейно упругом полупространстве.

Предполагается, что в момент времени ¡0 в упругом слое на глубине Нг от свободной поверхности источник излучает сигнал в виде сферической продольной волны ускорений интенсивностью ы0. Начало декартовой системы координат фиксировано в точке излучения. Ось х3 - направлена ортогонально вверх. На границах в точках отражения

выполняются соотношения Снеллиуса, которые используются для интегрирования уравнений движения поверхностей разрыва. Вычисляются средние и гауссовы кривизны отраженных и преломленных волн. Величины о^ к перед фронтом падающей волны считаются известными и на поверхности разрыва выполняются соотношения

= ~ ' ж [а*ц.п] • (7)

За фронтами отраженных и преломленных волн справедливы аналогичные соотношения. Использование этих соотношений совместно с краевыми условиями (свободная поверхность - свободна от напряжений, на границе раздела нормальные компоненты векторов скорости и напряжений непрерывны) позволяет определить геометрию и интенсивности отраженных и преломленных волн ускорений.

Пжазано, что в случае когда скорость преломленной продольной волны больше скорости падающей продольной волны, е некоторый момент времени преломленная волна может стать ортогональной границе раздела и сама стать источником отраженных и преломленных волн, которые могут прийти на приемник сгналов, расположенный на свободной поверхности, раньше отраженной продольной волны, что может оказаться существенным, например, при интерпретации данных геофизического зондирования. Даны конкретные рекомендации по расположению приемников сигналов, для того чтобы избежать фиксирована таких сигналов.

В четвертой главе рассматриваются аналогичные вопросы отражения-прелок-ения волн в разномодульном упругом слое, лекашам

на рьзномодульном упругом полупространстве. При этом при отражении от свободной поверхности отраженных волны - три, а не границе раздела - три отраженных и три преломленных. Так как скорости волн, как показано в главе I, зависят от предварительных деформаций и направления распространения волн, то закон отражения становится нелинейным. Разложением по малому параметру линеаризируется система уравнений для определения интенсивностей отраженных и преломленных волн, которая может быть решена при задании конкретного вида предварительных деформаций. При этом нулевое приближение • этой' системы не совпадает с системой уравнений, полученной для упругой среды. Это связано с тем, что при сколь угодно малых деформациях волны ускорений в нелинейно упругих средах поляризованы.

Рассмотрена зад ча о распространении волн ускорений в разномодульном упругом слое, находящемся в условиях деформации

сдвига (е°п = - е°2 , = О при I * }, е°33 принимает определенное значение).

Предполагается, что в момент времени 10 в слое на глубине от свободной поверхности источник излучает сигнал в виде сферической продольно-поперечной волны ускорений интенсивностью ы^.

Определено изменение геометрии волны в процессе распространения по слою.

На рис.1 в изображена проекция поверхности ? на плоскость Ох^х3 при р = О и при различных значениях а = еп/е33, X = 0.8, ц = 0.5, х - 0.2, 1Л0 = 5. Для наглядности на рисунках изображены окружности, соответствующие гуковской модели. На рис.3 (а = - 3)

Ï5

показано, что введение поправки к гуковской модели, учитывающей наличие предварительных деформаций, может привести к существенному отклонению хода лучей от прямолинейного (.1 < t/t < 20). На рис.2 показана зависимое.j интенсивности и от угла при t/tQ - 3 (»; а = 3, 2: а = - 2, 3: а = -!).

Предполагается, что приемники сигналов расположены на положительной полуоси Ох . Зависимость компонент характеристического отрезка отраженной продольно-поперечной волны от xf определяется но следующему алгоритму: для Ю° < <■ всР из выражения для тли условия ху = определяется время отражения t ;, затем вычисляется координата т, точки отражения, по формулам п.4Л вычисляются компоненты характеристического отрезка На рис.4 > О -волна разрежения) и рис.5 < О - волна сжатия) приведены зависимости от хг при различных значениях а и следующем соот ношении величин: \ - 0.8, ц = 0.5, ге = 0.2, h1 = )0. По характеру приведенных зависимостей можно провести анализ деформированного состояния среды, например (рис.4 - волна разрежения): если в люОой точке х; Х(?'> < О, то а > О, если в некоторых точках \(ч'' / О, то a v I и т.д. В ряде случаев возможно по этим зависимостям определить знак что может оказаться важным при определении природы источника сигнала, например при а - - 2 если падает волна разрежения, то ' > О. если падает волна сжатия, то к\1' < О.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИОННОЙ РАООТЫ

I. Вычислены скорости распространения волн ускорений в раз-

номодульной упругой среде, как функции предварительных деформаций, направления распространения, упругих свойств и трещиноватости среда. Показано, что положение плоскостей поляризации волн полностью определяется предварительными сдвиговыми деформациями.

2. Получены дифференциальные уравнения, определяющие изменение датенсивностей волн ускорений. Показано, что законы изменения интенсивностей разрывов продольных и поперечных волн в отличие от линейной теории не совпадают, изменение интенсивности продольно-поперечной .и поперечно-продольной волн ускорений зависит от предварительных деформаций и направления распространения волны.

3. В задаче о распространении волн ускорений по равномерно деформированному пространству определены направления усиления и затухания плоских волн.

4. Методом малого параметра определены параметрические уравнения, средние и гауссовы криви ш поверхностей разрыва ускорений, проинтегрированы уравнения изменения интенсивностей волн.

5. Сформулированы и решены задачи отражения продольной волны от свободной поверхности упругого слоя, праломлеления на границе раздела двух упругих сред с учетом геометрии волн.

6. Сформулированы и решены задачи отражения продольно-поперечной волны ускорений от свободной поьерхности разномодулыюго упругого слоя, преломления на границе раздела двух разномодулышх упругих сред с учетом геометрии волн.

7. Исследовано распространение головной волны ускорений в разномодульном упругом слое в условиях деформации сдвига. Показана возможность оценки деформированного состояния среда по компонентам

характеристического отрезка, отраженной головной волны.

ПУБЛИКАЦИИ ПО МАТЕРИАЛАМ ДИССЕРТАЦИИ

1. Быковцев Г.И., Наумкин А.П. Отражение волны ускорений от границы раздела двух разиомодульных упругих сред. // В кн.: Динамические задачи механики сплошной среды, теоретические и прикладные вопросы вибрационного просвечивания Земли. Материалы докладов региональной конференции.- Краснодар: Изд. Кубанского университета.- 1992.- С.21.

2. Наумкин А.П. Распространение волн ускорений в разномодульной упругой среде. // В кн.: Динамические задачи механики сплошной среды, теоретические и прикладные вопросы вибрационного просвечивания Земли. Материалы докладов региональной конференщ г.Краснодар: Изд. Кубанского университета.- 1990.- С.118,

3. Наумкин А.П. Волны ускорений в упругом теле, имеющем различные модули при растяжении и сжатии. // В кн.: Сибирская школа по современным проблемам механики деформируемого твердого тела. Тезисы докладов.- Якутск: ЯЩ СО АН СССР.- 1990.-С.125.

4. Наумкин А.П. Геометрия волн ускорений в упругой среде с микронарушениями. Препринт.- Владивосток: ИАПУ ДГ"> АН СССР.- 1991.13. с.

5. Наумкин А.П. О распространении волн ускорений в разномодульной упругой среде. // В кн.: Прикладные задачи мехе, шки деформируема сред.- Владивосток: ДВО АН СССР.- 1991.- С.216- 229.

Александр Павлович НАУМКИН

ВОЛНЫ УСКОРЕНИИ В РАзна.юшыюл УПРУГО»! СРРЛЕ

Авто^ £ерат

Лицензия ЛР № 040118 от 15.10,УI г.

Подписано к печати 4.10,93 г. Формат 60хЬ4/16.

Печать офсетная. Усл.п.л. 0,93. Уч.-изд.л. 0,55.

Тираж 100 экз. Заказ 139._

Отпечатано участком опеоативной полиграфии издательства "Дальнаука11

630041, Владивосток, Радио, 7