Вольтерровы операторные уравнения и их применение в теории оптимизации гиперболических систем тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

На правах рукописи

РГБ ОД

1 4 ДЗГ 200]

ЧЕРНОВ Андрей Владимирович

ВОЛЬТЕРРОВЫ ОПЕРАТОРНЫЕ УРАВНЕНИЯ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ В ТЕОРИИ ОПТИМИЗАЦИИ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИХ СИСТЕМ

01.01.02 — Дифференциальные уравнения

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Нижний Новгород - 2000

Работа выполнена в Нижегородском государственном техническом университете.

Научный руководитель - доктор физико-математических наук

В.И.Сумин

Официальные оппоненты - доктор физико-математических наук

Ведущая организация - Удмуртский государственный университет

Защита состоится на заседании диссертационного совета Д 063.77.07 при Нижегородском государственном университете по адресу: 603600, Нижний Новгород, пр-т Гагарина, 23, корп.2, конференц-зал

С диссертацией можно ознакомиться в фундаментальной библиотеке

B.П.Максимов

доктор физико-математических наук

C.Н.Слугин

21» 2000 г. в

30

час.

ННГУ.

Автореферат разослан " /2 "

2000 г.

Ученый секретарь диссертационного совета Д 063.77.07, кандидат физико-математических наук,

доцент.

В.И.Лукьянов

о г

Общая характеристика работы

Актуальность темы. В диссертации развивается теория Вольтер- . ровых операторов и вольтерровых операторных уравнений 2-го рода общего вида:

У = Е[У], уеЕ, (1)

в банаховом пространстве (б.п.) Е, применительно к таким проблемам математической теории оптимального управления распределенными системами, как устойчивость существования глобальных решений (у.с.г.р.) управляемых начально-краевых задач (н.к.з.), получение необходимых условий оптимальности (н.у.о.) в соответствующих оптимизационных задачах, п в частности, преодоление сингулярности (в смысле Ж.-Л.Лпонса) управляемых н.к.з.. При этом вольтерровость оператора Р понимается относительно системы проекторов {Р} в смысле РРР = РР, УР.

Суть упомянутой проблемы у.с.г.р. для управляемых н.к.з. состоит в следующем. Обозначим через IV класс функций, в котором ищется решение некоторой управляемой н.к.з., а через 12 класс управлений, каждому из которых отвечает единственное в решение этой н.к.з.. В теории необходимых условии оптимальности, в численных методах оптимизации типа градиентных, в задачах с приближенно известными исходными данными, в теории чувствительности управляемых систем и любых других разделах, где производится варьирование управления, возникает вопрос: не выводят ли вариации управления щ £ П из класса П, ибо в противном случае соответствующие теоретические построения оказываются невозможными или не имеют смысла. Если не выводят, то и говорят о том, что имеет место у.с.г.р. управляемой н.к.з.. Вопрос о достаточных условиях у.с.г.р. для нелинейных н.к.з. не является надуманным. Как указано, например, в работах Ж.-Л.Лионса1 и В.И.Сумина2, существует достаточно много имеющих прикладное значение оптимизационных задач для распределенных систем, в которых возникают неустойчивости подобного вида. Там же приводятся и достаточно простые примеры, иллюстрирующие эту проблему. Отсутствие гарантий у.с.г.р. ведет к предположению о глобальной разрешимости

'[Л] Лионе Ж.-Л. Управление сингулярными распределенными системами. М.: Наука. 1987. - 368 с.

2Сумип В.И. Функциональные вольтерровы уравнения в теории оптимального управления распределенными системами. Часть 1. Вольтерровы уравнения и управляемые начально-краевые задачи. Монография. Н.Новгород: Изд-во ННГУ. 1992.-110 с.

управляемой и.к.о. для любого допустимого управления, либо вынуждает рассматривать управляемую систему как сингулярную в смысле Ж.-Л.Лнонса, и соответственно, постулировать равноправность "управления" п "состояния", что усложняет оптимизационную задачу. При возможности бывает удобнее воспользоваться достаточными условиями у.с.г.р.. Для сосредоточенных систем общие теоремы у.с.г.р. доказаны в учебнике [В.М.Алексеев, В.М.Тихомиров, С.В.Фомин. "Оптимальное управление". М.: Наука. 1979], п.2.5.5.. Что касается распределенных систем, то за исключением результатов В.И.Сумина3 в обширной литературе по оптимальному управлению этому вопросу уделялось относительно мало внимания. А именно, условия у.с.г.р. изучались лишь для некоторых н.к.з. и, как правило, при специальных возмущениях управления, требующихся для получения условий оптимальности (см., например, работы А.С.Матвеева, В.АЛкубовича, А.В.Фурсикова, J.F.Bonnans, H.O.Fattorini и др.).

В работах В.И.Сумина предложена общая схема получения условий у.с.г.р. для функциональных вопьтерровых уравнений (ф.в.у.) в лебеговых пространствах, а именно, уравнений вида

z(t) = f(t,A[z}(t),v(t)), *€2£(П), «еП, (2)

где П - фиксированное ограниченное, измеримое (здесь и далее - по Лебегу) множество в R"; /(í,p,v) : П х R' х R' —> Rm - заданная функция; А : £™(П) —> £,(П) - линейный ограниченный оператор (л.о.о.), являющийся вольтерровым на некоторой системе Т подмножеств П (в том смысле, что \/Н G Т: РдАРц = РвА, где Ря ~ оператор умножения на характеристическую функцию множества Н С П); и : П —♦ R* - управляющая функция из некоторого класса V С L'k(П) допустимых управлений4. Как показывают многочисленные примеры [С], самые разнообразные н.к.з. для уравнений с частными производными весьма широкого класса (параболических, гиперболических, интегро-дифференциальных, с запаздываниями и др.), сводятся естественным образом к ф.в.у. (2). Форма (2) представляет собой удобный компромисс между стремлением к общности построений и желанием получить результаты в удобной для приложений форме. Вместе с тем в различных вопросах оптимизации бывает иногда удобнее рассматривать

'см., например, [С] Сумин В.И. Функциональные вольтерровы уравнения в математической теории оптимального управления распределенными системами. Дис.дохт.физ.-мат.наук. Н.Новгород: ННГУ. 1998.-346 с.

4для пространств типа ф.в.у. (2) в работах В.И.Сумина рассматривается в случае управляемых А и /; в Loo на предмет у.с.г.р. изучается также и уравнение вида (1).

уравнение вида:

у(«) = 0(О + л[/(.,у(.).«(-)ЖО, у е ¿4(П), г е п, (з)

где А,/, и имеют тот же смысл, что п выше, 0(.) £ 2^(П).

Схема В.И.Сумина получения условий у.с.г.р. включает: а) Метод продолжения "локальных решений" по вольтерровским цепочкам (множеств) операторов, задающих ф.в.у.. Здесь под вольтерровской цепочкой оператора Р понимается конечная линейно упорядоченная по вложе-пию система Т подмножеств II множества П, имеющая минимальный по вложению элемент, совпадающий с пустым множеством 0, и максимальный элемент, совпадающий с П, п удовлетворяющая условию (вольтер-ровостп): Ря-^-Ря = НЕТ. б) Специальную локальную теорему

существования и единственности решения ф.в.у.. в) Специальную теорему о "продолжении решений" ф.в.у. с одного множества вольтерровской цепочки на другое, г) Специальную лемму об априорных оценках разности локальных решений, отвечающих разным "управлениям".

В диссертации указанная схема распространена на случай оператор-пых уравнений второго рода общего вида, т.е-. уравнений вида (1), в б.п.. При этом вольтерровские цепочки множеств заменяются вольтер-ровскими цепочками проекторов. Более существенное отличие состоит в том, что учитывается зависимость коэффициентов априорных оценок от количества сделанных при продолжении шагов вдоль "вольтерровской цепочки проекторов". Кроме того, введение специальных операторных классов Е(До>-К,Л/", Е), тесно связанных с процедурой продолжения по вольтерровской цепочке, дает возможность детализировать упомянутую схему. Указанный подход позволяет упростить формулировку признака у.с.г.р. и даже ослабить его требования. Получено, таким образом, обобщение схемы В.И.Сумина, позволившее рассмотреть как 1) некоторые рассмотренные ранее управляемые н.к.з. при более слабых условиях, так и 2) некоторые новые н.к.з. (задача Кошп для гиперболической системы 1-го порядка с управляемыми старшими коэффициентами; управляемая первая краевая задача для гиперболического полулинейного уравнения 2-го порядка общего вида).

Цель диссертационной работы состоит в исследовании вольтер-ровых операторов и вольтерровых операторных уравнений вида (1) применительно к решению таких проблем теории оптимального управления распределенными системами, как устойчивость существования глобальных решений (у.с.г.р.) и единственность решения управляемых н.к.з., сингулярность распределенных управляемых систем и получение необходимых условий оптимальности (н.у.о.).

Методы исследования. В работе использованы методы функционального анализа, теории функций действительного переменного, уравнений с частными производными и теории оптимального управления.

Научная новизна и основные результаты. Автором получены следующие новые результаты:

1) Введены понятия "система вольтерровских проекторов оператора" и "система вольтерровских множеств функционального оператора", оказавшиеся полезным инструментом изучения операторных уравнений 'и операторов, действующих в б.п.. Введено понятие "вольтерровская 6-сеть" функционального оператора, с помощью которого сформулирован и доказан ряд удобных в приложениях признаков квазинильпотентности оператора, обобщающих известный признак П.П.Забрешю.

2) Получены общие условия у.с.г.р. вольтерровых операторных уравнений (1) по возмущению оператора. С их помощью получены новые условия у.с.г.р. для функциональных вольтерровых уравнений вида (2), исследованных ранее в работах В.И.Сумина, а также уравнений вида (3), ранее не исследованных. Получен ряд новых конкретных признаков у.с.г.р. управляемых н.к.з. для системы гиперболических уравнений 1-го порядка (с управлением в старших коэффициентах), В для различного вида гиперболических уравнений 2-го порядка, в том числе с переменными коэффициентами (в частности, исследована смешанная задача для полулинейного гиперболического уравнения общего вида).

3) На модельных примерах из известной монографии [Л] показала возможность преодоления сингулярности (в смысле Ж.-Л.Лионса) распределенных управляемых систем с помощью теорем у.с.г.р. и получения н.у.о. для соответствующих оптимизационных задач классическим способом. Получены н.у.о. типа принципа максимума для задачи оптимального управления старшими коэффициентами системы гиперболических уравнений 1-го порядка с интегральным (по варьируемой области определенности этой системы) функционалом качества.

Степень обоснования результатов диссертации. Все научные положения и выводы диссертации строго математически обоснованы. Полученные в ней результаты хорошо согласуются с работами других авторов, как отечественных, так и зарубежных.

Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Полученные в ней результаты и методы могут быть применены в теории оптимального управления: 1) при исследовании на у.с.г.р. и сингулярность, 2) при получении условий оптимальности конкретных управляемых систем с помощью сведения их, (напри-

мер, обращением главной части) к уравнению вида (1), а также 3) при обосновании численных методов оптимизации типа градиентных.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались и обсуждались: на 1,11 Международных конференциях "Мат. алгоритмы" (Н.Новгород, 1994, 1995); на VIII весенней школе "Понтрягпнские чтения" (Воронеж, 1997); на Итоговой научной конференции Нижегородского госуниверситета (1999); на IV Нижегородской сессии молодых ученых (математика и математическое моделирование) (Саров, 1999).

По теме диссертации были сделаны доклады: на семинаре по оптимальному управлению мех.-мат. ф-та ННГУ (рук. доц. В.И.Сумин, доц. М.И.Сумин, 1993-1999); па семинаре каф. численного и функционального анализа ф-та ВМК ННГУ (рук. проф. С.Н.Слугин, 2000); на Ижевском городском семинаре по дифференц. уравнениям и теории управления (рук. проф. Е.Л.Тонков, 2000); на семинаре каф. экономической кибернетики Пермского гос. ун-та по конструктивным методам исследования дифференц. уравнений (рук. проф. В.П.Максимов, 2000).

Работа поддержана Российским фондом фундаментальных исследований (гранты 95-01-00701, 98-01-00793) и Конкурсным центром при С.-Петербургском ун-те (гранты 93-1-71-19, 94-1-17-371).

Публикации. Основные результаты отражены в девятнадцати публикациях, список которых дан в конце автореферата.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав п дополнения, разбитых на параграфы, а также 9 рисунков и списка литературы из 145 наименований. Объем работы 177 стр.

Краткое содержание работы

Во введении обсуждаются актуальность темы диссертации, новизна полученных результатов и теоретическая ценность работы.

В главе 1 изучаются вольтерровы операторные уравнения в б.п.. В частности, в §1 вводится понятие системы вольтерровскпх проекторов оператора, действующего в б.п.. Соответственно, исследуются некоторые свойства проекторов в б.п.. Напомним5, что л.о.о. Р, действующий в линейном нормированном пространстве (л.н.п.) Е, называется проектором, если: РР = Р; при этом говорят, что проектор Р\ предшествует проектору Р2 (обозначение: Pj С Рг), если Р1Р2 = Р2-Р1 = Р\- Для проекторов Р,-, Р, в п.1 вводится обозначение P(j¿) = Pj — P¿; показывается, что Р(у,,) тоже проектор.

5Данфорд II., Шварц Дж. Линейные операторы. Т.1. Общая теория. М.: ИЛ. 1962.896 е.: см. п.б.3.1; п.6.3.4, с.518.

Пусть Е - б.п., Д > 1, I : Е Е - тождественный оператор, Р(Я,Е)={Р : Е Е | Р - проектор, ||Р||£:_я < Д}. Семейство вольтерровских проекторов оператора Р определяется в п.2 как

я(р, д) ={р б р(д, е) |рр = ррр}.

Далее поучаются свойства вольтерровских проекторов.

В п.З дается еще одно центральное определение, а именно определение операторного класса Я, №,Е), являющегося основным инструментом при доказательстве теоремы у.с.г.р. и теоремы единственности для операторных уравнений второго рода. Пусть 3? С Р(Д, Р),

ян={Р(2,1) I РьЯеЯ, Р1ср2}.

Определение 1.1.4. Пусть Р : Е —► Е - некоторый оператор, к £ N. Подсистему Т = {Ро, Р^..., Р*} С В(Р, Д) назовем вольтерровской цепочкой оператора Р, если: 1°. Р0 = 0,Рк — I] 2°. Р,\_1 С Р{, г = 1,к.

Определение 1.1.5. Пусть До > О, Д > 1 - некоторые числа, : 11+ —» Н+ - неубывающая функция, Е - б.п.. Определим класс операторов Е(До, Д,Л/*, Р) как множество таких Р : Е —► Е, для каждого из которых существует система проекторов 3? С 23(Р,Д) и функция *»(.) : »(-) 11+, такие, что I £ Я, <р(1) < Я0,

И;,) [Яу + - ** Иг/ + \\е <

•^(тах{||Р4»||я> • ||-Ру,о(г1" (*)

Множество всех пар {3?, ¡р}, удовлетворяющих указанным условиям' для данного оператора Р класса ,Е), обозначим

Следующее понятие (<р, ¿)-цепочки также используется как основной инструмент при доказательстве теоремы у.с.г.р. уравнения (1).

Определение 1.1.6. Пусть т = {Ро, Р1,..., Рь} - вольтерровская цепочка оператора Р : Е —> Е, <р : —► Н+ - некоторая функция, 6 > 0 - некоторое число. Цепочку Т назовем вольтерровской (ср, 6)-цепочкой оператора Р, если ^(Р^,,-!)) < <5, г = 1 ,к.

Далее в диссертации вольтерровские (<р,6)-цепочки используются в специальной ситуации, когда Р £ Е(Ло,-К,Л/*,Р), Т С К, <р : К'-' —+ И+, где {К, <р} £ (см. определение 1.1.5). Важным частным случаем ситуации, описанной в определении 1.1.6, является следующий случай..

Определение 1.1.7. Пусть выполнены условия определения 1.1.6, Р : Е —* Е - л.о.о., а функция <р(.) : Т^ —► Н+ задается формулой: ¥>(Р) = |[РРР||£-,£, Р £ Тогда вольтерровскую (у>, 6)-цепочку оператора Р будем называть вольтерровской ¿-цепочкой оператора Р.

Понятие вольтерровскон ¿-цепочки л.о.о. Р окапывается полезным при оценке спектрального радиуса р(Р) (см.§3).

Далее рассматриваются примеры операторов класса Г(До,Я,Л(,Е), возникающие при обращении главной части н.к.о.

Определение 1.1.8. Пусть //(■) : К+ -+ - неубывающая функция, Е - б.п., Ё - л.н.п., (1 > 0 - некоторое число. Определим класс операторов Г,Е,Е) как множество таких Р : Е —> Е,.для каждого из которых существуют элемент х <Е Е, л.о.о. А : Е —» Е, п оператор б : Е Ё, такие, что 1°. F[у] = х + \/у 6 Е. 2°.

1№] - < ^(тах{||®||в> ||2/||я}) • ||х - у\\Е. 3°. < ¿.

Определение 1.1.9. Пусть Л/*(.) : К.+ —+ В.+ - неубывающая функция, Е - б.п., Е - л.н.п., в. > 0. Определим класс операторов ¥хь{<1,М,Е,Е) как множество таких .Р : Е —* Е, для каждого из которых существуют л.о.о. А •. Ё Е и оператор в : Е —> Ё, такие, что 1°. Р = (ЗА. 2°. \\0[х] - СЫН* < ^(тах{||х|и, \\у\\Е}) ■ \\х - у\\Е. 3°. ||А||^ < А

Доказывается, что при определенных условиях эти классы содержатся в классе Г(Яо, Д,Л/\£).

В §2 построения §1 "расшифровываются" для случая банаховых идеальных пространств (б.и.п.) измеримых функций6. Пусть п,т 6 Г^, П С К" - фиксированное, ограниченное, измеримое множество, Е = Ец - <7-алгебра измеримых подмножеств П, В - некоторое б.и.п. измеримых на П функций, Е = Вт = В х ... х В, = ]||а5|||в, х 6 Е. Даль-

т

петнее изложение §2 ограничивается случаем, когда в качестве проекторов рассматривается лишь всякий оператор Рц умножения на характеристическую функцию хя множества II £ Е. При этом предшествование проекторов Р/, С Рв означает вложение множеств к С Н. Кроме того, поскольку для всякого множества Н ненулевой меры ||.Ря|| = 1, то соответственно, число Л в определениях В(Р,В), ¥(Но,Н,М,Е) и т.п. принимается равным 1 и в обозначениях опускается; при этом проектор Ра отождествляется с множеством Н Е Ед.

Пусть Ег,Е2~ б.и.п. измеримых на П функций или их прямые произведения, А\Е\^Е2- оператор; В(А) ={Я £ Еп | РцАРп = РцА). Множества системы В{А) назовем вольтерровскими множествами оператора А.

Далее, в п.2, в качестве примеров операторов пз определенных ра-

6Б.п. Е измеримых функций называется банаховым идеальным пространством (б.и.п.), если {у е Е,х - измеримая функция, |г| < =>■ {х 6 Е,\\х\\в < ||у||Е}, [Канторович Л.В., Акилов Г.П. Функциональный анализ. М.:Наука. 1977.-742 с], с.139.

нес классов FLN(d,Af, Е, Ё), F NL(d,M ,Е,Ё) указываются (с подробным обоснованием) операторы F вида F[y] — 0 + /1[/(.,у(.),и(.))], и = /(.,.A[z](.),u(.)). Так, для класса FLN(d,Af,E,E) проводятся следующие построения.

Пусть, как и В, В - некоторое б.п.п. измеримых на П функций, I £ N - число, Ё — В1; д(.,.) : R" х Rm —♦ R' - некоторая функция, удовлетворяющая условиям: Условия G.

•1°. Формула <7[y](i) = g(t,y{t)), у Е Е, определяет оператор G : Е —* Е. 2°. Существует неубывающая функция N : R+ —> R+, такая, что:

№] - СЫЬ < ^(тах{|М|£, ||й||я}) • ||У1 - й||я.

Пусть d > 0 - фиксированное число. Обозначим через А - класс л.о.о. А: Ё —* Е, удовлетворяющих условию: ЦЛЦ^^^. < d.

Теорема 1.2.1. Пусть для оператора F : Е —» Е, определяемого при А Е А, в £ Е формулой F[y] — в + yl[g(.,y(.))], выполнены условия G. Тогда оператор F принадлежит классу F(d,Af,E), причем Nj? Э {3?, ¥?} при Я = В(А), <p(h) =

Далее показывается, что в случае лебеговых пространств условие G можно заменить на приводимое далее условие G' (см.лемму 1.2.6). Пусть В = L„ В = Lp, В = Lr, где ± + * = ± (при q = р: г = оо); Ё = Вт Условия G'.

1?. Функция g(t,p) измерима по t £ П для всех р Е Rm и непрерывно дифференцируема по р Е Rm для п.в. t £ П.

2°. Формула G[y](i) = g(t,y(t)), t Е П, у £ Е, определяет оператор G : Е —* Ё.

3°. Формула G[r/](i) = g'p(t,y(t)) определяет оператор G : Е —> Ё, причем существует неубывающая функция Si : R+ —» R+ такая, что

Пусть Lp = Lp(П). Специально для случая лебеговых пространств доказаны:

Теорема 1.2.2 (вариант: см. замечание 1.2.4). Пусть p,g, г £ [1, оо), г > q; А : Lp —у Lr - л.о.о., 9 Е Lq\ функция д(.) удовлетворяет условию G при Е = Lq, Ё = Lp. Тогда 3/3 = /3(r,q) > 0: для оператора F : Lq —» Lq, определяемого формулой jF[j/](i) — 6{t) + A[g(.,y(.))](t), имеем: F Е F ^mes(ny, 1,C L^j, VC > \\A\\L^Lr, причем К, Э {ЗД, при ft = B{A), <p{h) = mes{h f.

Теорема 1.2.3 (вариант: см. замечание 1.2.5). Пусть p,q £ [1,оо), р < q, I Е N; А : Lp —* L'p - л.о.о., в £ Llp; функция д(.) удовлетворяет

условию в при Е = £р, Ё = Тогда 3(3 — /3(р,д) > 0: для оператора Р : Ь'р Ь1р, определяемого формулой = б(г) + ))](«),

имеем: Р € Г (До, 1, С • где Д„ = тез(П)", УС > ||Л||£р_х,,

причем Э при К = В(А), (р(к) = тев^у.

В §3 изучается связь между вольтерровостью и квазпнильпотентно-стью л.о.о.. Показано, что наличие у л.о.о. (?, действующего в б.п. Е, вольтерровской ¿-цепочки для всех ¿ > 0, гарантирует равенство нулю спектрального радиуса данного оператора (см. теорему 1.3.4). Далее получены признаки квазинильпотентностп л.о.о. в б.и.п.. Итак, пусть Е = ВВ = -В(П) - б.и.п. измеримых на П функций; С?: Е Е - л.о.о.. Обозначим через систему всевозможных разностей вольтер-

ровских множеств л.о.о. С; ¿(С?) - систему всех элементов Е = Е(П), на каждом из которых оператор С? удовлетворяет ¿-условию: ||Рд(?РА|| < 6.

Обобщим понятие вольтерровской ¿-цепочки. А именно, конечного подсистему системы назовем вольтерровской ¿-сетью л.о.о. (7 :

Е —» Е, если она покрывает П, и на каждом элементе этой подсистемы оператор С удовлетворяет ¿-условию. Простейший пример вольтерровской ¿-сети—система {Н{ \ последовательных разностей элементов вольтерровской ¿-цепочки {Но,Н\,...,Нк}. Таким образом, из существования вольтерровской ¿-цепочки оператора следует существование его вольтерровской ¿-сети. Обратное гораздо менее очевидно.

Теорема 1.3.5. Вольтерровская ¿-цепочка л.о.о. (7 : Е —► Е существует тогда и только тогда, когда существует вольтерровская ¿-сеть этого оператора.

Таким образом, наличие у л.о.о. С?, вольтерровской ¿-сети для всех ¿ > 0, гарантирует равенство нулю спектрального радиуса данного оператора. Последнее обстоятельство позволяет получать различные признаки квазинильпотентности, удобные в конкретном применении. Приведем пример подобного признака. Пусть ПсЯ"- компакт, г) -открытый шар радиуса г с центром Ь Е П, £>(£, г) = ППВ((, г). Для л.о.о. <3 : Е —► Е положим (сЦат(й)-диаметр множества К)-.

Тс(г) = 5ир{ ИДбРьИ},

фа(г) = вир ||РД((,Г)СРД((,Г)||; ус(г) = вир^Ы^ сМат(Л)}.

Теорема 1.3.6. Если л.о.о. (3: Е —► Е удовлетворяет одному из условий: 1) Тс(г) —> 0 или 2) ус(г) —» 0, фв(г) —► 0 - при г —> +0, то он обладает > 0 вольтерровской ¿-цепочкой, откуда р(в) = 0.

Пусть Ei,E2 - б.и.п. пли пх прямые произведения. Заметим, что понятие вольтерровской ¿-сети и ¿-цепочки легко переносится и на случай л.о.о. А : Ei Е2. С учетом сказанного справедлива

ТЪорсма 1.3.8. Пусть оператор F класса F(Ro,Af, Е) таков, что э {»,¥>}, при Я = В{А) С B(F), <p(h) = ЦРнАР^е^е,, где ЕиЕг -некоторые б.и.п. измеримых на П функций или их прямые произведения, А : Е\ —> Е2 - некоторый л.о.о.. Тогда если л.о.о. А удовлетворяет одному из условий 1) или 2) теоремы 1.3.6, то оператор F обладает V<5 > 0 вольтерровской (ip, 5)-цепочкой. При этом, если Е\ = Е2, -то спектральный радиус р{А) = 0.

В §4 введено понятие у.с.г.р. уравнения (1) по возмущению оператора. Обозначим через Q(E) множество тех F : Е —► Е, каждому из которых отвечает единственное в Е решение уравнения (1). Если F,Fq £ ЩЕ), то мы говорим, что при возмущении AF — F — Fo оператора Fo имеет место у.с.г.р. уравнения (1). Далее в §4 получены общие условия у.с.г.р. уравнения (1) по возмущению оператора. Сформулируем следствие одного из них. Пусть Rq > 0, R > 1; Af(.) : R+ —* R+ -неубывающая функция; й С Р(R, Е); F - подкласс класса F(i?o, R,Af, Е) такой, что каждому оператору F £ Е отвечает по определению 1.1.5 некоторая пара £ Хр такая, что F обладает У6 > 0 вольтер-

ровской (у>.р,6)-цепочкой ТсЯс

Теорема 1.4.4 (упрощенный вариант). Для любого Fo £ F, которому отвечает глобальное решение уо £ Е уравнения (1) (при F = Р0), найдутся числа е, С > 0, такие, что для всякого оператора F £ F, со свойствами: 1°. |<pF(P) - VFo(P)\ < е, VP £ &Н; 2°. ||ДРЫ||Е < е (ДР = F—Fq), уравнение (1) имеет единственное решение у £ Е; причем

Цу-ifolU <с.||ДРМИ*-

Далее, в §1.5, получены следствия абстрактного признака у.с.г.р. для операторов Р £ FLN(d,Ai,E,E), и в частности, в §1.6,

операторов вида F[y] = в + Л[/(.,у(.),и(.))], F[z] = f((.,A[z}{.),«(.)).

В случае дифференцируемого оператора Р в §1.7 доказан вариант теоремы о неявной функции для уравнения (1). Далее получена формула, выражающая приращение решения Ду через ДР(у0), и формула производной Фреше дифференцируемого функционала, определенного на решениях уравнения (1), по и, при Р[у] = G[y,u\.

Полученные результаты позволяют, используя обращение главной части, выписывать достаточные условия у.с.г.р. конкретных н.к.з. по возмущению управлений, входящих в "правые части" уравнений, начальные и граничные условия, а также в главные части уравнений с

частными производными. В главе 2 приводятся разнообразные примеры получения условий у.с.г.р. управляемых н.к.з. для нелинейных гиперболических уравнений, в том числе с переменными коэффициентами, и при понимании решения в обобщенном смысле (§§2.2-2.4):

• задача Кошп для уравнения xt\t*(f) = g(t,x(t),xti(t),xti(t),u(t)): управление правой частью уравнения, начальными функциями и кривой начальных данных;

• задача Кошп-ГУрса для того же уравнения: управление правой частью уравнения и начальными функциями;

• задача ГУрса для уравнений: Vt*x"Hi — x"J<2 = g(t,x,x'ti,x[i,u(t)), и х"ч* ~ t2x'k> = 9(t, x'tu x^, «(<)), t £ П;

• смешанная задача для полулинейного гиперболического уравнения 2-го порядка общего вида;

• задача Копш для системы гиперболических уравнений первого порядка: управление старшими коэффициентами.

Теоремы у.с.г.р. главы 2 получаются фактически переписыванием соответствующих результатов главы 1, примененных к тому или иному операторному уравнению вида (1), эквивалентному данной управляемой н.к.з.. Приведем примеры. В §2.3 рассматривается следующая н.к.з..

Пусть Т > 0; Q С R" - ограниченное открытое связное множество переменных i= {ib..., f„}; £ [0,Т] х ф=П; S = (О, Г] х 8Q.

Поставим смешанную задачу для уравнения

\ £ + = g(t,x(t),u(t)), t £ П;

< м=о ' i=o 4 (4)

' ( х(0, t) - rpW(t), t £ Q; <(0, t) = V(2)(i), i £ Q; x = 0,

где £ w{2 (Q) x L2(Q)=% «(.) £ V, V С L\(П) - ограни-

ченное множество;

a„о = 1 ,ay = ajt(i,j = 0^), £ < d ■ Z g (V£ £ R"), t £ Hp

i,j=1 ¿=1

d < 0; все a,;(.) (соотв. все a,(.)) непрерывны в П и имеют ограниченные обобщенные.производные до 2-го (соотв. до 1-го) порядка, причем производные 1-го порядка от а;;(.) непрерывны;

функция g(t, у, и) : П х Rx R* —> R измерима по t для всех {у, и} и непрерывно дифференцируема по у для всех и при п.в. t, при этом существует

9 е [1,2^1): формулы Си[у)йд(.,у(.),«(.)), 0{у,и)Ч (-М«(•)), ределяют оператор С?и : ¿,(11) —> Х2(П), V« £ Х>, и ограниченный оператор (?[, .] : Ь„ х 2? -» £г, д-1 + г"1 = 2"1.

о (1,1) . /Ц

Пусть ТУ2 (П)) - замыкание в норме ТУ2 (П) класса гладких функций, зануляющихся вблизи 5; ¿>2 (П) - совокупность всех тех функций из Г) 1 (П), каждая из которых обращается в нуль при Ц (Е [Т — 6,Г],

для некоторого 6 £ (0,Т]; ¿>2 (П) С И^'^П); £)2 (П) - замыкание класса

М1 о (М)

Г>2 (П) в норме пространства (П). Для х £1^2 (П), г £Е Ь2(И),

О

тр £ Ф, <р €¿>2 (П) положим:

г,ФМ = 1 + 2 Е «о,^) £)ЛЧ / + 2 £

+ + £ - £ + 2] „} Д;

Чх, =2™ьИДт' •) - М-Ж^у

Обобщенным решением задачи (4) для данного ф £ Ф назовем

о (1,1) (,)

функцию х 6IV2 (П) С (П), удовлетворяющую условиям:

Мх,д{.,х(-)М-))Л^и'Ф2}М = ^ Уф ^2 (П); 12[х, {фиф2}] = 0. (5)

Показало, что это определение обобщенного решения задачи (4) корректно и тождество (5) эквивалентно операторному уравнению

г - едо + В[д(.,х(-),«(.))]. * е и^1 >(П),

где © : Ф = (<?) х Х2(<Э) ^^ (П), В : Х2(П) -уЦГ^ (П) - л.о.о., т.е. уравнению вида (3). Обозначим через П множество пар {и, ф} £ V х Ф, для каждой из которых задача (4) имеет единственное обобщенное решение х[и,ф].

Теорема 2.3.2. У{щ,ф0} € Ю 3 числа е,С > 0: если {и, ф} £ V х Ф и

Щи,ф) =||2? [Ди5(хо)]||х,(п) + II© [Д^]||£>(п) < е,

где Дид(х0) = д(., х0, и)-д(., х0, и0), ДФ = ф—Фо, х0 = ж[и0, ^о], то {и, ф} 6 П, причем ||х[и, ф]{.) - х[«о, ^о](.)1|£,(п) < С • П{и,ф).

В §2.4 рассматривается задача управления старшими коэффициентами системы гиперболических уравнений 1-го порядка:

хМ'и+рМ(г2,чи(Ь))-х% = дЩ1,хЦ)), «еП», ¿ = 1^, ®(0|*2) = ш(<2)> «а е [а,Ь], К )

где т £ N, Т £ 11+, п отрезок [о,Ь] С К заданы; < = {<1,<г} € К-2, х,(3,д,и),и £ Ш", т.е. х = {¡с*1',..., г(т)} п т.д.; и(.) 6 2£[0,Г] - управление, Пи С [О, Т] х К - область определенностп. Пусть С/(,) с К, г = 1,т, - некоторый отрезок. Определим множества, г = 1 ,тп:

и={и£ Н.т|и<'> 6 С/(0, » = Мг}, Vf = К х иVg = [0, Т] х К х Кт.

На входные данные н.к.з. (6) накладываются условия: 1°. «(.) еР={«(.) е ь^[о,т}\и(т) £ и, п.в. г е [о,т]}.

2°. Условия (В) на функцию /3(.,.). Для г = 1,тв:

1) Функция : —> К дифференцируема по ¿2 £ И V« € 17(,), п вместе с производной ^'(¿2, и) непрерывна по {¿2,«} £

2) Существует неубывающая функция Л^з: Н.+ —► Н.+ такая, что:

\РЩ12,и)1 \$'{12,ч)\ < ЩМ), Чч £ и®, если |<2| < М. 3°. Условие строгой гиперболичности.

/ЗМря.иМ) < ... < /?(т>(«2,и(т)), V« € £/, У*2 € Л-4°. Условия (С) на функцию д(.,.).

1) Функция д(Ь^2,р) : Т>д —+ ]1т измерима по ¿1 €

К х Кт и непрерывна по {Ь2,р} £ К- х Н.т при п.в. ^ £ [0, Г];

2) Существуют неубывающие функции .АЛ*) : Н.+ —♦ Н.+, к = 0,1,2:

М«,р)1 < .ЛЛ0)(М), если и £ [0,21, М, И < М; Ш,Р1)-д&Р2)\ < ММ(М)-\Р1-Р2\, еслие [0,37, |г2|,< м; Шитир) - д{и,т2,р)\ < Я<Я{М) ■ |п - Г2| при Ь £ [0,Г], \тг\,\т2Ш<М.

5°. Условия на функцию «;(.) : [а,Ь] —► В.т (условие Липшица):

3лг„ > 0: |ш»(Т1) - и;«(Т2)| < . |п _ Т21 Утит2 £ [а,Ь], г = Т^И.

Уравнения характеристик, проходящих через точку < = {£], ¿2} £ К-2:

Г = р£ € [0,Т], г = ТТпг,

[ »«(¿1,4) = <2, 1 = 1,77г. „

Заметим, что если решение задачи (7) удовлетворяет условию

2/1т)(£.0,а) < у^,0,Ь), е [0,Г], (тг)

то в силу условия 3° область определенности задачи (6) имеет вид:

П„ = {4еН.2 I у1тН<1.0,а)<<2< ^(¿1,0,6), «,е[0,Г]}.

Считая, что для и £ Т> соответствующие решения задачи (7) существуют и удовлетворяют условию (я-), определим множества, 6 > 0:

n,(u) = {t е ъ2\у11)М") - «5 < <2 < yim»(<i.o,b) + s, h е [о,г]}.

Теорема 2.4.1 (у.с.г.р. задачи (7)). Пусть управлению и0 £ Т> для всех т £ [а, 6] отвечает единственное решение Уо(-><) £ ACm[0, Т] задачи (7) при t = {0, г}, и это решение удовлетворяет условию (тг). Тогда существуют числа So, Cq > 0, не зависящие от г и такие, что если управление u£V удовлетворяет условию:

R(u, «о) = max j\¡3 (y0(£, 0, s), «(£)) - P Ы£. 0,»), «о(0)К < £о,

«е[а,Ь] о

то определение множества Пи имеет смысл, и для всякого Í £ П„ существует единственное решение yu(., í) £ j4Cm[0,T] задачи (7). Соответствующее семейство решений {yu(.,t)|i 6 Пи} удовлетворяет условию (я-), а также обладает свойствами7: Io. ЦДу(.,0,г)ЦДв[0д <co-r(u,uq), Vt £ [а,Ь];

2o. Vi £ Пи, i = l,m кривая t2 = í), пересекает прямую íi = 0 в

точке из [а,Ъ]] е П„ V£ е [O.tJ;

3o. {£»«(£,«)} € П0(и) С nf(w0) при «5 = Cq£q, V£ € [0,Г], Vi £ Пи, i -- 1 ,m, Пц С П^(ио);

4°. Функция у = yu(f, i), f £ [0, T], t £ П„, непрерывно дифференцируема по <2, причем производная ограничена константой, не зависящей от переменных {£, £}, и имеет вид

y<f(£,t) = ехр |- |/3|;Т (yW(s,í),uW(s)) ds J , i = Т7Ж;

5o. Кроме того, эта функция удовлетворяет условию Липшица по ti:

IM-, ¿1, t2) - yu(., ¿1, ¿2>||х-[о,t¡ ^ L' 1*1 ~ ¿il

для всех <i таких, что отрезок {í £ R2 | í2 = t2, t¡ £ [fi,fi]} содержится в множестве П„, причем константа L > 0 не зависит от íj, ti, t2.

Зафиксируем управление щ £ V, удовлетворяющее условиям теоремы 2.4.1, а также отвечающие ему числа Со,£о > 0> указанные в формулировке теоремы. Обозначим через Щщ) множество тех и £ V, каждому из которых для всякого t £ Пи отвечает единственное решение у(., t) £ ACm\0, Т] задачи (7), обладающее свойствами 2°-5°, указанными в теореме 2.4.1, а также свойством (тг). Соответственно обозначим

7Как обычно, Ау = уи — уо-

Птах = ПсоГо(«о), ö= min t2, b= max t2. Кроме того, Vu 6 Sl(u0)

'еПщах '£Птах

определим класс W(Пи) как множество тех х(.) Е £™(П„), у которых каждая компонента абсолютно непрерывна вдоль характеристики

т) для п.в. г 6 [а,Ь], г — 1,т.

Определение 2.4.1. Решением задачи Коши (6), отвечающим управлению и Е Щщ), назовем функцию х = хи(.) Е W(IIU), удовлетворяющую для г = 1 ,т соотношениям:

Х»(0 - (у«(0,0) + /sw (i, t),x (£, 2О)) ¿е, п.в. t Е П..

о

Показано, что определение 1 корректно. При этом абсолютная непрерывность г-й компоненты решения вдоль почти каждой г-й характеристики позволяет нам понимать левую часть г-го уравнения (6) как производную функции взятую вдоль г-й характеристики, i = 1, т.

Теорема 2.4.2 (у.с.г.р. задачи (6)). Пусть управлению гх0(.) Е Т> для всякого т Е [а, Ь] отвечает решение уо(-,0, т) Е АСт[0,Т] задачи (7), и это решение удовлетворяет условию (я:). Тогда найдутся £о,Со > 0, не зависящие от т и такие, что:

1) если и Е Т> и Д(и,и0) < £о, то и Е 0(щ). При этом,

2) если задача (6) имеет решение хо Е И^Пц,,), отвечающее управлению щ, то существует единственное решение хп Е H^(nu) задачи (6), отвечающее управлению и Е П(«о), _ непрерывное по t2, и справедлива оценка: ||хц - хо||Хг(п.пп.0) < Со '

Результаты §2.4 используются в главе 3, где в §3.2 рассмотрена задача оптимального управления системой (6) по критерию качества:

J[u] = Т[хи,и] — J J М. (t, xu(t),u(ti)) dt —+ max. п.

А пменно, доказан принцип максимума - в предположении, что в дополнение к условиям §2.4 выполнены следующие

Условия (G). 3) Существуют производные g'p(ti,t2,p) : Vg —> Rmxm, tftjitu h,p) ■ Ъд Rra, измеримые no ti E [0,Г] при {*2,p} 6 R x Rm, и непрерывные no {t2,p} E R x Rm при п.в. ti G [0,T]; 4) \g'p(t,p)\ < AfW(M), \g'h{t,p)\ < HM{M), если t, E [0,T], |i2|, \p\ < M.

Условия (W). 3w'(.) : [a,b] Rm причем |w'(r)| < Vr E [a, 6].

Условия (M). 1) Функция M(t,p,u) : Vg x U —► R непрерывно дифференцируема по p E Rm при п.в. ti E [0,T], Vt2 E R, Vw E U, и измерима no t\ E [0, T] при V{p, и} E Rm x U, Vf2 E R, и непрерывна по

{t2,p,u} 6 R x Rm x U при п.в. tj 6 [О,Г], вместе с производной; 2) ELVm : R+ —* R+ такая, что

\M(t,p,u)\, \M'p(t,p,u)\ < Л/м(М), если h £ [О,Г], и £ U,\t2\, |р| < М.

Результаты главы 1 также находят применение в главе 3, а именно, в проблеме сингулярности распределенных управляемых систем, которой посвящен §3.1. В [JI] сингулярными названы управляемые системы, "уравнения состояния которых ... представляют "особенности", а именно: неустойчивость, явление разрыва, кратные решения и явления бифуркации". Наиболее подробно в [JI] изучается упомянутая выше сингулярная ситуация, связанная с отсутствием у.с.г.р. управляемой н.к.з. при выполнении условия единственности решения н.к.з.. Получению н.у.о. в подобных системах посвящено две из четырех глав [JI]. Так, в главе 2 из [JI] основной модельной задачей является оптимизационная задача На минимум функционала

? Iх. и] = ¿11* ~ ^Ихб(п) + У 1Мй,(п) min, (8)

в котором х Е ¿б(П), N Е R - фиксированы, "а х Е ¿б(П) - решение следующей н.к.з. для "неустойчивого гиперболического уравнения"

Л " г)2т

£W(<) = l|~?1l| = a;3(i)+x{i)u(i)' <£П' О^С^П); (9)

• x(0,t) = w1(t), <(0,t) = w2{t), t EQ; х|г=0, (10)

где допустимы управления и из некоторого замкнутого в £2(П) выпуклого множества U. Рассматриваемая оптимизационная задача как задача на классе пар {х, и} £ L$x L2, используется в [JI] для демонстрации способа получения н.у.о. типа интегрального принципа максимума в сингулярной ситуации методом адаптированного штрафа (такие н.у.о. названы в [JI] "сингулярными системами оптимальности"). При этом н.у.о. для штрафной задачи выводятся методом классического варьирования. Метод адаптированного штрафа достаточно трудоемок и требует весьма тонких аналитических построений. В [JI] рассматривается указанным образом достаточно много разнообразных оптимизационных задач; некоторые задачи отмечены кале нерешенные. Подчеркнем, что в данном случае переходить к рассмотрению пар "управление - состояние" вынуждает, прежде всего, недостаток информации об у.с.г.р. управляемой н.к.з. относительно классического варьирования управлений. Если знать, что множество il(L2) тех управлений и £ Ь2{П), для которых существует решение н.к.з., открыто в £г(П), а следовательно,

допускает классическое варьирование, то при выводе н.у.о. естественно действовать классическим способом. В §3.1 показано, что открытость множества С1(Ь2) в £г(П) в некоторых случаях можно доказать с помощью соответствующих теорем у.с.г.р..

Приведем результат п.2, §3.1. Пусть п Е ]ч, Т > 0 фиксированы; <3 С И." - открытое ограниченное множество переменных < = . .Лп} с регулярной границей д(}\ П = (0,Т) х <3 - заданный цилиндр в пространстве Н."+1 переменных < = {<о, <}, Г = (О,Т) х дЦ - боковая поверхность цилиндра П. Следуя [Л], глава 2, для Е #<}((?), и)2 С Ь2(0) рассмотрим смешанную задачу (9),(10). Решение понимаем в слабом смы-еле, т.е. (уу £ с2(П) : <р{Т, ¿) = 0, ^0(г, ¿) = 0, « € Я, Ч> |Р = 0):

/х(«)£[р](«)Л = / (р(Ь) [х3 + хи] + / [у>(О,г)и>2(0 - ¥>1,(0, «М*)] <&. п п <?

Показано, что при сделанных предположениях оно принадлежит пространству Хв(П). Обозначим £1(Ь2) - множество тех и Е £2(П), для каждого из которых существует единственное решение задачи (9),(10).

Теорема 3.1.1. Уио Е 0(£2) Бе, С > 0: Уи £ I/, ||и-и0|иа < имеем: и Е П(Ь2) (т.е. Й(Ь2) открытой Ь2), причем: ||х„ —х0||х,в < С||« —«о||£,.

Теорема 3.1.1 позволяет получать н.у.о. в оптимизационных задачах, связанных с задачей (9),(10), классическим образом. В частности, в [Л] ставится оптимизационная задача (8), где пара х Е ^в(П), и Е V удовлетворяет соотношениям (9),(10), рассматриваемым как условия связи. Эту оптимизационную задачу можно переформулировать в виде:

Ди] = Р[хи,и]-ишп, иЕИ Г\ЩЬ2), (11)

где хи Е £б(П) - решение задачи (9),(10), отвечающее и £ Щ£2).

Теорема 3.1.2 (о дифференцируемости функционала). Функционал «/[.] дифференцируем по Фреше над 0(£2), и производная имеет вид:

7'(«о)[А«] = / + #ио(«)} Д«(«)Я,

п

где х0 = х^, а ф Е есть решение задачи:

МоЕЬх(0 ,г;я-!(д)).

Отсюда получаем н.у.о.: 7'(и0)[Ды] > 0, Ум 6 V.'

(12)

Приведем результат п.З, §3.1. Следуя [JI], глава 1, для w(.) G #0'(Q), рассмотрим задачу:

= + t е п, «(•) & и С ¿г(П). (14)

г(0 ,t) = w(í), teQ; а; |г = 0. (15)

Исследование ее отмечено в [JI] (см.§20, глава 1, задача 12) как нерешенная проблема: "Было бы интересно исследовать управление системой

z't — Az — ez — и,

с обычными начальными и граничными условиями. В этом направлении неизвестен никакой значительный результат" ([JI], замечание 1.7.2).

Решение задачи (14),(15) будем понимать в сильном смысле

J + i dt = f <p(t) {е* + u}dt + l w(í>(0, i)di,

у^есх(П): v>(T,t) = o, teQ, y>|r=0-

При сделанных предположениях оно принадлежит пространству ¿^(П). Обозначим ЩЬ2) - множество тех и € £г(П), для каждого из которых существует единственное решение задачи (14),(15).

Теорема 3.1.3. Множество ЩЬ2) открыто в £2(П).

В дополнении, в §1, помещено доказательство некоторых свойств измеримых функций, связанных с заменой переменных, которые, в частности, необходимы для обоснования корректности определения 2.4.1, упомянутого выше. В §2 дополнения приведены некоторые сведения о пространствах С.Л.Соболева-Л.Н.Слободецкого, используемых в §3.1.

Список опубликованных работ

1. Сумин В.И., Сумин М.И., Чернов A.B. Теория оптимального управления распределенными системами: .субоптимальность, минимизирующие последовательности, численные методы. Отчет о НИР по гранту Л/"£93-1-71-19 Конкурсного центра при С.-Петербургском университете Госкомитета РФ по высшему образованию, N° госрегистрации 01.9.40006443. 1994.-74 с.

2. Сумин В:И., Чернов A.B. О вопьтерровых операторах в пространствах типа L«, / Т^уды Первой международной конф. "Математические алгоритмы" (15-19 авг. 1994, Н.Новгород). Н.Новгород: Изд-во ННГУ. 1995. С.111-115.

3. Чернов A.B. О квазпнпльпотентности вольтерровых операторов в пространствах типа L<».// Вестник Нижегородского государственного университета им. Н.И.Лобачевского. Сб. науч. тр. аспирантов. Н.Новгород: Изд-во ННГУ, 1995. С.85-88.

4. Сумин В.И., Чернов A.B. Об одном признаке квазинильпотентности функциональных операторов / Современные методы нелинейного анализа: Тезисы докл. конф. Воронеж: ВГУ. 1995. С.91-92.

5. Сумин В.И., Чернов A.B. О достаточных условиях квазинильпотентности функциональных операторов / Тезисы второй Международной конф. "Математические алгоритмы". Н.Новгород: Изд-во ННГУ. 1995. С.54.

6. Чернов A.B. Об условиях устойчивости существования глобальных решений управляемых краевых задач для гиперболических уравнений.// Понтрягинскпе чтения - VII: Тезисы докл. Воронеж: ВГУ. 1996. С. 187.

7. Сумин В.И., Чернов A.B. О признаках квазинильпотентности функциональных вольтерровых операторов // Математическое моделирование и оптимальное управление. Межвузовский сб. научн. тр. Н.Новгород: Изд-во ННГУ. 1996. С.32-42.

8. Сумин В.И., Чернов A.B. Некоторые признаки квазинильпотентности операторов, действующих в пространствах измеримых функций. Нижегородский ун-т. - Н.Новгород, 1996. 17с. Деп. в ВИНИТИ 11.11.96. ^3291-В96.

9. Сумин В.И., Чернов A.B. О достаточных условиях квазинильпотентности операторов в пространствах/существенно ограниченных функций. Нижегородский ун-т. - Н.Новгород, 1996. 16с. Деп. в ВИНИТИ 11.11.96. jV^3295-B96.

10. Сумин В.И., Чернов A.B. О признаках квазинильпотентности операторов в идеальных пространствах измеримых функций / Понтря-гинские чтения - VIII: Тезисы докл. Воронеж: ВГУ. 1997. С.145.

11. Сумин В.И., Чернов A.B. Условия устойчивости существования глобальных решений управляемой задачи Копш для гиперболического уравнения // Вестник Нижегородского университета. Математическое моделирование и оптимальное управление. Н.Новгород: Изд-во ННГУ. 1997. С.94-103.

12. Сумин В.И., Чернов A.B. О достаточных условиях кваэиннльпо-тентности функциональных операторов / Труды Второй Международной конф. "Математические алгоритмы". Н.Новгород: Изд-во ННГУ. 1997. С.156-162.

13. Сумин В.И., Чернов A.B. Операторы в пространствах измеримых функций: вольтерровость п квазинильпотентность // Дифференц. уравнения. 1998. Т.34. ЛГЧО. С.1402-1411.

14. Чернов A.B. Об условиях устойчивости существования глобальных решений управляемой задачи ГУрса для гиперболических уравнений // Вестник Нижегородского государственного университета. Математическое моделирование и оптимальное управление. Н.Новгород: Изд-во ННГУ. 1999. С.154-162.

15. Сумин В.И., Чернов A.B. О некоторых признаках квазинильпотентности функциональных операторов // Изв. вузов. Математика. 2000. Я-2. С.77-80.

16. Сумин В.И., Чернов A.B. Устойчивость существования глобальных решений управляемой первой краевой задачи для полулинейного гиперболического уравнения / Математическое моделирование в естественных и гуманитарных науках: Тезисы докл. симп. Воронеж: ВГУ. 2000. С.209.

17. Чернов A.B. Об устойчивости существования глобальных решений управляемых краевых задач математической фпзики. / Тезпсы докладов IV Нижегородской сессии молодых ученых (математика и мат. моделирование). Саров. 1999.

18. Сумин В.И., Чернов A.B. Устойчивость существования глобальных решений вольтерровых операторных уравнений второго рода. // Понтрягинские чтения-XI: Тезисы докл. Воронеж: ВГУ. 2000. С.137.

19. Сумин В.И., Чернов A.B. Вольтерровы операторные уравнения в банаховых пространствах: устойчивость существования глобальных решений. Нижегородский ун-т. - Н.Новгород, 2000. 75 с. Деп. в ВИНИТИ 25.04.00. ЛЛЧ198-В00.

Введение.4.

§1. Список основных обозначений и сокращений.4.

§2. Общая характеристика диссертации.5.

§3. Краткое содержание диссертации.19.

Глава 1. ВОЛЬТЕРРОВЫ ОПЕРАТОРНЫЕ УРАВНЕНИЯ В БАНАХОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ.34.

§1. Операторы, вольтерровы относительно системы проекторов.34.

1. Проекторы и их свойства (34). 2. Системы вольтерровских проекторов (35). 3. Операторный класс ¥(К0, Я,/^", Е) (38).

§2. Случай идеальных пространств.42.

1. Проекторы (42). 2. Достаточные условия принадлежности операторов классу ¥(Я0,ЛГ,Е) = Г(Д0,1,М,Е) (43).

§3. Вольтерровость и признаки квазишшьпотентности линейных ограниченных операторов.>.47.

1. Результаты П.П.ЗабреЙ£ЬД'47.У.''2?^Формула для спектрального радиуса и цепочечный признак квазинильпотент1юсти л.о.о. в б.п. (49). 3. Признаки квазинильпотентности л.о.о. в б.и.п. (52). 4. Случай пространств Ьр. Примеры (56). 5. Некоторые замечания (57).

§4. Признак ойчивищвования глобальных решений (уг.р.) операторного уравнения второго рода общего вида.57.

1. Предварительныеглашения (57). 2. Локальная теоремащвования (58). 3. Оценка разни решений (59). 4. Продолжение решений (61). 5. Общий признакхранения разрешими (63). б. Теорема едивенни (66). 7. Признак уг.р. (67).

§5. Некоторыеевия арактного признака уг.р.68.

1. Случай ^ £ ¥Ш{(1,ЛГ,Е,Ё) (68). 2. Случай ^ <е ¥МЬ{<1,ЛГ, Е, Ё) (71).

§6. Уравнения в идеальных пространствах измеримых функций.74.

1. Уравнение вида у(г) = 0(£) + А[/(.,т/(.),«(.))](*), £ е П (74). 2. Уравнение вида = /(£, Л[г](£),Ц<)), < 6 П (75). 3. Случай варьируемого оператора А (76).

§7. Операторные уравнения с дифференцируемой правой частью.78.

1. Свойства вольтерровских проекторов дифференцируемого оператора (78).

2. Локальные аналоги кла Т(К0,Я,Л[,Е) (79). 3. Варианты арактного признака уг.р. (80). 4. Вариант теоремы о неявной функции (82). 5. Вариант теоремы едивенни (85). 6. Формула для приращения решения (85).

Глава 2. УПРАВЛЯЕМЫЕ НАЧАЛЬНО-КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ .89.

§1. Некоторые краевые задачи для уравнения xtit2(t) = g(t,x(t),xti(t),xt2(t),u(t))

1. Предварительные замечания (89). 2. Задача Коши: управление правой частью уравнения и начальными функциями (89). 3. Задача Коши: управление кривой начальных данных (91). 4. Задача Коши-Гурса: управление правой частью уравнения и начальными функциями (92).

§2. Задача Гурса для некоторых гиперболических уравнений 2-го порядка с переменными коэффициентами.94.

1. Уравнение у/Рх'^ - = g(t,x(t),x'tl(t),x't2(t),u(t)), t Е П (94). 2. Уравнение X"it2 — t2x'^2 = g(t,x(t),x'tl(t),x't2{t),u(t)), t e П (97).

§3. Смешанная задача для гиперболического уравнения 2-го порядка общего вида

1. Пановка задачи (98). 2. Признаки уг.р. (102). 3. омогательные утверждения (103). 4. Эквивалентные операторные уравнения (104). 5. Доказателва признаков уг.р. (105).

§4. Задача Коши для системы гиперболических уравнений первого порядка. Управление старшими коэффициентами.106.

1. Предварительные соглашения (106). 2. Формулировка основного результата (110). 3. Свойства характеристик (110). 4. Определение и свойства решения (115). 5. Специальные функциональные пространства (117). 6. Расширение семейства характеристик (121). 7. Расширение области определенности (125). 8. Возвращение к исходной задаче (129).

Глава 3. НЕКОТОРЫЕ ОПТИМИЗАЦИОННЫЕ ЗАДАЧИ.133.

§1. Сингулярные (в смысле Ж.-Jl. Лионса) оптимизационные задачи.133.

1. Предварительные соглашения (133). 2. Оптимизационная задача для гиперболического уравнения (133). 3. Преодоление сингулярности управляемой краевой задачи для параболического уравнения (137).

§2. Принцип максимума в задаче управления старшими коэффициентами системы гиперболических уравнений 1-го порядка.139.

1. Предварительные соглашения (139). 2. Формулировка принципа максимума (140). 3. Схема доказательства принципа максимума (141). 4. Формула для приращения функционала по фазовой переменной (142). 5. Проверка первой группы априорных условий (148). 6. Проверка второй группы априорных условий (149). 7. Уточнение формулы п.4. (155). 8. Формула для полного приращения функционала (157). 9. Доказательство принципа максимума (160).

ДОПОЛНЕНИЕ.161.

§1. Некоторые свойства измеримых функций, связанные с заменой переменных161.

§2. О пространствах С.Л.Соболева-Л.Н.Слободецкого .165.

§1. Список основных обозначений и сокращений т.к. - так как; т.е. - то есть; т.о. - таким образом; п.в. - почти все, почти всюду; л.п. - линейное пространство; л.н.п. - линейное нормированное пространство; б.п. - банахово пространство; б.и.п. - банахово идеальное пространство; л.о. - линейный оператор; л.о.о. - линейный ограниченный оператор; н.к.з. - начально-краевая задача; у.с.г.р. - устойчивость существования глобальных решений; н.у.о. - необходимые условия оптимальности; о.у. - оптимальное управление; - "равно по определению", "равно по обозначению"; = - "тождественно равно"; 0 - пустое множество; N - множество всех натуральных чисел; К - множество всех действительных чисел;

- множество всех неотрицательных действительных чисел; {ж £ X | Р} - совокупность элементов множества X, обладающих свойством "Р"; X х У - декартово произведение множеств X и У] И"1 - тп—мерное пространство векторов-столбцов Х1 \ х = со1{ж1}"1 =со1{®1,.,®т}= ; ®т / с действительными элементами;

0т - нуль пространства Ыт; А т х,у)т = X) XiУi - евклидово скалярное произведение в И"1 (х, у 6 И"1); ¿=1

Мт ^ \/(х>У)т ' евклидова норма в Кт (х Е И"1); М = |я1| + . + |®т| (хеГ); о

X - внутренность множества X в евклидовом пространстве; X - замыкание множества X в евклидовом пространстве; дХ - граница множества X в евклидовом пространстве; шевХ - лебегова мера множества X ;

П С Л" - ограниченное, измеримое множество, играющее роль основного множества изменения независимых переменных £ = со1{^1,. .¿п};

Ех - сг-алгебра измеримых по Лебегу подмножеств множества X; 2 = Еп; а, Ь] = [аь ¿>1] х . х [а„, £>„] - брус в И";

- матрица Якоби отображения Р : X —> У, если X С Нп, У С Н.т; (-^11 '"'' ^хп(х)) ~ гая строка матрицы ^(ж), г = 1,., т;

I - тождественное отображение; р (Р) - спектральный радих)с л.о.о. Р : X —» X, действующего в б.п. X (радиус наименьшего круга на комплексной плоскости, целиком содержащего спектр .Р), справедлива формула И.М.Гельфанда р(Р) ||, оператор Р называется квазинилъпотептным, если р (Р) = 0;

Ь(Х, У) - банахово пространство л.о.о., действующих из банахова пространства X в банахово пространство У ;

Ь™(Х) - лебегово пространство т-вектор-функцпй г(Ь) = со1{г1(£),., гт(£)}, £ € X, с нормой р,лг = I z(t) |р dt)*, 1<р<оо X vraisup| z{t) I, р — сю; tex

Буква П, символ основного множества изменения независимых переменных, в обозначениях пространств, норм, операторов иногда опускается; в случае скалярных функций опускается индекс, указывающий размерность соответствующего пространства значений;

Ст(П) - пространство непрерывных на компакте П ж-вектор-функций ж('), с нормой ||®||сто(п)= max| x(t) |;

АСт([а,Ь]) - пространство абсолютно непрерывных на отрезке [а,Ь] С R т-вектор-функций ж(-). с нормой пространства Ст([а,Ь]).

1 - функция, тождественно равная единице;

О - функция, тождественно равная нулю; з1§п(ж) = {1, х > 0; -1, х < 0; 0, х = 0} , х е Щ р' - число, сопряженное числу р £ [1,+оо],р-1 + (р')1 = 1; к, т ={&, к + 1,., тп} (к,тп € N5 к < тп).

1. Азбелев H.В., Максимов В.П. Априорные оценки решений задачи Коши и разрешимость краевых задач для уравнений с запаздывающим аргументом // Дифферент уравнения. 1979. Т.15. JVf-10. С.1731-1747.

2. Азбелев Н.В., Максимов В.П., Рахматуллина Л.Ф. Введение в теорию функцо-налыю-дифференциальных уравнений. М.: Наука. 1991.-280 с.

3. Алексеев В.М., Тихомиров В.М., Фомин C.B. Оптимальное управление. М.: Наука. 1979.-430 с.

4. Арман Ж.Л. Приложения теории оптимального управления системами с распределенными параметрами к задачам оптимизации конструкций. М.: Мир. 1977.

5. Благодатских В.И. О дифференцируемости решений по начальным условиям. // Дифференц.уравнения. 1973. Т.9. ЯЧ. С.2136-2140.

6. Богданов Ю.С., Мазаник С.А., Сыропд Ю.Б. Курс дифференциальных уравнений. Мн.: Университетское. 1996.-287 с.

7. Булгаков А.И., Максимов В.П. Функциональные и функционально-дифференциальные включения с вольтерровыми операторами. // Дифференц. уравнения. 1981. Т.17. №8. С.1362-1374.

8. Бурцев C.B. Теоремы о существовании неявной функции в теории необходимых и достаточных условий экстремума. // Матем. сб. 1994. Т.185. ЛГ-5. С.79-102.

9. Бухгейм А.Л. Уравнения Вольтерра и обратные задачи. Новосибирск: Наука. 1983.-208 с.

10. Варга Дж. Оптимальное управление дифференциальными и функциональными уравнениями. М.: Наука. 1977.-624 с.

11. Гасанов К.К. Теоремы существования оптимального управления в процессах, описываемых системой квазилинейных гиперболических уравнений. // Изв.АН Аз.ССР.Сер.физ.-тех. и мат.н. 1988. V.8. AÎ4. С.142-149.

12. Гохберг И.Ц., Крейн М.Г. Теория вольтерровых операторов в гильбертовом пространстве и ее приложения. М.: Наука. 1967.-508 с.

13. Гурса Э. Курс математического анализа. Т.З. Часть 1. Бесконечно близкие интегралы. Уравнения с частными производными. М.-Л.: ГТТИ. 1933.-276 с.

14. Гурьянова И.Э. О двумерных интегральных уравнениях типа Вольтерра, эквивалентных гиперболическим уравнениям с частными производными. // М. 1986. -23 с. Деп. в ВИНИТИ 17.03.86. Л^1821-В86.

15. Гурьянова И.Э. О допустимости некоторых пар пространств для абстрактных интегральных операторов и уравнений типа Вольтерра. // М. 1988. -31 с. Деп. в ВИНИТИ 12.12.88. ЛД8746-В88.

16. Гурьянова И.Э. Теория интегральных уравнений типа Вольтерра в обобщенной трактовке. Автореф. канд. дисс. М. 1991.

17. Гурьянова И.Э., Мышкис А.Д. О непродолжимых решениях абстрактных интегральных уравнений типа Вольтерра. // Дифференц. уравнения. 1986. Т.22. N40. С.1786-1789.

18. Гурьянова И.Э., Мышкис А.Д. Асимптотическая эквивалентность и устойчивость абстрактных интегральных уравнений типа Вольтерра. // Дифференц. и интегральные уравнения. Межвузовский сб. Горький. 1988. С.48-55.

19. Гусаренко С.А. Разрешимость абстрактных дифференциальных уравнений. / Пермь: Пермский политехи, ин-т. 1986.-60 с. Деп. в ВИНИТИ 18.11.86, Я*-7829В.

20. Гусаренко С.А. Функционально-дифференциальные уравнения с вольтерро-выми операторами. Дис.канд.физ.-мат.наук. Пермь. 1987.-130 с.

21. Гусаренко С.А. Об одном обобщении понятия вольтеррова оператора. // ДАН СССР. 1987. Т.295. Л/^5. С.1046-1049.

22. Гусаренко С.А. Обобщенная вольтерровость и ее приложения к линейному функционально-дифференциальному уравнению с частными производными.// Функционально-дифференц. уравнения: Сб. научн. тр./ Пермь: Пермский политехи, ин-т. 1989. С.53-57.

23. Gusarenko S.A. On applications of Volterra operators to the partial functional differential equations.// Functional Differential Equations. 1998. V.5. No.1-2. P.159-164.

24. Гусаренко С.А., Жуковский E.C., Максимов В.П. К теории функционально-дифференциальных уравнений с локально вольтерровыми операторами. // ДАН СССР. 1986. Т.287. ЛГ±2. С.268-272.

25. Далецкий Ю.Л., Крейн М.Г. Устойчивость решений дифференциальных уравнении в банаховом пространстве. М.: Наука. 1970.-536 с.

26. Данфорд Н., Шварц Дж. Линейные операторы. Т.1. Общая теория. М.: ИЛ. 1962.-896 с.

27. Дончев А. Системы оптимального управления. Возмущения, приближения и анализ чувствительности. М.: Мир. 1987.-156 с.

28. Жуковский Е.С. К теории уравнений Вольтерра.// Дифференц. уравнения. 1989. Т.25. Af-9. С.1599-1605.

29. Жуковский Е.С. О вольтерровости оператора внутренне?! суперпозиции. // Функционально-дифференциальные уравнения. Сб. науч. тр./ Перм. политехи, ин-т, Пермь. 1991. С.138-140.

30. Жуковский Е.С. Вольтерровость и спектральные свойства оператора внутренней суперпозиции.// Дифференц. уравнения. 1994. Т.ЗО. N°2. С.250-255.

31. Забрейко П.П. Об интегральных операторах Вольтерра. // УМН. 1967. Т.22.Вып.1. С.167-168.

32. Забрейко П.П. О спектральном радиусе интегральных операторов Воль-терра.// Литовский матем. сб. 1967. Т.7. №2. С.281-287.

33. Забрейко П.П., Ломакович А.Н. Об одном обобщении теоремы Вольтерра.// Украинский матем.журн. 1987. Т.39. Я-Ь. С.648-651.

34. Забрейко П.П., Ломакович А.Н. Интегральные операторы Вольтерра в пространстве функций двух переменных.// Украинский матем. журн. 1990. Т.42. jV—9. С.1187-1191.

35. Зубарев C.B. Об управлении областью в некоторых системах с распределенными параметрами. // ДАН УССР. 1979. А. МЧ. С.246-249.

36. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа. Часть 1. М.: Наука. 1982.-616 с.

37. Канторович Л.В., Акилов Г.П. Функциональный анализ. М.:Наука. 1977.742 с.

38. Коддингтон Э.А., Левинсон Н. Теория обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: ИЛ. 1958.

39. Колмогоров А.Н., Фомин C.B. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука. 1976.-544 с.

40. Короткий А.И. Обратные задачи динамики управляемых систем с распределенными параметрами. // Изв. вузов. Математика. 1995. W-11. С.101-124.

41. Красносельский М.А., Забрейко П.П., Пустыльник Е.И., Соболевский П.Е. Интегральные операторы в пространствах суммируемых функций. М.гНаука. 1966.500 с.

42. Кулиев Г.Ф. Необходимые условия оптимальности для систем гиперболических уравнений с управлением в коэффициентах при производных. // Изв.АН АзССР. Сер. физ.-тех. и мат.н. 1979. ЛДб. С.37-42.

43. Кулиев Г.Ф. Некоторые задачи оптимального управления системами, описываемыми уравнениями гиперболического типа. Дис.канд.физ.-мат.наук. Баку: АзГУ. 1979.-137 с.

44. Кулиев Г.Ф. Задача оптимального управления коэффициентами для уравнений гиперболического типа. // Изв. вузов. Математика. 1985. М-3. С.39-44.

45. Кулиев Г.Ф., Гасанов К.К. Необходимые условия оптимальности для некоторых систем с распределенными параметрами и с управлением в коэффициентах при старших производных. // Дифференц. уравнения. 1982. Т.18. С.1028-1036.

46. Ладыженская O.A. Смешанная задача для гиперболического уравнения. М.: ГИТТЛ. 1953.-280 с.

47. Ладыженская O.A., Солонников В.А., Уральцева H.H. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа. М.: Наука. 1967.-736 с.

48. Лионе Ж.-Л., Мадженес Е. Неоднородные граничные задачи и их приложения. М.: Мир. 1971.-367 с.

49. Лионе Ж.-Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач. М.: Мир. 1972.-588 с.

50. Лионе Ж.-Л. Управление сингулярными распределенными системами. М.: Наука. 1987.-368 с.

51. Лубышев Ф.В. Аппроксимация и регуляризация задач оптимального управления коэффициентами параболических уравнений. // Ж.вычисл.матем. и матем.физ. 1993. Т.ЗЗ. ÀÎ4. С.1166-1183.

52. Лубышев Ф.В. Разностные аппроксимации и регуляризация задач оптимального управления для параболических уравнений с управлениями в коэффициентах. // Ж.вычисл.матем. и матем.физ. 1995. Т.35. Àf-9. С.1313-1333.

53. Лурье К.А. Оптимальное управление в задачах математической физики. М.:Наука. 1975.-480 с.

54. Lurie К.A. The extension of optimization problems containing controls in the coefficients. // Proc. Soc. Edinburgh. A. 1990. V.114. № 1-2. P.81-97.

55. Матвеев A.C. К абстрактной теории оптимального управления системами с распределенными параметрами. // Спб. матем. журн. 1988. Т.29. jV—1. С.94-107.

56. Матвеев A.C. Задачи оптимального управления с запаздываниями общего вида и фазовыми ограничениями. //Изв. АН СССР. Сер. Математика. 1988. Т.52. ЛГЧ5. С.1200-1229.

57. Матвеев A.C. Вариационный анализ в задачах оптимизации систем с распределенными параметрами и вектор-функции множества. // Сиб. матем. журн. 1990. Т.31. Af%. С.127-141.

58. Матвеев A.C., Якубович В.А. Оптимальное управление некоторыми системами с распределенными параметрами. // Сиб. матем. журн. 1978. Т.19. А/*-5. С.1109-1140.

59. Матвеев A.C., Якубович В.А. Абстрактная теория оптимального управления. СПб.: Изд. С.-Петербургского ун-та. 1994.-364 с.

60. Матросов В.М., Анапольский Л.Ю., Васильев С.Н. Метод сравнения в математической теории систем. Новосибирск: Наука. 1980.-481 с.

61. Натансон И.П. Теория функций вещественной переменной. М.: Наука. 1974.480 с.

62. Никольский С.М. Приближение функций многих переменных и теоремы вложения. М.: Наука. 1969.-480 с.

63. Никольский С.М. Курс математического анализа. Т.1. М.: Наука. 1975.-432с.

64. Овсянников Д.А. Математические методы управления пучками. JL: Изд-во ЛГУ.-228 с.

65. Осипов Ю .С., Кряжимский A.B., Максимов В.И. Задачи динамической регуляризации для систем с распределенными параметрами. // Препринт ИММ УРО АН СССР. 1991.-106 с.

66. Петухов Л.В. Необходимые условия Вейерштрасса для эллиптических систем. // Прикл. мат. и мех. 1995. Т.59. М°-Ь. С.742-749.

67. Петухов Л.В. Необходимые условия Вейерштрасса для эллиптических спектральных задач оптимального проектирования. // Труды Спб.ГТУ. 1996. ЛГМ61. С.3-12.

68. Плотников В.П., Сумин В.И. Оптимизация объектов с распределенными параметрами, описываемых системами Гурса-Дарбу. // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1972. Т.12. ЛГЧ. С.61-77.

69. Плотников В.И., Сумин В.И. Проблемы устойчивости нелинейных систем Гурса-Дарбу. // Дифференц.уравнения. 1972. Т.8. №-Ь. С.845-856.

70. Плотников В.П., Сумин В.И. Оптимизация распределенных систем в лебеговом пространстве. // Сиб. матем. журн. 1981. Т.22. С.142-161.

71. Поносов A.B. О гипотезе Немыцкого. // ДАН СССР. 1986. Т.289. Я^з. С.1308-1311.

72. Райтум У.Е. О некоторых экстремальных задачах, связанных с линейным эллиптическим уравнением. // Латвийский матем. ежегодник. 1968. Вып.4.

73. Рождественский Б.Л., Яненко H.H. Системы квазилинейных уравнений и их приложения к газовой динамике. М.: Наука. 1978. 688 с.

74. Серовайский С.Я. Оптимизация в нелинейной эллиптической системе с управлением в коэффициентах. // Мат.заметки. 1993. Т.54. N-2. С.85-95.

75. Серовайский С.Я. Оптимизация в нелинейной параболической системе с управлением в коэффициентах. // Матем. сб. 1994. Т.185. Ai94. С.151-160.

76. Сиразетдинов Т.К. Оптимизация систем с распределенными параметрами. М.: Наука. 1977. 480 с.

77. Сумин В.И. Оптимизация управляемых обобщенных вольтерровых систем. Дис.канд.физ.-мат.наук. Горький: ГГУ. 1975.-158 с.

78. Сумин В.И. Функционально-операторные вольтерровы уравнения в теории оптимального управления распределенными системами. // ДАН СССР. 1989. Т.305. М-Ъ. С.1056-1059.

79. Сумин В.И. О достаточных условиях устойчивости существования глобальных решений управляемых краевых задач // Дифференц. уравнения. 1990. Т.26. МЧ2. С.2097-2109.

80. Сумин В.И. Об обосновании градиентных методов для распределенных задачоптимального управления. // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1990. Т.30. ЛГ-1. С.3-21.

81. Сумин В.И. Сильное вырождение особых управлений в распределенных задачах оптимизации. // ДАН СССР. 1991. Т.320. ЛГ±2. С.295-299.

82. Сумин В.И. Функционально-операторные уравнения Вольтерра и устойчивость существования глобальных решений краевых задач. // Украинский матем. жури. 1991. Т.43. АГЧ. С.555-561.

83. Сумин В.И. Функциональные вольтерровы уравнения в теории оптимального управления распределенными системами. Часть 1. Вольтерровы уравнения и управляемые начально-краевые задачи. Монография. Н.Новгород: Изд-во ННГУ. 1992.-110 с.

84. Сумин В.И. Удобная форма описания распределенных управляемых систем. // Математическое моделирование и оптимальное управление. Межвузовский сб. научн. тр. Н.Новгород: Изд-во ННГУ. 1994. С.5-17.

85. Сумин В.И. О функциональных вольтерровых уравнениях. // Изв. вузов. Математика. 1995. Л/^9. С.67-77.

86. Сумин В.И. Функциональные вольтерровы уравнения в математической теории оптимального управления распределенными системами. Дис.докт.физ.-мат.наук. Н.Новгород: ННГУ. 1998.-346 с.

87. Сумин В.И. Управляемые функциональные вольтерровы уравнения в лебеговых пространствах. // Вестник Нижегородского университета. Математическое моделирование и оптимальное управление / Н.Новгород: Изд-во ННГУ. 1998. AÍ-2 (19). С.138-151.

88. Сумпн В.И. Об устойчивости существования глобальных решений управляемых краевых задач для нелинейных гиперболических уравнений / "Понтрягинские чтения IX". Тезисы докл. шк. Воронеж: ВГУ. 1998. С.100.

89. Сумин В.И., Чернов А.В. О вольтерровых операторах в пространствах типа Loo / Труды Первой международной конф. "Математические алгоритмы" (15-19 авг. 1994, Н.Новгород). Н.Новгород: Изд-во ННГУ. 1995. С.111-115.

90. Сумин В.И., Чернов A.B. Об одном признаке квазшшльпотентности функциональных операторов / Современные методы нелинейного анализа: Тезисы докл. конф. Воронеж: ВГУ, 1995. С.91-92.

91. Сумин В.И., Чернов A.B. О достаточных условиях квазинильпотентности функциональных операторов / Тезисы второй Международной конф. "Математические алгоритмы". Н.Новгород: Изд-во ННГУ. 1995. С.54.

92. Сумин В.И., Чернов A.B. О признаках квазинильпотентности функциональных вольтерровых операторов // Математическое моделирование и оптимальное управление. Межвузовский сб. научн. тр. Н.Новгород: Изд-во ННГУ. 1996. С.32-42.

93. Сумин В.И., Чернов A.B. Некоторые признаки квазинильпотентности операторов, действующих в пространствах измеримых функций. Нижегородский ун-т. Н.Новгород, 1996. 17с. Деп. в ВИНИТИ 11.11.96. №3291-В96.

94. Сумин В.И., Чернов A.B. О достаточных условиях квазинильпотентности операторов в пространствах существенно ограниченных функций. Нижегородский ун-т. Н.Новгород, 1996. 16с. Деп. в ВИНИТИ 11.11.96. Л/"^3295-В96.

95. Сумин В.И., Чернов A.B. О признаках квазинильпотентности операторов в идеальных пространствах измеримых функций / Понтрягинские чтения VIII. Тезисы докл. Воронеж: ВГУ. 1997. С.145.

96. Сумин В.И., Чернов A.B. О достаточных условиях квазинильпотентности функциональных операторов / Труды Второй Международной конф. "Математические алгоритмы". Н.Новгород: Изд-во ННГУ. 1997. С.156-162.

97. Сумин В.И., Чернов A.B. Операторы в пространствах измеримых функций: вольтерровость и квазинильпотентность // Дифференц. уравнения. 1998. Т.34. МЧО. С.1402-1411.

98. Сумин В.И., Чернов A.B. О некоторых признаках квазинильпотентности функциональных операторов // Изв. вузов. Математика. 2000. N°2. С.77-80.

99. Сумин В.И., Чернов A.B. Устойчивость существования глобальных решений вольтерровых операторных уравнений второго рода. // "Понтрягинские чтения-XI": Тезисы докладов школы.- Воронеж: ВГУ. 2000. С. 137.

100. Сумин В.И., Чернов A.B. Вольтерровы операторные уравнения в банаховых пространствах: устойчивость существования глобальных решений. Нижегородский ун-т. Н.Новгород, 2000. 75 с. Деп. в ВИНИТИ 25.04.00. ^1198-ВОО.

101. Тагиев Р.К. Об оценке скорости сходимости метода прямых и регуляризации в задачах оптимального управления коэффициентами гиперболических уравнений. // Ж.вычисл.матем. и матем.физ. 1993. Т.33. М-2.

102. Тихонов А.Н. О функциональных уравнениях типа Volterra и их приложениях к некоторым задачам математической физики. // Бюл. Моск. ун-та. Секц.А. 1938. Т.1. Вып.8. С.1-25.

103. Трибель X. Теория интерполяции, функциональные пространства, дифференциальные операторы. М.: Мир. 1980.-664 с.

104. Филиппов А.Ф. Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью. М.: Наука. 1985.-224 с.

105. Фурсиков A.B. О некоторых задачах управления и результатах, касающихся однозначной разрешимости смешанной краевой задачи для трехмерных систем Навье-Стокса и Эйлера. // ДАН СССР. 1980. Т.252. М°-Ъ. С.1066-1070.

106. Фурсиков A.B. Задачи управления и теоремы, касающиеся однозначной разрешимости смешанной краевой задачи для трехмерных уравнений Навье-Стокса и Эйлера. // Матем. сб. 1981. Т.115 (157). М^-2 (6). С.281-306.

107. Фурсиков A.B. Свойства решений некоторых экстремальных задач, связанных с системой Навье-Стокса. // Матем. сб. 1982. Т.118 (160). Л/^3. С.323-349.

108. Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Мир, ИЛ. 1970.-720 с.

109. Чернов A.B. О квазшшльпотентности вольтерровых операторов в пространствах типа Loo.// Вестник Нижегородского государственного университета им. Н.И.Лобачевского. Сб. науч. тр. аспирантов. Н.Новгород: Изд-во ННГУ, 1995. С.85-88.

110. Чернов A.B. Об условиях устойчивости существования глобальных решений управляемых краевых задач для гиперболических уравнений.// "Понтрягинские чтения-VIF: Тезисы докладов школы.- Воронеж: ВГУ, 1996. С. 187.

111. Чернов A.B. Об устойчивости существования глобальных решений управляемых краевых задач математической физики. / Тезисы докладов IV Нижегородской сессии молодых ученых (математика и мат. моделирование). Саров. 1999.

112. Шашков В.М. Решение одной проблемы Лионса о существовании оптимального управления в коэффициентах при производных. // Изв.вузов. Математика. 1974. Л^Ю.

113. Шварц Л. Анализ. Т.1. М.: Мир. 1972.-824 с. Т.2. М.: Мир, 1972.-528 с.

114. Шрагин И.В. Абстрактные операторы Немыцкого локально определенные операторы. // ДАН СССР. 1976. Т.227. ЛГЧ. С.47-49.

115. Шрагин И.В. Локально определенные операторы и гипотеза Немыцкого. // Функционально-дифференц. уравнения: Сб. науч. тр./Перм. политехи, ин-т. Пермь. 1991. С.95-101.

116. Экланд И., Темам Р. Выпуклый анализ и вариационные проблемы. М.: Мир. 1979.-400 с.

117. Ahmed N.U. Necessary conditions of optimality for a class of second-order hyperbolic systems with spatially dependent controls in the coefficients. //J. Optimiz. Theory and Appl. 1982. V.38. No.3. P.423-455.

118. Bainov D.D., Myshkis A.D., Zahariev A.I. On an abstract analogy of Bellman-Gronwall inequality. //Publ. Research Inst. Math. Sciences Kyoto Univ. 1984. V.20. No.5. P.903-911.

119. Bonnans J.F. Application d'une nouvelle classe de lagrangiens augmentes au contrôle optimal des systèmes distribues. Expose dans IX. p.6 colloque IFAC AFCET / Edpar J.P. Babary et L.Le Letty.-Toulouse. 1982.

120. Brunovsky P. Optimal control of the maturation of red blood cells. // Prepr. Ernst.- Moritz Arndt. Univ. Greifswald. Math. 1983. No. 10. P.21-24.

121. Cheng Jiangang. Controllability for a nonlinear distributed parameter system. // J.Lanzhou Univ. Nat. Sci. 1993. V.29. No.4. P.44-46.

122. Corduneanu C. Integral equations and applications. Cambridge: Cambridge Univ. Press. 1991.-366 p.

123. Farag M.H., Farag S.H. An existence and uniqueness theorem for one optimal control problem. // Period, math. hung. 1995. V.30. No.l. P.61-65.

124. Fattorini H.O. Optimal control of nonlinear systems: convergence of suboptimal controls I. Lecture Notes in Pure and Applied Mathematics 108, Marcel Dekker, New York (1987).

125. Fattorini H.O. Optimal control problems for distributed parameter systems in Banach Spaces. 1991. (препринт)

126. Fattorini H.O. Existence theory and the maximum principle for relaxed infinite dimensional optimal control problems. 1991. (препринт)

127. Gao Hang. A class of control problems with control in coefficients of degenerate elliptic equations. // Dongbei Shida Xuebao=J.Northeast Norm. Univ. 1996. No.2. P.l-5. (кит.)

128. Gao Hang. Maximum principle of a class of coefficients optimal control. // Dongbei Shida Xuebao=J.Northeast Norm. Univ. 1998. No.l. P.97-101. (кит.)

129. Johnson Timothy L., Äthans Michael. A minimum principle for smooth firstorder distributed system. / "IEEE Trans. Automat. Contr.". 1974. V.19. No.2. P.136-139.

130. Lee Kwang Y. Optimal coefficient control of distributed parameter systems. / "Proc.IEEE Conf. Decis. and Contr. incl. 14th Symp. Adapt. Process., Houston, Tex., 1975". New York, N.Y., 1975. P.366-370.

131. Liu Zhenhai. On the identification of coefficients of semilinear parabolic equations. // Acta math. appl. sin. Encl. Ser. 1994. V.10. No.4. P.356-367.

132. Person J. Non-characteristic Cauchy Problems and Generalized Goursat Problems in Rn. // J. of Math, and Mech. 1969. V.18. No.ll. P.1087-1094.

133. Peetre J. Espaces d'interpolation et theorem de Sobolev. // Ann. Inst. Fourier. 1966. V.16. P.279-317.

134. Sokolowski J. On parametric optimal control for weak solutions of abstract linear parabolic equations. // Control and Cybernetics. 1975. V.4. No.3-4.

135. Tartar Luc. Problèmes de contrôle des coefficients dans des equations aux derives partielles. // Lect. Notes Econ. and Math. Syst. 1975. V.107. P.420-426.

136. Tonelli L. Sulle equazioni funzionali del tipo di Volterra. // Bull. Calcutta Math. Soc. 1929. V.20. P.31-48.

137. Väth M. Linear and nonlinear abstract Volterra equations. // Functional Differential Equations. Israel. Ariel. 1998. (in print)

138. Väth M. Abstract Volterra equations of the second kind. // Journal of integral equations and applications. 1998. V.10. No.3. P.319-362.

139. Väth M. Volterra and Integral Equations of Vector Functions. New York: Marcel Dekker, Inc. 1999. 364 p.

140. Zolezzi T. Necessary conditions for optimal controls of elliptic or parabolic problems. // SIAM J. Control. 1972. V.10. No.4.российская ïfOCYÛAPCTBEH»^ i -¡бЛИОТЕКаб*