Вопросы многомерной интегрируемости и построения функции Грина для многомерных дифференциальных уравнений тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

В в е д е н и е

ГЛАВА I. Условия полной интегрируемости многомерных дифференциальных уравнений.

§ I. Постановка задачи. Вспомогательный материал.

§ 2. Условия независимости криволинейного интеграла от пути.

§ 3. Основные георемы полной интегрируемости нелинейных дифференциальных уравнений.

§ 4. Эффективные признаки полной интегрируемости. 52.

ГЛАВА П. Спектральная теория семейства коммутирующих линейных дифференциальных операторов.

§ I. Спектр конечных наборов коммутирующих неограниченных операторов.

§ 2. Почти периодические функции.

§ 3. Коэффициентно-частотный критерий полной интегрируемости.

§ 4. Набор функции Грина для семейства коммутирующих дифференциальных операторов.

§ 5. Неполная функция Грина; приложение к теории функций. из

Пусть X и Y - банаховы пространства ЦХ-.Y) - банахово пространство всех линейных ограниченных операторов, действующих иа X bY. В диссертации рассматривается дифференциальное уравнение у'= * (*, у), (I) где ^ - операторная функция, заданная на открытом множестве & из банахова пространства Xx*Y и принимающая значения в LCXVY), а производная понимается в смысле Гато (или Фреше). Векторная функция ср: UL —>"Y* , определенная на открытом связном множестве И из X , называется решением уравнения (I), если её график лежит в G , она дифференцируема и = sfGVpCq)flJW всех . Уравнение (I) называется вполне интег рируемым (вполне разрешимым), если для любой пары существует единственное решение уравнения (I), удовлетворяющее начальному условию уС^о) = Уо- (2)

Уравнения вида (I) - (2) играют важную роль в современном анализе. Необходимость их рассмотрения возникает в теории неявных функций, в вариационном исчислении (условия потенциальности операторов), а также в теории групп Ли при построениях локальных групп Ли по их структурным константам. Наконец, отметим,что линейные дифференциальные уравнения используются в дифференциальной геометрии при построении поверхностей по её первой и второй квадратичным формам.

Дифференциальные уравнения ввда (I), называемыми также дифференциальными уравнениями в полных дифференциалах ( а также многомерными дифференциальными уравнениями в полных дифферен- , циалах; см. Перов и его ученики [32 - 3?] рассматривались в ХУШ столетии Л.Эйлером, В работах Ф.Пфаффа [61] .Э.Вебера [бб] были заложены основы теории этих уравнений для конечных систем. Одной из первых работ, в которой систематически излагалась теория дифференциальных уравнений вида (I) - (2) в беско -нечномерном случае, была работа А.Мичела и В.Элконина [59] С некоторыми усилениями их результаты приведены в обстоятельной работе М.К.Гавурина [10] . Для случая конечномерных банаховых пространств теория линейных дифференциальных уравнений вида (I)-(2) построена в монографии Р.и Ф.Неванлинна [60] , а для нелинейных уравнений - в монографии Ф.Хартмана [4;?] . Отдельным вопросам этой теории посвящены также статьи В.В.Немыцкого [31] , Е.А.Барбашина [2] ( в связи с изучением общих динамических систем), Д.А.Боже и А.Д.Мышкиса [3] , И.Т.Карклинь и Л.Э.Рейзиня [12] , В.В.Амелькина и Л.Н.Гайшун [1] , Н.Е. Большакова и ЩИ.Потапенко [л1 ,М.В.Кожеро [23] и Л.Н. Гай-щун [11] .В работах Э.И.Грудо [12], [13] изучаются уравнения с аналитической правой частью. Аналитические свойства и характеристики уравнений (I) - (2) при условии полной интегрируемости изучаются в работе Л.Ф.Янчука [51] . Значительно продвинута теория этих уравнений в цикле работ А.И.Перова и его учени -ков (см., например, [32-3?] , [18],[21] ).

Особо важную роль при изучении уравнения вица (I) играют условия их полной интегрируемости. Если f является гладкой (т.е. непрерывно дифференцируемой), то необходимое и достаточное условие полной интегрируемости имеет следующий вид где ЛВЬк'КбЬк- ВкЬ))/Ь,к€Х для билинейного оператора В . Цриведенное выше утверждение составляет содержание известной теоремы Фробениуса, хотя оригинальный результат был получен им для конечной системы дифференциальных уравнений с аналитическими правыми частями.

Важным направлением исследований в вопросах полной интегрируемости уравнения (I) является задача ослабления условий гладкости отображения . Этой проблеме посвящены работы А. Мичэла и В.Элконина [59] , М.К.Гавурина [10] , Ф.и Р.Неван-линна [60] , И.С.Лоухиварры [58] ,Г.Бэхли [53] Д.Важевско-го [65] , А.Д.Мышкиса и И.Ю.Эгле [SO] ,В.В.Стрыгина [42] , А.И.Перова [32] , [34] , [36] , В.Г.Задорожнего [18] , Т.К. Кацаран [211 » Х.Хайкилле [56] .

Этому направлению исследований посвящена также первая глава настоящей диссертации.

Основным результатом этой главы является ниже приводимая теорема 3.I., в которой получен новый общий критерий полной разрешимости уравнения (I). Кроме того, указаны различные конкретизации этого критерия, приводящие к известным теоремам М.К. Гавурина, Ф.Хартмана, В.В.Стрыгина и др.

Определение 1.1. Пусть функция ^: ЦсХ —> КХДнепрерыв-на в области U из X . Будем говорить, что ^ роторируема (по Фреше) в точке oceU , если существует такой билинейный оператор L2CX;Y) ( Lp(X;Y)- банахово пространство р -линейных операторов), что для любого фиксированного подпространства XfX справедливо соотношение при гце S-S(oc,f\,K)f €Х2 - треугольник со сторонами ее ,ос+-Ь, ос+к, = I dx - криволинейный интеграл по границе Ъ$ треугольника £> и d(S)- диаметр треугольника S . Оператор Ъ назовем ротором (Фреше) функции f в точке ос и обозначим totfCx).

Определение 1.2, Будем говорить,что непрерывная операторная функция | : Uc-X—*L(X-Y) роторируема по Гато в точке xeU ,если существует такой билинейный оператор teL2(X;Y), что для любых K,kgX справедливо соотношение ttiK-llm ЭЙЫ), dL-* О Ot где S(oc,oih,cuO .

В § 2 в терминах ротора Фреше и Гато приведены критерии независимости интеграла функции^от пути интегрирования. Здесь же доказано симметричность второй производной.

В § 3 приведена следующая основная теорема о полной интегрируемости нелинейных дифференциальных уравнений.

Теорема 3.1. Пусть операторная функция tfcXxY-*L(X}0 ограничена, непрерывна по ос и Я у "2II.

Тогда уравнение (I) вполне интегрируемо, если и только если для любой фиксированной точки (ос,у)€ Ux V выполнено соотношение tot g(oc) = О, и ротор пони мается в смысле Фреше.

В § 4 на основе полученных общих результатов (из § 3) получены различные эффективные критерии полной интегрируемости.

Теорема 4.1. (М.К.Гавурин [40] ). Пусть операторная функция f: U* ITc X*Y-*L CXJO ограничена .дифференцируема по совокупности переменных и операторная функция - ;

U*V-*LCY; L(X;Y)) ограничена. ^

Тогда уравнение (I) вполне интегрируемо, если и только если для любой точки (а,у) е U*U" выполнено соотношение (3).

Теперь мы ослабим наши требования к | по ос , усилив предположение по у . Следующая теорема усиливает теоремы А.И. Перова [36] и В.В. Стрыгина [42] .

Теорема 4.2. Пусть операторная функция f :11х V-»LCXJf) ограничена, непрерывна по ос , дифференцируема по у , причем операторная функция —-- ограничена и непрерывна.

Тогда уравнение (I) вполне интегрируемо, если и только если # роторируема в смысле Га то по ос и для любой точки 0эс,1р € IIх V выполнено соотношение

Приводимая ниже теорема представляет обобщение на бесконечномерный случай критерия Ф.Хартмана [4?] и является весьма удобной во многих приложениях.

Теорема 4.3. Пусть операторная функция ^ удовлетворяет условиям теоремы 4.2.

Тогда уравнение (I) вполне интегрируемо если и только если для любого треугольника ScU справедливо соотношение

5 кчлич =0. as s

В главе П диссертации рассматриваются линейные дифференциальные уравнения для случая, когда X — fR" - конечномерное пространство. Их изучение основывается на подходе, использующем спектральную теорию коммутативных семейств линейных операторов и тем самым позволяющем использовать недавние достижения спектральной теории.

Одним из основных результатов § I служит следующая теорема, позволяющая осуществить этот подход.

Теорема 1,2. Пусть задано семейство дифференциальных операторов A=(A^Ап) , где

А. = — - В.(сО , Ь. 6 С С IRn, LCY)), i = l )w,n а эх* <* * действующих в банаховом пространстве

C(!R; Y) непрерывных и ограниченных на lRn векторных функций со значениями в комплексном банаховом пространстве "Y •

Тогда операторы семейства А коммутируют друг с другом,если уравнение вполне интегрируемо.

В частности, если непрерывно дифференцируемые функции, то А - коммутативное семейство операторов тогда и только тогда, когда уравнение (4) вполне интегрируемо.

Возникновение дополнительного интереса к исследованию коммутативных свойств операторов тесно связано со следующими двумя направлениями исследований в современном анализе. Во-первых, это работы Ж.Тейлора [63,64] и связанные с ними исследования многих других математиков (см., например, [4$ ) по созданию спектральной теории коммутативных семейств линейных ограниченных операторов в банаховом пространстве и функциональному исчислению этих семейств.

Вторая группа работ [44], связана с исследованиями в вопросах интегрирования ряда нелинейных уравнений (типа уравнений Картевега де Фриза); при этом возникает задача о нахождении условий коммутативности линейных дифференциальных операторов''' ж их последующего изучения. Исследования в этом направлении ведутся особенно интенсивно в последнее время рядом известных математиков

Отметим, что необходимость изучения коммутативных семейств дифференциальных операторов возникает также в теории функций и квантовой механике.

Сразу отметим, что спектральная теория коммутативных семейств неограниченных операторов, аналогичной теории Ж.Тейлора для ограниченных операторов, до сих пор еще не создана. В связи с этим интересно изучение частного, но очень важного в приложениях семейства коммутирующих дифференциальных операторов ( с переменными коэффициентами).

В § I даются определения спектра конечных наборов коммутирующих неограниченных операторов и приводятся несколько важных для дальнейшего результатов о сравнении рассматриваемых спектров.

Одним из важных понятий является вводимое впервые понятие спектра Тейлора для семейств неограниченных операторов.

Пусть ССХ) -множество линейных замкнутых опера торов,действующих в комплексном банаховом пространстве X .Совместной областью определения конечного набора коммутирующих друг с другом операторов А=(А1,.,Ап)из ССХ) называется линейное многообразие <£)(А) из X , определяемое равенством :

A) = [<x€D(B)nD(AnV. A1,.,An.1oc€D(An^> где DCB) - совместная область определения набора В=(А1,.,АПМ) и D(An) - область определения оператора Ал , т,е. определе -ние дается индуктивно по числу элементов, входящих в набор.

Совместную область определения D(A) набора А можно нормировать ( и тем самым становится банаховым пространством), положив

Нос» Их II + EllA;Xlk,,+ 2 НА: . А; +

А Ui L i-p^n L1 up И АдАг. Anx И Voce D(AV

Через Хр , p=0,l,„.,n-i обозначим линейное многообразие П DCAl—ip), где DCA?, , - совместная область определения операторов Ац. ip = САц , А^р ) .

Многообразие Хр становится банаховым пространством, если ввести в Хр норму формулой

Их || = II X И+ + 22 II AL . А:<Х II.

1 Р

Ясно, что Xn=D(A) (по определению Х0 = Х ).

Пусть (е1 - стандартный базис из Сп . Через Е(6") обозначим внешнюю алгебру (над С ) с образующими 6"= (е, .„ еп)

Р ' и через Е Св) - подпространство из Е(б) форм р -ой степени.

Пусть E(6,Y) =Y® ЕСб) и EP(e,Y) =у® ЕРСе) , где Y -банахово пространство ( в дальнейшем будем писать ос€к^л,., лвКр вместо oc<S)€KlA. леКр ).

Рассмотрим коцепной комплекс

Etx, A): 0-»Eo(6,Xn)^ EV^.,)-.^'1 En(e,Xe}-0, где £°(6,XnVD(A)H tn(6, Xn) изоморфно X . Действие линейного оператора Ыр: Ер(в,Хп.р) (б,Хпр Д пИ определяется формулой

Отметим, что = 0 V^ =0, la, п- 4 (о(А=0).

Коммутативный набор A = (A1v.,An)H3 С(Х) назовем несин гулярным (или регулярным), если комплекс точен, т.е. группы i когомологии. нулевые (т.е. Зт о/^^ = Кего/р).

Резольвентным множеством рСА) набора А назовем множество ,. из <СП , для которых набор A-zl = = (A-z1I).,.,A-£nI) несингулярен. Множество 6ХА)=Сп\р(А) назовем спектром (Тейлора) этого набора. Если п = i ,т.е. А = { At} ,то условие

Н (X,А) = {0} означает, что из равенства А,р)С=0 следует,что х=0 » а из условия

Н СХ,А)={0} следует, что A/j есть отображение на X . Следовательно, совместное выполнение обоих условий эквивалентно непрерывной обратимости оператора А^ .

Рассматривается ещё одно определение спектра коммутативного набора А = (А1,.,Ап)из

Пусть В - замкнутая подалгебра банаховой алгебры L СХ) ограниченных операторов, действующих в комплексном банаховом пространстве X . К множеству р(А,В) отнесем совокупность

Eb.f>Zn)€ Cn, для которых существуют операторы В^,,., 6П из В , такие, что они коммутируют с операторами набора А ,

Bloc€DCAl) VcceX, А|Д€LCX),

VoceXp Vi=l,.,,n Vp = 0И,., л-1 и

Множество б"СА,В^ = Сп \p(A,6)назовем спектром набора A относительно алгебры В .

Теорема I.I. 6"(А*)с 6СА, В) д ля произвольного коммутативного семейства операторов

А=(А,.А п ) ИЗ ССХ) и произвольной фиксированной подалгебры В из ЦХ).

Цриводятся примеры спектров семейств операторов, поясняющие используемые понятия спектра.

Учитывая результат теоремы 1.2, в §§ 2, 3 главы П мы ещё раз возвращаемся к вопросу полной интегрируемости линейных дифференциальных уравнений с почти периодическими коэффициентами.

В § 2 приведены основные часто используемые в дальнейшем результаты из теории векторных почти периодических функций. Отметим следующий результат.

Теорема 2.2. Пусть векторная почти периодическая функция дифференцируема и её производная <f': X—>L(X;"Y) п оч ти периодична. Тогда U® vpx , Ле X* гце ^ и - коэффициенты Фурье функций и соответственно, отвечающие частоте Л^Х*.

Наоборот, если существует операторная почти периодическая функция ? :Х—»L(X;Y), для которой f = 1Л® Ф V*€ X*, л 'л го ^ дифференцируема и (здесь LA ® -оператор из •

LCX;Y) , определяемый равенством (lAecf^X*)5^*^, VoceX ).

Теорема 1.2. играет важную роль при доказательстве коэффи-циентно-^астотного критерия, устанавливаемого в следующей теореме.

Теорема 3.2. Пусть операторная функция является нормальной (это означает её почти периодичность по х при любом фиксированном » аналитична по у при любом фиксированном xe V и она ограничена на шарах из U равномерно по ос

1/ ).

Тогда дифференциальное уравнение (I) вполне интегрируемо в гом и только в том случае, если выполнено условие

Л(1ЛЬ?лк +9хКк) =0, (5) где = Vк,к€X и ^ , 9л коэффициенты Фурье функций ^ и соответственно, отвечающие

X*

Если пространство Y конечномерного по геореме умножения рядов Фурье условие (5) может быть записано в виде л{иИхС^к♦ V»)] к) = о, (6) если 2 -ряд Фурье почти периодической функции . В формуле (6) участвуют лишь коэффициенты

Фурье и частоты функции ^ ;поэтому критерий полной интегрируемости получил название коэффициенгно-частотного.

В частности, для уравнения (4) в случае почти периодической функции

•••■+ВпФ|$словие (6) перепишется в виде v л l^w^x P1 ^ если SB^*.

В §.§ 4, 5 рассматривается коммутативное семейство A = (A1s ,„ , А^) дифференциальных операторов вида J

Пусть В - наименьшая замкнутая подалгебра алгебры LQC), X = C(IRa, Y) содержащая все интегральные операторы указанные в § 4 второй главы. Зти интегральные операторы полностью определяются "ядрами".

Если о <= р(А, В) , то совокупность ядер интегральных операторов В^сВ , для которых А, + АаВЛ , называется совокупностью функций Грина для семейства А .

Основные результаты параграфа содержатся в следующих двух теоремах.

Теорема 4.3. Если А = , . > —- семейство коммутирующих дифференциальных операторов с постоянными коэффициентами Bj , j * , л * dim."Y<оо , то е^Ш = А) = в(А, В) ={ix-ec},

6 (А) - точечный спектр набора А

Ov

Теорема 4.4. Если множество 6" ( 60 ) не пересекается с множеством из С^ , тоОё6*АЛ(Х» , X-CCIRVY) и существует семейство фун!щий Грина для семейства А Б заключительном параграфе главы рассматривается вопрос о несингулярности набора А дифференциальных операторов на подпространство В(60 почти периодических функций со спектром из заданного замкнутого множества б' с tR.

Теорема 5.1. Если операторы В^ , ^ = 1г.,п -операторы с постоянными коэффициентами и выполнено условие 16 П 6(В0) = Ф с) Э \ на ВСв) несингулярно на

ВСб-).

Естественное приложение вышеизложенных результатов к теории функций связано с вопросом несингулярности набора дифференциаль д л ных операторов А = (т— > •••» з~)на подпространстве ВСб') .

Г\ п / ь Э \

Теорема 5.2. Если 016" ,то набор ——) несингулярен на подпространстве ВСб) из и дифференциальные уравнения f e ВС6-), a^cL L разрешимы в ВС6Г) ,если и только если криволинейный интеграл от функции ^ —Of^ ,.,?„) не зависит от пути интегрирования.

Эта теорема является обобщением известной теоремы Фавара об условии почти периодичности интеграла от почти периодической функции. Утверждение теоремы 5.2. содержит также теорему Я.Ф.Ви-зеля [9] , обобщающую теорему Фавара на многомерный случай.

Основные результаты диссертации докладывались на Всесоюзном симпозиуме по дифференциальным и интегральным уравнениям (Душанбе, 1972), на республиканских научно-теоретических конференциях молодых ученых и специалистов Таджикской ССР в 1974, 1977,1979 годах. Отдельные части диссертации неоднократно докладывались на семинаре Математического института с ВЦ АН Таджикской ССР,на семинаре кафедры обыкновенных дифференциальных уравнений (нелинейных колебаний) Воронежского госуниверсигета имени Ленинского комсомола в 1969, 1970,1974, 1976, 1981 годах, на семинаре кафедры функционального анализа и дифференциальных уравнении Таджикского государственного университета имени Б.И.Ленина в 1971, 1972,1981 годах и ежегодно на научных конференциях профессорско-преподавательского состава Душанбинского педагогического института имени Т.Г.Шевченко.

В заключение автор выражает искреннюю благодарность своему научному руководителю профессору А.И.Перову и доценту А.Г.Баскакову за помощь в работе.

1.Амелышн В.В., Гайшун Л.Н. Приводимые вполне интегрируемые системы. - Дифф.уравнения, 1978, т.14, № 2,с.540-542.

2. Барбашин Е.А. О классификации интегральных многообразий системы уравнений в полных дифференциалах.-ДАН СССР, 1947, т.55, Я 4, с.283-285.

3. Боже Д.А., Мышкис А.Д. Устойчивость в зоне эмиссии решений систем в полных дифференциалах.-Латв.матем.ежегодник,1966, № 2, с.59-63.

4. Большаков НЕ.,Потапенко П.П. Теорема Ляпунова для систем уравнений в полных дифференциалах.-Дифференц.уравнения,1980, т. 16, J'!? 5, с.934-936.

5. Бор Г. Почти периодические функции.Москва, 0ГИЗ,1934.

6. Боровский Ю.Е. Вполне интегрируемые ситемы.Пфаффа.-Изв.вузов,математика, 1959, В 2, с.28-40.

7. Боровский Ю.Е. О вполне интегрируемых системах Пфаффа. -Изв. вузов математика,I960, $ I,с.35-38.

8. Вайнберг М.М. Вариационный метод и метод монотонных операторов в теории нелинейных уравнений. М.,Наука, 1972.

9. Гайшун Л.Н. О представлении решений вполне интегрируемых линейных систем.-Дифференц. у равнения ,1978, т. I4,J^ 4,с.728-730.

10. Грудо Э.И. К аналитической теории систем уравнений в полных дифференциалах.-ДАН Б ССР,1969, г.13, с.781-784.

11. Грудо Э.й. О решении автономных систем уравнений в полных дифференциалах. -ИАН БССР,1970, I, с.55-62.

12. Далецкий Ю.Л.,Крейн М.Г. Устойчивость решений дифференциальных уравнений в банаховом пространстве.М.,Наука,1970.

13. Данфорд Н.,Шварц Дя.Т. Линейные операторы. М.,ИЛ.,т.1,1962.

14. Демидович Б.П. Лекции по математической теории устойчивости. М., Наука, 1967.

15. Дьедонис Ж. Основы современного анализа. М.,Мир, 1964.

16. Задорожний В.Г. Метод усреднения и интегральные многообразия для многомерных дифференциальных уравнений.Канд.дис.Воронеж, 1970.

17. Карклинь И.П. ,Рейзинь Л.Э. О топологической эквивалентности систем уравнений в полных дифференциальных в окрестностях замкнутых траекториях. -Дифф.уравнения,1967, т.З, i 9, c.I495-1507.

18. Картан А. Дифференциальное исчисление.Дифференциальные формы. М., Мир, 1971.

19. Кацаран Т.К. О многомерных дифференциальных уравнениях с почти периодическими коэффициентами.Канд.дис.,Воронеж,1970.

20. Коддинтон Э.А.Девинсон Н. Теория обыкновенных дифференциальных уравнений.,М., ИЛ., 1958.

21. Кажеро М.В. Показатели решений многомерных линейных дифференциальных уравнений в пространствах Банаха.-Дифференц. уравнения,1980, т.16, № 10, с.1742-1749.

22. Красносельский М.А., Бурд В.Ш.Долесов Ю.С. Нелинейные почти периодические колебания. М.,Наука, 1970.25.. Крейн С.Г.,Яцкин Н.Й. Линейные дифференциальные уравнения на многообразиях.Воронеж,изд-во Воронежского университета,1980.

23. Левитан Б.М.Почти периодические функции.М.,ГИТТЛ.,1953.

24. Левитан Б.М., Жиков Б.В. Почти периодические функции и дифференциальные уравнения.Москва.изд-во Москвоского университета, 1978.

25. Люстерник Л.А., Соболев В.й. Элементы функционального анализа. М.,Наука, 1965.

26. Массера X. Шеффер X. Линейные дифференциальные уравнения и функциональные пространства.М.,Мир,1970.

27. Мышкис А.Д.,Эгле И.Ю. Обобщение условий полной интегрируемости для уравнений Пфаффа.-Изв.АН Латв.ССР,1965,}£4с.41-52.

28. Немыцкий В.В. К теории орбит общих динамических систем.-Матем.сборник,1948, 23,(65) с.161-186.

29. Перов А.И. Многомерные дифференциальные уравнения.:Докторская диссертация,Воронеж,1966.

30. Перов А.И.,Кацаран Т.К. Теоремы Фавара- и Бора -Нойгебауэра для многомерных дифференциальных уравнений.-Изв.вузов математика,1968, № 5 (72), с.62-70.

31. Перов А.И. Новые условия полной разрешимости и вопросы приводимости. -ДАН СССР, 1969, т.186, № I,с.26-29.

32. Перов А.И.Дацаран Т.К. О нелинейных многомерных'дифференциальных уравнений.-ДАН СССР,1969,т.189, й 3, с.479-482.

33. Перов А.И. Об одном обобщении теоремы Фробениуса.-Дифференц. уравнения, 1969, т.5, В 10, с.П81 1184.37. деров А.И.,Задорожний В.Г. К теории линейных многомерныхдифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами. УМЖ, 1970, т.22, В 2, с.182-188.

34. Петровский И.Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений.М.,Наука, 1964.

35. Понтрягин Л.С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М., . Наука, 1965.

36. Понтрягин Л.С. Непрерывные группы М.,Наука, 1973.

37. Рашевский П.К. Геометрическая теория уравнений с частными: производными. М.-Л.,1947.

38. Стрыгин В.В. Полная разрешимость многомерных дифференциальных уравнений с потенциальной правой частью. -Дифференц. уравнения, 1969, т.5, JS 2, с.332-342.

39. Сыссоев Ю.С. О дифференциальных уравнениях на группе Ли.-ДАН СССР, 1974, т.215, № 6, с. I3I7-I320.

40. Теория солитонов (Под ред.Новикова С.П.)М.,Наука,1980.

41. Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения, М.,Мир, 1970.

42. Хилле Э.,Филлипс Р. Функциональный анализ иполугрутн. М.,ИЛ., 1962.

43. Шварц Л. Анализ.,М.,Мир,1972.

44. Эгле И.Ю. Некоторые вопросы существования и классификации решений уравнений в полных дифференциалах. Канд.дисс.Рига,1974.

45. Янчук Л •Ф. Асимптотические свойства и характеристики нелиненй— ных вполне интегрируемых систем.Пфаффа. Канд.дисс.Минск,1980.

46. Amerio A&strakt almost-periodic -functions and •fa.ncti.onal equations Bull. Unlone Mat. Jtal, 1965, 20, N*2>, 287-334.

47. BcxcKLl (j. Ufcer die Jntecjrier bar^eit \ron Sy-stemen. par-fciellev* ruchtLinearer ^Lf-f ereaiiaL9LeLcK.un.gcn.$rster OrdVban.g. — Сотпле^л. math., heiu-., 196:/j56, 245 266.

48. Bochner 6. Abstrackte -fast periodische Junktio-nen.- Acta McL-bh., 1955,6-1, 449-1S4.

49. Jrobenius (r. Uber das P-faffsche Problem 3ou.riaa I •fur die teine and anqewandte Matkematlk,18?7, 82,230-515.

50. Heikkda S. On. the complete Intestability oj tbe -first order total differential ec^aatlon . — „ SuomaLals. tle-oleakat. toimUuks". , "1971, Ser. AT, Ns 495.

51. Kernel M. XHf-f erentiale In allgemelnen AnaLys>s.-Ann. of wrtath., 1933,11, 34, 546-572,58. ^oichivaara У.&. lleber die ftifferentialgleichun.^ €rs^erOrdnun^ in norrruerten. Raamen. Circ|o mat^'di Palermo,1961 , V. 8 , &er. 2 , p. 45- 58.

52. Michal A. and Elcomin V, Completely inte^ragle differeatial equations In abstract spaces.-Acta Math J93TJI&8,№1-2,7Й07.

53. Nevan Linna R. und Absolute Analysis. (Grund Lehten. Maih . V/L&s, v 102), Springer- VerLacg, 1959.

54. Shapi.ro Т?! Тке dlvergeHSe theorem for discontinucms vector fields. Anw.Maik., 1958, 68, 604-624.

55. Taylor 3.L. A joint Spectrum for several commuting Operators.-D.Fu.nct. Avial., 1970. 6,^2^.172-191.

56. Taylor 1L. Tke analytic "functional calculus for Several cowmuti^ operators.-Acta Math., 1970, 125. p 1-38.

57. Wa^ewski Т., Star ski 3- '3rt.terpretati.ori cjeometric^ue des cow.tlti.ons dCLnte<jrabljli.te duns^stevne d^Uationsaux diiWentialles totaUs.-Am-i. Polott.wvatW, 1959,6, 501-304.

58. Weber E. Vorlesun<jen uber das PJaSSscVie Problem uvid die Tteorle der par-tie lien Ъifierentialcjlei.-ckun^en . Berlin, 1900.

59. Назаров Ф. Замечание о полной разрешимости многомерных джойеренциальных уравнений.-В кн.:Сборник трудов аспирантов Воронеж.ун-та.Мат.так.Воронеж,1969,с.59-68.

60. К вопросу о полной разрешимости многомерных дифференциальных уравнений в банаховом пространстве.-ДАН ТаджССР,1970, т.13, JSI2, с.8-11.

61. Перов А.И., Назаров Ф. Об условиях полной разрешимости.I.-Изв. АН ТаджССР, отд.физ.-мат. и геол.-ним.наук, 1971,Ш, с.3-9.

62. Перов А.И.,Назаров Ф. Об условиях полной разрешимости.П.-Изв.АН ТаджССР, отд.физ.-мат. и геол.-хим.наук,1971,М, с.3-8.

63. Перов А.И.,Назаров Ф. Об условиях полной разрешшлости.Ш.-йзв.АН ТаджССР, отд.физ-мат. и геол.-хим,1973,Ш,с.6-14.

64. Назаров Ф. Об одном обобщении теоремы М.К.Гавурина.-ДАН ТаджССР,1973,т.16,№,с.11-14.

65. Назаров Ф., Наямидинов X. О некоторых свойствах оператора суперпозиции.-ДАН ТаджССР, 1973,т.16,$9,с.3-5.

66. Назаров Ф. Об условиях полной разрешимости многомерных дифференциальных уравнений.-ДАН ТадаССР,1975,т.18,ЖЕ1, с.5-9.

67. Назаров Ф. К теории почти периодических функций.-Изв.АН ТаджССР, отд.физ.-мат. и геол.-хим.myic,1975,М,с.3-9.

68. Назаров Ф. Построение функции Грина для многомерных дифференциальных уравнений.-ДАН ТадаССР,1983,т.26,Щ2,с.743-747.

69. Гайшун И.В. Вполне разрешимые многомерные дифференциальные уравнения.Минск "Наука и техника", 1983.