Вопросы сходимости и усреднения для нелинейных эллиптических операторов и интегральных функционалов с переменной областью определения тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

НАЦИОНАЛЬНАЯ АКАДЕМИЯ НАУК УКРАИНЫ ИНСТИТУТ ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКИ И МЕХАНИКИ

На прела* рукописи

РГБ ОД 2 1 авг 1995

Ковалевский Александр Альбертович

ВОПРОСЫ СХОДИМОСТИ Й УСРЕДНЕНИЯ ДЛЯ НЕЛИНЕЙНЫХ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ ОПЕРАТОРОВ И ИНТЕГРАЛЬНЫХ ФУНКЦИОНАЛОВ С ПЕРЕМЕННОЙ ОБЛАСТЬЮ ОПРЕДЕЛЕНИЯ

Л1 П1.02 - дифференциальные уравнения

Автореферат диссертации яа соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Донецк - 1995

Работа выполнена в отделе нелинейного анализа Института прикладной математики'и механики HAH Украины

Официальные оппоненты: член-корреспонцент HAH Украины

доктор физико-математических наук профессор Е.Я.ХРУСЛОВ

доктор физико-математических наук профессор В.В.ШКОВ

доктор физико-математических наук профессор А.А.ПАНКОВ

Ведущая организация: Институт математики HAH Украины

Защита состоится " 6 " С'?//г¡7 37?# 199 ^ г. в £ & часов на заседании специализированного Совета Д 06.01.01 по присужу.-.на ученой степени доктора физико-математически наук в Институте прикладной математики и механики HAH Укра по адресу: 340114 Донецк', ул.Розы Люксембург 74".

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института прикладной математики и механики HAH Украины

Автореферат разослан " 3 " 199 6у.

Ученый секретарь специализированного Совета кандидат физико-математических наук

Марко

ОНЦАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА, РАБОТЫ

Актуальность темы. В.различных разделах физики и механики возникает необходимость расчета физических процессов э сильно неоднородных средах. Математическое описание таких процессов и их элективных характеристик приводит .к проблемам усреднения краевых задач для дифференциальных уравнений с частными ' производными.' В этих, задачах уравнения имеют быстро осциллирующие коэффициенты или же: рассматриваются в областях сложной структуры, и существо вопроса об-их усреднении заключается в возможности гостроения краевой- задает .'для уравнения с . простыми коэффициентами иля в простой области, к решениям которой в каком-то смысле близки решения исходных задач.

' Типичным примером областей сложной структуры, рассматриваемых в-теории усреднения, являются перфорированные области, получающиеся из фиксированной области выбрасыванием большого числа/мелких попарно непересекающихся' компонент. Впервые, вопрос об усреднении краевых -задач в таких областях был подвергнут детальному изучению в 60-е годы.в работах-Б.А.Марченко и Е.Я.Хруслова. _ • . .

В начале 70-х годов появляются первые работы по-усреднению для уравнений с частными производными с 'периодическими быстро осциллируишими коэМзициёйташ. Это работы Э.Санчес-Паленсий,' Э.Де Джорджи и С.Слайьоло, А.Бенсуссана, Ж.-Л.Лионса и Дж.Дапа-ющолау; Н.С.Бахвалова. ' ;

Дальнейшее развитие теории усреднения связано с исследованиями этих и многих других математикой, прежде всего,-' Л.Тартара, Ф.Шзра, К.Сборцоне.'П.Марчеллннй, Дж.Даль Мазо, Е.Я.Хруслова, В.В.Жикова, С.М.Козлова, О.А.Олейник, Г.П.Панасенко, 1|.В.Скрып-ника, А.А.Панкова. . . • "

В.настоящее время теория усреднения представляет'собой интенсивно развигёатадуюся об.лаоть математики, имеютуга^шрокие приложения-в физике-и.технике. В значительной мере физические задачи определяют основные направления математических йсследсва-гшЯ й этой области.

С теорией усреднения краевых задач для дифференциальных .уравнений с частными производными тесно связаны вопросы -сходимости операторов и Асходимости функционалов.. -сходимость и /'-сходимость -ото особые вицы.сходимости отображений."Применительно к конкретным граничным задачам они определяются таким образом, чтобы обеспечить сходимость их решений к р&шешда соответствующей задачи с предельным оператором или Функционалом. Это обстоятельство и объясняет связь (г-схоцимостк и Асходймости с усреднением.

Понятие ^-сходимости последовательности 'операторов введено С.Спаньоло /1968/. Б работах Э.Де Джорджи и С.Спаньоло /1973/, К.Сбордоне /19.75/, Л.Тартара /1976-77/, Ф.Ыюра /1977.-76/, П.Мар-челлини /1979/ сформировалась теория-£-сходимости для дивергентных линейных эллиптических и -параболических', операторов второго порядка. В серии.работ В.В.1икова; С.М.Козлова и О.А.Олейник '■ /1979-82/ построена теория, ^-сходимости для дивергентных линейных эллиптических и параболических операторов высокого порядка. (г -сходимость последовательностей нелинейных..эллиптических операторов дивергентного вида изучалась'в'работах Л. Та рта ра/1977/, . У, Е» Рай туш /1981,84/, Д.Джакетти ./1984/, А.А.Панкова /1984-85, 87-68,91,93/,. Н.Фуско; и Дж.Москарьелло /1987/,. А.Ёрэцеса', В..Кья-цо Пиат и А.Дефранчеоки /1992/. Наиболее существенные результаты получены А. А < Банковым, Им исследована'-.{^-сходимость' нелинейных операторов произвольного порядка и. установлены такие ее • важные свойства, как компактность* локальность, сходимость произвольных решений.-В сравнительно недавней статье В.Кьядо Пиат, Дж.Даль Мазо и А.Дефранчески /1990/ получен -результат о £-компактности для широкого .класса многозначных нелинейных монотонных операторов. ^-сходимость нелинейных параболических операторов- с дивергентной главной частью изучалась в.работах Р.Н.Куньча и А.А.Панкова /1986/ и М.Л.Маринова /1986/.-Вопросы ^?-сходимости и усреднения недивергентных линейных эллиптических и параболических, операторов рассматривались в статьях В.В.Жнкова и М.М.Сирет.удияова ■ /1981/, М.М.Сиражущшова /1983/, Н.В.Крылова /3985/.

Г-сходимость функционалов - своего рода анатог'£-схоцимости для вариационных задач. Если ^-сходимость.операторов сопровождается схопимостью решений соответствующих операторных уравнений к

решению уравнения. с ¿г-пречельнкм операторов, то основное свойство /'-сходимости функционалов состоит в том,, что она вызкваот сходимость точек м.ш:ггу\'.а этик ?уккглокалоэ »гточке лик7.\?гла /*-пре-дельного функционала. Понятие /'-схотдоюстн- пзслепсьйтелыюсш фунгашоналов введено :0'.Де Дгораад и Т. ррешра.тн /1975/. Многочисленные исследования но'вопросам /*-<усоп!'.мрсти 'к ^гречненпя пля интегральных $у|шдаоньло<5 -ваполненк итальянским математикам.:. Среди• них." оТметич реботк-б.Де Джорджи :/1Э?5/, Х.СЙорцоке /1Э75/, Л.Карбоне1 и К.Сборпоне /1977/,- ПЛЬ-рчеллищг к К.Сборчбиё /1977/, Дж^Еутташо- и М.Тогкеса /1£77/, Дт.Ь'угткаю 'а Дж.Дзлб .!а:ю /1979/, Э.Де-Джорджи 1'; Дж.Даль "Мззо Л?63/,' Дч.Дзль '.•¡азо-/1960,63,£3/. А.'Ерэчеса /1583,£?/, Н;4уоко /1983/. -Осковкшз аостнхеиня г-тих работ; составляют теоремы о /*-компактности'яля послег.оБагельпоегеЛ функционалов вариьцио'нного исчисления и интегрально.-! прёчставле-.НИИ:их /'-пределов. В серии раЗог З.В.&'.кова /19сГ-83,б5,,;|2/ изучены вопросы' -Г-охочимости,• • дно.'1, с гвенносгя и усрепн-екйя'.гля инте-граАьных. Г.у • ниокал'ов с так называв'-.ими нёсханчв^оти*. •дктёгрии-№:,' интересные' примеры которых вогреч&мтся в приклашщх зьца--■чах. Функционалы с таки'.и:" актёгрантамн итальяигкйкд' математикатл не: рассштрквалаоь, В.В.Гййов' показал кфлшктиост'ь относительно .'/'-схочн'.Ьстп класса Нньг.ионалоз с незтакюртнкчл кнтегрантама, изучил-проблему регулярности нестанчо-ртнкх лагранжианов, и осле повал- задачи '-.ус ре пне кия. лая &якцкЬнал'ов теории пластических среч и 'фушйшсналов с проученными "йнтегрантами.-: :

-.В лиссерта1г.-.о1!н.о,1 работе гькт.е рассматриваются понятия ^-сходимости .'операторов и Г-.схочимости функиибналов. Однако в ''отлячкй от вьдаупаиякутых работ эта. 'п0нйтия'"цзуч£югсд- шм огобра*<?'н;й с переменной'область® огтречеления. Для. объяснения, актуальности такого, исС.течовання} Обратимся к'«руту эапач'усреднений в областях сложной' структур«'.. При 'их- рассмотрении. киёют че.то с послег.овательног:-тячк областей s »' .,':например, гуетспер^орироЕаккоЯ.

или'плотной, каркасной структуры. Соответственно этому операторы и функпмналы основных краевых. вариационных задач определены на переменных пространствам. ^ • 11 вопрос об усред-

нении.' этих за дач лчочет.сугь-св.еаен./по крайней мере, во- многих важных.;-случаях/ к изучецк» ¿г-сходимости .диМ'ерекциэльных оперя--торсв Д^': ^ -Ъ-Щ-Ь и . /Г-схбнимости иктеграпьных йункпионалов. I идалакааеМ их, понимании.

■ Как уяе,'отмечалось, впервые вопрос об усреднении краевых задач в областях•сложной структуры бил исследован в работах В.А. .'¿арченко к 5.Й^Хруелова. Результаты к>: монографии-/1374/, посвя-шекной зтому вопросу* получали в далтейшем .сушествёйное развитие в работа^ Е^ЯЛруслсва /1977-78,£1,86-89А В. них были разработаны рлркацяоннке четодн исследования асимптотического поведе- . нкя регеь-8?. з&тзч Дирихле.и Немана для линейных уравнений й переменных ■ областях , вообше .говоря,'непериодической структуры. В терминах сходимэсхи специальных числовых характеристик облаете;": Л 5 Е. Я. Хру с лов. ус го ново достаточные, а в некоторых случаях а необходимые, условия схо&иглости- решений рассматриваемых, '. задач к репенням усредненных задач; определяемых по пределам этих характеристик; Отметим е:^ что Е.Я.Хрусловым введено понятие си-льноР связанности облаете;";, игравшее важную роль в вопросах усреднения задач Ке/г/лна в герй-.'ьн.чгх.областях. Согласно этому понята» сильная -связанность областей^» • . означает, чте для дюбо? .функции ¿г ♦ Ь^Я.-СОр существует ее продолжение в&'.Цк , принадлежащее . 'И удоаяетворятее не^-раэекс в-/ ¡Щ ^^ х^ЬГ^Х!;) ' Г3е Г10СТ°якная ^ ,!е зависит от 5 . Меходкка усреднен.-, предложенная Е.Я.Хрусловым, разгибалась применительно к; различным -линейным задачам в переменных областях в работах Л,З.Ееряянда /1953/, М.В.Гончаренко, /1987-89/, Е.Э.Сн.тгевой /ЮЭ1,93/, применительно к краевым, задачам для не- ■ Л2не?якх вариационных уравнений в.работах автора /1984/ и Л.С.. Панкратова /1°е7-€8,е6/.

..,« -Существенные результаты в. исследовании задач'Дирихле-в областях сланной непериодической, структуры получены И.В.Скрыпником. В его работах /1982,85-66,90,93/ созданы методы усреднения задач Дирихле для нелинейных невариационных эллиптических уравнений второго порядка в"перфорированных областях. Основа этих методов -поточечные оценки решений • специальных модельных- нелинейных задач и построение с их помошью асимптотического разложения решений.задач Дирихле в перТорированных областях. Аналогичные методы усред-. неяия развиты И'.В.Скрынником и для нелинейных Параболических задач в перфорированных областях. ■

?

Вопросы •/7-сходаооти и усреяяения для послё-ювателькоегей интегральных функционалов

/ JOls Я ^íl С ./ де'олесова^гсь в реботах

автора /ÍS85-89,91,92/. В частности, без явных.предположения о структуре областей 12.s были установлены необходимые и гостатачика условия "Г-схоеекюсгй'.указаниях последовательностей ^унюконалга к интегральным функционалам,. определенным на 'пространствах V/^'CQ)

. Kpóf.íe того, была описана связь. Г-схо*й?югтя т&осг^-траваекых .функционалов со сходимость» решений вараадяокшх задач Неймана-к ДйрясЯе, а также. Еёрйайизишлс задач с препятствиями и интегральными- сгранйчейийй- в областях

Л,.

Приложение теорел о Г-ко-.атау.тяостггдля '.функционалов с нестэк-' ®зртМйга.ия^еграятама' к варвёЁяшзн задачам г иере ¿еякнх областях дано B.'B»Z»:k03í£¿--/jSS2/.'Км такте получены /19ЭЗ/ интереонке-результаты об^усреднекш! зля -ликеЯныхТ- уравнений второго порядка з звр-фор1гроЕа,чКЕ.областях 6éâ. гспользоБания уодовия.'ка области типа уело тай продолжения." ■ ' . ■ .

. Отметим 'ряд недавних работ, собвязешшх ¿¿дачам Дирихле з пере-некйих -областях, - Без- каких-либо пред положений: на ойластй -Qf jQ вовеаднке рамени! 'зага^ Дхрахсз для ликёрных эллиптических уразне-най второго - порядка- в 'сбла^ях изучалось в рабэтб Д».Даль "iasc и' Д.Гёррони- /1993/-, в' которой .'бкло показано, что зти .реи^кая сходятся;, к .реаеика sasâ^a Дйрдхлв для предельного ур&нн4ния- a обдаста fX -, отлкчаагехо'ся- от исходных- уравнений добавочным -зигегргльн.« оператором'- относительно некоторой борелезскои меры. Акадсгкчкыг- г-з-зультаты для'квазилинейных "аялшггичесК'Лх ;ураакейаЗ второго по_г-т;кд с огйзрогкнмя па rpaMg..ry ко&^пденгеу* и к;:тегр2л.ья« Тгушагиокг-лоз па прозтрАНзтвах. .V'-^^Qj) ' солучзны соотзетсхнекнс г .ДЗс.ДЕЛь'йаз'о, í.^-jpa-/Í933/ н ДйДаль. :,'азо, А.Де^ранчески /19;-»/.

Bwecîe -с тем отме^екнне'ксслецоваки-ч по теорий усрезнзякя ?.?".-ssux'- 'задач в ясрулеянах областях-*не" охзкпге&к? всего круга. гд\>?лсч^, . относящихся к этой теории. ' .Ире дстэ вляет • 2н герб с ¿зученаб sais-; Hs.1-î-ика' чзя'.нелвяеЗнкх HensrzaíutcHuáx'. уравнений 2 переменных сЗдгэтях /как с;:л!ко ейлзгнкых, ï-sx и- яе я&т&гаяхея т^кср;;-,:»/, -£ -охонг-.;*'?"::! соотн»!C3"5y<^.'ií>: r-nep-í-ropes. РТегсс.-зто ¡¡-.о г

для этих задач не биловыяснено об-лее условие на области, приводящее к усредненной задаче с добавочным оператором интегрального бй-да относительно меры Лебега.'Не-изучена /'-сходимость интегральных функционалов, определенных на пространствах $) »'.при ус-

ловии, что области не являются сильно связанными. Исследованию этих вопросов и посвяшена диссертационная работа. ■• -

. Цель работы. Построение теории 6--сходимости для нелинейных эллиптических операторов задач Неймана и Дирихле с переменной областью определения, исследование Г-сходимости интегральных функционалов, определенных на слабо связанных пространствах. ',•'..'

С№ие методы исследования. Используются методы .функционального анализа, теории монотонных.операторов, теории ций^ереицйальных .у£а-внениЛ с частными производными, вариационного исчисления...

Научная новизну - Построена, теория С-сходаостй нелйне£.'ых эл-липтячеекпх операторов задач НеЯмайа, определенных'- на 'сильно .связанных пространствах; Дано эффективное описание, усредненных задач для посдеповательностёй нелинейных задач Неймана-з областях перио-пическо;.-структуры каркасного типа с тонкими каналами и в областях периодической структуры,с накопителями. Построена теория ^-сходимости нелинейных элляптэтеских операторов.задач Дирихле с.'переменно?. областью определения, в рамках, которой выяснено условнё,.достаточное для сильной ¿г-компактности и необходимое для'сильной 6 -сходимости последовательностей таких операторов. Исследована Г-сходимость ингегральнкх-функционалов; определенных на слабо связанных пространствах. •

Теоретическая и практическая ценность работы. Результаты.диссертации и развитые в ней методы могут быть использованы прт'даль-иейгви.изучении вопросов сходимости п усреднения для нелинейных-эллиптических и. 'параболических операторов и интеградьных ¿ушщио-' калов с переменной областью определения, при исследовании схояимо-сти решений краевнх и вартаютонтге за дач.в областях скоглоР. структуры. ' ' ■' -

Апробация работы. Результаты диссертаций докладывались на .Республика неких конференциях по йелянейю?! граяхийнм задачам для тга!'-1 »гения? яыпо: ягнений с частннмл -прэизвопнши /Черновцы- 1589: Тс'~чт.к, 10°]/, М?т!пу5»агопиой 'соифк^ншп'. лчмят"^ -т?-

дейта М.Ф.Кравчука /Киев,: 1392/, Международном семинара "даf-te— ренцнальные- уравнения и смежные вопросы"./совместных заседаниях .семинара им. Й.Г.Петровского.и МосковскОг<?'матемагического общества; Москва, .1093/; Международной кощереЛЦни "Нелинейные граничные задачи" /Крым, .Даспи, 1933/; Междунарз\йоЯ конференции lio композитным' cpenätf й усреднению /Триест^талЙя, 1953/, научном деминаре. в Институте математики-АН ГДР /рук. профессор K.Ppsiep, Берлин,.1989/, 'научном.семинаре отдела нелинейного анализа Инстл-. тута.прикладной математики и механики HAH Украины /рук. академик HAH-Украины И.В.Скрыпник,'' 1989-1094/. Отдельные части работы ис-• пользовалась в спецкурсах, читавшихся автором в Донецком государственном университете.' . ■ . .

( рубрикации. Все результата диссертации подучены автором самостоятельно и опу.бликлваны в работах [l]-[l5]. ' , 1

Структура, и объем работы. Диссертация состоит из 'введения, . четырех'глг-п. и списка' литературы /134' нааяеповаияя/. ОбащЗ объем диссертации составляет 266 страниц.

" " : ' ' ■ ' *' :1 ' ' ' .'''... - ' - ' 'СОДЙЗАШ'З ?ABöfe

Прежде чем переходить к изложению.основных результатов работы, ПриДаДЙМ ОДрёделе!пш сильной'.СВЛЗаНЙООТЯ,' о котором говорилось" bire.p; несколько' инуд форму.. Вместо сильной связанности областей будем говорить о сильной "связанности. соответствуших пространств/-А .именно, пусть-JQ} - ограниченная область в$. (&Ы), {.QSJ - последовательность областей , содертлижзй. bÜ2 , • faeJi , , .•-Будем говорить,что пространства V/^'^Q^

сильно; связаны с. пространством \^.!tXQ) , если; суаесгв'у'ет после-■ повате'льнбсть-линейных неигешаных' операторов продолжения р£ :

, удовлетворли-шя неравенству.

. ЕеЛк такой- тосш{озатольноотп оперлторотз продолжения'не существует, то будем говорить, что пространства слабо связаны с пров*раг.етвом W. В некоторых случаях полезным яКчйется следующее гзбо'бтен'ке понятия сильней

связекеижс пространств. Пусть ¡моется семейства J > iоб-jsscteZ прлче^длл л:обого t «с ■ Будем говорить,

что Ерогтранстаа I/ j сильно связаны с пространствема

, еслг существует 'семеî1.c-tb0 линейных непрерывных ■• оиератотез прс^олгения yö- : \Г ) ) , удов-

зетвзрг-—ег неравенству J^y Hftil<'x' = • -Если; такого семейства слераторсз грзлолтетш не существует, то будем'говорить,, что ••пространства

слабо связаны с пространствами )•

В cepsoS главе диссертации исследуются вопросы ¿г-ахощыостп я усредаенга вяя нелинейных операторов задач Неймана, опрецелён-вя на ггаьво связанных пространствах.

Е п.3.1 кзугаегся " £-схадик0сть абстрактных операторог с- пе-psxEEEOî ойлагтьэ определент.-. Описывается связь £-сходимости слегатзрбв со сходимостью решений соответствующих, операторных, ур&взияй я варгацпошцрс неравенству. Доказывается теорема о вн- . боре п рассзЕтггваеггой.-послеповатёльно.сти операторов' £-сходя-ге^гз Еосюслехсвательности/ Дадим более подробное, пзлояёнив s тих рвЗ^зшгов. .. . ' ': ;' •••—

Дугть JC' ioro J« Д/ - вещественное рефлексивное ceiia-ргбельнвг ösraxcBo пространство с нормой fhfls , ßs - liyjib в ^ ,

l-ff - некоторая вспомогательная нор®, в пространст-

еэ, сггаряяеешв с , ß'IJ - норыа в M* ; W - вещественное

сегарзбельное банахово пространство с нормой 1}-fj F - ет.ть в ЪГ , S'IL вспомогетельная норма в ty t относите-

ЕстераЗ cap {и е \f: ¡¡Hfls 1} есть. предкрмпакт, \f - прост-. гангтво, сопряженное с W , jf-ff^ - .норма .В Î/"*. Пусть для'любого Sc/V . - отображение в . t/j. ., и выполняются, у с ло-

ве.?:

еиг и ¿у , sé/v , то ^¿¿^ <г/ш, й^чи^хщ ;

Й ûfo !!%иf] ~0 ,~то и-9. . Г~— л5 ' -

Пусть для любого множество всех линейных непре-

рнвцых-'оМбрежеииЙ'Щ в - множество. Всех' пбслецовательно-

. йтбй ^¿ф'.ЦдовЛё^варййцих, условиям:- для л?;ого /У Д йХ, ;

• ; если , ¿г , то ^ (рЛ)" и Пред-

полагаемсячто ' . £ ■ / ^

Оггрецеленйё Пусть дая':Любого- '¿V -а ^ К-

Булем' говорить,' что посйёадват;ёльнос;ть .еларб* сходится к и , п^ёпойт.вя^нве^-ио.^-'!^^ '.огЫйгеена и & ПЯч'ЪЛк- -0.

г -'У-■'>'■, ; ' '-'А! 1 I .'Ч '■.".'■'<'.■',-'. -Г-»«»* • ; ■

Будем:говорить!;' чтР\1ЮслеДо'ва?елйность ) силЬно■'сходитбя к и ,

■•. v

Пуст!. ДЛЯ";любого •

•1>удем что п^ледЬвагел'^остЬ'^.^ сйльно. схбциуся к / ,

если что .'для Любого Щ • V ¿^''.и послёдо-

ватйльйостьТи.Абл&бй -схб&йт'ся к И; сле11уёт рйЕенстно-Й>а<У,.йР>=<^«Х

^Ёвв'ДёМ' ■/последовательность о.йёрат.оров ^ ' :- ^ для

которой будут сформулированы рёз-уйьтаг'ц-С £-Рхо'димрсти'. Пусть.

Ш>4-'у^'кМ-г1"- к'Ш-Лм ,

й л.Усть для. лМого; ■ Щ - оператор из.Ь^'А •■ Щ*'-П^чба . '.зг ^..и 'для Йбнх '¡.%1гё Ь^ •' отраве ойивн

неравенства л • , — .

Щ■ №

Определение 1.1.5. • Пусть. Л - -обратимый оператор из

I/ в

Будем .говорить, что послецбйательНость Ы5 } <?-схоцится кооператору Л"ёойй из того, что для любого ¿¿Л/ ¿¿ бЩ* , /<=:!/■*.и последовательность }■■ сильнб сходится к / , внтеха-ет, что 1к.. уэн'ательность } слабо сходится- к А £

Непосредственна. и? определения 1.1;,5 вытекает, что-еслипо-сленователь.ность>/л1.} ¡Р-ч5хо!1штся"к оврвтиаю^ 'опдотЬру,.'^.::\

V -* V* последовательность. £ € сильно сходится к

, то решения ¡¿^, уравнений слабо сходятся к

решению уравнения

Следующий -результат .описывает связь I?-сходимости' операторов со сходимостью решений;вариационных неравенств. ; ;

, * Теореш. 1.1.2-, Пусть /} - обратимый оператор из К в Ъ^ и последовательность 1п(\ С-сходится к оператору /4 . Пусть для лсбого - непустое множество в Ь^ , V - непустое мно-

жество в V ¿причем выполняются условия: . ■ ' "

1) если .последовательность 1Г, еЩ. слдбо сходится к , М - бесконечное подмножество йг и е /V У; € к , то ;

1 . / * - -. л

2) если последовательность Несильно сходится к . то существует последовательность ¿Л & Ц такая, что &*». °0.

. ' г-» о. _ ' 1 г * »

Пуст,'-* последовательность / е -сильно сходится, к 11( е ; ГТогщгСу-

шествует элемент такой, что К КАи--{, 0;

последовательность {11^ } слабо сходится.к И ; последовательность . ¿^И-Х I сильно сходится к

Аи .

Рассматриваются пршерн. выполнения условий. 1) и 2).

Теорема 1.1.3, Из последовательности ]можно извлечь, под- ^ последовательность , . ^-сходшцуюся к-обратимому оператору А ■ ^, удовлетворяющему при любых неравенствам-

' '•. Пи-М* ¿x и+йМгГ^^ф0

где ^„-/к'^См.'(п^ Ле -■ положительная постоянна*?, .завися--щзл только от . ' "

Этот результат является аналогом теорем о £-компактности для последовательностей- операторов с единой- областью 'определения, доказанных в работах В.В.Жнкова, С. 1Л.Козлова*' О.А.Олейник, Ха. Тьен Нгоан /1979/, У;Е.РаЙтума /1984/, А.А.Панксгеа /19Б4,Га/.

В п.1.2 изучаются ^понятия ¿г-сходикости и'сильной ^-сходимости для'последовательности .эллиптических операторов ^ дивергентного вида, дейс^вувших из соболевских пространств в со-.пряженные с ними пространства , где , нек'оторые перфорированные области /вообще говоря, непериодической структуру/, • содержащиеся в-фиксированной'ограниченной области

<= . При. этом пространства !//>Л1(Х1$) смьно связаны о пространством . Относительно, кос-Миалентов операторов

Аг .предполагаются'выполненными определенные условия регучярноетп и монотонности.'С помощью-результатов п.1.1 устанавливается, что -' ^-.сходймбс'ть: операторов сопровождается сходимостью решений некоторых уравнений,; связанных с.операторами А3 а- такте вариационных нёрав -!ств с препятствия:«!; доказывается теорема о выборе из последовательности сильно .'^-сходяде^ся подпоследовательности. Наконец, показывается, что при .условии периодичности г.ерТхэра-ции областей ' И. некоторых, дополнительных предположениях отяо-. сительно коз {^ициентов. операторов Лу имеет место усреднение этих операторов, т .е. их-.сильная . 6-сходимость' к оператору А:

■■ с элективно вычисляемыми козЭДицкекгамк..

Сформулируем основные' результаты пункта.

Пусть Н~бЦ. . -О '.- ограниченная область в Л* с липан-

цевой -границей; ? последовательность областей в $ , содержащихся и ¿3 ... Предполагается, чт'о существуют постоянная У>1 . ,. конечные множества /у/х*1 ДО , точки . и числа Ъ* >0 }ь -такие,'что

; У*«/у ;

*

т.* г'* о > Ше/. М-т^р/

п/ - / " / >

■ где -.замкнуты!) пир с центром"в точке */' и радиусом ^ , Д -

расстояние от В? до множества I/ ,В У

■ ' ■ 5. . - /,*<*<> '. ' . • ■

Пусть #£->/ ; введем обозначения: если Sieflf то ^ - отображение в ,**(jQ5) такое, что для любого iL е ^ U. = ^Jq - множество всех линейных непрерывных отображений \zi,,K(ns) в

- множество всех последовательностей , удозлетвор.тайгх условиям:, для любого SzN е

Sf-ptiM* < : если 56 ^ ' а£ , ^

Устанавливается* что отображенияудовлетворяют условиям : п.1.1 / в качестве всномогательннх норм в b^^^JÜg) , ' (Q.) берут г я норш в

vr

/ и . . Поэтому идя пространств if (X2s),

Vопределенных На них операторов могут быть реализованы все определения и результаты п.Iii. Эти результаты применяются и развиваются для последовательном«. операторов As • W '^(Cl^) •* (Willit{i2,sj)* » определенных форглулой

<Asu, [Z ¿fctejpufytrfuitjdx.

Относительно коэффициентов операторов At предполагается, что он!Г являются карат ео пориевс киии функциями на ¿2. * R*lR'1' , удовлетворяющими аля лябых ¿"6/F , Xei2 , , соотноше-

кг-м: Z \ <£(*,<>,0)\= О,

¿—О •. .

* c'^i v^/fY -i'l+lVt'!)"* , '

где , 0</n.. 4Шп(т.,н') , H, Z toaxfa i) , . Б сил}

этих соотношений As0-o (i/s) и внполйяются неравенства вида jfl) , (2). Значит, операторы Aj■ обратимы и для. них справеддивы вае результаты п.1.1. .. ' - '

Из определения 1.1.5, переформулированного для рассматриваемых соболевских пространств и операторов А; . вытекает, что £-сходимость последовательности {Л5} сопровождается слабой схоппмостьа решений задач Неймана для соответствующих Эллиптических уравнения. Приведем результат, показывающий-, что ¿--сходимость операторов вызывает и слабум сходимость .рёзениИ смешанных задач,/условие Дирихле на ¿12 ,'уеловие Неймана на границах шйров £/■ /.

Введем обозначение: если 5 6/У , то к^'*1(О.$) - замыкание

множества всех функций класса ) • носители

которых "содержатся в £1 . •' _

■ Теорема 1.2.1. Пусть п - обратимый. оператор из

V 'УЛ.) в

(^'^(Х!))* 11 последовательность | ¿г-сходится к оператору , Л • Пусть последовательность'^ б (£1$) сильМо охотится к

У € \/'>*х(£1) , а последовательность £ &(\/*'п(Л.%))* сильно сходится к (У *>*(&.))* . Пусть, \ZseN а, ё

Кг.б/У Кг £■ <Тогда существует ^увя-

дая

такая, что

и последовательность,/^ ] сла'йо сходится к ;

Следующие результата опискваат связь £-сходимости операторов А$ со сходимость» реаекий. вариационных неравенств с препятствия).^.

Теорема 1.2.2. Пусть А - обратимый оператор из ,>п(/2) в Л/'^Л)}* и последовательность /Л 3 { . .¿--сходится к оператору А .-Пусть последовательность <А. <£ &1'*1 (<(1,) сильно сходится к у & „ для лмбого V, = {и б

почти всюду на ] , 6 у почти всюду

. на О. .. Пусть последовательность £ € (\</1:>'"{П5)) сильно сходится к/<? (1/'>"'-(П))* . Пусть, наынеп, .. е V, ;

6- ¡У Уус-Ц <А$и% . Тогда существует Функ-

ция ае V .такая,' что ¡/¡Гб V у-Ц.У20 ; после довпте-

льи^о!а{и$} слабо-сходится к II ; поелочоватгл^кос:ть ¿А^} сиз' но'сходится к Аи- ■ ' '

Теорема 1.2.3. Пусть И обратимый оператор из \Ji,hi(SX) в fl/i,M(jQ)j* и последовательность iAs\ ^-сходится к оператору /\ . Пусть последовательности;^)^ б ]vri,*Xi2s) сильно сходятся соответственно к ft f £ lf*jl*(/X) > ¿'>о и выполняется условие:

Vse/У ?S + <1 < fs почти., всуду на fls . Пусть для любого s^fy

\VilH(fls): %. почти всюду на-ОД V= {я^'Ъ):

У>* иг? <р почти всюду на-Ц£ . Пусть последовательность с е (W^iO.,))* сильно сходится к /е- (Vrt,H(&))* • Пусть, наконец,

Тогда существует Функция tl^V такая, что Vir6V KAtL-^lt-u последоватедьность [us] слабо сходится к U ; последовательность iAsusi сильно сходится к

Ли. . '

Доказательство теорем 1.2.1-1.2.3 основывается.на проверке для рассматривав*®* в них множеств Ц , V условий 1) , 2) теоремы 1.1.2.

Переедем к результатам о сильной (г-сходимости последовательности . Введем операторы./^у .Если i'e{o,it.. .tni , ie/У ,

то - оператор из

trai) такой, что для любой

функции и- е V ) (rii%u)(x) = а\ (X, и(х)3 rtifij) при

xeJ2s , (ri %u)(x)=0 при zieI2\D.s .

Далее понадобятся ещё такие обозначения: ¿М - множество всех -•атетеодориевских функций & на таких, что для Любых

vaht(ii) , ао^о.ю) ^'"'^) ; Млн-

совокупность всех отображений множества '{oti-t...t li ъМ ; если а. е М\*1 , 1ё{о,1,...,л} , то в,. = а (С) '¿от d ¿Jl*** rc J • оператор из V'^in)

в (\J1;h''(Q.)) такой, что для лю~

l^rtV'^m) - -

<Ак, г> = J / £. (х, ut >r v- а.о (х, и., vti)v}'dz. .. (.3)

Определение 1.2.1. Пусть Я-бМ.*** .причем операторобр"-FvieM 1-сворить, что тюачедочаг'елмк/сть-/^/сильно £-сто-•'¡'ГОЯ К OH^'TOpy А < РСДГ li'WWnoiW*ЧМП'.'б! Т- 1АА . ./г-СУ-ОДШСЧ

к операторуД и из того, что IАвЩ £ й (к/

и последовательность {£} сильно сходится к Ач . следует, что

для Г. ¡^У ии())слабо в

Теорема 1.2.5. Существует возрастающая последовательность. {si} <= Д/ и ее ¿Л1Ш такие, что опепэтор Л обратим и последовательность / емьно -сходится к оператору А •

Доказательство теоремы основано на использовании приведется вняе абстрактной .теоремы о выборе. При этом важнич моментом, является вгшочёняе операторов А$ в семейство так наэивае'лпе сдвинутых операторов'/)^ аналогичного вида, параметризованных Функциями Те Ц*(&) , Р* (¿"(П.))*- . Для доказательства сиьноЯ компактности нелинейных .эллиптических операторов с единой облас- . тыз определения включение-этих операторов в. .семейство еявгнутнх операторов гб!!ло предлояейо в. работах А;.А.Панкова /1984-85/.

. . С использованием теоремы 1,?.5 го.тртен такбЯ результат.

Теорема 1.2.6. Пусть А - обратный спсрагор. из Ы ' (О.) в я последовательность.

(г -сходится.к олс*ратору А . Тогда существуют фунюцз? 4 Ж- . < = , такие,что

для любых Ь/ ' (СХ) справещкво*равенство (3) .

; В заключение. п.1.2 олисывае'-зд ситуация, в которой - имеет лес-то сильная. £-сХо дикость последовательности { . Эта ситуация характеризуется тем, чго'области имекг пёриодическув пэр1зра-

■ цив и для .любых 56 /V , ¿6.1.0, Л*-.» . прй этом коэМаин-онты. оператора,. являшегося сильным- ^-пределом для последовательности (А^У, специальным, образом выражаются через {-ункыии О^ а решения вспомЬгат.ел.ьнь'Х ячеечных задач.

' Отметим,. что все результаты п.1.2, кроме .относяаихся к-варка-иионним неравенствс ярепятствигьш, могут бш-ь. перенесены .на определеннее ка пространстЕах , £>£ .

', ■ Во второй главе диссертации исследуется вопроси, ^-сходимос;«

•- и усреднения длянелинейных .операторов айпач-Неймана, -определенных' на.слабо сВлзатшх. проагранствах.

В п.2 Л -изучается 'йойечейиё Последовательности. ре-шени;! аааач

■ Нейчана для- нелинейных, вообще -говоря, .невараадконянх- зллчггл

- Лих уравнений в' трехмеряих. оЛластях, лргдетявк-.'нх 11 виде ^«»»к •

нения двух основных компонент /периодических каркасов/ и соединяющих их тонких каналов.. Устанавливается (?-сходимость соответствующих эти:.! задачам операторов к оператору с эффективно вычисляемыми кол Мтекектамл.

Дадим более подробное '^изложение. содержания п.2.1.

Введем обозначения: в»/* «/*»/<£-если ,

¿¿/V , то то кЩхе^-.УЩ

к=к1ик*икз .

Положим ¿1= 3 0. и пусть для любого ¡е/У Пусть и для любого X« /V

п(5" = Ш и (г+Г<(гШ)1 У (ы((рКпй)).

**гх J

Множества , являются облает®«!, в ¡К , имеющими периодиче-скуг; структуру каркасного типа. Определим множества, с помощью которых соединяв эти области... ■ _

Пусть .

Положим для любого 5 е /У

и;-/«*3.- '^Ь^К

л; - {/*</<{г^^Ы, л, - л; / /Ч .

?!!'о.-'9стгд//5. ягенставлют собой ■ объедкнсиил каналов /яареллелепи-п^дор. . . - /. (^"'ляплгкгх сА"?г~и

•О'/', Рдмргти, ЧТО йы -О-

Положим теперь для любого 5 £ /У

_, '' ГГ I —

Множества л2$ являются областями в « , содеряащшшся в.

Зафиксируем . Для любого 5¿/V. через ^"-обозначим отоб-

ражение сужедая из

ъ/*>*(а) в ^ТлЛ . полояи ь^ьЛ'ЭД1.

Норму' элемента определим, по формуле ' .

Ни У = , + В и.П)Н ^Лу *и у1-*»« '

Определение 2.1.1. Пусть пля-любого е Д

Будем говорить, что последовательность слабо сходится к и , если < '

¿Ъ [¡^-^Тбх-Р, {1и.-аиаПх .л

Л?*-

Определение 2.1.2. Пусть для любого 'иМ} } /¿I/*

Будем говорить, что последовательность сально сходится к /? , ёслн из того, что для любого $ <г /У и% ^ Ъ^^Д аек/п последовательность/^ 3 слабо сходится и й , в'ытекает, что .¿¿, > =

Определение 2.1.3. Пусть для лвбого

¿¿/У

обратимый оператор из V ' (0.1) в СЬ/ » А - обратим?, оператор из \>/ в 1/*'. Буде\1'говорить,'что последовательность /Л51 £-сходится к оператору Л , если из того, что пля любого 3 <?/У £ * , /! \\ последовательность I сильно сходится к { , внтекает, что последовательность./^ £} слабо сходится к ■

Ясно, что установление -сходимости последовательности операторов А5/ЙД* дает ответ кч вопрос о сходимости обобщенных решений задач 'Неймана для соогветствуицих этим операторам уравнений в областях ./2г .

Далее рассматривается последовательность операторов /15

, определенных формулой

//I

а- Г*, Р7/А ^ + а (х, и) у) ¿х (4 >

Относительно orapc.ni коэффициентов операторов предполагается, что сне опре че.ленн н а * л' и удовлетворяют для лобых Х)Х/«Х2> К* соотношениям:

р-Чх'.р!Ох~£'/) (6)

I ¡а--а,V сОну+ЦО^-¿'Л, (7>

з

X (е;

Относительно младгеГо коэффициента предполагается, что оп явля-' ется каратеодорпевсной ф>-нкциеЗ на ¿2*$. , Л (-^о) г шля л-сбнх . . .

/д с (Агх) * г

Б приведение соотношениях . , , с",

уг - нвубыБа'-лЕгя Непрерывная в нуле функпия ,

(О.) , е - орт ¿-го направления в, ¿=^¿,3 .

йроте того, предполагается,"что выполняется следугзее .усдо-¿^сутгествуег ¿тнкшш ""'Л5 такая, что для лпбюг

¿/и. ^^^ а, г*, = ¿<41).

л-г с».

При оп-рёгэлёнком соотнсаешш ?!е*ду чпслаг/п %. к М, усюнавлй-гается, что саслсдолателькость 1А5] ¡^-сходится к некоторое - --•зл-шгопу А ■. , кор№ттп;е;гга которого определяется

сггхталынг-! ОбрЕЯОМ-ТврэЗ глгкшги , ¿-1,2, 3 , <£ и { . Дадкд оп-садго пето оперстота. .

Пусть

для иНАу,1бЦ^гъ) П4,с*1***Ле\\ ; ляя

Ъ^йу» (П ) - замыкание в

V ' (0 ) Множества всех фунюдей

tl.eC*((]*) , удовлетворяющих условию: для любнх и

хеП*>1 №)=№<$ '

6 силу условий на функции для произвольных ¿с и ¿-О.*/?3 существует единственная Функция^ £ Ь

та:шй, что I . и

^ С 1.

Пусть для ¿¿{1,2} ТЦ ¿«{1,2,3} - функция натакая, что е12*$3

&

Положим

и пусть В*(1*1,1), В - операторы из )/*'*(0) в (Ь/*М(Л))*

такие, что для л-эбах е I/ '^({1)

<3%гг> = | / £ ¡г + хг<ь(х,и,)1г}<1хг

' 'С»

< 8а, г> --]*(х,и)гг1х.

. Наконён, пусть А - оператор- и? & в Ъ^*тэтю{!, что для-дабкх

ё V"

.В предположении, что числаЪ иМ связаны соотношением ■ • ■

доказан следующий результат. ' -.

Теорема 2.1.1. Оператор^ обратим и последовательность ] . £-сходится к оператору 4 •

Заметим, что пространства сильно свя-

заны с пространством Вместе с тем -пространства

слабо, связаны с пространством .

В пунктах-2.2 и 2.3 рассмотрен Другой тип областей, порождающих слабо связанные пространства. Это области.Л5 , представише. в виде

,. где области

Л'.

таковы, что соответ-

ствуюиие им пространства сильно.связаны, &*п ~ О , открытые мнояества £3 являются объединениями непере.секаюшпхся областей . яаздааемых накопителями. Если пространства!/.' '(££) сильно связаны с ■>.пространствами ' (3$ ) /В( - шар минимального радиуса, содержащий ¿^У, то' области Е* называется простыми накопителями ; если - же пространства \/ '{£/) слабо.' связаны- с. пространствами , то области называются сложными накопителями. В п.2.2 исследуется асимптотическое поведение решений задач Неймана для нелинейных, вообще говоря, неварпационных эллиптических уравнений в областях с периодически расположенными простыми накопителями. В п.2.3 изучается аналогичный, вопрос для областей с периодически расположенные сложными /двойными/ накопителями. Устанавливается, что рассматриваемым задачам в качестве усредненной отвечает задача.для системы,'вообзе говоря, нескольких функциональных и одного, дифференциального уравнения.

Остановимся на более подробном изложении п.2.1.

Пусть 0. .,¿2 , - те .же множества, что и вы::)е, 0<.¿^ <I. Положим для .любого $6/У

и. (г+гйя).

Пусть еше Г>/ , 0<^<и . Для любых /V и (1,2,3 ! положим

К = /у

Наконец, положил для любого л i

Л, = ¿2,и и, и П*.

Рассматривается последовательность операторов: определенных Формулой (4) . Предполагается, что старшие коэффициенты этих операторов определены на О.*и удовлетворяют соотношениям вида (Б) -(8) , младший кооМшиент Л. определен на.О*$ и для любых Л,х'¿О. , {Л'&Й а(х\о)~0 ,

Шх, {/х-* ,

(((, с'Л,

где й1г/п'у С. - постоянные,^- функция такие же, как в п.2.1.

Предполагается также „ что выполняется условие Ж) .

Опишем оператор А , вхо. плита й в дифференциальную часть усредненной задачи, соответствующей задачам Неймана- с операторами . Положим /7=*<2и пусть идя любого¿€{^1,3$

• Пусть - замйкание в V'' (П)\ множест-

ва всех функций й^С (П), удовлетворяющих условию:-для любых £{¿,2,}} пХёф1- и.(х+е1)~ и(х) , в силу условий на.функции а. для. произвольной пары существует единственная ,

Функция 1К. £ (П) такая, что [¡А. '¿х-О и Га гег 1 Ь\

Я

Введем Функции . Если ¿¿{¿,¿¡3} , то й. - функция на' 0.*Р,3 Ыкя-т, что

ч = ...

/7

[\т<

что лю<мх, аУ-^СО.)

•Пусть' теперь А - оператор из П ТЯ1ГОЯ,

<му 1, с Ъ/^ЧО) -

<Аи}1Г> = (X,Ш)¿¿V + и~/)а(х,и,)у}1х.

Пусть / б ¿"'('л.) И для любого ^ е/у £ 6 (У*'*^)) , причем

. Я,

Пологам '

н введем обозначение: если 11 & Vх(О) , то =

В предположении, что числа Г и/а связаны соотношением

доказан еледувщий' результат.

' . Теорема 2'3.1. Пусть для любого^ . Тогьа

'-%т йк {{Ъи^Лх^О

■ * ¡^/У -

н существуют функции Л е

такие, что

для почти всех Jf ci2 : • ; ■

-гу*-1 fH(x,u(z)- f(x)) f(x))~f{х)]-о,

для любой;Функщ1и ■

<Aii,V-> == (i-f^^jfirdx.

. • a л

■Заметим, что пространства Ь^ (J2S) слабо связаны с простр ством .. Однако пространства сильно связан

пространством Кроме того, пространства

сильно-связаны с пространствами (в^, sef\/ , ге^ / Bs \

шар минимального радиуса, ¿оперяющий 7. +f*<iQ J. Поэтому области X-ts~xj,Cl являются простыми накопителями. '

Ответим, что вариационные методы исследования зздач Нейлана для линейных' уравнений второго порядка в порождающих слабо' связанные пространства областях, рассмотренных в л.2.1 и п.2.2 типов, яо, вообще говоря, с непериодической структурой предложены в работах Е.Я.Хрусловп /1978,81,88,89/. На квазилинейные вариационные уравнения второго порядка эти методы перенесены в работах Л.С.Панкратова /1988,90/. Исследование усреднения задач Hefl-мана в областях со сложными, накопителями ранее не проводилось.

Доказательство основных результатов главы с вариационными методами Е.Я.Хруслова-не связано. Оно основывается на специальных асимптотических приближениях решений исследуемых задач и использовании свойств монотонности рассматриваемых Нелинейных операторов.

Третья глава диссертации посвящена исследованию ^-сходимости операторов задач Дирихле с переменной областью определения.

В п.3.1 вводится.и изучается понятие (^-сходимости абстрактных операторов..' Ws* , .подходящее.для исследования переменных

задач Дирихле. Доказывается теорема о выборе из рассматриваемой последовательности операторов. £-сходяпейся подпоследовательности. Описывается связь ^-сходимости операторов со сходимостью решений соответствующих операторных .уравнения л вариационных неравенств.

Исходные предположения пункта таковы: для любого Se/V -вещественное' рефлексивное сепарабельное банахозо. пространство с нормой //•/£ ; если S е/У , то &s - нуль в Щ , Щ* ~ пространство, сопряженное с , //•//, s - норма в \ - вещественное рефлексивное сепзоас'еяьноа''банахово пространство с нормой Ц-Ц , 0 -пуль в \/г , Ixf*-- пространство,.ропряженное с -V , И'Л^ - норма в V*. V ;. для дабого Se JV ps ~ литейное отображение Ws п Ь/; вклолр'чтгтся. условия: ' -

etvi'.t S« /V , U.*WS ,то 5 Hps Н-Ц $ X-/jUffs ■ Г9)

e'vru ■ и <f V , то существует пор.лоцоттельпость"й-, e \JS (i(3J

ТЛГ.ЧП,: -i'to йн Hu.ji ^fhm и />, to.-^tl слабо n V.

-. Ор^дел^рне. 3.1-.1, Пусть «ля лчбега J«/V As - обрйт^п'З on&-tjf>T'ij. IT \'/f в If/J* , /) -.• ссЪ'тя'.гй олэгэтор изУ н w* . Нулем

■говорить, что последовательность М$1 -сходятся к оператору Л , если для любого Д слабо в I/ .

Пусть т>1, (п.' = , о<Ь14 т, >

и пусть для любогог/У . Д - оператор из ^ в , причем для любых 5 £ /У , ЫМи^л имеют место неравенства (1), (2).

Теоре:,а 3,1.1. Из последовательности {Ах) можно извлечь подпоследовательность, £'-схопшуюся к обратимому оператору.Л • удовлетворяющему равенству IIАШ^ и для Любых £ \/ таким же неравенствам, как в теореме :1.1.3.

; Теореш 3.1.2. Пусть А ~ обратимый, оператор из,

V

в и

последовательность (А^ {г-сходнтая к оператору^ .'Пусть для любого $ £ /У £ <? '/ й У* к,

Пусть для любого ¡еМ Тогда Д и^Ц слабо в V.

Теорема 3.1.4. Пусть Л" - Обратимый оператор из № в Ь^* и последовательность.//^/- £ -сходится к оператору А .-Пусть для любого ¡¿А/ % ■ - неЬустое множество в

- непустое множество ,'пртеы -выполняются условия: ■'

3) если для любого ^ е^ , V е\/ , слабо

вГ, - бесконечное .подмножество Д'и ^ е-, то ¿те]/"-;

2) если I/ , то существует последобательность ^ 6 ^ та--кая, что . ■

Пусть для.лпбого (У ^ & Щ* .', /бЬ/*и шюет место равенство (1^; и5 ¿ ^ ; Кге/У <,1Г-1С,У>0. Тогда существует элемент & е К такоР., что Уу^ У КАи-^^-иУЮ; слабо в I/ ; ^ ^»Д ^ J

Отметим, что еслн выполняется условие (9) , то. условие /10) является необходимым для (г-схоодмости какой-либо последовательности обратных операторов •' , -удоач'етворкиих неравенству <А;1С,и>г , ¿г £ Щ , к обрати: :очу оператору^;

]>/'-"> , удовпе-творяюшему неравенству^/^/ 4 С, (1 * Ни//)* 1

В п.3.2 устанавливается, что,условия (9),(10) выполняются для пространств w*},K(Qs) , Isf^fjß) / íQsi - некоторая послеяова-¥адькость перфорированных' областей, соЛержагшгхся в ограниченной области JQ ./, вследствие чего результаты, полученные пля

абстрактных операторов,- могут бить nepenecetru lia операторы задач Дирихле J3 областях ■ З^есь же рассматриваются примеры множеств Vf «= W*>'K (jQs), V ^ W^'^íl) . удовлетворяющих условиям 1), 2.) теоре!.?н 3.1.4. Эти множества являются множествами функций с ограничениями интегрального типа. .

' .В П.3.^3 для последовательности равномерно монотонных операторов As ■' дивергентного вида доказывается теорема' о выборе подпоследовательности, (r-сходящейся к оператору А- ~* (Ь/*'*1&2))>Г о те'.ти же старшими коэффициентами, что и у операторов и некотором добавочнш тллацтим "коэффициентом 6(ху и) . Дается процедура построения ^ултпши и.) . Обсуждается вопрос, о необходимости основного условия /условия Я) /, при котором доказывается теорема о выборе. Устанавливаются критерии выполнения этого условия. Дадим более подробное изложение этих результатов. .

Пусть Ä-e/V , н.^2 , jQ. - ограниченная область i -

Последовательность областей~в , содержащихся вЛ , tn.^i '.

Пусть отображения yöj определяются следит дал образом:, если JS'/V , то Oj - отображение Vтакое, что для-.тобой функции Ж с b/.^^CXlí) (ps tl>Jn ~ U , Д и.=О на jQ\ £ls .

' Пусть и выполняется условйё: . ' •

«#)если и. 6 C°Xú), то сута§ствует последовательность U^w'^íQ*) такая, чтоДИ^—*«. слабо в \/*,nt(Q)я для любого открытого множества В <¿¿2 Г

йм. Г ivüsfHdx я/ I {ivtlf** /U/^llx.

£/Ш

Определение 3.3.1. Пусть для любогод£

e/V Л, -*-. обратимы«' оператор из - обрэтичнй оператсго из

. Будем говорить, что последовательность {ASJ ^-сходится к оператору А . ёсли для s^-Aovo f е (}</í'n'(I2)) psKUf'P^A f С..-ЛГ" п^Ч-Q).

Это определение является реализацией общего определения &-сходимости-для абстрактных операторов'из п.3.1.

Пуста т.', /н-^ , - такие'-хе достоянные, как в п.3.1, С*У , для любого I ( - .каратеоцориевская функция' наXIх $ ,

причем для любых X йИ , /«;(х,о)1* о,

£ /«; (*,» - <*, г')Г'* с н^Г^ц - г'/*-*,

ч£ гад --ч'Г\

Пусть теперь А. - ¿шератор из {/ в (Ь/ ' {И}) такой, что для любых и-, V 6 1/^(12)

<АчУ> = I /Ъ (*, Ги>Я ¿¡¿х ; ; £

если ¿е/К , то /1/- одератор из И^Ш^ь С^^Ш,)) такой, -что для любых

<А; и,, V> = | / ¿1 (х, ¡/¡¿х,-

. А •

. Положим. ' -Г ж-н.-^г

ьс = »н.^ ■ с уя.

и обозначил через множество всех карате.одориевоких функций ¿'•¿ХкЦ^-1*& таких, что для любых X £.-£2. ц £ ё $

Введем обозначение: если

, то г, -.дператор из в (№*&))* такой, что ДЛЯ любых. ;.

О.

-'Теорема 3.3.1. Существуют возрастающая-последовательность | ¿г/У и функция такие, что оператор А обратим

и последовательность 1А$, ] & -сходится к оператору А+-&

- Этот, .результат доказывается с использованием теоремы 3.1.1, а также, решений некоторых "локальных" вариационных неравенств и связанных с'ними величин, которые в конечном счете и-определяют функцию / . ' - .

,С; потйошь.ю построений и ,оценок; содержапдехся в доказательстве . теоремы' 3.3.1',' даетсй уточнение- этой: теоремы-, относящееся: к сходимости,, решений;уравнений с операторами но энергии., В связи с этим вводится понятие сильной ^-сходимости последовательности

и доказывается необходимость условия Л), для сильной -сходимости (А^)х оператору, вида ■ /теорема 3.3.3/.

Приведем один из критериев выполнения условия .

Положил для любых р >0 замкнутого куба и 5 е/У

Щ/

Теорема 3.3.5. Условие М) выполняется тогда и только тогда, когда \Х2Л)3Р и существуют и > С , ~ такие, что

для любого замкнутого куба б XI :

йж. fj.fn.esк.

Г-»о. —

Рассматривается, пример перфорйроэатгых областей, для-которых выполняется условие Я) .• ' '

, Отметим, что в целом 'метод доказательства теореш '3.3..Г, ориентированный на нелинейные уравнения общего дивергентного вида /т.е., вообще говоря, невариационныё уравнения/, имеет,существенные отлит чия.от яшганавшихся. вариациошжх Мё'тбдов Ё.Я.Хруслова. Этот метод отличается также от_мётода' усреднения неварйацион'ных задкч Дирихле .в -перфорированных областях, развитого И.В.Скрыгпгйком и существенно .используташго структуру рясттатриваемыэс перфорированных»областей и поточечные'оценки репений вспомогательных нелинейных задач.

В четвертой главе диссертации исследуется ¡вопросы Г-сходимости и усреднения для мтеградьннх. функционалов, определенных на слабо связанных пространствах.

■ ' ' Б,и.'4.1 вводится и изучается понятие Г-схопимости- Функционалов I, . 2,... , .к фтт'пчоналг;-• о прел елейному на

.Это иэнлтяе зависит,от сходимости•элементов ^ «к элементу.^ соответстйувщей.Струк-

туре; рассматриваем^ о.¿иао^е^'-О^ Эта; структур такова, -ч?о:;прр-ст}внства .,; нообвд гоьрря, не яаляя'.тся сильно связанны-

ми с пространствам У' (О) ^ Ояксызается связь •/^-Сходимости функционалов .со, сх<эдйм,фтью'задач. Йеймайа. • ДлА; , интегральных Функционалов

■ вводятся, специальные

локальные ¿ара'ктёриот'Ики,. с пшощью ко'горых' устанавливается тоорс-

сходящейся; к'-;ш^ёГ|)ал|>нЬ,му 'фунЩйшайуГ '.ол^'еделенному на •К!/*'-.»^^. ■ Дадим более подробное изложение .результатов п.4.1. .• ■-■' . ■ рЩАя^ёящв лиши-

цевой границейт последевадельность областей всодержа^ а;ихся б/2. ''"V/"-,-'■■ • (а

Предполагается, что сухестБу'Ьт последовательности областей

ш

ЕЙ и посяедойательйост'ь 'Шохе.ств ^" такие ¿ .что для лю.бого^;^;. : ,:' (12)

Предполагается, что выполняются условия:: '

йк-Ж^Р-у ' ;."■'■' " (13)

' существует У>0 такое, что для любого открытого , ■ • (14) множества Е <=Г2 с

Замётим, чт.о в силу этих условий . ' . .

/ги% (15)

■;; - . ' *

Введем Обозначения: .. ■ ; - • ■

«ро-

странствр всех отображений,Щ., пространство всех отоб-

ражений 'если'£.|«, то .■

v, .2) если ограниченная область в , to £ W ' (Е) , то il - отображениеЁ в/^^такое, что для любых х л Е и ¿£Рд ' й(х))л ~O^U fx); - отображение£" в^^такое, что для любых и U£pH'k = - fc>lt

3) еслл$ ё /У , то ^ - отображение V '^(Xl) ъ V ' (jQf) такое, что для любой функций ■ S е ty^CQ.) ^ а = j

4) если , Г «' ¥^(T%S) ,-ц.е (t/Цш)' ! то

fsМйу= ]Ч J/4 ^

5) если ¿6 .TO.

- множество всех последовательностей fc-iтаких,что Kie/V

S lfs

¿St

■ Включение f I означает определенную'сходимость после-г.опательности (ut}K_U . }

■ Устанавливается, что для любого й- £ (tyk'H(Q,)) существует последовательность iU-s\ ¿¿(U) такая, что ' .

Предлокепй? 4-..1.2. Пусть выполняется условие:

существует.> такие, .что для любого открытого (J7) ™<о«ества £ <=.0, й'/n (Ef)Qr") j-^merB. /.'-/, г.

Гогп.з проотИястро >f"03() од?бо связшш с пгоагг^пг; гя^г. V/ '

^Определение 4,1.1. Пусть ъля любого 15 ~ .функционал на У •; , / - функционал, на . Ёудем говорить, что

последовательность{[¡I /""-сходится к Функционалу/ , если: •"

3) для любого и £ существует последовательность

сЫ) ■ такая.', что;-4* ШЫ)*}{и)

2) имя любрго й-е я любой последовательности

Предложение 4.1.3. Пусть пространства' сильно"связаны с пространством . Пусть для любого /У

.1, - функционал на -Функционал '.а

последовательность/.^ ) /*т сходится к функционалу/ '. Пусть; для Любогб •'• -"Щ ~ функция, Шн^№зирую1цаЯ'-.Д; юдеют место соотнойешя йб) Тогда существуют возрастающая последовательность {¡¿1 <= /У И Ж * (Ы*'ГЛ(/2)У такие'',. что;# -шйш-мизирует/ ¡¡а^-^ШЖ .< '

Перейдем к .рассмотрении интегральных-фушщиояалов..'. ' ■' Пусть£>.2 .и- - последовательность функций.на.£2*В ■■■ такая, что для любых .и .Функция ¿^^'йэ^ерама .

на ; для дюбЬх 5 б : я выпукла; .на^*

' Последовательности } соответствует послецовательность- функ-.• ционалов . определенных формулой

. - :'' ■"'".'..' ' Л.

Обозначим через множество всех ,Функций / ' удовлетворяющих; условиям: 'для любюс | , \ функция

' .¿('ЛАЛ'У измерима на-О ; для любого' фун'кЦш }')

выпукла ; существует С7> 0 такое, что- идя любых

Определение ,4.1.3. Если^е/ , то]* - функционал - на (\>/*>*(&))* такой, что. для любого ие

/%).- ¡{(хУ^^Уси'1^.

о.

Теорема 4,1.1.. Существуют, возрастающая последовательность 1^}«=:/)/ и такие, что последовательность| Г~ схо-

дится к функционалу/^. . , '

В п.4.2 рассматриваются трехмерные области ¿2$ вйда (12), имеющие-периодическую каркасную структуру с тонюшй каналами /те яе области,-что я.в-п. 2.1/. При этом выполняются условия (13), (14) /с к - / / I? . пространства слабо связаны с

пространством I'/ '*СО) . С использованием теоремы'.4.1.1 доказывается Л-сходимость интегральных функционалов $ к функционалу /•' с ■ эффективно вычисляемым интег-рантом.

Отметим, что в случае областей вица (12)' при условии (15) и сильной связанности пространств, соответствующих областям, а? асимптотическое поведение решений вариационных задач НеймаНа для интегральных функционалов 1$ Ы ' Шг)-*^ изучалось при Е.Я.ХруслоЕим,' при /п > / Л.С.Панкратовым. Вопросы "/"-сходимости Функщюнадов ими не исследовались."

0СШ2Ш РСЗУХЬТАТН ДйХЕт^ЗГ ОПУЕЦЩШ&Ш ' В'СЛЩЩЯ РАБЭГЙХ-

i. Еовазэвский Д. (З-схадктогь еботраятних опвратороа с рпзлг.ч-йьмй ШаМгйй ■•ciöjeÄösSiöia // - оршада £îi УСОР. Сар.й. -

!¿з. - с.20-га ........... ■ . :

£, Копзггвсю-й Â.A. ' О-сзадаасть Опоратороз; onjpsjiöis'HHus' на -ïssar-iSKâiàc'-6àiiâxoiEr ч&збг'тоёисгвзг;* и 4 exojlfcafcift. vä&izix tsmziï-s-clùïtu ttèpa£ùueèa-&- Екаегдаа -ЛЯ У02Р. ."£&/). Л. "r 1£Щ2.'> -ШВЛ -С. 15-1?. •• ■'■-''■■ ' . ; . .

а Кбаалрвакнй Л. 0 -{ядапай Б-сходююеиг весшб'Якйг, 82яяп?и»?г2*-' • iâtx -öfmpteöpoa, cesbèssus'-û- //'jist- -

4. KoÉaü2i¡aiffiií''íí.'A. ' O. ОгегоЛ^бсгн'ш'иааШа'¿Ärejir.KGCtSS -oaeta-. торой jfr-pääJEMiüÄ сблйотКья •. 32а£к03££}.

Б. ГЛЕаТ£П2>П!Й''Л.-А с

6. KovaîeVsky A.A.' Cn G-cörivsre!sres• cf cpanators.cf.iHrtcftlot ЪгеЬ-len tilth varylto-ttaxaln .//• йжа© - iß-53;- - fi' a. -

C.Í2-1?. - • ■ — •'•'•,: ' . ' -' V

ß. EoBaaesöKSß A.A. б-ёуйдкйЗсйь fisftîxofiH'ia-éGÇâs-.'fc csejoprspötema ' •/-/•• Гелей ,уат.-üsyii." .t¿T$33:-'- T.lía,' в£а«4.У t

е. йэкзгейсгай A. JL- .Уебвдаёгйа Ibîtisaâ -isla педашофшх: air,s-.

3» " O* 8*^3«

il. ¿овагввоюй '^средягага вадьа Езйьвпа'№ • Беааеййа ехггаш -«sssaá ypábñsHt'J в оЗйзггйг с. нвдоя&езда tí .JfHp.-. bis; «да.- -

" isas: в г. - тои-ий.--;- •• • v. •

12. Ковалевский А. А. б-сходимость и усреднение нелинейных эллиптических операторов с .различным^ областями определения. - - Донецк, 199д. г.60 с. - (Препринт / АН УССР. 1(н-т прим. математики и мехаийки; 90.01).

la Kovaievsky A. A. oh Q-Doticaotness оГ а sequence of nonlinear operators of Dlriohlet problems In variable domains, - Donetsk, 1993. - 21 p. - (preprint / Akad. Nauk Ukr. Inst. Appl. Math. Meoh.; 93.0§). . .

14. Ковалевский. A. A. О G-сходямостй нелинейны* эллиптических операторов, связанных с задачами Дирихле и Неймайа в переменных областях // Теаи Шкнаподно! конфереНцП, прясвячено! пам"яТ1 академ!-№ М. It Кравчука, х щ 1в-гг-28 вересня 1992 р.)., - Пи1в: 1н-т

АН yjt^lHM, 1692. - Ci 8S.

15. Kovaievsky A. A; On. Г--оопуЙг^еПо0:оГ Integral functionals defined on the weakly related spaces // Abstracts First Ukr.-Airer. Math. School "Differ; Equations and Their AppL " P. I-tUkraino, Crimea, Sudak, June 1-10, 1993). ^ Kiev: Inst, tiath. ^ 199a - P. 19.

Ковалевский А. А. Вопросы сходимости и усреднения для нелинейных эллиптических Операторов и интегральных Функционалов с переменной областью определение

Диссертация на соискание ученой степени доктора фиайкп-математических наук по специальности 01.01.02 - ди(ШренцйаЛные уравнений, Ин-т прикладной ^тематики и .цек^и^кц НАН Украины, Дзнецк, 1395-,..

Защидается 15 работ, содержащих теоретические исследования по вопроса« сходимости.р усреднения для Нелинейных эллиптических операторов и интегральных функционалов с переменной 'облайтыо ояределб-ния. Построенатеория 6-сходимйсти нелинейных эллиптических операторов задач • Неймана, определенных на■ '• сильно'связанных пространствах. Дано эффективное описание -усредненных &ада<Гдлч' последовательностей нелинейных аадач Нзйкиша в Областях ..периодической структуры каркасного типа с тонкими каналами и в областях периодической структуры с.накопителями; (йучена (3-сходимость':нелинейных эдлиптиг ческих оператора а<и!ач Дирихле с переменной областью определения. Исследована Г--сходимоеть: Интегральных функционалов, определенных' на'слабо свяаазш!« пространствах. '' *• •

Kovalovsky Â. A. TlTé questions or convergence and hoirogenlzatIon for nonlinear ell :">t le'OOeratqrs and Integral funotionals with ; varying-domain oi ïiofinttion. .,.''."-

Thesis for the Degree of .Doctor of-Sciences In Physios anc| Wathe-itBtlcs, the speciality Ol.Oi.iK - Différentiel Equations, Itistl- . tute of Applied tothéïiutiûs aid Mechanics, National Àoadeniy-.of Salenuos.of UKiaitw. Dprietski 10915'. * :■'.■'■' " ;

16 works containing theoretical researches on the questions Of convergence and htmugehizaLlOn for nonlinear elliptic- operators and Integral fiinctlonals withvàrylng domain of definition .are' defended. The. the'ory'of B-oonvergenoa:of nonlinear elliptic Operators defined on strongly donnectéd spacëa has been cons {mated. The effecti ve descript ion has tx»en' given fpr honogenlzed problems correspond 1 ng to sequences of (kmi!inoar Neiinann .problems in domains oT periodic! structure of frare work typo with thin channels and in domains of period la struotureWlth accumulators. (^convergence of. nonlinear elliptic opfetators • 6f DirfOHlgt problems With varying; demain of définition has been studied. P-convergence of Irftfegral funritlonals defined on ii&akly oonneolëd spaobs has been investira

kjow°b1 cjiopa; e-sèlJKHlcTbi r-801*HlcTi., ycepOflHeHHH, nejlHital ..

OnôpaiôpVii jtitferptUfcHl .ipttjlote«.;