Вопросы стабилизации решений задачи Коши линейных параболических уравнений второго порядка тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕ! ШЙ УНИЖРСИТЕТ имени М.В.ЛОМСНОССЕЛ

На правах рукописи

РЕГШИКОВ Валентин Дмитриевич

УДК 517.955

ВОПРОСУ СТЛШШЛЩИ РЕШЕНИЙ ЗАДАЧИ КОШИ ЛИНЕЙНЫХ ПАРАБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА

01.01.02 - дифференциальные уравнения

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Ьтскпд - 1^89

Работа выполнена з Воронежском политехнической янотитуто

Официшгькиз оппоненты: доктор фаз идо-пат аматических наух,

црофэооор В ,Ф .Бутузов,

доктор фяэико-мптештичоохих яаук, профессор Б.В.Пиков,

доктор физико-математических наук, старший научный сотрудник П.В.Еитарашу

Ведущая организация: Московский бпергетический япотптут

Защита диссертации состоится " $ ■ ^Я/й-беХ^ г<

1 С Ъ°

я 4 3 часов иа заседании специализчроваяшго оовета Д.С53.05.37 до математике при Московским государственном университете им. М.В.Ломоносова до адресу: Ыоскаа, Лэнинснио Горь МГУ, факультву ШкК, ауд. 635. •

О диссертацией поено ознакомиться в библиотека ф-тн ВМлК.

Автореферат разослан " -/ О " А ■

Учений секретарь специализированного^! л >

совета Е.И.Поисевв

СЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИК ^ РАБОТУ

- Актуальность то мы. Начало исследования вопросов стабилизации (существования предела при + -> ос ) решений параболических уравнений было положено работой А.Н.Кслмогорова, И.1\Петровско-го я Н.С.Пискуноза в 1937 г., яоеваденной изучению этого вопроса для решений нелинейного параболического уравнения. Бурное развитие теория стабилизации получала начиная с 50-х ходов. О тех пор опубликоваЕн сотнп работ на оту тему к нашей страт и за рубежом. Исследования в этой области у нас доводятся кга-лективами ведущих научных центров, таких как Институт математики АН СССР им. Стоклова, МГУ. таствтут штедгзтиги ЛИ УССР.

Цель работы» Подавляющее большинство работ, в которых исследуется стабилизация решений задачи Коган параболических уравнений, посвящено случаю ограниченных функций. Основные результаты данной работа получены в саисы широком классе неограниченных функций - тихоновском классе. Всцроеы равномерной стабилизации изучены з "пространства полчномально ограниченных фнкций. Ё классе неограниченных функций получены теоремь- об асимптотической близости при £ оо рвгаеняй уравнений с переменшога и постоянными коэффициентами.

Методика исследования. В работе используются элементы функционального анализа, теория обобщенных фупкций и теория параболических уравнений с переменными коэффиллентаци.

Научная яспизнп. I. Получены неоо'ходямые и достаточные условия поточечной и раьнокерпоЯ (по X } стабилизации рэшенгЛ задачи Коши для уравнения.теплопроводности в классе ограниченных функций.

2. В классе полиног«ально огрениченпьк уунз:щ;Й мл олномер-иого уравнения теплопроводности дотф.зшш необходимое а достаточ-

нов условие равномерной стабилизации.

3. В тазокозском классе функций для решений И -мерного уразнсшш теглопроводассти показано, что классическим методами усредаонкя начальной фикции задача стабилизации не может быть решена и получено необходимое к достаточно* условие стабилизации аеуодом последовательных усреднений начальной Функции по телам, олтрагазчвндаи поверхностями уровня фундаменталь-ногс решения,

4. Эти результаты распространяется на случай параболических уравнений с переменными коэффициентами, фундаментальные решения которых удовлетворяют дьусторонннм оценкам Аронсояа.

5. Для случая уравнений с переменными коэффициентами ,фунг д&аентальные радения которых не могут быть выписаны в явной форме, ¿олучены условия аа коэффициенты, при которых решения этих уравнений асиштотшески приближаются при t•*> к решениям ооихввтещ/ицего уравнзния теплопроводности (с той же начальной функцией).

Практическая и теоретическая значимость. Результаты диссертации носят теоретический характер. Оки могут быть использованы при дальнейшем исследовании асимптотических свойств решений параболических и гиперболических уравнений.

Лпрсбацич рабош. Результаты работы регулярно докладывались на семинарах кафедры общей гатештики факультета ШиК МГУ под руководством В .А .Ильина, А.В,Е;щадзе, ¡5.Л .Алимова, неоднократно на семинаре иод руссводотаом Н.Л.Кондратьеза и В .М.Лайдака не натегпгичзеком «гт-ульгегсе МГУ, а тапке на семинаре под 7якоч«дзп.ьсн .•1.£Л'оро'лчукр л Киелоком аасуятуто одгзштакк АН У'Л-Р, ссмишц.дх ВГу (:1эд С/'.КроПьа, И.Е.Соболол-

о ого, В.1..Гт/щ.о), не 'Зсрс!!икзнглгш: гптипо'т.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 15 работах [l-I5].

Структура а объем работы. Диссертация состоит из введения, пяти глав а списка литературы. Она изложена,.на 155 страницах машинописного текста. Список литературы включает 73 названия.

СОДЕШНИВ РЛБ0Ш

Во введении дан краткий обзор работ, относящихся к теме диссертации и приведены основные результаты диссертации. Более полный обзор содержится в совместной с В.Н.Денисовым работе fio].

Первая глава диссертации посвящена изучению вопросов ота^ билизацаи в классе ограниченных функций для простейших уравнений второго порядка параболического типа.

В качество модельной задачи рассмо^им поведение решений (Ъ , х) следующей задачи Кош:

'Ш

аДЦ 40,*!* И«-") (I)

Астттотическб'о поведение ее решения при t->c» тесным образом связано с поведением усреднений начальной функции f (эс) по шарам: . ' •

taUP.

( uj - площадь поверхности гиперсферы ¡У) =1). Основной в параграфе первом является следующая

Теорема I.I. Для того чтобы решение 1А ( ¿ . Я.) задачи (I) стабилизировалось к б , необходимо я достаточно, чтобы сущ ест-вовал цредел* ^ ^ g

R-^ee

Приводится пример, показывающий, что требование существования предела усреднений начальной функции именно по щраы (телам,

ограниченным поверхностями уровня фундаментального решения) существенно; и оно не может быть заменено требованием существования такого же предела усреднений, например, по эллипсоидам. Р.НДрожжинсв показал, что в классе неограниченных функций необходимость условия теоремы 1.1 нарушается.

В параграфе втором исследуются вопросы равномерной .стабилизации \ во вс еы пространстве п ). Напомним следующее

Определение. Измеримая функция £(^с) имеот равномерное предельное среднее, равное £. , если предел усреднений этой функции по кубам Км(х) с центром в точке х и ребром N при ^-г о« достигается равномерно до ас :

СО ■'к* ° в

В данном случае характер тел, по которым ведется усреднение, во многом безразличен.

Основным результатом параграфа является следующая Теореш 4.1. Цля того, чтобы решение ,'ос) задачи Коши

равномерно-стабилизировалось к 6 , необходимо и достаточно,чтобы начальная функция £(гО имела равномерное предельное среднее, равное £ ,

В глава второй изучаются вопросы равномерной стабилизации для решений уравнения теплопроводности в классе неограниченных функций. Она состоит также из двух параграфов. Сначала приводится пример, показывающий, что даже в классе полиномиально ограниченных функций необходимое условие равномерно!! стабилизации не кокет бить получено в терминах усреднений, с помощью которых р&-ааютсл вопросы равномерно;! стабилизации в классе ограниченных фулкцл!;. Напомним,что классом полиномиально ограничении функций называется ннояьство ч'ункциЯ -С ('■■*.) .удоьлетворяизвх 1'ерайенстну:

С И-^Г ) (2) /

С " к •• рокочср:к> поле ч'гь.'-ьш'.э постоянные.

В связи о эгиы рассматриваются пуассоновские повторнне усреднения порядка т катальной функции -f(x): •л i л Й-ГЧ**^ fR- fct"* «(«ч

О о о

с t»ЪКХ^ЧС \ ИЭДУ*.'' W*)^ О)

"о

где ^fij»3^) - интеграл от по сфере ,

_ площадь поверхности гиперсферы |У( = I, В первом параграфе доказывается сладупцая Теорема 1.2. Пусть начальная функция ^ (X) задачи (I) удовлетворяет условию полиномиальной ограниченности (2) я

■u^x^ew.

Тогда для любого » Vo_

равномерно на каждом компакте из .

Показывается, что эта теорема точна в том смысле, что из 1

равномерней стабилизации.вообще говоря,пе следует существование равномерного во всем пространстве Rv> предела £vJ , ос, 4 / при R-* со ни для какого

В параграфе 2 устанавливается достаточное условие равномерной стабилизации в классе единственности в терминах повторных че-заровских усреднений. Вопросы квазистабплизации в полиномиально ограниченном классе функций изучены О.Н.Дрсяжиновым а Б.И.Завьяловым.

Центральными главами диссертации являются третья и четвер-

. ' i;

гая. Целы) третьей главы является изучение асимптотического поведения реиений уравнения теплопроводности в классе единственности. Одновременно получена такая яе информация о целом семействе интегралов, частными случаями которых являются иптеграл Пуассона й преобразование Лапласа. Изучается доведение при t-* •>?

|интегралов

^ (4) ,

к.»» ^

^О - площадь поверхности гиперсферы \I, ъ»1. Начальная функция ^ предполагается принадлежащей тихоновокому классу функций Г6(К.П) :

Каждому интегралу (4) отавитоя в соответствие последовательность усроднений» ^ „(им

где ^(р _ интеграл от !И ^ по гиперсфере

При € = 2 получасы пуаосоновские усреднения, 6 = 1- чезарои-

окне.

Впервые строится припер начальной функции ^ (X), такой что предел усреднений при в-*«*» не существует на

для какого »м\ , а ,зс\ существует. Это говорит о

1а -»ь» 1 I '

том, что в тиконовокоы штосе функций проблема стабилизации не монет быть ришина в терминах усреднений конечного порядка Покаашшетия, что последовательность операторов усреднений приближает интегральный оператор (4). Имеет место

Теорема 3.3. Для любой функции (X) € Т^ ( равномерно по £ в любой полосе

Прежде чем сформулировать основной результат параграфа, введем необходимые обозначения. Функцию С (£) - характеристику росте

модуля { 5 можно считать неограниченной, непрортшной .монотонно возрастающей при £ 0. Обозначим через 0( р) ли-бую непрерывную функции, обладающую слодгпдеми свойства}.®: I) - монотонная, неограниченно возраставшая с ростом

0 функция; 2) $(?)" О . Теперь определим функций

% Г ( равенством:

Теорема 5.3. Лдл того, чтобы '-А ( £, х) стабилизировалось к необходимо и достаточно, чтобы существовал цредад:

Таким образом, проблему стабилизации в классе единственности гтлгто решить при помощи специальных усреднений, причем когда о идасоваяо устреитяются к бесконечности радиус усреднения и порядок усреднения.

Цольп работы является изучение вопросов стабилизации. Но в первой параграфе доказывается более сильный результат, чем теорема 5.3; доказывается, что для любой функции равномерно на капдон коггпадте из

Во втором параграфе третьей главы устанавливается теоремы обращения оператора О , который кажгой функции (Яч)

по формуле (4) ставит в соответствие функции и ( Ь , эс). Однако из представлена;] ф-пгцка чл-^ , в форме

следует, что при каадом фиксированном X ТД (Ь , х.) определяется не отдельными значениям функции 5 (х), а значениям интеграла ^ ( , х). Поэтому естественно считать, что оператор

и *1 отображает множество функций 1\ (£ » на множество интегралов ^р (р , х.).

Рассматривается последовательность операторов . об-

ратных операторам , определенных по формуле:

е. ^ - V (^(г'-'Ч")!

Доказаны две основные теоремы.

Теорема 7.3. Имеет место предельное соотношение

г Я 4

Теорема 8.3. Если ^р (р,Х) непрерывна по 'р в точке X и по переменной р (Р • то предельное соотноше-

ние (7) можно продифференцировать:

В теореме 8.3 можно считать, что пробегает последовательность натуралыщх чисел; при ее доказательстве приходится использовать теорему 7.3 в таком варианте, когда не

только по целым значениям £ , поэтому ее приходится доказывать в терминах обобщенных производных.

Если в теореме 8.3 положить & = и = I, Хо 0, получается формула операционного исчисления, аналогичная формуле обращения Поота-Уядцера. При ^ - 2 получаем формулу обращения решения уравнения теплопроводности. .

Известно, что усреднения Я , X), определенные формулой (6) нвянытся решениями сле.цущвй ьшс-рболической задачи:

В параграфе 3 показано, что функции Зц^^У^ х) переменных t н х а параметра fo обладают не менее интересными свойствами. В предположении, что Та[ку) имеет

место следующая

Teopem 9.3. Каждое из пуассоновских усреднений = -t, х) при Vv\ т Z является решением следуюцей гиперболической (выроэдавдейся в точке t = 0) задачи Копш:

Всегда существует предел

ею

который является решением параболической задачи Кош:

ЧЧ-ЫА , г\Со,») = $(%). В тех случаях, когда существует предел

. К t

■fc-» ОО .

для некоторого w\0>2, он супзествуот для всех Уцт и-)в ., не зависит от ¥п и является гармонической функцией.

Доказательство теоремы г"Утественно опирается на результата первого параграфа этой же главы.

Глава четвертая посвящена исследованию вопросов стабилизации решений параболических уравнений второго порядка с переменными коэффициентами. Основной ее г-лью является распространена результатов параграфа первого главы третьей на решения таких уравнений. Она состоит из четырех параграфов.

В параграфе первом изучается асимптотическое поведение ре-пений 1л ("fc , X) равномерно параболических уравнения

м,

достроенных по огракэтвкной начальной, функция Интерес-

ные результаты для такого случая получены Жшсоьым Б.В. и Еаие-поыосткой С.Л. Ими рассматривались уравнения, коэффициенты которых Ъ,х-) либо почти яе осциллировали, либо представляли собой почти периодические функции. Изучению вопросов стабилизация решений уравнений с переменными коэффициентами в кяас-ое ограниченных функций посвящены также работы Ф.О.Псрпера И С.Д.Эйдальмана. Г^гщьн А .К. я Михайлов В .П. рассштривая вопрсоы стабилизации решений уравнений с яэреыенными коэффициентами, впервые предложили сводить эту задачу к изученному случаю уравнения теплопроводности, усрадляя. переменные коэффициенты. Здесь накладываются другие ограничения но коэффициенты; одновременно предлагается методика, которая в дальнейшем применяется при исследовании стабилизации решений уравнения (8) в классе единст-

вэеносте.

Прежде чем сформулировать результата, введем сяодупцее Определение. Будем говорить, что функция £ ( Ь , иыое? компактное параболическое среднее, равное 6 , если равномерно по ^ и X. из любого компакта из - ^ ъ >о (

^ и ((.-с е ;^ ^

где К.^ - мерный куб: ОЦ-.Н ( 1 (»ч.

Предполагается, что коэффициент:! уоазшишя (8) удовлетворят' следуигда условиям:

а) матрица И^^^'Й - симметрическая, и ее елементы • ил:ест компактные параболические пр^гдггтгше средние

а равномерно пс г. и X из К

При эти условиях уравнанзю (8) ставится в соответствие параболическое уравнение о поотояпннми коэффициентами

v о

r^fc " Z- О)

Si"

Доказывается ,

Теорема 1.4; Если коэффициенты t, x) уравнения (8)

удовлетворяют условиям в)-б), то разность решений оа^эс)" -- уравнений (8)-(9), построенных пс одной и той же на-

чальной функции (Р.*} , стремится к нулп при

t-* «о равномерно на каждом компакте из R.»,.

Теорема 1;4 позволяет сводить задачу стабилизация к хорошо изученному случал уравнений с поотояпчнми коэффициентами.

5о втором параграфе доказывается теорот такого же типа, но в классе единственности, поэтому, естественно,и ограничения ш коэффициенты более жесткие.

Отметим, что задача о стабилизации решений уравнений о переменными коэффициентами в классе неограплчоншх функций особенно трудная, Пэ этой причине на эту тому до сих пор баяа выполнена только одна работа (Денисовым В.Н. и Зпковым В.В.), в которой накладывались априорные ограничения на начальную фуьтадап. Здесь таких условий не закладывается, а только условия не коэффициенты.

• Преддо чем их сформулировать, напомним интегральную оценку характера непрерывности фундаментального репанля уравнения (8J:

s.Mix^^fc-t)-"')" {10,

Обозначим чориз К) лсбуи Азункцга, удовлетвор.тоц;^)

следующему предельному соотношению!

где d - тот же показатель, что в неравенстве (10), а С(£ ) -характеристика роста качалыой функции (см. (5), é = 2).

Через Ь( R.) обозначается любая монотонная неограниченно возрастающая с ростом R. функция, удовлетворяющая следующему условия:

L J ^

Предполагается, что коэффициенты уравнения (0) удовлетворяют следующим условиям:

1) (fc, х) а ^ff'30 GCoíQ с равномерно ограниченной по fc > 0 нормой,

2) существуют такие одела , что равномерно по Ъб[о(&г(Й.)] при всеос 1(] » 1,2,...

р.-«. L R \ 1 J

s) ^Т тш? I 1=о

3) равномерно по

Si

— «С>Х:

Доказана следующая

Теорема 2.4. Если коэффициенты уравнения (8) удовлетворяют условиям I) - 3), то разность решений оДЬ,©^- урав-

нений (8)-(9), построенных по одной и той яе начальной функции

JC*^ € Тг (R*) » стремится к нулю при fc-*«o. В параграфе 3 переносится метод последоват&чьных усреднений (§. I главы 3) на решения 1а (fc , х) уравнений (8), построенных по начальной функции fi^^^iA^O . Коэффициенты уравно-ния (8) fc,а их яэрвне производные по пространственным

переменным предполагаются непрерывными фушздшш в полупростран-огво и удовлетворящими следущим условиям:

для всех (t»,^)» (fc и некоторого е»ч из интервала

(0,1)

I 'OXi <ЪХ} 1

Эти уоловия предполагается выполненными всегда, когда рассматриваются уравнения (8). Они гарантируют существование фундаментального решения G ( b , х, тг, -j) этого уравнения, п решение задачи. Коши может быть представлено в виде обобщенного интеграла Пуассона •

Используются двусторонние оцешш Ароносна фундаментального решения

Из пих следует, что U( t,х) монет бить предотазлено в виде:

где функция t, ^) переменных ц ирз любых фнг.сщюааа--

КНХ t > 0 я является фуикцяеЗ, е^ладапнэй плодухи«»

свойствами:

1) она непрерывна во всех точках со вшчвнияыи на полуоешенте

2) поверхности-уровня

- образуют семейство замкнутых поверхностей в пространстве переменных ^ , и это семейство заполняет все пространство Я^,

3) отображение поверхностей <р С ^, I:, х) на полупрямую [о, со ) изменения параметра р сюръективно. (Не может не быть биективным).

Функция , х) непрерывна по Ь и ?с и ограничена сверху и

снизу положительными постоянными. .

Вводятся ооозначения: V (р, {:, - ко^аакт б.^!"?1") в пространстве Р.* переменных ^ , дУ(р |"Ь ,Х)=

I ~ поверхностная плот-

ность функции па поверхности

- главная линейная чисть р , I', х) отно-

сительно .

Затем вводится обобщение пуассоновского усреднения Ъ порядка 1т по форт-ле:

"v » ) '

Л

■Гида-

о

Я /Ч г

^ ... (р, * X)

м

Функция fc (ji) определяется равенством:

где С (£) - показатель роота начальной функции f ((см, (5)), а - функция, определенная на отр. 9 . ^ - по-

стоянная, взятая ив оцет Аронсона. Доказываются две теоремы.

Теорема 3.4. Для любого fc> 0 имеет место предельное соотношение:

Тоорема 4,4, Для того, чтобы U (t , эс) стабилизировалось в необходимо и достаточно, чтобы

Заключительный четвертый параграф главы четвертой посвящен исследованию асимптотического поводепля при -fc"9 о* ропэний *\А (t «ледупцей задачи Korn«:

в TüxoHOoQKOM классе функций. Вводятоя обозначения

- елеыен-

ты.матрицы обратной матрице , ,

Предполагается, что коэффициенты уравнения (II) удовлетворяют следующим условиям:

I) Т ( t) - монотонная ncorprru'wn-o возрастания с | ог,-тсм t функция;

2) существуют предела

причем

Л __

гае ,

3)

При формулировке одной ив теорем условие 0) заменяется более жеоткиы условием:

4) для любого числа ^О

\ГС(х(^Т(Ь)Г)1МЬ)1 р

т'мы I =°

где \ - длина вектора { ВЦЦ ■.

Решениям ( Ь, х.) задачи (II) ставятся в соответствие решения '^(Г.зОи ^(Т , зс) следуицЕХ задач:

4 f а.(ту • агС^НИ

ът ч ъхгох; 4- ^ 1 1 '

V"

4 • • I * ¿61

¿гг * 1 м '

- матрица, обратная матрице ЦсЦ;||, Доказана две теоремы

Теорема 5.4. Если коэффициенты уравнения (II) удовлетворяют условиям I) - 3), го равномерно по X на каадом компакте из

•¿•♦о» ^

Теореш 6.4. Если коэффициенты уравнения (И) удовлетворяют условиям 1)-2),4), то равномерно по "X. на каадом компакте из

ГиЩ*-) - w (Т, Х)1 - о

Если начальная функция ограничена, то L( £) - константа, я в условии 2) снимаются ограничения на скорость, о которой достигается предел, а условие 4) превращается в 3). Теореш 6.4 допускает в этом случае заметное усиление:

Теорема 6.'4.' Пусть коэффициенты уравнения (II) удовлетворяют условиям IJ-3), и L о.(R^ . Тогда равномерно по во всем пространстве R.^

Uva Г-ult *.) - W (Т хУ] 5 О

Заключительная пятая глава состоит из приложений. Ее первый параграф придает завершенность предыдущим результатам. Используя внутренние оценки шаудеровского типа и гииоэллиптичность уравнения (II), доказываются две теореш.

Теорема 1.5. Если 1v( t, ^О имеет предел vv* Чд ^t X) z

t -» СХ> 1

равномерно на каждом компакте пространства R.^ , то

равномерно по "X. на любом компакте из R л . Теореш 2.5. Еолл коэффициенты уравнения

имеют слабые продолы:

a 1A( t ,Х) j Р. { *) pfiBnoriepj.o т клгдо:.; компакте- из то Z ( X) - рсигннэ уравнения

Второй параграф посвящен изучению свойств классических та*« пов усреднений, не изученных до сих пор (почти все ел свойства применяются в предыдущих главах), в усреднений, введенных в рас-, смотрение диссертантом. Это компактные параболические предельные средние (о их использованием доказывается теорема 1.4) в обобщенные суассоновские усреднения (теоремы 3.4 и 4.4). Доказывается, что кошь-тные параболические предельные средние не оквива-лептны ни равномерным предельным среднаы, ни предельным средним равномерным на каждом компакте, ни поточечным.

В заключение автор выражает глубокую благодарность своему

I.

учителю Эйцольыану С .Д., поставившему ему первые задачи по стабилизации, Ильину В .А., внимание которого в работам автора стимулировало к дальнейшим научным исследованиям, Бипадае Ä.B. за замечания и указания при обсуждении результатов, Денисову В.Н. *» яа научное общение, участникам семинаров под руководством Би-цадзе A.B., Ильина В.А., Алимова Ш.А., Ландиса ЕЛ., Кондратьева В.А. - га внимание и полезные обоуядения результатов работы.

Публикации по теме диссертации

1. Репников В.Д. Некоторые теоремы о стабилизация решения задачи Копя для параболических уравнений // ДАН СССР,- 1963.Т, I4U, № 3,- С. 527-530.

2. Репников В,Д. Про отаб1л1зац1п розв язк1в задач1 Коши для гарабол1чно система, матрпця Гр1на .ikö 1нвар1антна щодо pyxln. В сборнике Деян! питания розвигку прпродозвавства, Львов, 1964,- С. 123-129.

3. Репников В.Д. О равномерной стабилизации решения задачи Коши для параболических уравнений // ДАН СССР.- 1964.- т.157, # 3. - С. 532-535.

4. Репников В .Д., Эйдельман СЛ. Необходимые и достаточные условия установления решения задачи Коши // ДАН СССР.- 1966.т. 167, Л 2,- С. 298-301.

5. Гешшсив В,Д., Эйдельман С.Д. Новое доказательство теоремы о стабилизации решения задачи Коши для уравнения теплопроводности // Нат.сб,- 1967.- т.73, й I.- С. 155-159.

6. Репнняои В.Д. Некоторые свойства средних, связанные о вопросами о стабилизации решения задачи Коши // Труды шт.факультета ВГУ, Вороне», 1971, выц.З.- С. 103-107.

• 7. Малицкая А.П., Репников В.Д., Эйдельман С.Д. О стабилизации решения задачи Коши для уравнения диффузии о инерцией в Трудах НИШ В1У, Воронеж, Г972, в.5.- С. 86-92.

8. Репников В.Д. О равномерной стабилизации решения задачи Коши для уравнения тешгопроводнооти о полиномиально растущей начальной функцией. В ка.: Операторные методы в дифференциальных уравнениях, Воронеж, 1979.- С. 65-71.

9. Репников В.Д. О связи двух типов предельных интегральных усреднений функций класса ТВ(Р.П) //ДАН СССР,- 1983, ч, 272,

й 4.- С. 798-001.

Ю.Денисов В.Н., Репников В.Д. О стабилизации решения задачи Коши для параболических уравнений // Дифф.ур,- 1934, т. 20, № I,- С!. 20-И.

11. Репников В.Д. Тасреш об. одном типа нлтегралынк операторов и их применение к уравнению теплопроводности я в олерлци-оняом исчислении // ДАН СССР.- 19Я5.~ Т.2о0, й I.- (!, -15-46.

12. Репниксц В.Д. О стабилизации.реетн^й параболически." ФпвнептЛ с оспрллирувпщмй коа^йциентаг/л // Лиф^.ур,- 1987,-

т. 23, * 8. - 0. 1353-1359.

13. Репняков В.Д. Od асимптотической близости и стабилизации решения параболического уравнения // Дифф. ур. - 1908.т. 24, J5 I.-С. I4G-I55.

раболнчеоких уравнений с коэффициентами, зависящими от времени // Дифф. ур.- 1988. - т. 24, « 5.- 0 . 902-904.

15. Репников В.Д. Об асимптотическом поведения решений га-дачи Кош параболических уравнений о дивергентной правой частю. // ДАН СССР.- 1988.- т.302, Л 4. - С. 807-811.

14. Репников В.Д. Об асимптотическом поведении решений па-

ЛЕ * 07247 . Подписано В печать 26.05.89 Уол.поч.л. 1,0. Тираж 100 екз. Заказ Л5М . Бесплатно Отпечатано на ротапринте В1Ш Вороне», Московский просп.,14