Восстановление изображений внутренних структур сильнорассеивающих сред в трансмиссионной оптической томографии

Потапов, Дмитрий Александрович

Восстановление изображений внутренних структур сильнорассеивающих сред в трансмиссионной оптической томографии тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.07 ВАК РФ

Потапов, Дмитрий Александрович АВТОР

кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Москва МЕСТО ЗАЩИТЫ

2004 ГОД ЗАЩИТЫ

01.04.07 КОД ВАК РФ

Диссертация по физике на тему «Восстановление изображений внутренних структур сильнорассеивающих сред в трансмиссионной оптической томографии»

Автореферат диссертации на тему "Восстановление изображений внутренних структур сильнорассеивающих сред в трансмиссионной оптической томографии"

На правах рукописи

ПОТАПОВ Дмитрий Александрович

ВОССТАНОВЛЕНИЕ ИЗОБРАЖЕНИЙ ВНУТРЕННИХ СТРУКТУР СИЛЬНОРАССЕИВАЮЩИХ СРЕД В ТРАНСМИССИОННОЙ ОПТИЧЕСКОЙ ТОМОГРАФИИ

01.04.07 - физика конденсированного состояния

Автореферат диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

Москва - 2004

Работа выполнена на кафедре биомедицинских систем Московского государственного института электронной техники (технического университета)

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук,

профессор Терещенко С.А.

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук,

профессор Кравчук А.С.

доктор физико-математических наук,

профессор Яковлев В.Б.

Ведущая организация:

Институт общей физики им. A.M. Прохорова РАН

Защита состоится "_"_2004 года

в_часов_минут на заседании диссертационного совета

Д.212.134.03 при Московском государственном институте электронной техники (техническом университете) по адресу: 124498, Москва, Зеленоград, проезд 4806, д.5

С диссертацией можно ознакомится в библиотеке МИЭТ Автореферат разослан "_"_2004 года

Соискатель

шедов JI.A.

гоъъо

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы

Томографические методы реконструкции пространственно неоднородных внутренних структур конденсированных сред за последние 30-40 лет получили большое распространение в самых разных областях, в том числе в медицинской диагностике.

Определяющее значение для развития томографии имела разработка методов обращения преобразования Радона, введённого И. Радоном в 1917 г. Физической основой интегрального преобразования Радона служит экспоненциальный закон ослабления излучения, который справедлив в случае чисто поглощающих сред и представляет собой обобщение закона Бугера-Ламберта-Бэра на неоднородные среды.

Однако, если в диапазоне рентгеновского излучения экспоненциальный закон ослабления излучения выполняется с высокой степенью точности, то в оптическом диапазоне взаимодействие излучения со средой носит более сложный характер (кроме процесса поглощения присутствуют процессы рассеяния, преломления и отражения и другие), и традиционный математический аппарат, построенный на основе преобразования Радона, становится неприменимым. Кроме того, вместо одной неизвестной функции (распределения коэффициента поглощения излучения) появляется ещё одна- распределение коэффициента рассеяния излучения.

Тем не менее, использование неионизирующего оптического излучения, как менее травматического, особо предпочтительно в медицине, а восстановление ещё одной характеристики исследуемой среды (коэффициента рассеяния) может дать новую диагностическую информацию. Кроме того, стоимость оборудования и подготовки помещения для оптической томографии существенно дешевле рентгеновской или магнитно-резонансной томографии.

При переходе от рентгеновской томографии к оптической можно говорить о восстановлении трёх пространственно неоднородных функций: показателя преломления, коэффициента поглощения и коэффициента рассеяния. Так как одновременное восстановление всех трёх физических характеристик - исключительно сложная задача, основное внимание уделяется восстановлению пространственных распределений коэффициентов поглощения и рассеяния излучения. При этом математической основой служит уравнение переноса излучения,

1("¿С. НАЦИОНАЛЬНАЯ БИБЛИОТЕКА

¡пят

которое в общем случае аналитического решения не имеет, поэтому особое значение приобретают методы его упрощения при дополнительных предположениях.

Кроме того, следует также учитывать неоднородность показателя преломления, так как процессы отражения и преломления оказывают искажающее влияние на качество реконструкции.

Целью работы являлись разработка и исследование метода реконструкции пространственных распределений оптических характеристик сильнорассеивающих сред на основе осевого приближения нестационарного уравнения переноса излучения.

Научная новизна работы

• Предложен новый метод решения задачи трансмиссионной оптической томографии сильнорассеивающих конденсированных сред, позволяющий найти пространственное распределение коэффициентов поглощения и рассеяния

• Предложен новый численный метод решения прямой задачи трансмиссионной оптической томографии на базе осевой модели -метод энергетического баланса.

• Разработаны способы коррекции искажений томографических изображений, возникающих при преломлении и отражении света на границах раздела сильнорассеивающих сред.

• Найден оптимальный алгоритм томографической реконструкции произвольных объектов на основе исследования эффективности различных вариантов численной реализации восстановления изображений радиально-симметричных объектов.

Достоверность научных положений, результатов и выводов обеспечена их соответствием общепринятым теоретическим и экспериментальным фактам, проверкой на модельных объектах, согласием эксперимента с теорией.

Практическая и научная ценность работы

• Предложенные методы реконструкции пространственных распределений характеристик сильнорассеивающих сред в трансмиссионной оптической томографии могут быть использованы при разработке новых конструкций оптических томографов.

• Разработанный программный комплекс может быть использован для получения изображения внутренних структур сильнорассеивающих сред.

• Разработанные методы численной реализации интегральных преобразований могут быть использованы в новых томографических алгоритмах.

• Предложенные способы коррекции искажений, вносимых преломлением и отражением света, могут быть использованы для повышения качества реконструируемых изображений.

Основные научные положения, выносимые на защиту

• Предложенный метод решения обратной задачи трансмиссионной оптической томографии позволяет получать пространственные распределения коэффициентов поглощения и рассеяния сильнорассеивающих сред.

• Разработанный метод энергетического баланса позволяет существенно повысить точность решения прямой задачи осевой модели.

• Предложенные способы коррекции преломления и отражения улучшают качество восстановленных изображений.

Апробация работы

Основные положения и результаты диссертационной работы были

представлены и обсуждены:

• на IX, X, XI всероссийских межвузовских научно-технических конференциях студентов и аспирантов "Микроэлектроника и информатика" (Москва, 2002, 2003,2004);

• на IV Международной научно-технической конференции "Электроника и информатика" (Москва, 2002);

• на XIII, XIV Международных научно-технических конференциях "Лазеры в науке, технике и медицине" (Сочи, 2002, 2003);

• на VI Международной научно-технической конференции "Физика и радиоэлектроника в медицине и экологии" (Владимир, 2004);

• на научных семинарах отдела фотоэлектроники Института общей физики РАН и кафедры биомедицинских систем Московского государственного института электронной техники.

Работы в данной области были поддержаны тремя грантами Российского фонда фундаментальных исследований №00-02-16085 (2000-2002), №01-01-00065 (2001-2003), №03-01-06317 (2003), одним грантом Министерства образования РФ №Е00-1.0-188 (2001-2002), совместным грантом Российского фонда фундаментальных исследований и Министерства промышленности и науки Московской области № 02-02-96000 (2003-2004).

Публикации

По теме диссертации опубликовано 14 научных работ, из них 6 статей, в том числе в журналах:

• "Квантовая электроника" - 1,

• "Известия вузов. Электроника" - 2,

• "Медицинская техника" - 2,

• "Биомедицинские технологии и радиоэлектроника" - 1.

Личный вклад автора

В основу диссертации легли результаты исследований, выполненных автором на кафедре биомедицинских систем Московского государственного института электронной техники и в лаборатории пикосекундных лазеров отдела фотоэлектроники Института общей физики РАН.

Объём и структура диссертации

Диссертация состоит из введения, трёх глав, заключения, приложения, списка сокращений и списка литературы, содержит 103 страницы текста, 60 рисунков и 3 таблицы. Список литературы включает 78 наименования.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ В первой главе даны общие сведения о вычислительной томографии, описаны методы трансмиссионной оптической томографии и конструктивные особенности оптических томографов. .

Математическая основа традиционной вычислительной томографии - методы обращения интегрального преобразования Радона, введённого И. Радоном в 1917 г. Физическая основа

преобразования Радона - экспоненциальный закон ослабления излучения, справедливый в случае чисто поглощающих сред и представляющий собой обобщение закона Бугера-Ламберта-Бэра для неоднородных сред:

{ * \

/(¿0=/оехр - Ыдг)^ , (1)

где - коэффициент ослабления, - начальная интенсивность

излучения в точке входа, - интенсивность излучения на расстоянии

(1 от точки входа в поглощающую среду.

В диапазоне рентгеновского излучения экспоненциальный закон ослабления излучения выполняется с высокой степенью точности, и преобразование Радона было впервые применено именно для рентгеновской томографии. Однако в оптическом диапазоне, в отличие от рентгеновского, взаимодействие излучения со средой носит более сложный характер (кроме процесса поглощения присутствуют процессы рассеяния, преломления и отражения и другие), и традиционный математический аппарат, построенный на основе преобразования Радона, становится неадекватным.

При переходе от рентгеновской к трансмиссионной оптической томографии (ТОТ) необходимо говорить о восстановлении уже, как минимум, двух пространственно неоднородных функций: коэффициента поглощения и индикатрисы рассеяния (коэффициента рассеяния). При этом для описания взаимодействия оптического излучения со средой используют уравнение переноса излучения (УПИ), которое в односкоростном приближении имеет вид

где V - скорость света в среде, — плотность потока фотонов в

точке в момент времени движущихся в направлении -

функция распределения источников фотонов,

- коэффициент экстинкции, -

коэффициент поглощения, —> £2'} - индикатриса рассеяния из

направления П в направление П'.

В общем случае УПИ аналитического решения не имеет, поэтому особое значение приобретают методы его упрощения при дополнительных предположениях. Наиболее часто используется диффузионное приближение, однако для целей разработки ТОТ, по-видимому, более перспективна нестационарная осевая модель.

Вторая глава посвящена описанию нестационарной осевой модели переноса излучения и влиянию неоднородности показателя преломления на качество реконструкции.

В основу нестационарной осевой модели (НОМ) в отличие от других приближений УПИ (2), положено единственное предположение о свойствах рассеивающих сред. Так как возврат фотонов, рассеянных в сторону от оси распространения лазерного луча к движению вдоль оси маловероятен, а фотоны, рассеянные на угол 0° (рассеяние вперёд) неотличимы от баллистических, то можно считать, что рассеяние всегда происходит на угол 180° (рассеяние назад). Следовательно, для индикатрисы рассеяния в НОМ можно записать:

(-гаг), (3)

где - поверхностная дельта-функция, - коэффициент

рассеяния НОМ.

Для сохранения энергетического баланса фотоны, рассеянные в сторону от оси, следует считать поглощёнными, поэтому коэффициент поглощения Ца (г) следует заменить коэффициентом поглощения НОМ значение которого должно быть несколько больше. Также удобно ввести коэффициент экстинкции НОМ в виде

т(г)=т0(г)+т,(г). (4)

В соответствии с выражениями (3-4) УПИ в рамках НОМ принимает вид

Вводя две системы координат - неподвижную и

вращающуюся вокруг оси можно считать, что все измерения

проводится в плоскости

Рис. 1. Неподвижная и вращающаяся системы координат

Рассмотрев линию проецирования <| = £о в п л о с к озэтгид л я короткого импульса лазерного излучения, испущенного в момент времени в направлении

совпадающем с направлением линии проецирования, можно записать

<)=и0ь2{рп0)бк-50 Же - Со К- - -оЖО- (6)

где и0 - энергия импульса излучения, падающего на рассеивающую среду.

Для восстанавливаемых функций при фиксированных можно

(7)

фотонов,

двух потоках

оси (линии

т(г)=т(С,),

Используя представление НОМ о распространяющихся вдоль рассматриваемой

проецирования), плотность потока фотонов можно

представить как

оде и потоки фотонов, распространяющихся в прямом

и обратном направлениях.

Рассмотрение окрестности телесных углов По и -По позволяет получить следующие уравнения относительно и /):

1 э2.р+(с) , 1

V2 З/2

а;

2 %

и ДО К I «ДО )

V I 'МО;

г2л (С/) _ +1 «'ДО] +

V2 а2

а?

ДО; а

(10)

(п)

иДО ^ иду ;

= акДФо5(С-СО)5(')

Граничные условия имеют вид:

V а/ ^ = ^

' - ' + ЧС о КДСо.')= щ (С о РоЩ)'

V ы дс, (12)

Проинтегрировав уравнения (9-10) по времени, получаем систему уравнений для суммарных энергий:

«ДО I "»ДО ) (13)

«ДО I отДО )

(14)

(15)

где и+(С,)= и и_(й,)= - суммарные энергии

о о

фотонов, распространяющихся в прямом и обратном направлениях.

Граничные условия для системы (13) имеют вид:

№о)=Уо,

В прошедшем сквозь рассеивающую среду излучении обычно выделяют баллистические (не испытавшие ни поглощения, ни рассеяния) и рассеянные фотоны; тогда £/+(<£) можно представить в виде суммы баллистической иь+((,) и рассеянной £/,+ (£) компонент:

</.+(?)■ ('б)

Уравнение для энергии баллистической компоненты имеет вид:

и"ьЛ)-(т2(0->»'(ФьЛ0- (17)

Решением уравнения (17) является экспоненциальный закон ослабления излучения:

Г с )

¿/г,+ (С) = ^0ехр - ¡тМсЬ . (18)

^ Се У

Применение к проекциям 1/0) обратного

преобразования Радона, позволяет получить восстановленную функцию распределения коэффициента экстинкции т{х,у).

Для нахождения второй неизвестной функции — распределения коэффициента рассеяния т, (х,у) решение первого уравнения системы (13) можно записать в виде

( 5 1 и+(0=и0ехр - ¡М+(х)с1х , (19)

Ч Со ,

где М+(х) - некоторая функция - коэффициент полной экстинкции.

Применение к проекциям обратного

преобразования Радона, позволяет получить восстановленную функцию распределения коэффициента полной экстинкции

Подстановка выражения (19) в первое уравнения системы (13) приводит к нелинейному дифференциальному уравнению первого порядка - уравнению Бернулли или уравнению Абеля первого рода, которое можно решить в квадратурах (Селищев СВ., Терещенко С.А. Нестационарная двухпотоковая модель переноса излучения для томографии рассеивающих сред // Журнал технической физики, 1997, том 67, №5, с. 61-65).

Существует важный частный случай - пропорциональные среды, который позволяет сократить число неизвестных функций при решении системы уравнений (13). Для этого постулируется, что коэффициенты поглощения и рассеяния пропорциональны одной и той же плотности среды, которая может быть пространственно неоднородной. Для пропорциональных сред можно записать

тДс)=Р т{С,), (20)

где - коэффициент пропорциональности.

С учётом предположения (16) система уравнений (13) принимает

вид:

Из решения (22) следует, что для пропорциональных сред выражение для проекций имеет вид

Применение к проекциям (24) обратного преобразования Радона позволяет получить восстановленную функцию распределения коэффициента экстинкции т(х,у).

В работе был также исследован ряд эффектов, искажающих результаты измерений, вызванные неоднородностью коэффициента преломления в пространстве, так как на границе раздела двух сред с разными показателями преломления световые лучи частично отражаются и преломляются. Была рассмотрена задача восстановления пространственного распределения коэффициента экстинкции в сечении однородного цилиндра.

На рис. 2 представлена геометрия лучей, искажённая преломлением, для схемы с параллельным сканированием. Эффекты преломления тем больше, чем больше отличается от единицы относительный показатель преломления -

показатели преломления окружающей среды и объекта. Кроме того, в случае образуются области, недоступные для сканирования

(рис. 2.а), в то время как для случая «21 <', хотя и не все падающие на цилиндр лучи проходят через него, однако даже оставшейся части хватает для сканирования всех точек объекта (рис. 2.6).

Кроме преломления определённую трудность представляют области резкого изменения коэффициента пропускания (рис. 3), обусловленные изменением угла падения луча на поверхность объекта

Таким образом, можно выделить следующие основные отрицательные следствия отражения и преломления света для ТОТ:

• нарушается геометрия измерений;

• изменяется (уменьшается или увеличивается) путь, проходимый лучом в объекте;

• образуются зоны, недоступные для сканирования;

• затрудняется детектирование прошедшего излучения из-за отклонения луча;

• дополнительно ослабляется сигнал за счёт отражения части света.

-1 -05 0 05 1 -1 -05 0 05 1

х, отнед х.отиед

-1 -05 0 0 5 1 >1 -0 5 0 05 1

х, отн ед х, отн ед

а б

Рис. 2. Результаты сканирования цилиндрического объекта в случае п2Х = 1.50 (а) и п2\ = 0.67 (б)

Рис. 3. Зависимость суммарного коэффициента пропускания через две цилиндрические границы от положения точки входа Е, в случае п2, > 1 (а): п2, = 1.5 (1), 1.13 (2), 1.02 (3), и в случае п2Х < 1 (б): «2, = 0.67 (1), 0.89 (2), 0.98 (3)

Однако, зная характер искажений в сечении цилиндра, можно перейти от искривленных лучей к прямолинейным (рис. 4), так как для данного объекта путь, пройденный в нём лучом, определяется только расстоянием от оси цилиндра до соответствующей хорды. При этом первоначальный шаг сканирования ¿^становится равным Д4/"21 ■

1 -0£ О 05 1 -1 -0 5 0 0 5 1

х, отн ед х, отн ед

-1 -0-5 0 05 1 -1 -05 0 05 )

х, отн ед X, отн ед

Рис. 4. Переход к параллельным лучам: Пг\ > 1 (а) и п^ < 1 (б)

На рис. 5 приведено сравнение результатов моделирования реконструкции цилиндрического объекта в случае без

коррекции и с коррекцией преломления. Рис. 5.а показывает резкую зависимость появляющихся искажений от величины относительного показателя преломления. Как видно из рис. 5.6, коррекция значительно уменьшает искажения, обусловленные преломлением.

Эффект влияния преломления света на реконструкцию был также исследован экспериментально. Общая схема экспериментальной установки приведена на рис. 6.

О 02 04

Радиус, оти ед

_) 0---i-•---

12 0 02 04 06 08

Радиус, отн ед

Рис. 5. Центральные сечения реконструкции цилиндрических объектов

Рис. 6. Схема экспериментальной установки: 1 - лазер, 2 - стеклянная пластинка, 3 -диафрагма (0 1 мм), 4 - объект исследования, 5 - щель (2 х 20 мм), 6 - диафрагма (0 2 мм), 7 и 8 - светофильтры, 9 и 10-фотоприёмники, 11 -энергометр

Объектом исследования выступал радиально-симметричный объект, представлявший собой смесь глицерина (ии 1.47) с чёрной тушью, которая заполняла цилиндрическое углубление в полиметилметакрилатовом параллелепипеде (п~\.5). Для создания неоднородности по центру углубления размещался стеклянный цилиндр.

Такого рода объект моделирует среду с неоднородным распределением коэффициентов поглощения и рассеяния, но с однородным распределением показателя преломления внутри объекта.

Результаты реконструкции исследуемого объекта приведены на рис.7. Видно, что по результатам реконструкции объект без

без коррекции (а) и с коррекцией (б) преломления в случае

неоднородности (рис. 7.а) резко отличается от объекта с неоднородностью, "дыркой" (рис. 7.6). В то же время в отсутствие иммерсии такого различия получить не удавалось.

а б

Рис. 7. Реконструкции изображений радиально-симметричных объектов без неоднородности (а) и с неоднородностью (б).

Масштаб изображений указан в мм

В третьей главе описан программный комплекс моделирования задачи реконструкции изображения в трансмиссионной оптической томографии на базе осевой модели, а также численная реализация обратного преобразования Абеля.

Для того чтобы промоделировать решение томографической (обратной) задачи необходимо сначала решить прямую задачу, т.е. по известным коэффициентам рассеяния и поглощения та(£) найти

решение уравнения первого уравнения системы (13) в граничных условиях (14) и определить - энергию излучения, прошедшего

через рассеивающую среду.

Поскольку в общем случае такая задача не имеет аналитического решения, необходимо было решить её численно. Для верификации численного решения использовался случай пропорциональных сред, имеющий точное аналитическое решение (18).

Первоначально для численного решения использовался метод конечных разностей. Анализ полученных результатов показал невысокую точность метода, поэтому был разработан альтернативный метод решения, получивший название метод энергетического баланса.

При дискретном разбиении непропорционального рассеивающего слоя, через который вдоль линии проецирования распространяется излучение, на п подслоев с интервалом дискретизации с1, характеристики среды >",(0 и ю(С) в пределах отдельного подслоя можно считать постоянными. Среда с постоянными коэффициентами рассеяния и экстинкции является частным случаем пропорциональных сред, поэтому после дискретизации непропорционального рассеивающего слоя получается набор пропорциональных слоев с различными коэффициентами пропорциональности

В соответствии с представлением НОМ о двух потоках излучения, распространяющихся в рассеивающей среде вдоль линии проецирования, для любого /-го слоя, 1 = 1,2,..., ЛТ, можно составить систему уравнений энергетического баланса

["<+1 =Л,И/+5Л+1>

(м, = В,и, + А,и1+}-,

(25)

где и, - излучение, входящее в подслой / в прямом направлении, М)+| — излучение, входящее в подслой в обратном направлении, -

излучение, выходящее из слоя в прямом направлении, - излучение, выходящее из слоя / в обратном направлении.

Графически система уравнений энергетического баланса (25) может быть представлена в виде рис. 8.

Ц Е Ащ* 1 т„ т„ Ц.|

•4- £ -►

^- 4ц Ц.1

«< А",

Рис. 8. Схема энергетического баланса для /-го подслоя

Коэффициенты А,=и+1и$ И В,=и_1и§ представляют собой доли излучения, вышедшего из слоя вперёд и назад и находятся в соответствии с выражениями (22-23).

Так как щ = и^ И Мдг+| = 0, то, решая полученную из системы (25) итерационную схему

можно найти Ид?+] - реше нЩДпе Р в о г о уравнения системы (13).

На рис. 9 приведены результаты численного решения методом конечных разностей (рис. 9.а) и методом энергетического баланса (рис. 9.6). В качестве тестового объекта использовался радиально-симметричный фантом - цилиндр, из которого вырезался второй цилиндр меньшего радиуса.

Как видно из рисунка, для численного решения прямой задачи предложенный метод энергетического баланса по сравнению с методом конечных разностей оказался существенно более точным.

При разработке алгоритмов томографического восстановления нередко возникает необходимость проверить какое-либо предположение или возможность без применения достаточно затратного преобразования Радона.

Для этого в качестве тестовых объектов часто используют радиально-симметричные функции -

При этом, получаемые проекции также будут радиально-симметричными, а двумерное преобразование Радона сводится к одномерному преобразованию Абеля, которое имеет вид:

Аналогично при решении обратной задачи двумерное обратное преобразование Радона сводится к одномерному обратному преобразованию Абеля, которое может быть записано в трёх разных вариантах.

Вариант \Г ^ Л. 8 )

71 аг 1 \ 4 - г

Вариант Б ц(>")=- ' ^ |Ч ^ (29)

%г (¡г Л 1?2 _ 2 г г

Рис. 9. Точное аналитическое (сплошная линия) и численное решение (звёздочки) методом конечных разностей (а) и методом энергетического баланса (б)

Вариант В

-но

71 Л

Л2"''2

(30)

Для того чтобы использовать уравнения (28-30) в машинных вычислениях, необходимо разработать их дискретные версии. Все три уравнения являются интегрально-дифференциальными, поэтому задача дискретной реализации разделяется на две основные части: численное нахождение производной и численное нахождение интеграла.

В качестве тестового объекта использовался радиально-симметричный фантом - цилиндр, из которого вырезался второй цилиндр меньшего радиуса. Результаты сравнения численной реализации обратного преобразования Абеля в вариантах А, Б и В приведены на рис. 10.

Рис. 10. Результаты численной реализации обратного преобразования Абеля: + - вариант А, * - вариант Б, О - вариант В

Для численного исследования проблем и возможностей, возникающих при реконструкции изображений в ТОТ на базе НОМ, была создана моделирующая программа в среде MATLAB 6.5. Разработанная программа позволяет:

• формировать различные геометрические конфигурации исходного модельного объекта;

• изменять функции распределения пространственно неоднородных коэффициентов поглощения и рассеяния;

• моделировать процесс прохождения излучения через объект (решать прямую задачу);

• восстанавливать заданный объект по результатам измерений (решать обратную задачу);

• находить количественные оценки точности реконструкции по нескольким критериям.

На рис. 11-12 показан результат работы программы по

реконструкции одного из модельных объектов - "Фантома Шеппа-

Логана".

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

1. Предложен новый метод решения задачи трансмиссионной оптической томографии сильнорассеивающих сред, позволяющий найти пространственное распределение коэффициентов поглощения и рассеяния.

2. В рамках нестационарной осевой модели переноса излучения в неоднородных рассеивающих средах получено уравнение для потока фотонов, распространяющихся в обратном направлении.

3. Получены уравнения для суммарной энергии фотонов, распространяющихся в обратном направлении, как в случае пропорциональных, так и в случае произвольных рассеивающих сред.

4. Разработан эффективный метод решения прямой задачи трансмиссионной оптической томографии на базе осевой модели -метод энергетического баланса, который является существенно более точным по сравнению с методом конечных разностей.

5. Разработана программа моделирования трансмиссионной оптической томографии на базе осевой модели, обеспечивающая решения прямой и обратной задачи, как для пропорциональных, так и произвольных рассеивающих сред.

6. Теоретически и экспериментально исследовано искажающее влияние преломления и отражения света на границах рассеивающих сред на результаты томографической реконструкции изображений радиально-симметричных объектов. Разработаны способы коррекции таких искажений.

7. Исследована эффективность различных вариантов численной реализации обратного преобразования Абеля, что может быть использовано при разработке томографических алгоритмов.

-100 -50 0 50 100 -100 -50 0 50 100 -100 -50 0 50 100

Восстановленный коэффициент Восстановленный козФФициекг Восстановленный коэффициент

поглощения рассеяния экстинкции

Рис. 11. Пример реконструкции объекта "Фантом Шеппа-Логана (оптический)"

Рис. 12. Пример сравнения исходных и восстановленных распределений объекта "Фантом Шеппа-Логана (оптический)"

Основное содержание диссертации опубликовано в следующих работах.

1. Подгаецкий В.М., Потапов Д.А., Селищев СВ., Терещенко С.А. Оптическая трансмисионная томография для медицинских приложений на основе нестационарной двухпотоковой модели переноса излучения // Биомедицинские технологии и радиоэлектроника, 2001, № 12, с. 18-29.

2. Терещенко С.А., Потапов Д.А. Коррекция эффектов преломления и отражения света в медицинской трансмиссионной оптической томографии // Медицинская техника, 2002, № 3, с. 3-7.

3. Терещенко С.А., Потапов Д.А., Подгаецкий В.М., Смирнов А.В. Влияние преломления света на восстановление изображения в трансмиссионной оптической томографии рассеивающих сред // Квантовая электроника, 2002, т. 32, № 10, с. 888-890.

4. Потапов Д.А. Экспериментальное исследование лазерной томографической реконструкции радиально-симметричных сильнорассеивающих объектов // Известия вузов. Электроника, 2002, №6, с. 88-91.

5. Потапов Д.А. Экспериментальное исследование лазерной томографической реконструкции центральносимметричных сильнорассеивающих объектов // Микроэлектроника и информатика -2002. IX всероссийская межвузовская НТК студентов и аспирантов: Тезисы докладов. - М: МИЭТ, 2002. - с. 87.

6. Потапов Д.А., Подгаецкий В.М., Стрелкова Г.В., Терещенко С.А. Влияние преломления света в рассеивающей среде на качество оптических томограмм // Лазеры в науке, технике и медицине: Тезисы докладов XIII Международной НТК (г. Сочи, 2002). - М.:МНТОРЭС им. А.С. Попова, 2002. -с. 211-213.

7. Потапов Д.А. Проблемы вычисления обратного преобразования Абеля // Электроника и информатика - 2002ЛГУ Международная НТК: Тезисы докладов. В 2-х частях. - М.: МИЭТ, 2002, часть 2. - с. 301-302.

8. Потапов Д.А. Численное решение основного уравнения стационарной осевой модели переноса излучения // Микроэлектроника и информатика - 2003. X всероссийская межвузовская НТК студентов и аспирантов: Тезисы докладов. - М.: МИЭТ, 2003. - с. 133.

9. Потапов Д.А. Численное решение прямой задачи стационарной осевой модели переноса излучения // Лазеры в науке, технике и медицине: Тезисы докладов XIV Международной НТК (г. Сочи, 2003). -М.:МНТОРЭС им. А.С. Попова, 2003. - с. 226-227.

10. С.А. Терещенко, Д.А. Потапов. Моделирование трансмиссионной оптической томографии пропорциональных рассеивающих сред на базе осевой модели переноса излучения // Лазеры в науке, технике и медицине: Тезисы докладов XIV Международной НТК (г. Сочи, 2003). -М.:МНТОРЭС им. А.С. Попова, 2003. - с. 232.

11. Потапов Д.А. Программный комплекс моделирования задачи реконструкции изображения в трансмиссионной оптической томографии // Микроэлектроника и информатика - 2004. XI всероссийская межвузовская НТК студентов и аспирантов: Тезисы докладов. - М.: МИЭТ, 2004. - с. 143.

12. Потапов Д.А. Моделирование оптической томографии на основе осевой модели переноса излучения с использованием возможностей среды МАТЬАБ // Физика и радиоэлектроника в медицине и экологии: Доклады VI Международной НТК. В 2-х книгах. - Владимир: ВООО ВОИ ПУ "Руст", 2004, книга 1.-е. 128-131.

13. Потапов Д.А., Терещенко С.А. Томографическая реконструкция оптических характеристик биологических объектов в приближении пропорциональной среды // Медицинская техника, 2004, № 3, с. 6-8.

14. Терещенко С.А., Потапов Д.А. Реконструкция томограмм в трансмиссионной оптической томографии рассеивающих сред на основе осевой модели переноса излучения // Известия вузов. Электроника, 2004, №5, с. 84-91.

Формат 60x84 1/16. Уч.-изд.л. 0. Тираж/^Оэкз. Заказ29£.

Отпечатано в типографии ИПК МИЭТ. 124498, Москва, МИЭТ.

#22150

РНБ Русский фонд

2005-4 20730

Содержание диссертации автор исследовательской работы: кандидата физико-математических наук, Потапов, Дмитрий Александрович

О глав; ген ис.

Введение.

Глава 1. Трансмиссионная оптическая томография рассеивающих сред.

1.1. Введение.

1.2. Общие сведения о вычислительной томографии.

1.2.1. Преобразование Радона. Прямая задача.

1.2.2. Обратная задача. Интегральные методы.

1.2.3. Обратная задача. Алгебраические методы.

1.3. Методы трансмиссионной оптической томографии биологических объектов.

1.4. Уравнение переноса излучения.

1.4.1. Приближение чисто поглощающей среды. 1.4.2. Диффузионное приближение.

1.5. Конструктивные особенности оптических томографов.

1.5.1. Оптические томографы для исследования молочной железы.

1.5.2. Оптический томограф для исследования мозга новорождённого.

1.5.3. Оптический томограф для исследования лабораторных животных.

1.6. Выводы.

Глава 2. Нестационарная осевая модель переноса излучения.

2.1. Введение.

2.2. Однородная полубесконечная среда.

2.3. Уравнения для суммарных энергий.

2.3.1. Чисто поглощающая среда.

2.3.2. Чисто рассеивающая среда.

2.3.3. Пропорциональные среды.

2.3.4. Произвольные среды.

2.4. Влияния показателя преломления.

2.5. Выводы.

Глава 3. Моделирование трансмиссионной оптической томографии на базе осевой модели.

3.1. Введение.

3.2. Построение исходного объекта.

3.3. Сканирование.

3.4. Реконструкция.

3.5. Сравнение исходных и восстановленных распределений.

3.6. Численное решение прямой задачи для произвольных сред.

3.6.1. Метод конечн ых разностей.

3.6.2. Метод энергетического баланса.

3.7. Реконструкции радиально-симметричных объектов па основе обратного преобразования Абеля.

3.8. Выводы.

Введение диссертация по физике, на тему "Восстановление изображений внутренних структур сильнорассеивающих сред в трансмиссионной оптической томографии"

Актуальность работы

Однако, если в диапазоне рентгеновского излучения экспоненциальный закон ослабления излучения выполняется с высокой степенью точности, то в оптическом диапазоне взаимодействие излучения со средой носит более сложный характер (кроме процесса поглощения присутствуют процессы рассеяния, преломления и отражения и другие), и традиционный математический аппарат1, построенный на основе преобразования Радона, становится неприменимым. Кроме того, вместо одной неизвестной функции (распределения коэффициента поглощения излучения) появляется ещё одна - распределение коэффициента рассеяния излучения.

При переходе от рентгеновской томографии к оптической можно говорить о восстановлении трёх, пространственно неоднородных функций: показателя преломления, коэффициента поглощения и коэффициента рассеяния. Так как одновременное восстановление всех трёх физических характеристик -исключительно сложная задача, основное внимание уделяется восстановлению пространственных распределений коэффициентов поглощения и рассеяния излучения. При этом математической основой служит уравнение переноса излучения, которое в общем случае аналитического решения не имеет, поэтому особое значение приобретают методы его упрощения при дополнительных предположениях.

Для численного исследования проблем и возможностей, возникающих при реконструкции изображений в трансмиссионной оптической томографии необходимо численное моделирование, которое для различных исходных объектов позволяет решать прямую и обратную задачу и находить количественные оценки точности реконструкции. являлись разработка и исследование мел ода рскопс! рукции прос i panel венных распределений оп тических характерце гик сильпорасссивающи* сред на основе осевого приближения нестационарного уравнения переноса излучения.

Научная новизна работы

• Предложен новый численный метод решения прямой задачи трансмиссионной оптической томографии на базе осевой модели - метод энергетического баланса.

Достоверность научных положений, результатов и выводов обеспечена их соответствием твёрдо установленным теоретическим и экспериментальным фактам, использованием общепринятых методов, проверкой на модельных объектах, а также их внутренней согласованностью и непротиворечивостью.

Практическая и научная ценность работы

• Предложенные способы коррекции искажений, вносимых преломлением и отражением света, могут быть использованы для повышения качества реконструируемых изображений. >

Основные научные положения, выносимые на защиту

• Предложенный метод решения обратной задачи трансмиссионной оптической томографии позволяет получать пространственнее распределения коэффициентов поглощения и рассеяния сильнорассеивающих сред. »

• Предложенные способы коррекции преломления и отражения улучшаю! качество восстановленных изображений.

Апробация работы

Основные положения и результаты диссертационной работы были представлены и обсуждены:

• па [X, X, XI всероссийских межвузовских научно-технических конференциях студентов и аспирантов "Микроэлектроника и информатика" (Москва, 2002, 2003, 2004);

• на IV Международной научно-технической конференции "Электроника и информатика" (Москва, 2002);

• на XIII, XIV Международных научно-технических конференциях "Лазеры в науке, технике и медицине" (Сочи, 2002, 2003);

Работы в данной области были поддержаны тремя грантами Российского фонда фундаментальных исследований № 00-02-16085 (2000-2002), № 01-01-00065 (2001-2003), №03-01-06317 (2003), одним грантом Министерства образования РФ № Е0О-1.О-188 (2001-2002), совместным грантом Российского фонда фундаментальных исследований и Министерства промышленности и науки Московской области № 02-02-96000 (2003-2004).

Публикации

По теме диссертации опубликовано 14 научных работ, из них 6 статей, в том числе в журналах:

• "Квантовая электроника" - 1,

• "Известия вузов. Электроника" - 2,

• "Медицинская техника" - 2,

• "Биомедицинские технологии и радиоэлектроника" - 1. Личный вклад автора

Объём и структура диссертации

Диссертация состоит из введения, трёх глав, заключения, приложения, списка сокращений и списка литературы, содержит 103 страницы текста. 60 рисунков и 3 таблицы. Список литературы включает 78 наименования.

Заключение диссертации по теме "Физика конденсированного состояния"

3.8. Выводы

Основное содержание главы 3 опубликовано в работах [71-78]. Проведенные исследования позволяют сделать следующие выводы.

1. Разработанный метод решения задачи трансмиссионной оптической томографии сильнорассеивающих сред позволяет найти пространственное распределение коэффициентов поглощения и рассеяния.

2. Разработанный эффективный метод решения прямой задачи трансмиссионной оптической томографии на базе осевой модели - метод энергетического баланса - позволяет существенно повысить точность решения прямой задачи осевой модели, по сравнению с методом конечных разностей.

3. Разработанная программа моделирования обеспечивает реализацию решения прямой и обратной задачи в трансмиссионной оптической томографии на базе осевой модели, как для пропорциональных, так и произвольных сильнорассеивающих сред.

4. Использование при моделировании томографических задач радиально-симметричных фантомов позволяет перейти от двумерного преобразования Радона к одномерному преобразованию Абеля, что может быть эффективно использовано при разработке томографических алгоритмов.

Заключение

Основное результаты выполненных исследований могут быть сформулированы следующим образом.

3. Получены уравнения для суммарной энергии фотонов, распространяющихся в обратном направлении, как в случае пропорциональных, гак и в случае произвольных рассеивающих сред.

4. Разработан эффективный метод решения прямой задачи трансмиссионной оптической томографии на базе осевой модели — метод энергетического баланса, который является существенно более точным по сравнению с методом конечных разностей.

В заключении автор считает своей приятной обязанностью выразить искреннюю благодарность своему научному руководителю С.А. Терещенко за постоянное внимание и помощь на всех этапах работы, C.B. Селищеву и В.М. Подгаецкому за совместную работу, Н.С. Воробьёву и A.B. Смирнову за помощь при проведении экспериментальных исследований.

Список источников диссертации и автореферата по физике, кандидата физико-математических наук, Потапов, Дмитрий Александрович, Москва

1. Cormack A.M. Early two-dimensional reconstruction and recent topics stemming from it // Nobel Lectures in Physiology or Medicine 1971 -1980. World Scientific Publishing Co., 1992. - p. 551- 563

2. Hounsfield G.N. Computed Medical Imaging // Nobel Lectures in Physiology or Medicine 1971-1980. World Scientific Publishing Co., 1992. - p. 568-586

3. Федоров Г.А., Терещенко С.А. Вычислительная эмиссионная томография. -М.: Энергоатомиздат, 1990 184 с.

4. Кравчук А.С. Основы компьютерной томографии. М.: Дрофа, 2001. - 240 с.

5. Как А.С., Slaney М. Principles of Computerized Tomographic Imaging. IEEE Press, 1998.

6. Fujimoto J.G., Boppart S.A., Herrmann J.M. Optical coherence tomography: applications in surgical diagnosis, guidance and intervention // Medical Imaging International, 2000, Vol. 10, No. 2, p. 14-20.

7. Reiss S.M. OCT. An imaging modality for the new millennium // Biophotonics International, 1999, Vol. 6, No. 6, p. 36-45.

8. Reiss S.M. OCT update. Pushing a promising technology to market // Biophotonics International, 2001, Vol. 8, No. 9, p. 40-45.

9. Reiss S.M. Optical coherence tomography. A critical tool for fighting eye disease // Biophotonics International, 2002, Vol. 9, No. 3, p. 42^48.

10. Optical imaging offers new biological insight // Laser Focus World, 2004, Vol. 40, No. 3, p. S4-S12.

11. Левин Г.Г., Вишняков Г.Н. Оптическая томография. М.: Радио и связь, 1989. - 224 с.

12. Вишняков Г.Н., Левин Г.Г., Лихачёв А.В., Пикалов В.В. Фазовая томография трёхмерных биологических микрообъектов: численное моделирование и экспериментальные результаты // Оптика и спектроскопия, 1999, том 87, №3, с. 448-454.

13. Исимару А. Распространение и рассеяние волн в случайно-неоднородных средах. В 2-х томах. М.: Мир, 1981, том 1. - 280 с.

14. Кейз К., Цвайфель П. Линейная теория переноса. М.: Мир, 1972. - 386 с.

15. Тучин В.В. Лазеры и волоконная оптика в биомедицинских исследованиях. -Саратов: Изд-во Саратовского университета, 1998. 384 с.

16. Tuchin V. Tissue optics. Light scattering methods and instruments for medical diagnostic // Tutorial Texts, 2000, Vol. TT38. SPIE Press. - 378 p.

17. Зимняков Д.А., Тучин В.В. Оптическая томография тканей // Квантовая электроника, 2002, том 32, № 10, с. 849-867.

18. Graber H.L., Barbour R.L., Lubowsky J., Aronson R., Das B.B., Yoo, K.M., Alfano R.R. Evaluation of steady-state, time- and frequency-domain data for the problem of optical diffusion tomography // Proc. SPIE, 1992, Vol. 1641, p. 6-20.

19. Grosenik D., Wabnitz 11., Kinneberg H.H., Moesta R.T., Schlag P.M. Development oi a time-domain optical mammagraph and first in-vivo applications // Applied Optics, 1999, Vol. 38, No. 13, p. 2927-2943.

20. Becker W., Bergmann A., Wabnitz II., Grosenik D., Licbcrt A. high count rate multichannel TCSPC for optical tomography // SPIE Proc., 2001, Vol. 4431, p. 249-254.

21. Optical Tomography: TCSPC imaging of female breast // Becker & Ilickl GmbH. -4 p. http://www.becker-hickl.de/Optical%20Tomography.htm

22. Correlation measurements by advanced TCSPC Techniqus // Becker & Hickl GmbH. 19 p. -http://www.becker-hickl.de/Optical%20Tomography.htm

23. Arridge S.R., Cope M., Delpy D.T. The theoretical basis for the determination of optical pathlength in tissue: temporal and frequency analysis // Physics in Medicine and Biology, 1992, Vol. 37, No. 7, p. 1531-1560.

24. Arridge S.R., Cope M., Delpy D.T. Optical imaging in medicine II. Modelling and reconstruction// Physics in Medicine and Biology, 1997, Vol. 42, No. 5, p. 841-853.

25. Arridge S.R. Optical tomography in medical imaging // Inverse Problem, 1999, Vol. 15, p. R41-R93.

26. Colak S.B., Papaioannou D.G., Hooft G.W.'t, van der Mark M.B. Optical image reconstruction with deconvolution in light diffusing media // Proc. SPIE, 1995, Vol. 2626, p. 306-315.

27. Hielsher A.H., Alcouffe R.E. Non-diffusive photon migration in homogeneous and heterogeneous tissues // Proc. SPIE, 1996, Vol. 2925, p. 22-30.

28. Winn J.N., Perelman L.T., Chen K., Wu J., Dasari R.R., Feld M.S. Distribution of the paths of early-arriving photons traversing a turbid medium // Applied Optics, 1998, Vol. 37, No. 34, p. 8085-8091.

29. Chen K., Perelman L.T., Zhang Q., Dasari R.R., Feld M.S. Optical computed tomography in a turbid medium using early arriving photons // Journal of Biomedical Optics, 2000, Vol. 5, No. 2, p. 144-154.

30. Gaughan R. New approaches to early detection of breast cancer make small gains // Biophotonics International, 1998, Vol. 5, No. 5, p. 48-53.

31. Imaging Diagnostic Systems Inc. http://www.idsi.com

32. Grable R.J., Ponder S.L., Gkanatsios N.A., Dieckmann W., Olivier P.F., Wake R.H., Zeng Y. Optical computed tomography for imaging the breast: first look // Proc. SPIE, 2000, Vol. 4082, p. 40^5.

33. Grable R, Gkanatsios N.A., Ponder S.L. Optical mammography // Applied Radiology, 2001, Vol. 29, No. 2, p. 18-20.

34. Optical Mammo Prototype System. Philips Research.http://www.research.philips.com/InformationCenter/Global/FArticleSummary.asp7lNode Id=796&channel=796&channelId=N796A2325

35. Colak S.B., Papaioannou D.G., Hooft G.W.'t, van der Mark M.B. Schombcrg I J., Paasschens J.C.J., Melissen J.B.M., van Asten N.A.A.J. Tomographic image projections in light-diffusing media//Applied Optics, 1997, Vol. 36, No. l,p. 180-213.

36. Advanced Research Technology Inc. http://www.art.ca

37. Kincade K. Laser-based mammography targets breast cancer // Laser Focus World, 2001, Vol. 37, No. 9, p. 81-82.

38. Optosonics Inc. http://www.optosonics.com

39. Kruger R.A., Kiser Jr W.L., Reinecke D.R., Kruger G.A. Thermoacoustic computed tomography using a conventional linear transducer array // Medical Physics, 2003, Vol. 30, No. 5, p. 856-860.

40. Kruger R.A., Kiser Jr.W.L., Reinecke D.R., Kruger G.A., Miller K.D. Thermoacoustic optical molecular imaging of small animals // Molecular Imaging, 2003, Vol. 2, No. 2, p. 113-123.

41. The Biomedical Optics Research Laboratory. -http://www.medphys.ucl.ac.uk/research/borl/

42. Schmidt F.E.W., Fry M.E., Hillman E.M.C., Hebden J.C., Delpy D.T. A 32-channel time-resolved instrument for medical optical tomography // Review of Scientific Instruments, 2000, Vol. 71, No. 1, p. 256-265.

43. Hillman E.M.C., Hebden J.C., Schweiger M., Dehghani H., Schmidt F.E.W., Delpy D.T., Arridge S.R. Time resolved optical tomography of the human forearm // Physics in Medicine and Biology, 2001, Vol. 46, No. 4, p. 1117-1130.

44. Селищев C.B., Терещенко C.A. Нестационарная двухпотоковая модель переноса излучения для томографии рассеивающих сред // Журнал технической физики, 1997, том 67, № 5, с. 61-65.

45. Терещенко С.А. Томографическая реконструкция физических характеристик поглощающих, рассеивающих и излучающих сред на основе интегральных и интегрально-кодовых методов: Автореферат диссертации . доктора физ.-мат. наук. М., 2000. - 48 с.

46. Владимиров B.C. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1981. -512 с.

47. Терещенко С.А., Подгаецкий В.М., Воробьёв Н.С., Смирнов А.В. Условия прохождения коротких оптических импульсов через рассеивающую среду // Квантовая электроника, 1996, том 23, № 3, с. 265-268.

48. Podgaetsky V.M., Tereshchenko S.A., Smirnov A.V., Vorob'ev N.S. Bimodal temporal distribution of photons in ultrashort laser pulse passed through a turbid medium //Optics Communications, 2000, No. 180, p. 217-223.

49. Терещенко C.A., Данилов A.A., Подгаецкий В.M., Воробьев Н.С. Прохождение лазерного импульса через сильнорассеивающую среду // Квантовая электроника, 2004, том 34, № 6, с. 541-544.

50. Терещенко С.А., Селищев C.B. Решение задачи оптической томографии для ограниченных рассеивающих сред в двухпотоковой модели переноса излучения // Письма в Журнал технической физики, 1997, том 23, № 17, с. 64-67.

51. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. -М.: Наука, 1976.-576 с.

52. Ландсберг Г.С. Оптика. М.: Наука, 1976. - 928 с.

53. Детлаф Б.М., Яворский Б.М. Справочник по физике. М.: Наука, 1980. -512 с.

54. Терещенко С.А., Потапов Д.А. Коррекция эффектов преломления и отражения света в медицинской трансмиссионной оптической томографии // Медицинская техника, 2002, № 3, с. 3-7.

55. Терещенко С.А., Потапов Д.А., Подгаецкий В.М., Смирнов A.B. Влияние преломления света на восстановление изображения в трансмиссионной оптической томографии рассеивающих сред // Квантовая электроника, 2002, т. 32, № 10, с. 888890.

56. MATLAB // MATLAB 6.5. Full product family help. The Mathvvorks, 2002.

57. Мартынов H.H., Иванов А.П. MATLAB 5.x. Вычисления, визуализация, программирование. M.: Кудиц-Образ, 2000. - 336 с.

58. Image Processing Toolbox // МЛТ1.АВ 6.5. Full product family help. The Mathworks, 2002.

59. MATLAB Compiler // MATLAB 6.5. Full product family help. The Mathworks, 2002.

60. Гавурин M.K. Лекции по методам вычислений. -М.: Наука, 1971. 248 с.

61. Форсайт Дж., Малькольм М., Моулср К. Машинные методы математических вычислений. М.: Мир, 1980. - 280 с.

62. Cormack A.M. Representation of a function by its line integrals, with some radiological applications // Journal of Applied Physics, 1963, Vol. 34, No. 9, p. 27222727.

63. Потапов Д.А. Проблемы вычисления обратного преобразования Абеля // Электроника и информатика 2002. IV Международная НТК: Тезисы докладов. В 2-х частях. -М.: МИЭТ, 2002, часть 2. - с. 301-302.

64. Потапов ДА. Численное решение основного уравнения стационарной осевой модели переноса излучения // Микроэлектроника и информатика 2003. X всероссийская межвузовская НТК студентов и аспирантов: Тезисы докладов. - М.: МИЭТ, 2003.-с. 133.

65. Потапов Д.А. Численное решение прямой задачи стационарной осевой модели переноса излучения // Лазеры в науке, технике и медицине: Тезисы докладов XIV Международной НТК (г. Сочи, 2003). М.:МН'ГОРЭС им. A.C. Попова, 2003. -с. 226-227.

66. Потапов Д.А., Терещенко С.А. Томографическая реконструкция оптических характеристик биологических объектов в приближении пропорциональной среды // Медицинская техника, 2004, № 3, с. 6-8.

67. Терещенко С.А., Потапов Д.А. Реконструкция томограмм в трансмиссионной оптической томографии рассеивающих сред на основе осевой модели переноса излучения // Известия вузов. Электроника. 2004, № 5, с. 90-92.