Возбуждение и динамика нелинейных волновых структур в бозе-эйнштейновском конденсате тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.03 ВАК РФ

00504997О

На правах рукописи

СМИРНОВ Лев Александрович

ВОЗБУЖДЕНИЕ И ДИНАМИКА НЕЛИНЕЙНЫХ ВОЛНОВЫХ СТРУКТУР В БОЗЕ-ЭЙНШТЕЙНОВСКОМ КОНДЕНСАТЕ

01.04.03 - радиофизика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

14 ФЕ6 2013

Нижний Новгород - 2013

005049970

Работа выполнена в Федеральном государственном бюджетном учреждении науки (ФГБУН) Институт прикладной физики Российской академии наук (ИПФРАН, г. Нижний Новгород).

Научный руководитель: кандидат физико-математических наук,

старший научный сотрудник, Миронов Вячеслав Александрович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор

Пелиновский Ефим Наумович

ФГБУН Институт прикладной физики РАН

(ИПФ РАН, г. Нижний Новгород)

кандидат физико-математических наук,

научный сотрудник,

Рубан Виктор Петрович

ФГБУН Институт теоретической физики

им. Л. Д. Ландау РАН

(ИТФ РАН, г. Черноголовка)

Ведущая организация: ФГБУН Институт спектроскопии РАН

(ИСРАН, г.Троицк)

Защита состоится 4 марта 2013 г. в 1500 часов на заседании диссертационного совета Д002.069.02 при ФГБУН Институте прикладной физики РАН (ИПФ РАН), расположенном по адресу: 603950, г. Нижний Новгород, ул. Ульянова, д. 46.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ФГБУН Института прикладной физики РАН (ИПФРАН).

Автореферат разослан л 01 » ■—^гоол.Й_2013 г.

Ученый секретарь диссертационного совета,

доктор физико-математических наук, ^ п

профессор Ю- В. Чугунов

Общая характеристика диссертационной работы

Предмет исследований и актуальность темы диссертации

Бозе-эйнштейновский конденсат (БЭК) представляет собой уникальное состояние материи, с которым связаны такие явления как сверхтекучесть гелия, сверхпроводимость в металлах, конденсация экситонов в диэлектриках и полупроводниках и многие другие.

После первой успешной реализации БЭК разреженных атомарных газов в 1995 г. исследования в этой области быстро и стремительно вышли на новый уровень, когда изучаются не только различные проявления конденсации, но и тонкие особенности макроскопических квантовых систем. К настоящему времени с помощью методов лазерного охлаждения и пленения в магнитных или магнито-оптических ловушках уже получены бозе-конденсаты паров практически всех сортов атомов щелочных элементов, а также атомарного водорода и метастабильного гелия. В большинстве экспериментов квантовое вырождение достигается при температурах в интервале от нескольких десятков нанокельвинов до нескольких единиц микрокельвинов для газов с плотностью 1011 ^ 1015 см-3. При этом полный цикл охлаждения, приводящий к образованию БЭК, может продолжаться от нескольких секунд до нескольких минут. Наибольшее число частиц в конденсированном состоянии получено в парах 3^а 108 атомов) и водорода !Н (~109 частиц), а самые маленькие конденсаты содержат всего несколько сотен атомов. В зависимости от параметров используемой ловушки характерные пространственные размеры удерживаемого в ней облака БЭК колеблются от нескольких десятков до нескольких сотен микрометров, причём форма самого облака может быть или квазисферической, или «дискообразной» (когда масштаб локализации конденсата в одном направлении существенно меньше его поперечных размеров), или «сигарообразной» (когда конденсат сильно вытянут вдоль одного из направлений).

С помощью внешних электромагнитных полей (в частности, посредством лазерного излучения) молено управлять параметрами БЭК. При этом возникает большое количество фундаментальных и прикладных задач.

В экспериментах (например, см. [1-6]) часто в качестве «инструмента» воздействия на БЭК с отталкивающим взаимодействием между частицами используются движущиеся относительно конденсата сфокусированные лазерные пучки, несущая частота которых выше линии поглощения атомов. В этой области частот диэлектрическая проницаемость газа меньше единицы, поэтому он выталкивается из занятой полем области, и на месте, где только что был лазерный луч, образуется локальный провал концентрации. В результате такого воздействия в БЭК, благодаря его нелинейным и дисперсионным свойствам, излучаются звуковые волны и формируются разнообразные (вихревые и безвихревые) солитоноподоб-ные структуры. Подобные эксперименты можно интерпретировать как

опыты по генерации возбуждений в конденсате движущимися потенциальными барьерами или, что по существу то же самое, при обтекании потоком бозе-газа неподвижных препятствий. Наблюдаемые на практике динамические процессы и возникающие квазистационарные образования требуют подробного описания и детального (как численного, так и аналитического) рассмотрения. В частности, необходимо теоретически обосновать существенные изменения, которые происходят в характере взаимодействия ВЭК с барьером в зависимости от скорости их относительного движения. Данные задачи имеют непосредственное отношение к проблемам нарушения режима сверхтекучести [1-3, 7] и развития турбулентности в квантовых жидкостях [8-10]. В этих процессах существенную роль играют квантовые вихри - топологические дефекты (или фазовый сингулярности), при обходе вокруг которых по замкнутому контуру циркуляция скорости конденсата равна не нулю, а 2я-т, где т - целое число, часто называемое азимутальным индексом или топологическим зарядом.

Динамика вихревых структур и их взаимодействие друг с другом во многом определяет эволюцию облака бозе-газа. Поэтому при изучении БЭК важно знать, как и почему образуются квантовые вихри. В квазидвухмерном конденсате они естественным образом возникают при разрушении изначально протяжённых безвихревых структур, неустойчивых по отношению к пространственной модуляции параметров [11-16]. Часто для локального описания таких квазиодномерных объектов можно использовать модель «тёмного со л итона». Лабораторные и численные эксперименты подтверждают, что подобные уединённые образования в ультрахолодном бозе-газе с отталкивающим взаимодействием между атомами могут распадаться на пары из вихрей с противоположными по знаку топологическими зарядами (пары «вихрь-антивихрь») [17, 18].

Несмотря на то, что вопросы устойчивости тёмных солитонов неоднократно обсуждались в литературе, в том числе для оптических сред с дефокусирующей нелинейностью [19-23], проблема возникновения топологических дефектов до сих пор остаётся открытой и до конца неразрешённой. Она особенно актуальна в связи с значительно возросшим в последние годы интересом к теории турбулентности в сверхтекучих жидкостях и вырожденных квантовых газах. Фактически, любое достаточно сильное возмущение плотности БЭК, созданное посредством внешнего силового воздействия (например, с помощью лазерного излучения), на определённом этапе своей эволюции трансформируется в так называемую нелинейную дисперсионную ударную волну, часть которой представляет собой последовательность протяжённых провалов концентрации, сосредоточенных около плавных кривых и локально очень близких по своей структуре к тёмным солитонам [11-14, 24-26]. Из-за развития модуляционной неустойчивости такая дисперсионная ударная волна разрушается с

образованием большого числа активно взаимодействующих друг с другом вихревых пар [16, 27]. В итоге возникающее в конденсате течение турбу-лизуется. В частности, именно поэтому понимание того, как образуются квантовые вихри, необходимо для анализа основных закономерностей перехода ВЭК в турбулентное состояние.

В настоящее время ведутся активные исследования статических и динамических свойств вихревых структур в ультрахолодных (вырожденных) газах [28-30]. Установлено, например, что ключевые аспекты трансформации квазидвухмерного (дискообразного) облака БЭК с отталкивающим взаимодействием между атомами во многом определяются движением квантовых вихрей, их рождением и аннигиляцией. Поэтому важно максимально продвинуться в решении и этих проблем.

Совсем недавно (в 2010-2011 гг.) проводились эксперименты [б, 31, 32] с удерживаемыми в дискообразных ловушках БЭК, в которых контролируемым образом возбуждались одиночные вихревые пары и изучалась их дальнейшая динамика в неоднородном конденсате. В данных экспериментах удалось детально проследить поведение вихрей, составляющих вихревую пару, и было замечено, что при проникновении из менее плотного конденсата в более плотный вихрь и антивихрь в паре сближаются, а при попадании в более разреженный конденсат вихревые центры этих пар, наоборот, расходятся [6]. Причём в окрестности минимума потенциала ловушки наблюдалось достаточно сложное движение вихрей с элементами вращения [31, 32]. Полученные экспериментальные результаты также нуждаются в теоретическом осмыслении и наглядной интерпретации.

Поведение БЭК не только качественно, но и количественно хорошо описывается в приближении среднего поля, согласно которому система идентичных атомов, находящихся в конденсированном состоянии, характеризуются единой «классической» волновой функцией Ф(г, £), удовлетворяющей уравнению Гросса-Питаевского (ГП) [33, 34]. Это уравнение для бозе-газа с отталкивающим взаимодействием между атомами в безразмерных переменных имеет следующий вид:

гд,Ф + ДФ/2 + (1 - |Ф|2) Ф = Уех1(г, «) Ф, (1)

от которого всегда можно перейти с помощью преобразования Маделун-га Ф(г, ¿) — ф(т, £)ехр(г0(г, £)) к уравнениям гидродинамики сжимаемой невязкой жидкости:

ЗД2+<М^2У0)=О, д6в+(Ув)2/2=(1-ф2)+Аг1,/2ф-Уех<(г,Ь). (2)

Здесь ф(г, £) и 0(г, £)- действительные функции координат и времени, имеющие чёткий физический смысл: п(г,Ь)=ф2(г,Ь) - концентрация атомов БЭК, v(r, £) = У0(г, £) - их скорость, а со слагаемым Аф/2ф связывают специфическое так называемое «квантовомеханическое» давление.

Особо подчеркнём, что для понимания многих протекающих в БЭК процессов полезной и весьма конструктивной является аналогия с задачами дифракции световых пучков, распространяющихся в неоднородных нелинейных средах. Она основана на том, что волновая функция конденсата и комплексная огибающая электромагнитного поля в квазиоптическом приближении удовлетворяют одному и тому же классу нелинейных уравнений, так называемому нелинейному уравнению Шрёдинге-ра (НУШ). Несмотря на кардинальное отличие квантовых жидкостей от классических систем, описываемых НУШ, структурные особенности возбуждений (линейные волны, солитоны, вихри и т. д.) в них оказываются сходными. В итоге, многие результаты, полученные при анализе поведения облака ультрахолодного бозе-газа, можно использовать для интерпретации явлений, наблюдаемых в нелинейной оптике, и наоборот.

Цель диссертационной работы

Целью диссертационной работы является численное и аналитическое исследование процессов формирования, распространения и взаимодействия нелинейных волновых структур в двухмерном БЭК, а также разработка асимптотических методов описания динамики квазисолитонных образований (в том числе, состоящих из квантовых вихрей).

Научная новизна диссертационной работы

1) Для анализа процесса формирования кильватерного следа за потенциальным барьером, движущимся в двухмерном БЭК со сверхзвуковой скоростью, применён метод обратной задачи рассеяния, с помощью которого установлена зависимость числа возникающих внутри конуса Маха протяжённых (квазиодномерных) провалов концентрации (тёмных соли-тонов) и их углов наклона от амплитуды и характерной ширины барьера.

2) Исследована приводящая к генерации вихревых пар неустойчивость ламинарного режима обтекания препятствия дозвуковым потоком БЭК.

3) Для описания динамики изогнутых тёмных солитонов в БЭК и, в частности, процесса образования из них вихревых структур развит асимптотический метод, позволяющий получить самосогласованную систему уравнений для локальной скорости солитона и кривизны опорной линии, около которой он сосредоточен.

4) В рамках самосогласованной системы уравнений для локальной скорости изогнутого тёмного солитона и кривизны его опорной линии впервые исследованы особенности образования вихревых и безвихревых структур на нелинейной стадии модуляционной неустойчивости тёмных солитонов.

5) Впервые получено уравнение для траекторий движения вихревых и безвихревых двухмерных тёмных квазисолитонов в плавно неоднородном БЭК. Это уравнение приведено к привычному для геометрической оптики изотропных сред виду с эффективным показателем преломления,

зависящим от энергии квазисолитона и распределения плотности невозмущенного конденсата.

6) Детально проанализирована динамика двухмерных тёмных квазисо-литонов в плавно неоднородном БЭК и объяснены наблюдаемые в экспериментах особенности распространения вихревых пар в ультрахолодных бозе-газах, удерживаемых в дискообразных ловушках.

Научная и практическая значимость диссертации

Изучение когерентных волн материи и нелинейных волновых процессов в ультрахолодных вырожденных квантовых газах является бурно развивающимся в настоящее время направлением современной физики. Сейчас экспериментальные установки по созданию конденсатов ультрахолодных газов становятся все более доступными для широких исследований, и полученные на них многочисленные результаты часто обгоняют теорию, придавая ей мощный импульс к развитию. Вырожденные квантовые газы представляются весьма перспективным для решения таких чрезвычайно значимых практических задач, как создание сверхточных часов и атомных лазеров высокой мощности. Кроме того, предлагаются разнообразные схемы по использованию конденсатов в атомной оптике для прецизионных измерениях и при детектировании электрических, магнитных и гравитационных полей.

Данная работа в значительной степени мотивирована выполненными в течение нескольких последних лет экспериментами по обтеканию БЭК препятствий и изучению динамики вихрей в неоднородных ультрахолодных бозе-газах, удерживаемых дискообразными ловушками. Ее результаты не только объясняют целый ряд протекающих в БЭК процессов, но и позволяют разработать способы управления ими. Они представляют определенный интерес и для диагностики неоднородностей конденсата.

Основные положения, выносимые на защиту

1) Возмущения концентрации, возбуждаемые в БЭК широким в масштабе корреляционного радиуса сверхзвуковым потенциальным барьером малой амплитуды, локализованы вблизи образующих конуса Маха и при удалении от препятствия трансформируются в характерную для окрестности гладких каустик эйри-структуру.

2) Возникающий в БЭК за сверхзвуковым потенциальным барьером кильватерный след из чётного числа протяжённых провалов концентрации (наклонных тёмных солитонов), расположенных внутри конуса Маха, допускает описание в рамках обратной задачи рассеяния, решение которой позволяет, в частности, определить зависимость от амплитуды и характерной ширины барьера количества данных провалов и их ориентацию по отношению к направлению движения.

3) Возбуждение квантовых вихрей движущимся в бозе-газе с дозвуко-

вой скоростью потенциальным барьером объясняется неустойчивостью стационарного (ламинарного) режима обтекания препятствия потоком БЭК.

4) Динамика локализованных вблизи плавных кривых квазисолитон-ных структур (изогнутых тёмных солитонов) в БЭК адекватно описывается самосогласованной системой уравнений для локальной скорости со-литона и кривизны опорной линии, около которой он сосредоточен. Эта система уравнений позволяет детально исследовать процессы зарождения вихрей на нелинейной стадии развития модуляционной неустойчивости тёмных солитонов.

5) Динамика двухмерных вихревых и безвихревых квазисолитонных образований в плавно неоднородном БЭК определяется их энергией и пространственным распределением плотности бозе-частиц.

6) При распространении в плавно неоднородном БЭК пары вихрь-антивихрь могут безызлучательным образом аннигилировать, превращаясь в безвихревые солитоны, близкие по своей структуре к двухмерным соли-тонам уравнения Кадомцева-Петвиашвили.

Достоверность результатов диссертационной работы

Проведённые исследования опираются на известные и апробированные методы, применяемые при изучении нелинейных волновых процессов в неоднородных средах. Используемые приближенные математические модели аргументированы соответствующими оценками и допускают наглядную физическую интерпретацию. Научные положения и заключения диссертационной работы достаточно обоснованы, подтверждены численными расчётами и позволяют объяснить наблюдаемые в экспериментах эффекты. Полученные результаты известны специалистам в России и за рубежом, неоднократно и успешно докладывались на российских и международных конференциях и семинарах, где получили широкое признание, опубликованы в реферируемых научных журналах и трудах конференций. Все это позволяет считать сформулированные и представленные в диссертации выводы достоверными.

Апробация диссертационной работы

Основные результаты диссертации получены в Институте прикладной физики РАН (ИПФРАН). Они докладывались на научных семинарах ИПФ РАН, на XI, XIII и XIV Конкурсах работ молодых учёных ИПФ РАН (2009,2011,2012гг.), на XVI, XVIII и XX Научных сессиях Совета РАН по нелинейной динамике (2007,2009,2011 гг.), а также на 20 международных и российских конференциях, в число которых входят III и IV Международные конференции «Frontiers of Nonlinear Physics» (FNP-2007/2010) (Нижний Новгород, Россия, 3-9 июля 2007г. и 13-20 июля 2010 г.), V и VI Международные конференции «Solitons, Collapses and Turbulence: Achievements, Developments and Perspectives» (SCT-2009/2012) (Черного-

ловка, Московская область, Россия, 2-7 августа 2009г. и Новосибирский Академгородок, Россия, 4-8 июня 2012г.), Международная конференция «International Conference on Coherent and Nonlinear Optics / International Conference on Lasers, Applications, and Technologies» (ICONO/LAT-2010) (Казань, Россия, 23-26 августа 2010 г.), Международная конференция «International Conference on Laser And Electro-Optics - European Quantum Electronics Conference» (CELO/EUROP-EQEC-2011) (Мюнхен, Германия, 22-26 мая 2011г.), XIV и XVI Научные школы «Нелинейные волны - 2008/2012» (Нижний Новгород, Россия, 1-7 марта 2008г. и 29 февра-ля-6 марта 2012г.), XI, XII и XIII Всероссийские школы-семинары «Волновые явления в неоднородных средах» («Волны-2008/2010/2012») (Звенигород, Московская область, Россия, 26 -31 мая 2008 г., 24- 29 мая 2010 г. и 21 -26 мая 2012 г.), XII и XIII Всероссийские школы-семинары «Физика и применение микроволн» («Волны-2009/2011») (Звенигород, Московская область, Россия, 25-30 мая 2009г. и 23-28 мая 2011г.), VII и VIII Российские симпозиумы «Проблемы физики ультракоротких процессов в сильнонеравновесных средах» (Новый Афон, Абхазия, 23 июля -1 августа 2009 г. и 2010 г.), VII Всероссийская межвузовская конференция молодых учёных «Технологии высокопроизводительных вычислений и компьютерного моделирования» (Санкт-Петербург, Россия, 20-23 апреля 2010г.), Научная студенческая конференция «ВИ10ПФ-2007» (Нижний Новгород, Россия, 28-29 мая 2007 г.), XIII, XIV и XV Нижегородские сессии молодых учёных (Татинец, Дзержинец и Красный Плёс, Нижегородская область, Россия, 20-25 апреля 2008 г., 19-23 апреля 2009 г. и 19-24 апреля 2010 г.).

Проведённые исследования были удостоены премий на XI, XIII и XIV Конкурсах работ молодых учёных ИПФРАН (2009,2011,2012 гг.) и поддержаны Фондом некоммерческих программ «Династия» (грант для аспирантов и молодых учёных без степени на 2011-2012гг.), Федеральной целевой программой «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» (госконтракт для целевых аспирантов на 2010-2011 гг..) и Российским фондом фундаментальных исследований (конкурс «Мой первый грант», грант РФФИ на 2012-2013 гг.).

Материалы диссертации опубликованы в 29 печатных работах, из них 8 статей [А1-А8] в рецензируемых журналах, входящих в перечень ВАК, один препринт ИПФРАН [А9], 8 статей [А10-А17] в сборниках трудов конференций и 12 тезисов докладов [А18-А29].

Личный вклад автора в проведённые исследования

Представленные в диссертации результаты получены при непосредственном и определяющем участии её автора. Все численные расчёты проведены им самостоятельно, а в аналитические исследования и постановку решаемых задач вклад соавторов опубликованных по теме диссертационной работы статей равноценен.

Структура и объем диссертационной работы

Диссертационная работа состоит из введения, трёх глав, заключения, двух приложений и списка литературы. Общий объём диссертации составляет 185 страниц, включая 69 рисунка. Список цитируемой литературы содержит 284 наименований на 23 страницах.

Краткое содержание диссертационной работы

Во Введении обоснована актуальность диссертационной работы, сформулированы её цели, аргументирована научная новизна исследований, показана практическая значимость полученных результатов, представлены основные положения, выносимые на защиту, и кратко изложено содержание диссертации.

В первой главе диссертации численно и аналитически изучаются процессы возбуждения изначально однородного двухмерного БЭК локализованным в пространстве потенциальным барьером

Vext(r,t) = Vpb((=x-Mt,y) = Vmax ехр[-2 (С2 + у2) /<52], (3)

движущимся (для определённости вдоль оси х) с постоянной скоростью M, которая в используемых безразмерных переменных равна числу Маха (отношению скорости объекта к скорости звука в среде). Возникающая в результате обтекания потоком конденсата такого препятствия (как проницаемого, так и непроницаемого для бозе-частиц) волновая картина существенно зависит от скорости M, а также амплитуды Vmax и характерного размера 5 области локализации потенциала.

В параграфе 1.1 даётся математическая формулировка задачи обтекания потоком БЭК препятствий. Здесь также приведён обзор литературы, посвящённой экспериментальным и теоретическим исследованиям взаимодействия движущихся сфокусированных лазерных пучков с ультрахолодным бозе-газом.

В параграфе 1.2 в рамках линейной теории обсуждается генерация сверхзвуковым (M > 1) слабо возмущающим конденсат потенциальным барьером Vpb(Ç, у) волн плотности, имеющих так называемый боголюбов-

ский спектр w = kyJl+k2/4. Фазовая скорость этих волн всегда больше скорости звука, а групповая скорость превосходит фазовую, из-за чего возмущения концентрации «обгоняют» источник, и за барьером внутри конуса Маха с углом раствора 20 (/? = arcsin(l/M)) все описываемые линейной теорией возмущения отсутствуют. Особое внимание в данном разделе уделяется анализу интерференционной картины, возникающей при сверхзвуковом движении в БЭК барьера малой интенсивности {Vmax < 1), характерный размер которого существенно превосходят корреляционный радиус (S » 1). В непосредственной близости от такого препятствия возму-

Рис. 1. Мгновенный снимок (а) распределения концентрации БЭК спустя время ¿ = 75 после того, как в исходно однородном бозе-газе вдоль оси х со скоростью М — 2 начал свое равномерное движение потенциальный барьер (3) с амплитудой = 100 и характерным масштабом ¿= 1. В отдельное окно вынесено увеличенное изображение (6) плотности конденсата, которое соответствует области, отмеченной на фрагменте (а) прямоугольной рамкой. За препятствием внутри конуса Маха, отмеченного пунктирными линиями, сформировались два протяжённых провала концентрации, расходящихся подуглом 2а (а</3). С удалением от барьера эти квазиодномерные структуры разрушаются с образованием чётного числа пар вихрь-антивихрь, которые в свою очередь стремятся выстраиваться в цепочки, похожие на вихревые дорожки Кармана (см. фрагмент (6)).

щения концентрации переносятся без искажений вдоль «характеристик», параллельных образующим конуса Маха у = ±tg/ЗC (С<0). Однако на достаточно больших расстояниях от потенциала, зависящих от его характерной ширины <5 как <53, начинают сказываться дисперсионные эффекты. Для аксиально-симметричного потенциального барьера Уръ{С,,у) они приводят в конечном итоге к формированию в пространственном распределении плотности БЭК волновых структур, которые хорошо аппроксимируются произведением плавной огибающей с формой, определяемой фурье-образом потенциала УрЬ((,у), на производную функции Эйри.

Как показывают численные расчёты, развитая в разделе 1.2 теория имеет лишь ограниченную область применимости. Из-за нелинейных свойств конденсата за сверхзвуковыми (М> 1) препятствиями внутри конуса Маха образуются протяжённые (квазиодномерные) провалы концентрации, которые при удалении от барьера распадаются на уединённые двухмерные (как правило, вихревые) образования (см. Рис. 1). Эти эффекты анализируются в параграфе 1.3. Для случая скоростей движения, существенно превосходящих скорость звука в изначально однородном БЭК, т. е. когда 1, в связанной с потенциалом системе координат вне области его локализации от уравнения ГП (1) можно (с точностью до поправок порядка 1 /М) перейти к одномерному НУШ, допускающему решение методом обратной задачи рассеяния. В рамках такого приближения предлагается интерпретация процесса формирования в кильватерном следе за барьером чётного числа квазиодномерных структур в виде провалов плотности, каждый из которых располагается внутри конуса Маха

(с) ¿ = 50

-20

-30 -20

Рис. 2. Мгновенные снимки распределения концентрации БЭК в моменты времени (<х) í = 20, (Ъ) г = 40 и (с) 4 = 60. При г = 0 в исходно однородном конденсате вдоль оси х со скоростью М — 0.5 начал свое равномерное движение потенциальный барьер (3), имеющий амплитуду Утах = 100 и характерный масштаб 6 = 2 (границы непроницаемой для бозе-частиц области отмечены на рисунке штриховой линией). За барьером периодически генерируются пары вихрь-антивихрь. Появление второй вихревой пары (см. фрагменты (а)) и связанных с ней потоков в БЭК приводит к сближению топологических дефектов в ранее возбуждённой. Из-за этого сформировавшиеся первыми квантовые вихри начинают двигаться с большей скоростью, в конечном итоге догоняют вторую вихревую пару (см. фрагменты (Ь)), а затем и вовсе опережают её. Причём сильное межвихревое взаимодействие приводит к аннигиляции (коллапсу) фазовых сингуляр-ностей: изначально возбуждённая препятствием пара вихрь - антивихрь «сбрасывает» с себя циркуляцию и превращается безвихревое образование, излучая при этом звуковые волны (см. фрагменты (с)).

и может быть ассоциирован с наклонным к направлению распространения тёмным солитоном. Если потенциал настолько интенсивный, что его можно считать непроницаемым для бозе-частиц, то количество N и углы наклона ап (п = 1,..., N) этих структур определяются поперечным размером области непосредственно за потенциальным барьером, где конденсат отсутствует. Кильватерный след из наклонных тёмных солитонов из-за развития модуляционной неустойчивости, которая в связанной с препятствием системе координат имеет конвективный («сносовый») характер, распадается с удалением от барьера на цепочки из устойчивых двухмерных каверн. В заключении раздела путём численного моделирования показано, что достаточно глубокие провалы концентрации эволюционируют в дорожки из вихревых пар, напоминающие вихревые дорожки Кармана, а неглубокие провалы (с плотностью, слабо отличающейся от фоновой) превращаются в цепочки из двухмерных безвихревых образований, напоминающих солитоны уравнения Кадомцева-Петвиашвили (КП).

В параграфе 1.4 изучается структура кильватерного следа за потенциальными барьерами, движущимися в исходно однородном БЭК с дозвуковыми скоростями (М< 1). Согласно результатам численного моделирования, выполненного непосредственно в рамках уравнения ГП (1), в случае

интенсивных крупномасштабных барьеров пороговое значение для чисел Маха М, начиная с которого наблюдается генерация вихрей и нарушение режима сверхтекучести (см. Рис. 2), близко к Мсг га 0.43. При этом максимальная скорость конденсата в сопровождающей системе координат становится (в полном соответствии с критерием Ландау в теории сверхтекучести) по модулю больше локальной скорости звука. С ростом числа Маха в интервале от Мсг до единицы (Мсг <М< 1) кильватерный след за дозвуковым потенциалом трансформируется следующим образом. При незначительном превышении критического значения вихревые пары генерируются достаточно редко. Между моментами зарождения пар проходит время, за которое два первых вихря отстают от барьера на большое по сравнению с его размером расстояние. При удалении от препятствия они постепенно сближаются и выходят на стационарный режим движения. С увеличением разности (М-Мсг) вновь родившаяся и ранее появившаяся пары начинают активно взаимодействовать друг с другом. При дальнейшем возрастании числа Маха М генерация вихрей происходит настолько часто, что они из-за взаимодействия друг с другом, не успевая уйти далеко от барьера, вновь к нему возвращаются, некоторые из них аннигилируют с излучением звуковых волн. В итоге происходит турбулизация бозе-газа, сопровождающаяся диссипацией запасенной в вихрях энергии.

Когда размер препятствия меньше или порядка корреляционного радиуса, образование вихревых пар (разрушение ламинарного режима обтекания) начинается при числах Маха М, превышающих значение 0.43, характерное для крупномасштабных потенциальных барьеров.

В разделе 1.4 аналитически демонстрируется, что ламинарный режим обтекания аксиально симметричных непроницаемых потенциальных препятствий большого радиуса становится неустойчивым при числах Маха М > Мсг га 0.43, и найден инкремент этой неустойчивости, который зависит от превышения числа Маха М над критическим (пороговом) значением Мст. Чем выше это превышение, тем больше инкремент неустойчивости, и, следовательно, частота возбуждения вихревых пар. Точки зарождения вихрей с ростом М приближаются друг к другу, располагаясь симметрично с теневой стороны движущегося объекта. Увеличение характерного масштаба барьера приводит к уменьшению инкремента неустойчивости и, следовательно, времени рождения первой вихревой пары.

В параграфе 1.5 перечислены результаты данной главы. Кроме того здесь прокомментированы особенности волновой картины, возникающей при движения препятствий через неоднородный БЭК, и эффекты, связанные с резким включением потенциальных барьеров.

Во второй главе изучается динамика сосредоточенных вблизи плавных кривых квазиодномерных солитоноподобных образований, локально очень похожих на тёмные солитоны и названных в диссертации «изогну-

тыми тёмными солитонами». Проведённые исследования позволяют детально описать нелинейную стадию развития модуляционной неустойчивости изначально как покоящихся, так и двигающихся тёмных солитонов в БЭК, описываемом уравнением ГП (1).

В параграфе 2.1 приведён краткий обзор литературы, посвященной экспериментальному, численному и аналитическому изучению неустойчивости тёмных солитонов по отношению к поперечным модуляциям. Здесь обращается внимание на то, что в результате развития этой неустойчивости могут появляться структуры из вихрей с чередующимися по знаку топологическими зарядами.

Параграф 2.2 посвящён обоснованию асимптотического подхода к описанию динамики изогнутого тёмного солитона:

*о(6 ") = л/l - v2 th[\/l + iv, (4)

локализованного в каждый момент времени t около плавной линии («опорной кривой») r0(s,f). Здесь £ - расстояние по нормали, опущенной из точки наблюдения на опорную кривую r0(s,f), s - длина дуги вдоль гo(s, t), v = v(s,t) - скорость солитона. Заметим, что говорить об изогнутом тёмном солитоне имеет смысл только, когда его характерный поперечный размер A(s,t)= [l-v2(s,t)]~1/2 медленно изменяется вдоль кривой г = r0 (з, i) и остаётся на протяженном её участке малым по сравнению с радиусом кривизны R (s, t), т. е. при выполнении следующих условий: |0.Л(я,«)| <g 1, |K(s,f)A(s,i)| « 1, где K(s,t) = 1 /R(s,t) - кривизна опорной линии солитона.

Суть предлагаемого подхода базируется на следующих двух основных положениях. Во-первых, наличие кривизны n(s, t) у опорной линии r0(s, t) изогнутого тёмного солитона приводит к изменению его локальной скорости v(s,t). Во-вторых, из кинематических соображений следует, что кривизна k(s, t) опорной кривой зависит от распределения вдоль неё локальной скорости v(s,t) солитона. В разделе 2.2 подробно (с обсуждением тонкостей и деталей) выводится самосогласованная система уравнений для локальной скорости v(s, t) изогнутого тёмного солитона и кривизны rc(s, t) линии, около которой он сосредоточен:

Г 8

dtK - I vk ds' д3к = k2v + d2av, dtv - fwds' 83v = -к (l - v2)/3. (5)

о о

Полученная система имеет весьма широкую область применимости и достаточно хорошо описывает эволюцию квазиодномерных солитоноподоб-ных провалов концентрации в БЭК.

В параграфе 2.3 анализируются общие свойства самосогласованной системы уравнении (5) и рассматриваются некоторые случаи её аналитического решения. В качестве примера, допускающего сравнение с уже

(Ь) ¿ — 60

Рис. 3. Мгновенные снимки при (а) г = 50, (Ь) 4 = 60 и (с) * = 70 распределения концентрации БЭК в изначально чёрном солитоне с ь0 = 0, локализованном в момент времени ¿ = 0 около линии х(у) — -Х0 соз(2тг/4) с глубиной модуляции Ха = 0.9 и периодом ¿у — 51.2. Видно, как часть солитона, закручиваясь около неподвижной точки (ж = 0,у--£у/4), сначала переходит в автомодельный режим, а затем разрушается с образованием вихря. На рисунке представлен только половина периода промоделированного солитона.

известными результатами, здесь приводится кольцевой тёмный солитон, локализованный вблизи окружности большого (в сравнении с его шириной) радиуса. В зависимости от направления начальной скорости такой солитон может либо расширяться, либо сначала сжиматься до определённого радиуса, а потом уже расширяться. Для полученной системы (5) был найден целый класс автомодельных решений, соответствующих скручивающимся и раскручивающимся со временем спиральным волнам с сингулярностью в центральной точке. Они представляют особый интерес, т. к. описывают процесс образования вихрей в БЭК.

В параграфе 2.4 в рамках предложенной в разделе 2.3 асимптотической теории изучается процесс развития модуляционной неустойчивости так называемых «чёрных» и «серых» солитонов, у которых концентрация в центре соответственно равна нулю (солитон при этом покоится) и отлична от нуля (солитон при этом движется). Здесь также проведено детальное численное моделирование, выполненное в рамках уравнения ГП (1). Показано, что в случае чёрных солитонов неустойчивость приводит к формированию цепочки из эквидистантно расположенных покоящихся вихрей с чередующимися по знаку топологическими зарядами. Причём образование вихрей происходит через выход на автомодельное решение самосогласованной системы уравнений (5) для скорости v(s,t) и кривизны hc(s,t) изогнутого тёмного солитона (см. Рис. 3). Отметим, что существуют режимы, в которых цепочка топологических дефектов окончательно образуется лишь после многократного восстановления квазисолитонной структуры. В случае же серых солитонов из-за неустойчивости обычно возникает семейство синхронно движущихся вихревых пар (см. Рис. 4). При этом фазовые сингулярности зарождаются из точек опорной линии

Рис. 4. Мгновенные снимки при (а) 4 = 35, (Ь) ¿ = 40 и (с) ¿ = 45 распределения концентрации БЭК в изначально сером солитоне с г>о = 0.3, локализованном в момент времени ¿ = 0 около линии х(у) = -Х0со8(2к/£у) с глубиной мо- дуля-ции Хо = 0.9 и периодом £у = 51.2. При распространении на линиях у = £уту (та = 0, ±1,...) солитон сначала останавливается (в момент времени и, и 32). Затем около каждой из этих линий образуются две расходящиеся точки, в которых концентрация равна нулю. После того, как положение данных сингулярных центров стабилизируется, вокруг них формируются скручивающиеся автомодельные структуры. На конечной стадии неустойчивости возникает цепочка пар вихрь-антивихрь. На рисунке представлен только половина периода промодулированного солитона.

тёмного солитона, в которых концентрация БЭК впервые провалилась до нуля. Только, когда начальная скорость серого солитона близка к скорости звука в конденсате, он распадается на локализованные безвихревые образования, похожие на двухмерные солитоны уравнения КП.

Параграфе 2.5 содержит сжатую формулировку выводов, обобщающих результаты проведённых в второй главе исследований.

В третьей главе диссертации рассматривается задача о динамике двухмерных тёмных квазисолитонов (в частности, пар вихрь - антивихрь) в плавно неоднородном БЭК. При этом считается, что Уех1(г, £) = Уех1(г).

В параграфе 3.1 даётся обзор экспериментальных и теоретических работ, посвящённых поведению вихревых пар в неоднородном БЭК. Здесь вводится и понятие «двухмерных тёмных квазисолитонов» как нелинейных волновых структур, в которых распределение плотности и поле скоростей близки к тем, что имеют место в соответствующих уединённых решениях уравнения ГП (1) для однородного конденсата (г) = 0). Такие квазисолитоны представляют собой локализованные провалы концентрации, распространяющиеся в бозе-газе с дозвуковыми скоростями. Возмущения амплитуды и фазы волновой функции в них спадают на больших расстояниях по степенному закону, однако быстрее, чем в одиночном вихре. В плавно неоднородном БЭК квазисолитоны двигаются ускоренно и, вообще говоря, не по прямым, а по искривлённым траекториям.

В параграфе 3.2 содержатся известные сведения о двухмерных тёмных

солитонах и подробно обсуждаются их свойства и интегральные характеристики на основе уравнения ГП (1), в котором отсутствует потенциал внешних сил (Vcxt(r) =0), т. е. на основе стандартного НУШ для сред с де-фокусирующей нелинейностью. В зависимости от скорости движения«, однозначным образом связанной с энергией £, эти солитоны являются либо вихревыми, либо безвихревыми. Вихревые солитоны представляют собой пары вихрь-антивихрь, в которых с уменьшением энергии £, нули концентрации БЭК (топологические дефекты) сближаются, а скорость распространения наоборот увеличивается. При критическом значении энергии £* = 7.59, соответствующему скорости £>» = 0.61, топологические дефекты сливаются и вместо вихревой пары образуется безвихревой соли-тон, в котором плотность конденсата уже нигде не обращается в нуль и в распределении фазы волновой функции отсутствуют скачки на ±2?т. В разделе 3.2 длязависимости импульса Р двухмерного тёмного солитона от его энергии £ найдена аналитическая аппроксимация:

Р(£) = а(£) sh[<f/«(£)], а(£) = 2тг + (2тг/3) ехр[-(£/9.8)а], (6)

обладающая высокой точности. Фактически построено нелинейное дисперсионное соотношение для такого рода возбуждений в конденсате.

В параграфе 3.3 рассматривается поведение (как вихревых, так и безвихревых) двухмерных тёмных квазисолитонов в плавно неоднородном «беспотоковом» БЭК, стационарное распределение концентрации пд(г) которого сформировалось под воздействием внешнего потенциала Vext(r). При этом предполагается, что размер Aqs области локализации солитоно-подобного образования существенно меньше характерного масштаба Ад неоднородности среды, т.е. Aq3<t:Ag. По малому параметру ц = Адз/Ад (р<1) можно развить асимптотическую теорию, позволяющую описать динамику двухмерных тёмных квазисолитонов в покоящемся плавно неоднородном конденсате. Суть этой теории состоит в следующем.

, Волновую функцию БЭК представим в виде произведения Ф(г, í) = = <7(r) F(г, £), в котором выделим в качестве сомножителя её «невозмущённую» часть д(г), удовлетворяющую стационарному уравнению ГП. Тогда для F(r,t) получим следующее нелинейное динамическое уравнение:

idtF + AF/2 + д2 (l - |F|2) F = -V(lng) ■ VF. (7)

Отметим, что в рассматриваемых условиях плотность пд(г) невозмущённого неоднородного конденсата с хорошей степенью точности можно рассчитать в приближении Томаса-Ферми: g2(r) = ng(v)x¿ (\ — Vext(r)) >0.

Траекторию r0(.s), вдоль которой движется квазисолитон, зададим как Функцию длины дуги s. Перейдём к ортогональным криволинейным координатам (£,i]), где f = .ч — Hgs(í), sga(t) - положение центра локализованного образования на кривой r0(s), соответственно v(t) = dsqs(t) /át - его скорость, ?7 - расстояние по нормали к трассе распространения ro(s).

Представим F(£, т], t) в виде асимптотического ряда по /х:

F(i, V, t) = /t°F0(f, 17, v{ßt)) + 7/, цЬ) + ... . (8)

В нулевом порядке малости получим для fo «стационарное» НУШ, у которого есть решение в виде двухмерного тёмного солитона. В первом порядке малости имеем линейное неоднородное дифференциальное уравнение для Fi, из условия существования у которого локализованного (как в продольном, так и поперечном к линии r0(s) направлениях) решения, следует закон сохранения полной энергии £ двухмерного тёмного квазисо-литона, распространяющегося в плавно неоднородном конденсате, а также выражение для кривизны k(s) его траектории движения Го(а). Используя данное выражение для k(s), удаётся записать уравнение для трассы распространения го(г) квазисолитонного образования в привычном для геометрической оптики изотропных сред виде:

m

Здесь вместо длины дуги s (естественного параметра кривой) введена новая переменная т таким образом, что dr = ds/t/(ro(s)), а функция f(r), имеющая смысл эффективного показателя преломления, соответственно равна t/(r) = д(г)Р(£(г))/£, где £(г) = £/д2(г) - нормированная энергия двухмерного тёмного квазисолитона в данной точке пространства, Р(£(г)) - его нормированный импульс, величину которого можно вычислить при каждом значении £ с помощью соотношения (6).

Как показано в диссертации, нормированная энергия £=£/g2(vo(sgs)) определяет внутреннюю структуру квазисолитонного образования в каждый момент времени £. Поэтому при движении в плавно неоднородном БЭК, где концентрация д2(г) медленно изменяется в пространстве, двухмерный тёмный квазисолитон претерпевает существенные структурные трансформации. Так, например, при проникновении в более плотный конденсат нормированная энергия квазисолитонов убывает, и в вихревых парах топологические дефекты начинают сближаться. Возможно даже преобразование вихревых пар в безвихревые квазисолптоны. В свою очередь, безвихревые двухмерные тёмные квазисолптоны, попадая в менее плотный конденсат, наоборот, превращаются в пары вихрь-антивихрь.

В параграфе 3.4 для случая бозе-газа, удерживаемого параболическим потенциалом ловушки

Vext(r) = Vtrap(x, у) = (üj2xx2 + )/2, (10)

проведено сравнение результатов расчётов траекторий вихревых пар, выполненных с помощью развитого в разделе 3.3 асимптотического подхода и путём прямого численного моделирования уравнения ГП (1). Это сравнение показало, что предложенная теория адекватно описывает динамику двухмерных тёмных квазисолитонов в неоднородном БЭК (см. Рис. 5 и 6).

Квазисолитоны всегда отклоняются в сторону менее плотного конденсата, причём с ростом начальной нормированной энергии отклонение увеличивается. Проведенное численное моделирование наглядно демонстрирует эффект взаимной трансформации вихревых пар и безвихревых квазисоли-тонов при прохождении через область плотного конденсата. Кроме того, в численных экспериментах наблюдались процессы разрушения и образования двухмерных тёмных квазисолитонов вблизи границы облака БЭК, где не выполняются условие применимости предложенного асимптотического метода. Так при приближении к краям конденсата, удерживаемого в ловушке, квазисолитон в виде вихревой пары всегда распадается на вихрь и антивихрь, двигающиеся вдоль границы БЭК в противоположных направлениях (см. Рис. 5). На противоположной стороне облака бозе-газа эти вихри сближаются друг с другом и вновь образуют двухмерный тёмный квазисолитон, пересекающий далее область плотного конденсата по траектории, описываемой полученными уравнениями (см. Рис. 6). Данный процесс повторяется многократно.

Создавая неоднородности в БЭК, например, с помощью сфокусированных лазерных пучков, можно управлять поведением двухмерных тёмных квазисолитонов. При этом предложенный в диссертации способ расчёта траекторий движения квазисолитонных образований позволяет достаточ-

-30 ""■■■"■■"■■■■■■■■И X _зо ■ммнмммямомм х _30 НМВМИМНМ X

-30 -15 О 15 30 -30 -15 О 15 30 -30 -15 0 15 30

Рис. 5. Мгновенные снимки при (а) г = 0, (6^ = 35.06 и (с) г — 105.19 плотности БЭК, удерживаемого в параболической ловушке (10) с безразмерными частотами шх = иу = 0.047, когда в конденсате распространяется двухмерный тёмный квазисолитон, имеющий начальную нормированную энергию ¿о = 9.25 и стартующий из точки с координатами жо = —15.16, уо =5.68. Распределения концентрации конденсата получены путём прямого численного моделирования, выполненного непосредственно в рамках уравнения ГП (1). Сплошной линией показана траектория движения квазисолитона, рассчитанная с помощью уравнения (9). На фрагменте (Ь) нули концентрации бозе-газа отсутствуют, что свидетельствует о трансформации вихревой пары в безвихревой квазисолитон. При приближении к границе конденсата безвихревой двухмерный тёмный квазисолитон вновь превращается в вихревую пару, которая после столкновения с границей распадается на два отдельных вихря, распространяющихся в направлениях, указанных на фрагменте (с) стрелками.

Рис. 6. Соответствующие прямому численному моделированию, представленному на Рис. 5, мгновенные снимки плотности БЭК, но в более поздние в моменты времени: (а) ¿ = 368.16, (6) ¿ = 403.23 и (с) ¿ = 438.29. Распространяющиеся вдоль границы конденсата отдельные вихри (их направления движения указаны на фрагменте (а) стрелками) сближаются друг с другом и образуют вихревую пару. Эта. пара затем перемещается вдоль сплошной линии, рассчитанной с помощью уравнения (9). На фрагменте (с) нули концентрации бозе-газа отсутствуют, что свидетельствует о трансформации вихревой пары в безвихревой двухмерный тёмный солитон.

но эффективно подбирать управляющие параметры лазерных пучков для реализации заранее спланированного сценария динамики квазисолитонов.

В параграфе 3.5 подводятся итоги проведённых в третьей главе исследований.

В заключении сформулированы основные результаты диссертационной работы в целом.

В приложения вынесены некоторые дополнительные сведения и математические выкладки, которые по мнению автора могут оказаться полезными при прочтении диссертации.

Основные результаты диссертационной работы

1) Показано, что при сверхзвуковом движении потенциального барьера малой интенсивности в изначально однородном БЭК вблизи образующих конуса Маха в результате интерференции возбуждаемых препятствием волн плотности возникает квазистационарная картина возмущений концентрации конденсата, которая в случае аксиально симметричного барьера на больших расстояниях от его центра аналитически хорошо описывается произведением плавной огибающей с формой, определяемой фурье-образом пространственного распределения потенциала, на производную функции Эйри.

2) С помощью метода обратной задачи рассеяния описан процесс формирования в кильватерном следе за сверхзвуковым потенциальным барьером, сильно возмущающим БЭК, чётного числа квазиодномерных провалов концентрации, лежащих внутри конуса Маха и локально близких по

своей структуре к одномерным тёмным солитонам. Найдена связь количества таких провалов и их углов наклона к направлению движения потенциала с характерными размерами препятствия. Продемонстрировано, как из-за развития модуляционной неустойчивости кильватерный след эволюционирует в набор цепочек (аналогичных вихревым дорожкам Кармана) из устойчивых двумерных структур (вихревых пар).

3) Установлено, что дозвуковой стационарный режим ламинарного обтекания потенциального барьера потоком БЭК при числах Маха, превышающих некоторое критическое значение, которое меньше единицы и зависит от проницаемости барьера и его характерной ширины, становится неустойчивым, и в бозе-газе начинают возбуждаться парами вихри с различными по знаку топологическими зарядами (пары вихрь-антивихрь). Инкремент этой неустойчивости характеризует частоту зарождения вихрей и быстро растёт с увеличением разницы между скоростью препятствия и её критической величиной. С помощью численного моделирования показано, что при достаточно интенсивной генерации вихревых пар их взаимодействие друг с другом сопровождается излучением звуковых волн и турбулизацией кильватерного следа за потенциалом.

4) Предложено асимптотическое описание динамики изогнутого тёмного солитона в БЭК с помощью самосогласованной системы уравнений для локальной скорости движения и кривизны опорной линии, около которой он сосредоточен. Это описание применимо до тех пор, пока ширина провала концентрации БЭК мала по сравнению с радиусом кривизны опорной кривой. У полученной системы найдено автомодельное решение, описывающее нелинейную стадию процесса формирования вихрей, возникающих при разрушении квазиодномерных неоднородностей волнового поля.

5) Установлено, что модуляционная неустойчивость развивается по-разному для изначально покоящихся (чёрных) и движущихся (серых) тёмных солитонов в БЭК. В первом случае она приводит к формированию цепочки эквидистантно расположенных неподвижных вихрей с чередующимися по знаку топологическими зарядами. Из серых же солитонов, как правило, рождается семейство движущихся пар вихрь - антивихрь, и лишь околозвуковые солитоны, у которых скорость стремится к скорости звука, могут на нелинейной стадии развития модуляционной неустойчивости распадаться на безвихревые структуры.

6) Развита асимптотическая теория, описывающая динамику двухмерных тёмных квазисолитонов в плавно неоднородном БЭК с отталкивающим взаимодействием между атомами. Показано, что траектории движения таких квазисолитонов совпадают с геометрооптическими лучами в эквивалентной изотропной среде, для которой найден эффективный показатель преломления, зависящий как от плотности невозмущенного конденсата, так и от энергии исследуемых структур.

7) Изучены особенности рефракции и структурной трансформации двухмерных тёмных квазисолитонов, отличающихся начальными энергиями, в неоднородном БЭК. Показано, что проникновение вихревой пары в область с большей концентрацией конденсата сопровождается её аннигиляцией и рождением безвихревого квазисолитона, и наоборот, переход безвихревого двухмерного тёмного квазисолитона из плотного бозе-газа в разреженный приводит к образованию пары вихрь-антивихрь. Продемонстрировано, что в результате взаимодействия с границей облака БЭК, удерживаемого параболической ловушкой, вихревая пара распадается на отдельные вихри, которые движутся вдоль этой границы независимо друг от друга вплоть до места новой встречи, где вновь сливаются в единую вихревую солитоноподобную структуру, распространяющуюся затем в область более плотного конденсата.

Цитированная литература

1. Raman С., Kóhl М., Onofrio R. et al. Evidence for a Critical Velocity in a Bose-Einstein Condensed Gas. // Phys. Rev. Lett. 1999. Vol. 83, no. 13. Pp. 2502-2505.

2. Onofrio R., Raman C., Vogels J. M. et al. Observation of Superfluid Flow in a Bose-Einstein Condensed Gas. // Phys. Rev. Lett. 2000. Vol. 85, no. 11. Pp. 2228-2231.

3. Inouye S., Gupta S., Rosenband T. et al. Observation of Vortex Phase Singularities in Bose-Einstein Condensates. // Phys. Rev. Lett. 2001. Vol. 87, no. 8. Pp. 080402 (4).

4. Cornell E. A. Experiments with linear, nonlinear, and topological excitations in a superfluid gas. // Proceedings of the «Conference on Nonlinear Waves, Integrable Systems and Their Applications». Colorado Springs, June, 2005. (http://jilawww.colorado.edu/bec/papers.html).

5. Engels P., Atherton C. Stationary and Nonstationary Fluid Flow of a Bose-Einstein Condensate Through a Penetrable Barrier. // Phys. Rev. Lett. 2007. Vol. 99, no. 16. Pp. 160405(4).

6. Neely T. W., Samson E. C., Bradley A. S. et al. Observation of Vortex Dipoles in an Oblate Bose-Einstein Condensate. // Phys. Rev. Lett. 2010. Vol. 104, no. 16. Pp. 160401 (4).

7. Frisch Т., Pomeau Y., Rica S. Transition to dissipation in a model of superflow. // Phys. Rev. Lett. 1992. Vol. 69, no. 11. Pp. 1644-1647.

8. Sasaki K., Suzuki N., Saito H. Bénard-von Kármán Vortex Street in a Bose-Einstein Condensate. // Phys. Rev. Lett. 2010. Vol. 104, no. 15. Pp. 150404(4).

9. Bradley A. S., Anderson B. P. Energy Spectra of Vortex Distributions in Two-Dimensional Quantum Turbulence. // Phys. Rev. X. 2012. Vol. 2. Pp. 041001 (20).

10. Reeves M. Т., Anderson В. P., Bradley A. S. Classical and quantum regimes of two-dimensional turbulence in trapped Bose-Einstein condensates. 11 Phys. Rev. A. 2012. Vol. 86. Pp. 053621 (11).

11. Dutton Z., Budde M., Slowe C., Hau L. V. Observation of Quantum Shock Waves Created with Ultra-Compressed Slow Light Pulses in a Bose-Einstein Condensate. // Science. 2001. Vol. 293, no. 5530. Pp. 663-668.

12. Chang J. J., Engels P., Hoefer M. A. Formation of Dispersive Shock Waves by Merging and Splitting Bose-Einstein Condensates. 11 Phys. Rev. Lett. 2008. Vol. 101, no. 17. Pp. 170404(4).

13. Hoefer M. A., Engels P., Chang J. J. Matter-wave interference in Bose-Einstein condensates: A dispersive hydrodynamic perspective. // Physica D. 2009. Vol. 238, no. 15. Pp. 1311-1320.

14. El G. A., Gammal A., Kamchatnov A. M. Oblique Dark Solitons in Supersonic Flow of a Bose-Einstein Condensate. // Phys. Rev. Lett. 2006. Vol. 97, no. 18. Pp. 180405 (4).

15. Kamchatnov A. M., Pitaevskii L. P. Stabilization of Solitons Generated by a Supersonic Flow of Bose-Einstein Condensate Past an Obstacle. // Phys. Rev. Lett. 2008. Vol. 100, no. 16. Pp. 160402 (4).

16. Kamchatnov A. M., Korneev S. V. Condition for convective instability of dark solitons. // Phys. Lett. A. 2011. Vol. 375, no. 26. Pp. 2577-2580.

17. Anderson B. P., Haljan P. C., Regal C. A. et al. Watching Dark Solitons Decay into Vortex Rings in a Bose-Einstein Condensate. // Phys. Rev. Lett. 2001. Vol. 86, no. 14. Pp. 2926-2929.

18. Brand J., Reinhardt W. P. Solitonic vortices and the fundamental modes of the snake instability: Possibility of observation in the gaseous Bose-E-instein condensate. // Phys. Rev. A. 2002. Vol. 65, no. 4. Pp. 043612(4).

19. Кузнецов E. А., Турицын С. К. Неустойчивость и коллапс солитонов в средах с дефокусируемой нелинейностью. // ЖЭТФ. 1988. Т. 94, № 8. С. 119-129.

20. Pelinovsky D. Е., Stepanyants Y. A., Kivshar Y. S. Self-focusing of plane dark solitons in nonlinear defocusing media. // Phys. Rev. E. 1995. Vol. 51, no. 5. Pp. 5016-5026.

21. Tikhonenko V., Christou J., Luther-Davies В., Kivshar Y. S. Observation of vortex solitons created by the instability of dark soliton stripes. // Opt. Lett. 1996. Vol. 21, no. 15. Pp. 1129-1131.

22. Mamaev A. V., Saffman M., Zozulya A. A. Propagation of Dark Stripe Beams in Nonlinear Media: Snake Instability and Creation of Optical Vortices. // Phys. Rev. Lett. 1996. Vol. 76, no. 13. Pp. 2262-2265.

23. Mamaev A. V., Saffman M., Anderson D. Z.T-Zozulya A. A. Propagation of light beams in anisotropic nonlinear media: From symmetry breaking to spatial turbulence. // Phys. Rev. A. 1996. Vol. 54, no. 1. Pp. 870-87.9.

24. Kamchatnov A. M., Gammal A., Kraenkel R. A. Dissipationless shock waves in Bose-Einstein condensates with repulsive interaction between atoms. // Phys. Rev. A. 2004. Vol. 69, no. 6. Pp. 063605(4).

25. HoeferM. A., Ablowitz M. J., Coddington I. et al. Dispersive and classical shock waves in Bose-Einstein condensates and gas dynamics. // Phys. Rev. A. 2006. Vol. 74, no. 2. Pp. 023623(24).

26. Hoefer M. A., Ablowitz M. J., Engels P. Piston Dispersive Shock Wave Problem. // Phys. Rev. Lett. 2008. Vol. 100, no. 8. Pp. 084504(4).

27. Hoefer M. A., lian B. Theory of two-dimensional oblique dispersive shock waves in supersonic flow of a superfluid. // Phys. Rev. A. 2009. Vol. 80, no. 6. Pp. 061601 (4).

28. Kevrekidis P. G., Frantzeskakis D. J., Carretero-González R. Emergent Nonlinear Phenomena in Bose-Einstein Condensates: Theory and Experiment. Berlin, Heidelberg: Springer, 2008.

29. Fetter A. L. Vortices and Dynamics in Trapped Bose-Einstein Condensates. // J. Low Temp. Phys. 2010. Vol. 161, no. 5-6. Pp. 445-459.

30. Anderson B. P. Resource Article: Experiments with Vortices in Superfluid Atomic Gases. // J. Low Temp. Phys. 2010. Vol. 161, no. 5-6. Pp. 574-602.

31. Freilich D. V., Bianchi D. M., Kaufman A. M. et al. Real-time dynamics of single vortex lines and vortex dipoles in a Bose-Einstein condensate. // Science. 2010. Vol. 329, no. 5996. Pp. 1182-1185.

32. Middelkamp S., Torres P. J., Kevrekidis P. G. et al. Guiding-center dynamics of vortex dipoles in Bose-Einstein condensates. // Phys. Rev. A. 2011. Vol. 84. Pp. 011605(4).

33. Pitaevskii L. P., Stringari S. Bose-Einstein Condensation. Second edition. Oxford, England: Clarendon, 2003.

34. Pethick C., Smith H. Bose-Einstein Condensation in Dilute Gases. Second edition. Cambridge, England: Cambridge University Press, 2008.

Список публикаций автора по теме диссертации

Al. Gladush Y. G., SmirnovL. A., Kamchatnov A. M. Generation of Chere-nkov waves in the flow of a Bose-Einstein condensate past an obstacle. // J. Phys. B: At. Mol. Opt. Phys. 2008. Vol. 41, no. 16. Pp. 165301 (6).

A2. Миронов В. А., Смирнов JI. A. Возбуждение вихревых пар в бозе-эйн-штейновском конденсате движущимися потенциальными барьерами. // Известия РАН. Серия физическая. 2009. Т. 73, № 12. С. 1801-1805.

A3. Миронов В. А., Смирнов А. И., Смирнов JI. А. Структура кильватерного следа за потенциальными барьерами, движущимися в бозе-эйн-штейновском конденсате. // ЖЭТФ. 2010. Т. 137, № 1. С. 1004-1017.

А4. Миронов В. А., Смирнов Л. А. Динамика изогнутых тёмных со-литонов. // Известия РАН. Серия физическая. 2010. Т. 74, № 12. С. 1791-1795.

А5. Миронов В. А., Смирнов А. И., Смирнов Л. А. Динамика образования вихревых структур в процессе развития модуляционной неустойчивости тёмных солитонов. // ЖЭТФ. 2011. Т. 139, № 1. С. 55-70.

А6. Smirnov L. A., Mironov V. A. Dynamics of two-dimensional dark qua-sisolitons in a smoothly inhomogeneous Bose-Einstein condensate. // Phys. Rev. A. 2012. Vol. 85, no. 5. Pp. 053620 (12).

A7. Миронов В. А., Смирнов JI. А. Распространение и аннигиляция вихревых пар в плавно неоднородном бозе-эйнштейновском конденсате. // Письма в ЖЭТФ. 2012. Т. 95, № 11. С. 627-632.

А8. Mironov V. A., Smirnov L. A. Scattering of Two-Dimensional Dark Quasi-Solitons by Smooth Inhomogeneities in a Bose-Einstein Condensate. // Physics of Wave Phenomena. 2013. Vol. 21, no. 2. Pp. 1-6.

A9. Миронов В. А., Смирнов Л. А. Возбуждение бозе-эйнштейновского конденсата движущимися потенциальными барьерами. // Препринт ИПФ РАН № 763. Нижний Новгород, Россия: 2008. 35 стр.

АЮ. Mironov V. A., Smirnov L. A. Excitation of Bose-Einstein condensate by moving supersonic potential barriers. // Frontiers of Nonlinear Physics (FNP-2007). Ill International Conference. Proceedings. Nizhny Novgorod, Russia: 2007. Pp. 246-247.

All. Миронов В. А., Смирнов Л. А. Структура кильватерного следа за сверхзвуковыми потенциальными барьерами в бозе-эйнштейновском конденсате. // Сборник трудов XI Всероссийской школы-семинара «Волновые явления в неоднородных средах» («Волны-2008»). Часть 3 (Когерентная и нелинейная оптика). Звенигород, Московская область, Россия: 2008. С. 16.

А12. Миронов В. А., Смирнов Л. А. Возбуждение вихревых пар в бозе-эйнштейновском конденсате движущимися потенциальными барьерами. // Сборник трудов XII Всероссийской школы-семинара «Физика и применение микроволн» («Волны-2009»), Часть 6 (Когерентная и нелинейная оптика. Фотоника). Звенигород, Московская область, Россия: 2009. С. 35.

А13. Миронов В. А., Смирнов Л. А. Динамика изогнутых тёмных солито-нов. // Сборник трудов XII Всероссийской школы-семинара «Волновые явления в неоднородных средах» («Волны-2010»), Секция 4 (Когерентная и нелинейная оптика). Звенигород, Московская область, Россия: 2010. С. 74-75.

А14. Mironov V. A., Smirnov L. A. Asymptotic approach to the vortex generation process at a nonlinear stage of dark solitons modulation instability. // Frontiers of Nonlinear Physics(FNP-2010). IV International Conference. Proceedings. Nizhny Novgorod, Russia: 2010. Pp. 124-125.

A15. Миронов В. А., Смирнов Л. А. Аннигляция вихревых пар в бозе-эйнштейновском конденсате. // Сборник трудов XIII Всероссийской школы-семинара «Физикаи применение микроволн» («Волны-2011»). Секция 10 (Нелинейная динамика). Звенигород, Московская область, Россия: 2011. С. 45-47.

А16. Миронов В. А., Смирнов Л. А. Рассеяние двухмерных тёмных соли-тонов на плавных неоднородностях в бозе-эйнштейновском конденсате. // Сборник трудов XIII Всероссийской школы-семинара «Волновые явления в неоднородных средах» («Волны-2012»). Секция 3 (Когерентная и нелинейная оптика). Звенигород, Московская область, Россия: 2012. С. 51-52.

А17. Smirnov L. A., Mironov V. A. Dynamics of two-dimensional dark qua-sisolitons in a smoothly inhomogeneous Bose-Einstein condensate. // Solitons, Collapses and Turbulence: Achievements, Developments and Perspectives (SCT-2012). VI International Conference. Proceedings. Novosibirsk Akademgorodok, Russia: 2012. Pp. 127-128.

A18. Миронов В. А., Смирнов Л. А. Возбуждение бозе-эйнштейновского конденсата движущимися потенциальными барьерами. // Научная студенческая конференция «ВП10ПФ-2007». Аннотации докладов. Нижний Новгород, Россия: 2007. С. 20.

А19. Миронов В. А., Смирнов Л. А. Нелинейная динамика волн плотности в кильватерном следе за движущимися потенциальными барьерами. // XIV научная школа «Нелинейные волны-2008». Тезисы докладов конференции молодых учёных «Фундаментальные и прикладные задачи нелинейной физики». Нижний Новгород, Россия:

2008. С. 151-152.

А20. Миронов В. А., Смирнов Л. А. Взаимодействие вихрей в потоке бозе-эйнштейновского конденсата. // XIII Нижегородская сессия молодых учёных. Естественнонаучные дисциплины. Тезисы докладов. Нижний Новгород, Россия: 2008. С. 129-130.

А21. Миронов В. А., Смирнов Л. А. Структура кильватерного следа за потенциальными барьерами, движущимися в бозе-эйнштейновском конденсате. // XIV Нижегородская сессия молодых учёных. Естественнонаучные дисциплины. Тезисы докладов. Нижний Новгород, Россия: 2009. С. 56-57.

А22. Миронов В. А., Смирнов А. И., Смирнов Л. А. Обтекание препятствий бозе-эйнштейновским конденсатом. // VII Российский симпозиум «Проблемы физики ультракоротких процессов в сильнонеравновесных средах». Тезисы докладов. Новый Афон, Абхазия: 2009. С. 12.

А23. Mironov V. A., Smirnov L. A. Dynamics of the quantum vortices in a flow of Bose-Einstein condensate. // Solitons, Collapses and Turbulence: Achievements, Developments and Perspectives (SCT-2009). V International Conference. Abstracts. Chernogolovka, Moscow region, Russia:

2009. P. 7.

A24. Миронов В. А., Смирнов Л. А. Асимптотический подход к описанию процесса генерации вихрей на нелинейной стадии модуляционной неустойчивости тёмных солитонов. // XV Нижегородская сессия молодых учёных. Естественнонаучные дисциплины. Тезисы докладов. Нижний Новгород, Россия: 2010. С. 56-57.

А25. Смирнов JI. А. Численное моделирование динамики бозе-эйнштей-новского конденсата на параллельных вычислительных системах с использованием технологии ОрепМР. // VII Всероссийская межвузовская конференция молодых учёных. Технологии высокопроизводительных вычислений и компьютерного моделирования. Тезисы докладов. Санкт-Петербург, Россия: 2010. С. 84.

А26. Миронов В. А., Смирнов А. И., Смирнов Л. А. Асимптотическое описание динамики изогнутых тёмных солитонов в бозе-эйнштей-новском конденсате. // VIII Российский симпозиум «Проблемы физики ультракоротких процессов в сильнонеравновесных средах». Тезисы докладов. Новый Афон, Абхазия: 2010. С. 9.

А27. Mironov V. A., Smirnov L. A. Nonlinear stage of dark solitons modulation instability. // International Conference on Coherent and Nonlinear Optics / International Conference on Lasers, Applications, and Technologies (ICONO/LAT-2010). Abstracts. Kazan, Russia: 2010. IThLlO.

A28. Mironov V. A., Smirnov A. I., Smirnov L. A. Dynamics of Vortex Structure Formation during the Evolution of Modulation Instability of Dark Solitons. // Conference On Laser And Electro-Optics - European Quantum Electronics Conference (CELO/EUROP - EQEC 2011). Abstracts. Munich, Germany: 2011. EC.P.l TUE.

A29. Миронов В. А., Смирнов Л. А. Динамика двухмерных тёмных ква-зисолитонов на плавных неоднородностях в бозе-эйнштейновском конденсате. // XVI научная школа «Нелинейные волны - 2012». Тезисы докладов конференции молодых учёных. Нижний Новгород, Россия: 2012. С. 126-127.

СМИРНОВ Лев Александрович

ВОЗБУЖДЕНИЕ И ДИНАМИКА НЕЛИНЕЙНЫХ ВОЛНОВЫХ СТРУКТУР В БОЗЕ-ЭЙНШТЕЙНОВСКОМ КОНДЕНСАТЕ

Автореферат

Подписано к печати 29.01.13. Формат 60 х 901/1в. Бумага офсетная №1. Печать офсетная. Усл. печ. л. 1,75. Тираж 100 экз. Заказ № 8 (2013).

Отпечатано на ризографе в типографии Института прикладной физики РАН 603950 Н. Новгород, ул. Ульянова, 46