Вращение неупругой Земли тема автореферата и диссертации по астрономии, 01.03.01 ВАК РФ

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК ИНСТИТУТ ПРИКЛАДНОЙ АСТРОНОМИИ

На правах рукописи

РГ5 ОД

ЧУРКИН Виктор Альбертович

ВРАЩЕНИЕ НЕУПРУГОЙ ЗЕМЛИ

специальность 01.03.01 Астрометрия и небесная механика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Санкт-Петербург 2000 г.

Работа выполнена в Институте прикладной астрономии Российской академии наук.

Официальные оппоненты:

доктор физ.-мат. наук, член-корреспондент РАН - Абалакин В. К.

Ведущая организация:

Санкт-Петербургский государственный университет.

Защита диссертации состоится 21 ноября 2000 г. в 10 час. 00 мин. на заседании диссертационного совета Д-200.06.01 в Институте прикладной астрономии РАН по адресу 191187, г. Санкт-Петербург, наб. Кутузова, д. 10.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института прикладной астрономии РАН.

Автореферат разослан 20 октября 2000 г.

доктор физ.-мат. наук, профессор доктор физ.-мат. наук, профессор

Батраков Ю. В. Сидоренков Н. С.

Учёный секретарь диссертационного совета доктор физ.-мат. наук

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Непрерывно растущая точность современных наблюдений параметров вращения Земли требует учета в уравнениях вращения Земли все большего числа факторов для объяснения открывающихся невязок теоретических оценок с наблюдениями. Такими факторами, в частности, являются реологические свойства земных недр. Отметим, что геофизические данные о реологии Земли весьма скудны, что приводит к известной неопределенности теоретических предпосылок и, соответственно, к трудностям в интерпретации наблюдательного высокоточного материала.

Основным недостатком аналитических теорий вращения деформируемой Земли является постулирование тех или иных конкретных реологических моделей, кладущихся в основу динамических уравнений. В связи с этим возникает вопрос о возможности построения теории вращения Земли, равноприменимой к широкому классу реологических моделей. Такого рода теория должна представлять собой своего рода "полупустую" форму, решения которой после подстановки в них конкретных реологических моделей приобретают конкретную аналитическую структуру. Нетрудно видеть, что при этом резко расширяются возможности интерпретации наблюдений.

Цель работы. Построение теории вращения деформируемой Земли, применимой для широкого класса реологических моделей земных недр. Применение этой теории к конкретной реологической модели с. целью получения числовых оценок для реологических возмущений в прецессии, нутации и осевом вращении Земли.

Научная новизна и практическая ценность

* Построена теория чисел Лява для моделей пеупругой Земли. Вычислены реологические ядра для дифференциальных моделей Максвелла, Фойхта, Гогенемссра-Прагера и интегро-дифференциалыюй модели (предложенной автором).

* Реализован новый подход к построению теорий вращения деформируемой Земли, основанный на применении интегральных операторов с произвольным реологическим ядром.

* Теория применена к идеально-упругой и фойхтовской реологическим моделям с целью получения реологических поправок к основным параметрам врашения Земли.

* На примере идеально-упругой реологической модели показана применимость теории к оценке возмущений Земли под действием краткодей-ствующего локального толчка с учетом распространения волн деформаций по телу Земли.

Теория автора и приведенные результаты могут быть использованы как в научных исследованиях при оценке и интерпретации данных наблюдений, так и в специальных курсах по небесной механике и геодинамике в Высших учебных заведениях.

Аппробация полученных результатов. Основные результаты диссертации докладывались на 3-й Орловской конференции (Одесса, 1992), конференции "Теоретическая, прикладная и вычислительная небесная механика" (Санкт-Петербург, 1993), международной конференции "Современные проблемы теоретической астрономии", посвященной 75-летию ИТА РАН (Санкт-Петербург, 1995), симпозиуме MAC № 172 "The rotation of unelastic body" (Paris, 1995), конференции "Компьютерные методы небесной механнки-97" (Санкт-Петербург, 1997), конференции "Астрометрия, геодинамика и небесная механика на пороге XXI века" (Сапкт-Петербург, 2000), научных семинарах ИТА РАН и ИПА РАН.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 8 работ. В работах [1] и [2] автору принадлежат разделы, посвященные применению интегральных операторов.

На защиту выносятся следующие результаты:

1. Обобщенная теория чисел Лява, связывающая возмущенный потенциал неупругой Земли с возмущающим потенциалом посредством интегрального оператора, реологическое ядро которого зависит от произвольной линейной реологической модели.

2. Применение обобщенной теории чисел Лява к известным дифференциальным реологическим моделям (Гука, Максвелла, Фойхта п Гогенемсе-ра-Прагера) и к интегро-дифференциальной реологической модели автора.

3. Интегро-дифференциальная форма уравнений Эйлера-Лиувилля для вращения неупругой Земли, содержащих интегральный оператор с произвольным реологическим ядром.

4. Решение интегро-дифференциальных уравнений Эйлера-Лиувилля в форме квадратур с передаточными функциями, содержащими произвольное реологическое ядро.

5. Применение разработанной автором теории вращения неупругой Земли к фойхтовской модели земных недр и числовые оценки реологических поправок к прецессии, нутации и осевому вращению Земли.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, девяти глав, заключения и списка литературы, насчитывающего 62 наименования. Объем диссертации составляет 116 страниц.

Содержание диссертации.

Глава I. Проводится краткий обзор геодинамических проблем, связанных с применением реологических моделей.

Глава II. Формулируется обобщение теории Томсона и Тэйта (в формулировке чисел Лява) на случай широкого класса реологических моделей, представимых алгебраическими, дифференциальными, интегральными и интегро-дифференциальными соотношениями между тензорами напряжений и деформаций. Показано, что в общем случае число Лява, связывающее возмущающий потенциал с возмущением (деформацией тела Земли или возмущенным ее потенциалом), должно замениться интегральным оператором, ядро которого мы назвали реологическим. Построены явные выражения реологических ядер для реологических моделей Гука, Максвелла, Фойхта, Гогенемсера-Прагера и интегро-дифференциальной модели, предложенной автором. В рамках этих моделей проведен анализ амплитудных и частотных характеристик возмущенного потенциала Земли для гармонического возмущающего потенциала.

Глава III. На основе произвольного реологического ядра построено интегральное выражение для возмущенного тензора инерции Земли, обусловленного как покачиванием оси вращения Земли, так и приливным (в квадрупольном приближении) возмущением ее тела. Полученное выражение подставляется затем в уравнения Эйлера-Лиувилля, что приводит к интегро-дифференциальным уравнениям вращения Земли. Структуре, этих уравнений допускает общее решение в виде квадратур с передаточной функцией (ядром), содержащим реологическое ядро в аналитически нераскрытом виде. Эти решения мы формулируем как в терминах возмущений компонент угловой скорости вращения Земли, так и в терминал возмущений углов Эйлера.

Глава IV. Для конкретных приложений теории производится выбор (из числа рассмотренных) реологической модели. Показано, что качественное согласие с данными сейсмических наблюдений о прохождении поперечных упругих волн по телу Земли в наибольшей степени достигается для реологической модели Фойхта. Далее строятся выражения для передаточных функций моделей Земли для идеально-упругой и фонхтовской реологий, на основе которых исследуется свободное вращение Земли, сжатой с полюсов; предполагается, что оси вращения и аксиальной симметрии не совпадают. Показано, что чандлеровские колебания полюса фойхтовской модели затухают (в отличие от идеально-упругой модели). Время затухания ~ 104 лет.

Глава V. Исследуется вращение аксиально-сжатой Земли под действием приливного потенциала возмущающего тела без учета приливной дефор-

мации тела Земли. Получены выражения для реологических возмущений углов прецессии и нутации моделей идеально-упругой и фойхтовской реоло-гнй. Наиболее интересным результатом этой главы является заключение о вековом возрастании угла нутации фойхтовской модели Земли (приблизительно 0.01"/100 лет).

Глава VI. Исследуется динамика вращения Земли под действием приливной деформации ее тела. Показано, что для фойхтовской модели Земли (в отличие от модели идеально-упругой реологии) имеет место слабая интерференция возмущенных углов прецессии и нутации. Возмущение же осевого вращения Земли представляет собой периодическую осцилляцию: гармоническую для идеально-упругой Земли и слабо модулированную (колебанием той же частоты) для фойхтовской модели Земли.

Глава VII. Исследуется динамика осевого вращения Земли под действием возмущающего гравитационного момента сил на ее приливные "горбы". Показано, что для модели идеально-упругой Земли этот эффект равен нулю, тогда как для фойхтовской модели он приводит к сложной мно-гочастотнон картине периодических возмущений и к вековому замедлению вращения Земли.

Глава VIII. Проводятся числовые оценки эффектов, полученные в двух предыдущих главах (VI и VII); они или близки к наблюдаемым эффектам (так, вековое увеличение периода вращения Земли под действием Луны fa 0.12 мсек/100 лет), или же находятся за пределами современных наблюдательных возможностей: например, 4-х месячная гармоника солнечного возмущения периода осевого вращения Земли составляет « Ю-8 мксек.

Глава IX. В рамках теории вращения неупругой Земли анализируется возмущение вращения идеально-упругой Земли под действием краткодей-ствующего толчка (падение крупного астероида, сильное землетрясение и т.п.). Идея такого приенения теории заключается в том, что ээфект запаздывания реакции Земли на возмущение имеет место как в случае неуцру-гости земных недр, так и вследствие конечности времени распространения упругих волн деформации по телу Земли. Указанная аналогия формализована автором в виде эвристической модели реологического оператора. Показано, что возбужденные толчком колебания оси вращения Земли затухают в течение времени ~ 103 лет; колебания возмущения угловой скорости осевого вращения вокруг нового (после толчка) ее значения также затухают за время порядка нескольких прохождений упругих волн по телу Земли. Эффект затухания объясняется трансформацией энергии толчка в энергию многократно отраженных от поверхности Земли сейсмических волн. На примере мощного взрыва вулкана Тамбор (1815 г., Индонезия) оценено изменение периода осевого вращения Земли, оно не превышает 4.2

мксек.

Приведем теперь более детальное содержание диссертации, акценти-руясь на вопросах принципиального характера.

Исходным пунктом для построения теории вращения неупругой Земли является соответствующее обобщение чисел Лява. В случае идеально-упругой реологии тензоры деформации (щк) и деформации (сг,к) для деформаций сдвига связываются алгебраическим соотношением, действительным для любого момента времени I,

<та = 2/л щк , (1)

где ц - упругий модуль сдвига Ламэ. Между тем для неупругой реологии связь обоих тензоров может описываться гораздо более разнообразными аналитическими структурами (дифференциальными, интегральными и т.д.). Мы запишем ее в общем виде,

<г«(*)=2¿>,'¿(О. (2)

где <') - некоторый оператор, зависящий от двух несовпадающих моментов времени, t и при такой записи явно подчеркивается гистере-зисный характер связи тензоров деформаций и напряжений в неупругих средах.

Динамические уравнения для сферической и однородной Земли, подверженной приливному воздействию внешнего потенциала V, можно записать в случае реологического закона (1) в независящем от времени (статическом) виде, поскольку идеально-упругая Земля реагирует на внешнее возмущение мгновенно (если пренебречь распространением упругих волн; об этом случае см. главу IX):

даа др(;,Р.) д{У+б<р)

= + Р ' (3)

где Р(!.р.) - литостатическое давление в недрах Земли, р - массовая плотность Земли (в теории Лява она принимается равной средней плотности недр Земли), и 6<р - возмущенный потенциал деформированной Земли. Решением этого уравнения и являются известные соотношения Лява:

V

= иг = —/г; — .

9

где

3 1 ,5

!г, =--

2 \9ц ь 2 19II

1 +

2 рдЯ 2 рдЯ

В случае реологического закона (2) динамические уравнения содержат, очевидно, те же переменные, но они должны явно зависеть некоторым (заранее неизвестным образом) от времени,

daik(t) = 0р(,.р.)(О | + 6<p(t))

dxk дх{ дх{ '

процесс деформации неупругой Земли принципиально мгновенным быть не может. Однако в реологическом законе (2) и в этих уравнениях зависимость от времени можно исключить, применив Лаплас-преобразование *. Положим, что реологический оператор ¡1 не произволен, но является одной из структур следующего вида: алгебраической, дифференциальной, интегральной или иптегро-дифференциальной; это весьма представительный класс линейных реологических уравнений. Тогда Лаплас-преобразование уравнения (2) приведет к виду:

aik = 2ft щк , (4)

где мы принимаем нулевые начальные условия - для неупругих сред их влиянием можно пренебречь вследствие эффекта затухания. Аналогично, динамические уравнения неупругой Земли после Лаплас-преобразования окажутся следующими:

dvit _ др(1.Р.) [ д{У + 6у) дхк dxi дх{

Легко видеть, что уравнения (4) и (5) подобны уравнениям (1) и (3). Следовательно, их решениями также будут соотношения Лява, но в Лаплас-образах:

-V

Sip — LV , ur = — J—, 9

где

- _ 3 1 -5 1 5L

1 + —!— 1 + —а.

2 pgR 2 pgR

* Лаплас-образ велнчшгы X обозначим символом X, опуская, как правило, в ее аргументе параметр р Лаплас-преобразования

Переходя, далее, посредством обратного Лаплас-преобразования к исходным переменным получим выражения, обобщающие соотношения Лява на случай практически произвольной реологической модели неупругой однородной Земли:

6<p(t) = J L(i')V(t - i') dt', tir(f) = -i J J(t')V{t - t') dt'. (6)

В случае L(t) = kLS(t) мы возвращаемся к случаю идеально-упругой реологии. Функцию L(t) будем называть реологическим ядром.

Мы будем ниже (для определенности) пользоваться только первым соотношением (6); второе отличается от него только численным коэффициентом. Введем также для простоты записи сокращение для следующей комбинации параметров:

_ 19м 9 _ 2pgR '

Точка над символом везде будет обозначать производную по времени. В главе II диссертации показано, что для максвелловской реологии,

. „ •

<Tik Н--=2(i uik ,

г

где г - время релаксации напряжений (максвелловское время), реологическое ядро оказывается следующим:

до = | 1

2 1 + ?

6(f) +

■ ехр

def 3 1

21 + 9

8{t) + Ге-7'

(1 + 9)г~М (1+?)г,

Для фойхтовской реологии,

С {к = 2/л (и,-* + тйцс) , где г - время запаздывания деформаций (фойхтовское время), имеем

3 1 /(I + q) . \ def ¥,

--Р:\"П I —

2 qr

L(t) = ехр -

ат

t = Гс-7' .

Для реологической модели Гогенемсера-Прагера, TcVik + <Tik = 2/х («ль + ТиЩ)t).

имеющей два характерных времени - релаксации (по напряжениям) и запаздывания (по деформациям), получается

Г,7 Та + дти

га + ЯТи

или

реологическое ядро Гогенемсера-Прагера по структуре совпадает с макс-велловским.

Удобным обобщением реологических моделей Максвелла и Фойхта является модель следующего вида, которую мы назовем моделью Максвелла-Фойхта:

<гц + ~• J Ък^') ¿1' - 2/1 (щк + т2щк) . о

Его реологическое ядро записывается весьма громоздко, но в пределе (учитывая, что для всех известных материалов т2 <С "1) оно приводится к виду

ю 4

2(1 +д)*П

3 1

1+тгЛ) ехЧ-(ТТ^ь

+

+

2 чт2

1 -

(1 + 9)2 П

1 + 1 п

ехр

(1 + ?)«

ЦТ2

<1еГ

= Г^-Т'4 + Г2е

-72«

совпадая по структуре с суммой двух фойхтовских реологии.

Указанные примеры делают вероятным предположение, что все линейные реологические модели сводятся к комбинации моделей Максвелла и Фойхта.

Оценка значения максвелловского времени Т1 известна в геофизике, т\ ~ 109 сек. Оценка фойхтовского времени, 72, была сделана в диссертации на основе (6) при анализе приливной реакции Земли на гармонический возмущающий потенциал; его значение тг и 102 сек.

Обратимся теперь к вращению неупругой Земли. В невращающемся состоянии, учитывая соображения симметрии и деформируемость Земли, ее можно считать сферически-симметричной. Тогда вращение приводит к

аксиальной симметрии Земли, возмущаемой тем или иным внешним воздействием.

Радиус Земли и ее массу мы обозначим символами а и М, возмущающее тело будем считать точечной массой т, движущейся вокруг Земли по круговой орбите радиуса Я.

Уравнения Эйлера-Лиувилля для вращающейся Земли (с аксиальной симметрией) мы запишем в следующем виде:

6 + = - (¿1зП + ЛО + (с23^ + Л2)П], 6 - = -^[N2 - (¿23 п + л2) - (с13а + МП], (7)

6= ¿[Лгз-(сзз^ + Аз)], где П - угловая скорость невозмущенного осевого вращения Земли,

п, (6,6,6 <1); =

и N , Ь - момент силы, действующий на Землю и остаточный момент импульса земных масс соответственно. Что касается тензора инерции,

/л,о,о\ О, л,о \о,о ,су

СЦ,С12,С13

Ль = ( о, Л, 0 | + [ С21,С22,С23

С31,Сз2,Сзз

то в развернутом виде его компоненты для вращающейся и деформированной приливом неупругой Земли записываются, согласно (6), в виде:

г

1,к = \lSit + [ Цт) - т)шкЦ - г) - - г)6,-Л-

з I з ) (8)

та0 ( , . . . 1Г — I п,-(1 - - г) -

¿г,

где / - след тензора инерции (умноженный на тензор Кронекера б,* он по существу есть тензор инерции невозмущенной и невращающейся Земли);

п,- - компонента единичного вектора п = (пх, п?, «з), ориентированного из центра масс Земли на возмущающую массу т, и С - гравитационная постоянная.

Часть тензора инерции (8), зависящая от вращения Земли, может быть линеаризована по £1, £2, £3; при этом получаются выражения типа

Н5П'2

С13 =

с 13

ЗС

Я5П2 ЗС

У Цт)Ъ{1-Т)<1Т, 1

Ц0М) + / - (г)

6 (г-т)<1т

В результате (7) представляет собой систему интегро-дифференциальных уравнений. Учтем теперь, что все интегралы здесь имеют структуру свертки. Это значит, что после Лаплас-преобразования уравнения (7) превратятся в систему алгебраических уравнений, решение которой (после обратного Лаплас-преобразования) приведет нас к квадратурам с произвольным реологическим ядром относительно искомых величин £1, £21 £з как функций времени.

Образуем комплексные числа из компонент £1 и £2, ЛГ1 и N2 и т.д. (£ = £1 + ¿£2, N — N1 + ¿N2, ...); эти величины мы будем отличать от соответствующих компонент вектора отсутствием индекса. Тогда, опуская промежуточные выкладки, решения (7) окажутся следующими:

[

£(*) = -Р,(0«(0) + I Р,(г)Д*-г)йг,

О)

6(0 - л,(0«з(0) + I Р„(г)/з(« -т)(1т,

о

где и(0) и ыз(0) символически обозначают начальные значения величин, типа (для свободно вращающейся Земли)

"(0) = «0) + ^, «з(0) = 6(0)

/ п /3 - возмущающие члены типа (в пренебрежении остаточным моментом импульса)

/-А Г - ^ 1 АП ' 13 ~ АО. '

а функции Р,{1) и (¿) - передаточные функции - должны находится отдельно для каждой конкретной реологической модели по известным выражениям для их Лаплас-образов:

Р=__ Р = 1

' р(1 + кЬ) - г"(сгЕ - кПЬ) ' " р( 1 + т]Ь)'

где числовые параметры,

а502 Ма2 аП2 4а5П2 4Ма2 аП2

ЗАО ЗЛ д ' 9 CG 9С д '

весьма малы (к ss т) и 1/300).

Для возмущения неупругой Земли внешним моментом силы (когда можно считать Землю аксиально-симметричной, полагая Агз = 0) квадратуры (9) удобно переписать в терминах углов Эйлера. Именно, пренебрегая свободной прецессией Земли (ее в принципе всегда можно аддитивно

добавить к решению) и записывая кинематические уравнения Эйлера в виде

f?i + г'П2 = (9 + гф sin 9)е~'ф , fi3 = (ф cos в + ф) « ф ,

легко найти, что скорости углов нутации и прецессии, обусловленные действием внешнего момента силы, определятся следующими простыми выражениями,

A r A sin 0 v ;

где

i

F = eiQt J P,(r)N{t~T) dr.

о

Высказанные выше положения и являются теорией вращения нсупру-гой Земли. Она позволяет вычислить необходимые реологические поправки посредством взятия квадратур (9) для (практически) любой однородной реологической модели земных недр. Модели неоднородной Земли в настоящее время интенсивно исследуются в рамках реологически упрощенных слоистых моделей Земли. В этом смысле поправки на реологические эффекты, доступные нашей теории, могут оказаться весьма полезными при интерпретации наблюдений. К сожалению, реальная реология Земли изучена весьма фрагментарно, чему способствует значительная неопределенность исходных геофизических данных.

Поэтому в главе IV диссертации было проведено несложное исследование реологических моделей Максвелла, Фойхта, Гогенемсера-Прагера и

Максвелла-Фойхта. Оказалось, что для значений параметров земных недр модель Гогенемсера-Прагера мало чем отличается от модели Максвелла, а модель Максвелла-Фойхта - от модели Фойхта. Что же касается собственно моделей Максвелла и Фойхта, то сейсмическим данным (непрозрачности земных недр для достаточно коротких сейсмических волн) удовлетворяет только модель Фойхта. Из этих предварительных соображений для вычисления реологических поправок к вращению Земли и была выбрана модель Фойхта. Для оценки значимости этих поправок параллельно проводились вычисления для реологической модели идеальной упругости: Ь(Ь) =

Заметим, что в реологической модели Фойхта достигается неожиданное упрощение: отношение Г/7, играющее во всех выражениях роль числа Лява кь, оказывается в точности ему равным,

Г

7

К

Поэтому ниже мы будем у к1_ опускать индекс " Ь" и обозначать число Лява буквой к. Аналогично, опустим индекс "2" у фойхтовского времени Гг-

Передаточные функции для идеально-упругой реологии легко вычисляются и оказываются следующими (полагаем I + кк & 1 и 1 + кьт) & 1, поскольку к к <С 1 и кг) <С 1):

я е"**, Р„(0«1,

где сгс — сгБ — кгЛ2 - чандлеровская частота.

Для фойхтовской реологии в оправданном для Земли приближении,

7 7

находим

РА1) » е-С'Е'с/тО« _ с-т« е{Дс" ,

7

PS[(t) « 1 + ктц

-7«

где Дет = аЕ — <тс.

Сравнение решений (9) для передаточных функций для идеально-упругой и фойхтовской реологии сразу показывает, что чандлеровские колебания свободно вращающейся фойхтовской модели Земли (в отличие от идеально-упругой) затухают с характерным временем

ч —

— и 9.6- 103 лет.

Осевые колебания угловой скорости вращения Земли затухают за время

7"1 = ~80сек,

т.е. практически мгновенно.

Столь большое время затухания чандлеровских колебаний 104 лет) противоречит данным, дающим время по крайней мере на порядок меньшее из спектрального анализа широтных наблюдений. Отметим, однако, что наша оценка - чисто реологическая; эффекты диссипации энергии в земном ядре или в океанах она не содержит. В этом смысле наша оценка должна пониматься как минимально необходимая, что подчеркивает значительность роли нереологических эффектов во вращении Земли.

Добавим также, что полученный нами вывод - модельный, полученный в рамках одной из простейших неупругих реологий - реологии Фойх-та. Не исключено, что для более адекватных реологических моделей Земли время затухания чандлеровских колебаний окажется более близким к наблюдательным данным.

Учтем теперь влияние возмущающей массы т на вращение Земли. Если она находится на расстоянии К от Земли, то момент сил, действующий на Землю, определится следующими выражениями (в системе координат главных осей инерции Земли),

ЗСт тп

ЛГ1 =--[(/22 - /33)М2«3 + /2з(«з - П2) + С^З ~ ^З^)^] ,

3 С? 771

ЛГ2 =--дз-[(/зЭ - /ц)пзпг +/31(ПГ - П§) + (/23П1 - /21Пз)п2] , (11)

Аг3 = -^з-[(/и - /22)"1«2 + /1г(«2 - П\) + (731"2 ~ /з2"0"з] ,

где П], П2, пз - компоненты единичного вектора п, направленного из центра масс Земли к массе т. Примем, далее, что возмущающая масса движется в некоторой плоскости (не совпадающей с экваториальной плоскостью Земли) по круговой орбите, так что угловая ее координата орбите определяется выражением

а — г/£ + ф ■

Если пренебречь приливной деформацией Земли, то все недиагональные компоненты тензора инерции обратятся в ноль. С учетом аксиальной симметрии Земли имеем, далее, 1ц = /22- Обозначая, как и выше,

= I22 = A I33 = С, находим, что

Nl = ^{C-A)n2n3t

N2 = -^-(C-A)n3ni, N3 = 0,

где мы приняли во внимание, что для Земли, сжатой с полюсов, С > А.

Введем, далее, стандартным образом углы Эйлера: <р - угол прецессии, ф - угол собственного вращения и 9 - угол наклона экватора Земли к плоскости орбиты возмущающего тела, и преобразуем к этим переменным единичный вектор п ненулевые компоненты момента сил (Ni, N2)- Подставляя полученные выражения в (10) и интегрируя найдем реологические поправки к скоростям углов прецессии и нутации.

Для идеально-упругой модели Земли затухание чандлеровских колебаний отстутствует, поэтому в выражения для реологических поправок к нутации и прецессии войдут быстро осциллирующие члены, обусловленные осевым вращением Земли. Никакого интереса при сравнении с данными наблюдений они не представляют. Поэтому мы провели усреднение выражении для нутации и прецессии по быстрым осцилляциям; в результате находим:

• ZGm(C — А) (П + <7С) + 2i/cos 0 . „ . ,

2А(1 + кк)г3 ■ + 8Ш ^ 2+ '

3Gm(C-A) г cos в 2и + (П + <тс) cos9 ■

< *>■= 2Щьо? • [-5+7-+ + cos2(vt +

где угловыми скобками обозначена операция усреднения по угловой скорости вращения Земли.

Эти скорости углов нутации и прецессии интересно сопоставить с известными выражениями для абсолютно твердой (недеформируемой) Земли. Для этого, очевидно, достаточно рассмотреть случай к = 0, тогда

2с Л'

Поскольку для Земли СО./А « й и П > с для Луны и Солнца, то получаем • 3 Gm С-А . л . п,

< >n= ~2гЧ1 ' —С~ '8Ш Ш ^1/1 + Ф) '

ZGrn С-А лГ1 п, 16

ас — аЕ —► fi + <тв = —Q.

эти классические выражения для нутации и прецессии недеформируемой и сжатой с полюсов Земли хорошо известны.

Аналогичные вычисления для фойхтовской модели Земли оказываются сложнее, но зато (в силу эффекта затухания чандлеровских колебаний) здесь нет необходимости прибегать к искусственному методу усреднения для того, чтобы избавиться от быстрых осцилляций. Установившиеся решения (10) имеют вид:

_ 2>Ст С — А $ сов0 ^ 2г/ + (П+ <гс)соз0

Г сое и ¿V + Ш + сг 1 соэ О 2 г3 А + + соз2И + ^)-

2 (П + «гс)<Гс(Г

'-я]}.

■ ЗСшС-А . „г 2г/соэ0 + О + <т .

7 + <гс ^ П + Тс'

С05 2 (!/<+<>) Г

—-—-— СГ сг сое 0+

(П + <тс)2 — 4г/2 с Е

+ ^ - Г^/р - 4^) ^ + (» + )«»«)]]}-

Как видим, при 7 —> оо получаются выражения для идеально-упругой Земли, что естественно. Наиболее интересным эффектом в этих уравнениях является вековой ход нутации. Вводя величину ДФ = Дсг/7 и выражая вековой ход нутации через известный вековой ход прецессии имеем приближенное равенство

03 ~ -^-ДФбш 0 .

Поскольку известно, что Луна движется приблизительно в плоскости экли-

птики, то полагая

ф£ = —50"/год и 9 = 23°

получим

93 « 0.01"/100 лет.

Этот эффект фойхтовской модели Земли в принципе доступен для наблюдательной проверки; в прямое противоречие с наблюдениями он не входит.

Для рассмотрения эффектов, связанными с приливной деформацией Земли, необходимо воспользоваться приливными компонентами тензора инерции (8). Отметим, что недпагональными компонентами тензора инерции теперь пренебрегать нельзя. Это значит, что при вычислении интегралов (9) мы должны будем пользоваться полными выражениями для момента сил (11).

С принципиальной точки зрения все вычисления здесь - прямые, но технически они оказываются весьма громоздкими. В целях экономии места мы сформулируем ниже только результаты вычислений, подробности можно найти в тексте диссертации.

Приливная эволюция Земли обусловлена двумя эффектами: 1) изменением компонент момента инерции Земли вследствие деформации ее тела, и 2) действием момента сил на приливные "горбы" Земли.

В первом случае, опять-таки обращаясь вначале к идеально-упругой реологии, получаем:

^ , . kmasÇî

fi3(*) =

2СД3(1 + к т})

2'

sin2 в (cos 2(ut + ф)~ cos 2ф) + -

О

kma5Çîsm9 [(<та + fi) cos в - 2v)

<м>°= 2ХЩГТЩ (:с +0)3-4,3 cos+ *>.

kma5Q \<т~ -{- fi — 2i/ cos (9] .

< -2АЩГТЩ (M sm 2И + ф) '

где в выражениях для нутации и прецессии опять проведено усреднение по быстрым осцилляциям. Для фойхтовской же реологии, вводя фазовое запаздывание

2i/

находим сначала выражение для реологического возмущения осевого вращения,

kma5Q

sin2 О

2CR3(l -f- кт]) 1 + с2

2с2

1- т—V ) cos2(i/í + ф)~ (1 + e2)cos2<H

1 + е2

+ е\\-{\ £2\kT1) sin 2 {»t + ф)

ñ l + e2

сравнение которого с выражением для идеально-упругой модели Земли показывает, что эффект фазового запаздывания сказывается не только на множителях (поправки порядка ~ £2). но и в появлении гармоники sin 2(vt+ ф) с множителем порядка ~ е. При малых е этот член будет доминирующим.

Для реологических поправок к нутации и прецессии имеем:

Ав =

кгпа5 f2 sin в J 2f — (<тс + Í2) cos 9

2AR3

(<тс + fi)2 - 4и2

cos 2 {yt + Ф)+

+

П(ас + Q) + 2и{ас cos 0 - 2v) (<тс + Я)2 - 4 г/2

(<хс + П)2 - 4г^(<тс + Ü) cos 0 + 4г/2

(crc + - 2и)~{(тс + Q + 2v)2

sin 2(И + > ,

_ kmabQ ( <тс + fi - 2v cos 0 ^ ~~ "гЛЛ5-} (ac + Í2)2 - 4v2 '

12(i4 + <¿)+

1

+ -7

2u(2ucos в — crc) — + Í2) cos 0 (<7C + fi)2 - 4z/2

(4i/(<rc + П) - [{<tc + ft)2 + Au2} cos в (<хс+П- 2г/)2(ис + fi + 2f)2

cos 2(i/i + ф)

Эти выражения в пределе у —* оо описывают идеально-упругие эффекты, что естественно. Обратим, однако, внимание и на ряд отличий (при конечном 7), главным из которых является наличие в каждом из выражений как sin 2(г/ + ф), так и cos 2(1/ + ф): тогда как в соответствующих выражениях для случая идеальной упругости земных недр встречается либо одна гармоника, либо другая, но не обе вместе. Это обстоятельство, как

легко видеть, обусловлено "перемешиванием" изменяющихся углов прецессии и нутации под действием запаздывания приливной реакции Земли на приложенное к ней возмущение (в чем, собственно, и проявляется так называемый гистерезисный эффект). Таким образом, излагаемая здесь теория предсказывает слабую (из-за сильного различия в амплитудах гармоник) интерференцию углов прецессии и нутации Земли для приливного возмущения, вызванного телом, движущимся по круговой орбите вокруг Земли.

Обратимся теперь ко второму эффекту. Вычисления для него столь сложны, что мы ограничились только случаем возмущения осевого вращения.

В случае идеально-упругой Земли реологическое ядро L, как известно, описывается ¿-функцией: L(t) — k6(t); поэтому все интегралы в выражениях для приливного тензора инерции сведутся здесь к произведениям компонент единичного вектора п. В результате все компоненты приливного тензора, как нетрудно убедиться, окажутся нулевыми. Соответственно, момент сил, действующий со стороны возмущающей массы т на приливные "горбы", также будет равен нулю.

Этот результат, впрочем, был заранее очевиден: при отсутствии неупругих эффектов приливные "горбы" всегда ориентируются вдоль направления, соединяющего центры масс Земли и возмущающего тела. Следовательно, в случае идеально-упругой реологии момент сил, действующий на приливные "горбы", всегда будет равен нулю, если, конечно, действует только одно возмущающее тело, а не два или больше. В рамках нашего формализма, однако, мы вынуждены ограничиваться исследованием возмущения вращения Земли в линейном приближении; в таком приближении эффект от двух возмущающих тел сводится к сумме двух эффектов от каждого из тел порознь, т.е. суммарный момент сил от Луны и Солнца у нас также будет равным нулю.

Итоговые выражения для возмущения осевого вращения фойхтовской модели Земли мы здесь привести не можем в силу их чрезвычайной громоздкости. Укажем лишь, что возмущающее тело, двигающиеся по круговой орбите с угловой частотой и вызывает в осевом вращении Земли возмущения с частотами

v, 2i/, 3i/, 4i/, 4fi, 4Г2±2г/, 4Г2±4г/.

Этот спектр отчетливо распадается на две существенно различные группы, одна из которых обусловлена только орбитальным движением возмущающего тела, тогда как другая представляет собой модуляцию четвертой гармоники осевого вращения Земли. Поскольку для Земли возмущающими телами являются Луна и Солнце, то этот эффект (в приближении не-

зависимого возмущающего действия обоих тел) должен проявиться в виде семнадцати гармоник, разбитых на три группы - годовую (1, 0.5, 0.33 и 0.25 года), месячную (1, 0.5, 0.33 и 0.25 месяца) и модуляционную: несущая 0.25-суточная частота окаймлена двумя боковыми полосами по четыре частоты в каждой.

При некруговом движении возмущающего тела частота г/, заметим, также может характеризоваться некоторым спектром, что приведет к соответствующему усложнению и без того непростой картины.

Помимо периодических возмущений нами получено вековое замедления осевого вращения Земли,

(,ее) _ 3fcGmVT Г sin4ff 3 W 8(1 + kr¡)CR6 т2 + 4Г22

-(- cos в

>t.

_72 + 4(fi - г/)2 v > 72 + 4(Q + v)2 Это замедление обусловлено именно неупругостью,

7 — 00 —> ni'ec\t) - 0 .

В связи с этим интересно отметить, что каждая периодическая гармоника (в отличие от векового члена) осевого вращения Земли состоит из двух аддитивных членов, один из которых стремится к нулю при 7 —+ оо, тогда как другой в этом пределе от величины 7 не зависит и отличен от нуля. Между тем мы уже видели, что для упругой реологии эффект периодических вариаций осевого вращения Земли под действием момента сил на приливные "горбы" равен нулю. Как такое может быть?

Формальная причина лежит в том обстоятельстве, что предельный переход от моделей неупругих реологий (лучше сказать - моделей реальной упругости) к реологической модели идеальной упругости не всегда возможен: последняя в силу закона сохранения механической энергии не допускает перехода к установившимся решениям. Более того, как впервые указал Красинский, при выводе уравнений Эйлера-Лиувилля для идеально-упругой Земли имеет место редукция члена с векторным произведением, поскольку угловая скорость Земли является собственным вектором возмущенного тензора инерции, что по непонятной причине не было замечено раньше.

В нашей жг теории реологические модели Земли описываются затухающим ядром L(t), таким, что

L(t —» 00) —> 0 .

Следствием затухания являются процессы установления решений, и редукции уравнений Эйлера-Лиувилля не происходит. Это справедливо и в случае бесконечно быстро затухающего ядра, L(t) = kS(t), которым описывается модель идеально-упругой реологии, ибо предельный переход у —+ оо происходит после составления уравнений движения.

Рассмотрим вопрос подробнее. Для возмущения в идеально-упругой среде, произошедшего в начальный момент времени, кроме установившегося решения имеет место набор собственных колебаний тела; последние, не подвергаясь затуханию, остаются "навсегда". Поэтому переход к установившемуся решению неявно предполагает действие неупругих эффектов. В пашем случае, когда Луна движется вокруг Земли и деформирует ее приливным потенциалом, Земля реагирует не только вынужденными приливными "горбами", но и свободными колебаниями. В случае идеальной упругости они не затухают, но (при непрерывном приливном воздействии движущейся Луны) их фазы равномерно распределяются по интервалу (0, 2л-). В результате суммарный момент сил, действующий на приливные "горбы", оказывается нулевым.

В случае же реальной упругости свободные колебания затухают, и поэтому фазы возбуждаемых свободных колебаний не успевают равномерно распределиться по интервалу (0, 2л-); в итоге суммарный момент сил от свободных колебаний оказывается ненулевым. Мы можем, конечно, потом перейти к пределу 7 —+ со, но "возродить" затухнувшие свободные колебания Земли при этой операции не удается; отсюда и вытекает объяснение феномена неравенства периодических гармоник возмущений осевого вращения неупругой Земли при у —> оо.

Приведем теперь числовые результаты для приливной эволюции фойх-товской модели Земли (возмущающие тела - Солнце и Луна).

Напомним, что эффекты для прецессии и нутации рассчитывались нами без учета воздействия возмущающего момента сил на приливные "горбы"; вклад идеальной упругости будем отмечать штрихом, вклад фойхтов-ской неупругости - двумя штрихами.

Луна:

|Д#"| 1.2- Ю-2 mas, |Ду/'| 2.9 • Ю-2 mas;

Солнце:

\М'Ь\ ~ 1.9 mas, |Aip' | « 5.4 mas,

и 0.9 mas, и 5.6 • 10_3

S

|Ду/| я» 2.5 mas , |Д<р;'| « 1.3 • Ю-2 mas .

mas ,

Поправки к осевому вращению выразим для удобства в виде вариаций периода,

в. (2п\ , до 2тг

ДП3 = -— Д03.

лр |АПз=0

О2

Добавим также, что вариацию гармоники 2г/ суточного периода мы приведем суммарно, т.е. с учетом как приливного изменения тензора инерции Земли, так и воздействия возмущающего момента сил на приливные "горбы". Разделение данных на "упругие" и "неупругие" обусловлено отмеченным выше поведением возмущений периодических вариаций при у —► оо.

Луна: "Упругий эффект"

гармоника

IV,

41/,

|ДР| (мксек)

гармоника

1.7-Ю-4 3.4 -102 4.9-Ю-8 0.4, "Неупругий эффект" 1/, 2иг

31/.

41/,

гармо— | ника '

|ДР| , (мксек) '

гармо— | ника I

\ЛР\ | (мксек) I

(«)1 3.8-Ю-3 0.1 5.6-Ю-5 4.6-Ю-3,

"Упругий эффект"

4Г2 40 + 21>ъ 40 - 2иь 40 + 440 - 4^

3.9-Ю-3 3.2-Ю-4 3.1-Ю-4 4.0-Ю-3 6.3-10~б, "Неупругин эффект"

40 4« + 40 - 2г^ 40 + 4г^ 40 - 4^

4.3-Ю-5 6.4-10"9 3.6-Ю-6 9.0-Ю-5 7.6-Ю-8;

Солнце:

"Упругий эффект"

гармо— | ника '

2 ¡/,5 Згл.

I 4.8-Ю-4 1.6 - 102 1.0-Ю-8 1.2.

(мксек; '

гармоника

"Неупругий эффект"

I

-2

(!кс1)1 1-1-Ю-2 5.0-Ю-3 1.6-Ю-4 1.4-Ю-2,

гармоника

"Упругий эффект"

4П 40 + 2и5 4П - 21>3 4П + 41/.

1ЛР'| 8.3 • 10~4 6.8 -10"5 6.8-Ю-5 8.3-10

(мксек^ 1

"Неупругий эффект"

4а + 2|/„ 4« - 2г/, 4П + 4и

-4

гарыо— 1 пика '

|ДР| |

(мксек) '

40. - 4ие

1.4-10-

4П -

9.5-Ю-6 1.3-Ю-9 7.9-Ю-7 1.3-Ю-5 1.6-10"

Как видим, все гармоники (за исключением 2¡/) исключительно малы. Это, конечно, не означает, что неупругостью как таковой в приливных эволюционных эффектах можно пренебречь; числа, полученные нами, относятся к фойхтовской реологической модели. Однако они дают представление об относительной роли эффектов неупругости и (например) диссипации энергии в океанах.

Вековое замедление осевого вращения Земли:

Рь к. 3.9 -10~14 сек/сек т 0.12 мсек/100 лет, Р5 » 8.3 ■ Ю-15 сек/сек и 0.03 мсек/100 лет.

Эти величины довольно близки к наблюдательным данным.

Резюмируя можно сказать: фойхтовская реологическая модель к явному противоречию с наблюдениями не приводит. В этом смысле она может служить базой для более рафинированных исследований реологических эффектов во вращении Земли.

Теория, построенная нами выше, применима не только для изучения реологических возмущений неупругой Земли, но и для задач, выходящих -в узком смысле этого слова - за пределы реологии. Так, обратимся к проблеме возмущения Земли краткодействующим и локальным возмущением (падение крупного астероида, сильное землетрясение и т.д.). Отличие этой

проблемы ох классической состоит в том, что в данном случае необходимо учитывать время распространения возмущения (в виде упругих волн деформации) по телу Земли: удаленные от возмущения области Земли почувствуют возмущение позже, чем близлежащие области.

В принципе, однако, этот тот же эффект запаздывания реакции на возмущение, что и в чисто реологических задачах. Если выбрать (для большей простоты исследования) реологическую модель идеальной упругости, то, для применения нашей теории, необходимо провести следующее естественное видоизменение реологического ядра:

Ь(т) = к6(т)

Цт) = к6(т - Т),

где Т - максимальное время запаздывания. Для Земли (форма которой близка к сферической)

т диаметр Земли 2 ■ 6.4 ■ 103 км Т ~-« ——-:-рз 32 мин.

скорость звука

6.7 км/сек

Если возмущающий момент импульса такого возмущения представн-п. и виде

Щ = - т) ,

то мы можем воспользоваться уравнениями (9) и найти (пспользуя модифицированное выше ядро идеальной упругости) интересующие нас возмущения.

В диссертации (глава ,'Х) показано, что передаточные функции в рассматриваемой задаче имеют вид:

Р„ =

1

1 + кт]

+ 2(Ь7)г/Тх

Е

1п(Дп7) со5 ( (2п++ (2п+ 1)тт8т

(2 тг + 1)тгЛ

Т )

1пг{кт1) + (2п + 1)2тг2

РА)

[{а ~пк(П+<т )аТ)*

1 -г'(П + <тс)Т

Из этих выражений легко найти (после подстановки параметров Земли),

.-1

кк(<гс + Г2)<тсТ

1.3 • 103 лет , <р = (П + 0-с)Т я 8° .

1

Осевые колебания Земли, как видим, затухают за время порядка времени 0.5 часа, а колебания полюса - за время ~ 103 лет. Обратим внимание, что эти значения весьма существенно отличаются от бесконечности, несмотря на предполагаемую идеальную упругость Земли. Эвристическое объяснение этого феномена заключается в следующем: резкое возмущение, выраженное в терминах упругих колебаний, представляет собой пакет упругих волн с коррелированными в начальный момент времени фазами. При отражениях упругих волн от искривленной поверхности Земли исходная корреляция постепенно нарушается и сейсмические волны равномерно распределяются по телу Земли - направленный сейсмический толчок преобразуется в сейсмический шум, не влияющий на вращение Земли.

ОСНОВНЫЕ ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1). Мячин В. Ф. и Чуркин В. А. Принцип остаточного действия в механике Вольтерра и его применение к построению геодинамических моделей. Препринт ИТА РАН, № 23, 1992.

2). Мячин В. Ф. и Чуркин В. А. Свободное вращение тела, близкого к абсолютно те ер дому. Препринт ИТА РАН, № 41, 1995.

3). Чуркин В. А. Феноменологическая теория вращения неупругой Земли. Препринт ИТА РАН, № 59, 1996.

4). Tchourkin V. A. Théorie phénoménologique de la rotation de la Terre non élastique. Marées Terrestres - Bulletin d'Informations, 1996, v.125, p. 95589587, Bruxelles.

5). Чуркин В. A. Числа Лява для моделей неупругой Земли. Препринт ИПА PA1I, № 121, 1998.

6). Чуркин В. А. Деформация поверхности упругой, неоднородной и несферической Земли. Труды ИПА РАН, вып. 3, "Астрометрия и геодинамика", 1998, с. 125-137.

7). Чуркин В. А. Размер деформируемой Земли как реологическая модель. Труды ИПА РАН, вып. 4, "Астрометрия, геодинамика и небесная механика", 1999, с. 187-198.

8). Чуркин В. А. Неупругая Земля: приливные эффекты для реологической модели Фойхта. вып. 5, "Астрометрия, геодинамика и небесная механика", 2000, с. 225-257.

Введение

I. О применении реологических моделей в геодинамике

II. Деформация моделей неупругой Земли под действием возмущений

III. Тензор инерции Земли

IV. Выбор реологической модели Земли для исследования

V. Возмущенное вращение: эффект сжатия Земли

VI. Возмущенное вращение: эффект приливной деформации Земли

VII. Возмущение осевого вращения: действие момента сил на приливные "горбы"

VIII. Вращение деформированной приливами Земли: числовые оценки

IX. Реологическая интерпретация ненулевого объема Земли 104 Заключение . 112 Список литературы

Точность современных наблюдений - спутниковые лазерные измерения, РСДБ и т.д. - исключительно высока; она составляет ~ Ю-2 mas (миллисекунды дуги), что предъявляет весьма жесткие требования к теориям вращения Земли. В результате теоретические модели вынуждены включать в себя все большее количество геофизических факторов - океанические приливы, сезонные перемещения атмосферных масс, взаимодействие оболочек земной толщи, реологию земных пород и т.д. для уменьшения невязок с наблюдениями (Мориц и Мюллер, 1992).

Общая проблема построения высокоточной теории вращения Земли заключается, однако, не столько в большом количестве факторов, влияющих на ее вращение, сколько в трудности их выделения из высокоточных наблюдений. Решение этой проблемы, как легко видеть, невозможно без предварительной интерпретации наблюдательного материала, что предполагает использование априорных моделей Земли.

Вплоть до 80-х годов XX века точность наблюдений позволяла опираться в теоретических исследованиях на модель Земли, представляемую абсолютно-твердым телом (Woolard, 1953; Kinoshita, 1977). Эта математически корректная модель Земли во многих отношениях является базовой в том смысле, что на ее основе можно изучать динамическую роль гидродинамических оболочек Земли - океана, атмосферы и жидкого ядра. Начало таких исследований было положено известными работами Дж. Дарвина (Poincaré, 1911), Тиссерана (Tisserand, 1891) и Пуанкаре (Мориц и Мюллер, 1992). В настоящее время она находит также применение в исследованиях по динамике деформируемой Земли, для чего используются так называемые передаточные функции (Dehant and Defraigne, 1997; там же имеется большой список литературы).

Следует подчеркнуть, тем не менее, что модель абсолютно-твердой Земли геофизически несостоятельна; так, она предполагает бесконечную скорость упругих волн, что грубо противоречит сейсмическим наблюдениям. Поэтому неожиданное для наблюдательной астрономии открытие Чандлером вариаций широты с периодом 14 месяцев (вместо ожидаемого эйлеровского периода в 10 месяцев), интерпретированное Ньюкомом как эффект упругой деформации тела Земли (Манк и Макдональд, 1964), с точки зрения геофизики следует считать не только естественным, но и необходимым для качественного согласия астрономической и геофизической моделей Земли.

Факт деформируемости Земли прямым образом связан с проблемой реальной реологии земных недр: разные реологические модели Земли при прочих равных условиях будут деформироваться по-разному. Это обстоятельство приводит к трудной проблеме выбора реологической модели Земли, равно подтверждаемой астрономическими и геофизическими наблюдениями. Указанная проблема трудна потому, что в ней, как в фокусе, сходятся три большие научные области: физика твердого тела, геофизика и астрономия, каждая из которых имеет свои методы и задачи, отличные от других.

В качестве первой реологической модели деформируемой Земли исследователями естественным образом была принята модель идеальной упругости - простейшая из возможных. Вслед за полукачественными построениями Ньюкома модель Земли на основе теории идеальной упругости для описания ее деформации разработали Том-сон (лорд Кельвин) и Тэйт, результаты которых были весьма изящно представлены знаменитыми числами Лява (Love, 1926).

Легко видеть, однако, что тело Земли в целом не может также описываться моделью идеально-упругого тела (Джеффрис, I960). Прежде всего, она слишком велика для такой реологии, и потому давление в центральных областях Земли должно превышать предельно допустимое значение, совместимое с существованием кристаллической структуры. Кроме того, доступные прямому исследованию материалы внешней оболочки Земли (гранит, габбро, дунит, и т.д.) проявляют наряду с упругими и неупругие свойства; очевидно, что породы земных недр также должны быть частично неупругими.

Первое из указанных обстоятельств стимулировало построение слоистых моделей Земли. Так, прежде всего были исследованы слоистые модели Земли, состоящие из сферических слоев идеально-упругой мантии и жидкого ядра (Takeuchi, 1950; Моло-денский, 1953); несколько позднее Вар обобщил эти модели на случай эллиптичности идеально-упругих слоев (Wahr, 1979, 1981а, 1981b, 1981с). Модель Вара оказалась чрезвычайно результативной, обеспечивая высокую степень согласия данных наблюдений (на уровне точности того времени) с теоретическими оценками. Следует отметить, что "жидкое ядро" понимается в этих работах как идеально-упругое тело, упругий модуль сдвига которого равен нулю: такое тело есть не что иное как идеальная жидкость, лишенная вязкости (сухая жидкость, по выражению Джона фон Неймана). Подробное описание слоистых моделей Земли можно найти в работах Мельхиора (1976) и Морица и Мюллера (1992).

Что же касается эффектов неупругости, то они привлекли внимание исследователей в связи с обнаруженными невязками предсказаний теории Вара и высокоточными наблюдениями. Эти эффекты, составляя предмет настоящей работы, подробно обсуждаются ниже. Здесь же заметим, что механические свойства материалов изучались многими исследователями (Максвеллом, Кельвином, Фойхтом, Бингамом, Сен-Венаном и т.д.), ориентированными в основном на приложения в технике; ясное описание таких приложений можно найти, например, в книгах Тимошенко (1933), Качанова (1948) и Френкеля (1958). Неупругие свойства земных недр в геофизических проблемах с разной степенью подробности затрагиваются в работах Магницкого (1953), Джеффриса (1960) и Мельхиора (1976); широкий круг геологических задач, включая геотектонику плит, подробно рассмотрен Теркотом и Шубертом (1985). Собственно же реологические модели Земли немногочислены, причем реализуются два типа подходов, которые мы здесь условно назовем "априорным" и "апостериорным" :

1). Апостериорная подход. В основу этого подхода кладется не реологическая модель как таковая, а некий производный от нее параметр, например, величина угла (или время) запаздывания приливных "горбов" относительно линии, соединяющей центры масс Земли и возмущающего тела (Луны и/или Солнца). В качестве примера реализации такого подхода можно указать работу Красинского (1998);

2). Априорный подход. При этом подходе авторы исходят из той или иной конкретной реологии земных недр, т.е. в соответствующую модель Земли реологические параметры вводятся непосредственно. Таковы, например, отмеченные выше теории Томсона (в соавторстве с Тэйтом) и Вара, в которых реологическим параметром является упругий модуль сдвига (упругий модуль сжатия интерпретируется лито-статическим давлением). Аналогично, априорной реологической моделью неупругой Земли является теория БеЬа^ (1986, 1987а, 1987Ь), обобщающая теорию Вара на случай комплексной упругой постоянной; действительная ее часть является классической упругой постоянной, а мнимая часть - коэффициентом вязкости. В этой теории, впрочем, появление коэффициента вязкости не оговаривается какой-либо конкретной реологической моделью, так что она в некоторой степени может быть отнесена к апостериорному подходу *. В качестве применения конкретной реологической модели неупругой Земли особо отметим теорию движения полюса Земли, моделируемой максвелловской реологией (Манк и Макдональд, 1964).

Теория, предлагаемая в данной работе, реализует априорный подход с тем, однако, отличием, что она в равной степени применима к большому классу конкретных реологических моделей, характеризуемых разнообразными наборами реологических параметров (упругость, вязкость, вязкоупругость, пластичность, и т.д.).

Диссертация имеет следующую структуру:

В главе I кратко анализируется ряд геодинамических проблем, связанных с применением реологических моделей: проблема описания многочисленных эффектов неупругости; проблема ненулевой вязкости ядра Земли в ракурсе частотных характеристик динамической ее реакции на приложенное к ней возмущение; проблема применения неравновесной термодинамики, необходимой для корректного описания дис-сипативных процессов в недрах Земли, обусловленных эффектами неупругости.

В главе II проводится обобщение теории Томсона и Тэйта (в формулировке чисел Лява) на случай широкого класса реологических моделей, представимых алгебраическими, дифференциальными, интегральными или интегро-дифференциальными со Эта работа будет рассмотрена в главе I с большими подробностями отношениями между тензорами напряжений и деформаций. Показано, что в общем случае число Лява, связывающее возмущающий потенциал с возмущением (деформацией тела Земли или возмущенным ее потенциалом) должно замениться интегральным оператором, который мы ниже называем реологическим оператором. Построены явные выражения реологического оператора для реологических моделей Гука, Максвелла, Фойхта, Гогенемсера-Прагера и интегральной модели, предложенной автором. В рамках этих моделей исследованы временные характеристики чисел Лява на приложенное к Земле в некоторый момент времени постоянное возмущение, а также проведен анализ амплитудных и частотных характеристик чисел Лява для гармонического возмущающего потенциала.

В главе III на базе реологического оператора общего вида построено интегральное выражение для возмущенного тензора инерции Земли, обусловленного как покачиванием оси вращения Земли, так и приливной (в квадрупольном приближении) деформацией ее тела. Полученное выражение подставляется в уравнения Эйлера-Лиувилля и приводит к интегро-дифференциальным уравнениям вращения Земли. Структура этих уравнений такова, что она допускает общее решение в виде квадратур с ядром (передаточной функцией), содержащим ядро исходного реологического оператора в аналитически нераскрытом виде. Эти решения мы формулируем как в терминах возмущений компонент угловой скорости вращения Земли, так и в терминах возмущений углов Эйлера.

В главе IV производится выбор реологической модели (из числа рассмотренных) в целях конкретного применения построенной в предыдущих главах теорий. Показано, что качественное согласие с данными сейсмических наблюдений в наибольшей степени достигается для реологической модели Фойхта. Далее строятся выражения для передаточных функций моделей Земли в рамках идеально-упругой и фойхтов-ской реологий, на основе которых исследуется вращение Земли, сжатой с полюсов; предполагается, что ось вращения Земли не совпадает с осью аксиальной симметрии. Показано, что чандлеровские колебания полюса фойхтовской модели Земли затухают (в отличие от идеально-упругой модели) за время приблизительно равное 104 лет.

В главе V исследуется вращение аксиально-сжатой Земли под действием приливного потенциала возмущающего тела без учета приливной деформации ее поверхности. Получены выражения для возмущений углов прецессии и нутации моделей идеально-упругой и фойхтовской реологий. Наиболее интересным результатом этой главы является заключение о вековом возрастании угла нутации фойхтовской модели Земли (приблизительно 0.01"/Ю0 лет).

В главе VI исследуется динамика вращения аксиально-сжатой Земли под действием приливной деформации тела Земли. Показано, что для фойхтовской модели

Земли (в отличие от идеально-упругой модели) имеет место слабая интерференция возмущенных углов прецессии и нутации. Возмущение же осевого вращение Земли представляет собой периодическую осцилляцию: гармоническую для идеально-упругой Земли и слабо модулированную (колебанием той же частоты) для фойхтов-ской модели Земли.

В главе VII исследуется динамика осевого вращения аксиально-сжатой Земли, обусловленная действием возмущающего гравитационного момента сил на приливные "горбы". Показано, что для модели идеально-упругой Земли этот эффект равен нулю, тогда как для фойхтовской модели Земли он приводит к сложной многочастотной картине периодических возмущений и к вековому замедлению вращения Земли.

В главе VIII проводятся числовые оценки эффектов, полученные в двух предыдущих главах (VI и VII); они или близки к наблюдаемым эффектам (так, вековое увеличение периода вращения Земли под действием Луны и 0.12 мсек/100 лет), или же находятся за пределами современных наблюдательных возможностей: например, 4-х месячная гармоника солнечного возмущения периода осевого вращения Земли составляет рй Ю-8 мксек.

В главе IX теория автора применяется для анализа возмущения вращения модели идеально-упругой Земли под действием краткодействующего толчка (падение крупного астероида, сильное землетрясение и т.п.). Идея такого обобщения теории заключается в том, что эффект запаздывания реакции Земли на возмущение имеет место как в случае неупругости земных недр, так и вследствие конечности времени распространения волн деформации по телу Земли. Указанная аналогия формализована автором в виде эвристической модели реологического оператора. Показано, что возбужденные толчком колебания оси вращения Земли затухают в течение времени ~ 103 лет; колебания возмущения угловой скорости осевого вращения вокруг нового (после толчка) ее значения также затухают за время порядка нескольких прохождений упругих волн по телу Земли. Эффект затухания объясняется трансформацией энергии толчка в энергию многократно отраженных от поверхности Земли сейсмических волн. На примере мощного взрыва вулкана Тамбор (1815 г., Индонезия) оценено изменение периода осевого вращения Земли, оно не превышает 4.2 мксек.

Общность излагаемой в настоящей работе теории достигается ее построением в специальной "полупустой" форме, способной к трансформации в конкретную аналитическую структуру после подстановки в нее конкретной реологической модели. Именно, вместо исходной реологической модели в теорию вводится некоторый интегральный оператор и показывается, что довольно большой класс реологических моделей может быть представлен его ядром. Решение уравнений вращения Земли (мы используем известные уравнения Эйлера-Лиувилля) строится, далее, таким образом, что в нем сохраняется исходное ядро в аналитически нераскрытом виде. Это и есть искомая' "полупустая" форма теории.

Чтобы получить на выходе теории конкретное число нам теперь остается только заложить в теорию конкретную реологическую модель или, быть может, линейную комбинацию нескольких моделей. Это очень удобно, потому что мы крайне плохо представляем себе реологию недр реальной (не модельной) Земли; адекватную реологическую модель Земли еще предстоит найти. В этом отношении наша теория, как мы надеемся, окажется весьма полезной: сопоставление особенностей вращения Земли, вызываемых разными реологическими моделями, и их сравнение с данными высокоточных наблюдений может быть весьма информативным.

Новизна работы

В работе применен новый подход к построению теории вращения Земли, позволяющий получить характеристики вращения при любой принятой реологии земных недр. Это позволяет строить теории наиболее точно представляющие наблюдения, выявлять новые явления во вращении Земли и способствовать их объяснению.

Обоснованность полученных результатов

Результаты получены с использованием строгого математического аппарата и основополагающих реологических закономерностей, и сопоставлены, насколько это оказалось возможным, как с известными теориями вращения Земли, так и с данными наблюдений.

Практическое значение работы

Полученные результаты могут быть использованы для получения новых разложений нутации и прецессии Земли и других твердых небесных тел для любой конкретной реологии их недр.

Аппробация работы

Результаты диссертации докладывались на 3-й Орловской конференции, Одесса, 1992 г.; конференции "Теоретическая, прикладная и вычислительная небесная механика", Санкт-Петербург, 1993 г.; международной конференции "Современные проблемы теоретической астрономии", посвященной 75-летию ИТА РАН, Санкт-Петербург,

1994 г.; конференции "Компьютерные методы небесной механики", Санкт-Петербург,

1995 г.; симпозиум MAC № 172 "The rotation of unelastic body", Paris,-1995 г.; конференции "Компьютерные методы небесной механики-97", Санкт-Петербург, 1997 г.; конференции "Астрометрия, геодинамика и небесная механика на пороге XXI века", Санкт-Петербург, 2000 г.; научных семинарах ИТА РАН и ИПА РАН.

Публикации

По теме диссертации опубликовано 8 работ:

1). Мячин В.Ф. и Чуркин В.А., Принцип остаточного действия в механике Волътерра и его применение к построению геодинамических моделей. Препринт ИТА РАН, № 23, 1992.

2). Мячин В.Ф. и Чуркин В.А., Свободное вращение тела, близкого к абсолютно твердому. Препринт ИТА РАН, № 41, 1995.

3). Чуркин В.А., Феноменологическая теория вращения неупругой Земли. Препринт ИТА РАН, № 59, 1996.

4). Tchourkin V.A., Théorie phénoménologique de la rotation de la Terre non élastique. Marées Terrestres - Bulletin d'Informations, 1996, v.125, p.9558 - 9587, Bruxelles.

5). Чуркин В.A., Числа Лява для моделей неупругой Земли. Препринт ИПА РАН, № 121, 1998.

6). Чуркин В.А., Деформация поверхности упругой, неоднородной и несферической Земли. Труды ИПА РАН, вып. 3, "Астрометрия и геодинамика", 1998. с.125-137.

7). Чуркин В.А., Размер деформируемой Земли как реологическая модель. Труды ИПА РАН, вып. 4, "Астрометрия, геодинамика и небесная механика", 1999. с.187-198.

8). Чуркин В.А., Неупругая Земля: приливные эффекты для реологической модели Фойхта. вып. 5, "Астрометрия, геодинамика и небесная механика", 2000. с.225-257.

В совместных работах автору принадлежат главы об интегральных операторах.

На защиту выносятся следующие основные результаты:

1. Обобщенная теория чисел Лява, связывающая возмущенный потенциал неупругой Земли с возмущающим потенциалом посредством интегрального реологического оператора, ядро которого зависит от произвольной линейной реологической модели.

2. Применение обобщенной теории чисел Лява к известным дифференциальным реологическим моделям (Гука, Максвелла, Фойхта и Гогенемсера-Прагера) и к интегро-дифференциальной реологической модели автора.

3. Интегро-дифференциальная форма уравнений Эйлера-Лиувилля для неупругой Земли, содержащих ядро произвольного реологического интегрального оператора.

4. Решение интегро-дифференциальных уравнений Эйлера-Лиувилля в форме квадратур с передаточными функциями, содержащими ядро произвольного реологического оператора.

5. Применение разработанной автором теории вращения неупругой Земли к фойх-товской модели земных недр и числовые оценки реологических поправок к прецессии, нутации и осевому вращению Земли.

Заключение

Теории вращения моделей абсолютно-твердой и идеально-упругой Земли с точностью до несущественных с принципиальной точки зрения деталей математического аппарата имеют однозначный реологический смысл. Однако, как мы видели, теории вращения модели неупругой Земли (или, точнее, модели реально-упругой Земли) в узком смысле этого слова не существует. Поэтому целью нашей работы было построение некоторой математической формы, которая превращается в теорию вращения Земли после внесения в нее той или иной конкретной реологической модели; такого рода теорию можно было бы назвать "пучком" моделей вращения Земли.

В основу нашей работы легло достаточно очевидное обобщение теории .чисел Ля-ва на случай зависящих от времени тензоров напряжений и деформаций (Чуркин, 1998), что характерно для неустановившейся динамики неупругих сред. Как следствие, классические числа Лява заменились интегральным оператором, ядро L(t) которого определяется видом рассматриваемой реологической модели. Весьма интересно, что решения уравнений Эйлера-Лиувилля (описывающих возмущение вращения Земли под действием различных факторов) удается написать в виде квадратур, содержащих в себе ядро L(t) в аналитически нераскрытом виде (Чуркин, 1996). Это означает, что анализ возмущений вращения Земли с различной реологией земных недр сводится по существу к единообразному вычислению ряда интегралов.

Вполне понятно, что в условиях крайне скудных данных о реальной реологии земных недр такая теория оказывается весьма перспективной. Конечно, в нашей работе мы не смогли охватить достаточно представительный спектр реологических моделей (которых существует великое множество) и ограничились только двумя моделями: идеально-упругой и фойхтовской. Модель идеальной упругости была взята нами для сравнения (ибо она простейшая для деформируемой Земли), тогда как. фойхтовская модель была выбрана нами потому, во-первых, что она удовлетворяет сейсмическим данным о непрозрачности области земного ядра для прохождения достаточно коротких сейсмических волн, и потому, во-вторых, что из моделей неупругой среды она также наиболее простая. Тем не менее оценки основных возмущенных эффектов в прецессии, нутации и осевом вращении Земли находятся во вполне удовлетворительном согласии с данными наблюдений. Это означает, что реологическая модель Фойх-та заслуживает внимания и развития с более полным учетом геофизических факторов (главным из которых следует считать слоистое строение Земли); таким образом, результаты, полученные выше, следует рассматривать как предварительные.

Настоящая работа была частично поддержана грантом РФФИ РАН N~ 96-0219600 и Министерством науки и технологии РФ (программа "Астрономия", номер проекта 1.8.1.2).

1. Араманович И.Г., Лунц Г.Л. и Эльсгольц Л.Э., 1965. Функции комплексного переменного. Операционное исчисление. Теория устойчивости.: "Наука" ,• Москва.

2. Ботт М., 1974. Внутреннее строение Земли.: "Мир", Москва.

3. Вебстер А.Г., 1933. Механика материальных точек и твердых, упругих и жидких тел.: Гос. тех-теор. изд-во, Ленинград-Москва.

4. Гленсдорф П. и Пригожин И., 1973. Термодинамическая теория структуры, устойчивости и флуктуаций.: "Мир", Москва.де Гроот С.Р., 1956. Термодинамика необратимых процессов.: Гос. изд-во тех-теор. литературы, Москва.

5. Гросберг А.Ю. и Хохлов А.Р., 1989. Статистическая теория макромолекул.: "Наука", Москва.

6. Джеффрис Г., 1960. Земля.: Из-во Иностранной литературы, Москва.

7. Дэй У.А., 1974. Термодинамика простых сред с памятью.: "Мир", Москва.

8. Жарков В.Н., 1983. Внутреннее строение Земли и планет.: "Наука"; Москва.

9. Ильюшин A.A., 1971. Механика сплошной среды.: Из-во Московского университета.

10. Качанов Л.М., 1948. Механика пластических сред.: ОГИЗ, Гос. изд-во тех-теор. литературы, Ленинград-Москва.

11. Квасников И.А., 1987. Термодинамика и статистическая физика.: Изд-во Московского университета.

12. Красинский Г.А., 1998. Приливные эффекты во вращательном движении Земли и Луны. 1. Математическая модель.: Труды ИПА РАН, вып.З, "Астрометрия и геодинамика", СПб.

13. Кристенсен Р., 1974. Введение в теорию вязкоупругости.: "Мир", Москва.

14. Ландау Л.Д. и Лифшиц Е.М., 1962. Теория поля.: Гос. из-во физ-мат. литературы, Москва.

15. Манк У. и Макдональд Г., 1964. Вращение Земли.: "Мир", Москва.

16. Мельхиор П., 1976. Физика и динамика планет, Часть II.: "Мир", Москва.

17. Миркин Л.И., 1968. Физические основы прочности и пластичности.: Изд-во Московского университета.

18. Моисеев H.H., 1988. Экология человечества глазами математика.: "Молодая гвардия", Москва.

19. Молоденский М.С., 1953. Земные приливы, свободная нутация и некоторые вопросы строения Земли. Труды ГеоФИАН СССР, N-19.

20. Мориц Г. и Мюллер А., 1992. Вращение Земли.: "Наукова думка", Киев.

21. Мячин В.Ф. и Чуркин В.А., 1992. Принцип остаточного действия & механике Волътерра и его применение к построению геодинамических моделей.: Препринт ИТА РАН, №23, С.-Петербург.

22. Прагер В., 1963. Введение в механику сплошных сред.: Изд-во Иностранной литературы, Москва.

23. Работнов Ю.Н., 1977. Элементы наследственной механики твердых тел.: "Наука", Москва.

24. Ржаницын А.Р., 1968. Теория ползучести.: Изд-во литературы по строительству, Москва.

25. Рейнер М., 1965. Реология.: "Мир", Москва.

26. Теркот Д. и Шуберт Дж., 1985. Геодинамика.: "Мир", Москва.

27. Тимошенко С.П., 1933. Сопротивление материалов. Часть II: Гос. тех-теор. изд-во, Ленинград-Москва.

28. Трусделл К., 1975. Первоначальный курс рациональной механики сплошных сред.: "Мир", Москва.

29. Френкель Я.И., 1958. Введение в теорию металлов.: Гос. изд-во физ-мат. литературы, Москва.

30. Честер Дж., 1966. Теория необратимых процессов.: "Наука", Москва.

31. Чуркин В.А., 1996. Феноменологическая теория вращения неупругой Земли.: Препринт ИТА РАН, №59, С.-Петербург.

32. Чуркин В.А., 1998. Числа Лява для моделей неупругой Земли.: Препринт ИПА РАН, №121, С.-Петербург.

33. Чуркин В.А., 1998. Деформация поверхности упругой, неоднородной и несферической Земли.: Труды ИПА РАН, вып.З, "Астрометрия и геодинамика", СПб.

34. Anderson D.L. and Minster J.B., 1979. The frequency dependence of Q in the Earth and implication for mantle rheology and Chandler wobble.: Geophys. J. R. Astron. Soc., 58: 431-440.

35. Batrakov Yu. V., 1972. Irrigation projects and the Earth's rotation.: Extra Collection of papers Contributed to the IAU Symposium №48 "Rotation of the Earth": 19-23.

36. Boltzmann L., 1874. Zur Theorie der elastichen Nachwirkung.: Wiener Ber., Bd. 70, S.274.

37. Dehant V., 1986. Integration des équations aux déformations d'une Terre elliptique, inelastique en rotation uniforme et â noyau liquide.: Ph.D.Thesis, Université Catholique de Louvain, 298 pp.

38. Dehant V., 1987a. Integration of the gravitational motion equations for an elliptical uniformly rotating Earth with an inelastic mantle.: Phys. Earth Planet. Inter., 49: 242258.

39. Dehant V., 1987b. Tidal parameters for an inelastic Earth.: Phys. Earth Planet. Inter., 49: 97-116.

40. Dehant V. and Defraigne P., 1997. New transfer functions for nutations of a non-rigid Earth.: J. Geophys. Res., v.102, № B12: 27659-27688.

41. Hohenemser K. und Prager W., 1932. Uber die Ansätze der Mechanic isotroper Konünua.: Zeitschr. f. angew. Math. u. Mech., Bd.12, H.4.

42. McCarthy D.D. (ed.), 1996. IERS Standarts. IERS Technical Note 21, Observatoire de Paris, Paris, p.42.

43. McADoo D.C. and Burns J. A., 1974 .Approximate Axial Alignment Times for Spinning Bodies. Icarus, v.21, pp.86-93.

44. Maxwell J., 1867. On the Dynamical Theory of Gases. Philos. Trans., v.157, p.52.

45. Poincaré H., 1911. Leçons sur les Hypothèses Cosmogoniques. Paris.

46. Takeuchi H., 1950. On the Earth tide of the compressible Earth of variable density and elasticity. Trans. Amer. Geophys. Union, v.31,

47. Tchourkin V.A., 1996. Théorie phénoménologique de la rotation de la Terre non élastique.: Marrées Terrestres Bulletin d'Informations, v.125, Bruxelles, pp. 9558-9587.

48. Tisserand F., 1891. Traité de Mécanique Céleste., Vol.II, Paris.

49. Voigt W., 1890. Uber die innere Reibung der festen Körper, insbesondere der Kristalle. Abhandl. d. Math. Klasse d. Königl. Ges. d. Wiss., Göttingen, Bd.36, S.l.

50. Volterra V., 1931. Theory of Functionals and of Integral and Integro-Differential Equations.: London a. Glasgow.

51. Wahr J.M., 1979. The Tidal Motions of a Rotating, Elliptical, Elastic and Oceanless Earth.: Ph.D.Thesis, University of Colorado, 216 pp.

52. Wahr J.M., 1981a. A normal mode expansion for the forced response of a rotating Earth.: Geophys. J. R. Astron. Soc., 64: 651-675.

53. Wahr J.M., 1981b. Body tides on an elliptical, rotating, elastiic and oceanless Earth.: Geophys. J. R. Astron. Soc., 64: 677-703.

54. Wahr J.M., 1981c. The forced nutations of an elliptical, rotating, elastiic and oceanless Earth.: Geophys. J. R. Astron. Soc., 64: 705-727.

55. Woolard E.W., 1953. Theory of the rotation of the earth around its center of mass.: Astron. J., 58: 2.