Введение интегральных преобразований (Фурье, Кантарович-Лебедева) на кусочно-однородных промежутках тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.03 ВАК РФ

Чернівецький державний університет ім. Ю.Федьковича

од

. ^ ^ На правах рукопису

Міхалевська Галина Іванівна

ЗАПРОВАДЖЕННЯ ІНТЕГРАЛЬНИХ ПЕРЕТВОРЕНЬ (ФУР’Є, КАНТОРОВИЧА-ЛЄБЄДЄВА)

НА КУСКОВО-ОДНОРІДНИХ ПРОМІЖКАХ

Спеціальність: 01.01.03 - математична фізика

АВТОРЕФЕРАТ дисертації и а здобуття наукового ступеня кандидата фізігко-магематичшіх наук

Чернівці 1996

Дисертацією е рукопис.

Роботу виконано на кафедрі диференціальних рівнянь Чернівецького державного університету ім.Ю.Федьковича

Науковий керівник - доктор фізико-математичних наук,

професор Ленкж Михайло Павлович

Офіційні опоненти: доктор фізико-математичних наук,

професор Гончаренко Валентин Михайлович, кандидат фізико-математичних наук, доцент Конет Іван Михайлович

Провідна установа - Інститут прикладних проблем механіки

і математики НАН України ім. Я.С.Підстригача (м.Львів)

Захист відбудеться 1996 р. о /4 год.

на засіданні спеціалізованої вченої ради К 07.01.04 в Чернівецькому державному університеті ім.Ю.Федьковича за адресою:

274012, м.Чернівці, вул. Університетська, 28, математичний факультет.

З дисертацією можна ознайомитись в бібліотеці Чернівецького державного університету ім.Ю.Федьковича за адресою:

274012, м.Черніаці, вул. Л.Українки,23.

Автореферат розіслано ’’1996 року

Вчений секретар спеціалізованої вченої ради

А.М.Садов'як

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Сучасний етап розвитку та вдосконалення виробництва пов’язаний з широким використанням композитних матеріалів в різного роду технологічних процесах, будівництві, радіотехніці та. радіоелектроніці, зварювальному виробництві .атомній енергетиці та космічній техніці. При розрахунках на міцність га надійність конструкційних елементів машин та механізмів, нагріваючих пристроїв, будівель та споруд, а також серед багагочисленних технічних задач, що виникають при конструюванні машин та проектуванні інженерних споруд, виникає необхідність у вивченні температурних полів та викликаних ними пружних напружень в кусково-однорідних тілах, складених з декількох матеріалів, що мають різні фізико-механічні характеристики, в дослідженні напруженого стану та міцності елементів,працюючих на кручення, а також у вивченні коливального процесу під вплпвом масових сил. Виникає нагальна потреба математичного апарату для розв’язання лінійних диференціальних рівнянь з частинними похідними з розривними (кусково-сталими) коефіцієнтами. При цьому повинна бути вказана логічна схема побудови точного аналітичного розв’язку в замкненій формі, зручній в інженерних розрахунках (за допомогою ПЕОМ).

Одним із ефективних методів розв’язання задач математичної фізики є метод інтегральних перетворень. Класичні інтегральні перетворення Фур’є, Лапласа, Фур’є-Бесселя, Вебера, Ганкеля, Мел-ліна, Лежандра, Гільберта, Мелера-Фока, Канторовича-Лебедева га ін. склали математичний апарат інтегральних перетворень, який вже давно став надійним інструментом в наукових дослідженнях та інженерних розрахунках суцільних середовищ. Для розв’язання задач математичної фізики неоднорідних (кусково-однорідних) середовищ інтегральні перетворення (так звані гібридні) знаходяться в стадії запровадження (розбудови).

Проблемі побудови відсутніх в математичній літературі інтегральних перетворень типу Канторовича-Лебедева на полярній осі г > 0 та сегменті (О,Я), на полярній осі г >0 та сегменті (ОД) з однією й двома точками спряження, а також запровадженню інтегральних іте-

ретворень (Фур’е, Канторовича-Лєбєдєва) на двоскладових т; трискладових інтервалах і присвячена дана дисертаційна робота.

Мста роботи. Мстою роботи є:

а) побудова та математичне обгрунтування інтегральних перетво рень типу Канторовича-Лєбєдєва на полярній осі г > 0 та сегмент (О, Я), на полярній осі г > 0 та сегменті (О, Л) з однією й двома точка ми спряження;

б) запровадження інтегральних перетворень (Фур’є, Канторовича Лебедева) на двоскладових та трискладових інтервалах прг найбільш загальних припущеннях на структури операторів Фур’є Бесселя та операторів спряження;

в) застосування одержаних гібридних інтегральних перетворень зг розробленою логічною схемою до розв’язання задач математично' фізики неоднорідних структур на прикладах задач про структур} стаціонарних температурних полів в суцільних необмежених клиновидних циліндрично-кругових тілах; про осесимегричні коливання кусково-однорідних напівобмежених ортотрояних циліндричних тіл, пре коливання кусково-однорідної струни,а також задачі обчислення поліпараметричних невласних інтегралів.

Методика дослідження. Основним методом побудови гібриднії? інтегральних перетворень служить метод дельтаподібних послідовно стей, в якості яких виступає ядро Коші. При цьому в процесі дослідження було використано елементи теорії крайових задач для звичайних диференціальних рівнянь, теорію розвинення за власними функціями самоспряжених операторів, операційний метод, основи: положення теорії узагальнених функцій та теорію функцій комплексної змінної.

Наукова новизна дисертаційної роботи полягає в наступному:

- запроваджено методом дельтаподібних послідовностей, в якості яких служить ядро Коші, інтегральні перетворення типу Канторови ча-Лєбєдева на полярній осі г>0 та сегменті (0,11),на полярній ос: г > 0 та сегменті (0,К) з однією й двома точками спряження;

- побудовано гібридні інтегральні перетворення Фур’є - Канторо

вича-Лєбєдєва на декартовій осі та обмеженій справа декарговіі півосі, Канторсвича-Лєбєдєва - Фур’є на полярній осі г > > 0 те

двоскладовому декартовому сегменті, Фур’є - Канторовича-Лєбєдєва -Капторовича-Лебєдєва на декартовій осі та обмеженій справа декарто-вій півосі, Канторовича-Лебедева - Канторовича-Лебедева - Фур’є на полярній осі г>110 >0;

- доведено теореми про наявність основної тотожності інтегрального перетворення гібридного диференціального оператора, яка дозволяє застосувати запроваджені гібридні інтегральні перетворення до розв’язання відповідних сингулярних задач математичної фізики неоднорідних структур;

- сформульовано та доведено теореми про інтегральне зображення кусково-неперервних, абсолютно сумовішх (з точно визначеною ваговою функцією) функцій обмеженої варіації через ядра гібридних інтегральних перетворень;

- за розробленою логічною схемою запроваджені гібридні інтегральні перетворення (Фур’є, Канторовича-Лебедева) застосовано для обчислення поліпараметричних невласних інтегралів та розв’язання задач математичної фізики неоднорідних структур:

а) задачі про структуру стаціонарних температурних поліз в суцільних необмежених клиновидних циліндрично-кругових тілах;

б) задачі про осесиметричні коливання кусково-однорідних на-півобмежених орготропшгх тіл;

в) задачі про структуру хвиль, що виникають при коливанні кусково-однорідної струни в результаті дії на кожній ділянці струни збурених сил.

На захист виносяться такі положення:

1. Побудова методом дельтаподібних послідовностей, в ролі яких служить ядро Коші,інтегральних перетворень типу Канторовича-Лєбєдєва на полярній осі г>0 та сегменті (0, , на полярній осі

г > 0 та сегменті (0, її) з однією й двома точками спряження.

2. Побудова методом дельтаподібних послідовностей, в ролі яких служить ядро Коші, гібридних інтегральних перетворень Фур’є -Канторовича-Лсбсдева на декартовій осі та обмеженій справа декартовій півосі з однією точкою спряження, Канторовича-Лебєдева -Фур’є на полярній осі г > Я, > 0 з однією точкою спряження та двоскладовому декартовому сегменті, Фур’є - Капторовича-Лебєдєва -

Канторовича-Лебедева на декартовій осі та обмеженій справа декар-товій півосі з днома точками спряженпя, Канторовича-Лєбедєва -Канторовича-Лебедева - Фур'є на полярній осі г > Яа > 0 з двома точками спряження.

3. Теореми про інтегральні зображення кусково-неперервних, абсолютно сумовпих (з точно визначеною ваговою функцією) функцій обмеженої варіації.

4. Теореми про наявність основної тотожності інтегрального перетворення гібридних диференціальних операторів.

5. Логічна схема застосування запроваджених інтегральних перетворень для розв’язування відповідних сингулярних задач математичної фізики неоднорідних структур:

а) задача про структуру стаціонарних температурних полів в суцільних необмежених клиновидних циліндрично-кругових тілах;

б) задача про осесиметркчні коливання кусково-однорідних на-півобмежених орготропних циліндричних тіл;

в) задача про коливання кусково-однорідної струни.

6. Обчислення поліпараметричної сім’ї невласних інтегралів, підінтегральна функція яких виражена через гіперболічні функції та функції Бесселя, методом гібридного інтегрального перетворення типу Канторовича-Лебедева на полярній осі з двома точками спряження.

Теоретична і практична цінність. Результати роботи вносять вклад у загальну теорію інтегральних перетворень; служать джерелом нових досліджень: побудови інтегральних перетворень типу Канто-ровича-Лєбєдєва на полярній осі г>0 та сегменті (0,Я) з п точками спряження; запровадження гібридних інтегральних перетворень (Канторовича-Лебедева, Лежандра), (Канторовича-Лєбедєва, Бесселя) на двоскладових та трискладових інтервалах та ін. Одержані в дисертації гібридні інтегральні перетворення поряд із задачами теплопровідності та кручення циліндричних та клиновидних циліндрично-кругових об’єктів можуть бути застосовані для розв’язання ана логічних задач теорії пружності, гідромеханіки, електростатики і т.д Зокрема, вони можуть бути використані в технічних додатках для розрахунку циліндричних стержнів на міцність при їх крученні т;

вплив степеня неоднорідності на напружений стан при конструюванні основних блоків машин, технологічних установок та будівельних конструкцій.

Апробація работи. Основні результати дисертаційної роботи доповідались і обговорювались:

- на наукових семінарах кафедр вищої математики і прикладної механіки Технологічного університету Поділля (м.Хмельницький) (199М995рр.);

- на науковому семінарі з теорії диференціальних рівнянь з частинними похідними кафедри диференціальних рівнянь Чернівецького державного університету ім.ІО.Федьковнча (1992-1995рр.);

- на науково-практичній конференції "Наукові основи сучасних прогресивних технологій’’ (м.Хмельницький, ТУП, 1994р.);

- на науково-практичній конференції ’’Технологічний університет в системі реформування освітньої і наукової діяльності Подільського регіону” (м.Хмельницький, ТУП, 1995р.);

- па науковому семінарі кафедри математичної фізики Київського університет}' (1996р.);

- на міжвузівському об’єднаному семінарі "Диференціальні рівняння та їх застосування” (Київ, 1996р.);

- на науковому семінарі ’’Сучасні проблеми математики” (Чернівці, 1996р.).

Публікації. По матеріалах дисертації опубліковано 12 робіт.

З них сумісно з науковим керівником 3. Науковому керівникові належить постановка задач та обговорення одержаних результатів.

Структура і об’єм роботи. Дисертація складається із вступу, чотирьох розділів, висновку і списку цитованої літератури.

Повний обсяг складає сторінки машинопису. Бібліографічний

список містить назв.

Зміст та основні результати роботи.

У вступі до дисертації обгрунтовано актуальність теми, зроблено короткий огляд літератури за тематикою дисертації, викладено основні результати по розділах.

У першому розділі методом дельтанодібних послідовностей, в ролі яких виступає ядро Коті, побудовано інтегральні перетворення

тішу Канторовича-Лєбєдєва на полярній осі г > 0 та сегменті (0, К), полярній осі та сегменті (0,К.) з однією й двома точками спряження.

В усіх випадках умови спряження в точках стикування інтервалів мають вигляд:

на

г' = К-к

= 0; і,к = 1,2 , (1)

(а* >0, Р‘ >0, а\ЗІ -а*Р* =С4 *0, СнС2і >0).

Кожне інтегральне перетворення породжується інтегральним зображенням міри Дірака. Останнє можна одержати як границю в розумінні теорії узагальнених функцій дельтаподібних послідовностей. За дельтаподібну послідовність служить фундаментальна матриця розв’язків задачі Коші для відповідної сепаратної системи рівнянь теплопровідності В-параболічного типу другого порядку, породженої даним гібридним диференціальним оператором.

У кожному параграфі сформульовано теореми про інтегральне зображення кусково-неперервних, абсолютно сумовних (з точно визначеною ваговою функцією) функцій обмеженої варіації через ядра побудованих гібридних інтегральних перетворень та теореми про основну тотожність інтегрального перетворення гібридного диференціального оператора (з метою застосування побудованих інтегральних перетворень для розв’язання відповідних задач математичної фізики неоднорідних середовищ).

Оскільки зміст параграфів першого та четвертого ідентичний, то наведемо основні результати першого параграфу. В §1.1 здійснено узагальнення класичного інтегрального перетворення Канторовича-Лєбєдєва, породженого диференціальним оператором Бесселя

2 СІ* (і . 2 2 ...

В0 = г —~+г--------К г на випадок полярної осі з одночасним

СІГ СІ г .

розширенням В0 до В = г2+ (2а +1)г—- X2 г2 + а2, 2а + 1 > 0.

сіг у сіг

Пряме На й обернене Н“1 інтегральні перетворення типу Канто-

ровича-Лєбєдєва на інтервалі (0,°о) мають структуру:

На[г(г)] - } {{т)К^(ХтУ^г = Щ, (2)

О

Н« [Дт)]= -Г|^)^зЬ,гК„д(Яг)таг г Г(г), (3)

де Кііа(Хг) = (А.г) аКь(Х,г), Кіт(Х,г) -кодифікована функція Бесселя 2-го роду.

Визначимо функції: Па (т) = т Х2'У з1пп; Уа = К1Г а (X г).

Теорема 1.1.1. Якщо функція: g(r) = г“ч,,2ґ(г) кусково-неперервна, абсолютно сумошіа й має обмежену варіацію на (0, со), то для г є(0, со) справедливе інтегральне зображення:

--[ґ(г+О) + ґ(г - О)] = 1У0 (гД, т)Г2а(т) Г| ґ(р) Уа (рД, т)р2аЧфі сіг. (4)

£ ТС л Іл /

Теорема 1.1.2. Якшо функція ґ(г) така, шо Вв[ґ(г)]ЄС(0;я),

1ішг2“+1( —Уа-Г-— г-*-0 ч<1г сі г

\

= 0, 1ітг2,2+!| — V - 1 = 0, (5)

(ІГ <1г

то справедлива основна тотожність інтегрального перетворення диференціального оператора Ва:

На[Ва[іГ(г)]]=-т2?(т). (б)

Тотожність (б) одержується інтегруванням частинами під знаком інтегралу з використанням властивостей функцій і(г), Уа(г,т) та рівностей (5).

Оскільки логічна схема побудови гібридних інтегральних перетворень типу Кангоровича-Лєбєдсва на полярній осі г > 0 та сегменті (О, Я) з однією й двома точками спряження (§1.2-§1.б) однакова, то коротко опишемо зміст §1.2.

Розглянемо гібридний диференціальний оператор М(а) =аі0(г)О(К] ~г)Ваі +а20(г-К,)Ва2, (а) = (а,,а2). Він породжує сепаратну систему рівнянь теплопровідності другого порядку

Уі(і,г) = 0, 1>0, гє(0,К!),

_1А + ІІ_в ^ а2 Зі а? “■

7Іґ&~Ваг К(и)=0’ 1>0’ г^(«-1»°°)-

(7)

Обмежений в області ї > 0, г єІ[ = (0,К1)и(К],«>)|

розв’язок системи (7) за початковими умовами

уі(1>01 = о = 8і(0> гє(°’Кі); 'уг(*.г)1 = 0 = 82(0. гє(аі>°°) <8>

г=Я1

= 0, j = 1,2. (9)

та умовами спряження

а Iі ^ + Р я) VI (1,0-(«12|:+Ріг) (1, о

будується методом інтегрального перетворення Лапласа по часовій змінній X і має структуру

уі(м)= /н(ф,(и,р)і,(р)р*і+І(ір+ [н|а);й(і,г,р)і2(р)р20а+Мр. (ю)

о я,

Визначимо величини та функції:

_ „-2 С21 р2(«г“іі. “ 2 >

+К>’МГ) ;

(11)

о(і) = <т1г2аі-гЄ(г)0(К. - 0 +-а2г2аі'1Є(г - ;

У(а)(Г>0= ^ф^МО9^ “0+

Наявність спектральної функції (г, т), вагової функції о(г) та спектральної густини П^(т) дає можливість написати на множині І,1 інтегральне зображення міри Дірака

= ~] ^„)(г,т)У(в)(р,т)П(а)(т)сіт, (12)

яке породжує пряме , Й. обернене Н|2) 1 інтегральні перетворення типу Канторовича-Лєбєдєва на полярній осі г > 0 з однією точкою спряження:

н(«)лМ0]=ї г(г)уи(г’0°(г)с1г = ?(х)>

(13)

ю

НЙл[?(т)] = -|ґ(т)У(а)(г,і)П{а)(т)с1г^ f(r). (14)

. 0

Звідси внаслідок властивості дєльтаподібної послідовності одержуємо твердження.

Теорема 1.2.1. Нехай функція g(r) = f(r) jV'‘~1;2 0(r) 0(R, - r) +

+r“-' 20(r - R,)j визначена, кусково-неперервна, абсолютно сумов-на й має обмежену варіацію на (0, go). Тоді для г єі^ справедливе інтегральне зображення:

^[f(r + °) + f(r ~ 0)] = ~fV(a)(r,x)Q(a)(т) ffУ(р,т)о(р) f(p)dpl dx. (15) ^ K0 ^0 /

Означення. Функція f(r) якщо:

1) NT(гг^ [f(r)] єС(і,‘) ; 2) f(r) задовольняє умови спряження

+ А + р.]Г(г)

Теорема 1.2.2. Якщо функція f(r) єВ^|і*| і обмеженості

r = R

= 0, j = l,2.

(16)

і задовольняє умови

limr2“111

r-*0

df

з>М-*

dr

=0, limr

.202+1

/

4.

dr

dr

=0, (17)

/

то справедлива основна тотожність інтегрального перетворення гібридного диференціального оператора :

к,

\ / \ Іп.-І <

1г"

о

R,

Доведення. Якщо визначити величини: f(Ri) ^ Д™/(г); f(Ri) = „f(r): ан =aJia‘2-a’ia;2;

(18)

t-»R.i+0

а12 — ailP22 а2іРі2> a21~Plia22 P21tt12 > й22 ^11^22 Р21Р12 >

то з умов спряження (16) знаходимо співвідношення

сіг(ід

сі г {“>

СІ Г

_ ^21 с,.

сіфі)

СІГ {а>'2

V (о \ г(и \(1 У(а>’2 (Кі ■’Т)

СІГ

Інтегруючи в лівій частині рівності (18) частинами, одержуємо:

нМ..[М(.|[''(г)]] = аї]в.,[,'(г)]%,(г,т)а1г1-'І1г+

0

+а* [Ваг [Г(г)]У(а)>2 (г,т)с2 г2а^& =

-а’а.г2“’*1

0

2гт г2а2+1

+а2ст2г

¿1 Г'Г) СІГ

К,

-(т^к^Г^У^тК г^-’сіг.

В силу структури а} (] = 1,2) і рівності (19) маємо, що

0 2 2«|+3

аіСГ1^1

"у гк Л гду(ф(к^)

С Г R2otl

_| j^2a,4-l ^21 Ml "-1 j^2a,+l

' С С R2“2 ‘

Ml '“11 K1

ir ті fdVH^R"T)

= 0.

Позаінтегральпі члени в точках г = 0 та г = оо зникають в силу умов (17). Розділяючи суму (т2 4-к^ на два доданки, приходимо до рівності (18).

Зауважимо, що запропонована методика дозволяє отримати гібридні інтегральні перетворення типу Канторовича-Лебедева на полярній осі г > 0 та сегменті (0, її) з будь-яким числом точок спряження.

Другий розділ присвячено побудові, методом дельтаподібних послідовностей, в ролі яких виступає ядро Коші, гібридних інтегральних перетворень Фур’є - Канторовича-Лєбєдєва на інтервалах ІЦ =(-«Ді)и(КІ5оо) та 1?л =(-«Д1)и(К1,К2)

і Канторовича-Лєбєдєва - Фур’е на інтервалах

І31 =(К1}К2)и(Я2,со) та І41 -(ОД^иі^Д,).

Тут також в кожному параграфі сформульовані і доведені теореми про інтегральне зображення кусково-неперервних, абсолютно сумовних (з точко визначеною ваговою функцією) функцій обмеженої варіації і про наявність основної тотожності інтегрального перетворення диференціального оператора. Внаслідок ідентичності логічної схеми побудови вище перелічених гібридних інтегральних перетворень наведемо результати § 2.4.

Теорема 2.4.1. Якщо функція g(r) = Г(г) [ га^1іО(г)0(і11 - г) +

+1 • 0(г— К.1)б(К2 — г) ] визначена, кусково-неперервна, абсолютно сумовна й має обмежену варіацію на (0,312), то для г єІ41 справджується інтегральне зображення

\

і[f(г + 0) + f (г - О)] = - J Va (г, т)п„ (т) j Va (р, т)с(р)f(p)dp

^ 71 о Vo -

dx. (20)

Доведення теореми проводиться методом дельтаподібної послідовності, в якості якої прийнято ядро Коші.

Теорема 2.4.2. Якщо функція f(r) двічі неперервно-диференційовна

на множині 141, задовольняє умови спряження (16) та крайові умови

Іігп

г->+0

г

а;і V ’ / \/ «

г йт

У

= 0,

і?,) «)

то для гібридного диференціального оператора

М„ = а?Є(т)Є(ІІ, -г)В. + а;<і(г- !5.,)Я(Р.г-г)£г-справджується основна тотожність інтегрального перетворення:

На;1[Ма[%)]] = а? { Ва ВД] Уа;1(г, т) а.г2“-^ г +

0

^I д? [^] Уа;г(г’Т) Г=-х2^(хІ + а^КГ^а?,)"1 Уа,2(^,т)^-

К1 ^2

- к2 |г(г)Уа.1(г,т)ст1г2в"1сіг-к2 ]>(г)Уа;2(г,т)ст2сіг. (22)

О X]

Тотожність (22) одержується інтегруванням частинами з використанням властивостей функцій Г(г), Уа1(г,т), \га2(г,т) й структури величин а,, а2.

Запровадження гібридних інтегральних перетворень типу (Фу-р’є, Канторовича-Лебедева) на трискладових інтервалах здійснено в третьому розділі. Тут побудовано інтегральні перетворення Фу-р’є - Канторовича-Лебедева - Канторовича-Лєбєдєва на інтервалі

Іц =Ы

Фур’є - Канторовича-Лєбєдєва - Канторовича-Лєбєдєва на інтервалі І22 =(-оо,К1)и(К.1Д2)и(К2»^-з) та Канторовича-Лєбєдєва-Канторовича-Лєбєдєва - Фур’є на інтервалі

132 = (®-0>®-і)и(і:і-і,К-2)и(К-2;00)’ ® ^ ®-0 < К-1 < К-2 ^ 1*3 < 00 •

При цьому одержано теореми про інтегральне зображення кусково-неперервних, абсолютно-сумовних (з точно визначеною ваговою функцією) функцій обмеженої варіації, сформульовано й дове-

дєно теореми про наявність основної тотожності інтегрального перетворення гібридного диференціального оператора.

Для прикладу наведемо теореми з §3.2.

Теорема 3.2.1. Якщо функція §(г) = Г(г)[О^ - г) +

-1 Л

+г“2~50(г -1^)9(112 - г) + г“3^0(г - К2)Є(К3 - г)] Г(г) визначена,

кусково-неперервна, абсолютно сумовна й має обмежену варіацію

на (-со, Я3), то для г єІ22 справджується інтегральне зображення

ҐКг

~[f(r + 0) + f(r - 0)] = ЦУг,0(г,т)Ца)(т) J V<a)(p,T)ff(p)f(p)dp

** ТС л \ „

(ІТ .

Теорема 3.2.2. Якщо функція ґ(г) двічі неперервно-диференційов-на на множині І22, задовольняє умови спряження (1) та крайові

dmf

умови

dr"

= 0. m = ОД ; a?, — + 0?, f(r)

Г = -оо ^ ‘‘dr ' ‘V W

= f3.

то справджується основна тотожність інтегрального перетворення гібридного диференціального оператора

М(а) = а2 OÍR, - r)~ +a2 9(r-R,)0(R2 -г)ВСг + а2 0(r- R2)e(R3 - г)Ва?:

HB,4MB,[f(r)]¡-aí_f 57 №)І V<»>;.(r' M r +

+ a2 jBa2 [f(r)]V(a);2(r-T)C2P2a2_1dr + 3* J Ba> [f(r)] V,a);3(r, t) (JjP2“»''‘d Г =

R, R,

=-T2r(T) + a2303R^+,(af1)",V(ei3(R3>T)f,--k2 |f(r)V(a),(r,x)cr,dr-k2 |f(r)Vla%2(r,т)а2р2а2'Мr-

-00 R]

R3

-k2 J f(r)У(а);з(г,т)о'зР2с'3 ^ r, (a) = (a2,a3).

r2

Доведення теореми одержується методом інтегрування частинами з врахуванням властивостей функцій f(r),У(а);1(г,т),У(а];2(г,т),

У(а)-з(Г’г) та структури ШГОЖШІКІВ (71, С72, а3.

У четвертому розділі розглянуто типові задачі математичного аналізу та математичної фізики неоднорідних середовищ, точний розв’язок яких може бути побудований методом запроваджених інтегральних перетворень:

- задача обчислення значень ноліпараметричної сім’ї невласних інтегралів (§4.1, метод гібридного інтегрального перетворення типу Канторовича-Лебедева на полярній осі г > 0 з двома точками спряження;

- задача про структуру стаціонарних температурних полів в суцільних необмежених клиновидних циліндрично-кругових тілах (§4.2, метод інтегрального перетворення типу Канторовича-Лєбє-дева на інтервалі (0, її) );

- задача про осесимегричні коливання кусково-однорідних напів-обмежених, ортотропних циліндричних тіл (§4.3, метод гібридного інтегрального перетворення типу Канторовича-Лєбєдєва на інтервалі (0Д2) з однією точкою спряження);

- задача про коливання кусково-однорідної струни (§4.4, метод гібридного інтегрального перетворення Фур’є - Канторовича-Лєбєдєва - Канторовича-Лєбєдєва на обмеженій справа декартовій півосі). Проведено чисельний аналіз по розрахункових формулах.

У висновках наведено основні результати дисертаційної роботи.

Основні результати та висновки роботи.

1. Методом дельтаподібних послідовностей, в ролі яких виступає ядро Коші, запроваджено інтегральні перетворення типу Канторовича-Лєбєдєва на полярній осі г > 0 та сегменті (0, Я), на полярній осі г > 0 та сегменті (0, Я) з однією й двома точками спряжепня.

2. Методом дельтаподібних послідовностей, в ролі яких виступає ядро Коші, побудовано гібридні інтегральні перетворення Фур’є - Канторовича-Лєбєдєва на декартовій осі та обмеженій справа декартовій півосі з однією точкою спряження, Канторови-

ча-Лєбєдєва - Фур’є на полярній осі г > Ы, > 0 з однією точкою спряження та двоскладовому декартовому сегменті, Фур’є - Канторовича-Лебедева - Канторовича-Лебедева на декартовій осі та обмеженій справа декартовій півосі з двома точками спряження , Канторовича-Лєбєдєва - Канторовича-Лебедева - Фур’е на полярній осі г>110 >0 з двома точками спряження.

3. Одержано теореми про інтегральні зображення кусково-неперервних, абсолютно сумовних (з точно визначеною ваговою функцією) функцій обмеженої варіації через ядра запроваджених гібридних інтегральних перетворень.

4. Одержано теореми про наявність основної тотожності інтегрального перетворення гібридних диференціальних операторів, що дозволяє застосовувати запроваджені інтегральні перетворення для побудови в замкненій формі алгоритмічного характеру точних аналітичних розв’язків відповідних сингулярних задач математичної фізики неоднорідних структур.

5. Різновидність застосування запроваджених інтегральних перетворень (Фур’є, Канторовича-Лєбєдєва) показано на типовій задачі математичного аналізу (обчислення поліпараметричних невласних інтегралів) та типових задачах математичної фізики неоднорідних середовищ:

а) задачі про структуру стаціонарних температурних полів в суцільних необмежених клиновидних циліндрично-кругових тілах;

б) задачі про осесиметричні коливання кусково-однорідних напівобмежепих ортотропних циліндричних тіл;

в) задачі про структуру хвиль, що виникають при коливанні кусково-однорідної струни в результаті дії на кожній ділянці струни збурених сил.

Роботи автора за темою дисертації.

1. Міхалевська Г.І. Стаціонарна задача теплопровідності для

клиновидного шару з порожниною.//Інтегральні перетворення

та їх застосування до крайових задач: 36.наук.пр. -Київ:

Ін-т математики АН України, 1992.-Вип. 1. -с. 129-139.

2. Міхалевська Г.І . Гібридні інтегральні перетворення типу

17

Канторовича-Лебедева на двошаровій полярній осі. //Нелинейные краевые задачи математической физики и их приложения: Сб.научн.тр. -Киев: Ин-т математики НАН Украины, 1995.

-с.184-186.

3. Міхалевська Г.І. Гібридні інтегральні перетворення Фур’є-Канторовича-Лєбєдєва на декартовій осі.//Інтегральні перетворення та їх застосування до кранових задач: 36.наук.пр. -Київ:Ія-т математики НАН України, 1995.-Вип.8. -с. 137-144.

4. Міхалевська Г.І. Гібридні інтегральні перетворення Фур’є-Канторовича-Лєбєдєва на обмеженій справа декартовій півосі //Інтегральні перетворення та їх застосування до крайових задач: Збліаук.пр.-Київ: Ін-т математики НАН України, 1995. -Вип.9. -с.206-214.

5. Міхалевська Г.І. Гібридні інтегральні перетворення Канторовича- Лєбєдєва-Фур’є на полярній осі. //Інтегральні перетворення та їх застосування до крайових задач: Зб.наук.пр.

-Київ: Ін-т математики НАН України,199б.-Вип.12.-с.128-136.

6. Міхалевська Г.І. Гібридні інтегральні перетворення Канторовича- Лєбєдєва-Фур’є на двоскладовому сегменті.//Інтегральні перетворення та їх застосування до крайових задач: 36.наук. пр.-Кнїв:Ін-г математики НАН України,1996.-В.ІЗ.-с.112-121.

7. Міхалевська Г.І. Коливання кусково-однорідної обмеженої справа струїш.//Нелінійні крайові задачі математичної фізики та їх застосування: Зб.наук.пр.-Київ:Ін-т математики НАН України,1996.-Ч.2. -с.69-72.

8. Міхалевська Г.І. Гібридні інтегральні перетворення Фур'є -Канторовича-Лєбєдєва - Канторовича-Лєбєдєва на обмеженій справа декартовій півосі.//Інтегральні перетворення та їх застосування до крайових задач: Зб.наук. пр.-Київ: Ін-т математики НАН України, 1996.-е. 140-151.

9. Ленюк М.П., Міхалевська Г.І. Гібридні інтегральні перетворення Канторовича-Лєбєдєва. Київ, 1996.-64 с.(Препринт/НАН України, Ін-т математики; 96.16)

10. Ленюк М.П., Михалевская Г.И. Стационарная задача теплопроводности для клиновидного цилиндрического пространства с полостью. -Киев, 1988.-28 с.-Деп.в УкрНИИНТИ, N 2053-Ук88.

18

И. Михалевская Г.И.,Ленюк М.П.Стационарные температурные поля в сплошных неограниченных, полуограниченных и ограниченных хслиновпдных цилиндрических телах. -Киев, 1988.-33 с.-Дел. в УкрНИИНТИ, №637-Ук88.

12. Михалевская Г. И. Стационарная задача теплопроводности для клиновидного цилиндрического пространства с полостью. -Киев, 1989.-31 с.-Деп.п УкрНИИНТИ, Ы1398-Ук89.

Mikhalevska G.I. Introduction of integral transformation ( Furie, Kantorovich-Lebedev ) on piece-homogenuous intervals. Manuscript.

The thesis to the obtaining of Master’s degree of physics-mathematics sciences on speciality 01.01.03-mathematical physics;Chernivtsy State University named afte Y.Fedkovich, Chernivtsy, 1996.

The hybrid integral transformations (Furie, Kantorovich-Lebedev) are constructed by means of 8-image sequenses. These transformations are created by all kinds of combinations of the Furie and Bessel operators on Dekart’s oxis and right-bounded Dekart’s half-oxis and polar oxis with one and two conjugated points. Logical plan of using is described on tvpycal problems.

Михалевская Г. И. Введение интегральных преобразований (Фурье, Канторовича-Лебедева) на кусочно-однородных промежутках. Рукопись. Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.03-математическая физика. Черновицкий государственный университет им.Ю.Федьковича, Черновцы, 1996. ■

Методом дельтаобразных последовательностей построены гибридные интегральные преобразования (Фурье, Канторовича-Лебедева), порожденные возможным сочетанием операторов Фурье и Бесселя на декартовой оси, ограниченной справа декартовой полуоси и полярной оси с одной и двумя точками сопряжения. Логическая схема применения показана на типичных задачах.

Ключові слова: гібридний диференціальний оператор, інтегральні перетворення, метод дельтаподібних послідовностей, інтегральне зображення, спектральна функція, вагова функція, спектральна густина, основна тотожність.