Вычисление радиационных поправок к слабым и электромагнитным процессам в сильном кулоновском поле тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

На правах рукописи

ТЕРЕХОВ Иван Сергеевич

ВЫЧИСЛЕНИЕ РАДИАЦИОННЫХ ПОПРАВОК К СЛАБЫМ И ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫМ ПРОЦЕССАМ В СИЛЬНОМ КУЛОНОВСКОМ ПОЛЕ

01.04.02 - теоретическая физика

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

НОВОСИБИРСК - 2006

Работа выполнена в Институте ядерной физики им. Г.И. Будкера СО РАН.

НАУЧНЫЙ РУКОВОДИТЕЛЬ:

Милыптейн — доктор физико-математических наук,

Александр Ильич профессор, Институт ядерной физики

им. Г.И. Будкера СО РАН, г. Новосибирск. ОФИЦИАЛЬНЫЕ ОППОНЕНТЫ:

Барков — доктор физико-математических наук,

Лев Митрофанович профессор, академик,

Институт ядерной физики им. Г.И.Будкера СО РАН, г. Новосибирск.

Шабаев - доктор физико-математических наук,

Владимир Моисеевич профессор, Санкт-Петербургский

государственный университет, г. Санкт-Петербург. ВЕДУЩАЯ — Петербургский институт ядерной

ОРГАНИЗАЦИЯ: физики им. Б.П. Константинова РАН,

г. Санкт-Петербург.

Защита диссертации состоится «2\ " CiMjJjA 2006г.

в часов на заседании диссертационного совета Д.003.016.02

Института ядерной физики им. Г.И. Будкера СО РАН.

Адрес: 630090, г. Новосибирск-90,

проспект академика Лаврентьева, 11.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ИЯФ

им. Г.И. Будкера СО РАН.

Автореферат разослан _ 2006 г.

Ученый секретарь диссертационного совета, доктор физ.-мат. наук,

профессор " B.C. Фадин

6322-

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы

Для сравнения результатов экспериментов с предсказаниями стандартной модели необходимо учитывать радиационные поправки. Например, для правильного сравнения результатов экспериментов по измерению слабого заряда ядра [1] необходимо вычислять радиационные поправки к матричному элементу (31/2 ^иНРг/г)) гДе ~ гамильтониан взаимодействия электрона с ядром, ^1/2) - состояние электрона в атоме с орбитальным моментом / и полным моментом 1/2. Радиационные поправки к этому матричному элементу, связанные с поляризацией вакуума были вычислены в работах [2, 3]. Однако для полного анализа необходимо учесть радиационные поправки, связанные с массовым и вершинным операторами.

Возрастающая точность экспериментов по измерению лэмбов-ского сдвига [4, 5, 6] приводит к необходимости учета все более тонких эффектов при проведении теоретических расчетов. Одним из таких эффектов является эффект конечного размера ядра и его влияние на лэмбовский сдвиг. Несмотря на то, что существуют численные вычисления радиационных поправок к эффекту конечного размера ядра, структура и зависимость этих поправок от размеров ядра понята не была. Для того, чтобы понять структуру этих поправок необходимы аналитические вычисления.

Вычисление поправок, связанных с так называемой магнитной петлей, к ^-факторам электрона и мюона в ионах является важной задачей. Это связано с тем, что существуют эксперименты по измерению отношения ларморовской частоты электрона к циклотронной частоте иона в магнитном поле. Из этих экспериментов можно извлечь отношение масс электрона и протона с высокой точностью, но для этого необходимо знать ^-фактор электрона с

высокой точностью.

Основными целями работы являлось следующее:

• Вычисление радиационных поправок к матричному элементу

\Р\/2)-, связанных с массовым и вершинным операторами.

• Вычисление радиационных поправок к эффекту конечного размера ядра.

• Вычисление вклада магнитной петли в д-фактор связанного электрона и связанного мюона.

• Вычисление сечения рассеяния электрона низкой энергии в кулоновском поле.

Научная новизна. Основные результаты,

выносимые на З&щиту

Впервые вычислены относительные радиационные поправки к слабым зарядам ядер с точностью связанные с массовым

и вершинным операторам. Это позволило выполнить анализ экспериментальных данных по измерению слабых зарядов ядер, и показать, что результаты экспериментов согласуются с предсказаниями стандартной модели с точностью 0.6 стандартных отклонений.

Вычислены относительные радиационные поправки к эффекту конечного размера ядра с точностью а.{7,о)2.

Впервые аналитически вычислены поправки, связанные с магнитной петлей, к ^-факторам электрона и мюона в водородопо-добных ионах. Это позволило уменьшить ошибку теоретических предсказаний для ^-факторов электрона и мюона в ионах.

Проведен аналитический анализ сечения рассеяния электронов малой энергии в сильном кулоновском поле. Показано, что в широкой области энергий точное сечение существенно отличается от результатов, полученных в первом борновском приближении и в нерелятивистском приближении.

Научная и практическая ценность работы

Вычисления вкладов массового и вершинного операторов в радиационные поправки к слабым зарядам ядер позволили провести полный анализ экспериментальных данных, и показать, что

величины слабых зарядов ядер, измеряемых в экспериментах, совпадают с предсказаниями стандартной модели.

Аналитические вычисления радиационных поправок к эффекту конечного размера ядра позволили понять их структуру и зависимость от размеров ядра.

Вычисления вклада магнитной петли в ^-фактор связанного электрона и связанного мюона позволили уменьшить неопределенность в предсказании их ^-факторов.

Аналитический анализ сечения рассеяния электронов малой энергии показал, что в широкой области энергий точное сечение существенно отличается от результатов, полученных в первом борцовском приближении и в нерелятивистском приближении.

Апробация диссертации

Работы, которые послужили основой диссертации, докладывались на теоретических семинарах Института ядерной физики им. Г.И. Будкера (2002-2005г., Новосибирск, Россия), научной сессии-конференции "Физика фундаментальных взаимодействий"(2-6 декабря 2002г., ИТЭФ, Москва), научной сессии-конференции "Физика фундаментальных взаимодействий" (1-5 марта 2004г., ИТЭФ, Москва).

Объем и структура работы

Диссертация насчитывает 75 страниц, 19 рисунков и 3 таблицы.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении сформулированы основные цели работы и подчеркнута ее важность. Кратко изложено основное содержание всех глав диссертации. "

В первой главе вычисляются относительные радиационные поправки к матричному элементу (вх/г^и'Ьз./г)) связанные с массовым и вершинным операторами, здесь Нц? - гамильтониан слабого взаимодействия электрона с ядром, \1\/2) ~~ состояние электрона в атоме с орбитальным моментом I и полным моментом 1/2. Эти поправки могут быть записаны в виде <5 = Д1п(Лс/го) + В, где А с - комптоновская длина волны электрона, го - радиус ядра. Эта

структура поправки была указана в работе [3]. Основные вклады в коэффициенты Л и В дают различные обрасти расстояний и вычисляются различными способами. Коэффициент Л был вычислен аналитически в лидирующем порядке по параметру 2а, Л ос (2а)2, и численно во всех порядках по параметру Zа. Коэффициент В был вычислен аналитически в лидирующем порядке (Яа). Основной вкад в коэффициент Л дает область расстояний г о <С г Ас, тогда как в коэффициент В - область г ~ Л^. Для вычисления коэффициента Л использовалась точная функция Грина электрона в кулоновском поле [7] и калибровка Фейнмана. Для вычисления коэффициента В строился эффективный оператор на плоских волнах и испбльзовалась калибровка Фрида-Йенни.

После вычисления радиационных поправок, связанных с массовым и вершинным операторами, в главе 1 проводится анализ экспериментальных результатов.

Вторая глава посвящена вычислению относительных радиационных поправок к эффекту конечного размера ядра для состояний 81/2, Р1/2 и Рз/2- Эффект конечного размера ядра связан с отличием потенциала ядра от кулоновского:

5У(г) = У(г) - - (1)

Это возмущение приводит к сдвигу уровней энергии в атомах. Важным фактом является то, что возмущение (1) отлично от нуля только на расстояниях порядка размеров ядра.

Диаграммы, которые описывают радиационные оправки приведены на Рис. 1. Вычисления радиационных поправок к эффекту конечного размера ядра похожи на вычисления радиационных поправок к эффекту несохранения четности. Дело в том, что в обоих случаях источник возмущения находится на расстояниях порядка размеров ядра. Из этого следует, в частности, что логарифмические вклады в относительных поправках для и Р1/2 совпадают с относительными логарифмическими вкладами для эффекта несохранения четности, так как логарифмические вклады набираются в области го <С г -С Ас- Пренебрегая в этой области массой

а

е

Рис. 1: Главная поправка к сдвигу уровней энергии, связанная с конечным размером ядра, дается диаграммой (а), однопетлевые радиационные поправки к сдвигу уровней энергии, связанному с конечным размером ядра, даются диаграммами (Ь-е). Двойной линией обозначается функция Грина электрона в кулоновском поле ядра, крест обозначает ядро, зигзагообразная линия - возмущение (1), пунктирная линия - фотон.

электрона, получаем:

где 1рп - волновая функция электрона в состоянии п, N - некоторая константа, 75 - пятая матрица Дирака. Из этого следует, что

Видно, что константа N сократится в относительной поправке, это и доказывает равенство относительных вкладов расстояний го <С г «С \с- Для вычисления вкладов в относительную поправку к эффекту конечного размера ядра в порядке а(Еа) использовался метод эффективного оператора.

(2)

(«1/217075 |р1/2> = #(в1/2Ыв1/2>-

(3)

Во второй главе вычисляются радиационные поправки к эффекту конечного размера ядра для состояний si/2, V\ji и Рз/2- Для состояний s\/2, Р1/2 относительные радиационные поправки имеют логарифмически усиленные слагаемые в порядке a(Za)2. Для состояний £>з/2 таких слагаемых нет. Это связано с тем, что волновая функция электрона в состоянии рз/2 при г —► 0 стремится к нулю В ОТЛИЧИИ ОТ ВОЛНОВЫХ функций СОСТОЯНИЙ S1/2, Pl/2-

Третья глава посвящена вычислению вклада магнитной петли в ^-факторы связанного электрона и связанного мюона.

Для нахождения отношения масс электрона и протона можно использовать данные по измерению ларморовской частоты прецессии электрона и циклотронной частоты иона во внешнем магнитном поле [8]. Для этого необходимо знать ^-фактор связанного электрона с высокой точностью. Следовательно, необходимо вычислять радиационные поправки к ^-фактору связанного электрона. Вычисление этих поправок отличается от вычисления радиационных поправок к g-фактору свободного электрона наличием внешнего куяоновского поля, т.е. в случае связанного электрона в задаче появляются радиационные поправки, зависящие от Za. Также появляются поправки, связанные с конечностью массы и размера ядра. Прогресс в экспериментальном изучении ^-фактора связанного электрона [9] и мюона [10, 11] в ионах требует теоретического исследования перечисленных вкладов в эту величину. В работах [12, 13, 14, 15, 16, 17, 18] исследовались поправки к р-фактору, связанные с массовым оператором, поляризацией вакуума и ядерными эффектами. Существенная часть неопределенности теоретических предсказаний возникает из вклада, связанного с поляризацией вакуума однородным магнитным полем в электрическом поле атома, так называемый вклад магнитной петли. Соответствующая диаграмма изображена на Рис. 2. Первый неисчезающий член разложения по кулоновскому полю изображен на Рис. 2. В работе [14] был численно получен вклад магнитной петли в ^-фактор связанного электрона во всех порядках по Za (по кулоновскому полю). В настоящее время наиболее точные экспериментальные результаты получены в промежуточной области Z. Однако в этой области

ли в д-фактор связанного электрона, и первые неисчезающие члены разложения электронной петли по кулоновскому взаимодей-> ствию. Двойная линия обозначает пропагатор и волновую функ-

цию электрона в кулоновском поле, пунктирная линия с крестом 1 на конце обозначает кулоновское поле, волнистая линия с квадра-

том на конце - внешнее однородное магнитное поле, внутренняя волнистая линия - пропагатор фотона.

< 30) точность результатов работы [14] низкая, например, для 2 — 12 ошибка вычислений составляет 100%. В работе [17] была получена лидирующая по Za поправка к ^-фактору электрона в в состоянии, связанная с магнитной петлей, см. Рис. 2. Эта поправка имеет порядок а{7,а)ь. Сравнение результатов работы [14] с результатом работы [17] в области больших где вычисления [14] имеют достаточную точность, показывает заметное отличие точного по 2 а выражения [14] от лидирующего. Это отличие может быть объяснено тем, что мы должны учесть следующий по 2а член разложения, т.е. Учесть порядок а{.2Га)6. Дело в том, что порядок а(Яа)5 аномально мал, т.к. коэффициент при а(^а)5 приблизи-^ тельно равен 1/30. Это означает, что если коэффициент при а(2а)6

Г1 будет порядка единицы, то этот порядок будет давать заметный

I вклад в д-фактор даже для небольших 2.

I Следующие члены разложения вклада магнитной петли по па-

раметру можно разбить на два типа. Первый тип связан с разложением по параметру электронной петли, второй тип -с отличием дираковской волновой функции от нерелятивистской волновой функции.

В главе 3 мы нашли вклад магнитной петли в порядке а^а)6 в д-фактор связанного электрона для произвольных состояний.

Несмотря на малый коэффициент в порядке и логариф-

мическое усиление высших поправок, лидирующий член остается доминирующим для Z = 6 к Z = 8, которые важны для эксперимента. Полученные ранее численные результаты имели низкую точность для вклада магнитной петли в области 2 < 20. Наш результат для этого вклада имеет в данной области значительно большую точность. Для учета'следующих по Za поправок к ^-фактору электрона, связанных с магнитной петлей, вычисления проводились с дираковскими волновыми функциями. В области больших Z, где точность результатов работы [14] высока, отличие нашего аналитического результата от результатов работы [14] составляет всего несколько процентов для Z в области (80 -т- 90). Это показывает, что для довольно больших Z высшими членами разложения по Za магнитной петли можно пренебречь, а поправки связанные с дираковской волновой функцией должны быть учтены.

Также была вычислена поправка Ад для связанного мюона. Эта поправка имеет интересную структуру. Дело в том, что все известные вклады в ^-фактор связанного мюона имеют коэффициент п~2 или п~3, где п - главное квантовое число. Поправка, найденная в этой работе, не содержит такого подавления при больших п. Полученный результат уменьшает неопределенность теоретических предсказаний для ^-фактора связанной частицы.

В четвертой главе вычисляется асимптотика сечения рассеяния электрона низкой энергии в кулоновском поле.

Явное выражение для сечения рассеяния электрона произвольной энергии в сильном кулоновском поле, содержащее бесконечный ряд по полиномам Лежандра, было получено много лет назад в работе [19]. Хотя в ряде работ были развиты методы суммирования этого ряда, численные расчеты сечения все еще являются сложной задачей. Детальный обзор работ, посвященных обсуждаемой проблеме, может быть найден в книге [20]. В работах [21, 22, 23] были проведены численные расчеты сечения рассеяния электрона в кулоновском поле для различных углов рассеяния, зарядов ядер Z и энергий электрона выше 0.023 МэВ. При рассмотрении рассеяния назад для Z = 80 было показано, что при уменьшении энергии

электрона от 1.675 МэВ до 0.023 МэВ отношение точного релятивистского сечения к нерелятивистскому (резерфордовскому) сечению увеличивается от 0.15 до 2.35. В связи с таким большим отличием точного результата от полученного в нерелятивистском приближении возникает вопрос о поведении точного сечения рассеяния медленных электронов в сильном кулоновском поле. В главе 4 мы находим ответ на этот вопрос, вычислив асимптотику сечения для произвольного Z и малой энергии электрона.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ, ПОЛУЧЕННЫЕ В РАБОТЕ

1. Вычислены относительные радиационные поправки к эффекту несохранения четности, связанные с массовым и вершинным операторами. Это позволило провести анализ экспериментальных результатов по измерению слабых зарядов ядер, и показать, что результаты экспериментов совпадают с предсказаниями стандартной модели.

2. Вычислены относительные радиационные поправки к эффекту конечного размера ядра для состояний Р1/2 и Рз/2 с точностью а(Яа)2.

3. Вычислен вклад магнитной петли в д-фактор связанного электрона.

4. Вычислен вклад магнитной петли в д-фактор связанного мю-она.

5. Проведен аналитический анализ сечения рассеяния электронов малой энергии в сильном кулоновском поле. Показано, что в широкой области энергий точное сечение существенно отличается от результатов, полученных в первом борновском приближении и в нерелятивистском приближении.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах:

1. Radiative corrections and parity nonconservation in heavy atoms, A.I. Milstein, O.P. Sushkov, and I.S. Terekhov,

Phys. Rev. Lett. 89, 283003 (2002).

2. Calculation of radiative corrections to the effect of parity nonconservation in heavy atoms, A.I. Milstein, O.P. Sushkov, and I.S. Terekhov, Phys. Rev. A 67, 062103 (2003).

3. Finite nuclear size and Lamb shift of p-wave atomic states, A.I. Milstein, O.P. Sushkov, and I.S. Terekhov, Phys. Rev. A 67, 062111 (2003).

4. Finite nuclear size effect on Lamb shift of s^. Pi/2> and P3/2 atomic states, A.I. Milstein, O.P. Sushkov, and I.S. Terekhov, Phys. Rev. A 69, 022114 (2004).

5. Рассеяние электрона малой энергии в сильном кулоновском поле, А.И. Мильштейн, И.С. Терехов, ЖЭТФ т. 125, 785 (2004).

6. Virtual light-by-light scattering and the g factor of a bound electron, R.N. Lee, A.I. Milstein, I.S. Terekhov, and S.G. Karshenboim, Phys. Rev. A 71, 052501 (2005).

Список литературы

[1] C.S. Wood et al. Measurement of parity nonconservation and an anapole moment in cesium, Science 275, 1759 (1997); S. C. Bennett and С. E. Wieman, Measurement of the 6s—*7s transition polarizability in atomic cesium and an improved test of the standard model, Phys. Rev. Lett., 82, 2484 (1999).

[2] W.R. Johnson, I. Bednyakov and G. Soff. Phys. Rev. Lett., 87, 233001 (2001).

[3] A.I. Milstein and O.P. Sushkov. Parity nonconservation in heavy atoms: The radiative correction enhanced by the strong electric field of the nucleus, Phys. Rev. A, 66, 022108 (2002).

[4] Th. Stohlker, P.H. Mokler et al. Ground-state Lamb shift for hydrogenlike uranium measured at the ESR storage ring, Phys. Rev. Lett., 71, 2184 (1993).

[5] Th. Stohlker, P.H. Mokier et al. Is Lamb shift in hydrogenlike uranium measured on cooled, decelerated ion beams, Phys. Rev. Lett., 85, 3109 (2000).

[6] A. Gumberidze, Th. Stohlker et al. Quantum electrodynamics in strong electric fields: the ground-state Lamb shift in hydrogenlike uranium, Phys. Rev. Lett., 94, 223001 (2005).

[7] A.I. Milstein, V.M. Strakhovenko, Phys. Lett. A, 90, 447 (1982).

[8] T. Beier, H. Häff er, N. Hermanspahn, S.G. Karshenboim, and H.Jürgen Klude. New determination of the electron's mass, Phys. Rev. Lett., 88, 011603 (2002).

[9] H. Häffner, T. Beier, N. Hermanspahn, H.-J. Kluge, W. Quint, S. Stahl, J. Verdtl, and G. Werth. High-accuracy measurement of the magnetic moment anomaly of the electron bound in hydrogenlike carbon, Phys. Rev. Lett., 85, 5308 (2000);

J.L. Verdü, S. Djekic, S. Stahl, T. Valenzuela, M. Vogel, G. Werth, T. Beier, H.-J. Kluge, and W. Quint. Electronic g factor of hydrogenlikc oxygen 1607+, Phys. Rev. Lett., 92, 093002 (2004).

[10] C.J. Gardner, A. Badertscher, W. Beer, P.R. Bolton, P.O. Egan, M. Gladisch, M. Greene, V.W. Hughes, D.C. Lu, F.G. Mariam, P.A. Souder, H. Orth, J. Vetter, and G. zu Putlitz. Precise measurement of the hyperfine-structure interval and Zeeman effect in the muonic helium atom, Phys. Rev. Lett., 48, 1168 (1982)

[11] T.N. Mamedov, A.S. Baturin, D. Herlach, O.D. Maslov, A.V. Stokov, and U. Zimmermann. JETP Lett., 76, 693 (2002);

T.N. Mamedov, D. Herlach, K.I. Gritsaj, 0. Kormann, J. Major, A. V. Stoikov, and U. Zimmermann. JETP, 93, 941 (2001); J.H. Brewer. Hyperfine Interaction, 17-19, 873 (1984); T. Yamazaki, S. Nagamiya, 0. Hashimoto, K. Nagaminea, K. Nakaia, K. Sugimoto, and K.M. Crowe. Phys. Lett. B, 53B, 117 (1974); D.P. Hutchinson, J. Menes, G. Shapiro, and A.M. Patlach. Magnetic moment of negative muons, Phys. Rev., 131, 1362 (1963).

[12] S.A. Blundell, K.T. Cheng, and J. Sapirstein. Radiative corrections in atomic physics in the presence of perturbing potentials, Phys. Rev. A, 55, 1857 (1997);

H. Persson, S. Salomonson, P. Sunnergren, and I. IAndgren. Radiative corrections to the electron g-factor in H-like ions, Phys. Rev. A, 56, R2499 (1997);

V.A. Yerokhin, P. Indelicato, and V.M. Shabaev. Self-energy correction to the bound-electron g-factor in H-like ions, Phys. Rev. Lett., 89, 143001 (2002);

V.A. Yerokhin, P. Indelicato, and V.M. Shabaev. Evaluation of the self-energy correction to the g factor of S states in H-like ions, Phys. Rev. A, 69, 052503 (2004);

K. Pachucki, U.D. Jentschura, and V.A. Yerokhin. Nonrelativistic QED approach to the bound-electron g-factor, Phys. Rev. Lett., 93, 150401 (2004).

[13] H. Persson, S. Salomonson, P. Sunnergren, and I. Lindgren Radiative corrections to the electron g-factor in H-like ions, Phys. Rev. A, 56, R2499 (1997);

V.A. Yerokhin, P. Indelicato, and V.M. Shabaev. Self-energy correction to the bound-electron g-factor in H-like ions, Phys. Rev. Lett., 89, 143001 (2002);

V A. Yerokhin, P. Indelicato, and V.M. Shabaev. Evaluation of the self-energy correction to the g factor of S states in H-like ions, Phys. R,ev. A, 69, 052503 (2004).

[14] T. Beier et al, g3 factor of an electron bound in a hydrogenlike iori, Phys. Rev. A, 62, 032510 (2000).

[15] S.G. Karshenboim, V.G. Ivanov and V.M. Shabaev. JETP, 93, 477 (2001); Can. J. Phys., 79, 81 (2001).

[16] S.G. Karshenboim. Phys. Lett. A, 266, 380 (2000).

[17] S.G. Karshenboim and A.I. Milstein. Phys. Lett. B, 549, 321 (2002).

[18] V.M. Shabaev. QED theory of the nuclear recoil effect on the atomic g factor, Phys. Rev. A, 64, 052104 (2001);

V.M. Shabaev and V.A. Yerokhin. Recoil correction to the bound-electron g-factor in H-Like atoms to all orders in aZ, Phys. Rev. Lett.. 88, 091801 (2002).

[19] N.F.Mott. Proc. Roy. Soc. A, 124, 426 (1929).

[20] H. Überall. Electron Scattering From Complex Nuclei (Academic Press, New York, 1971).

[21] J.H. Bartlett, R.E. Watson. Proc. Am. Acad. Arts Sei., 74, 53 (1940).

[22] J. A. Doggett, L. V. Spencer. Elastic scattering of electrons and positrons by point nuclei, Phys. Rev., 103, 1597 (1956).

[23] N. Sherman. Coulomb scattering of relativistic electrons by point nuclei, Phys. Rev., 103, 1601 (1956).

ТЕРЕХОВ Иван Сергеевич

Вычисление радиационных поправок к слабым и электромагнитным процессам в сильном кулоновском поле

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Сдано в набор 17.01.2006 г. Подписано к печати 19.01.2006 г. Формат 60x90 1/16 Объем 0,7 печ.л., 0,6 уч.-изд.л. Тираж 100 экз. Бесплатно. Заказ № 2 Обработано на IBM PC и отпечатано на ротапринте ИЯФ им. Г.И. Будкера СО РАН, Новосибирск, 630090, пр. академика Лаврентьева, 11.

¿OOGfi

»"6 92 2 6512-

Введение

Глава 1: Эффекты несохранения четности в тяжелых атомах

1.1 Структура PNC амплитуды.

1.2 Логарифмический вклад массового оператора.

1.3 Логарифмический вклад вершинного оператора. ф 1.4 Радиационные поправки линейные по Za.

1.5 Анализ экспериментальных результатов и обсуждение

Глава 2: Радиационные поправки к эффекту конечного разме ра ядра

2.1 Основные соотношения

2.2 Вычисление ведущих SEVFNS поправок к состояниям pi/2 и

Рз/2.

2.3 Вычисление SEVFNS поправок в порядке a(Za) для состояний Sy2, Pi/2 и Рз/2. $ 2.4 Относительные SEVFNS поправки порядке a(Za)2 (вклад расстояний Го т «С А с) и суммарные SEVFNS поправки . 41 2.5 Радиационные поправки к эффекту конечного размера ядра, связанные с поляризацией вакуума.

Глава 3: g-фактор связанного электрона

3.1 Основные соотношения

3.2 Поправка к ^-фактору при малых Za.

Ф 3.3 Поправка к ^-фактору при Za ~ 1.

3.4 Поправка Ад для мюонных атомов.

Глава 4: Сечение рассеяния электрона в кулоновском поле

4.1 Основные формулы

4.2 Сечение рассеяния в низкоэнергетическом пределе.

Стандартная модель электрослабых взаимодействий считается сегодня общепризнанной теорией, объединяющей слабые и электромагнитные взаимодействия. Ее предсказания находятся в согласии с экспериментальными результатами. Быстрое развитие экспериментальных методов приводит к повышению точности экспериментальных данных и, следовательно, к возможности наблюдения новых эффектов. Поэтому для сравнения теоретических предсказаний с результатами экспериментов необходимо учитывать все более тонкие эффекты, предсказываемые теорией. Это объясняет постоянный теоретический интерес к теории электрослабых взаимодействий.

Считается, что стандартная модель является низкоэнергетическим приближением более общей теории (возможно объединяющей четыре взаимодействия). Существует множество расширений стандартной модели, например суперсимметричная теория, теория техницвета. Эти теории предсказывают явления, которых нет в стандартной модели электрослабых взаимодействий.

Попытки поиска эффектов, предсказываемых расширениями стандартной модели, предпринимались в ускорительных экспериментах. Эти эксперименты проводятся при больших и средних энергиях, где новые процессы или частицы можно наблюдать явно. Однако обнаружить новые явления можно и в экспериментах при низких энергиях. Для этого необходимо точное измерение величин, которые описываются стандартной моделью. В этом случае эффекты за рамками стандартной модели будут проявляться в отличии измеряемых величин от предсказываемых стандартной моделью. Атомные эксперименты относятся к экспериментам при низких энергиях.

Более двадцати лет атомные эксперименты играют важную роль в проверке стандартной модели. Хотя существование нейтрального векторного тока было обнаружено в экспериментах по рассеянию нейтрино [1], факт нарушения нейтральным векторным током четности впервые был установлен в атомных экспериментах [2] и позже в экспериментах по рассеянию электронов высокой энергии [3]. В данный момент атомная физика играет важную роль в поиске новой физики вне стандартной модели. Например, наиболее точные измерения эффектов несохранения четности в Cs ставят нижнюю границу на массу дополнительного Z-бозона, существующего в расширениях стандартной модели, см. например [4].

Эффекты несохранения четности в атомах возникают из-за обмена Zбозоном между электронами атома и ядром. Слабое электрон-нуклонное взаимодействие, нарушающее Р четность, но сохраняющее Т четность, описывается следующим произведением аксиального и векторного токов:

G - h = Y] {ClNe^5eN^N + C2Ne^eNltll5N) . (1)

V 2 N

Здесь G - константа Ферми, ей N - волновые функции электрона и нуклона, и 75 - матрицы Дирака. Суммирование ведется по всем протонам и нейтронам ядра. Коэффициенты Cuv и C^n ~ константы, которые в первом порядке по электрослабому взаимодействию имеют вид

Cip = (1 - 4sin2 9w)/2 « 0.04, Cin = -1/2,

С2р = ~С2п = (1 - 4 sin2 0w)gA/2 « 0.05, (2) где Qa ~ 1-26. Угол Вайнберга в\у является свободным параметром. Экспериментально найденное значение sin2 в\у ~ 0.23. Видно, что константа \С\п\ много больше констант С\р и \C2n\

Существует еще один вклад в эффект несохранения четности в атомах - вклад, возникающий из-за обмена Z-бозоном между электронами. Однако этот эффект мал [5-7]. Он подавлен фактором (1—4 sin2 0\v)K{Z)/(QwR{Z)) ио сравнению с главным эффектом, связанным со слабым электрон-нуклонным взаимодействием. Здесь K(Z) - численный коэффициент, уменьшающийся с ростом зарядового номера ядра Z, R{Z) - релятивистский фактор, который увеличивается с ростом Z, Qw - слабый заряд ядра, его определение будет дано в следующем параграфе. Для цезия эффект несохранения четности, связанный с обменом Z-бозоном между электронами, составляет « 0.04% относительно амплитуды основного вклада.

В данной диссертации будут рассматриваться снин-независимые эффекты несохранения четности, связанные с обменом Z-бозоном между электронами и ядром. Поэтому, полагая в выражении (1) нуклоны нерелятивистскими получаем следующее выражение для гамильтониана взаимодействия не зависящего от спина ядра, см. [8], G hw = ^=75 (ZCippp{r) + NClnPn(r)) , (3) где N - число нейтронов в ядре, hw - эффективный одноэлектронный оператор. Протонная и нейтронная плотности нормированы на единицу, f pp,ndzr =

1. Если принять, что протонная и нейтронная плотности совпадают, т.е. рр = рп = р, получаем где Qw - слабый заряд ядра. В низшем порядке по электрослабому взаимодействию слабый заряд ядра имеет вид

Это значение слабого заряда изменяется из-за радиационных поправок. Его значение для Cs, предсказываемое стандартной моделью, имеет величину

Точное измерение слабого заряда является методом проверки стандартной модели и поиском новых физических явлений.

Эффекты несохранения четности в атомах проявляются в том, что право-и левоноляризованный свет по разному взаимодействует с атомом, см. [8]. Это приводит к повороту плоскости поляризации света при прохождении линейнополяризованного света через пары атомов. Поэтому, измеряя угол поворота плоскости поляризации света при прохождении через нары атомов, можно измерить их слабый заряд. Слабый заряд может быть определен и в экспериментах по измерению степени циркулярной поляризации в атомных переходах.

Впервые эксперименты но измерению величины поворота плоскости поляризации света в парах атомов были предложены в работе Зельдовича [9]. Однако он рассматривал водород, в котором эффекты несохранения четности малы. В 1974 году в работах [5,10] было показано, что величина эффектов несохранения четности растет с ростом Z быстрее чем Z3. Эксперименты по вращению плоскости поляризации в парах атомов с большим Z, таких как талий, свинец и висмут были предложены в работах [11-13].

Впервые эффекты несохранения четности в атомах наблюдались в 1978 году в экспериментах по вращению плоскости поляризации света в парах висмута [2]. На сегодняшний день эффекты несохранения четности (PNC - parity nonconservation) в парах тяжелых атомов исследовались в висмуте [2,14], свинце [15], талии [16] и цезии [17]. Результаты экспериментов являются проверкой стандартной модели и налагают ограничения на новые эффекты вне стандартной модели, подробное описание можно найти в недавнем обзоре [4]. Для анализа экспериментальных данных необходимы л hw = Qwp{r)^b,

4)

Qw = -N + Z{ 1 - 4 sin2 6W).

5)

Qw4l?Cs) = -73.09 ± 0.03. численные вычисления амплитуд переходов в атомах, связанных с эффектами несохранения четности. Эти вычисления были выполнены для атомов XI, Pb, Bi в работе [19] и для Cs b работах [7,20-22]. Самая высокая экспериментальная точность на сегодняшний день достигнута для атомов Cs, поэтому именно этот атом необходимо рассматривать при поиске "новой физики".

В работах [7,19,20] при вычислении амплитуд переходов учитывалось только кулоновское взаимодействие между электронами, тогда как магнитным взаимодействием пренебрегали. В работах [23,24] было учтено магнитное (брейтовское) электрон-электронное взаимодействие, показано, что оно много больше чем результаты простых оценок и сдвигает теоретическое предсказание для эффектов несохранения четности в Cs.

Для правильного анализа экспериментальных данных необходимо учитывать радиационные поправки. Радиационные поправки к слабому заряду ядра в результате перенормировки от масштабов массы W-бозона до нулевых импульсов были получены довольно давно [25,26]. Эти поправки всегда учитывались при обработке данных. Однако другой важный класс радиационных поправок не рассматривался. Этот факт был отмечен в работе [27], в этой же работе было показано, что существуют поправки но параметру Za, где а - постоянная тонкой структуры. К поправкам этого типа относятся поправки, связанные с поляризацией вакуума (потенциал Юлинга). Они были получены численно в работе [28] и аналитически в работе [29]. Также в работе [29] анализировалась структура радиационных поправок, связанных с полем ядра, то есть поправок по параметру Za. В этой же работе было показано, что существуют радиационные поправки, усиленные логарифмом 1п(Ас/г0) и квадратом логарифма In2 (Ас/го), где А с ~ комптоновская длина волны электрона, го - радиус ядра.

В первой главе диссертации нами вычисляются радиационные поправки к матричному элементу < S1/2IWIP1/2 >> связанные с массовым и вершинным операторами электрона. Полная поправка представляется в виде .Aln(Ac/Vo) + В, где Ли В - функции параметра Za. Функция Л была вычислена точно по Za, а В - в лидирующем порядке. Показано, что в лидирующем порядке Л ос a(Za)2, & В ос. a(Za). Используя результаты вычислений, проведен анализ экспериментальных данных по несохранению четности в тяжелых атомах. Получено, что экспериментальные данные хорошо согласуются со стандартной моделью. Содержание первой главы основывается на результатах работ [30,31].

Другой тип задач связан с проверкой квантовой электродинамики в экспериментах по спектроскопическим измерениям радиационных сдвигов уровней (лэмбовский сдвиг) электронов и мюонов в водородоподобных атомах, см. [32-34]. Возрастающая точность этих измерений приводит к необходимости учета все более тонких эффектов при проведении теоретических расчетов. Основными вкладами в лэмбовский сдвиг уровней являются вклады собственной энергии и поляризации вакуума Рис. 1. Подробное описание

Рис. 1: Диаграммы, отвечающие собственной энергии (а) и поляризации вакуума (б). этих эффектов можно найти в обзоре [35]. Сдвиг водородных уровней впервые вычислил Бете с логарифмической точностью на основе нерелятивистского рассмотрения [36]. В нервом неисчезающем приближении разность уровней 2s\j2 и 2рф была вычислена Кроллем и Лэмбом [37], а полная формула для сдвига уровней была найдена Вайскопфом и Френчем [38]. В настоящее время точность экспериментов такова, что для сравнения теоретических предсказаний с результатами экспериментов необходимо учитывать влияние эффектов конечного размера ядра на лэмбовские сдвиги уровней.

Во второй главе диссертации рассматривается задача о влиянии конечного размера ядра (FNS - finite nuclear size) на лэмбовский сдвиг уровней энергии. Эту задачу можно рассматривать как поиск радиационных поправок к хорошо известному эффекту изотопического сдвига атомных уровней. Эти поправки можно разбить на два типа. Первый тин связан с поляризацией вакуума, второй - с массовым и вершинным операторами. Первый тип будет обозначаться VPFNS (vacuum polarization corrections), второй -SEVFNS (self-energy and vertex corrections). До последнего времени, эти поправки изучались в основном численно. Так, значение поправок VPFNS и SEVFNS для состояний Is, 2s и 2р были получены численно точно но Za в работах [39-45], см. также обзор [46] по мюонным атомам. Несмотря на то, что эти поправки были получены, их структура и зависимость от размеров б ядра была неизвестна. Для того, чтобы понять структуру радиационных поправок необходимы аналитические вычисления. Они основаны на разложении по параметру Za. VPFNS поправка к s состоянию была вычислена в порядке a(Za) в работах [47,48]. В работах [49,50] была вычислена поправка в порядке a(Za) к эффекту конечного размера ядра, связанная с массовым и вершинным операторами. В работе [29] было показано, что вклады высших порядков, связанных с вершинным оператором, логарифмически усилены, то есть содержат фактор 1п2(Лс/го).

Во второй главе вычисляются поправки к эффекту конечного размера ядра, связанные с поляризацией вакуума, массовым и вершинным операторами для состояний Si/2, рi/2 и рз/2 с точностью a(Za)2. Получено, что для SEVFNS поправок к состояниям Si/2, Р\/2 в порядке a(Za)2 существует логарифмическое усиление 1п(Ас/го). Коэффициент при логарифме был вычислен аналитически в ведущем порядке и численно во всех порядках но Za. Также была вычислена SEVFNS поправка в порядке a(Za)° для электронов в состояниях р 1/2 и р3/2, этот же вклад был вычислен в работе [51]. Для состояний р 1/2 и рз/2 был вычислен SEVFNS вклад в порядке a(Za). Аналитически полученная нами полная SEVFNS поправка для Pi/2~состояния согласуется с полученными ранее численными результатами вплоть до Z = 100. Наши вычисления показывают, что SEVFNS поправка для состояния рз/2 сравнима с SEVFNS поправкой для состояния рif 2- Аналитически вычисленная VPFNS поправка для состояний 51/2 и pi/2 согласуется с полученными ранее численными результатами вплоть до Z = 100. Содержание второй главы основывается на работах [52,53].

Нахождение таких физических констант как заряд электрона, масса электрона, отношение масс электрона и протона, отношение масс мюона и протона является одной из основных физических задач. Для нахождения отношения масс электрона и протона можно использовать данные по измерению ларморовской частоты прецессии электрона и циклотронной частоты иона во внешнем магнитном поле [54]. Для этого необходимо знать р-фактор связанного электрона с высокой точностью. Следовательно необходимо вычислять радиационные поправки к g-фактору связанного электрона. Вычисление этих поправок отличается от вычисления радиационных поправок к ^-фактору свободного электрона наличием внешнего кулоновского ноля, т.е. в случае связанного электрона в задаче появляются радиационные поправки зависящие от Za. Также появляются поправки связанные с конечностью массы и размеров ядра. Прогресс в экспериментальном изучении ^-фактора связанного электрона [55] и мюона [56,57] в ионах требует интенсивного теоретического исследования перечисленных вкладов в эту величину. В работах [58-64] исследовались поправки к ^-фактору, связанные с массовым оператором, поляризацией вакуума и ядерными эффектами. Существенная часть неопределенности теоретических предсказаний возникает из вклада, связанного с поляризацией вакуума однородным магнитным полем в электрическом поле атома, так называемый вклад магнитной петли. Соответствующая диаграмма изображена на Рис. 2. Стоит от

Рис. 2: Диаграммы, соответствующие вкладу магнитной петли в g-фактор связанного электрона, и первые неисчезающие 'члены разложения электронной петли по куло-новскому взаимодействию. Двойная линия обозначает пропагатор и волновую функцию электрона в кулоновском поле, пунктирная линия с крестом на конце обозначает кулоновское поле, волнистая линия с квадратом на конце - внешнее однородное магнитное поле, внутренняя волнистая линия - пропагатор фотона. метить, что вклад поляризации вакуума однородным магнитным нолем без кулоновского поля зануляется вследствие калибровочной инвариантности. Первый неисчезающий член разложения по кулоновскому нолю изображен на Рис. 2. В работе [60] был численно получен вклад магнитной петли в g-фактор связанного электрона во всех порядках по Za (по кулоновскому полю). В настоящее время наиболее точные экспериментальные результаты получены в промежуточной области Z. Однако в этой области (Z < 30) точность результатов работы [60] низкая, например для Z — 12 ошибка вычислений составляет 100%. В работе [63] была получена лидирующая но Za поправка к g фактору электрона в s-состоянии, связанная с магнитной петлей, см. Рис. 2. Эта поправка имеет вид где до - фактор Ланде, который для электрона в s-состоянии равен 2. Сравнение результатов работы [60] с ответом (6) в области больших Z, где вычисления [60] имеют достаточную точность, показывает заметное отличие

Ад0 Ад0 7a{Zaf

6) до 2 432n3 точного по Za выражения [60] от лидирующего (6). Это отличие может быть объяснено тем, что мы должны учесть следующий по Za член разложения, т.е. учесть порядок a(Za)6. Дело в том, что порядок a (Za)5 аномально мал, т.к. коэффициент при a(Za)5 порядка 1/30. Это означает, что если коэффициент при a(Za)6 будет порядка единицы, то этот порядок будет давать заметный вклад в ^-фактор даже для небольших Z.

В главе 3 данной диссертации приведено обобщение формулы (6) на случай произвольного связанного состояния. Также вычисляется следующая за ведущей поправка к g-фактору электрона, т.е. поправка в порядке a(Za)6. Эта поправка имеет вид Agi = a(Za)6(a\ ln(l/Za) + <22)) где а\$ - некоторые константы, ai ф 0 только для s-состояния. Также вычисляется вклад диаграммы типа "свет на свете "в ^-фактор связанного мюона. Содержание третьей главы основано на результатах работы [65].

Явное выражение для сечения рассеяния электрона произвольной энергии в сильном кулоновском поле, содержащее бесконечный ряд но полиномам Лежандра, было получено много лет назад в работе [66]. Хотя в ряде работ были развиты методы суммирования этого ряда, численные расчеты сечения все еще являются сложной задачей. Детальный обзор работ, посвященных обсуждаемой проблеме, может быть найден в книге [67]. В работах [68-70] были проведены численные расчеты сечения рассеяния электрона в кулоновском ноле для различных углов рассеяния, зарядов ядер Z и энергий электрона выше 0.023 МэВ. При рассмотрении рассеяния назад для Z — 80 было показано, что при уменьшении энергии электрона от 1.675 МэВ до 0.023 МэВ отношение точного релятивистского сечения к нерелятивистскому (резерфордовскому) сечению увеличивается от 0.15 до 2.35. В связи с таким большим отличием точного результата от полученного в нерелятивистском приближении возникает вопрос о поведении точного сечения рассеяния медленных электронов в сильном кулоновском поле. В главе 4 мы находим ответ на этот вопрос, вычислив асимптотику сечения для произвольного Z и малой энергии электрона [71].

Диссертация имеет следующую структуру. В главе 1 обсуждаются радиационные поправки к эффектам несохранения четности, связанные с массовым и вершинным операторами электрона. Глава 2 посвящена вычислению поправок к эффекту конечного размера ядра, связанных с поляризацией вакуума, массовым и вершинным операторами для si/2, Р1/2 и рз/2-состояний. В главе 3 обсуждается вклад магнитной петли в ^-факторы электрона и мюона в водородоиодобных атомах. В главе 4 мы находим асимптотику сечения рассеяния электрона малой энергии для произвольного Z. I

- 12

Заключение

В заключение сформулируем основные результаты работы:

• Вычислены относительные радиационные поправки к слабым зарядам ядер, связанные с массовым и вершинным операторами.

• Вычислены относительные радиационные поправки к эффекту конечного размера ядра с точностью a(Za)2.

• Вычислены поправки к ^-факторам электрона и мюона в водородопо-добных атомах, связанные с диаграммой тина "свет на свете".

• Получена асимптотика сечения рассеяния электрона малой энергии для произвольного Z.

Я искренне благодарен моему научному руководителю А.И. Мильштейну за постоянное внимание, полезные советы и обсуждения. Также за огромную поддержку на протяжении всей работы.

1. JI. M. Барков, M. С. Золоторев, Письма в ЖЭТФ 27, 379 (1978); Письма в ЖЭТФ 28, 544 (1978); Parity violation in atomic bismuth, Phys. Lett. В 85, 308 (1979); ЖЭТФ, 79, 713 (1980).

2. С. Y. Prescott et al, Parity nonconservation in inelastic electron scattering, Phys. Lett. В 77, 347 (1978)

3. J. S. M. Ginges, V. V. Flambaum, Violation of fundamental simmetries in atoms and test of unification theories of elementary particles, Phys. Rep. 397, 63 (2004).

4. M. A. Bouchiat, C. Bouchiat, J. Phys.(Paris) 35, 899 (1974); J. Phys.(Paris) 36, 493 (1975).

5. О. П. Сушков, В. В. Фламбаум, Несохранение четности в тяжелых атома, обусловленное слабым электрон-электронным взаимодействием, Яд. физ. 27, 1308 (1978).

6. И.Б. Хринлович, Несохранение четности в атомных явлених.-М.: Наука, 1981.

7. Я. Б. Зельдович, ЖЭТФ 36, 964 (1959).

8. М. A. Bouchiat, С. Bouchiat, Weak neutral current in atomic physics, Phys. Lett. В 48, 111 (1974).

9. И. Б. Хриплович, Письма в ЖЭТФ 20, 686 (1974).

10. P. G. H. Sandars, in Atomic Physics, ed. G. zu Putlitz (Plenum, New York, 1975) Vol.4, p.75.

11. D. S. Sorede, E. N. Fortson, Bull. Am. Phys. Soc. 20, 491 (1975).

12. M. J. D. MacPherson et al, Precise measurement of parity nonconserving optical rotation at 876 nm in atomic bismuth, Phys. Rev. Lett. 67, 2784 (1991).

13. D. M. Meekhof et al, High-precision measurement of parity nonconserving optical rotation in atomic lead, Phys. Rev. Lett. 71, 3442 (1993).

14. D. E. Groom et al Euro. Phys. J. С 15, 1 (2000).

15. V. A. Dzuba, V. V. Flambaum, P. G. Silvestrov, and 0. P. Sushkov, J. Phys. В 20, 3297 (1987); Europhys. Lett. 7, 413 (1988).

16. V. A. Dzuba, V. V. Flambaum, and O. P. Sushkov, Phys. Lett. 141A, 147 (1989).

17. M. G. Kozlov, S. G. Porsev, and I. I. Tupitsyn, High-accuracy calculation of 6s -> 7s parity-nonconserving amplitude in Cs, Phys. Rev. Lett. 86, 3260 (2001).

18. A. Derevianko, Reconciliation of the measurement of parity nonconservation in Cs with the standard model, Phys. Rev. Lett. 85, 1618 (2000).

19. V. A. Dzuba, С. Harabati, W. R. Johnson, and M. S. Safronova, Breit correction to the parity-nonconservation amplitude in cesium, Phys. Rev. A 63, 044103 (2001).

20. W. J. Marciano and A. Sirlin, Radiative corrections to atomic parity violation, Phys. Rev. D 27, 552 (1983).

21. W. J. Marciano and J. L. Rosner, Atomic parity violation as a probe of new physics, Phys. Rev. Lett. 65, 2963 (1990).

22. O. P. Sushkov, Breit-interaction correction to the hyperfine constant of an external s electron in a many-electron atom, Phys. Rev. A 63, 042504 (2001);

23. W. R. Johnson, I. Bednyakov and G. Soff, Phys. Rev. Lett. 87, 233001 (2001).

24. A. I. Milstein and O. P. Sushkov, Parity nonconservation in heavy atoms: The radiative correction enhanced by the strong electric field of the nucleus, Phys. Rev. A 66, 022108 (2002).

25. A.I. Milstein, O.P. Sushkov, and I.S. Terekhov, Radiative corrections and parity nonconservation in heavy atoms, Phys. Rev. Lett. 89, 283003 (2002).

26. A.I. Milstein, O.P. Sushkov, and I.S. Terekhov, Calculation of radiative corrections to the effect of parity nonconservation in heavy atoms, Phys. Rev. A 67, 062103 (2003).

27. Th. Stohlker, P. H. Mokler et al, Ground-state Lamb shift for hydrogenlike uranium measured at the ESR storage ring, Phys. Rev. Lett. 71, 2184 (1993).

28. Th. Stohlker, P. H. Mokler et al., Is Lamb shift in hydrogenlike uranium measured on cooled, decelerated ion beams, Phys. Rev. Lett. 85, 3109 (2000).

29. A. Gumberidze, Th. Stohlker et al., Quantum electrodynamics in strong electric fields: the ground-state Lamb shift in hydrogenlike uranium, Phys. Rev. Lett. 94, 223001 (2005).

30. P.J. Mohr, G. Plunien and G. Soff, QED corrections in heavy atoms, Phys. Rep. 293, 227 (1998).

31. H. A. Bethe, The electromagnetic shift of energy levels, Phys. Rev. 72, 339 (1947).

32. N. M. Kroll and W. E. Lamb, On the self-energy of a bound electron, Phys. Rev. 75, 388 (1949).

33. J. B. French and V. F. Weisskopf, The electromagnetic shift of energy levels, Phys. Rev. 75, 1240 (1949).

34. P.J. Mohr, At. Data Nuc. Data Tabels 29, 453(1983).

35. W.R. Johnson, G. Soff, At. Data Nuc. Data Tabels 33, 405(1985).

36. K.T. Cheng, W.R. Johnson, and J. Sapirstein, Lamb-shift calculations for non-Coulomb potentials, Phys. Rev. A, 47, 1817 (1993).

37. P.J. Mohr, G. Soff, Nuclear size correction to the electron self-energy, Phys. Rev. Lett. 70, 158(1993).

38. S.A. Blundell, Accurate screened QED calculations in high-Z many-electron ions, Phys. Rev. A, 46, 3762(1992).

39. I. Lindgren, H. Persson, S.Salomonson, A.Ynnerman, Bound-state self-energy calculation using partial-wave renormalization, Phys. Rev. A, 47, 4555 (1993).

40. T. Beier, P.J. Mohr, H. Persson, and G. Soff, Influence of nuclear size on QED corrections in hydrogenlike heavy ions, Phys. Rev. A 58, 954 (1998).

41. E. Borie and G.A. Rinker, The energy levels of muonic atoms, Rev. Mod. Phys. 54, 67 (1982).

42. J.L. Friar, Z. Phys. A 292, 1(1979); 303, 84(E) (1981).

43. D.J. Hylton, Finite-nuclear-size corrections to the Uehling potential, Phys. Rev. A 32, 1303(1985).

44. K. Pachucki, Radiative correction to the electron charge density in the hydrogen atom, Phys. Rev. A 48, 120(1993).

45. M.I. Eides, H. Grotch, Radiative correction to the nuclear-size effect and hydrogen-deuterium isotopic shift, Phys. Rev. A, 56, R2507(1997).

46. U. D. Jentschura, J. Phys. A: Math. Gen. 36, L229 (2003).

47. A.I. Milstein, O.P. Sushkov, and I.S. Terekhov, Phys. Rev. A 67, 0621112003).

48. A.I. Milstein, O.P. Sushkov, and I.S. Terekhov, Phys. Rev. A 69, 0221142004).

49. T. Beier, H. Haffer, N. Hermanspahn, S.G. Karshenboim, and H.-Jiirgen Klude, New determination of the electron's mass, Phys. Rev. Lett. 88, 011603 (2002).

50. H. Haffner, T. Beier, N. Hermanspahn, H.-J. Kluge, W. Quint, S. Stahl, J. Verdu, and G. Werth, High-accuracy measurement of the magnetic moment anomaly of the electron bound in hydrogenlike carbon, Phys. Rev. Lett. 85, 5308 (2000);

51. J. L. Verdu, S. Djekic, S. Stahl, T. Valenzuela, M. Vogel, G. Werth, T. Beier, H.-J. Kluge, and W. Quint, Electronic g factor of hydrogenlike oxygen 1G07+, Phys. Rev. Lett. 92, 093002 (2004).

52. T. N. Mamedov, A. S. Baturin, D. Herlach, O. D. Maslov, A. V. Stokov, and U. Zimmermann, JETP Lett. 76, 693 (2002);

53. T. N. Mamedov, D. Herlach, К. I. Gritsaj, O. Kormann, J. Major, A. V.

54. Stoikov, and U. Zimmermann, JETP 93, 941 (2001);

55. J. H. Brewer, Hyperfine Interaction 17-19, 873 (1984);

56. T. Yamazaki, S. Nagamiya, O. Hashimoto, K. Nagaminea, K. Nakaia, K.

57. Sugimoto, and К. M. Crowe, Phys. Lett. В 53B, 117 (1974);

58. D. P. Hutchinson, J. Menes, G. Shapiro, and A. M. Patlach, Magneticmoment of negative muons, Phys. Rev. 131, 1362 (1963).

59. S. A. Blundell, K.T. Cheng, and J. Sapirstein, Radiative corrections in atomic physics in the presence of perturbing potentials, Phys. Rev. A 55, 1857 (1997);

60. H. Persson, S. Salomonson, P. Sunnergren, and I. Lindgren, Radiative corrections to the electron g-factor in H-like ions, Phys. Rev. A 56, R2499 (1997);

61. V. A. Yerokhin, P. Indelicato, and V.M. Shabaev, Self-energy correction to the bound-electron g-factor in H-like ions, Phys. Rev. Lett. 89, 143001 (2002);

62. V. A. Yerokhin, P. Indelicato, and V.M. Shabaev, Evaluation of the self-energy correction to the g factor of S states in H-like ions, Phys. Rev. A 69, 052503 (2004);

63. K. Pachucki, U.D. Jentschura, and V.A. Yerokhin, Nonrelativistic QED approach to the bound-electron g-factor, Phys. Rev. Lett. 93, 150401 (2004).

64. H. Persson, S. Salomonson, P. Sunnergren, and I. Lindgren, Radiative corrections to the electron g-factor in H-like ions, Phys. Rev. A 56, R2499 (1997);

65. V. A. Yerokhin, P. Indelicato, and V.M. Shabaev, Self-energy correction to the bound-electron g-factor in H-like ions, Phys. Rev. Lett. 89, 143001 (2002);

66. V. A. Yerokhin, P. Indelicato, and V.M. Shabaev, Evaluation of the self-energy correction to the g factor of S states in H-like ions, Phys. R.ev. A 69, 052503 (2004).

67. T. Beier et all, gj factor of an electron bound in a hydrogenlike ion, Phys. Rev. A 62, 032510 (2000).

68. S. G. Karshenboim, V. G. Ivanov and V. M. Shabaev, JETP 93, 477 (2001); Can. J. Phys. 79, 81 (2001).

69. S. G. Karshenboim, Phys. Lett. A 266, 380 (2000).

70. S. G. Karshenboim and A. I. Milstein, Phys. Lett. В 549, 321 (2002).

71. V.M. Shabaev, QED theory of the nuclear recoil effect on the atomic g factor, Phys. Rev. A 64, 052104 (2001);

72. V.M. Shabaev and V. A. Yerokhin, Recoil correction to the bound-electron g-factor in H-Like atoms to all orders in aZ, Phys. Rev. Lett. 88, 091801 (2002).

73. R.N. Lee, A.I. Milstein, I.S. Terekhov, and S.G. Karshenboim, Virtual light-by-light scattering and the g factor of a bound electron, Phys. Rev. A 71, 052501 (2005).

74. N.F.Mott, Proc. Roy. Soc. A 124, 426 (1929).

75. H. Uberall, Electron Scattering From Complex Nuclei" (Academic Press, New York, 1971).

76. J.H. Bartlett, R.E. Watson, Proc. Am. Acad. Arts Sci 74, 53 (1940).

77. J.A. Doggett, L.V. Spencer, Elastic scattering of electrons and positrons by point nuclei, Phys. Rev. 103, 1597 (1956).

78. N.Sherman, Coulomb scattering of relativistic electrons by point nuclei, Phys. Rev. 103, 1601 (1956).

79. А.И. Милынтейн, И.С. Терехов, ЖЭТФ т.125, 785 (2004).

80. Н. М. Fried and D. R. Yennie, New techniques in the lamb shift calculation, Phys. Rev. 112, 1391 (1958).

81. Берестецкий В.Б., Лифшиц Е.М., Питаевский Л.П. Квантовая электродинамика.-М.: Наука, 1989.

82. A.I. Milstein, V.M. Strakhovenko, Phys. Lett. A 90, 447 (1982).

83. К. Pachucki, a(Za)2EF correction to hyperfine splitting in hydrogenic atoms, Phys. Rev. A 54, 1994 (1996).

84. M. I. Eides, H. Grotch, and V. A. Shelyuto, Phys. Rep. 342, 63 (2001).

85. A. Derevianko, Correlated many-body treatment of the Breit interaction with application to cesium atomic properties and parity violation, Phys. Rev. A 65, 012106 (2002);

86. G. D. Alkhazov et al, Sov. J. Nucl. Phys. 26, 357 (1977).

87. J. Sapirstein, K. Pachucki, A. Veitia, and К. T. Cheng, Radiative corrections to parity-nonconserving transitions in atoms, Phys. Rev. A 67, 052110 (2003).

88. V. M. Shabaev, K. Pachucki, I. I. Tupitsyn, and V. A. Yerokhin, QED corrections to the parity-nonconserving 6s-7s amplitude in 133Cs, Phys. Rev. Lett. 94, 213002 (2005).

89. V. M. Shabaev, J. Phys. В 26, 1103(1992).

90. R. N. Lee and A. I. Milstein, Phys. Lett. A 189, 72 (1994).

91. J. Meixner, Math. Zs. 36, 677 (1933).

92. G.P.Lepage, D.R.Yennie, and G.W. Erickson, Radiative corrections to nuclear size corrections to the Lamb shift, Phys. Rev. Lett.47, 1640 (1981).

93. P. Papatzacos and K. Mork, Phys. Rep. 21, 81 (1975).

94. A. I. Milstein and M. Schumacher, Phys. Rep. 243, 183 (1994).

95. M.E. Rose, Relativistic electron theory (Wiley, New York, 1961)

96. V. Constantini, B. De Tollis and G. Pistoni, Nuovo Cimento A 2(1971) 733.

97. A.I. Milstein, A.S. Yelkhovsky, Phys. Lett. B233 (1989) 11.

98. Л.Д.Ландау, Е.М.Лифшиц, Теория ноля, Наука, Москва (1973), с. 127.