Вычислительная аэродинамика сверхзвуковых течений с сильными ударными волнами тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ

На правах рукописи

Кудрявцев Алексей Николаевич

ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ АЭРОДИНАМИКА

СВЕРХЗВУКОВЫХ ТЕЧЕНИЙ С СИЛЬНЫМИ УДАРНЫМИ ВОЛНАМИ

01.02.05 — механика жидкости, газа и плазмы

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

П СЕН 2014

Новосибирск — 2014

005552392

Работа выполнена в Федеральном государственном бюджетном учреждении науки Институт теоретической и прикладной механики им. С.А. Христиановича Сибирского отделения Российской академии наук

Официальные оппоненты: Сергей Константинович Годунов,

академик РАН, доктор физико-математических наук, профессор, советник РАН, ФГБУН Институт математики им. С.Л. Соболева СО РАН

Ведущая организация:

Александр Николаевич Крайко, доктор физико-математических наук, профессор, начальник отдела ФГУП «Центральный институт авиационного машиностроения им. П.И. Баранова»,

Виктор Михайлович Ковеня, доктор физико-математических наук, профессор, главный научный сотрудник ФГБУН Институт вычислительных технологий СО РАН

ФГБУН Институт прикладной математики им. М.В. Келдыша РАН

Защита состоится « 21 // _ 2014 г. в 1400 на заседании диссертационного совета Д003.035.02 в Институте теоретической и прикладной механики им. С. А. Христиановича СО РАН по адресу: 630090 Новосибирск, ул. Институтская, 4/1.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ИТПМ СО РАН и на сайте Совета

Автореферат разослан «2-|»~ 2014 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

4| 3

доктор технических наук

И. М. Засыпкин

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Сверхзвуковые течения с сильными ударными волнами встречаются во многих научных и технических задачах. Одним из основных инструментов исследования таких течений является численное моделирование. Однако, стандартные схемы сквозного счета, применяемые в большинстве научных и коммерческих программ и хорошо зарекомендовавшие себя при моделировании сверхзвуковых течений с небольшим числом изолированных газодинамических разрывов, недостаточны для задач, включающих сложные взаимодействия ударных волн между собой, с пограничными и свободными сдвиговыми слоями, вихрями, акустическими волнами и волнами гидродинамической неустойчивости. Дальнейшее продвижение в численном моделировании сложных сверхзвуковых течений требует внедрения в вычислительную практику схем, способных, наряду с надежным сквозным счетом сильных ударных волн, воспроизводить с высокой точностью, без внесения излишней численной диссипации, гладкую часть решения. Это особенно актуально в таких областях как прямое численное моделирование и моделирование методом крупных вихрей высокоскоростных переходных и турбулентных течений, вычислительная аэроакустика, моделирование отрывных и струйных течений, моделирование сверхзвукового горения и детонации и ряде других. В настоящей диссертации в качестве такого более точного вычислительного инструмента используются недавно предложенные ТУБ и \VENO схемы высоких порядков. Их применение позволило изучить переход от регулярного к нерегулярному взаимодействию сильных ударных волн в двумерных и трехмерных течениях, выполнить расчеты взаимодействия ударных волн с пограничными слоями во внешних и внутренних течениях, включающих эффекты разреженности, провести прямое численное моделирование развития неустойчивости в высокоскоростных слоях смешения и струях, в гиперзвуковом вязком ударном слое. Исследованные задачи относятся к числу тех проблем сверхзвуковой аэродинамики, повышение уровня понимания которых важно для многих практических приложений, в частности для развития перспективных летательных аппаратов. Таким образом, актуальность темы диссертации определяется как существующей потребностью улучшения точности и эффективности вычислительных подходов, используемых при решении задач сверхзвуковой аэродинамики, так и научной и практической важностью конкретных решенных задач.

Цели работы:

- разработка, на основе современных алгоритмов сквозного счета, вычислительных расчетных программ, способных надежно проводить расчет сильных ударных волн и, одновременно, с высокой точностью моделировать гладкую часть сверхзвуковых течений, включающих сложные взаимодействия ударных волн между собой, с пограничными и свободными сдвиговыми слоями, вихрями, акустическими волнами и волнами гидродинамической неустойчивости;

- применение разработанных программ к численному решению ряда актуальных задач сверхзвуковой аэродинамики, в частности к исследованию ударно-волновых взаимодействий в двумерных и трехмерных течениях, расчету взаимодействия ударных волн с пограничными слоями во внешних и внутренних течениях, включающих эффекты разреженности, прямому численному моделированию развития неустойчивости в высокоскоростных слоях смешения и струях, восприимчивости гиперзвукового ударного слоя.

На защиту выносятся:

- методика применения современных схем сквозного счета высоких порядков для решения уравнений движения сжимаемого газа и обоснование их высокой точности и эффективности при численном моделировании сложных сверхзвуковых течений с сильными ударными волнами;

- результаты численного исследования задачи об отражении сильных скачков уплотнения, в том числе обнаружение неединственности стационарного решения и гистерезиса при переходе от одной ударно-волновой конфигурации к другой в ряде физических систем с взаимодействующими разрывами;

- обнаружение зависимости существования гистерезиса от уровня возмущений в набегающем потоке и возможности инициировать с помощью возмущений ранний переход к маховскому отражению;

- результаты численного исследования пространственного взаимодействия скачков уплотнения, в том числе обнаружение новых типов и особенностей возникающих трехмерных ударно-волновых конфигураций;

- результаты численного моделирования отрыва ламинарного гиперзвукового пограничного слоя на полом цилиндре с юбкой, данные о роли эффектов разреженности;

- результаты численного моделирования распространения ударной волны в ударной трубе малого диаметра, данные о влиянии вязкой диссипации и разреженности и поведении ударной волны на больших пройденных расстояниях;

- результаты численного моделирования развития возмущений в свободных и пристенных сверхзвуковых течениях, в том числе данные о нелинейной стадии развития сверхзвуковых слоев смешения и струй, процессах восприимчивости в гиперзвуковом вязком ударном слое, обнаружение в последней задаче возможности управления развитием неустойчивости с помощью периодического вдува и отсоса.

Научная новизна работы:

- автором диссертационной работы была разработана методика применения современных алгоритмов сквозного счета (ТУБ и \VENO схем высоких порядков) для численного решения задач сверхзвуковой аэродинамики и создан программный комплекс, позволяющий проводить расчеты двумерных, осесимметричных и трехмерных сверхзвуковых течений, включая задачи со сложной геометрией;

- разработанные программы использованы для решения ряда актуальных задач сверхзвуковой аэродинамики, включающих сильные ударные волны. Продемонстрирована высокая точность и эффективность указанных алгоритмов при численном моделировании сложных сверхзвуковых течений;

- подробно исследовано явление гистерезиса при взаимодействии сильных скачков уплотнения. Впервые показано, что неединственность стационарного решения и гистерезис при переходе от одного решения к другому являются общим свойством многих физических систем с взаимодействующими разрывами. Установлено, что размер кольца гистерезиса может зависеть от уровня пульсаций в набегающем потоке. Получено экспериментальное подтверждение существования гистерезиса и его зависимости от уровня пульсаций в экспериментальной установке;

- изучены трехмерные конфигурации ударных волн, возникающие при обтекании симметричных клиньев конечного размаха. Обнаружены новые типы и неизвестные ранее особенности таких конфигураций. Исследована возможность управления переходом между различными конфигурациями с помощью локализованного подвода энергии. Установлено, что трехмерное взаимодействие скачков уплотнения над двугранным углом характеризуется большим разнообразием возможных типов нерегулярного отражения;

- исследована роль эффектов разреженности при взаимодействии ударных волн с пограничным слоем. При моделировании отрыва ламинарного гиперзвукового пограничного слоя на полом цилиндре с юбкой показано, что расчет на основе уравнений Навь-Стокса предсказывает несколько больший размер отрывной зоны, чем наблюдается в эксперименте. Моделирование распространения ударной волны в ударной трубе малого диаметра показало, что взаимодействие с пограничным слоем приводит к быстрому уменьшению скорости волны. Установлено, что на больших расстояниях от диафрагмы ударная волна и контактная поверхность распространяются с одинаковой скоростью;

- выполнено численное моделирование начальных стадий развития неустойчивости в свободных и пристенных сверхзвуковых течениях. Исследованы процессы восприимчивости и развития возмущений в гиперзвуковом вязком ударном слое на плоской пластине при числе Маха М = 21. Установлено, что при таких числах Маха в ударном слое формируются главным вихревые возмущения. Показано, что возмущения, возбуждаемые внешним акустическим полем, могут быть эффективно подавлены с помощью интерференции с возмущениями, искусственно вводимыми путем периодического вду-ва и отсоса. Показано, что в слоях смешения и плоских струях характер неустойчивости существенно меняется с изменением конвективного числа Маха Мс — на смену неустойчивости Кельвина-Гельмгольца при сверхзвуковых Мс приходит т. н. сверхзвуковая неустойчивость.

Научная и практическая значимость результатов исследований связана с более глубоким пониманием процессов и явлений, наблюдающихся в сверхзвуковых течениях с сильными ударными волнами, с возможностью использования полученных знаний в технических приложениях, особенно

при разработке перспективных летательных аппаратов, в создании новых эффективных подходов к численному моделированию сложных сверхзвуковых течений.

Достоверность полученных результатов основывается на тщательной верификации используемых численных методов, многочисленных сравнениях с данными экспериментальных измерений, включая случаи, когда, предсказания, сделанные на основе проведенных расчетов, были затем подтверждены в специально поставленных экспериментах.

Апробация работы. Результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на семинарах ИТПМ СО РАН, объединенном семинаре ИТ-ПМ СО РАН и ЦАГИ, семинарах в МММ РАН, ИМ СО РАН, ИВТ СО РАН, ИВМиМГ СО РАН, Сибирском суперкомпьютерном центре, в целом ряде зарубежных научных организаций и университетов — Лаборатории ударных волн (Ахен, Германия), Лаборатории численной механики жидкостей (Руан, Франция), Лаборатории механики жидкостей и акустики (Лион, Франция), Институте горения и аэротермодинамики (Орлеан, Франция), Институте промышленной математики (Кайзерслаутерн, Германия), Академии аэрокосмической аэродинамики (Пекин, КНР), Институте гидромеханики НАНУ (Киев, Украина), Институте индустриальных тепловых систем (Марсель, Франция), университетах Хартфордшира (Англия), Эври-Валь д'Эссон (Эври, Франция), Конкук (Сеул, Юж. Корея), Техническом университете Кайзерслаутерна (Германия), Варшавском политехническом университете (Польша). Они также были представлены на многих ведущих российских и международных научных конференциях, в частности X Всероссийском съезде по теоретической и прикладной механике (2001), XXI Международном конгрессе по теоретической и прикладной механике (Польша, 2004), Европейских конгрессах по вычислительным методам в прикладных науках и технике (Франция, 1996, Испания, 2000, Финляндия, 2004), Международных симпозиумах по ударным волнам (Англия, 1999, США, 2001, Китай, 2004, Германия, 2007, Россия 2009), Международных симпозиумах по динамике разреженного газа (Франция, 1998, Россия, 2006), Международных конференциях по методам аэрофизических исследований (Россия, 1996-2010), Международных конференциях «Запад-Восток» по высокоскоростным течениям (Франция, 2003, Россия, 2007), Международной конференции по вычислительной гидродинамике (Бельгия, 2006), Международной конференции по вычислительной физике (Россия, 2013) и ряде других. За исследования отражения ударных волн, составляющие часть настоящей диссертации, А.Н. Куд-

рявцеву, вместе с двумя другими сотрудниками ИТПМ СО РАН, в 2007 г. была присуждена премия им. А.Н. Крылова Российской Академии наук. По теме диссертации опубликовано 149 работ, из них 40 статей в реферируемых журналах из списка ВАК.

Структура работы. Диссертация состоит из введения, 5 глав, содержащих 176 рисунков, заключения и списка литературы, состоящего из 275 наименований. Полный объем — 336 страниц.

Содержание работы

Во введении к диссертации обосновывается актуальность темы диссертации, кратко освещаетсяя история развития схем сквозного счета, формулируются цели диссертационной работы, перечисляются полученные новые результаты, их практическая ценность и положения, выносимые на защиту, описывается структура диссертации.

Глава 1 посвящена описанию современных численных методов, основанных на применении схем сквозного счета, и разработанных на их основе программ расчета высокоскоростных течений.

В §1.1 приводятся основные уравнения динамики сжимаемого газа (системы уравнений Эйлера и Навье-Стокса) и рассматриваются математические свойства этих уравнений, существенные для построения численных методов их решения.

В §1.2 описываются TVD (total variation diminishing) схемы, позволяющие избежать появления осцилляций при численном решении задач, включающих газодинамические разрывы и ставшие, к настоящему времени, основным инструментом вычислителей, работающих в области сверхзвуковой аэродинамики. В используемых в диссертации MUSCL TVD схемах вычисления можно разбить на три более или менее независимых этапа: 1) реконструкция переменных на гранях между ячейками из переменных в центре ячеек или средних по ячейкам. Для того, чтобы избежать возникновения численных осцилляций, применяются ограничители наклона (slope limiters); 2) вычисление, исходя из реконструированных переменных, потоков через грани ячеек. Обычно это делается путем приближенного решения задачи о распаде разрыва между «левым» и «правым» состояниями; 3) нахождения значений переменных на новом временном слое — средних по ячейкам (в конечнообъемных методах) или в центре ячейки (в конеч-норазностных методах). При этом используются значения переменных на старом временном слое и вычисленные потоки через грани ячеек.

Для получения переменных на гранях ячеек строится полиномиальная аппроксимация решения внутри каждой расчетной ячейке, для чего привлекаются значения в соседних ячейках. Чтобы избежать возникновения осцилляций на разрывах решения (из-за явления Гиббса, проявляющегося при попытке аппроксимировать полиномом разрывную функцию), применяются ограничители наклонов, уменьшающие величину градиентов решения вблизи разрывов. Такой подход для повышения порядка точности известной схемы Годунова был впервые предложен В. П. Колганом («принцип минимальных значений производной», 1972). В диссертации для реконструкции на структурированных сетках используются известная кг-формула ван Леера, обеспечивающая, в зависимости от значения параметра к, 2-ой или 3-ий порядок реконструкции на гладком решении и формула на более широком шаблоне 4-го или 5-го порядка точности, введенная Yamamoto & Daiguji (1993). При использовании неструктурированных сеток (состоящих, в двумерном случае из треугольных, в трехмерном из тетраэдральных ячеек) применяется формула второго порядка. Реконструкция производится либо для примитивных (компоненты скорости, давление, плотность), либо для т. н. локальных характеристических переменных. В разработанных расчетных программах предусмотрена возможность применения нескольких различных ограничителей наклона. В большинстве расчетов в диссертации, выполненных с помощью TVD схем, используется схема 4-го порядка с ограничителем minmod.

На втором этапе, при вычислении потоков, используется решение задачи о распаде разрыва, как это было впервые предложено в знаменитой работе С.К. Годунова (1959). В диссертации описываются различные способы вычисления потоков, реализованные в разработанных расчетных программах. Большая часть практических расчетов была выполнена нами с помощью различных модификаций метода HLLE (Harten—Lax—van Leer—Einfelfdt), оказавшегося особенно надежным при расчете гиперзвуковых течений, включающих сильные ударные волны и сильные волны разрежения. Как показал опыт вычислений, нежелательные эффекты, связанные с достаточно большой численной диссипацией присущей метода HLLE, существенно ослабляются при использовании реконструкции переменных высокого порядка.

Далее, в §1.3, дано описание сравнительно недавно предложенных ENO (essentially non-oscillatory) и WENO (weighted ENO) схем. Существенный недостаток TVD схем заключается в том, что их порядок аппроксимации снижается до первого не только на разрывах, но и на глад-

ких эсктремумах решения. Это становится особенно заметным в задачах со сложным, нетривиальным поведением решения в области гладкости. Излишняя численная диссипация, вводимая ТУБ схемами на гладких экстремумах, значительно ухудшает разрешение мелкомасштабных структур, может привести к нефизическому затуханию волновых возмущенней и т. п. ЕЖ) и \VENO схемы свободны от данного недостатка и могут рассматриваться как перспективные кандидаты на роль базового вычислительного инструмента в алгоритмах и программах нового поколения, которые позволят существенно расширить круг задач сверхзвуковой аэродинамики, поддающихся компьютерному моделированию.

Основная идея Е1ЧО схем состоит в том, чтобы при построении кусочно-полиномиальную реконструкцию решения избежать интерполяции через разрывы, выбирая из всех возможных шаблонов заданного размера тот, на котором решение наиболее гладкое. В качестве индикатора гладкости используется величина разделенных разностей соответствующего порядка. Этот подход развивается дальше в \VENO схемах, где, вместо выбора одного из допустимых шаблонов, берется их выпуклая линейная комбинация с коэффициентами, зависящими от решения.

В диссертации рассматривается построение Е1ЧО и, особенно, \VENO схем, анализируются дисперсионные и диссипативные ошибки конечно-разностных выражений, к которым сводятся \YENO схемы в областях, где решение гладкое, рассказывается как данные схемы обобщаются, путем перехода к локальным характеристическим переменным, на системы законов сохранения и на многомерный случай.

В §1.4 описываются программы для расчета сверхзвуковых течений, разработанные на основе современных схем сквозного счета. Они включают программы для решения на структурированных многоблочных сетках двумерных (плоских и осесимметричных) и трехмерных нестационарных уравнений Эйлера и Навье-Стокса, записанных в общих криволинейных координатах, код для расчета чисто сверхзвуковых течений с помощью решения маршевым методом стационарных уравнений Эйлера, коды для решения двумерных и трехмерных нестационарных уравнений Эйлера на неструктурированных сетках. Обсуждаются вопросы аппроксимации диффузионных членов при решении уравнений Навье-Стокса, численной реализации граничных условий, интегрирования уравнений по времени, параллелизации разработанных расчетных программ, вопросы визуализации полученных расчетных данных.

В расчетных программах, основанных на ТУБ схемах 2-го или 3-го по-

рядков точности, диффузионные члены аппроксимируются центральными разностями 2-го порядка. В кодах же, в которых конвективные члены вычисляются с 4-ым или 5-ым порядком точности, используется оригинальный подход, позволяющий аппроксимировать диффузионные члены с 4-ым порядком точности на компактном (5 точек вдоль каждого координатного направления) шаблоне; получаемая аппроксимация обладает к тому же хорошими спектральными свойствами.

Численная реализация граничных условий в разработанных вычислительных программах основана на введении окружающих расчетную область фиктивных ячейках. Значения переменных в фиктивных ячейках присваиваются таким образом, чтобы удовлетворить граничным условиям, накладывающим на соответствующих границах. Рассматриваются несколько типов используемых граничных условий: сверхзвуковой вход, когда всем переменным могут быть присвоены заданные значения, сверхзвуковой выход, когда физических граничных условий не требуется, а при численной реализации все переменные могут быть экстраполированы изнутри расчетной области, дозвуковые вход и выход, когда значения рима-новых инвариантов на входящих в область характеристиках задаются, а на уходящих — экстраполируются изнутри, граничные условия на твердой стенке в случае невязких и вязких расчетов, постановка которых в разработанных программах основана на методе «отражения».

Для интегрирования по времени в диссертации в основном применяются явные TVD схемы Рунге—Кутта (Shu & Osher, 1988). Эти схемы сконструированы так, что они гарантируют невозрастание полной вариации решения, если только подобным свойством обладала разностная схема, в которой интегрирование по времени осуществлялось явным методом Эйлера. Такие методы удается построить до 3-го порядка точности включительно. В некоторых расчетах (в основном при моделировании развития неустойчивостей в свободных сдвиговых течениях) использовался также метод Рунге-Кутта-Гилла 4-го порядка точности, требующий меньшего объема машинной памяти для хранения массивов по сравнению со стандартной схемой 4-го порядка. Хотя он и не гарантирует выполнения TVD свойства, никаких видимых осцилляций в расчетах с этой схемой замечено не было. Ограничения на допустимый временной шаг At определяются обычными условиями устойчивости.

Параллелизация разработанных программ для проведения расчетов на многопроцессорных ЭВМ основана на геометрической декомпозиции расчетной области на подобласти, каждая из которых присваивается опреде-

ленному процессору. Этот метод особенно просто реализуется в случае структурированной расчетной сетки, когда подобласти являются (в обобщенных координатах) одинаковыми прямоугольными блоками (в трехмерном случае - параллелепипедами). При использовании неструктурированной сетки для разбиения расчетной области используется свободно распространяемая программа METIS, которая рассматривает сетку как граф и разбивает ее так, чтобы минимизировать объем передачи данных между процессорами. Сама пересылка данных выполняется с помощью хорошо известной библиотеки MPI (Message Passage Interface). Проведенные тесты подтверждают высокую эффективность параллелизации — ускорение, как привило, не опускается ниже 80% от идеального даже при использовании достаточно большого числа процессоров.

Разработанные вычислительные программы также снабжены некоторыми средствами обработки полученных результатов, в частности утилитами для визуализации расчетных данных. Традиционно для представления вычислительных результатов используется построение изолиний и заливка цветом. Хотя были предложены и более изощренные способы конструирования образов течения из расчетных полей газодинамических величин, они до сих пор не применяются в вычислительной аэродинамике так широко, как того заслуживают. В диссертации описывается техника построения численных интерферограмм, теневых картинок и шлирен-визуализаций (Yates 1993, Quirk, 1994), показывается, что они позволяют построить картины течения, близко напоминающие те, что регистрируются экспериментально. Кроме того, они очень чувствительны к тонким деталям течения и, следовательно, позволяют получать больший объем информацию об исследуемых течениях. Далее в диссертации описанные графические техники широко используются при представлении результатов численного моделирования.

В § 1.5 представлены результаты тестовых расчетов, проведенных для верификации разработанных расчетных программ. Они включают ряд решений как одномерных, так и двумерных и трехмерных задач, в основном таких, в которых возможно сравнение полученных результатов с точным решением или экспериментальными данными. На примере численного решения задач о распаде разрыва сравниваются свойства различных TVD и WENO схем. Преимущества последних особенно наглядно проявляются при решении задач, включающих распространение волн или движение вихрей — в частности при моделировании распространения звуковой волны и переноса изоэнтропического вихря. Вихрь с гауссовым распределением

Рис. 1: Распределения плотности в изоэнтропическом вихре в различные моменты времени. Расчет на сетке 80x80 ячеек с помощью \VENO схемы 5-го порядка (а); с помощью ТУБ схемы 2-го порядка (б); с помощью ТУО схемы 2-го порядка на сетке 200x200 ячеек (в).

завихренности и температуры переносится направленным под углом 45° к линиям сетки постоянным потоком. Уравнения Эйлера решаются в квадрате с периодическими граничными условиями в обоих направлениях. Из Рис. 1 видно, что на сетке 80x80 ячеек \VENO схема позволяет получить намного более точное решение, чем стандартная ТУО схема 2-го порядка. Последняя вносит такую большую численную диссипацию, что к моменту ? = 100 амплитуда вихря уменьшается примерно вдвое. Даже при увеличении числа точек до 200x200 решение, что дает ТУО схема, менее точно, чем полученное с \VENO схемой на сетке 80 х 80 ячеек.

Точное аналитическое решение для внутренней вязкой структуры ударного перехода используется для верификации дискретизации диффузионных членов уравнений Навье-Стокса.

Решается ряд задач, связанных с отражением и распространением ударных волн, в частности задачи о регулярном и маховском отражении ударной волны от стенки, численные решения сравниваются с двухволно-вым и трехволновым аналитическими решениями. В задаче о дифракции ударной волны на теле треугольной формы численное решение непосредственно сравнивается с экспериментальными фотографиями. На Рис. 2 приведены численная шлирен-визуализация и экспериментальная теневая картина (ЗсЬагсНп, 1957). Очевидно, что расчет правильно воспроизводит все тонкие детали данного течения: образование, вследствие неустойчивости Кельвина-Гельмгольца, цепочки вихрей на контактной поверхности, срывающейся с задней кромки тела, очень маленькую вторичную ножку Маха, возникающую при нерегулярном взаимодействии прошедших удар-

Рис. 2: Дифракция ударной волны (М5 = 1,3) на треугольном теле: экспериментальная теневое фото (а) и численная шлирен-визуализация (б)

ных волн вблизи плоскости симметрии, раздвоение контактной поверхности, выходящей из тройной точки.

Прямое сравнение расчетных и экспериментальных данных было выполнено также при моделировании запуска сверхзвукового сопла ударной волной. Ударная волна с числом Маха Mj = 3 входит в плоское клиновидное сопло. Полученная при невязком расчете картина течения на момент времени показана на Рис. 3 вместе с экспериментальной фотографией (Ашапп, 1969). Как видно из рисунка, в дополнение к прошедшей PS и отраженной SLR ударным волнам, в сопле формируются также вторичная ударная волна SS и контактный разрыв CD. На движущемся неравномерно контактном разрыве развивается неустойчивость Рэлея-Тэйлора. Детали течения в расчете и эксперименте хорошо согласуются. Единственное существенное различие связано с отрывом потока, возникающим при взаимодействии сильной ударной волны SS с пограничным слоем на стенках сопла. Отрыв, конечно, нельзя получить в невязком расчете, но согласия не удалось достичь и при решении полных уравнений Навье-Стокса. Вероятно, для адекватного описания нестационарного отрыва в данной задаче требуется корректное моделирование турбулентности. Наиболее перспективным подходом здесь может оказаться использование моделирования крупных вихрей. Несмотря на указанную трудность, полученные в расчете положения ударных волн на линии симметрии прекрасно согласуются с экспериментальными данными.

Рис. 3: Процесс запуска клиновидного сопла ударной волной с М5 = 3 в эксперименте (а) и расчете (б).

Был выполнен также расчет трехмерной дифракции ударной волны, выходящей из канала квадратного сечения во внешнее пространство.

Ряд тестовых расчетов был проведен с целью верификации маршевого кода для решения стационарных уравнений Эйлера. Так, он был использован для расчета обтекания элементов перспективного гиперзвукового летательного аппарата (ГЛА) с конвергентным воздухозаборником и носовой поверхностью сжатия, модель которого была исследована экспериментально в аэродинамической трубе Т-313 ИТПМ СО РАН (Ю.П. Гунько и др., 2001). Хорошее совпадение расчетных и экспериментальных данных в данной задаче сохраняется до тех пор, пока при увеличении угла атаки на поверхности не возникает обширный отрыв пограничного слоя.

В главе 2 рассматривается задача о переходе между регулярным и нерегулярным (маховским) отражениями сильных ударных волн в стационарных течениях. Обзор предыдущих исследований данной задачи дан в §2.1. Эта классическая задача впервые была рассмотрена Дж. фон Нейманом во время Второй мировой войны. Им были теоретически получены два возможных критерия перехода: критерий максимального угла поворота и критерий механического равновесия (известный также как критерий фон Неймана). Первый из них определяет максимальный угол падения ударной волны апри котором еще возможно регулярное отражение, второй — минимальный угол а/у, когда становится возможным маховское отражение.

Определяемые данными критериями диапазоны существования регулярного и маховского отражения перекрываются, так что существует об-

ласть углов падения адг < а < а^ (область двойного решения), при которых теоретически могут существовать как регулярная, так и маховская конфигурации. В 1979 г. Н. Ногпш^ предположил, что при постепенном увеличении, а затем уменьшении угла падения волны смена типов отражения будет сопровождаться гистерезисом. Именно, переход к маховской конфигурации должен происходить при достижении аа обратный переход — когда угол падения будет равен ам- Однако поставленные им в 1982 г. эксперименты в аэродинамической трубе не подтвердили данную гипотезу — и прямой и обратный переход происходили вблизи адг. Тем неожиданнее было практически одновременное обнаружение гистерезиса в расчетной (1уапоу, ОтекИеш & ВеуНсЬ, 1995) и экспериментальной (СЬроип е1 а1., 1995) работах.

В §2.2 дана постановка задачи и излагаются теоретические результаты, которые могут быть получены с помощью метода ударных поляр.

Далее, в §2.3 излагаются результаты результаты численных и экспериментальных исследований явления гистерезиса, возникающего при переходе между регулярной и маховской ударно-волновыми конфигурациями в течении между двумя симметричными клиньями. Прежде всего излагаются результаты численного моделирования, свидетельствующие, что при параметрах внутри области двойного решения действительно существуют два различных стационарных состояния, которые могут быть получены в расчетах в зависимости от выбранных начальных условий. Затем рассматривается собственно явление гистерезиса при плавном изменении (увеличении и последующем уменьшении) угла клиньев. Угол изменялся как непрерывно (для чего проводились расчеты на движущейся сетке), так и квазистационарно, небольшими шагами. В последнем случае стационарное поле течения, полученное в предыдущем расчете, использовалось в качестве начальных данных для следующего расчета.

Серия расчетов начиналась при таком угле клина в, что соответствующий ему угол наклона ударной волны а(0.М) < адг, так что возможно только регулярное отражение. При постепенном увеличении угла регулярное отражение сохраняется всюду в области двойного решения. Переход к маховскому отражению происходит при некотором значении угла падения волны а¡¡., незначительно превышающего а¿, в результате возникает маховская ударно-волновая конфигурация с достаточно большой ножкой Маха. Так, при числе Маха М = 4 а^ = 39,6°, тогда как а^ = 39,44°. При последующем уменьшении угла маховское отражение сохраняется, а высота ножки Маха постепенно уменьшается. Наконец,

при некотором а?г, которое несколько больше адг, происходит обратный переход к регулярному отражению.

Таким образом, смена типов отражения действительно сопровождается гистерезисом и при а® < а < а,^. при одинаковых параметрах набегающего потока можно получить как регулярное, так и маховское отражение — см. Рис. 4.

Рис. 4: Численная шлирен-визуализация регулярного (а) и маховского (б) отражений при М = 4, а = 38°, g/w = 0,56.

Следует отметить, что углы прямого и обратного перехода находятся в хорошем соответствии с теоретическими критериями. Некоторое отличие а[г от судя по всему, обусловлено влиянием численной вязкости. Что касается угла обратного перехода, то отличие а® от адт связано с невозможностью разрешить очень маленькую при а близких к адг ножку Маха. Специальное исследование показало, что при измельчении расчетной сетки а® становится все ближе и ближе к ад?.

Гистерезис наблюдался и при непрерывном изменении угла клина, причем углы перехода начинали отличаться от тех, что были получены в квазистационарном случае лишь при очень больших, нереальных на практике скоростях вращения клиньев, когда падающая волна становится криволинейной и ее наклон в точке отражения начинает заметно отличаться от наклона в точке, где она присоединена к клину.

С целью экспериментального подтверждения существования гистере-

.=32.5 Я1?

а =34.8 ЯК

а =37.1

а =38.2 мя

зиса были проведены эксперименты в трех аэродинамических трубах ИТ-ПМ СО РАН — Т-313, Т-326 и Т-325. В трубе с закрытой рабочей частью Т-313 гистерезис практически отсутствовал, разница между углами прямого и обратного перехода не превышала 0,2-^0,3°. На установке Т-326, в которой свободная струя вытекает из сопла в камеру Эйфеля, гистерезис наблюдался, но разность углов перехода была существенно меньше, чем в расчетах, переход к маховскому отражению происходил в середине области двойного решения (также как это было в экспериментах А. СЬроип). Наконец, в малотурбулентной аэродинамической трубе Т-325, использовавшейся ранее для исследований по ламинарно-турбулентному переходу в сверхзвуковом пограничном слое, при увеличении а регулярное отражение сохранялось в большей части области двойного решения. В момент перехода сразу, скачком, возникало маховское отражение с большой ма-ховской ножкой (Рис. 5). При уменьшении угла размер маховской ножки плавно уменьшался до нуля. Таким образом, наблюдался гистерезис перехода, очень близкий к тому, что был обнаружен в численных расчетах.

Можно предположить, что в идеальных условиях отсутствия возмущений (возможно, в полете при очень низком уровне турбулентности набегающего потока) маховское отражение действительно будет возникать при а = а^ и исчезать при а = а^. Эти идеальные условия достаточно хорошо воспроизводятся в численных расчетах. Что касается экспериментов в аэродинамических трубах, то наблюдаемая там картина зависит суще-

ственно от уровня присутствующих в трубе возмущений. Относительно близкая к идеальной картина наблюдается в малотурбулентной трубе с очень чистым потоком. В других трубах переход к маховскому отражению может происходить значительно раньше, так что гистерезис может даже полностью исчезнуть.

Одним из подтверждений такого предположения являются результаты численного моделирования влияния локальных возмущений, вводимых изменением плотности, при сохранении неизменными скорости и давления, в струйке газа, движущейся в направлении точки отражения ударной волны. Проведенные расчеты показали, что если угол падения ударной волны находится внутри области двойного решения, то с помощью локального изменения плотности набегающего потока можно перевести как регулярное отражение в маховское, так и наоборот. Было также установлено, что пороговая амплитуда возмущений, вызывающих такой переход, может быть определена путем простого теоретического анализа рефракции ударной волны на контактной границе, отделяющей область газа с измененной плотностью от основного потока. При этом вызвать переход к маховскому отражению оказывается существенно легче, чем обратный переход — для перехода от маховского к регулярному отражению необходимы возмущения большей амплитуды и действовать они должны на протяжении большего промежутка времени.

Поскольку угол падения скачка зависит не только от угла клина, но и от числа Маха набегающего потока, то можно надеяться наблюдать гисте-рези, изменяя не угол клина, а число Маха. Расчеты полностью подтверждают это предположение.

В численных расчетах был также получен гистерезис при изменении расстояния между клиньями. В данном случае он возникает из-за того, если клинья раздвинуты достаточно далеко, то веер волн разрежения с задней кромки клина падает на ударную волну, искривляет ее и таким образом изменяет угол волны в точке отражения.

Наконец, был исследован гистерезис при несимметричном взаимодействии ударных волн, когда один клин остается неподвижным, а угол другого меняется. Численные расчеты показали, что и в этом случае смена регулярного и маховского отражений могут сопровождаться гистерезисом. Интересными особенностью несимметричного взаимодействия являются существование при определенных параметрах т. н. инверсного маховского отражения, а также регулярной конфигурации, в которой одна из отраженных волн принадлежит к сильному семейству.

§2.4 посвящен изучению случаев, когда гистерезис при взаимодействии разрывов возникает в физических системах, отличных от течения между двумя клиньями. Прежде всего численно исследовано взаимодействие головных ударных волн для системы тел, обтекаемых сверхзвуковым потоком. Расчеты проведены с помощью ТУБ кода на неструктурированной сетке. Вычисления производились для бесконечной периодической решетки цилиндров и для двух цилиндров, чьи оси направлены перпендикулярно потоку. Изучался переход между регулярным и маховским взаимодействием головных скачков при изменении числа Маха набегающего потока и при изменении расстояния между цилиндрами. Было обнаружено, что переход сопровождается гистерезисом, так что существует область значений числа Маха и расстояний, где, в зависимости от начальных данных, могут наблюдаться оба типа отражения. Параметром, управляющим переходом от одной ударно-волновой конфигурации к другой служит локальный наклон головной волны в точке отражения или, соответственно, в тройной точке. Переход к маховскому отражению наступает в согласии с теоретическим критерием максимального угла поворота потока. Что касается перехода к регулярному отражению, то он наблюдался несколько выше чем это предсказывается критерием фон Неймана. При сгущении сетки вблизи тройной точки угол перехода приближается к теоретическому значению.

При достаточно малых значениях числа Маха или расстояния между цилиндрами дозвуковые зоны за головной ударной волной и за ножкой Маха сливаются, и маховское отражение сменяется новым режимом течения. В случае бесконечной периодической решетки это приводит к «запиранию» потока, при котором все течение перед цилиндрами становится дозвуковым. При обтекании двух (или любого конечного числа) цилиндров слияние дозвуковых зон приводит к формированию коллективной головной ударной волны, заменяющей отдельных головные скачки перед каждым телом.

Гистерезис был также обнаружен при численном моделировании смены типа отражения в плоской перерасширенной струе. В данном случае угол падения ударной волны, исходящей с кромки сопла, увеличивается и уменьшается за счет изменения степени нерасчетности струи (отношения давления на выходе из сопла к давлению в окружающем пространстве).

Наконец, были выполнены теоретический анализ и численное моделирование взаимодействия косых гидравлических прыжков на мелкой воде. Роль числа Маха в данном случае играет число Фруда Рг. Получены тео-

а) б)

Рис. 6: Трехмерные ударно-волновые конфигурации: регулярное отражение (а); маховское отражение (б). Изоповерхности плотности р/р»о = 2,2 при М = 4, а = 38°, Ь/п = 2, g/w = 0,3.

ретические критерии перехода между регулярнвм и маховским отражениями, показано, что для Рг > 2,95 существует область двойного решения. Выполненное численное моделирование подтвердило существование гистерезиса и в этом случае.

Таким образом, было продемонстрировано, что неединственность стационарных состояний и гистерезис при переходе между ними может рассматриваться как общее свойство многих физических систем с взаимодействующими разрывами.

Глава 3 посвящена численному моделированию трехмерного взаимодействия ударных волн.

В §3.1 рассматриваются трехмерные стационарные ударно-волновые конфигурации, возникающие при взаимодействии ударных волн, генерируемых помещенными в сверхзвуковой поток клиньями конечного размаха (как это и происходит в эксперименте). Отношение размера клина по размаху Ь к его длине и> становится в этом случае еще одним параметром задачи. Трехмерные расчеты, выполненные с помощью программ, основанных на ТУО схеме 4-го порядка, показали, что трехмерные эффекты имеют существенное влияние на структуру регулярного и маховского отражений. Ударные волны, генерируемые клиньями конечного размаха, взаимодействуют регулярным образом только в центральной части течения, на периферии же всегда возникает маховское отражение (Рис. 6а). Это происходит из-за того, что волны разрежения, исходящие с боковых кромок клиньев, взаимодействуя с ударной волной искривляют ее, число Маха потока по нормали к поверхности волны уменьшается и на определенном расстоянии от центральной плоскости регулярное отражение становится невозможным.

Рис. 7: Комбинированное отражение, обнаруженное численно при М = 4, b/w = 3,75, g/w = 0,3, а = 35,5°

В случае маховского отражения трехмерные эффекты играют еще более существенную роль. Течение за маховской ударной волной дозвуковое, так что информация с периферии может свободно распространяться в виде акустических сигналов во всей дозвуковой зоной вплоть до вертикальной плоскости симметрии. Таким образом, строго говоря, маховское отражение всегда трехмерно — вся дозвуковая зона за маховским скачком подвержена влиянию трехмерных эффектов.

Интересной особенностью маховского отражения, обнаруженной в численных расчетах стала немонотонная зависимость высоты ножки Маха от координаты по размаху z — при движении от центральной плоскости она сначала уменьшается, а затем начинает расти (Рис. 66). Возможно даже такая ситуация, когда высота ножки может уменьшится до нулю. Тогда возникает новая конфигурация — комбинированное отражение, когда в центральной части отражение является маховским, ближе к периферии — регулярным, а на самой периферии — снова маховским (Рис. 7).

Все эти особенности трехмерных ударно-волновых конфигураций — существование периферийного маховского отражения, существование комбинированного отражения, немонотонная зависимость высоты маховской ножки от z, предсказанные численно, были полностью подтверждены В экспериментах, в которых с помощью продольного лазерного ножа были визуализированы картины течения в различных плоскостях г = const. Проведенные количественные сравнения показали, что численное моделирование позволяет с высокой точностью описать трехмерные ударно-волновые конфигурации.

Установлено и существование гистерезиса при взаимодействии трехмерных ударных волн. В том случае, когда падающие волны остаются плоскими в центральной части течения, справедливы те же критерии перехода, что и в двумерном случае. На Рис. 8 показана полученная в расчетах безразмерная высота ножек Маха s/w (измеренная в центральной плоско-

Рис. 8: Высота ножек Маха в расчетах и экспериментах: М = 4, b/w = 3,75, g/w = 0,56 (а); М = 4, b/w = 2, g/w = 0,3 (б).

сти z = 0) как функция угла падающего скачка а. Для сравнения даны также экспериментальные значения.

Из Рис. 8а очевидно, что численные и экспериментальные величины ножек Маха для того же самого b/w находятся в прекрасном согласии. Он также иллюстрирует влияние размаха клина. Следует отметить сильное влияние трехмерных эффектов на высоту ножки Маха. Даже при b/w = 3,75 величина s/w заметно отличается от получаемой при двумерном численном моделировании. Для правильного воспроизведения экспериментальных результатов необходимы трехмерные расчеты с той же самой относительной шириной клина по размаху, что и в эксперименте. Рис. 86 показывает типичную гистерезисную зависимость (кольцо гистерезиса).

§3.2 посвящен исследованию возможности управления переходом между различными регулярной и маховской конфигурациями путем импульсного энергоподвода. Моделируется трехмерное отражение скачков на плоскости симметрии между двумя наклонными пластинами конечного размаха. Предполагается, что энергия импульса подводится мгновенно, т.е. происходит изохорический нагрев газа. Параметры, при которых произведены расчеты соответствуют условиям экспериментов Knight et al., 2002, в которых энергоподвод осуществлялся с помощью лазерного импульса. Исследование показало, что порожденные энергоподводом возмущения, взаимодействуя с реулярной ударно-волновой конфигурацией,

действительно могут вызвать переход к маховскому отражению. Что же касается перехода от маховского к регулярному отражению, то его вызвать таким образом не удалось. Не был подтвержден результат американских авторов (Уап й а1., 2003), наблюдавших такой переход в численном расчете. Было показано, что данный результат был следствием недостаточного разрешения использованной ими расчетной сетки.

В §3.4 численно и аналитически исследованы невязкие стационарные сверхзвуковые течения в двугранных углах, образованных пересекающимися клиньями сжатия. Рассмотрены течения, симметричные относительно биссекторной плоскости угла. Аналитически определены границы перехода от режимов с регулярным отражением скачков к режимам с нерегулярным или маховским отражением скачков в этих течениях. Для ряда чисел Маха набегающего потока переходные углы клиньев определены также по данным численных расчетов, получено удовлетворительное согласование с аналитическими зависимостями.

Показано, что в подобных угловых конфигурациях возникает возникает широкий спектр ударно-волновых конфигураций, большинство из которых совпадает с теми, что наблюдаются при нестационарном отражении движущейся ударной волны от клина. В определенном диапазоне углов стреловидности и У-образности передних кромок теоретически возможно существование области двойного решения.

В главе 4 решаются задачи, связанные с взаимодействием ударных волн с пограничными слоями, в условиях, когда заметную роль играют эффекты разреженности. §4.1 посвящен учету начальных эффектов разреженности с помощью граничных условий. В нем формулируются граничные условия со скольжением и скачком температуры, рассматривается отличие используемой при решении уравнений Навье-Стокса «скорости скольжения» от истинной скорости газа у стенки, показывается как с помощью приближенного решения кинетических уравнений в кнудсенов-ском слое можно получить формулу для определения скорости газа на стенке по скорости скольжения.

В §4.2 излагаются результаты численного исследования ламинарного отрыва гиперзвукового пограничного слоя на полом цилиндре с юбкой. Параметры расчета соответствуют условиям эксперимента В. СЬап^г, 1995, 1999, число Маха набегающего потока М = 9,91, число Рейнольд-са, рассчитанное по по длине цилиндрической части Ре = 18 916, газ — азот. Расчеты проводились с помощью кода, основанного на ТУБ схеме 3-го порядка, на последовательности сеток до достижения сеточной схо-

димости. Картина течения показана на Рис. 9.

Рис. 9: Течение над полым цилиндром с юбкой. Схема экспериментальной модели и рассчитанные изолинии давления. М = 9,91, Ре = 18 916.

Было показано, что сошедшееся решение уравнений Навье-Стокса с граничными условиями прилипания дает размер отрывной зоны больше, чем в эксперименте и расчете методом прямого статистического моделирования (ПСМ). Аналогичные результаты был независимо получены несколькими другими исследователями, проводившими моделирование для условий данного эксперимента. При использовании граничных условий скольжения размер отрывной зоны несколько уменьшается, но по-прежнему заметно превышает данные эксперимента и ПСМ. Возможной причиной может быть неравновесность течения, не описываемая уравнениями Навье—Стокса или неадекватность используемых граничных условий скольжения при гиперзвуковых числах Маха. Тем не менее в целом наблюдается неплохое согласие результатов континуальных расчетов с условиями скольжения с данными ПСМ по положению ударной волны и поверхностным характеристикам. В частности хорошо совпадают скорости газа у стенки (для континуальных расчетов она была вычислена из скорости скольжения).

Были проведены также расчеты для одноатомного газа — аргона при М = 10 и 2. Сравнение результатов с данными ПСМ показало, что хотя профили плотности и скорости достаточно хорошо согласуются даже при М = 10, температуры внутри пограничного слоя отличаются примерно на 20%. Результаты ПСМ показывают, что вблизи передней кромки температуры в продольном и поперечном направлении заметно отличаются, так что отсутствует равновесие между различными поступательными степенями свободы. В данных условиях уравнения Навье-Стокса даже с граничными условиями скольжения неприменимы вблизи передней кромки.

В §4.3 численно решается нестационарная задача о распространении ударной волны в микроканале (шириной 5 мкм). Ударная волна обра-

зуется в результате разрыва диафрагмы между секциями, содержащими газ с двумя различными давлениями. Параметры задачи таковы, что на развитие течения оказывают существенное влияние эффекты вязкости (в частности толстый пограничный слой, образующийся на стенках канала за ударной волной и теплобмен со стенками) и разреженности. Результаты численного решения численного решения уравнений Навье—Стокса (код основан на использовании WENO схем) сравниваются с данными, полученными. методом ПСМ и с помощью прямого численного решения релаксационного кинетического уравнения (модели Шахова уравнения БГК).

Исследован процесс ослабления ударной волны по мере ее распространения, выполнено параметрическое исследование путем изменения таких величин как степень разреженности (число Кнудсена) и начальное отношение давлений. Сравниваются результаты для плоского канала и для круглой трубы. Выполнено также моделирования распространения ударной волны в условиях, точно соответствующих эксперименту Duff, 1959. В этих экспериментах, проведенных при низких давлениях в круглой трубе диаметром 28,725 мм и длиной 7,5 м наблюдался интересный эффект — возникновение предельного режима, при котором ударная волна и следующая за ней контактная поверхность распространяются с одной и той же скоростью. В расчетах на достаточно густой сетке этот эффект был воспроизведен. Было показано, что на начальном участке длиной приблизительно 1 м скорость ударной волны падает, а контактного разрыва — растет, после чего они сравниваются, и далее ударная волна и контактный разрыв распространяются как единый комплекс.

Глава 5 посвящена численному моделированию возникновения и развития неустойчивости в свободных и пристенных сверхзвуковых течениях.

В §5.1 исследуются линейная устойчивость и начальные стадии перехода к турбулентности в высокоскоростных слоях смешения. Исследование линейной задачи показывает, что основным параметром, определяющим характеристики устойчивости слоя смешения является конвективное число Маха, равное разности скоростей смешивающихся потоков, поделенной на сумму скоростей звука: Мс = {U\ — t/2)/(fli + ai)- При малых Мс эволюция течения определяется развитием известной по несжимаемому случаю неустойчивости Кельвина—Гельмгольца. С ростом конвективного числа Маха диапазон неустойчивых волновых чисел сужается, и при Мс> 1 течение становится устойчивым к двумерным возмущениям данной моды. Несколько ранее появляются, однако, две новые неустойчивые

моды, каждая из которых распространяется со сверхзвуковой скоростью по отношению по крайней мере к одному из смешивающихся потоков. В том потоке, относительно которого скорость возмущения сверхзвуковая, оно осциллирует и лишь весьма медленно затухает при удалении от слоя смешения. Такое возмущение представляет собой акустическую волну, излучаемую из слоя смешения во внешнее пространство под некоторым углом к потоку.

Численное моделирование развития неустойчивостей в слоях смешения проводилось как во временной (в предположении периодичности течения по координате вдоль потока), так и в пространственной постановке. Для решения уравнений Навье-Стокса использовались ENO и WENO схемы. Проведенные при Мс = 0,5, 0,75 и 1,5 расчеты показали существенную зависимость картины развития течения от Мс. Течение при Ме = 0,5 напоминает несжимаемый слой сдвига. Начальное возмущение развивается в цепочку вихрей. Затем соседние вихри начинают закручиваться вокруг друг друга, и происходит их спаривание, что связано с быстрым ростом субгармоники (волны с длиной волны вдвое большей, чем у наиболее неустойчивого по линейной теории возмущения). Рост субгармоники является следствием субгармонического резонанса (Kelly, 1967), являющегося одной из форм параметрического резонанса.

При Мс = 0,75 эффекты сжимаемости играют гораздо более заметную роль. В течении образуются замкнутые области, в которых скорость газа сверхзвуковая. Это происходит в тех местах, где к скорости основного течения добавляется скорость, индуцированная вращением вихрей. Обратно, до дозвуковой скорости, газ тормозится, проходя через присоединенные к вихрям слабые ударные волны. Спаривание вихрей по-прежнему происходит, но время, когда сравниваются энергии основной гармоники и субгармоники заметно увеличивается.

Картина течения при Мс = 1,5 резко отличается от того, что было при дозвуковых конвективных числах Маха. Формирующееся течение является результатом развития сверхзвуковых возмущений (накладывалась суперпозиция возмущений быстрой и медленной мод с равными амплитудами и равными, но противоположно направленными фазовыми скоростями). Образуется вторичное течение, где кроме крупномасштабных структур в сдвиговом слое, появляются наклонные ударные волны во внешней области. Этого можно было ожидать, исходя из линейного анализа задачи. Сверхзвуковые возмущения, распространяющиеся от слоя сдвига в виде наклонных волн, на нелинейной стадии превращаются в косые ударные

волны. Таким образом, при сверхзвуковых Мс слой смешения интенсивно излучает маховские волны. Хотя попарное слияние крупномасштабных структур наблюдается и в данном случае, но для сверхзвуковых возмущений этот процесс очень медленный.

В отличие от временной эволюции, пространственное развитие слоя смешения зависит от абсолютных скоростей потоков, а не только от их разности. Вычисления проводились для случая, когда смешиваются два сверхзвуковых потока. Число Маха более медленного было фиксировано и равнялось Мг = 1,5. Число Маха более быстрого потока менялось, представлены данные для Mi =2,5 и Mi =4,5. Температуры смешивающихся потоков предполагались равными, так что значения конвективного числа Маха в этих двух расчетах были Мс = 0,5 и Мс = 1,5. Также, как при развитии слоя смешения во времени, картины течения существенно отличаются при дозвуковых и сверхзвуковых конвективных числах Маха.

При Мс = 0,5 неустойчивость Кельвина-Гельмгольца приводит к закручиванию сдвигового слоя и образованию крупномасштабных вихревых структур. После спаривания вихрей ниже по потоку наблюдается заметная диффузия завихренности из вихрей в окружающую жидкость.

Когда Мс сверхзвуковое, развитие сверхзвуковой акустической неустойчивости приводит к появлению в свободных потоках наклонных ударных волн. В случае Мс = 1,5 слияние крупномасштабных структур не наблюдалось вплоть до выходной границы вычислительной области.

§5.2 посвящен исследованию неустойчивости плоской струи, истекающей в спутный поток с тем же давлением. Исследование начато с анализа линейной устойчивости течения. Стационарное среднее течение было вычислено предварительно путем численного решения уравнений Навье-Стокса. Основное различие струи от слоя смешения — это существование в струйном течении множественных неустойчивых мод. Благодаря симметрии среднего течения все решения задачи устойчивости для струи могут быть разделены на два класса — симметричные (варикозные) и антисимметричные (изгибные) моды. При дозвуковых конвективных числах Маха вместо одной моды существуют одна изгибная и одна варикозная неустойчивые моды. При высоких сверхзвуковых Мс возникает большое количество неустойчивых мод, чье происхождение связано с резонансным отражением звуковых волн от границ струи (Gill, 1965).

В дозвуковом случае собственные функции обеих мод неустойчивости быстро затухают вне слоя смешения струи. Коэффициент роста возмущений изгибной моды больше, чем у варикозной моды. В сверхзвуковом слу-

чае существует несколько неустойчивых мод, причем коэффициент роста наиболее неустойчивой изгибной моды гораздо выше, чем у наиболее неустойчивой варикозной. Линейная теория устойчивости предсказывает существование мод неустойчивости, которые излучаются в окружающее пространство и распространяются там как наклонные маховские волны. Если для слоя смешения такое излучение было связано с быстрой и медленной модами сверхзвуковой неустойчивости, то для плоской струи оно возникает как результат возбуждения сверхзвуковой изгибной моды.

При численном моделировании нелинейной эволюции неустойчивых возмущений в расчетной плоской сверхзвуковой струе, истекающей в спутный поток, были рассмотрены те же два случая, что были выбраны для линейного анализа устойчивости: 1) = 2,5, Moo = 1,5 и 2) Му = 4,5, Moo =1,5 (здесь индекс j относится к ядру струи, а °° — к внешнему спутному потоку. Струя возбуждалась возмущениями в виде собственных функций линейной теории устойчивости. Обычно на входной границе накладывалась волна с максимальным коэффициентом роста и ее субгармоника гораздо меньшей амплитуды.

При возбуждении струи дозвуковой изгибной модой на ранних стадиях эволюции волны неустойчивости в двух сдвиговых слоях развиваются независимо и образуют две цепочки вихрей Кельвина-Гельмгольца. Ниже по потоку соседние вихри в обоих слоях смешения закручиваются вокруг друг друга, и в вихревое движение постепенно вовлекается жидкость во всем струйном столбе. После этого структуры в двух сдвиговых слоях перестают быть независимыми и начинают взаимодействовать сложным образом.

В случае варикозной неустойчивости течение развивается значительно медленнее. Закручивание соседних вихрей вокруг друг друга заменяется иным типом взаимодействия, приводящим к растяжению вихрей и образованию удлиненных, вытянутых вдоль потока крупномасштабных структур.

Визуализации течения при более высоких числах Маха струи (Рис. 10, 11) показывают совершенно другое развитие неустойчивости. В случае возбуждения сверхзвуковой изгибной модой (Рис. 10), вне струи постепенно формируются наклонные ударные волны. Они кажутся присоединенными к неким движущимся структурам в самой струе и очень напоминают волны Маха, присоединенные к телу, движущемуся со сверхзвуковой скоростью. Чтобы окончательно идентифицировать их как маховские волны, было выполнено прямое сравнение углов наклона. Угол Маха опре-

деляется ис — скоростью движущегося тела. В нашем случае она может быть взята равной скорости волны неустойчивости, что дает для наиболее неустойчивых изгибных возмущений % = 44,6°. На Рис. 10 этот угол показан белыми наклонными линиями. Очевидно, что их наклон почти совпадает с наклоном слабых ударных волн, наблюдающихся во внешнем потоке. Таким образом, эти волны действительно могут быть идентифицированы как маховские волны, излучаемые струей во окружающее пространство. Ниже по потоку маховские волны превращаются в более сильные ударные волны. При дальнейшем росте неустойчивости ударные волны и волны разрежения появляются в ядре струи, и затем струя разрушается.

Рис. 10: Поле градиента плотности при Му- = 4,5, = 1,5, и Ре = 5000. Изгибная мода неустойчивости.

Рис. И: Поле градиента плотности при Му = 4,5, М<„ = 1,5, и Ре = 5000. Варикозная мода неустойчивости.

Напротив, возмущения варикозной моды вплоть до выходной границы остаются в основном ограниченными ядром струи (Рис. 11). Течение развивается в последовательность сложных периодических образований, содержащих скачки и волны разреженности. Они напоминают бочкообразную структуру, типичную для неизобарических струй. Это неудивительно, поскольку из-за наложенных возмущений давление в ядре струи на входе изменяется периодически во времени (и симметрично относительно центральной линии), создавая ситуацию, когда струя попеременно становится то слегка перерасширенной, то недорасширенной. Конечно, при этом возникают движущиеся структуры, а не стационарные.Вне струи ясно видны

распространяющиеся от нее акустические волны. Однако, в большей части вычислительной области они имеют вид не строго ориентированных в определенном направлении волн Маха, а скорее расходящихся от источника цилиндрических волн. Признаки излучения маховских волн лучше видны ближе к выходной границе. Белые линии на Рис. 11 показывают маховский угол. Для наиболее неустойчивых варикозных возмущений X = 26,6°. Можно видеть, что вблизи выходной границы действительно существуют наклонные полосы, совпадающие по направлению с белыми линиями. Вероятнее всего, более слабое излучение маховских волн может быть объяснено малой скоростью роста возмущений варикозной моды и, следовательно, их относительной низкой амплитудой.

В §5.3 моделируется турбулентная недорасширенная струя. В последние годы был предпринят ряд попыток расчета турбулентных сверхзвуковых струй, используя методы прямого численного моделирования (ПЧМ) и моделирования крупных вихрей (МКВ). К сожалению, в большей части численных исследований сверхзвуковых турбулентных струй рассматриваются именно изобарические, т. е. полностью расширившиеся (расчетные) струи, возникающие тогда, когда давление на срезе сопла равно давлению в окружающем пространстве, pj = р^. На практике, однако, чаще встречаются неизобарические, недорасширенные (pj > р^) или перерасширенные (pj < /?«,) струи. Даже если сопло двигателя сконструировано в расчете на истечение полностью расширившейся струи, это обычно имеет место только для крейсерского режима. Несовпадение давлений приводит к появлению в струе сложной ударно-волновой структуры и иногда может вызвать отрыв пограничного слоя внутри сопла, что негативно влияет на тягу двигателя.

Предметом исследования являлась сверхзвуковая плоская струя с числом Маха =1,5, истекающая в затопленное пространство. Отношение давления в струе к окружающему давлению pj/р„ = 2. Основной целью моделирования являлось исследование взаимодействия между турбулентностью и стационарной ударно-волновой структурой струи. Мы ограничиваемся т. н. Monotonically Integrated Large Eddy Simulation (MILES) подходом, т. е. разновидностью МКВ, при котором явная подсеточная модель не используется, ее роль выполняет схемная диссипация, присущая численному алгоритму (в данном случае WENO схеме 5-го порядка). Расчет проводился на сетке из Nx х Ny х Nz = 312 х 161 х 64 = 3,2 х 106 ячеек. В начальном сечении струи задано равномерное среднее течение, на которое наложены случайные турбулентные пульсации с заданным энер-

гетическим спектром. Уровень турбулентности на входе 5% На верхней и нижней границах компоненты скорости их и иг задавались, исходя из решения уравнений пограничного слоя для дальнего поля несжимаемой плоской струи. Это необходимо, чтобы учесть втекание газа в расчетную область за счет его увлечения струей.

Анализ усредненных полей средней плотности показывает, что внутри расчетной области помещаются примерно две «бочки» нерасчетной струи. В первой бочке струя сначала ускоряется волнами разрежения, исходящими с кромок сопла, до скорости 1,35С/у. В этой бочке существует хорошо выраженное потенциальное ядро, в котором скорость остается постоянной. Ниже по потоку, волны разрежения, отраженные от плоскости симметрии, взаимодействуют с границей струи, отклоняя ее внутрь струи. При течении вдоль искривленной границы струи образуется веер волн сжатия, который затем превращается в висячий скачок, отражающийся от плоскости симметрии. Проходя через скачок струя тормозится приблизительно до своей первоначальной скорости {/у. Во второй бочке процесс повторяется, но средняя скорость падает сильнее, достигая в конце значений меньших (/,■.

Градиенты среднего течения сильно влияют на характеристики турбулентности. Волны разрежения вызывают понижение уровня турбулентности, тогда как сжатие течения приводит к резкому росту турбулентных пульсаций.

Развитие неустойчивости границы струи отличается от классической картины неустойчивости Кельвина—Гельмгольца. При данных параметрах конвективное число Маха слоя смешения струи Мс вблизи сопла равно приблизительно 0,85 , т. е. неустойчивость Кельвина—Гельмгольца уже в значительной степени ослаблена влиянием сжимаемости, и наиболее неустойчивые возмущения сдвигового слоя трехмерны. В результате в слое смешения струи развиваются трехмерные полосчатые структуры. В первой бочке, до того как происходит сжатие струи, структуры в двух сдвиговых слоях развиваются независимо друг от друга. Затем турбулентные пульсации значительно усиливаются, и движение во всей струе становится турбулентным.

§5.4 посвящен численному моделированию восприимчивости и развития возмущений в гиперзвуковом вязком ударном слое на плоской пластине. Расчеты были выполнены при параметрах, соответствующих экспериментам, проведенным в аэродинамической трубе Т-327А ИТПМ СО РАН — число Маха набегающего потока М = 21, число Рейнольдса

Рис. 12: Мгновенные изоповерхности завихренности в недорасширенной турбулентной струе.

по длине пластины Ке^ = 1,44- 105. Моделировалось возбуждение волн неустойчивости в ударном слое внешними акустическими волнами и периодическим вдувом и отсосом, производимым вблизи передней кромки пластины. Расчетный код основан на \yENO схеме 5-го порядка

Расчеты показали, что в результате внешнего воздействия в ударном слое возбуждаются вихревые возмущения в виде цепочки вихрей, занимающих область между ударной волной и верхней границей пограничного слоя. Наблюдаются два максимума амплитуды пульсаций плотности: один на самой ударной волне, а второй — вблизи внешней границы пограничного слоя. Как средние, так и пульсационные характеристики в расчетах и экспериментах хорошо совпадают.

Картина развития возмущений в вязком ударном слое слабо зависит от способа их возбуждения. Основные характеристики развития неустойчивости при возбуждении периодическим вдувом и отсосом весьма близки к тем, что были получены при воздействии на ударный слой внешних акустических волн. Независимость картины развития возмущений в ударном слое от способа их возбуждения объясняется тем, что в обоих случаях внешнее возбуждение влияет непосредственно главным образом на ударную волну, вызывая ее колебания. А уже колебания ударной волны приводят к возникновению в самом ударном слое возмущений энтропийно-

вихревой моды.

То, что пространственная структура и фазовая скорость распространения возмущений при воздействии извне и изнутри ударного слоя подобны, открывает возможность управления развитием возмущения. Подбирая характеристики вдува/отсоса так, чтобы порождаемые им возмущения находились в фазе или противофазе с теми, что генерируются под действием акустических волн, можно добиться существенного усиления или, напротив, почти полного погашения развития неустойчивости в ударном слое. Этот результат, полученный численно, был затем подтвержден в специально выполненных экспериментах.

Основные результаты диссертации состоят в следующем:

1. На основе современных алгоритмов сквозного счета (ТУБ и \VENO схем высоких порядков) разработан комплекс программ для численного моделирования сверхзвуковых течений газа. Комплекс включает программы для решения двумерных, осесимметричных и трехмерных нестационарных уравнений Эйлера и Навье-Стокса, маршевый код для расчета чисто сверхзвуковых невязких течений. Для моделирования задач со сложной геометрией применяется как многоблочный подход, так и неструктурированные сетки. Все программы распараллелены для расчетов на многопроцессорных ЭВМ и снабжены средствами обработки расчетных данных.

2. Разработанные программы использованы для решения большого количества актуальных задач сверхзвуковой аэродинамики, включающих сильные ударные волны. Опыт их применения свидетельствует о высокой точности и эффективности данных программ при численном моделировании сложных сверхзвуковых течений.

3. Подробно исследовано явление гистерезиса при взаимодействии сильных скачков уплотнения. Впервые показано, что неединственность стационарного решения и гистерезис при переходе от одного решения к другому являются общим свойством многих физических систем с взаимодействующими разрывами. Установлено, что размер кольца гистерезиса может зависеть от уровня пульсаций в набегающем потоке. Получено экспериментальное подтверждение существования гистерезиса и его зависимости от уровня пульсаций в экспериментальной установке.

4. Изучены трехмерные конфигурации ударных волн, возникающие

при обтекании симметричных клиньев конечного размаха. Обнаружены неизвестные ранее особенности таких конфигураций. Исследована возможность управления переходом между различными конфигурациями с помощью локализованного подвода энергии. Установлено, что трехмерное взаимодействие скачков уплотнения над двугранным углом характеризуется большим разнообразием возможных типов нерегулярного отражения.

5. Исследована роль эффектов разреженности при взаимодействии ударных волн с пограничным слоем. При моделировании ламинарного отрыва над полым цилиндром с юбкой показано, что расчет на основе уравнений Навье-Стокса предсказывает больший размер отрывной зоны, чем наблюдается в эксперименте. Континуальное и кинетическое моделирование распространения ударных волн в микроканале показало, что диссипативные эффекты приводят к быстрому уменьшению скорости волны.

6. Выполнено численное моделирование начальных стадий развития неустойчивости в свободных и пристенных сверхзвуковых течениях. Показано, что в слоях смешения и плоских струях характер неустойчивости существенно меняется с изменением конвективного числа Маха — на смену неустойчивости Кельвина-Гельмгольца при сверхзвуковых Мс приходит так называемая сверхзвуковая неустойчивость. Исследованы процессы восприимчивости и развития возмущений в гиперзвуковом вязком ударном слое на плоской пластине при очень большом числе Маха М^ = 21. Установлено, что при таких числах Маха в ударном слое формируются главным вихревые возмущения. Показано, что возмущения, возбуждаемые внешним акустическим полем могут быть эффективно подавлены с помощью интерференции с возмущениями, искусственно вводимыми путем периодического вдува и отсоса.

В разработке ряда вычислительных программ участвовали Д.В. Хотя-новский, Р.Д. Рахимов и Д.Б. Эпштейн, научным руководителем которых был автор. Некоторые расчеты, результаты которых использованы при написании диссертации, были проведены Д.В. Хотяновским, Р.Д. Рахимовым, Ю.П. Гунько, Т.В. Поплавской, Д.Б. Эпштейном (ИТПМ СО РАН), А.-С. Муронваль (Франция). Всем им автор искренне благодарен.

Основные публикации по теме диссертации

[1] Иванов М.С., Клеменков Г.П., Кудрявцев А.Н., Фомин В.М., Харитонов A.M. Экспериментальное исследование перехода к маховскому отражению стационарных ударных волн // Доклады Академии наук. — 1997. — Т. 357, № 5.

— С. 623-627.

[2] ivanov m.s., markelov g.n., kudryavtsev A.N., glmelshein s.f. Numerical analysis of shock wave reflection transition in steady flows // AIAA Journal.

— 1998. — Vol. 36, No. 11. - P. 2079-2086.

[3] иванов M.C., Кудрявцев A.H., Хотяновский Д.в. Численное моделирование перехода между регулярным и маховским отраженем ударных волн под действием локальных возмущений // Доклады Академии наук. — 2000. — Т. 373, № 3. — С. 332-336.

[4] Markelov G.N., Kudryavtsev A.N., Ivanov M.S. Continuum and kinetic simulation of laminar separated flow at hypersonic speeds // Journal of Spacecraft and Rockets. — 2000. — Vol. 37, No. 4. — P. 499-506.

[5] Гунько Ю.П., Кудрявцев A.H., Мажуль И.И., Рахимов Р.Д., Харитонов A.M. О газодинамике конвергентного воздухозаборника, интегрированного с носовой поверхностью сжатия // Известия РАН. Механика жидкости и газа. —

2001. № 2. — С. 157-169.

[6] Гунько Ю.П., Кудрявцев А.Н., Мажуль И.И., Рахимов Р.Д. Некоторые особенности обтекания двумерного плоского и трехмерного конвергентного воздухозаборников в системе гиперзвукового летательного аппарата // Теплофизика и аэромеханика. - 2001. — Т. 8, № 1. — С. 27^0.

[7] Ivanov M.S., Vandromme D., Fomin V.M., Kudryavtsev A.N., Hadjadj A., khotyanovsky D.V. Transition between regular and Mach reflection of shock waves: new numerical and experimental results // Shock Waves. — 2001. — Vol. 11, No. 3. — P. 197-207.

[8] Ivanov M.S., Ben-Dor G., Elperin Т., Kudryavtsev A.N., KHOTYANOVSKY D.V. Mach-number-variation-induced hysteresis in steady flow shock wave reflections // AIAA Journal. — 2001. — Vol. 39, No. 5. — P. 972-974.

[9] Иванов M.C., Кудрявцев A.H., Никифоров С.Б., Хотяновский Д.В. Переход между регулярным и маховским отражением ударных волн: новые численные и экспериментальные результаты // Аэромеханика и газовая динамика. —

2002,—№3, —С. 3-12.

[10] Ivanov M.S., Ben-Dor G„ Elperin Т., Kudryavtsev A.N., khotyanovsky D.V. The reflection of asymmetric shock waves in steady flows: a numerical investigation // Journal of Fluid Mechanics. — 2002. — Vol. 469.

— P. 71-87.

[11] kudryavtsev A.N., khotyanovsky D.V., ivanov M.S., hadjadj A., vandromme D. Numerical investigation of transition between regular and Mach reflections caused by free-stream disturbances // Shock Waves. — 2002. — Vol. 12, No. 2.—P. 157-165.

[12] mouronval A.-S., hadjadj A., kudryavtsev A.N., vandromme D. Numerical investigation of transient nozzle flow // Shock Waves. — 2003. — Vol. 12, No. 5. — P. 403^11.

[13] ivanov M.S., kudryavtsev A.N., nlkiforov S.B., khotyanovsky D.V., pavlov A.A. Experiments on shock wave reflection transition and hysteresis in low-noise wind tunnel // Physics of Fluids. — 2003. — Vol. 15, No. 6. — P. 1807-1810.

[14] Гунько Ю.П., Кудрявцев А.Н., Рахимов Р.Д. Суперзвуковые невязкие течения с регулярным и нерегулярным взаимодействием скачков уплотнения в угловых конфигурациях // Известия РАН. Механика жидкости и газа. — 2004. — № 2. — С. 152-169.

[15] hadjadj A., Kudryavtsev A.N., ivanov M.S. Numerical investigation of shock-reflection phenomena in overexpanded supersonic jets // AIAA Journal. — 2004. — Vol. 42, No. 3. — P. 570-577.

[16] hadjadj A., kudryavtsev A.N. Computation and flow visualization in high-speed aerodynamics // Journal of Turbulence. — 2005. — Vol. 6. —P.l-25.

[17] Kudryavtsev A.N., Khotyanovsky D.V. Numerical investigation of high speed free shear flow instability and Mach wave radiation // International Journal of Aeroacoustics. — Vol. 4, No. 3 & 4. — 2005. — P. 267-286.

[18] Кудрявцев A.H., Миронов С.Г., Поплавская Т.В., Цырюльников И.С. Экспериментальное исследование и прямое численное моделирование развития возмущений в вязком ударном слое на плоской пластине // Приладная механика и техническая физика. — 2006. — Т. 47, №. 5. — С. 43-52.

[19] Кудрявцев А.Н., Маслов А.А., Миронов С.Г., Поплавская Т.В., Цырюльников И.С. Прямое численное моделирование восприимчивости гиперзвукового ударного слоя к естественным и искусственным возмущениям // Вычислительные технологии. — 2006. — Т. 11, спец. вып., Ч. 1. — С. 108-116.

[20] троцюк А.В., кудрявцев А.Н., Иванов М.С. Численное исследование стационарных детонационных волн // Вычислительные технологии. — 2006. — Т. 11, спец. вып., Ч. 2. — С. 37-44.

[21] Kudryavtsev A.N. and Khotyanovsky D.V., and Ivanov M.S. Effects of a single-pulse energy deposition on steady shock wave reflection // // Shock Waves. — 2006. — Vol. 15, No. 5. — P. 353-362.

[22] гунько Ю.П., Кудрявцев A.H. Численное моделирование свободного взаимодействия скачков уплотнения при обтекании двугранных углов // Теплофизика и аэромеханика. — 2006. — Т. 13, № 2. — С. 239-256.

[23] Фомин В.М., Кудрявцев А.Н., Маслов А.А., Миронов С.Г., Поплавская Т.В., цырюльников И.С. Активное управление возмущениями в гиперзвуковом ударном слое // Доклады Академии наук. — 2007. — Т. 414, № 2. — С. 1-1

[24] Маслов А.А., Кудрявцев А.Н., Миронов С.Г., Поплавская Т.В., Цырюльников И.С. Численное моделирование восприимчивости гиперзвукового ударного слоя к акустическим возмущениям // Прикладная механика и техническая физика. — 2007. — Т. 48, №. 3. — С. 84-91.

[25] Кудрявцев А.Н., Поплавская Т.В., Хотяновский Д.В. Применение схем высокого порядка точности при моделировании нестационарных сверхзвуковых течений // Математическое моделирование. — 2007. — Т. 19, № 7. — С. 39-55.

[26] Миронов С.Г., Маслов А.А., Кудрявцев А.Н., Поплавская Т.В., Цырюльников И.С. Активное управление возмущениями в гиперзвуковом ударном слое // Вестник НГУ. Серия: Физика. — 2008. — Т. 3, вып. 2. — С. 15-20.

[27] Поплавская Т.В, Кудрявцев А.Н., Миронов С.Г., Цырюльников И.С. Исследование распределенной и локализованной восприимчивости гиперзвукового ударного слоя на пластине // Вестник НГУ. Серия: Физика. — 2008. — Т. 3, вып. 2. — С. 21-27.

[28] Маслов А.А., Миронов С.Г., Кудрявцев А.Н., Поплавская Т.В., Цы-рюльников И.С. Управление возмущениями в гиперзвуковом ударном слое на пластине нестационарным воздействием с поверхности // Известия РАН. Механика жидкости и газа. — 2008. — № 3. — С. 152-161.

[29] Zeiton D.E., Burtchell Y., Graur I.A., Ivanov M.S., Kudryavtsev A.N., Bondar Ye.A. Numerical simulation of shock wave propagation in microchannels using continuum and kinetic approaches. Shock Waves. — 2009. — V. 19, No. 4. — P. 307-316.

[30] Khotyanovsky D.V., Bondar Ye.A., Kudryavtsev A.N., Shoev G.V., Ivanov M.S. Viscous effects in stead reflection of strong shock waves // AIAA Journal — 2009. — V. 47, No. 5. — P. 1263-1269.

[31] кудрявцев A.H., Поплавская Т.В. Подавление пульсаций, генерируемых в гиперзвуковом ударном слое внешними акустическими волнами // Ученые записки ЦАГИ. — 2010. — Т. 41, №2. — С. 31-36.

[32] Кудрявцев А.Н., Овсянников А.Ю. Численное исследование взаимодействия акустических волн со скачком уплотнения // Ученые записки ЦАГИ. — 2010, —Т. 41, №1, —С. 37-43.

[33] Maslov A.A., Mironov S.G., Kudryavtsev A.N., Poplavskaya T.V., Tsyryulnikov I.S. Wave processes in a viscous shock layer and control of fluctuations // Journal of Fluid Mechanics. — 2010. — V. 650. — P. 81-118.

[34] Ivanov M.S., Bondar Ye.A., Khotyanovsky D.V., Kudryavtsev A.N., Shoev G.V. Viscosity effects on weak irregular reflection of shock waves in steady flows // Progress in Aerospace Sciences. — 2010. — V. 46, No. 2-3. — P. 89-105.

[35] Шершнев А.А., Кудрявцев A.H., Бондарь E.A. Численное моделирование сверхзвукового течения газа около плоской пластины на основе кинетических и континуальных моделей // Вычислительные технологии. — 2011. — Т. 16, №6. — С. 93-104.

[36] Иванов М.С., Хотяновский Д.В., Шершнев А.А., Кудрявцев А.Н., Ше-вырин А.А., ёнемура С., бондарь Е.А. Эффекты разреженности при обтекании затупленной передней кромки сверхзвуковым потоком // Теплофизика и аэромеханика. — 2011. — Т. 18, № 4. — С. 543-554.

[37] Шоев Г.В., Бондарь Е.А., Хотяновский Д.В., Кудрявцев А.Н., Мару-ta К., иванов М.С. Численное исследование входа и распространения ударной волны в микроканале // Теплофизика и аэромеханика. — 2012. — Т. 19, №1. — С. 19-34.

[38] кудрявцев А.Н., эпштейн Д.Б. Явление гистерезиса при обтекании системы цилиндров сверхзвуковым потоком // Известия РАН. Механика жидкости и газа. — 2012, №3. — С. 122-131.

[39] kudryavtsev A.N., epstein D.B. Hysteresis phenomenon at interaction of shock waves generated by a cylinder array // Shock Waves. — 2012. — V. 22, No. 4. — P. 341-349.

[40] Kudryavtsev A.N., Shershnev A.A. Numerical simulation of microflows using direct solving of kinetic equations with WENO schemes // Journal of Scientific Computing. — 2013. — V. 57. — P. 42-73.

Ответственный на выпуск А.Н. Кудрявцев

Подписано в печать 30.07.2014 Формат бумаги 60x84/16, Усл. печ. л. 2.0 Уч.-изд. л. 1.8, Тираж 150 экз., Заказ №8

Отпечатано в типографии ООО «Параллель» 630090, Новосибирск, ул. Институтская, 4/1