Вынужденные колебания тонкой пластины в нестационарном неоднородном температурном поле тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

На правах рукописи

00504482Ь

Бедрицкий Вадим Николаевич

ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ ТОНКОЙ ПЛАСТИНЫ В НЕСТАЦИОНАРНОМ НЕОДНОРОДНОМ ТЕМПЕРАТУРНОМ ПОЛЕ

Специальность 01.02.04 - «Механика деформируемого твердого тела»

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

2 4 МАЙ 2012

Тула-2012

005044826

Диссертация выполнена в ФГБОУ ВПО «Тульский государственный университет»

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор ЖЕЛТКОВ Владимир Иванович

Официальные оппоненты: СТРЕЛЯЕВ Сергей Иванович

доктор технических наук, профессор ФГБОУ ВПО

«Тульский государственный университет» профессор кафедры «Ракетного вооружения»

ГОРДОН Владимир Александрович доктор технических наук, профессор ФГБОУ ВПО «Госуниверситет - УНПК» зав. кафедрой «Высшей математики»

Ведущая организация: ОАО «Научно-производственное объединение «Стрела»

Защита состоится июня 2012 года в 14— на заседании диссертационного совета Д 212.271.02 при Тульском государственном университете по адресу: 300012, г. Тула, пр-т Ленина, д. 92, 12 уч. корп., ауд. 105

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Тульского государственного университета

Автореферат разослан "(93" utaS 2012 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета Толоконников Лев Алексеевич

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Широкое применение биметаллов, трехслойных и многослойных материалов, стеклопластиков и других полимерных материалов требует необходимости проведения исследований и создания методов расчета неоднородных конструкций. Из года в год растет число публикаций в этом направлении. Важной составляющей являются процессы теплообмена и колебаний в многослойных пластинчатых и пологих оболочечных конструкциях, входящих в состав механических систем (МС).

Внешние периодические воздействия влияют на устойчивость и эффективность. Среди множества работ по динамике пластин следует выделить фундаментальные труды В.В. Болотина о распределениях собственных частот упругих тел.

Современные разработки позволяют не только минимизировать нежелательные воздействия, но и вносить дополнительные полезные конструктивные решения, позволяющие создавать МС с новыми свойствами. Интересными являются работы Е.П.Клигмана, Н.АЛОрловой, в которых рассматривается включение в состав пластинчатых конструкций пьезоэлектрических покрытий. Это позволяет оптимизировать динамические характеристики системы посредством управляемых периодических воздействий, однако приводит к существенному усложнению конструкции не только с точки зрения изготовления, но и с точки зрения теоретического исследования её поведения.

При работе МС встречаются существенные колебания температуры. Если же на термодинамическую систему оказывать периодические тепловые воздействия, в ней возникают вынужденные термические колебания, которые в сплошной среде распространяются в виде тепловых волн, что описано в работах Г.С.Карслоу, А.В .Лыкова, А.Ф.Шестопала, А.М.Шкловера и порождают всевозможные периодические изменения (пульсации) размеров и формы тела, а также его положения в пространстве, т.е. механические вибрации. Высокую значимость имеет изучение особенностей температурных колебаний и их роли в возникновении и поддержании колебаний механической природы. Это частный случай комбинированных колебаний, называемых термомеханическими. На его основе могут быть построены полезные термомеханические системы (ТМС).

Фундаментальное изучение распространения тепловых импульсов в изотропных и анизотропных средах описано в монографии В.Новацкого, однако исследуемые бесконечные и полубесконечные пространства с точечными и линейными источниками тепла отстоят довольно далеко от практического их применения.

Задачи о теплопроводности, тепловом упругом деформировании и вынужденных механических колебаниях исследованы крайне мало. Например, С.И.Стреляевым и В.В.Ветровым экспериментально обнаружено, что периодическое воздействие тепла с определенными параметрами на пластину, приводит к вынужденным колебаниям, а при длительном тепловом периодическом воздействии на поведение конструкции так же значимо влияют реологические свойства материала.

Варианты поведения пластин в нестационарном неоднородном температурном поле представляют особый интерес для многих областей новой техники, а также для всех тех «устоявшихся» областей, в которых происходит внедрение облегченных конструкций и новых материалов. Например, стеклотекстолит,

используемый для изготовления печатных плат, эксплуатируется при значительном отклонении температуры от окружающей среды, за счет разогрева ЭРЭ в процессе их функционирования. Так, по данным ФГУП НИИ «Стрела» (г. Тула) в некоторых образцах РЭА локальные значения температуры в местах установки ЭРЭ достигают 80.. .100°С.

Исследование термоупругих деформаций удобно производить методами математического моделирования, что позволит анализировать влияние геометрии и свойств материалов. Однако на начальном этапе необходима экспериментальная апробация для проверки достоверности разрабатываемых моделей.

Изложенное выше определяет актуальность, практическую значимость и цель работы.

Цель работы: экспериментальные исследования и построение математических моделей движения пластины в нестационарном неоднородном температурном поле.

Объект исследования тонкое тело из линейно вязкоупругого материала, под действием нестационарного неоднородного температурного поля.

Научная новизна диссертационной работы заключается в следующем:

- создана экспериментальная модель и проведено исследование движения стержня при воздействии импульсного температурного поля;

— построена математическая модель шарнирно-опертой линейно-вязкоупругой прямоугольной пластинки, позволяющая изучить взаимосвязь параметров пластинки с эффектами действия температурного поля.

Методы исследования применявшиеся в работе:

- экспериментальное исследование с использованием измерительной системы с заданной точностью, статистическая обработка полученных данных;

— апробированные методы механики деформируемого твердого тела и строгого математического аппарата;

- сравнение результатов с результатами других авторов.

Достоверность н надежность основных научных и практических результатов обоснована:

— использованием классических апробированных методов механики деформируемого твердого тела и строгого математического аппарата;

— сравнением результатов с результатами других авторов и экспериментально полученными данными с проверкой сходимости вычислительных процессов.

Практическая значимость работы заключается в следующем:

— результаты экспериментов могут быть использованы при проектировании новых компонентов РЭА для повышения надежности или обеспечения штатного функционирования в области заданных внешних условий;

- построена математическая модель движения шарнирно опертой пластины в нестационарном неоднородном температурном поле, которая может быть использована для разработки, оптимизации и управления формообразованием пластинчатых элементов конструкций.

Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы докладывались автором на международных и всероссийских научных конференциях и семинарах, в том числе на:

- ЬУП Научная сессия, посвященная Дню Радио (Москва, 2002г.);

- Международной научной конференции «Современные проблемы математики, механики, информатики» (Тула, 2009г.);

- Международной научной конференции «Современные проблемы математики, механики, информатики» посвященной 100-летию со дня рождения А.А.Ильюшина (Тула, 2011г.).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 7 работ, из них 2 статьи из перечня, определенного Высшей аттестационной комиссией Министерства образования и науки Российской Федерации.

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, трех разделов, заключения и списка литературы из 156 наименований и содержит 110 страниц машинописного текста, 48 рисунков, 5 таблиц.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

В ведении обосновывается актуальность выбранной темы диссертации, формулируется цель выполненного исследования, научная новизна диссертации и практическая значимость работы. Проведен анализ термодинамических систем в применении к тонким упругим пластинам. Приводится обзор литературы по теории теплопроводности и термодинамических систем под воздействием периодических тепловых воздействий.

Учитывая, что имеются предпосылки к решению или уже реализованные решения для различных составляющих термомеханического преобразования энергии, необходимым видится исследование температурных колебаний для последующего практического применения. Поэтому экспериментальное исследование динамических состояний вязкоупругих оболочек в нестационарном температурном поле и построение математической модели развивающихся во времени докритических температурных деформаций являются актуальными и представляют практический интерес.

В первом разделе приводится описание эксперимента. Подробно описана схема эксперимента, условия проведения и средства измерений.

Приводятся подробные данные о разработанной установке, приведенной

на рисунке 1, позволяющей задавать величину и продолжительность теплового воздействия. Описаны характеристики используемых образцов и методы фиксации их поведения. Приводится мотивированный выбор способов обработки полученных данных. Основным дополнением к осциллограммам является видеозапись процесса. На рисунке 2 приведены два кадра видеосъемки, на которых видны крайние положения (амплитуда) свободной грани образца №4 при установившемся колебательном процессе.

Рис. 1. Вид экспериментальной установки.

1-крепежные пластины, 2-образец, 3-акселерометр, 4-станина, 5-гибкий управляющий провод, 6-кабелъ данных.

После серии экспериментов в распоряжении автора оказались данные о колебаниях пластины, соответствующие различным геометрическим и физическим факторам. Для обработки этих результатов использованы специализированные программные продукты для ПЭВМ. Полученные графики позволяют судить о процессах, происходящих в термомеханической системе.

Тепловая энергия (температурный момент) передается телу образца и тем самым вызывает температурную деформацию. Очевидно, что вызванный им прогиб в направлении, обратном нагреву, пропорционален полученному теплу.

Периодический характер нагрева вызывает установившиеся гармонические вынужденные колебания с постоянной амплитудой и частотой О. Гармонические колебания происходят вблизи текущего положения пластинки — постоянной составляющей деформаций.

Рис. 2. Крайние положения (амплитуда) свободной грани образца №4.

а) положение соответствует отметке -0,62мм;

б) положение соответствует отметке -+2,24 мм

Удобным в данном случае, будет условное разделение колебательного процесса на фазы, такие как:

I. Начальная — от начала воздействия до установившегося во времени процесса. Характерной особенностью данной фазы будет меняющаяся во времени постоянная составляющая прогиба пластинки;

П. Установившаяся - установившийся во времени процесс колебаний. Отличительная черта фазы — постоянная составляющая прогиба пластинки имеет практически постоянную величину, вблизи которой совершаются вынужденные гармонические колебания.

Иллюстрация обеих фаз показана на приведенных ниже рисунках. На рисунках 3-а, 4-а, 5-а приведены осциллограммы зарегистрированных движений свободного края (кривая 1) и соответствующего возмущающего воздействия (кривая 2). Рисунок З-б соответствует I фазе процесса. Кривая 3 описывает колебательную часть процесса, а кривая 4 показывает изменение постоянной составляющей прогиба пластинки.

Графики на рисунке 4-6 явно соответствуют фазе П. Кривая 3 так же описывает колебательную часть процесса, а кривая 4 показывает величину постоянной составляющей прогиба пластинки во времени.

В процессе проведения экспериментов были обнаружены отклонения во второй фазе от ожидаемого поведения образцов. Ниже приведены графики установившегося процесса колебаний, на которых явно видны регулярные изменения амплитуды колебаний относительно прогиба пластины. Характер изменений явным образом соответствует явлению биений в технике. На рисунке 5 отображено биение для образца №5.

б)

шшш

ІРІЩі!

а) б)

Рис. 3. Образец №4. Начало процесса движения. Укрупнение масштаба.

а) осциллограмма; б) даиные покадрового анализа видеозаписи.

\ А Л ;\V Д Л Л А

Щ ■■ ЩЩЦ \ \ \ \ ! \

\' і / \; і і \ і \ і г і

V v v/; v І/ V V. V V

а) б)

Рис. 4. Образец №2. Установившийся процесс движения.

а) осциллограмма; б) данные покадрового анализа видеозаписи.

Рис. 5. Образец №2. Рис. 6. График изменения проги-

Проявление биений. ба пластинки (образец №4).

Еще одним интересным обнаруженным фактом стало поведение образца при снятии температурного воздействия (нагрузки). Ожидалось, что прогиб пластины после снятия нагрузки будет уменьшаться от максимально получен-

0102010001020010037300010001020102010201020110

Рис. 7. Расчетная схема изгибаемого консольного стержня

ной до начального положения. Однако, прогиб всех образцов менялся на противоположный (отрицательный относительно основного процесса).

На рисунке 6 на отрезке от 309с до 311с укрупненно показан интервал времени, соответствующий снятию теплового воздействия. Отчетливо видны свободные колебания, которые совершаются вокруг кривой обратной ползучести образца.

Построена математическая модель консольно закрепленного линейно вязкоупру-гого стержня, нагруженного равномерно распределенными по длине температурными моментами для сопоставления с результатами эксперимента. Начальные поперечные перемещения и их скорости считаются равными нулю. Расчетная схема приведена на рисунке 7.

Решение задачи о вынужденных колебаниях получено методом модального разложения в форме:

N

со

*=і

где Ф*(х) - форма свободных колебаний консольного стержня:

£(*) = 0.5[со5И(Х> + соф:)]; Т(х) = 0.5[зіпЬ(^) + зіп(д:)]; (2)

и(д) = 0.5[созИ(х) -соб(х)]; У(х) = 0.5[ягЛ(*) - вт(х)]; Хп : созЬ(/!і) + соз(Л1) = -1.

МО

модальные коэффициенты, для определения которых составляется система обыкновенных интегро-дифференциапьных уравнений с диагональной матрицей:

\фк(х)(1х

«і - ¡Гк(1~т)а,(г)с1т

Здесь

Ы 2

щЦ) = Еа | гАТ(і,г)сЬ

(3)

(4)

- температурный момент. Предполагая, что стеклотекстолит имеет экспоненциальное ядро релаксации:

у^Аре?' (5)

с параметрами: А=0.1, /3=5000 (эксперименты Д.А Дехтяра, С.Н. Широкова), можно получить аналитические выражения для модальных коэффициентов (при однородных начальных условиях):

ак(1) = - т)Рк(т)с1т = - т)кТ{т)с!т (6)

4 (/) = зіп[іт(4> + фк] + Вке

где ^-комплексный, Ск- мнимый корни характеристического уравнения: г'+Ьг2+г + Ь(1-Л) = 0, Ъ-

' СО 4

, 2 =

V®0)

(7)

(8)

Таким образом, полученная математическая модель защемленного стержня из материала с вязкоупругими свойствами позволила описать вынужденные свободные колебания.

Графики, иллюстрирующие колебания стержня с частотой, соответствующей первой собственной частоте и данные, полученные экспериментальным путем, приведены на рисунках 8 и 9. Среднеквадратичное отклонение для разных образцов составляет 7-11%. Эти данные указывают на корректность построенной математической модели и ее достоверность. Следует отметить что, основные отклонения экспериментальных данных связаны с недостаточной разрешающей способностью измерительной аппаратуры.

Рис. 8. Образец №2. Начало процесса движения.

••х - экспериментальные данные;

--результат расчета по построенной

математической модели

Рис. 9. Образец №4. Начало процесса движения.

- экспериментальные данные;

- результат расчета по построенной математической модели

Таким образом, модель линейно-вязкоупругого стержня является адекватной и достоверной и позволяет использовать принципы ее построения для исследования более сложных конструкций. Неравномерное температурное воздействие оказывает значимое влияние на напряженно-деформированное со-

стояние тела и необходимо создание математических моделей иных конструкций с учетом термомеханических эффектов;

Во втором разделе сформулирована идея температурного управления формой тонкого тела и рассматривается математическая модель одного из простейших, но в то же время практически интересных вариантов системы — тонкой пластинки с нагревом по одной из поверхностей.

Принято, что пластинка изготовлена из линейно-вязкоупругого произвольно анизотропного материала и ее свойства описываются наследственными соотношениями Больцмана:

<

ЭД = С»ЕГ(4)-f Г(£ — г) • -Ет(т)<1т (9)

о

где 8 - тензор напряжений, Ет — тензор деформаций, С - тензор мгновенных постоянных упругости, Г(/) - тензор ядер релаксации.

В первом приближении принимается, что реологические свойства материала не зависят от температуры даже в смысле температурно-временной аналогии. Температурные эффекты определяются только тепловым расширением, так что

Ег = Е — ААТ (10)

где Е - кинематический тензор деформаций, определяемый только градиентами перемещений, А — тензор коэффициентов температурного расширения, АТ — изменение температуры — скалярная функция времени и координат.

Пластинка принята тонкой, так что справедливы кинематическая и статическая гипотезы Кирхгоффа.

Решено вариационное уравнение Лагранжа, в котором в число массовых сил включены силы инерции Д'Аламбера. При этом учитывается только инерция поступательных перемещений, что для тонких пластин дает погрешность порядка (Л / а)', где а - наименьший характерный размер пластинки в плане.

Окончательно выражение вариационного уравнения Лагранжа получено в

виде:

6П*+6А*-6Л£ + 6Пк = 0 (11)

Первые два слагаемых в (11) зависят только от перемещений и нагрузок точек срединной плоскости и средней по толщине температуры, последние два — от перемещения ж Задача разделена на две взаимосвязанные подзадачи: первая — о плоском напряженном состоянии (ПНС) пластинки под действием внешних нагрузок и средней по толщине температуры; вторая - об изгибе пластинки под действием «момента температуры». Такое разделение оказалось возможным благодаря предположению об однородности пластинки по толщине, пренебрежению тепловыделением в процессе деформирования и выбором плоскости приведения посередине толщины.

Предполагалось, что обе подзадачи — динамические. Возможно и упрощение постановки за счет пренебрежения динамическими эффектами в плоском напряженном состоянии, что допустимо при краевых условиях, не накладывающих ограничений на перемещения точек в плоскости пластинки и статических нагрузках.

При любой постановке определяющей является зависимость поля температуры от координат и времени. Т.к. граничные условия в перемещениях не

препятствуют температурному расширению пластинки, то задача о ПНС опущена и решены следующие задачи:

1. Решение нестационарного уравнения теплопроводности при заданных краевых и начальных условиях.

2. Решение задачи об изгибе пластинки.

Решение первой задачи. Для определения температурного поля использовано классическое уравнение нестационарной теплопроводности и приняты следующие предположения:

а) температурное поле однородно на одной из поверхностей пластинки. При этом краевые эффекты, возникающие за счет теплоотдачи с торцевых поверхностей пластинки пренебрежимо малы.

б) теплопроводность в плоскости пластинки также пренебрежимо мала, и считается, что для конструкционных композитов, к которым относится стеклотекстолит, коэффициенты теплопроводности достаточно малы и ширина зоны прогрева материала за пределами электропроводного слоя мала по сравнению с размерами пластинки. Тем самым рассмотрен только основной эффект действия температурного поля - распределение температуры по толщине пластинки, приводящее к образованию распределенных температурных моментов, и закон изменения ее во времени.

Последние предположения позволили существенно упростить постановку задачи теплопроводности и перейти к одномерной нестационарной задаче:

ЭТ А Э2Т (12)

дЬ рс дг2

Материал пластинки выбран однородным по толщине. Более того, зависимости теплофизических свойств от температуры также исключены из рассмотрения. Начало координат расположено на ненагретой поверхности пластинки, что позволило упростить формулировку краевых условий. Решения было реализовано в безразмерных величинах: координате и времени.

Для решения использовано интегральное преобразование Лапласа по времени:

= 0 (13)

где 5 - параметр преобразования Лапласа, ( ) обозначает изображение. Решая (13), получим

Ш = С + (14)

Тх к к=1 *

Найти корни аналитически не представляется возможным, поэтому организована процедура их отделения и уточнения численным методом половинного деления. Построенные линии уровня левой части уравнения позволили заключить, что корни находятся на мнимой оси (Рис.10).

Распределение температуры при стремится к линейному по толщине (рис.11), если температуры на поверхностях и £,=1 различны. Такое распределение несимметрично по толщине и, следовательно, приводит к неравным нулю температурным моментам.

О (И

X

FJ К2

Рис.10. Линии уровня левой части для характеристического уравнения: слева — вещественная часть (Р1), справа — мнимая часть (К).

Далее рассмотрены нестационарные распределения температуры вида:

г««(0 = а,1[1-с<м(т)] (15)

отличающееся тем, что оно физически реализуемо при любом Т\, знакопостоянно, следовательно, не требует охлаждения для своей реализации, как, например, простейшее гармоническое распределение 5т(Г2/). Окончательно получено:

ТЩ)

гЫ

тг^соз (Ш+фк) + А1а7П2е

я»*»,

(16)

Распраасн® борззмернзя топсряуры по теишшс

л

В данном соотношении можно выделить две части: переходный процесс - последнее слагаемое в квадратных скобках и установившуюся часть — все остальное.

Параметр о - зави-

сит не только от теплофизических свойств материала, но и от размера А, то есть характеризует объект исследования в целом. Наибольшая теплопроводность соответствует алмазу (-1000 Вт/(м-К)), меньшая -полимерам (-0.1 Вт/(м-К)). Теплоемкость меняется незначительно

Рис.11. Распределение температуры по <~1-"3 Кдж/(ю-К). Поэтому при

толщине при постоянной управляю- ФиксиРова™ ™лпщне малые г - ^ значения а соответствуют метал-

щей температуре (г - безразмерное лам> больпше _ Шлимерам.

время)

—1-0.01 -1-0.05 —t-0.lt -•1-1

ф' > .4 . >•' ________" ........ 7

Переходные прощаи а&ергдине кдщзаы ®=0.1

Отклонения температуры в середине толщины в зависимости от закона управления, получены путем изменения характеристики материала и частоты внешних воздействий. При расчетах использовались 500 членов ряда. Рассматривались два характерных материала: с параметром а малым, что примерно соответствует металлам и большим, характерным для полимеров. Зависимости приведены на „ _ „„ рис. 12 для параметра а=0.1.

Рис.12. Переходные процессы посереди- Рассматривая ряд фикси-

не толщины при малом а. рованных частот, мы получаем,

что низкочастотные управляющие процессы (характерная частота 1..10 1/с) приводят к практически установившемуся процессу посередине толщины с той же частотой и фазовым сдвигом, зависящим от параметра а - чем меньше частота, тем больше фазовый сдвиг. Время достижения установившегося процесса (переходный процесс) также зависит от а. При низких частотах достаточно трех периодов колебаний; при высоких - переходный процесс распространяется и далее. Кроме того, увеличение параметра а приводит к уменьшению (примерно на 15%) амплитуды установившейся температуры. Другими словами, кривизна линии Г(£)в установившемся процессе при увеличении а увеличивается.

Так как граничные условия выполняются, то на поверхности управления (4=1) температура наивысшая, глубина прогрева зависит от закона изменения управляющей температуры; управляющий момент тем выше, чем больше асимметрия графика температуры относительно середины толщины.

В третьем разделе предварительные выводы о возможности термовязко-упругого деформирования и управления реализуются на примере шарнирно-опертой пластинки, нагретой по одной поверхности.

Рассмотренная выше пластина, прямоугольная в плане. Материал пластинки будем считать изотропным, подчиняющимся закону Больцмана. В соответствии с принятым методом решения определяющим является выбор координатных функций, удовлетворяющих краевым условиям. В случае шарнирного опи-

771=1 П=1

■ктх бш ппу 1

а . Ь )

(17)

Используя вариационный принцип Д'Аламбера-Лаграюка получим систему уравнений движения относительно а„„:

' = 0- 21-Г7П-т)ТЛТ)<1Т (18)

Решение получено в предположении, что «температурные моменты» равномерно распределены по поверхности пластинки.

Для упрощения задачи, введено предположение, что материал соответствует вырожденному случаю вязкоупругого поведения (т.е. коэффициент Пуассона постоянен). В этом случае достаточно одного ядра, которое будет универсальным, и получено в опыте на одноосное растяжение.

Система уравнений движения (18) решена через интегральное преобразование Фурье.

В качестве объекта расчета выбрана пластинка с соотношением длины к ширине а:Ь = 2 и толщиной /7=0.1 (размеры в м). Физические характеристики материала примерно эквивалентны стеклотекстолиту (£о=Ю7Па, v=0.3, р=2700 кг/м ). Первая упругая собственная частота (т=1, п=1) составила 90.9 1/с. Влияние параметров вязкоупругого ядра релаксации на ИПХ (рис. 13, 14).

Анализ рис. 13 показывает, что при больших (3 и малых А пластинка ведет себя близко к упругой: затухание за 1с мало, фазовый сдвиг практически равен нулю. При увеличении этого параметра влияние более существенно: возрастает период колебаний и коэффициент затухания.

При изучении влияния параметра Р можно установить, что в колебательных режимах (при Р>2со0) его влияние в общем похоже на влияние параметра А.

Уменьшение параметра приводит к более заметному затуханию и увеличению периода колебаний. В то же время при выходе за этот диапазон, колебания пропадают (то есть все три корня характеристического уравнения - мнимые); ИПХ становится апериодическим (рис.14). Это указывает, на тот факт, что при фиксированном Р и увеличении номера частоты ИПХ при определенном сочетании тип станет и будет оставаться апериодической с уменьшающимся временем затухания. Это подтверждается расчетами для группы частот при различных тип для фиксированных параметров ядра, (рис.15).

ВЛ1ШШС ааралпрз А на ИПХ (Ь=5000 1/с) Влитие параыераЬ на ИПХ при малых Ь ( А-0.1)^

Рис. 13. Влияние параметра А при Рис. 14. Влияние параметра /9 на фиксированном Д ИПХ - апериодические режимы

Теперь рассмотрим влияние управляющей температуры на движения пластинки. Представим поле перемещений вязкоупругого тела разложением по модам - формам свободных колебаний сопряженного тела:

иМ=£/,(*Х(г)=н(гЖ*)

(19)

назовем матрицу Н - матрицей мод, а вектор f - вектором модальных коэффициентов. Решая вариационное уравнение Лагранжа, получим систему обыкно-

венных интегро-дифференциальных уравнений относительно модальных коэффициентов - закон управления:

(20)

¡г+с2^-/1Ц-тЖт>гт=р

На рис. 16 показаны зависимости управляющих моментов от времени для параметра а=1с и частоты внешнего воздействия О. На всех рисунках приведены зависимости безразмерных температурных моментов, отнесенных к произведению Ткг. Из рисунков видно, что при относительно больших частотах имеет место установившийся режим, который достигается примерно за (0.2,..0.4) а, отличающийся тем, что изменения управляющих моментов происходят вокруг некоторого постоянного значения.

Влияние упругой частоты на ИПХ (А=0.1, Ь=500 1/с)

птч

Рис. 15. Влияние соотношения упру- Рис.16. Безразмерные управляющие гих частот и параметра р на ИПХ. моменты для <2=7 с.

©021-145, 0)022=364, (0012=308 (1/с)

В рассмотренном диапазоне а и О этим отличаются все законы управляющих (температурных) моментов.

Таким образом, если приложить такие моменты к пластинке, то она получит прогиб в одном направлении (против нагрева) и около этого положения будет совершать устойчивые гармонические колебания с постоянной амплитудой и частотой П. При этом амплитуда тем меньше, чем выше частота, что заметно на всех рисунках. Видно, что эффекты неравномерного прогрева тем выше, чем меньше частота возмущающей температуры и чем меньше параметр а. Другими словами, металлы с высокой теплопроводностью дают более заметные температурные эффекты.

Так же рассмотрен вопрос о влиянии температурно-временной аналогии (ТВА) и приведены доводы, позволяющие утверждать, что влияние на процесс движения пластинки для данных условий будет пренебрежимо мало.

В заключении приводится общий анализ теоретических и экспериментальных данных, основные результаты, выносимые на защиту.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ

1. Разработана установка для экспериментального исследования упругих и вяз-коупругих деформаций пластинчатых элементов, в том числе подобрана

система и методики регистрации движения пластин в нестационарном неоднородном температурном поле;

2. Экспериментально подтверждено, что временной закон отклика системы, сходный с законом приложенного возбуждающего напряжения, позволяет рассматривать используемый эффект для исследования управляемого деформирования тонких тел тепловым воздействием. Приведены графики, наглядно иллюстрирующие совпадения характера поведения модели с расчетными для переходных процессов и установившихся режимов движения;

3. Эксперименты и расчеты показывают, что прогибы исследованных тонких тел сопоставимы с их толщиной; законы движения поверхности управляются температурным воздействием и могут быть использованы в практических целях.

4. На основании результатов работы можно утверждать, что при малом значении параметра А проявляется наибольшая эффективность управления формой тонкого тела.

Содержание диссертации полностью опубликовано в следующих работах:

1. Бедрицкий В.Н. Способ коррекции формы зеркального рефлектора СВЧ антенны. // В сб. "LVII Научная сессия, посвященная Дню Радио". - М.: Инсвязь-издат, 2002. - С.37-38;

2. Бедрицкий В.Н. Применение методов математического моделирования для коррекции инженерных формул. // «ММ-2004». Труды всероссийской конференции. Самара, 2004 г. - С. 37-40.

3. Бедрицкий В.Н., Желтков В.И. Математическая модель ТМС на примере пластины в нестационарном неоднородном температурном поле. // Известия ТулГУ. Естественные науки. Вып. 3. Тула:Изд-во ТулГУ, 2009.-С. 117-125.

4. Бедрицкий В.Н., Желтков В.И. Реакция тонкой пластинки на неоднородный по толщине нестационарный нагрев. // Материалы международной научной конференции «Современные проблемы математики, механики, информатики». Тула:Изд-во ТулГУ, 2009.-С. 130-131.

5. Бедрицкий В.Н., Желтков В.И. Экспериментальное исследование термомеханической системы в нестационарном температурном поле. // Материалы международной научной конференции «Современные проблемы математики, механики, информатики» посвященной 100-летию со дня рождения А.А.Ильюшина. Тула:Изд-во ТулГУ, 2011.-С. 56-60.

6. Бедрицкий В.Н Экспериментальное исследование термомеханической системы в нестационарном температурном поле. // Вестник ТулГУ. Серия Математика. Механика. Информатика. Тула:Изд-во ТулГУ, 2011.-90с. С.29-33.

7. Бедрицкий В.Н., Желтков В.И. Термомеханические колебания пластины в нестационарном температурном поле. Н Орёл: ФГБОУ ВПО «ОГУ», 2012. - С. 25-37

Изд. лиц. ЛР №020300 от 12.02.97. Подписано в печать 3%. 0(/. /J, г , ' Формат бумаги 60x84Ш6. Бумага офсетная.

Усл. печ. л. 1,0. Уч.-изд. л. 0,8.

Тираж 100, экз. Заказ 0 %6 Тульский государственный университет.

300012, Тула, просп. Ленина, 92. Отпечатано в Издательстве ТулГУ 300012, г. Тула, просп. Ленина, 95

61 12-5/3793

а правах рукописи

БЕДРИЦКИИ ВАДИМ НИКОЛАЕВИЧ

ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ ТОНКОЙ ПЛАСТИНЫ В НЕСТАЦИОНАРНОМ НЕОДНОРОДНОМ ТЕМПЕРАТУРНОМ ПОЛЕ

Специальность 01.02.04 - механика деформируемого твердого тела

Диссертация на соискание ученой степени кандидата технических наук

научный руководитель д.ф.-м.н., проф. Желтков В.И.

Тула 2012

СОДЕРЖАНИЕ

ОБОЗНАЧЕНИЯ 3

ВВЕДЕНИЕ 4

1. ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ПРОЦЕССА ДВИЖЕНИЯ В НЕСТАЦИОНАРНОМ ТЕМПЕРАТУРНОМ ПОЛЕ 16

1.1. Система измерений 16

1.2. Процедура проведения испытаний 20

1.3. Проведение серии экспериментов 24

1.4. Математическая модель движения стержня 50

2. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ПЛАСТИНЫ В НЕСТАЦИОНАРНОМ НЕОДНОРОДНОМ ТЕМПЕРАТУРНОМ ПОЛЕ 60

2.1. Основные положения теории тонких пластин 61

2.2. Температурное поле. Основные предположения при формулировке задачи теплопроводности 66

2.3. Нестационарное распределение управляющей температуры 73

3. ДИНАМИЧЕСКИЕ ЭФФЕКТЫ В ШАРНИРНО-ОПЕРТОЙ ПЛАСТИНКЕ 78

3.1. Основные соотношения для шарнирно-опертой пластинки 78

3.2. Решение уравнений движения 80

3.3. Расчеты колебаний пластинки при управляющем температурном воздействии 84

3.4.0 значимости температурно-временной аналогии 92

ВЫВОДЫ 95

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 97

ОБОЗНАЧЕНИЯ

В тексте использованы следующие обозначения:

• Полужирный шрифт (как правило, прописные буквы) обозначает тензоры, например, С - тензор постоянных упругости, Е - тензор деформаций.

• Полужирный курсив обозначает векторы и матрицы - столбцы, например,/»

- вектор распределенной нагрузки.

• Прямой шрифт (как правило, прописные буквы) обозначает прямоугольные матрицы, например, С - матрица упругих постоянных, - матрица им-пульсно-переходных характеристик.

• Курсив обозначает скаляры и компоненты матриц и векторов, например, $

- площадь пластинки, а, Ъ - размеры пластинки в плане, -компонента матрицы постоянных упругости.

• Точка над переменной обозначает дифференцирование по времени, например, й - ускорение точки в направлении х.

• Запятая после переменной обозначает дифференцирование по координате, которая указана после запятой в качестве индекса, например, м>,х - производная от по переменной х.

• Символ • обозначает тензорную свертку; (•) обозначает любой допустимый по контексту аргумент.

• Верхний символ * обозначает изображение по Фурье или Лапласу; конкретный вид преобразования оговаривается заранее.

• Верхний символ 7 обозначает операцию транспонирования матрицы.

ВВЕДЕНИЕ

Колебаниями принято называть движения или состояния, характеризующиеся определенной повторяемостью во времени [107].

В общем, колебания свойственны всем явлениям природы, но особую роль играют колебания - механические и электромагнитные. Так, например, механические колебания давления воздуха, воспринимаемые нами в виде звука, и высокочастотные электромагнитные колебания, проявляющиеся в форме света, играют важнейшую роль в жизнедеятельности человека и многих других живых организмов.

В природе постоянно происходят колебания произвольных физических величин, которые обычно сопровождаются попеременными превращениями одних видов энергии в другие.

Одним из множества типов физических колебаний являются колебания температуры, часто называемые еще температурными или термическими осцилляциями.

Однако, об этом типе колебаний в подавляющем большинстве работ, посвященных теории колебаний, даже не упоминается. А между тем огромное множество явлений, которым свойственна некоторая повторяемость, как правило, сопровождается периодическими изменениями температуры тел, участвующих в этих процессах. Указанные термические осцилляции во многих случаях оказывают заметное влияние на происходящие в системе технологические процессы и эти влияния нельзя не учитывать, т.к. они встречаются на каждом шагу в технике.

Вынуждающими факторами возникновения термических колебаний в природе, у поверхности земли, служат смена дня и ночи, движение облаков в солнечную погоду, порывы ветра, выпадение осадков, вулканическая деятельность, морские приливы и отливы, и многие другие обстоятельства.

В технике мы встречаемся с существенными колебаниями температуры в цилиндрах тепловых моторов, в жидкостных и воздушных ракетных двига-

телях, при неустойчивом процессе горения в камерах сгорания. Аналогичные явления иногда возникают в плазменных и магнитогидродинамических генераторах, ядерных силовых и энергетических установках.

Температурные колебания или вибрации часто встречаются в заполненных горючим топливных баках летательных аппаратов, особенно при их маневрировании (торможении, разгоне, развороте и т.п.), такие колебания приводят иногда к вскипанию жидкого топлива, особенно опасному в случае криогенных горючих - кислорода, водорода и др.

Количество примеров возникновения и существования термических вибраций в окружающем мире можно привести множество.

В физике и, в частности, теплофизике и теплотехнике вопросам возникновения и существования температурных колебаний, исследованию их особенностей и возможностей взаимодействия с механическими, гидродинамическими, электромагнитными, акустическими, оптическими и пр. колебаниями, возможностям их практического использования, а также методам, препятствующим возникновению опасных проявлений таких вибраций, серьезного внимания до сих пор уделялось недостаточно.

Причиной, возможно, является то, что, в отличие от механических и электромагнитных колебаний, свободных температурных колебаний в принципе быть не может.

Если же на термодинамическую систему оказывать периодические тепловые воздействия, в ней возникают вынужденные термические колебания, которые в сплошной среде распространяются в виде тепловых волн [87, 104, 105, 153, 154].

Различными экспериментами последнего времени убедительно установлено, что, наряду с тепловыми воздействиями, возбудить в системе термические вибрации могут периодические процессы различной физической природы - механические, электрические, магнитные, оптические, акустические и пр.

Существенно при этом то, что, независимо от причины возникновения, термические колебания, в свою очередь, порождают всевозможные периоди-

ческие изменения (пульсации) размеров и формы тела, а также его положения в пространстве, т.е. механические вибрации. Это частный случай комбинированных колебаний, называемых термомеханическими (ТМК) [113].

Возможны взаимодействия противоположного типа: вследствие существующей зависимости интенсивности теплоотдачи от скорости движения горячего тела относительно окружающей среды [134] при механических вибрациях тела в нем возникают температурные вибрации. Эти сложные колебания естественно назвать механотермическими. Именно такова природа упоминавшихся выше явлений резкого перегрева горючего в топливных баках скоростных летательных аппаратов при внезапных изменениях их скорости движения или направления.

Широко распространены случаи возбуждения комбинированных электротермических колебаний в проводниках при прохождении по ним переменного тока большой силы и низкой частоты.

Применяемое в технике явление недогретого кипения сопровождается колебаниями температуры вблизи активных центров на поверхности нагревателя, они порождают пульсации содержащихся в них парогазовых пузырьков, излучающих характерный звук, т.е. образуются термоакустические колебания.

В некоторых случаях появляются более сложные комбинации температурных осцилляций с несколькими различными колебаниями - электротермо-механические, магнитотермомеханические и т.п.[113] Возникновение таких комбинированных колебаний (содержащих интересующие нас термические осцилляции) является следствием определенных взаимодействий между различными по своему характеру периодическими изменениями соответствующих физических параметров единой системы.

Основным условием существования термомеханической системы (ТМС) является преобразование энергий из тепловой в механическую. Давно применяются конструкторские решения на основе данного преобразования. Источником тепла в системе может быть и нагрев от окружающей среды, и электромагнитное излучение, и электрический ток. В том случае, когда происходит

периодическое или импульсное преобразование, возникает такое явление, как колебания.

Представляют интерес электротермомеханические системы (ЭТМС), в которых причина возникновения тепла - переменный или постоянный электрический ток. ЭТМС на основе постоянного тока применяются в народном хозяйстве, например, для преднатяжения арматуры при производстве ж/б изделий [156].

Использование же переменного во времени теплового воздействия, т.е. воздействия электрического тока с меняющейся во времени амплитудой и частотой по известному закону, как было экспериментально обнаружено [138], ведет к аналогичному закону возникновения тепловых импульсов и, соответственно, поведения системы. Поведение или отклик системы при периодическом законе изменения тока также носит периодический характер. Другими словами, мы имеем дело с вынужденными колебаниями.

Основной целью настоящего исследования является изучение особенностей температурных колебаний и их роли в возникновении и поддержании колебаний механической природы.

Для рассмотрения указанных эффектов удобным будет использование конструкций и материалов, для которых уже в достаточной степени известны решения об их поведении при различных нагрузках. В качестве конструкции можно использовать форму пластинки из изотропного или анизотропного материала.

Последние десятилетия тонкостенные анизотропные слоистые пластинки являются объектом многочисленных и разнообразных исследований. Такие пластинки представляют собой основные несущие элементы ответственных инженерных конструкций и сооружений, применяемых в современной авиационной и ракетной технике, судостроении, энергетическом и химическом машиностроении и т.д. Жесткие условия их эксплуатации — экстремальные статические, динамические, в том числе температурные режимы нагружения, химически агрессивные среды, радиационные воздействия и т.д., в сочетании

с ограничениями по весу и необходимостью обеспечения полной надежности, предъявляют повышенные требования к используемым конструкционным материалам. Наиболее полно этим требованиям удовлетворяют композитные материалы, широкие возможности варьирования внутренней структуры которых предоставили конструктору эффективный инструмент целенаправленного управления параметрами тонких пластин, открыли путь к созданию рациональных облегченных конструкций, по режимам эксплуатации наилучшим образом отвечающих таким особенностям, как функциональность, эффективность и надежность.

Множество методов проектирования и расчета сложных машин и сооружений, которыми изобилует современная техника, составляет одну из весьма актуальных проблем механики. Эти методы в настоящее время стремятся отразить такие особенности расчетов элементов конструкций, как нестационарный температурный режим, переменные параметры упругости, возможную слоистую или армированную структуру, пластические деформации и деформации ползучести, причем при возможно более полном учете параметров, как движения, так и геометрии исследуемых объектов. В большинстве случаев это осуществляется лишь с привлечением современных численных методов, а применение и последующая реализация их на ЭВМ становится неизбежна.

Во многих областях техники широко применяются элементы конструкций, общей чертой которых является то, что материал заполняет область пространства, ограниченную двумя близко расположенными плоскостями, такое тело принято именовать пластиной.

Распространение в машиностроении находят гибкие пластины или мембраны. Так, например, участок плоской обшивки крыла самолета, подкрепленный продольными ребрами (стрингерами) и поперечными ребрами (нервюрами), следует рассматривать как гибкую пластинку. Учет цепных напряжений особенно важен для тонкой обшивки в сжатой зоне крыла, так как здесь обшивка может претерпеть потерю устойчивости и получить большие прогибы

уже при эксплуатационной нагрузке. Расчет обшивки осложняется при появлении продольных сил - поперечной (воздушной) нагрузки, которые необходимо учитывать.

В кораблестроении также, имеют место пластинки. Обшивка днища корабля подвергается сжатию, участвуя в общем изгибе корпуса, и, вместе с тем, испытывает значительное давление воды; прогибы обшивки, как правило, сравнимы с ее толщиной. В определенных положениях корабля по отношению к гребням волн оказывается сжатой также палуба, причем настил палубы зачастую теряет устойчивость в упругой области, поэтому теория гибких пластинок и здесь востребована.

Проектирование балок с высокими тонкими стенками в строительных конструкциях трактует стенку как гибкую пластину: здесь может произойти потеря устойчивости от сдвига с появлением наклонного выпучивания.

Затворы в гидротехнических сооружениях, а именно их обшивка, воспринимают давление воды также, как гибкая пластинка; это необходимо учитывать при определении несущей способности обшивки затворов.

Среди множества работ по динамике и устойчивости пластин следует выделить фундаментальные труды В.В. Болотина [40, 41, 42], в которых формулируется понятие устойчивости начального и деформированного состояний, приводятся математические модели, позволяющие анализировать динамику и устойчивость упругих деформируемых систем. В работе A.C. Вольмира [63] рассмотрены общие вопросы устойчивости упругих систем, а его монографии [61,62] содержат наиболее полное описание моделей и методов.

Широкое применение ЭВМ к решению задач позволило получить, в последние годы, уточненные решения. Многие публикации посвящены применению к расчетам метода конечных элементов [9, 26, 50, 64, 66, 88, 95, 109, 112, 126]. Конечноэлементные модели являются важной составной частью таких известных пакетов прочностных расчетов, как ЛИРА, КИПР-РС, ANSYS, NASTRAN, COSMOS и др.

Обширное применение армированных материалов с их специфическими особенностями в различных областях современной техники потребовало всесторонне обоснованных подходов к расчетам конструкций, выполненных из новых композитных материалов. Одним из основных направлений в теории пластин и оболочек из композитных материалов, является принятие системы гипотез, позволяющих свести изучение реального трехмерного НДС к изучению деформаций срединной поверхности (плоскости).

Эти исследования позволили получить многие важные результаты, использующиеся при проектировании различного рода сооружений и конструкций. В монографиях [61, 62, 63] изложены основы классических теорий устойчивости элементов конструкций, решения конкретных задач. Для конструкций, выполненных из традиционных изотропных материалов (в основном металлов), применение классических прикладных теорий устойчивости достаточно обоснованно. Однако для конструкций из композитных материалов с их специфическими свойствами, которые слабо или вообще не учитываются классическими теориями, при расчетах необходимы более строгие теории и подходы.

Исследования, проведенные на основании уточненных (типа С.П. Тимошенко [141, 142, 143], Е. Рейсснера, С.А. Амбарцумяна [13, 14] и др.) прикладных теорий стержней, пластин и оболочек построены путем введения соответствующих гипотез, менее жестких, чем классические, или при помощи других способов приведения трехмерных задач к двумерным. Уточненные теории позволяют в какой-то мере учитывать особенности армированных материалов, однако вопросы о точности и пределах применимости различных приближенных подходов при исследовании конструкций, выполненных из современных композитных материалов, остаются при этом не выясненными.

Анализ публикаций по теории стержней, пластин и оболочек показывает, что математическое моделирование конструкций представляет существенную проблему механики деформируемого твердого тела. Практическая цен-

ность исследований заключается в учете не только величин действующих нагрузок, но и законов их изменения во времени, что позволяет уточнить несущую способность конструкции и более полно использовать прочностные свойства материала.

Широкое применение композиционных материалов приводит к необходимости учитывать их специфические свойства. Общие вопросы теории линейной вязкоупругости рассматривались в фундаментальных работах [84, 92, 99, 131, 132]. В работах [25, 80, 81, 83, 65, 93, 94, 111, 125] рассмотрены прикладные вопросы теории вязкоупругости, в том числе построение дискретных моделей вязкоупругих тел.

Но, несмотря на огромное количество работ, можно утверждать, что динамические состояния конструкци