Выпучивание пластин и оболочек при комбинированном продольно-поперечномнагружении тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

На правах рукописи

ВЫПУЧИВАНИЕ ПЛАСТИН И ОБОЛОЧЕК ПРИ КОМБИНИРОВАННОМ ПРОДОЛЬНО-ПОПЕРЕЧНОМ НАГРУЖЕНИИ

01.02.04 - механика деформируемого твердого тела

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Саратов 1996

Работа выполнена на кафедре "Высшая Математика' Саратовского государственного технического университета.

Научный руководитель - заслуженный деятель науки и техники РФ, доктор технических наук, профессор Крысько В А.

Официальные оппоненты:

- академик Международной академии высшей школы, доктор технических наук, профессор Овчинников И.Г. (Саратовский государственный технический университет)

- кандидат физико-математических наук, доцент Рогов А.Н.

(Всеросийский заочный институт инженеров транспорта)

Ведущая организация - Саратовский государственный университет им. Н.Г.Чернышевского.

Защита состоится 5 апреля 1996 г. в 15.00 на заседании регионального специализированного совета К 063.58.02 по присуждению ученой степени кандидата техниче ;ких наук в Саратовском государственном техническом университете по адресу: 410054, г. Саратов, ул.Политехническая 77, СГТУ, ауд.416а.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Саратовского государственного технического университета.

Автореферат разослан марта 1996 года

,, „ мыезб.оьзмз

Ученый секретарь

диссертационного совета Кузнецов В.В.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Широкое применение в строительстве, судостроении, авиастроении и электронике пластин и пологах оболочек, находящихся под действием продольного и комбинированного продольно- поперечного нагружения требует разработки методов исследования задач статики и динамики оболочек. Поэтому потребность развития универсальных алгоритмов численного исследования динамики и устойчивости оболочек является весьма актуальной.

Целью работы является: построение эффективного, универсального алгоритма, расчета пластин и оболочек при комбинированном продольно-поперечном нагружении, позволяющего находить как устойчивые, так и неустойчивые решения задачи, исследование выпучивания пластин и пологих оболочек при действии продольных и поперечных нагрузок.

Научная новизна работы заключается в следующем'

- разработан метод и алгоритм для численного решения статических задач теории пластин и оболочек, находящихся под действием продольно-поперечного нагружения;

- разработан метод для нахождения неустойчивых ветвей графика "нагрузка- прогиб";

- решен новый класс задач о статической устойчивости и выпучивании пластин и оболочек;

- выявлены новые количественные и качественные эффекты при выпучивании, возникающие при некоторых краевых условиях и геометрических параметрах оболочек;

- решен новый класс задач о динамическом поведении оболочек при комбинированном нагружении.

Достоверность результатов обеспечивается сравнением с решением ряда нелинейных задач теории пластин и оболочек, полученных другими авторами, в том числе В.В. Амельченко, А.А. Рябовым, решением тестовых и модельных задач, проверкой сходимости в зависимости от количества точек разбиения по пространственным координатам..

Практическая ценность. Разработанный алгоритм позволяет решать широкий класс задач динамической и статической устойчивости пластин и , оболочек, находящихся под действием поперечного, продольного и комбинированного продольно-поперечного нагружения, определять НДС гибких прямоугольных в плане пластин и пологах оболочек при различных условиях закрепления сторон и произвольных внешних нагрузках. На основе предложенной методики разработан пакет программ для решения задач динамики и статики пластин и оболочек.

Внедрение результатов. Результаты, полученные автором, внедрены на кафедре "Высшей математики" СГТУ при разработке библиотеки прикладных программ для расчета устойчивости и НДС гибких пологих оболочек и в НПО "Алмаз" г. Саратова.

Работа проводилась в рамках программы 12.23 "Динамика" межвузовского научно-технического перечня программ и проектов Государственного комитета Российской Федерации по высшему образованию, а также в рамках госбюджетной научной темы "Решение динамической задачи для конструктивно-неоднородных оболочечных конструкций в температурном поле" -1В.05.Н2(г/б).

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались: -на Второй Всесоюзной конференции по механике неоднородных структур (Львов, 198 7 г.)

-на Всесоюзном совещании-семинаре молодых ученых "Актуальные проблемы механики оболочек" (Казань, 1988 г.)

-на И Всесоюзной конференции по нелинейным задачам расчета тонкостенных конструкций в условиях высоких температур (Саратов,1988 г.) -на I Саратовской международной летней школе по проблемам механики сплошной среды (Саратов, 1994 г.)

-на XVII Международной конференции по теории оболочек и пластин (Казань,1995 г.)

-на II Межреспубликанской конференции "Механика и технология изделий из металлических и металлокерамических композиционных

иатериалов"(Волгоград,1995 г.)

-на научно-технических конференциях Саратовского Государственного гех ни ческого университета 1987-1995гг.

В целом работа докладывалась: на научном семинаре "Численные методы расчета пластин и оболочек" кафедры "Высшая математика" СГТУ под руководством профессора, д.т.н., В А. Крысько (Саратов, 1995 г.).

Публикации. По результатам исследований опубликовано восемь забот, список которых приводится в конце автореферата.

Объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, заключения, приложения и содержит 168 страниц машинописного текста, 85 рисунков, 4 таблицы и библиографического списка, зключающего 126 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во введении обосновывается актуальность темы диссертации, формулированы цели и задачи исследования, выполнен обзор работ по геме исследований.

Проблемы устойчивости занимают одно из центральных мест в •леханике деформируемого твердого тела.

Как известно, до 50-х годов работы в этой области основывались на ;татических концепциях устойчивости, восходящих к середине юсемнадцатого века работами Эйлера (Эйлеров критерий устойчивости).

При упругой потере устойчивости несущая способность пластин и эболочек не исчерпывается. В процессе выпучивания пластинчато->болочечные конструкции продолжают нести возрастающую нагрузку. Тоэтому для выявления несущей способности необходимо исследовать их ¡акритическое поведение. После выпучивания прогибы в центре нельзя :читать малыми по сравнению с толщиной, при исследовании закритичес-:их деформаций необходимо исходить из общих уравнений теории гибких шастин и оболочек Маргера-Власова-Муштари.

В такой постановке задачи о закритическом поведении сжатых шастин и оболочек рассматривались A.C. Вольмиром. М.С. Корниши-1ым, ВА. Крысько, В.И. Климановым, В.В, Петровым, И.Г. Овчиннико-¡ым, В.В.Рогалевичем, Н.П. Пе1уховым, Н.П. Файзулиной, В.В. Амель-[енко, N. Yamaki, A.C. Walker « др.

Большой вклад в развитие нелинейной теории оболочек внесли Н.М. Абовский, В.В. Болотин, И.И. Ворович, A.C. Вольмир, К.З. Галимов, Э.И. Григолюк, Я.М. Григоренко, В.А. Заруцхий, АЛ. Ильюшин, БЛ. Кантор, В.Г. Карнаухов, Я.Ф. Каюк, Г.Б. Колчин, Ю.Г. Коноплев, В.А. Крысько, ПА. Лукаш, Н.Ф. Морозов, Х.М. Муштари, Ю.В. Немировский, БЛ. Пелех, В.В. Петров, БЛ. Пикуль, ВА. Постнов, Г.И. Пшеничнов, Ю.Н. Работнов, К.Х. Черных, В.И. Шалашилин и др.

Первая глава посвящена постановке и методу решения задачи, описывающей поведение пластан и пологих оболочек при комбинированном продольно-поперечном нагружении.

В первом параграфе приведены основные соотношения и уравнения теории гибких тонких пологах оболочек, полученные на базе модели Кирхгофа-Лява, описывающие динамическое поведение пластин и пологих оболочек, находящихся под действием комбинированного продольно-поперечного нагружения, В безразмерном виде уравнения движения пологой оболочки имеют вид:

, (1) + *>») = - * г ^ V2V2* + Д». р) + V* F - Vp W - К рх - Ру + я

Запишем следующие краевые условия для х = 0:

1. Свободное опирание

w=-0 , ^ = 0 ,/ = 0 , ^ = 0 . (2) дхг д*

2. Скользящая заделка

w = 0 : £^ = 0 >J7 = 0 ( . (3)

дх дх*

3. Опирание на гибкое, нерастяжимое в касательной плоскости ребро:

. ^ = 0 = 0 , . (4)

дх дхг

Во втором параграфе для решения динамической системы уравнений (1) предлагается алгоритм, основанный на методе конечных разностей с последующим применением метода Рунге-Кутга. Производные по

пространственным переменным аппроксимируются конечно-разностными соотношениями порядка 0(h2). Это позволяет свести систему уравнений в частных производных (1)-(4) к системе линейных алгебраических (для функции усилий F) и обыкновенных дифференциальных уравнений (для прогиба w). Полученная система обыкновенных дифференциальных уравнений решается методами Рунге-Кутта, при этом на каждом шаге по времени требуется несколько раз решать систему линейных алгебраических уравнений.

В этом же параграфе обсуждаются вопросы применения динамической системы уравнений (1) для решения статических задач теории пластин и оболочек. Такой подход к решению статических задач через уравнения динамики носит название метода установления. Он был предложен в работах В.И. Феодосьева, а его развитие дано в работах В.А. Крысько, Н.В. Егурнова, A.A. Сопенко и др.. Этот метод сводит решение нелинейной статической задачи к решению динамической, что значительно упрощает процесс нахождения решений статических задач.

Исследуется возможность сокращения машинной памяти и времени, необходимого для решения статических задач теории пластин и оболочек. Так, вместо системы уравнений (1) предлагается решать гиперболическую систему уравнений:

+ , (5)

c(w + --у2 V1 w + ¿0», F) + Vi^ - Vp* - KP* -kyPy+q.

12(1 — v )

Это позволяет заменить процесс решения на каждом шаге по времени системы линейных алгебраических уравнений для функции усилий F, которую надо решать методом Гаусса, на решение системы обыкновенных дифференциальных уравнений, при этом не требуется хранения матрицы коэффициентов исходной системы, что приводит к значительному сокращению машинной памяти, необходимому для решения задачи.

Показывается, что если для некоторой пары функций w(t,x,y), F(t,x,y), являющейся решением системы уравнений (5), существуют пределы

]imw(/,*,^) = >v(x>iy) , MmF(i,x,y) = F(x,y) ,

/-»« i—у»

Ит= 0 .Ит'^'^О.

дi

то пара функций Ъ(х,у),Г{х,у) является решением соответствующей статической задачи. Поэтому систему уравнений (5),так же,как и систему (1), можно применять для решения статических задач теории пластин и оболочек. Отмечается, что при решении статических задач теории пластин и оболочек методом установления динамическую систему уравнений (1), можно заменить и другими уравнениями, содержащими частные производные прогиба и (или) функции усилий по времени. Например, вместо первого уравнения системы (1) можно ввести в рассмотрение уравнение параболического типа, содержащее только первую производную функции усилий по времени. Единственное условие, накладываемое на динамическую систему уравнений, используемую для решения статических задач, состоит в том, чтобы решение такой системы выходило на стационарный режим, т.е. чтобы существовали конечные пределы прогиба и функции усилий при /->«>, однако проведенные исследования показали, что наибольшая скорость сходимости наблюдается для системы гиперболического типа (5).

В третьем параграфе рассматриваются преимущества и недостатки метода установления по сравнению с другими методами решения статических задач. Отметим важнейшие из них:

- с математической точки зрения метод установления можно рассматривать как итерационный метод решения систем нелинейных алгебраических уравнений, где каждый шаг по времени является новым приближением к решению задачи. И как любой итерационный метод, метод установления обладает высокой степенью точности. Втоже время он лишен главного недостатка итерационных методов: большой чувствительности к выбору начального приближения. Это объясняется физическим смыслом уравнений (1), описывающих колебания пластин и оболочек в вязкой среде;

- еще одним преимуществом метода установления является простота получения неединственных решений статических задач. Это связано с тем, что решение задачи Коши существенно зависит от начальных условий и, задавая разные начальные условия, возможно получение различных решений статической задачи;

- кроме того, при решении однородных систем уравнений традиционными методами, для получения нетривиального решения, в систему уравнений необходимо ввести какую-нибудь начальную неправильность: либо малую поперечную нагрузку, либо малую кривизну, либо малый начальный прогиб. Внесение этих начальных несовершенств так или иначе сказывается на получаемых решениях. При решении аналогичных задач методом установления, роль начальных несовершенств играют неоднородные начальные условия, а малое изменение начальных условий не влияет на получающееся статическое решение задачи;

- к недостаткам метода установления следует отнести то, что применение этого метода позволяет получать лишь устойчивые решения задачи. Также остается открытым вопрос об оптимальном выборе коэффициента демпфирования среды.

Предлагается модификация метода установления для получения неустойчивых решений. Опишем ее на примере одного нелинейного алгебраического уравнения:

/(*)= 0. (6) Для уравнения (6) можно составить два различных дифференциальных уравнения метода установления:

с(*+«) = /(*), (7)

или

с(*+ «) = -/(*). (8)

Тогда часть корней уравнения (6) будут устойчивыми для уравнения (7), а часть - для уравнения (8), и последовательно решая оба дифференциальных уравнения.можно получить все решения уравнения (6). Заметим, что уравнения (7) и (8) возможно записать и в виде одного уравнения (7), но в этом уравнении массовый коэффициент с может принимать и отрицательные значения.

Аналогичный подход может быть применен и для решения статических задач теории пластин и оболочек. Будем считать, что массовый коэффициенте и коэффициент демпфирования среды £ в уравнениях (1) зависят от координат, т.е. с = с(х), £ = s(x) , причем в некоторых точках тела массовый коэффициент с может быть и отрицательным. Заметим, что У (г (г), s(x)), если для получающегося динамического решения w(x,t) задачи (1) 3w(jc) такое, что w(x) = lim и■(*,/), то является решением ста-

t->«

тической задачи. Кроме того, если У(х е П), где В - область, занятая телом, с(х) > 0 то поучающееся статическое решение будет устойчивым. Если же 3(ж е П), с(х) < 0 то получающееся решение будет неустойчивым. Тогда после аппроксимации пространственных переменных конечно-разностными соотношениями система уравнений (1) сводится к системе обыкновенных дифференциальных уравнений:

сч (*+*„*>=, (9)

где коэффициенты^, , £1; необходимо подобрать таким образом, чтобы искомое положение равновесия стало устойчивым. Согласно известной теореме Ляпунова, дн устойчивых положений равновесия все действительные части собственных чисел линеаризованной относительно положения равновесия задачи являются отрицательными, а для неустойчивых положений равновесия среди собственных чисел обязательно будут присутствовать такие, действительные части которых больше нуля. Кроме того, в критических точках (как точках ветвления, так и в предельных точках) определитель линеаризованной относительно положения равновесия задачи и одно из собственных чисел обращаются в ноль. Таким образом, массовые коэффициенты и коэффициенты демпфирования среды, входящие в систему уравнений (1), надо подобрать гак, чтобы все действительные части корней характеристического уравнения линеаризованной относительно положения равновесия задачи были отрицательными. Этого можно добиться различными способами. Можно, пользуясь критерием Рауса-Гурвица, получить систему неравенств, решая которую найдем с , . Обобщение критерия Ляпунова на случай динамических уравнений дано в работах В.А. Крысько.

Еще один способ заключается в следующем. Вместо системы обыкновенных дифференциальных уравнений (9) можно решать систему уравнений:

«<,(* + -А"1 !,,(*) , (10)

где А-1 - матрица, обратная к линеаризованной матрице правых частей. Тоща все сч, входящие в эти уравнения,можно положить равными единице. Такая интерпретация метода установления подобна решению задачи методом Ньютона.

Возможно и непосредственно производить подбор с1; , е^ , таких, чтобы все действительные части корней характеристического уравнения линеаризованной относительно положения равновесия задачи были отрицательными.

Количество шагов по времени, необходимое для получения стационарного решения, существенно зависит от внешней нагрузки. При приближении к критической точке время, необходимое для получения стационарного решения, значительно возрастает. Это связано с тем, что при нагрузках, близких к критическим, одно из собственных значений линеаризованной относительно положения равновесия задачи близко к нулю, и для того, чтобы решение задачи методом установления вышло на стационарное решение, требуется значительно большее количество шагов по времени. Поэтому по времени, необходимому для получения стационарного решения, можно качественно судить о том, как близко находится критическая точка к заданной внешней нагрузке.

В четвертом параграфе проведено исследование достоверности получаемых результатов. Проводится сравнение с результатами, полученными ранее другими авторами. Исследуется численная сходимость в зависимости от количества точек разбиения области по пространственным координатам.

Вторая глава посвящена исследованию статической устойчивости и выпучивания гибких пластин и сферических панелей, находящихся под действием продольного и продольно-поперечного нагружения. Решен ряд конкретных задач для пластин и сферических панелей с различными геометрическими параметрами и граничными условиями (2-4). Приведены характерные графики "нагрузка-прогиб", "нагрузка-функция усилий", "нагрузка-мембранные напряжения в центре".

В первом параграфе исследуется выпучивание гибких квадратных пластин, находящихся под действием продольных усилий. Приведены зависимости Рх (■№(05,0.5)) для пластины с условиями шарнирного опирания сторон (2) и скользящей заделки (3) (рис. I и рис. 2 соответственно), полученные при разбиении плана пластинки на 16x1 б частей.

В этом и последующих параграфах из всего множества решений нелинейных уравнений определялись лишь симметричные решения. На графиках устойчивые решения задачи обозначены сплошной линией, а неустойчивые пунктирной.

---3G-T

"Г

---К

Первая критическая нагрузка для пластины с граничными условиями

(2) равнаР^ =3.61, а третья РХ%=Ю. В этих точках ветвь н' =0 разветвляется на три ветви: две симметричные между собой и ветвь и' —0, причем если для нагрузки Рх=3.61,цм. новых положения равновесия являются устойчивыми, а одно неустойчивым, то при нагрузке Рк =¡0 все три положения равновесия неустойчивы. Аналогичная картина имеет место и для краевых условий (3). Отметим, что для пластин с краевыми условиями (2)

г

2.о а.о

Р* / / /

4/ / / /

\___^ - / / / /

i / / *

у

fix=ky=0

w

2.0 Рис.

4.0

6.0

8.0

возможно еще одно устойчивое положение равновесия (кривая 2 рис. 1). Как нам представляется, эта ветвь является нижним участком неустойчивой ветви (4), ответвляющимся при достаточно больших значениях продольной нагрузки от устойчивой ветви (1).

Далее в работе исследуется поведение квадратных пластин, находя-

50-т

40-

kx~i

=0

щихся под действием продольных усилий Рх и поперечной нагрузки д.

Как уже отмечалось, при достижении продольными усилиями критических значений пластина может принимать два симметричных относительно друг друга положения равновесия. Наличие поперечной нагрузки приводит к тому, что эти положения равновесия становятся несимметричными. Однс .jig положение равновесия, для которого прогибы совершаются в направлен!» действия поперечной нагрузки, получается естественным образом из решения статической задачи для пластины находящейся под действием заданных продольных и поперечных нагрузок Такие решения получены ьо многих работах, приведенных в монография) A.C. Вольмира. Более интересным и значительно труднее получающими является положение, при котором прогибы пластины совершаются в про-

и>

2.0 2.5

Рис. 2

тивополояшую действующей нагрузке сторону. С физической точки зрения это положение равновесия соответствует следующему режиму нагружения.

сжимающие --15«-г-

закритические

Рис. 3

Сначала прикладываются статические продольные усилия. Под действием этих усилий пластина принимает одно из положений равновесия. Далее к действующим продольным усилиям добавляется и статическая поперечная нагрузка, линия действия которой, направлена противоположно первоначальному прогибу. Такой режим нагружения довольно часто реализуется на практике. Поведение пластины в этом случае похоже на поведение

оболочек и панелей, обладающих способностью к прощелкиванию. Действительно, до некоторых значений поперечной нагрузки прогибы пластины изменяются достаточно мало, а затем, при дальнейшем повышении нагрузки происходит перескок на второе устойчивое положение равновесия.

На рис. 3 приведена зависимость <7(У(0.5,05)) для пластины с условиями шарнирного опирания сторон (2), находящейся под действием продольных усилий Рх=13 и поперечной нагрузки ц. В работе также приведены аналогичные зависимости для шарнирно опертых пластин при действием продольных усилий РХ=Ю, Рх—20 и поперечной нагрузки а также для пластины с краевыми условиями (3) при действии продольных усилий Рх-20 и поперечной нагрузки Графики "нагрузка-прогиб" симметричны относительно начала координат, неявная ветвь графика всегда проходит через начало координат, нижняя критическая нагрузка по абсолютной величине равна верхней критической нагрузке. Для пластины с краевыми условиями (2), при действии продольных усилий Рх < 12.7, пластина имеет два устойчивых положения равновесия и одно неустойчивое. С увеличением продольных усилий поведение пластины заметно усложняется. Появляется еще одно устойчивое положение равновесия. Таким образом, при действии продольных усилий Рх-13, в интервале изменения поперечных нагрузок 48<|^|<55, статическая задача

имеет семь различных симметричных относительно срединных линий пластины решений, три из которых устойчивые, а четыре - неустойчивые.

Во втором параграфе исследуется поведение шарнирно-опертой по

краям пологой квадратной в плане сферической панели, находящейся под действием сжимающих усилий Рх.

На рис. 4 приведен график Рх{у/(05,05)) для сферической панели с геометрическими параметрами

кх=ку = 12. Аналогичный график получен и для панели с геометрическими параметрами кх - ~ку = 24. Также в работе приводятся графики изменения функции усилий, мембран--5.0 -2.5 о.о 2.5 5.0 7.5 ю.о ных напряжений гтЛ., ауу в центре Рис-4 панели в зависимости от величины

продольных усилий Рх.

Более подробно опишем поведение панели с кх = ку -12. Кривая 1 рис. 4 соответствует выпучиванию панели с образованием одной полуволны синусоиды как в продольном,так и в поперечном направлении. До значений сжимающих усилий Рх =3.30 решение задачи остается единственным. При дальнейшем увеличении сжимающего усилия становится возможным "прощелкнутое" положение равновесия (кривая 2). Деформирование панели в этом положении равновесия происходит также с образованием одной полуволны в обоих направлениях. При Рх - \ 2.25 появляется положение равновесия с образованием трех полуволн в продольном и одной в поперечном направлении (кривая 3). Для этого положения равновесия прогибы во всех точках панели положительные, а своего максимального значения они достигают в четвертях панели. Еще одно устойчивое положение равновесия возникает при нагрузках Рх =19.75 (кривая 4). Здесь в центральной части панели прогибы положительны, а в областях,прилегающих к краю, отрицательны. Наибольших по абсолютной величине значений прогибы достигают в четвертях панели.

Кроме устойчивых решений, задача имеет и неустойчивые решения. На рис. 5 приведены характерные формы выпучивания для всех

10.00-г

7.50

5.00-

2.50-

„ 0.00

-2.50-

-5.00—*-

теустойчивых ветвей. Номера кривых на этом рисунке соответствуют номерам неустойчивых ветвей графика Рх(и'(05Д5)).

Увеличение геометрических параметров кх, ку с 12 до 24 не приводит < качественному изменению основных зависимостей. Такое изменение -еометрии оболочки приводит к незначительному увеличению про-тольных усилий, при которых зозникагот новые решения задачи.

В третьем параграфе исследу-ггся поведение шарнирно-опфтых сферических (кх = ку = 12) панелей тод действием комбинированного тагружения сжимающими усилиями Рх и поперечной нагрузки q. Приводятся графики изменения эсновных функций в центре панели, находящейся под действием продольных усилий Рх-О, Рх-5, Рх—10, Рх=15 л поперечной нагрузки <?. Зависимость ^(м'(0.5,05)), описы-зающая поведение панели при зействии сжимающих усилий Рх —15 ¡1 поперечной нагрузки приве-тека на рис. б. Кроме двух устойчивых положений равновесия, наб-тюдаемых при действии меньших тродольных усилий, становятся зозможными, как и для шарнирно-зпертых пластин, еще два устойчивых положения равновесия. Однако гз-за геометрических параметров кх,

Рис.5

-Ф.0~М>

Рис.6

ку, входящих в уравнения (1), положения равновесия для сферической танели, в отличие от положений равновесия для шарнирно-опертых тластин, не симметричны между собой. Таким образом, весь непрерывный -рафик "нагрузка-прогиб" распадается на девять различных ветвей, четыре 13 которых устойчивые,а пять-неустйчивые.

Характерной особенностью поведения сферических панелей при комбинированном продольно-поперечном нагружении является возможность создания безмоментного напряженно-деформированного состояния. При возникновении такого состояния отличны от нуля только продольные деформации срединной поверхности и мембранные напряжения, а поперечные прогибы, моменты и поперечные усилия равны нулю во всех точках панели. Безмоментное состояние возникает при выполнении следующего соотношения между значениями продольных усилий и поперечной нагрузки:<у= кхРх.

При малых значениях внешних нагрузок безмоментное состояние является устойчивым. В этом случае точка графика "нагрузка-прогиб" соответствующая рассматриваемому положению равновесия лежит на явной ветви графика. С увеличением внешних нагрузок безмоментное состояние становится неустойчивым, и соответствующая точка переходит на неявную ветвь графика "нагрузка-прогиб". Критическим будет такое соотношение продольных и поперечных нагрузок, при котором точка (уг = 0,д = кхРх) является вершиной графика Рх(уу(05,0.5)) . Для свободно опертой сферической панели с параметрами кх-ку-12 критической является следующая комбинация нагрузок Рх - 7.62, <7 = 91.44.

Третья глава посвящена исследованию выпучивания и НДС пологих цилиндрических панелей, находящихся под действием сжимающих продольных усилий. В первом параграфе рассмотрена цилиндрическая панель с граничными условиями шарнирного опирания сторон. Исследовано влияние геометрических параметров на поведение панели. Во втором параграфе рассматривается цилиндрическая панель с краевыми условиями скользящей заделки (3), а в третьем с условиями опирания на гибкие нерастяжимые в своей плоскости ребра (4). Для всех рассмотренных задач приведены графики изменения основных функций в центре панели з зависимости от величины сжимающих усилий. В качестве примера на рис. 7 приведена зависимость ^(м'(05,0.5)) для цилиндрической панели (кх ~0, ку ~24) с граничными условиями опирания на гибкие нерастяжимые в своей плоскости ребра. Первой точкой, в которой происходит симметричное относительно срединных линий выпучивание оболочки является нагрузка Рх~15.2. От этой точки ответвляются две неустойчивые нисходящие ветви. Выпучивание на обоих ветвях происходит с образованием трех полуволн.

[ще одной точкой бифуркации является нагрузка Рх -18.6. От этой точки тветвляются неустойчивые восходящая и нисходящая ветви. Выпучивание а этих ветвях происходит с образованием одной полуволны синусоиды. 1ервая и третья критические агрузки для цилиндрической анели с граничными условиями (4) казываются связанными непрерывной кривой графика Px(w). аналогичная картина имеет место и ля панели с условиями защемления торон (3). Однако, в этом случае т первой точки бифуркации Dx -17.8. ответвляются устойчивая осходящая и неустойчивая исходящая ветви. Положение авновесия на восходящей ветви озможно до значения сжимающих силий Рх~29.2. При дальнейшем увеличении нагрузки происходит ерескок на отдаленное положение равновесия. Для цилиндрической панели условиями шарнирного опирания сторон (2), от первой критической агрузки Рх—7.7 также ответвляются две ветви-устойчивая восходящая и еусгойчивая нисходящая, но в этом случае положение равновесия на стоичнвой восходящей ветви возможно и при действии достаточно ольших сжимающих усилий. ■

Четвертая глава посвящена численному исследованию динамичес-ой устойчивости оболочек под действием продольных и поперечных агрузок с помощью разработанного алгоритма.

В параграфе 1 проводится анализ существующих критериев ди-амической устойчивости. При различных подходах исследование инамической устойчивости сводится обычно к изучению характера рижения оболочки, который в каждой конкретной задаче проявляется по азному. Отсюда множество применяемых на практике критериев.

В параграфе 2 с помощью предлагаемой методики исследуется инамическая устойчивость прямоугольных сферических панелей под ействием комбинированного продольно-поперечного нагружения. Потеря стойчивостн определяется по критерию A.C. Вольмира (резкий рост

прогибов при незначительном увеличении нагрузки). Получены формы колебаний.

Рассмотрены два. наиболее часто встречающиеся на практике режима нагружения:

1. Одновременное приложение продольной и поперечной нагрузки.

2. Статическое приложение продольной нагрузки, а затем динамическое приложение поперечной нагрузки.

На рис. 8 приведен график *■(/) для панели с кх=ку=12 и граничными условиями (2) при втором режиме нагружения (Рх -5) при действии докритической q=47 (кривая 1) и закритической <¡=48 (кривая 2) нагрузок.

В заключении приводятся основные результаты и выводы по работе.

В приложении приведены рисунки распределения прогибов, функции

Рис. 8

усилий, мембранных напряжений сгх

изгибающих моментов М„

Муу по плану панели для задач,решавшихся в главе 3.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ ПО ДИССЕРТАЦИИ

1. Предложен метод, основанный на методе установления, позволяющий находить как устойчивые, так и неустойчивые решения задач теории пластин и оболочек.

2. Предложенный метод реализован для уравнений теории пластин и пологих оболочек в виде комплекса программ на языке FORTRAN-77 для персонального компьютера IBM-PC.

3. С помощью разработанного метода исследован широкий класс задач статической и динамической устойчивости пластин и оболочек под действием комбинированного нагружения в зависимости от геометрических параметров и граничных условий.

4. В результате численного эксперимента выявлены диапазоны изменения нагрузок, при которых пластины и оболочки имеют различное количество решений.

5. Данный метод может быть эффективным для решения систем нелинейных алгебраических уравнений, обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений в частных производных.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах:

1. Крысько В А., Комаров СЛ., Мисник М.П. Численные расчеты многослойного параллелепипеда в температурном поле методом сеток // Механика неоднородных структур, т.2,Львов,1987,с.156-157

2. Железовский С.Е., Комаров С.А. Метод вариационных итераций для пространственных задач теории упругости И Температурные задачи и устойчивость пластин и оболочек, Саратов,Изд-во Сарат.ун-та,1988,с.42-45

3. Буренина М.Г., Егурнов Н.В., Комаров С.А. Нелинейная уточненная динамика оболочек II Математические модели, методы решения и оптимальное проектирование гибких пластин и оболочек, Саратов, Изд-во СГУ, 1988,с.59-61

4. Комаров С.А. Учет рассеяния энергии при колебаниях тонких пластин типа С.П. Тимошенко II Актуальные проблемы механики оболочек, Казань, КИСИ,1988,с. 102

5. Глозман А.И., Комаров С.А. Об эквивалентности статического и энергетического критериев потери устойчивости в теории оболочек типа С.П. Тимошенко // Актуальные проблемы механики оболочек, Казань, КИСИ,1988,с.51

6. Комаров С.А.,Федорова А.Г. Применение метода вариационных итераций к решению задач теплопроводности //Вычислительные методы и программирование. Решения и исследования дифференциальных уравнений, Саратов,Изд-во СГУ, 1989,с. 54-60

7. Комаров С.А. Выпучивание гибких прямоугольных пластин под действием продольных и поперечных усилий II Тезисы докладов и сообщений на 1-ой Саратовской международной летней школе по проблемам механики сплошной среды,Саратов,Изд-во СГУ, 1995, с.28-29

8. Крысько В .А., Комаров С.А. Выпучивание гибких пластин под действием продольных и поперечных нагрузок. Сарат.гос.тех.ун-т., Саратов, 1995,20 е., Деп. в ВИНИТИ 22.05.95,N 1428-В95