Высокоточные разложения важнейших функций небесной механики в аналитические ряды и их приложения тема автореферата и диссертации по астрономии, 01.03.01 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени М. В. ЛОМОНОСОВА

ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АСТРОНОМИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ имени П. К. ШТЕРНБЕРГА

На правах рукописи УДК 521.1+521.3+521.98

КУДРЯВЦЕВ Сергей Михайлович ^—

ВЫСОКОТОЧНЫЕ РАЗЛОЖЕНИЯ ВАЖНЕЙШИХ ФУНКЦИЙ НЕБЕСНОЙ МЕХАНИКИ В АНАЛИТИЧЕСКИЕ РЯДЫ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ

Специальность 01.03.01 Астрометрия и небесная механика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Москва 2006

Работа выполнена в отделе небесной механики Государственного астрономического института им. П.К. Штернберга МГУ им. М.В. Ломоносова

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор

зав. лабораторией гравиметрии Государственного астрономического

института им. П.К. Штернберга МГУ им. М.В. Ломоносова

В.Е. Жаров

доктор физико-математических наук

зав. отделом космической геодезии Института астрономии РАН

С.К Татевян

доктор физико-математических наук

Н.С. Сидоренков

зав. лабораторией планетарной циркуляции и гелиогеофизических исследований Гидрометцентра России

Ведущая организация:

Московский авиационный институт (технический университет)

Зашита состоится « 23 » ноября 2006 г. в 14 час. на заседании Диссертационного совета Д501.001.86 при Московском государственном университете им. М.В. Ломоносова. Адрес: 119992, г. Москва, Университетский проспект, 13, ГАИШ МГУ

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Государственного астрономического института им. П.К. Штернберга МГУ (г. Москва, Университетский проспект, 13)

Автореферат разослан «¿-Г^^У

Ученый секретарь Диссертационного совета

кандидат физико-математических наук

С.О. Алексеев

Общая характеристика работы

Актуальность темы

Точное представление эфемерид небесных тел и основных функций от них (например, пертурбационных) компактными аналитическими рядами является одной из классических задач небесной механики. Подобные аналитические ряды требуются для решения многих актуальных задач астрономии и космической геодезии, например, при построении теорий прецессии и нутации Земли, теории приливов, аналитических теорий движения ИСЗ и естественных спутников планет и др.

Как правило, такие ряды строятся на основе известных аналитических разложений для координат Луны и планет. Однако, в настоящее время точность подобных разложений уступает точности современных численных эфемерид Луны и планет серий DE/LE (JPL NASA, США) и ЕРМ (ИПА РАН, Россия). [Отметим, что численные эфемериды DE/LE-405,-406 рекомендуются Соглашениями Международной службы вращения Земли в качестве современного стандарта при вычислении координат планет и Луны.]

В частности, использование пертурбационных функций спутниковой задачи, вычисленных на основе имеющихся аналитических теорий движения планет и Луны, не позволяет построить аналитические теории движения ИСЗ, удовлетворяющие на длительных интервалах времени современным требованиям к точности и компактности эфемерид спутников. Отметим, что подобные требования резко возросли (в десятки и сотни раз) в последнее время в связи с появлением качественно новых видов измерений ИСЗ (таких как средства лазерной локации) и возможности применения аналитических теорий движения спутников для представления эфемерид объектов навигационных спутниковых систем (таких как GPS, ГЛОНАСС, Galileo) в бортовых компьютерах КА и наземной аппаратуре потребителя.

Отметим, что важным преимуществом аналитических разложений является их существенно большая компактность по сравнению с численными эфемеридами. В частности, это явилось одной из причин того, что численные эфемериды Луны и больших планет были заменены на аналитические теории движения этих тел в программно-математическом обеспечении ряда операций по управлению полетом Космического телескопа им. Хаббла. [Однако, при этом точность аналитического представления координат Луны оказалась примерно на 2 порядка ниже, чем аналогичный показатель для планет, что обуславливает необходимость улучшения разложения лунной эфемериды в первую очередь.]

В последние годы, в связи с развитием прецизионных радиоинтерферометрических измерений со сверхдлинной базой (РСДБ) существенно возросли требования к точности взаимной привязки Небесной и Земной систем отсчета. Для обработки РСДБ-измерений нужно знать координаты измерительных станций в Небесной системе отсчета, а для этого, в частности, необходимо точное вычисление параметров прецессии и нутации геоэкватора, а также мгновенных значений приливов. Основой для построения теорий, описывающих все эти эффекты, служат аналитические разложения приливообразующего потенциала на поверхности Земли.

Поэтому, весьма актуальна задача получения новых аналитических разложений важнейших потенциалов и пертурбационных функций небесной механики, максимально соответствующим по точности современным численным эфемеридам планет и Луны (в частности, DE/LE-405,-406) и разработки адекватных алгоритмов их использования. Для практической работы также важно разработать универсальный метод получения

подобных разложений, позволяющий относительно легко обновлять коэффициенты соответствующих аналитических рядов при смене стандартной численной эфемериды Луны и планет.

Настоящая диссертация представляет собою вклад в решение вышеперечисленных задач.

Цель диссертации

Основными целями настоящей работы являются:

1. Разработка универсального метода разложения произвольной функции от координат Луны, Солнца и планет (вычисленной на основе современных численных эфемерид этих тел) в аналитические ряды;

2. Высокоточное аналитическое разложение приливообразующего потенциала на поверхности Земли;

3. Представление главных пертурбационных функций спутниковой задачи прецизионными аналитическими рядами;

4. Высокоточное аналитическое решение дифференциальных уравнений Лагранжа движения спутника;

5. Создание новой аналитической теории движения ИСЗ;

6. Прецизионное аналитическое представление современной численной эфемериды Луны.

Научная новизна

1. Разработан новый метод спектрального анализа произвольной функции от координат Луны, Солнца и планет в ряды Пуассона. В отличие от результатов классического анализа Фурье амплитуды и частоты членов итоговых рядов есть полиномы высокой степени от времени, что позволяет достичь высокой точности разложения функции на интервалах времени в несколько тысяч лет;

2. Выполнено новое аналитическое разложение приливообразующего потенциала на поверхности Земли на интервале времени 1000 - 3000 гг. Точность нового разложения и интервал его применимости в несколько раз превосходят аналогичные характеристики всех известных ранее решений;

3. На основе данного разложения впервые построены компактные аналитические ряды, представляющие главные вариации коэффициентов разложения геопотенциапа, вызванные приливными деформациями упругой Земли;

4. Впервые получено полное аналитическое решение 5-го порядка дифференциальных уравнения Лагранжа движения спутника (до этого были известны только полное решение 3-го порядка и для ряда частных случаев - 4-го);

5. Разработана оригинальная высокоточная методика аналитического учета возмущений орбиты ИСЗ от прецессии/нутации геоэкватора, движения полюсов, неравномерного вращения Земли, а также всех приливных эффектов, как-то: морских приливов, приливных деформаций упругой Земли и изменений ее центробежной деформации, вызванных движением полюсов;

6. Построена новая аналитическая теория движения ИСЗ, позволяющая вычислять возмущения от всех геодинамических сил с точностью в 1-2 см для высокоорбитальных спутников (типа ЭТАЛОН, ГЛОНАСС) и с точностью лучше 70 см для низкоорбитальных спутников (типа STARLETTE) на длительных интервалах времени (несколько сотен витков спутника);

7. Получено новое высокоточное разложение пертурбационной функции, обусловленной притяжением Луны, Солнца и планет на движение ИСЗ, применимое на интервале времени в две тысячи лет, 1000 - 3000 гг.;

8. Уточнены коэффициенты 2-й степени, 1-го порядка в разложении гравитационного потенциала Земли, C2,(JERS) и Slt(IERS);

9. Построено новое аналитическое разложение сферических эклиптических координат Луны в ряды Пуассона, представляющее стандартную численную эфемериду Лупы LE-405/406 на интервале времени 1500 - 2500 гг. с точностью, в 9 - 70 раз превышающей точность всех известных аналитических теорий движения данного спутника

Научная и практическая значимость

1. Разработанный новый метод спектрального анализа таблично заданной функции в ряды Пуассона является обобщением классического анализа Фурье и применим для построения аналитического разложения произвольной функции от координат Луны, Солнца и планет на длительных (несколько тысяч лет) интервалах времени;

2. Данный метод позволяет быстро получать обновления коэффициентов аналитического представления функции при смене стандартной численной эфемериды Луны и планет;

3. Разработанные алгоритмы аналитического прогнозирования движения спутников внедрены в российском Центре управления полетами ЦНИИМаш (проект «ФОБОС», информационно-аналитическое обеспечение спутниковой навигационной системы ГЛОНАСС); французском Центре космических исследований (CNES), г. Тулуза; немецком Центре управления полетами (GSOC DLR), г. Весслинг; в состав эфемеридных серверов ГАИШ МГУ (http:Mnfml.sai.msu.ru/neb/nss/nssreq4r.htm) и французского Института небесной механики и расчета эфемерид (IMCEE / BDL), г. Париж (http://www.imcce.&/fr/ephemerides/generateur/saimirror/nssreq4f.htm).

В 1998 г. работа была удостоена 1-й премии им. акад. С. П. Королева (учрежденной Администрацией г. Королев Московской обл.);

4. Уточненные коэффициенты разложения гравитационного поля Земли С„ (IERS) и

(IERS) включены в современные Соглашения Международной службы вращения Земли (IERS Conventions; McCarthy, Petit 2003) и рекомендованы для использования в новых моделях геопотенциала и прецизионных расчетах движения ИСЗ;

5. Полученное разложение приливообразующего потенциала может быть использовано при разработке новых высокоточных теорий прецессии и нутации Земли, а также в стандартных программных пакетах для обработки измерений приливов на поверхности Земли (таких как, ETERNA);

6. Аналитическое разложение эфемериды Луны внедрено в практику работы ФГУП НИИ «Комета».

Апробация результатов

Результаты, изложенные в диссертации, докладывались на:

• Международных симпозиумах по динамике космического полета (International Spaceflight symposium): США, г. Гринбелт 1993 г.; Франция, г. Тулуза, 1995 г.; Япония, г. Гифу, 1996 г.; Германия, г. Дармштадт, 1997 г.; Бразилия, г. Фоз до Игуасу, 1999 г.; Россия, г. Москва, 2003 г.;

• Международных конференциях по системам отсчета пространства и времени (Journées systèmes de référence spatio-temporels): Франция, г. Париж, 2000, 2002, 2004 гг.; Бельгия, г. Брюсель, 2001 г.; Россия, г. Санкт-Петербург, 2003 г.;

• Научных семинарах французского Бюро долгот (Bureau des Longitudes), г. Париж, 1994 г.; отделения космической механики французского Центра космических исследований (CNES), г. Тулуза, 1996 г.; немецкого Центра управления космическими полетами (DLR GSOC), г. Весслинг, 2000 г.;

• 4-м международном семинаре по позиционной астрономии и небесной механике (Fourth International Workshop on Positional Astronomy and Celestial Mechanics), Испания, г. Пенискола, 1996 г.;

• Коллоквиуме Международного Астрономического Союза (IAU) 165 «Динамика и астрометрия естественных и искуственных небесных тел», Польша, г. Познань, 1996 г.;

• Генеральной ассамблее Европейского геофизического общества (EGU), Франция, г. Ницца, 1998 г.;

• Коллоквиуме им. О. M. Stewart в Университете Миссури, США, г. Коламбия, 2000 г.;

• Международной астрономической конференции JENAM 2000, Россия, г. Москва, 2000 г.;

• Дубошинских чтениях ГАИШ МГУ, г. Москва, 2001 г.;

• Международной конференции «Небесная механика-2002: Результаты и перспективы», Россия, г. С.-Петербург, 2002 г.;

• XXIII Генеральной ассамблее Международного союза геодезии и геофизики (IUGG), Япония, г. Саппоро, 2003 г.;

• 35-й научной ассамблее COSPAR, Франция, г. Париж, 2004 г.;

• XIV международной конференции по астрономическим алгоритмам и базам данным (ADASS), США, г. Пасадена, 2004 г.;

• Ассамблее Международной ассоциации геодезии (IAG) "Динамическая планета 2005", Австралия, г. Кэрнс, 2005 г.;

• Ломоносовских чтениях МГУ, г. Москва, 2005 г.;

• Ученом Совете ГАИШ МГУ, г. Москва, 1997,2005 гг.;

• Координационном Совете по Небесной механике ГАИШ МГУ, г. Москва, 1996 (2), 1999,2006 гг.;

• Научном семинаре ИПМ им. М.В. Келдыша РАН «Солнечная система и смежные проблемы физики и механики», г. Москва, 2006 г.;

• IV международной конференции по анализу астрономических данных (ADA IV), Франция, г. Марсель, 2006 г.;

• XXVI Генеральной ассамблее Международного астрономического союза (IAU), Чехия, г. Прага, 2006 г.

Публикации и вклад автора

Основные результаты работы опубликованы в 29 статьях (список которых приведен в конце автореферата) общим объемом 201 страница.

В совместных работах автору принадлежат: в [1-5, 7, 14,29] - разработка и улучшение аналитической теории движения естественных спутников Марса Фобоса и Деймоса; в [28] — разложение приливообразующего потенциала на поверхности Земли. Участие соавторов в заключительном анализе результатов — равное.

Объем и структура диссертации

Диссертация состоит из введения, четырех глав и заключения. Она изложена на 141 странице, содержит б рисунков и 20 таблиц. В списке литературы 153 наименования.

Содержание работы

Во Введении обоснована актуальность темы диссертации, сформулированы цели работы, указана научная новизна, научная и практическая значимость результатов работы, перечислены результаты, выносимые на защиту, приведены структура и содержание диссертации, указаны печатные работы, в которых отражены основные результаты, и определена доля участия автора в совместных публикациях.

Глава 1. Метод разложения произвольной функции от координат Луны, Солнца и планет в ряд Пуассона

В данной главе представлен разработанный автором новый метод спектрального анализа произвольной функции от координат Луны, Солнца и планет, рассчитанной на основе современных численных эфемерид этих тел и представленной таблично на длительном интервале времени. Основные положения метода суть следующие.

Пусть /(/) есть произвольная функция от координат Луны, Солнца и планет, заданная таблично с постоянным шагом на интервале времени [-Т, Т]. Целью метода является построить аналитическое представление данной функции на этом же интервале времени в виде отрезка ряда Пуассона к -го порядка

до«2 {к»+47+-+дг/ ]соз со, (/)+ко+л5,'+-+л;/ ]яп о, со}

4.1

где А'^ есть константы, и о>к (() есть некоторый предопределенный набор

аргументов, являющихся полиномами д-го порядка от времени I »*(') = + +••• + %<* -

Для решения этой задачи мы находим проекции /(/) на базис, образуемый функциями си(0 =соьеак(1) и 8и(0 = I15т<У4(Г)

(где к = / = 0,1,...,А), численно вычисляя следующие скалярные произведения

J т

=</,с„ \f{t)t' co&wk{i)x(t)dt

J T

A'a =<f,\, ¡not' Sin 0k(t)z№

где, по определению,

<f,8>^~]nt)W)X(t)dt

и g есть функция, комплексно сопряженная к функции g ; z(0 — 1 + cos~t есть фильтр

Хэннинга, используемый как весовая функция.

Однако, базисные функции c4i, (f). ('), скЛ (I), s4Л (f),..., как правило, не являются ортогональными. Поэтому далее вьптолняется процесс ортогонализации выбранного базиса для того, чтобы улучшить качество разложения и избежать избыточных членов ряда. При выполнении последней процедуры основой служит алгоритм, разработанный Sidlichovsky & Nesvorny (1997) и обобщенный автором на случай произвольного базиса. Наряду с ортогонализацией базиса важным обстоятельством является адекватный подбор базисных функций, который осуществляется в алгоритме метода.

В результате:

• Разработан универсальный метод спектрального анализа произвольной функции от координат Луны, Солнца и планет в ряды Пуассона. В отличие от классического анализа Фурье, амплитуды и частоты членов результирующих рядов получаются не константами, а полиномами высокой степени от времени. Это позволяет достичь высокой точности разложения функции на длительных (несколько тысяч лет) интервалах времени и существенно сокращает длину рядов;

• Данный метод позволяет быстро получать обновления коэффициентов аналитического представления функции при смене стандартной численной эфемериды Луны и планет;

• Тестирование метода путем спектрального анализа таблицы значений геоцентрической дальности до Луны, вычисленных с помощью аналитической теории движения спутника ELP2000-85 (Chapront-Touzé M. & Chapront J. 1988), показало его исключительную эффективность. Все 320 членов ряда Пуассона, входящих в оригинальное разложение ELP2000-85 для геоцентрической дальности Луны, были определены, и, как результат, максимальное отклонение аппроксимированной дальности от исходной не превысило 1,5 см на интервале времени 6000 лет.

Глава 2. Новое высокоточное разложение прнливообразующего потенциала на поверхности Земли

Разложение прнливообразующего потенциала на поверхности Земли в аналитические ряды представляет собою классическую задачу, решение которой находится и улучшается уже на протяжении около 100 лет. (Аналитические разложения прнливообразующего потенциала служат основой для построения теорий земных приливов и современных теорий прецессии и нутации Земли.) Наиболее точные до недавнего времени разложения прнливообразующего потенциала были выполнены в работе Roosbeek (1996) (решение RATGP95), где применялся аналитический метод, и авторами Hartmann & Wenzel (1994, 1995) (решение HW95), использовавшим спектральный анализ Фурье таблицы значений

потенциала, рассчитанных на интервале времени 1850 - 2150 гг. на основе (ныне устарелой) численной эфемериды DE-200 (Standish & Williams 1981).

В отличие от предшествующих решений в нашей работе:

• использовался новый оригинальный метод разложения произвольной таблично заданной функции от координат Луны, Солнца и планет в ряды Пуассона;

• в качестве источника координат возмущающих тел использовались наиболее точные на сегодня долгосрочные численные эфемериды Луны и планет DE/LE-406 (Standish, 1998);

• для улучшения разделения близких частот спектральный анализ выполнялся на большом интервале времени (1000 - 3000 гг.).

Получены следующие основные результаты:

• Построено новое высокоточное аналитическое разложение приливообразующего потенциала на поверхности Земли, действительное на интервале времени в 2000 лет, 1000-3000 гг.;

• Новое разложение (решение KSM03) включает в себя 26753 члена в оригинальном формате (или 28806 членов в стандартном формате HW95) с амплитудой не менее 10"8 м2/с2;

• Точность решения KSM03 в частотной области не уступает точности лучших предшествующих решений: HW95 и RATGP95. При объединении членов с близкими частотами амплитуды главных членов разложения во всех 3-х решениях практически идентичны. При этом решение KSM03 включает в себя более 14000 новых членов, отсутствующих в предшествующих решениях;

• Точность решения KSM03 во временной области составляет 0.025/0.39 nGal (с.к.о./макс.ошибка) при вычислении гравитационных приливов на среднеширотной станции в течение 1600 — 2200 гг. Данная точность и интервал применимости нового решения как минимум в 3 раза превосходят аналогичные характеристики всех известных ранее разложений приливообразующего потенциала;

• На основе решения KSM03 впервые получены компактные аналитические ряды, представляющие главные вариации коэффициентов разложения геопотенциала, вызванные приливными деформациями упругой Земли;

• Новое разложение приливообразующего потенциала KSM03 представлено в стандартном формате HW95 (http://lnfml.sai.msu.ru/neb/ksm/tgp/ksm03.dat), что позволяет использовать его в известных программных пакетах для обработки измерений приливов на поверхности Земли (таких как, например, ETERNA), а также при разработке новых высокоточных теорий прецессии и нутации Земли.

Глава 3 Разложения главных пертурбационных функций движения ИСЗ и их применение для построения высокоточной аналитической теории движения спутников

Данная глава посвящена решению актуальной проблемы разложения важнейших пертурбационных функций спутниковой задачи в тригонометрические ряды и высокоточного аналитического прогнозирования движения искусственных и естественных спутников планет. Современные траекторные измерения дальности до геодинамических ИСЗ (например, данные лазерных наблюдений) имеют точность порядка одного сантиметра. Использование таких измерений, накопленных на длительных

интервалах времени (десятки лет), позволяет ставить и решать многие фундаментальные и прикладные задачи космической геодезии (как-то, определение долгопериодических эффектов во вращении Земли, измерение вариаций геопотенциала со временем и др.) Это обуславливает желательность использования в этих случаях аналитических методов прогнозирования движения спутника, т.к. применение в подобных задачах численных методов может приводить к большим затратам времени работы ЭВМ и потере точности вычислений. (Аналитические методы лишены принципиального недостатка численных способов - пошаговых вычислений, приводящих к накоплению ошибок округления с увеличением интервала прогнозирования.)

Также, компактные аналитические методы прогнозирования движения ИСЗ используются в настоящее время для представления краткосрочных эфемерид навигационных спутников (например, GPS) в бортовых компьютерах и наземной аппаратуре потребителя. Повышение точности аналитических методов расчета движения навигационных ИСЗ может привести к уменьшению частоты перезакладки эфемеридных данных на борт КА и улучшить алгоритм представления последних (в частности, дня объектов системы ГЛОНАСС).

В решении данной проблемы достигнуты следующие основные результаты:

• Впервые получено полное аналитическое решение 5-го порядка дифференциальных уравнения Лагранжа движения спутника (до этого были известны только полное решение 3-го порядка и для ряда частных случаев - 4-го).

• Коэффициенты разложения гравитационного поля Земли выражены в Небесной системе отсчета (ICRF) в виде аналитических функций от постоянных коэффициентов разложения геопотенциала (определенных в Земной системе отсчета, ITRF), времени и всех известных углов вращения между ITRF и ICRF. На основе данных выражений разработан новый прецизионный метод аналитического вычисления возмущений элементов орбиты ИСЗ, обусловленных прецессией и нутацией геоэкватора, перавномерностями вращения Земли и движением полюсов;

• Разработан эффективный аналитический метод учета всех приливных эффектов в движении ИСЗ, как-то: морских приливов, приливных деформаций упругой Земли и изменений ее центробежной деформации, вызванных движением полюсов. В прецизионных расчетах орбиты спутников на длительных временных интервалах могут быть учтены вековые вариации коэффициентов разложения геопотенциала (такие как Уг);

• В результате построена новая аналитическая теория движения ИСЗ, позволяющая вычислять возмущения от всех геодинамических сил с точностью в 1-2 см для высокоорбитальных спутников (типа ЭТАЛОН, ГЛОНАСС) и с точностью лучше 70 см для низкоорбитальных спутников (типа STARLETTE) на длительных интервалах времени (несколько сотен витков). При этом скорость вычислений параметров орбиты ИСЗ с помощью аналитической теории существенно превышает аналогичный показатель численного метода;

• Получено новое высокоточное разложение пертурбационной функции, обусловленной притяжением Луны, Солнца и планет на движение ИСЗ. Разложение включает в себя 38585 членов ряда Пуассона с амплитудой не менее 10"6 м2/с2 и применимо на интервале времени в 2 тысячи лет, 1 ООО - 3000 гг.;

• Уточнены коэффициенты 2-й степени, 1-го порядка в разложении гравитационного потенциала Земли, С„ (IERS) и S,t (IERS) - Значения данных коэффициентов и

уточненные формулы для их вычисления приняты Международной службой вращения Земли (IERS) и включены в современные Соглашения IERS (McCarthy & Petit 2003) для использования в новых моделях геопотенциала и прецизионных расчетах движения ИСЗ;

• Аналитический метод прогнозирования движения спутников Марса используется в авторской теории движения Фобоса и Деймоса, разработанной для реализации космического проекта «ФОБОС» и впоследствии улучшенной. Сравнение данной теории с численными моделями движения спутников Марса и их наблюдениями, выполненными за последние годы, в т.ч. с искусственных спутников Марса (например, с КА МАРС-ЭКСПРЕСС), показывает, что ошибка аналитического прогноза движения Фобоса вперед на 25-30 лет не превышает 6-8 км (1 о).

Глава 4 Высокоточное аналитическое представление эфемериды Луны

Теория движения Луны является классической задачей небесной механики. Наиболее точные координаты Луны в настоящее время предоставляются численными эфемеридами LE-405/406 (Standish 1998) и ЕРМ2003 (Krasinsky 2002, Питьева 2003). При этом точность численных эфемерид Луны является в настоящее время лучшей, чем точность соответствующих аналитических разложений, однако важным преимуществом последних является их компактность. Современные численные эфемериды планет и Луны занимают объем в сотни мегабайт, что создает определенные трудности при их практическом использовании. В частности, это является одной из причин того, что численные эфемериды как планет, так и Луны были заменены на аналитические теории движения этих тел в программно-математическом обеспечении ряда операций по управлению полетом Космического телескопа им. Хаббла (McCutcheon 2003). Однако, при этом точность аналитического представления эфемериды Луны оказалась примерно на 2 порядка ниже, чем точность представления координат планет. Поэтому задача получения новых высокоточных аналитических представлений эфемериды Луны является актуальной.

Данная глава представляет аналитическое разложение координат Луны, на новом уровне точности апроксимирующее современную численную эфемериду спутника LE-405/406.

Основные результаты работы заключаются в следующем:

• Построено высокоточное аналитическое разложение сферических эклиптических координат Луны в ряды Пуассона с помощью нового метода спектрального анализа современной долгосрочной эфемериды спутника LE-405/406. Полное решение (LEA-406а) включает в себя 10704 члена для координаты г (геоцентрическая дальность), 19116 членов для координаты V (эклиптическая долгота) и 12450 членов для координаты U (эклиптическая широта) с минимальной амплитудой, равной в линейной мере 1 см, и действительно на интервале времени 1000 . лет, 1500 - 2500 гг. Упрощенное решение (LEA-406b) включает в себя 1996 членов для координаты г, 3770 членов для координаты V и 2186 членов для координаты U с минимальной амплитудой, равной в линейкой мере I м, и действительно на интервале времени 6000 лет, 3000 г. до н.э. - 3000 г. н.э.

• На интервале времени в 1000 лет, 1500-2500 гг., точность представления эфемериды Луны с помощью решения LEA-406a (максимальное отклонение от значений, даваемых численной эфемеридой LE-406) составляет: 3,2 м для координаты г; 0".0056 и 0".0018 для координат V и U, соответственно. Данные значения превосходят в 9 - 70

раз аналогичные характеристики наиболее современной аналитической теории движения Луны ЕЬР/ММР02 (СЬаргоЩ & Ргапсои 2003), при том что общее количество членов нового разложения оказывается меньшим.

В Заключении сформулированы основные результаты, полученные автором в диссертации. Выражается благодарность Российскому фонду фундаментальных исследований за поддержку данной работы грантами №№ 99-02-16552, 02-02-16887, 05-02-16436.

Основные результаты диссертации

На защиту выносятся следующие основные положения:

1. Новый метод спектрального анализа произвольной функции от координат Луны, Солнца и планет, заданной численно на длительном интервале времени (несколько тысяч лет). Метод универсален; используя в качестве входных данных современные стандартные численные эфемериды Луны, Солнца и планет, он позволяет получать разложения многих пертурбационных и других важнейших функций небесной механики в высокоточные аналитические ряды Пуассона, где частоты и амплитуды членов рядов являются полиномами высокой степени от времени. Новый метод является обобщением классического анализа Фурье (как известно, последний дает разложение функций в ряды, члены которого имеют постоянные значения амплитуд и частот);

2. Новое аналитическое разложение приливообразующего потенциала на поверхности Земли. Полученное разложение позволяет вычислять гравитационные приливы на среднеширотной станции с точностью не ниже 0.39 nGal на интервале времени 1600 -2200 гг. Точность нового разложения и интервал его применимости как минимум в 3 раза превосходят аналогичные характеристики всех известных ранее решений;

3. Уточненные разложения ряда пертурбационных функций спутниковой задачи для решения задачи аналитического прогнозирования движения ИСЗ на длительных интервалах времени (а именно: пертурбационные функции, обусловленные прецессией и нутацией геоэкватора, движением полюсов, неравномерным вращением Земли, приливными деформациями упругой Земли, притяжением Луны, Солнца и планет);

4. Впервые полученное полное аналитическое решение 5-го порядка дифференциальных уравнений Лагранжа движения спутника (до этого было известно только полное решение 3-го порядка и для ряда частных случаев — 4-го). Новое решение позволяет аналитически прогнозировать движение спутника с более высокой точностью;

5. Новая аналитическая теория движения ИСЗ, позволяющая вычислять возмущения от всех геодинамических сил с точностью в 1-2 см для высокоорбитальных спутников (типа ЭТАЛОН, ГЛОНАСС) и с точностью лучше 70 см для низкоорбитальных спутников (типа STARLETTE) на длительных интервалах времени (несколько сотен витков);

6. Уточненные коэффициенты 2-й степени, 1-го порядка в разложении гравитационного потенциала Земли. Значения данных коэффициентов и улучшенные формулы для их вычисления приняты Международной службой вращения Земли и включены в новые IERS Conventions (2003);

7. Новое аналитическое разложение сферических координат Луны, с высокой точностью аппроксимирующее современную численную эфемериду спутника LE-405/406 на протяжении 6000 лет (3000 г. до н.э. - 3000 г. н.э.). На интервале времени ± 500 лет относительно эпохи J2000.0 (1500 - 2500 гг.) точность вычисления координат Луны улучшена в 9 - 70 раз по сравнению с наиболее современной аналитической теорией движения Луны ELP/MMP02 при меньшем общем количестве членов нового разложения.

Публикации по теме диссертации

1. Иванов Н.М., Колюка Ю.Ф., Кудрявцев С.М., Тарасов В.П., Тихонов В.Ф. (1990) Новая

теория движения спутников Марса. Использование данных космической программы «Фобос». Доклады АН СССР, т. 313, N 2, стр. 305-308

2. Bugayenko O.I., Yevstigneeva N.M., Kudiyavtsev S.M., Nesterov V.V., Novikov S.B., Romanova G.V., Shirokova M.G., Shokin Yu.A. (1990) Results of positional observations of Martian satellites at the Mount Maidanak Observatory in 1988. Astron. Astrophys. Suppl. Ser.,\ol. 86, pp. 351-356

3. Kolyuka Yu.F., Kudryavtsev S.M., Tarasov V.P., Tikhonov V.F. Ivanov N.M., Polyakov V.S., Potchukaev V.N., Papkov O.V., Sukhanov K.G., Akim E.L., Stepanians V.A., Nazirov R.R. (1991) International project "Phobos". Experiment "Celestial mechanics". Planet. Space Sci., vol. 39, N 1/2, pp. 349-354

4. Кудрявцев C.M., Щокин Ю.А., Евстигнеева H.M. (1992) Улучшенный ряд положений спутников Марса, полученный из наблюдений в оппозицию 1988 г. Препр. МО ГАИШ, N24, стр. 1-30

5. Евстигнеева Н.М., Кудрявцев С.М., Шокин Ю.А. (1992) Улучшение ряда положений спутников Марса в оппозицию 1988 г. Письма в АЖ, т. 18, N 9, стр. 815-818

6. Kudryavtsev S.M. (1993) Calculation of perturbations in the orbital elements of a non-spherical planet satellite in long-term intervals. In: Proc. of AAS/GSFC Intern. Symp. on Space Flight Dynamics, 1993, Greenbelt, USA, vol. 2, pp. 316/1-316/10

7. Колюка Ю.Ф., Кудрявцев C.M., Тарасов В.П., Тихонов В.Ф. (1994) Навигационная обработка данных телевизионного эксперимента. В сб. «Телевизионные исследования Фобоса», М. Наука, стр.59-75

8. Кудрявцев С.М. (1994) Вычисление возмущений элементов орбиты спутника несферичной планеты на длительных интервалах времени. Астрой, ж., т. 71, N 1, стр. 161-165

9. Кудрявцев С.М. (1995) Вычисление возмущений элементов орбиты спутника несферичной планеты на длительных интервалах времени. Аналитическая теория пятого порядка. Астрон. ж., т. 72, N 2, стр. 285-288

10. Kudiyavtsev S.M. (1995) Development of precise analytical theory of satellite motion. In: Proc. of the 10th Intern. Symp. on Spaceflight Dynamics, Toulouse, France, Cepadues-Edit, pp. 221-224

11. Kudiyavtsev S.M. (1995) The fifth-order analytical solution of the equations of motion of a satellite in orbit around a non-spherical planet. Celest. Meek Dyn. Astron., vol. 61, pp. 207215

12. Kudryavtsev S.M. (1996) Satellite orbit perturbations due to non-inertial reference frame. In: Proc. of the XX intern. Space Congress, Gifu, Japan, pp. 181-185

13. Kudiyavtsev S.M. (1997) Accurate analytical calculation of effects of rotations of the central planet on a satellite's orbit. Celest. Mech. Dyn. Astron., vol. 67, pp. 131-144

14. Kudiyavtsev S.M., Kolyka Yu.F., Tikhonov V.F. (1997) New analytical theory of motion of Phobos and Deimos for navigation support of Mission to Mars. ESA SP-403, Proc. of the 12th Intern. Symp. on Spaceflight Dynamics, ESOC, Darmstadt, Germany, pp. 377-382

15. Kudryavtsev S.M. (1998) Updating values for the C2((IERS) and S2i(IERS) gravity coefficients. Annales Geoph., vol. 16, sup. 1, p. C236

16. Kudryavtsev S.M. (1999) On calculating the Earth's C2i and S2i gravity coefficients in the IERS terrestrial reference frame. J. Geodesy, vol. 73, N 9, pp. 448-451

17. Kudryavtsev S.M. (1999) Accurate and quick account of the tidal effects by the new analytical method. J. Brazil. Soc. of Mech. Sci., vol. XXI, pp. 552-557

18. Kudryavtsev S.M. (2001) Updated values for the Earth C2[ and S2i gravity coefficients in the IERS Terrestrial reference frame. In: Capitaine N. (ed.) Proc. of the Journées 2000: Systemes de Reference Spatio-Temporels, Obs. de Paris, pp. 113-114

19. Kudryavtsev S.M. (2002) Precision analytical calculation of geodynamical effects on satellite motion. Celest. Mech. Dyn. Astron.,\ol. 82, N 4, pp. 301-316

20. Kudryavtsev S.M. (2002) An improved analytical technique for accurate calculation of satellite motion perturbations due to the Moon/Sun/planets. Труды ИПА PAH, N 8, стр. 112114

21. Kudiyavtsev S.M. (2003) Improved analytical method of calculation of "third-bodies"

perturbations in satellite motion. Препр. ИПМим. М-В.Келдыша РАН, N 32, стр. 35-36

22. Kudryavtsev S.M. (2003) Compact representation of spherical functions of Sun/Moon

ephemerides by frequency analysis. In: Capitaine N. (ed.) Proc. of the Journées 2001:

Systemes de References Spatio-Temporels, Obs. Royal de Belgique, pp. 269-274

23. Kudiyavtsev S.M. (2004) Improved harmonic development of the Earth tide generating

potential. J. Geodesy, vol. 77, N 12, pp. 829-838

24. Kudryavtsev S.M. (2004) New harmonic development of the Earth tide generating potential.

In: Finkelshtein A-, Capitaine N. (eds.) Proc. of the Journées 2003: Systemes de References

Spatio-Temporels, JAA, St Petersburg, pp. 251 -254

25. Kudryavtsev S.M. (2005) Advanced harmonic development of the Earth tide generating

potential. In: Sansè F. (ed.) A window on the future of geodesy, Springer-Verlag Berlin Heidelberg, pp. 465-470

26. Kudryavtsev S.M. (2005) KSM03 harmonic development of the Earth tide-generating

potential in Terrestrial reference frame. In: Capitaine N. (ed.) Proc. of the Journées 2004: Systèmes de Reference Spatio-Temporels, Obs. de Paris, pp. 142-143

27. Kudryavtsev S.M. (2005) Harmonic development of an arbitrary function of the Moon/Sun/planets coordinates to Poisson series. In: Shopbell P.L, Britton M.C., Ebert R. (eds.) Proc. of Astron. Data Analysis Software and Systems XIV, ASP Conference series, Astron. Soc. of the Pacific, vol. 347, pp. 133-137

28. Пасынок C.JI., Кудрявцев C.M. (2005) Влияние членов при высоких степенях времени

в разложении приливообразующего потенциала на поправки к прецессии. Вестник Москов. ун-та, сер. 3 Физ., Астрон., N4, стр. 79-80

29. Емельянов Н.В., Арло Ж.-Ю., Варфоломеев М.И., Вашковьяк С.Н., Кантер А.А.,

Кудрявцев С.М., Насонова Л.П., Уральская B.C. (2006) Создание теорий движения, эфемерид и баз данных для естественных спутников планет. Космич. исслед., т. 44, N2, стр. 1-10

Цитируемая литература

Питьева Е.В. (2003) Современные численные теории движения Солнца, Луны и больших

планет. Сообщ. ИПА РАН, N 156, стр. 1-33 Chapront-Touzö М., Chapront J. (1988) ELP2000-85: a semi-analytical lunar ephemeris

adequate for historical times. Astron. Astroph., vol. 190, pp. 342-352 Chapront J., Francou G. (2003) The lunar theory ELP revisited. Introduction of new planetary

perturbations. Astron. Astroph., vol. 404, pp. 735-742 Hartmann Т., Wenzel H.-G. (1994) The harmonic development of the Earth tide generating

potential due to the direct effect of the planets. Geophys. Res. Lett., vol. 21, pp. 1991-1993 Hartmann Т., Wenzel H.-G. (1995) The HW95 tidal potential catalogue. Geophys. Res. Lett., vol. 22, pp. 3553-3556

Krasinsky G.A. (2002) Selenodynamical parameters from analysis of LLR observations of 19702001. Commun. IAA RAN, N 148, pp. 1-27 Roosbeek F. (1996) RATGP95: a harmonic development of the tide-generating potential using

an analytical method. Geophys. J. Int., vol. 126, pp. 197-204 McCarthy D.D., Petit G. (eds.) (2003) IERS Conventions (2000). IERS Technical Note, N 32,

Verlag des Bundesamts für Kartografie und Geodäsie, Frankfurt am Main. McCuttcheon R.A. (2003) A platform-independent solar-lunar-planetary package for flight dynamics applications based on methods from the Bureau des Longitudes. Препр. ИПМ PAH, N 32, стр. 7

Sidlichovsky M., Nesvorny D. (1997) Frequency modified Fourier transform and its application to asteroids. Celest. Mech. Dyn. Astron., vol. 65, pp. 137-148

Standish E.M., Williams J.G. (1981) Planetary and lunar ephemerides DE200-LE200. URL:

ftp://nav.jpl.nasa.gov/pub/ephem/export/ Standish E.M. (1998) JPL Planetary and lunar ephemerides DE405/LE405. JPLIOM 312.F-98-048, Pasadena

Подписано в печать 05.09.2006 Формат 60x88 1/16. Объем 1.25 п.л. Тираж 1 ООэкз. Заказ № 526 Отпечатано в ООО «Соцветие красок» 119992 г.Москва, Ленинские горы, д.1 Главное здание МГУ, к. 102

Введение.

1. Метод разложения произвольной функции от координат Луны, Солнца и планет в ряд Пуассона.

1.1 Основные положения метода.

1.2 Выбор аргументов членов ряда Пуассона.

1.3 Тестирование метода.

1.4 Выводы.

2 Новое высокоточное разложение приливообразующего потенциала на поверхности Земли.

2.1 Введение.

2.2 Формулировка задачи.

2.3 Новое аналитическое разложение приливообразующего потенциала

2.4 Сравнение и тестирование.

3.2 Аналитическое решение пятого порядка дифференциальных уравнений Лагранжа движения спутников планет.58

3.3 Применение аналитического решения 5-го порядка уравнений Лагранжа к различным пертурбационным силам.65

3.3.1 Нецентральность гравитационного поля Земли.65

3.3.1.1 Применение метода на длительных интервалах времени.70

3.3.2 Прецессия и нутация геоэкватора, неравномерное вращение Земли, движение полюсов.72

3.3.3 Приливные эффекты.87

3.3.3.1 Морские приливы.88

3.3.3.2 Приливные деформации упругой Земли.90

3.3.3.3 Изменения центробежной деформации Земли, вызванные движением полюсов.92

3.3.3.4 Аналитическое вычисление приливных эффектов в движении ИСЗ.94

3.3.4 Притяжение Луны, Солнца и планет.96

3.4 Уточнение пертурбационной функции, обусловленной гравитационным потенциалом Земли.101

3.5 Выводы.110

4 Высокоточное аналитическое представление эфемериды Луны.112

4.1 Введение.112

4.2 Форма и аргументы разложения координат Луны.114

4.3 Новое аналитическое разложение численной эфемериды Луны ЬЕ-405/406.117

4.4 Сравнение нового разложения с аналитической теорией движения Луны ЕЬР/МРР02.120

4.5 Выводы.121

Заключение.123

Список литературы.127

Введение

Актуальность темы

Точное представление эфемерид небесных тел и основных функций от них (например, пертурбационных) компактными аналитическими рядами является одной из классических задач небесной механики. Подобные аналитические ряды требуются для решения многих актуальных задач астрономии и космической геодезии, например, при построении теорий прецессии и нутации Земли, теории приливов, аналитических теорий движения ИСЗ и естественных спутников планет и др.

Как правило, такие ряды строятся на основе известных аналитических разложений для координат Луны, Солнца и планет. Однако, в настоящее время точность подобных разложений уступает точности современных численных эфемерид Луны и планет серий DE/LE (JPL NASA, США) и ЕРМ (ИЛА РАН, Россия). [Отметим, что численные эфемериды DE/LE-405,-406 рекомендуются Соглашениями Международной службы вращения Земли в качестве современного стандарта при вычислении координат планет и Луны.]

В частности, использование пертурбационных функций спутниковой задачи, построенных на основе имеющихся аналитических теорий движения планет и Луны, не позволяет построить аналитические теории движения ИСЗ, удовлетворяющие на длительных интервалах времени современным требованиям к точности и компактности эфемерид спутников. Отметим, что подобные требования резко возросли (в десятки и сотни раз) в последнее время в связи с появлением качественно новых видов измерений ИСЗ (таких как средства лазерной локации) и возможности применения аналитических теорий движения спутников для представления эфемерид объектов навигационных спутниковых систем (таких как GPS, ГЛОНАСС, Galileo) в бортовых компьютерах КА и наземной аппаратуре потребителя.

Отметим, что важным преимуществом аналитических разложений является их существенно большая компактность по сравнению с численными эфемеридами. В частности, это явилось одной из причин того, что численные эфемериды Луны и больших планет были заменены на аналитические теории движения этих тел в программно-математическом обеспечении ряда операций по управлению полетом Космического телескопа им. Хаббла. [Однако, при этом точность аналитического представления координат Луны оказалась примерно на 2 порядка ниже, чем аналогичный показатель для планет, что обуславливает необходимость улучшения разложения лунной эфемериды в первую очередь.]

В последние годы, в связи с развитием прецизионных радиоинтерферометрических измерений со сверхдлинной базой (РСДБ) существенно возросли требования к точности взаимной привязки Небесной и Земной систем отсчета. Для обработки РСДБ-измерений нужно знать координаты измерительных станций в Небесной системе отсчета, а для этого, в частности, необходимо точное вычисление параметров прецессии и нутации геоэкватора, а также мгновенных значений приливов. Основой для построения теорий, описывающих все эти эффекты, служат аналитические разложения приливообразующего потенциала на поверхности Земли.

Поэтому, весьма актуальна задача получения новых аналитических разложений важнейших потенциалов и пертурбационных функций небесной механики, максимально соответствующим по точности современным численным эфемеридам планет и Луны (в частности, БЕ/ЬЕ-405,-406) и разработки адекватных алгоритмов их использования. Для практической работы также важно разработать универсальный метод получения подобных разложений, позволяющий относительно легко обновлять коэффициенты соответствующих аналитических рядов при смене стандартной численной эфемериды Луны и планет.

Настоящая диссертация представляет собою вклад в решение вышеперечисленных задач.

Цели работы

Основными целями настоящей работы являются:

1. Разработка универсального метода разложения произвольной функции от координат Луны, Солнца и планет (вычисленной на основе современных численных эфемерид этих тел) в аналитические ряды;

2. Высокоточное аналитическое разложение приливообразующего потенциала на поверхности Земли;

3. Представление главных пертурбационных функций спутниковой задачи прецизионными аналитическими рядами;

4. Высокоточное аналитическое решение дифференциальных уравнений Лагранжа движения спутника;

5. Создание новой аналитической теории движения ИСЗ;

6. Прецизионное аналитическое представление современной численной эфемериды Луны.

Структура и содержание диссертации

Диссертация состоит из введения, четырех глав и заключения. Она

4.5 Выводы

Построено высокоточное аналитическое разложение сферических эклиптических координат Луны в ряды Пуассона с помощью нового метода спектрального анализа современной долгосрочной эфемериды спутника ЬЕ-405/406. Полное решение ЬЕА-406а включает в себя 10704 члена для координаты г (геоцентрическая дальность), 19116 членов для координаты V (эклиптическая долгота) и 12450 членов для координаты II (эклиптическая широта) с минимальной амплитудой, равной в линейной мере 1 см, и действительно на интервале времени 1000 лет, 1500 - 2500 гг. Упрощенное решение ЬЕА-406Ь включает в себя 1996 членов для координаты г, 3770 членов для координаты V и 2186 членов для координаты V с минимальной амплитудой, равной в линейной мере 1 м, и действительно на интервале времени 3000 г. до н.э. - 3000 г. н.э. На интервале времени в 1000 лет, 15002500 гг., точность представления эфемериды Луны с помощью решения ЬЕА-406а (максимальное отклонение от значений, даваемых численной эфемеридой ЬЕ-406) составляет: 3,2 м для координаты г; 0".0056 и 0".0018 для координат Уи V, соответственно. Данные значения превосходят в 9 - 70 раз (в зависимости от координаты) аналогичные характеристики современной аналитической теории движения Луны ЕЬР/ММР02 (СЬарго^ & Бгапсои 2003) при том что общее количество членов нового разложения оказывается меньшим.

Заключение

Представление координат небесных тел и основных функций от них (в частности, пертурбационных) компактными аналитическими рядами является одной из классических задач небесной механики, решаемой уже на протяжении нескольких столетий. Для этого используются различные аналитические и численные методы. В последние годы наиболее точным источником координат больших планет и Луны считаются численная эфемерида ВЕ/ЬЕ-405 (действительная на временном интервале 1600 - 2200 гг.) и ее расширенная версия БЕ/ЬЕ-406 (3000 г. до н.э. - 3000 г. н.э.). Для аналитического разложения произвольной функции от координат Луны, Солнца и планет, предоставляемых данными эфемеридами, нами был разработан новый оригинальный метод спектрального анализа табулированной функции в ряды Пуассона. В отличие от классического анализа Фурье амплитуды и частоты членов результирующих рядов получаются не константами, а полиномами высокой степени от времени. Это позволяет достичь высокой точности разложения функции на длительных (несколько тысяч лет) интервалах времени и существенно сокращает длину итоговых рядов.

Основными результатами настоящей работы являются новый метод спектрального анализа произвольной функции от координат Солнца, Луны и планет в ряды Пуассона и полученные с его помощью следующие аналитические разложения важнейших функций небесной механики и их приложения:

• Высокоточное разложение в ряд Пуассона приливообразующего потенциала на поверхности Земли на интервале времени в 2000 лет, 1000-3000 гг. Разложение включает в себя 28806 членов с амплитудой не о о о менее 10" м /с , представленных в стандартном формате ЬШ95, что позволяет непосредственно использовать данное разложение в известных программных пакетах для обработки измерений земных приливов (таких как ETERNA). Соответствующая точность вычисления гравитационных приливов на среднеширотной станции (например, Black Forest Observatoiy, Германия) составляет 0.025/0.39 nGal (среднеквадратичная/максимальная ошибка) на интервале времени 1600 - 2200 гг. Достигнутая точность и интервал применимости нового разложения как минимум в 3 раза превосходят аналогичные характеристики всех известных ранее решений. Аналитические разложения приливообразующего потенциала служат основой для построения теории приливов и высокоточных теорий прецессии и нутации Земли.

• Новые или уточненные разложения важнейших пертурбационных функций спутниковой задачи для решения задачи высокоточного аналитического прогнозирования движения ИСЗ. С помощью методов компьютерной алгебры впервые получено полное аналитическое решение 5-го порядка дифференциальных уравнений Лагранжа движения спутника (до этого были известны только полное решение 3-го порядка и для ряда частных случаев - 4-го). Коэффициенты разложения гравитационного поля Земли впервые выражены в инерциальной Небесной системе отсчета (ICRF) в виде аналитических функций от постоянных коэффициентов разложения геопотенциала (определенных в Земной системе отсчета ITRF), времени и всех известных углов вращения между ITRF и ICRF. На основе данных выражений разработан новый прецизионный метод аналитического вычисления возмущений элементов орбиты ИСЗ, обусловленных прецессией и нутацией геоэкватора, неравномерностями вращения Земли и движением полюсов. Впервые получено высокоточное разложение в аналитические ряды пертурбационной функции, обусловленной приливными деформациями упругой Земли. Разработан эффективный аналитический метод учета всех приливных эффектов в движении ИСЗ, как-то: морских приливов, приливных деформаций упругой Земли и изменений ее центробежной деформации, вызванных движением полюсов. В прецизионных расчетах орбиты спутников на длительных временных интервалах мо1ут быть учтены вековые вариации коэффициентов разложения геопотенциала такие как J г). В результате построена новая аналитическая теория движения ИСЗ, позволяющая вычислять возмущения от всех геодинамических сил с точностью в 1-2 см для высокоорбитальных спутников (типа ЭТАЛОН, ГЛОНАСС) и с точностью лучше 70 см для низкоорбитальных спутников (типа STARLETTE) на длительных интервалах времени (несколько сотен витков). При этом скорость вычислений параметров орбиты ИСЗ с помощью аналитической теории существенно превышает аналогичный показатель численного метода. Получено новое высокоточное разложение пертурбационной функции, обусловленной притяжением 3-х тел (Луны, Солнца и планет) на движение ИСЗ. Разложение включает в себя 38585 членов ряда Пуассона с амплитудой не менее 10" м/с и применимо на интервале времени в 2000 лет, 1000-3000 гг. Уточнены коэффициенты 2-й степени, 1-го порядка в разложении гравитационного потенциала Земли, C21 (IERS) и Sп (IERS). Значения данных коэффициентов и уточненные формулы для их вычисления приняты Международной службой вращения Земли (IERS) и включены в современные Соглашения (IERS Conventions, 2003) для использования в новых моделях геопотенциала и прецизионных расчетах движения ИСЗ.

• Новое разложение сферических эклиптических координат Луны в ряды Пуассона, с высокой точностью аппроксимирующее современную численную эфемериду спутника LE-405/406. Полное разложение включает в себя 10704 членов ряда Пуассона для координаты г (геоцентрическая дальность), 19116 членов для координаты V (эклиптическая долгота) и 12450 членов для координаты U (эклиптическая широта). На интервале времени в 1000 лет, 1500-2500 гг., точность представления эфемериды Луны с помощью нового разложения (максимальное отклонение от значений, даваемых численной эфемеридой LE-406) составляет: 3,2 м для координаты г; 0".0056 для координаты V и 0".0018 для координаты U. Данные значения превосходят в 9 - 70 раз (в зависимости от координаты) аналогичные характеристики современной аналитической теории движения Луны ELP/MMP02, при том что общее количество членов нового разложения оказывается меньшим.

По теме диссертации опубликовано 29 статей, в т.ч. в Астрономическом журнале (2), Письма в Астрономичесий журнал, Вестник Московского университета, Космические исследования, Доклады Академии Наук СССР, Astronomy & Astrophysics Suppl. Ser., Planetary and Space Science, Journal of Geodesy (2), Celestial Mechanics & Dynamical Astronomy (3). Результаты работы докладывались на более чем 30-ти международных и всероссийских конференциях и научных семинарах ведущих российских и зарубежных астрономических институтов и космических центров.

Работа поддержана грантами РФФИ №№ 99-02-16552, 02-02-16887, 05-0216436.

1. Аким Э.Л., Бажинов И.К., Павлов И.П., Почукаев В.Н. (1984) Поле тяготения Луны и движение искусственных спутников. М., Машиностроение

2. Аксенов Е.П. (1977) Теория движения искусственных спутников Земли, М., Наука

3. Аксенов Е.П. (1986) Специальные функции в небесной механике, М., Наука

4. Брумберг В.А. (1967) Разложение пертурбационной функции в спутниковых задачах. Бюл. ИТА, т. 11, N 2, стр. 73-83

5. ГЛОНАСС интерфейсный контрольный документ (2002), 5-я ред., М., http://www.glonass-center.ru/ICD02r.zip

6. Дубошин Г.Н. (1968) Небесная механика. Основные задачи и методы. М., Наука

7. Евстигнеева Н.М., Кудрявцев С.М., Шокин Ю.А. (1992) Улучшение ряда положений спутников Марса в оппозицию 1988 г. Письма в АЖ, т. 18, №9, стр. 815-818

8. Емельянов Н.В. (1979) Возмущения 3-го и 4-го порядков относительно сжатия планеты в орбите спутника. Астрон. ж., т. 56, N 5, стр. 1070-1076

9. Емельянов Н.В. (1980) Метод вычисления лунно-солнечных возмущений элементов орбит ИСЗ. Труды ГАИШ, т. 49, стр. 122-129

10. Емельянов Н.В. (1985) Разложение возмущающей функций, обусловленной влиянием притяжения Луны и Солнца на движние ИСЗ. Астрон. ж., т. 62, N6, стр. 1168-1174

11. Емельянов H.B. (1986) Построение аналитической теории движения ИСЗ с точностью до третьего порядка относительно сжатия Земли. Астрон. ж., т. 63, N4, стр. 800-809

12. Емельянов Н.В., Арло Ж.-Ю., Варфоломеев М.И., Вашковьяк С.Н., Кантер A.A., Кудрявцев С.М., Насонова Л.П., Уральская B.C. (2006) Создание теорий движения, эфемерид и баз данных для естественных спутников планет. Космич. исслед., т. 44, № 2, стр. 1-10

13. Иванов Н.М., Колюка Ю.Ф., Кудрявцев С.М., Тарасов В.П., Тихонов В.Ф. (1990) Новая теория движения спутников Марса. Использование данных космической программы «Фобос ».Доклады АН СССР, т.313, № 2, стр. 305308

14. Кантер A.A. (1997а) Метод вычисления лунно-солнечных возмущений в элементах промежуточной орбиты ИСЗ. Космич. исслед., т. 35, N 4, стр. 378-386

15. Кантер A.A. (1997b) О разложении функций от координат возмущающего тела в задаче вычисления лунно-солнечных возмущений в движении ИСЗ. Космич. исслед., т. 35, N 3, стр. 303-307

16. Колюка Ю.Ф., Кудрявцев С.М., Тарасов В.П., Тихонов В.Ф. (1994) Навигационная обработка данных телевизионного эксперимента. В сб. «Телевизионные исследования Фобоса», М., Наука, стр.59-75

17. Кудрявцев С.М., Шокин Ю.А., Евстигнеева Н.М. (1992) Улучшенный ряд положений спутников Марса, полученный из наблюдений в оппозицию 1988 г. Препр. МО ГАИШ, N 24, стр. 1-30

18. Кудрявцев С.М. (1994) Вычисление возмущений элементов орбиты спутника несферичной планеты на длительных интервалах времени. Астрон. ж., т. 71, N1, стр. 161-165

19. Кудрявцев С.М. (1995а) Вычисление возмущений элементов орбиты спутника несферичной планеты на длительных интервалах времени. Аналитическая теория пятого порядка. Астрон. ж., т. 72, N 2, стр. 285-288

20. Лидов М.Л. (1961) Эволюция орбит искусственных спутников планет под действием гравитационных возмущений внешних тел. Искусств, спутники Земли, N 8, стр. 5

21. Лидов М.Л. (1978) Полуаналитические методы расчета движения спутников. Труды ИТА, N 17, стр. 54

22. Пасынок С.Л., Кудрявцев С.М. (2005) Влияние членов при высоких степенях времени в разложении приливообразующего потенциала на поправки к прецессии. Вестник Моск. ун-та, сер. 3 Физ., Астрон, N 4, стр. 79-80

23. Питьева Е.В. (2003) Современные численные теории движения Солнца, Луны и больших планет. Сообщ. ИПА РАН, N 156, стр. 1-33

24. Субботин М.Ф. (1968) Введение в теоретическую астрономию. М., Наука

25. Тимошкова Е.И., Холшевников К.В. (1974) Лунно-солнечные возмущения в движении спутников планеты. Уч. зап. ЛГУ, N 373, стр.141-156

26. Фоминов A.M. (1980) Движение спутника Земли. I. Линейные возмущения. Бюлл. ИТА, т. 14, N 10, стр. 621-654

27. Фоминов A.M. (1981) Движение спутника Земли. II. Нелинейные возмущения. Бюлл. ИТА, т. 15 (1), стр. 53-58

28. Фурсенко М.А. (1965) Методы вычисления эфемериды Луны. Бюлл. ИТА, т. 10 (4), стр. 272-315

29. Чазов В.В. (1988) Возможность использования промежуточной орбиты в теории возмущений. Труды ГАИШ, т. 60, стр. 7

30. Чазов В.В. (2000) Основные алгоритмы численно-аналитической теории движения искусственных спутников Земли. Труды ГАИШ, т. 68, стр. 5-20

31. Aoki S., Guinot B., Kaplan G.H., Kinoshita H., McCarthy D.D., Seidelmann P.K. (1982) The new definition of Universal Time. Astron. Astrophys., vol. 105, pp. 359-361

32. Balmino G., Borderies N. (1978) Gravitational potential of solid bodies in the Solar System. Celest. Meek, vol. 17, pp. 113-119

33. Berger X. (1975) Theorie analitique programmee du movement des satellites artificiels sous Taction gravitationelle de la Terre, Celest. Mech., vol.11, N 3, p. 281

34. Bidart P. (2001) MPP01, a new solution for planetary perturbations in the orbital motion of the Moon. Astron. Astroph,, vol. 366, pp. 351-358

35. Breiter S. (1997) Second-order for the zonal problem of satellite theory. Celest. Mack Dyn. Astron., vol. 67, N 3, pp. 237-249

36. Bretagnon P., Francou G. (1988) Planetary theories in rectangular and spherical variables. Astron. Astrophys., vol. 202, pp. 309-315

37. Brouwer D. (1959) Solution of the problem of artificial satellite theory without drag. Astron. J., vol. 64, pp. 378-397

38. Brown E.W. (1897) Theory of the motion of the Moon. Memoirs of the R.A.S., vol.53, London

39. Brown E.W. (1899) Theory of the motion of the Moon. Memoirs of the R.A.S., vol.54, London

40. Brown E.W. (1905) Theory of the motion of the Moon. Memoirs of the R.A.S., vol. 57, London

41. Brown E.W. (1908) Theory of the motion of the Moon. Memoirs of the R.A.S., vol. 59, London

42. Brown E.W. (1919) Tables of the motion of the Moon. London

43. Büllesfeld F.J. (1985) Ein Beitrag zur harmonischen Darstellung des gezeitenerzeugenden Potentials. Deutsche Geodätische Komission, Reihe C, Heft 314, München

44. Cartwright D.E., Tayler RJ. (1971) New computation of the tide generating potential. Geophys. J. R. Astron. Soc., vol. 23, pp. 45-74

45. Cartwright D.E., Edden A.C. (1973) Corrected tables of tidal harmonics. Geophys. J. R. Astron. Soc., vol. 33, pp. 253-264

46. Chapront-Touze M., Chapront J. (1983) The lunar epemeris ELP2000. Astron. Astroph., vol. 124, pp. 50-62

47. Chapront-Touze M., Chapront J. (1988) ELP2000-85: a semi-analytical lunar ephemeris adequate for historical times. Astron. Astroph., vol. 190, pp. 342-352

48. Chapront J., Chapront-Touze M. (1997) Lunar motion: theory and observations. Celest. Mech. Dyn. Astron., vol. 66, pp. 31-38

49. Chapront J., Chapront-Touze M., Francou G. (2002) A new determination of lunar orbital parameters, precession constant and tidal acceleration from LLR measurements. Astron. Astroph., vol. 387, pp. 700-709

50. Chapront J., Francou G. (1996) Planetary ephemerides, http://cdsweb.u-strasbg.fr/cgi-bin/Cat?VI/87

51. Chapront J., Francou G. (2003) The lunar theory ELP revisited. Introduction of new planetary perturbations. Astron. Astroph., vol. 404, pp. 735-742

52. Courant R. and Hilbert D. (1965) Methods of mathematical physics, 5th ed., New York, Interscience Publishers Inc.

53. Dahlen F.A. (1993) Effect of the Earth's ellipticity on the lunar tidal potential. Geophys. J. Int., vol. 113, pp. 250-251

54. Dehant V. (1997) Report of the WG on theoretical tidal model. Bull. Info. Marées Terrestres, vol. 127, pp. 9716-9728

55. Dehant, V., Bretagnon, P. (1998) About the usage of tidal arguments. Bull. Info. Marées Terrestres, vol. 129, pp. 9946-9952.

56. Degnan J J. (1993) Millimeter accuracy satellite laser ranging: a review. In: Smith D.E., Turcone D.L. (eds.) Contributions of space geodesy to geodynamics: Technology, vol. 25, AGU Washington DC, pp. 133-162

57. Deprit A., Rom A. (1970) The main problem of artificial satellite theory for small and moderate eccentricities. Celest. Mech., vol. 2, N 2 , pp. 166-206

58. Deprit A., Henrard J., Rom A. (1971a) Analytical lunar ephemeris: Delaunay's theory. Astron. J., vol. 76, pp. 269-272

59. Deprit A., Henrard J., Rom A. (1971b) Analytical lunar ephemeris: The varionational orbit. Astron. J., vol. 76, pp. 723-726

60. Doodson A.T. (1921) The harmonic development of the tide generating potential. Proc. R. Soc. Lond. A, vol. 100, pp. 305-329

61. Eanes R. J., Schutz B., Tapley B. (1983) Earth and ocean tide effects on Lageos and Starlette. In: Proc. of The Ninth Intern. Symp. on Earth Tides, E. Sckweizerbart'sche Verlagabuchhandlung, Stuttgart

62. Eanes R.J., Bettadpur S.V. (1996) The CSR 3.0 global ocean tide model. In: McCarthy D.D. (ed.) IERS conventions (1996), IERS Techical Note, N 21, Obs. de Paris, pp. 47-50

63. Eckert W.J, Jones R., Clark H.K. (1954) Construction of the lunar ephemeris. Improved lunar ephemeris 1952 1959, U.S. Government Printing Office, Washington

64. Gambis D. (ed.) (1998) 1997 IERS annual report. Observatoire de Paris

65. Gaposchkin E.M. (1972) Pole position studied with artificial earth satellites. In: Melchior P., Yumi S. (eds.) Rotation of the Earth. Reidel Dordrecht Holland, pp.128.130

66. Gaposchkin E.M. (1973) Dynamic of satellites. SAO Spec. Rep., vol. 353, pp. 89191

67. Giacagalia G.E.O. (1974) Lunar perturbations of artificial satellite of the Earth. Celest. Mech., vol. 9, pp. 239-267

68. Hartmann T., Wenzel H.-G. (1994) The harmonic development of the Earth tide generating potential due to the direct effect of the planets. Geophys. Res. Lett., vol. 21, pp. 1991-1993

69. Hartmann T., Wenzel H.-G. (1995) The HW95 tidal potential catalogue. Geophys. Res. Lett., vol. 22, pp. 3553-3556

70. Henrard J. (1979) A new solution to the main problem of lunar theory. Celest. Mech., vol. 19, pp. 337-355

71. Henrard J. (1980) Perturbations due to the shape of the Moon in lunar theory. Celest. Mech., vol. 22, pp. 335-341

72. Henrard J. (1981) The Earth-figure perturbations in the lunar theory. Celest. Mech., vol. 25, pp. 417-425

73. Hern A.C. (1985) Reduce user's manual: ver.3.2. Rand Publication CP78,1985

74. Hill G.W. (1878) Researches in the lunar theory. Am. J. Math, vol. 1, pp. 5-26,129.147,245-261

75. Jacobson R.A., Rush B. (2006) Ephemerides of the Martian satellites MAR063. JPLIOM 343R-06-004, Pasadena

76. Jeffreys B. (1965) Transformation of tesseral harmonics under rotation. Geophys. J., vol.10, pp. 141-145

77. Kaula W.W. (1966) Theory of satellite geodesy. Blaisdell Publ.Co., Waltham, Massachusets-Toronto-London

78. Kinoshita H. (1977) Third-order solution of an artificial satellite theory. SAO Spec. Rep., N 379, SAO, Cambridge, Ma, USA

79. Kozai Y. (1960) Effect of precession and nutation on the orbital elements of a close Earth satellite. Astron. J., vol. 65, N 10, pp. 621-623

80. Kozai Y. (1962) Second-order analytical solution of artificial satellite theory without drag. Astron. J., vol. 67, N 7, p. 446

81. Kozai Y. (1973) A new method to compute lunesolar perturbations in satellite motions. SAO Spec. Rep., vol. 349, pp. 1-27

82. Kozai Y., Kinoshita H. (1973) Effect of motion of the equatorial plane on the orbital elements of an Earth satellite. Celest. Mech., vol. 7, pp. 356-366

83. Krasinsky G.A. (2002) Selenodynamical parameters from analysis of LLR observationsof 1970-2001. Commun. IAA RAN, N 148, pp. 1-27

84. Kudryavtsev S.M. (1993) Calculation of perturbations in the orbital elements of a non-spherical planet satellite in long-term intervals. In: Proc. of AAS/GSFC Intern. Symp. on Space Flight Dynamics, 1993, Greenbelt, USA, vol. 2, pp. 316/1-316/10

85. Kudryavtsev S.M. (1995b) The fifth-order analytical solution of the equations of motion of a satellite in orbit around a non-spherical planet. Celest. Mech. Dyn. Astron., vol. 61, pp. 207-215

86. Kudryavtsev S.M. (1995c) Development of precise analytical theory of satellite motion. In: Proe. of the 10th Intern. Symp. on Spaceflight Dynamics, Toulouse, France, Cepadues-Edit., pp. 221-224

87. Kudryavtsev S.M. (1996) Satellite orbit perturbations due to non-inertial reference frame. In: Proc. of the XX Intern. Space Congress, Gifu, Japan, pp. 181-185

88. Kudryavtsev S.M. (1997) Accurate analytical calculation of effects of rotations of the central planet on a satellite's orbit. Celest. Mech. Dyn. Astron., vol. 67, pp. 131-144

89. Kudryavtsev S.M. (1998) Updating values for the C2i(IERS) and S2i(IERS) gravity coefficients. Annales Geoph., vol. 16, sup. 1, p. C236

90. Kudryavtsev S.M. (1999a) On calculating the Earth's C21 and S2i gravity coefficients in the IERS terrestrial reference frame. J. Geodesy, vol. 73, N 9, pp. 448-451

91. Kudryavtsev S.M. (1999b) Accurate and quick account of the tidal effects by the new analytical method. J. Braz. Soc. of Mech. Sci., vol. XXI, pp. 552-557

92. Kudryavtsev S.M. (2001) Updated values for the Earth C2i and S2i gravity coefficients in the IERS Terrestrial reference frame. In: Capitaine N. (ed.) Proc. of the Journées 2000: Systèmes de Reference Spatio-Temporels, Obs. de Paris, pp.113-114

93. Kudryavtsev S.M. (2002a) Precision analytical calculation of geodynamical effects on satellite motion. Celest. Mech. Dyn. Astron., vol. 82, N 4, pp. 301-316

94. Kudryavtsev S.M. (2002b) An improved analytical technique for accurate calculation of satellite motion perturbations due to the Moon/Sun/planets. Труды ИПА PAH, N 8, стр. 112-114

95. Kudryavtsev S.M. (2003a) Improved analytical method of calculation of "third-bodies" perturbations in satellite motion. Препр. ИПМ им. М.В.Келдыша РАН, N32, стр. 35-36

96. Kudryavtsev S.M. (2003b) Compact representation of spherical functions of Sun/Moon ephemerides by frequency analysis. In: Capitaine N. (ed.) Proc. of the Journées 2001: Systèmes de References Spatio-Temporels, Obs. Royal de Belgique, pp. 269-274

97. Kudryavtsev S.M. (2004a) Improved harmonic development of the Earth tide generating potential. J. Geodesy, vol. 77, N 12, pp. 829-838

98. Kudryavtsev S.M. (2004b) New harmonic development of the Earth tide generating potential. In: Finkelshtein A., Capitaine N. (eds.) Proc. of the Journées 2003: Systèmes de References Spatio-Temporels, IAA, St. Petersburg pp. 251-254

99. Kudryavtsev S.M. (2005a) Advanced harmonic development of the Earth tide generating potential. In: Sansô F. (ed.) A window on the future of geodesy, Springer-Verlag Berlin Heidelberg, pp. 465-470

100. Kudryavtsev S.M. (2005b) KSM03 harmonic development of the Earth tide-generating potential in Terrestrial reference frame. In: Capitaine N. (ed.) Proc. of the Journées 2004: Systèmes de Reference Spatio-Temporels, Obs. de Paris, pp. 142-143

101. McCarty, D.D. (ed.) (1992) IERS Standards, IERS Technical Note, N 13, Observatoire de Paris.

102. McCarthy D.D. (ed.) (1996) IERS Conventions (1996). IERS Technical Note, N 21, Observatoire de Paris

103. McCarthy D.D., Petit G. (eds.) (2003) IERS Conventions (2000). IERS Technical Note, N 32, Verlag des Bundesamts fur Kartografie und Geodäsie, Frankfurt am Main.

104. McClure P. (1973) Diurnal polar motion. NASA Doc. X-592-73-259, Goddard Space Flight Centre, Greenbelt MD

105. McCuttcheon R.A. (2003) A platform-independent solar-lunar-planetary package for flight dynamics applications based on methods from the Bureau des Longitudes. Tlpenp. HIIMPAH, N 32, cTp.7

106. Pitjeva E.V. (2001) Modern numerical ephemerides of planets and the importance of ranging observations for their creations. Celest. Mech. Dyn. Astron, vol. 80, pp. 249-271

107. Reigber C. (1981) Representation of orbital elements variations and force function with respect to various reference systems. Bull. Geod., vol. 55, pp. 111-131

108. Reigber C., Balmino G, Moynot B Muller H (1983) The GRIM3 earth gravity field model. Manuscr. Geod., vol. 8, pp. 93-138

109. Reigber C, Balmino G, Muller H, Bosch W, Moynot B (1985) GRIM gravity model improvement using Lageos (GRIM3-L1). J. Geophys. Res., vol. 90(B), N 11, pp. 9285-9299

110. Roosbeek F. (1996) RATGP95: a harmonic development of the tide-generating potential using an analytical method. Geophys. J. Int., vol. 126, pp. 197-204

111. Schillak S. (1996) Accuracy of the satellite laser ranging. In: Proc. of the 10th Intern. Workshop on Laser Ranging Instrumentation, Shanghai Observatory, Chinese Academy of Sciences, pp. 208-211

112. Schwiderski E. (1983) Atlas of ocean tidal charts and maps, part I: the semidiurnal principal lunar tide M2. Mar. Geod., vol. 6, pp. 219-256

113. Schmidt D.S. (1980) The main problem of lunar theory solved by the method of Brown. The Moon and the Planets, vol. 23, pp. 135-164

114. Seidelmann P.K. (1982) 1980 IAU Theoiy of nutation: the final report of the IAU working group on nutation. Celest. Mech., vol.27, pp. 79-106V

115. Sidlichovsky M., Nesvorny D. (1997) Frequency modified Fourier transform and its application to asteroids. Celest. Mech. Dyn. Astron., vol. 65, pp. 137-148

116. Simon J.L., Bretagnon P., Chapront J., Chapront-Touzé M., Francou G., Laskar J. (1994) Numerical expressions for precession formulae and mean elements for the Moon and planets. Astron. Astrophys., vol. 282, pp. 663-683

117. Standish E.M., Williams J.G. (1981) Planetary and lunar ephemerides DE200-LE200. URL: ftp://nav.jpl.nasa.gov/pub/ephem/export/

118. Standish E.M., Newhall XX, Williams J.G., Folkner W.F. (1995) JPL planetary and lunar ephemerides, DE403/LE403. JPL IOM 314.10-127

119. Standish E.M. (1998a) JPL planetary and lunar ephemerides DE405/LE405. JPL IOM 312.F-98-048, Pasadena

120. Standish E.M. (1998b) Time scales in the JPL and CfA Ephemerides. Astron. Astrophys., vol. 336, pp. 381-384

121. Tamura Y. (1987) A harmonic development of the tide-generating potential. Bull. Info. Marées Terrestres, vol. 99, pp. 6813-6855

122. Tamura Y. (1995) Additonal terms to the tidal harmonic tables. In: Hsu H.T. (ed.) Proc. of the 12th Int. Symp. on Earth Tides, Science Press, Beijing/NewYork, pp. 345-350

123. Wahr J.M. (1981) The forced nutations of an elliptical, rotating, elastic, and oceanless Earth. Geophys. J. Roy. Astron. Soc., vol. 64, pp.705-727

124. Wahr J.M. (1987) The Earth's C21 and S21 gravity coefficients and the rotation of the core. Geophys. J. R. Astron. Soc., vol. 88, pp. 265-276

125. Wahr J.M. (1990) Corrections and update to "The Earth's C21 and S2i gravity coefficients and the rotation of the core". Geophys. J. Int., vol. 101, pp. 709-711

126. Wilhelm H. (1983) Earth's flattening on the tidal forcing field. Geophys. J. Int., vol. 52, pp. 131-135

127. Williams J.G., Newhall XX, Dickey J.O. (1991) Luni-solar precession -determination from lunar raser ranges. Astron. J., vol. 241, pp. L9-L12

128. Wnuk E. (1990) Tesseral harmonic perturbations in the Keplerian orbital elements. Acta Astr., vol.40, N 1, p. 19

129. Xi Q.W. (1987) A new complete development of the tide-generating potential for the epoch J2000.0. Bull. Info. Marées Terrestres, vol. 99, pp. 6766-6812

130. Xi Q.W. (1989) The precision of the development of the tidal generating potential and some explanatory notes. Bull. Info. Marées Terrestres, vol. 105, pp. 73967404