Взаимодействующее поле Рариты-Швингера и его спиновая структура тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ИРКУТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

Ломов Владимир Павлович

Взаимодействующее поле Рариты—Швингера и его спиновая структура

01 04 02 — теоретическая физика

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Иркутск 2007 г

003071203

Работа выполнена на кафедре теоретической физики Иркутского государственного университета

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, доцент

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор

доктор физико-математических наук, доцент

Ведущая организация:

Калошин Александр Евгеньевич

Дорохов Александр Евгеньевич

Марков Юрий Адольфович Институт математики СО РАН

Защита состоится 25 мая 2007 г в 13 часов на заседании диссертационного совета Д 212 074 04 при Иркутском государственном университете по адресу 664003, бульвар Гагарина, 20

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Иркутского государственного университета

Автореферат разослан « 23 » апреля 2007 г

Ученый секретарь диссертационного совета кандидат физико-математических наук, доцент

Б, В. Мангазеев

Общая характеристика работы

Актуальность темы

Частицы со спином 3/2 давно известны в адронной физике, в частности, существует хорошо изученный декуплет барионов, состоящих из легких кварков и, с), 5 Другой физический пример возникает в суперсимметричных теориях — это гравитино, являющийся суперпартнером гравитона

Однако теоретическое описание спина 3/г в рамках теории поля до сих пор сталкивается с рядом проблем, что характерно для всех полей с высшими спинами 5 ^ 1 Основные проблемы порождаются тем, что кроме спина 5 соответствующее квантовое поле обладает также лишними компонентами спина 5—1,

Частицы со спином 5 = 3/з в квантовой теории поля обычно описывают вектор-спинорным полем называемым полем Рариты—Швингера Так как это поле кроме спина 3/2 содержит лишние степени свободы, то обычно от них избавляются с помощью дополнительных условий Среди первых работы по описанию частиц со спином 3/г можно назвать работы Паули и Фирца [1], Рариты и Швингера [2], Баргманна и Вигнера [3] Наиболее общий однопараметрический лагранжиан свободного поля Рариты—Швингера с дополнительными условиями был выписан в работе Молдора и Кейса [4] Однако учет взаимодействия в поле Рариты—Швингера приводит к трудностям Проблемы могут возникать либо при квантовании поля [5], либо даже на классическом уровне, где возникают парадоксы со сверхсветовым распространением сигнала [6] Позднее было осознано [7, 8], что обе эти проблемы имеют имеют общие корни — наличие связей между динамическим величинами В последующем был найден путь [9, 10], следуя которому в принципе можно избежать проблемы Джонсона—Сударшана и Вело—Званзигера Было предложено сделать вклады спина '/г физическими, по крайней мере на промежуточных этапах, что можно рассматривать как некоторую регуляризацию системы Но этот подход не был полностью реализован для взаимодействующих систем

Несмотря на долгую историю, проблема корректного учета взаимодействия для поля Рариты—Швингера остается Поэтому при практическом использовании полного пропагатора в барионной феноменологии приходит-

ся делать некоторые приближения Обычный способ действия состоит в учете взаимодействия только для вкладов спина 3/г, тогда как компоненты спина '/2 отбрасываются или остаются неизменными

Широко распространен метод исследования, использующий уравнения движения и дополнительные условия на поля В отличие от этого подхода мы будем исследовать пропагатор взаимодействующего поля Рариты— Швингера При этом мы учитываем все спиновые степени свободы Такой подход имеет ряд теоретических преимуществ и, кроме того, построенный пропагатор может быть непосредственно применен для анализа экспериментальных данных

Цель работы

Целью работы является развитие теоретических квантово-полевых методов описания частиц со спином 3/г и их использование для описания экспериментальных данных по рождению А++(1232) резонанса в адронных процессах

Научная новизна

1 Предложен новый метод решения уравнения Дайсона—Швингера для поля Рариты—Швингера с учетом всех спиновых компонент Основой метода служит введенный нами базис с простыми мультипликативными свойствами

2 Впервые построен полный перенормированный пропагатор поля Рариты—Швингера с учетом всех компонент и обладающий нужными свойствами При этом вклад спина 3/2 имеет резонансный характер, а вклады спина '/г являются нефизическими

3 С использованием построенного пропагатора полное теоретико-полевое описание впервые было применено для анализа экспериментальных данных по рождению А++(1232) резонанса в упругом л+р рассеянии

Научная и практическая ценность

Работа носит теоретический характер Исследованная в диссертации задача есть часть более широкой проблемы описания высших спинов в квантовой теории поля и развитые методы могут быть использованы в других физических ситуациях Разработанный подход может быть использован в экспериментах по рождению барионных резонансов для более последовательной и физически адекватной интерпретации результатов

Апробация работы

Основные результаты докладывались и обсуждались

• на Всероссийской научной конференции студентов-физиков и молодых ученых, Красноярск, 2003,

• на Байкальских научных молодежных школах по фундаментальной физике БШФФ-2004, БШФФ-2005, БШФФ-2006, Иркутск,

• на XVIII международном совещании QFTHEP'2004, Санкт-Петербургский гос университет,

• на летних Байкальских школах по физике элементарный частиц и астрофизике БШФЭЧА-2005, БШФЭЧА-2006, Иркутск-Дубна,

• на XI международном совещании по спиновой физике при высоких энергиях, ОИЯИ, Дубна, 2005,

• на XVIII международном Балдинском семинаре по проблемам физики высоких энергий, ОИЯИ, Дубна, 2006,

• на семинаре в институте математики СО РАН, Новосибирск,

• на семинарах кафедры теоретической физики физического факультета Иркутского государственного университета

Основные положения выносимые на защиту

1 Метод построение полного пропагатора поля Рариты—Швингера Основой метода является использование введенного нами удобного базиса Помимо упрощения выкладок, этот базис позволяет также придать физический смысл возникающим коэффициентам

2 Процедура перенормировки полного пропагатора поля Рариты—Швин-гера с учетом всех спиновых компонент Сектор спина 3/2 имеет обычный резонансный вид, в секторе спина '/г накладываются условия отсутствия полюсов в энергетической плоскости

3 Метод описание рождения Д(1232) резонанса в лЫ столкновениях с использованием полного пропагатора поля Рариты—Швингера Кроме хорошего описания экспериментальных данных для резонансного вклада спина 3/г, метод позволяет качественно описать все парциальные волны для спина 1/2

Публикации

По материалам диссертации опубликовано 8 печатных работ в отечественных и зарубежных изданиях

Структура и объём диссертации

Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и библиографического указателя, содержащего 90 ссылок Общий объем диссертации — 84 страницы, включая 3 таблицы и 17 рисунков

Краткое содержание работы

Во введении дана общая характеристика работы, отражена актуальность ее темы, сформулированы цели диссертации и решаемые задачи, приведено краткое содержание работы

В первой главе рассматривается пропагатор поля Рариты—Швингера с учетом взаимодействия Известно, что для этого в квантовой теории поля нужно решить уравнение Дайсона—Швингера

В §1.1 ставится задача о нахождении полного пропагатора поля Рари-та—Швингера Частица со спином 3/2 в квантовой теории поля описывается спин-векторным полем Фа(1, где ц — векторный индекс, а спинорный индекс, который мы будем опускать ниже Это поле называют полем Рариты—

Швингера Общепринятым лагранжиан свободного поля имеет вид [4] & = ФцЛ^Ф,,

Д^ = ф _ М)^ + + ^рЦ) + ^(ЗЛ2 + 2А +

+ М(ЗА2 + ЗА +

Здесь М это масса частицы, А — произвольный параметр, р^ = 1дц

Уравнения движения, которые следуют из этого лагранжиана имеют вид

Л,1Ж = О

Уравнения движения проще и удобнее рассматривать в импульсном пространстве Тогда рц это импульс поля и пропагатор поля будет определен как

= (1)

Отсюда видно, что пропагатор имеет два векторных индекса и два спинор-ных индекса Мы будем называть такие объекты спин-тензорами Из этого уравнения следует также, что это обратный пропагатор

Уравнения Дайсона—Швингера для пропагатора поля Рариты—Швингера записывается как

в»» = О? + Сца2арСЦ\

где борт и это соответственно полный пропагатор, свободный пропагатор и собственно-энергетическая часть, которая задается лагранжианом взаимодействия Удобно записать это уравнения для обратных пропагато-ров

(О-1 Г =

Таким образом, чтобы найти полный пропагатор поля нужно уметь находить решения уравнения (1) Это уравнение представляет собой систему уравнений, для которой можно наити простой и компактный ответ, используя разложение по базису

В § 1.2 мы рассматриваем несколько типов базисов для спин-тензоров Первый базис, называемый у-матричным базисом, возникает естественным

образом и является также полным Разложение произвольного спин-тензора по этому базису записывает в виде

+ ррУ 53 +Р&" 3,+р^ 55 + тУ (2)

+ эг + ^РХ? 58 + 5Э + 1Е,"рУухРр 510

Любой базис, используемый для разложения спин-тензоров, зависящих от одного импульса р, содержит десять элементов Однако у-матричный базис неудобен при умножении спин-тензоров

Второй базис, называемый р-базисом, строится из проекционных операторов [11-16]

(Р3/2)^ = ^ - - пЩ,

СР^Г = П^п], (Р^Г = "¥«2.

(Р^Г = пЩ, (Р^Г = г$п\

Здесь п1 это «вектора»

рп 1 Ч = "2 = ^=14, (л, п/) = б1,14, +

которые позволяют упростить запись выражений и подчеркнуть свойства операторов

Введенные операторы (3) используются для разложения по р-базису спин-тензора

Б^Цр) = (5, + Б2р)(Гг/2Г + (53 + Бф)(Г1{2У" + & + 56р)(^2)'"+ + (57 + 5 8р)(Г^Г + (5Я + ¿юрК^Г

Коэффициенты 5, это скалярные функции переменной р2

Преимуществом этого базиса является, во-первых, простота при умножении элементов базиса, а во-вторых, коэффициентам разложения 5, можно придать физический смысл Но этот базис имеет недостаток В определении

проекционных операторов (3) есть множитель Это приводит к связям

Р

между коэффициентами разложения (4) 5,, чего нет для коэффициентов я, разложения (2) Используя формулы перехода от коэффициентов 5, к я,

можно найти эти связи

25,(0)+ ¿3 (0) -аддо) = 0, 5,(0) - 53(0) - 358(0) = О,

(0) + 54(0) - 356(0) + 3(5/(0) + 59(0)) = О, $8(0)+$1о(0) = 0,

где ^7 9 = ^/Зp2S7l9 и 58,ю = у^рв.ш

Третий базис, называемый Л-базисом, был введен нами на основе р-базиса с использованием внемассовых проекционных операторов А±

где под \fjfi мы понимаем первую из ветвей аналитической функции Десять элементов этого базиса имеют вид

Гх = Л+Р3'2, Р2 = Л-Р3/2,

Рз = л+р;{2, Р4 = Л-р}>2,

Тъ = Л+Р^, Р6 = А

Т7 = А+РЦ2, Г8 = А-Т\[2, = л+т*?, = л-т>;2/2,

Разложение произвольного спин-тензора по Л-базису выражается формулой

ю

^(р) = Х^РГ-

А= 1

где коэффициенты являются функциями переменной ^ = %/р2

Технически Л-базиса более удобен по сравнению с р-базисом из-за его мультипликативных свойств, представленных в табл 1

Как можно видеть из таблицы умножения, данный базис содержит шесть проекционных операторов и четыре нильпотентных Мы доказали непосредственным вычислением, что это максимально возможное число проекционных операторов Как и для р-базиса, коэффициентам разложения по Л-базису можно придать физический смысл И также как для р-базиса, между коэффициентами Л-базиса имеются связи, возникающие из-за на-

Таблица 1 Таблица умножения элементов Л-базиса

г2 Тъ Ть г6 Гт р8 Гд Г\0

VI Тх 0 0 0 0 0 0 0 0 0

Рч 0 -Р2 0 0 0 0 0 0 0 0

Рз 0 0 г3 0 0 0 г7 0 0 0

0 0 0 Г4 0 0 0 Т>8 0 0

Ть 0 0 0 0 Г5 0 0 0 V, 0

Ге 0 0 0 0 0 п 0 0 0 Гю

Рт 0 0 0 0 0 V? 0 0 0 Рг

г8 0 0 0 0 V, 0 0 0 0

0 0 0 Рэ 0 0 0 г5 0 0

Т>ю 0 0 Гхо 0 0 0 V,6 0 0 0

личия -т С другой стороны это общеизвестен факт при использовании Р

проекционных операторов, всегда возникают особенности, что приводит с необходимостью к связям между коэффициентами разложения

В § 1.3 мы подходим к решению уравнения Дайсона—Швингера используя только рассмотренные базисы Пропагатор мы определили как решение уравнения

= ёцу 1,

по известному обратному пропагатору Заметим, что проще всего решать это уравнение в А-базисе Раскладывая правую часть по этому базису мы получим систему уравнений на скалярные коэффициенты б, и §„ которую легко решить Выражения для 0, приведены ниже

~ ¿>6 /=,55

из = —. СГ4 = —,

1

б 1 = -=г, 06 = С5 = -А

I1 Ч (6)

б2 -4, б7 = * б8 = , •Ьг ДJ А 2

я, 5ю Л 5д ию =--—. ид = - —,

где

А, Д2

Д1 = 5356 - 575ю, а2 = 5455 - ЗД = д,(-иг)

Таблица 2 Мультипликативные свойства операторов базиса (7)

т2 Рз V4

-Р\ Т>\ 0 Г3 0

0 г2 0 Та

V} 0 V.з 0 Тх

ТА V.4 0 т2 0

В §1.4 мы исследуем полный пропагатор разных взаимодействующих систем дираковских фермионов с целью обнаружить аналогию с полным пропагатором Рариты—Швингера Так как выражение (6) имеет довольно необычную структуру, то мы рассмотрим полный пропагатор двух систем дираковских фермионов Первая система состоит из фермионов с одинаковой четностью и лагранжианом взаимодействия

-2?вг = бФ ф(*) + э С для ЛГ' = 1/2+,

а вторая — с разной четностью и лагранжианом взаимодействия ^э = йФ'(*)Ф(*) фМ+эс для N'=1/2-

Для вычисления полных пропагаторов воспользуемся здесь базисами из внемассовых проекционных операторов Для первой системы этот базис состоит из двух элементов Л^ для второй — из четырех элементов

7>,=Л+, Т2 = Л", -Рз = Л+у5. Р4 = Л-у5, (7)

где первые два оператора проекционные, вторые два — нильпотентные Таблица умножения элементов этого базиса показана в табл 2 и напоминает таблицу умножения элементов А-базиса табл 1

В результате исследования систем дираковских фермионов можно сказать следующее

1 Коэффициенты разложения по базису проекционных операторов отвечают вкладам с определенной четностью Коэффициент разложения при А+ отвечает состоянию со спин-четностью '/2+, тогда как коэффициент разложения при Л~ — '/2~

2 Полю со спин-четностью '/г+ соответствует компонента при Л+ с полю-

1 « 1 П

сом --, у второй компоненты при этом полюс вида ——- Для

W-т —W—т

поля со спин-четность '/г- — наоборот

3 Появление нильпотентных операторов в разложении говорит о наличии петлевых переходов между состояниями разной четности

§ 1.5 посвящен детальному анализу решения уравнения Дайсона—Швин-гера Для прояснения вопроса, связанного со структурой полного пропага-тора поля Рариты—Швингера нужно вычислить пороговое поведение мнимых частей собственно-энергетической функции Для этого обратимся к стандартному лагранжиану взаимодействия nNA [13, 17]

^вз = + аГу")У(х) 8/р(*) + э с , (8)

и вычислим собственно-энергетическую функцию в однопетлевом приближении Пороговое поведение мнимых частей имеет вид

AS, = A2i + WA12 ~ q3, Al2 = A2i - WAI.2 ~ qb, Ali = А23 + 1ГА24 ~ q3, А24 = А23 - WA24 ~ q, А% = А25 + WAX6 ~ q, Д26 = А25 - №А26 ~ <73,

где q — трехмерный импульс jiN пары в системе центра масс

Теперь мы можем сказать следующее Структура полного пропагатора поля Рариты—Швингера напоминает структуру полного пропагатора для системы взаимодействующих дираковских фермионов разной четности, а коэффициенты разложения по А-базису отвечают членам с определенной четностью Поэтому мы можем говорить о том, что полный пропагатор поля Рариты—Швингера содержит кроме представления спина 3/2, два представления со спином '/2, но разной четности Компоненты 2ь 22 обладают спин-четностью 3/2+, а пары 2з, 24 и £5, 2б отвечают вкладам Уг+ и '/г-соответственно

Во второй главе мы разрабатываем процедуру перенормировки полного пропагатора поля Рариты—Швингера

В § 2.1 ставится вопрос о наиболее общем лагранжиане свободного поля Для получения такого лагранжиана мы формулируем самые общие требования на лагранжиан свободного поля

1 Лагранжиан поля должен быть линеен относительно производных Это требование справедливо для всех фермионов

2 Лагранжиан должен быть эрмитовым, в нашем случае это означает что

или у^ИЧ0 =

3 Вклад спина 3/г должен иметь обычный полюсной вид

4 Лагранжиан не должен иметь особенностей при р2 —» 0 Это очевидно, но получается так, что некоторые грубые методы приводят к особенностям в пропагаторе

Решать поставленную задачу проще в у-матричном базисе Решением будет лагранжиан, зависящий от четырех произвольных вещественных параметров

= £Г(р - М) + р>У(г5 + п - 1 + ш5) + + г4 - 1 - ш5) +

+ у»чЧМ + г1)-у,1рчЧг4- 1)

Для поля Рариты—Швингера известно преобразование, называемое точечным Именно, преобразование поля

Ф>1 -» Ф'^ = + ЬУУ)Фу,

с параметром Ь ф —1/4 приводит к изменению параметров свободного лагранжиана, но не изменяет вклада спина 3/2

Точечное преобразование с комплексным параметром позволяет избавиться от двух из четырех параметров, но тогда они появятся в лагранжиане взаимодеиствия Однако можно действовать по-другому Убрать параметр а из лагранжиана взаимодействия лЫА, что упростит вычисления собственно-энергетической части, но изменит значения параметров в лагранжиане свободного поля

В § 2 2 проводится перенормировка вклада спина 3/2 Технически удобнее для этого использовать обратный пропагатор поля Вкладу спина 3/2 отвечают первые два коэффициента разложения пропагатора 5[ и 5г Используя схему перенормировки на массовой поверхности, можно записать

= W-М + о{№-N1) + ^ при

Таким образом для перенормировки необходимо вычесть собственно-энергетический вклад дважды в этой точке

8[(1У) = \Р-М- [£](№) - Не2,(М) - Ке2',(М)(1Г - Л1)]

после чего, воспользовавшись соотношением ЗгС^) = 21 получим

выражение для второго перенормированного коэффициента

§ 2.3 посвящен разработке процедуры перенормировки сектора спина '/г Перенормировка сектора спина Уг разбивается на две части

В первой мы накладываем на коэффициенты полного пропагатора условия (5), что гарантирует отсутствия особенностей, которые могут возникнуть в силу определения р-базиса, в точке р2 = О Для этого технически удобно выделить значения коэффициентов в нуле, которые мы обозначили через Т1

Во второй, мы накладываем условия на бесконечности для сектора '/г Для этого достаточно рассмотреть один из знаменателей Дг(№), возникающий при вычислении (6) пропагатора Записывая его разложение по на бесконечности

и обозначив значения коэффициентов собственно-энергетической части на бесконечности как 2(0),(со), можно найти условия, при которых знаменатель АгС^О становится на бесконечности константой Это означает, что сектор спина '/г не дает физического вклада В результате, после выполнения всех вычислений, можно записать полный перенормированный обратный пропагатор

где 2,($) коэффициенты собственно-энергетической части без вычитания в нуле, т, = Т\ +2(о),(оо) сумма значений коэффициентов в нуле и на бесконечности Константы т, зависят от одного параметра, который в пределе стремления к нулю константы связи, переходит в параметр А из стандартного однопараметрического лагранжиана взаимодействия (8)

д2 = + + ¿о при

т4 + 24 \/3(т7 + 27) \/3(х7 + 27) -т6 - 26

В главе третьей мы рассматриваем применение полученного полного перенормированного пропагатора к описанию рождения Л++(1232) в упругом л+р рассеянии

В §3.1 мы получаем амплитуду рождения Д++(1232) используя полученный полный перенормированный пропагатор поля Рариты—Швингера и общепринятый лагранжиан взаимодействия яЫЛ

^вз = + э с

Резонансный вклад в амплитуду соответствует диаграмме

\ Р

и записывается в аналитическом виде как Вклад спина 3/2 в амплитуду имеет вид

+

= Л+ + Д-

вклад сектора спина 1/2

£5=1/2

-61Р2 СО5 0 -02 — 02р2 СОЭ в - бу

[(Г - т)2 -

2121

12Г2

121Г2

+

где

= Д+ [о2(№)04 + 01(^)02(^)68 + 01(^)02(^)69 + а^)С5] а?(-Г)бз - а1(-Г)а2(-ТГ)б7 - а,(-№)а2(-Г)6ю +

о,(^) =

2VЪW

[(IГ-ты)2-т2],

= —[Г2-т2 +т2]

Для использования полного пропагатора в приложениях, нам нужно иметь аналитические выражения для собственно-энергетической функции Их можно найти, используя теорему Коши и аналитическое выражения для мнимых частей собственно-энергетической функции Вычисляя мнимые части собственно-энергетической части в однопетлевом приближении получим

AV g2Io mN 22 g2I0 mN

ASl = "'wlYs4s'<m']' A23 = "'(ä^ 12^

ду g2Iо s + m2 - ffig , g2/0 5 + ml - ml

AS2 = "W 24s2 = (2л)2-24s2

g2/0 /nN . „ o\2 AV «?2/o /3 s — m^ + m2

= + ' = (2л)2 Vs 24s

(2л)2 8s2 Д29 = Д27,

x (s - m2 + m2)2, A2]0 = о

Здесь X(a,b,c) = (a — b — c)2 — 4bc, аргумент функции X выписан полностью только в первом выражении, функция /о задана как интеграл

/о = J d4kb(k2 - m2n)b((p + k)2 - ml) =

X(p2,m2,m2)

= 0(p2 - {mN + mn)2)^

\

(p2Y

Для сходимости интегралов мы ввели форм-фактор, зависящий от \У, в константу связи

М2 + 51.

g^g F(W)=g

W2 + sl

В § 3.3 мы рассматриваем экспериментальные данные для процесса л+р — л+р [18], которые характеризуются хорошей статистикой в области резонанса Д(1232) Мы можем использовать полученный перенормированный пропагатор поля Рариты—Швингера для описания полного сечения рассеяния Результаты фита в области энергий от порога рождения резонанса до энергии 1,32 ГэВ представлены на рис 1 Заметим, что использование полного пропагатора поля Рариты—Швингера с учетом всех спиновых

• Рес1гоп1 е! а1

-Полный пропагатор

---Вклад только спина 3/2

Простейший Брейт-Вигнер

W, ГэВ

Рис 1 Результаты описания данных [18] для сечения рассеяния л+р в области энергий от порога до 1,32 ГэВ

компонент дает хорошее качество описания Параметры наилучшего фита выписаны ниже

Мд = 1232,0 ±0,2 МэВ Гд = 113 ± 1 МэВ

А =-0,576 ±0,014

= -0,607 ±0,012 ГэВ2 (9) Х2/<Ы =0,99

В табл 3 показано сравнение нескольких вариантов описания, изображенных на рис 1 Ясно, что учет членов со спином '/г в одетом пропагаторе значительно улучшает качество описания Для сравнения на рис 1 также можно увидеть кривую, соответствующую наивному вкладу Брейт—Вигне-ра с независящими от энергии массой и шириной

Таблица 3 Сравнение различных моделей при описании сечения рассеяния, показанного на рис 1__

Модель

Простейшии Брейт—Вигнер с независящими от энергии массой и шириной 215

Перенормированная компонента спина 3/г 5,6

Полный пропагатор поля Рариты—Швингера со всеми компонентами 0,99

Зафиксировав свободные параметры значениями из (9), мы можем вычислить парциальные волны изоспина 3/2 с использованием полного про-пагатора Наша амплитуда содержит четыре парциальных волны Я33, £>33, •$31, ^зь удовлетворяющих упругому условию унитарности 1т/ = |/|2 Оказывается, что таким образом полученные парциальные волны находятся в хорошем согласии с результатами анализ парциальных волн [19], как видно из рис 2 и рис 3

Б.

-- 1т О,,

1,1

1,3 Ш.ГэВ

1,4

Рис 2 Сравнение наших парциальных волн с результатами анализа парциальных волн [19] (они очень близки к результатам предыдущего анализа [20, 21] в этой области энергий) Параметры в нашей амплитуде взяты из результата фита полного сечения рассеяния (9) Наши парциальные волны удовлетворяют упругому унитарному условию 1т/ = |/|2

Заметим, что при А ~ —0,5 в нашем амплитуде наблюдается некоторое изменение в поведении Это вполне естественно, если вспомнить, что значение А — —0,5 является сингулярным для свободного пропагатора

В § 3.4 мы рассматриваем вопрос о форме фермионного резонанса Этот вопрос естественно возник при вычислении амплитуды рождения Л++(1232) Однако в литературе до сих пор не было приведено выражения для формы фермионного резонанса

Основное отличие от формулы для формы бозонного резонанса идет из-за наличия структуры р, I Используя здесь доказавший свою эффективность метод внемассовых проекционных операторов Л*, мы получили фор-

0 8-| R., - ReS3I

06- 31 — - ImS„

04-

02- ............

0,2-

04- —i— ____________ *»л —I—1—1—1—1—1—>—1

0,6 т

Рис 2 Сравнение наших парциальных волн с результатами анализа парциальных волн [19] (они очень близки к результатам предыдущего анализа [20, 21] в этой области энергий) Параметры в нашей амплитуде взяты из результата фита полного сечения рассеяния (9) Наши парциальные волны удовлетворяют упругому унитарному условию 1т/ = |/|2

мулу для формы фермионного резонанса

G(p) =

1

Ms(W)~l-rs(W)+p

1 MA{W) -

w

/ J

где

A{WZ) = № - MA(W) + -TA{W) - Mb{W) - -rw)

Для определенности рассмотрим процесс лЫ —> Ы'('/2+) —> лЫ и посмотрим на спиральные амплитуды в системе центра масс Л4++ при \(/ ~ М

Q

М++ = cos -

(Р° + mN)g2

(р° - mN)g:

2 1

-W ~{MS-MA) + i{Ts-ТА)/2 W-M + tY/2

где /г это энергия нуклона в системе центра масс

Отсюда можно видеть, что в отличии от бозонного случая, фоновый вклад в окрестности W = М не выражается через МиГ Эга особенность возникает из-за наличия р в собственной энергии 2(р) = А(р2) + рВ{р2) В результате, вместо двух параметров (М и Г) фермионная формула Брейт— Вигнера описывается 4 параметрами (можно использовать М, Г и комплекс-

XV, ГэВ ГэВ

Рис 3 То же что и для рис 2 для парциальных волн 5з, и Р^ в большей области энергии

ный фон)

Симметричная и антисимметричная части бегущих массы и ширины одного и того же порядка и это типичная ситуация

В заключении сформулированы основные результаты, полученные при работе над диссертацией

1 Разработанный метод решения уравнения Дайсона—Швингера позволяет получить в простой аналитической форме полный пропагатор поля Рариты—Швингера Важным техническим моментов здесь является использование введенного нами базиса Рассмотренные аналогии с системами дираковских фермионов позволили придать ясный физический смысл компонентам базиса и выяснить спиновый состав поля Рариты—Швингера Использование внемассовых проекционных операторов оказалось полезным приемом во многих других задачах

2 Для полученного полного неперенормированного пропагатора поля Рариты—Швингера был предложен способ перенормировки, с помощью которого удалось перенормировать вклад спина 3/г и сектор спина 1/2 Одним из требований перенормировки было отсутствие физических вкладов в секторе спина '/2

3 При исследовании процедуры перенормировки нам понадобился наиболее общий лагранжиан свободного поля, который был заново выведен с использованием нашего базиса Полученный нами перенормированный пропагатор зависит от одного произвольного параметра, который

существует в секторе спина '/2

4 Полученный полный перенормированный пропагатор был применен для описания рождения Д++(1232) в упругом л+р рассеянии Оказывается, что он хорошо описывает полное сечение в окрестности резонанса Если посмотреть на парциальные волны, то волны отвечающие спину 3/2 Рзз и D33 хорошо описываются, а волны отвечающие спину '/2 S31 и Р3\ качественно соответствуют результатам парциального анализа в этой области Таким образом, помимо резонансного вклада спина 3/2 наш пропагатор позволяет описать также гладкие фоновые вклады спина >/2

Основные публикации автора по теме диссертации

1 Kaloshin А Е Propagator of the interacting Rarita-Schwinger field / A E Kaloshin, V P Lomov // Mod Phys Lett - 2004 - T A19 - С 135-142

2 Kaloshin A E The Rarita-Schwinger field Dressing procedure and spin-parity content / A E Kaloshin, V P Lomov // Yad Fiz — 2006 — T 69 - С 563-573

3 Ломов В П Полный пропагатор поля Рарита—Швингера // Сборник тезисов 9 Всероссийской научной конференции студентов-физиков и молодых ученых, апр 2003 г — Екатеринбург-Красноярск, 2003 — С 64-66

4 Калошин А Е Взаимодействующее поле Рариты—Швингера и спин-четность его компонент / А Е Калошин, В П Ломов // Труды VII конференции молодых ученых «Взаимодействие полей и излучения с веществом», сент 2004 г — Иркутск, 2004 — С 217-219

5 Калошин А Е Наиболее общий вид лагранжиана поля Рариты—Швингера / А Е Калошин, В П Ломов, А М Моисеева // Труды VIII конференции молодых ученых «Астрофизика и физика околоземного космического пространства», сент 2005 г — Иркутск, 2005 — С 131-135

6 Kaloshin А E Interacting Rarita-Schwinger field and its spin-parity content / A E Kaloshin, V P Lomov // XI Advanced Research Workshop on High Energy Spin Physics, сент 2005 г — Дубна, 2005 — С 215-220

7 Kaloshin А Е Interacting Rarita-Schwinger field and its spin-parity content / A E Kaloshin, V P Lomov // XVIIIth International Workshop on High Energy Physics and Quantum Field Theory, сент 2005 г — Москва, 2004 - С 215-220

8 Калошин А Е Формула Брейт—Вигнера для фермионов / А Е Калошин, В П Ломов // Труды IX конференции молодых ученых «Физические процессы в космосе и околоземной среде», сент 2006 г — Иркутск, 2006 - С 246-249

Список цитируемой литературы

1 Fierz М On relativistic wave equations for particles of arbitrary spin in an electromagnetic field / M Fierz, W Pauli // Proc Roy Soc Lond — 1939 -T A173 -C 211-232

2 Ranta W On a theory of particles with half-integral spin / W Rarita, J Schwinger // Phys Rev - 1941 - T 60 - С 61-62

3 Bargmann V Group theoretical discussion of relativistic wave equations / V Bargmann, E P Wigner // Proc Nat Acad Sci - 1948 - T 34

- С 211

4 Moldauer P A Properties of half-integral spin Dirac-Fierz-Pauli particles / P A Moldauer, К M Case // Phys Rev - 1956 - T 102 - С 279-285

5 Johnson К Inconsistency of the local field theory of charged spin 3/2 particles / К Johnson, E С G Sudarshan // Annals Phys — 1961 — T 13 - С 126-145

6 Velo G Propagation and quantization of Rarita-Schwinger waves in an external electromagnetic potential / G Velo, D Zwanziger // Phys Rev

- 1969 -T 186 - С 1337-1341

7 Aurilia A Remarks on the constraint structure and the quantization of the Rarita-Schwinger field / A Aurilia, M Kobayashi, Y Takahashi // Phys Rev - 1980 - T D22, №6 - C 1368-1374

8 Kobayashi M The Rarita-Schwinger paradoxes / M Kobayashi, Y Takahashi // J Phys - 1987 - T A20 - C 6581

9 Munczek H New formalism for the quantization of a spin-3/2 field / H Munczek // Phys Rev - 1967 - T 164, №5 - C 1794-1798

10 Fukuyama T Theory of interacting spm-3/2 particle / T Fukuyama, K Yamamoto // Prog of Theor Phys - 1973 - T 49, № 1 - C 304-314

11 Aurilia A Theory of high-spin fields / A Aurilia, H Umezawa // Phys Rev - 1969 - T 182, №5 - C 1682-1694

12 Nieuwenhuizen van P Supergravity / van P Nieuwenhuizen // Phys Rep - 1981 - T 68 - C 189-398

13 Benmerrouche M Problems of describing spin 3/2 baryon resonances in the effective lagrangian theory / M Benmerrouche, R M Davidson, N C Mukhopadhyay // Phys Rev - 1989 - T C39 - C 2339-2348

14 Pascalutsa V On the structure of the yNA vertex Compton scattering in the A(1232) region and below / V Pascalutsa, O Scholten // Nucl Phys - 1995 - T A591 - C 658-674

15 Korpa C L Complete spin structure of the pion-nucleon loop delta self-energy / C L Korpa // Heavy Ion Phys - 1997 - T 5 - C 77-84

16 Almaliev A N Fully relativistic approach to the A-isobar self-energy A possible application to the nucleon-baryon interaction /AN Almaliev, I V Kopytin, M A Shehalev // J Phys - 2002 - T G28 - C 233-239

17 Nath L M Uniqueness of the interaction involving spin 3/2 particles / L M Nath, B Etemadi, J D Kimel // Phys Rev - 1971 - T D3 -C 2153-2161

18 Pedroni E A study of charge independence and symmetry from jt+ and jt total cross-sections on hydrogen and deuterium near the 3,3 resonance / E Pedroni, et al // Nucl Phys - 1978 - T A300 - C 321-347

19 Arndt R A Extended partial-wave analysis of jrN scattering data /RA Arndt, et al // Phys Rev - 2006 - T C74 - C 045205

20 Hohler G Pion-nucleon scattering, Landoldt-Bornstein vol / G Hohler // TKP - 1983 - T I/9b2 - C 31

21 Cutkosky R E Pion-nucleon partial wave amplitudes /RE Cutkosky, et al // Phys Rev - 1979 - T D20 - C 2839-2853

Формат 60 х 80 '/16 Печать офсетная Бумага типографская Тираж 100 экз

Отпечатано в типографии ООО «Фрактал» г Иркутск, ул Коммунистическая, 65 «А»

Введение

1 Пропагатор взаимодействующего поля Рариты—Швингера

1.1 Уравнение Дайсона—Швингера

1.2 Построение базиса для пропагатора.

1.3 Полный неперенормированный пропагатор.

1.4 Сравнение с системой дираковских фермионов.

1.5 Спиновая структура пропагатора поля Рариты—Швингера.

2 Перенормировка пропагатора поля Рариты—Швингера

2.1 Наиболее общий свободный лагранжиан.

2.2 Перенормировка вкладов спина-3/

2.3 Перенормировка сектора спина-'/г.

3 Рождение Д(1232) в процессе л+р л+р

3.1 Амплитуда процесса jcN А -> jrN.

3.2 Вычисление собственно-энергетической части.

3.3 Описание полного сечения рассеяния.

3.4 О форме фермионного резонанса

Частицы со спином 3/г давно известны в адронной физике, в частности, существует хорошо изученный декуплет барионов, состоящих из лёгких кварков u, d, s [1]. Другой физический пример возникает в суперсимметрических теориях — это гравитино, который является суперпартнёром гравитона. Кроме того, время от времени обсуждается вопрос о возможном существовании и экспериментальном поиске лептонов со спином 3/2.

Однако теоретическое описание в рамках теории поля сталкивается с рядом проблем. Оказывается, что все поля с высшими спинами s ^ 1 обладают общими свойствами и основные проблемы порождаются тем, что кроме ведущего спина 5 поле обладает также компонентами неведущего спина 5-1.

Существуют две точки зрения на проблему неведущих спинов. Доминирующая состоит в том, что эти степени свободы надо исключать с помощью дополнительных условий (это означает, что массы соответствующих степеней свободы становятся бесконечными). Другая точка зрения состоит в том, что неведущие спины могут быть физическими, что привело бы к существованию мультиплета частиц, описываемого одним многокомпонентным полем.

Частицы со спином s = 3/г обычно описывают вектор-спинорным полем называемым полем Рариты—Швингера. Этот объект давно используется в физике и следует упомянуть основные исторические факты.

Первые работы по описанию частиц со спином 3/2 появились в 30-40-х гг. XX в. В 1939 г. появилась работа Паули и Фирца [2], в которой рассматривались частицы со спином 3/2 и 2, взаимодействующие минимальным образом с электромагнитным полем. В этой работе сразу же проявилась общая закономерность всех описаний частиц высших спинов — кроме основного вклада со спином s = 3/г существуют вклады со спином s = '/г. Чтобы избавиться от лишних степеней свободы нужно наложить дополнительные условия на волновую функцию. Таким образом, система состояла из волнового уравнения и дополнительных условий. Другой формализм для описания частиц со спином s — 3/г был предложен Раритой и Швингером [3]. Они рассмотрели волновую функцию свободного поля — вектор-спинор, имеющий один спинорный и один векторный индексы Фац. Это поле содержит кроме ведущего спина 3/г два дополнительных вклада со спином 1/2. Чтобы избавиться от лишних степеней свободы в дополнение к уравнению движения на волновую функцию свободного поля р-М)% = 0 накладываются дополнительные условия

Описание Рариты—Швингера основано на использовании минимального неприводимого представления группы Пуанкаре, необходимых для описания спина 3/2.

Спустя несколько лет появились работы по обобщению метода Дирака по описанию фермионов. Здесь можно назвать работы Баба [4] и Хариш-Чандры [5]. Они использовали спинорные представления группы Пуанкаре для описания целых и полуцелых спинов. В этих работах рассматривались свободные поля и также накладывались дополнительные условия, чтобы избавиться от лишних степеней свободы.

Эквивалентный подход, технически отличающийся от вышеупомянутых работ, содержится в работе Баргманна и Вигнера [6] в 1948 г. Они предложили описывать частицу со спином 3/г в системе покоя как прямое произведение представлений со спином !/2. Волновая функция в движущейся системе отсчёта получается из волновой функции в системе покоя при помощи бустов. Однако и здесь, даже в системе покоя нужны дополнительные условия для уменьшения числа степеней свободы.

В целом, к 50-м гг. XX в. сложилось впечатление, что любое описание частиц с высшими спинами следует производить по схеме: свободное поле плюс дополнительные условия, уменьшающие число компонент поля до нужного числа. Наиболее общий однопараметрический лагранжиан свободного поля Рариты— Швингера был рассмотрен в работе Молдора и Кейса [7] в 1956 г. if = ^A^Iv

A"v = (р- M)g»v + A(tPy + YW + ^(ЗЛ2 + 2A + 1 )y*pf + М(ЗЛ2 + ЗЛ + 1 )у»у\

Первая серьёзная трудность в описании взаимодействующего поля Рариты— Швингера появилась в работе Джонсона и Сударшана [8] в 1961г. Если для свободного поля Рариты-Швингера включить минимальным образом взаимодействие и вычислить одновременной антикоммутатор, то он окажется знако-неопределённым, т.е. знак зависит от выбора системы отсчёта. Оказалось, что противоречия возникают не только для квантового, но и для классического поля Рариты—Швингера, что было обнаружено в работе Вело и Званзигера [9]. Они рассмотрели уравнения движения поля Рариты—Швингера, взаимодействующего с внешним электромагнитным полем с учётом дополнительных условий. При этом оказалось, что некоторые типы волн могут распространяться со сверхсветовой скоростью. Фактически, они провели более полный анализ уравнений, предложенных Паули и Фирцем.

Другой взгляд на эти проблемы был представлен в работах Орилия, Кобаяши и Такахаши [10] и Кобаяши и Такахаши [11]. В первой работе рассматривалась механическая аналогия для взаимодействующего поля Рариты—Швингера с внешним электромагнитным полем при наличии связей. Было продемонстрировано, что противоречия напрямую связаны с дополнительными условиями на поле. Квантовый вариант этой системы был рассмотрен во второй работе, что привело к пониманию связи между проблемами Джонсона—Сударшана и Вело— Званзигера.

Наличие трудностей теоретического характера диктует продолжение поиска способов согласованного описания взаимодействующего поля Рариты-Швингера. Исследуются как лагранжианы взаимодействия (см. [12, 13]), так и обобщения лагранжиана свободного поля (см. [14, 15]). Согласованность описания в особенности остро встаёт при исследовании калиброиичпых теорий высших спинов (см. например, [16]).

В 1967 г. Мунцек [17] использовал метод Ли—Янга для преодоления трудности Джонсона—Сударшана для взаимодействующего поля Рариты—Швингера. Идея состояла в том, чтобы начать с лагранжиана, r котором компоненты со спином '/2 являются физическими, проделать вычисления до конца и затем устремить массы компонент к бесконечности. После этого одновременной антикоммутатор поля Рариты—Швингера знакоопределён, т.е. проблемы Джонсона—Сударшана не возникает. Похожие идеи развивались также в работе Фу-куямы и Ямамото [18], которая появилась в 1973г. Они приходят к таким же выводами, что и Мунцек, но им удалось также показать, что подобная регуляризация решает и проблему со сверхсветовым распространением волн, т.е. проблему Вело—Званзигера. В этих работах было обнаружено, что компоненты спина '/2 поля Рариты—Швингера квантуются с неправильными знаками, что приводит к появлению нефизических полюсов в амплитуде.

Упомянутые выше работы носят теоретический характер. Кроме того есть большое число работ посвящённых барионной феноменологии, в которых, в той или иной степени, затронуты теоретические вопросы [12, 19-22]. Для феноменологии проблемы, о которых говорилось выше, в меньшей мере существенны, но и здесь согласованного описания не удаётся достичь. При описании рождения резонансов спина-3/2, неизбежно использование некоторых приближений. В частности, вклады спина '/г в пропагаторе отбрасываются, либо в этом секторе не учитывается взаимодействие. Наиболее широко распространённый лагранжиан взаимодействия rcNA имеет вид [19] вз = + ау^Шу + э.с.

Этот лагранжиан взаимодействия тоже порождает теоретические проблемы (см., например, [23, 24]), в частности сверхсветовое распространение волн, (см., по этому поводу [25, 26]).

В диссертационной работе рассматривается взаимодействующее поля Рариты—Швингера. Основным методом исследования является исследование пропа-гатор поля и его разложение по подходящему базису. Это позволяет получить выражения для полного пропагатора поля и перенормировать его, чтобы использовать для описания барионных резонансов. Основное отличие диссертационной работы в использовании пропагатора поля как основного объекта исследования, в решении уравнения Дайсона—Швингера для поля Рариты—Швингера и вычислении полного перенормированного пропагатора.

Диссертационная работа состоит из введения, трёх глав и заключения.

Заключение

В заключении мы постараемся кратко отметить основные моменты проделанной работы и наметить возможные пути развития. Мы рассматриваем взаимодействующее поле Рариты—Швингера и его применение в барионной спектроскопии. В целом можно сказать, что предложенный подход к взаимодействующему полю и описанию барионных резонансов оказался продуктивным. Удалось получить полный пропагатор поля Рариты—Швингера и выяснить его спиновую структуру. Предложенный метод решения позволяет придать ясный физический смысл компонентам поля. Это позволило развить метод перенормировки полного прогпагатора поля Рариты—Швингера.

Разработанный метод решения уравнения Дайсона—Швингера позволяет получить в простой аналитической форме полный пропагатор поля Рариты—Швингера. Важным техническим моментов здесь является использование введённого нами базиса. Рассмотренные аналогии с системами дираковских фермионов позволили придать ясный физический смысл компонентам базиса и выяснить спиновый состав поля Рариты—Швингера. Использование внемассовых проекционных операторов оказалось полезным приёмом во многих других задачах.

Для полученного полного неперенормированного пропагатора поля Рариты— Швингера был предложен способ перенормировки, с помощью которого удалось перенормировать вклад спина 3/2 и сектор спина '/г. Одним из требований перенормировки было отсутствие физических вкладов в секторе спина */2.

При исследовании процедуры перенормировки нам понадобился наиболее общий лагранжиан свободного поля, который был заново выведен с использованием нашего базиса. Полученный нами перенормированный пропагатор зависит от одного произвольного параметра, который существует в секторе спина '/2.

Полученный полный перенормированный пропагатор был применён для описания рождения Д++(1232) в процессе л;+р —* к+р. Оказывается, что он хорошо описывает полное сечение в окрестности резонанса. Если посмотреть на парциальные волны, то волны отвечающие спину 3/г Я33 и D33 хорошо описываются, а волны отвечающие спину '/2 £31 и Р31 качественно соответствуют результатам парциального анализа в этой области. Таким образом, помимо резонанснно-го вклада спина 3/2 наш пропагатор позволяет описать также гладкие фоновые вклады спина '/2.

Возможным путём развития предложенного формализма может быть рассмотрение электромагнитного взаимодействия с участием барионов. Другой вопрос связан с возможным существованием гипотетического мультиплета Рариты— Швингера, т.е мультиплета частиц спинов 3/г и '/2, описывающихся одним квантовым полем.

1. Yao W.-M., et al. Review of particle physics 11 J. Phys. 2006. - Vol. G33. -Pp. 1-1232.

2. Fierz M., Pauli W. On relativistic wave equations for particles of arbitrary spin in an electromagnetic field 11 Proc. Roy. Soc. Lond. — 1939.— Vol. A173. — Pp. 211-232.

3. Rarita W., Schwinger J. On a theory of particles with half-integral spin // Phys. Rev. 1941. - Vol. 60. - Pp. 61-62.

4. Bhabha H. Relativistic wave equations for the elementary particles 11 Rev. of Mod. Phys. 1945. - Vol. 17, no. 2-3. - Pp. 200-216.

5. Harish-Chandra. On relativistic wave equations 11 Phys. Rev.— 1947. — Vol. 71, no. 11.- Pp. 793-805.

6. Bargmann V., Wigner E. P. Group theoretical discussion of relativistic wave equations // Proc. Nat. Acad. Sci. 1948. - Vol. 34. - P. 211.

7. Moldauer P. A., Case К. M. Properties of half-integral spin Dirac-Fierz-Pauli particles // Phys. Rev. 1956. - Vol. 102. - Pp. 279-285.

8. Johnson K., Sudarshan E. C. G. Inconsistency of the local field theory of charged spin 3/2 particles // Annals Phys. 1961. - Vol. 13. - Pp. 126-145.

9. Velo G., Zwanziger D. Propagation and quantization of Rarita-Schwinger waves in an external electromagnetic potential 11 Phys. Rev. — 1969.— Vol. 186.— Pp. 1337-1341.

10. Aurilia A., Kobayashi M., Takahashi Y. Remarks on the constraint structure and the quantization of the Rarita-Schwinger field // Phys. Rev. — 1980.— Vol. D22, no. 6.-Pp. 1368-1374.

11. Kobayashi M., Takahashi Y. The Rarita-Schwinger paradoxes // J. Phys.— 1987,- Vol. A20. — P. 6581.

12. Pascalutsa V., Timmermans R. Field theory of nucleon to higher spin baryon transitions // Phys. Rev. 1999. - Vol. C60. - P. 042201.

13. Kirchbach M., Napsuciale M. High spins beyond Rarita-Schwinger framework. — 2004.

14. Pilling T. Symmetry of massive Rarita-Schwinger fields //Int. J. Mod. Phys. — 2005. Vol. A20.- Pp. 2715-2742.

15. Kaloshin A. E., Lomov V. P., Moiseeva A. M. Generalized lagrangian of the Rarita-Schwinger field. — 2005.

16. Васильев M. А. Калибровочная теория высших спинов // УФН. — 2003. — Т. 173, № 2,- С. 226-232.

17. Munezek Н. New formalism for the quantization of a spin-3/2 field // Phys. Rev. 1967. - Vol. 164, no. 5. - Pp. 1794-1798.

18. Fukuyama Т., Yamamoto K. Theory of interacting spin-3/2 particle // Prog, of Theor. Phys. 1973. - Vol. 49, no. 1. - Pp. 304-314.

19. Nath L. M., Etemadi В., Kimel J. D. Uniqueness of the interaction involving spin 3/2 particles // Phys. Rev. 1971. - Vol. D3. - Pp. 2153-2161.

20. Sierra G. Classical and quantum aspects of fields with secondary constrains // Phys. Rev. 1982. - Vol. D26, no. 10. - Pp. 2730-2744.

21. Benmerrouche M., Davidson R. M., Mukhopadhyay N. C. Problems of describing spin 3/2 baryon resonances in the effective lagrangian theory // Phys. Rev. 1989. - Vol. C39. - Pp. 2339-2348.

22. Pascalutsa V. Quantization of an interacting spin-3/2 field and the 6-isobar // Phys. Rev. 1998. - Vol. D58. - P. 096002.

23. Hagen C. R. New inconsistencies on the quantization of spin-| fields // Phys. Rev. 1971. - Vol. D4, no. 8. - Pp. 2201-2208.

24. Singh L. P. S. Noncausal propagation of classical Rarita-Schwigner waves // Phys. Rev. 1973. - Vol. D7, no. 4. - Pp. 1256-1258.

25. Hagen С. R., Singh L. P. S. Light-cone pathology of theories with noncausal propagation // Phys. Rev. 1983. - Vol. D27, no. 4. - Pp. 837-840.

26. Hagen C. R., Singh L. P. S. Search for consistent interactions of the Rarita-Schwinger field I I Phys. Rev. ~ 1982.- Vol. D26, no. 2.-Pp. 393-398.

27. Kaloshin A. E., Lomov V. P. Propagator of the interacting Rarita-Schwinger field 1/ Mod. Phys. Lett. 2004. - Vol. A19. - Pp. 135-142.

28. Калошин A. E., Ломов В. П. Поле Рариты—Швингера: процедура одевания и спин-чётность компонент // Ядерная физика. — 2006. — Т. 69, № 3. — С. 563-573.

29. П. Л. В. Полный пропагатор поля Рарита—Швингера // Сборник тезисов 9 Всероссийской научной конференции студентов-физиков и молодых учёных / Под ред. А. Арапов; АСФ России. — Т. I. — Екатеринбугр-Красноярск: Изд-во АСФ России, 2003. С. 64-66.

30. Калошин А. Е., Ломов В. П., Моисеева А. М. Наиболее общий вид лагранжиана поля Рариты—Швингера // Труды VIII конференции молодых учёных «Астрофизика и физика околоземного космического пространства» / Под ред.

31. B. И. Куркин; ИСЗФ СО РАН. Иркутск: Изд-во ИЗСФ СО РАН, 2005,1. C. 131-135.

32. П. Л. В. Формула Брейт—Вигнера для фермионов // Труды IX конференции молодых учёных «Физические процессы в космосе и околоземной среде» / Под ред. В. И. Куркин; ИСЗФ СО РАН. Иркутск: Изд-во ИСЗФ СО РАН, 2006. - С. 246-249.

33. Kaloshin A. E., Lomov V. P. Interacting rarita-schwinger field and its spin-parity content // XI Advanced Research Workshop on High Energy Spin Physics / Ed. by A. V. Efremov, S. V. Goloskokov; ОИЯИ. — Дубна: Изд-во ОИЯИ, 2005. Pp. 215-220.

34. Боголюбов Н. И., Ширков Д. В. Введение в теорию квантованных полей. — 4-е изд., испр. изд. — М.: Наука, 1984. — С. 597.

35. Теоретическая физика. Квантовая электродинамика / Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц, Б. В. Б, П. Л. П. — 4-е изд., испр. изд. — М.: Физматлит, 2001.-Т. 4.-С. 720.

36. Maris P., Roberts С. D. Dyson-Schwinger equations: A tool for hadron physics // Int. I. Mod. Phys. 2003. - Vol. E12. - Pp. 297-365.

37. Munczek H. I., McKay D. W. The schwinger-dyson equation in qcd: Comparison of some approximations 11 Phys. Rev.— 1990,— Vol. D42, no. 10.— Pp. 3548-3553.

38. McKay D. W., Munczek H. J. Study of quark propagator solutions to the dyson-schwinger equation in a confining model // Phys. Rev. — 1997. — Vol. D55, no. 4. Pp. 2455-2463.

39. Munczek H. J. Dynamical chiral symmetry breaking, goldstone's theorem and the consistency of the Schwinger-Dyson and Bethe-Salpeter equations // Phys. Rev. 1995. - Vol. D52, no. 8. - Pp. 4736-4740.

40. Korpa C. L. Complete spin structure of the pion-nucleon loop delta self-energy // Heavy Ion Phys. 1997. - Vol. 5. - Pp. 77-84.

41. Almaliev A. N., Kopytin I. V., Shehalev M. A. Fully relativistic approach to the Д-isobar self-energy: A possible application to the nucleon-baryon interaction 11 I Phys. 2002. - Vol. G28. - Pp. 233-239.

42. Pascalutsa V., Scholten O. On the structure of the yNA vertex: Compton scattering in the A(1232) region and below // Nucl. Phys.— 1995.— Vol. A591.- Pp. 658-674.44.van Nieuwenhuizen P. Supergravity // Phys. Rep.— 1981.— Vol. 68.— Pp. 189-398.

43. Pascalutsa V., Phillips D. R. Effective theory of the A(1232) in compton scattering off the nucleon // Phys. Rev. 2003. - Vol. C67. - P. 055202.

44. Pascalutsa V., Phillips D. R. Model-independent effects of A excitation in nucleon spin polarizabilities // Phys. Rev. 2003. - Vol. C68. - P. 055205.

45. Korpa C. L., Dieperink A. E. L. Covariant propagator of the Rarita-Schwinger field in nuclear medium // Phys. Rev. 2004. - Vol. C70. - P. 015207.

46. Базъ А. И., Зельдович Я. Б., Переломов А. М. Рассеяние, реакции и распады в нерелятивистской квантовой механике. — изд. 2-е, перераб. изд. — М.: Наука, 1971.-С. 544.

47. Kirchbach М., Ahluwalia D. V. A critique on the supplementary conditions of Rarita-Schwinger framework. — 2001.

48. Kirchbach M., Ahluwalia D. V. Space-time structure of massive gravitino 11 Phys. Lett. 2002. - Vol. B529. - Pp. 124-131.

49. Бьёркен Д. Д., Дрелл С. Д. Релятивистская квантовая механика. — М.: Наука, 1978. -Т. 1. С. 296. - Пер. с англ.

50. Williams И. Т. Misconceptions regarding spin § 11 Phys. Rev. — 1985.— Vol. C31, no. 6.- Pp. 2297-2299.

51. Nagels M. M., et al. Compilation of coupling constants and low-energy parameters 11 Nucl. Phys. 1979. - Vol. В147. - P. 189.

52. Cutkosky R. E., et al. Pion-nucleon partial-wave amplitudes // Phys. Rev. — 1979. Vol. D20, no. 11. - Pp. 2804-2838.

53. Cutkosky R. E., et al. Pion-nucleon partial-wave analysis 11 Phys. Rev. — 1979. Vol. D20, no. 11. - Pp. 2839-2853.

54. Castro G. L., Mariano A. Determination of the A++ magnetic dipole moment 11 Phys. Lett. 2001. - Vol. B517. - Pp. 339-344.

55. Castro G. L., Mariano A. Elastic and radiative Ji+p scattering and properties of the A++ resonance // Nucl. Phys. 2002. - Vol. A697. - Pp. 440-468.

56. Alvarez-Ruso L., et al. Pion-induced double-charge exchange reactions in the 6 resonance region // Phys. Rev. 2006. - Vol. C74. - P. 044610.

57. Arndt R. A., et al. Dispersion relation constrained partial wave analysis of rcN elastic and utN —> riN scattering data: The baryon spectrum // Phys. Rev. — 2004,- Vol. C69. — P. 035213.

58. Arndt R. A., et al. Extended partial-wave analysis of jtN scattering data 11 Phys. Rev. 2006. - Vol. C74. - P. 045205.

59. Anisovich A. V., et al. Partial wave decomposition of pion and photoproduction amplitudes // Eur. Phys. J. 2005. - Vol. A24. - Pp. 111-128.

60. Pedroni E., et al. A study of charge independence and symmetry from jt+ and лг total cross-sections on hydrogen and deuterium near the 3,3 resonance // Nucl. Phys. 1978. - Vol. A300. - Pp. 321-347.

61. Ширков Д. В., Серебряков В. В., Мещеряков В. А. Дисперсионные теории сильных взаимодействий при низких энергиях. — М.: Наука, 1967. — С. 324.

62. Hohler G. Pion-nucleon scattering, Landoldt-Bornstein vol. // TKP. — 1983. — Vol. I/9b2. — P. 31.

63. Breit G., Wigtier E. P. Capture of slow neutrons // Phys. Rev.— 1936.— Vol. 49,- Pp. 519-531.

64. Peccei R. Chiral lagrangian calculation of pion-nucleon scattering lengths 11 Phys. Rev. 1968. - Vol. 176, no. 5. - Pp. 1812-1821.

65. Sirlin A. Theoretical considerations concerning the Z0 mass // Phys. Rev. Lett. 1991. - Vol. 67. - Pp. 2127-2130.

66. Passera M., Sirlin A. Radiative corrections to W and quark propagators in the resonance region // Phys. Rev. 1998. - Vol. D58. - P. 113010.

67. Газиорович С. Физика элементарных частиц. — Пер. с англ. изд. — М.: Наука, 1969,- С. 742.

68. Бьёркен Д. Д., Дрелл С. Д. Релятивистская квантовая теория. — М.: Наука, 1978. Т. 2. - С. 407. - Пер. с англ.

69. Нелипа Н. Ф. Введение в теорию сильновзаимодействующих элементарных частиц. — М.: Атомиздат, 1970. — С. 488.

70. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теоретическая физика. Квантовая механика. Нерелятивистская теория. — 4-е изд., испр. изд. — М.: Наука, 1989. — Т. 3. — С. 765.

71. Никифоров А. Ф., Уваров В. Б. Специальные функции математической физики. — 2-е изд., перераб. и доп. изд. — М.: Наука, 1984. — С. 344.