Задача Дирихле на двумерных стратифицированных множествах тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

На правах рукописи

Ковалева Лидия Александровна

ЗАДАЧА ДИРИХЛЕ НА ДВУМЕРНЫХ СТРАТИФИЦИРОВАННЫХ

МНОЖЕСТВАХ

01.01.02 - Дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Белгород - 2014

12 МАП 2014

005549360

Работа выполнена в Федеральном государственном автономном образовательном учреждении высшего профессионального образования «Белгородский государственный национальный исследовательский университет».

Научный руководитель:

Солдатов Александр Павлович, доктор физико-математических наук, профессор, Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Белгородский государственный национальный исследовательский университет», заведующий кафедрой математического анализа.

Официальные оппоненты:

Кожанов Александр Иванович, доктор физико-математических наук, профессор, Федеральное государственное бюджетное учреждение науки Институт математики им. С.Л. Соболева Сибирского отделения Российской академии наук, главный научный сотрудник лаборатории дифференциальных и разностных уравнений.

Жура Николай Андреевич, кандидат физико-математических наук, Федеральное государственное бюджетное учреждение науки Физический институт им.П.Н. Лебедева Российской академии наук, старший научный сотрудник сектора теоретической радиофизики.

Ведущая организация:

Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Южный федеральный университет», факультет математики, механики и компьютерных наук.

Защита состоится 20 июня 2014 г. в 16 часов 00 минут на заседании диссертационного совета Д 212.015.08 при Федеральном государственном автономном образовательном учреждении высшего профессионального образования «Белго-"' родский государственный национальный исследовательский университет» по адресу: 308007, г. Белгород, ул. Студенческая 14, ауд. 407.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке ФГАОУ ВПО «Белгородский государственный национальный исследовательский университет» и на сайте www.bsu.edu.ru.

Автореферат разослан Ученый секретарь дисо

Гриценко С.А.

Общая характеристика работы.

Актуальность темы. Уравнения на стратифицированных множествах моделируют целый ряд физических процессов таких как, например, диффузия в сильно неоднородных средах или средах со сложным геометрическим устройством, малые перемещения точек механических систем, составленных из упругих континуумов (мембран, струн и т.п.) разных размерностей.

К настоящему времени достаточно развитая теория дифференциальных уравнений на стратифицированных множествах имеется только в одномерном случае, на так называемых графах. Прогресс в этом направлении обеспечен работами Ю.В. Покорного, G.Lumer'a, S.Nicaise, J.von Belov и др. Успехи теории уравнений на произвольных стратифицированных множествах значительно скромнее, хотя первая из известных работ, которую можно отнести к этой тематике, опубликована Р. Курантом еще в 1926г. В ней он изучает колебания мембраны, к которой прикреплена струна. В конце 60-х годов М. Шехтер рассматривает задачу о трансмиссии, которую также можно отнести к данной тематике. В 90-е годы появляются эпизодические работы G. Lumer'a, а позднее работы S.Nicase и J.von Belov. Однако, состояние этой области к настоящему моменту далеко от того, чтобы говорить о сложившейся теории уравнений на стратифицированных множествах. Например, вопрос о классической разрешимости задачи Дирихле в общей постановке не решен. Имеется только достаточно общий результат, принадлежащий A.A. Гаврилову и О.М. Пенкину о слабой разрешимости задачи Дирихле для эллиптических уравнений на стратифицированных множествах. Классическая разрешимость была доказана в работах О.М. Пенкина и S.Nicase при некоторых ограничениях на геометрическую структуру множества. В частности, в работах Ковалевой Л.А. была доказана разрешимость модифицированной задачи Бицадзе - Самарского на двумерном стратифицированном множестве. Таким образом, постановка краевых задач для эллиптических уравнений на стратифицированных множествах размерности больше единицы и разработка техники доказательства их разрешимости представляется весьма актуальной.

Целью данной работы является доказательство разрешимости задачи Дирихле на двумерных стратифицированных множествах в весовых пространствах. Выявление степенно-логарифмической асимптотики решения задачи вблизи вершин комплекса.

Методы исследования. В работе использованы методы теории аналитических функций и функционального анализа, а также методы линейной алгебры.

Научная новизна. Результаты, полученные в диссертации являются новыми.

Среди наиболее важных отметим следующие:

1) Доказана фредгольмова разрешимость задачи Дирихле на двумерном комплексе в пространствах Гельдера с весом.

2) Найдена формула индекса для задачи Дирихле на двумерном комплексе в весовых пространствах с положительными и отрицательными весам.

3) Получена степенно-логарифмическая асимптотика решения вблизи вершин комплекса.

4) Установлен характер зависимости гладкости решения от данных Дирихле.

Теоретическая и практическая значимость. Работа носит теоретический

характер. Результаты могут быть использованы для дальнейшего развития теории эллиптических уравнений на стратифицированных множествах.

Апробация работы. Результаты диссертационной работы докладывались автором и обсуждались на научных семинарах под руководством А.П. Солдатова и A.M. Мейрманова при ФГАОУ ВПО «Белгородский государственный университет» (2008-2013гг.), на Воронежских зимних и весенних школах «Современные методы в теории краевых задач» и «Понтрягинские чтения» (Воронеж 2004, 2008), на международной конференции им. И.Г. Петровского (МГУ 2004), на международной конференции "Нелокальные краевые задачи и родственные проблемы математической биологии, информатики и физики"( Нальчик, 2010), на международной конференции «Дифференциальные уравнения и их приложения» (Белгород 2013).

Публикации. Основные результаты опубликованы в работах [1]-[12]. Из них первые 5 опубликованы в рецензируемых журналах.

В совместных работах постановка и идея доказательства принадлежит научному руководителю А.П. Солдатову.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы, содержащего G2 наименования. Общий объем диссертации - 114 страниц.

Автор выражает глубокую признательность и благодарность научному руководителю профессору А.П. Солдатову за постановку задачи, ценные советы, постоянное внимание к работе и поддержку.

Краткое содержание диссертации

Во введение обосновывается актуальность темы исследований, представленных в диссертации, обозначена цель работы, описывается ее структура, формулируется постановка задачи, излагается краткое содержание основных результатов.

В работе рассматриваются двумерные стратифицированные множества, которые для простоты предполагаются двумерными комплексами. По определению комплекс К С И3 представляет собой объединение конечного числа выпуклых плоских многоугольников, которые попарно могут пересекаться лишь по своим вершинам, либо сторонам.

Все многоугольники М названы гранями комплекса, а отрезки Ь, являющиеся стороной одной или нескольких граней - ребрами. Вершины т этих многоугольников составляют вершины комплекса. Соответствующие множества граней, ребер и вершин обозначены как Л4, £ и а число их элементов - тп, I и п. Таким образом,

где в правой части равенств М и Ь рассматриваются как подмножества М3.

Пусть ЛЛТ и £т означают множества всех, соответственно, граней и ребер, имеющих т своей вершиной. Аналогичный смысл имеет множество М1 граней, имеющих своей стороной ребро Ь, и множество См, составленное из сторон грани М. Число элементов этих множеств обозначено, соответственно, тт, 1Т и тьЛы-, число тпь названо также кратностью ребра Ь. Ребра кратности 1 относятся к сторонам комплекса К.

Множество всех ребер £ разбивается на два непересекающихся подмножества. Первое обозначено £(.0), в дальнейшем стороны этого множества будут служить носителями данных задачи Дирихле. В противоположность этому, во внутренних точках ребер Ь £ С \ С(Б) будет введено понятие гармоничности, поэтому множество С \ £(£>) обозначено С(Н). Далее, Р(Б) означает множество всех вершин, которые являются концом по крайней мере одной стороны Ь 6 £(£*), и Р(Н) = Р \ Р(Б). Объединение элементов множеств £(£>) и £(#), как отрезков, обозначено К1 (£>) и КХ(Н). Символом К (Б) обозначена совокупность внутренностей граней М € М и ребер Ь € С(Н), т.е К = К\(Р и К1 {Б)).

Непрерывная функция и на К(О) называется гармоничной, если гармоничны все ее сужения на грани и для каждого ребра Ь € С{Н) выполняется соотношение

К = и мемМ, К1 = и ЬеСЬ,

(1)

где 1>м означает внутреннюю единичную нормаль области М на Ь.

Задача Дирихле (задача И) заключается в отыскании гармонической на К(О) функции и 6 С (К \ .Р) по краевому условию

и\к\0) — /'

(3)

где функция / е С[Кг{0) \ F{D)} задана.

В первом параграфе первой главы отмечено, что в определение гармоничности (2) функции ыд/ предполагаются непрерывно дифференцируемыми вплоть до внутренних точек граничного отрезка L.

Это условие можно ослабить, путем введения сопряженных к им гармонических функций vm по отношению к некоторой декартовой системе координат на грани М. Тогда равенство (2) запишется в виде

У] vm\l = const, (4)

MeML

где декартова система координат выбрана в плоскости М так, что в условии Коши - Римана реализуется положительный знак.

Далее, рассматриваются весовые пространства Гельдера, в которых ищется решение задачи D. Исходя из семейства вещественных чисел Л = (Хт,т € F), вводится весовая функция

рЛ(а;) = П|х-т|Ч

TSF

Тогда пространство Сд = F) состоит из всех функций tp вида

ip = рх—^тр, ф 6 С"(К), ф\р = О,

где под весовым порядком А — ц, понимается семейство \т — ц, т е F.

С возрастанием ц и А семейство пространств Сд монотонно убывает в смысле вложений:

СГСС£, С^сс?, £ > о.

В частности, можно ввести классы

^А+0 = иг>оСл+£, CU = П£>оСд_Е,

при А = 0 их обозначаем кратко С£0. Очевидно, функции <р е Cl0(K,F) удовлетворяют условию Гельдера на всем множестве К с некоторым показателем и обращаются в нуль в точках т £ F, а класс С^0(К, F) состоит из всех функций, которые после умножения на весовую функцию р£ с любым е > 0 принадлежат В этом смысле данные функции в точках т G F допускают особенности логарифмического характера.

Пространство кусочно непрерывных функций <р на К, для которых сужения <Рм = Ил/ принадлежат Сд (А/, F П М), для всех М G Л4, обозначено символом C»(K,F).

Весовое пространство Сд'д(/£Т, Р) дифференцируемых функций <р определяется условиями

<реС£(К,Р), <р'сС^К^), где Iр' означает вектор - градиент, определяемый на М соотношением

по отношению к некоторой декартовой системе координат в плоскости М.

Лемма 1. Пространства С(К\Р)ПС%(К, Р) и F) совпадают, причем

соответствующие нормы эквивалентны.

Лемма 2. Пусть гармоническая функция и на К{Ц) принадлежит классу Р), ХТ ф 0 в фиксированной точке т £ Р и р > 0 выбрано столь малым, что остальные вершины из F лежат вне шара ВТ = {|х — т| < р). Тогда для любой грани М € Л4Т сопряженная к им гармоническая функция Ущ с точностью до аддитивной постоянной также принадлежит (М П ВТ,т).

Во втором параграфе, рассматривается концевой символ, представляющий собой семейство матриц Т^тСС) = (Ут + 1т)(£), ( € С порядка 2тт, где первая матрица постоянна, а вторая аналитична во всей плоскости.

Матрицы 11т, V? можно выписать явно. Для этого множество {1,..., 2тпт} разбивается на шт пар Рт,м, М € Мт, и вводится отображение г данного множества на £т, считая что для Рт,м = {г,ребра Ьти Ьт^ являются сторонами грани М. В этих обозначениях матрица Ут определяется элементами

у^ о 4 е":' и

I и в противном случае,

где 0Т<&[ есть угол грани М при вершине т. А матрица 11т элементами

'1-2/тщ, 1=з,ЬтЛ=ЬеС{Н),

итг=\ 1 г = з, ЬтЛ е С{0), 3 -2/т£, г ф = = Ь,

О в противном случае.

Очевидно, матрица Ут блочио - диагональна относительно разбиения Рт множества номеров {1,...,2тг} на пары Рт.м, а матрица 1/т обладает аналогичным свойством по отношению к разбиению на подмножества = {г, Ьт^ = Ь}, ЬеСт.

Лемма 3. При каждом т имеют место соотношения

и2Т= 1, ¿еШт = (-1)^н1

Здесь 1Т{Н) - число ребер Ь € С(Н), имеющих своим концом вершину т. Вводится в рассмотрение скалярная мероморфная функция

= 6еЬ[Цт + Ут(р] = det^т(C) <1<*[1 + ВД] с!е1;И?(С)'

которая при фиксированном вещественном А и £ —> ±оо имеет ненулевые пределы. В каждой полосе А' < Не£ < А" аналитическая функция detИ/r(£) имеет конечное число нулей, так что проекция множества этих нулей на действительную ось представляет собой дискретное множество Дт. Поэтому вне этого множества вводится кусочно постоянная возрастающая функция Хт по условиям

х.(-о) = ¿шмо|=Я» х.(Л") -х.(Л') = £д,<ЯеС<д„*г(0,

где е > 0 выбрано столь малым, что Т^^т-СС) Ф 0 при — е < 11еС < 0, и 5т(Со) есть порядок нуля функции detИ/7-(£) в точке С = Со (при detИ/т(Co) ^ О полагается вт-(Со) = 0). В следующей лемме функция Хт(—0) выражается явно через тт и

Лемма 4. Имеет место равенство

Хг(-О) = (тТ - 8т)/2, где = £КеС=0 ^(С)

есть нулей функции (1е1; на прямой Ие^ = 0; взятое с учетом их кратно-

сти. При этом разность тТ — вт имеет одну и ту же четность с 1Т{Н), так что сумма Хт является целочисленной функцией.

Полагая тр = ^,тергпт, вводятся в рассмотрение такие блочно - диагональные 2тпр х 2тпр— матрицы II и V, что семейство их диагональных блоков совпадают с матрицами, соответственно, ит и Ут, т е С этой целью 2т р элементов (Т,з), 1 < .7 < 2тт, те^, нумеруются единым образом от 1 до 2гпр с помощью биекции

а: {{т,]),1<]<2тпТ)теР}^{1,...,2тр}. (7)

Пусть ЕТ есть образ множества {(г1 < ^ < 2тпт} при этом отображении, так что семейство Ьт1 < j < 2тт запишется в виде Ьк, к € Ет. Очевидно, для множества Ет имеем два разбиения на подмножества а(Рт.м), М € Л4Т, и

а(Сгг,ь) Ь е Ст.

Рассматриваются матрицы и и V, которые блочно диагональны относительно разбиения Е = (Ет) и Ет— диагональный блок которых, совпадает с матрицами, соответственно, {7Т и Ут, записанными в нумерации (7). В явном виде формулы

(5) и (6) переходят для этих матриц в, соответственно,

ик т =

(1 - 2/ть), к = г, -2/ть, к^г,

к, г £ а{С}Т.1), ть > 1,

икк =

{Л} = а(С2Т.ь)

икт = 0 в остальных случаях,

и

14г = 0 в остальных случаях.

Кроме того, матрицы и и V можно описать, не прибегая к разбиению а(<Эг). С этой целью, рассматривается разбиение множества {1,... на подмножества Рм, М е М, таких, что число элементов Рм равно 1М. Тогда множество См сторон, составляющих границу дМ, нумеруется в виде Ь\ г £ Рм. И разбиение (3 множества {1,..., тпр} на подмножества <2^ = {г, 1} = Ь}, Ь £ С.

В третьем параграфе первой главы исходная задача Б формулируется по отношению к семейству сужений им = и\и, гармонических внутри М £ М. Пусть (и^,..., - вектор граничных значений, где компоненты и+ = имг е Рм » Яь = {г'ь ■ • ■ 5 гть}. Тогда условие непрерывности и на ребре записывается следующим образом:

Соотношение (4) на отрезках Ь £ £(Я) рассматривается как краевое условие для семейства функций им, М £ М. На каждом многоугольнике вводится единым образом декартова система координат с помощью ориентации контуров дМ, М £ М. Затем, каждый отрезок Ь £ С ориентируется определенным образом. Связь между введенными ориентациями осуществляет вектор а = (сгь ..., сгтр), ст* = ±1. Причем, СТ{ = 1, если ориентации совпадают и о* = —1, в противном случае. Тогда (4) переходит в

1 < к < ть - 1, Ь £ ЦН),

краевое условие (3) примет вид

< = 1\ь„ V £ £(£>).

с некоторыми постоянными с/, € К.

Полученные краевые условия задачи Б записываются единым образом для кусочно - аналитической функции ф = и + ю с помощью параметризации 7® : [0; 1] —» Ь\ 1 < г < тр, согласованной с ориентацией отрезков Ь1. С помощью этих параметризаций граничные значения ф+ "сносятся" с Ьг на отрезок [0,1], т.е вводится тр—вектор с координатами

= <№'№], о< 1.

Затем, рассматривается матрица А с элементами 1, г = = и, & < ть,

Ац —

-1, г = гк, к < ть,3 = 4+1, аа, г = гтъ,] =гг, 1 < г < т£, 0, в остальных случаях,

г,3 е <5л, т£ > 1,

-И1- м-"-

[ а 1, I, е £(Я),

Лу =0 в остальных случаях,

где I € С означает мнимую единицу.

Все выше перечисленные краевые условия с помощью матрицы А переписываются в форме

В.еАф'! = / + с£е£,

7 -1 ЬеЦН)

где тпр— векторы / и е^ определяются по формулам

/(*) = / е е£ = / * = € ть >

! 1 0, в остальных случаях, 1 0, в остальных случаях.

Эта задача относится к типу так называемой общей задачи Римана, изученной в работах А.П. Солдатова.

Завершает первую главу четвертый параграф посвященный вопросу о фред-гольмовой разрешимости задачи Дирихле в классе СХ(К, F) и гладкости решения.

Теорема 1. Пусть А < 0 и

с^ \УТ( С) ф 0, 11е С = А т, те Г. (8)

Тогда задача Б фредгольмова в пространстве СХ(К,Р), причем кег.0 С СХ+0(К, .Р), сокег£> С С^х_1+0[К1(О), -Р(1))]. При этом любое решение и £ СХ(К,Р) задачи с правой частью / е С1х'1'[К1(0),Р(0)] принадлежит аналогичному классу Сд'^(К, Р).

Доказательство теоремы основано на применении известных результатов для нелокальной задачи Римана к рассматриваемой задаче Дирихле.

В первом параграфе второй главы при определенных условиях на рассматриваемый комплекс К получена формула индекса. Пусть множество М(Б) состоит из граней, по крайней мере одна сторона которой принадлежит £(£>). Рассматривается более широкое множество М1 граней М, от которых можно перейти к некоторой грани М0 € М{В) по последовательности граней, которые попарно граничат по ребрам кратности 2. Таким образом, М1 содержит М{Б) и некоторое подмножество М(Н). Совокупность отрезков, являющихся сторонами одной или несколько граней из М1, обозначено С1. Тогда справедлива следующая теорема.

Теорема 2. Пусть каждая грань М комплекса К принадлежит либо М1, либо все ее стороны, являющиеся ребрами кратности больше принадлежат С1 и образуют связное подмножество дМ. Тогда в условиях теоремы 1 индекс задачи Дирихле дается формулой

где /(#) -число элементов множества С(Н)

Во втором параграфе второй главы рассматривается вопрос об асимптотике решения вблизи вершин комплекса К. Пусть р > 0 выбрано столь малым, что шары Вт = {|х — т| < р} попарно не пересекаются.

Теорема 3. Пусть функция / е С^К^И), на каждом отрезке ЬГ\ВТ,

Ь б Ст П £(£>), представима в виде

/(у) = Ые \рь(1п |у - Т|)] + /о(у), /о € П ВТ, т),

с некоторыми многочленами рь. Тогда в предположении

ЛеС = О, С, О,

любое решение и <= С\{К, Г) с правой частью f в секторах М П ВТ, М е Мт представимо в виде

и(х) = Щ» [рЛ/(1п(х - г))] + щ(х), щ е С£0(М П ВТ, т),

с некоторыми многочленами рм, степени которых подчиняются оценке

^ёРм <гТ + тах(0, в), й = тах (1ек»£.

£е£гп£(£>)

Здесь 1п(ж - т) = 1п \х - т| + г - г), где аргумент понимается по отношению к локальной декартовой системе координат сектора М П Вт, а гт - число полюсов

"ГЧО-

и

В случае т £ F(D) оценки для степеней многочленов рм можно улучшить.

Теорема 4. Пусть в условиях теоремы 3 каждая связная компонента (К П ВТ) \ т имеет непустое пересечение с Kl(D). Тогда оценку в предыдущей теореме можно заменить на

deg Рм<гТ+ max deg pL.

LaCrr\C(D)

В частности, если rT < 1 и функция f £ C^0(Kl(D) П Вт,т), то и € С^0(К П ВТ,т).

До сих пор весовой порядок А был отрицательным. В третьем параграфе второй главы рассматривается задача в пространстве Сд, где для некоторого подмножества вершин Fo С F весовой порядок удовлетворяет условиям

О < Ar < 1, т £ F0; \т < 0, т £ F \ F0. (9)

Вводится расширение класса Сд, а именно, класс F) всех непрерывных

на K\F функций ip, которые принадлежат С вне любой окрестности множества F, а в пересечении К с шаром Вт = {|:с — т\ < р} с центром т £ F, где р > О достаточно мало, удовлетворяют условию и(х)—и(т) £ Сд (КПВТ, т) при т £ Fo и и(х) £ Сд (КГ\ВТ, т) при т ф Fq. Аналогично вводятся пространства F)

и C\*{K\D),F(D)).

Теорема 5. В условиях (8), (9) для задачи D в пространстве C^(K,F) справедливы все утверждения теоремы 1. Если дополнительно весовой порядок А < 1/2 и выполнены условия теорелш 2, то индекс задачи дается формулой

ае(£>) = 1\Н) - l°(H) + EreFo^ ~ Т,теРхЛК),

где 1°(Н) ( ^(Н)) есть число ребер L £ С(Н), оба концы которых принадлежат (не принадлежат) Fq.

Пусть множество вершин Fq = F, т.е. для всех т весовой порядок Ат положителен.

Теорема 6. Пусть 0 < А < 1 и выполнено условие (8). Тогда задача Дирихле фредгольмова в пространстве F), причем любое ее решение с правой ча-

стью / £ Cl^(Kl{D),F(D)) принадлежит F). Пространство решений

однородной задачи состоит из кусочно постоянных функций, обращающихся в нуль на гранях М £ Лi{D). Если дополнительно А < 1/2 и выполнены условия теорелш 2, то индекс задачи дается формулой

аэ(А) = mF + п{Н) - 1(H) - ^2т€рХт(К),

где п(Н) есть число элементов Р(Н).

Третья глава носит иллюстративный характер, она посвящена постановке и доказательству разрешимости задачи Б на конкретных комплексах.

В первом параграфе рассматриваются локальные характеристики в точке т, являющейся вершиной одного, двух и трех многоугольников. Выписывается матрица концевого символа, описывается дискретное множество Дт С К, целочисленные характеристики 5Г(£) и т>(£), определяющие порядки нулей с^ И/Т(£) и полюсов а также предельное значение в точке Л = 0 кусочно посто-

янной функции Хт-

В последующих параграфах рассматривается задача Б на комплексах, вершины которого, соответствуют рассмотренным ситуациям. Заметим, что все комплексы удовлетворяют условиям теорем 2, 5, следовательно можно выписать соответствующие формулы индекса задачи Дирихле. Для всех комплексов выберем 5 > 0 столь малым, что

с^ \¥Т(С) ^ О при 0 < | ИеС| < 6, т 6 К (10)

Величины аз_о и ае(+о) означают индексы задачи в пространствах, соответственно, С^К^ъС^К,!?)

Во втором параграфе рассматриваются двумерные комплексы К¿, 1 < г < 9, изображенные на рисунке ниже. Комплексы К\, Кз, получены из тетраэдра выбрасыванием одной грани тхтгтз, а остальные комплексы, выбрасыванием граней Т1Т2Т3 и Т0Т2Т3. На рисунке жирным шрифтом выделены стороны с данными Дирихле.

Теорема 7. Пусть выполнено (10) Тогда задача О фредголъмова в пространствах и и для комплексов К = К,, 1 < г < 9, соответ-

ствующие индексы принимают следующие значения

( 1, к = ки к2, к4, к&,

ае-о = < О, К = Къ, К6, К7, { 2, К = К3, К9.

а ае(+0) = 0 для всех комплексов. Если / £ Рр), то любое решение

и £ Р) с правой частью / в окрестности точек т £ Рн представимо в

виде

и(х) = а + ЬЪ.\х - т\ + с- т)+и0{х), и0(х) £ С£0(МП Вт,т), а в окрестности точек т £ Р0 принадлежит С+0(К П ВТ,т).

/ /

г.

7

/ /

г.

/

Комплекс

х / /

т.

/

%ОМПЛ£}{С %2 %

Комплекс

/ /

г.

1%

/

т/

я; Т,

/

к /: /

г.

/

т, т. "Комплекс К,

т;

т-/ /т т:

т у

Комплекс

Комплекс

Комплекс %_7

Комплекс

Для двумерных комплексов = 1, ..8, полученных из куба рассматривается задача В. Комплекс К\ получен выбрасыванием из куба грани — т4, комплексы К2, Кв, К7: К& - граней тг — т4 и т[ — т'А, а комплексы К3, К4, К5 выбрасыванием грани т[ —т'А. Во всех примерах на рисунке жирным шрифтом выделены стороны с данными Дирихле.

Теорема 8. Пусть выполнено (10). Тогда задача В фредгольмова в пространствах С^5(К,Р) и С^ (А", F) и для комплексов К = К^, 1 < г < 8, соответствующие индексы принимают следующие значения

' 4, К = Кг, К3, К6, О, К = К2, ае_0 = 2, К = К7, К8, 5, К = К4, К = Къ

и ае(+о) = 0 для всех рассматриваемых комплексов. Если / £ С+0(.Кд, Рц), то любое решение и £ С^_6{К,Р) с правой частью / в окрестности точек т £ Рн

представимо в виде

и(х) = а + Ь\п\х - т\ +са.щ(х - т) + и0(х), и0(х) е С%(М П Вт, г),

а в окрестности точек т 6 FD принадлежит С^0(К П ВТ,т).

Завершает третью главу, третий параграф, в котором рассматривается задача Б, заданная на комплексе К. Он состоит из семейства равных между собой треугольников Мя, 1 < в < тг, которые пересекаются только по одной стороне т°тх. Данные Дирихле заданы на сторонах с вершиной т°.

Теорема 9. Пусть выполнено условие (10). Тогда задача Б фредгольмова в -Р1) и .Г), и индексы в соответствующих пространствах имеют

следующие значения ае_о = 1 и аЭ(+о) = 0.

Если / € С£0(КЬ,Ео), то любое решение и 6 с правой частью f

в окрестности точек т е Рн представимо в виде

и{х) = а + Ып\х - т\ + сА(х - т) + и0(х), и0(х) еС^.т), а в окрестности точек т € Е0 принадлежит С+0(КТ,т).

Публикации автора по теме диссертации.

[1] Ковалева Л.А., Разрешимость задачи Дирихле на стратифицированном множестве / Ковалева Л.А. // Научные ведомости БелГУ, 2013, с 22-35.

[2] Ковалева, Л.А. Об одной нелокальной задаче теории функций / Л.А. Ковалева, А.П. Солдатов // Дифференц. уравнения. - 2010. - Т.46. - №3. - С.396-409.

[3] Ковалева Л.А.: Гармонические функции в двумерных стратифицированных областях с кусочно - гладкой границей / Ковалева Л.А., А.П.Солдатов // Научные ведомости БелГУ, 2010, 17(88), 73 - 78.

[4] Ковалева, Л.А.: О модифицированной задаче Бицадзе-С амарского / Л.А. Ковалева // Вестн. Самар. гос. техн. ун-та. Сер.: "Физ.-мат. науки 2007. -Вып. 1(14). - С.10-15.

[5] Ковалева, Л.А.: Об одной задаче теории функций / Л.А. Ковалева, А.П. Солдатов// Доклады АМАН. - 2007. - Т.9. - №2. - С.30-38.

[6] Ковалева Л.А.: Задача Дирихле на двумерных стратифицированных множествах / Л.А. Ковалева, А.П. Солдатов // Материалы междунар. конференц. "Дифференциальные уравнения и их приложения "г. Белгород, 2013г, с 92-93.

[7] Ковалева Л.А.: Гармонические функции на двумерных стратифицированных множествах/ Ковалева Л.А.// матер. Российско-Болгарского симпоз. "Уравнения смешанного типа и родственные проблемы анализа и информатики 25-30 июня 2010.

[8] Ковалева, Л.А.: Краевые задачи для гармонических функций с обобщенными контактными условиями / Л.А. Ковалева, А.П. Солдатов // "Понтрягинские чтения - 10" , 12 Воронежская весенняя математическая школа "Современные методы теории краевых задач Воронеж, тез. 2008 г.

[9] Самойлова, Л.А.(Ковалева): Об одной краевой задаче типа Бицадзе-Самарского /Л.А. Самойлова// Деп. в ВИНИТИ 29.05.06, №712-В2006.-2006.-13с.

[10] Самойлова, Л.А.(Ковалева) Об одной нелокальной краевой задаче / Л.А. Самойлова// Науч. ведом. БелГУ. - Вып.12. - №6(26). - 2006. - С.37-44.

[11] Самойлова, Л.А.(Ковалева) О модифицированной задаче Бицадзе-Самарского / Л.А. Самойлова // Современные методы в теории краевых задач: "Понтрягинские чтения-ХУ" :тез. докл. материалов ВВМШ. - Воронеж, 2004. -С.197-198.

[12] Самойлова, Л.А. (Ковалева)Об одной нелокальной краевой задаче / Л.А. Самойлова, С.В. Беседина, О.М. Пенкин // Международн. конференц. "Диффе-ренциальные уравнения и смежные вопросы" : тез.докл. - М., 2004. -С.27.

Подписано в печать 18.04.2014. Формат 60x84/16. Усл. п. л. 1,0. Тираж 100 экз. Заказ 106. Оригинал-макет тиражирован в ИД «Белгород» НИУ «БелГУ» 308015, г. Белгород, ул. Победы, 85

Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования "Белгородский государственный национальный исследовательский

университет" 04201456729

На правах рукописи

Ковалева Лидия Александровна

ЗАДАЧА ДИРИХЛЕ НА ДВУМЕРНЫХ СТРАТИФИЦИРОВАННЫХ

МНОЖЕСТВАХ

01.01.02 - Диффереициальиые уравнения, динамические системы и

оптимальное управление

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель -доктор физико-математических наук, профессор А.П.Солдатов

Белгород - 2014

Оглавление

Введение 4

1 Фредгольмова разрешимость задачи Дирихле в весовом классе Сд 28

1.1 Постановка задачи............................................28

1.2 Концевой символ задачи ....................................36

1.3 Редукция задачи Дирихле к нелокальной краевой задаче Римана ....................................................47

1.4 Фредгольмова разрешимость задачи Дирихле в классе ..............................................................52

2 Теоремы об индексе задачи и асимптотике решений 60

2.1 Формула индекса для задачи Дирихле..................60

2.2 Теорема об асимптотике......................................67

2.3 Разрешимость задачи Дирихле в пространстве С^ . 74

3 Решение задачи Дирихле на различных двумерных стратифицированных множествах 82

3.1 Локальные характеристики в вершинах комплекса . 82

3.2 Задача Дирихле на тетраэдре и кубе ....................95

3.3 Задача Дирихле на «книжке» Литература

Введение

Уравнения на стратифицированных множествах моделируют целый ряд физических процессов таких как, например, диффузия в сильно неоднородных средах или средах со сложным геометрическим устройством, малые перемещения точек механических систем, составленных из упругих континуумов (мембран, струи и т.п.) разных размерностей.

К настоящему времени достаточно развитая теория дифференциальных уравнений па стратифицированных множествах имеется только в одномерном случае, на так называемых графах. Прогресс в этом направлении обеспечен работами Ю.В. Покорного, С.Ьитег'а, 8.№са1бе, Л.уоп Ве1оу и др. [53] - [58]. Успехи теории уравнений на произвольных стратифицированных множествах значительно скромнее, хотя первая из известных работ, которую можно отнести к этой тематике, опубликована Р. Курантом еще в 1926г. В ней он изучает колебания мембраны, к которой прикреплена струна. В конце 60-х годов М. Шехтер рассматривает задачу о трансмиссии, которую также можно отнести к данной тематике. В 90-е годы появляются эпизодические работы С. Ьитег'а [55], а позднее работы Б.Мсазе [58], и Л.уоп Ве1оу [54]. Однако, состояние этой области к настоящему моменту далеко от того, чтобы говорить о сложившейся теории уравнений на стратифицированных множествах. Например, вопрос о классической раз-

решимости задачи Дирихле в общей постановке не решен. Имеется только достаточно общий результат, принадлежащий A.A. Гаврилову и О.М. Пен-кину [61], [62] о слабой разрешимости задачи Дирихле для эллиптических уравнений на стратифицированных множествах. В связи с этим постановка краевых задач для эллиптических уравнений на стратифицированных множествах размерности больше единицы и разработка техники доказательства их разрешимости представляется весьма актуальной.

В настоящей работе будем рассматривать двумерные стратифицированные множества, которые для простоты предполагаются двумерными комплексами. А именно, рассмотрим компакт М С R3, который будем называть многоугольником, если он лежит в некоторой плоскости и является в ней выпуклым многоугольником.

Двумерным комплексом К или стратифицированным множеством назовем объединение конечного числа многоугольников, которые попарно могут пересекаться лишь по своим вершинам либо сторонам. В этом объединении многоугольники A4 (двумерные страты) будем называть гранями комплекса, а отрезки L (одномерные страты), являющиеся стороной одной или нескольких граней - ребрами. Вершины т (нульмерные страты) этих многоугольников составляют вершины комплекса. Обозначим соответствующие множества граней, ребер и вершин как A4. С и F, а число их элементов -га, I и п. Таким образом,

К = u мемМ, К1 = U ьесЬ, (0.1)

где в правой части равенств М и L рассматриваются как подмножества R3. Заметим, что множество К1 здесь представляет собой ломаную в R3, звенья которой могут попарно пересекаться лишь по своим концам, это

множество можно назвать остовом комплекса К.

Совокупность всех граней (ребер), имеющих своей вершиной г обозначим Мт (Ст). Множество Л4ь - множество граней, имеющих своей стороной ребро Ь, а множество См, составлено из сторон грани М. Число элементов этих множеств обозначим, соответственно, тг, 1Т и чис-

ло т^, называем также кратностью ребра Ь. Ребра кратности 1 относим к сторонам комплекса К. Связь между введенными множествами выражается равенствами

Пересечение множества вершин Р с гранью М дает множество вершин -Рд/, число элементов этого множества совпадает с 1м- Пересечение множества вершин Р с отрезком Ь представляет собой множество оно состоит из двух точек - концов отрезка Ь.

Множество С разобьем на два непересекающихся подмножества сторон. Первое обозначим С(О), в дальнейшем стороны этого множества будут служить носителями данных задачи Дирихле. В противоположность этому, во внутренних точках ребер Ь Е С \ С{0) будет введено понятие гармоничности, поэтому множество С \ С(О) обозначаем С(Н). Пусть 1(0) и 1{Н) означают число элементов множеств, соответственно, С(О) и С(Н), аналогичный смысл имеют обозначения /г(1)) и 1Т(Н). Обозначим далее, Р(1)) множество всех вершин, которые являются концом по крайней мере одной стороны Ь £ £(£>), и положим Р(Я) = Р \ F{D), число элементов этих подмножеств естественно обозначить п(О) и п(Н). Наконец, введем множество А4(0) всех граней, по крайней мере одна сторона которых принадлежит С(О) и положим Л4(Н) = М. \ Л4(П). Число элементов этих

множеств обозначим, соответственно, т(О) и т(Н).

%

т, т*

л

£17

Т2 Тз

21

Тз

%омпле^с %,

"Комплексе

В качестве иллюстрации рассмотрим два комплекса К\ и К2, изображенные на рисунке. Первый комплекс получен из тетраэдра, выкидыванием грани Т1Т2Т3. Стороны Ь е £>{Б) выделены жирным шрифтом. Например, в вершине г = то комплекса числа 1Т = тт = 3, причем эта вершина принадлежит ^(Я). Остальные три вершины составляют Р{0). В этом комплексе 3 ребра с концом то принадлежат С(Н) и имеют кратность 2, остальные три ребра являются сторонами комплекса и принадлежат £(£)). Наконец, все три его грани составляют Л4(0). Второй комплекс получен из куба, выбрасыванием грани Т1Т2Т3Г4. Здесь стороны Ь е £(£>) также выделены жирным шрифтом. Вершины принадлежат множеству ^(Я). Для этих вершин 1Т — тт = 3, причем все ребра с концом в этих точках составляют множество £(Я) и имеют кратность 2, а для вершин 71,72,73,74 величины 1Т = 3, гпт = 2. Множество ЛЛ(Н) состоит из одной грани тхтгтът^ остальные грани принадлежат множеству Л4(0).

Аналогично (0.1) соответствующие объединения элементов множеств £(!)) как отрезков обозначим К1 (И) и К1(Н). Заметим, что ^'(Л) = F П К1 (О) и ^(Я) = {г е Ц£>) = 0}. Обозначим к{И) совокупность внутренностей граней М е М и ребер Ь е £(#), т.е К = К\(ГиК1(0)).

Непрерывную функцию и иа К{0) будем называть гармоничной, ес-

ли гармоничны все ее сужения на грани и для каждого ребра Ь £ С{Н) выполняется соотношение

где им означает внутреннюю единичную нормаль области М на Ь.

Задача Дирихле (задача И) заключается в отыскании гармонической на

Вообще говоря, эта задача не всегда разрешима в классе непрерывных функций. Например, пусть двумерный комплекс К составлен из двух треугольников М\ и Мг, которые пересекаются по вершине то. Пусть Ьк, к = 1,2 есть сторона Мк, не примыкающая к этой вершине, объединение этих двух сторон составляет множество С(И). Тогда задача Дирихле с данными (р = к на Ьк, к = 1,2, не имеет решения в классе непрерывных функций па всем комплексе. В самом деле, в силу (0.3) на сторонах, не входящих в множество £(£)), функция

удовлетворяет однородному краевому условию Неймана. Поэтому ик принимает на Мк постоянное значение к, что противоречит требованию ее непрерывности на всем К.

В связи с этим в работах О.М. Пенкина [31] - [34], [60] вводятся некоторые ограничения на геометрию рассматриваемого стратифицированного множества. В рамках приведенного выше определения, удается доказать

(0.3)

К (О) функции и Е С (К \ Р) по краевому условию

(0.4)

где функция / <= С[К\0) \ Р(£>)] задана.

^к = и\Мк

существование слабого решения задачи Дирихле. Классическая разрешимость задачи Дирихле установлена в работе [56] только при более жестких требованиях на геометрическую структуру стратифицированного множества. А именно, в дополнение к введенному определению стратифицированного множества, необходимо, чтобы множество К\Р вблизи вершин г было связным. Таким образом, исключаются множества, в которых многоугольники пересекаются только по своим вершинам.

В этом случае утверждается, что верхняя огибающая множества субгармонических функций, принимающих на границе значение не больше заданного является классическим решением задачи Дирихле.

Доказательство этого факта основывается на применении метода Пуанкаре - Перрона для стратифицированных множеств [1], [2], [51], [52]. В частности, с помощью этого метода в работах Ковалевой Л.А. [15] , [37] -[40] была доказана классическая разрешимость модифицированной задачи Бицадзе - Самарского, предварительно сведенной к задаче Дирихле для уравнения Лапласа на двумерном стратифицированном множестве, описанном ниже.

Рассмотрим две параллельные плоскости Р\ и Р2. Пусть ломанные Гг С Рг и переходят друг в друга при параллельном переносе вдоль прямой I перпендикулярной этим плоскостям. Тогда стратифицированное множество К таково, что объединение нульмерных страт состоит из вершин этих ломанных, объединение одномерных страт состоит из звеньев этих ломанных и отрезков параллельных прямой /, соединяющих соответствующие вершины. Наконец, объединение двумерных страт представляет собой прямоугольники, заключенные между этими отрезками и звеньями ломан-

ных. В качестве границы, т.е. множества £(/}), выступает объединение всех звеньев ломанных Р^. На получившемся стратифицированном множестве рассматривается задача О, решением которой является верхняя огибающая всех субгармонических функций, принимающих на границе значение не больше заданного.

В настоящей работе будет рассмотрен альтернативный метод доказательства разрешимости задачи Дирихле в пространствах Гельдера с весом. Исходную задачу удается свести к нелокальной краевой задаче Римана и применить известные для нее результаты.

Целью данной работы является доказательство разрешимости задачи Дирихле на двумерных стратифицированных множествах в весовых классах. Выявление степенно-логарифмической асимптотики решения задачи вблизи вершин комплекса.

Апробация работы Результаты диссертационной работы докладывались автором и обсуждались на научных семинарах под руководством А.П. Солдатова и А.М. Мейрманова при ФГАОУ ВПО «Белгородский государственный университет» (2008-2013гг.), на Воронежских зимних и весенних школах «Современные методы в теории краевых задач» и «Понтрягинские чтения» (Воронеж 2004, 2008), на международной конференции им. И.Г. Петровского (МГУ 2004), на международной конференции "Нелокальные краевые задачи и родственные проблемы математической биологии, информатики и физики"( Нальчик, 2010), на международной конференции «Дифференциальные уравнения и их приложения» (Белгород 2013).

Публикации Основные результаты опубликованы в работах [15] - [22], [37] - [40]. Из них [15], [16], [18], [19], [22] опубликованы в рецензируемых

журналах.

Перейдем к изложению содержания диссертации, которая состоит из трех глав. В пределах каждой главы принята сквозная нумерация теорем, лемм и формул. Они нумеруются двумя позициями: первая указывает на номер главы, а вторая на порядковый номер внутри главы.

Во введении обосновывается актуальность темы исследований, представленных в диссертации, обозначена цель работы, описывается ее структура, формулируется постановка задачи, излагается краткое содержание основных результатов.

В первом параграфе первой главы отмечено, что в определение гармоничности (0.3) функции им предполагаются непрерывно дифференцируемы вплоть до внутренних точек граничного отрезка Ь.

Это условие можно ослабить, путем введения сопряженных к им гармонических функций им по отношению к некоторой декартовой системе координат на грани М. Тогда равенство (0.3) запишется в виде

где в плоскости М выбрана прямоугольная декартова система так, что в условии Коши - Римана реализуется положительный знак. Отмеченное ослабление заключается в замене (0.3) этим соотношением с единственным требованием, чтобы функция Ум была непрерывна вплоть до внутренних точек отрезка Ь.

Далее, рассматриваются весовые пространства Гельдера, в которых ищется решение задачи Б. Исходя из семейства вещественных чисел Л =

^м \ь — сопв^

(0.5)

мемь

(ЛТ,т е Р), вводится весовая функция

РХ{Х) = Л\Х-Т\\ Тогда пространство Сд = Р) состоит из всех функций </? вида

<р = рх-1,ф, Ф е С"(К),ф\Р = о,

где под весовым порядком А — /л понимается семейство Лг — /л, т е Р. Согласно [44], [46] с возрастанием Л семейство пространств Сд монотонно убывает в смысле вложений:

сгесс;, с%+£ с с;, £>о.

Тогда Сд+0 = и£>о сл-о = Пе>о ^л-е-

При Л = 0 пространство Сд+0 удобно записывать как и соответственно Сд_0 как

Таким образом, функции </? е удовлетворяют условию Гель-

дера на всем множестве К с некоторым показателем и обращаются в нуль в точках т е Р, а класс Р) состоит из всех функций, которые по-

сле умножения на весовую функцию р£ с любым г > 0 принадлежат в этом смысле данные функции в точках г е Р допускают особенности логарифмического характера.

Пространство кусочно непрерывных функций <р на К, для которых сужения срм = Им принадлежат Сд(М, Рм) для всех М е Л4, обозна-чепо символом С^(К.Р).

ч.

Лемма 0.1 . Пространства С(К \Р)Г\ Р) и С%(К, Р) совпадают,

причем соответствующие нормы эквивалентны.

Лемма 0.2 . Пусть гармоническая функция и на К(О) принадлежит классу С%(К,Р), ХТ ф 0 б фиксированной точке т £ Р и р > 0 выбрано столь малым, что остальные вершины из Р лежат вне шара ВТ = {\х — т\ < р}. Тогда для любой грани М £ Л4Т сопряженная к им гармоническая функция Ум с точностью до аддитивной постоянной такэ/се принадлежит (М п ВТ, т).

Во втором параграфе, исходя из величины тт - числа многоугольников Мт, вводится в рассмотрение семейство матриц \УТ(£) = (ит+Ут){С), С € С порядка 2пгт, где первая матрица постоянна, а вторая аналитична во всей плоскости. Семейство таких матриц представляет собой концевой символ задачи.

Чтобы выписать явный вид матриц Ыт и Ут множество {1,..., 2тт} разбивается на тт пар Рт,м, М £ Л4Т, и вводится отображение г —> Ьт^ данного множества на Ст, считая для РТ}м — ребра и явля-

ются сторонами грани М. В этих обозначениях матрица Ут определяется элементами

{¿»Л = Рт,М1

(0.6)

в противном случае, где дтм есть угол грани М при вершине т.

А матрица 1/т элементами

1-2/тпь, 1 = ьЬтА = ЬеЦН),

1 1 = 3, ьтЛеС(В).,

ит,и = <

(0.7)

-2/ть, г ф ЬТл = = Ь,

0 в противном случае. Очевидно, матрица Ут блочно - диагопальна относительно разбиения Рт множества номеров {1,..., 2тт} на пары Рт,м, а матрица 1/т обладает

аналогичным свойством по отношению к разбиению фг на подмножества = {г, — Ь}, Ь € Ст. Заметим, что число элементов последнего разбиения равно 1Т, что согласуется с равенством (0.2).

Далее, рассматривается структура матрицы \¥т и иллюстрируется ее построение на примере. Затем, доказывается следующая лемма.

Лемма 0.3 . При каждом т имеют место соотношения

и* = 1, ¿еЬит = {-1)1Лн\

Вводится в рассмотрение скалярная мероморфная функция

с\еЬ[Цт + Ут (С)] ¿еЬИ^ЛС) т[и ¿еЬ[1 + Ут(0) ае^(С)'

которая при фиксированном вещественном А и £ —> ±оо имеет ненулевые пределы.

В каждой полосе А' < ЯеС < А" аналитическая функция с^И^ДС) имеет конечное число нулей, так что проекция множества этих нулей на действительную ось представляет собой дискретное множество Дт. Поэтому вне этого множества можем ввести кусочно постоянную возрастающую функцию Хт по условиям

где е > 0 выбрано столь малым, что с^И^О 0 ПРИ —£ < 11еС < 0, и ^г(Со) ссть порядок нуля функции сМИ/г(С) в точке С = Со (при сМ Жт(Со) 0 полагается 5г(Со) = 0).

В следующей лемме функция Хг(—0) выражается явно через тпг и вт.

Лемма 0.4 . Имеет место равенство

Хт-(-О) = (шг - зТ)/2, 14

где

есть нулей функции с^И7^) на прямой 11е£ = 0, взятое с учетом их кратности. При этом разность тТ — 5Г имеет одну и ту же четность с 1Т(Н), так что сумма ]Г]Т \т является целочисленной функцией.

Полагая т^ = ^2Т(=ртт вводятся в рассмотрение такие блочно - диагональные 2тр х 2тр— матрицы II и V, что семейство их диагональных блоков совпадают с матрицами, соответственно, IIТ и Ут, т Е Р. С этой целью 2тр элементов (т,^), 1 < j < 2шт, т Е Р. нумеруются единым образом от 1 до 2тр с помощью биекции

Пусть ЕТ есть образ множества {(г,]), 1 < ] < 2тт} при этом отображении, так что семейство 1 < ] < 2гпт запишется в виде

Ьу., к