Задача Фурье для параболических и псевдопараболических уравнений и систем тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

п V ь 0 ^ ï ,

MIHICTEPCTBO 0СВ1ТИ УКРАШИ Льв1вський державний ушверситет ím. Ib. Франка

На правах рухопису

колшько

MapÍH Омеляшвна

ЗАДАЧ1 ФУР'6 ДЛЯ ПАРАБОЛГЧНИХ I ПСЕВДОПАРАБОЛ1ЧНИХ Р1ВНЯНБ ТА СИСТЕМ

01.01.02 - Диференщальш р1вняння

Автореферат

дисертацп на здобуття наукового ступени кандидата ф1зико-математич:них наук

Льв1в - 1996

Робота виконана в Льв1вському державному ушверситетл iM. 1в.Франка

Науковий кер1вник: кандидат ф1зико-математичних наук,

доцент Лавренюк Сергш Павлович

Офщшш опоненти: доктор ({лзико-математичних наук,

професор Каленюк Петро 1ванович

Кандидат ф1зико-математичних наук, доцент Лавренчук Володимир Петрович

Провщна оргашзащя: 1нститут прикладних проблем матема-

тики i мехашки HAH Украши

Захист вщбудеться 15 лютого 1996 р. о 1530 год. на засщан-ш Спещал1зовано1 ради Д.04.04.01 при Льв1вському державному ушверситет1 ¿м. I.Франка за адресою: 290602, м. Льв1в, вул. Ушвер-ситетська, 1, ауд.377.

3 дисертащею можна ознайомитися у науковш б1блютещ Льв1вського державного ушверситету ¡м. ¡.Франка (м. Льв1в, вул. Драгоманова, 5).

Автореферат розюланий 12 шчня 1996 р.

Вчений секретар

спещал1зовано"1 вчено! ради . Я.В.Микитюк

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальшсть теми. Добре вщомо, що псевдопарабол1чш р1вняння описують багато р1зних ф1зичних процес1в. Так, наприклад, вони описують процес перенесения вологи в грунтл, фшьтращю рщини в середовипц з подвшною пориспстю, передачу тепла в гетерогенному середовшщ, дифуз1ю в так званому трщинуватому середовипц з поглинанням або частковим насиченням, процес застигання клею та

шш1.

Систематичне вивчення задач1 Коли та мшаних задач для псев-допарабол1чних р1внянь 1 для бшып широкого класу - р1внянь типу Соболева-Гальперна, що описують вказаш вище ф1зичш проце-си, розпочалось у 50-х роках нашого стол1ття 1 продовжуеться до тепер у роботах С.Л.Соболева, С.А.Гальперна, Р.Е.Шовальтера, Т.В.Тшга, У.Рандела, У.Г.Форда, М.Бохма, Д.Колтона, 1.Сувейка, М.Х.Шханукова, А.Г.Костюченка, Г.И.Есюна, Х.Гаевського та ш-ших автор1в.

Задач1 Фур'е (або задач1 без початкових умов) описують довго-тривал1 процеси, тобто процеси, що на ¡х протжання в певний момент часу, достатньо вщдалений вщ початкового, впливають лише крайов1 умови та внутршш джерела.

Задач! Фур'е 6 добре дослщженими для парабол1чних р1внянь та систем. Ще в 30-х роках нашого стол1ття А.М.Тихонов розв'язав задачу Фур'е для р1вняння теплопровщность Як виявилось, для ко-ректноси тако! задач! потр1бно лише вказати характер поведшки розв'язку при < —> —оо. Для р1внянь теплопров1дност1 клас корект-ност1 задач1 без початкових умов визначаеться функтцями експонен-щального зростання при < —> —оо, причому швидюсть зростання за-лежить вщ коефвдент1в р1вняння.

Досить повно вивчеш задач1 Фур'е для лшшних парабол1чних систем. бдишсть розв'язку таких задач в класах обмежених розв'язюв доведена в роботах М.Д.Мартиненка 1 Л.Ф.Бойко, АЛ.Горшкова.

Ллшш системи бшып загального вигляду розглядались у роботах О.А.Олшник 1 Г.АЛоспфяна, та шших автор1в. Доведено едишсть ро-зв'язку задач1 Фур'е для таких систем в класах гладких функцш. Класи коректност1 задач Фур'е для парабол1чних 1 деяких шших еволюцшних систем встанолеш також С.ДЛвасишеним. Характери-зуються щ класи певною гладюстю розв'язюв 1 визначаються кое-фщентами систем. Тому актуальним е знаходження клас1в корект-носи зaдaчi Фур'е для еволюцшних (у тому числ1 парабол1чних) систем, коефщенти яких - вим1рш суттево обмежеш функцп.

Досить щкавими для вивчення е також задач1 без початкових умов для нелшшних та квазшшшних р1внянь 1 систем. Задача Фур'е для слабо нелшшних парабол1чних систем дослвджена у роботах М.1.Матшчука1 В.П.Лавренчука, С.П.Лавренюка 1 П.Я.Пукача. Задач! Фур'е для квазшшшних р1внянь та систем розглядались у роботах М.Накау, М.М.Бокала. Зауважимо, що досить вагомими е результата М.М.Бокала, щодо задач1 Фур'е для квазшшшних та нель шйних парабол1чних р1внянь з монотонною просторовою частиною. бдишсть розв'язку таких задач доведена без обмежень на поведшку розв'язку при < —► —оо. А ¿снування розв'язку не вимагае обмежень на поведшку право! частини р1внянь.

Що до задач без початкових умов, як1 стосуються не парабол1ч-них, а псевдопарабол1чних р1внянь та систем типу Соболева-Галь-перна, то слщзазначити, що намвщома лише робота ГТЛскандерова 1 Н.К.Ахмедова. У цш робот1 доведена едишсть розв'язку задач1 Фур'е для деякого лшшного псевдопарабол1чного р1вняння. Тому, на наш погляд, актуально ширше дослщити мало вивчений об'ект - задач1 Фур'е для р1внянь та систем типу Соболева- Гальперна, зокрема, I для псевдопарабол1чних р1внянь.

Мета роботи полягае в побудов1 клаав коректност1 задач Фур'е (задач без початкових умов) для лшшних та нелшшних систем Собо-лева-Гальперна, зокрема, псевдопарабол1чних систем, а також для

парабол1чних систем з вим1рними за Лебегом коефвдентами.

Наукова новизна роботи полягае:

- у встановленш достатшх умов коректност1 задач1 Фур'е для лшшних ситем типу Соболева-Гальперна, як1 в окремих випадках близью до непокращуваних;

- у побудов1 нелшшно! псевдопарабол1чно! системи, коректють задач1 Фур'е для яко! не залежить вщ поведшки розв'язку при < —> —оо;

- у встановленш простор1в коректност1 задач1 Фур'е для лшшно! парабол1чно1 ситеми та слабо нелшшного парабол1чного р1вняння з другою похщною за часом 1 з вим1рними за Лебегом коефвдентами.

Методи дослвджень. У робот1 використовуються метод Гальор-юна, метод компактное^, метод монотонност1 та метод штрафу. Ц1 методи дозволяють на основ1 апрюрних оцшок гальоркшських на-ближень побудувати послщовност1 функцш, зб1жш до розв'язшв по-ставлених задач.

Наукова та практична цгашсть роботи. Робота мае теоретич-ний характер 1 11 результати сформульоваш у вигляд1 теорем. От-римаш результати можуть бути використаш для подальшого ро-звитку теорп псевдопарабол1чних систем та систем типу Соболева-Гальперна, а також при дослщженш ф1зичних процес1В, пов'язаних з ф1льтращею вологи в грунтах, в трщинуватих середовищах 1 т.п.

Апробащя роботи. Результати роботи доповщались на таких конференциях 1 семшарах:

- Всеукрашськанаукова конференщя "Новтщходи до розв'язан-ня диференщальних р1внянь" (Дрогобич, 1994 р.);

- сшльний семшар Московського математичного товариства 1 семшар 1меш 1.Г. Петровського (Москва, 1995 р.);

- Млжнародна конференщя з нелппйних диференщальних р1внянь (Кит, 1995 р.);

- семшар з диференщальних р1внянь Чершвецького ушверситету (кер1вник С.Д. 1васишен, Чершвщ, 1995);

- Льв1вський м1ський семшар з диференщальних р1внянь (ке-р1вники Б.И. Пташник, В.Я. Скоробагатько, С.П. Лавренюк, Льв1в, 1994-1995);

- семшар кафедри вшцо! математики Льв1вського сшьськогос-подарського шституту (кер1вник Ф.В. Семерак, 1995 р.).

Публнсацп. За матер1алами дисертацп опублжовано 8 po6iT, пере-лж яких наведено в юнщ автореферату.

Структура i об'ем дисертацп. Дисертащя складаеться з всту-пу, двох роздш1в i списку цитовано! л1тератури. Робота викладена на 128 сторшках i включае список л1тератури, що мктить 90 дже-рел.

ОСНОВНИЙ 3MICT РОБОТИ

У в ступ! обгрунтовуеться актуальшсть теми, дано короткий огляд результат1в, що мають безпосередне вщношення до теми роботи, ви-кладено зм1ст дисертацп.

Перший розд1л " Задача без початкових умов для одше! системи типу Соболева-Гальперна" складаеться з трьох параграф1в.

В параграф! 1.1 дослщжуеться задача Фур'е для лшшно! системи

J2 ("1 )[alDa (AaP(x,t)D^ut) +

\а\ = \0\<т

+ £ (-1 )lalDa {Baf}(x,t)D^u) +

\a\ = \f)\<p

+ Y, Ca(x,t)Dau = F(x, t) (1)

|a|<p

з крайовими умовами Д1р1хле

= 0, г = 0,1,... ,р - 1. (2)

д1и

st

Задача розглядаеться в област1 Qt = О х Q<r, &т = (—оо,Т], Т < оо, де Г2-обмежена область в 7Zn з межею д£1 6 Ср. St = сЮ х 9т; зовн1шня нормаль до St ■ Тут р> m, m > 1;

и

= (и1,...,и!) , F = (fi,.. .,fi);

Аа/з (|q| = \0\ < m), Вка (|k| = |cr| < p), Ce {S < p) ~ квадратш матриц! po3Mipy l x /.

Вводиться npocTip V?., як замикання за нормою

/ N '/2

IMU,= /(i £ + £

\Qr |a|=m |a|=p

М) = е->*, j = 0,1,

множини C^°(Qt) нескшченно диференщйовних функцш з компакт-ним ноаем в QT, р1вних нулю в окол1 St-Аналогично вводиться npocTip VPiU,j з функщею ip{t) =

Означения. Функщю u(x,t), будемо називати узагальненим ро-зв'язком задач1 (1), (2) у npocTopi якщо вона задовольняе piB-

hîctb

/ " £ (AapD?u,Dai,t)- 7 £ [AcpD^u, Daip) —

QT H = \Pl<™ M = l/5|<m

- £ (AQptDeu,DaiP)+ £ (BaPDpu,DaiP) + |o| = |/3|<m |Q| = I/3|<P

+ £ {CaDau, ф) — (F, ф) I a I ^P

eltdxdt = 0 (3)

для кожно1 функцп ф G V^у тако1, що ф(Т) — 0.

Означения узагальненого розв'язку задач1 (1), (2) в просторах

Vp:U,: 1 формулюеться аналогично. Вщносно матриць Аар, (|а| = \Р\ < m); Вкст, (|к| = |<т| < р) зроблено наступш припущення:

(Ai) : cn(t) J J2 \Dau\2dx <

n |«|=т»

^ / E

£ |a| = |/?l<m V J

<a\t) J E \Dau\2dx, ¿=0,1,

П M=m

(Во): 6o(<) J E n I°I=P

- / E (B

Ш ) dx <

П l«l = l/5|<P

< / E l^l2^. * e

n H=P

(0 V

для довшьно! ш(х) G I Hp (fi) I . Введен! позначення:

c0(r) = sup ЦСа(я:,01|2. ^^т; QT M<P

Ci(r) = sup E \\Cat(x,t)\\\ T G Зт; Qr N<P

62(r) = sup E НВ»*0М)1|2>

\o\=m<p

тут ||Ca(a;,£)|| - евклщова норма матриц! Ca;

inf b0(t) = b0;

sT

тГ эир а°(£) = а4; эт зг

ао(0 = ¿о;

9Г

тГсг(<) = ¿¿; г = 0,1;

Эт

1пГтах^ир а1^); 0} = 05; вир а1(<) = ав;

7Р = 7г>, де 7г-!Р-стал1 з нер1вност1 Фрщр1хса

г' = 0

I £ £ |£>°1;|2<**> ¿ = 0,.(4)

п I ° I=г п М=Р

залежш лише вщ г, р.

Сформульовано 1 доведено теорему.

Теорема 1. Нехай Аа0 = Ара, Аа/з = А*а/3; Лауд, Ла/34 е £°°(<3т),

(Н = |/?|<т); В^еЬсо{Ят), (|К| = И<Р); С9е2,°°(дГ)(0<р);

виконуються умови (А() (при г = 0,1) та (-Во). Тод1, якщо

ш4 = 2Ьо - а57т,р - 2х/со7р7о,р > 0, то задача (1), (2) не може мати бшыпе одного розв'язку в простор!

0 < 7 < -—.

р

Якщо ж <¿4 < 0, то задача (1), (2) не може мати бшыие одного розв'язку в простор! де 7 = —70 1

То > ',- _--К —, 7о > 0.

¿Ь0а0 а0

Под1бним чином формулюеться 1 доводиться теорема единост1 розв'язку задач1 Фур'е (1), (2) в простор! ^„д- функщй степенево-го спадання при I —> —оо з показником, залежним вщ коефвденмз системи.

Для формулювання теореми ¿снування розв'язку задач1 (1), (2) введено додатков1 позначення:

08 = тах{а5; тГ тах{зир(—а1^)); 0};

ад = тГа1(<). Зт

Теорема 2. Нехай Аар = Ара, Аар = А*а/3', Аар, Аа01 £ Ь°°(С}т), (М = Щ < т); вк, 6 Ь°°(0т), (М = П < рУ, св € ь°°(с}т) (|0| < р);

виконуються умови (А,-) (при г = 0,1) та (Во);

/

\Р\2е1*с1х(И < оо] а0 > 0.

Я1

Тод1, якщо и>4 > 0, то задача (1), (2) мае розв'язок у простор!

де

и>4

0 < 7 <

Якщо ж о>4 < 0, задача (1), (2) мае розв'язок и{х,{) £

^ То.шТрёо а6

де 7 = -7о 1 70 > у--Ь —, 70 > 0.

/аооо а о

Якщо, кр!м того Ващ е Ь°°(\а\ = \/3\ < р), Ск1 £ Ь°°(дт) (И < р); I \Рг\2е1Чх(И<оо;

Ят

ш6 = 260 - ав7т,р - 2усо7р7о,р >0; 0 < 7 < -,

^47 т,р

то задача (1), (2) мае узагальнений розв'язок в простор! Якщо ж < 0, задача (1), (2) мае розв'язок и(х^) ЕУ'р

^ 7о,ш7рёо а9

де 7 = -7о 1 70 > у--1- —, 7о > 0.

Iа0о0 а0

АналоНчна теорема ¿снування розв'язку задач1 (1), (2) доводиться в простор! 1.

Дал1 розглядаеться випадок m > р, р > О, F = F(x). Для формулювання теорем единост1 i ¡снування розв'язку задач1 (1), (2) в цьому випадку додатково припускаемо, що для коеф1щент1в си-стеми виконуеться умова

(В,): i J2 (Baßt(x,t)Dßv,Dav)dx<blp i J2 \Dav\2dx, n, М=1/з|<р n, Ы=р

о

( ^ / тП _ / гтп /r^wN

MdMÄC ДЛЯ ВС1А L t ^ LXJ, ± j i и С ^ J J * l^ii )) ■

Теорема 3. Нехай Aaß, Са(|а| = \ß\ < m), Вк(7, ВксП(\к\ = \а\ < р) G ¿°°(<5т); F G (L2mN-, Вка = Вак, Вк<7 = B*a,(x,t) G Qt; вико-нуються умови (Л0), (Во), (Вi) i, KpÎM того, bxp < 0, äo > л/cÖTm"- Тод1 icnye узагальнений розв'язок u(x,t) задач1 (1), (2) такий, що

и g ¿/»((-оо.т); (HP (Çï))N), щ g i2((-œ,t); (Hm (Q)f).

Зауваження. Теорема 3 залишиться справедливою, якщо права частина системи (1) е функщею t, тобто F = F(x,t). Але вщносно F(x,t) noTpiGno припускати, що

J \Ft(x,t)\2 dxdt < оо.

Qt

Теорема 4. Нехай Са = 0; Aaß, Aaßt(\a\ = \ß\ < m), ВК(7,(\к\ = kl <p) e £°°(Qr); ^a/3 = Aßc, Aaß = (H = \ß\ < m), (x,t) g Qt

i, KpiM того, виконуються умови (Ло), (Во), a1 (0 < 0. Тод1 задача (1), (2) не може мати б1льше одного узагальненого розв'язку в клас1 функщй u(x,t) таких, що

UteLlc((-œ,T};(Hm (fi))"); ueLZ((-oo,T]-,(HP (fi)f); j Е \Daut\2dx — 0, ft — -оо,

|a| =

для невиключних точок tk функци ut(x,t).

У §1.2 дослщжуеться задача Фур'е для лшшнсн системи Соболе-ва-Гальперна в нецилшдричнш област1 Qt такш, що

Qt f|{* = т} = Пт

е обмеженою областю в 7U1 для Bcix т Ё S, S = (—оо,Т). Розглядаеться система

1С )WDa(Aap(x,t)D^t) +

|a| = |/3|<m

+ (-1)1«! Da{Baf}{x,t)D^u) = F(x,t) (5)

\°\=\P\<p з крайовими умовами

Dau = 0 на ST, Н<р-1, (6)

це ST = U ■

te^r

Припускаеться, що р > ш; m > 1.

Вводиться npocTip WPl(Qt1,t2) -замикання простору нескшченно-диференцшовних вектор-функцш и = (щ,..., ujv) в Qtltt2! р1вних нулю в окол1 Siltt2, за нормою

[ Г \Пащ\2+ Y, \Dau\Adxdt

J V|„.l----!„,!_„ '

Пм11и'т(<3(1,12) = Тут = и = и за.

Дослщження задач1 проводиться в простор! УУ^С^т) функщй и{х,1) таких, що и £ Для довшьного tl £ 9.

Для формулювання основного результату цього роздшу введено

позначення:

m 2b№ (л Po{t) = ——г.

7p,m

Pi СО = 7p,m(0+am(0;

Доведено твердження.

Теорема 5. Нехай для коефвден-пв системи (5) виконуються умо-ви (Ас), (ЛО, (Во); Baß, Аку, AKyt £ L%c(Qt), (|а| = \ß\ < Р,) (|«| = 1т1 < т;)ро, Р1, /о € Ь%С(Щ, % £ L}oe(Q), Pl(t) > О, t £ 9; p0(t) > О, t £ 9 oPm(T) > 0. Тод1 задача (5), (6) не може мати бшьше одного узагальненого розв'язку в клаа функцш u(x,t) £ W^(Qt) таких, що icnye послщовшсть точок {¿t}, lim tь = —oo i

k —*oo

п{ \{ р'

Нте(^) = 0. (7)

к—* оо

Наведено приклад, який тдтверджуе точшсть отриманого результату.

В §1.3 дослщжуеться задача Фур'е для нелшшно! псевдопарабо-Л1чн01 системи в цилшдричнш oблacтi С^т = О х (—оо,Т), Т < оо. Розглядаетья система вигляду

Л(и) ее щ+ £ (-1 Уа1оа(ааР(х,1)ори) +

1<\а\ = \р\<1

п

+ ^ На(х,Ь)Оаи- + ВД +(?(*,*)« =

1<М</ 1,3=1

= £ (-1)Н£>°Т0(г, 0, (8)

Н<1

де

¿=1

Сг(ж) = cfza£r{ci (ж), . . . ,с'у(ж)}, г = 1,. . ., п;

9i = colon(\u\tXt\p~2ui,Xl, . . ., |ua',i-1|p"2mjv,3;,), г = 1, . . ., п; р > 2;

I > 1, Ла/з, Bij, На, G -квадратш матрищ роздпру АГ х ДГ;

и = со1оп{и1,. . ., идг); Ра = со/оп(/1а, ..., /дга), |<*| < 1 з крайовими умовами

д{и д

= 0, г = 0,...,/— 1. (9)

%11\2<1х,

Через V позначаеться рефлексивний банах1в проспр К = (Яг (П)П ЧУ1* (П))".

з нормою

1Нк = 1Н1 о +1НГ.

Припускаеться, що для коефщенив системи (8) виконуються вщ-поввдно умови (А), (В), (С), (С), якщо :

(A) : АаР(х, 0 6 Ь°°(П), 1 < |а| = \(3\ < /;

[ £ {АаР{х,г)П13ги,Оаъи)с1х>ао[^\1:'а

п 1<1°1=1/3|<' п 1«1='

а0>ОУюе(Н! (П))";

(B) : В^{х,г),В^{х,1)еЬ':о{Ят)\

в,; (i, о = Вц{х,г)\ в^(х,г) = в*0м), — майже для вс1х

п п

>г>о£|&|2, 6о >0,

»,7 = 1 ¿ = 1

для вслх & е 1 майже для вах

(C) : С{(х) е 4(ж) > с0 > 0,

майже для вслх х £ ] = ... ,п\к = ..., N ]

(О) : С(,,г)еГ((?Г);

О > <?о(*Ж12- 90 е для вслх £ £ Ш14 1 майже для вспх

14

Введено позначення :

Ло (0 = sup II На(х,т)

Qt i<l«l<'

hi = inf h0(t)\ (-00,т)

, . _ Г 0, якщо g0(t) > О, 9Л > 1 9o(t), якщо g0(t) < 0.

д2 = inf sup fifi (г).

(-°°>T)(-oo,í)

Дал1 сформульована i доведена теорема, яка дае гаранпю единост розв'язку задач1 (8), (9) без обмежень на його поведшку при t —> —00.

Теорема 6. Нехай для коефщенпв системи (8) виконуються умо-ви (А), (В), (С), (G) i, kpím того, Ha(x,t) £ L°°{QT), 1 < \a\ < /;

П / \ П

t,j = l ^ ' i=l для bcíx £¿ £ i майже bcíx (i, t) £ Qt',

a o -

/íiTí.o - ô7i,i inf sup б^г) > Y/,off2-

Tofli задача (8), (9) не може мати бшьше одного узагальненого розв'язку.

Тут також доводиться теорема ¡снування розв'язку MiniaHOÏ зада-4i для (8) з початковою умовою и(х, 10) = 0, де t о £ (—оо, Т]-дов1льне фжсоване.

Наступна теорема демонструе умови ¿снування розв'язку задач1 (8), (9) без обмежень на поведшку F(x,t) при t —> —00.

Теорема 7. Нехай для коефщенив системи (8) виконуються умови (А), (В), (С), (G) i, кР1м того, / > 1; <9f2 £ С'; Ha(x,t) £ L°°(QT), 1 < H < /; Fa(x,t) £ L£e((-oo;T];(L2(fi))jV), |a| < 1. Тощ icnye уза-гальнений розв'язок u(x,t) задач1 (8), (9), причому

« £ ¿£((-оо;Г]; V), Щ £ Z20C((-oo; Т] ; (Я1 (il))N).

У випадку / = 1 отримано умови ¿снування розв'язку (8), (9). Важливою в цьому випадку е вимога до F(x,t):

/ \Fa{x,t)\2 exTp(jot)dxdt < оо. Qf I"'-1

де j0- залежить вщ коефщ1ент1в системи.

Другий роздш "Задач1 без початкових умов для парабол1чних р1внянь i систем" складаеться з двох параграф1в.

У §2.1 дослщжуеться задача Фур'е для лшшно! еволющйно1 системи

utt+ £ (-1)НDa(AoP(x,t)D^)+ £ Ga(x,t)Dau +

|а| —|/?|<m |a|<m

+ J2 {-l)W[Da(Baf3{x,t)D^ut)+ £ Ca(x,t)Daut = F(x,t) (10)

|a| = |/3|</ \a\<l

з крайовими умовами

Dau = 0, |a|<m-l; s

D0ut = 0, 1<|/?|</-1. (11)

s

Задача розглядаеться в нецилшдричнш област1 Q, такш що

Qf]{t = г} = П,-; dQ f|{i = т} = ST, S = |J ST. Припускаеться,

те(-оо,т]

що для Bcix т £ (—оо, Т] множина fi7 е обмеженою областю в 3?" i С fi, де Q С Кп-обмежена область, а - проекщя 0,т на площину t = 0.

Дослщження проводяться у випадку m > I. Стосовно коефщешдв матрищ Са вимагаеться

(Со): Vie Г, (x,t)eQ.

Вводяться, також, позначення :

а,- = inf sup а,-(Г2т), г = 0,1;

(-оо,Т) (-оо,0

inf sup a^fi,-); b0 = inf sup ¡>о(^т);

(-oo,T) (_oo,i) (-00,T) (-00,i)

9i(Qt)

max sup V^ 7=0,...,/ \ß\=j Qt

= max

diBaß(x,r)

max max sup V^ ''=°.....

dt*

d'Baß(x,r)

dt'

inf bUQt), i = 0,l; * = 1,2;

(-00,T)

= sup Qt

£

J Ct J <771

ff.-(Q) =

c0 =

c,-(go =

c2(Q0 =

Ci(Ö) =

Tfc.j =

inf gi(Qt), ¿ = 0,1;

(-00,T)

inf sup Cg(f2T);

(-00,T) (_oo,t)

sup

|a|<l

д{Са(х,т)

dt{

i = 0,1;

sup £ \\C<*(X'T)\\2' Qt 1<I«I<' inf Ci(Qt), ¿ = 0,1,2;

(-oo,T)

inf sup (f^T-);

(-co,T) (_oo,i)

7m j (ßt) = ^"мФО;

»=J

¿ = 0,1;

¿ = 0,1;

Теореми единост1 розв'язку задач1 (10), (11) сформульоваш окремо для випадку m = / та m > /.

Теорема 8. Нехай m = / i для коефщертв системи (10) викону-ються умови (А0), (Ai), (50), (С0) Aaß, Aaßt, Baß(\a\ = \ß\ < m), GK, CK(|/c| < m) e L°°(Q); Aaß(x,t) = Aßa(x,t), Aaß(x,t) = (Aaß{x,t))* i icnye na6ip додатшх {¿1,^2,^3} при якому система

Аа0 - а1 - \bl{Q)flm 0(5i -

+ А37т,0 > 0,

,о<5з + (2c° - ЗА - ¿2\/ffo(Q))T/,o > 0

мае розв'язок A > 0.

Tofli задача (10), (11) не може мати б1льше одного узагальненого розв'язку в клао функщй u(x,t) таких, що

/(ы2+ Е \Dau\Adx = o(l) exp(-\t), (12)

коли t —> —оо.

Аналоочна теорема единост1 розв'язку задач1 (10), (11) для т > I доводиться дал1, в припущенш, що область Q не розширюеться при зростанш t.

Теорема ¿снування узагальненого розв'язку доводиться у загаль-

ному випадку т > I.

Теорема 9. Якщо виконуються умови на коефвденти системи,

описаш в TeopeMi 8 в област1 П = f2 х (—оо,Т) i, KpiM того dtt С

(jm-1,1. межа с; област1 Q така, що якщо t £ (—оо,Т], и 6 H™(Q) i

v = 0 майже всюди в Sl\ то v £ H™(Qt)', облает! fit, t £ (—оо,Т]

однозв'язш; f t)\2eXtdx dt < оо, де А - додатнш розв'язок системи Q

Аао(П) - а\П) - А^(^„(П)«! - [^L.of") -~Х^Щ^П) + A37m,0(Q) > 0,

260(fi) - ~ХЬ20(Е)7' 0(П) - 2^/С2(П)7;'д(О)Т,,0(О) - AV^njTi.oW^ +

+(2c°(fi) - ЗА - г2^о(П))7/,о(П) > 0.

Тод1 icHye узагальнений розв'язок u(x,t) задач1 (10), (11) з поведш-кою (12).

У §2.2 отримано умови ¿снування 1 единоси розв'язку задач1 Фур'е для нелшшного парабол1чного р1вняння четвертого порядку

п

и« + £ Оа{аар(х

N = 101 = 2 »1.7=1

7=1

з краиовими умовами

\БТ

= 0, £ = 0

(13)

(14)

n = 1/31 = 2

в област1 <5т = ^ х (—оо, Т), Т < 0, де Г2-обмежена область в з межею <9Г2 С С12. Тут

г," =

V = (1/1,..., ¡/„) - одинична зовшшня нормаль до ¿V; р > 2.

На коефщенти р1вняння (13) накладено умови:

«о £ ?7а < £ аар(х)т]аГ]р, а0 > 0, 17 £

|а| = 2 |а| = |/?| = 2

Со < с(ж) < с0; 0 < Л о < /г(ж);

I

(15)

(16) (17)

90 £ < £ Ач< £ 50 > о, С е Я". (18)

Припускаеться, що ¡снують додатш розв'язки Л наступних нер1в-ностей:

а0-71Хд° > 0, (М _ Д30)Х + Л2 _ од > о

4 71 а '7о '

2\(р-2)Н0 > р

210 +2(с0-2А) > О, 71 (.9° + 7ос0)2 — 4ао7о > 0.

Теорема 10. Нехай виконуються умови (15)—(19) i, KpiM того,

)e dxdt < Mi,

«=o

Qi

де Mi-деяка стала.

Тод1 icHye узагальнений розв'язок u{x,t) задач1 (13), (14) такий,

що

и е ь°°((-оо, Г); Яд(П)), щ G L°°((-00, Г); i2(fi)).

Теорема 11. Якщо виконуються умови тереми ¿снування i, KpiM того,

до - Сото > о 2

та р — 2 < --, якщо п > 2,

п — 2

то задача (13), (14) не може мати бшыые одного узагальненого ро-зв'язку в клас1 функщй u(x,t), таких, що

Í "

/ |wIt\2dx —> 0, при t —► — оо. п, «'->=1

Основш результати дисертаци опублпсоват в роботах:

1. Бас (Колинько) М.О., Лавренюк С.П. Задача Фурье для одной эволюционной системы не разрешимой относительно производной по Ь// Деп. в ГНТБ Украины, Ш133-Ук 93.- 29с.

2. Бас (Колинько) М.О., Лавренюк С.П. К единственности решения задачи Фурье для одной псевдопараболической системы// Деп. в ГНТБ Украины, Ш192-Ук 95,- 8с.

3. Бас ^Колинько; т.О., Лавренюк С.П. Задача Фурье для одной эволюционной системы не разрешимой относительно производной по \,Ц Деп. в ГНТБ Украины, N1190-Ук 95,- Юс.

4. Бас (Колшько) М.О., Лавренюк С.П. Задача Фур'е для одше1 нелшшно! псевдопарабол1чно1 системи// Деп. в ГНТБ Украины, ^017-Ук 95,- 46с.

5. Бас (Колшько) М.О., Лавренюк С.П. Задача Фур'е для одше! еволющйно! системи з другою похщною по часу// Деп. в ГНТБ Украины, Ш018-Ук 95.- 26с.

6. Бас (Колшько) М.О. Задача Фур'е для одного нелшшного па-рабол1чного р1вняння // Деп. в ГНТБ Украины, Ш018-Ук 95.-

7. Бас (Колшько) М.О., Лавренюк С.П. Про задачу Фур'е для одше1 еволюц1Йно1 системи не розв'язано! вщносно noxiflnoi по t// Тези всеукрашсько1 науково1 конференцп "Hoei шдходи до розв'язання диференщальних р1внянь", Дрогобич, 1994, с.13.

8. M.Bas (Kolinko), S.Lavrenjuk. Foureir problem for some parabolic sistems// Thesis of international conference "Nonlinear differential equations", Kiev, 1995, p. 11.

22c.

Kolinko M.O. Fourier problems for parabolic and pseudo-parabolic equations and systems

Thesis on search of the scientific degree of candidate of physical and mathematical sciences, speciality 01.01.02 - differential equations. Lviv State University, Lviv, 1996.

Submitted are 8 scientific papers which contain theortical investigations into the problem with initial conditions missing from there (Fourier problem), with it being applied for Sobolev-Halpern type systems, including the pseudoparabolic systems, and for a some kind of parabolic systems and equations. The sufficient conditions for existence and uniqueness of the generalized solutions (in the sense of integral identity), which are sometimes enough to the unimprovable ones are stated.

Колинько М.Е. Задача Фурье для параболических и псевдопараболических уравнений и систем.

Диссертация на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.02 - дифференциальные уравнения. Львовский государственный университет, Львов, 1996. Защищается 8 научных работ, которые содержат теоретические исследования задачи без начальных условий (задачи Фурье) для систем типа Соболева-Гальперна, в том числе псевдопараболических систем, и для некоторого класса параболических систем и уравнений. Установлены достаточные условия существования и единственности обобщенных решений (в смысле интегрального тождества), которые в отдельных случаях близки к неулучшаемым.

Ключов1 слова: задача Фур'е, napaбoлiчнi р{вняння, псевдопарабо-лгчш piвняння, системи Соболева-Гальперна.

Пщписано до друку 21.12.95 р. Формат 60x84/16.

Ум. друк. арк. 1. Зам. 2/45. Тираж 100 прим. Вщдруковано з оригшал-макету в СП "Малти-К".