Задача Коши для параболических псевдодифференциальных уравнений с начальными условиями в пространствах обощенных функций типа распределений тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

ргъ од

2 о -З.й

Ч8ря'1»ецакий дерхаикиЛ университет Ю.Федьков-^Ё

На правах руконису

.1 1 Т О Б Ч Е К К О Влаяислап А^ггошвич

ЗАДАЧА ДОИ 'ДЛЯ ПАРАЕ0Л1ЧНЙХ 210ЕВДР^^ШГАЛШХ Р1ВйЯНЬ 3 ЙОЧАЖОЗШ УМОВАМй Р. ПРОСТОРАХ УЭАГАЛЬНЕНИХ ©ГСЙЩЙ ОТ1У РОЗЛОДШВ

(OI.OI.02 - дафереятальнг ргяяяння)

Автореферат дасертацн на ядооуття наукового студайя квндидета фчзйко-математичвдх наук

чрршещ 10Э6

Дасертедгею е рукопис

хобота влййяннр на ке^едр! мачематячного мсд9^№вэння Чорнгвз'.;?.ко1'о державного -университету К. Фодьковкча

Науксвий кер1Вних

- доктор $¿3.- мат.наук, доцент Городацький 3.3.

0фЩ1йн1 -опонента - доктор ф1з.- мат.наук,

профеоор Щорбиаа В.О. - доктор ф13 - мат.наук, професор Слюсарчуя В.С.

Пров1даа органЧзащя - Ктвський нацюналышй ушварситет

1м.'Т. Шевченка

на зас1дати спенгая'.довано! вчено1 ради К 07.01.04 в Чершвець-кому дэржэвчому университет) за адресов: 274012, Чернти -12, вул.Ун1верситв?ська, 28, математичний факультет

3 диоертец/лп можна ознайодиггись у б1бл1огвщ Т'ЩУ за адррсого-вул. Лес! Укра!нки, 23

Автореферат розхслано »1в_ « ЛК^РГО 1Э9В

Вчений секретар спещалзовяног вченш рада ^и^1-/? А. М. Седов'як

ЗАГАЯЫГА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТК

Акт7зльп1сть те',д. У тоорп зндяч! Коип для парабол!чних пспв -додифрреншальттх р!внянь на тепершнШ час добр? в!дом! результата 1;ро яоОудову, огинкл та асиштототву поввдшху при {х| -- +<» фундаментальна; розвЧчзгив задач! Кош!, за допомогов яяих одержано зображев'Гш розв':кшв у вкгляд! мтеграла Пуассона в клэс! сОмежэнах яэперерпнях Функшй, теорзмя про пошд!вку розв'язк»в ],рИ НЭОбМСЖЭНОМУ ЗрОСТЗЯШ ЧЗС0В01 ЗМ1НН01 ( стаб!л!зац!я розв'яз-к1в ) та !х нев1д'ег,шк:ть. Щ результата с науковим аадбанням ряда в1гшзнтгах та заруб1хяих математики, зокрема Л'аказе И., 51)1п-Ка1 К., ТБи1зип11 0., Ейдвльмяиа С.Д., Дрг-ш Я.М., Федоркжа М.В., Кочубея Л.М. то ш. Злачно моте ¡ятчепо задачу Кош для вказянлх лгвнянь у шстадку, коля початков! умови с узагальш.ними функш-ями. Залшпаються актуальными там питания:

1) ВСТ8НОВД0ПНЯ коректно! розв'язност'1 задач? Кош! для пара-бол1Ч1ИХ псевдодафоротцальшпс ршшнь з негладкими символами у випадку, коли початков! умови е узягалыюними" функщями типу роз-подшв;

2) досл1джешш граничних властшюстей розв'лзкш при наближен-ш до Пивршюшиш г-0 ( тсбто, встановдення гснувагшя у них, взагал1 кажучи, узагальнених граяиць при ь—+0 1 зяаходження множив початковнх зпачень ) та вщпукання формул, ¡до зображують глада! розв'язкя через початков! значения;

3) досшдасешш повел иши розв'язшв задач! Кони при I—•+«> у просторах узагальнених фулкщй типу розподшв ( слабка гтаб! -

Л13ПЦ1Я рОЗИ'ЛЗЮВ ).

Мета робота. Метой дисертаЩйно! роботи с:

1) знпходшшл загяльного пигляду вах нескигчетю дифервя -Шйовних по х у ша{>1 П:-(0,Т розв'язшв пяраболхчних пеэв-додиференшялыих ршнянь полшомюльного в.ггляду з операторами, лих диотъ у просторах узагальнених перюдичних функщй;

2) доведения коректно! розв'язност1 задач! Кош! для таких р1в-нянь з початков;ади дэпими, пк! б узагальненими пер!одичними функ-ц!ями; встановленнп властивост! локал1зац!! рсзв'лзк!в задач! Кош! для вгсазанях ршнянь, яка нолягае в тому, що якщо початаова умовп - узагальнена функц!я Г - в дояк!Я оОлвслч 1 с к" збггвкт.,-

ся з непэроршюю фушаею е, то розв'язоя КЦ.х), в!дао-

В1ДНСМ ВвДвЧ1 Кош! Зб1ГССТЬСЯ до £ яри р1ВНОМЦШО на ДО-

БАЛЬНОМУ КОМЯЯКТ! (К с 0;

3) описания тополог!чно! структура простору Ф, едементами яко-го е Н80К1Н*-ТВ1Ш0 дифер8НШйовн1 на К" Функци по л I ном сального порядку спадания на насктчешгост! та простору Ф' - тополог!чно спряженого до простору Ф ; досл!джепня властивостей осшвних опе-рац!й у таких -просторах;

4) довадешя коректног розв'язност! задач! Кош! дая пара0ол1ч-них р1виянь гол1ном¿ального вигляду э початковимн давзвш, як! в увагальншшмя функц!ямн з простору Ф';

5) доведения теорем про шгастивосТ1 локал!зацн та слабко! ста<51Л1зац11 розв'язк!в задач! Кош! для вказаних ршшн;,.

Науковэ новизна результат!в дйсертацп полягае у:

- одвржаня! ээгального зображвння вел гладких в О перюдичних розв'язк^о парабол!чних псввдодафёренШальних р!впянь голшом!- ■ ального вигляду;

- Ч?1ис8нш тополопчжн структури простор1В Ф та Ф'; досл!д-жвнш властивостей основних операц!й у таких просторах;

4 - доведенн! корзктно! розв'язност! задач! Кони для нарабол!ч-них псввдодафервшиальних р!внянь пол!ном 1 ального взгляду з по-чатковими датами, як! с: а) узвгальненими иер!одич1Ши функШями; б) узагальпенимй функшями з простору Ф';

- .доведешь теорем про: а) властность локал!зац! { розв'язк!в задач! Кош! для р!внянь полIном!ального виг ляду с початковимн даними, як! е узагвльненими пэрюдачними функциями; б) власти -вест! локалхзацн та слабко! стаб!л1зац!1 розв'язк1в задач! Кош! для р1внянь пол!пом!ального внгляду з початковими даняш, ши е узагальнош1ми фушоиями з простору Ф'.

Метода д<?сл1дкень. При знаходжоши загального пигляду гладаих розв'язюв вказапих р!внянь та вствновленн! корвктно! роза'изноет! задач! Кош! для таких р!внянь у просторах узагельнених функц!й використовуеться та розвиваеться методика дослЩжэнь М.Л.Горбачукв 1 ВЛ.ГорбоЧук з теор!! граничних зяачеяь розв'яз-к»в абстркктсих дифорвнтаяьно-опэраторних р!внянь даряоГо порядку, в тгжо.ч методика досл!даоаь Г.е.Шилова, Х.М.Гвльфгшдя, С.Д.ЕЯдельмяий з теор!! парабол!чних р!вшгаь 1 систея р»еаянь.

Нзукова 1 практгг-кю ц1нк1сть роботе. Робота носить теоретпч -нзй характер. Результата та методика дисертзцШо! робота можуть епоЯта застосувааня 1 годадыгай* розвиток у теорН гэдач! Коли дЛя ЛПИ'ЛНДХ П0рЗбСЛ1ЧЛИХ рШШХЪ При ДОСЛ1ДЖВШП влостиооствй 103-в'яз1с!в, у теорп узагзльнепих фукктй, теори самоспряжвши оператор ¡в у гигьбортозому простор ¡.

На зайдет влнослться:

- тесрем;няро топелог¡чау структуру простор!в Ф та Ф'; власти-вост! основам опэрацП* у таких просторах;

- теорем-д про загалъшй вигляд ткмх гладких у шар^ О цврюдач-шп розв'язк!в парэбол^иих псевдодяфэренц18льши р!вшшь пол¡но-м!ального вигляду;

- теоремя про коректну розв'язнюч^ задача Коа! для парабол¡ч-них псевдодифиретиалышх ршзлнь жшжшального влгляду з по -чатковимя дшши, якх в: а) узагялыгоними перюдячндага функщями; б) узагалыюними футаияил з простору Ф';

- теореш про: а) властишсть локалшагш розв'язклв задач! Кони для р1внш1ъ 1юл!ном13льного вигляду з початковими дяними, як'! в узагалыюними гюртдичними фупкшями; б) властивост! ло-кал1зацн та слабко! стаб^зацп розв'язк1в задач! Кони" для р!внянь пол!ном1эдыюго вигляду з початковими даними, як1 в уза-гальнешгщ функщями з простору Ф'.

Дпро0ац1я роботи. Основн! результата днеертацн допов!дались I обговоривалясь на:

- пауковому сем!нар! матемнтичного факультпту Чершвсщького державного университету }м. Ю.Федьковича (Чер.'Пши, науковий кэ-рПчпш семшару - проф. С.Д.1васишен, 1995р.);

- Львггському шському пауковому сешнар! з дифоренщальнях р1внянь (Лыз1В, пауков! кершшки сомтару - проф. Б.В.Пташик, проф. В.Я.Скоробогятько, 1995р.);

- проблемному с^мигарг з дифероншэльижг ршшнь Ктвського национального ¡¡чпвврситету !м.Т.Шэвчонка (К:;.1В, науковий кор!в-ник сем »пару - проф. Порестгак М.О.):

- М!жаародгий млтоматолнй конференц!I, присвячон!й пам'ят! Ганса Гана (ЧорШлЩ, 1994р.).

Публ1кыЦ_[л Но. тем! дисертзц!! опублшойано ° праць. 3 результат сшлытих 1фэць [1-31. [6] автору дисертацп налажать

тоореми про:

- коректну розп'язнють задач» Кос: для парабол ¡чти. псевдо-дафарепшалышх рхваянь шшшшального взгляду;

- загьлышй вигляд ус!х гладких у шарг 0 перходичнах роз-в'язшв вказаних ргвнянь;

- власт1;вост! локалхзацп та слабко! стыбтлгзяци розв'язх!в задачх Кошт для таких рхваяпь, а також теорема, що описуьть тополопчну с -руктуру простор}в Ф, Ф' та властивскгн осдавши

операцЮ у -да просторах.'

В.В.Городецькому, з результат!в вхазашга саьлыпп пра"ь, плакать тьоремл про побудову та властлвост1 псевдодафорешнальних оператор (в, що дгютъ у просторах узагальнешх пер^одачижс функцШ та в "простор! Ф', як! наведен! в дасертацп без доведения.

Структура та об'ем рсботи. Дисертацгя асладаеться з вступу, двог розд!л!в 1 списку цятовоно! л!тератури, що н1стить 41 найме нування.

Зи1ст дисертацГ!

У вг.тупI обгрунтовуеться актуалыисть теми роботи, визначасть.-ся мета дисар'ащ! .даеться стислий огляд литература та коротко викладаеться зшст роботи.

У Пбраюму роздш розглндаються пара'болхчш псевдодиференщ-альн! рШшшя, що М!стять оператор дробового ^¡гХерещиованпя. Досупдауоться короктйа розв'язШсть задачI Кош! для таких р!в -нянь у просторах узогалъпених перюдичшм функций несктчешюго иор^-у типу ультрарозпод!л!в Жевре, як! е лШШммл неперврвшят Фупкцюналами над простором тригономзтричних полтом!в. Видшгсть-ся максимальная прост¿р узагвльнених початкових дзниг, як! зобез-печуэть (снувэпня единого розв'язку вказано! задач!. Для розв'яз-к!» задач! Кош1 у досять широкому клагл узагвльнених початкових даних типу ультрэрозподшв Жевре встановлено принцип доюшзацп .

Пвршй розди! асладаеться з трьох параграф!^. Параграфа 1.1 та 1.2 носять допом1жний харвктер.

У § 1Л наведено основш поняття та тверджоння, що стосуються Т&ор! ! ПрОСТОр10 ОСНОВНИХ ТВ узЙГаЛЬНвНИХ ПОрЮДИЧНИХ фуККЩЙ.

У 5 1.2 розглядаеться аналог операцп дробового да1еренЦ1«в&н-пя Вейля у просторах узагальяешк пер'юдичюх функщй. запропоно-вано! В.В.ГЬрэдзцытам, та певодяться деякг II властивост1 (звичай-на форма дробового даферэяцгаэання за Р1 ма ном-ЛI у в'! ле м в непри-датноз у тс-ор11 тригономэтричнкх ряд!в, оск1льхл вона пврзодичш фуНХЦИ. ЛЗВГаЕ! КПЗГ/ЧИ нв переводить у Шр10ДЛЧН!. 3 ТИМ Ж9 П8-РГОДОМ, ФУТШЯ11 >.

У § 1.3 розкжзеться тэорхя задач I Копа для парабол 1ЧШх псевдодаФзрзнц1Ельн2х р!знянь полшом!ального вигляду, а сама: встановлззться 11 коректзэ розв'язшс^ь у виладку, коли початков1 д;»п е узагагьпэЕггя фуняцьчмл типу розлодШв та ультрарозпо-Д1Л1В клзсу Нззра;

досл'$дж5гються жсгсн! властивост1 розв'язк!ь, зокрвма, влестшпсть Л0КйЛ1301иЬ

Перййдеглз тешр до влкладу матер1алу першого роздиу. С?толом О" шзнэчето сукутисть ус^х- л1н1йнлх нвпорервгоп Функц!ояая1в нвд простором

Ф=1Ьп 1иДФр. ®р :=■ | 1гке1(к,;я:)' гвг+ Г!

вЛомен^та Ф* вазялалтьоя узагальнекими перюдичними фунгацямя. Ф* атотожнгоеться з простором ус!х формалышх ряд!в Фур'в:

СТбФ'У С I С^е*0^, Сл1-<1.р-!(к'ж>>, ьг*" ). ~

Розглятгзя» тепер р1вияшм

Ш ' -

-гну — - р<г,А(1)У. ц,я)вп, - (I)

^ *

да Р(г,Аа)= 2, ак(1,Аа ' пеВ1, нвпврврвш футтаи».

ке{1,...,г8К Ая - звужешш Па йроет!р Т.г(0^), ГО,, оларя-тора А » Ф'. д*я я к*) то вионо-чавтьсн ш1ввТДЛош0нш!м:'

.Г - Y Ikft e1"1'1'. í- Y e,tfí(k'x) e Ф\ a>0,

1 ■ ■ И A-j К

A ..... - . _ , ..

U iu • • K. i-. к

kejr" MR¿y

C, =<î,e~i(k'z)>, ke2n ,

Yî(0,ïJ--»R нвпорервна додьтна функщя така. що J =0(t,p), р>о.

* О

Вважаемо також, що многочл&н P(t,t) эадовольняе умову "ptBHoMip -hoi парабол1чност1":

Vte (О,'Л VÇeR 3 бо,01,Се>0 P^gi-öo*"®!! t^^JOPÍt Д

Pibhhhiw (I) недвл! нвзивотимамо п.ар8бол1чним лсоВдодафервн-щалыглм."

гв

Шд розв'язкои (I) розум1тичвмо фуняц!» Ve С ( (O.'l'í, UQ1Ж (Aí^) ), яка задовольняв рхшяння (I).

Одаш з основних розультатгв перяного розддлу е кистушш тввр-дж0ння.

ïsûpcua 1.6. Функщя U(1.x), (t,x)eí¡, е розв'лзчом р1внянял (I) год! t Т1льки тоди колк во на воОражаеться у влгляд:

t.

{/(t,x)- J (у OexpíKk,*) ► J'. rl-t), ■ Í2)

' a

1 L ' ti/OTi)' •

nez" -

Тут С!, ^ , f¡>0 - сукутпсть yen неекппенно дгефрешийовних ■ Йи-иврюдичних в R" Фугаоий, як i звдоволышвть умову

ЗОО ЭВ>0 Vie?? Vxeff^1: ¡(х ) | '4 ' î|r ..

де стел! С,В залегать в!д ФункцП ц>; ~ простíp yetx лппй-

:шх шшроршмх ФункШонадИ) над G^ at слабков збшистч.

Задача Кой i для р-«вняннл (I) полягае у пнаходж.'-ШН розв'язку ДЬОГО Р1ВНЯННЯ, H КИЙ ЗВДОВОЛЬНЯР. початкову умову y(J,.)=nm

»f, ДО гршшця рОЗУМСТЬСЛ ЯК BÖtlJIlCTb 38 ТОПОЛОГtPW ГГрОСТрру Ф'.

Х'еореца 1.7. Задача Коин для ризняння (I) коротстно розв'зна в простор! початковах даянх (^/(гва))^'' ** Р°эв'язок зображаеть-'.:я формулою (2), причому и (г..) -«■ 1 при г -*■ +0 у простор!

(й{1/(гга)}' '

Отав, !/(гЮ)})' в природним простором 2% - перюдичних увагалыгеких фупкгцй для постановки задач'! Кошг для р!вяяння (Г), йказаний проспр е максимальном простором початкових даних задачх Кошг, при яких р<; • .¡зкя рIвняняя (I) е неск!нчонно длфережийов-пими 1 2х - пер'Юднчними по х функщями.

Якщо припустити, що у рОвнннн! (I) параметр а задовольняе умо-ву а>1, то розв'язок цього рхвнлшя волод!в властжпста лекал!-зацш якщо 2% - пер!одичний улътрзрозподи Ге (^р-,)'. Р>1. зб!-гасться в облает! 0С0П з непврервною 2% - периодичной функцией g, то ->- g{x) при р1вном1рно по х на довольному компвк-

Т! Ж С 0 ( тут и(1,х) - розв'язок задач! К.ОШ! для р 1 вняння (I), пооуловений за функЩею X).

Дпаться також в^дповхдь на питания про те, як повинен поводи-тися розв'язок р!вняння (I), щоб його граничив значения в нулО па-лежало до певного Гфостору, розмщеного мгж Ь?(0п) I (/(гЮ)})'. Закрома, прэвплышм е таке сШвШдпошеття еквгввлентност!: ( У(г,.)=1е(С{р>)', р>1/(гва) ) <=►

( ¡зир ({/(г.ХЖСехр^'Ч); ч=р/(2шр-1) ). хе^

У другому роздан розглядаеться р1 вшитая

да *

— + У к,у V О. и,х)еП, кеШ. (3)

ГА 11

да к'т^тз«!- • • • м, 1=т7к, А^ - оператор, який трактувться

як звуження на Ъ, (К") оператора згортки спец!алыюго вигляду, що д!е у простор! Ф'з -простор!, тополог!чно стриженому до

простору Ф. Зауважимо, що при побудов! операторов А^ (1=ГГК) вико-

ристовуються гтврсингулярш штеграли, як! в свою чэргу визнача-пться пк результат регуляризаци функцН з "степвневою" особли-в!стю порядку р>п, де п - розмОршсть простору. Прост!р Ф визпа-чазться„так, що класичний фундвмйнтальний розв'язок 0(1,.) зада-

- in -

41 Kcffli ДЛЯ пяряrtoJliМНОГО ПСеВДОДИфьрьНЩаЛЬНОГО piBIIiiffilfl 3 не -

гладкими символами a.j , l="T7k, e алвментом Ф (при kosqicms фхксо-

ваному t>0). Виявляетьоя, що V S ( S - npocTip Л.Шварца),

А», ф*?""1 [а Р[ф]], тобто, на Ф оператор Ат збнъечъин з гхсевдоди-

'i • 1 ч

ферещ1альнам оп&ратором, а вказане ртняння вЧдноситься до псев-

д&дифервщцалыш ргвмяпь пэраболшюго тину. КластаяЛ розв'язок .(i*C)(t,x) такого псеидодифераищальыого рхвниння, да t - &вичай-на фушсщя, яка задовольяе iiöbhi умови, попмрювться до öuiiiniiHOi форма <i,G(t,х-■ )>,. де i вже в ельмьятом простору Ф'. Ilpa цьому доводиться, що <J,G(t,x~. при t-nO у простор! Ф'. Це доз-волне стевити задачу Komi для такого ршшшя з почятковиш данями, лкi с узагальненами функщими з простору Ф', встансвити ii роэв'лашсть у простор 1 Ф', дослидати властивост! локал13Я1Ш та слабко! "стэбшзацн.

Другий роздал склйдееться з чотирьох параграф!». У § 2.1 визнв-чаетьсн тояолопчна структура простору Ф та дослгдауються вдвстп-bocti прост tainx onepauifl у ньому.

Вехай 7 - фгксовьне число з множляи (1,+w )\{2,3,4,...>, 70:"nf М(х) =1 + Jx |, хеЖ",

Ф:*

Р 7 1

<peC°0(Rr1)! Vpр,7 зир { У М(х) ° У IDa<p(x) | )<•» ;

f?-'1 ,.,,1 31 J

к'О |Д|'к

до ав;/п - мульти!НД0Кс. Ввадамо ь ф .иаченну систему норм м формулами

' Мр-" I н''х>Т,Ук I l^(x)j), ртФ, рв/ч.

лыл к-о |«1'к

i шзначимо чероз Ф поновивши простору ф за р ога нормою. Ф - ба-naxiB npocTip, при цьому нравильними с т.ипдочня .. t

Ф« 0о. Тололопчна структура простору Ф такв: Ф - поижй доскстя-лий алiчеяно-нормовэяий простер я чополо1Чт проективно» грчяиш банаховж? просторш Ф.: рг Фр , пряч-wy нкладония Ф

Т/МХ1

ношрервш, вилы» i компакт» 1. Поел ¡доги теть (<р„,, i>>1 )<••?> ЯГН спеться И Ф ДО фуЦКД! 1 <рсф ТОД» 1 тг-льки тод1, К"ДЙ роня: . 1) '/5МЯ-sena гз Ф (тобто, V рсИ^ .1 ü>C(p)>0 V i»>1: f-p^.J^ -<0 ); пржякгьгю

- тт. -

а

зсНгаеться в Ф ( тобто для довхлыюго сшУ1 госл (цовп ють {Бх(чу-- ф), ) зб!гаеться до нудя рлвномхрно на кожному компакт! !Кс

ей").

У § 2.2 визначаеться проепр Ф' як сукупиють ус!х лппйнях нвпер&рвних функцюналхв над простором Ф . оскиижл в основном1' простор! Ф введена топологIя проективное границ! банахових простор! у Фр, причому вкладення Фр+1сФр недарервн!, аилъш 1 компакта!, то Ф* - (Игл рг (&р)'-11т 1пй Фр'г при цьому слабка зб!жн!сть в

р-*эд р-.ад

ф' дб!гаг.ться з сильном ( бо Ф - досконалий простер ). Отжо, якщо £еФ', то хеФр при деякому ре2+. Нзймвишо з таких р незиваеться порядком £, тобто кож а узагальдана функция ХеФ' мае ск'шчепний порядок. 1каими слонами, 1 допускав прод'-нжэяяя як лШ11Шй непа-рервнаа фу;?кц!он«л з доякого ( пайменвого ) спряж&ного простору Ф^; при цьому мяе м!сце нерхвнють: |<Х.ф>КС1«р| . <рвФ, де С-|Г|р-норме фуяюдюналу 1 в Ф\ Зазначимо також, що мають мюцв сшв-вшкжоннл Ф^сФ'сФ^с..., причому кожнв вкладоння Рр-?д. е,

ньперэрвпим х компакт*».!. Звгдси та з слабко! гювпоти простор!в Ф^, р-гУ.^, випгагаэе повнота простору Ф1.

У дьему ж пунктI дослтджуыться вшюдки юнуралня згортки в Ф' ( наведено три достатш ознаки и юиувчння ), вяпчяютъея освоят влоеттюст 1 !.ие I операнд I.

У § 2.3 ншздвна схема побудови оператора Аа з ртмння (3), сяп^опоновр.ио В.В.Городецьким , а також побудсяно спряжений оператор >\* до опоратора Ад. Вивчакггься властивост1 фундамента,'" того розв'язку (!(!;,.) р1вняння (3) як абстрактно! Функцн параметра X у простор! Ф, нстановлюються ощнки пох!дшге функди О. дослдауктм'Я поввдппса прч роов'язк»в цього рюнлняя,

якI подняться у пягляд! ГсФ', I е ивспнченяо ди^'врепцЫов-пими по к Фуигаиямч. Одержан! результата зястосовувться при до-РРДОНН! КОрмКТНО! рОЯВ'ЯЗНОСТ! ЗПД8Ч1 Копи для (3) я початчояим« даними з простору Ф'.

Одначешш. Функтя о:®"-»-!'),-») палеяэтть до кляпу л , якщо а • одчор»доо Функтя порядку а ( тобто, з(\х)*>Л>(т), ) та т>«ко-чуютьоя ум'шн:

1!.а - нн!юр£рнч'1 дифпрпти Вовне на 0,'1\(П> до порядку П'1а) Футч'Ия;

- 12 -

2) П0Х1ДН1 функцп а задоволъняють нер1втст1 |Б^а(х) |к¡а~1 т''. 0<|7|£п+[а]. хе11Г\ш>;

х I

3) 3 е->0 V хеК11: е(х)»51х.:а. НехеЯ аеЛа I

• ' ■ »:-{ ГеЬ1 (К"): ^^""Ге!^ (К") }.

Тод! ¿снуе функшя ( характеристика ) П(х'): =П(х/[х|), С1(х')е Ь, (8 .) ( Б , - единична сфера в В?"1 ) така, що

I 11—1 П—I

У Ш: Р~1 {а?Ш 1 •

де символи ?, Р-1 - в1Дпов1дао поэначають пряма 1 оОерненв пере-творення Фур'е, - I*гпорсипгулярииИ оператор нейтрального типу порядку а з характеристакою О, тобто

(Бд-Г) (х): =сГ1;[ П(Ь') (¿¿I) (х)Цй|_1п+а>сШ, хеК*. 0<а<1,

' 7 В?1

( тут А^Г - нвцентрована рШгаця порядку I функцп I з векторним

крокоь« Ь ( з центром у точц! х, й -деяка стела, эалежна в!д и,1,а).

Розглянемо тепер функцию 1а п(х):-СаП(х')|х|"(п+а), хеКг'\{0}1

Да

Сд—пГ(п/г+1 )2аГ(1 +а/2)Г( (п+а)/2)з1п( (атс)/2).«>

Ре'Гуляризац4ею функцп 1а п у простор! Ф' називавться такий функцюнал аеФ', що не вс!х основних функц!ях среф, як! обернешься тотожно в нуль у окол1 нуля-, його значения р}вне

• <га,П' ФЧ *а,П(х)ср(х)с1х-

К"

В даному випадку мояша запропонувати явну формулу регуляриза -'ЦП:

V <реФ: <Га>0. <р>-/«р(х)- I Ф$р)(0)х*/Л №-х< )|х|"(п+а>Л. • ' К"

Нехай тепёр а>1 1 а*2,3,4.....Е' - сукушисть ус1х фштгах

узагальнених функц!й з О', що лежать кцльно у Ф'. Побудуемо с!м'ю

операторíb tЛ;13. ukí диоть з В' в Ф* так: V feg': AaI=f*Fa q. За-•,'йачимо, що вкаэана згортка tony е. 3 властявостей лшйност! t

::enepepbaov.ti згортки вшшшев, що при кожному а оператор Ац- л1-тйний t нолерервний в Ф'. Вцявляетьсл, що

( Г*га>0 )(*>-( Dq(P )(х), <реФ.

Пехай Аа - звуи&вня оператора Аа на Ъ^К"). Тод t. як встанов-лэио В.В.Городецьклм,

а) Ф(Аа)«{фз1(| (К")! 3 Fa?n*<P>, ЖТй^Т-Ь, (Ж"). ФсЗ>(Аа); о) - з&чкнений оператор в Ь^К71);

Ii) A(,f [a?[f 1J, V ГеФ.

Зрахувввяи влпстявють в), оператор Ад назш?атимемо псевдоди-;1врешип."ытм оператором, побудовоштм за символом а , а ршмння ''!), в «кому беруть участь операторч йд> - парабол!чним псевдо-дяФергшичлымм р1витшям.

Яхдо розглядота оператор Ад як звуження його на rrjocTip Ф,то ~неротор Аа в лпнШши J вечере рвшм ( öo татами властиюстями иолод!Л,ть онорац!! горзтвореяня Фур'е у простор! Ф ), I спряжяниЛ ,<о пьоуо - -»• Ф', причому

гиф; A*f-FtaP_1 [Г] 3 ¡míe для рлгоишпя (3) задано початкову ушву

• y(t,.)It.0-í, (4)

геФ', то ¡пд розв'язком оадач1 Кои! (3), (4) розум!тамемо

i-VHKHtf» ССОД'i. )), яка содоволытяе ршшшя (3) i по-

osy умоку (4) у тому розумИш!, що f/(t, •)-*■!, t-^Ю. у простор! Ф' -

\охой

't,x):'Р"1fexpC-tPfJ))!(x), te(О.ТЗ,

- lA - .

к

да P(i):- z МО, ~ о'лмвол оператора А^ , аче Л , 1-T7S- Якгдо 1=1 ~ 1 i "" '1 покласти Т'"^. то G(t,.)e® при кожному te(0,?]. Задача Komi (3),

(4) е королю роэв'язжяо в ijiaci узггальнэних фузкцгй 2'. Ii

• розв'язок дк*еренц1йовни2 по- t, несзанчешга дафзренцШовиий no х

'! дастьсй формулой i/<t,xMX*G)(t.x), (t,x)eQ; ;три цьому act.. )еФ

(Т'7-,) для кожеого te(0,T].

' ' Резв'язск задач! Kost (3), (4), волод!е властью г ста локалгза-ii11, яка фориулг-осться гак. Нехай te-E', Viz,к) - розв'язок задачi Kossi (3), (4). побудованхй за фугеоцеэ X. Тод5, яг-ю узагальнопа початкова функ:и.к X збхгзетьоя в облает i Q с sv.ppf з нвдюрзрвно» функций g, то I/(t,x)->.g(x) при t->+0 piBHOMtpro со х на дошль-кому .<0МЯ2КТ! fc<3.

Зазначжю, що наведен! тут тьорамл справедлив! 1 -в тему вапед- , ку,. коли "початкова узагальнена функщя ХеФ' Т£ка„ ¡до ?EXi s муль-■шшкатором у просторi ®'-(1ЧФ])'. Тому шдсумуемо основш ре -зультатн у вигляд! наступно! тоореш.

Теорема 2.7. Задача Kcc'i (3), (4) розв'язна у wwi шчаткових узагальнвних $ункц!й ХеФ', для яких ?Ш с мульташпкетором у про- «--сторГФ'*(?№))'. и розв'язок даферекцiйовний по- t, неек!иченао дйферонщйовниЯ по х_,! даеться формулой

i/(t,x)-(X*G>(t,x), (t,x)eQ.

При ¡г>ому, яшцб I - ФинтЯа ^загаЛыют фуннщя, то задачу Koul (3), (4) корьктно розв'язна i-U(t,.)еф-при кожному te(0.TJ. Якщо Г Зб1Гаеться в облает! (J с If з неперервгкда функциейто U(t.x}~*-~*g(x) прй t->+0 piBiioMipao по X на довольному компакт^ BfcQ.

У § 3.4 вивчаеться гитання про слабку с^аб!Л!зац!я розв'язку 38Дачх Нот для р1вняння (3"), а саке, як! умбш повинна аадозоль-нята початкова урагальнена ФУнкшя f. при виконашп явж <11

Ср>-+0 при t-—+» ДЙТ ДОВШмЮ! ОСШВЯОГ фу HSU i I ((>.

. Розтлянеш одаопараметричну ciM'ro Пперпойерхонь 5-t (х)-С, с^о ( при ф1кеоВаному-1, t^tQ>0 ), дка волод!е насту'пнами вяастивос-тями: I) вена йкладаеться i-з замкрешн одгюйи.' язнмх гшйрповвр-xam>; 2) якщо r(c,v,t) - довжийгг вектора, що з'еднуе початок координат: з точкокГ Мдаргсошрхш $t(X)*C t упщях! кути %/Z-v^ 3 •ocn»ei-Xi, 1-Z.....л , J -ity? %/2-v^ Mt* Biccu xt i його uppBKi)(lei)

но ппэрллощгсту (x ,x ) декартово i састэма координат, то r(c,v,t) Mas неМ'рерз;;у додзтау :,ох1дну по параметру с; 3) дня дошльнж

C,V,t, БИКОНУЮТЬСЯ H8píB*íOCTi

C^c.v.t) !г.ез?^Сг rn<o,v,t),

с с

до Уф - Tija, обнэаз.й гтериовэрхнями ©t(x)-c, rnes^ - Mipa

Жордана такгх tí л, C1 .Сг - додал» стал i. Прллуйсаемо також, що ipil ï—»--ют сш'я rinöpronapxoHb 3>t(;:)-c зб!гаеться до cíh'í зам-кнэшк гчпврнозерхояъ F'x)»c.

Говоритамэмо, цо узагальнена функция ХеФ' мае узагельнене гранична сэродюз по т!лах Vp, pi вне I i пчсатимэмо Mp(i)-ï, якщо

1

V (реФ: lim--—— J"(f*(p) (x)ux-tf ф(х)с1х.

С"х ■ ir.esVp if?

Мае м1сце наступпа творзма.

Теорема 2.9. Нэхай фундаментальная розв'язок G задач i К.ош!(3), (4) ( при t>0 ) стадий по X на сЧм'ях гпюрпояерхонь <I>t ( з властивостями I) - 3) ), що прямують при t-*-+oo до ciM'ï гшерто-верхонь Р(х)=с. Лн'до початкова узагальнена функщя íe<í'\E' така, що ?[£] е мультиплчкатором у простор» (Ft®])' i M'|(f) =0, то розв'язок U задач i Komi з початковою функщега Í слабко стабхлюуеть-ся до пуля, тобто

<îT(t, ■ ),ф>-»0, t-»-to3, феФ.

При сильшппис обмежеппях на ночаткову узагальнену функцш I ш:ша говорцти про стабглтзащю розв'язку задан Komi для р1внян-ня (3) до нуля у звичайпому posyMiHHi. А само, яюцо ГеЕ', то розв'язок U(t.x) задач'i Komi (3), (4) ( при t>0 ),побудований за початковою функции Г, 1грцмуе при t-*'+« до нул,1 р1внсм1рно на до-пиьному компактí IKdií1.

У цьому ж параграф! у пичадку парабол1чних псевдодкферещЦаль-нях р!внянь спвщального шгляду знайдено нообх1дн! i достатн! умови слабко! стаб1Л1зацн до нуля розв'язкЧв заддч1 Кош! для таких plBHHHb.

- 16 -

Осковн! результат» 1 висновки

1. ЗнаПдсно загалытай вигляд ycix иескшч&нпо диферошийовшк

ПО У Т! Q ТУ^В' *т» ттпппЛп-'Мтглнг тгно»im п¡г'I г .п лктт'лу n f mTftir-, ■

t,^ ^ fc. - w ~ ..w-..^ .........---^л-Л",- ^ I —----—---r1..........

nojiiHOMifjjibHoro внгляду (I) з операторами дробового дкфервицшван-ня, шо д!ють у просторах узагалыюних порюдачних фуякщй.

2. Доведено корактпу розв'язн^ть задач! Кош! для таких pin -нянь з шчатковимн даними, JiKi в узагальненими перюдичними Функциями. Встатюш"чно властишеть локалхзацп розв'язк!в задач! Komi для вкоэаних рлвняпь.

3. Описано ТОПОЛОГi4Hy структуру просторгв Ф та Ф' , ДОСЛ1ДЖВНО властивостi (. .мгаишх опера;цй у таких просторах (зокрема, знай-двно випндки юнувшшя згортки у вказанях просторах).

4. Доввд&по кориктну розв'язнють задач! Koiui для парабол1ч -них псевдодаферентвльпих piBiwnb впгляду (3) з початковимн да-ними, як! е узагальненимл функц!ями з простору Ф1.

5. Доввдвно теореми про властивост! локал1зоци та сдабко! ста-бШзацП розв'язкхв задач! Komi для рюнянь (3).

Отжо, в дасертацп розшшана тооргя задач! Koai для нарабол!ч-пих псявдодиференц!альних рЧвнянь пол!номгалыюго взгляду з по-чатковами умовами у просторах урагальнених функцхй типу розпод!-лт т° ультророзпод!л!в. Описано гладк! рсзв'язки таких р!внянь та множили ix початковях значень. Досл!давно якшп властивост! розв'язк!в, а само, властивост! локал!зацп та слабко! стаб1Л!за-Ц1 i -

Основн! положения дисертац!! опубл1коввно в прадях:

I. Городоцький В.В., ЛП'овчеико В.А. Задача Komi для парабол!чних .гсовдодифсфенщалышх ртшнь у просторпх узагалыюних функщй типу 3'// Дои. АН Укра!пи.-1992.-№10.-С:6-9. Z. Городоцький В.В., Л!товчвнко В.А. Про задачу Кои! для деяких псввдодифорвншяльшк ргвнянь у просторах узагалыюних порюдич-них функщй // 1нтогральш неретворошш та ix застосування до крайових задач: 36. наук. праць.-КИ1В, 1992.-Вип.1.,-С.24-33.

3. Городоцький В.В., Л1Т0ВЧВНК0 В.А. Про сЛабку стабшзащго роз-в'язк1в зпдчч1 Кош! для парабол!чних дафоронщальних р^внянь // 1нтогральн! перетвороння та ix застосування до крайових задач: 36. наук, праць. -Кит, 1995.-Вшь 8. -С.1Я1-194.

4. Л^опчтшо В.А. Задача Кош! для парабол1чних псввдодиферошп-

алытх р!внянь у просторах узагальнвних функд!й типу 3'//1нте~ грзлън! пэрэтвсрання та IX застосувенння до крайових задач: 30. наук. праць.-Кшв, 1995.-Вил.9. -С.243-246.

5. Лгтовчангсо В.Л. Про стабШзацш розв'язк!в задач! Копи для па-рабол;чннх ггсевдодифврешпалыгах ргвнянь у просторах узагальнвних функщй типу З'/Литегрольш яврвтворвяня та !х оастосування до крайових задач: 36. наук. прадъ.-Ки!в, 1995.-Вил.10. -С.122-126.

6. ГородзцькиХ В.В., Л'!товченко В.А. Про стаб!л!зац!ю розв'яз -к I в задач! Кош! для парабол1чних псе в до да:;» р о нд 1 а л ьних р1внянь у просторах типу'Б'// Тез^ М1жнар,- конф., прясвячэно} пам'ят! ака-дешкз М.П,Кравчука (22-28 вересня 1992р.);- Кшв-Луцьк, 1992.-С.49.

7. Л1 товчвгоот в.А. Про гранйчш значання гладких розв'язмв де-пких псввдодифвренщальшгх парабол г чних ршмнь //Тези м!жаарод-П01 математично! конфер&нци, присвячево» пам'ят! Гана Ганса (10-15 жовтня 1994р. ).-Чери!ВЦ1, 1994.-С.90.

Lltovchenko V.A. The Cauchy problem for parabolic pseuclodlife-rentlal equations with InltJal conditions on the spaces of generalized Junctions or distribution type. Manuscript. Dissertation Is presented ior the scientific degree of the Candidate of physics and mathematics sciences on the specialisation 01.01.02 - differential equations. Obemivtsy State University named affer Y.Fed-kovicli. Chernlvtsy, 1996.

The correct solvability of the Caucliy problem Is established for some parabolic pseudodifferentinl equations of polynomial type with Initial conditions on the spaces of generalized functions of distribution and ultradistrlbution type. The properties of localisation and weak: stabilization of solutions of the Couchy problem are investigated for such equations.

Литовчганко В.А. Звдача Коши для параболических псевдодиф1»рен-циалышх уравнений с начальными условиями в пространствах обобщенных функций типа распре делений. Руко1Шсь. Диссертация на соис,-канив ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности О1.О1.О2-да1ференцйэльны0 уравнешм. Черновицкий государственный университет им.Ю.Федьковича, Черновцы, 1996.

Устанавливается корректная разрешимость задачи Коши для параболических псевдодмМеренциалышх уравнений полиномиального вида . с. начальными условиями в пространствах обобшешшх функций типа распределений и ультрараспределений, а также исследуется свойства локализации и слабой стабилизации решений задачи Коши для указании уравнений.

Клдчов! слово:

парябол1чн1 псевдодаЬорешиалып ршшння, узагалыюн1 функЦП, задача Komi.

Пщписано до Др/ку 29.01.%. Формат 60x84/16. ¡Татпр друкарський. Друк офсетшш. Ум.друк.лрк. 1,05. ОПл. ннд.арк. 1.06. Тираж 100 прим. Зам. 016.

Др>кярня мщачшштва "Рута" Черь'венького держушверситету 274012. Чершшв, вул. Коцюбинсъкого, 2