Задача Коши для системы уравнений, описывающих движение суспензии в жидкости тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

ХАРКІВСЬКИЙ ДЕРЖАВШІЙ УНІВЕРСИТЕТ ' 1 6'

-..:...--------------------- На правах рукопису

Аношенко Ольга Олексіївна 'уІиаг^'

ЗАДАЧА КОШІ ЛЛЯ СИСТЕМИ РІВНЯНЬ, ШО ОПИСУЮТЬ РУХ СУСПЕНЗІЇ В РІДИНІ

01.01.02 — дифєрендіальпі рівшипіл

АВТОРЕФЕРАТ дисертації на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних паук '

Харків — 13'11

Робота виконана в Харківському державному університеті, . и.Харків

Науковий керівшш: члсн-кор. ЛН України,

доктор фіз.-мат. наук, '

професор

ХРУСЛОВ Євген Якович,

Офіційні опоненти: доктор фіз.-мат. наук,

професор .

. НУЄШОВ Ігор Дмитрович,.

' кандидат фіз.-мат. наук, _

завідуючий лабораторією УкрНПОВ . ЛЬВОВ Віталій Андрійович

Провідна організація: Інститут прикладної математики і

. мехавіки АН України, м.Донецьк

Захист. дисертації відбудеться З 1994р.

о /Г* годині аа засіданні спеціалізованої вченої ради К 053.06.02 Харківського державного університету (310077, Харків, пл.Свободи, 4, ауд. 6-48). .

■ 3 дисертацією можна ознайомитись у' Центральній науковій бібліотеці ХДУ. .

•Автореферат розісланий

Ю94 р.

Вчений секретар спеціалізованої вченої ради 4.

Сохін А.С.

Актуальність В останні роки потреби екології, а також

широке коло технічних задач викликали великий інтерес до процесів руху твердих дрібних частино:; у рідині іі газі. Не, наприклад, пов'язано з проблемою лереяесешія радіоактивних дрібнодисперсних твердих зависеґі водяними та повітрядимл потоками, з іштаїгиямн будови транспортних повіїроироводіи, пнлеулоилюначів і т.д. ' У багаточислеиних публікаціях з цього питання, серед яких можна відзначити, наприклад, монографії И.О. МихаЯлоної, С.Соу, А.Форт’б, розглядаються, як пропило, двохфазні моделі, що ошісують процес руху дрібнодисперсних зависей малої коппєнтрації. Характерною рисою цих моделей в те, шо дрібнодисперсна тверда завись вважається суцільним середовищам і рух суспензії розглядається як рух двох взаємодіючих га нламлопроникаючих рідких фаз (несуча рідина та рідина за-иисі'і. Така, двохфазиа. модель, проте, придатна лише у випадку однакових за розмірами та питомою густішою частинок зависі. Звичайно, можливі її узагальнення на п-фазні моделі, але при великому розкиді розмірів частинок пі моделі також непридатні.

Іяшиіі тіш математичної моделі руху твердих дрібних частішок у, в’язкій вестисливій рідтгаі, був запропонований у роботах 33.А.Львова. У пій моделі тверда фаза описується функцією роз-'поділу = І/і Г{х, и,г/<5, {) частинок за координатами х —

{х\,‘хі,х3), швидкостями V = радіусами г (<5- характерний

розмір частішок). Лля швидкості несучої рідини и(я,і) = (иі(а:,і),и2(а:, <),из(я, 0) виведено "усереднене” рівняння руху, шо описує асігмптотичну поведінку розв'язку відповідної крайової задачі для системи Нав’е-Стокса в областях з дрібнозернистою межею при їла ліга <5. Не рівняння, що містить у собі невідому функцію розподілу Р(;с,и, а, £), замішається рівнянням Ліувілля для Р(х, V, а, (). У результаті одержана замкнута система рівнянь, яка у випадку сферичних частинок зависі має вигляд

, 18ру , , и ■ .

де ( > 0, у — Оті', р = ——, р і V - густина і характерний розмір.

- Рі° - .

• частинок зависі. - .

Система рівнянь (І)—(3) є еволюпіПлою і, звичайно, виникав пигапин про розв'язність та. єаішість розв'язків різних по чат ко по-краЛових задач для цієї системи.

Подібні нташгл для еволюційних рівнянь параболічного й гіперболічного типів вивчені досить повно. У роботах О.О. Ладпжєнської, О.А.Олійшік, М.Й.Віпшка, Ф.Браудера,

В.О.Солошіікова, Н.М.Уральцевої, В.В.Вазалія та ін. розроблееі досить загальні методи їх дослідженім. У значно меньшііі мірі вивчені ці питання для систем рівнянь, що це відносяться до певного типу, хоча вони досить часто зустрічаються в застосуваннях. Кожна така задача вимагав індивідуального підходу, розробки цового або істотної модифікації відомого методу дослідження. Цим питанням присвячені роботи багатьох математиків, наприклад, М.Ф.Морозова, О.В.Кажихова, І.ІІ.Чуєшо-ва. Сюди налез ать і, так звані,системи складового типу, до яких можно віднести й систему (1)-(3). . • ’

Крім того, ця система має ще деякі особливості. А саме, частина рівнянь розглядається у координатному - просторі Н®, а частіша. - у фазовому просторі НЛ У цьому плані дана система схожа па систему рівнянь Власова і містить у собі .як переваги, так і труднощі, зв'язані з вивченням останньої, 3 іншого боку, наявність рівнянь (1), (2) спричиняє всю складність дослідження, шо притаманна системі рівнянь Іїав’е-Стокса.

Система рівнянь Власова, що описує еволюцію функції' розподілу частігаок двокомпонентної плазми, вивчалась А.А.Арсеньє-

• . вим. Він довів теорему існування в цілому слабкого розв’язку,

а також теорему існування та єдиності класичного розв'язку цієї системи. В обох випадках істотно використовувалась можливість явного оберпенпя рівияння Ліувілля.

Різці. питання існування та єдиності розв’язків початково-крайових задач для системи рівнянь Нав’е-Стокса вивчались у працях Ж.Лере, 0,Хонфа, О.О.Ладткенської,. В.О.Солошіікова,

. Ж.-Л.Ліонса, Р/Гемама та багатьох інших. Матсматігчна

молодь, що описує рух неоднорідної в'язкої нестисливої рі шиш, яка відноситься до систем складового тішу, розглядалась у роботі О.О.Ладиженської та В.О.Солоннікова, а також у кшглі

С.М. Антонцева, О.В.Кажихова, В.М.Мона.чояа, у якій була занро-цоиоиаиа орті пальна модифікація метода Галерні па.

Метою роботи в дослідження ішч.гтксшо-крайоїшх задач дня системи рівнянь (1)-(3). Розглядаються дна тіш а мсжоппх умов, що відповідають випадку абсолютно иецружиої межі області та іншидку дзеркальиовідбімаючої межі. '

Загальна методика роботи. У дисертації застосовано методи теорії дифсренцпільних ріииянь в частинних похідних, а також функціонального аналізу.

Наукопа иогш.чпа. У дисертації одержапо такі поні результати:

а) инодсно означення узагальненого розв’язку ночатково-краііопої задачі для системи (1)-(3) у випадку абсолютно непружпої межі області; ' • .

б) доведено теорему існування узагальненого розн’язку о цілому;

в) доведено теорему існування узагальненого розв’язку в цілому у пинадку дзеркальгюпідбивашчої межі області;

г) доиедсно теорему единості узагальненого розв’язку у цілому, для двовимірної задачі;

д) доведено існування класичного роз’вязку в цілому для плоско-

паралсльїіого руху рідини; .

е) доведено існуиагтя- та. єдиність розв’язку у малому в гельдеронських класах функцій для тривимірної задачі.

Теоретична та практична цінність результатів. Результати, одержані в дисертації, та розвинені в ній метода можуть Сути застосолані для доведення теорем існування та єдішості початково-крайових задач для систем рівнянь, які описують рух суспензії в полях різноманітної. природи 1» загальними межовими умовами. Одержапі результати можуть бути використані у механіці руху частинок із лпачпою дпсисрсіею їх розмірів j Густили. .

Апробація роботи. Результати роботи доповідались на семі- . «арах відділу. катсматичпого моделювання фізичних нроцесіп ФТШТ All України, на семінарі по математичній фізиці, в ХЛУ та міжнародній конференції ’’НеліпШпі крайові задачі” (с.Ласпі, 1993р.). . ; . ■ . - .

ПублікапіТ. Основні результати дисертації опубліковані в

роботах [1-4]. '

Об’єм та структура дисертації. Дисертація складається із вступу

і трьох розділів. Загальний об’єм дисертації 50 сторінок друкованого тексту. Список літератури містить у собі 42 наіімєнувапня.

ЗМІСТ РОБОТИ ' '

У першому розділі доводиться існувати в цілому узагальненого розв'язку дочаткоао-крдйоаої задачі (1)-(3) за такими глежошшя умовами .

и(а,*) = 0, (.с,£) Є с?П х [0,2"] 5 £?, (4) •

F(x}v,a,t)(l',n(x)) > 0, (.г, у,о, і) 6 х В.3 х [?, 1] х [0, ІГ], (5) та початковими умовами

ф,0) = м0(ї), і ЄІІ, ’ (б),

' Г!х,у,а,(і) = Ро(х^,а), (ж,и,о) Є П х В.3 х [е, 1] = й (0-7)

Тут П- обмежена опукла область цростору II3 з досить гладкою межею, гЦ;г) - орт зовнішньої нормалі до її межі сЯі, а функції 1/0(2)11 Га(х,і,а) задовольняють таким умовам: ' .

сііищ — 0, х Є О, «о(*) = 0, х € 8(1,

0 < ^и(а:,у,я) < Лі < оо, (х,и,а) Є О,

•• . J(l + v2)Fo(x,v,a)dxdvda<oo (8)

о .

Межова умова (5) відповідає абсолютно непружній межі, до якої частішій зависі прилипають.

Введемо означення узагальненого розв’язку задачі (1)-(7). Нехай Ра - оператор, що продовжує функцію, задану в області П. нулем иа весь простір II3; <2 - оператор, звужуючий функцію,

.' задану на просторі И3, па область П. . ■ .

' Означення 1. Пара функцій (и(ж,4), Р(х,и, а,і)) називається узагальнений розв'язком задачі (1)-(7), якщо , '

и(х, і) неперервна в нормі £і(П) при 1 = 0; ,

f\э;,v,a,t) = С}Ё{х>ь,а,€), де .

Дат,і/,а,і) Є, £,*>(11^,,), Г(х, и,а, і) € £і(Н?) рівномірно відносно

■ *€[0,71; . ’ . ' - .

в

Р[х\ і?, 'і, і) слабко неперервна по і за метрикою £і(К?) в точці ( = 0. і виконуються такі інтегральні тото;Кпості

' Ф| +

2,П

/|(«,Ф*+(мус)Ф)21(г-^(и,ФЬ(пі-7 [//а(м(я,0- v)QFdvda,A

' +(/іФ)2,п|^+ (и0іФС0))2,П — 0»

/ ^, </>( + (иу*)^+ (А}(Раи(х, 0- і’)У^ V») ^Л+(/-'о£о,0(О))г.п; =0.

При будь-яких ВОКТОр-фуИКПІЯХ Ф І функціях V» ЩО задовольишоть умовам: .

Ф(х,«) Є £ое(0,Т;У(П))П^(0,Г;/1(П))П^(0,Т;ІУї1(П)),

1/р 4-3/2? < 1, /5 <= [2, оо], ? Є [3/2,оо);

Ф,Є£М(ПГ), 1/р+3/2д< 7/4, рЄ[1,2], ? Є [в/5;2|, Ф(х,Г) = 0; ?>,«.,<) фінітні в 11^, за зміппішн х і и,

Є іі(Ит,е). V»*!’ € £«(І*т.,). Й Є Ф(х,у,сі,Т) = 0,

Гут ■]- замикання в нормах Ьі{її) і И^’^Н) множили фінітних у П нескінченно диффереіщійовцих соленоїдальїшх оектор-фуикціЯ. Крім того, використовуються Такі позначення: . '

II6 = її3 х II3, Я® = Д'х [с, 1], П®, г Р.® х [0, Т\. ■

/ ^

</>з)2,п = У Е/іОО №(*)<&; , .

. . п 1=1 *

(Ру(ї)г, цв = у F(x,v^a)G(x,v,a)dз:dud<l^ .

' •* П? • . ‘

Зауваження. Означення 1 узагальненого розв'язку відрізняється від традиційних. Впровадження функції F(x,v,a,l), що задана и И”, а також іірішущенші про опуклість області Я пов’язані з наявністю межової, умови (5). ІІри стандартному підході в другій інтегральній тотожності означення І щшикає додатковий доданок, що містить інтеграл по області 1?. Це істотно ускладнює граничшіК перехід у галеркінськіїх наближеннях при доведенні теореми існування. .

Основний результат розділу І ошісу^тьсн гакош теоремою: ТЕОРЕМА 1.1. Нехай /(ж,і) € £і,і(Пт)*Чі(*) € ,/(0),іч)(а;,и,«) задовольняв умоин (8). Тоді існує іпоиаИмещи едщщй узагальнений розв’язок задачі (І) - (7), для «кого виковується иеріииість ■ . •

^МОІІЗ

, »11“^

. < І1«о!Ь1(і + /«аііа(ас,іі,а)<ід:£І«<га + С)ІІ(!1,і,пт. ■

р ■ . -

Доведення теореми 1.1 складається з '/рі.ох етапів. Спочатку

в §2 розділу І за допомогою ацріоршіх оцінок (лема 1.3) та.

прийшлу Шаудера для цілком исперєршшх операторів будуються

' гадеркінські цаближсчшя. При цьому никориетонуктьсн інше

обериеїшя ріиштші Ліувілля. В §3 доводяться лема 1.5, 1.7,

1.9 иро компактність послідовностей наближених розв’язків і

досліджуються деякі, властивості границь пих послідовностей

(леми 1.6 і 1.8). І,нарешті, §-1 здійснюється грапичннй перехід

в інтегральних ти’гилкиоетях означення І, які. записані для

Галеркінських наближень. '

В §5 першого розділу результат теореми 1.1 переноситься иа

випадок дзеркального відбиття часпшсж від межі області П. Л

саме, робиться припущення, що функція Р{х,у,а,Ь) замість умови

(5) підпорядкована такій межовій умові; . .

■ Г(*,«,«,<) = Е[х, «*,а,г), (х,к,а,і) Є дії х П3 х [е,1] х [0,Т], .(9)

де о* = и■— 2(»,п), «(*).- орт зовнішньої нормалі до ЗП.

Основний результат нього параграфу сформульовано у теоремі 1.2. У цьрму випадку припущення про опуклість, області П нияяляятьсн зайвим і означення 2 узагальненого розв’язку- задачі (1)-(4), (6), (7), (9) має стандартний вигляд. Як формулювання теореми 1.2, так і схема її доведення майже співпадають з теоремою 1.1. Відзнака нолягяе ліпне в способі побудови галер^інськил. хтближель для функції. К(л;,и,а,і): .

Узагальнений. роди’язок задачі (1)-(7), існування якого дове-деяо в теоремі 1.1, підлошда« у тшадку рішить Іінй’з-Стоксь класу слабких розв'язків, введених .в.ХоифоМ, Відомо, /цг> ідей &д&є розв’язків виявляється досить широким для тривимірної

задачі і пстаиошпи вдішість розв’язків ночатково-краНової задачі (1) (7) не вдається. Але у випадку іілоско-ларалельиої течії рідшт можна показати, що узагальненні! розв’язок має більшу гладкість, па підставі чого установлюється Ного едіШість. Ие зроблено у другому розділі дисертації, де, проте, довелося ввести зрізуючий множник, що обмежуе розподіл частинок суспензії за швидкостями. А саме, розглядується двовимірна задача: .

~ 4- (чУі)'* - V & и 4- 7/ JaQn{(v - ч)г){и{х,г) - ь)ЕІУ(іа-

-УР=Л*. 0, ' • . (10)

<іііі и = 0, • ' (11)

% + (і’7г)/'’ + 4^[0л((и- і>)2)(«(ж, ї) — 1>)Р] = 0,. (12)

к ОІ (Х£

з початковими та межовими умовами (4)-(7). Тут ©п(г) -

псскіпчсішо дцфорсппіНопна функція аргумента г Є IIі така, що

0 < Оц(*) < 1 при \г\ < Я,9п(г) = 0 при |г| > 2Л і &п{г) < 0

при г > 0. .

У лемі 2.1 доводиться, що узагальненії)! розв’язок двовимірної задачі (10)—(12), (4)-(7) належить таким функціональним просторам

и(г,0єМ0.У;^Чп))ПМ0,Г;#2г(п)), «4єі5(Пг), '

якщо }{х,І) Є Ь2(Пт), «о Є .Я(Ю)- '

Лалі, в §2 другого розділу показано, пхо функція розподілу Р(х^,а,1) є неперервною за Гельдером за змінними X, V і £.

У §3 другого розділу доведено теорему единості. ‘

ТЕОРЕМА 2.1. Двовимірну задача (10)—(12), (4)-(7) може матії не більше одного узагальненого розв’язку із класу .

и{х,1)£Ьп{()<Т;/\П))ЇЇЬг{а,Т^(П)),щєЬг{Пту, ' F(x,v,a,t) = С}Г(х, V,а, і), де Р4 Є VrF Є ^(П^Л*.

Є £«,(.11^,), шах І (1 + І)2) І у» Г\<Іх<Іь<іа < оо. '

■ ■ ' ’ ' І8’І! її* ' . • Використовуючи леми §1 і §2 цього дозділу, а також результати В.О.Солоішікова, у §4 доведено існування у цілому класичного розв’язку початково-крайової задачі (Ш)-(12), (4)-(7). '

ТЕОРЕМА 2.2. Нехаїї у двовимірній задачі (10)—(12), (4)—(V) Ш Є С^, щ{т,) Є С2+'(П), /(ж, і) Є С"^(Пг)) С < р < 1, /’0(*,«,о) -непорсрішо диферсчщіііоіша за змінними я і и в області Гі х Іі2 при

Ід тч'оромл 2.1 виаллває єдиність такого розв’язку.

Наявність зрізуючого множника ©д(г) у ріишшпях (10), (12) зв’язана з труднощами технічного характеру, подолати які ле «далося. ІІе підтперджують результат першого та третього розділів, де цей множник відсутній.

У третьому розділі зпову розглядається початково- крайона задача (1)—(7), де Й - обмежена опукла область у просторі Іі3 з досить гладкою межею. Доведено однозначну розв’язність ціеГ задачі в гельдеронських класах функцій, нведешіх В.О.Солошііконим, у малому за часом. Основний результатом розділу III є така теорема.

ТЕОРЕМА &.1. Нехай при деякому а Є (0,1) /(я,<) €

Ja’?(Uт), «о(ї) Є С5+"(П)Л Л“'°(П), Го{х, у,а) Є С1+а(Ь), крім того, функція /о(г,и,о) фінітна в О за змінною V, О^Го(х,и,а) = 0, я Є дії,'Се =.0,1 і виконуються умови узгодження '

а Є [е, 1], фінітна за змігшою V і иі’!<1(х,ь,а) = 0, х Є дії, а — 0,1. Крім того, виконуються умови />/ Є С,І|І>/2(Ґ2г). '

<ііу и0 = 0, ио(я)І0п = 0.

і 9(1

де Р - оператор проектування £г(П) на

Тоді узагальнений розв’язок е класичним, а саме

—у (/а! = 0,

• и(х,і) Є С2^'І+І,І\ПТ), V? Є С'-^Пг),

Р(х,и,а,<) иеіюрерино дифереіщіііопиа за х, V, ї у Ох Иу при всіх «Є[с,і]. . .

' / і .

/(*. 0) 4- Р/ V Д «о - («оУі)«о - 7 / /(«о ~ V)1'о(х, vla)dvda ■ \ ... .. ' '•

= 0.

Тоді ири деякому досить малому Т - Г(|/|аі0/2> |«оЬ+о,Пі |/'о|і+а,в) задача (1)-(7) має бдішиіі розн’лзок и(х, і) Є С2+0'1+“/2(Пг), ур Є С—/»(Пт), ЄС1+0(ЛГ). . '

Означення функціональних просторій, що птирнстаиуються

і формулюванні теореми 3.1, наведені н §1 розділу Г. Доведения теореми 3.1 проходить за допомогою методу послідовних Наближень. При цьому істотно використовуються оцінки, що отримані. в лемах- §2 третього розділу та результати В.О.Сологшікова. Відзначимо, що припущення про опуклість області П є істотним у останньому розділі, бо в противному разі неможливо забезпечити необхідну гладкість функції Р(аг,у,а, і).

ПУБЛІКАЦІЇ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

1) Анощенко О.А. Существованием единственность классического решения системы уравнений движения суспензии/ ХГУ - Харьков, 1380.- 21с. - Деи. в ВИНИТИ 28.02.89* N 130Э-В89.

2) Анощенко О.А. Существование в целом обобщенного решения системы уравнений движения суспензии. В кн.Динамические системы и комплексный анализ. Сб. ыаучн. трудов,- Киев: Наук.думка, 1992.- С.312-119.

3) Анощенко О.А. О разрешимости системи уравнений дзижепші суспензии// Докл. АН Украиыы.1993.- N3.- С.10-13.

4) Анощенко О.А. Существование и единственность решения системы уравнений движения суспензии в гельдеровских классах// Мат.физика, азалия, геометрия. 1994.- Т.1, N1,- С.33-42.

Підп. Ьа друку У1/-0*1* ЗУ. Формат 60Х81'/і4, .Папір ЛКЕ:

Друк офсетний. Умовн.-друк. вгрк. 1,0. . Умо»н. «^р_бо;Ыдв. І,О , ОЛлік.-вид. врк. V, © . Тлр: ІСОі*

Харківське орендне поліграфічне підприємств»), 310093 Хврків, пул Слгрл.™**, Л5. •