Задача о растяжении случайно неоднородного упругого цилиндра тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА I. ПОСТАНОВКИ СТОХАСТИЧЕСКИХ ЗАДАЧ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ. Ю

§ I. Особенности статистических методов. II

§ 2. Определение статистических характеристик полей механических величин.

§ 3. Постановка задачи об определении статистических характеристик полей перемещений, деформаций и напряжений для случайно неоднородного тела.

ГЛАВА 2. ДЕФОРМИРОВАНИЕ МИКРОНЕОДНОРОДНОГО ЦИЛИНДРА.

§ 4. Постановка в перемещениях пространственной задачи теории упругости для неоднородного тела.

§ 5. Метод быстро осциллирующих функций.

§ 6. Решение задачи о растяжении микронеоднородного цилиндра при Л=Л(г,2г), =

§ 7. Метод быстрой осцилляции с использованием функции напряжений Лява.

ГЛАВА 3. СТАТИСТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ О РАСТЯЖЕНИИ

МИКР0НЕ0ДН0Р0ДЙ0Г0 ЦИЛИНДРА.

§ 8. Общий характер зависимости дисперсий компонент тензоров деформаций и напряжений от координат.

§ 9. Сравнение статистических характеристик решения рассмотренной задачи с аналогичными дня полуплоскости и полупространства.

ВЫВОДУ.

Задача об определении напряженно-деформированного состояния упругого цилиндра является одной из распространенных и важных пространственных задач теории упругости. Разработка математических методов решения задач механики твердого деформируемого тела для областей цилиндрической формы привлекала и привлекает к себе множество исследователей. Из наиболее ранних работ, посвященных задачам об упругом однородном цилиндре, следует отметить работы Вангерина [б9], Иериша[б4], Кри[62], Л. Похгаммера [.67] t В. А. Стеклова [44, 45], I. Файлона 1бЗ]. В 30-х годах задачами об упругом равновесии цилиндра занимается Б. Г. Галеркин [,13]. Большой вклад в разработку методов решения задач о цилиндре сделал в конце 40-х начале 50-х годов В. К. Прокопов Цз5, зб] . В работе [35] им дано решение задачи о цилиндре, удовлетворяющее краевым условиям на боковой поверхности, и показано, что использование однородных решений позволяет полностью удовлетворить условиям на торцах для нормальных напряжений ; условия же для касательных напряжений Tpi , однако, остаются невыполненными.

В книге А. И. Лурье [28] отмечается, что "краевые задачи, которые здесь возникают, весьма сложны, и если не говорить о некоторых тривиальных случаях, то не известно ни одного решения, которое полностью и строго удовлетворяло бы всем краевым условиям и на боковой поверхности и на торцах цилиндра".

Эти слова относятся к 1955 году; однако, несмотря на прошедшие почти 30 лет, положение с получением точных решений для задач о цилиндре существенно не изменилось. Попрежнему такие решения для цилиндра, как и вообще "полезные частные решения пространственных задач, можно свободно пересчитать по пальцам". СИ. С. Сокольников [43]).

Во все годы выходит большое число работ, посвященных задачам для цилиндрических областей, но в кратком введении невозможно сделать сколько-нибудь обстоятельный разбор всех этих работ. Отметим еще книги А. А. Ильюшина, П. М. Огибалова [17] , М. А. Кол-тунова, Ю. Н. Васильева, В. А. Черных [l8], обзор работ по однородным решениям задач теории упругости и их приложениям В. К. Про-копова [37], статью Р. Литла и С. Чилдса [бб], а из работ последних лет - статьи С. М. Хзардаяна [51, 52].

Все упомянутые выше работы посвящены задачам в классической постановке, когда материал деформируемого тела представляется в виде однородной сплошной среды. В последние два-три десятилетия решение задач механики твердого деформируемого тела все больше связывается с использованием усложненных моделей сплошных сред, основанных на более полном учете различных факторов, определяющих процессы деформирования реальных тел. Показано [l6, зэ], что параметров, определяющих в классических теориях состояние квазиоднородной среды, уже недостаточно.

Например, дяя характеристики напряженного состояния такой среды недостаточно одного тензора напряжений; напряженное состояние характеризуется тензором напряжений и некоторой совокупностью дополнительных параметров. При статистическом подходе к исследованию напряженно-деформированного состояния структурированных сред такие параметры появляются наиболее естественно [2б].

Вообще, появление и развитие статистических методов в механике твердого деформируемого тела объясняется требованиями более полного учета свойств реальных тел, наличием всегда некоторой неопределенности в знании условий нагружения и упругих характеристик конкретного тела, для которого решается задача, и необходимостью более точных расчетов, чем те, что обеспечиваются детерминированными методами. Обычно применяемые детерминированные методы расчета являются первым и в ряде случаев недостаточным приближением. Неточности такого расчета на прочность покрываются, например, назначением коэффициентов запаса прочности, которые во многих случаях выбираются без достаточных основании и не являются оптимальными. Это приводит либо к неиспользованным резервам прочности в реализуемых конструкциях, либо к преждевременному их разрушению. Есть ряд факторов, которые вообще не могут быть учтены и никак не объясняются в рамках детерминированных методов. (Проявление масштабного эффекта. В. А. Ломакин [24] . Влияние на прочность качества обработки поверхности деформируемого тела. В. А. Пальмов Ы).

Роль статистических методов в механике твердого деформируемого тела, несомненно, большая и, конечно, в будущем будет еще увеличиваться. Это связано с более быстрой сменой конструкций, с появлением новых машин и конструкций с небольшим опытом эксплуатации, с использованием новых материалов, высоких скоростных режимов, давлений, температур и т.д. В связи с этим возрастает значение научного прогноза и, как следствие этого, роль статистических методов исследования.

Первые работы, связанные с применением статистических методов в механике твердого деформируемого тела, относятся к двад-цатым-тридцатым годам. В работе Майера [.бб] впервые ставится вопрос о статистическом подходе к назначению коэффициента запаса прочности. Далее этот подход развивается в СССР Н. С. Стрелецким [4б]. В последующие годы диапазон применения статистических методов для обоснования нормативных расчетов в строительстве, машиностроении и авиации постоянно расширяется. Существенный вклад в разработку этих методов внесен Н. С. Стрелепким [46], А. Р. Ржаницыным [38], В. В. Болотиным [4], С. Д. Волковым [ю].

Первоначально в работах этого направления используются простейшие вероятностные метода, основанные лишь на свойствах распределения случайных величин. Дальнейшее развитие и применение статистических методов в механике твердого деформируемого тела связано с использованием теории стационарных случайных процессов при расчете колебаний упругих систем под действием случайных сил (В. В. Болотин [7], В. В. Екимов [15], В. Ф. Гладкий [и]). Широкому кругу проблем, связанных с применением статистических методов в механике деформируемых твердых тел и надежности конструкций посвящены работы В. В. Болотина [I - 5].

Большое число исследований в механике и физике твердого тела связано с изучением микронеоднородных сред Споликристаллов и различных композитов), с определением их эффективных упругих модулей и других характеристик. К наиболее ранним работам в этой области относятся работы И. М. Лифшица и Л. Н. Розенцвейга [20]. В дальнейшем (в 60 - 70 годы) выходит большое число публикаций, посвященных решению задач этого направления (В. В. Болотин и

B. Н. Москаленко [8, 9], В. А. Ломакин [21, 22], В.В. Новожилов [31] , А. Г. Фокин и Т. Д. Шермергор [49, 50], Т. Д. Шермергор [56] , Л. П. Хорошун [53, 54], Ю. В. Соколкин [40]. Особо следует отметить монографии В. А. Ломакина [26], Т. Д. Шермергора [57],

C. Д. Волкова и В. П. Ставрова [il].

Задачи, решаемые механикой твердых деформируемых тел, обычно приводят к краевым задачам для уравнений в частных производных, и поэтому полный учет разнообразных факторов случайной природы, влияющих на процессы деформирования, требует применения аппарата теории случайных полей (случайных функций нескольких переменных). Начиная с 60-х годов, стали появляться работы, в которых различные статистические задачи механики твердых деформируемых тел рассматриваются в достаточно общей постановке на основе теории векторных и тензорных случайных полей.

Среди этих работ видное место занимают работы В. А. Ломакина (его статьи, докторская диссертация, книга "Статистические задачи механики твердых деформируемых тел).

В ряде работ В. А. Ломакиным рассматривались задачи для деформируемых сред со случайными неоднородностями, в частности, для представляющих большой теоретический и практический интерес так называемых квазиоднородных сред, обладающих микронеоднородной структурой (поликристаллы, стеклопластики ит;п.). Им развит в применении к эллиптическим системам дифференциальных уравнений теории упругости метод быстро осциллирующих функций, предложенный М.И. Вишиком и Л» А. Люстерником [12].

В. А. Ломакиным решены задачи о растяжении полуплоскости и полосы, упругие характеристики которых являются случайными функциями координат. Аналогичные задачи для полупространства и слоя были рассмотрены его учеником Г. В. Тихеньким [47] . Для обоих случаев были исследованы статистические характеристики (дисперсии) компонент тензора напряжений.

Автору было предложено его научным руководителем (В. А. Ломакиным) рассмотреть новую пространственную задачу - задачу о деформировании случайно-неоднородного цилиндра и сравнить статисти-стические характеристики с аналогичными для решения задач о полуплоскости и полупространстве.

Задачи о неоднородном цилиндре рассматривались С. Г. Лехниц-ким [19] (при Е = E(r), V = censt ), Schile R.b., Sitrakow-g>f<L R)-L [б8] (осесимметричная деформация при Е = Е (г), V- V (г) ), (упругий погранслой около торца цилиндра), М. М. Плотниковым [34] (анизотропный цилиндр при осе-симметричном нагружении и частном виде функции ЕО")). Все эти работы относятся к случаю, когда неоднородность задается детерминированными функциями координат. Насколько известно автору, кроме как в двух работах Ю. В. Соколкина L4I, 42], посвященных вязкоупругим материалам, задачи о случайно неоднородных цилиндрах в литературе не обсуждались.

В диссертации рассматривается решение задачи о растяжении случайно-неоднородного сплошного цилиндра вдоль оси цилиндра силами, приложенными на бесконечности. Кроме того, в работе рассматривается описание разброса функций, характеризующих напряженно-деформированное состояние,относительно средних по области, занимаемой телом, значений. Необходимость изучения и описания разброса, связанного со структурной неоднородностью материала, вызвана тем, что этот разброс проявляется и в дисперсии механических характеристик, определяемых на идентичных образцах в макроскопическом эксперименте, и в локальных превышениях напряжениями среднего по материалу уровня. Второе особенно важно при учете возможности концентрации напряжения, создающей очаги пластической деформации и разрушения в конструкциях.

Материал диссертации распределяется по главам следующим, образом. В первой главе рассматриваются постановки задач по определению статистических характеристик напряженного и деформированного состояний упругого тела в зависимости от статистических характеристик, нагрузки, границы или модулей упругости материала. Здесь же обсуждаются особенности статистических методов решения задач механики твердого деформированного тела, их отличия от детерминированных. В заключение приводится постановка пространственной задачи теории упругости для случайно неоднородного тела.

В главе второй приводится общая постановка пространственной задачи для квазиоднородного тела с быстро осциллирующими упругими свойствами. Решается задача о полупространстве методом быстро осциллирующих функций. Далее этим методом получается решение задачи о растяжении неоднородного цилиндра.

В третьей главе в предположении, что коэффициенты Ламе являются случайными функциями координат Г и 1 , для полученного во второй главе решения задачи о цилиндре строятся зависимости дисперсии компонент тензоров деформаций и напряжений от безразмерной координаты, характеризующей расстояние от боковой поверхности цилиндра. Найденные зависимости сравниваются с зависимостями, полученными для решения задач о полуплоскости СВ. А. Ломакин [2бТ), полупространстве (Г. В. Тихенький [4?]).

Основные результаты, полученные в работе, докладывались и обсуждались:

- на научно-исследовательском семинаре кафедры теории упругости под руководством члена-корреспондента АН COOP А.А.Ильюшина U98Ir.);

- на семинаре по механике композиционных материалов под руководством профессора Б.Е.Победри (Д984 г.);

- на аспирантском семинаре кафедры теории упругости под руководством члена-корреспондента АН СССР А.А. Ильюшина, профессора B.C. Ленского и др. CI984 г.);

- на конференции молодых ученых МГУ" (1967 г.); и опубликованы в работах [58, 59].

1. Болотин В.В. Применение статистических методов для оценки прочности конструкций при сейсмических воздействиях. "Инж. сборник", 1959, т. 25.

2. Болотин В. В. Об упругих деформациях подземных трубопроводов, прокладываемых в статистически неоднородном грунте. Строительная механика и расчет сооружений, 1965, Я I.

3. Болотин В. В. 0 теории армированных тел. Изв. АН СССР, Механика, 1965, В I.

4. Болотин В. В. Статистические методы в строительной механике. Стройиздат, 1965.

5. Болотин В. В. 0 надежности распределенных систем. Труды МЭИ, вып. 74, изд-во МЭИ, 1970.

6. Болотин В. В. Применение методов теории вероятностей и теории надежности в расчетах сооружений. М., Стройиздат, 1971.

7. Болотин В. В. Случайные колебания упругих систем. М., "Наука", 1979.

8. Болотин В. В., Москаленко В. Н. Макроскопические характеристики микронеоднородных твердых тел. ДАН, 1968, 178, В 3, 563-565.

9. Болотин В. В.» Москаленко В. Н. К расчету макроскопических постоянных сильно изотропных композиционных материалов. Изв. АН СССР, МТТ, Л 3, 108 (1969).

10. Волков С. Д. Статистическая теория прочности. Москва -Свердловск, Машгиз, I960.

11. Волков С. Д., С т а в р о в В. П. Статистическая механика композитных материалов, Минск, ЕГУ, 1978.

12. В и ш и к М. И., Л ю с т е р н и к Л. А. Асимптотическое поведение решений линейных дифференциальных уравнений с большими или быстро меняющимися коэффициентами и граничными условиями. УМН, I960, т. 15, № 4 (94).

13. Галеркин Б. Г. Упругое равновесие полого кругового цилиндра и частей цилиндра. Собр. соч. т.1, 1952, 392.

14. Гладкий В.Ф. Вероятностные методы проектирования конструкции.летательного аппарата. М., "Наука", 1982.

15. Екимов В. В. Вероятностные методы в строительной механике корабля. "Судостроение", 1966.

16. Ильюшин А.А. Пластичность. Основы общей математической теории. Изд-во АН СССР, 1963.

17. Ильюшин А. А.,0гибалов П. М. Упруго-пластические деформации цилиндров. Изд-во Моск. ун-та, I960.18. ,Колтунов М. А., Васильев Ю. Н., Черны х В. А. Упругость и прочность цилиндрических тел. М., "Высшая школа", 1975.

18. Лехницкий С. Г. Элементарные решения двух частных задач о равновесии анизотропного неоднородного цилиндра. Сб. Исследования по упругости и пластичности, № 6, Л., Ле-нингр. ун-т, 1967, 3-9.

19. Лифшиц И. М., Розенцвейг Л. Н. К теории упругих свойств поликристаллов. ЖЭТФ, 1946, т. 16, вып. II.

20. Ломакин В. А. Зависимость сопротивления металлов сдвигу от их структурного состояния. Изв. АН СССР, ОТН, 1958, & 7.

21. Ломакин В. А. Статистическое описание напряженного состояния деформируемого тела. ДАН, 1964, т. 155, № 6.

22. Ломакин В. А. О деформировании микронеоднородных упругих тел. ПММ, 1965, т. 29, вып. 5.

23. Ломакин В. А. Плоская задача теории упругости микронеоднородных тел в полуплоскости. Инж. ж., МТТ, 1966, № 3, 72-77.

24. Ломакин В. А. Плоская задача теории упругости для тел с быстро осциллирующими упругими свойствами. Инж. ж., МТТ, 1966, $ 6, 68-75.

25. Ломакин В. А. Статистические задачи механики твердых деформируемых тел. "Наука", 1970.

26. Ломакин В. А. Теория упругости неоднородных тел. Изд-во МГУ, 1976.

27. Лурье А. И. Пространственные задачи теории упругости. М., ЗЖТЛ, 1955.

28. Л я в А. Математическая теория упругости. М., Гостехиз-дат, 1935.

29. Михлин С. Г. Плоская задача теории упругости. Труда сейсмологического института АН СССР, й 65, 1935.

30. Новожилов В. В. О связи между напряжениями и деформациями в поликристаллах. Сб. Проблемы гидродинамики и механики сплошной среды, "Наука", 1969, 365.

31. Обухов А. М. Статистическое описание непрерывных полей. Труды геофизического института АН СССР, № 24, 1954.

32. Н а л.ь м о в В. А. Зависимость концентрации напряжений от качества обработки деталей. Изв. АН СССР, ОТН, механика и машиностроение, 1963, № 5.

33. Плотников М. М. О напряжениях в одной задаче неоднородно- анизотропного цилиндра. Изв. вузов, Машиностроение, Я 8, 1967.

34. Прокопов В.К. Равновесие упругого толстостенного осесимметричного цилиндра. ПММ, 1949, т. 13, В 2.

35. Прокопов В. К. О се симметричная задача теории упругости для изотропного цилиндра. Труды Ленинградского политехнического ин-та, 1950, $2.

36. Прокопов В. К. Обзор работ по однородным решениям теории упругости и их приложениям. Труды Ленинградского политехнического ин-та, 1967, № 79.

37. Ржаницын А. Р. Расчет сооружений с учетом пластических свойств материалов. Стройиздат, 1954.

38. Седов Л. И. Математические методы построения моделей сплошных сред. УМН, 1965, т. 20, & 5.

39. Соколкин Ю. В. К анализу релаксационных процессов в микронеоднородных телах. Сб. Вопросы механики полимеров и систем. Свердловск, 1976, 12- 17.

40. Соколкин Ю. В. Напряженно-деформированное состояние цилиндра с криволинейными торцами, скрепленного с орто-тропной стеклопластиковой оболочкой. Рук. деп. в ВИНИТИ,303. 76 ДЕП.

41. Соколкин Ю. В., Фрейнд В. Г. Динамические нагрузки полого цилиндра случайным внутренним давлением. Рук. деп. в ВИНИТИ, Jfc 1307-75 ДЕП.

42. Сокольников И. С. Краевые задачи теории упругости. (В кн. Современная математика для инженеров, ИЛ, М., 1959 ).

43. Стеклов В. А. 0 равновесии упругих цилиндрических тел. Сообщения Харьковского матем. об-ва, 1891.

44. Стеклов В. А. 0 равновесии упругих тел вращения. Сообщения Харьковского матем. об-ва, 1892.

45. Стрелецкий Н. С. Основы статистического учета коэффициента запаса прочности сооружений. Стройиздат, 1947.

46. Тихенький Г. В. Некоторые пространственные статистические задачи теории упругости. Канд. диссерт., М1У, 1975.

47. Тимошенко С. П., Г у д ь е р Дк. Теория упругости. М., "Наука", 1975.

48. Фокин А. Г., Ш е р м е р г о р Т.Д. Упругие модули текстурированных материалов. Изв. АН СССР, МТТ, № 1Д967.

49. Фокин А. Г., Ш е р м е р г о р Т. Д. Статистическое описание упругого поля слоистых материалов, Инж. ж., МТТ,4, 93 (1968).

50. Хзарджян С. М. Напряженное состояние упругого призматического тела со свободной или жестко закрепленной боковой поверхностью. Изв. АН СССР, МТТ, ИЗ, I6I-I72.

51. Хзарджян С.М. О применении метода разложения по собственным функциям несамосопряженной краевой задачи при решении некоторых задач теории упругости. Республ. межвед. сб. Вычисл. и прикл. математика, 1978, $ 3/5, 152т159.

52. X и н ч и н А. Я. Теория корреляции стационарных случайных процессов. УМН, 1938, вып. 5.

53. Хорошун Л. П. 0 методе определения упругих модулей армированных тел. Механика полимеров, И I, 78 (1968).

54. Хорошун Л. П. Статистическая теория деформирования однонаправленных волокнистых композитов. Прикл. механика,1. В 4, $ 7, 8, 1968.

55. Шермергор Т. Д. Упрочнение металлов волокнами. Ин-т металлургии им. А.А.Байкова АН СССР, М., "Наука", 1968.

56. Шермергор Т. Д. Теория упругости микронеоднородных сред. М., "Наука", 1977.

57. Архипов Н.В. Статистическое описание напряженного состояния микронеоднородной твердой деформируемой среды.

58. Сб. Рефераты докладов научной конференции молодых ученых МГУ. Изд-во МГУ, 1968.

59. Архипов Н.В. Задача о деформировании микронеоднородного цилиндра. Вестник Моск. ун-та, матем., мех., № 3, 1984.

60. ВО, Bemn М. Statistical Continuum Theories Inters б Pull UewYotk (96S.