Задача о сферически-симметричной оболочке в релятивистской теории гравитации тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ОРДЕНА ЛЕНИНА, ОРДЕНА КРАСНОГО ЗНАМЕНИ И ОРДЕНА ОКТЯБРЬСКОЙ РЕВОЛЮЦИИ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. М.В.. ЛОМОНОСОВА :

^ ФИЗИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ

- о;:т ^ " '■ ' -

На правах рукописи УДК 530.12:531.51,

МОНОВСКИИ Олег Владимирович

ЗАДАЧА О СШРИЧЕСКИ-СИММЕТРИЧНОЙ ОБОЛОЧКЕ В РЕЛЯТИВИСТСКОЙ ТЕОРИИ ГРАВИТАЦИИ •

»Специальность 01.04.02,- Теоретическая физика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени • кандидата физико-математических наук

Москва - 1994

Работа выполнена на кафедре квантовой теории и физики высоких энергий физического факультета МГУ ш. М.В. Ломоносова.

Научный руководитель: -

кандидат физ-мат. наук,

доцент Власов A.A.

Официальные оппоненты: доктор физ-мат. наук, профессор

кандидат физ-мат. наук

Мествиришвили М.А. (НИИЯФ МГУ) Пронин П.И. (МГУ)

Ведущая организация: Институт физики высоких энергий (г. Протвино)

Защита диссертации состоится "¿0" РКШ^Ы^ 1994 г. в /^^часов на заседании Специализированного совета отделения экспериментальной и теоретической физики физического факультета МГУ К 053.05.18 по адресу: 117899, Москва, Воробьевы горы, МГУ, физический факультет, ауд.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке физического факультета МГУ.

Автореферат разослан

Ученый секретарь Специализированного совета, доктор физ-мат. наук

Поляков П.А.

Общая характристика работы.

Актуальность тела.

В настоящей работе рассматривается задача о гравитационном поле сферически-симметричной оболочки конечной толщины в линейном приближении релятивистской теории гравитации (РТГ) и во втором приближении по гравитационной постоянной б для б-образной оболочки.

В ОТО задача об оболочке возникла давно, но особую популярность она приобрела в последнее время в связи с исследованием в инфляционных моделях влияния доменных стенок на эволюцию Вселенной. Был предложен формализм сингулярных оболочек и показана корректность использования моделей, в которых тензор энергии-импульса вещества содержит б-образные особенности. В рамках этого формализма задача о нахождении гравитационного поля во Есем пространстве сводится к применению специальных условий стыковки вакуумных решений известного" вида (например, решений Шварцшильда и де Ситтера) на трехмерных гиперповерхностях, разбивающих пространство-время на области, в которых вещество отсутствует. Вид вакуумного решения в каждой области выбирается исходя из условий симметрии, ограниченности и т.д. Формализм-сингулярных, оболочек впоследствии 'был обобщен . для. описания "лонного вакуума" - областей пространства, граница которых испытывает отрицательное давление. Однако, несмотря на многочисленные исследования нелинейных уравнений Эйнитейна, не было найдено решения, удовлетворяющего хотя бы условию непрерывности во всем пространстве.

В метрических теориях гравитации (как в ОТО, так и.в РТГ) имеется теорема Биркгофа, утверждающая, что внешнее решение любой сферически симметричной задачи может быть при помощи

координатного преобразования приведено к чисто статическому виду. Естественней вопрос, совместима ли теорема Биркгофа с существованием в теории гравитации физически настатичных внешних сферически-симметричных решений.

Зафиксировав координаты пространства Минковского, выберем начальные, граничные и асимптотические условия так, чтобы определить задачу однозначно с точки зрения классической математической физики. Потребуем, чтобы компоненты для гравитационного поля (в случае толстой оболочки они должны принадлежать к классу функций с1, 6-образной - с0) были ограничены в точке г = 0, стремились к нулю на пространственной бесконечности' и не содержали падащих волн; для вещества поставим начальную задачу Коши. Целью работы является нахождение такого решения и расмотрение различных физических эффектов, являющихся следствием его нвстатичности.

Научная новизна.

Активное использование системы аналитических вычислений "КЕШСЕ" позволило впервые до конца провести прямое интегрирование полевых уравнений для рассматриваемых приближений, что было невозможно ранее в силу чрезвычайной громоздкости возникающих выражений.

Полученное единственное решение для гравитационного поля оболочки как в первом, так и во втором приближении по б оказывается явно нестатичным во всем пространстве, причем эта нестатичность проявляется в наблвдвемых физических эффектах. Предложенная более корректная формулировка теоремы Биркгофа никак не противоречит нестатичности внешнего решения. .

Практическая ценность.

Результаты работы могут быть использованы для расчета

параметров :орбиты пробного тела в сферически-симметричных, системах с точностью, превышающей постньютоновскую.

Апробация работ.

Результаты работы. неоднократно докладывались ' на семинаре кафедры квантовой теории и физики' высоких энергий физического -факультета {ЛГУ, на научном семинаре ОТФ ИВФЭ.(г. Протвино) в 1994 г., а также на XIV- Семинаре по физике высоких энергий и теории поля (ОТФ ИФВЭ, 1991 г.).

Основные результаты диссертации отражены в работах [1-4].

Структура и об'ел диссертации.

Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения и четырех приложений, содержит 102 страницы текста, из которых 2 страницы составляют рисунки. Список цитируемой литературы включает 66 работ.

Содериание диссертации.

В.первой главе обсуждается общий вид внешнего решения для гравитационного поля при наличии сферической симметрии. Показано, что стандартная процедура поиска сферически-симметричных решений уравнений Гильберта-Эйнштейна в координатах {£,г,9,ф} путем диагонализации интервала

йаг = я00(*,г)сйг + 2в01и,г)сйсгг + + ¿^.г)®2,

приводящая во,внешней вакуумной области к решению Шварцшильда в координатах {тг,р,9,(р}.

йз2 = (1 - 2М/р) йхг - ^-—--агйО2,

1 - 2Н/р

где И - полная масса . вещества, в отсутствие дополнительных уравнений (например, условия гармоничности) й задания конкретных

начальных и граничных условий в исходных координатах не является однозначно обратимой. .

Дана более корректная формулировка теоремы Биркгофа: для любой сферически-симметричной задачи с компактным распределением вещества существует преобразование координат, приводящее ее решение к статическому виду, но делать физические выводы только на основании формы решения Шварцшильда, не соотнося его с исходной постановкой задачи в координатах Ci ,г,в,<р} представляется неправомерным: разные начальные, граничные, асимптотические условия в исходных координатах должны давать (и дают) физически различные решения.

Во второй главе в линейном приближении. по гравитационной постоянной G решена задача о сферически-симметричной оболочке конечной толщины релятивистской теории гравитации (РТГ)'.

В параграфе 2.1 получено решение для гравитационного поля пылевой оболочки, тензор энергии-импульса которой в сферических координатах пространства Минковского с метрикой

7tJ = diag (1,-1,-гг,-гг Sin2(6>) и ковариануной производной и>{ имеет вид: .

2£o(t,r) = ш° Ге(г - i?(t)) - в (г - fl(t) - а)1 «V. ии 4тс аг «> J

Система уравнений на гравитационное поле ф^ в линейном приближении'РТГ выглядит следующим образом = О(С)):

го и>Р Ф = -16® т.., (1а)

П>{ = 0 (2>t TlJ = 0), . ■ (1b)

(здесь эффективная риманова метрика gtJ » 7{J + - jjr-7ij Ф' ф = ф поднятие и. опускание индексов осуществляется с помощью 7{J).

Справедливость (1Ь) позволяет рассматривать движение вещества

' без учета гравитационного взаимодействия - скорость оболочки V

считаем постоянной.

.' Уравнения (1а) решались методом запаздывающих потенциалов , _ г 2\,{£ - |г - г'\, г')

• J |г - г' I

Интегрирование проводилось для декартовых компонент тензора

энергии-импульса, полученное решение было затем обратно преобразовано к сферическим координатам; для упрощения интегрирования вводилась новая переменная т

ТцИ + {г - = ^(т,?') в(х - t + |г - г'|) ах.

Окончательные выражения описывают гравитационное поле

как вне оболочки г > Я(£) + а, так и внутри КЦ) < г < й(1) + о,

и в ее полости г ^ В частности, внешнее решение тлеет вид

2ш° т„ 1 - и ,,,

^оо = —Ог~ & 1 + и '

Ч»01 " " "^Г + 2До + °>(2и + ^Т-Н")' = (5и ^ + й° + °>3 " т + Я°,Э " "

- [[(к + Я0 + о)3 - (^ + Я0>3] <г>2 - 3) - 3у2гга(уг - 1)] Ьп ] ; ^ }.

В. параграфе 2.2 выполнен анализ решения для оболочки и рассмотрено его преобразование к "статическому" виду.

Полученное решение удовлетворяет уравнению п> = 0 и

непрерывно-дифференцируемо всюду в рассматриваемой области, в том числе и на границах оболочки. Оно ограничено в нуле (г = 0), убывает на пространственной бесконечности (эффективная метрика асимптотически стремится к плоской) и не содержит никаких падающих извне 'волн, таким образом, оно единственно. Поскольку мы придерживаемся линейного приближения, величина у ограничена сверху условием « (это же условие определяет область

применимости данного решения в координатах г и г).

Т

При V ~ 0 решение приобретает статический вид (например, для : г > ЯШ = - , остальные компоненты равны нулю). Явная

нестатичность решения не будет противоречить теореме Биркгофа, если ее трактовать в том смысле, что всегда существует преобразование координат, после которого аффективная метрика в соответствующих пространственно-временных областях становится статичной.

При координатном сдвиге х1 - х1 = х1 - 171 метрика в линейном приближении преобразуется согласно

би№) - . 7„(5).+ - ^ 7„ Ф + ^ + <в, V

Если определить "новое" поле согласно тождеству

еи(х) * ти&) ф.

то оно будет связано со старым соотношением

Фи(я) » + ^ + го, т){ - юр Т1р,

Вектор г){ должен удовлетворять системе уравнений

■ ег % = \ -

Полученное решение этой системы действительно приводит для §lJ и соответствующей эффективной метрики б,. к статическому виду в смысле = 0 (дг =0)

Данный результат, никак нельзя рассматривать' как пример "калибровочной" свобода в РТГ.. Величина на самом деле не , является преобразованным гравитационным полем, а истинное гравитационное поле ф^ не. меняется с рассматриваемой точностью 0(ф,т}): .. • ' ; .

~ 2 Г и ^ " ^ " 8ц - 7„ > Фи ~ 2

где з + п^ т^ + т}{ - метрический тензор пространства Минковского, записанный в новых координатах

В параграфе 2.3 рассмотрены некоторые наблюдаемые физические эффекты, являющиеся следствием нестатичности рассматриваемого решения.

В частности, на покоящееся в точке (4,г) пробное тело будет ' действовать радиальное ускорение, отличное от "статического":

„г - Г '-' - Д- + а : й-

- Г(уГ + Яп + а)1л—--'{«« + Д_)1п— 1<и2 - 3),

у 1 Д+ + а 0 Я+ 1

г ■ ш° Гд 3 - Ц* т- 1 + » V

Д4" й 141 1 - о

В центре оболочки будет наблюдаться эффект "сдавливания"; снаружи от нее имеется область "разрежения" гравитационного толя - вращающаяся вокруг оболочки пробная частица будет по спирали' перемещаться на более высокую орбиту: . '

___ . 2§жш!у!

° 1*5 '

где г0 - радиус круговой ньютоновской орбиты.

Кроме того, электромагнитное излучение с собственной длиной волны X, излучаемое с поверхности оболочки, в области асимптотически плоской метрики буДет испытывать сдвиг длины

ВОЛНЫ ■.;'••

> + ^ « 1 - » и - *-- [2»(3 - 5у2) +

/1 - о2 I г[/1 - у2]3«2^ + д0)

+ (1 - у)2(1 + и)(и2 + 2у + 3) Ш ]|»

Приведены координатно-инввриантные выражения для йекоторых наблюдаемых величин, что позволяет . говорить о реальной физической нестатичности,полученного решения.

В третьей главе показаны особенности сферически-симметричных задач,-раскрывающиеся при работе в постньютоновском приближении.

Исследована .сферически-симметричная система, состоящая из тела конечного радиуса, расположенного в центре выбранной системы координат, и расширяющейся оболочки. В постныотоновском формализме предполагается, что скорость финитного движения вещества и2 ~ U = mG/r. Этим он отличается от исследованного выше разложения, где заданная.скорость оболочки и < 1 может быть сколь угодно больше U.

Во внешней области метрика с точностью до преобразования

имеет статический шварцшильдов вид (if - полная масса системы):

gœ = 1 - 2M/r + 2(if/r)2 - 230г|0, (4)

Sq« = = + ги/гу,

В вакуумной области между центральным телом и оболочкой никаким "калибровочным" преобразованием нельзя свести метрику к чисто статическому виду. '

Воспользовавшись уравнениями геодезической для пробной частицы, получаем, что в постньютоновском приближении снаружи оболочки они оказываются форм-инвариантны относительно преобразований (3), приводящих метрику к шварцшильдовому виду, и именно статическая часть метрики (4) эффективно оказывает воздействие-на пробное тело!

В .промежуточной вакуумной области нестатическая часть метрики, связанная с оболочкой ' и ее взаимодействием с центральным телом,- даст уже ненулевой . вклад, вклад же центрального тела, как и для случая внешнего решения, сведется к чисто статической постньютоновской силе от тела массы M1.

Для дельтаобразной оболочки массы m с уравнением движения

2т, + m

Rit) «--

2 Л2

дополнительные слагаемые имеют вид

г = 3?[ т{2а1 * т) - Л- г2т1+ т + 2^11 + ^ т

(здесь т1 - масса изолированного центрального тела).

Их учет производится принятым в астрономии способом расчета возмущений через оскулирующие элементы орбиты пробного тела: частоту обращения, эксцентриситет, параметр ньютоновой орбиты пробного тела, угол наклона плоскости орбиты, долготу восходящего узла, долготу перицентра, среднюю долготу.

Рассмотрение предельных случаев малой и большой по сравнению со скоростью оболочки скорости движения пробного тела по финитной траектории в области вблизи центрального тела г « R(t) показывает, что происходит дополнительное к стандартным шварцшильдовым изменение параметров орбиты пробного тела.

Таким образом, в вакуумной области между центральным телом и. оболочкой в постньютоновском приближении пробное тело чувствует нестатичность системы, т.е. существует реально наблюдаемое сферически симметричное нестатическое гравитационное поле. Данный результат еще раз указывает на необходимость корректного использования теоремы Биркгофа при рассмотрении сферически симметричных задач.

В четвертой главе найдено уравнение движения б-образной оболочки в первом приближении по G, необходимое для получения се гравитационного поля с точностью G2.

Параграф 4.1 посвящен выводу уравнения двк::эшя из ковариантного закона сохранения энергии-импульса вещества

!TiJ =0, (5)

где. v{ - ковариантная производаая по метрике эффективного риманового пространства.

Доказано следующее интегральное соотношение. Пусть тензор энергии-импульса б-образной оболочки имеет вид

t*J . _L_ ö[r - тйшУ.

и

,o

(здесь u{ =-^-l- {u0,u°v,OtO), v =-g|-= fl(t) скорость оболочки), . аналогичное выражение для оболочки толщины а

причем граничные условия на скорость вещества есть

v[t,R[t)) = ß(t), v(t,H(t) + a(t)) = R(t) + a(i),

ör u(t,fi(t)) = ar v(t,R{t) + a(t)) -.0,

и при предельном переходе к ö-образной оболочке

Lim f TiJ d7 = Г ttJ dV a->0 J J

справедливо соответствие

pit,г) - p(t,i?(t))|a „ 0, ul(t,r) - ul(t,R(t))\a _0.

Тогда если функции p(t,r), непрерывны по г и

ограничены по а вместе с первыми производными, причем предельный

переход а - 0 сохраняет свойства непрерывности и гладкости, то

справедливо равенство ; .

Lim f tt>. TlJ Of = f id. ttJ äV. a-o J , J , •

Интегрирование закона сохранения (5) по всему пространству и последующий предельный переход а -»о окончательно дает систему уравнений относительно о и р:

о

du та Ж 2f?(t) m2

(1 - 4V2 - И) + 0(f)2, (6)

/1 - vs Ln-гТТ- + 0($-)V

В параграфе 4.2 аналогичный вывод производится исходя из закона. сохранения . энергии -импульса системы вещество + гравитационное поле в пространстве Минковского .

е

44«) = О,

где 7 = йег & = йег , х« - часть тензора зноргии-

импульса, учитывающая вклад чисто гравитационного поля первого

приближения. '

В параграфе 4.3 примейен введенный Израэлем формализм сингулярных оболочек, где уравнение движения б-образной оболочки с требуемой.точностью имеет вид

с? Д йзг

2 = я<«> - о + = + 0] «V + 0( $ )2

(здесь Г^ - символы Кристоффеля по метрике Переходя к дифференцированию по времени _ ,„о,2 ^д, „о он0 ад

получаем уравнение, совпадащее с (6). .

Интегрирование уравнения движения с начальными условиями

ЖО, = Д0.^1= * + ^<1 - 4»2 - И) • _ = „

дает закон движения оболочки

пяР Р ^ дл +

ЖП = д. + м + (1 - 4У2 - и4) т-%—. ° ги2 но

В пятой главе построено второе приближение 0(С?) = 0( )2 для гравитационного поля а-образной оболочки.

В параграфе 5.1 рассмотрен вклад в полное решение, отвечающий самодействию гравитационного поля и подчиняющийся уравнениям

(2) (2)

Ю ЮР ф*-' а,- 1&К •С1«',-р тв ' (2)

где тензор гЧ строится на основе решения для гравитационного

(П

поля в линейном приближении ф*-*: (2)

=тзМти[)«я. V"14 -4-^ »у+ Л + т ТЛ?" ^ - %Ф4га ^^ -

- 27^74 ^ пу^» и>гфрп + 71пу,г п>стфрч Го^4 +

+ 27 7РЧ П> ГО ф*'п -4-7 У ^з^г ю фтп ю фРЯ + •теп' чт 2 'тп'рд' 1 е^

(интегрирование уравнений производится методом запаздывающих

потенциалов аналогично главе 2).

Параграф 5.2 посвящен нахождению вклада вещества в полное

гравитационное поле. Соответствующие уравнения имеют вид . (2) (£1 . ■Ю ©р ф4-> = -16ТС Р ш

где тензор энергии-импульса вещества

(§) (1) (О) (2) (О)

= —Ц [ ои[б(г - ли)) - б (г - Я(П)] + о4 б(г - Д(П)],

С1 )

а" « + 0(|-)г,

(2)' __ (1)

ои *= ) /вТт у V + О(-Р-)3.

(2)

По итогам главы 4 при условии а4-'_ ю = О (2)

О00 = JÇfT. {У(3 + кг) - 2(1 1 и2) Ln ],

"" = mlf.f)£ [t»(? - 5v2 - И)' - 2иг(1 - vг) 1л ].

Решение, найденное тага® методом запаздывающих потенциалов,

(О) (1)

непрерывно при г = R(t) = R(t) + R(t) (R(t) определяется в главе

(1 )

4) с учетом поправок от линейного приближения ф'-'.

(2) (2)

В параграфе 5.3 анализируется полное решение +

являющееся явно нестатическим как внутри, так и снаружи

оболочки. Оно ограничено в нуле при vt + R ? О, непрерывно во

(1) .

всем пространстве . (при учете ф^) • и обладает необходимым

асимптотическим поведением на бесконечности г -» оо. Решение

(2)

удовлетворяет условию гармоничности и> ' ф^ = 0.

ta) си

Область применимости решения | « | ф1>,| « \"(tJ\ (это же

неравенство одновременно ограничивает значение и) в частности определяется условием

я_ „ ч

i + R0/V - г *

В этом случае для найденного второго приближения справедлива оценка сверху

(2) (1 ) ... , (О)

т.е.-наше разложение является математически корректной операцией.

В заключении сформулированы основные результаты, получанные в диссертации.

В приложениях А-В приведены примеры программ для системы "REDUCE", использованные при расчетах.

Основные результаты диссертации. На защиту выносятся следующие научные результаты;

1. Впервые получено решение для гравитационного поля расширяющейся сфорической толстой пылевой оболочки в первом приближении по G при постановке • задачи в координатах пространства Минковского. Оно единственно для выбранных граничных, начальных и асимптотических условиях, непрерывно дифференцируемо во всем пространстве и удовлетворяет условий гармоничности.

2. Найдено преобразование координат, приводящее в соответствующих пространственно-временных областях это решение к "статическому" виду; дана согласованная с решением корректная переформулировка теоремы Биркгофз в теориях типа ИТ.

3. В рамках постньютоновского приближения РТГ рассмотрена задача о нестатической' сферически -.симметричной системе, состоящей из центрального тела конечного радиуса и расширяющейся

ö-образной оболочки. Получено явное выражение для метрики . в полости оболочки и вне ее. Нестатичность внешнего решения, в данном приближении оказывается ненаблюдаемой, но в области между центральным телом и оболочкой нестатичность гравитационного поля наблюдаема и проявляется через появление дополнительных к шварцшильдовым изменений параметров орбиты пробного тела.

4. Впервые найдено при выбранных исходных условиях непрерывное решение для гравитационного поля ö-образной оболочки. с самодействием во втором приближении по G. Получено уравнение движения оболочки с точностью G. Определена область применимости метода теории возмущений для рассматриваемой задачи.

5. Приведены некоторые гравитационные эффекты, позволяющие непосредственным образом выявить полученную нестатичность гравитационного поля расширяющейся оболочки.

Основные результаты Диссертации опубликованы в следующих работах:

1. Monovsky O.V., Vlasov A.A. On expanding thin shell In linear approximation oi the Relatlvistlc Theory oi Gravity.

// Problems on High Energy Physics and. Field Theory. Proc. oi the XIV Workshop, Protvlno, 1991. Moscow: "Nauka", 1992. P.128-137.

2. Власов A.A., Моновский O.B.. Задача о расширяющейся оболочке • в релятивистской, теории гравитации. . '

// ТМФ. 1992. Т.91. N.2. С.334-345..

3. Власов A.A., Моновский-О.В. Постньютоновское фиближение в задаче об оболочке: репринт 93 - 2/294. М.: НИИЯФ МГУ, 1993.

4. Моновский О.В. Уравнение движения сферически-симметричной оболочки в релятивистской теории гравитации:

Препринт 94 - 10/332. М.: НШЯФ МГУ, 1994.

Подписано в печать^ Of. Заказ Тираж ßOfitj

Типография даИ, Каширское шоссе, 31 ~