Задача преследования-убегания для объектов с множеством захвата сложной структуры тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

Альхамов, Радик Рахимович АВТОР
кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ
Ташкент МЕСТО ЗАЩИТЫ
1993 ГОД ЗАЩИТЫ
   
01.01.02 КОД ВАК РФ
Автореферат по математике на тему «Задача преследования-убегания для объектов с множеством захвата сложной структуры»
 
Автореферат диссертации на тему "Задача преследования-убегания для объектов с множеством захвата сложной структуры"

МИНИСТЕРСТВО ВЫСШЕГО И СРЕДНЕСПЕЦИАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ УЗБЕКИСТАН

Ташкентский государственный университет

На правах рукописи

АЛЬХАМОВ Радик Рахимович

ЗАДАЧА ПРЕСЛЕДОВАНИЯ — УБЕГАНИЯ ДЛЯ ОБЪЕКТОВ С МНОЖЕСТВОМ ЗАХВАТА СЛОЖНОЙ СТРУКТУРЫ

01.01.02 — Дифференциальные уравнения

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации га соискание ученой степени каидидата физико-математических наук

Ташкент — 1993

Работа выполнена в Ташкентском государственном университете.

Научный руководитель: кандидат физико-математических

наук, доцент Л. П. Югай.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических

наук, профессор Б. Б. Рихсиев (Институт математики им. Б. И. Романовского АН РУз).

кандидат физико-математических наук А. Т. Рахманов (Экономический университет).

Ведущая организация: Намангаиский государственный

университет.

Защита диссертации состоится «________»__________19_____г.

в «________» час. в аудитории на заседании

специализированного Совета Д 067.02.21 при. Ташкентском государственном университете по адресу: 700095, Ташкент, Вузгородок, ТашГУ, математический факультет.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке им. В. И. Романовского математического факультета ТашГУ.

Автореферат разослан «_______»______________19______г.

Ученый секретарь Специализированного Совета доцент

С. Р. УМАРОВ

т.

• J- .

or,iiM Ш'Мїтегнстітл paöoth.

А к і у й л ьяосі ь г о м н. От-м кз кнтонашно развп-ваиоьсея iiMirpni?jif5rortt мптмтяки якпче'гея теория унрзштоких систем.Раздал этой теории„игучагадуЯ улряымтео системам! или o0t(u<T3Mt: в услснки юкфшіта ,лпэцпаотся тзоріеЯ дифїоротш-члышх. ’/гр.

Ьо:шикн-'-н»мш о'ідті Tevjm дф^крзшшальннх игр обусловлена па^по-техяическкм прогрессом. Гвэульт.яти исследования этих arvm вахолят ггпіг'.-ютніу* п всогнсм до'¡о ,в экономике, в тссрлп атиомтлтсксто j v.гулгровзния.Ряд аэлач оптгмалмюго ynpnii.wm»n тяга» ясаподус* іч-я ютоддок лиФЬеренциалькчг игр. Рярвг.тио теории ди^рпицпальиих i*rp ос^спечивается появлением все новик задач в наука и технике .

Тізркї-Гіт "ЛИ?ф(фОПГи1Э.1!1.НаЯ игря ” оил введен Р.Айзексом Г Т 1 , НСТОрНЙ СВР Л .рОПЛЙ’ШЫЧ иослоаоьшшя конфликтных

ситуаций и одшкую тйорли. Р.Айзокс ііод'раадаляот даіфзрянии- . аяьод гхры яа дш класса: кгрі кмчостиа и игры степени. К ичрзэму классу игр относятся игра ,ь мотора плата игры принимает два знвчекп : кос гпгиута цэдь или шг.Ё играх его пени плата игрч принадлежит .шэкествр, ¡. 4 -н оти коптишмум. Изходя из такого рв:-деления лпф&ероип&м.- '* • erpu рассматриваются с точка зрения двух игроков ,шля котора противоположны.

В стзпсп.г<нш1 туорин даВДорешстлмзлс игр осношползга»--шкг-и были иселодавшия Л.С.Поитрягинэ ,Н.К. Красовского ,Б.Ф. Мияіопг» ,Ю.С. Осгоюва Д.Аззмова ,В.Д.1>8т;хіп»а .Р.В.Гзмкре-лйд?8 ,Н.Л.Григареичо ,П.Б. Гусгтшкова , A.B. Кряяимского , АЛ. Курганского ,В.¡1. Лагунова . A.A. Мэлккяна. М,С.Никольского, В.В. псгчтопко.Л. А. Патросяна, Б.К.Шешчиого.Н.Ю.Сп-•имени , A.!1.Cy<1rtOTJma ,В.К. Третьякова .А.С.Чонцовз , Ф.Л.

Чотлюусько , л.А.Чикрпн И др. ‘

Влптлзря усилии зтох ш горой описана структура диф!»-

ряшшапмл» нгр указан« мятода исследования , а такте пути и

-г- .

поджоца к ришенкм иошшамдо здесь щобле.-д. Однако основная часть работ попиядака иср^ыдоеалию даФ1лзронциьлышх ш/р, в ко-TOf-jx шимюотюц захвата является либо точка,либо окр^кноств.

Ди4Форйнциа.пише нгри со сложными ипоюствами захвати рассматривались. и работах Д.Лййгмыю,В.М.Го тса,А.Ь.М> >раи и др.

В работа Ш рассмотрена диффораицяакьаая игра абьек-гоь с мклкестааш захвата в ьцди Сантосов, с, постоянной скоростью дошилшн и ограничатся па угол разворота.Для такой игры при нокоторик значошш параметров игры (отношение скоро стой игроков,радиус сектора и максимальное зиачшша угла разворота) построена парта диКюронвдальной игрн. Ь работах В. Дж*ршрко моголами диЯфйрбишшлышх игр со слошоди множеств-лама • захвата ««сладуотся бой двух самолетов.И оти*. раоотах тайке проводит примори построения карти игры.

U продлагаомсй дисс&рташюшшй роботе изучош иокотории класси даЭДорснциалышх игр ,как с мяоквствами захвата в нидо отрезка, тик в с произволишми шкжаствими захвата.

Иаличиэ у объектов шюиества захвата сложной структуры позволяет рассматривать даМорошщальную игру как даухцел&вую Под .игроком в доухивизвоа дифференциальной игре будем понимать точку из,'пространства К4'’ , у которой заданы фазовые • координаты. Каждая игрок то от множиство захвага. Совокупность игроки и ого тюмстьа захвата называется обьоктом.

' CymOCl'liOHHiitf отличием ДвуХЦОЛбШЛ игр является увеличь -шю количества исходов игрн,В одноцолових играх качества исходами нгри могут 'dim либо выигрыш парного игрока ( обычно просладовйтоля), либо иглгрц-л второго Ш’рока (убогаш&го).

. В двущалешх играх количество возможных исходов становится равным четырем :виигриш первого игрока.выигрыш второго игрока,взаимное уничтожение игроков и ничейная ситуация,ког-

I. Gets W.li.,1’acheter M.l'wo-targGt Pursuit-EvaIon ctirffepen-tlal, gamer, 1л th pi no.// JOTA.1981.Vol.34.P.383-403

■ -з- .

гдп m: один из обьсктоп m гюжот добиться постпплешгой цели.

Pasöj:eim тотствв ¡ппашгнх 'гог’гешЛ на области,для каждой из ко7ернх ол'.ш из игроков мокот гарантиропагь.,дасте;штэ псстяклонноЯ ноля ,будем нпоувэи» посгроошюм карга игрл.

Цель д и с с 8 р т э ц я о й н о Й ' р а <3 о т Hi Разработка методой исслодоьогпгй дгтффорешшыял, кгр с гяюжв-стпагта апхеатп сжшой структур« й построотга карт» ;irpri.

И О Т О Д II С С Л О Д О П Я И Jt я. В работе используются метода TSCftni Д1!ф|>9рб11ЦЛОЛЫШХ ypCDKOinift , теории ф.уш-с-

1С1й н вориацкот^^го кстас.ттгл.

Л о у *j ;j л г, п о о и о и а , Разработал} методы кс-следовппяя даф^ор^шшыт игр с мнояоетпами захватя сдоетой стр;лстурн. ДМ различных уСЛОЙЙЙ посчрооин карти ИГРУ »ли по-ду-^ну достаточны!? условия созкоэностн достижения яостослспь HOft цадк ошл ИЗ игроков.

Теоретическая я практическая ц#и!ГО(Яъ. Получокныо в диссертации результаты могут бить шгат.зопшш для дальнэййого торро-пийского исолодовяшш двухдолошх ДяйврвНЦИЭЛЬШХ тсф обьоктов со елезидая МКОЯВСТ-вами захвата.

Практдчоакяя цэтость работа заключается в возможности примвкошя получениях результатов к решонига задач, восчгеквю-B51XJJ ТОХЛИКО,8К6НОМИК9, о лоэяпом дело и; др.

■ ’ А п р в () а 1! ? в р я <3 о * и . О результатах

работи тсинократно докладоюлось на заседаниях Сетвшара tfo /мДоропциолышм игрэх в Тгакентсчом госудярстпотюм униг-ор-с’лтото в 1985-1992 гги?эучте»й рукозодитель ЧЛ'Корр АН РУЗ , проф. СйТИМОВ II. ю.) и Ш ЛИ Укр.зюш (поучиий рукоподятоль1 ггроф. Чикркй A.A.).в I8S9 г. Кромэ ггого.осношш результат* докля/давались на всесоюзной школе "Огтшлькоо управ¿юте. Геометрия и унол1п."(Квдорово, IDCJJr« я 1590г.) к чзг-пэртой международной ?«иферй1щв;( m даф^рвМфвлышй уравгв- . ни ям и их примзтняям (ЕСЛГарИЯ» 1Э0<?Г. i . • . ,

П у 6 л к к а ц и и .

По теш диссертации опубликовано, девять научных статей, в которых отражено основное' содержание работа . '

Структура и о ú ь ем работ. Диссертация сребрит из введения,трех глав, разделенных из девять параграфов, и списка литературы из 118 наименований. В диссертации нумерация формул в каздой глава своя.Внутри главы все теореш,утверждения,уравнения, формулы и.т.д. нумеруются двумя цифрами, из которых первая означает номер главы, вторая г- порядковый, номер внутри главц.

О0ьем диссертации составляет 117 страниц машинописного л текста.

* 2,-О О Д Е Р К4 И И Е' РАБОТЫ

Во введении дается краткое описание основных направлений развития теории даффорвнциальшх игр и излагается краткое содержание диссертационной.работы. Далее подробно рассматривается Постановка вадачя двухцэлевой дифференциальной игры,

. Пусть задан в плоскости Нг обьоыт X .Этот ойьдкт имеет множество захвата .обозначаемой «jopes М,. Для описания распо ложения множества захвата зададим точки х0 и xt е U,, х0^ х,, Положение точок xQ и х( относительно ыыоиостаа U} будем считать ^иксировашш. Движение объекта X в таком случае можно описать дшЗференциалъшми уравнениями:

¿^(Xg.U) , (І.)

. ó =fP{« .И) , ' (2)

. 2

где Xqí IR ,а-угол от некоторой фиксированной оси (например оси йОсциоо) до луца ,проходящей через точки х0 и х(, и - управ-^ящий параметр иа вадашого множества Рей1',

Его соперником является обртт Ї с множеством захвата Уа с в2. Аналогичном образом для его множества захвата определим точки у0 й у, < иа'Уо^ У, .Дьнжашш втаго объекта описи-ваетая дифференциальными уравнениями :

^ p -(¡¿iß ,v) (4)

ГДО .V0iK'. p-OT T'-î! 3M fjTÎKOBponanHOtt оси «о луї« оодфїмщого отрзйо.ч f y0 y13, 7 ~ уіірупллштй ппремотр іїгї полпттоґо тют-ctBf< Q <- ІГ4 .

Вочтори и я 7 сїудом шзнваїї» упрчаляк^ями ттарпмотрами обьок-топ X :: Y ,:і ОРу/шінк и -и(t) в v-=7(t) , !>0 их упраолчпшіни.. На угіравлоїшл'и(і) it v<t) oöwktod S и Y будем нак.тгадопятБ слодукда ограшпшшя :

1.у( )»v( ) т. іияодлсг.ат клзссу иптогрдруою« яо Лзбегу фуге:-Wlit.

2.U(t) i P с Rp ,?(t) i Q c If1 ,ТД0 Г Я Q --БІПТУКЛНО КОМПОКТ11.

Управлення .удошізтворітзко тагски огрчілизшшіл будут напн-яатпср допуотимлга. Будем ігродгголагать , что <їункцш Г4и g, l^i,2 такия ,что для лобих допустимих упрашгоіпй u(t) и 7(і) її згщгадшх їівчальїмх ¿'слориЯ: ^о(0)=х° , уо(0'/.-у® , o0(0)-afif ро(С) » (5() еущоглвуот едияствегама ропвяия дифївраищіпльшк уравіїйіг.іЯ (І) - (4): (x0(t),u(t)) и (y0<t),ß(t)) .когорт будеш miSniiDTb дтжюгяш игрокоп X и Y .

Томи a0(t)«{ <x0(t),o(t}»y0(t),p(t> ) € йб иозивгютой COCTOifltîWM ізгрн в момонт вречеїш t .

(Юозначчм r5(t) •--- { yQ(t),j3<t),T0(s),я(з),0 п < t },

rg(t) » t 3o(t),cc(t),yo(B),p(s),0 ^ s і t y.

' Сцродз-яешо І. Под стратогиой обьектз Y будок цони* мать отобракоізге G : ГЛt ) » Q .тг.тїоо.что утірпплшмо v{t)p С І Г1 ! і) ] бїдчт допуск тл.'.

СпродеЛотю 3. Под F-сіратвгипй оїїьдагп X буцом ііс>іт мать отоброж9іяіе P: -»у ,тзно9,тго уїф'іи.отт^ '

u(t) = P t r2(t) 1 будт допустим,

Опрвделшшо 3. ІІОД (¡TP'i’WiMft О^ИКГЧ 5? бу.ппм !ТСТШ~ МПТЬ отобраглкн-з H:Rß« СУ* У, Т6«0<?.!їГ0 ,ялп д<У!<ії'о доііусччШогм v(t), t > о, упрчвллшо U't)3 t't г допустим*

опрвдолвяив 4. Кудем rcw-ряп, ’ПО МЬШГ* X и? начати '

- -6-вой позиции (х°,а0) ааварад ареол&довшше объекта Y , находя, -щагося р начальной позиции (у^.р0> применяя Р - стратегию (Н-стратегия) ,если существует такой мошнт-времени ЗМС1>10((Ш, что для решений уравдзшй (1)-(4),прл и •• u(t) и ï= v|t), да u($) a v(t) определены соответствующими стратегиями .будут вшкшюнн сдрдудае условия ;

x0(t) j£ il, ' ’ при î€ £0,2*3 . (&)

50(Т) еЦ, . (В)

Опрэделашга 5. Будем говорить, что обьекпг X и Y завершат преследование одновременно из начального состоят!«

* £0(0) , йсли существует такой момент времени ï - l't eq(G) 1 и

такта множества стратегий 3 = С 3? }, и. <5 =( G },чгга длц рата-

ний уравнэций (I)~(4), соответствующих управлениям,порожденными стратегиями из а тих множеств'вшюлиош условия î i0<t) У0<*) if Ы, при. te Ю,Т)

X0(ï) € U2 y0(T) € Ы, ,

при атом , если одиц из обьоктов вдзкраот свою отратогию , но пранадларщую срответотиуэдему множеству g и <В ,то его соперник шкэт завершить преследование.

. Буден говорить, что обьектн X м ï 1и смогут завершать преследование друг друга Из печального состояния ео<0) , если существуют стратегии F и G етих обьоатов.что для решений уран-нений (1)г<4), соответствующих уяравлешям.иорокл^ишыи вщми стратегиями при все? t j О выполнены условия;

y0(t)KU1f

Диссершдач состоит из трех глав разделении на девять параграфов .Первая глава посвящена изучению даухдолавих игр , :шдв множества захвата JÎ, и И£ представляют собой отрееки дшши L, И bg Î !ZQX11 = Lj.^y^, I = L£ , точки x0 н y0 совпадают с ковдада отрезков м движение объектов описывается уравнениями "простого движения .

V». <7>

А**1 Р =V2 * <й)

При шюжекптп P и Q tv^eovvr e-v-л : •

P--- ( u-(u,,uP )T, |U, |'K, , |i)2|<li? ) , (9}

Q- С v-(v1,7„)T, |Vj |«k?, (V-, |<K^ ) . (0.10)

Такая постзловха задачи дунуокзет построение карта двух-шшглЯ jmjjJ-epoiniinjinicil игрч при испольготзапии ойьектом X .

Н-стратега?. В перр.гм парограЮ рассмотрено диМор’МЧиальипя . t:vp'i при услоиии ,чю к, --- к3 . Лпч построения soptH игри врг- тт.;!-', обазнзчпщ'л

!:,n)-y.0(t)--y0(t] , rn.)-|ait)| ,

'р, <t) -угол г.’>»жду чр.'ДО.га, гтре»:жи [т (Т) ;т, (1) 5

г tx0(Г)П , ‘

Т?-Ч)-угол между прям«.':!, содюртжстт строчки f у0<Т)(Т) 1 к t;/0CTV,xc;(T) J , '

угпл г/?к.ру за ламе й фгг'. «ровпнпей асьи и прямой содяр-ЗГ'!Г.1?Й отрь’ск 70 (Т 1 • Г-,- i i1) 1 .

-с0-г(П), ■ 'P1Q-’P,(0), (fu0^-,iO), tfy~HO).

Ллл углов rtf) ,(3(и (I,)! t) ,ф (t) enpoKwmia раюшетеэ:

7j( (I) -■ - ' (II)

'п?|'0 --= '!Uf.>-SM,> . ' Ц?1

Bo.upmmi и • «ц-шчктз’шо опред-'ляпг гяп^ние растолс^шп обкктов к З9д«ит кеордягога рчдушрзвэквео проезршгзюа К1'. Пощ'ропдар тгартн игры яудэм пргвзлять в о том ироотрзиотвз .Это jtwbmm гтолучаотсч гп основз сдадугаих угЕерлсд-энгЛ:

’/teopxikw? I • Пусть К,--Ц к Ii,> 7.р,тогда пря квподаю-тпгй стога иг-» :

а) к,'-0, ка-п, го-< Ъ, ,

f*>} к,. -С), '' ^ .

^'0, Г0 < п, ,к,[ф,0( X ^!тло! • ortt лчт X гт^рпшт пр-тс.галэв.'чм*? -:‘б!.-о;-стя 1.

.утгорг;з-'ПИ9 Г. !Ь'01Т- к - к3,тогдэ Прй РЭТТОЛИЙНЯЯ одного йп гг’'ггт'!' :

:0 V О. 1:л > С, г0< 1г, ’

С' г-,> т-, ' к-Л^-?1 *

сот-КТ Y зььоршт юрослвдоьшае обылста X . .

Ут11йркдешю 3 . Пусть 'К,- ’ Ц и L,? 12,‘ тогда при шлол-

Hí;ii;ni одного из услоьий: .

а) ):и •- 1с, - О , ú) г.у I., ; ь) L/. r0 <■ 1,, le, - О ,

OOI'üK’i'Ü X ¡i У IiQ CK3ÍVV Ciyl!>'/p.¡¡;)TL ПриОЛОДОЫШИй друг лругь.

УТЬирЖДОН.и í . ¡lyc/ib к,-- lí3 и Г„< •I.-.v Ъ, ,Ug> 0,кд> O, Uá)y ¿| ¡- к2|фго|,тсада uCbc.K'iu X и Y ашлриат врослодовзнио <WK*fA,«.n¡Ha. ■- '

• C'jbOKyniiacví- у гь_Г-4 юм&ЯкйГ р<зд<шг»-ь '¿ющ-ц^йпаниэ-з прс.страиство ,kj¡cmo чочок tópu пуль ,иа шз» otí-’лаэта.начальных noames« --грн ,д_чя Kfa;j*o»í йз которых o:yj¡¡ из oOloktüií rjifüiíVMpyot co.:'.o дос-тлиаа or.jfli».H¿n!ioro исхода.

' . lio ьторои napárp*4*3 с^рлули^ьша и дскиоыа лс-ьлз щ,а

псм\и ко ¡'ojos i¿»:así.sju проход от игр ь которых, сюьокг X примами? И- cipr,iü:%;».,к играк.ь которих ¡t.\¡ и.у.кльзуй ic.1 F стра-ivnin.' Лоума wir.tyjxpyt.jcn cjfciy.tcaw --'.¡{Ж.а! :

*JS<»¡iüia I. Пус.ъ I) ЛИ.Щ*Зри НЦ;з 'j .:ьшЛ lüj’O (1.7), (I .Z) 'íUKOit, что k. > k3 , суцьc;luye í' i! -сгратогая :>5ьы:г& X : ' _

H í2(0),Vi - 'V t- I(a) , l'iií; f- ШКОЧСрОП ФУНКЦИИ , уДЭВЛуТ"

ьзрявдая .Лившица и сгргксксшвм | Г [?.) и 'к - 1:3 , такаб что ио канальной иогшг.'.и ’¿Р- i -х£; а°, y'¿, р°), озьькт X зшврвздч'

'«р-.-слаяэшые úOLeKTn Y ,¡:p¡¡,\io¡,ня П -аршл нь ни г,;.о.чя

■J'or.Sü C.VbiwCVtyDV V - C'iJ'üT.ii'ilíl CCiLólC'i a X ТЫх и Л ,4'tü CU ZUbóp-h¡m мрволйд:,Ьшй\й üSíoktu Ч йо tnvü № иматяй uü3.iu,mi,применяя упрапл&шо (я (и), 0(í.) < я ^ ti . •

Б TfCt'fLúM ¡KipuV’p-.úi.OpOC'CUI [irtüCMOVJü'lia iirp.'l (0.?) (0,6),

Б которой Uli&JUMUTCfl УСЛОЬИ» i;,, > K-, 1¡ i'., > )■ , . IUl/1 TciKHX

• i • ... **•

игр в рвдунирэшвшл iipocrpsius'jco К олрвдиш сладу едиз шю-жесгаа : A1(l=1,b) , А с f;..lí3\(H(U 14“) :

^ Jr0,cí'l0’^0^ ■ • rck4 ^ ^1~ Ti

^2= í ^о’^о'^о^' • 4 ro^á ^ ^:i~ iíol^f ’

• к-1 ■ !Ч ’ '

ф=ЯГЗП1п-----—-П—-■ >. ..

"Од . ■

Для опрэделзшм множества А., обозначим через ф,;! фг рриоиия уравнения ( |Фго| *.ф ) (1:,- к3) - г0кЛсоя ф, - ; -

чер’33 Л,Л Фд рез:01Г,!Я урпг.^твнпя : . ' , .

( |ф-:гД *■ Ф >г№.~ к Г - 1с (г£ » 'Ь* - 2 г I 003 ф- )

1 Г ,еслн'т0ссз 'Л,'’ ]<? гаИ,)? п?'суй'тсзрусч -

<• ^мг в цротпкясм слупи • ■ •

А_ - Г. (г^.ф,0,ф^0) . (*о«!Рю,|Р?.о^ I- А,и .

( |ф,01 4- ф ) к > (|<р.,0| - ф ) к прп некотором 1-1,2. '

к, г- Г (ггфГС1/р,0) : '

Н(Ьа)-П(.г0) >|фао| (к,-к. }.П(ъу/хгк'~ - (1с} - к^агоэЛп-^З}

Л5 РХ(Д Л!>- ^ • • ■ '

Им построенных глюетстп докэзивзвтгя СЛ9ДУЮГОЮ Т0оро?.ш: •

Теоремэ I. Из течек мясжоотва А ,11 АгоЗь*кт X смоког' 5а- . вермить иреслэдога^о обьоктэ 1. .• ’ •

Теорема 2. Если азчапьяяя позиция такова, что точна . .

(Г0,ф(0>сР?0^ ' *1 •Т0 Н3 такой ПвЗЯЦЯ« 0б!>9К? X С'.'ОГЯТ :пй?р-

шчть преследоват» сЗьчхта Т. , . • , . 1

Теорема 3. Если нзчалшт позиция тпковл. что гочка :

(г0,®10,<рг,,) € Ал,то объект I г" г vt.cn и'зтшт зэя<?р::гт гг рос-лвдовэтгао обьэктп 7.. . '

Теорема 4. Пусть (гс,<р;0,<гг?0? *. (АД! АД! Ази Аг ),тагл если СППЗВРЛЯЙЕО одно из услоаиЯ . -

. I) г.(> ь„ , ' .

2) Ь,«. Ь , Ь?к-Л< к,- к3 ,то о<5ыжт X '

ззвориит прослоловзшй. Обьехста У . В ПрОТИИЮМ случлп, т.0, если виполивны нвр-лввнетва Ь, « Ь„, и Х„кд> к,- !<3 ип оОьект X ,ни объект X не смогут зовяршить прзелэдоплнт.р друг лруга.. , Первая глава резюмируется разбиением ролуцероваяжг’о про- ' странства параметров (г,да, ср,) ,кромэ точек мэры нуль, на области в каждой из которих 1и«о один и» обьокгор зчверешт ирс- ’

Иодоьаішо СЬОІі’О СОІКзрНИлЙ .либо Oda Gilí! lió постигнут !!ОС':ЬВ.ГіЄІІПОЙ ЦОЛії. ■

Вторая глека «к.\-л[ж>ціш ’(*•»•-§*>) поішацгош рвосмотроиин игр при усдоыш,';» мкишзтвамм зальааа ашштееа промааодьнии пьмкііі rid м.іьіійсши 1!, ß U, .Ддд отих, шож&ств снграделим числа L,-- кіп І 1 >ö: і0 -і 1 3 = U, } ,

¡ї.іп і 1 >0: * 1 S з иг } ,

1р-. їй* Í .1 А): у iScH^l ,

• ' • L*.- аш. t 1 >): /,t 1 S с И, ) ,

. .. W U г..

г да í; с ьг- - цар цашшчиога радиуса с центром и аьчь;ь коор-

ДіПІиІ .

Ь чо'хb'jpi».>/.1 r¡jparrj.4.j си.-.í¡ná'.i'iс>¡ у тьвр^лсдонио , что для

■ док»зpóuiw -jjiuiuil urpu с урьвнышшм дщомзнил (G.7)-(0.üi при btüijJiiiuiuui одною из ycJiobiiH :

I ) L,'' i-¿ •

¿i i..к i.a , L, > i, . k,- k3 > i,, к. . к,- k4 -

ooi uiiv X аав&{'АШт г»і«ад0ді.йаіаь» сої.окта Y ць Лмбой позлиш, такой что i¿0(Uj •■ у,,(0) I > IP. . . ' '

Ь ішїса і:ар.-л-р.цх> jjaí’vW’ivpjHa »Uya,ь которой o<ÿ>-

óKxob слшашайт;;»; /p;.r,iijn'.-m:, л ь.орого іюрдака : .

■ x;~ u, a •' u_ ■ 113 í

i',- ^ г ■ ^ • íb‘<!

ui;pjJGj,jKíio il.6. і.’/ДіШ r-)¡;0])iviL, ’iTJ ¿..Тії ШОаоСГі': М,И ü.,

Ьііпшпинп ;,v:i:au‘.j кь^.чю^иага.зли: ¡.шг^’-гаа ¿i ;i L LWy,j :іе{.ос;йі;:і:'/л:.і. ïcjü.u.î г. ;а^к nx и p. ;піч'лїі-і yi.^i

міш.;.:о ii.i'Aà y ii yb точ:.і'.;.'М пирус.с.ч&нпії шсл.и.ті-и

aSL Hl.,S(y0) .ДIííí ícík.u >;rp дэказоио ичдошцв* іїь;рждиішв:

■ Утворхжчг.ш П.ь При nuh^jKibiiiui одної о іі'.і іхкоБкй :

J ) L, ■- І,г .

2 ) Í. ç І,.-, , і:.- k •- г І., кі , к , ц для u¡r.«.«v.v;; а, п

• С Í -< i.í -J <_ -í І

И;, ¡лякшюна уелGt./.л шпг.ііохьати, ."„її <-ісг X оч£«ршіт п(-ллнидо-ваіша объекта Y па ділой на’іаяпк.іі .уьшйоч.'С.рдиций

условиям: ■ ■

3) rQ > Ьг . , если (2,(0),я(0)) О '

4) 2(к, k3)(f0-La) > x'f(Q), аоли (з, (0),z(0)) < О

1 й толедаем.нэсзш парахрафэ глти рассиогрбна агрз a аа-паздыиапием шформацни и уравнениями двшяния (0.7)-(0.6) .Для заданного t > 0 - интервала з&паздоьатщ дсяшзшо сдсдуодоо: Угверкцониэ 6- Пусть еылсшхоно одно из услошй :

1) L.> Т,,+

2) V 1з к,- к,5> (1а+ Vе) к > \ ’

тогда обьакт X заверши1 кресло зовалш ооьакта Y из ml-.,а начальной позиции VCiKOH, что rQ> Ъ + kyt.

Третья глава "Двухцолоию дифЗгарехптиалы-шв игры объектов с npoTiKtiffluiiii шохэстваа захвата " ,состоит из трох параграфов ( §7-59 ) .В ней расиш/хрэнн цриморн даффзрспцвашшх игр ооьек'А'йв с wKJSwo'iuam захвата »првдетавлнщкми огрззк».

В содьмом параграф рассаютрена игра со емошаиш.ча ограничениями на управления.Уравпьгйхл двидашя игроков икают вид (0.7)—(0.81 , гд'о' на управляющие параметры нак.иадньаются сме-шашше ох’рашчения :

U i Р С. ь? ч R1 , V € Q L.,- R1 , гцо

• Р = { U-UU, ,11. )'с, u(i S(p) , ¡u^KKj, i , .

• Q - С V=(V),V^)T, V,t Sf.i |y“|<^ > ,

S(p) - вор радиуса, p и ■?, -о у.pmorto if.

Для такой днЯФ&ранциальиаМ игри .¡юггмшл^тся тоор кь 0.5. '1’еурэма О.б . При ыяшпшищ одного ни уелоьвй :

a) Ц> L-, , р > о ,

• /~ ~ ■

. б) l,,iS кг , р > о + / кд ( 1,^- L~ ) , Кд > к, , обьвкт X -саьэригс про мелованна обьикга Y из ьооч иапалым* позиции ,таких,что r0> L...

Восьмой параграф цоевлиин раегмелришю даадврдшшямюй игры , в которой дшйлвю сбьактои оиисииантпя урагнек.шми

второго порядка (13)—(14). I стдачие. с? pnccRovj» шоа.раное

. . . -12- ' . . игры (см §5),в которой множество захвата объектов является произвольным вшуклым. множеством , для такой игры справедлива следующая теорема : ■ _

Теорема 6. При выполнении одного из условий I ) I, > ьг , ' ‘ ■ • '

3 ) ь, < Ьг , Ц- , кг> к, ,

объект X ваворашт преследование объекта 1 из любой иэталь-ной позиции .удовлетворяющей. условиям:

3) Г0 > 1.г ■ , . если (2,(0),2(0)) > О,

Л) 2(К,- к3)(г0-Г,2) > г*(0) , если (а, (О),г(0)) < 0. Заключительной параграф посвящен доДОнренциальной игре двух объектов X, и с мпоиюстБами захвата в виде отрезков , длины ' I.,, и Ь)г против объекта У, также с множеством захвата в гада отрезка.Уравнения движения объектов X, и Хр имеют вид : .

■ у - ип «• - :’,;л <15>

хо ” иг1 аг г'~ 11га

. Движение объекта У, представляющего собой отрезок у0у,

длина 1р .задается тремеиением точки у и поворотом отрезка

вокруг те .Уравнение, оикоьтавйее его движение могло записать

в виде : . ; , ■ ■ .

10 " >1 Рг ~ уг •

. На уирзвлпкдяе в^глчйствая и^. (и , ,• и^) к V - (V, .V,,)

объектов накладываются ограничения ■: _ .

и1 * ргс Н?' ' к1 • ” с 0 с ^ * К' ’ 1-( 1,2),

где V { и ^ 1^,1 < кц,!^! $И12 >,

О - С 7-={7,,Тг)\ (V, |*3?3,|Уг|«&л } . ■

Точку Ъ0{\) - (7^(1),а, (-Ь),схг(*-),у(1;)> ) будем называть состоянием игр« в кскеят врвиадю Ь.Исд стратегией объекта Г будем ионкмять Р.вПрОрЫВНОе по совокупности переменных отображение г. : Я2 « п’ « и2 * IV « ¡г! * Р,1 « 0,при котором в

каждый момент времаяя !: люЯоЯ точге а0(1) оташться в соот-

-ІЗ- •

ьитстшв шш'іенло уиравлошія v(t) *; О.ііод смрашиий обьоктоп X и X, будем понимать пару ГР ,Р0 }нопририыш. по совокупное-

I С. I С. - "J - , J ,

та чвромошшх отображоние F : R~»I¡ *R"*R 1 »R^lr-Q Р.ііри котором із каадей момокт времвин t любой поре (z' (t), v(t)) ma ьнтея в соответствие значимо упразднили u(t) е Q .

Дадш дііп определит иаьораюиия игрц.

Опрадолвшо 7. Судом гсьсрить, что одкк из- обьекгод Xj шиї X., ка начальной шуіщии (х^(О),а1 (О) (0),ац (О) ) ааьор:-

шт іфо ело до в-mi: в обьокта У, находящегося в начальной позиции (у(о),(J(G) ) па i-роия T - T Iг (0) ] , если для jukSoü страпшм GOI.iJK'J'fJ Y сущоствуит ТЛКПЯ стратегия,обюктов X, и X., , что

дп.ч рошишій x¿(t),a, (t),x§(t),a,(t),y<t),p(t) ураьноний (15) ([ь) при u^ujft) a V -V (t) будет выполнено одно из уплоьий: : А) уГ)(Т) í t x¿(í) х; (T) ] .

x¿(t; а ( yQ(t) ÿj (t) ) i e Ш;‘Л , .

B) y0(T) € t z^(T) x^ï) ] '

£^t) X і УПШ y,(t) 1 t e fQ;1M .

Onpü.iiojidnuû 0.8 Будим і’ошрить ,что cßbOK'fu X. її X из на. I *э

4.-u¡i.i)o¡! позиции -(2^(0),«, (0),Xq(0) ,«.,(0)) аашришт пресдвдо-вамио. обьокта Y, находящегося в начальной позиции (у (О), fi (О)) л а прими- Ї -- Т Г2 І -, воли для люгїой стратопш огід.окта Y суадоствуот такая стратегия оеч.октов X, и Х_, , что для р-диь-

А •) , її-

liiiti ïfJ( t. ) ,a1 ( t ),x‘0( í. ) ,a¿ {t ),;/ ( і.), p ( t ) урашг.ігей (ІЬ) й (їй)

при u= u (.t) и r ~v (t) оудут киполжт?.« уолоппя

4(U t ( ya(t) yi(t) 1 1 r; |П:Г-] 1 л'г ]

й такао одно из шишштй :

0) y0(T) С i ¿(rl) ïj(i') I,

D> y0(T) G ! x^l') >.^(T) К -

Спраіійдлцш теоремі (0.7 П.in) .

Теорема 7 . Пусть к1гд it.,., > 0, тогда ара ыиисшиоши • одного из услоши : 1) ( к( (- % > k4(L_,- L ) ,

' 2) ( к21- 1-.,! X > k4(L2- Lia)

3)3ir>Jf,(4f-I-^- + -ífr_if] '

•1). ( ^--kg) {ъ + 1) > к4Іг , к1г> к4,

Р) •( кг,- к3) (п +1) > k¡L¡ , к^ ^¡,

і ”^з ,кг ¡ J3

6)30 2'. Ігк,

тсгда один из ойьектов К или Х„ аяверглт прзслддоюіпю обьекта Y. •

Теорема 8. Пусть її =- k,,, -О ,тогдз нм' ¡выполнении одного то условий ( je,.- &3) а > К (I,- 1>и)

:> (У -l 5;А‘ V

3) За >

. . 1.1 , 2 1| К1 і _’кз і ~^з

где а •=(« (О) - ар(0) i, тогда один из обьяктов К, или Х? яо-яеттю нр9слз;;г>в8ние оОьскта 1.

Теоромз 9. Пусть кшолиена одно из условий :

1) ( кп- к3) - > 2 Ln } ,

?.) к кг1- к3) т„ ;■ 2 KáU*,- Ъхг) ,

3) ( к”,- к~) (к ) г) > 2k.I,p , ,

' ( *?.л~ V {% И > > > ffiln(V:-W > ‘ч •

4) ( Кг1- к3) (тс -i- 2) > 2^1,а , . '

( кп- к3) (те tí ) > k„LP\ и1п(к1г,1сга) > кА , тогда объекте X, и Х? завернет преследование обьекта Y. Г&орзмя 10 . Пусть шполдаио одно из условий :

1) ( км- к3) а > 2 кДк,- I.,,) ,

2) ( к2(- к3) а > 2 'ía\L¿- 1.1г) , ■'

тогда объект X, и X, оазорзмт пряследовмяие ооюкта У.

' О с и о в и н в р в з i л ьт a i в работ и:

- для дяуаделэвой дФ^вршштальвсЛ игры объектов о множествами захвата в шд» епрчака и "простим” денкеиион игроков построена карта ш/рг.

•• }1)Ш SHJM'&M-UOÜ да-1фС'Р:'ВШПШЛС0 пгрн обьтоггог у кото

fKO мяожестьо Dfiiaat» является здосвуга* V вииуклим псчучпци

7К>С7 0ТЭ'Л<ЧС- ';':Д rm:n ЯогмэтПЮ'гт t»*!R9Jtl?HRSl iirpu.

-ІЬ-

- дд, даухцэлеьой днффорбіодальнсій игри объектов с; мію жвсттіш захвата в ваде отрезка , "простим" двикоішим игроков и смэшшшйц ограничениями на уііравдоши шлучоші достаточные условия для возможности завершения игрц.

- для даууделовой дифференциальной игра объектов с шю-гасгвами захвата в виде отрезка и дшерциошшм двиаенвим игро ков получонії достаточные условия для возможности аавэриешш игрц.

- получены достаточные условия для возмошости завершения преолэдовшиш в з<иффоранциаяьноа двуадэлевой «гро двух оОнзктов против третьего.

Основний результати опубликованы в следующих работах:

1. Альхамов P.P., Югей Л.П. Об одной дифференциальной иг-

рэ С "простым" ДВИЖЄІШЄМ игроков,// В КИ. "ПрИЛОЖвІШЯ дифференциальных уравнений в механике и теории управляемых. процессов,". ТашконтД985.С. 3-6.

2, Альхамов P.P.,Стай Л.П. Простое преследование о однотип-

ными МН0Ж9СТВВШІ захвата.//Рук.двп. УаНШТИ Je 373,

1986,19с. ^

3. Альхамов P.P., Югай І.П. Об одной задаче группового

проследования. //В об, "Алгоритмы и чиоленше мотоди решения задач механики и управления ".Ташкент. 1986, 0.31-34.

4, Альхамов P.p., Вгай Л.П. Задача преследовании объектов

с множеством захвата в виде сектора. //В кн." Управляемые динамические системи.”. Ташкент.I98G,С.26->38.

Б. Альхамов P.P., Дифференциальная игра объектов о множеством захвата ь виде векторов и смешашпш ограничении т на управление.// Проблемы теоретической кибернетик.!. Тезисы докладов 8-ой Всесоюзной конференции.Горький, 1988. С.18-19.

а, Альхамов P.P. Построение карта дайераэдивльной игры дл<*

с'бъокюЕ со сложными миожоог»зыи оахвчта и равнч«и ОКОрС;аттИ./У ВСОСОЙЗШЯ ЕКОЛЙ "ОЛПИВЛЬНЗР упрнВЛЭЛИО . Гоомотрия и энштэ." Кемерово,1928,0 57.

¿льхамой.Р.Р,,'йгой ЛЛ1. Об одном способе ррзсмодовп.чкя в лзухцедовой дяффзреи даапыгой кгрэ ииорчигльшх

объектов.// ШгсолП-семипир "Разривниэ дшгглпеокио сис-ТЭШ ", Киэб.1Э89. С С. в. ’i.rafi Л.11. .Ллышэв P.P./i цос.троэн;гл кпртн г^’Ъ'-'рчнцайЯЪ-цяальной игры с двумя целевыми миотстшмя.// П-твэртяя Меадунчрсшал кобренда) по лийчролця-пльиь-м ур&впе-йиям и их лремонепйяч. Руосе , Ро.тгаргяЛГЯ.). С.3?.л.

9. Л.МЫМИЭВ P.P. Сб Ьдиой ДЕУХЦОЛС.)?СЙ ДИф1орОШ'.Ш1ЫЮЙ игре с ааппздывэшш ,// О-ая Йсос-окшая школа ■ oow-

ияр "Пощ’рягиискиа чтения " "Опгимольноэ управление. Гвомэфрия И 01ШКЭ." Комэрово. 1930.

Уганда. Руссо , Болгария,1989. С.323.

Summary

The differential games of objects with a capture cat of com pUcited etruotttte are considered . The airri ol each cb;to.-:t is Ur- catching of the rival in a finished tlm« on own nnpturo ¿'‘t. without a hUJng into of rival capture yet. iJuoh. formula formulation vi objecit's aims allows to consider tha differentia] games aa two-target differential gmea,

Au a results of two-targnt differential jraroes ftro considered t ' one of the oVi,1octD will fininh tiie capture other ch -jeot t (mitua.1 of capture of objects ; troDo.uiibilit.y of ccpfcu-re of objfjrts.

Tho clttedii.lcatlon cf all Initial position ■'¿ocordlii,;: to T-s?u3.tr. of the ganes Id called the panic map lulMtms.

Tri the dissertation are considered ceyeraj formulation;) of the problems of two-target differential gaines,

In the caee when the capture sets of objects are the segment, the theorems which allow to build the game map are proved.

In the case when the capture sets of objects are convex sets,the sufficient conditions for'pogsibllity of finishing the game of one of the objects are proved,

A h h o t a n «a MypaKK8<J rapraidjni Tynrn îÿruiaMrn ara GJJiran pCbOKajnapuHiip №$ï8peiayîaj] ÿîtoiJiaptî icÿpitd raniuiaiH. ^ap (Slip oOteiçTinair naît-ca;?,n,pei<;«i3Hn ïeKJtaHraH oav,? mv.m yracir Tyrmi TjrmaMîira nym-Macflan.ÿsHumjr Tyran TÿnjiaMn^a ynuiaaman HCSopa'?. MaftcaÆtmnr dy Tap3fla Mfo,R8JiaHwiiH ÿîteuni loaa-MaiîcajuGî j©(5 içapatnra œatoi? depaw. • .

liKiaj-ua^coAJM ÿttKHHinrr iiaTaitajiapii ciKtaraAa rçyfttmanuiap içapa^a^H : o(5teKTJiap1ji,&&> (tepii HKiuumic'ffiiij Tdhiwô DTiamm TyraJi-jiafiwi , oOtouTJiap ûup-tiiipnHii pijiait ojiwa&mï. .

fttai «auffiaciira icspad dapia OouuiaiiniH jpjiaTJrgpHH TypKyM-jiamra iitamiHHr xapîifacHHtt «ypma AollMjiajw, " . :

Hiu^a içaTop inaaj-MBitoajtau iltuiuiapnwnr «ÿflHjmiaH rçÿpnO hm-KiUiraii. .

Tyram TÿiiJiaM KecMa dÿjiraa ^ojiaa Sfliw *ap«Tpciflm «ypwara mmkoh depyEmi TeopeMajiap HcOaManrap .ûtfwiKTJiapimiU’ Cjupüfl$ ' ÿitwuiaiu' MyBa©arçnHîjjH mcyHJiainffliH ywi eTepto? dÿwaH aapTJiap oMnraii. ' - •