Задача С.Л. Соболева в полных шкалах банаховых пространств тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ НАУК УКРАЇНИ ІНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ

На правах рукопису

СКЛЛРЕЦЬ Андрій Вікторович

ЗАДАЧА С.Л. СОБОЛЕВА В ПОВНИХ ШКАЛАХ ВАНАХОВИХ ПРОСТОРІВ

01.01.02 — диференціальні рівняння

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на сдобутгл наукового ступеня кандидата фіойко*-матсматичнйх плуй

Днсерташсю є рукопис Роботу виконано на кафедрі математичного аналізу Чернігівського державного педінституту ім.Т.Г.Шевченка

Науковий керівник: доктор фізико-матсмапічних наук, проф. Ройтберг Я.А.

Офіційні опоненти: доктор фізико-математичних наук, проф. Іійдельман С.Д.

Провідна установа: Інститут прикладної математики і • мехинікн НЛН України, м. Донецьк

Захиствідбудеться “ // <■ $ & ________1997 р.

о /о голині на засіданні спеціалізованої ради Д 01.66.02 при Інституті математики ИАН України за адресою:

252061, Киів*4, ГОІІ, вул. Тер«ценківська,3.

З дисертацією можім ознайомитись у бібліотеці інституту.

Автореферат розіслало “ с^Г - (^7____,____.1997 р.

доктор фізіїко-матсматнчшіх наук Кочубей А.Н.

Вчений секретар спеціалізованої ради

Лучка А.С.

Актуальність теми. .

Починаючи з 60-х років в роботах Ліонса - Мадженеса, Ю.М.Березанського, С.Г.Креяиа 1 Я.А.Ройтберга та Інших авторів еліптичні задачі вивчаються в повних шкалах гіль-бертових та банахових просторів. З еліптичною задачею зв'язується сій'я пар просторів (U>,F>), їда залежить від цілого або дійсного параметра s, так, шо оператор А1“ Кш еліптично! задачі встановлює ізоморфізм між просторами кожної пари з номером в . При достатньо великих значеннях я розв’язок задачі

A U - F в F

■ S

е класичним розв'язком задачі. Чим менше а, тим більш узагальненим є розв'язок задачі. Говорять, їда оператор А « Ав еліпіичноі задачі встановлює повніш набір ізомор-фізмів.

Теореми про повний набір ізоморфізмів, які цікаві самі по собі, знаиииіи численні застосування. Наведемо деякі з них: 1 І доведені твердження про локальне підвищення гладкості впритул до межі області узагальнених розв'язків еліптичних граничних задач (Ю.М.Березанський, С.Г.Креян, Я.А. Ройтберг ); 2 ) побудована 1 вивчена функція

Гріна загальної еліптично і граничної задачі (Ю.М. Бе-резанськия, Я.А. Роитоерг,І.0. Коваленко, З.Г. Шефтель ):

3) застосування в спектральній теорії - вивчені узагальнені власні функції, спектральна функція 1 т.я.ІЮ.М.Березан-ськии І; 4) вивчені еліптичні граничні задачі з довільними

степеневими особливостями у правих частинах і Я.А.Роятберг, З.Г. Шефтель та інші І; 5) вивчено сімейство еліптичних задач в сімействі областей, то розширюються, одержані результати застосовано до вивчення еліптичних задач із похідними по часу в граничних умовах 1 параболічних задач у нециліндричних областях І С.Г. Креян, Г.І. Лаптев, Л.А. Іванов, Л.І. Катко ); 6) вивчені еліптичні задачі, то сильно вироджуються (Я.А.Ройтберг, З.Г. Шефтель ); 7) застосування до вивчення слідів на межі області узагальнених розв'язків рівнянь (Я.А.Роятберг І; б) застосування до задач трансмісії (Я.А.Роятберг, З.Г.ШефтельІ;9І застосування до вивчення нелокальних еліптичних задач ( Я.А. Роитберг, З.Г.ШефтельІ;10 І застосування в задачах оптимального керування (Ліоне, Я.А.Роятберг, 3.Г.Шефтель1: 111 застосування до вивчення недоозначених та переозначених еліптичних задач (С.Г. Креян, С.Я. ЛьвНі І; 121 застосування до механіки руху неньютонівської рідини (В.Г.Литвинов ).

У названих вище' авторів еліптичні задачі вивчаоться в обмеженій області С с із гладкое (п-1>- вимірною

межею Г0 * аС. М1 ( тим, в роботах С.Л. Соболева вивчались задачі, де межа вже не являє собою гладку (п-іі-вимірму поверхню, а може складатися із многовидів різних розмірностей. Результати С.Л.Соболева були узагальнені в роботах Б.Ю.СтернІна, С.П.НовІкова. В них задача Соболева вивчається для загальних еліптичних рівнянь в класах достатньо гладких функцій, вивчено питання про Індекс таких задач.

Ибі4..Ш>в0ТИ-_ Вивчити задачу Соболева в повних шкалах бана-

хових просторів, встановити для неї теорему про повний набір ізоморфізмїв. Узагальнити результати для випадку систем структури Дугліса - HlpenCepjra.

Методи досліджень. В роботі Істотно використовується теорема про повний набір Ізоморфізмів для еліптичних задач. >

Наукова новизна. Всі основні результати дисертаційної роботи е новими. В роботі . вводяться поняття системи Діріхле Та матриці Діріхле. на 1-вим1рноііу многовиді І0*І£П-ІІ, які е узагальненням відповідних класичних понять, Встановлюється теорема про повний набір Ізоморфізмів для задачі Соболева. Одержані результати узагальнюються для систем структури Дугліса - Ніренберга. Апробація роботи. Результати, які були встановлені в дослідженні .доповідалися на бемінарах кафедри матаналізу Чернігівського педагогічного інституту, наукових семінарах Інституту математики НАН України, ряді міжнародних конференцій, а саме:

41 i-nd European Congress of Mathematics in Budapest Satellite Conference "Aspects of spectral theory: Operator Methods in boundary value problems, bchrodlnger operators", Vienna, July 15 to 18, 1996:

- Somerteia 90 - KbrRafwp kMoaem tosthods in bitractlon theory And Its Applications In Engineering” Freudenstadt, Schverzwald 30 September * 4 oetobef 19981 Публікації. Основні результаї-и Дисертації опубліковані. Перелік публікацій наведено наприкінці автореферату. Структура роботи. Диеер+аціЯ викладена на 109 сі-орІнкаК і

складається зі вступу,, шести розділів та' списку літератури, ю містить С/І найменування.

г. зміст роботи.

2.1. Постановка задачі для висадку .

■ одного рівняння

Нехай 0 е я* * обмелена область, ТЮ • Го0 rtU ...U Tj-И «е*а; rft -tn-ll “ вимірний замкнений ыноговид без крае, Зовнішня ііблй, Г} - - вимірний ыноговид без крао,

Ой lj sn-Ui'* rt'lj-ковимірність <J. С розглядається гранична задача

Ltx.DIu *> f їй С) lord L » 2ві (l)

0|D(x,SlU|r * *>J() lord BJe« qJ0» «21

B,kt*<0'U|r *9rk lr*i,.,fflkik-l,.,Riord Brk* qrk I *31

Вважається, tao рівняння (tl правильно еліптичне в с, граничні умови (21 задовольняють на f0 умову Лопатинського. Ввбйитьсй поняття системи Діріхле на 1-вииірному ммоговиді I Oslsn-lt, яке С узагальненням класичного поняття системи Діріхле в розумінні Аронвайна - Иільграмма - Шехтера. Вважається, оо для кожного k вирази (Brk) утворюють на Гк систему Діріхле, Коефіцієнти всіх диференціальних виразів вважаємо, для простоти, нескінченне Гладкими; вважаємо також для простоти, 60 qrJ і 2b-1J <k-0,..їШд ■

* м).

Розв'язок задачі (І I - (З І шукаємо як елемент простору В***, який вводило як поповнення простору Р^ІС) по нормі

III« III.,/ »«•

"Р+І<<10у и,го>>Р 1 «^Ц.Г*»Р, . |,

в а И, в * 1+і^/р І ^“0,. ; к«0,.,,,к).

Тут Оу » іо/еу,‘у - нормаль до Г0і о“ » ,

<У, г • •• *Уі-' ~ ортогональний репер до Гк.

І и 1, р " норма в просторі беселевих потенціалів' Н*'ріа>,

іГв-р<С> » (Н*'р і СІ )*, « <р, Г »> р - норма! в прооторі Бесова ВвіР(П, В**'Р(Г1 - В*'Р'(Г), 1/р + 1/р‘ « І,

, Для виключених значень в норма (4)1 простір ^*,Р(СІ> виа-

і ■ качаються за допомогою комплексної інтерполяції,

2.2. Основні результати для випадку одного рівняння

Встановлюється, ио для кожного ■ в « Я і р«(1,о») замикання А - А*'р відображення

и -» ЦЦ|5.В,и|Г ,.,Вгаиі. { ВгкЦ|Г^і Л

(и є Сю(3п неперервно дів в парі просторів

Й*,р(0) -* К*,р1»Н*'2”,'р1С»х П в-чі0'^р'р(ГоІх

.

П П* В**І,г)<'1і!'р'р(Г І ,б)

*41 г*і .

Якшо а, р^ р, то оператор Аа р е розширенням по не-

•перврвності оператора \>р> ■ .

Елемент Ц для якого А3(ри » Р * І і ,ф10,4., (ртп0,

аК4'^ назб&ію узагальнений розв'язком задачі (1)-(3), ’

Йри дослідженні розй’язності задачі (1) - (3) коріїсту-емоья +ии, ио замикання 3 відображення а -» 5и= • '

їй «і с“(5і) в Ізометрією між Й*‘р(Сі 1 підпростором пря-* його добутку

При цьому ЗЙ,’,> ■ F*'P, ЯКМО ■ < І/р. Якщо в > 1/р, то

в- (о> 0| інші компоненти За від и0 не залежать).

Тому можна ОТОТОЖНИТИ и а Й*'* з елементом Зи а Р*‘? Будемо писати

ДЛЯ К0Ж10Г0 и • Й“ * **<

Крім того відома теорема про повний набір ізоморфізмів для задачі (11-121, користуючись цими фактами, встановлюємо Наступне твердження то розв'язність задачі (1І-(3>.

дефект задачі (1) - ;2> відсутній. Тоді:

II Якщо в<]/р, то задача (1) - (3) завжди розв'язна: оператор Ля Здійснює ізоморфізм Й*,р К*‘р.

Інакше, для розв'язності в Й*,р задачі (II - (ЗІ необхідно 1 достатньо, июб:

2 ) виконувалися умови узгодження

>*-р ■

-Н**'**<G) ж П В“,м-|'р'р<ГвІх П П В

k*i |а j<2n-i*

(61

в.-|а|-і^р.р(Г^,

u "lVui,,‘,uam’tuc№: |а|*2ш-1^ :k«l»... ,k>f« Й*'р (7)

Нехай В «К, p«U,or>l, F«K*-P 1

якщо з > 2в-1/р;

З) виконувалися умови узгодження^ '

’гк“Вг.,цо|Гк“ В,ь(А''‘(Г'’,'|б’,Ґк <8-Чгк-і;/р>0) (9>

якщо 1/р * в л 2и-і/р'. •

У випадку наявності дефекту, у задачі (11 (ЗІ ,(N(*'1 * 0, М* 1А' І * 01 оператор К% лише нетеровий.

Вектор (Г.ф) потрібно вибирати ортогональним до коядра аа-' і дачі 111 - (21, тоді задача (1) - (2 1 має розв'язок - єдиний у фактор - просторі £)■<«>•< 2т>/ цв дае иожливість повторити всі міркування 1 в цьому випадку, .

Розглядається частинний випадок одного многовиду (к-11 1 вивчається питання: чи не можна до Ґ додати такий елемент t0* Н**2т'р(ЙіІ зосереджений на Г » Г , щоб для вектора Р » ( Г*Г0.,... .Фт.<Фг, >• в К,,р виконувалися умови узгодження? Відповідь на це питання дає наступна теорема.

'Теорема 4.4.2. Якщо 1/р < 8 <2т-1|/р, то можна до правої частини ? в III додати таку функцію я Н*”2т-р(С), зосереджену на Г1( щоб умови узгодженості автоматично виконувались І тоді Задача НІ - (3) ( з Ґ0+Г замість Г 1

однозначно розв’язна в Й*'Р<С). '

Аналогічне твердження має місце також, якщо задача (1) - (2) лише нетерова.

І,3. Постановка задачі Соболева та основні результат* для випадку систем рівнянь структури Дугліса -Кіреиверга

Нехай Сси"- обмежена область, еС ■ Г0 и Г1 II..и Гд-П межа; Г0, Г,......... Гд- такі ж, як 1 в пункті 0.2.

В С розглядається Система диференціальних виразів струк-

) ’

Тури Дугліса - Ніренберга

1 - IIx,DІ - ( lr}(x,D)lr j.j

ога 1г) (х.Р) і вгП}; 1г} в 0, якщо 6,-*^ <о; 1^, вт .

и,г«1,...(Ні * задані цілі числа. Вважаємо, до виконується умова

і,.* га * ... * гм * о - * ... ^ V

Розглянемо граничну задачу

ltx.DIu »»tr x.Dl»r

. N

V М

• » : * г (В С),

% ?».

ріі Г*1

1 ш ; * ч>° (на Г0

.V о Z

(10)

(11)

Тут ord b"j s o“ ♦' tjt s 0, якио ob + tj < 0. Oj,

, ,.,o°o - задані ulA1 числа. Для простоти, будемо вважати, to о® < 0 ( h “ U...,ю° ), тобто, що порядок диференціювання функції Uj В 111 не перевищує tj - 1.

На частинах Гк ' k » l,...,k ) межі <sG додатково задані наступні умови;

b*lx,D)u *lb‘ (X,D)(..

n J п * 1

V М

к • ж j

m ■ •.

N ин. ©

ф* (на Г. ). (12)

Тут 01-а Ь*^ * о* •*' гь‘(,о 0, якою о* + ^ < о. а*,

. ...вЧ “ задані цілі числа. Для простоти, будемо вважати, ш з -1^ •( її » 1. .в*1).

Буде«о вважати, сю кожна з матриць bk<x,DI <k=1,

Ri, ш входять до (121, утворюють на Г. матриці Діріхле в

і * .

розумінні означення 5.4,3 , яке ^ узагальненням поняття матриці Діріхле на (п-1 )- вимірній поверхні. Для розв'язання задачі (10 >-(12) вводяться деякі функціональні протори.’ •

Нехай s « R, s * І + Ц/р ( і - o,...,tj~l£s k » О,

J * 1....N і. Позначимо через flti+s,P(G) поповнення

С“(5) по нормі •,

. f р її 1-і Р

III u ІПв+t pa(l u la+t.,p+ 7. << Dv u’ ro>:>s+t,-1+1/p' ,p+

I I * ' 1

І i

« Dy u, Гк »B+t j- |a |-i,i/p,p

1/p

».і м^-і,;

Для виключених значень з ця норма 1 простір й*і+в,Р(С) визначаються за допомогою метолу комплексної Інтерполяції (ЗІ . Подібно пункту 2.2 .встановлюється, ко

замикання 3 відображення u *> t,-l a

ги,ї

Ви *

uj|G’ ui |ro",,Dv|rou>.{ Dy ui |Ґк * l<* . .k)

uh|G’ UN|ro*"'Dv'[roUN'{ Dy lfltlsV1kfk=1 ■ • • ,SI

U А С№(бі є Ізометрією ulx

„ def N t,4s,p

fi p( G) * П Я * (01

def t,+3ip

J=!

N t. t +S-1+1-1/P.P

- -J n 1

(Г0) X

н к г,+8- |а |—і ■/р, р

х П П П В ‘ (Г I.

і*і * = 1 |а

При цьому 3 й*’р • Рв , якщо в < 1/р. Яки» ж в>1/р,

то

5Й*'

«М.....“1 » <С!

,к>

.....и" ' {С: 1«1<^-і;:к-1.....к)

и) ’ су~1ио|г0 у ^+в-.м-1/р > о, 4<г4;

иак в °у иі|ґ "РИ 1,*в-|в|-1;/р>0. |а|<1Гі;.

інші, компоненти від и6-(и*,...,и*> не залежать. Ототожкоемо и « Й*’Р(С) а елементом ви а Р .

• • Р

будемо писати .) ..і

и

„м „м

{и«

,к)

(13)

V и в П*’р

Теорема 5,5.1. Для ножного в « к 1 р в (1,ю) замикання А ** А*‘р (відображення

а -Міи^.В.и,^,.., тиІГ0*1 вгі. и|Гк: к-1....к;г-1,..рВк)) Іи я С^ІСІ) НеПврерЕНО діє в парі просторів

„ ЙОГ N 8-В..Р Н П. Б-0 -1/р,р

•мсн К8,р *■ П Н ' (СІ х П П° В ' (Г„) х

К"**" *■ П II ' (СІ х

}«1 )*1 1*1

н 5 “к в-о -1’/р,р

х П П П В

)• І к» І г■1

«гь).

ЯКІШ £ 1 Й Б , р, І р, то оператор А# е розширенням по неперервності оператора Ав .

Елемент и с Й’,І>, для якого А и « Р « <Г.Ф1-....<р_я,

. я * р і о то

t9rk> г-1......v k=l.........к І в K*'p назвемо узагальненим

розв'язком задачі (101 - (121.

Користуючись наведеними вище твердженнями та теоремою про повний набір Ізоиорфізмів для загальних систем рівнянь, еліптичних за Дуглісом - Ніренбергом, встановлюємо наступну теорему про розв'язність задачі (10) - (12).

Теорема 5.6.1. Нехай s в R, р « <1,а>), F«tf'p 1

дефект задачі (10)-(11) відсутній. Тоді

1 . Якто t 8 < 1/р, то задача (10) - (ІЗ) завжди розв'язна, оператор А( р здійснює ізоморфізм

д-.р _» к-.р.

2 .Інакше для розв'язності в ЙЯ,Р(С> задачі (10) - (12) необхідно 1 достатньо, шоб виконувалися'умови узгодження

к.

’’і

?v

k

(ь,

fX,D)),_. „ U.lr

hj ’1-1..........О |Гк

J-l.....N

» bk £a ' “1 ( f, ч» > (s-(Th k-l,...,k;

l^"k

при t *8 > 1/p. Тут A' - оператор, из породжується задачею (10) - (11).

У випадку наявності дефекту у задачі (10-1111 оператор Ав лише нетеровий. Вектор (Г.ф) необхідно вибирати ортогональним до коядра задачі (10)- (11), тоді задача (101-112) має єдиний розв'язок у фактор - просторі H*,p/N (N - ядро оператора А). Це дає можливість повторити всі наведені вище міркування 1 в цьому випадку.

2.4. Розв'язки еліптичних задач, зосереджені на миоговидах різних розмірностей

1. Нехая С с к" - обмежена область, С0 с ге” - підоб-ласть С, Г0 - п-1 -вимірний многовид - і і межа, Розглянемо еліптичну задачу . .

Аи « Р « < Г.ф,.......<р ) в К 114»

1 * т ш, р

А - а. В,.......В І! и - <и„,...,и, І « Н» <».<*•"> (О

1 Ш ■ О 2П

’ Тут огй І - 2ш, огсі В} « Для простоти покладемо, що ш^<2ві, а також ядро та коядро оператора А нульові. Розв'язок цієї задачі будемо шукати як елемент и*

■ «V»,........«.„» .

, Нехая а < -1/р'. Встановимо умови, за яких и# а Н*'Р<СІ зосереджений на Г0. Покладемо х»(1-8-1/р’ Г І(кГ- найбільше ціле, не більше к) .Тоді и0 можна записати у вигляді і х

и0 (іі¥| « в**,"|/р,рігв)); по»

1*1

тут 81Г0) міра Діракаї

ІВ*"1*, х йіг0),у)'-«<

Перепишемо Задачу 114) у вигляді:

<ід0,іЛ) - .'ї’жт_V? ♦ (V «С*і§іі

' і» і Пб)

"і

2 (3*\...... ^“‘и - и^)

»«і -Підставивши (ЇМ у (161, одержимо і юо Ґ необхідно зосереджена на Г0 І) ЛЗ, тобто І ио»т розкласти в суму І «

“ Г+Г“, де і‘ зосереджена на гв, а і* - на Л, Оскільки

ІЗ

Т, Т'.Т" ш Н“*"*РІС). то має місце наступне представлення:

Г хбІГ.М (і»! « В,*3‘,'Р,Р(Г0>),

і V » о 5 о (17)

І*1

Х*2т •

*" ~1 сі’1,м} *8(аС1і ! «В**3”1',,>'І>ІвС)).

і=»

Врахувавши (151, (171., проводимо перетворення рівностея (16) ( застосування властивостей виразів, що утворюють системи Ліріхле; зміна порядків підсумовування: зведення

подібних доданків та ін.). В результаті одержуємо, во вихідна задача еквівалентна до наступної сукупності рівнянь: х

*> - к “ о- .2п*‘> <1в>

X

I Л2п>*1 к У,5 - “к “ к“2т+2, ... ,2т+х, (19)

) = к-2т

2т* 1 -к

І ^-з.і.к и) + К ш °' к"1................2и’ 120>

"і

1 вік “к “ V і"1......“» 1211

к = 1

*” - 0, к=2п*1........2в*х . (22)

Гут, у (10) - (20) Л}к, Л}к - деякі тангенціальні вирази, ио виникають у якості коефіцієнтів лри нормальних похідних, коли вирази, то утворюють системи Ліріхле,записати як ЛІИІЯНІ комбінації цих нормальних похідних; ог(1 * і-к, Л|} * 0; ог(1 Л}к ■ і-к, * 0.

Позначимо через А матрицю системи рівнянь, газ задаються формулами (18),(19 1, а через Л’ - розширену матрицю цієї системи; аналогічно, нехап В- матриця системи рівнянь.

до задасться формулами (20),(21), а В'- розширена матриця цієї системи.

Проаналізуємо формули (1 в)-122 ). Зрозуміло, шо за відомими елементами ( і » 1..............х ) та ^ « 1,...,2о)

однозначно визначаються значення иі^, ш"к( к “ 1,...,2т*х), тобто елементи Р та Р*. .

Навпаки: нехай за відомими Г*,Г" потрібно визначити

елементи и0,и1........и2т. Чи завжди це можливо і якщо так,

то за яких умов цей розв'язок буде визначатися однозначно? Відповідь на це питання дає наступна теорема.

Теорема 6.1.1. Задача (14), тобто задача (1в)-(22) з и0і зосередженим на Г0|мае єдиний розв'язок тоді 1 тільки тоді, коли

гаодіА>»ґагц}і А' >лк та гапвіВ)*гапв(В' )«2т.

Зауваження 6.1.1. Нехай С0 « Є, Г0 » Л. В результаті повторення наведених вию міркувань, одержимо, шо 1 в цьому випадку справедливі співвідношення (їв) - (22) та тео-* рема в.1.1 із заміною О0 на С, Г6 на «в.

і

г. Нехай тепер Г0 с вС - це гладкий і - вимірний мно-

говид без краю, 0 <1 < п-). Зафіксуємо еХ> 1 нехай Се *

* {х • С: <»8г(х,Г0) > »), а С\Вв «{хе С:<ііБІ<х,Гв)<в>-

- підобласть С. Припустимо, шо в СЧ(^ можна так вибрати

локальні координати х ■ и,у) • і ....Уп.і'>

по г -И.О) « Г0 - локальні координат» на Гй* а у ■'(О.у)-

* координати точок в Ортогональному перетині області 0\Ве

- 8 (п-1) - вимірній кулі {у « : |У | і в) > (|у| і і1,

Таки* чинок, С\бе » Г0 х {(у | « £). Нехай в С\8е мірі

сіх « йу аг, де йу - міра Лебега в кулі <|у|<е), а йг - міра на Г та / йі < <». го

Розглянемо в С еліптичну задачу Аи - Р * * Г,ч>,......................................• ) « К „ 123»

1 т • « р

А “ а.В,........Вя>; и - <и0.........иамІ • <С>

1 встановимо,за яких умов и0 може бути зосереджений на Г0. Одержуємо для и0 розклад, аналогічний <171, одержуємо також, що і - Т'* Р • Н*‘ат‘*’іС), вирр Ре Г0,вирр РелС.

1 для Г*, Р має місце розклад, аналогічний до 118). Зрозуміло, по розклад ґ - Є * р є неоднозначним. Подібними до попереднього розгляду перетвореннями зводимо вихідну задачу до сукупності рівнянь:

І “і ' Л **“>.....2*>

1*і

- 0 Ік-2п*1,...,2в»х| ) ,24)

«.♦ І

I®іч ^ ^ ' і*1....■»

к • 1

! Ам Vwp * ЧЧІ-0.....................2Ш-1)

|Д|«0

X

I Ад.п “ 2wU * |п |-2ш....2в*Х*1 )

|д|»|п|-а* <23)

х

І лд,л Vwm " 0 <М“2в*х)

|ц|« |л|-а™

Тут вирази А та X - тангенціальні диференціальні вирази, подібні до попереднього розгляду, w визначають елемент u0, -• елемент Р, Фк - елемент Р, - дея-

• 16 кия елемент, що зосередження на Г0.

Аналогічно до розгляду попередньої задачі, для того, №0 ІЗ сукупності (24) ыожна було визначити U, •' 1 ’ ,U2«i, необхідно 1 достатньо, щоб виконувалась умова;

rang В « rang В' «2т, -(20»

де В - основна матриця системи .рівнянь (241, В'* розширена матриця Ще і системи.

Так само, для того, юб із сукупності (25) можна було визначити елемент ue, необхідно 1 достатньо, шоб виконувалась умова:

rang А “ rang А* » X, (27)

де А - основна матриця системи рівнянь (25), А'- розширена матриця цієї системи, к - х||_і - це кількість усіх можливий наборів з п-1 натуральних чисел; таких, шо суми компонент цих наборів не більше х." .

Таким чином, встановлено теорему, аналогічну теоремі 6.1.1.

Теорема 6.2.1. Для розв'язності задачі (24),(25) не-*-обхідно 1 достатньо, июб виконувалися умови (261, (27).

Теорема 6.2.1. “ це теорема про розв'язність задачі

С.Л.Соболева на і'-вимірному Ьноговиді Г6 « «3. При цьому встановлено тверджений про повний набір ізоморфіомій

d*.P.tam) „ н*-***1*4! eQ) х П .(>( я})

(в<-(п-1)/р’), a, Ofxa, 1 твердження про лйк&льне підвів

• • *

нення гладкості одержаних розв'язків, .

Пояснимо це. Нехай u а (u6,u,,..,(USA) «з Й*‘#1,йы> (G'f-розй'язок Задачі ІШ у випадку q, ■> С, ґ0 « вС (Лийі

зауваження 6,1.1.)

( ио,Ь+(х,0,.Вп) V )*2| < иі,Тат.,*1У >-(Г.у> (V « сш(5))

В,и|ас " ^ 4-І......о»- . '

Оскільки вирр и0с«, и0- В*'*<»1*в(Г0•) (х -11 —8—1 /р* Г),

. і**

То масть місце рівності вигляду

X • 2ІЛ Х*2т

I ОГгБ»-Ч%>г - 1<*,.Тат.1му>Л ♦ І і-і І«І 1-і

Х*2т

+ І ,2в'

Нехай - 0 ( ] - 2..2т+х-1 ) 1 нехай “ 0

.1 і“2 ,... ,2т*х-1). Толі ■

< *, ,1*<х,0',0 І V и)«Л2»-і*іу >+<**",у> (у«£®(Л))

’ 1-і (29)

В,Ч|Л - о, и-1,....в).

Ятю в .(29) покласти - 0 и-1,...,2ш), то одержмо, ш>

І. (х,В',0)»1 » «*]*, (ЗО)

тобто .її», - розв'язок на Л задачі (23).

Зоісіи аналогічно, якш и - розв'язок задачі (23) 1 и0 зосереджений нй Г0 с ас, то знов виконуються рівності вигляду

«і^.іЛх.В'.О )у>г - ^*<и1»Л2ш-і.іу>г *<'*Г>у>г (УвС”<аС))

0 1-і оо пп

Віи|Л " ’і ^"1.•••.«>•

. Якшо покласти тут, по вирр с. Г0, вирр с Г0, то (ЗО) означає, оо вектор \» » і»1 ,и,,.,иат> задовольняє на Л» рівності

Их,Б' .0 >уі - V»"

В,Ш|Г# - <;)«1......в).

Такий чином, Із теореми 6.2.1. випливає розв'язність задачі С.Л. Соболева.

Наприкінці автор хоче висловити щиру подяку своєму науковому керівнику доктору фізико - математичних наук проф. Ройт.бергу Я,А. за постановку задачі 1 велику допомогу у і) розв'язанні, а також викладачам 1 аспірантам кафедри математичного аналізу Чернігівського педінституту за обговорення результатів.

Основні положення дисертації опубліковані в наступних роботах:

1. Ройтберг Н.А., Склярец А.В. Задача Соболева в полной шкале банаховых проотранотв// Доп. НАН України. - 1995. *• № 7. -

С. 19-22.

2. Ройтберг Я.А,, Склярец А.В. Задача Соболева в полной шкала банаховых Пространств // Доп. НАН України. - 1996. - Л II. ~

3. Ройтберг й.А., Склярець А.В. Задача Соболева в повній шкалі банаховях Просторів // Укр. мат. журя. - 1996. - 48, Я II. -

С. 1655 - 1563.

4. Ройтберг Я,А., Склярець А.В. Задаче Соболева а повній шалі банаховях просторів // Матеріали ювілейної конференції а фі— еякя та математвки, присвяченої 60-річчю ЧДПІ їм. Т.Г.Шевченка. - 1996і - 0. 3-4і

. 19

5. Склярець А.В. .

Про розв'язки еліптичних граничних задач, зосереджених на многовидах різних розмірностей,//

Матеріали ювілейної конференції з фізики та математики, ‘ присвяченої 60-рІччю ЧДПІ їм.Т.Г.Шевченка.-1996.-С.5-7.

6. Jakov Roltberg, Andrei Sklyarets

Sobolev's problem In complete scale of Banach spaces //

2-Nd European Congress of Matematlce In Budapest.-1996.-P.9.

7. Roltberg'J., Sklyarets A.

Sobolev's problem In complete scale of Banach spaces.-Sommerfeld 96 - Workshop, 1996.-P.35-36.

ОСНОВНІ РЕЗУЛЬТАТИ роботи:

1. Введено поняття системи Діріхле на 1-вим1рноыу многовиді (Oslsn-1). які є узагальненням відповідних класичних понять.

2. Встановлюється теорема про повний набір Ізоморфізмів для задачі С.Л.Соболева для випадку одного рівняння. Ill резулогати узагальнюються на випадок систем структури Лугліса - Ніренберга. .

3. Вивчаються розв'язки еліптичних задач, зосереджені на многовидах різних розмірностей, встановлюється зв'язок одержаних результатів з розв'язністю задачі Соболева.

Л.В.Склярец. Задача С.Л.Соболева в полных шкалах банаховых пространств. Рукопись. Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико- математических наук по специальности 01.01.02— дифференциальные уравнения,- НАН Украины. Институт математики, Киев, 1997 г.

■ В ограниченной области С с к", граница которой является объединением многообразия различных размерностей, изучается задача Соболева для правильно эллиптического выражения порядка 2т и для системы уравнений структуры Дуглиса-Ниренберга.В этой задаче граничные условия задастся линейными дифференциальными выражениями на многообразиях разных размерностей. Задача Соболева 'изучена в полной шкале банаховых пространств, для нее установлена теорема о полном наборе изоморфизмов, отмечены ее применения. В работе существенно используется теоремы о полном наборе изоморфизмов для эллиптических граничных задач в областях с гладкой (п-1) - мерной границей.

A.Sklyarets. Sobolev problem In complete scale or Banacli spaces. Manuscript. Thesis for a degree of candidate or Science (Ph.D.> In physics and mathematics, speciality 01.01.02 - differential equations,- National Academy of

Science of Ukraine, Mathematical Institute, Kyiv. 1997,

In the bounded domain С с №n I study the Sobolev problem for properly elliptic expression 1,, ord L * 2ra, and for Douglls - Nlrenberg elliptic system ;the boundary eG consists of manifolds of different dimensions. Boundary conditions are given by linear differential expressions on this manirolds. I study the Sobolev problem in complete scale of Banach spaces.

I establish a complete set izomorphlsms theorem for this problem and use complete set lzomorphlzms theorem for elliptic boundary value problems In domains with smooth (n-li - dimensional boundary.

Ключові слова: задача С.Л.Соболева; система Діріхлє: розв'язок, зосереджений на «тогсшиді; розв'язок в повній шкалі банахоЕих просторів.