Задача с наклонной производной для эллиптических систем уравнений с частными производными второго порядка тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

АКАДЕМИЯ НАУК ШАХСКОЙ ССР ' ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ И МЕХАНИКИ

Ка правах рукописи

ЬЁЙьЗиН Александр Юрьевич

ЗАДАЧА С НАКЛОННОЙ ПРОИЗВОДНОЙ ДЛЯ ЭЛЖП'ПЖбШХ СИСТЕМ УРАВНЕНИЙ С ЧАСТНЫМИ ПВ.'ЛЗВОДЩЩ ЗГ0Р0Г0 ПОРЯДКА

01.01.02 ~ дю^ференциальте уравнен;!«

А в т о р е ф ер а т диссертации на соискание ученое степени кандидата физико-математических каук

Алма-Ата-1991

Работа наполнена в Институте математики Сибирского отделения Академии наук СССР

- доетор физико-мат'эш.ткческюс наук, профессор Янушауокао Л „И. ••

- докгор физикхмлатематических наук, профзссор Гвазава Д.1и

- кандидат (гязико-ттсглатичаскшс нау с .н .с. Тунгатаров А.

- Леыгаа'радскЕй^осударствоншй •¡х_ляческ2Й университет, кафедра прикладной математики

Защита состоимся " "___,_ 1991 й_

:1а заседавши специадвюированного совета К 003«11401 Ь Институт математики и механики АН КазССР по адресу: 480021, г.Ажа-Ам» ул,Пушкина, 125.

С диссертацией козшо ознакгади-гься в бийлио?&!& Института математики и механики АН КазССР.

Автореферат разослан

Учзный ев1фе?арь специализированного совета

Научный руководитель Официальные оппоненты

, Ведущая организация

/"77

1991 г.

/Рахимбердиев М.

0ЗД8 X A г АКТЕ P7;CTi-i КА РАБСТц

Актуальность темы. Б паетсякее время одно из центральных кео? в теории эллиптических уравнений и систем занимает -Лзучете храгзкХ Задач с наруижкйам условия Дока*ккского. Кяасс-н«?-сK-iM примером ?адач такого типа я!зля<"хн сь'рс даюдамся зада^'л

С каклскксй ИрОЛЗВОДНОЙ. ^¡-ЛЧЛТеЛЬКНЙ itHTSt .с 3 3T0i' o&F&Cl"i

обусловлен развитием теорий псзвдоди^сренциалъных операторов. Отметим здесь оаботн Л.^ррчгандера, Э.В.Ь~ироъа, B.FJ.isob'-i к Б.П.ЛаньллМ» !: др, 3 то вреил представляет лдтдрос' ртзилл;^ ковотруктжлх нетсдор лсследох-ания краевых задач -'>того ti..fi, оеколанныД ли теории пот идеала.

Цель работу, Целью длееертгглонио:; ралот.у лллдттся уста -чоз«зн.1э т?;оро;.'ьг об оапч гр^атн^е ;юр'";нл?- слой'.л'н р^л'онлл зчдлчл с ^оляолнод про. зводной . для opru.'.'i ^ллллтичтлллл

! косого передка л раслэплсьчол гЛ'лЕДо<- '-а;:тьи. И^-тодлла >ч.-;лодолунля. л! ctuitt лсйс.Л'Л у^ллл ¿Т-дя: т:-л -но «елддц тзоелл ллтс-дл-'адд. Докллгтольстло л.-л.-г' л"; елллглп-натлле и, ллучллЛл ст^/сгв рллльдл ; л :;лоогл; лрлд-

стльлть - отпоило длл слетом опелло-льного :лЛ'л. лдклол пот^ллю-лол, бллзлкд по кодстру^тии д тол, доторьп дрлллллл ,.;,3лрл под леелвдодар'лл нбгкрезпг^кг.я с ':"ллслг-г'л г: род г. д. л

ДЛД СЛЛ'ДТДЛ:^лСГ"'°"Л '/ОТ'Л-ТТЛ'"i ":,.0 Л" _.....

Нрд:ллд »or:*.?'!■ a, тоодлта^лшса- к под.::ттлдзкал плллоель, 3 длссептеддл нздчролд-дплллл д пдроддагллд.оя 5?»

дгчд с ддидт^до;; длолздорпой ¿лл: полляслстедлгд, но соелпелл -зсклдс судлстволонлл ¡лдлд.'ого -дглсть до ¿¡.лд.ддл долг. -

■хрдиенты под кл^^л" <:лйн-лд. а тздл:; лрздтд «¿дгь не гут ллл*. ь лнтегрлру^/л;« соооельлс лг к" дрлдлцл. ¿¡олрд'дд.: следуй-/с-з результат*:: -

1. Доказан-* теоог'а эС акьтерзатявв длл; незировд&Еп;ейСя задачи о какленноа проязводйс/; з классе йуггкций, градигяг ко -торых растет не быстрее, чем. логар*/:§ч. расстояния дс градира; з 'тер'/шр.х расстояния'до границ;.' получена очзнка ь-с^ ¿х прокавод--ных рМйНЯЯ..

2. Доказана теософа об сиьтернэ/гк^е для лыргшдаюдауся rsr.~ р.ада с наклонной скзводной r> sutacee функций, градиент кото -pi% растет вблизи границы ирэдпгсаякыг.; образе» • Задача рсс « с.ъагркгаетея в об.-^сти {с/Ч-'. Ос* + •'•»■ ССцч+'А'И < j, fiVi-2 ~ вещественное-число; вблизи U-J^i : аСц-О }главная часть граничного оператора иаеет вид- 1 /% C-Cn и в окрестное?*

Гс выполнено условие: "ö/20СПLi* ~ P^VtfXn -

(г) ^

ГД'Э операторы второго порядка 'UQ сорвут главную ггасть системы, а Р^ являются дифференцлальныгл: операторами, порядок которых но 'превосходит I. Порядок роста градиента решения определяется числом ГГ. . Дается оценка, ьторнк про«зво,зккх ре-пен:и! У- изучен. голсос о регулярное?« ршеьйл пр.: более сйльнкх требованиях нг еходннь данные. Лслуч&пнь".? результаты показ^за-ür; иь к/:'дссичегк!{е ¡л, не делящиеся гледкиш вплоть

до границы, перенослтел еу^одлипекчоскис- ОБОлстЕа зырс;.:да1ои^л-ся зздачп с наклонной про«з?одпоп, уотгчэсшжые ранее в раб'о-'■е" В.Елнцеля и Ш.а.йдияоез. длл гладллл г замедугей области рс-

3. Получена апрм^рнал оцелга :,торь-С провеводних решения одношросд&гг^&я еадачк с н'дглонной производной в ситуацииt когда касание всктсрлэго иеял с границе;; '.•,;лз;;т произвольный (г.о. не оСяоательПо стенепнсгЛ харллгер.

Работе. hoch? ''соре-ти^скл;; характер. Полученные резулътл-тн л р^статые в лол i^svjy.! лзгут Оьть Ksim.VbOotaKu при яоу-ie -нл.: солее еСлднх нос?ллклтн^есгил е^цач,

.чпробсцйя ppöo'in. Г^йуллтед,е диссертлц'н: дскладив-зллсъ на сеу.ли.ге ''Дниллтлщснэл а юр-ал ррчлерекцлалллл^ урашенл;;" Ип~ «.»••я'уа-а магеттик;} СО &! СССР (рун, ~ профессор Л.й.Януааус ~ гсс); сенлнаре ур-;Л:ен;тл глтенаткческой

чн'; йнсг,тг?уус. t^i-w-sav.'-v". СО АН СССг {руг.. - профессор В.Н.Вра-гоп); семлллре теорлл фркицип- и функционального

ак^лнеа Института глт -^ткка к ^ехянккн iüi iksCC? (рук. ~ ЧШ1-корр. ¿К Еаз ССР; : •.. НЛС.Вд--'лз). Кунбнлсгэтко;.; областном

лежвузигско'.: научное сс^ог^а/чЛ-сег-и^рй-КуйОглев, 1£й4 г. ..

ГЬ;бликаьдн. Оскогиие результаты диссертации опубликован?.? г. pa6or-ix I - •„ .

Струрт-ура диссертации. ,г ссертация нэлое6Н& на KW стра -и'лдах машинописного те .ста и состоит ль -введения, двух глав ш cnw-ка ли^ ра уры, включавшего 33 наименования.

- СОДЬШАШЕ РАБОТЫ

Во введении дается обзсл работ, близких к темее диссертация, и кратко излагаются результаты, полученные в диссертации.

В главе I рассматривается невырождаюцаяся задача с как -лонной производной

[ L0(*,:®+ + В^ДИЮ«*^, acQ (I)

i^ + &(<х) Зад к ¿ Г' • (2)

- V

Здесь о, f - заданные, ti - искомая вектор-функцхи размерности Л/И, Bs- В- С матрица. Оператор L 0(cc,D) является диагональной матрицей с равномерно эллиптическими операторами ; - - ■ :

е 4 tfi ^-bx^i 1

на диагонали, оператор. Э /"Э £ - также диагональная матрица с операторами /ГС на диагонали; Qc. R - ограниченная область с границей Г £ Предполагаемся, что векторные

поля 1<-*Ч .Шк>1'»Д • вблизи г, Е00 не

касаются Г ни в иднай точке,

• 5 51 приводятся необходимые для дальнедаего сведения об интегралах типа пстенциалоы. Здесь se приводятся два примера переопределенной задачи с наклонной производной для гармонических во внешности. ед'мичкого sapa & — 1*1,< ÍJ функций. Краевая условие имеет.''вид.--

Fe»), l*l=H 'й;--.

где i - (0, 0, "О либо £ = (эс,, ОС2, ЗСз-О-), i . В первом случае показывается, что необходимым, и достаточным условием раэреиимоети является ортогональность функции ' F на сфере 'й В гармоническим полиномам, не зависящим от ЗС^ . Во втором случае доказано, что,задача неразрешима, если .гармоническое

продолжение (/* функции р б шар В удовлетворяет на ЪВ однородному условие *ЪV/^ЪÍ ~ О .

Б §§2,3 изучается разрешимость задачи (I), (2) в классе функций 5 £ |

}, с! С*)- сМ

В §2 рассматривается случай В $ = О«, 5 — Ь £>-■ О » И2Е, Р. - единичная матрица; кокно ограничиться случаем Д/=1 . Предположим, .го 5 6 С°'ЧЯ) и

I ^ СС1(0С^ 0<£<1 (3)

Тогда найдется ^'о > О таксе, что при задача иизет

однозначно определенное регаенчв £ -; это решение можно предстаг'ть в виде

Я 0 г 'С

}'Де С"

- напр&влендо козюрь-ади, связ&иаое с у "'-о ^ ^ -

"до"-;.'-а'т'счно ыалоо ч.?гло С'>'еорека :.!>. Б §3 рассматривается ой-ц»к случай; предела, «^тся, ч^о ц; - о., и Ъ > ~ I «

; <' ■ Ч

•Ро"1

сс!(^)» о<%< -\ (4)

- главное фунданантальное репекив для оператора

с'п ) " v [

б

Доказывается теорема об альтернативе (Теорема 1.2): е ли задача VI), '»2) разрешима в ЗЯ однозначно, то она разрешима безусловно; ъ противном случае однородная задача имеет конечное число линейно-независимых решений Ц/°, ... € Б Я , а

неоднородная задача разрешима лшь при выполнении условий ^.'ШЛУ^О, 4,.;., р .Здесь -решение

задачи (I), (2) специального вида, рассмотренного о §2,Фд -непрерывные лине'/ные функционалы над бинаховнм пространстио?.;

' 2 р. 0 = {и® О-Ц... и.,,/): и«€ Сл (Ф"),

С нормой

.V , ,г

Ьсли условия (3), (4) дополнить условием

то «кос? »егто сцен да эторух ппсизвождо ртвгнкя 'Хй : 4 С сЦсп 0„......

пагоаиь ^к, с, ь м и я уело

(3! -Со) Л. * , то С"''ЧС2/ л

глаг-. 2. раоогатрирас?сч вырскдапщояс золмт (1). и.) 3 обльс:.; -['-■-'■; 1 1, т^ 2 в пр. д -

0 1 / \ Г*> ( Г"*

пояог.стг- . ^(о. ...^, ! ) лбллзи { Хс ! '

ОС,. Г-С : 1 п ос <■:>. 1 л

где P^ - оператор 1-го порядка. Услоеия (I), (2) дополняются условием(20); uU^O -Ug^*') ос б Го • Относительно матриц Вь предполагается,Что

1 gfjt^U cd (ОС) , s=о,... п (б).

причем i-4/m 5 = Л—. До-

казана теорема об альтернативе в классе SA/m :

.•'.'' ' ' 'ч )

(Теорема 2.3): пусть 'i t С CD, U0* С0, Ут(.Г0) , $ удовлетворяет условия <3); згогда если задача (I), (2), (2 ) разрешима s 5А'т одиозна«; о, то она разрешима безусловно; в противном случае однородная задача имеет конечное число линейно-независимых решений

, а неоднородная задача разрешима лишь при выполнении условий ^CRCi,1?,^") * -О, } - 'i, — Р . Здзсь - непрерывные линейные функцио-

налы над банаховым пространство*' ZA's^öa :

-KP < & < .P = ?D 02 < й

с естественны»! определением нормы, К (¿"Д Ц^) решение за-

е

дачи (I), (2), (2 ) в специальном случае: В^-О, 5п В0=-[«5Е, В" О . При и достаточно большом [О О

имеет место представление

+ 2 + 2 5 На\^')11С4')<1<Го

№ ГС

где ядро опредрляется формулой Г

, чп>о

о "г

о 1

а ядро Н^С^',^'-) является ядром потенциала двойного слоя,построенного по главкому фундаментальному решению для оператора

коэффициенты которого совпадают вблизи Го с соответствующими коэффициентами оператора ЬдСкДО (Теорема 2.1). Ьслк 5 удовлетворяет условии (Ь), и

то справедлива оценка

_________1уги.ООЦ С О- 1х/\2)л/т'< ¿й)

ПустьО<сК'|-'(/т . Тогда если выполняются условия (3), (6) с >Л>^.ВЛеСсд(П,и05С1'А4Л/,м(ГоУ то ькС^^Ш^ ( отметим^чтоЗ^т0^'^^,,^), если дополнительно известно,что ^^ > то и.€ С(Го"). Наконец, если выполнены ус-

ловие (5) относительно £ и (7), причем РгРо^лУ^- , то справедлива оценка

( теоремы 2,2, 2.4 ).

Б главе 2 дается также априорная оценка вторых произвол ->щх решения следующей задачи;

^ , ос ¿Г., '•. te:

aw V1), ■ . _

где Rr> - ограниченная область с границей í £ СLte^V равномерно эллиптичнс1!и_{; оператор 2-го порядка с гладкими ' коэффициентами , Е ¿C^Q") - ьекториое поле, касающиеся Р только в точках П-2 -мерного многообразия \о Ггредпо* ,га-е'хся, что в окрестности произвольно^ точки ос « l р ъ.жнэ ввести новые координаты, .так,-что'оператор 'Ь/bi переходил- б Ъ/Ъ'-Хц^ Г задается уравнением octt - í" , ¡0

определяется соотношениями (-'Х^-О, р>0, ^cn>F(.:c,,;...

^¿Q, - ; '

F С Оу 1-0, -

где <rL-t\ ffi.l-V>0,~t^04 5-\Ь>0 ,

t > O . Кроме того, в некоторой окрестности i о

| Д._Д-| ~ D 1 + р + ,| л . fс -ъ1 "з i L 11 yf Ч.+ <- ь , t L

Pi Р

I ь !2 - операторы 1-го порядкд.

Введем функцяв Г , ооуагная :: которой опра^еянысн «f-op-муле,. t .

V.'V^N^ \ -Í V) «С ,

J 0 г- /-,

Пусть «Н С°>\п, и0£ Г.0'*" ' г( Г;') ■ , : < ir;\ ;

' , если ^/2 . Ус е ZA'G(\\) если W2 +S , C^CQ") и

1 £ с.-) \ 4 С , $ > а . d ио - ск?т t>:, Г

С db:,p = min{dU),iM.

Тогда псял 'Л £

- решение задача (&}, то ! v Шсс)! с cWof.Ca^). (Теорема £.5).

Результаты дксеертахтии опубликованы в следующих работах:

1. Вереэин Л.Ю. К задаче о наклонной производной. - ¿7"фф. уравн., ШЯ, V, 17, 1Я, с. 25-30.

2. Вереоии А.Ю. Задача о наклонной производной для одной эллиптической еистеш. - Дифф.урапн., ГЭ85, т.21, IiI, c.ISb-161.

3. Бзрезин А.Ю. К задаче о наклонной производной для одной эллиптической системы. - В сб.: Дифференциальные уравнения (математическая физика). Тезисы докладов участников Куйбетев -с кого областного межвузовского научного совещания-семинара, -Куйбипев, 1334, с.J.7-IÖ.

■4, Бурения A.D. О нерегулярной задаче с наклонной яроко -водноя для одной эллиптической системы. - Б сб.; Исследовгккя по кнэгймерньЕ-» эллиптическим системам уравнений в частных про-наводных. - Ноеосибирск: Институт математики СО АН СССР,1986, с. 13-19.

Подписано к печати 05.04.SI

Формат бумаги 60xöfI/I6. Объем 0,75. п.л. , 0,Ь inj.-изд.х. Заказ 97 Тираж .100 экз.

- Отпечатано в Институте математики СО АН СССР 630020 Новосибирск, SO