Задачи для разнокомпонентных систем, диффузии и по-троение асимптотики по малому параметру. тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

Львівський державний університет імені Івана Франка

РГЗ Ом

БАБАК Петро Панасович

УДК 517.946

ЗАДАЧІ ДЛЯ РІЗНОКОМПОНЕНТНИХ СИСТЕМ ДИФУЗІЇ ТА ПОБУДОВА АСИМПТОТИКИ ЗА МАЛИМ ПАРАМЕТРОМ

01.01.02 - диференціальні рівняння

Автореферат дисертації на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук '

Львів -1998

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана у Львівському державному університеті імені Івана Франка на кафедрі диференціальних рівнянь.

Науковий керівник - кандидат фізико-математичних наук, доцент Цимбал Віктор Миколайович,

Львівський державний університет ім.Івана Франка, доцент кафедри диференціальних рівнянь.

Офіційні опоненти: доктор фізико-математичних наук, професор Хома Григоріи Петрович,

Тернопільська академія народного господарства, професор кафедри вищої математики;

кандидат фізико-математичних наук, старший науковий співробітник Коломієць Віктор Григорович,

Інститут математики НАН України, старший науковий співробітник

відділу математичної фізики і теорії нелінійних коливань.

Провідна установа Чернівецький державний університет ім.Юрія Федьковича, кафедра диференціальних рівнянь, Міністерство освіти України, м. Чернівці.

Захист відбудеться “21” травня 1998 року о 15 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 35.051.07 у Львівському державному університеті імені Івана Франка за адресою:

290602, м. Львів, вул.Університетська, 1, аудиторія 377.

З дисертацією можна ознайомитися в науковій бібліотеці Львівського державного університету ім. Івана Франка (290005, м. Львів, вул. Драгоманова, 15).

Автореферат розісланий “10” квітня 1998 року.

Вчений секретар ,

спеціалізованої вченої ради / 0"2Р'о''г~7’ МикитюкЯ.В.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. При інтенсивному розвитку науки і техніки математичні моделі реального світу ускладнюються, тому класичної теорії звичайних диференціальних рівнянь та рівнянь параболічного, еліптичного та гіперболічного типів вже не достатньо для об’єктивного опису реальності. Виникають задачі, що описуються рівняннями та системами рівнянь змішаного типу, рівняннями з виродженнями, вищих порядків, безтипними рівняннями й системами та ін.

Цікавим типом задач є задачі дифузії, а саме ті задачі, що описуються не лише рівняннями чи системами параболічного типу, а різнокомпонент-ними системами, тобто системами, до складу яких входять підсистеми рівнянь різних типів, наприклад, підсистеми параболічного типу та звичайних диференціальних рівнянь.

Кінетика ядерного реактора описується за допомогою кінетичного рівняння Больцмана, але при розв’язуванні інженерних задач реакторноі кінетики в більшості випадків допустимо використання його дифузного наближення (Крянев A.B.. Шихов С.Б. Вопросы математической теории реакторов. Нелинейный анализ. — М.:Наука. - 1983.). Рівняння, що описують нестаціонарний баланс нейтронів за допомогою нейтронно-дифузної теорії, мають вигляд: '

ЯФ N

V-1— = div(Dgrad^) + ((1 - ß)$FT - А)Ф + ^ АгФ*С,-,

2=1

= ßiFT'5> - ХіСі,

dt

тут í/ij - ПОТІК нейтронів В j-Й енергетичній групі, Ф = СОІ(фі,..., грм)-,

Cj — первинна густина для г-ї групи нейтронів, що запізнюються.

Різнокомпонентні системи дифузії також описують процеси полімеризації. Вивчаючи плавлення полімерів, T.M.Pell, T.G.Davis вивели рівняння, що описують ступінь зростання полімеризації при плавленні полімерів в стаціонарних басейнах (J.Polym. Science.-1973.-ll.-P.1671-1682).

Простір використання різнокомпонентних систем не обмежується задачами фізики та хімії. Так зміну провідності мембрани аксона нерва для калію (К) і натрію (Na) описує система рівнянь Ходжкіна-Хакслі (Hodgkin-Huxley) (J. Physiol.-1952.-117.-P.500-544).

Коректність різних задач для різнокомпонентних систем реакції-ди-фузії досліджували A.McNabb (J.Math. Anal. Appl.-1961.-3.-P. 133-144), В.М.Маслєннікова (Журн. вычисл.матем. имат.физ.-1963.-3.-С.467-477),

В.М.Маслєннікова, Н.В.Гапєєва (Сиб. матем. журн.-1980.^21, N6.-C.61-70), T.Kusano (Proc. Japan Acad.- 1963.-39.-P.634-638) і ін. Це зумовлено не тільки практичним іх застосуванням, але й теоретичним інтересом, оскільки різнокомпонентні системи є певним узагальненням систем параболічного типу, звичайних диференціальних рівнянь. Виникає питання, чи впливає різнотипність систем на характер поведінки розв’язку у відношенні до класичних параболічних чи інших задач.

В цих роботах розглядалися локальні задачі для таких систем. Як відомо, на практиці часто виникають і нелокальні задачі для описування певних процесів, зокрема це можуть бути задачі на знаходження періодичних розв’язків, розв’язків, що задовольняють нелокальні умови за часовою або просторовими змінними, крім того, певні процеси описуються функціонально-диференціальними рівняннями, тобто диференціальними рівняннями, що містять певний функціонал, наприклад, навантаження, інтегрування, зсуву або запізнення. Тому для різнокомпонентних систем виникає потреба у вивченні таких задач.

Нелокальні задачі для різнокомпонентних систем порівняно мало вивчені. Розглядалися задачі з запізненням в роботах C.V.Pao (J. Math. Anal. АррІ.-1995.-196.-Р.237-265), R.H.Martin’a Jr., H.L.Smith’a (Trans. Amer. Math.Soc.-1990.-321.-P.l-44), Ziqian Yan’a (J.Math.Res.Expo.-1988.-8-P. 101-105) ; інтегро-диференціальні системи рівнянь в A.Di Liddo, L.Mad-dalena (J. Math. Anal. Appl.-1992.-163.-P.86-103), M.Kuwamura, S.-I.Ei, M.Mimura (Japan J.Ind.Appl. Math.-1992.-9.-P.35-77).

В той самий час багато нелокальних задач не вивчалося взагалі.

Протягом цього століття розвинуто багато методів щодо дослідження та розв’язування задач з малими параметрами. Ці задачі зумовлені практичними потребами і описують процеси, в яких певні величини є порівняно малими.

У різнокомпонентних системах можна розглядати різні входження малого параметра, наприклад, множником при просторових похідних, що характеризуватиме процеси з малою дифузією, множником при похідних за часовими змінними — процеси з малою теплоємністю. Цікавими є також задачі, що містять малий параметр при часових та просторових похідних одночасно.

Побудова асимптотик за малим параметром для нелокальних задач різнокомпонентних систем з різними входженнями малого параметра на даний час не проводилася.

У зв’язку з описаними вище результатами актуальними є такі задачі.

1. Коректність різних нелокальних задач для різнокомпонентних систем

з

рівнянь.

2. Вивчення поведінки розв’язків задач з малими параметрами для цих лістем та можливість наближення розв’язків цих задач.

Зв’язок роботи з науковими програмами, планами і темами.

Тематика дисертації пов’язана з науковими дослідженнями кафедри диференціальних рівнянь Львівського державного університету, їі результати частково використані при виконанні завдань державних тем за номерами N 0195У009657, N 0193У027106.

Мета та задачі дослідження. Дослідити задачі для різнокомпонент-іих систем реакції-дифузії. Для досягнення мети поставлено такі завдання: .

— довести теореми єдиності, існування та порівняння для різнокомпо-ієнтних систем рівнянь, шо містять підсистему параболічного типу та пдсистему звичайних диференціальних рівнянь, зокрема розглянути три типи задач: початково-крайову задачу для системи функціонально-дифе-зенціальних рівнянь (системи з навантаженням), нелокальну задачу від-госно часової змінної, нелокальну задачу відносно просторових змінних;

— вивчити задачі з малим параметром для лінійних задач вказаних вище типів, зокрема розглянути випадки входження малого параметра множ-шком при просторових похідних, похідних за часовою' змінною та од-ючасно при часовій та просторових похідних; для цих задач довести теореми про граничний перехід та побудувати приклад асимптотичних юзвинень розв’язків відносно малого параметра.

Заукова новизна одержаних результатів. Вперше вивчено деякі не-юкальні задачі для лінійних та нелінійних різнокомпонентних систем дифузії, до складу яких входять рівняння параболічного типу і звичайні іиференціальні рівняння, зокрема розглянуто системи функціонально-щференціальних рівнянь, нелокальні задачі за часовою змінною та не-юкальні задачі за просторовими змінними. Для всіх цих задач доведено ?еореми порівняння, єдиності та існування розв’язків. .

Вивчено три види задач з малим параметром в обмежених областях: адачі з малим параметром для систем рівнянь з навантаженням, нело-:альні задачі за часовою змінною, в тому числі задача знаходження пе-ііодичного розв’язку, нелокальні задачі за просторовими змінними. Роз-лянуто різні випадки входження малого параметра в рівняннях систем г всіх цих задачах, зокрема задачі з малим параметром при просторових юхідних, при похідних за часовою змінною та одночасно при просто-ювих та часових похідних. Для задач з малим параметром доведено

теореми про граничний перехід та побудовано приклади асимптотичних розвинень розв’язків за малим параметром. ■

Практичне значення одержаних результатів. Робота має теоретичний характер, іі результати є певним внеском в теорію рівнянь з частинними похідними і можуть бути використані для подальших досліджень у цьому напрямку. Предметом роботи є задачі, які описують біологічні процеси, зокрема зміну провідності мембрани аксона нерва (системи типу Hodgkin -Huxley, FitzHugh-Nagumo); кінетику ядерного реактора; процеси реакції дифузії при плавленні полімерів. Тому результати будуть цікавими не лише теоретикам, але й практикам, що займаються біологією, теорією реакторів та вивченням процесів реакції дифузії.

Особистий внесок з добувача. Всі результати дисертації отримані автором самостійно.

Апробація результатів дисертації. Про результати роботи неодноразово доповідалось на Львівському міському семінарі з диференціальних рівнянь (керівники Б.И.Пташник, С.П.Лавренюк, П.І.Каленюк 1996-1998р.) та на кафедральному семінарі з теорії диференціальних рівнянь (керівники С.П.Лавренюк, М.М.Бокало 1997р.); міжнародній конференції ’’Nonlinear partial differential equations” (м.Київ, 1997р.); Всеукраїнській конференції ’’Нові підходи до розв’язування диференціальних рівнянь”, присвяченій 70 - річчю від дня народження професора В.Я.Скоробогатька (м.Дрогобич, 1997р.); Всеукраїнській конференції ’’Диференціально-функціональні рівняння та їх застосування”, присвяченій 60 - річчю від дня народження В.І. Фодчука (м.Чернівці, 1996р.); науковій конференції ’’Нелінійні проблеми аналізу”, присвяченій пам’яті М.С.Курпеля (м.Івано-Франківськ, 1996р.); Всеукраїнській науковій конференції ’’Розробка та застосування математичних методів в науково-технічних дослідженнях”, присвяченій 70 - річчю від дня народження проф. П.С. Казимірського (м.Львів, 1995р.); третій Міжнародній науковій конференції, присвяченій пам’яті ак. М.Кравчука (м.Київ, 1994р.).

Публікації. Основні результати дисертації опубліковано в роботах [1] [9]. У спільних публікаціях [4], [8], [9] В.М.Цимбалу належить формулювання задач і керівництво роботою, результати ж отримані автором самостійно.

Стуктура і об’єм роботи. Дисертація складається із вступу, шести розділів і списку використаної літератури, викладених на 150 сторінках машинописного тексту. Список літератури містить 171 найменувань.

ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі обгрунтовується актуальність теми, подається мета та задачі дослідження, наукова новизна, практичне значення, апробація та структура роботи.

У першому розділі зроблено огляд літератури щодо предмету та методики досліджень (§ 1.1), а також введено термінологію, позначення та деякі твердження, що використовуються в роботі (§ 1.2).

Теореми існування, єдиності та порівняння доводяться в розділі 2.

В § 2.1 розглядається нелінійна різнокомпонентна система функціонально-диференціальних рівнянь вигляду

Р,-и= + /,-(<,х,и;и(і,-)) =0, (і,х)еОт=(0;Т]хО,

А Д'Л . Л ^ _

Р^и = (і, х, и; и(і, ■)) = 0, (і, х) Є Є7 ~ (0; Т] х Д

тут і всюди

(2.1)

+£ь*‘.*(-)ас* (1-і)

— диференціальні вирази, коефіцієнти яких визначені та неперервні в області визначення змінних (•). Матриці {сц^і} для фіксованих і — 1,..., М є симетричні, крім того, в кожній точці (■) для всіх £ = (£і,..., £„) Є Е" виконуються нерівності 521,1=1 аі,кі(')€кЬ > 5Ук= і ^1- де гп° є додатня стала.

Залежно від геометрії області В С Е” вивчаються задачі.

(1-і) Якщо область Б — обмежена, тоді потрібно знайти вектор-функцію и(і, х) Є им,ь(Сї ), що задовольняє систему рівнянь (2.1), початкову умову

Ній = йі(0,х)~Ні(х), Я^и = щ(0,х)=^(х), (і,х)єд0ЄТ = {0}.хБ

(2.2)

та граничну умову

= йі(і,х) = §і(і,х), (і,х) Є діОт = (0;Т] х сШ. (2.3)

І.іі) Якщо Б необмежена область, але Б ф Е", тоді потрібно знайти вектор-функцію и(і,х) Є Під/¿((З7), що задовольняє систему рівнянь

(2.1), початкову умову (2.2) та граничну умову (2.3).

І.ііі) Якщо И = Е", тоді потрібно знайти функцію и(і,х) Є ^^¿((З7), що задовольняє систему рівнянь (2.1) та початкову умову (2.2).

Тут для будь-якої точки (t,x) Є Gr, v Є RM+L, вирази fi(t,x,v,u(t, •)) fj(t,x,v; u(t, •)) є функціоналами, що визначені над простором неперерв них відносно просторової змінної вєктор-функиій и в D(x) = D П б : |£| < d(\x\ + !)}> крім того, функції fi(t,x,v;u(t,-)) визначені тг неперервні при (t,x) Є GT, а функції fj(t,x,v,u{t,-)) визначені та неперервні при (t, х) Є GT.

Вектор-функція f(t, х, щ v(t. ■)) — квазімонотонно незростаюча відносно и, а відображення / (t, x,v, u(t, •)) є монотонно незростаючим відносно змінної Крім того, вектор-функція f(t,x,u;u(t,-)) задовольняє

умову Ліпшиця зі сталою т відносно и і умову Ліпшиця відносно u(t, •).

В § 2.2, § 2.3 розглядається нелінійна різнокомпонентна система диференціальних рівнянь вигляду

PiU = ^ + Li(t,x)üi + fi(t,x,u) = 0, (t,x) Є GT,

. м. - <U9>

Pju = + fj(t, x, и) = 0, (t, х) Є GT U діGT.

Вектор-функція f(t,x,u) квазі-монотонно не зростаюча відносно и, задовольняє умову Ліпшиця відносно и.

В § 2.2 вивчаються задачі.

(2.1) Якщо область D — обмежена, тоді потрібно знайти вектор-функцію u(t,x) Є Um,l(Gt), що задовольняє рівняння системи (2.19), нелокальні умови за часовою змінною

RiU = щ(0,х) — А і(х)йі(Т,х) = hi(x), _

. . - х є D, (2.20)

RjU — ûj{0, x) - Aj(x)ûj(T,x) = hj(x),

та крайові умови (2.3). .

(2.ii) Якщо D є необмежена область, але D ф Еп, тоді потрібно знайти вектор-функцію u(t,x) Є L(Gr), що задовольняє рівняння (2.19), (2.20), (2.3). ’

(2.ЇЇІ) Якщо D — Е™, то потрібно знайти вектор-функцію u(t, х) Є

що задовольняє систему рівнянь (2.19) та нелокальні умови за часовою змінною (2.20).

Виконуються нерівності 0 < Äі(х), Aj(x) < е~1‘оТ для всіх х 6 £>\ і =

1,..., М; j = 1,..., L, де /¿о залежить від вектор-функції f(t, х, и).

В § 2.3 вивчається задача.

(3.1) Якщо область D — обмежена, тоді потрібно знайти вектор-функцію u{t,x) Є Ь'м,і(Ст), що задовольняє систему рівнянь (2.19), початкову

умову (2.2) та нелокальну граничну умову

Гіи~щ(і,х)-ді(і,х;й(і,-))=ді(і,х), (*,х)є£ іСт. (2.34)

Функціонали д{(і,х; й(£, ■)) визначають умову виду Біцадзе-Самарського . к м

&(*, а:; «(*,-)) = ^^^5(і,а;)й5(і,^(і,а;)), (2.35)

к= 1 «=1

тут вектор-функції £*(£, ж) (А: = 1,..., АГ) — визначені на д\Єт і приймають значення з Пі, де множина така, що складається з усіх точок області И. які знаходяться на відстані більшій, ніж (І від границі дП. Відображення д(і, х; у(і, •)) є монотонно несиадним відносно и(і, ■), тобто виконуються нерівності <?£.(£,ж) > 0, при (£, а-) Є <9і<?т, крім того, неперервне за Лішшщем відносно й(і, ■).

Для всіх цих задач доведено теореми порівняння, тобто визначені умови, при яких з виконання нерівностей

Ри1 < Ри2, (і, х) Є £т, Ри1 < Ри2, (*, аг) є £?Г; (2.14)

Ргг1 < І?и2, Ли1 < Ди2, (і, ж) Є 5оСт; (2.15)

Ах1 < .Гіг2, (і,а:) Є діСт, - (2.16)

випливає нерівність их{і,х) < и2(1,х) при (і,х) Є От.

З теорем порівняння легко випливають теореми єдиності розв’язку всіх цих задач.

Сформулюємо теореми існування розв’язку задач (Іі-Іііі), (2і-2ііі), (Зі).

Нехай вектор-функції Ь{^, / є рівномірно неперервні за Гельдером з показником а відносно змінних (£,х) в (?т, а даг,кі/<3х8) в = 1 ,...,п — неперервні та обмежені в Єт. Бічна поверхня діЄт (якщо вона є) належить до масу С2+а. Існує неперервна за Гельдером в бт з показником

2 +а вектор-функція бг(і, х) = (р\ (£, ге),. .., бм^, ж)) така, що задовольняє умови за часовою змінною та просторовими змінними відповідних задач, крім того, вектор-функції /г та А у випадку задач (2і)-(2ііі) є рівномірно неперервні за Гельдером з показником а в І), а вектор-функції Л та А у випадку задач (2і)~(2ііі) є рівномірно неперервні за Гельдером з показником 2 + а. У випадку задачі (Зі) функції д(і, х), х) та г^(і, ж) є неперервні за Гельдером з показником 2 + а в д\СГ.

Нехай існують вектор-функції у>(£, х), ф(і,х) Є ^м,і(рт), для яких виконуються нерівності

Рц>< 0 < Рф, (*,х) є Ст; Рч> < 0 < Рф, (і, х) Є дт; (2.7)

ІЬр<}і<ІІф, (і,®) єаьсг; (2.8)

Г(р<д<Гф, (¿,а;) Є <9і<?г. (2.9)

Тоді при всіх цих припущеннях існує єдиний розв’язок и кожноі із задач (Іі)-(іііі), (2і)-(2ііі), (Зі) такий, що вектор функія й належить до

простору С2+1 (0 < 7 < а < 1) в Єт, а вектор-функіі й і дй/ді належать

до простору С7 в Єт.

Доведення теорем єдиності проведено за допомогою метода ітерацій.

Для існування розв’язку припускається існування бар’єрів (2.7)-(2.9) та умова квазімонотонного незростання алгебраїчної вектор-функції систем відносно невідомого вектора. Виникає питання можливості побудови таких функцій, а також задоволення умови квазімонотонності, для вирішення якого розглядається простіший випадок систем рівнянь, а саме

— лінійні системи. Тому у розділі 3 досліджено лінійні нелокальні задачі для різнокомпонентних систем рівнянь. Розглянуто лінійні задачі для всіх типів задач, що вивчалися в розділі 2. Зокрема задачі з навантаженням, нелокальні задачі за часовою змінною та нелокальну задачу за просторовою змінною. Для лінійних задач вдається завжди побудувати бар’єри, не посилюючи при цьому умови теорем існування для нелінійних -задач. Крім того, лінійну задачу з довільним алгебраїчним виразом в системі рівнянь зведено до задачі, алгебраїчний вираз в системі рівнянь якої задовольнятиме умову квазімонотонного незростання. Для всіх лінійних задач доведено теореми єдиності та існування розв’язку.

У розділах 4-6 вивчаються задачі з малим параметром для різнокомпонентних систем дифузії у випадку обмеженої області Ю. Для цих задач розв’язане питання асимптотичної оцінки в будь-якій точці області, граничного переходу при є —> 0, наведені приклади побудови асимптотики розв’язку.

У розділі 4 розглядається система з навантаженням виду

' - дй■ -Ріи = єа-д^- + є2Ріі(і,х,є)йі + Сі(і,х,є)и+ '

< + Д-(і,X, є)и(і,-,є) = /і(і,X,г), (і,х) Є <3Т,

д • А А А „ PjU=єa-^■+Cj{t,x,e)u+Ej(t,x,є)u(t,^,є)=fj(t,x,є), (і,ж) Є &т,

• (4-1)

з початковими умовами

Щи = щ(0,х,є) = Тіі{х,є), Щи = йі( 0, х,є) = Ь3-(х,є), х£Ї) (4.2) та граничними умовами

Гіи = йі(і,х,є)=сц(і,х,є), (і,х)едіСт. (4.3'

Тут функціонали навантаження визначено так:

' к м

Еі{г, X, ф(*, •, є) = рГ] X, е)й8(Ь,^, х), є)+

к= 1 «=1

+ X Хі фг(і, Ы*, *), є)

г= 1

К м

Ёу (і, X, ф(г, ■, є) = ^ ^2 е]'8к(і, X, є)йа(г, &.(*, х), є) +

Аг=1 5=1

(4.4)

+ X] ё%к(*> ^)йг(*> &(*) х), є)

І

' -2.к,.

■ г=1

вектор-функції ^(¿, х) (А: = 1,..., К), визначені та неперервні при (і, х) 6 0Т, приймають значення з Д. Відображення Е{і,х,є)и{Ь,-,є) монотонно незростаюче відносно и(£, -,є).

У розділі 5 розглядається нелокальна задача за часовою змінною для різнокомпонентної системи

— Он' _

Р[и = £а-д~ + є2/3Ьі(і,х,£)йі +Сі(і,х,є)и = /¿(і,х,е), (£,х) Є Єт,

А Яй• Л * ~

Р-и = £а-д^ + Сі{г,х,є)и = /,-(£, х,е), (£,х) Є ¿?г,

(5.1)

з нелокальними умовами за часовою змінною

гг = щ(0,х,є) - \Лх,е)щ(Т, х,є) — 7ц(х,є), _

^ . ібі) (5.2)

Щи = щ(0, х, є) — Ау(х, є)й](Т, х, є) — /іу(х, є),

та граничними умовами (4.3).

Виконуються такі нерівності 0 < А,-(х,є), Ау(х,г) < е~иТ для всіх х, є, і = 1,..., М, ] = 1,..., Ь, де V > і*о і Ро визначається відносно алгебраїчних виразів С(£, х, г)и.

У розділі 6 розглядається різнокомпонентна система рівнянь (5.1) з початковими умовами (4.2) та нелокальними умовами за просторовими змінними

Г/гі = й,-(і,х, є) — <?,(£, х, є)б(£, •, є) = (/¿(£, х, е), (і, х) Є <9і(?т, (6.3)

тут

к м

&іЦ,х,є) й(і,-,є) = ^]^£(£,х, £)«<,(£,&(£, х), є) (6.4)

А;=1 «=1

— монотонно неспадні вирази відносно й(£, •, є), тобто в усіх точках границі д\Ст виконуються нерівності д\3 > 0; вектор-функції £ь(і, х) (к = 1,...., К), визначені та неперервні при (і,х) Є От, приймають значення з Д*.

У всіх цих задачах диференціальні вирази 1ц(і,х,є)йі визначаються формулою (1.1) і задовольняють всім умовам розділу 2. Сі{і,х,є)и, С^{і,хьє)и — алгебраїчні вирази, вектор-функція С(і, х, є) и квазімоно-тонно незростаюча відносно и. Коефіцієнти та функції, що входять до систем рівнянь, умов за часовою та просторовими змінними визначені, неперервні та обмежені в областях їх визначення. Нехай задачі мають єдиний розв’язок у просторі функцій им,ь((*Т) при 0 < є < Єо-

Розглядаються три випадки входження малого параметра є множником при похідних: входження малого параметра множником при похідних за просторовими змінними (при а = 0, (3 = 1), входження малого параметра множником при похідних за часовою змінною (при а = 1, ¡3 = 0), входження малого параметра множником при похідних за просторовими та часовою змінними одночасно (при а = 1, /З = 1).

Для всіх цих задач доводяться асимптотичні оцінки, тобто визначено умови, коли розв’язок відповідної задачі задовольнятиме таким оцінкам:

|и(і,а:,б)| < С[\Ї\Г + |/і|£ + \д\о1<зТ ехр(-А^^І)] _

при а — 0, (З = 1, є > 0, (£, х) Є <3Г,

ММ,є)| < С'[|/|оТ + \д\оіОТ + Що ехр(-Д)]

при а = 1, /З = 0, є > 0, (£, х) Є вт,

\и(Ь,х,е)І < С[|/|Г + ЩІР ехр(—<^) + І5Іо1<?Т ехр(-Д^-^-)]

при а — 1, /З = 1, є > 0, (і, я) Є сталі С, Д, 5 не залежать від є.

Наслідком цих оцінок є теореми про граничний перехід, тобто теореми про співвідношення розв’язку задачі при є —> 0 і розв’язку виродженої задачі, тобто задачі, утвореної з даної при є = 0.

Теореми про граничний перехід для цих задач не виконуватимуться у всіх точках області визначення розв’язків, зокрема при а — 0, /З = 1 теорема не виконується на бічній поверхні діСт області , при а = 1, /3 = 0 — на нижній основі дообласті бт, а при а = 1, /3 = 1 — на бічній поверхні та на нижній основі області <_?т. Отже, всі розглядувані задачі з малим параметром є сингулярно збуреними.

Для сингулярно збурених задач цікавим є питання можливості побудови асимптотичного розвинення розв’язку за малим параметром, тому

для кожного типу задач наведено приклад побудови асимптотики.

Розв’язок всіх цих задач не можна рівномірно наблизити у всій області лише функціями регулярної частини асимптотики. Тому залежно від входження малого параметра в задачі, виникає потреба введення функцій примежевих шарів для узгодження цієї нев’язки. Так при а — 0, ¡3 — 1 вводиться функція примежевого шару в околі бічної поверхні д\Ст, при а = І, ¡3 — 0 — в околі нижньої основи 50£?т, а при а — І, ¡3 = 1 — в околі бічної поверхні, нижньої основи та додатково вводяться функції кутових примежевих шарів в околі точок, де сходяться бічна поверхня та нижня основа області Ст. У випадку а = 1, (3 = 0, наведено приклад побудови асимптотики задачі для п--вимірної області визначення просторових змінних п > 1, а в решті випадків асимптотику побудовано для задач, визначених в прямокутній області.

Для асимптотичних розвинень суттєвим є питання коректності, тому отримано оцінки залишкових членів асимптотик. Потрібна оцінка для кожної із задач випливає з теорем про асимптотичні оцінки розв’язків задач з малим параметром.

Результати побудови асимптотичних розвинень сформульовані у вигляді теорем.

ВИСНОВКИ .

У дисертаційній роботі вперше вивчено деякі нелокальні задачі для лінійних та нелінійних різнокомпонентних систем дифузії, до складу яких входять рівняння параболічного типу і звичайні диференціальні рівняная, зокрема розглянуто

— задачі для систем функціонально-диференціальних рівнянь,

— нелокальні задачі за часовою змінною,

— нелокальні задачі за просторовими змінними.

Крім того, задачі для систем функціонально-диференціальних рівнянь та іелокальні задачі за часовою змінною розглянуто як в обмежених областях визначення просторових змінних, так і в необмежених.

Здя всіх цих задач доведено теореми порівняння, єдиності та існування розв’язків.

Вивчено три види задач з малим параметром в обмежених областях: іадачі з малим параметром для систем рівнянь з навантаженням, нело-сальні задачі за часовою змінною, в тому числі задача знаходження пе->іодичного розв’язку, нелокальні задачі за просторовими змінними. Роз-'лянуто різні випадки входження малого параметра в рівняннях систем г всіх цих задачах, зокрема задачі з малим параметром при

— просторових похідних,

— похідних за часовою змінною,

— одночасно при просторових та часових похідних.

Для задач з малим параметром доведено теореми про граничний перехід

та побудовано приклади асимптотичних розвинень розв’язків за малим

параметром.

Основні результати дисертації опубліковано в роботах:

1. Бабак П.П. Асимптотика періодичних розв’язків однієї сингулярно збуреної системи //Вісник Львівського університету. Сер. мех.-мат.

— 1996. - Вип.43,—С.66-70.

2. Бабак П.П. Асимптотична поведінка розв ’язків різнокомпонентних систем з малим параметром // Вісник Львівського університету. Сер. мех.-мат. — 1996. - Вип.45.—С. 17-25.

3. Babak P.P. The first boundary value problem for coupled diffusion systems with functional arguments //Matematychni Studii. — 1997. - V.7, No.2.— P. 179-186.

4. Бабак П.П., Цимбал В.M. Асимптотичне наближення розв’язку задачі для різнокомпонентної системи дифузії з навантаженням //Волинський математичний вісник. — 1997. - Вип.4.—С.7-10.

5. Бабак П.П. Асимптотика розв ’язку сингулярно збуреної задачі для однієї системи //Тези доповідей Всеукраїнської наукової конференції ’’Розробка та застосування математичних методів в науково-технічних дослідженнях”, 4.2, секц. диф. і інтегр. рівнянь, Львів. — 1995.

— С.9.

6. Бабак П.П. Асимптотична поведінка розв’язків різнокомпонентних систем з малим параметром // Наукова конференція ” Нелінійні проблеми аналізу”: Тези доповідей, Ів.-Фр.: Плай. — 1996. — С.10.

7. Бабак П.П. Нелокальна крайова задача для різнокомпонентної системи дифузії //Всеукраїнська наукова конференція ’’Нові підходи до розв’язування диференціальних рівнянь”: Тези доповідей, Київ. — 1997. — С.8.

8. Цимбал В.М., Бабак П.П. Деяка система рівнянь з сингулярним збуренням //Нелинейные краевые задачи математической физики и их приложения: Сб. научн. трудов. — Киев: Ин-т математики НАН Украины, 1994. — С.196.

9. Цимбал В.М., Бабак П.П. Задача Kouii для сингулярно збуреної системи, що містить параболічний та гіперболічний оператори // Всеукраїнська конференція ’’Диференціально-функціональні рівняння та їх застосування”: Тези доповідей. — Київ, 1996. — С.192.

Вабак П.П. Задачі для різнокомпонентних систем дифузії та побудова асимптотики за малим параметром. — Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-мате-іатичних наук за спеціальністю 01.01.02 - диференціальні рівняння. — Еьвівський державний університет ім. Івана Франка, Львів, 1998.

Дисертацію присвячено вивченню задач для різнокомпонентних сис-ем дифузії до складу яких входять рівняння параболічного типу та зви-айні диференціальні рівняння. Досліджено питання існування та єдино-ті розв’язків деяких нелокальних задач для різнокомпонентних систем. Грім того, вивчено задачі з малим параметром при похідних. Для цих адач наведено приклади побудови асимптотичних розвинень за малим араметром та доведено теореми про граничний перехід.

Ключові слова: різнокомпонентна система рівнянь, нелокальна зада-а, малий параметр, асимптотика розв’язку.

Бабак П.П. Задачи для разнокомпонентных систем, диффузии и по-троение асимптотики по малому параметру. — Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-мате-атических наук по специальности 01.01.02 - дифференциальные урав-эния. — Львовский государственный университет им. Ивана Франко, ьвов, 1998.

Диссертация посвящена изучению задач для разнокомпонентных сис-зм диффузии, состоящей из уравнений параболического типа и обыкно-знных дифференциальных уравнений. Исследован вопрос существова-ш и единственности решений некоторых нелокальных задач для разно-змпонентных систем. Кроме того, изучены задачи с малым параметром эи производных. Для таких задач указаны примеры построения асимп-зтик относительно малого параметра и доказаны теоремы о граничном ареходе.

Ключевые слова: разнокомпонентная система уравнений, нелокаль-1Я задача, малый параметр, асимптотика решения.

Babak P.P. The problems for coupled diffusion systems and asymptotii expansions with respect to small parameter. — Manuscript.

Thesis for a candidate of physical-mathematical degree by speciality 01.01.02 - differential equations. — Ivan Franko State University of Lviv Lviv, 1998.

The dissertation is devoted to studing the problems for coupled diffusior systems containing the equations of parabolic type and ordinary differentia equations. The existence and uniqueness of solutions of some nonlocal problems for coupled systems are investigated. Moreover, the problems with smal' parameter at the derivatives are considered. The asymptotic expansions ir small parameter for these problems are constructed and the theorems on passage to the limit of solution are proved.

Key words: coupled system of equations, nonlocal problem, small parameter, asymptotic expansion.

Здано до друку 4.03. 98 р.Тираж 100. Видрукувано Науковим товариством ім. Шевченка у Львові.