Задачи оптимизации для управляемых дифференциальных включений тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

РГ8 ОД

МИНИСТЕРСТВО ВЫСШЕГО И СРЕДНЕГО СПЕЦИАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ УЗБЕКИСТАН ТАШКЕНТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Н;1 правах рукописи

С

Огакулос Салим

ЫДАЧГ'ОПТИМИЗАЦИИ № УПРАВЛЯЕМЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ВНЛЮЧЕНИ1

01.01.02 ~ дифференциальные уравнения

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степенн доктора физико-математических наук

Ташкент 19!);$

Работа выполнена с Ташкентском государственном университете и Самаркандском государственном университете им. А. Напои.

Научный консультант:

Официальные оппоненты:

чл. — к -рр. АН РУз, дочтор фп:;1 ¡ко-математических наук, прс.фс\::<;п

Н. К). САТИМОВ.

доктор физика-математических паук, профессор В. И. БЛАГО Д А Т С К И X (Математический институт РАН) доктор физико-математических иа\'к, профессор А. А.

АЗАМОВ" {Иамакгаиский

гос. университет) доктор фнзико-м а тематических наук, профессор 10. Б. СЕ'ЛСОВ (Фнзико-те.мшчес-з:11Г( институт АН Туркменистана)

Ведущая организация: Одесский

ситет.

государственный у ни г. ер-

Защита диссертации состоится « |J ¡993 г.

в « » час- аудитории на заседании специа-

лизированного Совета Д 037.02.21 при Ташкентском государственном университете по адресу: 700095, Ташкент. Вузгородок, ТашГУ, матсматнческин факультет.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке им. В. И. Романовского математического факультета ТашГУ.

Автореферат разослан « /¿, ^/Мд/фш г.

Ученый секретарь Специализированного Совета доцент

у;

С. Р. УМ АРОВ

ОБЩАЯ ИРАКИ®ИС1ИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Теория дифференциальных включений является одним из интенсивно развивающихся разделов теории дифференциальных уравнений.

Дифференциальные включения тесно связаны с системами С объектами) управления. Они широко применяются при изучении различных свойств оптимальных траекторий и управлений. Дифференциальные включения имеют также эффективные приложения к дифференциальным играм, дифференциальным уравнениям с разрышой правой частью, к задачам математической экономики и к другим важным разделам современной математики.

Актуальные вопросы теории дифференциальных включений и их приложений изучены0« развиты в работах А.Ф.Филишова, Важенекого с Т. \]Уа1е1А«К), Обена С 3. Р- АиКп.), Кастэна С С. Са^аи^), Кикучи ), Кларка ( Р. ПахЪь ), В.И.Благодатсних,

А.Б.Курганского, В .Н. Пшеничного, В.А.Плотникова, А.А.Толстоногова и других исследователей.

В последнее время активно исследуются дифференциальные включения с управляющим параметром — управляемые дифференциальные включения. Появление особого интереса к этому классу дифференциальных включений связано с вопросами управления и оптимизации в системах с неточно заданными парамотрами (системы в условиях неопределенности).

При изучении объектов управления с неточно заданными параметрами с успехом применяется игровой подход, приводящий к задаче оптимизации гарантированного результатаЧминимаксная или мак-, -симинная задача). Системы управления в условиях неопределенности

• ^ V . *

с привлечением методов минимахса и теории игр интенсивно иссле-

довались в работах Н.Н.Красовского^, А.Б.Йуржанского^, Ф.Л.Черно-

"3

усько° и других ученых.

К настоящее времени задачи и методы управления в условиях неопределенности являются важными факторами в определении перспективных направлений развития теории управляемых дифференциальных включений и кх приложений. Исходя из этого, приходим к следующим важным задачам: а) задача об управляемости ансамбля (пучка) траекторий дифференциального включения; б) задача о наибыстрейшем переводе ансамбля траекторий на терминальное ^ожество^ (задача быстродействия); в) минимаксная задача управления ансамблем траекторий; г) вопросы аппроксимации дискретными включениями управляемых дифференциальных включений; д) задачи оптимизации для упр&вгхяемыхдаскретных включений; е) позиционные управления и игровые задачи для управляемых дифференциальных и дискретных включений. Современное состояние развития этих вопросов таково, что они нувдаются в систематическом и подробном исследовании.

Цель -работы. Диссертация посвящена изучению указанных выше задач а)-е) для управляемых дифференциальных включений и связанных с ними некоторых диифетнкх систем управления.

Методы исследования. Задачи управления и оптимизации, рассмотренные в диссертации, исследуются на основе свойств решений и ансамбля траекторий управляемого дифференциального включения. Необходимые свойства изучены с помощью методов теории многозначных отображений и дифференциальных включений.

^ Коаеовекий H.H. Управление динамической системой. -М.: Наука, 1335. -5£0 с.

2 Кутжанский А,Б. Управление и наблюдение в условиях неопрелея-енно-сти. -ii.: Неука* 1977, -292 с.

2 Чзшоусько е.Л., «еликян A.A. йгровш-задачи управления :: поиска. Науке, 1975. -270 с.

Для изучения управляем^ ти ансамбля траекторий применяется метод, испол1--,.~?-1м условия со маетности (рагрегкмости) схстзмы включений для жогогка^ис отобра.-хений.

Задача бкстрсдейсньиа и ¡лшямаксная задача управления ансамблем траекторий исучгзтсл как мзгодом, основанием на результатах изучения обцкх задач оптимизации для нелинейна: систем включений, так и уэтодсм игольчатых вариаций, для применения которого ..с-лользозанъ' такго результата гслухлогэ анализа.

Для нэучения вслргса ¿кг.ггкеимазяи в задача быстродействия и р минимаксной задаче ллжмзкяатся тзазностн&я схема, позволявцал перейгл от управляемся; дифференциального зклхчония к упразляз-гло:,гу дискретно^ вклгчгнкз.

Ъгдо&кснкз задачи. уиразлзния з класса г.с:й5Цаснных управлений, а также позиционное игры л ля углзавляз'.'.-г>с лиоререьлхиалькьл-: лисиротннх зхл:зчен;Л р'-д-иггзд г -смсяла летела, еилазаннсгс на использовании уравнения А.':рехеа-Белл:«ана..

Научная новизна, ..тесс^гетвсная .'.к^нччзузя_цежос:ь.Лес .*-догакь; но зге задачи для д.'7: ^ренциальнах «.. д;ю:^ггккх включений. В процессе изучения э:;л; л:дач выявлен:.: аоьье свойства решений и ансалгзля траекторий рзсс.'.'атгизаямьк: классе •• яябХеренкнальньлс и 1;:с:<рзтньх кипячений , а ~а:ллэ рассмссрэку г»1стеш зялюченкй для многозначных отсбралсзий, предетаЕЛЯюцна с^остоя'Х'елькъз* жтэрес.

Получены кеойхояи?.л-.;е и достаточкко условия управляемости ан-заи^ля трае:-:тор.1>! лифтерзнциалъного з'слгчсяил. Исследована усто-1-чизссть сзоистза управляемости относительно :/,ал1.д' еэзьгуцэннй правей части дифференциального нклкгчения и начального ¡.конестза.

В задаче 5ыстродэЛсг?йЛ и в минимаксной задаче управления ансамблем траекторий ДЕфгеренпкальяых (и дикгрзтннх) включений изучено существование оптимального управления, получены несбходи-

кке и достаточные условия оптимальности. Исследованы случаи с учетом концеЕых (или фазовых) ограничений, рассмотрены выпуклые и вогнутые терминальные функционалы. Выявлены некоторые особенности" получения условий оптимальности е минимаксной задаче с вогнутым функционалом.Преодолены дополнительные сложности .возникающие при изучении условий оптимальности б задачах оптимизации для дискретных включений,

Исследованы вопросы аппроксимации задачи быстродействия и минимаксной задачи для линейных: управляемых дифференциальных включений с аналогичными задачами для управляемых дискретных включений.

Для минимаксной задачи управлени,- ансамблем траекторий дифференциального (и дискретного) включения изучен вопрос о построении оптимального позиционного управления. Рассмотрена позиционная игра для исследуемых объектов управления.

Результаты, полученные в диссертации, носят теоретический и практический интерес." Они могут быть использованы при исследовании задач управления и оптимизации для новых классов управляемых дифференциальных и дискретных включений, а также служат основой решения ряда прикладных задач оптимального управления в условиях неопределенности и задач игрового характера.

Апробация -работы. Основные результаты диссертации докладывались на городском семинаре по оптимальным процессам и дифференциальным играм при кафедре прикладной математики факультета ШиМ ТеяГУ (рук. чл.-корр. ЛН РУз, проф. Сатинов Н.Ю., 1989-1992 гг.), на семинаре кафедры оптимального управления факультета ШиК ИГУ (рук. проф. Никольский М.С., 1985 г.), на семинаре по дифференциальным включениям и оптимальному управлению Отдела дифференциальных уравнений ¿^тематического института Ш СССР (рук. проф. Вла-годатских Б.И., 1988 г., 1991 г.), на Минском городском семинаре

по оптимальному управления -ук. проф. Габасов Р.Ф., проф. Кириллова. «Й.2., 1985 г.), на семшаре по методам оптимизации кафедры функционального анализа математического факультета СамГУ (1982— . 1993 гг.), на 1У Всесоюзной конференции по оптимальному управления в механических системах (Москва, ноябрь 1982 г.), на XI Всесоюзном совещании по проблемам управления (Ташкент, сентябрь . 1989 г.), на III Всесоюзной школе "Понтрягинскиз чтения: оптимальное управление, геометрия и анализ" (Кекеропо, сентябрь-октябрь 1990 г.), на Всесоюзной конференции "Дифференциальные уравнения и оптимальное управление" (Ашхабад, октябрь IS50 г.), на IX Всесоюзной конференции "Проблемы теоретической кибернетики" (Волгоград, сентябрь 1990 г.), „ча межреспубликанской конференции "Методы и средства управления технологический! процессами" (Саранск, май 1991 г.), на Украинской конференции-"Моделирование и исследование устойчивости процессов" (Киев, май 1992 г., май 1993 г.), на конференции СНГ'КТДУ-УПГ (Самарканд, сентябрь 1992 г.).

' По теме диссертации опубликовано 14 работ, спи-

сок которых приведен в конце автореферата.

QjTgygTgga.и объём работы. Диссертация состоит из введения, семи глав, двух приложений и изложена на 270 страницах машинописного текста. Библиография содержит 164 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ ДЙССЕРТДЩЙ

Во введении дается краткий обзор исследований по дифферекии-альнум вк эчениям, обосновывается актуальность работы и кратко излагаются её основные результаты.

3 первой главе, состоящей из трех параграфов (§§ 1.1*- 2.3), изучаются некоторые свойства управляемых дг.сфзи?:с;:-!алькых нкле-

чений, рассматриваются вопросы совместности систем включений для многозначных отображений и общие задачи оптимизации, связанные с такими системами. Полученные здесь результаты составляют основу для развиваемых в последующих главах методов исследования задач управления и оптимизации для управляемых дифференциальных и дискретных включений.

В § 1.1 рассматривается объект управления, состояние К которого в каждый момент Бремени "I удовлетворяет соотношению

ЭС€ра,Х,Ы), си

где X = ci.Cc/cii, Ц.= И ({} £ — значение управляющей функции

(управления) НО е момент времени "Ь ^0 , Р(1, ^ (—

евклидово пространство П -векторов со скалярным произведением (ХД£)=Х и нормой 11 Х1\= \/(X,X) ). Соотношение (I)

называют управляемым дифференциальным включением.

Обозначим через Нр(д> множество всех абсолютно

НепрЭрЫЕНЬК функций Х(0 •Т~> К," > удовлетворявших ПОЧТИ ЕСЮДУ (п. е.) дифференциальному включению (I) (при

1еТ ) и начальному условию ТС^^З, где . Ансамблем

траекторий дифференциального включения (I), порожденным управлением Ц.С0 и начальны.) множеством , назовем многозначное отоб-оажение

Обозначение Нд^^ХХд^иад паи еявлогичикй еде*

к для лпнайяого (по ОС.) управляемого дифференциального включения А г ■ ._£ •. ,г>г, л

-матряц ((2*,- 1,п) с но:

вй

Б § 1.1 Некоторые сго.:с1

'1 * ^ ь г

1 ч """"" поостганство

- мЫ ^ агс,- ).

:~:сгсе>на

нип (ио. ЙЬНр^С ин,^, и, и5ио, »).

3 частности, изучены непрерывность Св метрике Хаусдорфа) этих отображений и выпуклость опорной функции С

по -«ко,ад .эти

свойства изучены на основе формулы^

X., а ис-да^и ^аякт.икЫт] и)

являющейся аналогом известной формулы Копи для 1инейных дифференциальных уравнений. В правой части (2): — совокупность измеримые сечений многозначного отображения

— фундаментальная матрица решений уравнения -

5 а ику> ^ { *е * £ ^ (Ъ.Г> р, р е § Ст.цсо)^ г^ -

\ ^ ^косклтае^аЯкт.щх^Д

В § 1.2 рассматривается система включений

Х^сио^У;. , и (3)

где Х^У-- линейные прос-

\ у /

транства, 2 '— совокупность непустых подмножеств \Л/;_ .

Систему (3) назовем совместной (разрешимой), если при некотором 11=11 €.и справедливы включения Х-^Сй^У^, 1=1,"О .

Предположение ..2.1. I1=0,^) — банаховы пространства, причем пространство ^о — рефлексивное; 2) множества^ —

выпуклы и замкнуты (в сильной топологии ^^ ); 3) множество и выпукло, ограничено и замкнуто (в сильной топологии ); 4) при каждом Vi.fe.l3 множества Х^Си.-) ограничены; 5) при начс-

дом опорные функции И—>Свыпуклы

и непрерывны на Ц , где WL — сопряженное к пространство.

Теорема I.2.I. Пусть выполнено предположение 1.2.1. Тогда для совместности системы(З) необходимо и достаточно выполнение уеловил

Su~p f согй (с(Хс do, но -1 (О, ii61 t^i \

где C^C ^ ^40 — вогнутое замыкание функции |(Ч1), WeW^—^V'//.

В § 1.3 изучаются некоторые общие задачи оптимизации для систем включений вида (3) (задачи А, В, С).Эти задачи являются обобщениями задач оптимизации для систем операторных Еключенк:4.". Приведем одну из них. Пусть задана система включений

Xi IU)C= Vi, i« Ш, X, (a>c: % Cf), u.€ и, (4)

где yccWcUl^1"!, ^(pcrW,, ^eM, Ucr W0 , V/i ,1-0,^ — линейные пространства, MCR1

Задача А: Среди пар (u.ptlbM найти оптимальную (U-*,/**), удовлетворяющую условиям: а) при U.-U? , j^-J* система включений (4) совместна; б) величина j^* является наименьшим из чисел М, для которых существуете^. U, удовлетворяющий системе включений(4).

Предположение I.3.I. I) Пространства Wi., и множества

X , ,U , X'i(U) , , удовлетворяют условиям .предпо-

ложения I.2.I; 2) множества ^ (р, М , выпуклы и замкнуты. Предположение 1.3.2. I) f^CzR1 — замкнутое множество,

Su-P Cv>? com -f ( U, ц>\ ¿0, 13 Y 1 11

где f) - Z C(Vc,Yc)] +

' • + с С X* - C( ^ C)0, ; -

2) для любого U.t\J геометрическая разность — Xj. (Ш, C-нецуста и существует £>0 такое, что ( —[ (0)]^,

^Кутйканский А.Б. Управление и наблюдение .в условиях неопределенности. -М.: Наука, i977. -392 с. . .

VutU , Г- J* : « е Мв\>- « , (0)- : 11*11 iS).

3) многозначное отображение непрерывно в точке J4^ Ц;

4) для всех J\£H , Д выполняется включение ^ (^)с

5) множество ^ ограничено; б) мнолсества IX dj равномерно ограничены (т. е. Sap ¡1 '5У < К-Соnil7VaeU) Одним из результатов § 1.3 является

Теорема I.3.I. Пусть выполнены предположения 1.3.I и 1.3.2. Тогда: а) оптимальная пара в задаче А существует; б) если jf вУ/': — компакт в W* и (J4*") — оптимальная пара в задаче А, то р-* является минимальным корнем уравнения

Sap covic = MtM (5)

л существует вектор W* "» такой, что

Cone £ (U^Y*, mi,n coiic -fClLY*

Y 1 ' utu Y 1 '

Зторая глаЕа посвящена вопросу управляемости ансамбля траекторий дифференциального включения вида

х е АШХ +6tt,U),t»ie,actio) е а, (6) где xeRw, u<lR** ,

& € а С ,Т> t V«) (-О С G>

— совокупность непустых компактов нормированного пространства &- ).

В § 2.1 изучено свойство (об ,У )-управляемости ансамбля траекторий системы Сб).

Определение " .1.1. Пусть Уст . Будем говорить, что ансамбль траектор-.i дифференциального включения Сб) являвтея управляемым, если существуют отрезок Т^Мо^ЗсгТ^,, и измеримая ограниченная функция U(t) , ieT такие, что Хйе/ чС1.>Ц.С0,5Й)с1У. Предположение 2.I.I. I) ¡Многозначное отображение т.~»лС{)б измеримо на каждом отрезке

» г«е 5 2) для любого Т-

^и^Д^сгТе, многозначное отображение (1Д)-з>1)(1,и.)£Х1(ЯЛ) измеримо по itT и непрерывно по R* , причем Su-p { || ^сбад^а^т^^шда.иеЯ^, rie ^oeL.m , для кавдой пары ("t,H0bT * R* опорная функция выпукла на R ; 4) ^^R* — компактное множество; 5) множество ^/c^-R*1 выпукло и замкнуто.

Пусть Uta) — множество всех измеримых функций W.Ct),i.tT} удовлетворяющих условию ||lKt)Hp*, èl , "ttT ( 1>0 ); — совокупность всех измеримых сечений многозначного отображения

t->AU),tO\

Теорема 2.1.1. Пусть выполнено предположение 2.1.1. Тогда для ( et) ,У )-управляемостп системы (6) необходимо и достаточно выполнение условия

SUP солс

»У» 11 ЦС-КИгСП г при некоторых t>0 , Т-НоЛЛ , гДе f C^i, UQ, У) —

Чо

Даны уточнения теоремы 2.I.I для частных случаев системы (6). В частности, рассмотрено управляемое дифференциальное включение

хаде2>, (?)

Предположение 2.1.2. Для каждого T^-itô^J^l^o многозначное: -отображение

измеримо и Sup^liff: bCt)} « î ^ Jbtt>, -UT , где f>(0 e Lz СT).

Положим

OC^ = {¿k 6-j : ^ }, T=

Теорема 2.1.3. Пусть выполнены условия I), 4), 5) предполо- -кения 2.1 Л и предположение 2.1.'2. Предположим также, что ОЭ^ф,- ; V Т= [Itbt^cXo- Тогда, если система' 47) ( et),У )-управляем,

то существуют такие T*=[ta,-Л », что для V Л € СОт* ,

Y е ^ (Г) некотором Д д J* , J* Дд (У) = О (Ji — мера Лебега), выполняется условие

llJ^'CO^CÍ^OTbO^te^C«,

где Л>0 — произвольное измеримое сечение многозначного отображения "Ь —"> Со /Kt) , t € Т (СоЬ — выпуклая оболочка множества Ь , ' — знак транспонирования).

Определение 2.1.2. Систему (6) назовем тривиально ( . У )-управляемой, если в определении 2.I.I условие Хд^ (t^UQ^c: У выполняется при U,(.t)=0 п. в. наТ .

Показано (теорема 2.1.5), что существуют классы управляемых дифференциальных включений, для которых свойство ( óO , V ^управляемости имеет место тогда и только тогда, когда выполняется сеойстео тривиальной ( 5), у )-управляемости.

Изучение свойства управляемости для системы (б) продолжено в 5 2.3 для случая, когда на управления наложены ограничения вида над eYCi) , 1>10 , где Vo : Т«—V COÜ(Rm) (свойство í V > оЬ ,У )-управляемости.

В § 2.2 исследована устойчивость свойства управляемости относительно малых возмущений параметров объекта управления.

3 главе III изучается задача о наибыстрейшем переводе ансамбля траекторий управляемого дифференциального включения (6) на "дз$вкущееся" терминальное множество Víí),i (задача быстродействия).

Определение 3.1.1. Измеримую на некотором промежутке ТШ(-))=. = Ito^^U-C-))] С Т„ функцию lL(t)= (Ц ^t),..., U^(t)) назовем допустимым управлением для системы (5), если lL(t) &V(t) а. н. на Т(11(0) , где Vtt)CL Rm, t

Обозначил через U СГдЗ множество нсех допустимых упгавле-

ний, определенных на 7^,- [10, <= Т«,.

Пусть заданы множества О-С^с У(1)с: 1 >10.

Определение 3.1.3. Будем говорить, что допустимое управление иЛОСиСГо) переводит ансамбль траекторий дифференциального включения (6) на множество У О,) с соблюдением фазового ограничения, если существует число такое, что:

а) ХА61Т СГ, 1ЛСО, С & (Г), и ¿Г (Ш-»,

б) Х.р сиио»,ао>,»)с: У НШ».

Обозначим через 17 ((т,У) множество всех допустимых управлений, осуществляющие перевод ансамбля траекторий дифференциального включения (6) на множество УСЬ) с соблюдением фазового ограничения.

Под задачей быстродействия для системы (б) будем понимать задачу минимизации

Ки(-»->тиг, ат Ц(&,У). (6)

Управление Ц,*(") , минимизирующее функционал ¿((ЯО), назовем оптимальный, &

{МОЛ»

— оптимальным Бременем перехода. Предположение 3.1.1. I) Многозначное отображение "Ь—V

*и)измеримо на каждом отрезке оДлЗ^тс» и 5 <¿¡>{№1: ЛеАШ} Т , где аОй^Т) ; 2) для любого 7Щ:0,-у

многозначное отображение (1,Ц>—^&(£)и.)£П(ЯЪ)измеРимо по ш и непрерывно по и.£&т , причем 6(^11)} ¿б. Ш№

, где С,()£12(Т), ^0£1,(Т) ; 3) при каздом ЬеТ^УбЯ* функция Ц.—> С Еыпукла на Я*; 4) К" — ком-

пактное множество; 5) при кавдом "Ь^Т*, множества &(1)сг К* , выпуклы и замкнуты; 6) многозначные отображения "Ь—> &Ш ,4.—•> непрерывны на любом отрезкеТ^Ц-оД^^Т;

7) многозначное отображение "Ь —£СоЛ ( Я*") измеримо на любом "Н-иЛЛ И Ъар{1!^Ц: -ОеУШ^-Ош^Тгде л>Ое ^(Т). Теорема 3.1.1. Пусть выполнено предположение 3.2.1. Тогда

если пр:: некотором CL^t0 гл^тество U(Тд, (т,У)=1/(С^)П1Г(^кепустэ'

то э задаче быстродействия (8) существует оптимальное управление.

В § 3.2 рассмотрена задача быстродействия без фазового огра-к:гсения ( ) • Изучены необходимые и достаточные условия

оптимальности.

Теотзема 3.2.1. Пусть выполнены предположение 3.1 Л и следующие условия: I) Множества V (t)c R.h , t ограничены;

1 BM-KI uoHUCTe) *

„t

где ° .......x ~ ~ . /I i x«x

— соЕОкупнойть измеримых сечений многозначного отображения vAff\ . teT« : ~

ie ^(t^lOX'P)- Sap

to

- с(. и (U, f € Г;

— СОЕОКуПНОйТЬ изме

i->ACi> ,t€Ta;

где t ■= {i : U Ta f, (t,VU>) - U £ U).

Тогда, если t*€ — оптимальное время перехода и и^Ш.^Ц^Д"}-оптимальное управление в задаче быстродействия без фазового ограничения, то: a) t — минимальный корень уравнения

Suf Си £ сБ^г X (t иадь О, t бТ«. -, Ю)

б) существует вектор R", |Гу*Ц = 1 , на котором достигается

верхняя грань в (9) при , такой, что

donc, С (t^'Hfjr-iniM CÔÏÏC f (-t*Ut->,y«)=0 -, (10)

T ac-telKTo ^

îl наоборот, пусть: a) i*— минимальный корень уравнения (9); о) существует вектор ^*€Я" такой, что выполняется условие (10);

в) CS«. fji* (№?> £ о, Vf* Rn, т -1. тогда t*~ оптимальное время перехода, U*" Ш , -t€-tto,t*3 — оптимальное управление в задаче быстродействия без фазового ограничения. Теорему 3.2.1 дополняет следуюцая

Теорема 3.2.2. Пусть выполнено предположение 3.1.I. Тогда для того, чтобы управление U/*t->€U(Ta) и момент времени 1*6Та. были оптимальными в задаче быстродействия без фазовых ограничений, необходимо и достаточно выполнения условий:

а) fa(l*, U*(->) - rnin H(i«, Ш-))=0 ; JtL UOelKV) J a

б) — минимальный корень уравнения

mm м (t,u.0» = 0, teTa.

uc-teUdV)

где Дü(.УВД].

Определение 3.2.2. Систему C6) назовем ( Э,У )-нормальной, если существует момент G->tD такой,что минимальный корень уравнения

»VIM UCOcUCTa)

существует и этот корень является решением уравнения Для (35

)-нормальной системы справедлива Теорема 3.2.3. Пусть выполнено предположение 3.I.I, причем для каядсго "t^i-o множество А (t) состоит из одной "точки" Кроме того, предположим, что система (6) является ( , У )-нормальной. Тогда если UTCt) ДсТ*=Н0Д*3 ({ЧТо) —оптимальное управление, "L*—оптимальное время перехода в задаче быстродействия без фазовых ограниченною :a)t* является минимальным корнем уравнения r-t

Умах tc( F + \ W in С ( h (i,T)f> (тД),f)dx -

»•и«-! •* J. utYto * ■

-ьШадьо.ит*.-, , (и)

б) п. в. наТ, 112)

* г' »

где ^Р — П -вектор, на котором достигается

максимум в левой части (II) при

Пусть, наоборот, выполняются условия а), б), причем ЦТШ , ( ) определяется из (12) однозначно (почти

для всех ), Тогда И*С€), 1 — оптимальное уп-

равление, "Ь*— оптимальное время перехода в задаче быстродействия без фазовых ограничений.

В § 3.3 продолжено изучение задачи быстродействия без фазового ограничения для управляемого дифференциального включения

хЫ с^х+& а, ю, I ,

где ЛсО— И хм -матрица. Здесь применяется метод, испояьзутаций игольчатые вариации управлений. Этот метод позволяет доказать теорему о необходимом условии оптимальности без требования выпуклости по Ц, опорной функции. С и.),НО (это требование предполагалось выполненным в § 3.2).

Глава ГУ посвящена минимаксной задаче управления ансамблем траекторий дифференциального включения.

Под минимаксной задачей для дифференциальных включений веда (I) будем понимать задачу минимизации функционала

ф(ис->)~ зи^рОс-^шо): <гс->€ Нкг>(ио,а»}

на множестве изъ^-имьи управлений ЦЛ-) , удовлетворяющих условию иШеУт п. а. наТ^Ц0,Ь,], где ЬУф£.2,^— заданное многозначное отображение ¡Т~ С — фиксированный отрезок управления, 3(0Г(0,и(0) — заданный функционал. 3 этой задаче возможны ограничения (концевые или фазовые) на ансамбль траекторий.

3 } 4.1 доказана теорема существования оптимального управления в минимаксной задаче для дифференциального як;:вчекия (б) с

функционалом общего вида 4

В последующих параграфах главы' IУ изучены условия оптимальности в минимаксной задаче с терминальным функционалом.

В § 4.2 для-системы управления (б) рассмотрена минимаксная задача без ограничений:

Sltf ^Cact^-vmCn, |

»» I £ 13}

X t Action bet,11). 0CCto>€ SO, UCtHV(fc),UT-= lto,lO. J

Здесь сначала рассмотрен слагай, когда V Предположение 4.2.1. I) ¡Иного энаяное отображение

t—> АШе

измеряю и SOup-jMii АШ} 6 6.(t),t €.Т, где СШ £ I ДТ) ; 2) многозначное отображение непрерывно на ЪУ - ; 3) ^ tjQCJT) ; 4) Jiso , areH" - выпуклая конечная функция.

Применяя метод игольчатых вариаций, получено необходимое условие .оптимальности:

Теорема 4.2.1. Пусть выполнено предположение 4.2.1. Тогда 'если U_°{-t>, Ч- €.Т — оптимальное управление в задаче (13), то в каздой правильной точке t ¿Г функции U*W справедливо равенство

mi* waoc max [с( 6(t,U) f'' ({ *)t)-

utV te'D^(lX(CoA>6wr)J9e^(uo,e)

- C(i(i,ae(t)),^(1,^)1)3=0, (14)

_ te

Ej._совокупность измеримых сечений многозначного отображения

tcori; ь (j)

Xfcqmo( \t,U.40, a$),"UT — ансамбль траекторий дифференциального включения

X € со A et) СС + e S ;

^^ ) Q^CX)— субдиффэренциал функции

»Д_ с. Д

Если = , е- множества A(f) .

и LX. t* одноэлементные 1 и — дифференцируемая выпуклая

ЖСО а ■

функция, то необходимое условие оптимальности (14) примет вид

тш с С 6(t,a% F ' (i„t)D cfSet, и.°ю\ f'ttuï)V\ <i5) UfeV 3

где

Приведен соответствующий пример, подтверждающий существенность требования одноэлементное™ множества [Хдо^] для справедливости условия оптимальности (15).

Далее указаны классы многозначных отображений "ь —* V(t) , для которых возможно перенесение теоремы 4.2.1.

В § 4.2 для задачи (13) с выпуклым функционалом 2(3C(t ))no-лучено следующее достаточное условие оптимальности.

Теорема 4.2.4. Пусть выполнены условия I), 3), 4) предположения 4.2.1. Кроме того, пусть: I) многозначное отображениеt-^YftH

e-Q измеримо на Т и bdJ¡{ : OtVil)} 4lKt\teT,

где "OOeL^ÍT) ; 2) многозначное отображение (t,U)—>ê(t,U)€_Q(£") измеримо по tel , полунепрерывно сверху по U£'V(7) ~U Vit) и suf {i (Ы| < (t u)eTxYÍT), гДЗ ¡% е [ m

» 3' существуют допустимое управление U"(t) , t^T и абсолютно непрерывные функции СС°СО, t°[t) , tfel такие, что: a) XoО) е£í wj*] Хд^^ВД).

в) учивши а(1сшувш)п.в.нат.

Тогда И Ш является оптимальным управлением в задаче (13).

В конце §4.2 получены необходимые и достаточные условия оптимальности для минимаксной задачи с вогнутым функционалом:

■X еА мое* иШбУШ^еЬС^л) Ш

Предположение 4.2.5. I) ¿ктричная функция

Лео

суммируема на

Т; 2) многозначное отображение ("Ь, (Л) "£>(1,(1) £ £2 ( Я"\(1,и.)&Т*

измеримо по ЫТ , полунепрерывно"сверху по ИСУШ и функция ^ ({_")=. £>ш> ЬОиР I! N1 суммируема наТ ; 3) многозначное

ЦсУШ . _ ^ „и

отображение ) измеримо на| ; 4) ¿0«=К--Еыпун-

лый компакт; 5)^(Х), ЭСеРГ— вогнутая, всюду-конечная функция.

Теорема 4.2.5. Пусть вшолнено предположение 4.2.5. Тогда если Ц°Ш , "Ь€~Г — оптимальное управление в задаче (16), то существует

Се - Ъ

такое, что

«бУШ ^ *

п. в. на Г , где 0С°£ Хнвсппроизвольная точка максимума функции ^¡Е), т.е. ^(О^тазс

Заметим, что, если выполняется предположение 4.2.5 й.существуют хотя бы два допустимых управления , Ц2 (•) такие, что

то вектор С- 5 существование которого утверждается

в теореме 4.2.5, отличен от нуля. Кроме того,£° удовлетворяет условии

Ч-^ГС-П, ° (18)

где (- 0-7* ( Í-) —функция, сопряженная к рС^)=

Теорема 4.2.6. Пусть выполнено предположение 4.2.5 и существует ЯГ , EVO такое, что выполняются равенство (18) и условие (17) п. в. на"{\ Тогда U°(í\t€,T — оптимальное управление в задаче (16).

В § 4.3 используя результаты § 1.3, получены необходимые и достаточные условия оптимальности для минимаксной задачи с концевым условием (t«,llO,JD) ^ i\ <=■ R.'^.

В последнем параграфе главы Г/ рассматривается задача

X e>^Ct,u.)cc+ £tt,U), acete1) eSD, ua>fcV,i6T=*[t0 t.lj

где осе R* , - -матрица, £(-1,10 <=Rn , ,

V^Q. • Для этой задачи развивается метод игольчатых. вариаций. Получены необходимые условия оптимальности, когда терминальный функционал: а) выпуклый; б) вогнутый. В частности, доказана

Теорема 4.4.2. Пусть: I) Aft-Q ; 2) матричная функция

O^Ci,^ и многозначное отображение (t,Ü_) -=>■ S(t,U.)€£l(ftn) непрерывны н^

T*V : 3)

для любой пары (t,U)€.T*V опорная функция f —•> C{?(í,U),f) дифференцируема в каждой точке Ytfi!* Л'^О ; 4) £«=£"/_ выпуклый, компакт; 5) — строго вогну-

тая, дифференцируемая функция. Тогда если i,£T — опти-

мальное управление в зайаче (19) и S<Xj>

то з каждой правильной точке "t еТ управления U° f-D выполняется'условие

-vKV

~ СЛи^ЧОУ^Ш^ГШ) + С( кг^Чх»,ЧЧtj>, (20)

где , tèT — абсолютно непрерывные функция, удов-

летворяйте уравнениям

& -ia.tttH№ * * . -J '(t,irto>f

п. в. наТ и условиям

( е (Хт°ад,Tect,> .

'ВХ

Условие (20), доказанное в теореме 4.4.2 как необходимое условие оптимальности, вообще говоря, не является достаточным усло-дяя оптимальности управления Utt) (приведен соответствующий пример). Вместе с тем оно составляет некоторое достаточное условие локальной оптимальности (теорема 4.4.4).

В главе У рассматриваются задачи оптимизации для управляемых дискретных включений вида

(2i)

где -зсш ¿Я", »шкит,

В § 5.1 изучены некоторые свойства дискретных включений (21). Рассмотрены также линейнне (no СС. ) управляемые дискретные включения

+ , (22)

где А ( t> С , I, U, Ю СД

Пусть 44WWК- Нд^Ь

множество дискретных траекторий системы (22), соответствующих дискретно^ управлению U.CT) и начальному условию ОССt0~)€ 3} ;

Для множества А^Ц(Д"Ji") справедлив аналог формулы (2):

3 правой части (23): <ГСП — совокупность всех однозна^ых зет-вей отображения -=> Д (£) , iij ; i1^ (¿.Д;) — Пг^п -матричная функция дискретных аргументов te Ц0+ ^ tУдовлетворяющую условиям =

Fj (t,fc-fi) = E ( 6 — единичная М*п-матрица).

§ 5.2 посвящен задаче быстродействия для управляемого дискретного включения. Эта задача является дискретным аналогом задачи быстродействия, рассмотренной в главе III, Здесь доказана тео-. рема существования опт»¡мального управления, получены необходимые и достаточные условия оптимальности.

В последнем параграфе главы У изучена минимаксная задача, являющаяся аналогом минимаксной задачи, рассмотренной в главе IY. Доказана теорема существования оптимального управления в минимаксной задаче для системы (21) (с функционалом общего вида и с фазовыми ограничениями) и изучены условия оптимальности в минимаксной задаче с терминальным функционален и без ограничений:

UCT)

}

sup а(зсал)—-

Um V (24)

о:«* to <lK{\) 0СШ+ Ut,um\ оси*)

Предположение 5.3.1. Act4) t. асяпх ч, l £ Предположение 5.3.2. I) Для любого

teT ,ueV(t> множество li^U.^ R. выпукло; 2) при каждом t &T для любых Ut Vit) и для любого £ €.[0,13 существует вектор Ш бУШ

такой, что

i et,-\ ш) - £ 8ct, f - £) €

Данное предположение будет выполняться, например, для ■ -f> F(t), где Jb (fc,U) feR* , и при каздом teТ множества . Utt^R* выпуклы.

Теотвма 5,3.2. Пусть выполнены предположения 5.3.1 и 5.3.2 и <хС£), ХеЯ* — выцуклая конечная функция. Тогда, если Ц.ЧТ) —

а . -г

оптимальное управление в задаче (24), то при кавдом I вшол-

m.m max mace Ult)^), F,(t,,e)l)-

•ъьШ Le^axf) .

с (í)(e,u.0(e)), F,'(tbe)t)]= 0, ^

гдэ (ra): ъир lc(^F.'(tbv£)t)+

'«„Ot>J«с.(;а, £ U„V*)í)+

t-tc t=to

В теореме 5.3.2 предположение 5.3.2 можно заманить на Предположение 5.3.3. I) Для любых t €.Т, ti^VU,), U¿eV(t) выполняется неравенство . _

где функция if-^fit,1?) непрерывна в точке í=0

¥(t,0)=0 ; 2) при каждом t&T для любых tie V(í),O-eVtt),£€[0, J существует

такое, что

при £-^0

к ьсоба,-»»* (i-£)coé(t,a>.

В ¡сачесгЕв примера множества & (t,U) , удовлетворяющего условиям предположения 5.3.3,мо;кно взять £ tt,U.) - b<.t)U.+ Г(Л) где

вш* ЛСЯ"""), Гше n(R4),tfeT, U-iV(b\V(t)Jr~-

Еыпуклое множество.

Заметим, что условие мннигакса (25), являвшееся дкегереткьи аналогом условия (14), спраегдлизо при дополнительном С.:.; с;

О. - rlc

нию с непрерывным случаем) предположении на правую часть включения (22.) (предположение 5.3.2 или 5.3.3).

В § 5.3 доказана также теорема 5.3.3, дающая достаточные условия оптимальности для задачи (24).

• Глава У1 диссертации посвящена вопросам аппроксимации задач оптимизации для управляемых дифференциальных включений. Вопросы аппроксимации изучаются для управляемого дифференциального включения вида

Ашх+ьаж+Рш,зс(*.'к§й, (26)

где осе и.€ П -С А а) € ± Ьш €

"Ь—в— заданные многозначные-отображения, ййсг К" . В § 6.1 изучена аппроксимация минимаксной задачи

оссТ 3 и« 7

Ос ше АШ'ШН Ьшисо+Ри\ос

Для построения последовательности аппроксимирующих задач используется конечно-разностная схема, т. е. для любого ^Л" отрезок управления разбивается произвольными точками

и дифференциальное включение (26) заменяется разностным включением

£ ОСс-Д1С (А^ Мс^Л ,сс^э, (28)

где

Тогда задача (27) аппроксимируется дискретной минимаксной задачей

ог^еос^диСА^^ Ьсцс< V (29)

Пусть--У — множество измеримых ограниченных функций И-КШ^еТ, таких, что иХееу(В п. в. наТ ; и1 , 1.-0, ^ ^ ; — ансамбль траекторий

системы (26), где ЦЬ£\/ ; Х(.СШ.*>{5«.Я"

множество всех дискретных траекторий

ОС^-ОС^ССиЗ^) системы (28), соответствующих управлению СиЗ^еЦ^ ;

Ф(иь&щ>мо):*ехи*,и.)г феи) .

Предположение 6.1.1. Многозначные отображения

Ь-^Оес.оПСРГ') непрерывный .

Доказана теорема 6.1.1, утверадающая, в частности, что, если: I) выполнено предположение 6.1.1; 2) функция , 'ГЕбО.*

удовлетворяет условию Липшица

3) разбиение {{¿,1-0,.^ отрезка Т~ удовлетворяет усло-

вию тазе Аи^М И'-Ь^/м . то задача (29) аппрок-

л. - ^

симирует задачу (27) по функции, т. е. сСут\ Ср — сЬ*.

В § 6.2 вопросы аппроксимации изучены для минимаксной задачи с фазовыми ограничениями.

В конце главы У1 изучена разностная аппроксимация задачи быстродействия для дифференциальных включений вида (26).

В глагах II - У1 задачи оптимизации изучались в классе программных управлений.

Последняя глава работы посвящена задачам оптимизации для управляемых дифференциальных и дискретных включений в классе позиционных управлений.

В перЕнх двух параграфах гяаЕЫ '/II рассматривается дискретная система управления

Г:редг.олс"::;ние 7.1.1. I) F¿ ( X, U> £ Л ( ft"), Slip { II fit'• í £

2' удасЛС^), \5eV¿(X>} áMz(113^11 +^jVXeR11, '

иод-1 ( M2 >0) •, 3) Ъ €Л(1Г).

До,™ & с = {H R": РЛ u eN c m q x lid II + M (eM -1)/ (e^-1)} i^x, ^ М=МДМг-1). d

Определение 7.1.1. Совокупность функций [^('^^{iWO^'V^U^Oj назовем допустимые позиционным управлением для системы (30), если

ЦДосГ) eVU^), V о:е G-¿, М/ч.

Пусть U00 множество всех допустимьк позиционных управлений системы (30); — совокупность всех допустимьк траекторий системы (30), соответствующих управлению [U()]0£ Ц, (•) и начальному условию 0Со= V € сО

3 § 7.1 рассмотрена минимаксная задача

cbClut-'íQsSu.p 30(tan0,[uc->]D)-v^ú , (3I>

fe» Ю^еНоСииад ^ t

где 30([«ЗоДиояо» «ВДАЗД.

Тео2§ма_7Л^2_. Пусть выполнено предположение 7.1Л и функции . > удовлетворяют дискретному уравнению Айзекса-Беллмана

5 00 . [ f ¿(*,u)+ Sup b¡.„ (»],G-i, UO^M,

Тогда L*»f ф(СШ]0)- ^ULD £>„(*).

[ucvj.tU.o fcesb

Если U*(S)£V¿(Í) , í £ G-¿ такие, что выхолняется

условие о , ■

Ч&)+ SUP D¿+, 14) =

то является оптимальным управлением

в задаче (31).

В § 7.2 рассматривается игровая задача для системы (30).

Определение 7.2.3. Совокупность функций 1Ж')]= {0),^ назовем допустимым контруправлением для системы (30), если

Чо V осе (п, Ч С®), .

Пусть VI — множество всех допустимых позиционных управлений, ? — множество всех допустимых контруправлений ; {^^ОСД^ДиО)]^-)]) 1/=-К,,№ — совокупность Еекторов, удовлетворяющих соотношениям Х^-^Сос^исад.имч.ос,.^ , гдеИД-жиД^РОЗеР, — допустимая позиция ( , ).

Под игровой задачей для системы (30) понимается следующая пара экстремальных задач:

З^ДиоШОЭ)-*™^ , (23) Шсозеи

Сиюни * 7 Сччткр

где иду.))

1-к. * 'А

Если для каждой позиции (

14 фк(*диоЯ)=ги.р УД^Дчч-))) тони [ЧОЗе?

ТО будем говорить, что игра (33), (34) имеет цену Д'Д(.

Пусть [и.Ч-)]^1/ , *(')] Р. Р такие, что для произвольной допустимой позиции имеют место равенства

Фу(*ДиЛ-)]) = и| Ъор Зк(^ио)Дм>соз)»

Тогда пару ([ U.*(/">]*(-У]) будем называть седловой точкой игры (33), (34). Ь,сли в игре существует седловая точка, то будем говорить, что в данной игре имеет место ситуация равновесия.

TeopeMaJ^JJJS^ Пусть выполнено предположение 7.I.I. Предпо-лоулим также, что многозначные отображения (qc.,u.) ,

и функции (а:,а),(or,We&^R^UO^i непрерывны. Тогда: а) игра (33), (34) имеет цену М*ОД, которая

*

удовлетворяет уравнению Мзекса-Беллмана (32), если положить М *

; б) в игре (33),(34) имеет место ситуация равновесия.

В §§ 7.3, 7.4 результаты, полученные в §§ V.I, 7.2, переносятся на управляемые дифференциальные включения

¿be Fa,OL,ii), UeV^oc), t€T-U0,til, (35)

где осе (Г, не Г1, Fit, ос, и) с VCt,oc^R"1.

Предположение 7.3.1. I) jQ(R"),V(l,a)£

V "heT, OCeR."1, lie R."1 ; 2) существует число M >0 такое,

что &Uj){|iill4МД10СВ+ о, VUT, luVtt,*), OceR* Положим G-U") - { $ fc Г n ll 4 С1 + Ro exp ( Mt U-U)-1 \ -U7, Ro>0; a={(t,X): t.bUt,, OteG-Ct)}.

Определение 7.3.1. функцию U. О'-О.-*^ назовем допустимым позиционным управлением для системы (35), если Ц(^3:)

Обозначим через Д произвольную совокупность точек T0=t0, {Я-ХЩ) таких, что Т0 сг, ¿.••••г . Положим = где e(A^rmx-iTc+rIc-.

Пусть Н(Це->ЛоЛ0,А^ — совокупность всех абсояэтно непрерывных функций CC(t) , ttT , удовлетворяющих соотношениям

хш е F(rt, <fc(Ti),uitt, aacTi»,t^-Ut^upTi,

В § 7.3 рассмотрена задача

Фдио.Ъ,,?))» Ьж Sup Sup Sup J(U-0),0a(-),4) -мщ , (36 * ЕГ-^гМсЛ-.т Г.сар Н/ао) t. it. ^ uc-^U

*АеАв ЗССОе fj{UO),t0,Oe0,3) «H-JeU где U — множество допустимых позиционных управлений,

Теотюма 7.3.2. Пусть: I) выполнено предположение 7.3.1; 2) функция имеет непрерывные частные производные на

открытом множестве, содержащем GL , и

~Ы t utvct/r) ох

Тогда Im* Ф MW«. ■

UOCU * sb

Если нижняя грань в (37) достигается в точке , то

UTC0

— оптимальное управление в задаче (36). Соотношение (37) назовем уравнением Айэекса-Беллмана для системы (35).

В последнем параграфе главы У11 уравнение Айзекса-Беялмана (37) используется для изучения одной пары экстремальных задач для системы (35).

Каздуа И -вектор-функцию f =i4t,3c,U.) , принимающую значзнг из множества

,11) при ("Ь,', ОС .)£&, U.feV(t,iC) , назовем контруправлением для системы (35).

Пусть ts € . Обозначим через Л совокупность точек

( таких, что

Положим 9(ÄH&}, где 0 (Д>=.та0С {Т-^-Т;. :0sC Jvf-1^

Каждую непрерывную кусочно-линейную И -вектор-функцию £(t> , удовлетворяющую условиям

= е Осто,

:азоБем допустагой траекторией системы (35), соответствующей

'точке" где и(-)€и . К./Е^ей ,

Д £ §">0 (У — множество всех допустимых позиционных уловлений, 5 — множество всех допустимых контруправлений).

Пусть заданы непрерывные функции ^(-У- > РД |Ч-У. •де = лс&аг, аеУ*}

Рассмотрим функционал

г=о t-

де X it) = А)— допустимая траектория системы (35).

Для произвольных U-OcU , ЧЧ ОеР , (t^Oe^eQ. опреде-

им функционалы

ф(исо,г,,£/>=|ст su.p sttp 3(ио,чол,ос.,д>. <зв) 0-^0+ fcotP

УСтед^ь&и, щ (39)

*н»0+uc-)tU

Пару экстремальных задач

Ф (UC-VU, иоеU, (40)

Ч>(>еР (41)

азовем позиционной дифференциальной игрой для системы (35).

Если функционал (38) ограничен снизу, а функционал'(39) ог-вничен сверху и для каждой позиции ( Т*, CKL,")

tv»i ф(11(-хг„ос^= Sup YCW^ac^H гчт;,*.), lOeU 4oe.JP

э будем говорить, что игра (40), (41) имеет цену J* (Q,3c.„) .

Пусть U?0"> — оптимальное управление в задаче (40), f — таимальное контруправление в задаче (41) и

= Y (^»«.t^S , V X,-) €Ü . Тогда пару С U*0,4>\'>)

будем называть седловой точкой игры (40), (41).

Доказана теорема 7.4.1, которая показывает, что если уравнение Айзекса-Беллмана (37) имеет решение

^Ж). . то игра (40), (41) имеет цену j4(t,0e)}

равную , ( eQ. . Отсюда следует, что при условии

непрерывности многозначных отображений

VO:QL-->-aCRm") в игре (40), (41) имеет место ситуация равновесия, т. е. существует седловая точка (И*.

Возникает вопрос: если игра (40), (41) имеет цену ,

(Л,9С)б(3, то функция J4(t,0C) удовлетворяет ли уравнению Айзекса-Беллмана (37)? Положительный ответ на данный вопрос даёт

Теорема 7.4.2. Пусть: I) выполнено предположение 7.3.1 и многозначные отображения

непрерывны; 2) существует оптимальное управление &*(•)€ U задачи (40) и оптимальное контруправление ^fe(*)€ Р задачи (41); 3) функция J4t,ОС) , , являющая ценой игры (40), (41),

имеет непрерывные частные производные на открытом множестве, содержащем а . Тогда функция J^it^Cс) , fi,0Q£.Q. удовлетворяет уравнению Айзекса-Беллмана (37) и J4(tt> 3;)= ^ (да, ОСе .

Следует заметить, что при постановке задач §$7.3,7.4 использована схема, близкая к..-примененной Н.Н.Красовским* к минимаксной задаче в классе позиционных управлений и игровой задаче для систем управления в условиях неопределенности.

К основной части диссертации добавлено два приложения. В приложении I приведены основные обозначения, исподьзовак-нш в диссертации, а также некоторые вспомогательные сведения.

т

Крассвеки" H.H. Управление динамической системой. -:d.: Наука, 1985. -520 с.

В приложении II с помощью условий управляемости и оптимальности, полученных в главах II, III, изучена одна задача программного преследования в условиях неопределенности.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах:

1. Исраилов К., ОтакулоЕ С. Разностная аппроксимация для одной задачи оптимального управления. -В сб.: Вопросы математического анализа и его приложения. -Самарканд: Изд-во СамГУ, 1985. -с. 41-46.

2. Исраилов К., Станулоэ С. Задача быстродействия для управляемого дифференциального включения //Докл. АН УзССР. -1989., 12.

-с. 8—1С.

2. Стакулов С. линкмаксная задача управления для дифференциальных включений //Докл. АН СССР. -1987. -т. 296, » 6. -с. 12951301.

т. Отлкулот- С. К условиям оптимальности в минимаксной задаче для дифференциальных включений //Изв. АН УзССР. -1550. 2. -с. 35-42.

С. '.иалучов С. Об условиях сптималььости в мкы\- -..^ноЗ задаче упрагояемме дифференциальных ЕКяочениЗ //Док,.. АН УзССР.

3. Г;,'::улоЕ С. Со „ ози.чх оптиильности в :,г.'.:Ц';:.а;ссчой задаче

9. Отакулов С. Об условиях управляемости дифференциальных включений //Изв. Российской АН, Техн. кибернет. -1992. 2.-е. 57-62.

10. Отакудоа С. Необходимое условие оптимальности в одной минимаксной задача управления //Кибернетика и системный анализ. -1992. 4. -с. 117-125.

11. Отакулов С. О минимаксной задаче управления ансамблем траекторий дифференциального включения //Дифференц. уравн. -1992.

8.-е. 1317-1327.

12. Отакулов С. О задачах оптимизации для управляемых дифференциальных и дискретных включений. -Самарк. гос. ун-т. -Самарк., 1^92. -42 с. Рукопись деп. в УаЧШНТИ 05.10.92. № 1727-Уз.92,

13. Отакулов С. К теории минимаксных задач управления для дифференциальных включений. -В сб.: Задачи прикладной математики. -Самарканд: Изд-во СамГУ. -1992. -с. 3-6.

14. Отакулов С. Об одной минимаксной задаче управления для дифференциальных включений //Узб. матем. журн. -1993. I.

\ АННОТАЦИЯ

Ноаницлия пароитйдаги системалар учун бошкдриш на оптималлаш-тириш 'масалаларкяи урганишда бош^арилувчан дифференциал мансублш лар цухим урин тутади. Диссертация бошцарилувчан дифференциал ма* сублихлар учун оптималлштирш масалаларини тадциц килиига багиш-ланган булиб, у кирш цисвд, етти боб ва иккита иловадак иборат.

Биринчи бобда бошкарилувчан дифференциал мансубликларнинг бал зи хоссалари урганилган, куп киймагди акслантиржглар учун мансуб-ликлар системасининг биргаликда булиш масаласи х;аэда пунда!. систе ыалар учун умумий оптимаяластариш масалалари караяган. Бу ерда оякнган натизсаяар кейинги бобларда бошк^рияувчан дифференциал ъг дискрет мансубликлар учун к;аралган бопщарип ва оптималлазтириш масалаларини урганиш метод лари, .инг асосини таакия килади.

Мкхкнчи со'5да дифференциал мансубликларнинг траекториялар ;астасини тулалигича бсшлангич Ъ туплалщан терминалУ тупламга /тказувчи боЕцаруЕНШг ыавжудлигини англатувчи ( ^ ,У )-бошцари-зувчаилик хоссаси ^аралган. Шункнгдек, С ,У )-бошк^рилувчан-тикнинг заруркй ва етарлилик шартлари топилган, бу хоссанинг боэ-сариш объекти параметрларининг кичмк узгарипзига :-;исбатан тургук— шги тадкик кдаинган. Траекториялар дастасининг бошкарш функцня-шрига чеклашлар куйилган холда хам бошкдрклуЕЧвнлик хоссаси урганилган .

III бобда бошкарилувчан дифференциал мансубликлар учун тез ;аракат масаласи каралган. Бу масалада траекториялар дастасини ?ерминал тупламга енг -;исл;а ва.ч;т jru^a угказадиган бошкаруЕни то-:и2з талаб килинади. Еу ерда опткмая бсшкдрувнкнг маЕЖудлик теоре-гаси исботланган, оптималликнинг зарурий ва етарлилик шартлари 'рганилган, бо2к,ар;зл системасининг i Ъ )-нормаллик х;оли тад-;кк килинган.

лшкмакс (кафолатланган натижани мдаималлалтириш) — ноаник,-шк шароитидаги сисгемалар учун асосий ёндаииилардан биридир. Боп-•арилувчан дифференциал мансубликлар учун бундай цезонли оптимал-[аштириш масалалари 1У бобнинг асосий мазыунини таикил килади. >у ерда оптимал бошцарувнинг мавжудлиги муаммоси, оптималликнинг 1арурий ва етарлилик шартлари урганилган. Оптиыаллик шартлари: i) траекториялар дастасига чеклашлар куйилмаган холда; б) траек-■ориялар дастасининг унг охирига чеклашлар куйи.-ган холларда ур-'анилган. Функционалнинг кавариклик ва ботиклик холлари хам тек-¡ирилган.

У бобда болцарилувчан дискрет мансубликлар учун оптималлап-'ирш масалалари урганилган. Улар III ва Г/ боб ларца каралган ма-алаларга ухшзз. дискрет масалаяарцан иборатдир. Дискрет тез х,а-:ахат масаласи ва миникакс масаласи учун оптиыал бошцарувнкнг ;авжудлкк тэореыаси исбстяангая, оптималликнинг зарурий ва етар-илик шартлари олинган.

Диссертациянинг ,У1 боби бошкарилувчан дифференциал мансуб-иклар учун оптшаллаштиркз масалаларкни (минкмакс масаласи, тез дракат масаласи) якдалаптириш (аппроксимациялаш) муакмоларига. атишланган. Якднлаштирувчи масалалар кетма-кетлигини куриш учун ифференциал мансубликни айирмали кансублик бклан алмаптирадиган екли-айирмали усул кулланилган. Функционал буйича якинлалтирш артлари топилган, яфшлашткруэчи дискрет масала функционали оп-

тамал 'кзайкатинЕзг борилгОа касала функционала оптамал юйматсга якднлаягиш тааднги бахрланган.

Дпссергацзкнизг охнрги бобг бовдзркдувчан дифференциал , ва дзсгсрэт мзЕсублЕклзр учун цознцхон, яънд тэскари боглашгп тащда-гз бодкзрувлар сЕкфидэ отдаадлешглрип масалаларига багапхазган. ^арзлавтган снстеналар учук казкмакс ва максимиз бошвдриа ызса-яалара «уфмшгвдан иборат уйин масалалари урганавгаа ва бу наса-лаларда кувозанат зрлатн уризля буладаган шартлар курсатадган. Тадкикот згараёязда Айзеке - Белдмзн глпадага тенглама олинган.

Биринчи аловада диссвртацаеда кулданклган барча асосай белга-лашгар ва баъзя бкр ёрдамчи маълукэтлар кзлтнридган. йккшгш аловада III ва IV боблар натикаларн Еоаьшцдкк шароктада програмл таъкаб кижешиг бнтта касала сига тадбнк к&танган.

Summary

In connection with devolepment of problems of control and optimization for systems under conditions of unsertainty the differential inclusions with controlling parameter - controllable differential inclusions are particular interest.

The dissertation is dedicated to investigation of some optimisation problems for controllable differential inclusions. It consists of the introduction, 7 chapters and 2 appendixes.

In chapter I some properties of controllable differential inclusions are studied, problems of Jointity of inclusions systetas for ffiultl - valued карз sal £епыг1 optimisation prcblcs:-, connected by such systems are also considered. Results received in chapter 1 fora a basis for the investigation œsthods of control and optimisation problems for controllable differential and discrete inclusions, which in folic,"In; chapters are developed .

In chapter II a property cf (D,Y) - controllability of differential inclusions is studied, which means existeras of control, transferlr^ all trajectory ensembles from initial set D to terminal sat Y. Necessary and sufficient conditions of (D,ï) -controllability are found, the stability of this property with respect to scsll indignations of control object parameters is investigated. The property of controllability of trajectory ensenblea tfith restriction to controlling fuactlcn is also considered.

In chapter III the tlœe opt lirai control problem for ccniroiiab-

le differential Inclusions is studied. It needs In this problem to find control, transferlng trajectory ensembles in terminal set within smallest time . In here the theorem of existense of optimal control is proved, necessary and sufficient conditions for optimallty is studied. There case of (D,Y) - normality of control system is investigated.

A minima* ( a minimization of quaranted result ) - is one of basic approach for systems under conditions of uncertainty. The basic content of chapter IV consists of the optimization problem with such criterion. Here the problems of existense of optimal control, necessary and sufficient conditions for optimallty are studied. Conditions for optimallty are studied In the cases, when: a) restrictions for trajectory ensembles are absent ( restriction-less problem ); b) for the trajectory ensembles terminal conditions are made. The cases of convexity and concavity of functional are also investigated.

In chapter V the optimization problems for controllable discrete inclusions are studied. This problems are discrete analogues of problems considered in chapters III, IV. For the discrete time optimal control and mlnlmax problem the theorem for an existence or optimal control Is proved, necessary and. sufficient conditions for optlmality are received.

Chapter VI of the dissertation is devoted to approximations of optimization problems ( a ialnimax problem, a time optimal control) for controllable differential inclusions .

For construction the consequence ox approximating problems finite - difference scheme is used, according to which dlfferen -tlal inclusion replaced by difference inclusion. Conditions for approximation by functional are found , the speed of approach of optimal value of functional of approximating discrete problem into optimal value of functional of initial problems is determined.

The last chapter of work is devoted tc optimisation problems for controllable differential and discrete Inclusions in a class of position control. For considering systems the game problems, consisting of pair of sinimax and maxinln control problems are studied.

The conditions, on execution of which, balance situation took, place in gsme problem is showed. In the process.' of investigation an equation of Isaaks - Eellrsa type is received.

Appendiz I contains all markings usqa In. dissertation and also some auxiliary information,: In the Appendix 2; on basic of results of chapters 111,1V the one problem of program pursuit under conditions of uncertainty is studied.

3c. Ci '93Ri Cccmure pyxcat jtwiam N2 yiopTM»,

Cfljp 6ocMa To6on № 6ocMaxoHa hofo3h, hswmh 60x84 1'16, /PO H'/cxa.

CaMfly 6cc*'.asOHaeMfla «ion sthua*. 70300-i CaMopiawa ui., VHHcepCMTOT xMe6oHM, 15.