Задачи с нормальными производными в граничных условиях для нелинейных гиперболических уравнений тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

На правахрукописих

¿/Й

КУНГУРЦЕВ АЛЕКСЕИ АЛЕКСЕЕВИЧ

ЗАДАЧИ С НОРМАЛЬНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ В ГРАНИЧНЫХ УСЛОВИЯХ для НЕЛИНЕЙНЫХ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

01.01.02 - дифференциальные уравнения

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

□ □ЗАО

Казань - 2008

003451256

Работа выполнена на кафедре дифференциальных уравнений Казанского государственного университета.

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор Жегалов Валентин Иванович

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Репин Олег Александрович кандидат физико-математических наук, доцент Бурмистров Борис Николаевич

Ведущая организация:

Самарский государственный университет

Защита состоится "03" декабря 2008 г. в 16.00 часов на заседании диссертационного совета Д 212.081.10 в Казанском государственном университете по адресу: 420008, г. Казань ул. Нужина д. 17, ауд. 324

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке им. Н.И. Лобачевского Казанского государственного университета

Автореферат разослан 45" С^т^вРЯ 2008г

Ученый секретарь диссертационного совета

кандидат физико-математических наук, доцент Липачев Е. К

Общая характеристика работы

Актуальность темы.

Работа посвящена исследованию вопросов разрешимости в евклидовых пространствах различной размерности задач об отыскании решений уравнений вида

д"и

дх....дх,

■=пи), (1)

по граничным условиям, содержащим значения нормальных производных от функции и. При этом рассматриваемые области образованы характеристиками уравнения .(1), а нелинейный оператор Е содержит лишь производные от и,

д"и с- „ „

получаемые из - путем отбрасывания, по крайней мере, одного

йдг,...йс„

дифференцирования, и саму функцию. В частности, при п- 2, F(U) = кехри, к = сопи > 0 (1) является известным уравнением Лиувилля.

Исследование новых задач для уравнений обсуждаемого класса представляет интерес как с точки зрения развития общей теории уравнений с частными производными, так и в связи с возможными приложениями. Частные случаи (1) с линейным оператором ^ встречаются при изучении процессов, связанных с явлениями вибрации и другими задачами механики и математической физики, играют существенную роль в теориях аппроксимации и отображений, к ним сводится задача интегрального представления преобразований одних обыкновенных линейных дифференциальных операторов в другие. Известное нелинейное синус-уравнение Гордона и его обобщения, имеющие различные приложения (статистическая механика, теория поля, оптика, кристаллография) тоже являются частными случаями уравнения (1).

Различные вопросы теории уравнений (1) с линейным оператором Е(и) изучали Л. Бианки, О. Никколетги, Е. Лаэ, М.К. Фаге, С.С. Хари-бегашвили, В.И. Жегалов, В.Ф. Волкодавов, В.А. Севастьянов, А.Н. Миронов,

О.М. Джохадзе и целый ряд других авторов. В частности в работах В.И. Жегалова, А.Н. Миронова (от 1992 и 2000г.) были исследованы и задачи с нормальными производными в граничных условиях. Публикаций же по изучению подобных задач для нелинейных уравнений до последнего времени не было. Предлагаемая работа в определенной мере заполняет данный пробел. При этом ее содержание можно рассматривать как естественное развитие только что указанных результатов от 1992 и 2000 годов.

Цель работы. Отыскание условий, достаточных для разрешимости в характеристических областях задач с нормальными производными в граничных условиях для нелинейных уравнений вида (1) и разработка методов исследования различных вариантов этой разрешимости.

Общая методика исследования. В работе используются результаты и методы теории дифференциальных и интегральных уравнений. Существенную роль играет метод последовательных приближений.

Научная новизна. В диссертации получены следующие новые результаты.

1. В пространствах различного числа измерений определены условия на правые части уравнений вида (1), позволяющие исследовать вопросы разрешимости рассматриваемых задач.

2. Разработан способ редукции этих задач к задачам Гурса.

3. Построена картина их разрешимости, оказавшаяся многова-риантной.

4. Для уравнения Лиувилля построены в явном виде решения задач с граничными условиями первого, второго и третьего рода.

Теоретическая и практическая значимость. Работа носит теоретический характер. Она является продолжением и развитием исследований граничных задач для уравнений данного класса.

Апробация работы. Результаты диссертации по мере их получения докладывались на семинарах кафедры дифференциальных уравнений Казанского университета, а также на международных и всероссийских конференциях: Международная молодежная научная школа - конференция "Лобачевские чтения - 2002", Казань 28.11-01.12.2002; Шестая Казанская международная школа - конференция "Теория функций, ее приложения и смежные вопросы", Казань 27.06-04.07.2003; Седьмая Казанская международная школа - конференция "Теория функций, ее приложения и смежные вопросы", Казань 27.06-04.07.2005; Четвертая молодежная научная школа - конференция "Лобачевские чтения - 2005", Казань 16.12-18.12.2005 посвященная 100-летию со дня рождения профессора Б. Л. Лаптева; Пятая молодежная научная школа - конференция "Лобачевские чтения - 2006", Казань 28.11-02.12.2006; Международная конференция «Дифференциальные уравнения и их приложения». - Самара, 2007г.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 9 работ, в том числе 2 работы в изданиях из перечня ВАК от 30.11.2006г. Список публикаций приведен в конце автореферата.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения и трех глав, общий ее объем 120 страниц, в списке литературы 69 наименований, включая работы автора.

Краткое содержание работы Первая глава, носящая вспомогательный характер, посвящена изложению в удобной для дальнейшего использования форме результатов, относящихся к задаче Гурса для уравнения (1) с нелинейным оператором Р(и). Для искомой функции и правой части уравнения (1) в рассуждениях требуется определенная гладкость. В связи с этим через с'"1, •ог") обозначается класс функций с

¿¡А++Л, _

непрерывными производными —^-— для всех 0<рк<а,,, к = 1,п.

йх"' ~дх,

В наиболее простом случае п- 2 задача Гурса, рассматриваемая в области 0={ха<х<х[,уа<у<у1), заключается в отыскании функции и{х,у)е. С<и)(0)ПС<о,<"СО)> являющейся в £> решением уравнения

и„=Дх,у,и,их,иу) (2)

и удовлетворяющей условиям

£/(*,.Уо) = |М*)> и(х0,у) = <р1{у), уе[у0,у^. (3)

В силу непрерывности Щх,у) в О должно выполняться равенство

Функция /(х,у,11,12,1,) определена в £>хГ, где Т = {-со<1к< +°о, ¿=1,2,3}. Путем линейной замены переменных х = х0+^, у = у0+п,Ь'<н> + = 1>2>3) можно привести (2) к случаю х0 = у0 = /(0 =0 (к = 1,2,3). Граничные условия (3) приобретают тогда вид

и(х,0) = Щ0,у) = <рг(у), ^,(0) = р2(0). (4)

В книге Ф. Трикоми "Лекции по уравнениям в частных производных" (М.: ИЛ, 1957. - 443с.) методом последовательных приближений доказано следующее утверждение: пусть в ячейке

0<.г<х,, 0<у<ух, р\<6, |£Л,.|<Я + г>\ \и\<Я + Ь" (5)

функция / удовлетворяет условию Липшица |/(д:,у,и\и:,и;)-Дх,у,и",и-;,и;)\ <

<

a(\w -u"\+\y: - v;\+\u-x -u"\), (6)

где A= max b, b\ b" - любые положительные числа, A = const > 0. Тогда

¡o.*i IIMI

решение рассматриваемой задачи существует и единственно в прямоугольнике R, определяемом неравенствами

М - верхняя граница |/| в ячейке (5). Как мы видим, решение получается в прямоугольнике, который может совпадать с О лишь в случае достаточно больших Ь,Ь',Ь", но в остальном эти константы остаются неопределенными. Это обстоятельство не позволяет нам применить данный результат к исследованию более сложных задач во второй главе. В § 1 главы 1 доказано, что метод последовательных приближений все же позволяет получить нужный результат, если функция / задана на множестве £>х Т с неограниченными компонентами /,,/2,г3 А именно, имеет место

Теорема 1.1. Если (г>,еС'[0,*], ргеС'[0,у], функция /(х,у,^,12,1,) непрерывна в £> по (х,у) и ограничена на множестве йхТ, где Т — {—со < 1к < к = 1,2,3}, а также удовлетворяет неравенству (б), то в области £> существует единственное решение задачи (2), (4).

Приведены примеры, показывающие, что при нарушениях условий этой теоремы решение может быть не единственным, или процесс последовательных приближений не сходится.

В §§ 2-3 показывается, каким образом теорема 1.1 может быть распространена на случай любого конечного п.

А.втор не претендует на новизну сформулированных в первой главе результатов, поскольку нет уверенности в том, что они не были получены ранее: ведь рассматривается очень известная задача. С другой стороны, без этих результатов рассуждения из следующей (второй) главы не могут быть обоснованы.

0<x<h, 0<у<к,

h = min(x,, —

М' 2л1л2 +ЬМ

6' b

Во второй главе формулируются и исследуются задачи для уравнений вида (1) с граничными условиями, предусмотренными в названии диссертации. При этом наложенных на F(U) в первой главе условий оказывается недостаточно: оператор F{U) должен допускать выделение линейной части, а остающееся нелинейное слагаемое имеет заданную структуру по производным от искомой функции, характер разрешимости задач зависит от коэффициентов линейной части, а в схеме рассуждений появляется для каждого случая необходимость в неоднократном применении метода последовательных приближений.

В случае двух независимых переменных вводятся функции а(х,_>>), fl(x,y)e C(D), с помощью которых рассматриваемое уравнение должно представляться в виде

и v + aU, + bUy + cU = f(x,y,u,aux,puy), (7)

ae C"M(D), be Cm)(D), ce CW(D). При этом требуется еще, чтобы выполнялись условия

«(*,<)) = 0, дге [0,х,], ту) = 0. У* [0,я]. (8)

Функция f(x,y,t;,i2,t3) непрерывна в D по х,у, определена и ограничена при любых значениях tk (к = 1,3), а также удовлетворяет по tk условию Липшица.

Задача 2.1 заключается в отыскании решения уравнения (7) по граничным условиям, получающимся путем замены в (4) хотя бы одного из значений искомой функции значением ее нормальной производной из набора

Uy(x,0) = ^(x), хе [0.x,], и,(0,у) = ^(у), ye [O.j-,]. (9) Если условия типа (3) обозначить через Г, а типа (9) - через N, то в сформулированной задаче содержатся три варианта: ГЫ, NF и NN. Поэтому для редукции к задаче Гурса (ГГ) нужно уметь по соотношениям (9) отыскивать функции <р,(х), <р2(у). Это делается с помощью исследования интегральных уравнений, которые являются нелинейными, и могут быть при соответствующих условиях решены методом последовательных приближений. Указанные условия имеют вид:

Ь(0,>)*0, уе [0, >>,]; (10)

я(*,0)*0, ле[0,х,]; (11)

Ь(0,у) = 0, с(0,у) ф 0, Лгшп|с(0,><)| < 1, уе [0,.у,], (12)

а(х,0) = 0, с(х,0) * О, Лтт|с(х,0)| < 1, [О,*,], (13)

у/[ (0) + ¿(0,0)«//, (0) = ц,'г (0) + а(0,0У/У2 (0). (14)

Доказана

Теорема 2.1. Варианты ГЫ и МГ однозначно разрешимы при условиях (10) и (11) соответственно. Вариант NN разрешим с точностью до одной произвольной постоянной при обоих условиях (10), (11). Этот же вариант разрешим однозначно либо при наборе (10), (13), либо при (11), (12), а однозначная разрешимость при дополнительном условии (14) имеет место, если выполняются соотношения (12), (13).

Далее в этой главе рассматриваются случаи, относящиеся к п>3. В случаях п = 3,4 аналоги уравнения (7) имеют соответственно вид и*, + + ьи^ + си„ + <Ю, + еиу + ёи!+1,и =

= Дх,у,:,и,Шх,миу,Уи„аи„,13иа,ги>г). (15) ^ + М» + «Л, + сиа + Ш „ + + Ш а + ёи„ + + Ииуг + Ш^ + + тих + + р1Г, + + г1> =

(16)

= /(х,у,:,1,и ,ахи „а^и у,а,и „а^ ,,а5и „,

а»иуг,а,иу1,а№ия,аииху1,а12и^,а^их2„аии)а). Функции Ли удовлетворяют условиям, обобщающим (8). Мы не выписываем здесь условия гладкости на / и на коэффициенты а,Ъ,с,... (в тексте диссертации они имеются).

Для любого конечного п аналогом (15) - (16) будет уравнение

ихл +Ци)= Дх,,...,х„,У), (17)

где

+ ... + яГ'(/е] +a¡-'Ux¡ + + a" U,

m: =C'„,i = l,n-\, a'p, p = l,w„_,, r = \,n-\ - непрерывные на D функции.

В случае « = 3 D = {0 < х < х,, 0 < у < .у,,О < z < z¡). Если не считать варианты задач, получающиеся переменой ролей независимых переменных, получим три задачи. Например, естественно выбрать NIT, NNr и NNN. Это есть (соответственно) задачи с условиями

C/J0,y,z) = p,(y,z), U{xfrz) = <p¿x,z),U(x,yfl) = <p¿x,y), (18) Uх (0, у, z) = V, (у, z), Uу (*Д z) = (х, z), U(x, у,0) = щ (х, у), (19) UMy,z) = V,b>,=) Uy(x,0,z) = y/2{x,=)> U,{x,yfi) = Vt(x,y). (20) Для отыскания <р^<р1,(ръ здесь получаются интегральные уравнения на гранях * = 0, у = 0, г = 0. На грани * = 0 условия, играющие роль (10) - (13) (с добавленными к ним соотношениями, обобщающими (8)), имеют вид

1) y(0,y,z) = 0, c(0,y,z)*0.

2) y(0,y,z) = 0, ц(0,у,:) = 0, v(0,y,z)=0,

c(0,y,z) = ¿(O,y,z) = 0, e(0,y,z)*0. (21)

3) r(0,y,z) = 0, fj(0,y,z) = 0, i'(0,y,z) = 0,

c(0,y,z) = e(0,y,z) = 0, g(0,y,z) # 0.

4) /(0,>,;) = (), p{0,y,z) = 0, v(0,y,z) = 0,

c(0,y,z) = e(0,y,z) = g(0,y,z) = 0, h<fi,y,z)*Q, Amin|ft(0,У,-)|< 1 -Для y- 0, z = 0 записываются аналоги 1) - 4).

Наиболее простым является вариант Nrr. Здесь достаточно (21) и верна

Теорема 2.2. Если C,ln(Z), p2eC<ln(F), (с,€Са"(Х), y(0,y,z) = 0, ¿í(0,v,r) = 0, v(0,y,z) = 0, а функция / удовлетворяет условию Липшица, то с области D решение задачи Nrr при всех вариантах условий 1) - 4) определяется однозначно. При этом в случае I) требуется выполнение условий согласования p,(0,.v) = p,(0,_y). Р, (0,;) =^2(0,5).

В варианте №чГ требуется комбинировать варианты 1) - 4) при х = 0 и у = 0. Всего их восемь: 11, 12, 13, 14, 22, 24, 33, 44 (пишем номера вариантов подряд без скобок и отбрасываем комбинации, получающиеся переменой ролей соответствующих случаев на X, У. Отметим особо, что есть неосуществимые варианты, например, в случае 23 g(0,y,z) = 0 и g(x,0,z)*0. Каждый из реализуемых вариантов 11, ..., 44 характеризует наличие произвольных функций и условий согласования при редукции к задаче Гурса. Выпишем комбинации, характеризующие случаи II,..., 44, в виде таблицы.

Комбинации Произвольные функции Условия согласования

11 МО, =) ((),>>) = МО, Я, М0,;) = М0,г).

12 <Р№У) = <Р>®,У\ МО, г) = МО, 2).

13 М 0.г) р,(0 ,у) = (РгФ,у), М*.0) =

14 МО,-")

22 М 0,з) у,(0,:) = р2(0,:).

24 МО,") Отсутствуют

33 Однозначная редукция р|(0,у) = р,(0,>'), Ч>1 (*,0) = С. (*.о).

44 Однозначная редукция Отсутствуют

Следовательно верна, Теорема 2.3. Если <р^См(г), ^2еС(1,)(?), у3еСш)(Х), /?(хД;) = 0, Л(л',0,г) = 0, 1/(*Д;) = 0, а функция / удовлетворяет условию Липшица, то в

области D в случаях 33, 34 решение задачи NNF определяется однозначно. В варианте 24 решение определяется с точностью до произвольной функции $>з(0,г), в остальных случаях с точностью до произвольной функции <р2(0,г). Условия согласования отсутствуют в комбинациях 24, 44. Одно такое условие - в 22; по два - 12, 14, 33; три -11, 13.

Для варианта NNN с помощью кодирования, аналогичного использованному в теореме 2.3 (здесь оно трехзначное), формулируется

Теорема 2.4. Если C(U)(Z), у/2е С"л(?), C(U)(JÖ. а(х,у,0)=0, Л(х,у,0) = 0, fi(x,y,0) = 0, а функция f удовлетворяет условию Липшица, то в области D в случае 444 решение задачи NNN определяется однозначно. В вариантах 122, 144, 334 решение определяется с точностью до двух произвольных функций (<px(fi,y), «?э(0,-) - в 122, 124; (9,(0,у), ч>г(х$>) - в 334). В остальных случаях с точностью до трех произвольных функций <pt(0,y), рг(х,0), <р,(0,:). Условия согласования отсутствуют в комбинациях 334, 444. Два mama условия-в 122, 134, 144; три - 1 /1, 112, 113, 114, 133.

В пространстве четырех переменных ситуация еще более усложняется, но все можно просчитать подобно тому, как это делается для п = 3. При этом появляются еще произвольные функции, зависящие от двух независимых функций ( в различных сочетаниях). В случае конечного п излагаются лишь краткие сведения относительно схемы рассуждений и получаемых результатов. Добавим к сказанному, что после редукции каждого варианта рассматриваемых задач к задачам Гурса, эти последние опять, в соответствии с результатами первой главы, приходится сводить к интегральным уравнениям и применять к ним метод последовательных приближений.

К числу основных в математической физике относится еще задача с 8U

граничным условием вида —+W-tp (условие третьего рода). Во второй

дп

главе при п = 2 она тоже рассмотрена. Выяснилось, что принципиально новых моментов в схеме рассуждений не возникает. Поэтому в случаях п> 3 мы на ней не останавливаемся.

Наконец, в третьей главе рассматривается уравнение Лиувилля

Uv = kexpU, к = const > 0. (22)

При -оо<и<+°о правая часть здесь неограниченна и условие Липшица для нее тоже не выполняется. Следовательно, условиям теорем из предыдущих глав это уравнение не подчиняется. Но мы здесь не используем метод последовательных приближений, а на основе известного представления решений

expU = —- PWW, (23)

строим решение рассматриваемых задач в явном виде. Функции ц/,<р в (23) являются произвольными, но мы еще предполагаем, что

<P(0) = V{Q) = \. (24)

В прямоугольнике D = {0< х < а, 0<у<Ь} рассмотрены следующие задачи. Задача 3.1 (Гурса) с условиями

U(x:Q) = M(x), хе Р = [0,а], U(0,y) = v(y), yeQ = [0,b], f'(0) = f(0). (25) Задача 3.2 с условиями, получаемыми заменой в (25) по крайней мере одного значения искомой функции значением ее нормальной производной из набора

Uy(x,0) = /;,(*), Р, ихф,У) = ^{у), ye Q, (26)

Задача 3.3 об отыскании решения уравнения (22) по условию U(0,0) = 0 и соотношениям

Uv(xfi) + h,(x)expU{xfi) = о^х), hl(x)e С[0,а], \{х) > О,

(27)

Ux{b,y) + l4(y)zxpU{0,y) = a>2(y\ Ш* С[0,6], h2(y) > 0. Задача 3.4, где решение должно быть получено по условиям, получаемым из (25) заменой по крайней мере одного значения искомой функции значением второй нормальной производной из набора

и>у(х,0) = м2(х). хеР, иа{0,у) = уг{у), ye Q. (28)

Решение задачи 3.1 построено в виде

ехр U(x, у) --+ + -> (29)

(2ехрУ0 - фхр//(ОК J[expK>7)№}2

с 0

где U0 =U{0,0). Очевидно, t/0 известно из (25). При этом для к предполагается выполнение неравенства

*}[expMiM J[exp.'C7)№ < 2expt/0. (30)

о о

Для задач 3.2, 3.4 по аналогии с предыдущей главой рассматриваются варианты ГИ, Nr, NN и выводятся решения. Например, в случае rN задачи 3.2 этим решением является

«pt/(*,jO =-^(ylexpfrW + ^O)]-_ (31)

к{2 ехрА(0) - [у, (у) - у, (0)]¡[ехрMfM)2 0

При этом выполняется неравенство

а

К(6)- ^(0)]{[ехр,;О^ < 2ехр/<(0), (32)

о

играющее роль (30).

В заключение автор выражает искреннюю признательность научному руководителю В.И. Жегалову за постановку задач и рекомендации в процессе работы над диссертацией.

Публикации автора по теме диссертации

1. Кунгурцев A.A. Характеристическая задача с нормальными производными для квазилинейного гиперболического уравнения / A.A. Кунгурцев // Тр. матем. центра им. Н.И. Лобачевского Казань, 2002. - Т.18. - с.49-51.

2. Кунгурцев А. А. Характеристические задачи с нормальными производными для одного трехмерного гиперболического уравнения / A.A. Кунгурцев // Тр. матем. центра им. Н.И. Лобачевского Казань, 2003-Т.19.-С.137-138.

3. Кунгурцев A.A. Характеристические задачи с нормальными производ-

ными для одного четырехмерного гиперболического уравнения / A.A. Кунгурцев // Тр. матем. центра им. Н.И. Лобачевского Казань, 2005. - Т.30. - с.91 - 93.

4. Кунгурцев A.A. Об одном n-мерном варианте задачи Гурса / A.A. Кунгурцев // Тр. матем. центра им. Н.И. Лобачевского Казань, 2005.-Т.31. - с.83 - 85.

5. Кунгурцев A.A. Об одном гиперболическом уравнении в трехмер-ном пространстве / A.A. Кунгурцев // Изв. вузов. Математика. - 2006. -№3. -С. 76-80.

6. Кунгурцев A.A. О характеристических граничных задачах для квазилинейного аналога уравнения Бианки в четырехмерном пространстве / A.A. Кунгурцев // Казанский ун-т. - Казань, 2007. - 25с. -деп. в ВИНИТИ 27.06.2007, №681-В2007.

7. Жегалов В.И. Построение решения задачи Гурса для уравнения Лиувилля / В.И. Жегалов, A.A. Кунгурцев // Тр. матем. центра им. Н.И. Лобачевского Казань, 2006. - Т.34. - с.96 - 100.

8. Жегалов В.И. Три задачи для уравнения Лиувилля / В.И. Жегалов, A.A. Кунгурцев // Тез. докл. конф. "Дифференциальные уравнения и их приложения". - Самара, 2007. - С. 49 - 52.

9. Жегалов В.И. О характеристических граничных задачах для уравнения Лиувилля / Жегалов В.И., Кунгурцев A.A. // Изв. вузов. Математика. -2008.-№11.-С. 40-47

В совместных работах [7] - [9] В. И. Жегалову принадлежат постановки задач и общие рекомендации по их решению. При этом [9] представляет собой подробное изложение результатов, анонсированных в [7], [8].

Отпечатано с готового оригинал-макета в типографии Издательства Казанского государственного университета им. В.И. Ульянова-Ленина Тираж 110 эск. Заказ 19/10

420008, ул. Профессора Нужина, 1/37 тел.: 231-53-59, 292-65-60

Введение.

Глава 1. Задача Гурса.

§ 1. Плоский случай.

1.1. Существование решения.

1.2. Единственность.

§ 2. Пространственная задача (п=3).

2.1. Существование решения.

2.2. Единственность.

§ 3. Распространение на случай любого п> 4.

3.1. Четырехмерный вариант.

3.2. О любом конечном п>4.

Глава 2. Задачи с нормальными производными в граничных условиях для уравнения общего вида.

§ 4. Случай двух независимых переменных.

4.1. Задача с условиями второго рода.

4.2. Уравнения для определения фк через у к.

4.3. Условия и характер разрешимости задачи.

4.4. О задаче с условиями третьего рода.

§ 5. Задача в пространстве.

5.1. Уравнения для определения <рк через у/к.

5.2. Условия и характер разрешимости задачи.

§ 6. Четырехмерная задача.

6.1. Уравнения для определения <рк через у/к.

6.2. Характер разрешимости краевых задач.

§ 7. Распространение результатов на случай любого конечного числа измерений.

Глава 3. Задачи для уравнения Лиувилля.

§ 8. Задача Гурса.

8.1. Вывод формулы решения задачи Гурса.

§ 9. Задачи с нормальными производными в граничных условиях.

9.1. Задача с условиями второго рода.

9.2. Задача с условиями третьего рода.

9.3. Задача с вторыми нормальными производными.

Рассматриваемые в диссертации задачи связаны с уравнением д"и дхх.дхг пи), (0.1) где дифференциальный оператор общего вида порядка п-1, содержащий лишь производные от искомой функции, получаемые из левой части этого уравнения путем отбрасывания, по крайней мере, одного дифференцирования, и саму функцию. В соответствии с классификацией из [1, с. 15-16] «данное уравнение относится к гиперболическому типу. При п = 2 это есть хорошо известное в математической физике уравнение иху=/(х,у,и,их,иу). (0.2)

Уравнения вида (0.1) с линейным оператором Г используются при изучении процессов вибрации и других ситуаций из механики и математической физики, а также играют существенную роль в теориях аппроксимации и отображений [3, с. 63,109].

Первыми исследователями линейного варианта уравнения (0.1) являются Л. Бианки [64] и О. Никколетти [66], предложившие распространение на случай любого п метода решения задачи Коши, разработанного в свое время Б. Риманом для уравнения иху = а(х, у)их + Ь(х, у)иу + с(х, у)11 + /(х, у). (0.3)

Этот же метод потом разрабатывали Е. Лаэ [65] и М. К. Фаге [54]-[56], в том числе в связи с операторно-аналитическими функциями и проблемой эквивалентности дифференциальных операторов. Различные вопросы, относящиеся к линейному уравнению вида (0.1), изучались также С. С. Харибегашвили [57]-[63], В. Ф. Волкодавовым, И. Н. Родио-новой, А. В. Дорофеевым, Н. Я. Николаевым, В. Н. Захаровым [5] - [8], О. М. Джохадзе [9].

Начиная с 1990 года, тематика, связанная с линейным вариантом уравнения (0.1), развивается в работах В. И. Жегалова и его учеников В. А. Севастьянова, Н. А. Миронова, Е. А. Уткиной, М. П. Котухова, О. А. Кощеевой, Е. А. Сайгушевой ([10]-[26], [30], [31], [38]-[41], [4446], [49], [51], [52], [67]-[69] и др.). Результаты, опубликованные до 2004 года, отражены в монографии [19] и обзорной статье [22].

Предлагаемая диссертация посвящена исследованию вопросов разрешимости задач, в граничных условиях которых участвуют нормальные производные от искомой функции. При этом уравнение (0.1) является нелинейным, а рассматриваемая область образована характеристиками данного уравнения (подобные задачи называют обычно характеристическими).

Отметим, что нелинейные уравнения вида (0.1) встречаются при исследовании многочисленных процессов и явлений. Только в коллективной монографии [4, с.6,33] для синус-уравнения Гордона (СГ -уравнение) ия-ии=!апи (0.4) указываются такие области его приложений: дислокации в кристаллах, джозефсоновские контакты, спиновые возбуждения в жидком гелии, наносекундные и более короткие резонансные оптические импульсы, волны зарядовой плотности в одномерных органических проводниках, модели теории поля, двумерные вихревые модели в статистический механике. Известны также двойное СГ-уравнение [4, с. 124] и„ - и„ = ±(5шС/ + - Шп - и) (0.5) и тройное [4, с. 125]

Ua - U„ = SinU + +1Sin|U, (0.6) которые описывают распространение строго резонансных пиков оптических импульсов сквозь невозбужденную поглощающую среду. Уравнения типа (0.5) встречаются также [4, с. 125] в квазиодномерной конденсатной теории волн плотности заряда. Левые части уравнений

0.4)-(0.6) в преобразованных переменных £ = > Л - ~~~ записываются в форме U^, то есть все эти уравнения приобретают вид

0.2). Поэтому некоторые авторы СГ-уравнением называют (см., например [1, с. 323]) соотношение

Uxy=SinU. (0.7)

Рассматриваемые граничные условия представляют собой значения нормальных производных на границе области. Такие задачи соотносятся с условиями задачи Гурса подобно тому, как в теории эллиптических уравнений условия задачи Неймана соотносятся с условиями задачи Дирихле. В математической физике принято еще называть условия задач Дирихле и Неймана условиями первого и второго рода соответственно [48, с.41]. Вероятно, первая задача с нормальной производной в граничном условии для уравнения (0.3) встречается в работе [42]. При этом основной является задача для уравнения смешанного типа, а ситуация с нормальной производной на характеристике носит вспомогательный характер и рассматривается лишь в той мере, в которой это необходимо для основной задачи. В публикациях [57]-[63] для уравнения (0.3), в том числе векторно-матричного, изучаются в характеристических и нехарактеристических областях задачи с граничным соотношением вида aUx+pUy+7U = f. (0.8)

Очевидно, если это соотношение задано на характеристике х = const и а = 1, Р = у = 0, то мы имеем граничное условие обсуждаемого вида, представляющее собой как бы предельный случай формулы (0.8). В [57]-[63] применяются методы функционального анализа и выделяются лишь случаи однозначной разрешимости в определенном функциональном классе. В работах же [11], [18], [40], [69] используется другой подход, и выясняется, что характер разрешимости рассматриваемых задач существенно зависит от коэффициентов уравнения: решение может быть не только единственным, но и содержать в себе определенный произвол.

Именно в связи с работами [11], [18], [40], [69] и возникла тема данной диссертации: мы изучаем возможности распространения результатов этих работ на случаи нелинейных уравнений вида (0.1). Таким образом, содержание предлагаемой диссертации можно рассматривать как дальнейшее развитие результатов, полученных в последние годы другими авторами для линейных уравнений.

В процессе проводимых в диссертации рассуждений просматриваются определенные аналогии с результатами из [11], [18], [40], [69] (см. также [19, гл. 2]). Как и в указанных работах, исследование основано на редукции изучаемых ситуаций к задачам Гурса. Поэтому первая глава, носящая вспомогательный характер, посвящена изложению в удобной для дальнейшего использования форме результатов, относящихся к задаче Гурса для уравнения (0.1) с нелинейным оператором F(U). Для искомой функции и правой части уравнения (0.1) в рассуждениях требуется определенная гладкость.

В связи с этим будем через С(а'.0 обозначать класс функций с

3А+-+А, непрерывными производными —--— для всех 0<рк<ак, к = \,п. В дх{' .дх„ наиболее простом случае п = 2 задача Гурса рассматриваемая в области £) = {х0 < х < х1, у0 < у < ух}, заключается в отыскании функции х,^)бС(и)(£))ПС(М)(/)), являющейся в Б решением уравнения (0.2) и удовлетворяющей условиям и{х,у0) = срх{х), х е [х0,х,], и(х0,у) = <р2(у), уе[у0,ух]. (0.9)

В силу непрерывности 17(х,у) в В должно выполняться равенство <РхЫ = <р2(у0).

Функция в (0.2) определена в ВхТ, где

Т = {-оо < гк < +оо, к = 1,2,3}. Путем линейной замены переменных х = х0 + у = у0+т],(к= (к0 +вк (к = 1,2,3) можно привести (0.2) к аналогичному уравнению в переменных ^,г\,дх,вг,въ. Поэтому далее мы ограничимся случаем х0 = у0 = =0 (к = 1,2,3). Граничные же условия (0.9) приобретают вид и(х,0) = ъ(х),и(0,у) = <р2(у), ъ(Р) = ъ(0). (0.10)

В случае, когда / линейна по , то есть уравнение (0.2) имеет вид иху (*> у) = у)их (х, у) + Ъ{х, ууи у {х, у) + с(х, у)Ц (х, у) + g(x, у), задача ранее изучена методом последовательных приближений [48, с. 122]. При этом приближения равномерно сходятся к единственному решению, определяемому во всей области Б.

В [50, с. 205] этот же метод применен в случае нелинейной функции /, удовлетворяющей в «ячейке»

0<х<х,, 0<у<ух, р\<Ь, рх\<Л + Ь', \иу\<Л + Ь" (0.11) условию Липшица

IДх,у,и\и;,и;)~лх,у,и~,w;,и;)\ <

Щи>-и"\+\и;-и;'\+\и; -w;\). (0.12)

При этом Я= max (1^,'Ur/?'I), b,b',b"~ любые положительные числа, А

0,*,][0,у,] некоторая положительная постоянная. Получаемое при этом решение строится в прямоугольнике R, определяемом неравенствами

0<x<h, 0<у<к, h = mm(x:,^~, Ь =), к = тт(ух,^-, Ь =), м 2л/Я2 +ЬМ м 2лЫ + ЬМ

М - верхняя граница ]/] в ячейке (0.11). Как мы видим, решение получается здесь в прямоугольнике, который может совпадать с D лишь в случае достаточно больших b,b',b", но в остальном эти константы остаются неопределенными. Это обстоятельство не позволяет нам применить данный результат к исследованию более сложных задач во второй главе. В § 1 главы 1 доказано , что метод последовательных приближений все же позволяет получить нужный результат, если функция / задана на множестве DxT с неограниченными компонентами tx,t2,t2 А именно, имеет место

Теорема 1.1. Если (рх еС'[0,х], фг еС1[0,у], а функция f(x,y,tx,t2,t3) непрерывна в D по (х,у) и ограничена на мноэюестве DxT, где Т -{-оо <tk< +оо, k = 1,2,3}, а также удовлетворяет неравенству (0.12), то в области D существует единственное решение задачи (0.2),(0.10).

Приведены примеры, показывающие, что при нарушениях условий этой теоремы решение может быть не единственным, или процесс последовательных приближений не сходится.

В §§ 2-3 показывается, каким образом теорема 1.1 может быть распространена на случай любого конечного п.

Автор не претендует на новизну сформулированных в первой главе результатов, поскольку нет уверенности в том, что они не были получены ранее: ведь рассматривается очень известная задача. С другой стороны, без этих результатов рассуждения из следующей (второй) главы не могут быть обоснованы.

Во второй главе формулируются и исследуются задачи для уравнений вида (0.1) с граничными условиями, предусмотренными в названии диссертации. При этом наложенных на ^(17) в первой главе условий оказывается недостаточно: оператор ^(£7) должен допускать выделение линейной части, а остающееся нелинейное слагаемое имеет заданную структуру по производным от искомой функции. Характер разрешимости задач зависит от коэффициентов линейной части, а в схеме рассуждений появляется для каждого случая необходимость в неоднократном применении метода последовательных приближений.

В случае двух независимых переменных вводятся функции а(х,у), Р(х,у)<аС(Ц), с помощью которых рассматриваемое уравнение должно представляться в виде иху+аих +Ьиу +си = Дх,у,и,аих,/Зиу). (0.13)

Если считать х0 =у0=0 (это не нарушает общности рассуждений), то требуется еще, чтобы выполнялись условия а(х,0) = 0, хе[0,Х1], /3(0,У) = 0, ^[0,^]. (0.14)

Функция /(х, у, г,, ) непрерывна в £> по х, у, определена и ограничена при любых значениях ¿¿(£ = 1,3) из интервала (-оо,+оо), а ткаже удовлетворяет по ^ условию Липшица.

Задача 2.1 заключается в отыскании решения уравнения (0.13) по граничным условиям, получающимся путем замены в (0.10) хотя бы одного из значений искомой функции значением ее нормальной производной из набора иу(х,0) = ^(х), хе[0,х,1 их(0,у) = у2(у), у^[0,у{]. (0.15)

Если условия типа (0.9) обозначить через Г, а типа (0.15) — через Ы, то в сформулированной задачи содержатся три варианта: ГЫ, КПГ и NN. Поэтому для редукции к задаче Гурса (ГГ) нужно уметь по соотношениям (0.15) отыскивать функции <р1 (х), (р2 О). Это делается с помощью исследования интегральных уравнений, которые являются нелинейными и могут быть при соответствующих условиях решены методом последовательных приближений. Указанные условия имеют вид:

6(0,^*0, у<=[0,уг]; (0.16) а(л:,0)*0, х е [0,*,]; (0.17)

6(0,.у) = 0, с(0,у)Ф0, ^шт|с(0,^)|<15 уе[0,ух], (0.18) ф;,0) = 0, с(х,0) Ф 0, А тт|с(х,0)| < 1, ^[О,^], (0.19)

0) + 6(0,0)^! (0) = (0) + а(0,0)у/2 (0). (0.20)

В результате выведена

Теорема 2.1. Варианты ГЫ и ЫГ однозначно разрешимы при условиях (0.16) и (0.17) соответственно. Вариант NN разрешим с точностью до одной произвольной постоянной при условиях (0.16), (0.17). Этот же вариант разрешим однозначно либо при (0.16), (0.19), либо при (0.17), (0.18), а однозначная разрешимость при дополнительном условии (0.20) имеет место, если выполняются соотношения (0.18), (0.19).

Далее в этой главе рассматриваются случаи, относящиеся к п>Ъ. В случаях и = 3,4 аналоги уравнения (0.13) имеют соответственно вид u^ +oUxy + bUxy+cUy2+dUx+eUy+gUz+hU = f{x, у, z,U,Wx,MUy, vUz, aUxy tfiU„tjU^. (0.21)

Uxyzt + aUxyz + bUxyl + cUX2t + dUyzl + eUxy + 1UXZ + gUxl + + hUyz + kUyl + sUzl + mUx + nUy + pU z + qU, + rU =

0.22) /(*> y, z, t, U, axUx ,a2Uy, aJJ z ,aAUn a5Uxy, a6Uxz, anUxt,

8 Uy,, a9 U yt ,al0Uzt,au Uxyz, a12 Uxyt, auUxzt, au Uyzl).

Функции X,fi,v,a,p,y,ak,aks^C{0,m{D) и удовлетворяют условиям, обобщающим (0.14).

Для любого конечного «аналогом (0.21) - (0.22) будет уравнение ихл.х„ +L(U)= f(Xl,.,x„,V), (0.23) где

L(U) = a\UXi Xi[ +а\их^л +. + almUXi^ + a]UХх ^ г + a22U +. + a2mUX}^ + . + arlUXi +a"2-lUXi + . + <X +a?U, V ={ U,a\UXx ,.,а1тиХп,а^ихл ,.,anx'lU}, ml, = C'n, i = 1,n -1, arp, p = 1,mnx, r = 1,n -1 - непрерывные на D функции.

В случае п = 3 решение отыскивается в области £> = {0 < * < л:,, 0<j><.y1,0<z<z1}. Если не считать варианты задач, получающиеся переменой ролей независимых переменных, получим три задачи. Например, естественно выбрать NTT, NNT и NNN. Это есть (соответственно) задачи с условиями

Uх (0, у, z) = у/ъ (у, z), £/(x,0, z) = <р2 (х, z), Щх, .у,0) = <р, (х, у), (0.24)

Ux(0,y,z) = y/^y,z), Uy(x,0,z) = \i/2{x,z), U(x,y,0) = <px{x,y), (0.25) Ux(0,y,z) = iy3(y,z) Uy(x,0,z) = y/2(x,z), Uz(x,y,0) = yl(x,y). (0.26)

Для отыскания <рх, ср2, сръ здесь получаются интегральные уравнения на гранях х = 0, у = О, 2 = 0. На грани х = 0 условия, играющие роль (0.16)-(0.19) (с добавленными к ним соотношениями, обобщающими (0.14)), имеют вид

1) у(0,у,г) = 0, с(0,у,г)*0.

2) у(0,у,г) = 0, ^(0,у,2) = 0> У(0,у,г) = 0, с(0,у,г) = 8{0,у,2) = 0, е(0,у,г)*0. (0.27)

3) у(0,у,г) = 0> /л(0,у, г)-0, у(0,у,2) = 0, с(0, у, г) = е(0, у, 2) = 0, ^(О, .у, 2) * 0.

4) у(0,у,г) = 0, М(0,у,г) = 0, у(Р,у,г) = 0, с(0,у,2) = е(0,у,г) = ^(О,* г) = 0, /2(0,у,2)*0, Лтш|й(0,у,¿)\ < 1. Для у = 0, 2 = 0 записываются аналоги 1) - 4).

Наиболее простым является вариант №Т. Здесь достаточно (0.27) и верна

Теорема 2.2. Если <рх еС(и)(£), р2 еС(и)(7), ^еС^Й, у(0,у,2) = 0, /л{0,у,г) = 0, у/(0,>»,г) = 0, а функция / удовлетворяет условию Липшица, то в области й решение задачи ИГГ при всех вариантах условий 1) — 4) определяется однозначно. При этом в случае 1) требуется выполнение условий согласования (рх (0, у) = <р3 (0, у), сръ (0, г) = (р2 (0, г).

В варианте ЫЫГ требуется комбинировать варианты 1) - 4) при х = 0 и у = 0. Всего их восемь: 11, 12, 13, 14, 22, 24, 33, 44 (пишем номера вариантов подряд без скобок и отбрасываем комбинации, получающиеся переменой ролей соответствующих случаев на X, У. Отметим особо, что есть неосуществимые варианты, например, в случае 23 ^(0, у,г) = 0 и g(x,Q,2)*:Q. Каждый из реализуемых вариантов 11, ., 44 характеризует наличие произвольных функций и условий согласования при редукции к задаче Гурса. Выпишем комбинации, характеризующие случаи 11,., 44, в виде таблицы.

Комбинации Произвольные функции Условия согласования

11 <Рг (0,г) Ч>\ (0,>0 = Рэ 4>г О,0) - <рх (х,0), (р3(0,г) = <р2 (0, х).

12 <р2(0,г)

13 <Рг (°>2) (0, >0 = <Ръ (0, У), (р2 (х,0) = <р, (х,0), <р3(0,г) = <р2(0,г).

14 (р2{ 0,2) <Рх (0>У) = <Рз <р3(0,г) = <р2(0,г).

22 <р2 (0,г) <р3(0,г) = <р2(0,г).

24 Отсутствуют

33 Однозначная редукция <Р\ (0) У) - <Ръ у), (р2(х,0) = <р1 (х,0),

44 Однозначная редукция Отсутствуют

Таким образом, верна

Теорема 2.3. Если р, еС{и)(2), у/2 е С(1Л)(Г), г3еС(и)(Х), /?(х,0, г) = 0, Л(х,0, г) = 0, г) = 0, а функция / удовлетворяет условию Липшица, то в области Б в случаях 33, 44 решение задачи NN.Г определяется однозначно. В варианте 24 решение определяется с точностью до произвольной функции <ръ{0,z), в остальных случаях с точностью до произвольной функции cp2{Q,z). Условия согласования отсутствуют в комбинациях 24, 44. Одно такое условие — в 22; по два — 12, 14, 33; три- 11, 13.

Для варианта NNN с помощью кодирования, аналогичного использованному в теореме 2.3 (здесь оно трехзначное), формулируется

Теорема 2.4. Если угх еC(U)(Z), еС(и)(7), ^3еС(1Л)(Х), а(х,у,0) = 0, Я(х, у,0) = 0, /и(х, ^,0) = 0, а функция / удовлетворяет условию Липшица, то в области D в случае 444 решение задачи NNN определяется однозначно. В вариантах 122, 144, 334 решение определяется с точностью до двух произвольных функций (<рхф,у), (p3(0,z) - в 122, 124; #>,((), х), " 6 334). В остальных случаях с точностью до трех произвольных функций срх (0, у), (р2 (х,0), (ръ (0, z). Условия согласования отсутствуют в комбинациях 334, 444. Два таких условия — в 122, 134, 144; три-111, 112, 113, 114, 133.

В пространстве четырех переменных ситуация еще более усложняется, но все можно просчитать подобно тому, как это делается для п = 3. При этом появляются еще произвольные функции, зависящие от двух независимых функций ( в различных сочетаниях). В случае конечного п излагаются лишь краткие сведения относительно схемы рассуждений и получаемых результатов. Добавим к сказанному, что после редукции каждого варианта рассматриваемых задач к задачам Гурса, эти последние опять, в соответствии с результатами первой главы, приходится сводить к интегральным уравнениям и применять к ним метод последовательных приближений.

К числу основных в математической физике относится еще задача с

QJJ граничным условием вида — + hU = <p (условие третьего рода). Во дп второй главе при п = 2 она тоже рассмотрена. Выяснилось, что принципиально новых моментов в схеме рассуждений не возникает. Поэтому в случаях п > 3 мы на ней не останавливаемся.

Наконец, в третьей главе рассматривается уравнение Лиувилля

Uxy = kexpU, к = const > 0. (0.28)

При - оо < и < +оо правая часть здесь неограниченна и условие Липшица для нее тоже не выполняется. Следовательно, условиям теорем из предыдущих глав это уравнение не подчиняется. Но мы здесь не используем метод последовательных приближений, а на основе известного [1, с. 321] представления решений ехри Л PWOO (0.29) строим решение рассматриваемых задач в явном виде. Функции у/,ср в (0.25) являются произвольными, но мы еще предполагаем, что р(0) = ^(0) = 1. (0.30)

В прямоугольнике D = {Q < х < а, 0 < у <Ь} рассмотрены следующие задачи.

Задача 3.1 (Гурса) с условиями

U(x, 0) = М(х), * б Р = [0,а], U (0, у) = v(y), у = [0,6], ^(0) = v(0). (0.31) Задача 3.2 с условиями, получаемыми заменой в (0.31) по крайней мере одного значения искомой функции значением ее нормальной производной из набора

Uy(x,0) = хеР, Ux(0,y) = v,00, (0-32)

Задача 3.3 об отыскании решения уравнения (0.28) по условию U(0,0) = 0 и соотношениям

Uy(x,0) + \(х)expU(х,0) = сох(х), /г,(jc) е С[0,а], /*,(*) > О,

0.33)

Ux(0,y) + h2(y)expU(0,y) = a>2(y), Щу) е С[0,6], h2(y)> 0. Задача 3.4, где решение должно быть получено по условиям, получаемым из (0.31) заменой по крайней мере одного значения искомой функции значением второй нормальной производной из набора

U}y(x,0) = M2(x), хеР, U^(0,у) = и2(у), yeQ. (0.34)

Последнюю задачу можно рассматривать как определенное продолжение исследований Е. А. Уткиной [53]. Решение задачи 1 построено в виде exp U (х, >>) =-+ -? ^

2expt/0 - A; j"[exp//(£)]í/£ J[expv(77)]t/^}2 о о где U0 = U(0,0). Очевидно, и0 известно из (0.31). При этом для к предполагается выполнение неравенства а Ь к |[ехр//(Ш£ J[exp v{r¡)]drj < 2 exp U0 . (0.36) о о

Для задач 3.2, 3.4 по аналогии с предыдущей главой рассматриваются варианты FN, NT, NN и выводятся решения, например, в случае ГК задачи 2 этим решением является ехР ---(037) к{2 ехр МО) - [v, (у) - У, т][ехрр(£)т* 0

При этом выполняется неравенство у, (b)-vx (0)] J[exp №№ < 2 exp //(0), (0.38) о играющее роль (0.36).

Заметим, что, в отличие от главы 2, здесь произвольные постоянные в решениях задач 3.2, 3.3 не появляются, решение же задачи 3.4 оказалось неединственным.

В заключение кратко перечислим основные результаты работы.

1. В пространствах различного числа измерений получены условия на правые части уравнений вида (0.1), позволяющие исследовать вопросы разрешимости рассматриваемых задач.

2. Разработан способ редукции этих задач к задачам Гурса.

3. Построена картина их разрешимости, оказавшаяся многовариантной.

4. Для уравнения Лиувилля построены в явном виде решения задач с граничными условиями первого, второго и третьего рода.

Основное содержание диссертации отражено в публикациях [25], [27], [28], [32] - [37].

Результаты, по мере их получения, докладывались на семинаре кафедры дифференциальных уравнений Казанского государственного университета и на конференциях: Международная молодежная научная школа-конференция "Лобачевские чтения - 2002", Казань 28.1101.12.2002; Шестая Казанская международная школа - конференция "Теория функций, ее приложения и смежные вопросы", Казань 27.0604.07.2003; Седьмая Казанская международная школа - конференция "Теория функций, ее приложения и смежные вопросы", Казань 27.0604.07.2005; Четвертая молодежная научная школа - конференция "Лобачевские чтения - 2005", Казань 16.12-18.12.2005 посвященная 100-летию со дня рождения профессора Б. Л. Лаптева; Пятая молодежная научная школа-конференция "Лобачевские чтения — 2006", Казань 28.1102.12.2006; Международная конференция «Дифференциальные уравнения и их приложения». — Самара, 2007г.

1. Бицадзе А. В. Уравнения математической физики. - М.: Наука, 1982.-336с.

2. Бондаренко Б. А., Саидкаримова Г. У. Задача Гурса для уравнений Манжерона и ее связь с задачей Гурса для обыкновенных дифференциальных уравнений // Качественная теория сложных систем. -Л., 1986.-С. 102-108.

3. Бондаренко Б. А. Базисные системы полиномиальных и квазиполиномиальных решений уравнений в частных производных. — Ташкент: Фан, 1987. 146с.

4. Буллаф Р., Кодри Ф. и др. Солитоны. М.: Мир, 1983. - 408с.

5. Волкодавов В. Ф., Родионова И. Н. Основные краевые задачи для одного уравнения третьего порядка в трехмерной области специального вида // Дифференц. уравнения. 1993. - Т. 29, №8.-С. 1459-1461.

6. Волкодавов В. Ф. Дорофеев А. В. Задача Коши для одного вырождающегося гиперболического уравнения третьего порядка // Изв. вузов. Математика. 1993. - №11.- С. 6-8.

7. Волкодавов В. Ф., Николаев Н. Я., Быстрова О. К., Захаров В. Н. Функции Римана для некоторых дифференциальных уравнений в 11-мерном евклидовом пространстве и их применения. Самара: «Самарский университет», 1995. — 76 с.

8. Волкодавов В. Ф., Захаров В. Н. Функция Римана для одного класса дифференциальных уравнений в трехмерном пространстве и ее применения. — Самара, 1996. — 52с.

9. Джохадзе О. М. Об инвариантах Лапласа для некоторых классов линейных дифференциальных уравнений в частных производных //Дифференц. уравнения. 2004. - Т. 40, №1. - С. 58-68.

10. ЖегаловВ. И. Трехмерный аналог задачи Гурса //Неклассические уравнения и уравнения смешанного типа — Новосибирск: Ин-т матем. СО АН СССР 1990. - С. 94-98.

11. Жегалов В. И. Связь граничных значений задачи Гурса с нормальными производными // Тез. докл. всесоюзной конф. «Условно-корректные задачи матем. физики и анализа». Новосибирск, 1992. -С. 192.

12. Жегалов В. И., Севастьянов В. А. Задача Гурса в четырехмерном пространстве // Дифференц. уравнения. 1996.- Т. 32, №10.- С. 1429-1430.

13. Жегалов В. И. Структура решений одного уравнения в частных производных // Дифференц. уравнения. — 1997, Т. 33. №2. -С. 1704-1705.

14. Жегалов В. И., Севастьянов В. А. Задача Гурса в п-мерном пространстве // Редакция Сиб. матем. журнал Новисибирск, 1997.— Деп. в ВИНИТИ 08.07.97, №2290-В97. - 4с.

15. Жегалов В. И. О трехмерной функции Римана // Сиб. матем. журнал 1997.-Т. 38, №5.-С. 1074-1079.

16. Жегалов В. И., Малышев Ю. В. О структуре решений некоторых уравнений в частных производных // Тезисы докл. научн. школы-конф., поев. 100-летию Б. М. Гагаева. Казань, 1997. - С. 92-93.

17. Жегалов В. И., КотуховМ. П. Об интегральных уравнениях для функции Римана // Изв. вузов Математика. 1998. - №1:— С. 26-30.

18. Жегалов В. И., МироновА. Н. Трехмерные характеристические задачи с нормальными производными в граничных условиях// Дифференц. уравнения. 2000. - Т. 36, №6. - С. 833-836.

19. Жегалов В. И., МироновА. Н. Дифференциальные уравнения состаршими частными производными.-Казань: Казанское матем. о-во., -2001. -226с.

20. Жегалов В. И., Баринова Н. В. Каскадное интегрирование в трехмерном пространстве // Тр. матем. центра им. Н. И. Лобачевского. Казань, 2001. - № 11. - С. 90-92.

21. Жегалов В. И., Уткина Е. А. Об одном уравнении в частных производных четвертого порядка с тремя независимыми переменными // Дифференц. уравнения. 2002. — Т.38. - №1. - С.93-97.

22. Жегалов В. И. Об одном направлении развития метода Римана // Вестник Самарского гос. техн. ун-та. Серия математическая. -2004.-Вып. 31.-С. 9-18.

23. Жегалов В. И., Кощеева О. А. Понижение порядка одного класса уравнений с частными производными // Докл. РАН. 2006. — Т. 406, №5. -С. 593-596.

24. Жегалов В. И., Уткина Е. А. Трехмерная нелокальная задача с нормальными производными в граничных условиях // Изв. РАЕН. Дифференц. уравнения.- 2006. №11. С. 86-87.

25. Жегалов В. И., Кунгурцев А. А. Построение решения задачи Гурса для уравнения Лиувилля // Тр. матем. центра им. Н. И. Лобачевского Казань, 2006.- Т.34.-С.96-100.

26. Жегалов В. И., Сайгушева Е. А. Об одном классе линейных неоднородных уравнений с частными производными // Тр. матем. центра им. Н. И. Лобачевского. Казань, 2007. - Т. 36. - С. 79-80.

27. Жегалов В. И., Кунгурцев А. А. Три задачи для уравнения Лиувилля // Тез. докл. конф. "Дифференциальные уравнения и их приложения. Самара, 2007. - С. 49-52.

28. Жегалов В. И., Кунгурцев А. А. О характеристических граничных задачах для уравнения Лиувилля // Изв. вузов. Математика.2008.-№11. С. 40-47.

29. Карташов А. П., Рождественский Б. Л. Обыкновенные дифференциальные уравнения и основы вариационного исчисл. — М.: Наука, 1986.-272с.

30. КотуховМ. П. О некоторых дифференциальных свойствах решений одного уравнения в частных производных // Изв. вузов. Математика. -1996.-№5.-С. 59-62.

31. Кощеева О. А. Один случай построения функции Римана для уравнения Бианки // Тез. докл. конф. «Дифференциальные уравнения и их приложения». Самара, 2007. - С. 68-70.

32. Кунгурцев А. А. Характеристическая задача с нормальными производными для квазилинейного гиперболического уравнения // Тр. матем. центра им. Н. И. Лобачевского Казань, 2002.- Т.18.-С.49-51.

33. Кунгурцев А. А. Характеристические задачи с нормальными производными для одного трехмерного гиперболического уравнения // Тр. матем. центра им. Н. И. Лобачевского Казань, 2003.- Т. 19.-е. 137-138.

34. Кунгурцев А. А. Характеристические задачи с нормальными производными для одного четырехмерного гиперболического уравнения //Тр. матем. центра им. Н. И. Лобачевского Казань, 2005.-Т.ЗО.-с.91-93.

35. Кунгурцев А. А. Об одном п-мерном варианте задачиГурса //Тр. матем. центра им. Н. И. Лобачевского Казань, 2005.- Т.31.-е.83-85.

36. Кунгурцев А. А. Об одном гиперболическом уравнении в трехмерном пространстве // Изв. вузов. Математика. 2006. - №3. - С. 76-80.

37. Кунгурцев А. А. О характеристических граничных задачах для квазилинейного аналога уравнения Бианки в четырехмерном пространстве // Казанский ун-т. Казань, 2007. - 25с. - деп. в ВИНИТИ 27.06.2007, №681-В2007.

38. Миронов А. Н. О построении функции Римана для одного уравнения в n-мерном пространстве // Изв. вузов. Математика. 1999. - №7. — С. 78-80.

39. Миронов А. Н. О связи граничных значений задачи Гурса с нормальными производными третьего порядка // Изв. вузов. Математика. -1999.-№Ю.-С. 23-26.

40. Миронов А. Н. Задачи типа Гурса с нормальными производными в краевых условиях. Дисс. .канд. физ.-мат. наук. -Казанск. ун-т, 1999.- 148 с.

41. Миронов А. Н. Метод Римана для уравнений со старшей частной производной в R"ll Сибирский матем. журнал.-2006. Т.47. - №3. -С. 584-594.

42. Невоструев Л. М. Задача Неймана для общего уравнения Лаврентьева Бицадзе // Дифференц. уравнения. - 1973. - Т. 9, №2. -С. 320-324.

43. Понтрягин Л. С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. -М.: ГИФМЛ, 1961.-311с.

44. Севастьянов В. А. Метод Римана для трехмерного гиперболического уравнения третьего порядка // Изв. вузов. Математика. — 1997. №5. -С. 69-73.

45. Севастьянов В. А. Вариант метода Римана для одного дифференциального уравнения в n-мерном евклидовом пространстве. Дисс. канд. физ.-мат. наук. Казанск. ун-т, 1997. - 127 с.

46. Севастьянов В. А. Об одном случае задачи Коши // Дифференц. уравнения. 1998. - Т. 34, №12. - С. 1706-1707.

47. Степанов В. В. Курс дифференциальных уравнений. -М.: ГИФМЛ, 1959.-368с.

48. Тихонов А. Н., Самарский А. А. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1972. - 735 с.

49. Тихонова (Кощеева) О. А. О конструктивном решении одной задачи Коши // Тр. матем. центра им. Н. И. Лобачевского. Казань, 2007. — Т. 36.-С. 216-218.

50. Трикоми Ф. Лекции по уравнениям в частных производных. -М.: ИЛ, 1957.— 443с. (Второе стереотипное издание: М.: Ком. Книга, 2007г.)

51. Уткина Е. А. Об одном дифференциальном уравнении со старшей частной производной в трехмерном пространстве // Дифференц. уравнения. 2005. - Т.41. - №5. - С.697-701.

52. Уткина Е. А. К общему случаю задачи Гурса // Изв. вузов. Математика. 2005. - №8. - С. 57-62.

53. Уткина Е. А. Новые варианты характеристических задач для псевдопараболических уравнений//Дисс. .канд. физ.-мат. наук. Казань, 1999.-140 с.

54. Фаге М. К. Дифференциальные уравнения с чистосмешанными производными и главным членом // Докл. РАН. 1956. - Т. 108, №5. С. 780-783.

55. Фаге М. К. Задача Коши для уравнения Бианки // Матем. сб. 1958.Т. 451 (87), №3. - С. 281-322.

56. Фаге М. К., Нагнибида Н. И. Проблема эквивалентности обыкновенных линейных дифференциальных операторов. — Новосибирск: Наука, 1987.-290с.

57. Харибегашвили С. С. Задачи Гурса для одного класса гиперболических систем // Дифференц. уравнения. 1981. - Т. 17, №1. - С. 157-164.

58. Харибегашвили С. С. О задачах типа Гурса для одного класса систем уравнений гиперболического типа второго порядка // Дифференц.уравнения. 1982. - T. 18, №1. - С. 152-166.

59. Харибегашвилли С. С. О разрешимости задачи Гурса для нормально гиперболических систем второго порядка с переменными коэффициентами//Диф ференц. уравнения. 1983. — Т19, №1.-С. 134-135.

60. Харибегашвили С. С. Об одной граничной задаче для нормально гиперболических систем второго порядка // Дифференц. уравнения. 1984. - Т. 20, №2. - С. 269-272.

61. Харибегашвили С. С. Об одной граничной задаче для гиперболического уравнения второго порядка // ДАН СССР. — 1985. Т. 280, №6.-С. 1313-1316.

62. Харибегашвили С. С. Об одной граничной задаче для нормально гиперболических систем второго порядка с переменными коэффициентами // Дифференц. уравнения. 1985. - Т. 21, №1. — С. 149-155.

63. Харибегашвили С. С. Граничные задачи для систем линейных дифференциальных уравнений второго порядка гиперболического типа. Автореферат дисс. . д-ра физ.-мат. наук. — Тбилиси, 1986. — 31 с.

64. Bianchi L. Sulla estensione del método di Riemann alle equazioni lineare alle derívate parziali d'ordine superiore //Atti R. Accad. Lincei. Rend. Cl. Sc. fis, mat. e nature. 1895. - Yol. IV, 1 sem. - P. 89-99, 133-142.

65. LahayeE. La metode de Riemann appliqué a la resolution d'une catégorie d'équations lineares de troisième ordre // Bull. cl. sei. Acad. Roy. de Belg. 1946. - 5 serie. - V. 31. - P. 479-494.

66. Niccoletti O. Suif estensione del método di Riemann alie equazioni lineare a derívate parziali d'ordine superiore // Atti R. Accad. Lincei. Rend. Cl. Sc.fis, mat. e nature. 1895. - 1 sem. - P. 330-337.

67. Utkina E. A. On a partial differential equation in 4 dimensional Eucliden space // Lobachevskii Journal of Mathematics. - 2005. - V.18. -P.151-175.