Зарядовые состояния в андреевской квантовой точке тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

Учреждение Российской акаделпш наук Институт теоретической физики им. Л.Д. Ландау РАН

САДОВСКИЙ Иван Александрович

Зарядовые состояния в андреевской квантовой точке

01.04.02 - Теоретическая физика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

На нравах рукописи

004606113

Москва - 2010

004606118

Работа выполнена в Учреждении Российской академии наук Институт теоретической физики им. Л Д. Ландау РАН, г. Черноголовка.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук

Лесовик Г. Б.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук

Рязанов В. В.

доктор физико-математических наук Копнин Н.Б.

Ведущая организация: Учреждение Российской академии наук Институт радиотехники и электроники им. В.А. Котельникова РАН, г. Москва.

Защита состоится 24 июня 2010 г. в 11 часов 30 минут на заседании диссертационного совета Д 002.207.01 при Институте теоретической физики им. Л.Д. Ландау РАН, расположенном по адресу: Ц2432, Московская обл., г. Черноголовка, ул. Институтская, д. 2, Институт физики твердого тела РАН.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института теоретической физики им. Л.Д. Ландау РАН.

Автореферат разослан 21 мая 2010 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета,

доктор физико-математических наук

Гриневич П. Г.

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Около пятидесяти лет назад было установлено, что сверхпроводящая фаза <р связана с бездиссипатиипым током, а разность фаз <р на контакте приводит к возникновению джозефсоновско-го тока [1]. За пять лет до этого было обнаружено, что в массивном сверхпроводнике изменение фазы па 2тт порождает магнитный вихрь [2]. Намного позже было показано, что в сверхпроводящих вихрях содержится заряд, много меньший заряда электрона [3, 4], что является следствием нарушения электронно-дырочной симметрии. В дайной работе показано, что нарушение электронно-дырочной симметрии порождает заряд, локализованный в металлической квантовой точке, присоединенной к сверхпроводящему кольцу (так называемая андреевская квантовая точка). Этот заряд изменяется непрерывным образом при изменении потенциала затвора Уе и разницы фаз между сверхпроводящими берегами ц>, поэтому в общем случае он оказывается нецелым. Это проявляется для основного и дважды возбужденного (с четным количеством боголюбов-ских квазичастиц) состояний, в то время как единожды возбужденное (с нечетным количеством квазичастиц) состояние песет целый заряд. Отсюда, в частности, следует, что заряд возбуждения является нецелым.

Как известно, физика конденсированного состояния преимущественно имеет дело с целыми зарядами, даваемыми зарядом электрона е, однако в многочастичных задачах могут возникать дробные заряды, например в дробном квантовом эффекте Холла [5-7] или в Латтинжеровской жидкости [8-10], где они возникают из-за усреднения по времени. Заряд, описываемый в данной работе, также возникает из-за усреднения по времени, однако не имеет фиксированного дробного значения и изменяется непрерывным образом под воздействием внешнего параметра — разницы

сверхпроводящих фаз 1р. Появление дробного заряда не связано с тем, что мы рассматриваем пространственную область, в которой находится только часть волновой функции, в действительности заряд полностью локализован в области квантовой точки.

Дробный заряд можно наблюдать, следя за соответствующим телеграфным сигналом, который возникает вследствие стохастического заселения андреевских уровней, или наблюдая зависимость заряда от магнитного потока, проникающего в сверхпроводящее кольцо. Последний факт позволяет думать о возможности создания прибора для измерения слабых магнитных полей на основе андреевской квантовой точки.

Первые джозефсоновские контакты изготавливались с использованием окиси или нормального металла, помещенного между двумя сверхпроводниками [11]. Прогресс в области нанотехнологий позволил изготавливать джозефсоновские контакты на основе мезо- и наноструктур [12-16]. Среди них одной из самых популярных структур является квантовая точка. В то же время, в современных экспериментальных работах появилась возможность включать наномеханические элементы в электрические цепи. В частности, такими элементами могут служить углеродные наиотрубки [15, 16], а также единичные [12, 13] или двойные [17, 18] молекулы. В данной работе изучается влияние наномеханических эффектов на заряд квантовой точки, присоединенной к сверхпроводящим берегам через туннельные барьеры.

Цель работы состоит в изучении заряда андреевской квантовой точки с фундаментальной и прикладной точек зрения. В данной диссертационной работе рассматриваются кулоновское взаимодействие и наномеханические эффекты. Обсуждается возможность создания прибора для измерения слабых магнитных полей на основе андреевской квантовой

точки.

Основные результаты диссертации, выносимые на защиту, состоят в следующем:

1. Показано, что квантовая точка, присоединенная через туннельные барьеры к сверхпроводникам, песет в себе непрерывно настраиваемый, а поэтому нецелый, заряд. Этот заряд возникает из-за электронно-дырочной асимметрии и зависит от разницы сверхпроводящих фаз между сверхпроводниками и потенциала затвора. Вычислен заряд основного состояния и заряд возбуждения. Обсуждаются квантовые флуктуации зарядов, а также флуктуации, возникающие из-за электрон-фононного взаимодействия и флуктуаций потенциала затвора. Кулоновское взаимодействие учтено в пределе бесконечной сверхпроводящей щели. При некоторых значениях фазы и напряжения затвора оно приводит к качественному изменению основного состояния с обычного синглетного на дублетное. Исследовано масштабирование эффекта для нескольких каналов (точно) и большого числа каналов (в приближении среднего поля).

2. Обсуждается новый тип приборов для измерения слабых магнитных полей, основанных на зависимости заряда андреевской квантовой точки от разницы сверхпроводящих фаз, а значит, и от магнитного потока, пропущенного сквозь сверхпроводящее кольцо. Изучена дифференциальная чувствительность заряда к потоку в зависимости от сверхпроводящей фазы, положения и ширины нормального уровня в точке, кулоповской энергии, температуры и других параметров.

3. Исследовано влияние механических степеней свободы на электрон-

ные свойства андреевской квантовой точки в пределе бесконечной сверхпроводящей щели. Рассчитан заряд и ток при наличии куло-новского взаимодействия и взаимодействия с механическими модами. Обсуждается энтропия фон Неймана в контексте запутанности электронной и механической подсистем. Рассчитана деформация дублетной области, а также характеристики механических степеней свободы.

Научная новизна и достоверность. Результаты диссертационной работы получены впервые, ее выводы обоснованы надежностью применявшихся при исследовании современных методов теоретической физики и подтверждаются результатами апробации работы.

Научная и практическая ценность. Полученные в работе результаты имеют как теоретическую, так и практическую ценность. Впервые заряд джозефсоновского контакта описан столь подробным образом. Рассмотрены самые интересные случаи, когда заряд непрерывным образом зависит от сверхпроводящей фазы. Обсуждается новый тип магнитометров на основе андреевских квантовых точек.

Апробация работы. Основные результаты, представленные в диссертации, докладывались и обсуждались на международной Конференции «Mesoscopic and strongly correlated electron systems — 4» в Черноголовке (2006), на Симпозиуме «Нанофизика и наноэлектроника» в Нижнем Новгороде (2007, 2010), на всероссийский Конференции МФТИ (2005-2007, 2009), а также на семинарах ИТФ им. Л.Д. Ландау, Федеральной технической школы Цюриха (ЕТН Zürich), Центра теоретической физики Университета Марселя (ОРТ CNRS Marseille) и Кафедры физики твердого тела Сакле (SPEC-CEA Saclay).

Публикации. По материалам диссертации опубликованы 2 научные работы, список которых приведен в конце реферата.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения и списка литературы.

Содержание работы

Во Введении обоснована актуальность диссертационной работы, сформулирована цель и аргументирована научная новизна исследований, показана практическая значимость полученных результатов, представлены выносимые на защиту научные положения.

Глава 1 посвящена изучению заряда андреевской квантовой точки в отсутствии кулоновского взаимодействия. Для вычислений используются уравнения Боголюбова-де Женпа для одномерной модельной системы SINIS контакта (S — сверхпроводник, I — нормальный рассеиватель, N — нормальный металл). Нормальные рассеиватели (INI) формируют квантовую точку с набором нормальных резонансов, а при подсоединении ее к сверхпроводящим берегам, добавляется андреевское рассеяние. Экспериментально андреевская квантовая точка может быть реализована с помощью нанотрубки, подвешенной между сверхпроводниками, и двух дополнительных затворов, формирующих нормальные рассеиватели, как показано на Рис. 1. Комбинация этих эффектов приводит к появлению нецелого заряда на островке, зависящего от разницы сверхпроводящих фаз в сверхпроводниках <р. Предполагается, что контакт короткий (L где L — длина контакта, а £ — длина когерентности в сверхпроводнике) и то, что только один нормальный резонанс попадает в промежуток [i?F — Д ... Ер + Д] (EF — энергия Ферми, а А — сверхпро-

ЛскПпоиа] gatcs

З\укт -

К

Де-^/2

Де»»>/2

- ЬпрогсиксЬк'Юп-'

Рис. 1. Экспериментально квантовую точку можно создать с помощью двух дополнительных затворов, которые «выжимают» электронную плотность в определенных местах и формируют эффективные барьеры с амплитудами прохождения и

водящая щель), а остальные резонансы находятся па расстояниях много больших Д. Последнее условие означает, что только один андреевский уровень находится и квантовой точке. В наиболее интересном (фазочув-ствительном) случае, когда полуширина резонанса Г и его положение относительно уровня Ферми \е0\ много меньше сверхпроводящей щели Г, |£„| <С Д энергия андреевского уровня дается выражением

£д = у^ + Рсов^/г) (1)

(выбраны только положительные гА > 0). В фазочувствительном пределе Г, |ец| <С Д мы можем ограничиться всего четырьмя состояниями под сверхпроводящей щелыо: основным состоянием без боголюбовских квазичастиц |0), единожды возбужденным состоянием с одной квазичастицей со спином вверх или вниз |1) и дважды возбужденным состоянием с двумя квазичастицами с противоположными спинами |2). Заряды этих состояний равны

<Эо = е- <ЗеХ! <31 = е, <Э2 = е + <?ех, (2)

соответственно (здесь вычтены вклады в заряд не зависящие от от всех

(а) Ideal NS boundarirs

f ,

Eleciron, £

N

\ Hole,

(b) Normai scatterers --Electron, e ^

I N I

Hole, — s

> Normal

rcsonance

Рис. 2. Происхождение дробного заряда, (а) Андреевское отражение в SNS контакте с идеальными NS границами. (Ь) Андреевское отражение в SIN1S контакте: рассеяние на INI части носит резонансный характер, что является причиной нарушения электронно-дырочной симметрии. На рисунке изображен электроноподобный резонанс (eD > 0).

резонанссщ, лежащих ниже). Тут заряд возбуждения

<5ex = e(£D/eA)-

(3)

Заряды четных состояний (синглетов) <50/2 имеют нецелый заряд, и вследствие этого они подвержены квантовым флуктуациям с дисперсией порядка заряда электрона. Заряд нечетного состояния (дублета) является хорошо определенной квантовой величиной. Заряд андреевской квантовой точки нецелый (дробный). Легче всего понять происхождение дробного заряда можно, оперируя временами пролета боголюбовских квазичастиц через нормальную область. В ЭШ контакте время пролета электрона равно времени пролета дырки (различие определяется малым отношением Д/Ер), см. Рис. 2(а). В БШИ контакте присутствуют нормальные резонансы, поэтому время, проведенное квазичастицей в состоянии электрона, больше чем в состоянии дырки, в случае электроноподобного нормального резонанса £п > 0 и, наоборот, при £и < 0 см. Рис. 2(Ь). За счет взаимодействия электронных состояний с фонопами, присутствующими в системе, могут происходить перезаселения состояний |0), |1) и |2). Переходы с изменением четности происходят с учетом непрерывно-

го спектра и, поэтому подавлены экспоненциальным фактором е-Д/*'вТ. Влияние флуктуаций напряжения затвора на флуктуации зарядов учтено подобным образом.

Глава 2 посвящена кулоновскому малому взаимодействию, Ес -С Д. Тут энергия Ес имеет порядок Ес ~ е2/2С, где С — емкость квантовой точки. В этом пределе можно снова ограничиться четырьмя упомянутыми выше состояниями и точно диагонализовать получившийся гамильтониан. Вычисляются матричные элементы оператора кулоновского взаимодействия

V = Есд2/е\ (4)

в базисе из состояний |0), | | и |2). Ненулевые элементы равны

Уоо = 2£с0о/е, Уи = Ес, ^22 = 2ад2/е, У02 = 2ЕМе. (5)

Новые энергетические уровни определяются условием совместимости следующей системы уравнений

ео + ^оо — Е

V*

02

£1 + Уп-Е

£! + Уп-Е

V,

20

А>

Ят

Р\

= 0,

где £0/2 = Т£а и £\ = еп — энергии невозмущенных состояний. Итак, кулоновское взаимодействие приводит к двум эффектам. Во-первых, состояния ¡0) и |2) смешиваются, формируя новые состояния |—) и |+) с энергиями

Е± = £ о + 2 Ес ± ^(£в+2Ес)* + ТЧовЦ<р/2); (6)

при этом состояние |0) ни с чем не смешивается и имеет энергию

Е1 = ев + Ес. (7)

Во-вторых, кулоповская энергия сдвигает энергетические уровни четных и нечетных состояний по-разному, вледствие чего при некоторых параметрах 1р н £0 основное состояние будет являться состоянием |—) с энергией Е- (синглетная область), а при некоторых — состоянием |1) с энергией Е\ (дублетная область). Для симметричной квантовой точки условие формирования основного состояния дублетом выглядит следующим образом

(е„ + 2Ес)2 + Г2 соз2(^/2) < Е2С. (8)

В Главе 3 исследуется возможность детектирования магнитного потока посредством измерения заряда андреевской квантовой точки. Показано, что зависимость заряда андреевской квантовой точки от разницы сверхпроводящих фаз может быть использована для нового типа квантовых магнитометров, которые работают по схеме «магнитный поток—>заряд андреевской точки —>детектор зарядаток» вместо обычной схемы по которой работают СКВИДы «магнитный поток —> ток». Чувствительность заряда к магнитному потоку была проанализирована как функция потенциала затвора, кулоновского взаимодействия, асимметрии квантовой точки и температуры. Для одноэлек-тронных транзисторов, как детекторов заряда, была произведена численная оценка, показывающая, что теоретическая чувствительность системы не уступает существующим СКВИДам.

В Главе 4 изучается масштабируемость эффекта в зависимости от числа андреевских уровней и геометрических характеристик контакта. В первой части этой главы изучается случай нескольких каналов. При этом используется эквивалентный, по более оправданный технически, подход туннельного гамильтониана. В случае отсутствия кулоновского

взаимодействия вклады от каждого канала в ток и заряд аддитивны. При наличии кулоновского взаимодействия состояния с одинаковой четностью могут быть смешаны, и основное состояние может даваться не только синглетным или дублетным состояниями, как в случае одного канала, но и иметь тройное, четверное и т.д. вырождение по спину и формировать триплетные, квадруплетные и т.д. состояния. Кулоновское взаимодействие в одном канале может отличаться от взаимодействия между ними (например, в случае нескольких контактов, соединенных параллельно). В случае одинакового кулоновского взаимодействия дублетные области, формируемые каждым из каналов, не перекрываются, а в случае слабого взаимодействия между каналами, могут перекрываться, создавая триплетные, квадруплетные и т.д. состояния.

Во второй части главы изучается случай многих каналов для коротких контактов сверхпроводник-нормальный металл-сверхпроводник с квадратичной дисперсией и сверхпроводник-графен-сверхпроводник с линейной дисперсией. Эффекты кулоновского взаимодействия можно оценить здесь в приближении среднего поля. В случае квадратичной дисперсии плотность состояний постоянна, и кулоновское взаимодействие сильно подавляет заряд, а в случае линейной дисперсии плотность состояний пропорциональна уровню допирования графена, и кулоновское взаимодействие не слишком сильно влияет на заряд.

Глава 5 описывает наномеханические эффекты в андреевской квантовой точке (см. точку на основе нанотрубки на Рис. 3(а) и модельную установку на Рис. 3(Ь)). Механические степени свободы описываются квантовыми гармоническими осцилляторами, а их взаимодействие — гамильтонианом, аналогичным гамильтониану электрон-фононного взаимодействия, но с фиксированными фононными модами. Исследовано

(в)

Additional gates

(b)

SWNT

Де-^/2 |U|U Д e<v/2

V E

Superconductors

\

У

Рис. 3. (а) Одностенная углеродная нанотрубка подвешена между сверхпроводящими берегами с разностью сверхпроводящих фаз <р. Заряд нанотрубки притягивается внешним электрическим полем Е. Два дополнительных затвора формируют электронные резонансы вдоль нанотрубки, создавая квантовую точку. (Ь) Модельная установка представляет собой квантовую точку с механической степенью свободы, присоединенную к сверхпроводящим берегам через туннельные переходы.

влияние механической степени свободы на заряд андреевской квантовой точки и его чувствительность к сверхпроводящей фазе: при ее наличии чувствительность в типичном случае подавляется, однако в определенных ситуациях может и возрастать. Было изучено влияние силы взаимодействия электронной и механической подсистем на размер дублетной области в переменных ев): ее размер уменьшается по мере увеличения константы электроп-фононного взаимодействия. Ввиду этого, эффекты, которые подавляются в дублетной области, частично «восстанавливаются» при добавлении механических степеней свободы. Рассматривается энтропия фон Неймана, как характеристика запутанности между электронной и механическими степенями свободы. В отсутствии кулоповско-го взаимодействия максимальное значение энтропии 5тах = 1п 2 достигается при <р = 7Г и е0 = 0, а при непулевом кулоновском взаимодействии — £>тах < 1п2 на границе дублетной области. Также даны описания механических характеристик, например, вычислены энергии, запасенные в

колебательных модах.

В Заключении сформулированы основные результаты работы.

Выводы.

1. В работе был детально изучен заряд андреевской квантовой точки. Было показано, что он локализован в области квантовой точки и непрерывным образом зависит от разницы фаз между сверхпроводниками. Были изучены флуктуации заряда за счет электрон-фоион-ного взаимодействия и за счет флуктуаций потенциала затвора.

2. В данной задаче кулоновское взаимодействие может приводить к перестройке синглетного основного состояния в дублетное. В то время как в синглетном состоянии течет джозефсоновский ток и заряд зависит от фазы, в дублетном состоянии бездиссипативный ток отсутствует, а заряд является целым. При увеличении зарядовой энергии «размер» дублетной области в координатах (¡р,£0) увеличивается.

3. Предложена концепция нового прибора для измерения магнитного потока, где андреевская квантовая точка выступает в качестве рабочего элемента. Изучена дифференциальная чувствительность. Оценки показывают, что теоретическая чувствительность прототипа не уступает чувствительности существующих СКВИДов. Было исследовано масштабирование эффекта в случае нескольких и в случае большого количества каналов. Показано, что влияние куло-новского взаимодействия в случае линейного спектра (в графене) существенно слабее чем в случае квадратичного спектра (в металле).

4. Изучена андреевская квантовая точка с паномеханпческнм элементом. Показано, что взаимодействие с механической степенью свободы уменьшает размер дублетной области, выступая, таким образом, как отрицательное кулоиовское взаимодействие. В типичном случае при увеличении силы взаимодействия с механическим элементом, критический ток и максимальная чувствительность заряда к фазе надают, однако при некоторых параметрах могут и возрастать. Запутанность между электронной и механической степенями свободы была охарактеризована с помощью энтропии фон Неймана.

Публикации по теме диссертации

1. Sadovskyy I. A., Lesovik G. В., Blatter G. Continuously tunable charge in Andreev quantum dots // Phys. Rev. B. — 2007. — May. — Vol. 75, no. 19. - P. 195334.

2. Sadovskyy I. A., Lesovik G. В., Blatter G. Magnetic flux detection with an Andreev quantum dot // Письма в ЖЭТФ. - 2007. - Т. 86. - С. 239.

Литература

[1] Josephson В. Possible new effects in superconductive tunnelling // Phys. Lett. - 1962. - Vol. 1. - Pp. 251-253.

[2] Абрикосов А. А. О магнитных свойствах сверхпроводников второй группы // ЖЭТФ. - 1957. - Jun. - Т. 32, № 6. - С. 1442-1452.

[3] Khomskii D. /., Freimuth A. Charged vortices in high temperature superconductors // Phys. Rev. Lett. — 1995. —Aug. — Vol. 75, no. 7.— Pp. 1384-1386.

[4] Electrostatics of vortices in type-II superconductors / G. Blatter, M. Feigel'man, V. Geshkenbein et al. // Phys. Rev. Lett. — 1996. — Jul. - Vol. 77, no. 3. - Pp. 566-569.

[5] Laughlin R. B. Anomalous quantum Hall effect: an incompressible quantum fluid with fractionally charged excitations // Phys. Rev. Lett. — 1983.-May. - Vol. 50, no. 18.- Pp. 1395-1398.

[6] Observation of the e/3 fractionally charged Laughlin quasiparticle / L. Saminadayar, D. C. Glattli, Y. Jin, B. Etienne // Phys. Rev. Lett. — 1997. - Sep. - Vol. 79, no. 13. - Pp. 2526-2529.

[7] Observation of quasiparticles with one-fifth of an electron's charge / M. Reznikov, R. de Picciotto, T. G. Griffiths et al. // Nature. - 1999. -May. - Vol. 399, no. 6733. - Pp. 238-241.

[8] Wen X. G. Gapless boundary excitations in the quantum Hall states and in the chiral spin states // Phys. Rev. B. — 1991. — May. — Vol. 43, no. 13.-Pp. 11025-11036.

[9] Lebedev A. V., Crépieux A., Martin T. Electron injection in a nanotube with leads: finite-frequency noise correlations and anomalous charges // Phys. Rev. B. - 2005. - Feb. - Vol. 71, no. 7. - P. 075416.

[10] Fractional charge in the noise of Luttinger liquid systems / B. Ti'auzettel, I. Safi, F. Dolcini, H. Grabert // Fluctuations and noise in materials II / Ed. by P. Svedlindh, D. Popovic, M. B. Weissman. - Vol. 5843. - SPIE, 2005.-Pp. 115-123.

[11] Anderson P. W., Rowell J. M. Probable observation of the Josephson superconducting tunneling effect // Phys. Rev. Lett. — 1963.— Mar. — Vol. 10, no. 6.-Pp. 230-232.

[12] Nanomechanical oscillations in a sing]e-C<;o transistor / H. Park, J. Park, A. K. L. Lim et al. // Nature. - 2000. - Sep. - Vol. 407. - Pp. 57-60.

[13] Vibration-assisted electron tunneling in Ci4o transistors / A. Pasupa-thy, J. Park, C. Chang et al. // Nano Lett. - 2005. - Vol. 5, no. 2. -Pp. 203-207.

[14] Supercurrents through single-walled carbon nanotubes / A. Kasumov, R. Deblock, M. Kodak et al. // Science. - 1999. - Vol. 284, no. 5419. -Pp. 1508-1511.

[15] Jarillo-Herrero P., van Dam J. A., Kouwenhoven L. P. Quantum su-percurrent transistors in carbon nanotubes // Nature. — 2006. — Feb. — Vol. 439. - Pp. 953-956.

[16] Carbon nanotube superconducting quantum interference device / J.-P. Cleuziou, W. Wernsdorfer, V. Bouchiat et al. // Nature Nan-otech. - 2006. - Oct. - Vol. 1. - Pp. 53-59.

[17] Atomic dimer shuttling and two-level conductance fluctuations in nb nanowires / A. Marchenkov, Z. Dai, B. Donehoo et al. // Phys. Rev. Lett. - 2007. - Jan. - Vol. 98. - P. 046802.

[18] Alternating current josephson effect and resonant superconducting transport through vibrating nb nanowires / A. Marchenkov, Z. Dai, B. Donehoo et al. // Nature Nanotech. - 2007. - Jul. - Vol. 2. - Pp. 481-485.

Введение

Глава 1. Дробный заряд в андреевской квантовой точке

1.1. Происхождение дробного заряда

1.2. Андреевский уровень

1.2.1. Нормальные резонансы

1.2.2. Собственное состояние в SINIS контакте

1.2.3. Классификация энергетических уровней

1.3. Ток через андреевскую квантовую точку

1.4. Заряд андреевской квантовой точки

1.5. Флуктуации заряда

1.5.1. Квантовые флуктуации заряда

1.5.2. Флуктуации заряда за счет электрон-фононного взаимодействия

1.5.3. Флуктуации потенциала затвора

1.6. Измерение заряда

1.6.1. Проблемы, возникающие при измерении заряда.

1.6.2. Чувствительность заряда к фазе

1.6.3. Использование телеграфного сигнала для измерения заряда

Глава 2. Кулоновское взаимодействие

2.1. Диагонализация гамильтониана с учетом кулоновского взаимодействия

2.2. Дублетная область

2.3. Заряд и ток при наличии дублетной области

Глава 3. Измерение магнитного потока с помощью андреевской квантовой точки

3.1. Введение

3.2. Чувствительность

Глава 4. Масштабирование

4.1. Андреевская квантовая точка с несколькими каналами

4.2. Джозефсоновский контакт с большим количеством каналов

4.2.1. Контакт сверхпроводник-металл-сверхпроводник.

4.2.2. Контакт сверхпроводник-графен-сверхпроводник

4.2.3. Кулоновские эффекты в среднем поле

Глава 5. Наномеханические эффекты

5.1. Модель

5.2. Синглетная и дублетная области в присутствии колебательной моды

5.2.1. Электронные состояния без механических мод.

5.2.2. Влияние механической моды на дублетную область.

5.3. Заряд андреевской квантовой точки.

5.4. Чувствительность заряда к фазе в присутствии колебательной моды

5.5. Механические свойства.

5.5.1. Среднее отклонение осциллятора

5.5.2. Амплитуда вибраций осциллятора

5.5.3. Энергия, запасенная в колебательной моде

5.6. Энтропия как мера запутанности между электронной и механической степенями свободы.

5.7. Ток через андреевскую квантовую точку в присутствии колебательной моды.

Около пятидесяти лет назад было установлено, что сверхпроводящая фаза ip связана с бездиссипативным током, а разность фаз (р на контакте приводит к возникновению джозефсоновского тока [1, 2]. За пять лет до этого было обнаружено, что в массивном сверхпроводнике изменение фазы на 2тг порождает магнитный вихрь [3]. Намного позже было показано, что в сверхпроводящих вихрях содержится заряд, много меньший заряда электрона [4, 5], что является следствием нарушения электронно-дырочной симметрии. Андреевские состояния позволяют создавать новые электронные устройства такие как джозефсоновские транзисторы [6-8]. В этой работе мы в основном интересуемся их зарядовыми свойствами. В Главе 1 показано, что нарушение электронно-дырочной симметрии порождает заряд, локализованный в металлической квантовой точке, присоединенной к сверхпроводящему кольцу [9, 10] (так называемая андреевская квантовая точка [11], 'см. Рис. 1). Этот заряд изменяется непрерывным образом при изменении потенциала затвора Vg и разницы фаз между сверхпроводящими берегами <р, поэтому в общем случае он оказывается нецелым. Это проявляется для основного и дважды возбужденного состояний (с четным количеством боголюбовских квазичастиц), в то время как единожды возбужденное состояние (с нечетным количеством квазичастиц) несет целый заряд. Отсюда, в частности, следует, что заряд возбуждения является нецелым.

Как известно, физика конденсированного состояния преимущественно имеет дело с целыми зарядами, даваемыми зарядом электрона е, однако в многочастичных задачах могут возникать дробные заряды, например, в дробном квантовом эффекте Холла [12-14] или в Латтинжеровской жидкости [15-17], где они возникают из-за усреднения по времени. Заряд, описываемый в данной работе, также возникает из-за усреднения по времени, однако не имеет фиксированного дробного значения и изменяется непрерывным образом под воздействием внешнего параметра — разницы сверхпроводящих фаз (р.

Изменяющийся непрерывным образом заряд в мезоскопических системах обсуждается, например, в работах [18, 19]. В них появление дробного заряда обеспечивается тем, что только часть волновой функции локализована в квантовой точке. В данной работе дробный заряд полностью локализован в области квантовой точки, а оставшаяся часть волновой функции делокализована в сверхпроводящем конденсате. Обсуждаемый дробный заряд напоминает дробный заряд, связанный с возбуждениями в сверхпроводнике и обсуждаемый в контексте вопроса о релаксации заряда в неравновесной сверхпроводимости [20, 21].

Возникновение дробного заряда легче всего понять в рамках подхода самосогласованного поля и уравнений Боголюбова-де Женна. В Разделе 1.1 это объясняется качественно, а в Разделе 1.4 вычисляется количественно. Основные вычисления производятся в пределе бесконечной сверхпроводящей щели, в котором заряд андреевской квантовой точки сильно зависит от разности сверхпроводящих фаз.

Дробный заряд можно наблюдать, следя за соответствующим телеграфным сигналом, который возникает вследствие стохастического заселения андреевских уровней [9] (см. Раздел 1.5), или наблюдая зависимость заряда от магнитного потока, проникающего в сверхпроводящее кольцо. Этот факт позволяет думать о возможности создания прибора для измерения слабых магнитных полей на основе андреевской квантовой точки. Описание магнитометра и оценка его чувствительности представлены в Главе 3 этой работы.

Глава 2 посвящена малому кулоновскому взаимодействию, Ес <С А. Тут энергия Ес имеет порядок е2/2С, где С — емкость квантовой точки. В этом пределе можно снова ограничиться четырьмя упомянутыми выше состояниями и точно диагонализовать получившийся гамильтониан. Кулоновское взаимодействие приводит к двум эффектам. Во-первых, синглетные состояния смешиваются. Во-вторых, кулоновская энергия сдвигает энергетические уровни четных и нечетных состояний по-разному, вследствие чего при одних значениях параметров <р и eD

Рис. 1. (а) Схематическое устройство андреевской квантовой точки (SINIS контакта): квантовая точка, присоединенная к сверхпроводящим берегам. (Ь) Андреевская квантовая точка управляется магнитным потоком, пропущенным через сверхпроводящее кольцо. основное состояние будет являться синглетным состоянием, а при других — дублетным состоянием [22, 23].

В Главе 4 изучается масштабируемость эффекта в зависимости от числа андреевских уровней и геометрических характеристик контакта. Раздел 4.1 посвящен случаю нескольких каналов. При этом используется эквивалентный, но более оправданный технически, подход туннельного гамильтониана. В случае отсутствия кулоновского взаимодействия вклады от каждого канала в ток и заряд аддитивны. При наличии кулоновского взаимодействия состояния с одинаковой четностью могут быть смешаны, и основное состояние может даваться не только синглетным или дублетным состояниями, как в случае одного канала, но и иметь тройное, четверное и т.д. вырождение по спину и формировать триплетные, квад-руплетные и т.д. состояния. Кулоновское взаимодействие в одном канале может отличаться от взаимодействия между ними (например, в случае нескольких контактов, соединенных параллельно). В случае одинакового кулоновского взаимодействия дублетные области, формируемые каждым из каналов, не перекрываются, а в случае слабого взаимодействия между каналами, могут перекрываться, создавая триплетные, квадруплетные и т.д. состояния.

В Разделе 4.2 изучается случай многих каналов для коротких контактов сверхпроводник-нормальный металл-сверхпроводник с квадратичной дисперсией и сверхпроводник-графен-сверхпроводник с линейной дисперсией. Эффекты кулоновско-го взаимодействия можно оценить здесь в приближении среднего поля. В случае квадратичной дисперсии плотность состояний постоянна, и кулоновское взаимодействие сильно подавляет заряд, а в случае линейной дисперсии плотность состояний пропорциональна уровню допирования графена, и кулоновское взаимодействие не слишком сильно влияет на заряд.

Первые джозефсоновские контакты изготавливались с использованием окиси или нормального металла, помещенного между двумя сверхпроводниками [24]. Прогресс в области нанотехнологий позволил изготавливать джозефсоновские контакты на основе мезо- и наноструктур [25-29]. Среди них одной из самых популярных структур является квантовая точка. В то же время, в современных экспериментальных работах появилась возможность включать наномеханические элементы в электрические цепи. В частности, такими элементами могут служить углеродные нанотрубки [25, 26], а также единичные [27, 28] или двойные [30, 31] молекулы. Также популярны неравновесные эффекты в нормальных системах на основе наномехапических элементов [32-38]. В данной работе изучается влияние наномеханических эффектов на заряд квантовой точки, присоединенной к сверхпроводящим берегам через туннельные барьеры.

Глава 5 описывает наномеханические эффекты в андреевской квантовой точке (см. точку на основе нанотрубки на Рис. 2(a) и модельную установку на Рис. 2(b)). Механические степени свободы описываются квантовыми гармоническими осцилляторами, а их взаимодействие — гамильтонианом, аналогичным гамильтониану электрон-фононного взаимодействия, но с фиксированными фононными модами. Исследовано влияние механической степени свободы на заряд андреевской квантовой точки и его чувствительность к сверхпроводящей фазе: при ее наличии чувствительность в типичном случае подавляется, однако в определенных ситуациях может и возрастать.

Было изучено влияние силы взаимодействия электронной и механической пода)

Additional gates

Ь)

SWNT

Де-^/2 Ж Ж | | А А Де^/2

V Е

Superconductors ч У

Рис. 2. (а) Одностенная углеродная нанотрубка подвешена между сверхпроводящими берегами с разностью сверхпроводящих фаз <р. Заряд нанотрубки притягивается внешним электрическим полем Е. Два дополнительных затвора формируют электронные резонансы вдоль нанотрубки, создавая квантовую точку. (Ь) Модельная установка представляет собой квантовую точку с механической степенью свободы присоединенную к сверхпроводящим берегам через туннельные переходы. систем на размер дублетной области в переменных ((p,eD): ее размер уменьшается по мере увеличения константы электрон-фоионного взаимодействия. Ввиду этого, эффекты, которые подавляются в дублетной области, частично «восстанавливаются» при добавлении механических степеней свободы. Рассматривается энтропия фон Неймана, как характеристика запутанности между электронной и механическими степенями свободы. В отсутствии кулоновского взаимодействия максимальное значение энтропии Smax = In 2 достигается при <р — -к и eD = 0, а при ненулевом кулоновском взаимодействии — Smax < In 2 на границе дублетной области. Также даны описания механических характеристик, например, вычислены энергии, запасенные в колебательных модах.

В Заключении делается краткий обзор главных результатов диссертации.

В Приложении А описываются уравнения Боголюбова-де Женна, в Приложении Б эти уравнения решаются для NS-границы, SNS и SINIS контактов. Громоздкие вычисления частот перезаселения уровней за счет электрон-фононного взаимодействия и флуктуаций потенциалов затвора вынесены в Приложение В.

Приложение Г посвящено подходу туннельного гамильтониана в пределе бесконечной сверхпроводящей щели.

В конце приведен Список иллюстраций и используемая Литература.

Основные результаты диссертационной работы, выносимые на защиту, состоят в следующем:

1. Показано, что квантовая точка, присоединенная через туннельные барьеры к сверхпроводникам, несет в себе непрерывно настраиваемый, а поэтому нецелый, заряд. Этот заряд возникает из-за электронно-дырочной асимметрии и зависит от разницы сверхпроводящих фаз между сверхпроводниками и потенциала затвора. Вычислен заряд основного состояния и заряд возбуждения. Обсуждаются квантовые флуктуации зарядов, а также флуктуации, возникающие из-за электрон-фононного взаимодействия и флуктуаций потенциала затвора. Кулоновское взаимодействие учтено в пределе бесконечной сверхпроводящей щели. При некоторых значениях фазы и напряжения затвора оно приводит к качественному изменению основного состояния с обычного синглетного на дублетное. Исследовано масштабирование эффекта для нескольких каналов (точно) и большого числа каналов (в приближении среднего поля).

2. Обсуждается новый тип приборов для измерения слабых магнитных полей, основанных на зависимости заряда андреевской квантовой точки от разницы сверхпроводящих фаз, а значит, и от магнитного потока, пропущенного сквозь сверхпроводящее кольцо. Изучена дифференциальная чувствительность заряда к потоку в зависимости от сверхпроводящей фазы, положения и ширины нормального уровня в точке, кулоновской энергии, температуры и других параметров.

3. Исследовано влияние механических степеней свободы на электронные свойства андреевской квантовой точки в пределе бесконечной сверхпроводящей щели. Рассчитан заряд и ток при наличии кулоновского взаимодействия и взаимодействия с механическими модами. Обсуждается энтропия фон Неймана в контексте запутанности электронной и механической подсистем. Рассчитана деформация дублетной области, а также характеристики механических степеней свободы.

Заключение

1. В работе был детально изучен заряд андреевской квантовой точки. Было показано, что он локализован в области квантовой точки и непрерывным образом зависит от разницы фаз между сверхпроводниками. Были изучены флуктуации заряда за счет электрон-фононного взаимодействия и за счет флуктуаций потенциала затвора.

2. В данной задаче кулоновское взаимодействие может приводить к перестройке синглетного основного состояния в дублетное. В то время как в сингл етном состоянии течет джозефсоновский ток и заряд зависит от фазы, в дублетном состоянии бездиссипативный ток отсутствует, а заряд является целым. При увеличении зарядовой энергии «размер» дублетной области в координатах (</?,£D) увеличивается.

3. Предложена концепция нового прибора для измерения магнитного потока, где андреевская квантовая точка выступает в качестве рабочего элемента. Изучена его дифференциальная чувствительность. Оценки показывают, что теоретическая чувствительность прототипа не уступает чувствительности существующих СКВИДов. Было исследовано масштабирование эффекта в случае нескольких и в случае большого количества каналов. Показано, что влияние кулоновского взаимодействия в случае линейного спектра (в гра-фене) существенно слабее, чем в случае квадратичного спектра (в металле).

4. Изучена андреевская квантовая точка с наномеханическим элементом. Показано, что взаимодействие с механической степенью свободы уменьшает размер дублетной области, выступая, таким образом, как отрицательное кулоновское взаимодействие. В типичном случае при увеличении силы взаимодействия с механическим элементом, критический ток и максимальная чувствительность заряда к фазе падают, однако при некоторых параметрах могут и возрастать. Запутанность между электронной и механической степенями свободы была охарактеризована с помощью энтропии фон Неймана.

Публикации по теме диссертации

1. Sadovskyy I. A., Lesovik G. В., Blatter G. Continuously tunable charge in Andreev quantum dots // Phys. Rev. B. — 2007. — May. — Vol. 75, no. 19. - P. 195334.

2. Sadovskyy I. A., Lesovik G. В., Blatter G. Magnetic flux detection with an Andreev quantum dot // Письма в ЖЭТФ. — 2007. - Т. 86. — С. 239.

1. Josephson В. Possible new effects in superconductive tunnelling // Phys. Lett. — 1962. - Vol. 1. - Pp. 251-253.

2. De Gennes P. G. Boundary effects in superconductors // Rev. Mod. Phys. — 1964. Jan. - Vol. 36, no. 1. - Pp. 225-237.

3. Абрикосов А. А. О магнитных свойствах сверхпроводников второй группы // ЖЭТФ. 1957. - Jun. - Т. 32, № 6. - С. 1442-1452.

4. Khomskii D. I., Freimuth A. Charged vortices in high temperature superconductors // Phys. Rev. Lett.— 1995. Aug. - Vol. 75, no. 7.- Pp. 1384-1386.

5. Wendin G., Shumeiko V. Josephson transport in complex mesoscopic structures // Superlatt. and Microstruct. — 1996. — Dec. — Vol. 20, no. 4. — Pp. 569-573.

6. Supercurrents through gated superconductor-normal-metal-superconductor contacts: the Josephson transistor / D. D. Kuhn, N. M. Chtchelkatchev, G. B. Lesovik, G. Blatter // Phys. Rev. B. 2001. - Jan. - Vol. 63, no. 5. - P. 054520.

7. Sadovskyy I. A., Lesovik G. В., Blatter G. Continuously tunable charge in Andreev quantum dots // Phys. Rev. В.— 2007. —May. — Vol. 75, no. 19.— P. 195334.

8. Engstrom К., Kinaret J. Phase-dependent charges in SNS systems // Phys. Scr. — 2004. Vol. 70, no. 5. - Pp. 326-329.

9. Chtchelkatchev N. M., Nazarov Y. V. Andreev quantum dots for spin manipulation // Phys. Rev. Lett. 2003. — Jun. - Vol. 90, no. 22. - P. 226806.

10. Laughlin R. B. Anomalous quantum Hall effect: an incompressible quantum fluid with fractionally charged excitations // Phys. Rev. Lett. — 1983. — May. — Vol. 50, no. 18. Pp. 1395-1398.

11. Observation of the e/3 fractionally charged Laughlin quasiparticle / L. Saminada-yar, D. C. Glattli, Y. Jin, B. Etienne // Phys. Rev. Lett. 1997. - Sep. - Vol. 79, no. 13. - Pp. 2526-2529.

12. Observation of quasiparticles with one-fifth of an electron's charge / M. Reznikov, R. de Picciotto, T. G. Griffiths et al. // Nature. 1999.—May. - Vol. 399, no. 6733.- Pp. 238-241.

13. Wen X. G. Gapless boundary excitations in the quantum Hall states and in the chiral spin states // Phys. Rev. В.— 1991. —May.— Vol. 43, no. 13.— Pp. 11025-11036.

14. Lebedev A. V., Crepieux A., Martin T. Electron injection in a nanotube with leads: finite-frequency noise correlations and anomalous charges // Phys. Rev. B. 2005. - Feb. - Vol. 71, no. 7. - P. 075416.

15. Fractional charge in the noise of Luttinger liquid systems / B. Trauzettel, I. Safi, F. Dolcini, H. Grabert // Fluctuations and noise in materials II / Ed. by P. Svedlindh, D. Popovic, M. B. Weissman. Vol. 5843. - SPIE, 2005. -Pp. 115-123.

16. Biittiker M., Stafford С. A. Charge transfer induced persistent current and capacitance oscillations // Phys. Rev. Lett.— 1996. —Jan. — Vol. 76, no. 3. — Pp. 495-498.

17. Deo P. S., Koskinen P., Manninen M. Charge fluctuations in coupled systems: ring coupled to a wire or ring // Phys. Rev. B. — 2005. — Oct. — Vol. 72, no. 15. — P. 155332.

18. Pethick C. J., Smith H. Relaxation and collective motion in superconductors: a two-fluid description // Annals of Physics.— 1979.— Vol. 119, no. 1.— Pp. 133-169.

19. Шмидт В. Введение в физику сверхпроводников. — М.: МЦНМО, 2000.

20. Rozhkov А. V., Arovas D. P. Interacting-impurity Josephson junction: variational wave functions and slave-boson mean-field theory // Phys. Rev. В.— 2000.— Sep. Vol. 62, no. 10. - Pp. 6687-6691.

21. Sadovskyy I. A., Lesovik G. В., Blatter G. Magnetic flux detection with an Andreev quantum dot // Письма в ЖЭТФ. — 2007. Т. 86. — С. 239.

22. Anderson P. W., Rowell J. M. Probable observation of the Josephson superconducting tunneling effect // Phys. Rev. Lett. — 1963. — Mar. — Vol. 10, no. 6. — Pp. 230-232.

23. Jarillo-Herrero P., van Dam J. A., Kouwenhoven L. P. Quantum supercur-rent transistors in carbon nanotubes // Nature.— 2006.— Feb. — Vol. 439.— Pp. 953-956.

24. Carbon nanotube superconducting quantum interference device / J.-P. Cleuziou, W. Wernsdorfer, V. Bouchiat et al. // Nature Nanotech.— 2006.— Oct.— Vol. l.-Pp. 53-59.

25. Nanomechanical oscillations in a single-Сбо transistor / H. Park, J. Park, A. K. L. Lim et al. // Nature. 2000. - Sep. - Vol. 407. - Pp. 57-60.

26. Vibration-assisted electron tunneling in Сно transistors / A. Pasupathy, J. Park, C. Chang et al. // Nano Lett. 2005. - Vol. 5, no. 2. - Pp. 203-207.

27. Supercurrents through single-walled carbon nanotubes / A. Kasumov, R. Deblock, M. Kodak et al. // Science. — 1999. Vol. 284, no. 5419. - Pp. 1508-1511.

28. Atomic dimer shuttling and two-level conductance fluctuations in Nb nanowires / A. Marchenkov, Z. Dai, B. Donehoo et al. // Phys. Rev. Lett. — 2007.— Jan.— Vol. 98,- P. 046802.

29. Alternating current Josephson effect and resonant superconducting transport through vibrating Nb nanowires / A. Marchenkov, Z. Dai, B. Donehoo et al. // Nature Nanotech. 2007. - Jul. - Vol. 2. - Pp. 481-485.

30. Electromechanical instability in suspended carbon nanotubes / L. Jonsson, L. Gorelik, R. Shekhter, M. Jonson // Nano Lett.— 2005.— Vol. 5, no. 6.— Pp. 1165-1169.

31. Tunneling in suspended carbon nanotubes assisted by longitudinal phonons / S. Sapmaz, P. Jarillo-Herrero, Y. M. Blanter et al. // Phys. Rev. Lett. — 2006.— Jan. Vol. 96, no. 2. - P. 026801.

32. Ultrahigh frequency nanotube resonators / H. B. Peng, C. W. Chang, S. Aloni et al. // Phys. Rev. Lett. 2006. - Aug. - Vol. 97, no. 8. - P. 087203.

33. Witkamp В., Poot M., van der Zant H. Bending-mode vibration of a suspended nanotube resonator // Nano Lett. 2006. - Vol. 6, no. 12. - Pp. 2904-2908.

34. Ryndyk D. A., Cuniberti G. Nonequilibrium resonant spectroscopy of molecular vibrons I/ Phys. Rev. B. 2007. - Oct. - Vol. 76, no. 15. - P. 155430.

35. Tahir M., MacKinnon A. Quantum transport in a resonant tunnel junction coupled to a nanomechanical oscillator // Phys. Rev. B. — 2008. — Jun. — Vol. 77, no. 22. P. 224305.

36. Carbon nanotubes as ultrahigh quality factor mechanical resonators / A. Htiettel, G. Steele, B. Witkamp et al. // Nano Lett.— 2009.— Vol. 9, no. 7.— Pp. 2547-2552.

37. Андреев А. Теплопроводность промежуточного состояния сверхпроводников // ЖЭТФ.- 1964.- Т. 46.- С. 1823-1828.

38. Андреев А. Теплопроводность промежуточного состояния сверхпроводников II // ЖЭТФ. - 1964. - Т. 47. - С. 2222-2228.

39. Андреев А. Электронный спектр промежуточного состояния сверхпроводников // ЖЭТФ.- 1965.- Т. 49,- С. 655-660.

40. Buitelaar М. R., Nussbaumer Т., Schonenberger С. Quantum dot in the Kondo regime coupled to superconductors // Phys. Rev. Lett. — 2002. — Dec. — Vol. 89, no. 25. P. 256801.

41. Supercurrent reversal in quantum dots / J. A. van Dam, Y. V. Nazarov, E. P. Bakkers et al. // Nature. 2006.-Aug. - Vol. 442. - Pp. 667-670.

42. Chtchelkatchev N. M., Lesovik G. В., Blatter G. Supercurrent quantization in narrow-channel superconductor-normal-metal-superconductor junctions // Phys. Rev. B. 2000. - Aug. - Vol. 62, no. 5. - Pp. 3559-3564.

43. Ivanov D., FeigeVman M. Phonon relaxation of subgap levels in superconducting quantum point contacts // Pis'ma v ZhETF. — 1998. — Dec. — Vol. 68, no. 11. — Pp. 847-851.

44. Radio-frequency single-electron transistor as readout device for qubits: charge sensitivity and backaction / A. Aassime, G. Johansson, G. Wendin et al. // Phys. Rev. Lett. — 2001. Apr. - Vol. 86, no. 15. - Pp. 3376-3379.

45. Clarke J. SQUIDs for low frequency measurements // Superconductor applications: SQUIDs and machines / Ed. by В. B. Schwartz, S. Foner. — New York: Plenum Press, 1977. Pp. 67-124.

46. Fundamentals and technology of SQUIDs and SQUID systems / Ed. by J. Clarke,

47. A. I. Braginski.- Berlin, Germany: Wiley-VCH, 2004,- Vol. 1 of The SQUID Handbook.

48. Applications of SQUIDs and SQUID systems / Ed. by J. Clarke, A. I. Braginski. — Berlin, Germany: Wiley-VCH, 2004,- Vol. 2 of The SQUID Handbook.

49. Electrostatics of vortices in type-II superconductors / R. Kleiner, D. Koelle, F. Ludwig, J. Clarke // Proc. of the IEEE.- 2004.-Oct. Vol. 92, no. 10.— Pp. 1534-1548.

50. Applications of Superconductivity / Ed. by H. Weinstock. — Dordrecht, The Netherlands: Kluwer, 2000. — Vol. 365 of Series E: Applied Sciences.

51. Bipolar supercurrent in graphene / H. B. Heersche, P. Jarillo-Herrero, J. B. Oost-inga et al. // Nature. 2007. - Mar. - Vol. 446. - Pp. 56-59.

52. Fal'ko V. I., Lesovik G. B. Quantum conductance fluctuations in 3D ballistic adiabatic wires // Solid State Comm. — 1992. Vol. 84, no. 8. — Pp. 835-837.

53. Titov M., Beenakker C. W. J. Josephson effect in ballistic graphene // Phys. Rev.

54. B. 2006. - Jul. - Vol. 74, no. 4. - P. 041401.

55. Cuevas J. C., Yeyati A. L. Subharmonic gap structure in short ballistic graphene junctions // Phys. Rev. В.— 2006. Nov. - Vol. 74, no. 18.- P. 180501.

56. Electric field effect in atomically thin carbon films / K. Novoselov, A. Geim, S. Morozov et al. // Science. 2004. - Oct. - Vol. 306, no. 5696. - Pp. 666-669.

57. Two-dimensional atomic crystals / K. S. Novoselov, D. Jiang, F. Schedin et al. // Proc. Natl Acad. Sci. USA. 2005. - Vol. 102, no. 30. - Pp. 10451-10453.

58. Beenakker C. W. J. Specular Andreev reflection in graphene // Phys. Rev. Lett. — 2006. Aug. - Vol. 97, no. 6. - P. 067007.

59. Zazunov A., Feinberg D., Martin T. Phonon squeezing in a superconducting molecular transistor // Phys. Rev. Lett. — 2006.—Nov. — Vol. 97, no. 19.— P. 196801.

60. Ландау JI., Лифшиц E. Теоретическая физика: учебное пособие в 10 т. — 3-е, доп. изд. — М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1976.— Т. V. Статистическая физика, часть 1. — 584 с.

61. Huang К., Rhys A. Theory of light absorption and non-radiative transitions in F-centres // Proc. R. Soc. London, Ser. A. — 1950. — Vol. 204.- Pp. 406-423.

62. Свидзинский А. Пространственно-неоднородные задачи теории сверхпроводимости,— М.: Наука, 1982, — 312 с.63. де Жен П. Сверхпроводимость металлов и сплавов / Под ред. JT. Горькова. — М.: Мир, 1968.- 279 с.

63. Ландау Л., Лифшиц Е. Теоретическая физика: учебное пособие в 10 т. — 4-е, испр. изд.— М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1989.— Т. III. Квантовая механика (нерелятивистская теория). — 768 с.

64. Абрикосов А., Горькое Л., Дзялошинский И. Методы квантовой теории поля в статистической физике. — М.: Физматгиз, 1962. — 446 с.

65. Больцман Л. Избранные труды. — М.: Наука, 1984. — 590 с.

66. Левитов Л., Шитов А. Функции Грина. Задачи и решения. — М.: Физматлит, 2003. 392 с.