Алгебры обобщенной суперсимметричной квантовой механики: деформации и топологические индексы тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.03 ВАК РФ

РОССИЙСКАЯ АКАЛКМШ! НАУК МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ ^м.В.А.СТЕКЛОВА САП К L-il ВТЕРI» НГСКоК OT.il ЮЛ Kl 1MB

Ib арцзх; py^zcs УДК 517+ Ы4.84

ИЛЬИНСКИЙ Ктттлтт Н^тт"""1"-"

АЛГЕБРЫ ОБ О ЩЕПНОЙ СЗ'ПЕГСПММЕТПИПОЙ

КНЛНТ01ЮЙ МКХ ЛНИК И: ДЕФОРМАЦИИ II ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ИНДЕКСЫ

(U 1.U1.ÜU. — itu/rcnai иссекал Смолка,)

\ • ... j. lu л

ШТС^ПТ^ ЦГТПТ ТГЧ. ГГЖСТТЧТПТО VT^Tfnw сгвтт^ттт U« i^/üLüIibü-i.iÜ.'i1 С J.Í Iii Л. iOCZICC

САНКТ-11Р/Г1ЛРВУРГ

10D3

Налота. выполнена н лаоопа-тории матема.тк веских проблем ci w1jícxíL4cci;ü£ Сацкт-ПсюрСургского отдсг.сккзг Ма-

тематического института им.В.А.Стеклова. Российской Л

^OliUL. Uu-уК.

Hаучнни руконодитель:

до кто j ) ( ji и пи ко- м атем атк ч ес-кдх наук Похоъ B.II.

Офкцчапыте оггггояентн: доктор фнгипго-натена.ттгег-

¿:ÍL;C ui^yi; Mo-Tijceii В.Б.

калтдиди.т фттглгко-иа.тенати-мсскюс лцуа Iv'i'ii'j'opúB С.A.

Ведущая opraTii!n'în;tT!T': Сг>птт-11?тербургскгт! госу-

CJ. ijwiiAt.i-i ii. У iiü-ii L^v ^uTCT

Г. H'T'T- f ff®т^п^'рр

Залита coctoíatcjí "2V "¿f>eép¿t¿Jl ь ¡ь'^чыон ÜÜ,

СЕОТПТ!1Я!Г?ТТРОП'!1Т1ГОГО COTÍÍHV! Д.002.3404 ттртт О.пгт-Штероургсксш оïделении иь.тсигьтичссиого льстатуай. üm. В.Л.Отсетговз.Pocctiítcftoí Aira^oifiiTt ияук. (г.Сплт^т-Потсрбург, üa¿¡. ^,.27, iLOüii.3i i).

П дттсссртпцттей uo:i:tto оп!тахо1Пттт,е.т п б^бяттотстг" ПОМП.

Лигорсг! срат pLOOc.iLii ÍO^V:

УТРТГТГТГ OSrpí'Tnnl: СТГ<ЧТГ'ПГГ!ТП!ГрСТ1ЯТТт ^Oi'iOp (J/ilU.-Uii/i'Cii.ilCL^OU»' T-

сплетя.

А.И.Осколкот»

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Суперскмметричнаа квантовая теория поля является аппаратом, удобным для построения анализа в бесконечномерном пространстве [1]. Приотом су пер симметричный гамильтониан Н свяоан с супероарддом Сиграющим роль оператора Дирака на пространстве петель, соотношением II -- Идея подобного рассмстрсняя, кракагшеж.-хгцм Э. Внттеиу [2, 3, 4], была фактически реализована п работах А.Джаффе с. сотрудниками [5, 6, 1]. В втих работах кес-,е;юралея случаи, когда супср-снотенциал / яплвр-гся гошгчомиалшой функцией боронного по-г*. Однако аналко суперсат<е1 ря'пшх теории non.ii, х« и анкл&з пм-бых воаимодействующих систем с бесконечным часлом стеясмеа свободы, является крайне сложным. Поэтому необходима "лаборатория", в которой можно было бы на.более простых примерах увидеть уже найденные качественные оффекты, свойственные сложным системам.

Кроме того, суперскмиетрнчная квантовая механика может ока-оаться нолеоной при формировании нового взгляда на "старые" конечномерные оадади. Примером воонихновения такого нового взгляда может служить работа [4], в которой получены классические неравенства Морса, используя суперсимметрячность оператора Лапласа на дифференциальных формах п работа [7], и которой получена теорема Атьи-Зингера дл.я классических кпмплексоя, причем различным. комплексам отвечают различные сунероимме-тричные инволюции. Это пок^ывас тал же важность понятия инволюции суиерсииметричного гамильтониана, отмечавшейся в [8]. Именно инволюции определяют тот множитель, с готорым число нодь-мод входит в яндегс, а свойство их антиюммутаодя с су перо ар я дом приводит к топологической устойчивости индекса.

Для постороения более сложных, чем индехс Пяттсна., индексов для суперсимметричных гамильтонианов, естественно рассматривать на раду со стандартной инволюцией (-1)'к ДРУ'ие (дополнительные) инволюции, готорые бы определяли ралложения пространства состояний а веса, с хоторыми необходимо брать числа ноль-мод для достижения топшогичесноя устойчивости новых

индексов. Поотому представляется актуальным обобщить понятие алгебр супер симметричной квантовой механики л перейти к алгебрам обобщенной суперсимыетриченой квантовой механики (СЯС^М - алгебры) со многими инволюциями {т\}, которые либо коммутируют, либо антнтоммутируют между собой и аптиком-мутируют с супероарядом С

Цепь работы. Целью работы является введение алгебр обобщенной суперсимметрпн (СБС^М) со многими инволюциями, описание структур их реалшзации, введение на основе этого новых топологических индексов, связанных с дополнительными инволюциями, а также установление суяои СБС^М-алгебр с деформациями алгебры расширенно суперсимметрячной квантовой механики.

Научная новизна и практическая ценность. В диссертации получены следующие основные результаты:

1. Введены алгебры обобщенной супер симметричной квантовой механики и описала структура их представлений;

2 Введены связанные с СЗС^М- алгебрами топологические индексы;

3. Построена супер симметричные квантовые гамильтонианы на рималовых поверхностях с прОЕпволъным мероыорфныад суперпотенциалом;

4. Показано что оти квантовые гамильтонианы являются СЗС^М-гамильтониажша и вычленены СБСЩ- индексы;

5. Построена q- реформация расширенной супер симметричной • квантовой мехалшкн иа основе q- супер б о левого формалвома

и продемонстрирована сааоь с СЗСЗМ-аягсбрами;

Полученные результаты позволяют аффективно нсполызовать до-

пояиитсдыше дасхретные симметрии супсрошметрычных казл-___

товых гажшътошшюй а получать с их помощью новые теоремы об индексе.

Апробация работы. Результаты работы докладывались на научных семинарах ПОМП и в процессе р.гботы семестра пм.II.И.Лобачевского ММИ им. Эйлера (Санкт - Петербург 1992).

Публикации. Реоультаты диссертации опубликованы в пяти работах, приведенных а конца автореферата.

Структура н объем работы. Диссертация состоит ш введения, трех глав, оаключекин к трех приложений и содержит 117 страниц машинописного теиста. Библиографии включает 56 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во ведении приводится краткое описание круга задач, рассматриваемых в дпссертадяп, дается обоор литературы, формулируется цель работы и дается кратьое положение структуры диссертации по га мам.

В первой главе введены н исследованы алгебры обобщенной супер симметричной квантовой механики. В параграфе 1 обсуждается мотивация введения дополнительных суперсимметричных ин-всякэщга. J параграфе 2 алгебра суперсимметричной квантовой леханнхн переписывается в форме, более удобной для дальнейшего обобщения. В параграфе 3 вводятся алгебры обобщенной (в уоком смысле) суттерсимметричной квалтовой механики со многими коммутирующими инволюциями

{<?,п} = о, = = я = 0», [#,<?] = О = ¿¿ = 1,2.....к.

н описывается структура их реализаций. В параграфе 4 приводятся примеры обобщенно супер симметричных квантовых гамильтонианов. В одном яи примеров рассматривается свяоь обобщенной (в уогом смысле) суперсимыетриц п расширенной суперсимметрии. На основе отого рассмотрення вводится понятие алгебр обобщенной (в широком смысле) суперсимметричной квантовой механики с несколькими попарно коммутирующими или аигиком-мутируыцимп инволюцйями как обобщение расширенно супер-симмегрнчнон квантовой механики п обобщенной (в уоком смысле)

суперсимметрнчной жвалтовой механики. Испольоуя дополнительные инволюции, в параграфе 5 дм обобщенно суяерстшетрич-ных гамильтонианов строится топологически устойчивые индексы:

Утверждение БЛ GSQM- индексы

ind{H,г,,,...,ru) = Sf(г,- ...rikе-?"), Vi > 0.

толологмчесхн инвариантны, если к - нечетное число.

Утверждение Ъ.2 Обобщенная (в уог.ом смыж) суперсимметрия на гильбертовом пространстве H может быть редуцирована, к обобщенной (в уоком смысле) суларсимметрни на подпространстве Н,

Для таких супер симметричных редужщш определяются GSQM-индеясы, которые тоже окаоыв&ются топологически стабильны.

GSQM-itJi^cjtxu даются выражения!ш в виде некоторого суперследа. Это позволяет написать для них представлена^ в виде континуальных интегралов, как ото было сделало [9] дня индексов классических ешгаптяческих комплексов.

Во второй глазе рассмотрены N—4 суперснмметрнчные га-ыигътонианы с мереморфными суперпотснцпшиши па компактных римановых поверхностях как достаточно простой, ко нетривиальный геометрический пример GSQM-raiuinbTounaitoB. В параграфе 1 приводктся обоор литературы по супер симметричной квантовой механике с мероморфзшм сунерпотенцналом. В параграфе 2 построена суперошмегрячная квантовал мехашгха. с про-иовольным мероморфиьш супсрпотелцпалои на риналопых поверхностях, которые рассматриваются sas кодеровы многообразия, еввлвдовые на 6«. :г .'-пенности в полюсах суперпотепцигша. Много-обраоле называется евклидовым па бесконечности в точяах гь..,гп, если существуют такие открытке окрестности 0Ги точен г,- и диф-феоморфпомы ф; окрестностей Оц \ {г,-} п открытые множества С В ¡^ -- {и е С :| и |> R(} на комплексной плоскости, что на хаждом 0Й< weTpirsa есть прообрао сихллдопой ыетрихя на СЫПк посред-

ством Tiuiia многообразна уже поопнгаля при рассмотрении супер симметричных теорий, а именно прк построении суперсиы-метрдчлой теории ра-ссеяи&а ¡«¡.

fi

Дл л мероморфного супегмютошнала /Г г) на Л Гц с полюсами и ¡ очках 6 Ми определяется сунориаркд (¿^ на глаккм\

дифференциальных формах с клмпп*гнын но о-шошснлю к бесконечностям (т.е. не сыхвагыпаюииш точек бесколечлоеи'й) посит'''-лем Ас(М) з 9 Л*(Л1), М — кап дефории ро л л шш Ь

оператор Дольбо

<9+ = Йк Й + V ,

где 3 =г н V =

При этом самосопряженный супериаряп теорпи <3 имеет вид:

Супериарядм 'замкнуты и имеют плотные области опре-

деления , ЛС(Л/) с В^*). Кроме того ((Э*)2 =г- 0.

В параграфе 3 вводятся Ь2 - хогомо.чогвд, порожденные супер нарядом (¡у а доказывается аналог теоремы Ходжа.: Теорема 3.3

1. ДтН*(Л(У')) < оо , ДО') =

2/ Существует самосопряженный компактный оператор О па Л2(М) такой, что

основываясь на Лемме 3.2:

Лемма 3.2 Оператор А(У) имеет компактную реюльвенчу.

В параграфе 4 описывается структур» пространства поль ьюц гуперспмметричного гамильтониана п ннчисляегея индекс Виттена по отношению х стандартной ансолютагл (-1)"!': •

Теорема 4-3 Индекс Вттека для супе^симметрвчиого г-лмндь-тоииана П — Д(У\ относительно стандартной инволюанц р.шен числу крвтпт.с^ях течек суперпотекцпма /(,"} (г. учетом носчп) с:о пкая-у. ипкус.

««•:« кс ныралас! ¡л черт 1Ч;аол*гпм«:«чи<-; кар.шч крт:ч н»я: хара*5':;>;!гг'я*у Оплерд ¿очная тилю мим н г глпе>н.

ы.-:'-с.р'1 пс-лмсев ^яфференнн.члд О"'-'''!"'"'-'*«

Ди и V1 - ¿ч)Г>

В таком виде этот результат является кепосредстпенным обобщение.),! (5], [f>J. Кроме того, этот факт может служить иллюстрацией известного принципа,, согласно которому ноль-моды появляются благодаря либо топологически нетривиальной геометрической ситуации, либо силгулярноетям.

В параграфе 5 описываются дополнительные инволюц-ал к вычисляются соответствующие индексы, используя Теорему 4.3.

Так при дополнительных условиях на мероморфный суперяо-тснцаал таких как условие клейнозости

W) = №

или определенной четности, появляются дополнительные инволюции типа комплексного сопряжения и смены онаха. Топологические индексы, свяо&шше с этими дополнительными инволюцаамв, вычислены в теоремах 5.2, 5.5, 5.7 и замечаниях после теорем. В отключении параграфа 5 показано, что в случае GSQM симметричной системы с нечетным супзрштенцкажш гамильтониан Â(V) является не только суперсЕмметрнчным, но и иарасупарсим-метричным, т.е. выполнены соотношения алгебры парасуперскм-иетрлчной квантовой механики (PSQM)[10, 11].

В третьей главе рассматриваются деформации алгебры расширенной суперсимметричной квантовой механики (ESQM). Она связаны с алгебрами рассматриваемыми г jnepèoÊ главе. Еош перейти от набора инволюций обратно i набору супероарядов:

. ~ Q^=Q Qj^iTjQ

то алгебра, операторов {Qi}*„0 будет иметь вид:

{C?o,Q.}?=o; .{Qi,Qj}~2êijQl или [Qi,Q;]=0 ¿¿=1.....n

Это ничто иное sas деформация алгебры расширенной супер симметрии: .

_______'______{Q„QJ}=2ii;// .-----------------------------

Третья глава' устроена следующим обрапом. В первом параграфе описывается саяоь GSQM- алгебр с. деформациями ESQM-

алгебр в проводится обоор литературы. В параграфе 2 построен

»

(1-сулерлолевоп формализм (т.е. введено поле, оаданное иена обычном пространстве - времени, а на q-дeфopмиponaшюм супернро-странстве) и группа преобразований q- суперпространства. При отом яокаоано, что ото пространство можно рассматривать как градупрованхно- коммутативную алгебру. Это приводит к тему, что компоненты суперполя принимают аначеная в более широкой, но тоже градунрозашю-юммутагдвнай алгебре. В этом же параграфе нспояшуя метод, аналогичный стандартному суперпеле-вому методу, сгроптся ч-сунерст-шстрпчный лагранжиан л обсуждаются сохраняющиеся величины. После квантования полученные з параграфе 2 сохраняющиеся величины становятся супер-оарядами н удовлетворяют соотношениям алгебры д-ЕЗиЗУ. В параграфе 4 обсуждается связь рассмотренной теории с парасу-персимметричной гпантовон механикой [10, 11}, однако делается ото не так жал в работе [12]. Описанный в параграфе 4 подход сгорев является; обобщением я "ф.топчеслнм" объяснением [13]. В параграфе 5 в качестве простейшего примера рассматривается с;-„эасшнрйшьга супер симметричный гармонический осциллятор, йспотьоуя отот пример в'качестве найодящего, в последней параграфе формулируется н дояаоывается теорема об общем виде О-расшпрешго супер симметричного гамильтояяана. В частности, покапывается, что расширенно суперсимметричные г&икльтопи-аиы (ESQM гамильтонианы) обладают не "тояъко ЕЗиБУ, по и целым семейством симметрии (о-ЕЗиЗУ), которые параметризуются числом на единичной охрушюстн. Кроме того, доказывается теорема о евггаи Е30:М- и парасуперсттетрнчных гамильтонианов к покао икается, что ч-расшнрезшо суперспиметрпчнио и GSQM- гамильтонианы являются как бы воалмно дополняющими объектами.

В оакдючангп сформулнропапы результаты диссертация я отмечены' некоторые нерешенные оадачи, решение готорих могло бы служить продолжением представленной диссертационной работы.

В приложениях собраны часта, не вошедшие а осконноктехст чтобы не прерывать основную линию положения, но имеющие нс-

посредствошюе отношение ï предмету. "(Ък, в приложении 1 описывается сунерсяьшетри'шая квантовал механика iiaorpenxe и на основе итого доказываются леммы АЛ и Л.2 главы 2. В приложении 2 обсуждается ьопыо^ныв фиоичесхиа смысл q- частиц, рассматриваемых в главе 3 я приложении 3 собраны формулы q- деформированной расширенной суперсимметричной »рантовой иех&яихн, не вошедшие в основной текст глазы 3 ио-оа своей гра-моодхости.

По материалам диссертации онублшивыш следующие работы;

1. Борисов 11.В., Илышскпз К.Ы., Уодин В.М.: Обобщенные алгебры супер симметричной гвалтовой механики., ТМФ т.94 N3, (шз)

2. N.V.Borisov, K.N.Ilmski, V.M.Uzdin: Generalized supersymme-try and new topological mdexes for quantum GSQM- and ESQM-Hamiltonians., Phys. Lett. A ISO, 422-426 (1992).

3. K.N.llinski, V.M.Uzdin: Quajatum superspace, q-extended super-symmetry and parasupersymmetric quantum mechanics, Mod. Phys. Lett. A 8, N28, 2657 (1993)

4. N.V.Borisov, K.N.Iimski, V.M.Uzdin: Quantum group particles and parastatistical excitations., Phys Lett. A 1QQ, 427-432 (19S2).

5. K.N.lliTiski, V.M.Uzdin: Note to physica'sensé of QuaHtum group particles., Phys Lett. A 174 17ft-18i (1993).

Цитируемая литература:

[1] Jaffe Д.: Heat Kernel RegnLrizalion and Infinite Dimensional Analysis, in Constructive (Quantum Pieid Theory, Canadian Mathematical Proc/iedinga, j.Feldman and L.Rosen, eds.,— Amer~.Malh.Soc., Providence, IMS*.

¡2) Witten E.: Dynamical Breaking of Supersymmetry., Nucl.l'bys.B 188, 513-554 (1981)

to

[:<] Witten ¡'/.: Constraints on supersymmetry brea.kintr., Nucl.Pltyû.TÎ 202,233-310(1032)

[4) Witten E.: Supensymmetry and Morse Tiicorv., J. Diu. OrrjiTi.ir, C01-C"2

[5] Jalfe A., Leauiewski A., Levvenstein M.: Ground state structure in nTipcrsyrnmrtrir qnv.tnm nr-cInTtcn. Ann.Phyr.T78, aio-;>2u, (1D87)

[0] Jaflc A., Lcmîcv.'slù A.; STipcrrymir.ctrir fî^id tîi'-o™/ ind infinite dimensional analysis., Proceeding; of tue 1ÜÖ7 Carueue

[î] L.: 3upcröyiaiuel,ry and lue Aliy an-Singer

i»>Hr>y Th^r^m., 90, 1«M73 (lPa3)

(Oj Büiiüov Iv.V., luiukr Y7., Scliroder R.; Relative Lidc,i iiiun.Iua.tIuPli.>ü. Ii i, 175-513, (iy33)

ffij fVrntt! S.j f-ilmr^^'^» ('.,! tnpnlnf"/

dyiiaiiiical ¿¡upwrjyriniLetry eicalui.^., PLyu.Leli.. 110 ±j, 3 J-(i <»«:>)

[10] V.A.RuLaküv, V.P.Spiridoi^v, MclPIiy- Lett. A 3, 1337 ( (

[11] J.Bed;ua, N.D-uLer^li, Nucl. Pky^. R 310, 7G7 (1900).

[12] A.'r.Kilippnv, Ä.P.lsaev, Ä.B.Knrdikov: ParafrrHSsrrHUUi analysis and quantum groups, l1oi.Vhyj.Lctt.A 7 2130 (19H2)

[13] J.BccIzcic, N.P:l-:r^i, J.Pliys. A 2% L5?7 (1901).

5.10.Q3r. 0oa.1C3-1C0 PTIIIIK CIIIITE3, Mocücec;;.!.! ap.2C